Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Нелинейные внутренние волны прибрежной зоны океана

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Нелинейные внутренние волны прибрежной зоны океана"

На правах рукописи

Новотрясов Вадим Васильевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЫ ОКЕАНА

25.00.28 - океанология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-магематичсских наук

Владивосток — 2006

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичёва ДВО РАН, г. Владивосток

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.В. Алексеев

доктор физико-математических наук, профессор Т.Р. Кильматов

доктор физико-математических наук, И.О. Ярощук

Ведущая организация: Институт автоматики и процессов

управления ДВО РАН, г. Владивосток

Защита состоится 8 декабря 2006 года в 14 часов на заседании Диссертационного совета Д 005.017.02 при Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН по адресу: 690041, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичёва ДВО РАН

Автореферат разослан 6 октября 2006 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета

кандидат

Ф.Ф. Хралченков

Введение. В динамике прибрежной зоны океана значительную роль играет особая разновидность волновых движений, существенно связанных с одной стороны - с плотностной стратификацией, а с другой - с вращением Земли и наличием боковой границы. К первому классу относятся внутренние гравитационные волны, второй класс представлен длинноволновыми движениями вращающегося океана, локализованными в его краевой зоне, и наиболее энергоёмкими из этого типа волнового движения - внутренними волнами Кельвина [7, 9, 22]. Исследование указанных волновых движений имеет большое значение в силу того, что именно они, главным образом, формируют мезомасштабную изменчивость гидрофизических полей в указанной области, вызывают апвелинг и неустойчивость вдольбереговых течений, оказывают существенное влияние на генерацию и изменчивость ветровых течений [16, 22, 29, 31]. Кроме того, внутренние волны обоих типов во многом определяют особенности распространения акустических сигналов [14], переноса примесей [32], миграцию биологических сообществ [16, 30] и оказывают влияние на состояние морской поверхности [10, 14]. Их необходимо учитывать и при разработке новых и совершенствовании имеющихся методов исследования океана из космоса. Все перечисленные факторы определяют актуальность изучения динамики внутренних волн (ВВ) в прибрежной зоне морей и океана.

Разнообразие источников возбуждения (ветер, флуктуации давления), наличие различного рода неоднородностей (у рельефа дна и береговой черты) усиливают случайную составляющую волнового поля, усложняя его адекватное описание. Одним из наиболее эффективных методов анализа случайного волнового движения является спектральный метод [3,18]. Спектральные характеристики волнового поля зачастую позволяют идентифицировать основные механизмы его формирования с различными пространственно-временными масштабами. Экспериментальные исследования показывают, что в прибрежной зоне океана поле ВВ нелинейно, нестационарно и неоднородно [24, 25]. Указанные особенности затрудняют использование «традиционного» спектрального анализа [3, 18] для исследования и интерпретации натурных наблюдений за ВВ. В этой связи достаточно актуальной представляется задача определения пространственно-временных масштабов, в пределах которых поле ВВ может быть охарактеризовано как стационарное и однородное в широком смысле. Возможность такого подхода оправдывается тем, что в первом приближении по параметру нели-

нейности нестационарность и неоднородность ВВ является «плавной», т.е. изменение амплитуды волны 6А на расстоянии равном её длине мало (¿А/А « 1). В рамках такого приближения для исследования ВВ разумно воспользоваться теорией нелинейных случайных волн [2, 4, 5].

В последнее время наметилось ещё одно направление в исследованиях ВВ прибрежной зоны, для которого использование аналитических методов весьма актуально. Это так называемая проблема замкнутого описания эволюции случайных нелинейных ВВ. Её суть состоит в следующем. По ряду причин нелинейные ВВ в прибрежной зоне являются случайными. Известно, что слабодисперсные нелинейные случайные волны могут находиться, в том числе, и в режиме сильной волновой турбулентности [2]. Дать замкнутое статистическое описание различных стохастических режимов в ансамбле случайных нелинейных ВВ, проследить эволюцию такого ансамбля от начального состояния до развитой турбулентности, изучить влияние гидрологических условий на развитие этих режимов без использования аналитических методов достаточно проблематично.

Актуальность представленной работы, основанной на натурных наблюдениях, усиливается дефицитом экспериментальных исследований ВВ, вызванном техническими трудностями, связанными с проведением экспериментальных исследований в прибрежной зоне. Вместе с тем, небольшие глубины (<100м) и значительные амплитуды ВВ, близость пикноклина ко дну или к поверхности, наличие течений и т.д. превращают прибрежную зону в полигон, где особенно выразительно проявляются нелинейные свойства ВВ. Тем самым указанная зона может служить природным полигоном для тестирования теоретических моделей этого волнового процесса, и в тоже время исследование ВВ в этих зонах может быть стимулирующим фактором развития теории нелинейных волн в океане.

Целью данной работы является разработка и экспериментальная проверка ряда достаточно простых математических моделей, пригодных для описания и анализа динамики внутреннего волнения в прибрежной зоне океана с учётом его нелинейности и случайности. Реализация намеченной цели осуществлялась путём решения трёх основных задач, каждая их которых потребовала создания соответствующих математических моделей.

Эти задачи:

1. Изучение динамики случайных нелинейных внутренних волн в мелком море с произвольным распределением плотностной стратификации по глубине, с учётом диссипации, неоднородностей рельефа дна, наличия боковой границы.

