Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Суперкритические МГД динамо

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Текст научной работыДиссертация по геологии, доктора физико-математических наук, Старченко, Сергей Владимирович, Борок

' (

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта Геофизическая обсерватория "Борок"

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

УДК 550.385.3

СТАРЧЕНКО Сергей Владимирович

СУПЕРКР

МГД ДИНАМО

04.00.22 - Физика твердой Земли ДИССЕРТАЦИЯ

СОДЕРЖАНИЕ (номер страницы)

ВВЕДЕНИЕ (6)

Часть I. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ MECA-ДИНАМО (21) Глава 1. MEGA асимптотики и численные аи модели (22)

1.1. Введение.(24)

1.2. MEGA и приближение Сильной или Суперкритической Генерации^ 27)

1.3. Анализ точек поворота в MEGA.(35) 1.4 MEGA-решения и Динамо-Волна.(39)

1.5. Сравнение асимптотических и численных результатов.(47)

1.6. Обсуждение.(62)

1.7. Заключение.(66) Приложение А. (70)

Глава 2. Осесимметричные а2и динамо и геодинамо (73)

2.1. Введение.(75)

2.2. Кинематическое а2ш -геодинамо с сильной генерацией.(77)

2.3. Асимптотическое решение.(80)

2.4- Кинематические модели осесимметричного геодинамо.(85) 2.5. Заключение.(89)

Глава 3. Асимметричные динамо Земли, планет, Солнца и галактик (93)

3.1. Введение.(95)

3.2. Представление асимптотического решения задачи динамо крупномасштабных магнитных полей.(96)

3.3. Построение асимптотического решения. (100)

3-4- Учет влияния меридиональной циркуляции и генерации тороидального поля средней спиральностъю.( 103)

3.5. Условия возбуждения, частоты вариаций и распределение основных мод магнитного поля Земли.(104)

3.6. Условия возбуждения неосесимметричных магнитные структуры Солнца, планет и спиральных галактик.( 108)

3.7. Заключение. (111)

Часть II. СУПЕРКРИТИЧЕСКАЯ МГД КОНВЕКЦИЯ (114)

Глава 4. Течения и МГД слои в потенциальном поле (115) 4.1. Введение.( 118)

4-2. Изолятор-изолятор: асимптотики и структуры.(123)

4-3. Свободные сдвиговые МГД-слои.( 131)

4-4■ Изолятор-проводник: асимптотики и структуры. (134)

4-5. Постоянное осевое магнитное поле.(138)

4-6. Магнитный диполь и квадруполь.(143)

4.7. Обсуждение и ВЫВ ОДЫ. (150)

Глава 5. Архимедова магнитоконвекция в ядрах планет (154)

5.1. Введение и постановка задачи.(156)

5.2. Пограничные слои и турбулентность.(159)

5.3. Крупные и мелкие масштабы.(165) 5.4■ Внутренняя осевая конвекция.(168) 5.5. Заключение. (172)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ (176)

Список цитируемой литературы (180)

Основные публикации автора по теме диссертации (190)

Рис. 1: В меридиональном сечении качественно изображены: изолинии почти ненаблюдаемого на поверхности Земли тороидального (слева) и силовые линии наблюдаемого полоидального (справа) геомагнитного поля. Полоидальное поле пронизывает мантию, жидкое (светлое) ядро и твердое ядро, а тороидальное поле практически полностью изолированно мантией от наблюдателя.

Введение

Актуальность проблемы.

Проблему магнитогидродинамического (МГД) динамо Земли и планет Солнечной системы еще Энштейн называл одной из пяти основных проблем физики (см. в книге [1] ), но принципиальный подход к ее разрешению стал проясняться лишь недавно. Поэтому, до сих пор, была неопределенна динамика наиболее активной части планеты - ее жидкого ядра, а ведь это ядро может определять

эволюцию недр всей планеты. На поверхности планеты основным свидетелем активности ее жидкого ядра являются крупномасштабные магнитные поля. Палеомагнитология прослеживает их от времен, сравнимых с возрастом планеты, а космические исследования

дают детальную картину их современного поведения. Таким образом, магнитные поля - это уникальнейшее средство, позволяющее всесторонне судить о фундаментальных свойствах, динамике и строении глубинных недр Земли и планет, поскольку нам закрыт прямой доступ в эти недра.

