Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Маломодовые нелинейные модели динамо

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Маломодовые нелинейные модели динамо"

А КАДМИЯ НАУК СССР

янстатат зшного магнетизма,

ИОНОСФЕРЫ И РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН

На правах рукописи

АЛИЕВ УЛЬШ ТАХИР оглы

УДК .550.384.1:523.76

МАЛОМОДОШЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМО 04.00.22 - геофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

Работа выполнена в лабораториях космических магнитных исследований и главного магнитного поля Земли ИЗМИРАН и в лаборатории астрофизики НПО Космических исследований.

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

ведущая организаи (я:

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Рузмайкин

доктор физико-математических наук, профессор З.П.Головков

кандидат физико-математических наук Н.И.Клиорин

Институт Физики Земли АН СССР

Защита состоится 1990 г. в °^часов

на заседании специалиэироечнного совета Д 002.63.01 при ИЗМИР АН СССР по адресу: 142092 г. Троицк Московской обл. (проезд авт. 531, 512, 515 от ст.м."Теплый .Стан")

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИЗМИРАН.

Автореферат разослан "¿¿с?" С&Гл^^ц, 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.~ мат! наук

Общая характеристика работы

Актуальность исследования процесса гидромагнитного динамо обусловлена тем, что идея гидромагнитно гсГдинамо, выдвинутая Лармором в 1919 году для объяснения магнитных полей на-Солнце, является в настоящее время единственно приемлемой и практически общепринятой гипотезой о происхождении магнитных полей Солнца, Земли, а также других астрофизических объектов. После ставзих классическими работ Каулинга, Эльзасоера, Бул-ларда последовала первая попытка Булларда и Геллмана, в которой построена математическая модель г.чдрокагнитного динамо путем решения уравнэнкя индукции на ЭШ. Доказательство' принципиальной возможности того, что движение однородной проводящей жидкости в односвязной области может создавать самоподдерживающееся магнитное поле, было дано в работе Герценберга для стационарного и в работе Бэкуса для нестационарного динамо. Таким образом, сомнения в плодотворности гипотезы гидромагнитного динамо были окончательно рассеяны.

Непосредственной целью стала разработка количественной теории гидромагнитного динамо, способного гэнсрировать наблюдаемые в природе магнитные поля, а также создание нелинейной теории, позволяющей моделировать специфические нелинейные эффекты, сопоставимые с экспериментально наблюдаемыми явлениями: вековыми вариациями, инверсиями, а также длительными ослабления?® солнечной активности. Сложность моделирования нелинейных явлений, описываемых трехмерной системой уравнений магнитной гидродинамики, диктует упрощенные подходы. Одно из направлений исследований связано с вычислительным экспериментом для системы МГД уравнений в частных производных. Другое направление, которое и развивается в диссертации, предполагает построение маломодовых моделей. Идея заключается в разложении исходных уравнений на пространственные моды и выделении наиболее существенных для динамики полей и движений. В Результате возникает динамическая система, анализ которой обнаруживает периодические режип и механизмы стохастизации. Построение и исследование маломодовых моделей является необходимым и экономичным этапом на пути к постановке вычислительного эксперимента для полной МГД системы, а также позволяет анализировать качественные особенности решения полной

задачи. Опыт исследований ряда нелинейных уравнений в частных производных показал, что маломодовые модели могут верно передавать и количественные характеристики изучаемых процессов.

Целью работы является:

- создание мапомодовой модели солнечного динамо, получащейся разложением, исходных гидродинамических полей в иерархическом балансе, учитывающем зависимость от % -координаты и позволяющем определить параметры динамической системы без привлечения феноменологических констант;

- аналитическое к численное исследование периодических и стохастических свойств иерархической модели солнечного динамо;

- построение дин шической МГД модели, учитывающей обратное влияние магнитного поля как на дифференциальное вращение, так и на среднюю спиральность, исследование устойчивости периодических решений к изучение механизмов стохастиза-ции построенной модели; '

- вывод системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию магнитного поля и поля скорости из полной системы нелинейных векторных уравнений магнитной гидродинамики, обоснование целесообразности мадомодового приближения для изучения глобальной стохастичности изменения магнитного поля Земли; •

- исследование простейших бифуркаций, устойчивости нелинейных решений и численное моделирование геодинамо;

- вывод управляющих уравнений сферического динамо и анализ механизмов распределения энергии между полоидальиымм и тороидальным!! компонентами поля;

- создание нелинейной модели сферического динамо и анализ механизмов, реализующих периодические режима;

- построение нелинейной сферической модели, учитывающей временную эволюцию спиральности, вывод соотношений для оценки коэффициентов соответствующей динамической системы.

