Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям"

003459027

На правах рукописи

ЖЕЛИГОВСКИЙ Владислав Александрович

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНОЙ И СЛАБО НЕЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

Специальность 25.00.10- "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 апкз::::

Москва - 2008

003459027

Работа выполнена в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Соколов Дмитрий Дмитриевич

доктор физико-математических наук, профессор Старченко Сергей Владимирович

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН Трубицын Валерий Петрович

Ведущая организация: Институт космических исследований РАН

Защита состоится 19 февраля 2009 г. в 11.00 в зале заседаний МНТП РАН на заседании диссертационного совета Д 002.118.01 при Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН по адресу: Москва 117997, Профсоюзная ул., 84/32.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН.

Автореферат разослал 29 декабря 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

П.Н.Шебалин

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Особенности вариации: магнитных попей Земли и Солнца указывают на динамический характер их происхождения. С развитием теории гидромагнитного динамо ответ на фундаментальный вопрос современной астрофизики об источнике магнитного шля подобных космических объектов стало принято давать в рамках этой теории. Вопрос о возможности генерации магнитного поля имеет также и практическую важность в приложении к течениям расплавов в охлаждающих системах ядерных реакторов атомных электростанций. Идея Е.Паркера о генерации среднего магнитного поля турбулентным течением проводящей жидкости с полем скорости, не обладающим отражательной симметрией и имеющим ненулевую спиральность, физически обосновывает возможность появления магпитного а—эффекта и лежит в основе теории магнитной гидродинамики средних полей, демонстрируя плодотворность концепции разделения масштабов в приложении к теории магнитного динамо.

Современные компьютеры не позволяют проводить расчеты с разрешением, достаточным для значений параметров, характеризующих конвекцию во внешнем ядре Земли. Так, известные расчеты Дж.Глатцмайера выполнены для чисел Тейлора и Экмана порядка 103 и Ю-4 — Ю-6, что на порядки величин отличается от их оценок для ядра Земли, ~ 109 и ~ Ю-8 — Ю-15. Даже если конвекцию в присутствии магнитного поля рассматривают для исследования магнитного поля конкретного астрофизического объекта, ее необходимо изучать в целой области в пространстве параметров, так как реологические соотношения и величины параметров внутри объекта обычно известны только приближенно. Это невозможно сделать чисто численно из-за огромного объема требуемых вычислений. Следовательно, определенную ценность имеют аналитические и аналити-ко-вычислительные подходы, - как например, в исследованиях С.И.Брагинского и Э.Соуорда, которые определили асимптотическими методами величину а—эффекта в исследованных ими МГД системах.

Возможность роста магнитного поля, поддерживаемого движением расплавленного металла, подтверждена экспериментально. Эксперименты характеризуются наличием в МГД системах разных пространственных

масштабов - вследствие поддержания в установке определенного искусственного течения, как в экспериментах в Саласпилсе и Карлсруэ, или из-за наличия в объеме расплава металла развитой турбулентности.

Геодинамо также характеризуется наличием структур, имеющих иерархию пространственных масштабов. Примером таких контрастных структур служит пограничный слой Экмана, возникающий в конвективных потоках вращающейся жидкости с прилипанием на границе. Топографическое взаимодействие ядра и мантш осуществляется посредством неровностей на границе их раздела, размеры которых не превышают 5 км, что мало по сравнению с радиусом жидкого ядра, 3486 км. Разделение масштабов имеет место и в объеме, где происходит конвекция. Например, в геострофических потоках в быстро вращающихся сферических или цилиндрических слоях течение жидкости образует колонны Тейлора, параллельные оси вращения; их ширина значительно меньше размеров контейнера, содержащего жидкость. Узкие валы возникают в тепловой конвекции жидкости в горизонтальном слое, быстро вращающемся относительно вертикальной оси, и в магнитоконвекции с сильным наложенным магнитным полем. Наличие иерархии пространственных масштабов, между которыми происходит взаимодействие (явления прямого и обратного каскада энергии и перемежаемости), присуще турбулентности, играющей важную роль в процессах генерации.

Таким образом, актуальна проблема аналитического и численного решения задач о генерации магнитного поля в различных МГД системах с разделением масштабов.

Цель работы состояла в аналитическом и численном исследовании устойчивости МГД систем с учетом наличия в них иерархии пространственных и временных масштабов, а также факторов, важных для reo- и астрофизических приложений - таких, как вращение, - посредством решения модельных задач линейной и слабо нелинейной МГД устойчивости по отношению к возмущениям, имеющим большие масштабы.

Методология. Для достижения поставленной цели в диссертации предложено применять для решения основополагающих уравнений, описывающих процессы генерации магнитного шля, гибридные аналитико-вычислительные методы. Ввиду наличия и в природных астрофизических

динамо, и в экспериментальных установках иерархии пространственных и временных масштабов, при математическом рассмотрении возникающих прикладных задач магнитной гидродинамики естественно использовать аналитические методы осреднения уравнений в частных производных. Применение асимптотических методов теории осреднения в многомасштабных системах позволяет математически строго, без привлечения каких-либо эмпирических соотношений для замыкания, вывести амплитудные уравнения (в некоторых случаях они имеют смысл уравнений средних полей), описывающие поведение системы на длинных масштабах, в которых влияние короткомасштабной динамики описывается новыми слагаемыми (по аналогии с гидродинамикой обычно называемыми вихревыми поправками) с усредненными коэффициентами.

Вычисление этих коэффициентов сводится к численному решению систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных по быстрым переменным - так называемых вспомогательных задач. Данные во вспомогательных задачах имеют единственный характерный пространственный. масштаб - тот же самый, что и исследуемое на устойчивость состояние. Таким образом, асимптотические методы для задач со многими масштабами предоставляют возможность разделить длинно- и коротко-масштабную динамику (при условии, что последняя в некотором смысле однородна). Соответственно, в вычислениях отпадает необходимость использовать разрешение, позволяющее с достаточной точностью представить всю иерархию больших и малых масштабов. Это является очень важным преимуществом рассматриваемого комбинированного аналитико-вычислительного подхода, поскольку дает возможность проводить расчеты процессов генерации магнитного поля без привлечения чрезмерных вычислительных ресурсов.

Цель работы определила постановку задач:

- построение асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов магнитных мод и инкрементов их роста в задаче о генерации в кинематическом режиме магнитного поля, имеющего большие пространственные масштабы, пространственно-периодическими центрально-симметричными течениями проводящей жидкости, стационарными или периодическими по времени;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора магнитной вихревой диффузии величин коэффициента магнитной вихревой (турбулентной) диффузии для ансамблей стационарных и периодических по времени потоков, моделирующих турбулентные течения проводящей жидкости в пространстве, а также для конвективных план-форм в горизонтальном слое;

- вывод уравнений, определяющих главные члены асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов мод линейной устойчивости и инкрементов их роста, а также слабо нелинейных возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче об устойчивости процесса генерации магнитного поля в трехмерном пространстве;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии коэффициента вихревой диффузии для ансамблей стационарных МГД конфигураций, моделирующих турбулентные МГД состояния проводящей жидкости в пространстве;

- вывод уравнений средних полей и амплитудных уравнений для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче о слабо нелинейной устойчивости МГД режимов вынужденной и свободной Бус-синесковой конвекции проводящей жидкости в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси, для отдельно рассматриваемого режима и для ветвей режимов вблизи точек бифуркаций с потерей симметрии;

- расчет конвективных гидромагнитных режимов во вращающемся относительно вертикальной оси слое жидкости, устойчивых к короткомас-штабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, к которым применима построенная в диссертации теория слабо нелинейных длинномасштабяых возмущений.

Новые научные результаты и положения, выносимые на защиту, - аналитическое и численное решение следующих задач МГД устойчивости к длинномасштабным возмущениям: Задачи линейной устойчивости:

г. О кинематическом динамо для стационарного периодического в пространстве течения;

«. О кинематическом динамо для периодического в пространстве и вре-

мени течения;

Ш. О кинематическом динамо для конвективных план-формы в слое; ги. Об устойчивости стационарных периодических МГД режимов в пространстве.

Задачи слабо нелинейной устойчивости:

V. МГД режимов в пространстве;

VI. режимов вынужденной гидромагнитной конвекции в горизонтальном слое вращающейся жидкости;

г/». режимов свободной гидромагнитной конвекции в горизонтальном слое вращающейся жидкости.

Под аналитическим решением мы понимаем вывод замкнутой системы дифференциальных уравнений в частных производных по медленным переменным для главных членов разложения полей возмущений в степенные ряды по малому параметру - отношению характерных пространственных масштабов (задачи г — ьи), и определение всех членов рядов в задачах линейной устойчивости при наличии существенного а—эффекта (задача ги) ш его отсутствии (задачи г — гу). Численный анализ состоял в разработке методов вычисления решений вспомогательных задач и расчета вихревых коэффициентов, в численном определении статистики встречаемости эффекта отрицательной вихревой вязкости для модельных течений и МГД состояний, а также в исследовании зависимости минимальной вихревой диффузии от различных параметров.

Научная новизна. В настоящей работе впервые:

- в задачах линейной и слабо нелинейной устойчивости различных МГД систем выведены уравнения средних полей для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, и построено решение задач о линейной устойчивости во всех порядках;

- численно показано, что в значительной доли модельных МГД систем развивается длинномаеттабная неустойчивость в результате действия механизма отрицательной комбинированной вихревой диффузии; наличие мелких масштабов благоприятно для генерации магнитного шля, а появлению отрицательной магнитной вихревой диффузии способствует стационарность потока проводящей жидкости;

- найдено, что при рассмотрении возмущений МГД режимов, сим-

метричных относительно вертикальной оси, «—эффект несущественен в главном порядке;

- выведены замкнутые системы уравнений средних полей и амплитудных уравнений в задаче о слабо нелинейной устойчивости к возмущениям, имеющим большие пространственные масштабы, вынужденных и свободных конвективных гидромагнитных режимов проводящей жидкости в слое, вращающемся относительно вертикальной оси;

- показано, что, в отсутствие существенного а—эффекта в главном порядке, уравнения средних полей возмущений обобщают обычные уравнения магнитогидродинамики: кроме обычных, в них присутствуют операторы, отвечающие как ранее известным физическим эффектам (вихревой диффузии и адвекции, вблизи точки потери симметрии возмущаемого поля - а—эффекту), так и не рассматривавшимся ранее (описываемым нелокальными операторами); при рассмотрении вилочной бифуркации с потерей симметрии уравнения средних полей дополняются уравнением для амплитуды короткомасштабной моды, имеющей кубическую нелинейность; кубическая нелинейность присутствует также в системе амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений стационарных режимов, симметричных относительно вертикальной оси или центра, свободной тепловой гидромагнитной конвекции.

Практическая значимость работы. Полученные в ходе проведенных исследований результаты существенно развивают теорию магнито-гидродияамической устойчивости, и, в частности, теорию генерации магнитного поля, что может быть охарактеризовано как новое крупное научное достижение. Идентификация в настоящей работе новых типов физических эффектов, действующих на усредненные поля возмущений, расширяет представления о процессах развития длинномасштабной гидродинамической и МГД неустойчивости и позволяет лучше понять их механику. Результаты работы будут использованы при построении моделей земного и солнечного магнетизма, а также для анализа длинномасштабной неустойчивости процессов в различных экспериментальных и технологических установках, где используются конвективные течения в плоском слое жидкости с возможным наличием магнитных полей и вращения. Методы, развитые в диссертации, и полученные результаты имеют боль-

шую степень общности и применимы для решения широкого спектра задач определения "эффективных" величин параметров, описывающих свойства композитных материалов, что особенно практически важно в применении к моделированию поведения многокомпонентных материалов, являющихся продуктом нанотехнологий.

Выведенные в работе точные аналитические выражения для операторов, описывающих а—эффект и комбинированную вихревую диффузию, должны воспроизводиться при приложении к рассмотренным задачам алгоритмов, предлагаемых в рамках метода крупных вихрей, и, тем самым, их можно использовать для тестирования этих новых алгоритмов.

Предложенные методы экономного вычисления коэффициентов вихревой (турбулентной) диффузии и адвекции в МГД системах также прило-жимы для вычисления коэффициентов других слагаемых, возникающих в уравнениях средних шлей для усредненного линейного или слабо нелинейного возмущения. Они позволяют в несколько раз снизить объем вычислений, необходимых для определения этих коэффициентов.

Эти методы реализованы в виде ряда программ расчета магнитной и комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Программы написаны на ядре нормативного диалекта языка ФОРТРАН-95 и обладают большим быстродействием благодаря использованию разработанных математических алгоритмов и тщательной оптимизации на уровне программирования.

Выполнение работы. Работа над диссертацией проводилась в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Основные расчеты были выполнены автором во время научных визитов автора в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).

Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 34 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в реферируемых международных и российских журналах. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики

МГУ, Института математических наук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2006 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нордита, Копенгаген, Далия, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дарэма, Великобритания, 2002 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003, 2005, 2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летаю Института механики МГУ (1999 г.).

Личный вклад автора. Постановка задач, решенных в диссертации, за исключением задачи, рассмотренной в главе 1, принадлежит автору диссертации. В решении задач, представленных в главах 1 и 2 [1, 2], (также как в статьях с соавторами [7, 14, 17, 18] на связанные с диссертационной работой темы) математический анализ (построение решений в виде асимптотических разложений), разработка алгоритмов численного решения (вычисления решений вспомогательных задач и коэффициентов тспзора вихревой магнитной вязкости), и часть программирования выполнены автором диссертации. Результаты, изложенные в главах 3-7 и приложении, получены автором диссертации единолично.

Структура работы. Диссертация общим объемом 339 машинописных страниц состоит из оглавления, введения, 7 глав, заключения, списка литературы (294 работы) и приложения. В диссертации 3 таблицы и 28 рисунков.

Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.Й.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за их постоянную поддержку в работе; члену-корреспонденту АН

Франции профессору У.Фришу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; члену Королевского Общества Великобритании М.Проктору, профессорам Э.Гильберту, К.Джонсу и К.Жапгу за многочисленные обсуждения; доктору С.Гама за плодотворное сотрудничество; своим аспирантам в Университете Порто М.Баптиста и Р.Чертовских за неиссякающий энтузиазм; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за творческую атмосферу и постоянную поддержку; наконец, в последнюю очередь по порядку, но не по значимости, своей жене к.ф.-м.н. О.М.Подвигиной за постоянное содействие. Автор также благодарен Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование его неоднократных визитов в научные центры этих стран. Основная часть вычислении сделана автором диссертации в Обсерватории Лазурного берега с использованием вычислительных средств, предоставленных в рамках Программы "Simulations Interactives et Visualisation en Astronomie et Mécanique (SIVAM)" (Интерактивное моделирование и визуализация в астрономии и механике) и следующей фазы этой Программы "Mésocentre SIGAMM". Работа частично финансировалась РФФИ (грант 04-05-64699).

Содержание работы

Во введении объяснено, что иерархия масштабов - характерное свойство геодинамо, и кратко изложены вытекающие отсюда сложности, возникающие при попытке прямого численного моделирования генерации магнитного поля движением проводящей среды в геофизике. Приведен краткий обзор научной литературы, посвященной изучению многомасштабных гидродинамических и МГД систем.

В главе 1, следуя [1], построены асимптотические разложения длин-номасштабных магнитных мод, генерируемых короткомасштабными стационарными пространственно-периодическими течениями проводящей жидкости, и их инкрементов роста в степенные ряды

h=Ehnen, (1)

п—0

л = Е л„е"

(2)

по отношению пространственных масштабов е в предположении, что длин-номасштабная магнитная мода Ь(Х, х) соленоидальна, глобально ограничена и зависит от быстрых пространственных переменных х и медленных переменных X = ех.

Выведены замкнутые уравнения для главных членов рядов (1)-(2). В ситуации общего положения они имеют вид

(здесь (■) обозначает усреднение по быстрым пространственным переменным, соленоидальные векторные поля Э^х) - решения вспомогательных задач I типа). Матрицу (V х (Э^. + е^)) называют магнитным а—тензором, а оператор в левой части (3) - оператором магнитного а—эффекта. Его спектр симметричен относительно мнимой оси: если Ьо(Х) - собственный вектор, отвечающий собственному значению Л^, то X) - собственный вектор, отвечающий собственному значению — Аь Значит, либо все Ах чисто мнимые (исключительный случай), либо есть собственное значение с положительной действительной частью. Таким образом, в ситуации общего положения имеет место случай динамо со сверхэкспоненциальным ростом магнитного поля.

Интересно, что популярная гипотеза о пропорциональности величины а—эффекта спиральности течения (V • (V х V)) не подтверждается. Выведенная точная формула для а—тензора также не сводится к эвристическим выражениям, предложенным разными авторами в связи с проблемой "подавления а—эффекта" («—(¡иепсЫг^).

Показано, что при отсутствии а—эффекта возникает явление магнитной вихревой диффузии. Магнитный а—тензор равен нулю, если, например, течение центрально-симметрично: У(х) = —У(—х). Такие течения -достаточно реалистичная модель турбулентных потоков (усредненных по времени), поскольку центральная симметрия согласована с уравнениями Навьс-Стокса; она может быть нарушена в результате неустойчивостей, однако тогда можно ожидать, что соответствующий гидродинамический аттрактор "в среднем" будет ею обладать. При отсутствии а—эффекта

з

Vx х £ (V х (8* + еь))(1юЬ = МЬ)

(3)

ы 1

Ах = 0, и уравнение для главных членов принимает вид

•Л£(Ьо) + Ух x Е £ = А2(Ьо>, (4)

Ю™* = (V х г™*). (5)

Здесь Гт*(х) - решения вспомогательных задач II типа. Оператор в левой части (4) содержит производные только второго порядка и поэтому интерпретируется как оператор магнитной вихревой диффузии, как правило не анизотропной. Он не обязательно отрицательно определен; если у него есть собственные значения с положительной действительной частью, говорят о явлении отрицательной магнитной вихревой диффузии.

Собственные функции оператора магнитной вихревой диффузии, определенные и ограниченные во всем пространстве медленных переменных, -гармоники Фурье

(Ьо) = й е'4 х, (6)

где постоянные трехмерные векторы Б и единичный волновой вектор q удовлетворяют соотношениям

3 3

- 77|Ч|2Ь - ч х £ £ От*Мт = А2Й, Ь • я = 0. (7)

Для центрально-симметричных течений найдены все члены разложений (1)-(2). Показано, что Ь„ центрально-антисимметричны при четных п, и центрально-симметричны при всех нечетных п, и Агп+1 = 0, т.е. (2) - ряд по степеням е1. Зависимость Ь„ от медленных переменных выражается сомножителем е'ч'х.

Изучены свойства ядра короткомасштабного оператора магнитной индукции и получены условия разрешимости вспомогательных задач для неособых величин молекулярной диффузии г].

Численно исследована распространенность явления отрицательной магнитной вихревой диффузии ^¿у = пиа|ч|=1(—11е Аг^)) для двух ансамблей центрально-симметричных короткомасштабных течений, сконструированных из гармоник Фурье со случайными амплитудами и заданным законом затухания энергетического спектра Ек- быстрым, Ек ~ , и медленным, Ек ~ 1 /К (см. табл. 1); среднеквадратичная скорость

равна 1. Для каждой рассмотренной пары (г/, V) проверено (программой [13]), что инкремент роста доминирующей короткомасштабной магнитной моды с нулевым средним отрицателен (см. рис. 1).

Показало, что с уменьшением т] растут вероятности того, что вихревая поправка магнитной диффузии и вихревая диффузия отрицательны. Течения с экспоненциальным затуханием спектра сильнее понижают молекулярную диффузию, чем течения с гиперболическим затуханием; это указывает на большую важность для отрицательности вихревой поправки гармоник с низкими волновыми числами в поле скорости, чем с относительно высокими. На рис. 1 при ту = 0.1 видно несколько больших по величине < 0; объяснен механизм их появления.

Численно исследована генерация магнитного поля .для конечного отношения масштабов (т.е. без перехода к асимптотическому пределу е —+ 0). Вычислен инкремент роста доминирующих магнитных мод е1СЧ'хЬ(х) для четырех течений с гиперболическим энергетическим спектром, для которых 7]еау < 0 (см. рис. 2). Если ту^ау < 0, то генерация имеет место при любом достаточно малом е; при больших е ее может не быть. При е —► 0 вычисленные инкременты роста демонстрируют параболическое поведение в согласии с (2) при Ло = Лх = 0. В расчетах с е = 1/2 для 30 реализаций из ансамбля течений с гиперболическим затуханием энергетического спектра в 70% случаев увеличение периода магнитного поля вдвое привело к уменьшению критического магнитного числа Рейнольдса начала генерации, определенного по характерному пространственному масштабу магнитного поля.

Таким образом, в различных численных экспериментах показано, что для генерации магнитного поля благоприятно даже незначительное разделение пространственных масштабов магнитного поля и течения.

Исследование, подобное изложенному в главе 1, желательно провести для нестационарных турбулентных потоков, однако эта задача требует больших вычислительных ресурсов. Следуя [2], в главе 2 рассмотрен "промежуточный" класс короткомасштабных течений, периодических по времени и пространству. Такие течения можно считать более точной моделью турбулентных, чем стационарные, рассмотренные в главе 1. Для де-

Рис. 1: у (вертикальная ось) ж инкремент роста доминирующей корот-комасштабной магнитной моды (горизонтальная ось) для г) — 0.3 (точки), 0.2 (плюсы) и 0.1 (треугольники) для ансамблей из 100 потоков с экспоненциальным, £ = 2/3, (а) и гиперболическим (Ь) затуханием энергетического спектра.