2. Разработка методики анализа вертикальной структуры нелинейных случайных внутренних волн, адаптированной к натурным условиям.

3. Экспериментальная проверка основных положений и выводов, полученных с помощью предложенных моделей случайного нелинейного внутреннего волнения в краевых областях океана.

Здесь и далее под математической моделью подразумевается совокупность дифференциальных или интегральных уравнений с соответствующими краевыми условиями и аналитического или численного алгоритма точного или приближённого решения задачи. При построении всех специализированных моделей исходным является представление о краевой зоне океана, глубина которой много меньше характерного горизонтального масштаба ВВ, расположенной на /^плоскости, ограниченной боковой границей, с неоднородным рельефом дна, заполненной вязкой жидкостью с произвольной плотностной стратификацией.

Первая группа моделей представлена в главе 1 и предназначена для изучения динамики нелинейных ВВ, в том числе в краевых зонах. Использование модельных уравнений этой группы ограничено приближениями гидростатики: tat: N. (со - частота ВВ, N. -максимальное значение частоты Вяйсяля-Брента) и квадратичной нелинейности. В работе показано, что в рамках этих приближений поле ВВ можно представить в виде суперпозиции нормальных мод с горизонтальной структурой, которая задаётся нелинейным уравнением Бюргерса, и вертикальной структурой, определяемой линейной краевой задачей на собственные значения. Модели имеют аналитический характер и используют технику асимптотических разложений.

Вторая группа моделей представлена в главе 2 и предназначена для решения задач замкнутого статистического описания случайных нелинейных ВВ: построение кинетических уравнений для различных моментов поля, их решение и анализ. В основе этой группы моделей положено уравнение Бюргерса со случайным краевыми условиями.

Для анализа вертикальной структуры случайных нелинейных ВВ используется модель, в основу которой положен метод эмпирических ортогональных функций. Последние представляют собственные функции интегрального уравнения, ядро которого представляет корреляционная функция поля вертикальных смещений изопикн во внутренних волнах.

На защиту выносятся следующие положения и научные выводы:

1. Предложенные в настоящей работе математические модели решают сформулированные основные задачи.

1а. Гидростатическая модель ВВ в мелком море с квадратичной нелинейностью позволяет исследовать характерные особенности трансформации горизонтальной структуры и взаимодействия ВВ при произвольной стратификации плотности, различного типа турбулентной вязкости, плавных неоднородностей рельефа дна, наличии боковой границы с учётом их нелинейности и случайности.

16. Предложенная методика анализа вертикальной структуры случайных нелинейных ВВ, основанная на методе эмпирических ортогональных, учитывает случайный характер волнового поля и позволяет замкнуть схему анализа горизонтальной и вертикальной структуры ВВ в прибрежной зоне океана.

2. Все модели опробованы на частных задачах экспериментального или теоретического характера. Путём обобщения полученных с помощью различных моделей и не противоречащих друг другу результатов делаются сформулированные ниже выводы:

2а. В краевой области океана с плавными неоднородностями рельефа дна, расположенной на /-плоскости и заполненной вязкой, стратифицированной жидкостью адаптация начального возмущения пикнокпина конечной амплитуды в общих чертах происходит следующим образом: возмущение единственным образом разделяется на геострофическую - «медленную» и волновую - «быструю» компоненты движения. Быстрая компонента в виде нелинейного возмущения, сосредоточенного в окрестности боковой границы распространяется вдоль неё так, что граница остаётся справа, т.е. быстрая компонента представляет нелинейную внутреннюю волну Кельвина, динамика которой определяется уравнением Бюргерса.

26. В мелком море с квадратичной нелинейностью и малой диссипацией спектральная структура внутреннего волнения определяется самовоздействием и нели-

нейным взаимодействием его спектральных компонент. В результате самовоздействия спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны С, становится неоднородным с универсальной степенной асимптотикой Эр-{х\а) ~ео'р, где р = 3 - наклон спектра. В результате взаимодействия внутреннего прилива с высокочастотным волнением у спектра последнего формируется область частот, в которой спектр неоднороден, а его асимптотика имеет вид 8р((х\ш) - т'р, где р = 1. Взаимодействие узкополосного синоптического шума и внутреннего прилива существенно зависит от коэффициента шумовой модуляции М. Для случая лЛ/»1, где п -номер гармоники, при ю—>со, спектр ВВ неоднороден и спадает по универсальному степенному закону 8р}(х\са)~ со~р с наклоном р = 3, а для противоположного случая пМ <& 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых его наклон изменяется от р = 3 до р = 2.

2в. В мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, модифицированные амплитудные функции нормальных мод взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями интегрального уравнения, ядро которого представляет корреляционная функции вертикальных смещений изоповерх-ностей поля скалярного параметра ц, с фоновым градиентом с!да/сЬ^С-М0 (г), Л'0 -частота Вяйсяля-Брента, С -константа.

Практическая значимость работы. Проведенные исследования имеют непосредственное приложение в задачах исследования динамики ВВ и мезомасштабной изменчивости гидрологических полей в прибрежной зоне океана. Натурные эксперименты дали обширный материал для проверки существующих и предложенных математических моделей ВВ и оценки их применимости. При проведении дальнейших исследований могут быть полезны методические аспекты работы, в частности, методика анализа вертикальной структуры внутренних волн.

