Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Тепломассоперенос и конвекция для построения самосогласованной модели геодинамо

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Тепломассоперенос и конвекция для построения самосогласованной модели геодинамо"

На правах рукописи

КОТЕЛЬНИКОВА МАРИЯ СТАНИСЛАВОВНА

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС И КОНВЕКЦИЯ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ САМОСОГЛАСОВАННОЙ МОДЕЛИ ГЕОДИНАМО

25.00 10 - "Геофизика, геофизические методы поиска полезных ископаемых"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

г. Троицк Московской области 2005

Работа выполнена в Институте земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН (ИЗМИРАН)

Научный руководитель доктор физико - математических наук Старченко Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, проф. Молотков Иван Анатольевич доктор физ.-мат. наук, доцент Хохлов Андрей Владимирович

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

диссертационного совета Д 002,237.01 при Институте земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН по адресу: 142190, г. Троицк Московской области, ИЗМИРАН

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН.

Автореферат разослан 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

Защита состоится

на заседании

Михайлов Ю.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель работы и ее актуальность. Научная значимость исследований явлений тепломассопереноса в жидком ядре Земли связана, в основном, с тем, что термокомиозиционная конвекция считается наиболее вероятным источником энергии для процесса генерации земного магнитного поля. Проблема геодинамо, в свою очередь, является одной из фундаментальных научных задач.

Как известно, явления, связанные с планетарным магнетизмом, непосредственно наблюдаются и используются человечеством не один десяток веков. Но только зародившийся в середине прошлого века палеомагнетизм позволил исчислять уже миллиардами лет доступную нам историю о геомагнитном поле. Накопленный обширный наблюдательный материал, наряду со значительным прогрессом возможностей вычислительной техники, применяемой для моделирования процессов геодинамо, позволили ученым в течении последних лет добиться впечатляющих успехов и существенно приблизиться к решению задачи магнитогидродинамического (МГД) динамо в ядрах планет. Однако окончательно завершенной эту задачу можно будет считать только при наличии МГД модели Земного ядра, которая бы соответствовала наблюдаемым значениям, структуре и длиннонериодным вариациям земного и планетарных магнитных полей.

Для того, чтобы получить такое объяснение нужно решить совместно по крайней мере три сложных системы. Первая - уравнения Максвелла, вторая - уравнения Навье-Стокса и трегья включает в себя уравнение диффузии, теплообмена и концентрации легкой компоненты в жидком ядре. С И. Брагинский сравнивает течение в жидком ядре с действующей электростанцией, включающей в себя генератор, двигатель и источник топлива. Кинематическая теория динамо, являющаяся теорией "генератора", показывает, что самовозбуждение магнитного поля при движении сплошной массы проводящей жидкости несомненно возможно. Более того, оно возможно при весьма разнообразных движениях. Поэтому, для выяснения истинного движения в земном ядре необходимо кроме теории земной "ди-намомашины"построить также достаточно развитую теорию "двигателя", который используя "источник топлива"приводит ее в движение.

Цель работы заключалась в исследовании процессов тепломассоперено-са и конвекции в жидком ядре Земли в различных приближениях, с исполь-

зованием асимптотических подходов. Хотя процессы в ядре, несомненно, описываются в общем случае классическими уравнениями гидродинамики, термодинамики и физической химии, но в контексте геодйнамо в разных временных и пространственных масштабах разные явления и процессы играют главенствующую роль и эти масштабы разнятся иногда на несколько порядков. Поэтому применять классические уравнения в их исходном виде к процессам ядре не представляется возможным ни в аналитических, ни в численных исследованиях и в процессе развития теории динамо возникали различные приближения, использующие малые параметры, соответствующие ядру Земли, для создания упрощенных систем уравнений. Исследование возможностей таких приближений, развитие подходов для построения новых, удобных для исследования и адекватных геофизическим процессам, наряду с возможностью дополнить и детализировать описание процессов в ядре, основываясь на решениях приближенных систем уравнений, было основной задачей данной работы.

Благодаря потрясающим успехам в численном моделировании процессов в ядре Земли, которых ученые добились в течении последних десяти лет, были получены ответы на многие вопросы теории динамо, но существующие численные модели геодинамо не могут быть напрямую использованы для выводов об энергетике этого процесса, поскольку значения физических параметров и приближения, использовавшиеся в этих вычислениях, не соответствуют реальным условиям в ядре. Также они пока не способны разрешать тонкие гидромагнитные внутренние, сдвиговые и пограничные структуры, существующие в планетарных ядрах, которые, как предполагается, играют ключевую роль в земном и планетарном динамо. Наличие, структура н особенности таких слоев в свою очередь определяю 1ся взаимодействием крупномасштабных структур - внешнего ядра с мантией и внутренним ядром и возникающим при этом движением жидкости в ядре - сложная система, в основе которой лежит энергетическая возможность для возникновения и поддержания необходимого течения.

Таким образом, па настоящий момент аналитические исследования (приближенные, асимптотические) процесса геодинамо в целом и термокомпозиционной конвекции в ядре как его двигателя остаются важным элементом в построении самосогласованной теории земного динамо.

Постановка задачи. В диссертационной работе рассмотрен ряд моде-

лей и приближений для описания теиломассопереноса и конвекции в жидком ядре Земли, в связи со следующими поставленными задачами:

• Исследование возможностей диффузионного режима тепломассопре-носа в жидком ядре Земли.

• Описание течения типа Праудмана-Стювартсона, моделирующего движение жидкости во внешнем ядре.

• Упрощение почти адиабатического приближения для возможности аналитического исследования конвекции в ядре Земли.

Научная новизна. В ходе исследований получены следующие оригинальные результаты:

1. Впервые построено аналитическое диффузионное решение задачи о тепломассоиереносе в ядре Земли для уравнений неупругого приближения, найдены распределения удельной энтропии и массовой доли легкой компоненты расплава ядра по радиусу.

2. Сделаны оценки скороеги роста и возраста внутреннего ядра на основе диффузионного решения для различных возможных значений удельного теплового потока из ядра в мантию и скачка массовой доли легкой примеси на границе с внутренним ядром.

3. Построено и обосновано новое удобное приближение для исследования конвекции в ядре - однородная система уравнений с однородными граничными условиями.

4. Дополнено асимптотическое описание течения вязкой жидкости между двумя быстро и слегка дифференциально вращающимися сферами (модель жидкого ядра) - получено решение во внешних сдвиговых слоях для случая переменной плотности.

5. Описано и обосновано упрощение почти адиабатического приближения для исследования конвекции з ядре Земли.

6. В рамках нового приближения определены критические числа Рэлея для возбуждения тепловой конвекции.

Научная и практическая значимость. Работа посвящена исследованию тепломассопереноса и конвекции в жидком ядре Земли, а также долговременных течений, формируемых в результаге этих процессов. Рассмотренные в диссертации задачи имеют большое значение для построения самосогласованной теории геодинамо. Полученные аналитические результаты свое основное применение могут найти при создании новых численных моделей динамо и могут быть использованы для оценок при выборе параметров моделирования и выявления особенностей при построении расчетных сеток.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Диффузионное решение задачи о тепломассоиереносе в ядре Земли, которое- является первым аналитическим результатом, полученным для соответствующих уравнений неупругого приближения, наиболее точной на сегодняшний день системы уравнений геодинамо.

2. Оценки скорости роста и возраста внутреннего ядра на базе диффузионного решения для различных возможных значений удельного теплового потока из ядра в мантию и скачка массовой доли легкой примеси на границе с внутренним ядром.