Экспоненциальный спектр Гиперболический спектр

7/ = 0.3 q- 0.2 г/= 0.1 7/= 0.3 77 = 0.2 77 = 0.1

Rerjeddy < 0 0% 18% 86% 0% 4% 53%

Re ífejdy < t¡ 83% 96% 98% 30% 63% 94%

ImA2^0 7% 2% 2% 8% 5% 3%

Рис, 2: Максимальный инкремент роста магнитных мод (вертикальная ось) как функция отношения масштабов е (горизонтальная ось) для одной из реализаций течения с гиперболическим энергетическим спектром,

тального численного изучения кинематической генерации магнитного поля выбраны простейшие центрально-симметричные бездивергентные корот-комасштабные течения

V(x, t) = U(x) + Vw (Vc(x) eos ш1 + Vs(x) sin wí), (8)

для которых возникают эффекты, характерные для течений с периодической зависимостью от времени более общего вида.

Магнитная мода h(x, t) - решение задачи Флоке для оператора магнитной индукции

МЪ = + r/V2b + V х (V х h) = Ah.

Рассматриваем соленоидальные глобально ограниченные длинномасштаб-ные магнитные моды (1), имеющие такие же периоды в пространстве (по Xi) и по времени t, как и течение (hn зависит от Х,х и t).

Вывод уравнения среднего ноля и осредненного оператора магнитной вихревой диффузии для произвольного центрально-симметричного периодического течения аналогичен выводу для стационарного течения, приведенному в главе 1. В силу центральной симметрии потока а—эффект отсутствует. Показано, что (ho) не зависит от времени. Уравнение среднего поля имеет вид (4), а элементы тензора коррекции магнитной вихревой диффузии - (5) (с заменой усреднения на пространственно-временное). Магнитные моды, равномерно ограниченные в пространстве медленных переменных, задаются соотношениями (6), (7). Как и для стационарных течений, г]ацу может принимать аномально большие по модулю отрицательные значения, если магнитное число Рейнольдса близко к критическому значению начала генерации короткомасштабного магнитного поля. Построены полные асимптотические разложения магнитных мод в терминах коэффициентов рядов Фурье магнитной моды по времени. Как и для стационарных течений, h„ центрально-антисимметричны по быстрым переменным при четных п, и центрально-симметричны при нечетных п; в ряду (2) отсутствуют нечетные степени е.

Рассмотрены математические вопросы разрешимости вспомогательных задач для неособых величин т\. При использовании соотношений (5) для вычисления элементов тензора магнитной вихревой диффузии необходимо решить 12 вспомогательных задач вида Mg = f (3 задачи I и 9 II типов). Разработан метод вычисления элементов тензора магнитной вихревой диффузии [4], требующий численно решить вдвое меньшее число вспомогательных задач такой же сложности (переносимый без изменений на случай стационарного поля скорости V), предусматривающий решение вспомогательных задач для сопряженного оператора вместо задач II типа. Число вспомогательных задач можно уменьшить еще вдвое - их решения представлены в терминах решений трех уравнений 4 порядка; они, однако, вычислительно более сложны, чем любая из вспомогательных задач.

Проведены расчеты длинномасштабных магнитных мод для течений (8) с экспоненциально затухающим энергетическим спектром полей U, Ve и Vs, нормализованных условиями

< |U|2> + \ {|vc|2 + |VS|2) = 1, ( |Vep) = ( |VS|2). (9)

Даже для простой зависимости от времени (8) вычисление занимает много времени, поэтому собрать подробную статистику по большому числу реализаций течений не представляется возможным. Ввиду случайного выбора амплитуд гармоник Фурье можно тем не менее надеяться, что полученные в расчетах результаты типичны для достаточно широкого класса потоков. (Типичности нет при отсутствии в (8) слагаемого с синусом или косинусом: в этом случае в пределе ш —* со вклад в магнитную вихревую диффузию от зависящей от времени составляющей равен нулю.) Проверено адаптированной версией программы [13], что каждое течение (8), для которого вычисляли r/eddy, - не короткомасштабное динамо.

Построена гистограмма при w = 1ht/ = 0.1 разности rieddy Для потока (8), удовлетворяющего (9) и |(|Vcj2 + !V5|2)/(|U|2) = 1/400, и для стационарного потока U. Только в 2 случаях из 30 привнесение в поток слабой зависимости от времени привело к уменьшению tysddy.

Изучена зависимость ?7eddy от распределения кинетической энергии между стационарной и зависящей от времени частями потока (рис. 3), т?ес% вычисляли при о/ = 1 для трех семейств течений (8) с фиксированным набором профилей полей U, V( и V, s каждом семействе. Их амплитуды изменяли с соблюдением (9). Хотя графики ?7eddy как функций энергий Eosc зависящих от времени частей потока сильно различны в деталях, присутствует общая закономерность: при относительном увеличении энергии нестационарной части потока имеет тенденцию увеличиваться.

Изучена зависимость г/е(Му от частоты потока ш. Расчеты ^„Иу выполнены для течений (8) с фиксированным набором профилей U, Vc и Vs (точки У/cddy для них помечены на графиках рис. 3 стрелками (а) и (Ь); соответствующие кривые помечены (а) и (Ь) на рис. 4). Хотя потоки отличаются только отношением средней энергии нестационарной части и энергии стационарной части, характеры зависимости существенно различны. Минимум r/,;[jjy достигается при w ~ 1.

Задача рассмотрена для потока (8) в пределе w —» оо, найдена асимптотика коэффициентов Фурье по времени решений вспомогательных задач и показано, что вклад в i/eddy от нестационарной составляющей потока конечен. Вычисления показали (рис, 5), что, как и при w = 1, относительный рост энергии нестационарной части потока в целом сопровождается увели-

Рис. 3: (вертикальная ось) как функпия доли энергии Етс (гори-

зонтальная ось) части потока, зависящей от времени, для трех семейств потоков (8) при и — 1,7/ = 0.1. Точки - вычисленные значения.

Рис. 4: т)Му (вертикальная ось) как функция частоты и потока (горизон-

Рис. 5: ч]гМу (вертикальная ось) в пределе из —> оо как функция доли энергии ймс нестационарной части потока (горизонтальная ось) для трех семейств потоков (8), для которых построен рис. 3, при т) = 0.1.

чением предельной Влияние нестационарной части потока (8) осла-

бло. Исследовано распределение г)^у в пределе ш со при наименее благоприятном для генерации длинномасштабного магнитного поля условии,

- когда стационарная часть потока отсутствует; Нт^оо ЧМу < 0 только в 2 случаях из 45. Для каждой реализации течения (8), использованной в этих вычислениях, также проверено, что в пределе и оо генерации короткомасштабных магнитных полей нет.

Таким образом, расчеты минимальной магнитной вихревой диффузии для модельных центрально-симметрических течений (8) показали, что, как И в случае стационарного течения, разделение масштабов благоприятно для процесса генерации, однако в целом периодические по времени течения

- менее эффективные динамо, чем аналогичные стационарные.

В главе 3 исследована, следуя [4], кинематическая генерация магнитного поля конвективными план-формами - течениями электропроводной жидкости в бесконечном горизонтальном слое, возникающими при установлении тепловой конвекции. Конвективные план-формы бездивергентны, стационарны, периодичны по горизонтальным направлениям, удовлетворяют условию непротекания сквозь горизонтальные границы слоя и симметричны относительно вертикальной оси:

У1{-хъ-х2,хъ) = -У11(а;1,х21хз), У2(-Жь-а;2,а;з) = -Л^2(а:1, (10)

Уз(-яь х3) = Уз(ж1, Х2, х3).

Краевые условия для магнитного поля отвечают границам слоя из идеального проводника. Длинномасштабная магнитная мода зависит от быстрых переменных х £ Д3 и от медленных горизонтальных переменных X = е (ж 1,12)- Решение задачи на собственные значения для оператора магнитной индукции ищем в виде (1), (2). Из-за симметрии течения относительно вертикальной оси вертикальная часть тензора а—эффекта равна нулю; поскольку пространство медленных переменных двумерно, а—эффект тем самым не оказывает влияния на генерацию среднего магнитного поля в главном порядке, и Ах = 0.

Уравнение среднего поля имеет вид

i7Vjt(ho)fc + Vx x £ £ = A2{h0>h, Dmi = (V x Гт*}„

Jt=l m=1 С-Л-т

где (f);, и (f)„ - горизонтальная и вертикальная компоненты (f). Для глобально ограниченных во всем слое мод (ho)h = he,qX, где h = (—52,131,0) и

As(q) = -Ч\Ч\2 + £ £ (-l)'(V х Гт(Ь)з9ш?з-Ь

i=1 171=1

Определены все члены разложений (1), (2). Найдено, что h„ симметричны относительно вертикальной оси при нечетных п, и антисимметричны при четных; Агп+i = 0; при п > 0 (h„)/, = 0 (условие нормировки); зависимость h„ от медленных переменных представлена сомножителем eiqX. Показано, что вихревые поправки магнитной диффузии из-за короткомасштабных плоско-параллельных штоков в слое (в предположении, без потери общности, что поток не зависит от %ъ и V2 = 0) всегда неотрицательны, т.е. такие потоки способны только усилить молекулярную диффузию.

Конвективные план-формы при отсутствии вращения - полоидальные течения: V(x) = V х V х (Р(х) е3),

Р(х) = (»1 cos(KiZ1) соз(/^2хг) + ol% cos(piC2X2)) w(x^).

Здесь o;i и а2 - константы, р целое, К\/К^ = у/р2 — 1 при а2 ^ 0. Вертикальные профили мод неустойчивости в слое 0 < х$ < г со свободными непроницаемыми границами - функции

wn{xz) = sinna:3, п> 0 целое. (11)

Вычисления сделаны для нормализованных план-форм: (|V|2) = 1.

Группа симметрии план-формы включает симметрии отражения относительно плоскостей Xj — 0, j ~ 1,2 (симметрия (10) - их композиция), и, если конвективная ячейка квадратная и а2 = 0, то независимую симметрию отражения относительно диагональной плоскости х\ = х^. План-формы с вертикальными профилями (11) имеют центры симметрии.

Каждая из симметрии отражения разбивает область определения оператора магнитной индукции в прямую сумму двух инвариантных подпространств, состоящих из симметричных и антисимметричных полей по

отношению к рассматриваемой симметрии. Как следствие, оператор магнитной вихревой диффузии диагонален, и

т]Му = тЬ(-А2(ч)) = г) + тт(—(V х Г12>3, (V х Г21)3).

|ч(=1

При определенных наборах параметров квадратные ячейки оказываются короткомасштабными кинематическими динамо. Рис. 6 иллюстрирует неожиданное совпадение окон кинематической генерации коротко- и длинномасштабного магнитного поля для план-форм при «2=0 (численно воспроизведенное для различных вертикальных профилей

N

^(Яз) = £ /?„8т(пхз), (12)

П=1

где /3„ - константы, при N < 3). При а.чф 0 генерации магнитного поля с такой же периодичностью в горизонтальных направлениях, как у потока, не обнаружено, но существует интервал отношений аг/^ь в котором 'ЧеНу < 0 (рис. 7). Генерация короткомасштабного магнитного поля шестиугольными конвективными ячейками найдена в [18] в контексте исследования солнечного динамо (соответственно, пространство над верхней границей считалось состоящим из диэлектрика). Для таких план-форм с вертикальными профилями (12) случаев т]ему < 0 при N < 2 не обнаружено.

Таким образом, найдено семейство план-форм (с а2 ф 0) тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости без вращения, которые кинематически генерируют только длинномасштабное магнитное поле, однако интервалы параметров, в которых г]^ < 0, малы, также как малы по абсолютной величине найденные вихревые диффузии. Спиральность план-форм равна нулю, поэтому возможность генерации ими как коротко-масштабных, так и длинномасштабных магнитных полей демонстрирует отсутствие связи генерации магнитного поля со спиральностью течения.

Ввиду сходства свойств устойчивости к длинномасштабным возмущениям гидродинамических и магнитных систем естественно обобщить ее исследование на случай единой МГД системы, в которой мода возмущения может иметь и магнитную, и гидродинамическую составляющие. Это сделано в главе 4, следуя [3], для стационарного пространственно-периодического МГД состояния V, Н, Р, удовлетворяющего уравнению

Рис. 6: Т}ецу (сплошная линия, вертикальная ось) п инкремент роста доминирующей короткомасштабной магнитной моды с нулевым средним горизонтальных компонент (пунктир, вертикальная ось) для план-форм с п — 1, = 2, «2 = О и (11) ПРИ 1 — 0-06 как функция К\ (горизонтальная ось).

Рис. 7: т)шу (сплошная линия, вертикальная ось) и инкремент роста доминирующей короткомасштабной магнитной моды с нулевым средним горизонтальных компонент (пунктир, вертикальная ось) для план-форм с п = 1, р = 2, К\ = 1.5\/3, К?. = 1.5 и (11) при т] = 0.0075 как функция отношения аг/сц (горизонтальная ось).

Навье-Стокса с силами Архимеда и Лоренца (вращения нет) и уравнению магнитной индукции. Пространственная инвариантность системы нарушена присутствием в них источниковых слагаемых, не равных одновременно нулю. Линейная устойчивость состояния V, Н, Р определяется задачей на собственные значения для оператора линеаризации в окрестности исследуемого состояния. Ее решение ищем в виде рядов (1), (2) и

v= f>„(x,X)en, (13)

n=0

оо

p=Epn(x,X)e". (14)

n=0

В ситуации общего положения уравнения для главных членов рядов (1), (13) и (14) имеют вид

Е (АГ Vx<v0)t + Vx(hob) - VxG*) - A!(v0), (15)

i=l

Vx X E (Af(v0>t + Af(h0}h) = Ai(ho). (16)

fc=i

Здесь А'ь - матрицы размера 3 х 3, а Af - трехмерные векторы, выраженные через решения вспомогательных задач I-III типа. Оператор в частных производных первого порядка в левой части (15)—(16) - оператор комбинированного МГД а-эффекта. При наличии а-эффекта (этот оператор ненулевой) и в его отсутствие (он равен нулю) дальнейший ход рассуждений различный. Имеет место обычная для а—эффекта альтернатива: либо возмущение с любым волновым вектором имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, либо - в ситуации общего положения - существуют экспоненциально растущие возмущения. Для случая а—эффекта построены полные асимптотические разложения мод линейных возмущений и их временных инкрементов, если оператор а—эффекта удовлетворяет условию типа эллиптичности.

Рассмотрен "противоположный" случай, когда поля V и Н центрально-симметричны, ввиду чего а—эффект отсутствует. Тогда Aj = 0, (р'0) = 0, а уравнения для главных членов средних возмущений имеют вид

+£ к % +^Шд ~Ух(р1)=Л2(уо)'

(17)

^<Ь0) + V* X Е Е (в-^й + О-^) = Л2(Ь0>. (18)

Коэффициенты пыражепы через решения вспомогательных задач II типа. Дифференциальный оператор, определенный левой частью (17)—(18), - оператор анизотропной комбинированной МГД вихревой диффузии.

Глобально ограниченные в пространстве собственные функции задачи (17)-(18) - гармоники Фурье: (уо) = ^е<ч'х и (Ь0) = Ье,ч'х. В рассматриваемом случае также построены полные асимптотические разложения мод линейных возмущений и их временных инкрементов; показано, что и Ь„ при четных п симметричны, а при нечетных - антисимметричны, Р2п антисимметричны, р2п+1 - симметричны, Л2П+1 = 0.

Численно исследован вопрос, насколько редко явление отрицательной комбинированной МГД диффузии. Стационарные поля V, Н с экспоненциально убывающим энергетическим спектром в кубе периодичности синтезировали процедурой, использованной в главе 1. Применение метода, основанного на рассмотрении вспомогательных задач для сопряженного оператора, снижает количество численно решаемых вспомогательных задач при вычислении Г]еау с 24 до 12. Проверено, что при трех рассмотренных значениях V = г] каждое МГД состояние из сгенерированного ансамбля устойчиво к короткомасштабным МГД возмущениям с тем же пространственным периодом, как и у самих состояний. Эффект отрицательной вихревой диффузии наблюдается уже при V = ц = 3/4 (рис. 8), и во всех случаях вихревая диффузия оказалась меньше молекулярной.

Таким образом, численный эксперимент показал, что из-за наличия возмущений поля скорости комбинированная вихревая диффузия может принимать отрицательные значения при существенно больших значениях коэффициентов молекулярной диффузии при рассмотрении возмущений МГД системы общего вида, чем в кинематическом динамо.

В главе 5, следуя [5], выведены уравнения, описывающие поведение усредненных по коротким масштабам полей длинномаспггабных возмущений, амплитуда которых по порядку величины не превышает отношение

4=1 -

1 -г >г

(а)

щ

0.0 0.2 0.4

(Ь)

-0£ -0.6 -0.4 -О2 0.0 02

(с)

Рис. 8: Гистограммы г/е<Му (горизонтальная ось) в ансамбле из 25 модельных МГД состояний при ¡/ = 77 = 1 (а), г^ = /7 = 3/4 (Ь), г/ = ?? = 1/2 (с).

масштабов е, в последующей, нелинейной стадии эволюции. Допускается зависимость произвольного вида от быстрого времени МГД состояния V, Н, Р, устойчивость которого исследуется. Предполагается, что выполнено необходимое условие применимости процедуры построения решений с двумя масштабами - корректность усреднения по времени. Показано с применением принципа Дюамеля, что, если исследуемое на устойчивость к длинномасштабным возмущениям МГД состояние устойчиво к ко-роткомасштабным возмущениям, это условие выполнено, а коэффициенты уравнений средних полей не зависят от начальных условий для решений вспомогательных задач. Однако для применимости теории, достроенной в этой главе, к хаотическим аттракторам, условие линейной устойчивости рассматриваемого МГД состояния к короткомасттабвым возмущениям не ставится. Условие пространственной периодичности V, Н, Р заменено на

более естественное условие, что возникающие при выводе уравнений средних полей вспомогательные задачи имеют решения, глобально ограниченные по (быстрым) пространственным переменным и времени вместе с производными. Полагаем, что источниковые слагаемые в уравнениях Навье-Стокса и магнитной индукции, определяющих возмущаемое состояние, зависят от обеих переменных х и < и одновременно не равны нулю, что нарушает пространственную и временную инвариантность системы.

Решение ищем в виде рядов (1), (13) и (14), члены которых зависят от быстрых переменных х и £ и медленных переменных Х=£х,Т = Л. При наличии в системе а—эффекта в = 1; показано, что тогда уравнения средних полей оказываются линейными - идентичными уравнениям задачи о линейной устойчивости, рассмотренной в главе 4. При отсутствии а-эф-фекта и наличии эффекта комбинированной МГД вихревой диффузии в = 2.

Уравнения средних полей возмущений, выведенные при изучении длин-номасштабной слабо нелинейной устойчивости МГД состояния, в котором V и Н центрально-симметричны, имеют вид

д Илг \\ 4. »V2 /миггг /п» Р^оЬ , пь дЧЫ)к

+ щ (А^ДУОЬЬ»™ + А^ЬЬ((Ьо))т + А^ЬоМММ)

+ «Ы • Ух)Ь)> - (<(Ьо)> • Ух)((Ьо» - Ух((р?» = 0; (19) ухх((Ы)X(М+Е Е (о-^ +

+ А-ткА

Ныыыи + А^ЬМ(М}т + А^л<(ЬоМ(Ьо»т)) = 0. (20)

Здесь О - коэффициенты оператора комбинированной вихревой диффузии, рассмотренного в главе 4, трехмерные векторы А - квадратичного оператора вихревой коррекции адвекции. Эти коэффициенты выражены через решения вспомогательных задач 1-Ш типов. При рассмотрении задач для сопряженного оператора число вариантов вспомогательных задач, которые необходимо решить для вычисления полного набора коэффициентов операторов вихревой коррекции в уравнениях средних полей (19)—(20), уменьшается с 45 до 15.

Таким образом, если МГД система центрально-симметрична, то а—эффект отсутствует, и уравнения средних полей для слабо нелинейных возмущений обобщают уравнения Навье-Стокса и магнитной индукции: в них появляются новые члены - оператор анизотропной комбинированной МГД вихревой диффузии и квадратичные слагаемые нелинейной анизотропной комбинированной вихревой коррекции адвекции.

В главе 6, следуя [8], рассмотрена слабо нелинейная устойчивость к длинномасштабным возмущениям конвективных МГД состояний в горизонтальном слое (линейная задача изучена в [7]). Предполагается, что гидромагнитная тепловая конвекция вынужденная, т.е. в жидкости действуют внешние силы (в дополнение к рассматриваемым силам архимедовой плавучести, Кориолиса и Лоренца) и/или источники магнитного толя и тепла. Границы слоя из идеального проводника свободны от напряжений и поддерживаются при постоянных температурах. Допускается вращение жидкости вокруг вертикальной оси, что важно для геофизических приложений. Из-за учета силы Кориолиса анализ усложняется: уравнение Навье-Стокса применено в форме для завихренности О, и при несущественности а—эффекта уравнение для среднего возмущения потока получается как условие разрешимости короткомасштабного уравнения в порядке е3, а не е2, как в задачах, рассмотренных ранее. Одновременно с системой уравнений порядка еп необходимо рассматривать уравнение для завихренности порядка еп+1, чтобы найти члены разложений (шп+{)ь и Как и в главе 5, не ставятся требования стационарности, пространственной периодичности или квазипериодичности по горизонтальным направлениям возмущаемой короткомасштабной конвективной МГД системы; для применимости теории этой главы к задачам устойчивости хаотических аттракторов линейная устойчивость возмущаемого конвективного МГД состояния к короткомасштабным возмущениям не предполагается.

Вместо температуры рассматриваем разность © между температурой и ее линейным распределением. Возмущения шцем в виде рядов

оо 71=0

члены которых зависят от быстрых переменных хи(е медленных переменных X = е(х1,.Т2), Т = еЧ (в = 1, если а—эффект существенен, в

противном случае я = 2). Как и в главе 5, в ситуации общего положения в системе возникает магнитный а—эффект и АКА-эффект, коэффициенты соответствующих операторов выражаются через решения вспомогательных задач I типа. Уравнения средних полей оказываются линейными дифференциальными уравнениями первого порядка, их решения неограниченно экспоненциально растут.