Полученные результаты вошли в отчёты по госбюджетным темам Тихоокеанского института океанологии им. В. И. Ильичёва ДВО РАН по контрактам Министерства промышленности, науки и технологий РФ, по ФЦНТП «Комплексные исследования океанов и морей Арктики и Антарктики» и ФЦП «Мировой океан» подпрограмма «Исследование природы Мирового океана», а также в отчёты по проектам РФФИ: 96-01-00156; 98-05-65371; 02-05-64277; 04-05-65271.

Достоверность полученных результатов обоснована внутренней непротиворечивостью предложенных математических методов, их тестированием на целом ряде известных классических задач и согласием результатов проведенного анализа с результатами натурных экспериментов. Отдельные теоретические и экспериментальные результаты, полученные в работе, не противоречат более ранним исследованиям других авторов и подтверждены в более поздних исследованиях с помощью сопоставления с данными натурных наблюдений, а также путём воспроизведения одних и тех же эффектов в натурных и численных экспериментах. Это свидетельствует о научной достоверности сделанных выводов и полученных результатов.

Апробаиия работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространении волн (г. Винница, сентябрь 1990 г.); на международных конференциях «Потоки и структуры в жидкостях» (Владивосток, сентябрь 1991 г.; Санкт-Петербург, сентябрь 1992 г.; Москва, июнь 2005 г.), 23-м съезде Международного геофизического и геодезического союза ИГОО-2003 (Саппоро, Япония, 2003), на 11-й школе-семинаре «Акустика океана» (Москва, май 2004 г.), на семинарах ТОЙ ДВО РАН по «Нелинейной динамике».

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [1-27], причём их подавляющая часть опубликована — в журналах «Известия РАН. Физика атмосферы и океана», «Океанология», «Метеорология и гидрология». Список работ приведён в конце автореферата.

Личный вклад автора. В диссертации обобщены результаты экспериментальных и теоретических исследований, выполненных в 1989-2005 годах автором в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичёва ДВО РАН. Работы [7, 9-12, 18, 35] сделаны автором единолично, прочие в соавторстве. Во всех совместных работах автору принадлежит постановка задачи и выбор метода решения, а также паритетное участие в интерпретации и проведении экспериментальных исследований. Вей изложенное в настоящей работе отражает точку зрения автора и полностью лежит на его ответственности.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы и содержит 284 страниц машинописного теста и 35 рисунков. Список литературы включает 199 наименований, в том числе 92 работ иностранных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется предмет исследования, его цели и задачи, обосновывается актуальность и новизна работы. Также дан краткий обзор современного состояния изучаемых проблем, приведено краткое изложение представленных в диссертации результатов.

Значительные амплитуды, малая скорость распространения, слабая дисперсия ВВ из частотного диапазона: а <к N. в прибрежной зоне характеризуют их как наиболее нелинейные волновые движения в океане. Создание универсального описания этого движения осложняется разнообразием типов плотностной стратификации прибрежных вод, наличием вязкости и боковых границ, и рядом других факторов. Его создание целесообразно начать с построения физико-математических моделей, основанных на максимально упрощённых уравнениях. Построению таких моделей посвящена первая глава.

В параграфе 1.1 представлена простейшая модель нелинейных внутренних гравитационных волн (далее просто ВВ) из частотного диапазона f«о« N. (где параметр Кориолиса и характерное значение частоты плавучести) в мелком море с квадратичной нелинейностью. Показано, что поле ВВ в таком море можно представить в виде суперпозиции нормальных мод

<г=2Х(*,'над (1)

т

амплитудные функции, которых представляют решения линейной краевой задачей на собственные значения

(¿2К„/с12г) + с-гМ20(2)1¥т=0 (2)

^(0) = Г„(-Я) = 0, (3)

где, Лг„ - частота плавучести, Н - глубина моря, са - скорость внутренней волны.

Функции из набора {<£"„}> задающие горизонтальную структуру фиксированной моды ВВ, представляют решение уравнения Римана

{д(я/дх)-0/2сяН)зя Ст (Э<Г„/Эг) = 0. (4)

о о

Здесь = //[ | (сНУт/скУс1г]/[ | (с11УтШг)2с!г] - безразмерный параметр, характери--н -н

зующий квадратичную нелинейность мелкого моря, х = ех, т -1 -х/с.

Анализ решения уравнения (4) показывает, что нелинейные искажения ВВ носят накапливающийся характер и по этой причине даже при малых значениях отношения амплитуды ВВ к глубине (£"„ /Я) на входе в мелкое море эти искажения на определённом расстоянии, пройденном ВВ, начинают оказывать заметное влияние на горизонтальную структуру волнового поля. При этом характерный масштаб эволюции ВВ прямо пропорционален параметру нелинейности и обратно пропорционален её скорости распространения. В свою очередь указанные параметры определяются распределением частоты плавучести по глубине.

В параграфе 1.2 рассматривается эволюции нелинейных ВВ во вращающемся мелком море с меридиональной твёрдой стенкой. Используя асимптотический метод многих временных масштабов [26], основанный на предположении о малости внутреннего числа Россби -е~ (Са/Н), удаётся представить начальное возмущение в виде суперпозиции геострофической, «медленной» компоненты движения и «быстрой», волновой компоненты. Показано, что «медленная» компонента движения на масштабе (е/)"' остаётся близкой к геострофическому равновесию, и быстрая компонента на неё не влияет, по крайней мере, на временах < £ (е/)"'. Быстрая компонента представляет ВВ, сосредоточенную в окрестности границы, т.е. внутреннюю волну Кельвина (ВВК). Показано, что поле нелинейных ВВК характеризуется как зональной компонентой, детерминируемой уравнением Римана, так и отличной от нуля вынужденной меридиональной составляющей скорости.

