Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям"

,На правах рукописи

ЖЕЛИГОВСКИЙ Владислав Александрович

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОЙ И СЛАБО НЕЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

Специальность 25.00.10- "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2008

003473258

Работа выполнена в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Соколов Дмитрий Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Старченко Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Трубицын Валерий Петрович

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН

Защита состоится ! 25 ИЮНЯ 2009 г. в 11,00 в зале заседаний МИТП РАН на заседании диссертационного совета Д 002.118.01 при Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН по адресу: Москва 117997, Профсоюзная ул., 84/32.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Автореферат разослан 29 декабря 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

П.Н.Шебалин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Особенности вариации магнитных попей Земли и Солнца указывают на динамический характер их происхождения. С развитием теории гидромагнитного динамо ответ на фундаментальный вопрос современной астрофизики об источнике магнитного поля подобных космических объектов стало принято давать в рамках этой теории. Вопрос о возможности генерации магнитного поля имеет также и практическую важность в приложении к течениям расплавов в охлаждающих системах ядерных реакторов атомных электростанций. Идея Е.Паркера о генерации среднего магнитного поля турбулентным течением проводящей жидкости с полем скорости, не обладающим отражательной симметрией и имеющим ненулевую спиральность, физически обосновывает возможность появления магнитного а—эффекта и лежит в основе теории магнитной гидродинамики средних полей, демонстрируя плодотворность концепции разделения масштабов в приложении к теории магнитного динамо.

Современные компьютеры не позволяют проводить расчеты с разрешением, достаточным для значений параметров, характеризующих конвекцию во внешнем ядре Земли. Так, известные расчеты Дж.Глатцмайера выполнены для чисел Тейлора и Экмана порядка 103 и Ю-4 — Ю-6, что на порядки величин отличается от их оценок для ядра Земли, ~ 109 и ~ Ю-8 — Ю-15. Даже если конвекцию в присутствии магнитного поля рассматривают для исследования магнитного поля конкретного астрофизического объекта, ее необходимо изучать в целой области в пространстве параметров, так как реологические соотношения и величины параметров внутри объекта обычно известны только приближенно. Эхо невозможно сделать чисто численно из-за огромного объема требуемых вычислений. Следовательно, определенную ценность имеют аналитические и аналити-ко-вычислительные подходы, - как например, в исследованиях С.И.Брагинского и Э.Соуорда, которые определили асимптотическими методами величину а—эффекта в исследованных ими МГД системах.

Возможность роста магнитного поля, поддерживаемого движением расплавленного металла, подтверждена экспериментально. Эксперименты характеризуются наличием в МГД системах разных пространственных

масштабов - вследствие поддержания в установке определенного искусственного течения, как в экспериментах в Саласпилсе и Карлсруэ, или из-за наличия в объеме расплава металла развитой турбулентности.

Геодинамо также характеризуется наличием структур, имеющих иерархию пространственных масштабов. Примером таких контрастных структур служит пограничный слой Экмана, возникающий в конвективных потоках вращающейся жидкости с прилипанием на границе. Топографическое взаимодействие ядра и мантии осуществляется посредством неровностей на границе их раздела, размеры которых не превышают 5 км, что мало по сравнению с радиусом жидкого ядра, 3486 км. Разделение масштабов имеет место и в объеме, где происходит конвекция. Например, в геострофических потоках в быстро вращающихся сферических или цилиндрических слоях течение жидкости образует колонны Тейлора, параллельные оси вращения; их ширина значительно меньше размеров контейнера, содержащего жидкость. Узкие валы возникают в тепловой конвекции жидкости в горизонтальном слое, быстро вращающемся относительно вертикальной оси, и в магнитоконвекции с сильным наложенным магнитным полем. Наличие иерархии пространственных масштабов, между которыми происходит взаимодействие (явления прямого и обратного каскада энергии и перемежаемости), присуще турбулентности, играющей важную роль в процессах генерации.

Таким образом, актуальна проблема аналитического и численного решения задач о генерации магнитного поля в различных МГД системах с разделением масштабов.

Цель работы состояла в аналитическом и численном исследовании устойчивости МГД систем с учетом наличия в них иерархии пространственных и временных масштабов, а также факторов, важных для reo- и астрофизических приложений - таких, как вращение, - посредством решения модельных задач линейной и слабо нелинейной МГД устойчивости по отношению к возмущениям, имеющим большие масштабы.

Методология. Для достижения поставленной цели в диссертации предложено применять для решения основополагающих уравнений, описывающих процессы генерации магнитного поля, гибридные аналитико-вычислительные методы. Ввиду наличия и в природных астрофизических

динамо, и в экспериментальных установках иерархии пространственных и временных масштабов, при математическом рассмотрении возникающих прикладных задач магнитной гидродинамики естественно использовать аналитические методы осреднения уравнений в частных производных. Применение асимптотических методов теории осреднения в многомасштабных системах позволяет математически строго, без привлечения каких-либо эмпирических соотношений для замыкания, вывести амплитудные уравнения (в некоторых случаях они имеют смысл уравнений средних полей), описывающие поведение системы на длинных масштабах, в которых влияние короткомасштабной динамики описывается новыми слагаемыми (по аналогии с гидродинамикой обычно называемыми вихревыми поправками) с усредненными коэффициентами.

Вычисление этих коэффициентов сводится к численному решению систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных по быстрым переменным - так называемых вспомогательных задач. Данные во вспомогательных задачах имеют единственный характерный пространственный масштаб - тот же самый, что и исследуемое на устойчивость состояние. Таким образом, асимптотические методы для задач со многими масштабами предоставляют возможность разделить длинно- и коротко-масштабную динамику (при условии, что последняя в некотором смысле однородна). Соответственно, в вычислениях отпадает необходимость использовать разрешение, позволяющее с достаточной точностью представить всю иерархию больших и малых масштабов. Это является очень важным преимуществом рассматриваемого комбинированного аналитико-вычислительного подхода, поскольку дает возможность проводить расчеты процессов генерации магнитного поля без привлечения чрезмерных вычислительных ресурсов.

Цель работы определила постановку задач:

- построение асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов магнитных мод и инкрементов их роста в задаче о генерации в кинематическом режиме магнитного поля, имеющего большие пространственные масштабы, пространственно-периодическими центрально-симметричными течениями проводящей жидкости, стационарными или периодическими по времени;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора магнитной вихревой диффузии величин коэффициента магнитной вихревой (турбулентной) диффузии для ансамблей стационарных и периодических по времени потоков, моделирующих турбулентные течения проводящей жидкости в пространстве, а также для конвективных план-форм в горизонтальном слое;

- вывод уравнений, определяющих главные члены асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов мод линейной устойчивости и инкрементов их роста, а также слабо нелинейных возмущении, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче об устойчивости процесса генерации магнитного поля в трехмерном пространстве;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии коэффициента вихревой диффузии для ансамблей стационарных МГД конфигураций, моделирующих турбулентные МГД состояния проводящей жидкости в пространстве;

- вывод уравнений средних полей и амплитудных уравнений для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче о слабо нелинейной устойчивости МГД режимов вынужденной и свободной Бус-синесковой конвекции проводящей жидкости в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси, для отдельно рассматриваемого режима и для ветвей режимов вблизи точек бифуркаций с потерей симметрий;

- расчет конвективных гидромагнитных режимов во вращающемся относительно вертикальной оси слое жидкости, устойчивых к короткомас-штабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, к которым применима построенная в диссертации теория слабо нелинейных длинномасштабных возмущений.

Новые научные результаты и положения, выносимые на защиту, - аналитическое и численное решение следующих задач МГД устойчивости к длинномасштабным возмущениям: Задачи линейной устойчивости:

г. О кинематическом динамо для стационарного периодического в пространстве течения;

п. О кинематическом динамо для периодического в пространстве и вре-

мени течения;

т. О кинематическом динамо для конвективных план-формы в слое; т. Об устойчивости стационарных периодических МГД режимов в пространстве.

Задачи слабо нелинейной устойчивости: V. МГД режимов в пространстве;

гл". режимов вынужденной гидромагнитной конвекции в горизонтальном слое вращающейся жидкости;

ьп. режимов свободной гидромагнитной конвекции в горизонтальном слое вращающейся жидкости.