_ __ _______ Автором представляются к защите:------------------- — ---------

- способ получения иерархической модели с вычисляемыми коэффициентами, предназначенной для исследования процессов гидромагнитно го динамо;

- результаты исследования иерархической модели солнечной активности;

- результаты исследования маломодовой динамической МГД модели, учитывающей обратное влияние магнитного поля на дифференциальное аращенйе и среднюю спиральность;

вывод уравнений, описывающих временную эволюцию магнитного поля и поля скорости из полной системы уравнений магнитной гидродинамики;

- целесообразность маломодового приближения в модели геодинамо и результаты аналитического и численного исследования модели;

- способ получения сферической модели динамо и результаты исследования соответствующей динамической системы;

- результаты анализа распределения энергии между полси-далькыми и тороидальными компонентами поля, а также вывод уравнений сферического динамо, учитывающих временное изменение средней спиральности.

Методы исследования. В работе используются методы теории динамических систем, математического анализа, функционального анализа, линейной алгебры, а также вычислительные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Научная новизна работы:

ВперБыо обнаружены механизмы стохастизации в модели гео-дикато, полученной путем математически строгого усреднения полной системы уравнений магнитной гидродинамики. Применена ковал методика, позволяющая на основе принципа подчинения Ха-кена доказать целесообразность маломодового приближения при редукции динамической системы.

Вывод скалярных уравнений солнечного динамо, в котором учитывается обратное влияние магнитного поля как на дифференциальное вращение, так и на среднюю спиральность также явля-

ется новым результатом. В работе впервые построена нелинейная динамическая модель сферического планетарного динамо и проана лизированы механизмы передачи энергии между полоидальными и тороидальными компонентами магнитного поля.

Практическая ценность. Материалы диссертации использовались при чтении спецкурса "Прикладные вопросы теории устойчивости" на факультете прикладной математики Бакинского Государственного Университета им. М.А. Расулзаде.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на объединенном семинаре отделов постоянного магнитного поля Земли и космических магнитных исследований под руководством доктора физ.-мат.наук В.П. Головкина и доктора физ.-мат.наук A.A. Рузмайкина, на семинаре отделения астроф"зики НПО Космических исследований под руководством доктора физ.-мат.наук З.Ф.Сеидова, на семинаре кафедры "Оптимизации и моделирования" БГУ под руководством доктора физ.- мат. наук А.Я. Азимова. Они докладывались также на Ш съезде рабочей группы по геомагнетизму (Суздаль, 1986), на I конференции молодых ученых ИЗМИРАН (Троицк, 1986), на I конференции молодых ученых НПО Космических Исследований (Баку, 198'/'), на конференции, посвященной 10-летию НПО КИ (Баку, I98Ö), на Всесоюзной школе-семинаре "Математические методы в аколого-экономических и космических исследовяниях" (Баку, 1989).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, содержащих результаты исследований, Выводов, Заключения и списка цитируемой литераторы из об названий Общий обьем 118 страниц машинописного текста.

-------------------------------- СОДЕРЖАНИЕ "РАБОТЫ

Во Введении (Первая глава) обоснована актуальность рассматриваемой проблематики, определены цели и оснопкые направления исследования, кратко описано содержание работы.

Во второй главе построена модель солнечного динамо с периодическими и стохастическими свойствами. Рассмотрено осе-симметричное динамо среднего магнитного поля, где конвективная оболочка Солнца приближенно считается плоским слоем малой толщины. Уравнения динамо в безразмерной форме представле ны в виде:

Э1 ¿X ^ А в;

д£ гIй ОХ*

Уравнение для спираяьности получено путем обобщения модели, предложенной Вайнштейном, Зельдовичем и Рузмайкиным.