В параграфе 1.3 рассматривается влияние параметров стратификации, турбулентной вязкости (горизонтальной и вертикальной) и неоднородностей рельефа дна на динамику внутренних волн в мелком море. Для достаточно общего вида зависимости частоты плавучести от глубины, заданной трёхпараметрическим семейством кривых, получены аналитические выражения для различных параметров ВВ, в частности, параметра квадратичной нелинейности мелкого моря. Проанализировано влияние на этот параметр номера моды и эффективности нелинейного самовоздействия при изменении расположения максимума частоты плавучести по глубине и уменьшении толщины (мощности) волновода.

Получены аналитические выражения для времени диссипации ВВ в мелком море с постоянным коэффициентом ^ вертикальной турбулентной вязкости в зави-

симости от параметров модельного профиля частоты плавучести N„(2). Установлено, что время диссипации пропорционально квадрату глубины Н3 и обратно пропорционально произведению квадрата вертикального волнового числа у* фиксированной моды на коэффициент хт > зависящий от распределения частоты плавучести по глубине. Получены аналитические выражения для времени диссипации ВВ в мелком море с постоянным коэффициентом V, горизонтальной турбулентной вязкости. Установлено, что при изменении параметров частоты плавучести мелкого моря время диссипации может измениться на порядок.

Во второй главе рассмотрены методы описания и соответствующие методы интерпретации результатов измерений случайных нелинейных ВВ в мелком море. Вначале представлено статистическое описание линейных ВВ. С его помощью дан анализ их вертикальной структуры. Далее получено кинетическое уравнение для ВВ конечной амплитуды и на его основе проанализирован квазистационарный спектр этого волнения.

В параграфе 2.1, имеющем вспомогательный характер, дан анализ изотропного поля линейных внутренних волн. С его помощью показано, что статистическая структура этого поля, характеризуемая набором спектров Ет(к), отвечающих фиксированной моде ВВ, полностью определяется значениями волнового поля на одной вертикали при известном решении краевой задачи (2), (3) т.е. статистические свойства ВВ сконцентрированы в его спектре Ет(к). Обсуждается предложенная Гарретом и Манком [20, 21] феноменологическая модель спектра ВВ. Выделены следующие особенности, присущие данной модели: спектр задаётся на непрерывном континууме волновых чисел и спектральная кривая имеет наклон р = 2.

Для исследования вертикальной структуры ВВ использован корреляционный анализ случайного поля консервативного параметра q, фоновый градиент которого удовлетворяет соотношению dq0!dzяC■Nв(z). Показано, что эмпирические ортогональные функции (ЭОФ) -<р, (г) вариаций этого параметра в поле ВВ взаимозаменяемы с амплитудными функциями нормальных мод ВВ. Установлено, что в общем случае ЭОФ корреляционной матрицы параметра Ь=д(г,1) — д0(г) связаны с амплитудными функциями нормальных мод ({'(г) интегральным соотношением

ч„Гн 1 /\-0

1^„(г„са)0^а})аа}, (5)

где ¥л (г,а) = ЛГ0(г)(Р„(г,©). <?„ (®) = 2[*„ («)>-*.

В параграфе 2.2 дан вывод кинетических уравнений нелинейных случайных внутренних волн (СВВ) мелкого моря и проанализированы их простейшие решения. С использованием теории случайных волн [4, 5] получены замкнутые кинетические уравнения для одно и двуточечной функций плотности вероятности (ФПВ) нелинейных СВВ. Найдено решение уравнения для одноточечной ФПВ. Показано, что искомая ФПВ для статистически однородного поля СВВ в процессе эволюции остаётся неизменной, другими словами, нелинейное самовоздействие волнового поля не сказывается на форме одноточечной плотности вероятности. Таким образом, будучи в начальный момент гауссовой, одноточечная ФПФ остаётся таковой и в последующие моменты времени. Иная сшуация складывается, когда поле СВВ в начальный момент времени состоит из смеси детерминированной составляющей и статистически однородного гауссова шума с заданной дисперсией. В этом случае в процессе эволюции ФПВ трансформируется, всё более отклоняясь от гауссовой [2].

Анализ решения кинетического уравнения для двуточечной ФПВ показывает, что в отличие от одноточечной она существенно изменяется в процессе эволюции. Причина этих изменений заключается в расширении спектра СВВ в процессе эволюции волнового поля. Используя кинетическое уравнение для двуточечной ФПВ, выведено уравнение для Фурье-образа по пространственной координате характеристической функции, соответствующей ФПВ. Найдено его решение, с помощью которого получено выражение для спектра (временного и пространственного) нелинейных СВВ в мелком море.