Под аналитическим решением мы понимаем вывод замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных по медленным переменным для главных членов разложения полей возмущений в степенные ряды по малому параметру - отношению характерных пространственных масштабов (задачи i — гш), и определение всех членов рядов в задачах линейной устойчивости при наличии существенного а—эффекта (задача ¿и) и его отсутствии (задачи г — ги). Численный анализ состоял в разработке методов вычисления решений вспомогательных задач и расчета вихревых коэффициентов, в численном определении статистики встречаемости эффекта отрицательной вихревой вязкости для модельных течений и МГД состояний, а также в исследовании зависимости минимальной вихревой диффузии от различных параметров.

Научная новизна. В настоящей работе впервые:

- в задачах линейной и слабо нелинейной устойчивости различных МГД систем выведены уравнения средних полей для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, и построено решение задач о линейной устойчивости во всех порядках;

- численно показано, что в значительной доли модельных МГД систем развивается длинномасштабная неустойчивость в результате действия механизма отрицательной комбинированной вихревой диффузии; наличие мелких масштабов благоприятно для генерации магнитного поля, а появлению отрицательной магнитной вихревой диффузии способствует стационарность потока проводящей жидкости;

- найдено, что при рассмотрении возмущений МГД режимов, сим-

метричных относительно вертикальной оси, а—эффект несущественен в главном порядке;

- выведены замкнутые системы уравнений средних полей и амплитудных уравнений в задаче о слабо нелинейной устойчивости к возмущениям, имеющим большие пространственные масштабы, вынужденных и свободных конвективных гидромагнитных режимов проводящей жидкости в слое, вращающемся относительно вертикальной оси;

- показано, что, в отсутствие существенного а—эффекта в главном порядке, уравнения средних полей возмущений обобщают обычные уравнения магнитогидродинамики: кроме обычных, в них присутствуют операторы, отвечающие как ранее известным физическим эффектам (вихревой диффузии и адвекции, вблизи точки потери симметрии возмущаемого поля - а—эффекту), так и не рассматривавшимся ранее (описываемым нелокальными операторами); при рассмотрении вилочной бифуркации с потерей симметрии уравнения средних полей дополняются уравнением для амплитуды короткомасштабной моды, имеющей кубическую нелинейность; кубическая нелинейность присутствует также в системе амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений стационарных режимов, симметричных относительно вертикальной оси или центра, свободной тепловой гидромагнитной конвекции.

Практическая значимость работы. Полученные в ходе проведенных исследований результаты существенно развивают теорию магнито-гидродинамической устойчивости, и, в частности, теорию генерации магнитного поля, что может быть охарактеризовано как новое крупное научное достижение. Идентификация в настоящей работе новых типов физических эффектов, действующих на усредненные поля возмущений, расширяет представления о процессах развития длинномасштабной гидродинамической и МГД неустойчивости и позволяет лучше понять их механику. Результаты работы будут использованы при построении моделей земного и солнечного магнетизма, а также для анализа длинномасштабной неустойчивости процессов в различных экспериментальных и технологических установках, где используются конвективные течения в плоском слое жидкости с возможным наличием магнитных полей и вращения. Методы, развитые в диссертации, и полученные результаты имеют боль-

шую степень общности и применимы для решения широкого спектра задач определения "эффективных" величин параметров, описывающих свойства композитных материалов, что особенно практически важно в применении к моделированию поведения многокомпонентных материалов, являющихся продуктом нанотехпологий.

Выведенные в работе точные аналитические выражения для операторов, описывающих а—эффект и комбинированную вихревую диффузию, должны воспроизводиться при приложении к рассмотренным задачам алгоритмов, предлагаемых в рамках метода крупных вихрей, и, тем самым, их можно использовать для тестирования этих новых алгоритмов.

Предложенные методы экономного вычисления коэффициентов вихревой (турбулентной) диффузии и адвекции в МГД системах также прило-жимы для вычисления коэффициентов других слагаемых, возникающих в уравнениях средних полей для усредненного линейного или слабо нелинейного возмущения. Они позволяют в несколько раз снизить объем вычислений, необходимых для определения этих коэффициентов.

Эти методы реализованы в виде ряда программ расчета магнитной и комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Программы написаны на ядре нормативного диалекта языка ФОРТРАН-95 и обладают большим быстродействием благодаря использованию разработанных математических алгоритмов и тщательной оптимизации на уровне программирования.

Выполнение работы. Работа над диссертацией проводилась в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Основные расчеты были выполнены автором во время научных визитов автора в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).

Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 34 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в реферируемых международных и российских журналах. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики

МГУ, Института математических паук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2006 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нордита, Копенгаген, Дания, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дарэма, Великобритания, 2002 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003, 2005, 2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999 г.).

Личный вклад автора. Постановка задач, решенных в диссертации, за исключением задачи, рассмотренной в главе 1, принадлежит автору диссертации. В решении задач, представленных в главах 1 и 2 [1, 2], (также как в статьях с соавторами [7, 14, 17, 18] на связанные с диссертационной работой темы) математический анализ (построение решений в виде асимптотических разложений), разработка алгоритмов численного решения (вычисления решений вспомогательных задач и коэффициентов тензора вихревой магнитной вязкости), и часть программирования выполнены автором диссертации. Результаты, изложенные в главах 3-7 и приложении, получены автором диссертации единолично.

Структура работы. Диссертация общим объемом 339 машинописных страниц состоит из оглавления, введения, 7 глав, заключения, списка литературы (294 работы) и приложения. В диссертации 3 таблицы и 28 рисунков.

Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.И.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за их постоянную поддержку в работе; члену-корреспонденту АН

Франции профессору У.Фршпу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; члену Королевского Общества Великобритании М.Проктору, профессорам Э.Гильберту, К.Джонсу и К.Жангу за многочисленные обсуждения; доктору С.Гама за плодотворное сотрудничество; своим аспирантам в Университете Порто М.Балтиста и Р.Чертовских за неиссякающий энтузиазм; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за творческую атмосферу и постоянную поддержку; наконец, в последнюю очередь по порядку, но не по значимости, своей жене к.ф.-м.н. О.М.Подвигиной за постоянное содействие. Автор также благодарен Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование его неоднократных визитов в научные центры этих стран. Основная часть вычислений сделана автором диссертации в Обсерватории Лазурного берега с исцользованием вычислительных средств, предоставленных в рамках Программы "Simulations Interactives et Visualisation en Astronomie et Mécanique (SIVAM)" (Интерактивное моделирование и визуализация в астрономии и механике) и следующей фазы этой Программы "Mésocentre SIGAMM". Работа частично финансировалась РФФИ (грант 04-05-64699).

Содержание работы

Во введении объяснено, что иерархия масштабов - характерное свойство геодинамо, и кратко изложены вытекающие отсюда сложности, возникающие при попытке прямого численного моделирования генерации магнитного поля движением проводящей среды в геофизике. Приведен краткий обзор научной литературы, посвященной изучению многомасштабных гидродинамических и МГД систем.

В главе 1, следуя [1], построены асимптотические разложения длин-номасштабных магнитных мод, генерируемых короткомасштабными стационарными пространственно-периодическими течениями проводящей жидкости, и их инкрементов роста в степенные ряды

оо

11=£Ьпе", (1)

п=0

со

А - Е А»б" (2)

п=1

по отношению пространственных масштабов е в предположении, что длин-номасштабная магнитная мода h(X, х) соленоидальна, глобально ограничена и зависит от быстрых пространственных переменных х и медленных переменных X = ex.

Выведены замкнутые уравнения для главных членов рядов (1)-(2). В ситуации общего положения они имеют вид

Vx х ¿(V х (S* + еОИМ» = ММ (3)

к=1

(здесь (■) обозначает усреднение по быстрым пространственным переменным, соленоидальные векторные поля Sjt(x) - решения вспомогательных задач I типа). Матрицу (V х (S^ + efc)) называют магнитным а—тензором, а оператор в левой части (3) - оператором магнитного а—эффекта. Его спектр симметричен относительно мнимой оси: если ho(X) - собственный вектор, отвечающий собственному значению Ai, то ho(—X) - собственный вектор, отвечающий собственному значению —Ai- Значит, либо все Aj чисто мнимые (исключительный случай), либо есть собственное значение с положительной действительной частью. Таким образом, в ситуации общего положения имеет место случай динамо со сверхэкспоненциальным ростом магнитного поля.