3. Асимптотическое решение для геофизически значимого профиля плотности во внешних сдвиговых слоях течения типа Праудмана-Стюварт-сона, описывающее тонкие структуры в жидкости внешнего ядра, которые могут играть определяющую роль в процессе генерации магнитного ноля Земли.

4. Новое приближение, построенное на основе почти адиабатической конвекции, которое лучше соответствует РТ условиям, чем используемое на данный момент приближение Буссинеска, в жидком ядре Земли и имеет удобную для аналитического и численного анализа форму уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на внутрероссийских и международных семинарах и конференциях: семинарах "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород"(ГФО "Борок", 2002, 2003), конференциях Теокосмос"(Саикт-Петербург, 2002, 2004), симпозиумах SEDI (Lake Tahoe, California, USA,

2002 и Garmisch-Partenkirchen, Germany, 2004) и ассамблеях Европейского Геофизического Союза (Nice, France, 2003, 2004).

Личный вклад автора. Проводимые исследования являются частью общего научного направления по построению самосогласованной модели геодинамо. Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ: 02-05-64888 и INTAS: 99-00348, 03-51-5807, в которых автор была исполнителем и руководителем команды. Направление исследований было предложено научным руководителем Старченко С.В., все поставленные в диссертационной работе задачи решены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Списка литературы (122 наименования). В работе приводится 10 рисунков и 2 таблицы. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Всего по теме диссертации опубликовано 5 работ в реферируемых изданиях.

Автор выражает благодарность научному руководителю Сергею Владимировичу Старченко за предложенное направление исследований, советы и постоянное внимание к работе, а также сотрудникам отдела "Магнетизм Земли и планет"ИЗМИРАН и, в особенности, Татьяне Николаевне Бондарь и Вадиму Петровичу Головкову за помощь и ценные замечания.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Исследование тепломассопереноса в жидком ядре Земли проведено в данной работе как этап для построения самосогласованной модели геодинамо. Рассмотрены различные существующие приближения, в рамках которых получен ряд аналитических результатов, а также предложены и обоснованы новые приближенные модели для описания процессов переноса во внешнем ядре.

Во введении дано краткое описание исследуемой проблемы, обоснована актуальность темы, излагается содержание работы и сформулированы ее основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена истории исследований движения жидкости и тепломассопереноса во внешнем ядре Земли, в контексте задачи, благодаря которой эти процессы вызывают неослабевающий интерес па протяжении многих лег - задачи о геодинамо. Приведен обзор литерату-

ры, освещены некоторые аспекты теории земного гидромагнитного динамо и описан ряд понятий и терминов, употребляющихся в дальнейшем изложении.

Во второй главе исследуется линейный теиломассоперенос в жидком ядре Земли. Решив эту задачу, можно исследовать, в состоянии ли полученное течение проводящей жидкости возбуждать магнитное поле или нет.

В нервом разделе главы излагается постановка задачи. Течения в жидком ядре порождаются Архимедовой силой плавучести, возникающей за счет охлаждения ядра и всплывания избыточной легкой примеси расплава вещества внешнего ядра от границы с внутренним твердым ядром в процессе роста последнего. Наиболее точные уравнения для соответствующей конвекции, движимой тепловыми и композиционными эффектами в быстро вращающемся сферическом слое, носят название неуиругого приближения. Эги уравнения представлялись настолько сложными, что никто даже не пытался исследовать их аиалигически. Более того, в единственном известном численном исследовании этих уравнений сразу рассматривается лишь частный МГД вариант, а базовое немагнитное исследование пропущено.

Полагается, что рассматриваемый сферический слой жидкости всегда находится в состоянии близком к такому, которое осуществлялось бы при полном отсутствии конвекции. Это исходное состояние считается полностью заданным и характеризуется как гидростатическое, адиабатическое и хорошо перемешанное. Динамика исходного состояния описываег1ся уравнениями для удельной энтропии и массовой доли (концентрации) легкой компоненты расплава вещества внешнего ядра в ситуации отсу1ствия глобальной конвекции, но при фиксированных турбулентных коэффициента переноса, когда рассматриваемые отклонения физических параметров от исходного состояния малы. Большинство величин физических параметров, характеризующих исходное состояние взяты из известной модели PREM (Preliminary Reference Earth Model).

Во втором разделе главы показано, что исходные уравнения тепломассо-переноса допускают сферически-симметричное базовое аналитическое решение, если пренебречь нелинейными членами, ответственными за конвективный перенос. Это решение непосредственно применимо тогда, когда тепловой поток из ядра планеты в мантию меньше или близок к адиабати-

чсскому потоку. В случае, когда тепловой поток больше адиабатического чисто диффузионного решения уже не достаточно и необходима дополнительная (пусть и слабая) конвекция.

Точные границы значений теплового потока, при которых применимо базовое решение, определены в третьем разделе. Для этого были построены зависимости скорости роста внутреннего ядра от величины удельного теплового потока из ядра в мантию и скачка массовой доли легкой примеси на границе с внутренним ядром. Выбор допустимых значений теплового потока определятся условием, чго скорость роста внутреннего ядра должна быть положительной. Полученные оценки скорости роста ядра, основанные на сферически-симметричном решении, согласуются по порядку величины (~ 10~11м/с) с результатами численных моделей и известными оценками, выведенными из энергетических соображений.

Также в этом разделе построены безразмерные аналоги градиентов удельной энтропии и концентрации легкой компоненты, причем обезразмерива-ние проводилось таким образом, чтобы исключить из вида зависимостей физические параметры (такие как коэффициент диффузии), величины которых плохо известны для ядра Земли. Сделано это с целью иметь возможность сравнивать результаты с численными решениями, при построении которых значения параметров, особенно коэффициентов переноса, выбираются зачастую исходя из соображений упрощения расчетов.

Сравнение радиальных зависимостей массовой доли легкой компоненты жидкого ядра и удельной энтропии, полученных из базового решения, с результатами численной модели, основанной на МГД уравнениях неупругого приближения, проведенное в четвертом разделе, показывает хорошее совпадение по порядку величины, что дает основания предполагать, что влияние магнитного поля сказывается в основном не на амплитуде значений, а на форме зависимостей. Соответствующие оценки возраста внутреннего ядра Земли дают диапазон значений от одного до двух миллиардов лет в зависимости от величины теплового потока на границе внешнего ядра с мантией и скачка концентрации на границе с внутренним ядром.

В пятом разделе главы, после вычитания из исходных конвективных уравнений найденного сферически-симметричного базового решения, удается упростить исходную систему до полностью однородной системы, контролируемой асимптотически малыми числами Россби е < 10~5 и Экмана

Е < Ю-7. Главный порядок предела е —> 0 дает линейную систему, а в пределе \[Ё —► 0 получается такое симметричное относительно оси вращения течение, которое способно генерировать асимметричное магнитное поле.

Следует отметить, что полученная после вычитания из исходных уравнений базового решения система не только сама однородна, но и имеет однородные граничные условия, что существенно при численном подходе к решению.

Выводы и заключение по Главе 2.

1. Найденное диффузионное решение задачи о тепломассопереносе в ядре Земли, является первым аналитическим результатом, полученным для соответствующих уравнений неуиругого приближения, наиболее точной на сегодняшний день системы уравнений геодинамо. Оно описывает ситуацию, когда общий тепловой погок из ядра в мантию меньше либо близок к адиабагическому.

2. Зависимости скорости роста и возраста внутреннего ядра, построенные на базе диффузионно! о решения для различных возможных значений удельного теплового потока из ядра в мантию и скачка массовой доли легкой примеси на границе с внутренним ядром, соответствуют диапазону оценок, приводимых другими авторами, и дают возможность по мере уточнения параметров легко получить отвечающие им точные значения скоросги роста и возраста ядра.