В параграфе 2.3 исследована трансформация модельного спектра СВВ в неоднородном по глубине мелком море. Используя асимптотическую процедуру [12], установлено, что в случае плавного изменения глубины, т.е. Н=Н(/лх), где р = Н/Ь«1, Ь- её характерный горизонтальный масштаб изменения, поле вертикальных смещений нелинейных ВВ из частотного диапазона /«а« N. фиксированной моды удовлетворяет обобщённому уравнению Римана

ее /дх - ас'1 СдС /дг (с/д/Лг)^ = 0, (6)

* О

где a = (3/2)(c/tf)s, г =/- J<fc/c(i), q =J(cBQB)/(cQ) , Q(x)= \ N2W2dz,

О -ИИ

индексом «О» отмечены параметры, рассчитанные на входе в мелкое море. С помощью замены t) =£lq к Х- jqds/c2 [8] уравнение (6) вновь приводится к стандартной о

форме уравнения Римана, следовательно, спектр СВВ в мелком море с плавными шероховатостями дна сохраняет универсальный вид.

Третья глава посвящена вопросам параметрической неустойчивости и взаимодействия нелинейных внутренних волн в мелком море. В задачах динамики ВВ в прибрежной зоне океанов эти вопросы занимают одно из центральных мест. К их числу следует отнести: (а) вопрос о параметрическом возбуждении ограниченного числа нормальных мод ВВ; (б) вопрос о влиянии синоптического узкополосного шума на ВВ с приливной частотой; (в) вопрос о взаимодействии ВВ с приливной или инерционной частотой с полем высокочастотных ВВ.

В параграфе 3.1 рассматривается параметрическая неустойчивость [И] ВВ в мелком море. Показано, что амплитудная функция поля вертикальной скорости ВВ w(r,z,l) =A(t)lV(z)cxp{i(ic-r)} удовлетворяет уравнению, которое при -Лr2(z,/) = =N2 (z)+ Л'.г (z) cos(®.f) имеет вид

dlA!dz'1 + (a-2b cost) A = 0, где t— 2t/cj., а=4окг(Щ+сг1Г)1(1+<т1), Ь=-2{Щ1о>1)1{\ + а1) ст^ткЦкН).

Из теории параметрического резонанса известно [13], что скорость роста при

|6|«1 пропорциональна |А|. Воспользовавшись условием параметрического резонанса а = п2 (где п = 1,2,...) при X » Н, получим для фиксированной моды дисперсионное соотношение

co.fi~J 2 = ^[Щ + (mx/icH)2f2y[l + (тх/кН)2~\ = соп(к), (7)

т.е. собственные частоты тп, возбуждаемых ВВ фиксированной моды ш при заданной частоте плавучести N0 могут быть выражены через частоту возбуждающей силы ю.. Если -2b!a = Nl/Щ «1, ап ■- и2, тогда Тп — 2ln(cym).

Из выражения (7) следует, что г) и а связаны соотношением т] = —2Ыа = = ЛГ.2/Л^, а т.к. 7>0, то отсюда следует ограничение на возможность возбуждения п- й гармоники в зависимости от широты места (р. Для оценки длин ВВ первых нескольких гармоник получим Л„ = (4Я/«)(Лг0/й>.)[ая - 4(а>1ю.)г бш2^"1.

Таким образом, в мелком море под действием параметрической неустойчивости, вызываемой поверхностным приливом, возможен рост амплитуд ВВ с частотами, близкими к частотам его гармоник. При этом длины ВВ с частотами неустойчивых гармоник зависят от широты места генерации <р, средней частоты плавучести Ы0 и от глубины мелкого моря.

В параграфе 3.2. дан анализ параметрической неустойчивости ВВ в мелком море с диссипацией. Зависимость числа возбуждаемых мод от порогового значения вариаций частоты плавучести составляет содержание этого параграфа. Анализ параметрической неустойчивости в присутствии вязкости показал, что основная зона параметрической неустойчивости определяться неравенством

- 0А1) <ю-о>./2< 4{г]а>14? - О'Л*). Здесь /л -коэффициент трения, кт -вертикальное волновое число. Отсюда следует, что рост амплитуды моды ВВ с номером ш возможен начиная с порогового значения Я, = а при фиксированном значении амплитуды приливных колебаний уровня моря возможно возбуждение лишь конечного числа мод. Для полусуточных ВВ а » 0. при фиксированном значении параметра Т]с число возбуждаемых мод М определяется формулой

Оценки показывают, что в прибрежной зоне океана со средним значением эффективного коэффициента турбулентной вязкости /7=0.05(ст/с) возможно возбуждение нескольких первых мод полусуточной ВВ при достижении значений параметра 77 из интервала (0.1- 0.05). Механизмом генерации таких ВВ может выступать параметрическая неустойчивость, порождаемая приливными колебаниями уровня. Показано, что наличие диссипативных процессов в шельфовой зоне может оказаться принципиальным как для самого явления параметрической неустойчивости, так и для возбуждения конечного числа нормальных мод ВВ.

В параграфе 3.3 решена задача о взаимодействии узкополосного низкочастотного (НЧ) шума с регулярной гармонической ВВ. В соответствии с поставленной задачей на границе мелкого моря волновое поле задавалось в виде 0(г,.х = О) =

= и„ з!п(й)0?) + (//(/), где I// -нормальный случайный процесс с < у/ > = 0, дисперсией ег! и коэффициентом корреляции Л(г) = (1-2Пггг) ехр(-£1гг2), здесь Г2- ширина спектра НЧ. Установлено, что форма спектральных составляющих, возникающих из-за взаимодействия НЧ-шума с ВВ, существенно зависит от величины шумовой модуляции М= оусоах. При Мп « 1, где п- номер гармоники, спектр имеет вид

{сг,х) « (со- пю0)• (а/.2)" (/!)"' (1 + 1{а-пт^/со,). (8)

Здесь 5ш(й>)- спектр НЧ-шума, </ =х1{иаси„у), у ~ (3/2)(^/с//), /- номер гармоники НЧ шума. Таким образом, при пМ< 1 в спектре ВВ появляется асимметричный пьедестал, повторяющий форму спектра НЧ шума, с максимумами в окрестности суммарной и разностной частот между частотами волны и НЧ шума.