Интересно, что популярная гипотеза о пропорциональности величины а—эффекта спиральности течения (V • (V X V)) не подтверждается. Выведенная точная формула для а—тензора также не сводится к эвристическим выражениям, предложенным разными авторами в связи с проблемой "подавления а—эффекта" (a—quenching).

Показано, что при отсутствии а—эффекта возникает явление магнитной вихревой диффузии. Магнитный о—тензор равен нулю, если, например, течение центрально-симметрично: V(x) = —У(—х). Такие течения -достаточно реалистичная модель турбулентных потоков (усредненных по времени), поскольку центральная симметрия согласована с уравнениями Навье-Стокса; она может быть нарушена в результате неустойчивостей, однако тогда можно ожидать, что соответствующий гидродинамический аттрактор "в среднем" будет ею обладать. При отсутствии а—эффекта

= 0, и уравнение для главных членов принимает вид

+ Ух х £ £ = Л2(Ьо), (4)

к=1 т=1 ОЛт

= (V х г™*). (5)

Здесь Гть(х) - решения вспомогательных задач II типа. Оператор в левой части (4) содержит производные только второго порядка и поэтому интерпретируется как оператор магнитной вихревой диффузии, как правило не анизотропной. Он не обязательно отрицательно определен; если у него есть собственные значения с положительной действительной частью, говорят о явлении отрицательной магнитной вихревой диффузии.

Собственные функции оператора магнитной вихревой диффузии, определенные и ограниченные во всем пространстве медленных переменных, -гармоники Фурье

(Ьо> = Ье'ч'х, (6)

где постоянные трехмерные векторы й и единичный волновой вектор q удовлетворяют соотношениям

3 3

- т;|я|2Ь - я х £ £ От4Ь4Чт = А2Ь, Ь • Ч = 0. (7)

к-1 т-1

Для центрально-симметричных течений найдены все члены разложений (1)-(2). Показано, что Ь„ центрально-антисимметричны при четных п, и центрально-симметричны при всех нечетных п, и Л2„+1 = 0, т.е. (2) - ряд по степеням е1. Зависимость И„ от медленных переменных выражается сомножителем е'ч'х.

Изучены свойства ядра короткомасштабного оператора магнитной индукции и получены условия разрешимости вспомогательных задач для неособых величин молекулярной диффузии ц.

Численно исследована распространенность явления отрицательной магнитной вихревой диффузии у = тт;ч|^(—Не Аг(я)) для двух ансамблей центрально-симметричных короткомасштабных течений, сконструированных из гармоник Фурье со случайными амплитудами и заданным законом затухания энергетического спектра Ек'■ быстрым, Ек ~ , и медленным, Ек ~ 1 /К (см. табл. 1); среднеквадратичная скорость

равна 1. Для каждой рассмотренной пары {г1,У) проверено (программой [13]), что инкремент роста доминирующей короткомасштабной магнитной моды с нулевым средним отрицателен (см. рис. 1).

Показало, что с уменьшением т) растут вероятности того, что вихревая поправка магнитной диффузии и вихревая диффузия отрицательны. Течения с экспоненциальным затуханием спектра сильнее понижают молекулярную диффузию, чем течения с гиперболическим затуханием; это указывает на большую важность для отрицательности вихревой поправки гармоник с низкими волновыми числами в поле скорости, чем с относительно высокими. На рис. 1 при т] = 0.1 видно несколько больших по величине < 0; объяснен механизм их появления.

Численно исследована генерация магнитного поля для конечного отношения масштабов (т.е. без перехода к асимптотическому пределу е —► 0). Вычислен инкремент роста доминирующих магнитных мод е,£Ч'хЬ(х) для четырех течений с гиперболическим энергетическим спектром, для которых т/иМу < 0 (см. рис. 2). Если т?еаау < 0, то генерация имеет место при любом достаточно малом е; при больших е ее может не быть. При е —► 0 вычисленные инкременты роста демонстрируют параболическое поведение в согласии с (2) при Ао = Ах = 0. В расчетах с е = 1/2 для 30 реализаций из ансамбля течений с гиперболическим затуханием энергетического спектра в 70% случаев увеличение периода магнитного поля вдвое привело к уменьшению критического магнитного числа Рейнольдса начала генерации, определенного по характерному пространственному масштабу магнитного поля.

Таким образом, в различных численных экспериментах показано, что для генерации магнитного поля благоприятно даже незначительное разделение пространственных масштабов магнитного поля и течения.

Исследование, подобное изложенному в главе 1, желательно провести для нестационарных турбулентных потоков, однако эта задача требует больших вычислительных ресурсов. Следуя [2], в главе 2 рассмотрен "промежуточный" класс короткомасштабных течений, периодических по времени и пространству. Такие течения можно считать более точной моделью турбулентных, чем стационарные, рассмотренные в главе 1. Для де-

Рис. 1: г/е<Ыу (вертикальная ось) и инкремент роста доминирующей корот-комасштабной магнитной моды (горизонтальная ось) для г/ = 0.3 (точки), 0.2 (плюсы) и 0.1 (треугольники) для ансамблей из 100 потоков с экспоненциальным, £ = 2/3, (а) и гиперболическим (Ь) затуханием энергетического спектра.

Таблица 1. Статистика в рассмотренных ансамблях течений.

Экспоненциальный спектр Гиперболический спектр

/7 = 0.3 // = 0.2 // = 0.1 /? = 0.3 // = 0.2 ?7 = 0.1

Ле г)Шу < 0 0% 18% 86% 0% 4% 53%

Не 1]сцу < г] 83% 96% 98% 30% 63% 94%

1шЛ2 ,¿0 7% 2% 2% 8% 5% 3%

Рис. 2: Максимальный инкремент роста магнитных мод (вертикальная ось) как функция отношения масштабов е (горизонтальная ось) для одной из реализаций течения с гиперболическим энергетическим спектром.

тального численного изучения кинематической генерации магнитного поля выбраны простейшие центрально-симметричные бездивергентные корот-комасштабные течения

У(х,г) = и(х) + ^/йСУ^созиЦ-У^втиЛ), (8)

для которых возникают эффекты, характерные для течений с периодической зависимостью от времени более общего вида.

Магнитная мода Ь(х, ¿) - решение задачи Флоке для оператора магнитной индукции

МЪ = + Т/У2Ь + V X (V х Ь) = ЛЬ.

Рассматриваем соленоидалыгые глобально ограниченные длинномасштаб-ные магнитные моды (1), имеющие такие же периоды в пространстве (но я;) и по времени I, как и течение (Ьп зависит от X, х и £).

Вывод уравнения среднего поля и осредненного оператора магнитной вихревой диффузии для произвольного центрально-симметричного периодического течения аналогичен выводу для стационарного течения, приведенному в главе 1. В силу центральной симметрии потока а—эффект отсутствует. Показано, что (Ьо) не зависит от времени. Уравнение среднего поля имеет вид (4), а элементы тензора коррекции магнитной вихревой диффузии - (5) (с заменой усреднения на пространственно-временное). Магнитные моды, равномерно ограниченные в пространстве медленных переменных, задаются соотношениями (6), (7). Как и для стационарных течений, г]еМу может принимать аномально большие по модулю отрицательные значения, если магнитное число Рейнольдса близко к критическому значению начала генерации короткомасштабного магнитного поля. Построены полные асимптотические разложения магнитных мод в терминах коэффициентов рядов Фурье магнитной моды по времени. Как и для стационарных течений, Ь„ центрально-антисимметричны по быстрым переменным при четных п, и центрально-симметричны при нечетных п; в ряду (2) отсутствуют нечетные степени е.

Рассмотрены математические вопросы разрешимости вспомогательных задач для неособых величин т]. При использовании соотношений (5) для вычисления элементов тензора магнитной вихревой диффузии необходимо решить 12 вспомогательных задач вида М% = f (3 задачи I и 9 II типов). Разработан метод вычисления элементов тензора магнитной вихревой диффузии [4], требующий численно решить вдвое меньшее число вспомогательных задач такой же сложности (переносимый без изменений на случай стационарного поля скорости V), предусматривающий решение вспомогательных задач для сопряженного оператора вместо задач II типа. Число вспомогательных задач можно уменьшить еще вдвое - их решения представлены в терминах решений трех уравнений 4 порядка; они, однако, вычислительно более сложны, чем любая из вспомогательных задач.