Разложение/чв ряды Фурье по X из системы (I) получены уравнения, описывающие временное изменение компонент магнитного поли и спиральности. Сначала рассмотрен случай слабой зависимости от % -координаты. Аналитически исследована устойчивость периодических решений и простейшие бифуркации динамической системы. Путем численного эксперимента обнаружен двухчастотный режим, сопоставимый в солнечном динамо 22-летней и 57-летней модуляциям.

Затем рассмотрена ситуация, когда зависимость по % существенна. Исходные уравнения были разложены по 'собственным функциям иерархического базиса, имеющим локализацию как в К--(волновом), так ив Л - (координаяном) пространстве, что

(I)

м м)

9л Эх]

позволяет отразить основные структурные особенности турбулентных течений. Получена модель из 15 дифференциальных урав-г . нений с вычисляемыми коэффициентами. В результате исследования свойств динамической системы обнаружены периодические, многочастотные, а также стохастические режимы, иллюстрирую-{цйё поведение магнитного поля Солнца. Показано, что важную роль при изучений механизмов стохастйзации играют вопрос^ выбора базисов, по которым производится разложение исходных гидродинамических полей.

б койцё глайы рассмотрены некоторые особенности вычислительного эксперимента. Выявлены случаи, когда применение метода двойной аппроксимации Лоренца приводит к противоречивым результатам. Проведено повторное интегрирование с помощью специальных численных методов для исследования "жестких систем".

Предложенная маломодовая модель солнечной активности согласуется с общетеоретическими предпосылками, полагающими, • что средняя спиральность турбулизованных движений плазмы в конвективной зоне Солнца является эффективным источником генерации поля и поддержания динамо-процесса.

В третьей главе построена нелинейная модель гидромагнитного динамо, учитывающая обратное влияние магнитного поля на оба источника - дифференциальное вращение и средню.о спиральность. Нроаналиэирован вопрос о выборе базисов, по которым производится разложение исходных полей на пространственные моды. Из нелинейных уравнений в частных производных с помощью базиса Котельникова получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, позволяющая проследить динамику изменения дифференциального вращения и спиральности под обратным влияни ем магнитного поля. Изучены периодические свойства решений укороченной системы вйда:

с = - ))с + раб^

ш=-<рит-¿¿а б.

Рассмотрен вопрос об устойчивости в линейном приближении периодических решений системы (2), а также вычислена амплиту-— да и частота осцилляций этих решений. Численное интегрирование модели позволило обнаружить нерегулярные течения, сложным образом меняющиеся во времени. Переход от регулярных реяймов к стохастическим напоминает известный сценарий Рюэля - Такенса. В системе последовательно происходят две бифуркации Хопфа,и затем решения начинают меняться хаотически. Построенная модель в основном верно отражает качественные особенности глобальной стохастичности солнечной активности.

Четвертая глава посвящена, построению маломодовой модели эволюции магнитного поля Земли. В последние десятилетия много внимания уделялось кинематической задаче генерации магнитного поля. Было показано, что при определенных условиях на независимо заданные скорость проводящей среды й коэффициент •' магнитной диффузий начинается генерация магнитного поля,' которое в линейном приближении неограниченно растет во времени. В настоящее время стало актуальным рассмотрение нелинейных задач с учетом обратного влияния магнитного■поля на скорость проводящей среды. При этом кроие учета ограничения роста поля необходимо изучить возможность появления специфических нелинейных эффектов: возникновение нелинейных колеоаний с новыми характерным временами, появление крупномасштабных пространственных структур, странных аттракторов и т.д. По-добние эффекты могут бить сопоставлены с экспериментально-наблюдаемыми явлениями: вековыми вариациями," стабильной асимметрией магнитного ноля, инверсиями и другими.