При пМ» 1 спектр п -й гармоники ВВ определяется выражением

(о - жоа )2

4 ' (оУх'стПЛя

2(7 2а>2у2х2П2

(9)

Из (9) следует, что процесс трансформации спектра существенно зависит от величины шумовой модуляции М = аусо0х и при со —>-оо спектр ВВ имеет универсальную

асимптотику 5рл~ о"3.

В параграфе 3.4 решена задача о трансформации спектра высокочастотных ВВ при их взаимодействии с нелинейным регулярным внутренним приливом. При её решении ВВ на границе мелкого моря задавалась в виде 4"0(0=Лсо5(П/ + ц/~) + £„(/)> т.е. состояла из ВВ с приливной частотой О (далее просто прилив) со случайной фазой у/, равномерно распределённой на интервале [-яг.+гг], и случайной ВВ £„(/) с частотой со. »П и дисперсией а1 = <£^>. Для характеристики степени нелинейности прилива и ВВ введены безразмерные параметры: <1в=Расо.х, с1п=Р А Пх, п, и и.П - эффективное число гармоник прилива и ширина его спектра при х>0, Р = (3/2)(.$/сЯ). Полагалось, что прилив находится достаточно далеко от места обрушения и п.П <к со,. Эффективность влияния ВВ на прилив определялась с помощью параметра

с11Ш=с1в(п.П/а>,)<к 1. В этом случае (при с/в«1) для поля ВВ получается выражение ¿¡(¡,х) =4('+ДЛ*со5(П/+1/'))/[1+ДЛО*5т(0 г+у/)] Из него следует, что в результате взаимодействия с приливом спектр ВВ приобретает вид

Зр,{со,х)=^1^{а>РАх)50{(о-пП), где 50(й))- спектр ВВ на входе мелкого моря.

и--«

Анализ этого выражения показывает, что при »1 в области т е [«>„'= гул/(1 + + с1п),о,'=фв/(1-с1п)] спектр имеет вид Зр;(со,х) ~гт2(жа)ДАхП)'\т.е. ~<гГ'.

Четвёртая глава посвящена анализу внутреннего волнения в двух районах Тихого океана: в прибрежной зоне Японского моря в 1986-2004 годах и на мексиканском шельфе в 1995 г.

В параграфе 4.1 рассматриваются особенности ВВ в прибрежной зоне Японского моря. В сентябре 1999 г в точке с координатами 42°34'с.ш., 131°09' в.д. (рис. 1) была установлена автономная буйковая станция с интегральными измерителями "ПОТОК". В конце эксперимента рядом с ней было выполнено 25 зондирований с частотой 1(час"') зондом СТО СШЬОЫ-ЫЕ с измерениями гидростатического давления, температуры и электропроводности.

Анализ изменчивости гидрологических параметров проводился спектральным методом по единой методике с помощью алгоритмов, изложенных в монографиях [3, 18] так, чтобы число степеней свободы составляло не менее 20, что обеспечивало приемлемую достоверность результатов анализа [3, 18].

На рис.2 (а), (б) представлены нормированные спектральные плотности (далее спектры) вариаций температуры и модуля скорости потока. Над спектральными мак-

Рис. 1. Схема расположения автономной буйковой станции (*) в районе эксперимента 1999 г.

симумами указаны в часах соответствующие им значения периодов колебаний. Обращает на себя внимание, во-первых, квазилинейчатая структура спектров, во-вторых,

Рис.2. Нормированные на максимальные значения спектры вариаций: (а) — температуры, (б) - модуля скорости течения

их значительное сходство. Вместе с тем, имеются и различия между ними. В спектре вариаций температуры отсутствуют максимумы на периодах 26 и 8,8 час.

Для интерпретации особенностей представленных спектров использовалось соотношение Доплера, согласно которому волновая мода с номером т и частотой е» , распространяясь в однородном потоке, скорость которого Г/0, вызывает колебания гидрологических параметров с частотой от =й> (I ± ио/ст). С помощью среднесуточного профиля Л'(г) рассчитывались модифицированные фоновым потоком периоды колебаний изотерм, вызванных фиксированными модами внутренней волны Кельвина (ВВК). Установлено, что рассчитанные периоды хорошо согласуются с периодами максимумов в спектрах, представленных на рис.2(а), (б). Хорошее соответствие между расчётными и экспериментальными значениями периодов позволяет утверждать, что вдоль границы полуострова Гамова действительно распространяется многомодовая ВВК.

На рис. 3 представлена гидрологическая трасса, состоящая из двух АБС, установленных в точках Рг_1(Л= 131°08', <р= 42°34.9') и Рг_2(Л= 131°11',<р= 42°33' осенью 2004 г. для исследования ВВ. АБС были снабжены термографами с точностью ±0,05°С и инерционностью 0,02"С/сек. В ходе эксперимента в точке Л=131°09',

42033.2'(О_1у) была организована суточная станция, на которой с частотой 1(час"') зондом СТО СТЛЬШЛКЕ были выполнены 25 зондирований.