Соответственно, рассмотрены нелинейные конвективные динамо, в которых а—эффект несущественен в главном порядке: равны нулю вертикальная компонента магнитного о;—тензора и горизонтальная компонента а—тензора в уравнении для завихренности. Равенство нулю других компонент а—тензоров не требуется (поэтому речь идет о несущественности, а не об отсутствии комбинированного а—эффекта). Несущественность а—эффекта гарантируется симметрией со сдвигом по времени режима П,У,Н, 9 относительно вертикальной оси или центра.

Уравнения для среднего возмущения магнитного поля и скорости течения имеют вид (22) и (23) (см. ниже), где в рассматриваемом случае все Л — 0; Б - коэффициенты оператора комбинированной вихревой коррекции диффузии, А - комбинированной вихревой коррекции адвекции, (1 - псевдодифференциального оператора второго порядка, интерпретируемого как описывающего нестандартную нелокальную анизотропную комбинированную вихревую диффузию. Насколько нам известно, этот эффект впервые описан в [8]; он не возникает, если возмущаемое состояние стационарно или имеет симметрии указанного типа без сдвига по времени. Коэффициенты <1 выражены через решения вспомогательных задач IV типа. Выбор начальных условий не влияет на величину коэффициентов из-за экспоненциального убывания во времени вызванных этим изменений решений вспомогательных задач.

Рассмотрены также длинномасштабные возмущения короткомасштаб-ных конвективных МГД состояний

оо

(П,У,Н,0)= Е(Пп,Уп,У„,0„)е", П„ = УххУп, (21)

п=0

например, рождающихся в бифуркации Хопфа (которая происходит, когда пара комплексно-сопряженных собственных значений оператора линеаризации пересекает действительную ось, - стационарность режима в точке

бифуркации не требуется), когда параметр ß = ßa + fte2 (пропорциональный числу Рэлея) принимает критическое значение ßo. Уравнения средних полей возмущений имеют следующую структуру:

Vx х + ^(Ы>л - («v„b • Vx)((v0»A + (((hob ' Vx)((ho))A

+ E t [щ №((vo»m + <-((ho»m) +E (D^.((vob

+ D^((h0)>, (d^-bb + d^((hob) j (22)

+Щ (A^bb((vo))m + A^((v0b((h0»m + A^.((ho))fc((ho»m)))j = 0; -¿((hoK + + Vxx (Ь))л x ((ho)),,

+ E (^"((vob + Ahkh{(hü))k) + E E + D"«hob

k=l m=1 fc=l wAm \

+ №<№ + <Ü«ho»i)) (23)

+ А^((у0)),((у0))т + A^'((v0)),((h0))m + А^ЦЬоЫЫи)) = 0.

Дифференциальные операторы первого порядка с коэффициентами Л, выраженными через решения вспомогательных задач V типа, описывают комбинированный а—эффект. Он возникает несмотря на его отсутствие в главном порядке, например, если бифуркация Хопфа - с потерей симметрии, т.е. когда конвективное МГД состояние fio> V0, Но, 0о имеет одну из указанных выше симметрий, а fii, Vi,Hi,6i - антисимметричный набор векторных полей. Таким образом, как и в почти осесимметричных моделях, построенных С.И. Брагинским и Э. Соуордом, из-за малого, порядка е, отличия возмущаемого режима от симметричного, в уравнениях средних полей появляется оператор а—эффекта.

Рассмотрены длинномасштабные возмущения конвективных динамо (21) в случае, когда ядру оператора линеаризации при ß = ßo принадлежит короткомасштабное поле с нулевыми пространственными средними

горизонтальных компонент поля скорости и магнитного поля, и вертикальной компоненты завихренности - в частности, когда ветвь режимов (21) рождается в вилочной бифуркации при /3 = (стационарность или периодичность по времени режима в точке бифуркации не требуем). Появляется новое условие разрешимости вспомогательных задач - ортогональность правых частей уравнений векторному полю с нулевыми пространственным средним вертикальной компоненты завихренности и пространственно-временным средним горизонтальной компоненты магнитного поля, принадлежащему ядру оператора, сопряженного оператору линеаризации. Эта задача рассмотрена только для конвективных МГД режимов, обладающих в точке бифуркации одной из симметрий указанного выше типа, а корот-комасштабное поле из ядра оператора линеаризации - антисимметричный набор полей. Появляется новая переменная - амплитуда короткомасштаб-ной нейтральной моды неустойчивости. Уравнения для главных членов средних полей возмущений составляют замкнутую систему совместно с условием ортогональности правых частей уравнений, полученных из уравнений для возмущений в порядке е2, указанному векторному полю из ядра сопряженного оператора (из-за громоздкости указанная система в автореферате не приведена). Последнее уравнение в случае общего положения содержит нелокальные операторы (если возмущаемый режим ¡Г2о, Уо,Но, 0о стационарен или имеет симметрию рассмотренного выше вида без сдвига по времени, то они отсутствуют), и кубическую нелинейность. Таким образом, эволюция слабо нелинейных возмущений конвективных динамо из такого семейства может демонстрировать большее разнообразие режимов нелинейного поведения, чем в других рассмотренных случаях.

В главе 7, следуя [9], выведена замкнутая система амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений, для режимов свободной гидромагнитной конвекции, - когда в объеме жидкости не действуют внешние силы и нет источников магнитного поля и тепла. Характер конвекции: свободная, а не вынужденная - единственное отличие системы, изучаемой в этой главе, от рассмотренной в предыдущей.

Дифференцируя уравнения, описывающие возмущаемый режим Я, V, Н,0, находим, что Я* = д/дхц(П,Н,&) (к = 1,2) ш = д/дф,Н,в) -

короткомасштабные нейтральные моды устойчивости (это следствие пространственно-временной инвариантности рассматриваемого конвективного МГД режима). Кроме того, как и в задачах главы 6, ядру оператора линеаризации принадлежат моды Sk (к = 3,4) с (S¿)/, = Соот-

ветственно, для неособых наборов параметров ядро оператора линеаризации имеет размерность К = 4 (если режим стационарен) или 5 (если нестационарен). Возмущения в главном порядке имеют вид линейной комбинации нейтральных мод:

К

(wo,ho,0o) = Éo+ Есо^, fc=i

где £¿ экспоненциально убывает в быстром времени t. Показано, что (vo}fi = 0. Необходимо построить замкнутую систему уравнений для амплитуд сок(Х,Т).

В общем случае рассматриваемые амплитудные уравнения оказываются линейными уравнениями в частных производных первого порядка, аналогично появлению комбинированного МГД а—эффекта для возмущений режимов вынужденной конвекции. Как и при вынужденной конвекции, при наличии а—эффекта возникает система линейных амплитудных уравнений первого порядка, решения которой экспоненциально растут в медленном времени Т = eí.

Изучен случай, когда а—эффект несущественен в главном порядке (например, при наличии симметрий, указанных в главе 6). Если возмущаемый режим нестационарен, то в систему амплитудных уравнений входит уравнение

Это одно из условий разрешимости уравнений в быстрых переменных, полученных из уравнений для возмущений в порядке е2; другие условия разрешимости для них принимают вид

//„ \\ £ ( £ (я ^ £ £ я д*У£сок \ * \

((Vl))h = Ъ L iPlmirgY" + LjPSijmkQ-jr QXdX- / ^ P-2mkC0mCñk I .

(25)

Константы p' и векторы /? выражены в терминах нейтральных мод S¿.

Усредняя вертикальную компоненту уравнения, полученного из уравнения для возмущения завихренности в порядке е3, получаем

Vx * Üw. (i ik

+ E A:mtc0mc0t) = 0. (26)

m=l /

Усредняя горизонтальную компоненту уравнения, полученного из уравнения для возмущения магнитного поля в порядке е2, находим

-¿«ho»* + ^|((Ь0»Л + VX х £

+ Е Е 4т* )+A^CofcCom) = (2?)

Коэффициенты амплитудных уравнений (26) и (27) выражены через решения вспомогательных задач II—IV типов; d = 0, если режим i2, V, Н, 0 стационарен или имеет симметрию без сдвига по времени.

Уравнения (26) и (27) составляют замкнутую систему амплитудных уравнений (cofc = ((hn))fc-a для к - 3,4, т.к. (Sj)j, = вместе с (24) (если режим нестационарен) и с условиями соленоидальности старших членов разложений средних возмущений магнитного поля и скорости потока. Старший член разложения среднего возмущения скорости потока - либо (25), либо, если режим V,H, в стационарен и имеет симметрию, рассмотренную в главе 6, то (v\)h = 0, и это

К { 2 2 д2С0к К 2 I, дсцк

(v2 )h = Е Е Е ßlnmk я v Яу + Е Е ft'L,nkC0mjrr^

k-l \m=ln=l ОЛтОЛп m=i„=l ОЛп

К К \

+ Е Е ß'LmkCOkCOmCOn ■ (28)

m=ln=l /

Векторы-константы ß" выражены через решения вспомогательных задач II—IV типов.

Таким образом, в систему амплитудных уравнений для возмущений режимов свободной конвекции не входит уравнение среднего поля для возмущения скорости течения. Уравнения (27) для усредненного возмущения

магнитного поля - эволюционные, остальные - (26), (24) и условие солено-идальности для среднего возмущения скорости течения - не содержат ни производных по (медленному) времени, ни операторов молекулярной диффузии. Если конвективный МГД режим стационарен и имеет симметрию, гарантирующую несущественность а—эффекта, то условие соленоидаль-ности среднего возмущения потока (28) - дифференциальное уравнение третьего порядка с кубической нелинейностью.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Обсуждаются возникающие в рассмотренных задачах при несущественности а—эффекта в главном порядке различные физические вихревые эффекты, отраженные в структурных особенностях амплитудных уравнений, описывающих длинномасгптабную вариацию профилей возмущений.

В приложении описаны результаты выполненных автором диссертации расчетов режимов генерации магнитного поля свободной тепловой конвекцией во вращающемся относительно вертикальной оси горизонтальном слое электропроводной жидкости, в которых найдены периодические во времени и стационарные конвективные гидромагнитные состояния, устойчивые к короткомасштабным возмущениям и симметричные относительно вертикальной оси. К ним приложима построенная в главе 7 теория слабо нелинейных длинномасштабных возмущений.

Основные результаты работы

1. В диссертации получены математически строгие решения последовательности задач возрастающей сложности из области теории устойчивости короткомасштабных МГД режимов к возмущениям, имеющим большие пространственные и временные масштабы, в которых при несущественности а—эффекта в главном порядке возникает явление вихревой диффузии.

Решения этих задач имеют ряд общих свойств. Эволюция возмущения на линейной и слабо нелинейной стадиях описывается амплитудными уравнениями (в ряде случаев имеющими смысл уравнений средних полей возмущения) для главных членов разложения возмущения в ряд по малому

параметру е - отношению пространственных масштабов. Для МГД систем общего положения отношение временных характерных масштабов также порядка е, а амплитудные уравнения задаются линейными операторами первого порядка в частных производных по медленным пространственным переменным, описывающими анизотропный комбинированный а—эффект (в котором одновременно представлены и магнитный, и кинематический а—эффекты). Другие вихревые эффекты (например, вихревая диффузия) отсутствуют, также как при рассмотрении слабо нелинейной устойчивости - нелинейность. Такие уравнения, как правило, имеют неограниченно экспоненциально (точнее, сверхэкспоненциально) растущие в медленном времени решения, т.е. имеет место длинномасштабная неустойчивость (в исключительных случаях характер поведения в медленном времени любой длинномасштабной моды - гармонические колебания).

2. Если а—эффект несущественен в главном порядке, отношение характерных масштабов медленного и быстрого времени порядка е2. В таких МГД системах наблюдается разнообразие вихревых эффектов - эффектов, вызванных усредненным воздействием короткомасштабных деталей возмущения, взаимодействующих с режимом, устойчивость которого изучается, на зависящие только от медленных переменных амплитуды нейтральных мод оператора линеаризации уравнений магнитогидродинамики в окрестности этого режима. Для МГД систем, определенных в пространстве, несущественность а—эффекта в главном порядке гарантируется их центральной симметрией, а для МГД систем в слое - также симметрией относительно вертикальной оси; для МГД режимов, периодических во времени, эти симметрии могут быть со сдвигом во времени.

3. Один из таких эффектов - анизотропная вихревая коррекция диффузии - описывается дифференциальным оператором второго порядка. Оператор вихревой диффузии (сумма операторов молекулярной диффузии и вихревой коррекции) не обязательно знакоопределен; если он имеет положительные собственные значения, говорят об эффекте отрицательной вихревой диффузии. В диссертации выведены формулы, определяющие коэффициенты оператора вихревой коррекции диффузии в терминах решений вспомогательных задач, и разработан метод, позволяющий минимизировать число вспомогательных задач, подлежащих численному решению для

вычисления этих коэффициентов. Свойства оператора магнитной вихревой диффузии для искусственно сконструированных потоков и МГД состояний, моделирующих мелкомасштабную турбулентность, детально исследованы численно. Найдено, что эффект отрицательной вихревой диффузии физически реален, причем неустойчивость МГД режимов к длинномасштаб-ным возмущениям, имеющим ненулевые составляющие как течения, так и магнитного поля, возбуждается механизмом отрицательной вихревой диффузии существенно легче, чем в кинематических динамо, где возмущение представлено только магнитным полем. Стационарные течения лучше генерируют магнитные поля, чем периодические по времени.

4. В амплитудных уравнениях для длинномасштабных возмущений МГД режимов с несущественным в главном порядке а—эффектом возникают анизотропные псевдодифференциальные операторы второго порядка в медленных пространственных переменных, интерпретируемые как описывающие нестандартные нелокальные вихревые диффузионные процессы. Они не присутствуют, если возмущаемое короткомасштабное МГД состояние стационарно или имеет пространственную симметрию относительно центра или вертикальной оси без сдвига по времени. Оператор нелокальной вихревой диффузии имеет природу а—эффекта, вызванного наличием у усредненного по быстрым пространственным переменным второго члена разложения возмущения скорости течения флуктуирующей в быстром времени компоненты, описываемой псевдодифференциальным оператором и обеспечивающей соленоидальность в медленных переменных рассматриваемого члена разложения возмущения скорости. Таким образом, нелокальная вихревая диффузия связана с воздействием компоненты давления, обеспечивающей несжимаемость усредненного возмущения течения.

5. При рассмотрении слабо нелинейной устойчивости индивидуальных МГД состояний при условии несущественности а—эффекта в главном порядке в амплитудных уравнениях появляются квадратичные слагаемые с частными производными первого порядка по медленным пространственным переменным. Они возникают при усреднении адвективных слагаемых, и потому идентифицированы как операторы анизотропной вихревой коррекции адвекции.

6. Операторы а-эффекта в амплитудных уравнениях для длинномас-штабных возмущений МГД режимов с несущественным в главном порядке а—эффектом отсутствуют, хотя эти уравнения представляют собой условия разрешимости уравнений, описывающих поведение членов разложения возмущения второго или третьего порядков малости.

7. Однако а—эффект сосуществует с диффузионными операторами в амплитудных уравнениях, выведенных при рассмотрении устойчивости МГД режимов, зависящих от е, если опи слабо несимметричны (имеются в виду симметрии, гарантирующие несущественность а—эффекта в главном порядке), и несимметричная часть порядка е. Это происходит, например, если возмущаемый МГД режим рождается в бифуркации с потерей симметрии типа Хонфа или вилки. В последпем случае число амплитудных уравнений увеличивается на одно, и в новом уравнении присутствует кубическая нелинейность. (Сосуществование а—эффекта в амплитудных уравнениях с оператором молекулярной диффузии, когда амплитуда исследуемого на устойчивость МГД состояния порядка у/е, показано в [10-12].)

8. Во всех рассмотренных выше случаях амплитудные уравнения эволюционные. При изучении устойчивости (индивидуальных) режимов свободной тепловой МГД конвекции в горизонтальном слое жидкости эволюционными остаются только уравнения, описывающие поведение среднего возмущения магнитного поля. Если возмущаемый режим свободной тепловой МГД конвекции стационарен и имеет симметрию, гарантирующую несущественность а—эффекта в главном порядке, то одно из амплитудных уравнений - в частных производных третьего порядка по медленным пространственным переменным и имеет кубическую нелинейность. Можно ожидать, что ввиду наличия кубической нелинейности поведение возмущений стационарных симметричных режимов свободной МГД конвекции (как и возмущений режимов вынужденной МГД конвекции, появляющихся в вилочной бифуркации) демонстрирует наибольшее разнообразие типов поведения. Численно найдены примеры стационарных и периодических по времени симметричных относительно вертикальной оси пространственно-периодических короткомасштабных режимов свободной тепловой МГД конвекции в слое, устойчивых по отношению к коротко-масштабным возмущениям, для которых планируется провести численный

анализ решений системы амплитудных уравнений.

9. Аналитические результаты, полученные в диссертации, имеют непосредственное значение для астрофизического и геофизического моделирования. Они в частности, показывают, что выбор набора вихревых эффектов (а—эффекта, вихревых диффузии, нелокальной диффузии и адвекции), используемых в модели, надо начинать с рассмотрения предполагаемых свойств короткомасштабной турбулентности, ответственных за их наличие. Так, привлечение концепции турбулентной вязкости для обоснования использования в вычислениях завышенных коэффициентов молекулярной вязкости корректно только, если объяснено, почему в рассматриваемой МГД системе нет а—эффекта в главном порядке.

Основные публикации по теме диссертации

Основные теоретические положения диссертации опубликованы в [19] (аналогичные задачи кинематического динамо при других предположениях об амплитуде поля скорости решены в [10-12]), а использованные в работе специализированные методы численного решения вспомогательных задач и короткомасштабных задач линейной устойчивости - в [13-15]. Интерпретация структур магнитного поля основана на работах [16, 17]. Короткомасштабная генерация магнитного поля гексагональными план-формами изучена в [18].

1. Zheligovsky V.A., Podvigina О.М., Friscli, U. Dynamo effect in parity-invariant flow with large and moderate separation of scales // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2001. - Vol. 95. - P. 227-268.

2. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M. Generation of multiscale magnetic field by parity-invariant time-periodic flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2003. - Vol. 97. - P. 225-248.

3. Желиговский В. А. О линейной устойчивости стационарных пространственно-периодических магнитогидродинамических систем к длинно-периодным возмущениям // Физика Земли. - 2003. - Л^ 5. - С. 65-74.

4. Zheligovsky V.A. Convective plan-form two-scale dynamos in a plane layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2005. - Vol. 99. - P. 151-175.

5. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость магнитогпдродина-мических систем, имеющих центр симметрии, к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. - 2006. - Af°3. - С. 69-78.

6. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость конвективных маг-нитогидродинамических систем без а—эффекта к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. - 2006. - Ml2. - С. 92-108.

7. Baptista М., Gama S.M.A., Zheligovsky V. Eddy diffusivity in convective hydromagnetic systems // Eur. Phys. J. B. - 2007- - Vol. 60. - P. 337-352.

8. Zheligovsky V.A. Mean-field equations for weakly non-linear multiscale perturbations of forced hydromagnetic convection in a rotating layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2008. - Vol. 102. - P. 489-543. http://arxiv.org/abs/0804.2326vl

9. Zheligovsky V. Amplitude equations for weakly nonlinear two-scale perturbations of free hydromagnetic convective regimes in a rotating layer. Подано в Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 2008. http://arxiv.org/abs/0809.1195vl

10. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб // Компьютерный анализ геофизических полей. Вычисл. сейсмология. - М.: Наука, 1990. -Вып. 23. - С. 161-181.

11. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб. II // Современные методы обработки сейсмологических данных. Вычисл. сейсмология. - М.: Наука, 1991. - Вып. 24. - С. 205-217.

12. Zheligovsky V.A. a—effect in generation of magnetic field by a flow of conducting fluid with internal scale in an axisymmetric volume // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1991. - Vol. 59. - P. 235 -251.

13. Zheligovsky V. Numerical solution of the kinematic dynamo problem for Beltrami flows in a sphere // J. Scientific Computing. - 1993. - Vol. 8. -P. 41-68.

14. Podvigina O.M., Zheligovsky V.A. An optimized iterative method for numerical solution of large systems of equations based on the extremal property

of zeroes of Chebyshev polynomials // J. Sci. Computing. - 1997. - Vol. 12. - P. 433-464.

15. Желиговский B.A. Чебышевский итерационный метод с расщеплением оператора для вычисления корней больших систем уравнении // Труды международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности", Москва, 13-17 февраля 2000 / Ред. С.Я.Герценштейн. - Изд-во МГУ, 2002. - С. 87-103.

16. Zheligovsky V.A. A kinematic magnetic dynamo sustained by a Beltrami flow in a sphere // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1993. - Vol. 73. -P. 217-254.

17. Galloway D.J., Zheligovsky V.A. On a class of non-axisymmetric flux rope solutions to the electromagnetic induction equation // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1994. - Vol. 76. - P. 253-264.

18. Zheligovsky V.A., Galloway D.J. Dynamo action in Christopherson hexagonal flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. - 1998. - Vol. 88. - P. 277-293.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www.stprint.ru e-mail: zakaz@stprint.ni тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 15.09.2008 г.

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Желиговский, Владислав Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ МАСШТАБОВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫМ СТАЦИОНАРНЫМ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПОТОКОМ.

1.1 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста.

1.2 Условие разрешимости задачи £g = f и свойства ядра оператора магнитной индукции.

1.3 Уравнения порядка

1.4 Уравнения порядка е

1.5 Уравнения порядка е2: оператор магнитной вихревой диффузии

1.6 Уравнения порядка еп, п >

1.7 Насколько редко явление отрицательной магнитной вихревой диффузии?

1.8 Сильно отрицательные значения магнитной вихревой диффузии

1.9 Генерация магнитного поля с умеренным разделением масштабов

1.10 Выводы

Глава 2. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ МАСШТАБОВ ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫМ ПОТОКОМ, ПЕРИОДИЧЕСКИМ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВРЕМЕНИ

2.1 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста.