Исходную задачу магнитной гидродинамики, описывающую поведение магнитного поля Земли в приближении Буссинеска можно записать в виде системы векторных дифференциальных уравнений:

~~ - го1Щ*)го1Н({, ¿¡г го^Щг^Н/гМ,

(3)

- ¿[а в3) Щ ф /а чЦ ¿1 -- ¡/рур+! (?) >

... ч В .нрздполс 1енмк, что существует генерирующее магнитное поле в линейном приближении стационарное поле скорости Уо(г},

; являющееся решением уравнения гидродинамики при отсутствии магнитного поля, произведено разбиение скорости-'" проводящей среды на стационарную (£) и дополнительную части источником возникновения которой является •

сила Лоренца в уравнении Навье - Стокоа, что позволяет отделить трудности, связанные с решением кинематической задачи генерации магнитного поля от задачи его нелинейной эволюции. Осуществлено общее доказательство возможности разложения векторов магнитного поля и скорости проводящей среды по конечному числу мод для задачи крупномасштабного динамо, причем входящие в получающиеся уравнения коэффициенты связываются только с характеристиками кинематической задачи. Обоснована целесообразность маломодо юго приближения при разложении решений уравнений (3) по собственным функциям операторов

¿0 , свойства которых подробно изложены в работе. Исследованы бифуркации динамической системы, обстоящей из трех нелинейных дифференциальных уравнений. Численным интегрированием найдены решения, соответствующие траектории которых ведут себя хаотическим образом. Поведение решений в основном отражает наиболее характерные качества эволюции магнитного поля Земли.

В пятой главе сделана попытка построения модели планетарного динамо, сохраняющей исходную сферическую структуру задачи. Учитывая то, что среди существующих в настоящее время мал'омодовых моделей динамо большинство составляют плоские {додели, создание сферической модели, пригодной для описания процессов генерации магнитных полей, представляет особый интерес.

Рассмотрено дифференциально вращающееся тело с произвольной сферически симметричной угловой скоростью -12 (^), где « /г/ радиус - вектор. Уравнение индукции в такой среде имеет вид

, - го¿щ^ ¡1(1 Ч Щ]

Для полного решения задачи планетарного динамо необходимо учитывать в уравнении (4) член, связанный со спиральностью и тем самым замкнуть (d - механизм. Добавив в (4) член - —-

•w _ _______^

*сос ((jc^t1) . используя разложение магнитного поля И ( г ,t) по векторным сферическим гармоникам Vy'^i 't), Y-j^j (■/), У'у/t ( /), учитывая табличные значения ,для коэффициентов Клебзза - Гордана, можно получить систему скалярных уравнений относительно функций НР,Г X X , У, М), описывающих поведение соответственно полоидальной и тороидальной компонент поля. Структура полученной системы уравнений позволяет анализировать механизмы передачи энергии от полоидальной компоненты поля к тороидальной и наоборот. Из этой структуры вытекает, что дифференциальное вращение осуществляет передачу энергии только от полоидальной компоненты к тороидальной, но не на- •оборот (Рис. I). Механизм передачи от тороидальных компонент к полоидальным сложнее, поскольку параллельно вэаимодейству-' ют генерирующиеся полоидальные компоненты (Рис.'2).

Рис. I.

Рис. 2.

Далее смоделирована ситуация, когда учитывается временная эволюция опиральности. Обоснована необходимость маломо-дового приближения при редукции динамической системы, аналитически и численно ислледованы устойчивость и бифуркации нелинейной модели. В приложений к магнитному полю Сатурна изучены периодические свойства модели и проведено сразнение полученных результатов с данными экспериментальных наблюдений.

, Основные положения диссертации опубликованы в следующих ' работах:

1. /лиев У.Т., Бродский Ю.А. Нелинейное описание эволюции магнитного поля Земли. - М./У Препринт ИЗШРАН СССР, 1968, 33. -22 с,

2. Алиев У.Т., Рузм; йкин A.A. Модели динамо с периодическими и стохастически'ди свойствами. - М.// Препринт ЙЗМИРАН СССР, 1989. -23 с. '

3. Алиев У.Т. Модель глобальной стохастичности изменения магнитного поля Земли. - Баку.// Препринт НПО Космических исследований, 1989. - № 30. - 21 с.

4. Алиез У.Т. Некоторые математические аспекты проблем генерации магнитных полей космические, объектов. - Баку.// Материалы Всесоюзной конференции "Математические методы в эколого-экономических и космических исследованиях", 1989, -3 с.

5. Алиев У.Т., Рузмайкин A.A. Маломодовая МГД-модель солнечного динама.// Представлено в журнал. "Магнитная гидродинамика" - декабрь, I9Q9. - 16 с.

6. Алиев У.Т. Сферическое планетарное динамо. - Баку.// Сообщения НПО Космических исследований, 1989. - т. б. - о. II7-I23.