- ч 4 ^

4 -г и'

СЭВ * > * •**

"Г"

СИ €Ж

Рис. 3. Схема гидрологической трассы 2004 г.

На рис.4 представлены фрагменты записей температуры в точках Рг_1, 2, сглаженные временным окном Тьюки шириной 1 час. 19 т

1 -I-1-1-1--1-1-г

0 1 234567 8

Время (день)

Рис.4. Температура на горизонтах г= 28м (пунктирная л.) и г= 35м (сплошная л.) в прибрежной зоне п-ва Гамова. Начало записи приходится на 12. 09. 2004 г.

Сплошной и пунктирной линиям отвечает температура, зарегистрированная в точках Рг_2 и Рг_1 соответственно. Обращает на себя внимание устойчивый положительный сдвиг фаз между наступлением «тёплой воды» в точках Рг_2, Рг_1. Расчёты показывают, что сдвиг фаз составляет~(4,1±0,4)час. Отсюда для скорости распространения возмущений вдоль трассы получим <с>«0,38±0,04(.«/с). Используя среднесуточный профиль частоты плавучести, полученный 20.09.04 г. в точке «Э_1у», была рас-

считана скорость распространения низкочастотных (-1/18 час"1) ВВК, которая составила с~0,44(л</с). Полученное значение неплохо согласуется с экспериментальной оценкой скорости распространения возмущений температуры.

По результатам натурных наблюдений сделаны следующие выводы: (а) в районе эксперимента спектральный состав колебаний вдольбереговой компоненты скорости и температуры определяется волнами двух типов: ВВ, приходящими со стороны моря и ВВК, распространяющимися вдоль берега; (б) волновое поле в прибрежной зоне полуострова Гамова имеет полигармоническую ( > 2 гармоник) и многомодовую (£ 2 мод ) структуру.

В параграфе 4.2 на основе натурных данных, полученных осенью 1986 г., проведено сопоставление модифицированных амплитудных функций нормальных мод ВВ - 1Ут (г) и эмпирических ортогональных функций (ЭОФ) вариаций температуры-<рт {¿), и получено относительное распределение энергии ВВ по модам.

На рис. 5 представлены три ЭОФ <рт(г) корреляционной матрицы параметра с условием нормировки |р„|1Ш:<= 1, т = 1,2,3, и модифицированные амплитудные функции ВВ Ц/т(г) = сГГа/с11, нормированные как и ЭОФ.

Рис.5. ЭОФ (<?>[,<р2,,) вертикальных вариаций температуры и модифицированные амплитудные функции {у/^у/^у/^ первых трёх мод ВВ

Из рисунка следует, что соотношение <рт (г) и \¥т(2~)-{<1Т„[(к) неплохо подтверждается экспериментально.

-0А 0,0 0,4 0,8 -0,4 0,0 ОД

-0Л 0,0 ОА 0,8

г(м)

Неплохое соответствие между двумя наборами функций позволяет провести сравнение коэффициентов разложения корреляционной функции Гм по ЭОФ и коэффициентов, характеризующих значения энергии, приходящейся на каждую моду ВВ. Тем самым открывается возможность для оценки распределения энергии по модам ВВ. Используя модельный спектр ВВ, предложенный Гареттом и Манком [20,21], для коэффициентов разложения корреляционной функции Гкк флуктуаций температуры по ЭОФ с учетом равенства Гш = Вш получим

ц— *,л=Н{п) | Жо2В{(о)Еакп{а)с1к„/с1с). /

В таблице 1 приведены оценки относительных значений коэффициентов раз-

/и 2>»

ложения

и оценки тех же коэффициентов разложения по (¿), рассчитанных с помощью модели спектра ГМ79

Таблица 1.

/20 у 2Х-

Из таблицы следует, что

п ¿п

1 0.61 0.31

2 0.21 0.24

3 0.11 0.17

разложение вертикальных профилей вариации температуры по ЭОФ может быть представлено всего тремя ЭОФ, причем в разложении будет преобладать первая ЭОФ (г, >60%). Иное распределение по вкладам каждой из мод даёт модель спектра ГМ79. В этом разложении вклад первой моды будет составлять лишь 30%

В параграфе 4.3 представлены результаты исследования нелинейных свойств ВВ в прибрежной зоне Японского моря по натурным данным, полученным в 1999, 2003 годах.

На рис.6 представлен нормированный на дисперсию спектр вариаций температуры прибрежных вод у полуострова Гамова осенью 1999 г. Над спектральными максимумами указаны значения соответствующих им периодов в часах. Обращают на себя внимание максимумы на периодах ~11.3,12.6 и 14.6 (час) и максимум в окрестности первой гармоники полусуточной частоты. Несложно заметить, что разностные частоты между несущей и боковыми частотами, на которые приходятся максимумы, одного порядка, а их среднее значение составляет —1/4 (ц/сут).

На рис. 7. представлен спектр вариаций квадрата скорости течения на горизонте г= 35м, который имеет ту

-г-

6 12 18 Период(час)

Рис. 6. Спектр вариаций температуры 1999 г.

13-

ш-

5 -

12.5 14.6

11.1

6.6

6.1 5.