2.2 Решение задачи Флоке для произвольного потока, периодического по времени

2.3 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста для течения (2.1)

2.4 Уравнения порядка для течения (2.1)

2.5 Уравнения порядка е1 для течения (2.1)

2.6 Уравнения порядка £2 для течения (2.1)

2.7 Уравнения порядка en, п > 2, для течения (2.1)

2.8 Вычисление тензора магнитной вихревой диффузии

2.9 Магнитная вихревая диффузия для течений (2.1): численный анализ

2.10 Магнитная вихревая диффузия течения (2.1) в пределе больших частот cj

2.11 Выводы

Глава 3. КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ МАСШТАБОВ

КОНВЕКТИВНЫМИ ПЛАН-ФОРМАМИ

3.1 Постановка задачи

3.2 Асимптотические разложения длинномасштабных магнитных мод и инкрементов их роста

3.3 Уравнения порядка

3.4 Уравнения порядка е

3.5 Уравнения порядка е

3.6 Уравнения порядка еп, п > 2.

3.7 Магнитная вихревая диффузия плоско-параллельных течений

3.8 Конвективные план-формы в слое жидкости без вращения

3.9 Оператор магнитной вихревой диффузии для конвективных план-форм в слое

3.10 Численные результаты

3.11 Выводы

Глава 4. ЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

4.1 Асимптотические разложения длинномасштабных МГД мод и инкрементов их роста

4.2 Условия разрешимости задач .M(w, g, q) = f.

4.3 Уравнения порядка

4.4 Уравнения порядка е1: оператор комбинированного МГД а—эффекта

4.5 Уравнения порядка е1: случай а—эффекта.

4.6 Уравнения порядка еп, п > 1: случай а—эффекта

4.7 Уравнения порядка е1: случай вихревой диффузии

4.8 Уравнения порядка е2: оператор комбинированной МГД вихревой диффузии

4.9 Уравнения порядка еп, п > 2: случай вихревой диффузии

4.10 Насколько редко явление отрицательной комбинированной МГД вихревой диффузии?

4.11 Выводы

Глава 5. СЛАБО НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

5.1 Асимптотические разложения длинномасштабных слабо нелинейных возмущений МГД состояний.

5.2 Разрешимость задач .M(w,g, q) = f.

5.3 Уравнения порядка s°

5.4 Уравнения порядка е

5.5 Уравнения порядка е1: случай вихревой диффузии

5.6 Оценки решений задачи (5.17) для пространственно-периодического МГД состояния, устойчивого к короткомасштабным возмущениям

5.7 Уравнения порядка е

5.8 Вычисление коэффициентов операторов вихревой коррекции

5.9 Выводы

Глава 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЖИМОВ ВЫНУЖДЕННОЙ КОРОТКОМАСШТАБНОЙ ГИДРОМАГНИТНОЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

6.1 Уравнения гидромагнитной тепловой конвекции и краевые условия

6.2 Асимптотические разложения длинномасштабных слабо нелинейных возмущений МГД состояний.

6.3 Разрешимость вспомогательных задач.

6.4 Оценка для гладкого векторного поля, соленоидального по быстрым переменным

6.5 Уравнения порядка £°

6.6 Уравнения порядка е1: а—эффект

6.7 Симметрии конвективной МГД системы, гарантирующие несущественность магнитного и кинематического а—эффектов

6.8 Уравнения порядка е1: несущественный а—эффект

6.9 Уравнения порядка е

6.10 Уравнения порядка еъ

6.11 Уравнения средних полей с оператором а—эффекта: длинномасштабные возмущения конвективных МГД систем вблизи бифуркации Хопфа

6.12 Уравнения средних полей с оператором а—эффекта и кубической нелинейностью: длинномасштабные возмущения конвективных

МГД систем вблизи вилочной бифуркации

6.13 Вычисление коэффициентов операторов вихревой коррекции

6.14 Выводы

Глава 7. СЛАБО НЕЛИНЕЙНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕЖИМОВ СВОБОДНОЙ КОРОТКОМАСШТАБНОЙ ГИДРОМАГНИТНОЙ

ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ К ДЛИННОМАСШТАБНЫМ ВОЗМУЩЕНИЯМ.

7.1 Уравнения гидромагнитной тепловой конвекции, краевые условия, операторы линеаризации и асимптотические разложения длинно-масштабных слабо нелинейных возмущений МГД состояний.

7.2 Уравнения порядка £°

7.3 Разрешимость вспомогательных задач.

7.4 Уравнения порядка е1: а—эффект

7.5 Уравнения порядка е1: несущественный а—эффект

7.6 Уравнения порядка £2 и е

7.7 Выводы

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Теория линейной и слабо нелинейной устойчивости магнитогидродинамических режимов к длинномасштабным возмущениям"

Многие космические объекты - планеты, звезды, галактики - обладают магнитным полем. Каково его происхождение - один из фундаментальных вопросов современной астрофизики.

Температура в недрах Земли существенно выше точки Кюри, при которой ферромагнитные материалы теряют намагниченность; она достигается уже на глубине 30 км [41]. Следовательно, объяснение главного магнитного поля Земли постоянной намагниченностью пород (такое предположение высказал У.Гильберт еще в 1600 г. [156]) требует ее слишком большого значения (см., однако, [201]). По палеомагнитным данным главное дипольное магнитное поле Земли существует не менее 3 • 109 лет [94] (что составляет около 2/3 всей ее истории), поэтому его также нельзя считать реликтовым магнитным полем, захваченным при аккреции Земли из межпланетного вещества, так как характерное время затухания магнитного поля в ядре порядка 25000 лет [98]. Высказывались и другие гипотезы об источнике магнитного поля Земли, такие как индукция во время магнитной бури [104], токи, образованные движением находящихся на вращающейся Земле электростатических зарядов, атомарные процессы. Однако детальное рассмотрение этих гипотез показало их несостоятельность [48].

Магнитное поле Земли подвержено изменениям, происходящим с разными временными масштабами: вековые вариации (с периодами ~ 101 — 103 лет), западный дрейф (порядка ~ 0.18° в год), инверсии (характерные периоды ~ 105 — 10б лет) [94, 116, 112]. Инверсии магнитного поля являются причиной магнитных аномалий океанического дна, возникающих вследствие термоостаточной намагниченности отвердевающих на поверхности при спрединге дна жидких расплавов базальтов, поднимающихся у океанических хребтов. Открытие магнитных аномалий океанического дна и определение кажущихся траекторий миграции магнитного полюса для разных континентов по палеомагнитным данным стимулировали развитие теории тектоники плит [37, 66, 113]. Вариации также характерны для магнитного поля Солнца. Диаграммы, известные под названием бабочки Маундера [199, 200], отражают 11-летнее периодическое изменение числа и распределения по широте солнечных пятен, связанных со всплыванием вследствие магнитной плавучести трубок магнитного тороидального поля [47]. Это соответствует 22-летней периодичности подфотосферного тороидального магнитного поля Солнца (период оказывается удвоен из-за смены полярности поля при каждом "взмахе крыльев бабочки").

Перечисленные особенности вариации главного магнитного поля Земли и магнитного поля Солнца указывают на динамический характер их происхождения. Возможная магнитогидродинамическая (МГД) природа этих полей дискутировалась уже в начале XX века [183, 184, 254]. С развитием теории гидромагнитного динамо ответ на вопрос об источнике магнитного поля различных астрофизических объектов - планет [95, 94, 96, 7-13, 168, 97, 98, 166, 251], звезд [222, 270, 271, 272, 51, 202] и галактик [53] - стало принято давать в рамках этой теории [114, 35, 39, 45, 14, 15, 283, 33, 225, 188, 47, 223, 105, 280] (этот список литературы не претендует на полноту), хотя предлагались и альтернативные гипотезы (например, [22]). Современные научные представления о механизмах генерации космических полей изложены в фундаментальных собраниях [186, 129] обзорных лекций ведущих специалистов в этой области.

Эволюция магнитного поля внутри объема проводящей жидкости описывается уравнением магнитной индукции — линейным (относительно магнитного поля) параболическим уравнением в частных производных второго порядка. Магнитное поле оказывает обратное воздействие на поток проводящей жидкости посредством силы Лоренца, квадратичной относительно магнитного поля. Следовательно, пока магнитное поле мало, его обратным влиянием на поток можно пренебречь. Таким образом, для некоторого заданного поля скорости жидкости можно получить информацию о начальной стадии эволюции изначально слабого магнитного поля, изучая решения уравнения магнитной индукции (что с математической точки зрения тождественно исследованию линейной устойчивости немагнитного состояния рассматриваемой МГД системы по отношению к чисто магнитным возмущениям). Эту задачу называют задачей о магнитном кинематическом динамо [45]. Если в пределе больших времен магнитное поле не затухает, то говорят, что при данной величине коэффициента молекулярной магнитной диффузии г] рассматриваемый поток является магнитным динамо. Когда поле скорости жидкости стационарно, определение динамо можно естественным образом переформулировать в терминах спектра оператора магнитной индукции. Пусть Л обозначает для некоторого потока v(x) и коэффициента магнитной диффузии г] доминирующее, т.е. имеющее максимальную действительную часть, собственное значение оператора магнитной индукции; v(x) является динамо при данном 77 тогда и только тогда, когда Re А > 0.

На первых этапах построения теории кинематического динамо были найдены так называемые теоремы антидинамо, т.е. условия, при выполнении которых заданный поток жидкости не является динамо. В частности, по теореме Каулинга [114, 115, 35] осесимметричный поток не может генерировать магнитное поле, имеющее ту же ось симметрии; никакое течение с тороидальным полем скорости [126, 95], и никакой плоскопараллельный (т.е. такой, что вектор скорости в любой точке пространства, заполненного жидкостью, в любой момент времени ортогонален некоторому фиксированному вектору) поток [31, 32] не могут быть динамо.

Дальнейший прогресс в развитии теории динамо связан с идеей Е.Паркера [222, 223] о возможности "циклонической" генерации магнитного поля турбулентным движением проводящей жидкости с полем скорости, не обладающим отражательной симметрией и имеющим ненулевую спиральность. Эта идея лежит в основе теории магнитной гидродинамики средних полей [266, 39, 15], в которой постулируется линейная зависимость средней (после усреднения мелкомасштабных компонент поля скорости и магнитного поля) электродвижущей силы от крупномасштабной компоненты магнитного поля (при более общем подходе — и от ее пространственных производных). С физической точки зрения предложенный Е.Паркером механизм генерации имеет следующий вид.

Согласно теореме Альвена [71], при отсутствии магнитной диффузии магнитное поле вморожено в проводящую среду, т.е. магнитные силовые линии переносятся потоком. Если проводимость жидкости достаточно велика, то спиральное течение жидкости деформирует вмороженное магнитное поле в петлю. Это сопровождается появлением тока, параллельного среднему (невозмущенному) магнитному полю. Если эффект не пропадает при усреднении по большому ансамблю "циклонов" (что возможно, например, в случае однородной, изотропной, но не зеркально-симметричной турбулентности [15, 39]), то закон Ома для крупномасштабного поля изменяется и принимает вид j = сг(Е + аВ) (здесь j — плотность тока, су - удельная электропроводность проводящей жидкости, В - среднее магнитное поле, Е - средняя напряженность электрического поля). Вновь появившееся здесь второе слагаемое описывает так называемый а—эффект.

Если в течении жидкости имеет место разделение масштабов, о;—эффект также появляется, что в этом случае может быть строго математически обосновано без привлечения дополнительных предположений о статистических свойствах флуктуирующих (т.е. зависящих от переменных, традиционно называемых "быстрыми", которые описывают короткие пространственные и/или временной масштабы) компонент потока и магнитного поля. В [16, 17] на основе теорий возмущения [34, 67] и осреднения эллиптических операторов [30, 36, 54, 78, 219, 171, 111] построено полное асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций оператора магнитной индукции для стационарных пространственно-периодических потоков, имеющих два характерных масштаба. При различных соотношениях между отношением этих масштабов и амплитудой флуктуирующей компоненты поля скорости возникают а— или 7—эффекты. В [18] численно исследована сходимость к нулевому приближению асимптотического разложения [16] для случая а—эффекта. В [24, 25, 286] тем же методом выведен тензор а—эффекта в задаче кинематического динамо для потока в осесимметричном объеме, зависящего от азимутальной быстрой переменной, и для потока в шаровом объеме, зависящего от трех сферических быстрых переменных. Математический анализ слабо нелинейной устойчивости решений частного случая этой задачи для ABC-потоков проведен в [151, 152], однако он не дал существенно новых результатов. (ABC-потоки - пространственно-периодические собственные функции оператора ротор Vx; каждая из их трех компонент есть сумма синуса и косинуса пространственных декартовых переменных с соответствующими коэффициентами [122]. Они были предложены В.И.Арнольдом [4, 5] как возможные примеры быстрого, т.е. незатухающего в пределе Rm —+ 00, динамо, поскольку траектории частиц в этих потоках обнаруживают стохастическое поведение в определенной части фазового пространства [73, 122].)

С развитием вычислительной техники появилась возможность непосредственного численного решения задач кинематического динамо для модельных ламинарных течений в разных геометриях, например, в сфере [94, 153, 154, 191, 165, 225, 181, 96, 255, 287], в плоском [292] и сферическом слое [56, 55, 255, 169], между двумя вращающимися со-осными цилиндрами [57-62, 52, 20], пространственно-периодического [6, 142-147]. Собственные значения оператора магнитной индукции сходятся при увеличении разрешения вычислений, как правило, несколько быстрее соответствующих магнитных мод [96], однако вычислительная сложность задачи быстро растет с магнитным числом Рейнольдса Rm.

При расчете эволюции магнитного поля при больших Rm необходимо пространственное разрешение порядка Rдостигаемое при аппроксимации магнитного поля с использованием O(R^) базисных функций; расчет на единицу времени требует порядка ЯЦ2 шагов. (Эти порядки величин соответствуют разрешению колмогоровского масштаба в задачах гидродинамики [100], однако из-за сходства структуры уравнений Навье-Стокса и магнитной индукции они остаются верны и для МГД задач.) Таким образом, интегрирование уравнения магнитной индукции на единицу времени требует в общем случае порядка R^ операций. Если геометрия рассматриваемого объема жидкости и краевые условия позволяют использовать трехмерное быстрое преобразование Фурье (например, когда базисные функции - тригонометрические и/или полиномы Чебышева), число операций понижается до 0(Rlr1JA In Rm). В самой благоприятной ситуации, при расчете пространственно-периодического динамо для ABC-потоков, оно растет как В сферической геометрии вычислительную сложность задачи может уменьшить применение быстрого преобразования Фурье по угловым переменным. Так или иначе, расчет при больших Rm требует значительных вычислительных затрат. Вычисления, проведенные с недостаточным разрешением, могут дать неверные результаты, в том числе пониженное пороговое значение Rm начала генерации магнитного поля. Это утверждение, несмотря на свою очевидность, неоднократно проверено в расчетах. Например, из-за недостаточного разрешения в [94, 191, 96] область сходимости численного метода не достигнута [153, 225]; примеры кажущейся генерации магнитного поля в расчетах с недостаточным разрешением приведены в [196, 197].

Современные параллельные суперкомпьютеры позволяют проводить расчеты трехмерных задач кинематического динамо для Rm ~ 103, что гораздо меньше практических потребностей астрофизики, для задач которой характерны большие значения магнитного числа Рейнольдса.

Оценка для Земли Rm = 150 [45] получена в предположении вморо-женности магнитного поля в вещество внешнего ядра при определении характерной скорости движений в ядре; она может быть завышена или занижена втрое из-за неточности определения электропроводности внешнего ядра [95]. Различные задачи магнитогидродинамики Солнца характеризуются гораздо большими значениями Rm = 104 [45], 106 [39], 3 • 107 [51].

В принципе, генерацию магнитного поля во внешнем расплавленном ядре Земли можно исследовать, численно решая систему уравнений (Навье-Стокса с учетом сил Архимеда, Кориолиса и Лоренца, магнитной индукции и теплопроводности), описывающих конвективные гидромагнитные явления. В рамках этого подхода выполнена, например, серия работ Глатцмайера с соавторами [157-162, 163, 109, 220, 247], где удалось воспроизвести дипольную в главном морфологию магнитного поля Земли и его хаотические инверсии, вычисляя решения этой системы уравнений в сферическом слое, соответствующем внешнему ядру. Однако даже современные компьютеры не позволяют выполнять расчеты с пространственным и временным разрешением, достаточным для значений параметров, характеризующих конвекцию во внешнем ядре Земли. Так, упомянутая выше серия работ Глатцмайера с соавторами выполнена для чисел Тейлора и Экмана порядка 103 и Ю-4 — Ю-6, что на порядки величин отличается от их значений для ядра Земли, ~ 109 и ~ Ю-8 — Ю-15 (две последние оценки сделаны по молекулярной и турбулентной кинематической вязкости [173]), соответственно. Для компенсации грубости (при рассмотренных значениях параметров) использованного пространственного разрешения расчеты проводили с применением численной гипервязкости, а этот способ пространственного сглаживания может существенно искажать результаты [284, 253, 285]: при использовании гипервязкости неосесимметричные компоненты поля скорости потока жидкости и магнитного поля недооцениваются по сравнению с осесимметржчными, и динольная конфигурация магнитного поля оказывается предпочтительной, тогда как без ее использования предпочтительная конфигурация - квадрупольная [99]. (Кроме того, использование гипервязкости приводит к увеличению жесткости системы обыкновенных дифференциальных уравнений Фурье-Галеркина, к которым сводится исходная система уравнений после пространственной дискретизации.) По этим причинам полученное в этой серии работ хорошее качественное соответствие результатов расчетов с реальным геодинамо следует "считать удивительным" [172].

Даже если конвекция в присутствии магнитного поля рассматривается с целью исследования магнитного поля конкретного астрофизического объекта — например, Земли — ее необходимо изучать в целой области в пространстве параметров, так как реологические соотношения [108] и значения параметров [226], входящие в систему уравнений, определяющую конвективную МГД систему, известны только приближенно. (Так, оценки коэффициента тепловой диффузии в ядре Земли отличаются на несколько порядков, см., например, [201].) При этом желательно выявить типичные режимы поведения системы и локализовать точки бифуркаций, в которых происходит его перестройка. Это невозможно сделать чисто численно из-за огромного объема требуемых вычислений; следовательно, определенную ценность имеют аналитические и гибридные аналитико-вычислительные подходы. Аналитический подход применен, например, в известных исследованиях геодинамо С.И.Брагинского [7-9] и Э.Соуорда [262, 263], где с помощью асимптотических разложений была определена величина коэффициента а—эффекта, появляющегося в рассмотренных ими МГД системах.

Возможность роста магнитного поля, поддерживаемого движением расплавленного металла, подтверждена экспериментально [127]. Вопрос о возможности такой генерации имеет не только теоретико-астрофизическую значимость, но и практическую важность в приложении к течениям расплавов в охлаждающих системах ядерных реакторов атомных электростанций [80, 230, 231, 72]. В первых экспериментальных работах [187, 192, 193, 19] генерации магнитного поля заданным потоком расплавленного металла не наблюдалось, поскольку в этих лабораторных установках достигались относительно низкие кинематические и магнитные числа Рейнольдса. В экспериментах с так называемым "а-ящиком" [69] было обнаружено возникновение а-эффекта. Генерация магнитного поля была зарегистрирована в эксперименте в Карлсруэ [245, 268, 269, 204, 276]. В установке было организовано спиральное течение расплавленного натрия по трубам диаметром существенно меньше радиуса цилиндрического объема, где генерировалось поле, со взаимно противоположным направлением течения в каждой паре соседних труб (т.е. был выбран шахматный порядок направлений). Подобное течение, впервые предложенное Дж.О. Робертсом [246] и исследованное в [275, 250, 232, 233], характеризуется значительным а—эффектом, что способствует генерации. В "рижской" экспериментальной установке (Институт физики, Саласпилс) сделана попытка реализовать динамо Пономаренко [50] с разрывом потока на цилиндрической поверхности: расплавленный натрий вовлекается вращением пропеллера в спиральное течение во внутренней части цилиндрического аппарата и течет в противоположном направлении в отделенной от нее трубой внешней части. На этой установке получены короткие записи генерации магнитного поля [134-141]. Экспериментальные исследования режимов временной эволюции магнитного поля на продолжительных интервалах времени изучались на установках с объемами расплавленного натрия и галлия цилиндрической формы в Кадараше (Комиссариат атомной энергии Франции) [88, 195, 227, 89, 203, 279, 79], в которых возможность генерации магнитного поля в МГД системах без внешнего искусственного вмешательства в геометрию потока жидкости была убедительно показана впервые в мире. Эксперименты с течениями в сферических областях проводят в Университетах Мэриленда [185, 259, 257] и Висконсина [216]. Экспериментальное исследование кратковременного нестационарного эффекта МГД-динамо, вызванного течением жидкости в тороидальном канале, проводится в Институте механики сплошных сред РАН в Перми [21, 130]. Обзор экспериментальных работ по изучению конвекции в присутствии наложенного магнитного поля для геофизических приложений приведен в [206].

В каждом из этих экспериментов в МГД системах присутствовали различные пространственные масштабы - вследствие поддержания в установке определенного искусственного течения, как в экспериментах в Саласпилсе и Карлсруэ, или из-за наличия в объеме расплава металла развитой турбулентности, как во всех остальных из перечисленных выше экспериментальных работ.