Проведены расчеты длинномасштабных магнитных мод для течений (8) с экспоненциально затухающим энергетическим спектром полей и, Ус и V,, нормализованных условиями

(№ + \ (1УС|2 + |У8|2) = 1, (|УС|2) = (IV,I2). (9)

Даже для простой зависимости от времени (8) вычисление занимает много времени, поэтому собрать подробную статистику по большому числу реализаций течений не представляется возможным. Ввиду случайного выбора амплитуд гармоник Фурье можно тем не менее надеяться, что полученные в расчетах результаты типичны для достаточно широкого класса потоков. (Типичности нет при отсутствии в (8) слагаемого с синусом или косинусом: в этом случае в пределе из —> оо вклад в магнитную вихревую диффузию от зависящей от времени составляющей равен нулю.) Проверено адаптированной версией программы [13], что каждое течение (8), для которого вычисляли Г7есМу, - не короткомасштабное динамо.

Построена гистограмма при и = 1 и т] = 0.1 разности т]сцу для потока (8), удовлетворяющего (9) и + |У5|2)/(|и|2) = 1/400, и для стацио-

нарного потока и. Только в 2 случаях из 30 привнесение в поток слабой зависимости от времени привело к уменьшению т]му-

Изучена зависимость г/ецу от распределения кинетической энергии между стационарной и зависящей от времени частями потока (рис. 3). 7]0ау вычисляли при ш = 1 для трех семейств течений (8) с фиксированным набором профилей полей и, Ус и V, в каждом семействе. Их амплитуды изменяли с соблюдением (9). Хотя графики щцу как функций энергий Еоа<. зависящих от времени частей потока сильно различны в деталях, присутствует общая закономерность: при относительном увеличении энергии нестационарной части потока т]ецу имеет тенденцию увеличиваться.

Изучена зависимость щцу от частоты потока ш. Расчеты т]ецу выполнены для течений (8) с фиксированным набором профилей и, Ус и (точки г]гА&у для них помечены на графиках рис. 3 стрелками (а) и (Ъ); соответствующие кривые помечены (а) и (Ь) на рис. 4). Хотя потоки отличаются только отношением средней энергии нестационарной части и энергии стационарной части, характеры зависимости существенно различны. Минимум г'^у достигается при ш ~ 1.

Задача рассмотрена для потока (8) в пределе и —> оо, найдена асимптотика коэффициентов Фурье по времени решений вспомогательных задач и показано, что вклад в т]ецу от нестационарной составляющей потока конечен. Вычисления показали (рис. 5), что, как и при и> — 1, относительный рост энергии нестационарной части потока в целом сопровождается увели-

Рис. 3: Г)му (вертикальная ось) как функция доли энергии Еазс (горизонтальная ось) части потока, зависящей от времени, для трех семейств потоков (8) при и — 1, т) = 0.1. Точки - вычисленные значения.

Рис. 4: т]еААу (вертикальная ось) как функция частоты и потока (горизон-

Рис. 5: т]ецу (вертикальная ось) в пределе и> —* оо как функция доли энергии Еох нестационарной части потока (горизонтальная ось) для трех семейств потоков (8), для которых построен рис. 3, при г] = 0.1.

чением предельной Влияние нестационарной части потока (8) осла-

бло. Исследовано распределение г]гЛАу в пределе ш —* оо при наименее благоприятном для генерации длинномасштабного магнитного поля условии,

- когда стационарная часть потока отсутствует; Игли,-»«, цецу < 0 только в 2 случаях из 45. Для каждой реализации течения (8), использованной в этих вычислениях, также проверено, что в пределе ш —* оо генерации короткомасштабных магнитных полей нет.

Таким образом, расчеты минимальной магнитной вихревой диффузии для модельных центрально-симметрических течений (8) показали, что, как и в случае стационарного течения, разделение масштабов благоприятно для процесса генерации, однако в целом периодические по времени течения

- менее эффективные динамо, чем аналогичные стационарные.

В главе 3 исследована, следуя [4], кинематическая генерация магнитного шля конвективными план-формами - течениями электропроводной жидкости в бесконечном горизонтальном слое, возникающими при установлении тепловой конвекции. Конвективные план-формы бездивергентны, стационарны, периодичны по горизонтальным направлениям, удовлетворяют условию непротекания сквозь горизонтальные границы слоя и симметричны относительно вертикальной оси:

®з) = х2, ®з])

"У2(-2:1, -х2> хг) = -У2(Ж1, х2, х3), (10)

— аг2, Жа) = ^"3(а;1,а:2,ж3).

Краевые условия для магнитного поля отвечают границам слоя из идеального проводника. Длинномасштабная магнитная мода зависит от быстрых переменных х 6 Л3 и от медленных горизонтальных переменных X = £(2:1,2:2). Решение задачи на собственные значения для оператора магнитной индукции ищем в виде (1), (2). Из-за симметрии течения относительно вертикальной оси вертикальная часть тензора а—эффекта равна нулю; поскольку пространство медленных переменных двумерно, а—эффект тем самым не оказывает влияния на генерацию среднего магнитного поля в главном порядке, и А1 = 0.

Уравнение среднего поля имеет вид

vVx(h)k + Vx X E E Dmi^M^ = \2(h0)h> Bmk = {V X rmt)e>

i=lm=l ОЛт

где (fи (f)„ - горизонтальная и вертикальная компоненты (f). Для глобально ограниченных во всем слое мод (ho= helqX, где h = (—52,91,0) и

. Aj(q) = -ij|q|S + Е Е C-l)fc<V X Tmkhqmq3-k.

к=1 m=l

Определены все члены разложений (1), (2). Найдено, что hn симметричны относительно вертикальной оси при нечетных п, и антисимметричны при четных; Лгп+i = 0; при п > 0 (Ьп)л = 0 (условие нормировки); зависимость hn от медленных переменных представлена сомножителем elqX. Показано, что вихревые поправки магнитной диффузии из-за короткомасштабных плоско-параллельных потоков в слое (в предположении, без потери общности, что поток не зависит от хг и Vj = 0) всегда неотрицательны, т.е. такие потоки способны только усилить молекулярную диффузию.

Конвективные план-формы при отсутствии вращения - полоидальные течения: V(x) = V х V х (Р(х) е3),

Р(х) = (cüi cos(/f1xi) cos(ä2x2) + q2 COs(pK2X2)) w(x2).

Здесь c«! и a2 - константы, p целое, K\fK2 — \Jpl — 1 при a2 ф- 0. Вертикальные профили мод неустойчивости в слое 0 < Х3 < 7Г со свободными непроницаемыми границами - функции

^„(хз) = вшпжз, п > 0 целое. (И)

Вычисления сделаны для нормализованных план-форм: (|V|2) = 1.

Группа симметрии план-формы включает симметрии отражения относительно плоскостей Xj — 0, j = 1,2 (симметрия (10) - их композиция), и, если конвективная ячейка квадратная и а2 = 0, то независимую симметрию отражения относительно диагональной плоскости xi = х2. План-формы с вертикальными профилями (И) имеют центры симметрии.

Каждая из симметрии отражения разбивает область определения оператора магнитной индукции в прямую сумму двух инвариантных подпространств, состоящих из симметричных и антисимметричных полей по

отношению к рассматриваемой симметрии. Как следствие, оператор магнитной вихревой диффузии диагонален, и

ПШу = шш(-А2(ч)) = т/ + тт(—(V х Г12>3, (V х Г21)з). [ч1=1

При определенных наборах параметров квадратные ячейки оказываются короткомасштабными кинематическими динамо. Рис. 6 иллюстрирует неожиданное совпадение окон кинематической генерации коротко- и длинномасштабного магнитного поля для план-форм при о?2 = 0 (численно воспроизведенное для различных вертикальных профилей

n

Н>(хз) = Е 0п8т(пхз), (12)

п=1

где /3„ - константы, при N < 3). При аг ф О генерации магнитного поля с такой же периодичностью в горизонтальных направлениях, как у потока, не обнаружено, но существует интервал отношений 02/0:1, в котором т]Р_цу < 0 (рис. 7). Генерация короткомасштабного магнитного поля шестиугольными конвективными ячейками найдена в [18] в контексте исследования солнечного динамо (соответственно, пространство над верхней границей считалось состоящим из диэлектрика). Для таких план-форм с вертикальными профилями (12) случаев т]ецу < 0 при N < 2 не обнаружено.