3. Построенное, и обоснованное новое удобное приближение для исследования конвекции в ядре - однородная система уравнений с однородными граничными условиями - удобна для дальнейшего численного анализа.

В третьей главе описывается течение, возникающее во внешнем ядре из-за более быстрого, по сравнению с мантией, вращения внутреннего ядра. Это явление впервые было предсказано по результатам численного моделирования и названо авторами эффектом супервращения, а в дальнейшем его существование было подтверждено экспериментами сейсмологов.

В первом разделе исследуется возможность того, что разница в скоростях может быть обусловлена перераспределением момента импульса в системе из-за увеличения массы внутреннего ядра в процессе выморажи-

вания. На основе наблюдаемого процесса инверсий геомагнитного ноля выдвигается гипотеза, что, усредняя перенос массы и момента импульса на временах порядка ста миллионов лет, можно практически исключить магнитное поле из усредненных уравнений описывающих дифференциальное вращение жидкого ядра Земли.

Рассмотрен усредненный перенос массы и импульса за счет роста внутреннего твердого ядра при кристаллизации на нем тяжелой фракции выпадающей из жидкого ядра. При такой дифференциации ядра выделяется ~ 1.2 • 1012Вт гравитационной мощности способной поддерживать геодинамо. Если пренебречь внешними воздействиями и считать твердое ядро и мантию абсолютно жесткими, то при скорость роста твердого ядра 10-11м/с и сейсмически определяемом скачке плотности 565кг/м3 на границе жидкое-твердое ядро, долговременное ускорение всей Земли составит

О 1 А - 2 5 - 2

~ 3 • 10 с .

Столь медленное ускорение позволяет приблизить течение в жидком ядре простейшим симметричным относительно оси вращения стационарным течением, ускоряющим мантию только за счет вязкого сцепления. Вращение твердого ядра ускоряет обусловленный переносом импульса и массы момент сил ~ 2 • 1014Нм, который действует против вязкого момента сил. В течение нескольких тысячелетий твердое ядро обгоняет мантию на один оборот, что согласуется с долговременными геомагнитными наблюдениями и с современными интерпретациями сейсмических данных.

Формирующееся в результате более быстрого вращения твердого ядра течение в жидком ядре моделируется во втором разделе глаиы как движение вязкой жидкости с переменной в пространстве плотностью в слое между двумя быстро и слегка дифференциально вращающимися сферами. Основные структуры аналогичного течения несжимаемой жидкости, известного как течение Праудмана-Стювартсона, сохраняются и в случае переменной плотности. Они регулируются малым числом Экмана, характеризующим относительное действие вязких и кориолисовых сил, величина которого для Земли составляет ~ 10~15.

Крупномасштабное течение состоит из дифференциального вращения и слабого меридионального потока, зависящих только от цилиндрического радиуса, внутри так называемого тангенциального цилиндра, структуры, касающейся внутренней сферы, с осью, совпадающей с осью вращения. Вся

жидкость вне его твердотелыю вращается вместе с внешней сферой.

Мелкомасштабные течения сконцентрированы в пограничном слое Эк-маяа, толщиной и в свободном сдвиговом слое, который обеспечива-

ет возвратный меридиональный поток и сглаживает сильные градиенты у тангенциального цилиндра. Структура этого слоя была определена Стю-вартсоном. Скачок скорости уничтожается за пределами тангенциального цилиндра в слое Стювартсона, толщиной

оставшийся сдвиговый разрыв устраняется внутри тангенциального цилиндра в более тонком слое Стювартсона Остающейся разрыв непрерывности меридионального

потока жидкости устраняется в слое

Тот факт, что эти тонкие структуры течения должны играть существенную роль в формировании МГД-конвекции и, следовательно, гсодинамо, в настоящее время не подвергается сомнениям, но подробный учет их влияния в современных численных моделях невозможен, в силу недостаточности для таких задач имеющихся компьютерных мощностей. Поэтому важно знать аналитические решения, которые могут дать подробную информацию об особенностях течения в тонких слоях. В третьем разделе главы построены такие аналитические асимптотические решения, описывающие течение во внешних сдвиговых слоях Стювартсона для жидкости с переменной плотностью. Обоснованное упрощение, благодаря которому удается получить такое решение, состоит в том, что в узких сдвиговых слоях изменение плотности можно считать существенными только в направлении вдоль оси вращения.

Выводы и заключение но Главе 3.

1. Описана модель, в которой вращение твердого ядра ускоряет обусловленный переносом импульса и массы момент сил, действующий против вязкого момента сил. В рамках такой модели получено, что в течение нескольких тысячелетий твердое ядро обгоняет мантию на один оборот. Такие результаты согласуются с долговременными геомагнитными наблюдениями и с современными интерпретациями сейсмических данных.

2. Впервые полученное для геофизически значимого профиля плотности асимптотическое решение во внешних сдвиговых слоях течения типа Праудмана-Стювартсона описывает существующие в вязкой жидкости

, внешнего ядра тонкие структуры, которые могут играть определяющую роль в процессе генерации магнитного поля Земли.

Четвертая глава, целью которой является определение порогов возбуждения тепловой конвекции в жидком ядре Земли, начинается с обсуждения модели Буссинеска, наиболее часто используемой при моделировании конвекции в ядрах планет, и делается вывод о ее неприменимости. Описана альтернативная модель, являющаяся упрощением почти адиабатического приближения.

В первом разделе последовательно рассматриваются классические уравнения, описывающие тепловую конвекцию в вязкой жидкости, а именно уравнение непрерывности, уравнение Навье-Стокса и уравнение переноса тепла. При исследовании конвективных процессов в жидком ядре Земли и других планет эти уравнения не используются в своем исходном виде, а приводятся к упрощенной форме посредством некоторых допущений и предположений. Чтобы понять и оценить правомерность некоторых часто используемых при моделировании конвекции в ядрах планет упрощений, а в частности широко применяемого приближения Буссинеска, рассмотрены условия, которые должны выполняться чтобы сведение исходных уравнений к приближенным оставалось корректным.

В случае модели Буссинеска ключевыми требованиями являются следующие. Во-первых, характерные для рассматриваемого объекта вариации плотности должны быть очень малы по сравнения с самой плотностью. Во-вторых, тепло, связанное с характерными изменениями температуры должно намного превосходить тепло, связанное с характерными изменениями давления. И в-третьих, плавучесть Архимеда за счет вариаций давления должна быть гораздо меньше плавучести за счет вариаций температуры. Во втором разделе главы показано, что для адиабатических распределений физических величин в жидком ядре Земли только первое из трех условий применимости приближения Буссииеска выполняется с точностью 10%, остальные два не только не выполняются, но даже противоречат условиям в ядре.

Во третьем разделе, для адекватного описания планетарной конвекции, рассмотрено почти адиабатическое приближение, основанное на малых отклонениях физических величин от своих адиабатических значений. Основы этого приближения для Земли подтверждаются независимыми друг от'дру-

га сейсмическими, экспериментальными, теоретическими и многими другими исследованиями. Все подобные исследования дают такие распределения давления, плотности и прочих физических величин, которые очень мало отклоняются от своих равновесных адиабатических значений в процессе конвективной эволюции глубинных недр планет.

В начале раздела выведены термогидродинамические уравнения, описывающие планетарную сверхадиабатическую конвекцию с высокой степенью точностью (лучше 10~5% для Земли), и исследованы основные источники такой конвекции. Далее, следуя исторически сложившемуся подходу, по- (

чти адиабатические уравнения сначала записаны с использованием температуры и давления в качестве основных термодинамических переменных. ч Такое представление оказалось громоздким, и в корне отличным от общеизвестной системы Буссинеска, а также неэффективным для численного моделирования. Поэтому почти адиабатическая система была окончательно записана с использованием энтропии и давления в качестве основных термодинамических переменных.