Простейшая полностью самосопряженная система МГД динамо планет в приближении Бусинеска включает уравнение Навье-Стокса для бездивергентной скорости V (в системе координат, вращающейся вокруг единичного вектора ъ со скоростью вращения мантии О), уравнение Максвела для бездивергентного магнитного поля В и уравнение диффузии для ускорения А^ обусловленного всплывани-ем легкой фракции при росте внутреннего твердого ядра:

Аг/Ь = (2Шх + В/т - гЛ72)У - (V х В) х В/(/х0р) + V/5, (1)

- - - (В • У)У и ("сг~— кУ2)А = (2) и (3)

Здесь: = д/д1 + V ■ V, Р - суммарное давление.

В жидком ядре Земли, внешний радиус которого Ь = 3.5 • 106м, плотность р = 104кг/м3 и проводимость а — 4-105С/м, мы имеем О = 7.3 • 10~б/с, движущую работу конвекции ¡3 порядка 102Дж/кг или больше, а коэффициенты диффузии к и вязкости V меньше 10_5м2/с. Граничными условиями являются: условия прилипания для скорости V, условия непрерывности для магнитного поля В и условия, задающие основной источник магнитоконвекции - поле плавучести А. Малую толщину вязкого (Экмановского) и диффузионного (Архимедовского) пограничного слоя соответственно характеризуют

8 = фф}/Ь<10~7 и £ = $Ш/Р < 1(Г4. (4) и (5)

Этим числам пропорциональны малые параметры при старших производных в системе (1-3), когда в ней вместо единиц СИ для измерения полей использованы величины характерные для ядер планет (подробности см. в главе 5 диссертации).

Прямые численные исследования (1-3) чрезвычайно затруднены из-за сильной концентрации физических полей А, V и В в пограничных и сдвиговых слоях, безразмерную толщину которых определяют (4) и (5). Недавно ценой огромных затрат в прямых численных моделях удалось уменьшить параметры <5 и г до Ю-2 [2]. Поведение модельного магнитного поля впервые стало похожим на поведение геомагнитного поля, поскольку параметры были достаточно малы и авторы надеялись, что перешли в асимптотический режим. Однако, в обозримом будущем, реально малые параметры (4) и (5) недостижимы при подобных подходах к моделированию геодинамо.

Более перспективен асимптотический подход при котором формально используются бесконечно малые параметры, что позволяет

находить и разрешать узкие слои с высокой точностью. Асимптотический эффект вязких слоев Экмана (толщиной Ь8) у границы ядро-мантия был использован Брагинским в семидесятых годах в его первой численно-асимптотической модели геодинамо, которая долгое время оставалась единственной реалистической моделью геодинамо

[3]. К настоящему времени назрела необходимость построить принципиально новую асимптотическую модель, поскольку модель Брагинского не до конца самосогласована. В ней решается только осе-симметричная часть уравнения (2), а ключевые эффекты связанные с асимметрией, сложными уравнениями (1, 3) и тонкими структурами отличными от слоя Экмана задаются феноменологически. Поэтому уже в 1993 году появились прямые численные модели, которые лучше отражали поведение геодинамо чем даже новейшие модификации модели Брагинского (сравните [4] и [5]).

Для удачного построения полностью самосогласованной асимптотической модели геодинамо, прежде всего, необходимо выявить все возможные тонкие структуры^ связанные с малыми параметрами 8 из

(4) и £ из (5). Асимптотики пограничных слоев Экмана (при 8 стремящемся к нулю) могут быть аналогичны рассмотренным в модели Брагинского, но при этом актуально учесть влияние магнитного поля и твердого ядра планеты (см. главу 4 диссертации). Новый подход требуется для учета асимптотического эффекта диффузионных пограничных слоев Архимеда (при г стремящемся к нулю в главе

5). И наибольшие трудности связаны; с моделированием практически ранее неисследованных внутренних гидромагнитных и сдвиговых слоев, асимптотическое поведение которых зависит от того, как

соотносятся малые параметры между собой (см. главы 4 и 5)

Самосогласованная модель геодинамо суперкритична, поскольку ее число Релея Я = [см. (5)] на много порядков превышает крити-

ческое для начала конвекции число Вс ~ 6 2/3 [6]. Суперкритичность типична для рассматриваемых динамо систем, поскольку генерация

гидромагнитных полей возможна только тогда, когда интенсивность источников генерации превышает некоторую пороговую величину.