Таким образом, найдено семейство план-форм (с а2 ф 0) тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости без вращения, которые кинематически генерируют только длинномасштабное магнитное поле, однако интервалы параметров, в которых г]ецу < 0, малы, также как малы по абсолютной величине найденные вихревые диффузии. Спиральность план-форм равна нулю, поэтому возможность генерации ими как коротко-масштабных, так и длинномасштабных магнитных полей демонстрирует отсутствие связи генерации магнитного поля со спиральностью течения.

Ввиду сходства свойств устойчивости к длинномасштабным возмущениям гидродинамических и магнитных систем естественно обобщить ее исследование на случай единой МГД системы, в которой мода возмущения может иметь и магнитную, и гидродинамическую составляющие. Это сделано в главе 4, следуя [3], для стационарного пространственно-периодического МГД состояния V, Н, Р, удовлетворяющего уравнению

Рис. 6: т]ецу (сплошная линия, вертикальная ось) и инкремент роста доминирующей короткомасштабной магнитной моды с нулевым средним горизонтальных компонент (пунктир, вертикальная ось) для план-форм с п = 1, Кч — 2, <12 = 0 и (11) при 77 = 0.06 как функция К\ (горизонтальная ось).

Рис. 7: г]ему (сплошная линия, вертикальная ось) и инкремент роста доминирующей короткомасштабной магнитной моды с нулевым средним горизонтальных компонент (пунктир, вертикальная ось) для план-форм с п = 1, р = 2, К\ = Кг = 1.5 и (11) при т) = 0.0075 как функция

отношения ач/ах (горизонтальная ось).

Навье-Стокса с силами Архимеда и Лоренца (вращения нет) и уравнению магнитной индукции. Пространственная инвариантность системы нарушена присутствием в них источниковых слагаемых, не равных одновременно нулю. Линейная устойчивость состояния V, Н, Р определяется задачей на собственные значения для оператора линеаризации в окрестности исследуемого состояния. Ее решение ищем в виде рядов (1), (2) и

V- |>п(х,Х)гп, (13)

п=0

со

р= £Рп(х,Х)еп. (14)

п=0

В ситуации общего положения уравнения для главных членов рядов (1), (13) и (14) имеют вид

£ (А? Vx<v0)i + а£" Ух(Ьо)0 - Ух(р'о> - Л!(у0), (15)

/Ь=1

{А1нЫь + (Ьо)4) = Л^Ьо). (16)

к=1

Здесь А^ - матрицы размера 3 X 3, а А'11 - трехмерные векторы, выраженные через решения вспомогательных задач 1-Ш типа. Оператор в частных производных первого порядка в левой части (15)—(16) - оператор комбинированного МГЦ а-эффекта. При наличии а—эффекта (этот оператор ненулевой) и в его отсутствие (он равен нулю) дальнейший ход рассуждений различный. Имеет место обычная для а—эффекта альтернатива: либо возмущение с любым волновым вектором имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, либо - в ситуации общего положения - существуют экспоненциально растущие возмущения. Для случая а-эффекта построены полные асимптотические разложения мод линейных возмущений и их временных инкрементов, если оператор а—эффекта удовлетворяет условию типа эллиптичности.

Рассмотрен "противоположный" случай, когда поля V и Н центрально-симметричны, ввиду чего а—эффект отсутствует. Тогда А1 = 0, {р'0) =0, а уравнения для главных членов средних возмущений имеют вид

+£ кп +- -

^(Ьо> + Ух х £ Е (Пй^ + Бй^) = Л2(Ьо>. (18)

*=1т=1 \ ОЛт ОЛт )

Коэффициенты выражены через решения вспомогательных задач II типа. Дифференциальный оператор, определенный левой частью (17)—(18), - оператор анизотропной комбинированной МГД вихревой диффузии.

Глобально ограниченные в пространстве собственные функции задачи (17)-(18) - гармоники Фурье: (уо) = уе"1'* и (Ьо) = Ье'ч'х. В рассматриваемом случае также построены полные асимптотические разложения мод линейных возмущений и их временных инкрементов; показано, что у„ и Ь„ при четных тг симметричны, а при нечетных - антисимметричны, р%„ антисимметричны, Р2п+1 - симметричны, Хгп+1 = 0.

Численно исследован вопрос, насколько редко явление отрицательной комбинированной МГД диффузии. Стационарные поля V, Н с экспоненциально убывающим энергетическим спектром в кубе периодичности синтезировали процедурой, использованной в главе 1. Применение метода, основанного на рассмотрении вспомогательных задач для сопряженного оператора, снижает количество численно решаемых вспомогательных задач при вычислении т?СсМу с 24 до 12. Проверено, что при трех рассмотренных значениях V = у каждое МГД состояние из сгенерированного ансамбля устойчиво к короткомасштабным МГД возмущениям с тем же пространственным периодом, как и у самих состояний. Эффект отрицательной вихревой диффузии наблюдается уже при и = г/ = 3/4 (рис. 8), и во всех случаях вихревая диффузия оказалась меньше молекулярной.

Таким образом, численный эксперимент показал, что из-за наличия возмущений поля скорости комбинированная вихревая диффузия может принимать отрицательные значения при существенно больших значениях коэффициентов молекулярной диффузии при рассмотрении возмущений МГД системы общего вида, чем в кинематическом динамо.

В главе 5, следуя [5], выведены уравнения, описывающие поведение усредненных по коротким масштабам шлей длинномасштабных возмущений, амплитуда которых по порядку величины не превышает отношение

' 1 4=1- пЖ > 0 1Н-75 ГП [}

04 О.в 0.8 0.0 02 04 0.0

(а) (Ъ)

-

(с)

Рис. 8: Гистограммы г?е(иу (горизонтальная ось) в ансамбле из 25 модельных МГД состояний при !/=г/ = ]. (а), 1/ = ту = 3/4 (Ь), ¡/ = т] = 1/2 (с).

масштабов е, в последующей, нелинейной стадии эволюции. Допускается зависимость произвольного вида от быстрого времени МГД состояния V, Н, Р, устойчивость которого исследуется. Предполагается, что выполнено необходимое условие применимости процедуры построения решений с двумя масштабами - корректность усреднения по времени. Показано с применением принципа Дюамеля, что, если исследуемое на устойчивость к длинномасштабным возмущениям МГД состояние устойчиво к ко-роткомасштабным возмущениям, это условие выполнено, а коэффициенты уравнений средних полей не зависят от начальных условий для решений вспомогательных задач. Однако для применимости теории, построенной в этой главе, к хаотическим аттракторам, условие линейной устойчивости рассматриваемого МГД состояния к короткомасштабным возмущениям не ставится. Условие пространственной периодичности V, Н, Р заменено на

более естественное условие, что возникающие при выводе уравнений средних полей вспомогательные задачи имеют решения, глобально ограниченные по (быстрым) пространственным переменным и времени вместе с производными. Полагаем, что источниковые слагаемые в уравнениях Навье-Стокса и магнитной индукции, определяющих возмущаемое состояние, зависят от обеих переменных хи(и одновременно не равны нулю, что нарушает пространственную и временную инвариантность системы.

Решение ищем в виде рядов (1), (13) и (14), члены которых зависят от быстрых переменных х и £ и медленных переменных И. — ех,Т = еЧ. При наличии в системе а—эффекта е = 1; показано, что тогда уравнения средних полей оказываются линейными - идентичными уравнениям задачи о линейной устойчивости, рассмотренной в главе 4. При отсутствии а—эффекта и наличии эффекта комбинированной МГД вихревой диффузии 8 = 2.