В четвертом разделе приведена аналитическая оценка сверхадиабатических источников тепловой конвекции в ядре Земли и соответствующих им типичных значений конвективной скорости, давления, энтропии и температуры. Используя сверхадиабатическую энтропию и эффективное дав- ' ление, удается упростить почти адиабатические конвективные уравнения до системы уравнений близкой, с математической точки зрения, к системе уравнений Буссинеска.

Полученная упрощенная система исследуется в пятом разделе с целью определить значения критических чисел Рэлея для возникновения конвек- |

ции в жидком ядре Земли. Проведен асимптотический анализ уравнений •

(асимп гогические параметры - числа Россби и Экмана) и в рамках ло- I

кальной теории определены пороговые величины. Сравнеиие значений критических чисел Рэлея, полученных в упрощенном почти адиабатическом приближении и приближении Буссинеска, показывает что увеличение точности приближения существенно отражается на величине таких важных параметров конвекции, как критическое число Рэлея. Сохраняя в обоих случаях тенденцию к возрастанию но мере увеличения числа Прандтля, их числовые значения разнятся в некоторых случаях почти на порядок. Выводы и заключение по Главе 4.

1. Показано, что широко используемое приближение Буссинеска не применимо для моделирования конвекции в жидком ядре Земли.

2. Новое приближение, построенное на основе почти адиабатической конвекции в жидком ядре Земли, имеет удобную для аналитического и численного анализа форму уравнений и значительно превосходит по точности широко используемое на данный момент приближение Бус-синеска.

3. Определены значения критических чисел Рэлея для возникновения конвекции в ядре в рамках упрощенного почти адиабатическом приближении.

В заключении приведены следующие основные результаты и выводы:

1. Найденное диффузионное решение задачи о тепломассопередасе в ядре Земли, является первым аналитическим результатом, полученным для соответствующих уравнений неупругого приближения, наиболее точной на сегодняшний день системы уравнений гсодинамо. Оно описывает ситуацию, когда общий тепловой поток из ядра в мантию меньше либо близок к адиабатическому.

2. Зависимости скорости роста и возраста внутреннего ядра, построенные на базе диффузионного решения для различных возможных значений удельного теплового потока из ядра в мантию и скачка массовой доли легкой примеси на границе с внутренним ядром, соответствуют диапазону оценок, приводимых другими авюрами, и дают возможность но мере уточнения параметров легко получить отвечающие им точные значения скорости роста и возраста ядра.

3. Впервые полученное для геофизически значимого профиля плотности асимптотическое решение во внешних сдвиговых слоях течения типа Праудмана-Стювартсона описывает существующие в вязкой жидкости внешнего ядра тонкие структуры, которые могут играть определяющую роль в процессе генерации магнитного поля Земли.

4. Новое приближение, построенное на основе почти адиабатической конвекции в жидком ядре Земли, имеет удобную для аналитического и численного анализа форму уравнений и значительно превосходит по

точности широко используемое на данный момент приближение Бус-синеска, что подтверждается сравнением полученных для этих приближений значений критических чисел Рэлея.

Список публикаций автора по теме диссертации.

• Статьи в рефрерируемых изданиях

1. Старченко С. В., Котельникова М. С. Симметричный тепло-мас-соперенос во вращающемся сферическом слое // ЖЭТФ. 2002. Т. 121,№3. С. 538-520.

2. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Spherically symmetrical heat-mass transfer in decreasing planets cores // 4th International conference "Problems of Geocosmos", Proceedings, Saint-Petersburg, Russia.

2002. К 232-235.

3. Котельникова М. С, Старченко С. В. Тепломассоперенос и дифференциальное вращение в убывающем ядре // Физика Земли.

2003. Ml. С. 54-64.

4. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Typical values, simplified equations and onset of an almost adiabatic geo-convection // 5th International conference "Problems of Geocosmos", Proceedings, Saint-Petersburg, Russia. 2004. P. 303-306.

5. Kotelnikova M. S., Maslov I. V., Starchenko S. V. Asymptotic solution for variable density flow between two concentric differentially rotating spheres // 5th International conference "Problems of Geocosmos", Proceedings, Saint-Petersburg, Rubsia. 2004. P. 371-374.

• Тезисы конференций

1. Котельникова М. С, Старченко С. В. Симметричный тепломас-соперенос и вращение в ядре Земли // Семинар "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", 18-23 октября, 2001, ГФО "Борок", Ярославская обл., Россия: Тезисы докладов. С. 52.

2. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Spherically symmetrical heat-mass transfer in decreasing planets cores // 4th International conference "Problems of Geocosmos", June 3-7, 2002, St.-Petersburg University, St.-Petersburg, Russia: Book of Abstracts. P. 72.

3. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Spherically symmetrical heat-mass transfer in the rotating spherical layer // 4 th International conference "Problems of Gcocosmos", July 22-26, 2002, Granlibakken, Tahoe City, CA, USA: Book of Abstracts. P. 86.

4. Старченко СВ., Котельникова М. С. Возраст твердого ядра Земли и симметричный теиломассоперенос в жидком ядре // Семинар "Палеомагнетизм и магнетизм горных пород", 19-22 октября, 2002, ГФО "Борок", Ярославская обл., Россия: Тезисы докладов. С. 63.

5. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Liquid core's heat-mass transfer, rigid core's age and super-rotation // EGS-AGU-EUG Joint Assembly, April 06-11, 2003, Nice, France: Geophysical Research Abstracts, Vol. 5, SRef-ID: EAE03-A-00185.

6. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Asymptotic solution for compressible How between two concentric differentially rotating spheres // EGU 1st General Assembly, April 25-30, 2004, Nice, France: Geophysical Research Abstracts, Vol. 6, SRcf-ID: EGU04-A- 00703.

7. Starchenko S. V., Kotelnikova M. S. Almost adiabatic convection: typical values, simplified equations and onset // EGU 1st General Assembly, April 25-30, 2004, Nice, France: Geophysical Research Abstracts, Vol. 6, SRef-ID: EGU04-A-00928.

8. Kotelnikova M. S., Maslov I. V., Starchenko S. V. Asymptotic solution for variable density flow between two concentric differentially rotating spheres // 5th International conference "Problems of Geocosmos", May 24-28, 2004, St.-Pctersburg University, St.-Petersburg, Russia: Book of Abstracts. P. 179.

9. Kotelnikova M. S., Starchenko S. V. Typical values, simplified equations and onset of an almost adiabatic geo-convection // 5th International conference "Problems of Geocosmos", May 24-28, 2004, St.-Petcrsburg University, St.-Petersburg, Russia: Book of Abstracts. P. 264

10. Kotelnikova M. S., Maslov I. V., Starchenko S. V. Asymptotic solution for variable density Hew betv/een two concentric differentially rotating spheres // 9th Symposium on the Study of the Earth's Deep Interior,

July 04-09, 2004 , Kongresshaus Garmisch-Partenkirchen, Germany: Book of Abstracts. P. 36

Подписано в печать 9.03. 2005 г. Заказ 94. Формат бумаги 60x84 1/10. 1п.л. Тираж 100 экз._Бесплатно.

Ротапринт Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН 630090, г. Новосибирск, просп. Акад. Лаврентьева, 15.

25,00

i

«I. г

un

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Котельникова, Мария Станиславовна

Введение

1 История проблемы

2 Линейный тепломассоперенос без учета конвекции

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Базовое решение.

2.3 Область применимости решения.

2.4 Сравнение с численными результатами. 2.5 Однородная и ассимптотическая системы.