Геодинамо также характеризуется наличием структур, имеющих иерархию пространственных масштабов. Примером таких контрастных структур служит пограничный слой Экмана, возникающий в конвективных потоках вращающейся жидкости при условии прилипания на границе; его неустойчивость может быть причиной генерации магнитного поля [241-243, 249]. Пограничный слой Экмана-Хартмана также может быть неустойчив на границе ядра и мантии [120]. Взаимодействие ядра и мантии, считающееся ответственным за декадную вариацию длины дня, - другой пример важности малых масштабов в контексте геофизических приложений. Так, топографическое взаимодействие осуществляется посредством неровностей на границе раздела ядра и мантии, размеры которых не превышают 5 км (см., например, [90, 201]), что мало по сравнению с радиусом жидкого ядра, 3486 км [23] (влияние нерегуляр-ностей внешней границы жидкого ядра Земли рассмотрено в [1-3, 170]). Тогда как в этих примерах мелкомасштабные структуры находятся у границ жидкого ядра, разделение масштабов может иметь место и во всем жидком объеме, где происходит конвекция. Например, в геострофических потоках в быстро вращающихся сферических или цилиндрических слоях течение жидкости образует так называемые колоппы Тейлора, параллельные оси вращения; ширина колонн значительно меньше размеров контейнера, в котором находится жидкость. Узкие в горизонтальном направлении валы возникают в тепловой конвекции жидкости в горизонтальном слое, быстро вращающемся относительно вертикальной оси [77, 174-177] (ширина валов порядка Та-1//6, где Та - число Тейлора), и в магнитоконвекции с сильным наложенным магнитным полем, в пределе больших чисел Чандрасекара Q [198, 178-180] (ширина конвективных ячеек порядка Q-1//6 или соответственно). Наличие иерархии пространственных масштабов, между которыми происходит взаимодействие (явления прямого и обратного каскада энергии и перемежаемости), присуще турбулентности, играющей важную роль в процессах генерации [44, 68].

Уравнения эволюции МГД возмущений (в частности, магнитного поля при заданном течении проводящей жидкости) обладают важным свойством: они задаются линейным оператором, имеющими при любых величинах параметров и геометрических размерах МГД системы не пустое ядро, если это разрешается краевыми условиями. Иными словами, существуют нейтральные моды возмущений, "не чувствующие" влияния границ МГД системы. Когда размеры контейнера, в котором находится жидкость, увеличиваются, минимальные по абсолютной величине собственные значения оператора Лапласа, описывающего диссипацию энергии в системе за счет диффузионных процессов (вязкости, электрического сопротивления), стремятся к нулю: диссипация в полях, медленно изменяющихся в пространстве, мала. Поэтому естественным с физической точки зрения является вопрос: Если размеры системы достаточно велики, существуют ли экспоненциально растущие во времени моды возмущений, являющиеся длинномасштабными возмущениями короткомасштабных нейтральных мод? Рассмотрению, в частности, этого вопроса посвящена настоящая диссертация.

При математическом анализе прикладных задач гидромагнитной конвекции, в частности, возникающих в астрофизике, из-за наличия в МГД системах иерархии масштабов естественно использовать специализированные аналитические методы теории осреднения уравнений в частных производных для многомасштабных систем (см. монографии [54, 78, 219, 171, 111, 224]). Рассматривается случай, когда характерные временные и пространственные масштабы возмущения существенно больше соответствующих характерных масштабов состояния МГД системы, исследуемого на устойчивость. Полагают, что возмущение зависит не только от так называемых быстрых пространственной, х, и временной, t, переменных, но и от медленных переменных X = ex, Т — et или e2t. Для системы в слабо нелинейном режиме (в нем возмущение еще мало, но нелинейные эффекты уже существенны) делают дополнительное предположение, что амплитуда возмущения порядка е, и рассматривают полные нелинейные уравнения для возмущения. Отношение пространственных масштабов £ > 0 - малый параметр задачи, который можно использовать для ее асимптотического анализа. В дальнейшем поля, зависящие только от короткомасштабных (быстрых) переменных, будем называть коротко масштабными, а зависящие еще и от длинномасштабных (медленных) переменных, - длинно-масштабными. В этой терминологии, в настоящей работе исследуется устойчивость короткомасштабных состояний по отношению к длинно-масштабным возмущениям.

Возмущение ищут в виде степенных рядов по е. Для коэффициентов этих рядов, усредненных по быстрым переменным, представляющих длинномасштабные структуры возмущения, строго (без применения каких-либо эмпирических соотношений для замыкания) выводят замкнутую систему дифференциальных уравнений в частных производных по медленным переменным, в которой влияние малых маештабов выражается новыми слагаемыми (по аналогии с гидродинамикой обычно называемыми вихревыми поправками) с усредненными коэффициентами. Вычисление этих коэффициентов сводится к численному решению систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных по быстрым переменным - так называемых вспомогательных задач. Данные во вспомогательных задачах имеют единственный характерный пространственный масштаб - тот же самый, что и исследуемое на устойчивость состояние. Таким образом, асимптотические методы для задач со многими масштабами предоставляют возможность разделить длинно- и короткомасштабную динамику при условии, что последняя в каком-то смысле однородна. Соответственно, в вычислениях отпадает необходимость использовать разрешение, позволяющее с достаточной точностью представить всю иерархию больших и малых масштабов, что является очень важным преимуществом рассматриваемого комбинированного аналитико-вычислительного подхода. Вывод уравнений средних полей можно рассматривать как аналитическое обоснование вычислительного метода крупных вихрей [252], когда в МГД системе имеет место разделение масштабов. В этом случае вместо обычно используемых в указанном методе эмпирических формул для оценки влияния мелких масштабов на крупные и способов замыкания уравнений для средних полей ("крупных вихрей") можно использовать выведенные здесь точные асимптотические результаты - вихревые тензоры, коэффициенты которых выражаются через решения вспомогательных задач.

В гидродинамических системах подобные разложения указывают на наличие так называемого АКА-эффекта (анизотропного кинематического а—эффекта) [132, 273, 124]. В задачах МГД устойчивости с двумя масштабами уравнения средних полей, как правило, также возникают при осреднении уравнений порядка О(е) и кроме производной по медленному времени содержат единственное слагаемое, отвечающее а—эффекту (независимо от того, какой вид устойчивости - линейной или слабо нелинейной — рассматривается). Однако а—эффект может быть несущественен в главном порядке, т.е. отсутствовать в усредненных уравнениях порядка е - например, если возмущаемая МГД система обладает центральной симметрией или симметрией относительно вертикальной оси. Наличие этих симметрий не необходимо для несущественности а—эффекта - например, АКА-эффект не появляется в АВС-потоках [282]. Если а—эффект несущественен в главном порядке, нетривиальные уравнения средних полей появляются как условия разрешимости (в быстрых переменных) уравнений следующего порядка, 0(е2), и они могут описывать другие вихревые эффекты. В этом случае при рассмотрении линейной МГД устойчивости усредненные по малым масштабам главные члены разложений мод длинномасштабных возмущений стационарных МГД состояний и их инкрементов роста являются, соответственно, собственными векторами и собственными значениями оператора так называемой комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Это линейный оператор в частных производных по медленным пространственным переменным второго порядка, вообще говоря, анизотропный и не обязательно знакоопределенный. Если его собственные значения положительны, говорят, что имеет место явление отрицательной вихревой диффузии [265].

Указанные методы применялись для определения вихревой диффузии двумерных [260, 190, 261, 218, 217] и трехмерных [124, 189, 281, 282] течений, и было показано, что (в определенной области параметров) в них возникает эффект отрицательной вихревой вязкости. Его присутствие было непосредственно (без предварительного упрощения уравнений с помощью асимптотического анализа) численно продемонстрировано в [205] в задаче об устойчивости плоских потоков к трехмерным длинномасштабным возмущениям. При переносе пассивного скаляра вихревая диффузия может только усиливать молекулярную диффузию

81, 278, 194]. Подобные асимптотические разложения предсказывают возможность генерации магнитного поля посредством механизма отрицательной магнитной вихревой диффузии [182, 294, 293, 289], если у поля скорости есть центр симметрии, и развития линейной неустойчивости трехмерных центрально-симметричных пространственно-периодических МГД состояний [27]. Уравнения, определяющие линейную устойчивость к длинномасштабным возмущениям симметричных относительно вертикальной оси стационарных конвективных гидромагнитных систем в слое, выведены в [75, 76].

Вблизи бифуркации смены знака вихревой вязкости в течении Колмогорова слабо нелинейный режим удовлетворяет уравнению типа Ка-на-Хиллиарда с кубической нелинейностью [46] (его изучали в [256]). Усредненные нелинейные "эффективные" уравнения были применены в [125] для исследования обратного каскада энергии в течении Колмогорова. Уравнения средних полей для слабо нелинейных возмущений двумерных стационарных потоков изучали в терминах функции тока в [150, 131] (в [131] в уравнение Навье-Стокса было введено дополнительное слагаемое, описывающее (3—эффект, возникающей из-за вращения жидкости, и был рассмотрен случай малой отрицательной вязкости). Уравнения для возмущений, аналогичные по методу построения уравнениям средних полей, рассмотрены в [207, 118]; в качестве исходных, однако, в этих работах были приняты модельные уравнения, приближенно описывающие конвективные течения в слое в форме деформированных валов. В [208-211, 240] рассмотрена в переменных амплитуда - фаза полная система уравнений Буссинесковой конвекции в слое жидкости с жесткими границами и исследованы слабо нелинейная динамика системы конвективных валов и возникающие в ней дефекты. Наряду с медленными временной и горизонтальными пространственными переменными была использована медленная фаза, для которой выведено усредненное уравнение. В перечисленных в этом абзаце работах магнитное поле не рассматривалось.

В диссертации рассматривается последовательность задач возрастающей сложности о линейной и слабо нелинейной устойчивости различных трехмерных МГД систем к длинномасштабным возмущениям, в которых при несущественности а—эффекта в главном порядке возникает явление вихревой диффузии: задачи кинематического динамо для пространственно-периодических центрально-симметричных стационарных (глава 1) и периодических по времени (глава 2) потоков в трехмерном пространстве и конвективных план-форм в плоском слое (глава 3), задачи о линейной (глава 4) и слабо нелинейной (глава 5) устойчивости МГД систем в пространстве, и задача о слабо нелинейной устойчивости нестационарного конвективного динамо в плоском слое, вращающемся относительно вертикальной оси (главы 6 и 7).

В исследовании [27] автора диссертации о линейной устойчивости трехмерных МГД состояний к длинномасштабным возмущениям предполагается, что рассматриваемые состояния стационарны, пространственно-периодичны и центрально-симметричны; в статье [28] о слабо нелинейной устойчивости трехмерных центрально-симметричных МГД состояний предположения об их стационарности и пространственной периодичности не делаются. В работах [75, 76] автора диссертации с соавторами о линейной устойчивости трехмерных конвективных гидромагнитных состояний в слое предполагается, что они стационарны, периодичны по горизонтальным направлениям и симметричны относительно вертикальной оси. При исследовании устойчивости нестационарных МГД состояний усреднение необходимо проводить по всей пространственно-временной области изменения быстрых переменных, а коэффициенты вихревых тензоров - константы (в частности, не зависят от времени; таким образом, исследование временной зависимости вихревой вязкости от времени [149] не имеет под собой математического основания). В работах [29, 290] автора диссертации о слабо нелинейной устойчивости трехмерных конвективных гидромагнитных состояний в слое предположения об их стационарности, периодичности и симметрии заменены на более общие условия корректности пространственно-временных усреднений (т.е. однородности возмущаемых состояний) и несущественности а—эффекта в главном порядке. Хотя условия стационарности и пространственной периодичности наиболее удобны для вычисления решений вспомогательных задач, их необходимо ослабить, чтобы уравнения средних полей были применимы для исследования устойчивости таких режимов, как, например, хаотические спиральные дефекты, развивающиеся в процессе эволюции регулярных структур тепловой конвекции (см. рис. 5b,d,f в [86]).

В задачах о слабо нелинейной устойчивости МГД состояний уравнения для средних полей возмущений оказываются обобщением стандартных уравнений магнитогидродинамики. Кроме стандартных, в них появляются также дополнительные слагаемые: линейный оператор комбинированной вихревой диффузии и квадратичные члены, аналогичные адвективным [28, 29, 290] (в этих работах также обобщен метод [289] экономного вычисления коэффициентов вихревой диффузии и адвекции в уравнениях средних полей посредством рассмотрения вспомогательных задач для сопряженного оператора). Нестационарность возмущаемого МГД состояния при отсутствии симметрий, гарантирующих несущественность а—эффекта в главном порядке, может привести к появлению в уравнениях средних полей нелокальных операторов.

В работах [29, 290] автора диссертации рассматривается слабо нелинейная устойчивость процесса генерации магнитного поля вынужденной конвекцией Рэлея-Бенара в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси. (Под вынужденной конвекцией мы понимаем случай, когда в слое жидкости или на границе присутствуют заданные силы и/или источники тепла и магнитного поля.) Такая постановка задачи, более общая, чем в предшествующих работах, естественнее для геофизических приложений, но приводит к следующей алгебраической трудности. Стандартный метод вывода уравнений для средних полей возмущений использует то обстоятельство, что ядро оператора, сопряженного к оператору линеаризации уравнений эволюции рассматриваемой конвективной МГД системы в окрестности состояния, устойчивость которого исследуется, содержит векторные поля — константы. Уравнения средних полей для возмущения являются условием разрешимости уравнений в быстрых переменных, которое по теореме об альтернативе Фредгольма состоит в ортогональности неоднородной части уравнения ядру сопряженного оператора и в рассматриваемом случае эквивалентно равенству нулю ее среднего. (Векторные поля из ядра сопряженного оператора должны удовлетворять краевым условиям для этого оператора; таким образом, вид и число усредненных уравнений зависят от поставленных краевых условий. Мы рассматриваем конвекцию в слое со свободными горизонтальными электропроводными границами, поддерживаемыми при постоянных температурах; в этом случае краевые условия для сопряженного оператора имеют тот же самый вид, и размерность ядра максимальна, благодаря чему выведенные уравнения средних полей имеют наиболее общий вид.) При наличии силы Ко-риолиса ядро сопряженного оператора содержит константы, если разрешить линейный рост по горизонтальным направлениям потенциала вычитаемого градиента. Однако тогда при усреднении появляется поверхностный интеграл давления, не имеющий вид дифференциального оператора от средних полей возмущений. Чтобы обойти эту сложность, уравнение Навье-Стокса удобно рассматривать в форме уравнения для завихренности. Уравнение для усредненного возмущения течения получается тогда как условие разрешимости уравнения при е3, а не £2, как обычно. Если конвективная гидромагнитная система в слое асимптотически близка к симметричной (например, если в исходной системе происходит бифуркация Хопфа с потерей симметрии, и значение параметра бифуркации отличается от бифуркационного на величину порядка s2), то условие несущественности а—эффекта в главном порядке также выполнено, но в уравнениях средних полей появляется слагаемое, описывающее а—эффект. Аналогично рассмотрен случай вилочной бифуркации с потерей симметрии (также для случая, когда значение параметра бифуркации отличается от его значения в точке бифуркации на величину порядка £2). В этом случае уравнения средних полей дополняются уравнением с кубической нелинейностью для амплитуды короткопериодной моды из ядра оператора линеаризации уравнений гидромагнитной конвекции.

Вывод уравнений устойчивости процесса генерации магнитного поля свободной конвекцией Рэлея-Бенара в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси, выполнен автором диссертации в статье [291]. Из-за отсутствия сил и источников тепла и магнитного поля возмущаемое состояние инвариантно относительно сдвигов во времени и пространстве, что приводит к увеличению размерности и изменению структуры ядра оператора линеаризации. Тогда как среднее возмущение магнитного поля порядка е, среднее возмущение скорости течения оказывается порядка £2, а при исследовании устойчивости стационарных конвективных МГД состояний, симметричных относительно вертикальной оси или центра - порядка е3. В предположении о несущественности а—эффекта в главном порядке поведение возмущения описывается системой из 4 (в случае стационарного) или 5 (в случае эволюционного возмущаемого состояния) уравнений. Эта замкнутая система смешанного типа не содержит уравнение среднего поля для возмущения скорости течения: уравнения для усредненного возмущения магнитного поля — эволюционные, а остальные не включают в себя производные по медленному времени и операторы молекулярной диффузии. Если конвективное МГД состояние стационарно и имеет симметрию указанного типа (что гарантирует несущественность о;—эффекта), то условие соленоидальности среднего возмущения потока оказывается дифференциальным уравнением третьего порядка с кубической нелинейностью. В приложении приведены численные примеры свободных конвективных гидромагнитных систем в слое, устойчивых к короткомасштабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, вследствие чего для них выполнено условие несущественности а—эффекта, слабо нелинейная устойчивость которых к длинномасштабным возмущениям описывается выведенной системой амплитудных уравнений.

Цель работы состояла в аналитическом и численном изучении модельных задач магнитогидродинамической устойчивости, линейной и слабо нелинейной, по отношению к возмущениям, имеющим большие масштабы, с учетом факторов, важных для гео- и астрофизических приложений. Цель работы определила постановку задач:

- построение асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов магнитных мод и инкрементов их роста в задаче о генерации в кинематическом режиме магнитного поля, имеющего большие пространственные масштабы, пространственно-периодическими центрально-симметричными течениями проводящей жидкости, стационарными или периодическими по времени;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора магнитной вихревой диффузии величин коэффициента магнитной вихревой (турбулентной) диффузии для ансамблей стационарных и периодических по времени потоков, моделирующих турбулентные течения проводящей жидкости в пространстве, а также для конвективных план-форм в горизонтальном слое;

- вывод уравнений, определяющих главные члены асимптотических разложений в степенной ряд по отношению пространственных масштабов мод линейной устойчивости и инкрементов их роста, а также слабо нелинейных возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче об устойчивости процесса генерации магнитного поля в трехмерном пространстве;

- расчет с использованием полученных выражений для оператора комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии коэффициента вихревой диффузии для ансамблей стационарных МГД конфигураций, моделирующих турбулентные МГД состояния проводящей жидкости в пространстве;

- вывод уравнений средних полей и амплитудных уравнений для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, в задаче о слабо нелинейной устойчивости МГД режимов вынужденной и свободной Буссинесковой конвекции проводящей жидкости в слое, вращающемся вокруг вертикальной оси, для отдельно рассматриваемого режима и для ветвей режимов вблизи точек бифуркаций с потерей сим-метрий;

- расчет конвективных гидромагнитных режимов во вращающемся относительно вертикальной оси слое жидкости, устойчивых к корот-комасштабным возмущениям и симметричных относительно вертикальной оси, к которым применима построенная в диссертации теория слабо нелинейных длинномасштабных возмущений.

Актуальность темы. Теория гидромагнитного динамо - фундамент теории магнитных полей планет и других астрофизических объектов. Однако чисто вычислительный подход к решению задач в этой области знаний для величин параметров, характерных для астрофизики, невозможен в силу необходимости проведения огромного объема вычислений. Таким образом, актуальны попытки применения к основополагающим уравнениям, описывающим естественные процессы генерации магнитного поля, гибридных аналитико-вычислительных методов на примере анализа модельных задач магнитной гидродинамики и гидромагнитной конвекции в областях с простой геометрией. Наличие в природных астрофизических динамо и в данных, полученных на экспериментальных установках, иерархии пространственных и временных масштабов предполагает приложение асимптотических методов теории осреднения эллиптических операторов в системах со многими масштабами.

Научная новизна. В настоящей работе впервые:

- в задачах линейной и слабо нелинейной устойчивости различных магнитогидродинамических систем выведены уравнения средних полей для возмущений, имеющих большие пространственные масштабы, и построено решение задач о линейной устойчивости во всех порядках;

- численно показано, что в значительной доли модельных МГД систем развивается длинномасштабная неустойчивость в результате действия механизма отрицательной комбинированной вихревой диффузии, наличие мелких масштабов благоприятно для генерации магнитного поля, а появлению отрицательной магнитной вихревой диффузии способствует стационарность потока проводящей жидкости;

- найдено, что при рассмотрении возмущений МГД режимов, симметричных относительно вертикальной оси, се—эффект несущественен в главном порядке;

- выведены замкнутые системы уравнений средних полей и амплитудных уравнений в задаче о слабо нелинейной устойчивости к возмущениям, имеющим большие пространственные масштабы, вынужденных и свободных конвективных гидромагнитных режимов проводящей жидкости в слое, вращающемся относительно вертикальной оси;

- показано, что, в отсутствие существенного се—эффекта в главном порядке, уравнения средних полей возмущений обобщают обычные уравнения магнитогидродинамики: кроме обычных, в них присутствуют операторы, отвечающие как ранее известным физическим эффектам (вихревой диффузии и адвекции, вблизи точки потери симметрии возмущаемого поля - а—эффекту), так и не рассматривавшимся ранее (описываемым нелокальными операторами); при рассмотрении вилочной бифуркации с потерей симметрии уравнения средних полей дополняются уравнением для амплитуды короткомасштабной моды, имеющей кубическую нелинейность; кубическая нелинейность присутствует также в системе амплитудных уравнений, описывающих эволюцию длинномасштабных возмущений стационарных режимов, симметричных относительно вертикальной оси или центра, свободной тепловой гидромагнитной конвекции.

Практическая значимость работы. Полученные в ходе проведенных исследований результаты существенно развивают теорию маг-нитогидродинамической устойчивости, и, в частности, теорию генерации магнитного поля, что может быть охарактеризовано как новое крупное научное достижение. Идентификация в настоящей работе новых типов' физических эффектов, действующих на средние поля возмущений, расширяет представления о процессах развития длинномасштаб-ной гидродинамической и МГД неустойчивости и предоставляет возможность понять их механику. Результаты работы будут использованы при построении моделей процессов внутри астрофизических объектов (например, в расплавленном внешнем ядре Земли), и, в частности, земного и солнечного магнетизма, а также для анализа устойчивости процессов в различных экспериментальных и технологических установках, - где, например, используются конвективные течения в слое жидкости с возможным присутствием магнитных полей и вращения. Методы, развитые в диссертации, и полученные результаты имеют большую степень общности и применимы для решения широкого спектра задач определения "эффективных" величин параметров, описывающих свойства композитных материалов, что особенно практически важно в применении к моделированию поведения многокомпонентных материалов, являющихся продуктом нанотехнологий.

Выведенные в работе точные аналитические выражения для операторов, описывающих а—эффект и комбинированную вихревую диффузию, должны воспроизводиться при приложении к рассмотренным задачам алгоритмов, предлагаемых в рамках метода крупных вихрей, и, тем самым, их можно использовать для тестирования этих новых алгоритмов.