Уравнения средних полей возмущений, выведенные при изучении длин-номасштабной слабо нелинейной устойчивости МГД состояния, в котором V и Н центрально-симметричны, имеют вид

д \\ -и „оа //,иггг (Г)™ 4. Пл"

+ щ (АЯ&ЬМуоЬ + А^Ь»4((Ьо»т + А^«ЬоЬ«Ьо>>т))

+ ((Ы)^х)Ы)-(((Ьо))-Ух)((Ьо»-Ух((р'1')) = 0; (19)

-¿((Ьо))+^^((ь0))+ухх(ь))х{(Ьо))+Е £ (в-^ + Вй^

+ А^((уоЬ((у„»т + А^((У0»,((Ь0))т + А^((Ь0»4((Ь0»т)) = 0. (20)

Здесь В - коэффициенты оператора комбинированной вихревой диффузии, рассмотренного в главе 4, трехмерные векторы А - квадратичного оператора вихревой коррекции адвекции. Эти коэффициенты выражены через решения вспомогательных задач 1-Ш типов. При рассмотрении задач для сопряженного оператора число вариантов вспомогательных задач, которые необходимо решить для вычисления полного набора коэффициентов операторов вихревой коррекции в уравнениях средних полей (19)—(20), уменьшается с 45 до 15.

Таким образом, если МГД система центрально-симметрична, то а—эффект отсутствует, и уравнения средних полей для слабо нелинейных возмущений обобщают уравнения Навье-Стокса и магнитной индукции: в них появляются новые члены - оператор анизотропной комбинированной МГД вихревой диффузии и квадратичные слагаемые нелинейной анизотропной комбинированной вихревой коррекции адвекции.

В главе 6, следуя [8], рассмотрена слабо нелинейная устойчивость к длинномасштабным возмущениям конвективных МГД состояний в горизонтальном слое (линейная задача изучена в [7]). Предполагается, что гидромагнитная тепловая конвекция вынужденная, т.е. в жидкости действуют внешние силы (в дополнение к рассматриваемым силам архимедовой плавучести, Кориолиса и Лоренца) и/или источники магнитного поля и тепла. Границы слоя из идеального проводника свободны от напряжений и поддерживаются при постоянных температурах. Допускается вращение жидкости вокруг вертикальной оси, что валено для геофизических приложений. Из-за учета силы Кориолиса анализ усложняется: уравнение Навье-Стокса применено в форме для завихренности О, и при несущественности а—эффекта уравнение для среднего возмущения потока получается как условие разрешимости короткомасштабного уравнения в порядке е3, а не е2, как в задачах, рассмотренных ранее. Одновременно с системой уравнений порядка е" необходимо рассматривать уравнение для завихренности порядка еп+1, чтобы найти члены разложений {ып+\)ь и Как и в главе 5, не ставятся требования стационарности, пространственной периодичности или квазипериодичности по горизонтальным направлениям возмущаемой короткомасштабной конвективной МГД системы; для применимости теории этой главы к задачам устойчивости хаотических аттракторов линейная устойчивость возмущаемого конвективного МГД состояния к короткомасштабным возмущениям не предполагается.

Вместо температуры рассматриваем разность 0 между температурой и ее линейным распределением. Возмущения ищем в виде рядов

со

(ы.у.М) = £(и;п,уп,Ь„А)еп,

п=0

члены которых зависят от быстрых переменных хий медленных переменных X = е(хх,х2), Т = еяI (в = 1, если а—эффект существенен, в

противном случае в = 2). Как и в главе 5, в ситуации общего положения в системе возникает магнитный а—эффект и АКА-эффект, коэффициенты соответствующих операторов выражаются через решения вспомогательных задач I типа. Уравнения средних полей оказываются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка, их решения неограниченно экспоненциально растут.

Соответственно, рассмотрены нелинейные конвективные динамо, в которых а—эффект несущественен в главном порядке: равны нулю вертикальная компонента магнитного о—тензора и горизонтальная компонента а—тензора в уравнении для завихренности. Равенство нулю других компонент а—тензоров не требуется (поэтому речь идет о несущественности, а не об отсутствии комбинированного а—эффекта). Несущественность а—эффекта гарантируется симметрией со сдвигом по времени режима П, V, Н, 0 относительно вертикальной оси или центра.

Уравнения для среднего возмущения магнитного поля и скорости течения имеют вид (22) и (23) (см. ниже), где в рассматриваемом случае все Л — 0; Б - коэффициенты оператора комбинированной вихревой коррекции диффузии, А - комбинированной вихревой коррекции адвекции, с1 - псевдодифференциального оператора второго порядка, интерпретируемого как описывающего нестандартную нелокальную анизотропную комбинированную вихревую диффузию. Насколько нам известно, этот эффект впервые описан в [8]; он не возникает, если возмущаемое состояние стационарно или имеет симметрии указанного типа без сдвига по времени. Коэффициенты (1 выражены через решения вспомогательных задач IV типа. Выбор начальных условий не влияет на величину коэффициентов из-за экспоненциального убывания во времени вызванных этим изменений решений вспомогательных задач.

Рассмотрены также длинномасштабные возмущения короткомасштаб-ных конвективных МГД состояний

оо

(П,У,Н,0) = Е(«п,Уп,У„,0„)е", Я„ = УххУп, (21)

п=0

например, рождающихся в бифуркации Хопфа (которая происходит, когда пара комплексно-сопряженных собственных значений оператора линеаризации пересекает действительную ось, - стационарность режима в точке

бифуркации не требуется), когда параметр ß — ßo + ßiE1 (пропорциональный числу Рэлея) принимает критическое значение ßa. Уравнения средних полей возмущений имеют следующую структуру:

Vx х [~~{Ы)н + w\{wa))h - («v0»„ • Vx)((v0))A + (((hob ■ Vx)((hob +E i (ßr №((vo))m + <{(ho))m) + E (щ^(CiWi

+ D^-((hoh fe«vo»i + dX((ho»i)) (22)

(АТфо)ЫЫ)т + A^.((vo))t((ho))m + А^((Ь0)),((Ь0))т)|)| = 0; -¿((bo))h + *?V2X((h0))h + VXx (((vob x ((h0))h + E {Atlv0))k + А^((Ъ0))к) + E E (^-(D^bb+D^^hob

+ Kdvoh + d^((ho»,)) (23)

+ А^ЬЬЬ))т + A^((v0)),((h0)>m + A^((hob((ho))m)) = 0.

Дифференциальные операторы первого порядка с коэффициентами Л, выраженными через решения вспомогательных задач V типа, описывают комбинированный а—эффект. Он возникает несмотря на его отсутствие в главном порядке, например, если бифуркация Хопфа - с потерей симметрии, т.е. когда конвективное МГД состояние Оо, V0, Но, 0о имеет одну из указанных выше симметрии, afii,Vj,Hi,0i - антисимметричный набор векторных полей. Таким образом, как и в почти осесимметричных моделях, построенных С.И. Брагинским и Э. Соуордом, из-за малого, порядка £, отличия возмущаемого режима от симметричного, в уравнениях средних полей появляется оператор а—эффекта.

Рассмотрены длинномасштабные возмущения конвективных динамо (21) в случае, когда ядру оператора линеаризации при ß = ßo принадлежит короткомасштабное поле с нулевыми пространственными средними

горизонтальных компонент поля скорости и магнитного поля, и вертикальной компоненты завихренности - в частности, когда ветвь режимов (21) рождается в вилочной бифуркации при Р = Ро (стационарность или периодичность по времени режима в точке бифуркации не требуем). Появляется новое условие разрешимости вспомогательных задач - ортогональность правых частей уравнений векторному полю с нулевыми пространственным средним вертикальной компоненты завихренности и пространственно-временным средним горизонтальной компоненты магнитного поля, принадлежащему ядру оператора, сопряженного оператору линеаризации. Эта задача рассмотрена только для конвективных МГД режимов, обладающих в точке бифуркации одной из симметрии указанного выше типа, а корот-комасштабное поле из ядра оператора линеаризации - антисимметричный набор полей. Появляется новая переменная - амплитуда короткомасштаб-ной нейтральной моды неустойчивости. Уравнения для главных членов средних полей возмущений составляют замкнутую систему совместно с условием ортогональности правых частей уравнений, полученных из уравнений для возмущений в порядке е2, указанному векторному полю из ядра сопряженного оператора (из-за громоздкости указанная система в автореферате не приведена). Последнее уравнение в случае общего положения содержит нелокальные операторы (если возмущаемый режим По,Уо, Но, 0о стационарен или имеет симметрию рассмотренного выше вида без сдвига по времени, то они отсутствуют), и кубическую нелинейность. Таким образом, эволюция слабо нелинейных возмущений конвективных динамо из такого семейства может демонстрировать большее разнообразие режимов нелинейного поведения, чем в других рассмотренных случаях.