3 Долговременные осесимметричные течения в ядре Земли

3.1 Долговременное вращение, вызываемое дифференциацией ядра Земли.

3.2 Течение при зависящей от радиуса плотности жидкого ядра.

3.3 Структура течения в сдвиговых слоях.

• 4 Возбуждение почти адиабатической тепловой конвекции

4.1 Предварительные сведения.

4.2 Неприменимость приближения Буссинеска для глубинных недр планет.

4.3 Почти адиабатическое приближение и конвективная система.

4.4 Основные источники конвекции и упрощенная система.

4.5 Локальные пороги возбуждения тепловой конвекции в сфере.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Тепломассоперенос и конвекция для построения самосогласованной модели геодинамо"

Актуальность и научная значимость исследований явлений тепломассо-переноса в жидком ядре Земли связана, в основном, с тем, что термокомпозиционная конвекция считается наиболее вероятным источником энергии для процесса генерации земного магнитного поля. Проблема геодинамо, в свою очередь, является одной из фундаментальных научных задач.

Как известно, явления, связанные с планетарным магнетизмом, непосредственно наблюдаются и используются человечеством не один десяток веков. Но только зародившийся в середине прошлого века палеомагнетизм позволил исчислять уже миллиардами лет доступную нам историю о геомагнитном поле. Накопленный обширный наблюдательный материал, наряду со значительным прогрессом возможностей вычислительной техники, применяемой для моделирования процессов геодинамо, позволили ученым в течении последних лет добиться впечатляющих успехов и существенно приблизиться к решению задачи магнитогидродинамического (МГД) динамо в ядрах планет. Однако окончательно завершенной эту задачу можно будет считать только при наличии МГД модели Земного ядра, которая бы соответствовала наблюдаемым значениям, структуре и длиннопериодным вариациям земного и планетарных магнитных полей.

Для того, чтобы получить такое объяснение нужно решить совместно по крайней мере три сложных системы. Первая - уравнения Максвелла, вторая - уравнения Навье-Стокса и-третья включает в себя уравнение диффузии, теплообмена и концентрации легкой компоненты в жидком ядре. С.И. Брагинский в [9] сравнивает течение в жидком ядре с действующей электростанцией, включающей в себя генератор, двигатель и источник топлива. Кинематическая теория динамо, являющаяся теорией "генератора", показывает, что самовозбуждение магнитного поля при движении сплошной массы проводящей жидкости несомненно возможно. Более того, оно возможно при весьма разнообразных движениях. Поэтому, для выяснения истинного движения в земном ядре необходимо кроме теории земной "ди-намомашины"построить также достаточно развитую теорию "двигателя", который используя "источник топлива"приводит ее в движение.

Решающую роль в формировании нетвердотельного вращения в ядре играет сила Кориолиса, присутствующая во вращающейся с угловой скоростью системе координат. Именно в этой системе координат естественно * описывать структуру МГД-течения во внешнем ядре Земли. Но энергетически течение во внешнем ядре, очевидно, не может поддерживаться силой Кориолиса, не совершающей работы. И хотя в общем проблема гидромагнитного динамо не зависит от знания определенного источника энергии, необходимого для приведения "двигателя"в действие, но в то же время без точного указания на него нельзя считать задачу полностью решенной. Из теорем о невозможности динамо ясно, что поток жидкости должен иметь некоторую радиальную компоненту, что соответствует движению, аналогичному конвекции. Кроме того, в системе токов, возбуждающих поле, должна происходить диссипация энергии в результате омического нагрева. Таким образом, проблема состоит в том, чтобы найти вероятный источник энергии, который мог бы поддерживать такое течение жидкости во внешнем ядре и обеспечивать необходимую мощность на протяжении по крайней мере половины времени существования Земли, t В настоящее время внимание исследователей сконцентрировано на трех возможных источниках энергии: конвективном теплообмене за счет либо первоначального тепла ядра, либо энергии радиоактивности; конвекции, вызванной физическими или химическими процессами на одной из границ внутреннего ядра; потоке жидкости, который приводится в движение гравитационными моментами, создаваемыми Солнцем и Луной относительно

Земли. Последняя теория, некогда активно обсуждаемая в работах Малку-са [80, 81, 82], в настоящее время развивается не столь мощно, как теория термокомпозиционной конвекции, однако возможность такого механизма, по крайней мере как дополнительного, исключать нельзя и работы, исследующие его, продолжают появляться.

Тем не менее, на данный момент именно гипотеза о том, что термокомпозиционная конвекция во внешнем ядре Земли является основным источником энергии для процесса генерации магнитного поля, сталкивается с меньшими трудностями, чем другие и ее можно считать практически общепринятой [93, 65]. Не смотря на отсутствие данных о ряде важных характеристик ядра, особенно о напряженности тороидального поля, коэффициенте вязкости и возможности турбулентного потока, а также трудности построения подробной теории динамо, препятствующие получению определенного ответа на вопрос об источнике энергии, эта гипотеза остается наиболее приемлемой и имеет большое количество косвенных подтверждений.

Механизм поддержания конвекции во внешнем ядре за счет переноса тепла из внутреннего ядра к мантии в процессе тепловой конвекции был постулирован Буллардом [16] в середине прошлого века и использовался в более ранних моделях кинематического динамо [17]. Идея о существовании в жидком ядре альтернативного механизма была высказана спустя примерно 10 лет Брагинским [6], предложившим процесс затвердевания жидкого железа на границе между внутренним и внешним ядром и высвобождение легкой компоненты расплава вещества жидкого ядра в качестве двигателя композиционной конвекции. За прошедшее время исследованию конвекции было посвящено множество работ (например, [24, 43, 60, 92, 32, 48] и т.д.), но в настоящий момент, тем не менее, вопросов остается больше чем ответов и интерес к подобным исследованиям не ослабевает.

Количество энергии, необходимое для поддержания геодинамо, оценивается исходя из омических потерь и по последним данным [30] разброс в этих оценках достаточно велик - от 0.1 • 1012Вт до 3.5 • 1012Вт. Тепловой поток из ядра должен превосходить омические потери примерно в 5-10 раз [13]. Авторы [67, 68, 70, 44, 2], рассматривая термокомпозиционную кон* векцию только как результат остывания ядра, приходят к выводу о необходимости значительного дополнительного источника энергии, в качестве которого предлагается радиоактивный нагрев в результате распада изотопа 40К [86, 45], в противном случае такие рассуждения приводят к требованию нереалистично больших температур в ядре в период до формирования твердого ядра, поскольку возраст внутреннего ядра в таких моделях оценивается в миллиард лет и менее, в то время как магнитным полем Земля обладает по меньшей мере три миллиарда лет, следовательно геодинамо до формирования ядра должно было поддерживаться только за счет тепловой конвекции.

Альтернативную точку зрения предлагают авторы [30], строящие свои оценки термодинамики внутреннего ядра на основе нескольких численных моделей и результатах динамо- экспериментов. Их оценки омических потерь близки к нижней границе, что позволяет обойтись без дополнитель ного радиоактивного нагревания и считать возраст внутреннего ядра сравнимым со временем существования магнитного поля Земли. Такое расхождение во мнениях лишний раз подчеркивает необходимость исследований в области динамо-энергетики и их актуальность.