Предложенные методы экономного вычисления коэффициентов вихревой (турбулентной) диффузии и адвекции в МГД системах также приложимы для вычисления коэффициентов других слагаемых, возникающих в уравнениях средних полей для усредненного линейного или слабо нелинейного возмущения. Они позволяют в несколько раз снизить объем вычислений, необходимых для определения этих коэффициентов.

Эти методы реализованы в виде программ расчета магнитной и комбинированной вихревой (турбулентной) диффузии. Программы написаны на ядре нормативного диалекта языка ФОРТРАН-95, благодаря чему легко переносимы и эффективны. Они экономно используют ресурсы, обладают большим быстродействием вследствие как использования разработанных математических алгоритмов, так и тщательной оптимизации на уровне программирования.

Личный вклад автора. Постановка задач, решенных в диссертации, за исключением задачи, рассмотренной в главе 1, принадлежит автору диссертации. В решении задач, представленных в главах 1 и 2 [294, 293], (также как в статьях с соавторами [76, 237,148, 292] на связанные с диссертационной работой темы) математический анализ (построение решений в виде асимптотических разложений), разработка алгоритмов численного решения (вычисления решений вспомогательных задач и коэффициентов тензора вихревой магнитной вязкости), и часть программирования выполнены автором диссертации. Результаты, изложенные в главах 3-7 и приложении, получены автором диссертации единолично.

Структура работы. Диссертация объемом 339 стр. состоит из оглавления, введения, 7 глав, заключения, списка литературы (294 работы) и приложения. В диссертации 3 таблицы и 28 рисунков.

Главы 1-3 посвящены рассмотрению задачи о генерации длинно-масштабного магнитного поля в кинематической постановке, главы 4 и 5 - задач о линейной и слабо нелинейной устойчивости трехмерных МГД режимов в пространстве, главы 6 и 7 — задач о линейной и слабо нелинейной устойчивости процессов генерации магнитного поля вынужденной и свободной тепловой конвекцией в горизонтальном слое жидкости, вращающейся относительно вертикальной оси.

Выполнение работы. Работа над диссертацией проводилась в Лаборатории геодинамики Международного института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН. Основные расчеты были выполнены автором во время научных визитов автора в Обсерваторию Лазурного берега (Ницца, Франция), Университет Эксетера (Великобритания) и Университет Порто (Португалия).

Апробация результатов. Основные результаты исследований по теме диссертационной работы изложены в 34 публикациях на русском и английском языках, в т.ч. в 15 статьях в реферируемых международных и российских журналах. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН, Института механики МГУ, Института математических наук им. Исаака Ньютона (Кембридж, Великобритания), Школы инженерных наук, вычислений и математики Университета Эксетера (Великобритания), Обсерватории Лазурного берега (Франция) и Отделения прикладной математики Факультета естественных наук Университета Порто (Португалия), а также представлялись на отечественных и международных конференциях: Международной конференции "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1998-2006 гг.); Международном семинаре "Динамо в лаборатории, на компьютерах и в небесах" (Нордита, Копенгаген, Дания, 2001 г.); Симпозиуме Лондонского Математического общества "Астрофизическая гидродинамика" (Университет Дарэма, Великобритания, 2002 г.); Научной конференции "Ломоносовские чтения" (Секция механики, МГУ, Москва, 2003, 2005, 2006 гг.); VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.); XII Школе-семинаре "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Сочи, 2004 г.); Конференции "Современные проблемы механики", посвященной 40-летию Института механики МГУ (1999 г.).

Благодарности. Автор диссертации выражает благодарности академику РАН В.И.Кейлису-Бороку и члену-корреспонденту РАН А.А.Соловьеву за их постоянную поддержку в работе; члену-корреспонденту АН Франции профессору У.Фришу и члену Королевского Общества Великобритании профессору Э.Соуорду за многолетнее научное общение и помощь; члену Королевского Общества Великобритании М.Проктору, профессорам Э.Гильберту, К.Джонсу и К.Жангу за многочисленные обсуждения; доктору С.Гама за плодотворное сотрудничество; своим аспирантам в Университете Порто М.Баптиста и Р.Чертовских за неиссякающий энтузиазм; коллективу Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН за творческую атмосферу и постоянную поддержку; наконец, в последнюю очередь по порядку, но не по значимости, своей жене к.ф.-м.н. О.М.Подви-гиной за постоянное содействие. Автор также благодарен Министерству научных исследований и технологий Франции и Королевскому Обществу Великобритании за финансирование его неоднократных визитов в научные центры этих стран. Основная часть вычислений сделана автором диссертации в Обсерватории Лазурного берега с использованием вычислительных средств, предоставленных в рамках Программы "Simulations Interactives et Visualisation en Astronomie et Mecanique (SIVAM)" (Интерактивное моделирование и визуализация в астрономии и механике) и следующей фазы этой Программы "Mesocentre SIGAMM". Работа частично финансировалась РФФИ (грант 04-05-64699).

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Желиговский, Владислав Александрович

7.7 Выводы

1) В этой главе исследована, в приближении Буссинеска, слабо нелинейная устойчивость к длинномасштабным возмущениям режимов V, Н, в течения вязкой несжимаемой электропроводной жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу и вращающемся относительно вертикальной оси, в присутствии магнитного поля. Рассмотрен случай свободной конвекции, т.е. предполагалось, что в уравнениях (6.1)—(6.3), описывающих конвективное магнитное динамо, устойчивость которого мы изучали, и в краевых условиях (6.5)-(6.7) и (6.11) любые источни-ковые слагаемые отсутствуют. Такие системы трансляционно инвариантны относительно сдвигов в пространстве и времени. С помощью методов усреднения для уравнений в частных производных, в разделе (7.4) выведены выражения (7.18) и (7.24) для тензоров комбинированного вихревого се—эффекта. Если конвективное МГД состояние V, Н, 0 симметрично относительно центра или вертикальной оси, возможно, со сдвигом по времени, то операторы вихревого се—эффекта не дают вклад в амплитудные уравнения для коэффициентов старшего порядка, т.е. се—эффект несущественен в главном порядке. В предположении несущественности се—эффекта в главном порядке (из-за наличия симметрий, или по другим причинам) была также выведена замкнутая система амплитудных уравнений (7.54) и (7.55), дополненная (7.35), если исследуемый на устойчивость режим не стационарен, и условиями соленоидаль-ности в медленных переменных для среднего возмущения магнитного поля ( (6.24) при п = 0) и главного члена разложения среднего возмущения течения. В системе без се—эффекта общего положения последнее условие формулируется для потока (7.34). Если же режим V, Н, 0 стационарен и симметричен относительно центра или вертикальной оси, то ((vi))/, = 0, и оно тривиально выполнено; тогда недостающее амплитудное уравнение - условие соленоидальности для главного члена разложения среднего возмущения течения (7.60).

2) Как и в случае вынужденной тепловой МГД конвекции, изученном в предыдущей главе, в амплитудных уравнениях присутствуют линейный оператор комбинированной вихревой коррекции диффузии и квадратичный оператор коррекции адвекции. Обобщенная вихревая коррекция диффузии описывается нелокальным псевдодифференциальным оператором, формально второго порядка, как и обычная диффузия; он возникает в амплитудных уравнениях только, если возмущаемый режим нестационарен и не имеет пространственных симметрий указанного типа (без сдвига по времени). Все операторы вихревой коррекции анизотропны. На этом сходство амплитудных уравнений для усредненных возмущений в случае вынужденной и свободной конвекции заканчивается. Из-за разницы в структуре ядер операторов линеаризации в окрестности рассматриваемого режима, система амплитудных уравнений для возмущений режимов свободной конвекции, выведенная в этой главе, - смешанного типа и не содержит уравнения среднего ноля для возмущения скорости течения. Тогда как уравнения (7.55) для усредненного возмущения магнитного поля эволюционные, остальные уравнения (7.54) и (7.35) не включают в себя ни производных по (медленному) времени, ни операторов молекулярной диффузии. Если конвективное МГД состояние V, Н, в стационарно и имеет симметрию, гарантирующую несущественность см—эффекта, то условие соленоидальности потока (7.60) оказывается неэволюционным дифференциальным уравнением третьего порядка с кубической нелинейностью.

3) Вследствие пространственной и временной инвариантности свободных конвективных МГД состояний нейтральные моды линейной устойчивости S^ и S''1 - решения уравнений (7.1)-(7.3). Они удовлетворяют краевым условиям, какую бы их физически осмысленную комбинацию для скорости потока, магнитного поля и температуры ни рассматривали (отсутствие напряжений или прилипание, границы из совершенного проводника или диэлектрика, изотермические или пропускающие постоянный тепловой поток сквозь слой леидкости). Существование других решений задачи (7.1)-(7.3) зависит от выбора граничных условий и значений параметров. Например, для конвективных МГД режимов потока электропроводной жидкости во вращающемся слое, заключенном между полупространствами из диэлектрика с изотермическими горизонтальными границами с прилипанием, для значений параметров, отвечающих ситуации общего положения, набор нейтральных мод минимален - он исчерпывается тремя перечисленными выше модами. Наличие нейтральных мод открывает возможность проведения аналогичного анализа линейной или слабо нелинейной устойчивости конвективных МГД режимов к длинномасштабным возмущениям для условий на горизонтальных границах, отличных от рассмотренных в этой главе, тогда как при наборе краевых условиях как в приведенном примере подобный анализ устойчивости для режимов вынужденной конвекции невозможен.

4) Подобно тому, как это было сделано в главе 6 для случая вынужденной конвекции, вывод амплитудных уравнений, описывающих слабо нелинейную устойчивость к длинномасштабным возмущениям, можно выполнить для ветвей конвективных МГД режимов, возникающих в бифуркациях типа Хопфа и вилки с потерей симметрии. В первом случае тогда в амплитудных уравнениях возникают новые слагаемые, аналогичные оператору а—эффекта, а во втором появляется дополнительное амплитудное уравнение с кубической нелинейностью. Хотя соответствующие алгебраические вычисления не требуют разработки новых подходов, технически они весьма громоздки, и поэтому здесь не сделаны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены три задачи теории магнитогидроди-намической устойчивости - о кинематическом динамо (главы 1-3), о линейной и слабо нелинейной устойчивости МГД состояний в пространстве (главы 4 и 5), и о линейной и слабо нелинейной устойчивости процессов генерации магнитного поля конвективными течениями (главы б и 7). Предполагается, что возмущаемые состояния короткомасштабны, а возмущения имеют большие пространственные и временные масштабы. Соответственно, для изучения этих задач использованы асимптотические методы, и построены решения в форме степенных рядов по малому параметру е - отношению характерных пространственных масштабов.

Детали постановок этих задач варьируются. В задаче о динамо рассмотрены стационарные или периодические во времени течения, периодические в трехмерном пространстве, и конвективные план-формы в слое. В задаче о линейной устойчивости МГД состояний предполагается периодичность этих состояний в пространстве, но при изучении слабо нелинейной устойчивости в процессе дальнейшего рассмотрения задачи показано, что условие периодичности излишне ограничительно - его роль сводится к обеспечению существования решений вспомогательных задач при отсутствии в ядре оператора линеаризации системы короткомасштабных нейтральных мод, - и, соответственно, его можно снять. Наконец, в задаче о слабо нелинейной устойчивости процессов генерации магнитного поля конвективными течениями в горизонтальном слое рассмотрены случаи вынужденной и свободной конвекции, и дополнительно предполагается возможность вращения жидкости вокруг вертикальной оси.

Несмотря на эти различия в постановках рассматриваемых задач, построенные решения имеют ряд существенных общих структурных свойств. Поведение возмущения как в линейной, так и в слабо нелинейной фазе эволюции описывается амплитудными уравнениями (которые в ряде случаев имеют смысл уравнений средних полей возмущения) для главных членов разложения возмущения. Эти уравнения — условия разрешимости линейных систем уравнений в частных производных по быстрым переменным, последовательно определяющих члены разных порядков разложения возмущения в ряд по е. Для МГД систем общего положения отношение временных характерных масштабов порядка отношения пространственных масштабов £, а амплитудные уравнения задаются линейными операторами первого порядка в частных производных по медленным пространственным переменным. Такая структура позволяет считать эти операторы описывающими анизотропный комбинированный а—эффект (в котором одновременно представлены и магнитный, и кинематический а;—эффекты); в этой работе он назван существенным а—эффектом в главном порядке. Операторы, описывающие любые другие эффекты, например, диффузию, отсутствуют, также как при рассмотрении слабо нелинейной устойчивости - какая-либо нелинейность. Такие уравнения в неисключительных случаях всегда имеют неограниченно экспоненциально (и даже сверхэкспоненциально) растущие в медленном времени решения, пока амплитуда возмущений не становится настолько большой, что предположения, при которых выведены амплитудные уравнения для возмущения, оказываются нарушены (а в исключительных случаях характер поведения в медленном времени любой длинномасштабной моды — гармонические колебания).

Коэффициенты а—тензоров в амплитудных уравнениях могут оказаться равны нулю - тогда в нашей терминологии а—эффект несущественен в главном порядке. Эта ситуация характерна для МГД систем с симметриями. Для МГД систем, заданных во всем пространстве, несущественность а—эффекта в главном порядке гарантируется наличием симметрии относительно центра, а для МГД систем в слое - также симметрии относительно вертикальной оси, причем для МГД режимов, имеющих временную периодичность, эти симметрии могут быть со сдвигом во времени (определения даны в разделе 6.7). Если с*—эффект несущественен в главном порядке, принимается отношение характерных масштабов медленного и быстрого времени порядка е2. В уравнениях для возмущений таких МГД систем наблюдается большее разнообразие вихревых эффектов, т.е. эффектов, вызванных усредненным воздействием короткомасштабных деталей возмущения на зависящие только от медленных переменных амплитуды нейтральных мод оператора линеаризации уравнений магнитогидродинамики в окрестности режима, устойчивость которого изучается.

Один из таких эффектов - комбинированная анизотропная вихревая коррекция диффузии. Как и в случае комбинированного а—эффекта, считается, что соответствующий оператор описывает вихревую коррекцию диффузии, поскольку его структура не противоречит такой идентификации, - это дифференциальный оператор второго порядка. Оператор вихревой диффузии (сумма операторов молекулярной диффузии и вихревой коррекции), однако, не знакоопределен, он может иметь положительные собственные значения; им отвечают экспоненциально растущие (в линейном режиме) моды неустойчивости. В этом случае говорят об эффекте отрицательной вихревой диффузии. В диссертации выведены формулы, определяющие коэффициенты оператора вихревой коррекции диффузии как средние от произведений, в которые входят решения вспомогательных задач, и разработан метод, позволяющий минимизировать число подлежащих численному решению вспомогательных задач для вычисления полного набора его коэффициентов. Свойства оператора магнитной вихревой диффузии для искусственно сконструированных потоков и МГД состояний, моделирующих короткомасштабную турбулентность, детально численно исследованы в главах 1-3, комбинированной МГД вихревой диффузии - в главе 4. Найдено, что в большой доле случаев эффект отрицательной вихревой диффузии действительно имеет место, причем, как и следует ожидать, неустойчивость МГД режимов к длинномасштабным возмущениям, имеющим ненулевые составляющие как течения, так и магнитного поля, возбуждается посредством механизма отрицательной вихревой диффузии легче, чем в кинематическом динамо, когда только магнитное поле (нулевое в невозмущенном состоянии) подвергается возмущению.

В амплитудных уравнениях для длинномасштабных возмущений МГД режимов с несущественным в главном порядке о;—эффектом возникают также операторы другой природы - анизотропные нелокальные псевдодифференциальные операторы второго порядка в медленных пространственных переменных; такая структура, видимо, позволяет рассматривать их как операторы, описывающие нестандартные нелокальные вихревые диффузионные процессы. Они возникают, если возмущаемое короткомасштабное МГД состояние нестационарно и не имеет пространственной симметрии относительно центра или вертикальной оси (однако может иметь пространственно-временную симметрию такого вида с ненулевым сдвигом по времени). Первоначально псевдодифференциальный оператор в медленных переменных возникает в процессе конструирования разложения при рассмотрении условия соленоидальности в медленных переменных второго члена разложения поля возмущения скорости течения жидкости, усредненного по быстрым пространственным переменным; таким образом, физически он связан с действием компоненты давления, обеспечивающей несжимаемость возмущения потока в среднем по медленным пространственным переменным. Оператор нелокальной диффузии имеет природу а—эффекта, вызванного наличием флуктуирующей в быстром времени компоненты второго члена разложения возмущения скорости, которая описывается указанным псевдодифференциальным оператором. Насколько нам известно, впервые этот эффект рассмотрен автором диссертации. При рассмотрении слабо нелинейной устойчивости индивидуальных МГД состояний при условии несущественности о;—эффекта в главном порядке в амплитудных уравнениях появляются квадратичные операторы в частных производных первого порядка по медленным пространственным переменным. Они возникают при усреднении адвективных слагаемых, и потому идентифицированы как операторы анизотропной вихревой адвекции. Операторы а—эффекта в этих уравнениях отсутствуют, что алгебраически связано с исходным предположением о несущественности се—эффекта в главном порядке (хотя амплитудные уравнения - результат усреднения уравнений, описывающих поведение членов разложения возмущения второго или третьего порядков малости).

Сосуществование а—эффекта с диффузионными операторами в амплитудных уравнениях имеет место при рассмотрении устойчивости к длинномасштабным возмущениям МГД* режимов; зависящих от параметрам, если они слабо несимметричны (имеются в виду симметрии, гарантирующие несущественность а—эффекта в главном порядке, перечисленные выше), и несимметричная часть порядка е. Это происходит, если силы и/или источники, действующие в МГД системе, поведение возмущений которой исследуют, имеют несимметричную часть порядка е, или если в ней происходит бифуркация с потерей симметрии типа Хопфа или вилки. В случае бифуркации типа вилки число амплитудных уравнений увеличивается на одно, и в новом уравнении присутствует кубическая нелинейность. Это естественно, т.к. возникновение нелинейности в амплитудных уравнениях вблизи точки бифуркации - известное явление. (Сосуществование а—эффекта в амплитудных уравнениях с оператором молекулярной диффузии также имеет место, если амплитуда исследуемого на устойчивость МГД состояния порядка -у/ё, см. исследования [16, 24, 25] задач кинематического динамо с разделением масштабов.)

Во всех рассмотренных выше случаях амплитудные уравнения эволюционные, т.е. задают выражения для частных производных каждой амплитуды по медленному времени. При изучении устойчивости режимов свободной тепловой МГД конвекции в горизонтальном слое жидкости (когда отсутствуют какие-либо источниковые слагаемые, и на жидкость не действуют никакие силы, отличные от сил Архимеда, Лоренца и Кориолиса) это свойство системы амплитудных уравнений пропадает: эволюционными остаются только уравнения, описывающие поведение среднего возмущения магнитного поля. Если возмущаемый режим свободной тепловой МГД конвекции стационарен и имеет симметрию, гарантирующую несущественность а—эффекта в главном порядке, то одно из амплитудных уравнений оказывается уравнением в частных производных третьего порядка по медленным пространственным переменным и имеет кубическую нелинейность (несмотря на то, что рассматривается возмущение индивидуального конвективного МГД режима, а не параметризованная отношением масштабов е ветвь режимов, рождающихся в какой-либо бифуркации). Можно ожидать, что из-за присутствия кубической нелинейности поведение возмущений стационарных симметричных режимов свободной МГД конвекции, как и возмущений режимов вынужденной МГД конвекции, появляющихся в вилочной бифуркации, демонстрирует наибольшее многообразие типов поведения. Численно найдены примеры стационарных и периодических по времени симметричных относительно вертикальной оси пространственно-периодических по горизонтальным направлениям короткомасштаб-ных режимов свободной тепловой МГД конвекции, устойчивых по отношению к короткомасштабным возмущениям (см. приложение). Автор диссертации планирует провести численный анализ решений системы амплитудных уравнений для этих режимов в непосредственном будущем.

Аналитические результаты, полученные в диссертации, имеют непосредственное значение для практики астрофизического и геофизического моделирования. Они, в частности, показывают, что выбор набора вихревых эффектов (cv—эффекта, вихревых диффузии, нелокальной диффузии и адвекции), используемых в модели, необходимо начинать с рассмотрения предполагаемых свойств короткомасштабной турбулентности, ответственных за наличие этих эффектов в модели. В частности, широко распространенное обоснование использования в вычислениях завышенных коэффициентов молекулярной вязкости тем аргументом, что используется не молекулярная, а турбулентная вязкость, корректно только, если объяснено, почему в рассматриваемой МГД системе отсутствует а—эффект в главном порядке. Отметим, что ни одно из выведенных в диссертации выражений для коэффициентов вихревых операторов, в частности, cv—тензора, не содержит спиральности потока или магнитного поля, как предложено, например, в [83-85, 128]. Равным образом, они не имеют формы эвристических выражений, рассмотренных разными авторами (см. [277, 164, 101, 102, 121]), хотя нельзя исключить, что асимптотический анализ решений вспомогательных задач может привести к подобным формулам в пределах больших магнитных чисел Рейнольдса и/или других параметров.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Желиговский, Владислав Александрович, Москва

1. Ануфриев А.П., Брагинский С.И. О влиянии неровностей границы земного ядра на скорость жидкости и магнитное поле // Геомагнетизм и аэрономия. - 1975. - Т. 15. - Мб. - С. 1075-1082.

2. Ануфриев А.П., Брагинский С.И. О влиянии неровностей границы земного ядра на скорость жидкости и магнитное поле. II // Геомагнетизм и аэрономия. 1977. - Т. 17. -Ml.- С. 122-129.

3. Ануфриев А.П., Брагинский С.И. О влиянии неровностей границ земного ядра на скорость жидкости и магнитное поле. III // Геомагнетизм и аэрономия. 1977. Т. 17. - Af° 4. - С. 742-750.

4. Арнольд В.И. Несколько замечаний об антидинамо-теореме // Вестн. МГУ. Сер. матем. 1982, М 6. - С. 50-57.