Основная идея диссертации - искать асимптотики системы (1-3) в суперкритическом пределе, когда интенсивность источников генерации всех рассматриваемых полей формально считается бесконечно большой. Интенсивность генерации поля скорости V и поля плавучести А в ядре Земли характеризуют гигантское число Рейнольдса 8~2 < 1014 (= 1/Е обратному числу Экмана) и огромное число Релея Я = £~3 > 1012. Точность суперкритического приближения определяют Е и 1 /Я, которые появляются как малые параметры при Лапласианах (А) в (1) и (3) соответственно (подробней см. главу 5).

Таким образом, суперкритическое приближение для планетарной МГД динамо системы (1-3) должно быть чрезвычайно эффективно, поскольку его точность ~ Е и 1/И, что заведомо превосходит точность всех будущих и известных прямых численных моделей работающих в режиме реального времени. В принципе, суперкритическое приближение должно позволить нам найти максимально общие и даже аналитические решения системы (1-3) при столь экстремально малых параметрах Е и 1 /Д, которые определенв1 по реальной молекулярной вязкости и диффузии. Основная идея поиска таких решений заключается в том, что в большей части жидкого ядра мы можем пренебрегать членами связанными с Лапласианами (Д) в (13). В результате, порядок системы существенно понизится и ее общие решения могут стать доступными. Действительно! для поиска таких решений мы теперь вправе применять мощные средства гидродинамики идеальной жидкости, а вязкость и диффузию учитывать лишь в очень небольших областях. Очевидно, что суперкритические реше-

ния будут неустойчивы и приведут к турбулезации гидромагнитного течения. Усредняя такие неустойчивые решения, мы можем легко оценить турбулентную вязкость, диффузию и другие эффекты, которые устойчивы в крупных масштабах или на больших временных интервалах. Таким образом, именно чрезвычайная суперкритичность системы планетарного МГД динамо (1-3) дает нам принципиальную возможность впервые в мировой практике надеяться на то, что нам удастся найти полное решение проблемы турбулентности.

Впервые аналог идеи суперкритического приближения был применен в кинематической теории а2,аш и а2и - динамо (см. [7, 8] и [9] соответственно). Для таких динамо решалось только уравнение (2), а скорость считалась заданной линейным оператором, который в общем случае имеет вид

(В • У)У = (в х г)В • + V х (Век) (6)

Здесь: и - крупномасштабная скорость углового вращения, а - функция, параметризующая эффект мелкомасштабных течений, аз - расстояние от оси вращения За счет дифференциального вращения (Уш) генерируется осесимметричное тороидальное магнитное поле, которое направлено по азимуту и скрыто от наблюдателя в ядре планеты из-за слабой проводимости мантии. Замыкая динамо процесс, средняя спиральности конвекции (а) порождает полоидальное поле, потенциальная часть которого наблюдаема, поскольку она проникает из ядра к поверхности планеты. Система крупномасштабного кинематического динамо состоит из (2) и (6) где параметризованные генерационные а и и эффекты - это функции координат, которые

симметричны (осесимметричны) относительно оси вращения. Осе-симметричные источники генерации в состоянии поддерживать как осесимметричные так и асимметричные составляющие крупномас-

штабных магнитных полей планет.

Осесимметричный (осевой) магнитный диполь планеты является первой гармоникой в разложении полоидального поля по сферическим функциям, а асимметричный (экваториальный) диполь - это вторая гармоника. В сумме осевой и экваториальный диполь дают тот наклоненный к оси вращения диполь, которым экстраполируют магнитные поля планет в первом приближении. На Земле и Юпитере экваториальный диполь на порядок меньше осевого и это приводит к тому, что суммарный диполь наклонен к оси вращения на угол порядка 10 градусов. Напротив, две первые гармоники на Уране и Нептуне сравнимы^ и поэтому наклон суммарного диполя там порядка 50 градусов. Особняком стоит Сатурн, где практически нет асимметричной составляющей в наблюдаемом магнитном поле. Более сложную и не до конца ясную структуру имеют слабые магнитные поля Марса и Меркурия, а на Венере и вовсе не удалось пока зарегистрировать собственного магнитного поля.