В главе 7, следуя [9], выведена замкнутая система амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений, для режимов свободной гидромагнитной конвекции, - когда в объеме жидкости не действуют внешние силы и нет источников магнитного поля и тепла. Характер конвекции: свободная, а не вынужденная - единственное отличие системы, изучаемой в этой главе, от рассмотренной в предыдущей.

Дифференцируя уравнения, описывающие возмущаемый режим О, V, Н,в, находим, что в* = д/дхк(П,Н, 0) (к = 1,2) и = 3/<^(«,Н,0) -

короткомасштабные нейтральные моды устойчивости (это следствие пространственно-временной инвариантности рассматриваемого конвективного МГД режима). Кроме того, как и в задачах главы 6, ядру оператора линеаризации принадлежат моды (к = 3,4) с (Э^)/, = Соот-

ветственно, для неособых наборов параметров ядро оператора линеаризации имеет размерность К = 4 (если режим стационарен) или 5 (если нестационарен). Возмущения в главном порядке имеют вид линейной комбинации нейтральных мод:

к

(а/о,Ьо,0о) =£о+ Есо^, к-1

где £0 экспоненциально убывает в быстром времени Показано, что (уо)а = 0. Необходимо построить замкнутую систему уравнений для амплитуд с0*(Х,Т).

В общем случае рассматриваемые амплитудные уравнения оказываются линейными уравнениями в частных производных первого порядка, аналогично появлению комбинированного МГД а—эффекта для возмущений режимов вынужденной конвекции. Как и при вынужденной конвекции, при наличии а-эффекта возникает система линейных амплитудных уравнений первого порядка, решения которой экспоненциально растут в медленном времени Т = еЬ.

Изучен случай, когда а-эффект несущественен в главном порядке (например, при наличии симметрий, указанных в главе 6). Если возмущаемый режим нестационарен, то в систему амплитудных уравнений входит уравнение

<24)

Это одно из условий разрешимости уравнений в быстрых переменных, полученных из уравнений для возмущений в порядке е2; другие условия разрешимости для них принимают вид

<(у1))л = £ ^ £ + ^ ^/^Ш^с^х) + '

(25)

Константы ¡3' и векторы /? выражены в терминах нейтральных мод

Усредняя вертикальную компоненту уравнения, полученного из уравнения для возмущения завихренности в порядке е3, получаем

к 2 д ( 2 д ( 2 i д2 \ Vx х £ £ öx; Ш äx; lD'-coi+U £ ^ j

+ Е KmkCOmCOk) = 0. (26)

m=l /

Усредняя горизонтальную компоненту уравнения, полученного из уравнения для возмущения магнитного поля в порядке е2, находим

-¿((hob + r?V^((ho)>ft + Vx х £ ( ¿ (

+ £ £ ot) + i A^c0fccümj = 0. (27)

Коэффициенты амплитудных уравнений (26) и (27) выражены через решения вспомогательных задач II—IV типов; d = 0, если режим ÍÍ,V, Н, © стационарен или имеет симметрию без сдвига по времени.

Уравнения (26) и (27) составляют замкнутую систему амплитудных уравнений (c0t = ((ho»i-2 для к = 3,4, т.к. (S£)/, = e¿_2) вместе с (24) (если режим нестационарен) и с условиями солсноидальности старших членов разложений средних возмущений магнитного поля и скорости потока. Старший член разложения среднего возмущения скорости потока - либо (25), либо, если режим V, Н,0 стационарен и имеет симметрию, рассмотренную в главе 6, то {v\)h = 0, и это

к I 2 2 н д2сок К 2 „ dcok

(v2}k = Е Е Е ßlnmk я v я V + S Е ß'LmkC0m-^rr k-l V">=ln=l ОЛтОЛп m=i„=i ОЛп

К К \

+ Е Е ß'inmkCOkCOmCOn ■ (28)

m=1n=l J

Векторы-константы /3" выражены через решения вспомогательных задач

II—IV типов.

Таким образом, в систему амплитудных уравнений для возмущений режимов свободной конвекции не входит уравнение среднего поля для возмущения скорости течения. Уравнения (27) для усредненного возмущения

магнитного поля - эволюционные, остальные - (26), (24) и условие солено-идальности для среднего возмущения скорости течения - не содержат ни производных по (медленному) времени, ни операторов молекулярной диффузии. Если конвективный МГД режим стационарен и имеет симметрию, гарантирующую несущественность а—эффекта, то условие соленоидаль-ности среднего возмущения потока (28) - дифференциальное уравнение третьего порядка с кубической нелинейностью.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Обсуждаются возникающие в рассмотренных задачах при несущественности а—эффекта в главном порядке различные физические вихревые эффекты, отраженные в структурных особенностях амплитудных уравнений, описывающих длинномасштабную вариацию профилей возмущений.

В приложении описаны результаты выполненных автором диссертации расчетов режимов генерации магнитного поля свободной тепловой конвекцией во вращающемся относительно вертикальной оси горизонтальном слое электропроводной жидкости, в которых найдены периодические во времени и стационарные конвективные гидромагнитные состояния, устойчивые к короткомасштабным возмущениям и симметричные относительно вертикальной оси. К ним приложима построенная в главе 7 теория слабо нелинейных длинномасштабных возмущений.

Основные результаты работы

1. В диссертации получены математически строгие решения последовательности задач возрастающей сложности из области теории устойчивости короткомасштабных МГД режимов к возмущениям, имеющим большие пространственные и временные масштабы, в которых при несущественности а—эффекта в главном порядке возникает явление вихревой диффузии.

Решения этих задач имеют ряд общих свойств. Эволюция возмущения на линейной и слабо нелинейной стадиях описывается амплитудными уравнениями (в ряде случаев имеющими смысл уравнений средних полей возмущения) для главных членов разложения возмущения в ряд по малому

параметру е - отношению пространственных масштабов. Для МГД систем общего положения отношение временных характерных масштабов также порядка е, а амплитудные уравнения задаются линейными операторами первого порядка в частных производных по медленным пространственным переменным, описывающими анизотропный комбинированный а—эффект (в котором одновременно представлены и магнитный, и кинематический а—эффекты). Другие вихревые эффекты (например, вихревая диффузия) отсутствуют, также как при рассмотрении слабо нелипейной устойчивости - нелинейность. Такие уравнения, как правило, имеют неограниченно экспоненциально (точнее, сверхэкспоненциально) растущие в медленном времени решения, т.е. имеет место длинномасштабная неустойчивость (в исключительных случаях характер поведения в медленном времени любой длинномасштабной моды - гармонические колебания).

2. Если а—эффект несущественен в главном порядке, отношение характерных масштабов медленного и быстрого времени порядка е2. В таких МГД системах наблюдается разнообразие вихревых эффектов - эффектов, вызванных усредненным воздействием короткомасштабных деталей возмущения, взаимодействующих с режимом, устойчивость которого изучается, на зависящие только от медленных переменных амплитуды нейтральных мод оператора линеаризации уравнений магнитогидродинамики в окрестности этого режима. Для МГД систем, определенных в пространстве, несущественность а—эффекта в главном порядке гарантируется их центральной симметрией, а для МГД систем в слое - также симметрией относительно вертикальной оси; для МГД режимов, периодических во времени, эти симметрии могут быть со сдвигом во времени.

3. Один из таких эффектов - анизотропная вихревая коррекция диффузии - описывается дифференциальным оператором второго порядка. Оператор вихревой диффузии (сумма операторов молекулярной диффузии и вихревой коррекции) не обязательно знакоопределен; если он имеет положительные собственные значения, говорят об эффекте отрицательной вихревой диффузии. В диссертации выведены формулы, определяющие коэффициенты оператора вихревой коррекции диффузии в терминах решений вспомогательных задач, и разработан метод, позволяющий минимизировать число вспомогательных задач, подлежащих численному решению для

вычисления этих коэффициентов. Свойства оператора магнитной вихревой диффузии для искусственно сконструированных потоков и МГД состояний, моделирующих мелкомасштабную турбулентность, детально исследованы численно. Найдено, что эффект отрицательной вихревой диффузии физически реален, причем неустойчивость МГД режимов к длинномасштаб-ным возмущениям, имеющим ненулевые составляющие как течения, так и магнитного поля, возбуждается механизмом отрицательной вихревой диффузии существенно легче, чем в кинематических динамо, где возмущение представлено только магнитным полем. Стационарные течения лучше генерируют магнитные поля, чем периодические по времени.