5. Арнольд В.И. Об эволюции магнитного поля под действием переноса и диффузии // Некоторые вопросы современного анализа. -Изд-во МГУ, 1984. С. 8-21.

6. Арнольд В.И., Коркина Е.И. Рост магнитного поля в трехмерном стационарном потоке несжимаемой жидкости // Вестн. МГУ. Сер. матем. 1983, МЗ. - С. 43-46.

7. Брагинский С.И. О самовозбуждении магнитного поля при движении хорошо проводящей жидкости // ЖЭТФ. 1964. - Т. 47. -Вып. 3. - С. 1084-1098.

8. Брагинский С.И. К теории гидромагнитного динамо // ЖЭТФ. -1964. Т. 47. - Вып. 6. - С. 2178-2193.

9. Брагинский С.И. Кинематические модели гидромагнитного динамо Земли // Геомагнетизм и аэрономия. 1964. - Т. 4. - М 4. - С. 732747.

10. Брагинский С.И. Магнитогидродинамика земного ядра // Геомагнетизм и аэрономия. 1964. - Т. 4. - Л/° 5. - С. 898-916.

11. Брагинский С.И. Магнитные волны в ядре Земли // Геомагнетизм и аэрономия. 1967. - Т. 7. - Л&6. - С. 1050-1060.

12. Брагинский С.И. Почти аксиально-симметричная модель гидромагнитного динамо Земли. I // Геомагнетизм и аэрономия. 1975. -Т. 15. -Л/а 1. - С. 149-156.

13. Брагинский С.И. Теоретические исследования геомагнитного динамо / / Итоги науки и техники. Геомагнетизм и верхние слои атмосферы. М.: ВИНИТИ, 1980. - Вып. 5. - С. 96-130.

14. Вайнштейн С.И. Магнитные поля в космосе. М.: Наука, 1983. -237 с.

15. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука, 1980. - 352 с.

16. Вишик М.М. Периодическое динамо // Математические методы в сейсмологии и геодинамике. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1986. - Вып. 19. - С. 186-215.

17. Вишик М.М. Периодическое динамо. II // Численное моделирование и анализ геофизических процессов. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1987. - Вып. 20. - С. 12-22.

18. Вишик М.М., Резников E.JI. О возбуждении магнитного поля мелкомасштабным потоком несжимаемой жидкости // Численное моделирование и анализ геофизических процессов. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1987. - Вып. 20. - С. 23-25.

19. Гайлитис А.К., Карасев Б.Г., Кириллов И.Р., Лиелаусис О.A., Jly-жанский С.М., Огородников А.П., Преслицкий Г.В. Эксперимент с жидкометаллической моделью МГД-динамо // Магнитная гидродинамика. 1987, Л/а 4. - С. 3-7.

20. Граева Е.М., Соловьев А. А. Асимптотика проведения процесса возбуждения магнитного поля течением Куэтта-Пуазейля проводящейжидкости // Теория и алгоритмы интерпретации геофизических данных. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1989. - Вып. 22. - С. 8492.

21. Денисов С.А., Носков В.И., Соколов Д.Д., Фрик П.Г., Хрипченко С.Ю. О возможности лабораторной реализации нестационарного МГД-динамо // ДАН 1999. - Т. 365. - M4. - С. 478-480.

22. Долгинов А.З. О происхождении магнитных полей Земли и небесных тел // Успехи физ. наук. 1987. - Т. 152. - Вып. 2. - С. 231-262.

23. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука, 1983. - 416 с.

24. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб' // Компьютерный анализ геофизических полей. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1990. - Вып. 23. - С. 161-181.

25. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб. II // Современные методы обработки сейсмологических данных. Вычисл. сейсмология.- М.: Наука, 1991. Вып. 24. - С. 205-217.

26. Желиговский В.А. О линейной устойчивости стационарных пространственно-периодических магнитогидродинамических систем к длиннопериодным возмущениям // Физика Земли. 2003. N° 5. -С. 65-74.

27. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость магнитогидро-динамических систем, имеющих центр симметрии, к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. 2006. Af° 3. - С. 69-78.

28. Желиговский В.А. Слабо нелинейная устойчивость конвективных магнитогидродинамических систем без а—эффекта к возмущениям с большими масштабами // Физика Земли. 2006. Л/а 12. - С. 92108.

29. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тьен Нгоан. Осреднение и G—сходимость дифференциальных операторов j j Успехи мат. наук. 1979. Т. 34. - М&5. - С. 63-133.

30. Зельдович Я.Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости // ЖЭТФ. 1956. - Т. 31. - Вып. 1. - С. 154-156.

31. Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А. Магнитное поле проводящей жидкости, движущейся в двух измерениях // ЖЭТФ. 1980. - Т. 78. -Вып. 3. - С. 980-986.

32. Зельдович Я.В., Рузмайкин А.А. Гидромагнитное динамо как источник планетарного, солнечного и галактического магнетизма // Успехи физ. наук. 1987. - Т. 152. - Вып. 2. - С. 263-284.

33. Като. Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

34. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М.: ИЛ, 1959. - 132 с.

35. Козлов С.М. Осреднение дифференциальных операторов с почти периодическими быстро осциллирующими коэффициентами // Мат. сб. 1978. - Т. 107. - М2. - С. 199-217.

36. Кокс А., Харт Р. Тектоника плит. М.: Мир, 1989. - 427 с.

37. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. - 544 с.

38. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.: Мир, 1984. - 320 с.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. - 371 с.

40. Любимова Е.А. Термика Земли и Луны. М.: Наука, 1968. - 279 с.

41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

42. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. -415 с.

43. Монин А. С., Яг лом A.M. Статистическая гидромеханика. Т. 1. -М.: Наука, 1965. - 695 с. - Т. 2. - М.: Наука, 1967. - 720 с.

44. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. -М.: Мир, 1980. 339 с.

45. Непомнящий А.А. Об устойчивости вторичных течений вязкой жидкости в неограниченном пространстве // ПММ. 1976. - Т. 40. - С. 886-891.

46. Паркер Е. Космические магнитные поля. М.: Мир, 1982. - Т. 1. -608 с. - Т. 2. - 480 с.

47. Паркинсон У. Введение в геомагнетизм. М.: Мир, 1986. - 528 с.

48. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: Физматлит, 2001. - 576 с.

49. Пономаренко Ю.Б. К теории гидромагнитного динамо // Прикл. мех. техн. физика. 1973, Л/ёб. - С. 47-51.

50. Прист Э.Р. Солнечная магнитогидродинамика. М.: Мир, 1985. -560 с.

51. Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Соловьев А.А., Шукуров A.M. Течение Куэтта-Пуазейля как винтовое динамо // Магнитная гидродинамика. 1989, Л/° 1. - С. 9-14.

52. Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д., Шукуров A.M. Магнитные поля галактик. М.: Наука, 1989. - 280 с.

53. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. - 472 с.

54. Серебряная П.М. Об эффективности генерации магнитного поля ламинарными движениями в сфере // Геомагнетизм и аэрономия. — 1986. Т. 26. - Л£ 5. - С. 822-826.

55. Серебряная П.М., Кропачев Э.П. Кинематическая модель динамо в сфере с частичной стратификацией // Геомагнетизм и аэрономия. 1985. - Т. 25. - Л/а 2. - С. 289-296.

56. Соловьев А.А. Возбуждение магнитного поля осесимметричным движением проводящей жидкости // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985, Л/° 4. - С. 101-103.

57. Соловьев А. А. Описание области значений параметров спирального течения Куэтта-Пуазейля проводящей жидкости, при которых возможно возбуждение магнитного поля // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1985, Л/П2. - С. 40-47.

58. Соловьев А. А. Существование магнитного динамо для динамически возможного течения проводящей жидкости // ДАН СССР. 1985. -Т. 282. -Л/"а1. - С. 44-48.

59. Соловьев А. А. Возбуждение магнитного поля спиральным течением проводящей жидкости. М.: ИФЗ АН СССР, 1987. - 132 с.

60. Соловьев А.А. Возбуждение магнитного поля движением проводящей жидкости при больших значениях магнитного числа Рей-нольдса // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987, Л/"а 5. - С. 77-80.

61. Соловьев А.А. Пороговые значения магнитного числа Рейнольдса для возбуждения магнитного поля // Теория и алгоритмы интерпретации геофизических данных. Вычисл. сейсмология. М.: Наука, 1989. - Вып. 22. - С. 80-83.

62. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.- 471 с.

63. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1977. 736 с.

64. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. - 664 с.

65. Уеда С. Новый взгляд на Землю. М.: Мир, 1980. - 214 с.

66. Фридрихе К.О. Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1969. - 232 с.

67. Фриш У. Турбулентность. Наследие А.Н.Колмогорова. М.: Фазис, 1998. - 346 с.

68. Adams R.A. Sobolev Spaces. N.Y.: Academic Press, 1975. - 268 p.

69. Alfven H. On the existence of electromagnetic hydrodynamic waves // Ark. mat., astron., fys. 1942. - Bd. 29B. - №>2. - 7 p.

70. Alemany A., Marty Ph., Plunian F., Soto J. Experimental investigations of dynamo action in the secondary pumps of the FBR Superphenix // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 403. - P. 263-276.

71. Arnold V.I. Sur la topologie des ecoulements stationnaires des fluides parfaits // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1965. - Vol. 261. -P. 17-20.

72. Axelsson O. Iterative solution methods. Cambridge Univ. Press, 1996.- 654 p.

73. Baptista M., Gama S.M.A., Zheligovsky V. Eddy diffusivity in convec-tive hydromagnetic systems // Eur. Phys. J. B. 2007. - Vol. 60. -P. 337-352.

74. Bassom A.P., Zhang K. Strongly nonlinear convection cells in a rapidly rotating fluid layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1994. -Vol. 76. - P. 223-238.

75. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis for periodic structures. Amsterdam: North Holland, 1978. - 700 p.

76. Bevir M.K. Self-excitation of magnetic fields in the liquid metal // J. Brit. Nucl. Eng. Soc. 1973. - Vol. 12. - P. 455-462.

77. Biferale L., Crisanti A., Vergassola M., Vulpiani A. Eddy viscosity in scalar transport // Phys. Fluids. 1995. - Vol. 7. - P. 2725-2734.

78. Bisshopp F.E. On two-dimensional cell patterns // J. Math. Analysis and Applications. 1960. Vol. 1. - P. 373-385.

79. Blackman E.G., Chou T. A vorticity-magnetic field dynamo instability // Astrophys. J. 1997. - Vol. 489. - P. L95-L98.

80. Blackman E.G., Field G.B. Resolution of an ambiguity in dynamo theory and its consequences for back-reaction studies // Astrophys. J. 1999. Vol. 521 - P. 597-601.

81. Blackman E.G., Field G.B. Constraints on the magnitude of a in dynamo theory // Astrophys. J. 2000. - Vol. 534. - P. 984-988.

82. Bodenschatz E., Pesch W., Ahlers G. Recent developments in Rayleigh-Benard convection // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 709778.

83. Bosh-Vivancos I., Chossat P., Oprea J. Bifurcations of self-sustained magnetic fields in planar convective flows. // Eur. J. Mech. В / Fluids.- 1995. Vol. 14. - P. 115-142.

84. Bourgoin M., Marie L., Petrelis F., Burguete J., Chiffaudel A., Davi-aud F., Fauve S., Odier P., Pinton J.-F. MHD measurements in the von Karman sodium experiment // Phys. Fluids. 2001. - Vol. 14. -P. 3046-3058.

85. Bourgoin M., Volk R., Frick P., Khripechenko S., Odier P., Pinton J.-F. Induction mechanisms in von Karman swirling flows of liquid gallium // Magnetohydrodynamics. 2004. - Vol. 40. - P. 3-21.

86. Bowin C. Topography at the core-mantle boundary // Geophys. Res. Lett. 1986. - Vol. 13. - P. 1513-1516.

87. Boyd J.P. Chebyshev and Fourier spectral methods. N.Y.: Dover Publ., 2000. - 662 p.

88. Brummell N.H., Cattaneo F., Tobias S.M. Linear and nonlinear dynamo properties of time-dependent ABC flows // Fluid Dynamics Res. 2001.- Vol. 28. P. 237-265.

89. Bullard E.C. Reversals of the Earth's magnetic field // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1968. - Vol. A263. - P. 481-524.

90. Bullard E.C., Gellman H. Homogeneous dynamos and terrestrial magnetism // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1954. - Vol. A247. - P. 213278.

91. Bullard E.C., Gubbins D. Generation of magnetic fields by fluid motions of global scale // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1977. - Vol. 8.- P. 43-56.

92. Busse F.H. Dynamics of the Earth's core and the geodynamo // Evolv. Earth. Washington D.C., Boulder Colo., 1981. - P. 53-58.

93. Busse F.H. Recent developments in the dynamo theory of planetary magnetism // Ann. Rev. Earth and Planet. Sci. Vol. 11. - Paolo Alto Calif., 1983. - P. 241-268.

94. Busse F.H. Homogenous dynamos in planetary cores and in the laboratory // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 383-408.

95. Canuto C., Hussaini M.You., Quarteroni A., Zang Th.A. Spectral methods in fluid dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1988. - 557 p.

96. Cattaneo F., Hughes D.W. Nonlinear saturation of the turbulent a-effect // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. R4532-R4535.

97. Cattaneo F., Hughes D.W., Thelen J.C. The nonlinear properties of a large-scale dynamo driven by helical forcing // J. Fluid Mech. 2002.- Vol. 456. P. 219-237.

98. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. N.Y.: Dover, 1961. - 654 p.

99. Chatterjee J.S. Induction in the core by magnetic storms and Earth's magnetism // Sci. Culture. Vol. 21. - Calcutta, 1956. - P. 623.

100. Childress S. The macro dynamics of spherical dynamos // Stellar and planetary magnetism / Ed. A.M. Soward. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - P. 245-257.

101. Childress S., Gilbert A.D. Stretch, twist, fold: the fast dynamo. -Berlin: Springer-Verlag, 1995. 406 p.

102. Childress S., Soward A.M. On the rapid generation of magnetic field // Chaos in astrophysics / Ed. J.R. Buchler. 1985. - P. 233-244.

103. Christensen U.R. Mantle rheology, constitution, and convection // Mantle convection. Plate tectonics and global dynamics / Ed. W.R. Peltier. N.Y.: Gordon and Breach, 1989. - P. 595-656.

104. Christensen U., Olson P., Glatzmaier G.A. Numerical modeling of the geodynamo: A systematic parameter study // Geophys. J. Int. 1999. - Vol. 138. - P. 393-409.

105. Christopherson D.G. Note on the vibration of membranes // Quart. J. of Math. (Oxford series). 1940. - Vol. 11. - P. 63-65.

106. Cioranescu D., Donato P. An introduction to homogenization. Oxford Univ. Press, 1999. - 262 p.

107. Constable C.G. Geomagnetic reversals: rates, timescales, preferred paths, statistical models, and simulations // Earth's core and lower mantle / Eds. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 77-99.

108. Coulomb J. Sea floor spreading and continental drift. Dordrecht: D. Reidel Publishing Co., 1972. - 184 p.

109. Cowling T.G. The magnetic field of sunspots // Month. Not. Roy. Astr. Soc. 1934. - Vol. 94. - P. 39-48.

110. Cowling T.G. The dynamo maintenance of steady magnetic fields // Quart. J. Mech. App. Math. 1957. - Vol. X. - P. 129-136.

111. Cox A. Geomagnetic reversals // Science. 1969. - Vol. 163. - P. 237245.

112. Cox S.M., Matthews P.C. Exponential time differencing for stiff systems // J. Comput. Phys. 2002. - Vol. 176. - P. 430-455.

113. Cross M.C., Newell A.C. Convection patterns in large aspect ratio systems // Physica D. 1984. - Vol. 10. - P. 299-328.

114. Demircan A., Seehafer N. Dynamo in asymmetric square convection // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2002. - Vol. 96. - P. 461-479.

115. Desjardins В., Dormy E., Grenier E. Instability of Ekman-Hartmann boundary layers, with application to the fluid flow near the core-mantle boundary // Phys. Earth Planet. Interiors. 2001. - Vol. 124. - P. 283294.

116. Dombre Т., Frisch U., Greene J.M., Henon M., Mehr A., Soward A.M. Chaotic streamlines and Lagrangian turbulence: the ABC-flows // J. Fluid Mech. 1986. - Vol. 167. - P. 353-391.

117. Dorch S.B.F. On the structure of the magnetic field in a kinematic ABC flow dynamo // Physica Scripta. 2000. - Vol. 61. - P. 717-722.

118. Dubrulle В., Frisch U. Eddy viscosity of parity-invariant flow // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 5355-5364.

119. E W., Shu C.-W. Effective equations and the inverse cascade theory for Kolmogorov flows // Phys. Fluids A. 1993. - Vol. 5. - P. 998-1010.

120. Elsasser W.M. Induction effects in terrestrial magnetism // Phys. Rev. 1946, Л/а 69. - P. 106-116.

121. Field G.B., Blackman E.G., Chou H. Nonlinear a—effect in dynamo theory // Astrophys. J. 1999. - Vol. 513. - P. 638-651.

122. Fluid dynamics and dynamos in astrophysics and geophysics / Eds. A.M. Soward, C.A. Jones, D.W. Hughes, N.O. Weiss. L.: CRC Press, 2005. - 442 p.

123. Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., SokoloffD., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stationary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. -Vol. 38, 2002. P. 143-162.

124. Frisch U., Legras В., Villone B. Large-scale Kolmogorov flow on the beta-plane and resonant wave interactions // Physica D. 1996. -Vol. 94. - P. 36-56.

125. Frisch U., She Zh.S., Sulem P.L. Large-scale flow driven by the anisotropic kinetic alpha effect // Physica D. 1987. - Vol. 28. - P. 382392.

126. Frisch U., She Zh.S., Thual O. Viscoelastic behaviour of cellular solutions to the Kuramoto-Sivashinsky model // J. Fluid Mech. 1986. -Vol. 168. - P. 221-240.

127. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. On the results of the Riga dynamo experiments // Magnetohydrodynamics. -2001. Vol. 37. - P. 71-79.

128. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Ger-beth G., Gundrum Т., Stefani F., Christen M., Will G. Magnetic field saturation in the Riga dynamo experiment // Phys. Rev. Lett. 2001.- Vol. 86. P. 3024-3027.

129. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. Laboratory experiments on hydromagnetic dynamos // Rev. Modern Phys. 2002.- Vol. 74. P. 973-990.

130. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Gerbeth G., Gundrum Т., Stefani F., Christen M., Will G. Dynamo experiments at the Riga sodium facility // Magnetohydrodynamics. 2002.- Vol. 38. P. 5-14.

131. Gailitis A., Lieleausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. On back-reaction effects in the Riga dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 15-26.

132. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. The Riga dynamo experiment // Surveys in Geophysics. 2003. - Vol. 24. -P. 247-267.

133. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Gerbeth G., Stefani F. Riga dynamo experiment and its theoretical background // Phys. Plasmas. -2004. Vol. 11. - P. 2828-2843.

134. Galanti В., Pouquet A., Sulem P.L. Influence of the period of an ABC flow on its dynamo action // Solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 99-103.

135. Galanti В., Sulem P.L., Pouquet A. Linear and non-linear dynamos associated with ABC flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. -1992. Vol. 66. - P. 183-208.

136. Galloway D.J., O'Brian N.R. Numerical calculations of dynamos for ABC and related flows // Solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E.

137. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 105-113.

138. Galloway D.J., Frisch U. A numerical investigation of magnetic field generation in a flow with chaotic streamlines // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1984. - Vol. 29. - P. 13-18.

139. Galloway D.J., Frisch U. Dynamo action in a family of flows with chaotic streamlines // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1986. -Vol. 36. - P. 53-83.

140. Galloway D.J., Proctor M.R.E. Numerical calculations of fast dynamos for smooth velocity fields with realistic diffusion // Nature. 1992. -Vol.356. - P. 691-693.

141. Galloway D.J., Zheligovsky V.A. On a class of non-axisymmetric flux rope solutions to the electromagnetic induction equation // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1994. - Vol. 76. - P. 253-264.

142. Gama S., Chaves M. Time evolution of the eddy viscosity in two-dimensional Navier-Stokes flow // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 61.- P. 2118-2120.

143. Gama S., Vergassola M., Frisch U. Negative eddy viscosity in isotrop-ically forced two-dimensional flow: linear and nonlinear dynamics // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 260. - P. 95-126.

144. Gerard-Varet D. Oscillating solutions of incompressible magnetohydro-dynamics and dynamo effect // SIAM J. Math. Anal. 2005. - Vol. 37.- P. 815-840.

145. Gerard-Varet D. Weakly non-linear analysis of the a effect // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2007. - Vol. 101. - P. 171-184.

146. Gibson R.D., Roberts P.H. Some comments on the theory of homogeneous dynamos // Magnetism and the cosmos / Eds. W.R. Hindmarsh, F.G. Lowes, P.H. Roberts, S.K.Runcorn. Edinburgh: Oliver &; Boyd Ltd., 1967. - P. 108-120.

147. Gibson R.D., Roberts P.H. The Bullard Gellman dynamo // Application of modern physics to the Earth and planetary interiors / Ed. S.K. Runcorn. - Wiley, Interscience, 1969. - P. 577-601.

148. Gilbert A.D., Frisch U., Pouquet A. Helicity is unnecessary for alpha effect dynamos, but it helps // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. -1988. Vol. 42, p. 151-161.

149. Gilbert W. De magnete. Gilbert club revised English translation. L.: Chiswick Press, 1900 (1600).

150. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Phys. Earth Planet. Inter. 1995. - Vol. 91. - P. 63-75.

151. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. A three-dimensional self-consistent computer simulation of a geomagnetic field reversal // Nature. 1995.- Vol. 377. P. 203-209.

152. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. An anelastic geodynamo simulation driven by compositional and thermal convection // Physica D. 1996.- Vol. 97. P. 81-94.

153. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Rotation and magnetism of Earth's inner core // Science. 1996. - Vol. 274. - P. 1887-1891.

154. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Simulating the geodynamo // Contemporary physics. 1997. - Vol. 38. - P. 269-288.

155. Glatzmaier G.A., Roberts P.H. Computer simulations of the Earth's magnetic field // Geowissenschaften. 1997. - Vol. 15. - P. 95-99.

156. Glatzmaier G.A., Сое R.S., Hongre L., Roberts P.H. The role of the Earth's mantle in controlling the frequency of geomagnetic reversals // Nature. 1999. - Vol. 401. - P. 885-890.

157. Gruzinov A. V., Diamond P.H. Self-consistent theory of mean field electrodynamics // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 72. - P. 1651-1654.

158. Gubbins D. Numerical solutions of the kinematic dynamo problem / / Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1973. - Vol. A274. - P. 493-521.

159. Gubbins D. The Earth's magnetic field // Contemp. Phys. 1984. -Vol. 23. - P. 269-290.

160. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. N.Y.: Springer-Verlag, 1990. - 453 P

161. Hide R. Self-exciting dynamos and geomagnetic polarity changes // Nature. 1981. - Vol. 293. - Л/^5835. - P. 728-729.

162. Hollerbach R., Galloway D.J., Proctor M.R.E. Numerical evidence of fast dynamo action in a spherical shell // Phys. Rev. Lett. 1995. -Vol. 74. - P. 3145-3148.

163. Jault D. Electromagnetic and topographic coupling, and LOD variations // Earth's core and lower mantle / Eds. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 56-76.

164. Jikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer-Verlag, 1994. -570 p.

165. Jones C.A. Convection-driven geodynamo models // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 2000. - Vol. A358. - P. 873-897.

166. Jones C.A., Roberts P.H. Convection-driven dynamos in a rotating plane layer // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 404. - P. 311-343.

167. Julien K., Knobloch E. Fully nonlinear oscillatory convection in a rotating layer // Phys. Fluids. 1997. - Vol. 9. - P. 1906-1913.

168. Julien K., Knobloch E. Strongly nonlinear convection cells in a rapidly rotating layer: the tilted f-plane // J. Fluid Mech. 1998. - Vol. 360. - P. 141-178.

169. Julien К., Knobloch E., Weme J. A new class of equations for rotation-ally constrained flows // Tlieoret. Comput. Fluid Dynamics. 1998. -Vol. 11. - P. 251-261.

170. Julien K., Knobloch E. Fully nonlinear three-dimensional convection in a rapidly rotating layer // Phys. Fluids. 1999. - Vol. 11. - P. 14691483.

171. Julien K., Knobloch E., Tobias S.M. Strongly nonlinear magneto convection in three dimensions // Physica D. 1999. - Vol. 128'. - P. 105129.

172. Julien K., Knobloch E., Tobias S.M. Strongly nonlinear magnetocon-vection in the presence of oblique fields // J. Fluid Mech. 2000. -Vol. 410. - P. 285-322.

173. Julien K., Knobloch E., Tobias S.M. Highly supercritical convection in strong magnetic fields // Advances in nonlinear dynamos / Eds. A. Ferriz-Mas, M. Nunez. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 195-223.

174. Kumar S., Roberts P.H. A three-dimensional kinematic dynamo // Proc. Roy. Soc. Lond. 1975. - Vol. A344. - P. 235-258.

175. Lanotte A., Noullez A., Vergassola M., Wirth A. Large-scale dynamo by negative magnetic eddy diffusivities // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1999. - Vol. 91. - P. 131-146.

176. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? // Rep. Brit. Assoc. Adv. Sci. 1919. - P. 159-160 (воспроизведено репринтным образом в 53.).

177. Larmor J. Possible rotational origin of magnetic fields of Sun and Earth // Electr. Rev. 1919. - Vol. 85. - P. 412.

178. Lathrop D.P., Shew W.L., Sisan D.R. Laboratory experiments on the transition to MHD dynamos // Plasma Phys. Cont. Fusion. 2003. -Vol. 43. - P. 151-160.

179. Lectures on solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, A.D. Gilbert. Cambridge Univ. Press, 1994. - 389 p.

180. Lehnert B. An experiment on axisymmetric flow of liquid sodium in a magnetic field // Ark. Fysik. 1957. - Vol. 13. - M> 10. - P. 109-116.

181. Leighton R.B. A magneto-kinematic model of the Solar cycle // Astrophys. J. 1969. - Vol. 156. -JVsl.-P. 1-26.

182. Libin A., Sivashinsky G.I. Long wavelength instability of the ABC-flows // Quarterly of applied mathematics. 1990. - Vol. 48 (4). -P. 611-623.

183. Libin A., Sivashinsky G.I., Levich E. Long-wave instability of periodic flows at large Reynolds numbers // Phys. Fluids. 1987. - Vol. 30. -P. 2984-2986.

184. Lilley F.E.M. On kinematic dynamos // Proc. Roy. Soc. 1970. -Vol. A316. - P. 153-167.

185. Lowes F.J., Wilkinson I. Geomagnetic dynamo: A laboratory model // Nature. 1963. - Vol. 198. - P. 1158-1160.

186. Lowes F.J., Wilkinson I. Geomagnetic dynamo: An improved laboratory model // Nature. 1968. - Vol. 219. - P. 717-718.

187. Majda A.J., Kramer P.R. Simplified models for turbulent diffusion: theory, numerical modelling, and physical phenomena // Phys. Rep. -1999 Vol. 314. - P. 237-574.

188. Marie L., Petrelis F., Bourgoin M., Burguete J., Chiffaudel A., Davi-aud F., Fauve S., Odier P., Pinton J.-F. Open questions about homogeneous fluid dynamos: the VKS experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 163-176.

189. Matthews P.C. Dynamo action in convection // Workshop on stellar dynamos. Eds. M. Nunez, A. Ferriz-Mas. ASP Conference Series. -1999. - Vol. 178. - P. 107-117.

190. Matthews P.C. Dynamo action in convection // Proc. R. Soc. Lond. -1999. Vol. A455. - P. 1829-1840.

191. Matthews P.C. Asymptotic solutions for nonlinear magneto convection // J. Fluid Mech. 1999. - Vol. 387. - P. 397-409.

192. Maunder E.W. Note on the distribution of sunspots in heliographic latitude, 1874-1902 // Month. Not. Roy. Astr. Soc. 1904. - Vol. 64. - P. 747-761.

193. Maunder E.W. Distribution of sunspots in heliographic latitude, 18741913 // Month. Not. Roy. Astr. Soc. 1913. - Vol. 74. - P. 112-116.

194. Merrill R.T., McEllhiny M.W., McFadden Ph.L. The magnetic field of the Earth. Paleomagnetism, the core and the deep mantle. San Diego: Academic Press, 1996. - 527 p.

195. Mestel L. Stellar magnetism. Oxford Univ. Press, 2003. - 636 p.

196. Mfiller U., Stieglitz R. The Karlsruhe dynamo experiment // Nonlinear Processes in Geophysics. ^ 2002. Vol. 9. - P. 165-170.

197. Murakami Y., Murakami M., Gotoh K. Three-dimensional negative eddy viscosity effect on the onset of instability in some planar flows / / Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51. - P. 5128-5131.

198. Nataf H.-C. Dynamo and convection experiments // Earth's core and lower mantle / Eds. C.A. Jones, A.M. Soward, K. Zhang. L.: Taylor and Francis, 2003. - P. 153-179.

199. Newell A.C. Two-dimensional convection patterns in large aspect ratio systems // Nonlinear partial differential equations in applied science / Ed. H. Fujita. Amsterdam: North-Holland, 1983. - P. 202-231.

200. Newell A.C., Passot Т., Lega J. Order parameter equations for patterns // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993. - Vol. 25. - P. 399-453.

201. Newell A.C., Passot Т., Bowman C., Ercolani N., Indik R. Defects are weak and self-dual solutions of the Cross-Newell phase diffusion equation for natural patterns // Physica D. 1996. - Vol. 97. - P. 185205.

202. Newell A.C., Passot Т., Souli M. Convection at finite Rayleigh numbers in large-aspect-ratio containers // Phys. Rev. Lett. 1990. - Vol. 64.- P. 2378-2381.

203. Newell A.C., Passot Т., Souli M. The phase diffusion and mean drift equations for convection at finite Rayleigh numbers in large containers // J. Fluid Mech. 1990. - Vol. 220. - P. 187-552.

204. Nikitin N.V. A spectral finite-difference method of calculating turbulent flows of an incompressible fluid in pipes and channels // Сотр. Maths Math. Phys. 1994. - Vol. 34. - P. 785-798.

205. Nikitin N. Third-order-accurate semi-implicit Runge-Kutta scheme for incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Meth. Fluids.- 2006. Vol. 51. - P. 221-233.

206. Nikitin N. Finite-difference method for incompressible Navier-Stokes equations in arbitrary orthogonal curvilinear coordinates // J. Сотр. Phys. 2006. - Vol. 217. - P. 759-781.

207. Nore C., Brachet M.E., Politano H., Pouquet A. Dynamo action in the Taylor-Green vortex near threshold // Phys. Plasmas. 1997. - Vol. 4.- P. 1-3.

208. Nornberg M.D., Spence E.J., Kendrick R.D., Jacobson C.M., Forest C.B. Intermittent magnetic field excitation by a turbulent flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. - 044503.

209. Novikov A. Eddy viscosity of cellular flows by upscaling J J J. Сотр. Phys. 2004. - Vol. 195. - P. 341-354.

210. Novikov A., Papanicolaou G. Eddy viscosity of cellular flows // J. Fluid Mech. 2001. - Vol. 446. - P. 173-198.

211. Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. Mathematical problems in elasticity and homogenization. Amsterdam: Elsevier Science Publishers, 1992. - 398 p.

212. Olson P., Christensen U., Glatzmaier G.A. Numerical modeling of the geodynamo: mechanisms of field generation and equilibration // J. Geophys. Res. 1999. - Vol. 104. - P. 10383-10404.

213. Otani N.F. A fast kinematic dynamo in two-dimensional time-dependent flows // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 253: - P. 327-340.

214. Parker E.N. The solar hydrodynamic dynamo // Proc. Nat. Acad. Sci. US. 1957. - Vol. 43. - P. 8-13.

215. Parker E.N. Magnetic fields in the cosmos // Sci. Amer. 1983. -Vol. 249. -M2.- P. 36-46.

216. Pavliotis G.A., Stuart A.M. Multiscale methods. Averaging and homogenization. Texts in applied mathematics. Vol. 53. - N.Y.: Springer. - 307 pp.

217. Pekeris C.L., Accad Y., Shkoller B. Kinematic dynamos and the Earth's magnetic field // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1973. - Vol. A275. -P. 425-461.

218. Peltier W.R. Mantle viscosity // Mantle convection. Plate tectonics and global dynamics / Ed. W.R. Peltier. N.Y.: Gordon and Breach, 1989. - P. 389-478.

219. Petrelis F., Bourgoin M., Marie L., Chiffaudel A., Fauve S., Daviaud F., Odier P., Pinton J.-F. Non linear induction in a swirling flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 90. - 174501.

220. Peyret R. Spectral methods for incompressible viscous flow. Berlin: Springer Verlag, 2002. - 432 p.

221. Plunian F. An optimal scale-separation for a dynamo experiment // Phys. Fluids. 2005. - Vol. 17. - 048106 - 2 p.

222. Plunian F., Alemany A., Marty Ph. Influence of MHD parameters on electromagnetic self-excitation in the core of a FBR // Magnetohydro-dynamics. 1995. - Vol. 31. - P. 382-390.

223. Plunian F., Marty Ph., Alemany A. Kinematic dynamo action, in a network of screw motions. Application to the core of a fast breeder reactor // J. Fluid Mech. 1999. - Vol. 382. - P. 137-154.

224. Plunian F., Radler K.-H. Subharmonic dynamo action in the Roberts flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2002. - Vol. 96. - P. 115133.

225. Plunian F., Radler K.-H. Harmonic and subharmonic solutions of the Roberts dynamo problem. Application to the Karlsruhe experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 95-106.

226. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer // Eur. Phys. J. B. 2006. - Vol. 50. - P. 639-652.

227. Podvigina O.M. Instability of flows near the onset of convection in a rotating layer with stress-free horizontal boundaries // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 299-326.

228. Podvigina O.M. Magnetic field generation by convective flows in a plane layer: the dependence on the Prandtl number // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 409-433.

229. Podvigina O.M., Zheligovsky V.A. An optimized iterative method for numerical solution of large systems of equations based on the extremal property of zeroes of Chebyshev polynomials // J. Sci. Computing. -1997. Vol. 12. - P. 433-464.

230. Ponty Y., Pouquet A., Rom-Kedar A., Sulem P.L. Dynamo action in a nearly integrable chaotic flow // Solar and planetary dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 241-248.

231. Ponty Y., Pouquet A., Sulem P.L. Dynamos in weakly chaotic two-dimensional flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1995. -Vol. 79. - P. 239-257.

232. Ponty Y., Passot Т., Sulem P.L. Pattern dynamics in rotating convection at finite Prandtl number // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 56. -P. 4162-4178.

233. Ponty Y., Gilbert A.D., Soward A.M. Kinematic dynamo action in flows driven by shear and convection // J. Fluid Mech. 2001. -Vol. 435. - P. 261-287.

234. Ponty Y., Gilbert A.D., Soward A.M. Dynamo action due to Ekman layer instability // Dynamo and dynamics, a mathematical challenge / Eds. P. Chossat, D. Armbruster, I. Oprea. Boston: Kluwer, 2001. -P. 75-82.

235. Ponty Y., Gilbert A.D., Soward A.M. The onset of thermal convection in Ekman-Couette shear flow with oblique rotation // J. Fluid Mech. 2003. - Vol. 487. - P. 91-123.

236. Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. Numerical recipes. Cambridge Univ. Press, 1992. - 973 p.

237. Radler K.-H., Apstein E., Rheinhardt M., Schiiler M. The Karlsruhe dynamo experiment. A mean field approach // Studia Geophysica et Geodaetica. 1998. - Vol. 42 (3). - P. 224-231.

238. Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with two-dimensional periodicity // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1972. - Vol. A271. -P. 411-454.

239. Roberts P.H., Glatzmaier G.A. The geodynamo, past, present and future // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2001. - Vol. 94. - P. 47-84.

240. Roberts P.H., Zhang K. Thermal generation of Alfven waves in oscillatory magneto convection // J. Fluid Mech. 2000. - Vol. 420. -P. 201-223.

241. Rotvig J., Jones C.A. Rotating convection driven dynamos at low Ek-man number // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66 - 056308. - 15 p.

242. Riidiger G., Feudel F., Seehafer N. Dynamo bifurcations in an array of driven convectionlike rolls // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. -P. 5533-5538.

243. Riidiger G., Hollerbach R. The magnetic universe. Geophysical and astrophysical dynamo theory. Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH, 2004. - 332 p.

244. Sagaut P. Large eddy simulation for incomressible flows. Berlin: Springer-Verlag, 2006. - 556 p.

245. Sarson G.R., Jones C.A. A convection driven geodynamo reversal model // Phys. Earth Planet. Inter. 1999. - Vol. 111. - P. 3-20.

246. Schuster A. A critical examination of the possible causes of terrestrial magnetism // Proc. Phil. Soc. Lond. 1912. - Vol. 24. - P. 121-137.

247. Serebrianaya P.M. Kinematic stationary geodynamo models with separated toroidal and poloidal motions // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1986. - Vol. 44. - P. 141-164.

248. She Z.S. Metastability and vortex pairing in the Kolmogorov flow // Phys. Lett. A. 1987. - Vol. 124. - P. 161-164.

249. Shew W.L., Lathrop D.P. Liquid sodium model of geophysical core convection // Phys. Earth Planet. Interiors. 2005. - Vol. 153. - P. 136149.

250. Simitev R., Busse F.H. Prandtl-number dependence of convection-driven dynamos in rotating spherical fluid shell // J. Fluid Mech. -2005. Vol. 532. - P. 365-388.

251. Sisan D.R., Mujica N., Tillotson W.A., Huang Y.M., Dorland W., Hassam A.B., Antonsen T.M., Lathrop D.P. Experimental observation and characterization of the magnetorotational instability // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - 114502.

252. Sivashinsky G.I., Yakhot V. Negative viscosity effect in large-scale flows // Phys. Fluids. 1985. - Vol. 28. - P. 1040-1042.

253. Sivashinsky G.I., Frenkel A.L. On negative eddy viscosity under conditions of isotropy // Phys. Fluids A. 1992. - Vol. 4. - P. 1608-1610.

254. Soward A.M. A kinematic theory of large magnetic Reynolds number dynamos // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1972. - Vol. A272. - P. 431462.

255. Soward A.M. A convection driven dynamo I. The weak field case // Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1974. - Vol. A275. - P. 611-651.

256. St. Pierre M.G. The strong field branch of the Childress-Soward dynamo // Solar and Planetary Dynamos / Eds. M.R.E. Proctor, P.C. Matthews, A.M. Rucklidge. Cambridge Univ. Press, 1993. - P. 295302.

257. Starr V.P. Physics of negative viscosity phenomena. N.Y.: McGraw-Hill, 1968. - 256 p.

258. Steenbeck M., Krause F., Radler K.-H. A calculation of the mean electromotive force in an electrically conducting fluid in turbulent motion, under the influence of Coriolis forces // Z. Naturforsch. 1966. -Vol. 21a. - P. 369-376.

259. Stellmach S., Hansen U. Cartesian convection driven dynamos at low Ekman number // Phys. Rev. E. 2004. - Vol. 70. - 056312.

260. Stieglitz R., Miiller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Phys. Fluids. 2001. - Vol. 13. - P. 561-564.

261. Stieglitz R., Miiller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. - P. 2734.

262. Stix M. Differential rotation and the solar dynamo // Astron. and Astrophys. 1977. - Vol. 47. - P. 243-254.

263. Stix M. Solar type dynamos in late main sequence stars // Stellar and planetary magnetism / Ed. A.M. Soward. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - P. 197-203.

264. Stix M. The Sun. An introduction. Berlin: Springer-Verlag, 2002. -506 p.

265. Sulem P.L., She Zh.S., Scholl H., Frisch U. Generation of large-scale structures in three-dimensional flow lacking parity-invariace // J. Fluid Mech. 1989. - Vol. 205. - P. 341-358.

266. Thelen J.C., Cattaneo F. Dynamo action driven by convection: the influence of magnetic boundary conditions // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2000. - Vol. 315. - P. L13-L17.

267. Tilgner A. A kinematic dynamo with a small scale velocity field // Phys. Lett. A. 1997. - Vol. 226. - P. 75-79.

268. Tilgner A., Busse F.H. Simulation of the bifurcation diagram of the Karlsruhe dynamo // Magnetohydrodynamics. 2002. - Vol. 38. -P. 35-40.

269. Vainshtein S.I., Cattaneo F. Nonlinear restrictions on dynamo action // Astrophys. J. 1992. - Vol. 393. - P. 165-171.

270. Vergassola M., Avellaneda M. Scalar transport in compressible flow // Physica D. 1997. - Vol. 106. - P. 148-166.

271. Volk R., Ravelet F., Monchaux R., Berhanu M., Chiffaudel A., Daviaud F., Fauve S., Mordant N., Odier Ph., Petrelis F., Pinton J.-F. Transport of magnetic field by a turbulent flow of liquid sodium // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. - 074501.

272. Weiss N.O. Solar magnetism // Stellar and planetary magnetism / Ed. A.M. Soward. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - P. 115-131.

273. Wirth A. Complex eddy-viscosity: a three-dimensional effect // Physica D. 1994. - Vol. 76. - P. 312-317.

274. Wirth A., Gama S., Frisch U. Eddy viscosity of three-dimensional flow // J. Fluid Mech. 1995. - Vol. 288. - P. 249-264.

275. Zeldovich Ya.B., Ruzmaikin A.A., Sokoloff D.D. Magnetic fields in astrophysics. N.Y.: Gordon and Breach, 1983. - 365 p.

276. Zhang K., Jones C.A. The effect of hyperviscosity on geodynamo models // Geophys. Res. Lett. 1997. - Vol. 24. - P. 2869-2872.

277. Zhang K., Schubert G. Magnetohydrodynamics in rapidly rotating spherical systems // Ann. Rev. Fluid Mech. 2000. - Vol. 32. - P. 409443.

278. Zheligovsky V.A. or—effect in generation of magnetic field by a flow of conducting fluid with internal scale in an axisymmetric volume / / Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1991. - Vol. 59. - P. 235-251.

279. Zheligovsky V.A. A kinematic magnetic dynamo sustained by a Beltrami flow in a sphere // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1993. -Vol. 73. - P. 217-254.

280. Zheligovsky V. Numerical solution of the kinematic dynamo problem for Beltrami flows in a sphere // J. Scientific Computing. 1993. -Vol. 8. - P. 41-68.

281. Zheligovsky V.A. Convective plan-form two-scale dynamos in a plane layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2005. - Vol. 99. - P. 151175.

282. Zheligovsky V.A. Mean-field equations for weakly non-linear multiscale perturbations of forced hydro magnetic convection in a rotating layer. Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. - Vol. 102. - P. 489-540. http: //arxiv.org/abs/0804.2326vl

283. Zheligovsky V. Amplitude equations for weakly nonlinear two-scale perturbations of free hydromagnetic convective regimes in a rotating layer. Подано в Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2008. http://arxiv.org/abs/0809.1195vl

284. Zheligovsky V.A., Galloway D.J. Dynamo action in Christopherson hexagonal flow // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 1998. - Vol. 88. - P. 277-293.

285. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M. Generation of multiscale magnetic field by parity-invariant time-periodic flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2003. - Vol. 97. - P. 225-248.

286. Zheligovsky V.A., Podvigina O.M., Frisch U. Dynamo effect in parity-invariant flow with large and moderate separation of scales // Geophys. Astrophys. Fluid Dynam. 2001. - Vol. 95. - P. 227-268.