Благодаря потрясающим успехам в численном моделировании процессов в ядре Земли, которых ученые добились в течении последних десяти лет, были получены ответы на многие вопросы теории динамо, но существую-ф щие численные модели геодинамо не могут быть напрямую использованы для выводов об энергетике этого процесса, поскольку значения физических параметров и приближения, использовавшиеся в этих вычислениях, не соответствуют реальным условиям в ядре [35] и пока не способны разрешать тонкие гидромагнитные внутренние, сдвиговые и пограничные структуры, существующие в планетарных ядрах [101, 103], которые, как предполагат ется, играют ключевую роль в земном и планетарном динамо. Динамика главного поля во многом должна определяться асимптотически тонкими гидромагнитными внутренними, сдвиговыми и пограничными слоями. Наличие, структура и особенности таких слоев в свою очередь определяются взаимодействием крупномасштабных структур - внешнего ядра с мантией и внутренним ядром и возникающим при этом движением жидкости в ядре - сложная система, в основе которой лежит энергетическая возможность для возникновения и поддержания необходимого течения.

В то же время, несмотря на существующие ограничения в компьютерных мощностях, не позволяющие проводить вычисления для значений параметров, близких к земным, численные модели восхитительным образом воспроизводят дипольные поля, сравнимые по силе с магнитным полем Земли, и даже недипольная часть моделируемых полей демонстрирует совпадения с наблюдаемым земным [29, 63]. Это совпадение используется для оценок количества энергии, необходимого для работы геодинамо, на основе которых могут быть сделаны более общие заключения об энергетике происходящих в жидком ядре процессов [131.

Новым и интересным применением численных моделей является разработанный в [30] подход, заключающийся в сравнении законов поведения решений в численных моделях с экспериментальными динамо и экстраполяции проверенных таким образом выводов на земные условия. Он потенциально способен стать очень мощным инструментом для исследования проблемы геодинамо [54], а главное дать дополнительные доказательства адекватности существующих численных моделей реальным процессам в т ядре, но воспользоваться им в полной мере можно будет только после запуска экспериментальных динамо более соответствующих земной геометрии и параметрам в ядре, чем существующие.

Таким образом, на настоящий момент аналитические исследования (приближенные, асимптотические) процесса геодинамо в целом и термокомпозиционной конвекции в ядре как его двигателя остаются важным элементом в построении самосогласованной теории земного динамо.

Цель работы заключалась в исследовании процессов тепломассоперено-са и конвекции в жидком ядре Земли в различных приближениях, с использованием асимптотических подходов. Хотя процессы в ядре, несомненно, описываются в общем случае классическими уравнениями гидродинамики, термодинамики и физической химии, но в контексте геодинамо в разных временных и пространственных масштабах разные явления и процессы играют главенствующую роль и эти масштабы разнятся иногда на несколько порядков. Поэтому применять классические уравнения в их исходном виде к процессам ядре не представляется возможным ни в аналитических, ни в численных исследованиях и в процессе развития теории динамо возникали различные приближения, использующие малые параметры, соответствующие ядру Земли, для создания упрощенных систем уравнений. Исследование возможностей таких приближений, развитие подходов для построения новых, удобных для исследования и адекватных геофизическим процессам, наряду с возможностью дополнить и детализировать описание процессов в ядре, основываясь на решениях приближенных систем уравнений, было основной задачей данной работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Списка литературы (122 наименования). В работе приводится 10 рисунков и 2 таблицы. Общий объем диссертации составляет 103 страницы.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Котельникова, Мария Станиславовна

Заключение

Исследование тепломассопереноса в жидком ядре Земли проведено в данной работе как этап для построения самосогласованной модели геодинамо. Актуальность его обуславливается тем, что термокомпозиционная конвекция, во-первых, является основным источником энергии для процесса генерации магнитного поля и, во-вторых, приводит к формированию во внешнем ядре течений, способствующих этому процессу.

Сформулируем еще раз основные результаты, полученные в настоящем диссертационном исследовании:

1. Найдено диффузионное решение задачи о тепломассопереносе в.ядре Земли, которое является первым аналитическим результатом, нолученным для соответствующих уравнений неупругого приближения, наиболее точной на сегодняшний день системы уравнений геодинамо.

2. Получены оценки скорости роста и возраста внутреннего ядра на базе диффузионного решения для различных возможных значений удельного теплового потока из ядра в мантию и скачка массовой доли легкой примеси на границе с внутренним ядром.

3. Для геофизически значимого профиля плотности впервые получено асимптоти-ческое решение во внешних сдвиговых слоях течения типа Праудмана-Стювартсона, описывающее тонкие структуры в жидкости внешнего ядра, которые могут играть определяющую роль в процессе генерации магнитного поля Земли.

4. Новое приближение, построенное на основе почти адиабатической конвекции в жидком ядре Земли, имеет удобную для аналитического и численного анализа форму уравнений и значительно превосходит по точности широко используемое на данный момент приближение Буссинеска.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Котельникова, Мария Станиславовна, г. Троицк, Московской обл.

1. Alfe D., Kresse G., Gillan, M. J. Structure and dynamics of liquid iron under Earth's core conditions // Phys. Rev. B. 2000. V. 61. P. 132-142.

2. Anderson O. L. The Gruneisen parameter for iron at outer core conditions and the resulting conductive heat and power in the core // Phys. Earth Planet. Inter. 1998. V. 109. P. 179-197.

3. Anufriev A. P., Cupal I. Characteristic amplitudes in the solution of the anelastic geodynamo model // Phys. Earth Planet. Inter. 2001. V. 124. P. 167-174.

4. Anufriev A. P., Hejda P. The influence of a homogeneous magnetic field on the Ekman and Stewartson layers // Stud, geophys. Geodaet. 1998. V. 42. P. 254-260.

5. Blackett P. M. S. The magnetic field of massive rotating bodies // Nature. 1947. V. 159. P. 658-666.

6. Брагинский С. И. О строении слоя F и причинах конвекции в ядре Земли // ДАН СССР. 1963. Т. 149, №6. С. 1311-1314.

7. Брагинский С. И. Геомагнитное динамо // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. №9. С. 74-90.

8. Брагинский С. И. Модель Z геодинамо с внутренним ядром и колебания геомагнитного диполя // Геомагнетизм и Аэрономия. Т. 29. С. 121-126.

9. Braginsky S. I. Towards a realistic theory of the geodynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. V. 60. P. 89-134.

10. Braginsky S. I., Roberts P. H. A model-Z geodynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1987. V 38. P. 327-349.

11. Braginsky S. I., Roberts P. H. Equations governing convection in the Earth's core and the geodynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1995. V. 79. P. 1-97.

12. Buffett B. A. Earth's core and the geodynamo // Science. 2000. V. 288. P. 2007-2012.

13. Buffett B. A. Estimates of heat flow in the deep mantle based on the power requirements of the geodynamo // Geophys. Res. Lett. 2002. V. 29. P. 7-14.

14. Buffett B. A., Bloxham, J. Energetics of numerical geodynamo models // Geophys. J. Int. 2002. V. 149. P. 211-224.

15. Buffett B. A., Huppert H. E., Lister J. R., Woods A. W. On the thermal evolution of the Earth's core // J. Geophys. Res. B. 1996. V. 101. P. 79898006.

16. Bullard E. C. The magnetic field within the Earth // Proc. Roy. Soc. Lond. 1949. V. A107. P. 433-453.

17. Bullard E. C., Gellman H. Homogeneous dynamos and terrestrial magnetism // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1954. V. A247. P. 41-51.

18. Busse F. H. Thermal instabilities in rapidly rotating system //J. Fluid Mech. 1970.' V. 44. P. 441-460.

19. Busse F. H. Core motions and the geodynamo // Rev. Geophys. Space Phys. 1975. V. 13. P. 206-208.

20. Busse F. H. A model of the geodynamo // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1975. V. 42. P. 437-459.

21. Busse F. H. A necessary condition for the geodynamo //J. Geophys. Res. 1975. V. 80. P. 278-280.

22. Busse F. H. Magnetohydrodynamics of the Earth's dynamo // Ann. Rev. Fluid Mech. 1978. P. 435-462.

23. Busse F. H. Some new results on spherical dynamos // Phys. Earth Planet. Inter. 1979. V. 20. P. 152-157.

24. Busse F. H., Grote E., Tilgner A. On convection driven dynamos in rotating spherical shells // Stud. Geophys. Geodaet. 1998. V. 42. P. 211-223.