Основная задача кинематической теории динамо - это по наблюдаемой симметрии магнитных полей оценить основные свойства источников генерации из (6). Для этого решается линейное относительно магнитного поля В уравнение (2); в котором находится только самая нестабильная или быстрее всех растущая собственная функция. Действительная часть ее собственного числа дает порог генерации, мнимая - порядок частоты полных обращений, а сама функция -пространственные свойства крупномасштабных магнитных полей. Кинематическая теория динамо в состоянии качественно описывать источники магнитных полей не только в планетах, но и в звездах, аккрекционных дисках и в галактиках. Знание основных свойств источников генерации существенно упрощает построение нелинейной самосогласованной модели. С другой стороны, актуально провести

асимптотический анализ полной системы (1-3) с целью обоснования общепринятой гипотезы о том, что главные источники крупномасштабных магнитных полей состоят из осесимметричного крупномасштабного вращения ш и усредненной асимметричной мелкомасштабной конвекции а.

Исторически первым удачным примером кинематического динамо было, так называемое, аш динамо^ моделирующее основные пространственно-временные особенности 22-х летнего магнитного

цикла на Солнце. В таком динамо принебрегали генерацией тороидального магнитного поля за счет спиральности, что равносильно

учету только азимутальной компоненты В во втором члене в (6).

При таких упрощениях типичное время между полными инверсиями магнитного поля сравнимо или меньше характерного времени

оммического распада крупномасштабных полей. В Земле это время составляет десятки тысяч лет, что порядка периодов вековых

вариаций Главного магнитного поля, а период между инверсиями на один-два порядка больше. Поэтому не удивительно, что попытки применения аш динамо к описанию геомагнитного поля были не очень результативны. Более перспективное и не требующее никаких

л

упрощений от и динамо впервые было проанализировано автором. Это позволило не только правильно описать главные источники динамо планет, но и предсказать наклон магнитного диполя Нептуна до того как он был непосредственно зарегистрирован при пролете "Вояджера".

В отличии от исходной системы (1-3) суперкритичность кинематического динамо (2, 6) совсем не велика. И тем не менее, суперкритические асимптотики оказались весьма эффективны даже

для оценки критических параметров. Это было подтверждено специально проведенным сравнением численных результатов с нашими

асимптотиками. Еще большей эффективности следует ожидать от

впервые развитых автором суперкритических асимптотик исходной полностью самосопряженной системы МГД динамо в ядрах планет. Численные алгоритмы^ основанные на таких асимптотиках, впервые позволят напрямую описать неустойчивые турбулентные потоки и оценить параметры аналогичные (4) и (5) для устойчивых крупномасштабных (усредненных) полей. По аналогии с кинематическим динамо следует ожидать, что наши асимптотики останутся в силе и для усредненной системы?даже если ее параметры не будут столь экстремально малы как (4) и (5). Последнее частично подтверждают новейшие численные модели (ссылки см. выше), которые используют на несколько порядков большие чем (4) и (5) параметры в (1-3) и,

тем не менее, успешно воспроизводят некоторые особенности структуры и поведения геомагнитного поля.

Цель и задачи работы.

Главной целью работы является построение суперкритических асимптотик, наиболее эффективных для проведения всестороннего исследования магнитогидродинамики ядра Земли и ядер планет Солнечной системы. При этом были решены следующие задачи:

1. Обоснование и развитие основных асимптотических приближений, позволяющих эффективно исследовать течения и генерируемые ими магнитные поля в ядрах планет.

2. Решение задачи кинематического турбулентного геодинамо средних полей при сильной генерации для объяснения природы главных мод, наблюдаемого и скрытого в ядре магнитных полей.

3. Описание МГД-течений в фиксированных потенциальных магнитных полях для выявления всех возможных сингулярных слоев, которые определяют магнитогидродинамику ядер.

4. Аналитическая оценка всех базовых величин и структур, определяющих магнитоконвекцию в жидких ядрах планет при их гигант-

ской суперкритичности и экстремально малой эффективной вязкости.

5. Формулировка первой реалистической модели МГД динамо планет, которую будет возможно численно разрешить в обозримом будущем.

Научная новизна.

Автором впервые обосновано то, что кинематическое турбулентное геодинамо- это динамо а2и типа, в котором скрытое в ядре среднее азимутальное поле сравнимо с наблюдаемым магнитным полем. Только недавно удалось подтвердить этот результат численно, а до этого 30 лет считали, что азимутальное поле сильно доминирует в ядре Земли. Впервые выявленно су