4. В амплитудных уравнениях для длинномасштабных возмущений МГД режимов с несущественным в главном порядке а—эффектом возникают анизотропные псевдодифференциальные операторы второго порядка в медленных пространственных переменных, интерпретируемые как описывающие нестандартные нелокальные вихревые диффузионные процессы. Они не присутствуют, если возмущаемое короткомасштабное МГД состояние стационарно или имеет пространственную симметрию относительно центра или вертикальной оси без сдвига по времени. Оператор нелокальной вихревой диффузии имеет природу а—эффекта, вызванного наличием у усредненного по быстрым пространственным переменным второго члена разложения возмущения скорости течения флуктуирующей в быстром времени компоненты, описываемой псевдодифференциальным оператором и обеспечивающей соленоидальность в медленных переменных рассматриваемого члена разложения возмущения скорости. Таким образом, нелокальная вихревая диффузия связана с воздействием компоненты давления, обеспечивающей несжимаемость усредненного возмущения течения.

5. При рассмотрении слабо нелинейной устойчивости индивидуальных МГД состояний при условии несущественности о—эффекта в главном порядке в амплитудных уравнениях появляются квадратичные слагаемые с частными производными первого порядка по медленным пространственным переменным. Они возникают при усреднении адвективных слагаемых, и потому идентифицированы как операторы анизотропной вихревой коррекции адвекции.

6. Операторы а—эффекта п амплитудных уравнениях для длинномас-штабных возмущений МГД режимов с несущественным в главном порядке а—эффектом отсутствуют, хотя эти уравнения представляют собой условия разрешимости уравнений, описывающих поведение членов разложения возмущения второго или третьего порядков малости.

7. Однако а—эффект сосуществует с диффузионными операторами в амплитудных уравнениях, выведенных при рассмотрении устойчивости МГД режимов, зависящих от е, если они слабо несимметричны (имеются в виду симметрии, гарантирующие несущественность а—эффекта в главном порядке), и несимметричная часть порядка е. Это происходит, например, если возмущаемый МГД режим рождается в бифуркации с потерей симметрии типа Хопфа или вилки. В последпем случае число амплитудных уравнений увеличивается на одно, и в новом уравнении присутствует кубическая нелинейность. (Сосуществование а—эффекта в амплитудных уравнениях с оператором молекулярной диффузии, когда амплитуда исследуемого на устойчивость МГД состояния порядка у/ё, показано в [10-12].)

8. Во всех рассмотренных выше случаях амплитудные уравнения эволюционные. При изучении устойчивости (индивидуальных) режимов свободной тепловой МГД конвекции в горизонтальном слое жидкости эволюционными остаются только уравнения, описывающие поведение среднего возмущения магнитного поля. Если возмущаемый режим свободной тепловой МГД конвекции стационарен и имеет симметрию, гарантирующую несущественность а—эффекта в главном порядке, то одно из амплитудных уравнений - в частных производных третьего порядка по медленным пространственным переменным и имеет кубическую нелинейность. Можно ожидать, что ввиду наличия кубической нелинейности поведение возмущений стационарных симметричных режимов свободной МГД конвекции (как и возмущений режимов вынужденной МГД конвекции, появляющихся в вилочной бифуркации) демонстрирует наибольшее разнообразие типов поведения. Численно найдены примеры стационарных и периодических по времени симметричных относительно вертикальной оси пространственно-периодических короткомасштабных режимов свободной тепловой МГД конвекции в слое, устойчивых по отношению к коротко-масштабным возмущениям, для которых планируется провести численный

анализ решений системы амплитудных уравнений.

9. Аналитические результаты, полученные в диссертации, имеют непосредственное значение для астрофизического и геофизического моделирования. Они в частности, показывают, что выбор набора вихревых эффектов (а—эффекта, вихревых диффузии, нелокальной диффузии и адвекции), используемых в модели, надо начинать с рассмотрения предполагаемых свойств короткомасштабной турбулентности, ответственных за их наличие. Так, привлечение концепции турбулентной вязкости для обоснования использования в вычислениях завышенных коэффициентов молекулярной вязкости корректно только, если объяснено, почему в рассматриваемой МГД системе нет а—эффекта в главном порядке.

Основные публикации по теме диссертации

Основные теоретические положения диссертации опубликованы в [19] (аналогичные задачи кинематического динамо при других предположениях об амплитуде поля скорости решены в [10-12]), а использованные в работе специализированные методы численного решения вспомогательных задач и короткомасштабных задач линейной устойчивости - в [13-15]. Интерпретация структур магнитного поля основана на работах [16, 17] . Короткомасштабная генерация магнитного поля гексагональными план-формами изучена в [18].

1. Zheligovsky V.A., Podvigina О.М., Frisch, U. Dynamo effect in parity-invariant flow with large and moderate separation of scales // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2001. - Vol. 95. - P. 227-268.

2. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M. Generation of multiscale magnetic field by parity-invariant time-periodic flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2003. - Vol. 97. - P. 225-248.

3. Желиговский В.А. О линейной устойчивости стационарных пространственно-периодических магнитогидродинамических систем к длинно-периодным возмущениям // Физика Земли. - 2003. - Ms 5. - С. 65-74.

4. Zheligovsky V.A. Convective plan-form two-scale dynamos in a plane layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2005. - Vol. 99. - P. 151-175.

5. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость- магнитогидродина-мических систем, имеющих центр симметрии, к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. - 2006. - Af° 3. - С. 69-78.

6. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость конвективных маг-нитогидродинамических систем без а—эффекта к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. - 2006. - J\fs 12. - С. 92-108.

7. Baptista М., Gama S.M.A., Zheligovsky V. Eddy diffusivity in convective hydromagnetic systems // Eur. Phys. J. B. - 2007. - Vol. 60. - P. 337-352.

8. Zheligovsky V.A. Mean-field equations for weakly non-linear multiscale perturbations of forced hydromagnetic convection in a rotating layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2008. - Vol. 102. - P. 489-543. http://arxiv.org/abs/0804.2326vl

9. Zheligovsky V. Amplitude equations for weakly nonlinear two-scale perturbations of free hydromagnetic convective regimes in a rotating layer. Подано в Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2008. http://arxiv.org/abs/0809.1195vl

10. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб // Компьютерный анализ геофизических полей. Вычисл. сейсмология. - М.: Наука, 1990. -Вып. 23. - С. 161-181.

11. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб. II // Современные методы обработки сейсмологических данных. Вычисл. сейсмология. - М.: Наука, 1991. - Вып. 24. - С. 205-217.

12. Zheligovsky V.A. a—effect in generation of magnetic field by a flow of conducting fluid with internal scale in an axisymmetric volume // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1991. - Vol. 59. - P. 235-251.

13. Zheligovsky V. Numerical solution of the kinematic dynamo problem, for Beltrami flows in a sphere //J. Scientific Computing. - 1993. - Vol. 8. -P. 41-68.

14. Podvigina O.M., Zheligovsky V.A. An optimized iterative method for numerical solution of large systems of equations based on the extremal property

of zeroes of Chebyshev polynomials //J. Sci. Computing. - 1997. - Vol. 12. -P.433-464.

15. Желиговский В.А. Чебышевский итерационный метод с расщеплением оператора для вычисления корней больших систем уравнений / / Труды международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности", Москва, 13-17 февраля 2000 / Ред. С.Я.Герценштейн. - Изд-во МГУ, 2002. - С. 87-103.

16. Zheligovsky V.A. A kinematic magnetic dynamo sustained by a Beltrami flow in a sphere // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1993. - Vol. 73. -P. 217-254.

17. Galloway D.J., Zheligovsky V.A. On a class of non-axisymmetric flux rope solutions to the electromagnetic induction equation // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1994. - Vol. 76. - P. 253-264.

18. Zheligovsky V.A., Galloway D.J. Dynamo action in Christopherson hexagonal flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1998. - Vol. 88. - P. 277-293.

Отпечатано в копицентрс « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: zakaz@stprint.ru тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 15.09.2008 г.