25. Busse F. H. Convective flows in rapidly rotating spheres and their dynamo action // Phys. Fluids. 2002. V. 14. P. 1301-1314.

26. Chatterjee J. S. Induction in the core by magnetic storms and Earth's magnetism // Sci. Culture. 1956. V. 21. P. 623.

27. Christensen U. R. et al A numerical dynamo benchmark // Phys. Earth and Planet. Inter. 2001. V. 128. P. 25-34.

28. Christensen U. R., Olson P. Secular variation in numerical geodynamo models with lateral variations of boundary heat flow // Phys. Earth Planet. Inter. 2003. V. 138. P. 39-54.

29. Christensen U. R., Olson P., Glatzmaier G. A. A dynamo model interpretation of geomagnetic field structure // Geophys. Res. Lett. 1998. V. 25. P. 1565-1568.

30. Christensen U. R., Tilgner A. Power requirement of the geodynamo from ohmic losses in numerical and laboratory dynamos // Nature. 2004. V. 429. P. 169-171.

31. Cupal I. Ekman layer in 3D-model of the geodynamo // Stud. Geophys. Geodaet. 1998. V. 42. P. 261-271.

32. Cupal I., Hejda P., Reshetnyak M. Dynamo model with thermal convection and free rotating inner core // Planet. Space Sci. 2002. V. 50. P. 1117-1122.

33. Dziewonski A. M., Anderson D. L. Preliminary reference Earth model // Phys. Earth Planet. Inter. 1981. V. 25. P. 297-356.

34. Fearn D. R., Loper D. E., Roberts P. H. Structure of the Earth's inner core // Nature. 1981. V. 292. P. 232-233.

35. Glatzmaier G. A. Geodynamo simulations How realistic are they? // Ann. Rev. Earth Planet. Scien. 2002. V. 30. P. 237-257.

36. Glatzmaier G. A., Clune T. Computational aspects of geodynamo simulations // Сотр. Scien. Engin. 2000. V. 2. P. 61-70.

37. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. V. 91. P. 63-75.

38. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. A three-dimensional self consistent computer simulation of geomagnetic field reversal // Nature. 1995. V. 377. P. 203-209.

39. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. An anelastic evolutionary geodynamo simulation driven by compositional and thermal convection // Physica D. 1996. V. 97. P. 81-94.

40. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. Rotation and magnetism of Earth's inner core // Science. 1996. V. 274. P. 1887-1891.

41. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. Simulating the geodynamo // Contemporary Physics. 1997. V. 38, №4. P. 269-288.

42. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. Dynamo theory then and now // Int. J. Eng. Science. 1998. V. 36. P. 1325-1338.

43. Grote E., Busse F. H. Dynamics of convection and dynamos in rotating spherical fluid shells // Fluid Dyriam. Res. 2001. V. 28. P. 349-368.

44. Gubbins D., Alfe D., Masters G., Price D., Gillan M. Can the Eart's dynamo run on heat alone? // Geophys. J. Int. 2003 V. 155. P. 609-622.

45. Gubbins D., Alfe D., Masters G., Price D., Gillan M. Gross thermodynamics of two-component core convection // Geophys. J. Int. 2004. V. 157. P. 1407-1414.

46. Hejda P., Reshetnyak M. A grid-spectral method of the solution of the 3D kinematic geodynamo with the inner core // Stud. Geophys. Geodaet. 1999. V. 43. P. 319-325.

47. Hejda P., Reshetnyak M. Control volume method for the dynamo problem in the sphere with the free rotating inner core // Stud. Geophys. Geodaet.2003. V. 47. P. 147-159.

48. Hejda P., Reshetnyak M. Control volume method for the thermal convection problem in a rotating spherical shell // Stud. Geophys. Geodaet.2004. V. 48. P. 741-746.

49. Higgins G., Kennedy G. C. The adiabatic gradient and melting point gradient in the core of the Earth // J. Geophys. Res. 1971. V. 76. P. 18701878.

50. Hoffman K. A. Ancient magnetic reversal: clues to the geodynamo // Scient. Am. 1988. V. 258. P. 50-59.

51. Hollerbach R., Jones C. A. Influence of the Earth's inner core on the geomagnetic fluctuations and reversal // Nature. V. 365. P. 541-543.

52. Hollerbach R., Jones C. A. A geodynamo model incorporating a finitely conducting inner core // Phys. Earth Planet. Inter. 1993. V. 75. P. 317-327.

53. Holme R. Optimised axially-symmetric kinematic dynamos // Phys. Earth Planet. Inter. 2003. V. 140. P. 3-11.

54. Holme R. A fuel-efficient geodynamo? // Nature. 2004. V. 429. P. 137.

55. Jones C. A. Convection-driven geodynamo models // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 2000. V. 358. P. 873-897.

56. Jones С. A., Soward A. M., Mussa A. I. The onset of thermal convection in a rapidly rotating sphere // J. Fluid Mech. 2000. V. 405. P. 157-179.

57. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М.: Атомиздат, 1978. 142 с.

58. Kennedy G. С., Higgins G. Н. The core paradox // J. Geophys. Res. 1973. V. 78. P. 900-904.

59. Kennet B. L. N., Engdahl E. R., Buland R. Constraints on seismic velocities in the Earth from travel-times // Geophys. J. Int. 1995. V. 122. P.108-124.

60. Kida S., Kitauchi H. Thermally driven MHD dynamo in a rotating * spherical shell // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1998. V. 130. P. 121-136.

61. Kleeorin N., et al. Axisymmetric flow between differentially rotating spheres in a dipole magnetic field //J. Fluid Mech. 1997. V. 344. P. 213-244.

62. Kono M., Roberts P. H. Recent geodynamo simulations and observations of the geomagnetic field // Rev. Geophys. 2002 V. 40. P. B1-B46.

63. Kuang W. J., Bloxham J. An Earth-like numerical dynamo model // Nature. 1997. V. 389. P. 371-374.

64. Kuang W. J., Bloxham J. Numerical dynamo modelling: comparison with the Earth's magnetic field // The Core-Mantle Boundary Region, Geodynamics Series 28. 1998. Gurnis M., et al. (Eds.), AGU, Washington, DC, P. 197-208.

65. Kutzner C., Christensen U. R. Effects of driving mechanisms in geodynamo . models // Geophys. Res. Lett. 2000. V. 27. P. 29-32.

66. Kutzner C., Christensen U. R. From stable dipolar towards reversing numerical dynamos // Phys. Earth Planet. Inter. 2002. V. 131. P. 29-45.

67. Labrosse S. Hotspots, mantle plumes and core heat loss // Earth Planet. Scien. Lett. 2002. V. 199. P. 147-156.

68. Labrosse S. Thermal and magnetic evolution of the Eart's core // Phys. Earth Planet. Inter. 2003. V. 140. P. 127-143.

69. Labrosse S., Macouin M. The inner core and the geodynamo // Сотр. Rend. Geosc. 2003. V. 335. P. 37-50.

70. Labrosse S., Poirier J.-P., Le Mouel J.-L. On cooling of the Earth's core // Phys. Earth Planet. Inter. 1997. V. 99. P. 1-17.

71. Labrosse S., Poirier J.-P., Le Mouel J.-L. The age of the inner core // Earth Planet. Scien. Lett. 2001. V. 190. P. 111-123.щ 72. Ландау Jl. Д. , Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 733 с.

72. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? // Rep. Br. Adv. Sci. A. 1919. P. 159-160.

73. Lister J. R., Buffett B. A. The strength and efficiency of thermal and compositional convection in the geodynamo // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. V. 91. P. 17-30.

74. Longbottom A. W., Jones C. A., Hollerbach R. Linear magnetoconvection in a rotating spherical shell, incorporating a finitely conducting inner core // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1995. V. 80. P. 205-227.

75. Loper D. E. The gravitationally powered dynamo // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1978. V. 54. P. 389-404.

76. Loper D. E. Structure of the inner core boundary // Geophys. Astrophys. ^ Fluid Dynam. 1983. V. 25. P. 139-155.

77. Loper D. E. A model of the dynamic structure of Earth's outer core // Phys. Earth Planet. Inter. 2000. V. 117. P. 179-196.

78. Loper D. E., Roberts P. H. Are planetary dynamos driven by gravitational settling? // Phys. Earth Planet. Inter. 1979. V. 20. P. 192-193.

79. Malkus W. V. R. Precessional torques as the cause of geomagnetism //J. Geophys. Res. 1963. V. 68. P. 2871-2886.

80. Malkus W. V. R. Precession of the Earth as the cause of geomagnetism // Science. 1968. V. 160. P. 259-264.

81. Malkus W. V. R. An experimental study of global instabilities due to the tidal (elliptical) distortion of a rotating elastic cylinder // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1989. V. 48. P. 123-134.

82. Merkel S., Goncharov A. F., Mao H.-K., Gillet Ph., Hemley, R. J. Raman spectroscopy of iron to 152 gigapascals: Implications for Earth's inner core // Science. 2000. V. 288. P. 1626-1629.

83. Merril R. Т., McFadden P. L. Dynamo theory and paleomagnetism // J. Geophys. Res. B. 1995. V. 100. P. 317-326.

84. Никитина JI. В., Рузмайкин А.А. Течение внутри Земли Создаваемое относительным вращением мантии и твердого ядра // Геомагнетизм и Аэрономия. Т. 30. С. 127-131.

85. Nimmo F., Price G.D., Brodholt J., Gubbins D. The influense of potassium on core and geodynamo evolution // Geophys. J. Int. 2004. V. 156. P. 363376.

86. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. М: Мир, 1986. 527 с.

87. Proudman I. The almost rigid rotation of a viscous fluid between concentric spheres //J. Fluid Mech. 1956. V. 1. P. 505-516.

88. Roberts P. H. Future of geodynamo theory // Geophys. Astrophys. Fluid Mech. 1988. V. 44. P. 3-31.

89. Roberts P. H., Glatzmaier G. A. Geodynamo theory and simulations // Rev. Mod. Phys. 2000. V. 72. P. 1081-1123.

90. Roberts P. H., Jones C. A., Calderwood A. R. Energy fluxes and ohmic dissipation in the Earth's core // Earth's core and lower mantle. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang (Eds.). Gordon and Breach, 2001.

91. Rotvig J., Jones C. A. Rotating convection-driven dynamos at low Ekman number // Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 1-15.

92. Ruff L., Anderson D.L. Core formation, evolution and convection: a geophysical model // Phys. Earth Planet. Inter. 1980. V. 21. P. 181-201.

93. Рузмайкин А. А. Крупномасштабное течение в Земном ядре // Геомагнетизм и Аэрономия. 1990. Т. 29. С. 299-303.

94. Sarson J. R., Jones С. A. A convection driven geodynamo reversal model // Phys. Earth Planet. Inter. 1999. V. 111. P. 3-20.

95. Selkin P. A., Tauxe L. Long-term variations in palaeointensity // Phil. Trans. R. Soc. bond. A. 2000. V. 358. P. 1065-1088.

96. Smylie D. E. Viscosity near Earth's solid inner core // Science. 1999. V. 284. P. 461-463.

97. Soward A.M. A convection driven dynamo I. Weak-field case // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. Ser. A. 1974. V. 275. P. 611-651.

98. Soward A.M. Convection driven dynamos // Phys. Earth Planet. Inter. 1979. V. 20. P. 134-151.

99. Soward A.M. The Earth dynamo // Geophys. Astrophys. Fluid Mech. 1991. V. 62. P. 191-209.

100. Старченко С.В. Базовые МГД состояния ядра Земли // ДАН. 1996. Т. 348, №5. С. 677-680.

101. Старченко С. В. Магнитогидродинамика вязкого сферического слоя, вращающегося в сильном потенциальном поле // ЖЭТФ. 1997. Т. 112, т. С. 1-23.

102. Старченко С.В. Суперкритическая конвекция при сверхбыстром МГД-вращении // ЖЭТФ. 1999. Т. 115, №5. С. 1708-1720.

103. Starchenko S. V. Supercritical magneto-convection in rapidly rotating planetary cores // Phys. Earth Planet. Inter. 2000. V. 117. P. 225-235.

104. Starchenko S. V. Anelastic planetary magnetohydrodynamics // NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. 2001. V. 26. P. 217224.

105. Starchenko S. V. Gravitational differentiation in the planetary cores // Russ. J. Earth Sci. 2003. V. 5. P. 431-438.

106. Starchenko S. V., Jones C. A. Typical velocities and magnetic field strengths in planetary interiors // Icarus. 2002. V. 157. P. 426.

107. Stevenson D. J. Interiors of the giant planets // Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 1982. V. 10. P. 257-295.

108. Stevenson D. J., Spohn Т., Schubert G. Magnetism and thermal evolution of the terrestrial planets // Icarus. 1983. V. 54. P. 466-489.

109. Stewartson K. On almost rigid rotations // J. Fluid Mech. 1957. V. 3. P. 299-303.

110. Stewartson K. On almost rigid rotations. Part 2 // J. Fluid Mech. 1966. V. 26. P. 131-144.

111. Taylor J. B. The magnetohydrodynamics of a rotating fluid and the Eart's dynamo problem // Proc. Roy. Soc. Lond. Ser. A. 1963. V. 274. P. 274-283.

112. Verhoogen J. Heat balance of the Earth's core // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. 1961. V. 4. P. 276-281.

113. Wicht J. Inner-core conductivity in numerical dynamo simulation // Phys. Earth Planet. Inter. 2002. V. 132. P. 281-302.

114. Wijs G. A., et al. The viscosity of liquid iron at the physical conditions of the Earth's core // Nature. 1998. V. 392. P. 805-807.

115. Yukutake T. The inner core and the surface heat flow as clues to estimating the initial temperature of the Earth's core // Phys. Earth Planet. Inter. 2000. V. 121. P. 103-137.

116. Zeytounian R. Kh. Joseph Boussinesq and his approximation: a contemporary view // Сотр. Rend. Mech. 2003. V. 331. P. 575-586.

117. Старченко С. В., Котельникова М. С. Симметричный тепло-массоперенос во вращающемся сферическом слое // ЖЭТФ. 2002. Т. 121, т. С. 538-520.

118. Kotelnikova М. S., Starchenko S. V. Spherically symmetrical heat-mass transfer in decreasing planets cores // 4th International conference "Problems of Geocosmos", Proceedings, Saint-Petersburg, Russia. 2002. P. 232-235.

119. Котельникова M. С., Старченко С. В. Тепломассоперенос и дифференциальное вращение в убывающем ядре // Физика Земли. 2003. №11. С. 54-64.

120. Kotelnikova М. S., Starchenko S. V. Typical values, simplified equations and onset of an almost adiabatic geo-convection // 5th International conference "Problems of Geocosmos", Proceedings, Saint-Petersburg, Russia. 2004. P. 86-89.