же структуру, как и в случае с температурой. Здесь тоже имеется три максимума (на периодах 11.1, 12.5 и 14.6(час)) и максимум, отвечающий первой гармонике полусуточной §

_ о*

частоты. Среднее значение разност- ^ ных частот в этом случае составляет £ ту же величину ~ 1/4(ц/сут). Примечательно, что максимум, отвечающий первой гармонике приливной частоты -1/6.1(ц/час), тоже окружён боковыми максимумами на частотах: -1/6.6 и 1/5.7 (ц/час). Более того среднее значение разностных частот

вновь составляет ~0.28(ц/сут), т.е. по порядку совпадает с частотой низкочастотной составляющей изменчивости ~1/4(ц/сут).

12

18

24

Период(час)

Рис. 7. Спектр вариаций квадрата скорости осенью 1999 г.

а во н

о

£

30 -

18.0 16.0

20.5

8

24

Осенью 2003 г для наблюдения за ВВ в точке с координатами Л= 131°08.4', <р= 42°34.9' была оборудована АБС с термографом «ПИРАТ-01», выставленным на горизонте г=28м, который фиксировал температуру на протяжении -8 суток. Нормированный спектр её вариаций представлен на рис. 8. Из него следует, что большая часть энергии вариаций сосредоточена в достаточно узкой окрестности частот 1/18 и 1/16(ц/час). Примечательно, что разностные часто-

60

12 16 20 Период (час)

Рис. 8. Спектр вариаций температуры осенью 2003 г ты между главной и боковыми частотами, на которые приходятся максимумы, одного порядка, а их среднее значение составляет величину- 1/7(ц/сут).

Представляется важным подтвердить наличие низкочастотной изменчивости на периодах 3-4(сут) и 7-8(сут) на более продолжительных рядах наблюдений гидрологических параметров. С этой целью в работе использован ряд значений уровня моря в заливе Посьета с июля по ноябрь 1999 г с интервалом дискретизации 7,5 мин. На рис.9 приведен спектр колебаний уровня в синоптическом диапазоне частот с числом степеней свободы ~60. Из рисунка следует, что спектр узкополо-сен, имеет два выраженных пика на частотах 1/8 и 1/4 (ц/сут). Эти результаты согласуются с выводами работы [1], в которой показано, что у западного побережья Японского моря под действием барической волны, образованной движущимися циклонами, возможно возбуждение вынужденных шель-фовых волн с периодами 4-5, 7-10 суток.

5 40 •

и

>

» 20 -

0 4 8 12

Период (сутки)

Рис.9. Спектр колебаний уровня Японского моря в заливе Посьета осенью 1999 г.

Таким образом, исследования ВВ в прибрежной зоне Японского моря осенью 1999, 2003 годов показали, что (1) спектры изменчивости температуры и кинетической энергии в окрестности полусуточной и инерционной частот имеют характерную триплетную структуру; (2) разностные частоты между опорной полусуточной или инерционной частотой и боковыми частотами по порядку величины близки к частоте синоптической изменчивости исследуемых параметров. Выявленные особенности находят естественное объяснение, если воспользоваться моделью мелкого моря с вращением, ограниченного горизонтальной твёрдой стенкой и охваченного нелинейным внутренним волнением Кельвина.

В параграфе 4.4 обсуждаются спектральные свойства ВВ среднего и высокочастотного диапазонов в двух районах прибрежной зоны Тихого океана, и даётся их сравнение с подобными свойствами нелинейных случайных ВВ мелкого моря.

На рис. 10 представлен спектр изменчивости температуры на горизонте г=35м в

дания спектра. Главный итог исследований изменчивости температуры в прибрежной зоне Японского моря осенью 1999, 2003 годов состоит в том, что наклон спектра её изменчивости в среднем диапазоне частот близок к р = 3.

0.06 0.12 0.25

Частота СО (ц/час)

Рис. 10. Спектр вариаций температуры 1999 года.

0.6

мезомасштабном диапазоне с числом степеней свободы равным 120, полученный в эксперименте 1999 г в Японском море. У спектра выделяется характерный наклон с ростом частоты. Здесь же прямой линией показана зависимость Брт ~еГ>. Обращает на себя внимание хорошее соответствие между указанной прямой и характером спадания спектра. Осенью 2003 г исследования ВВ было продолжено. Вновь бьио обнаружено хорошее соответствие между зависимостью — а1 и характером спа-

Другой район проведения экспериментальных исследований спектральных свойств внутреннего волнения был расположен на шельфе Тихого океана (рис. 11).

Рис.11. Схема расположения притопленной буйковой станции (ПБС) (флаг) в районе эксперимента (а); спектр вариаций температуры, зарегистрированный ПБС. Прямой линией показана зависимость Зрт ~ ю'1 (б).

Здесь, на горизонте г=38 м осенью 1995 г был установлен автономный измеритель температуры и солёности (8ВЕ-16), который отработал около 30 суток. На рис. 116 показан спектр изменчивости полученного ряда температуры с числом степеней свободы 120. Здесь же прямой линией показана зависимость 8рг ~ со'3. Как и ранее, имеется частотный диапазон, в котором наблюдается хорошее соответствие между характером спадания спектра и степенной зависимостью ф>г ~ аГ3. Заметим, что подобное поведение спектра вариаций температуры с ростом частоты было зафиксировано и в ряде других районов прибрежной зоны Мирового океана [19, 27, 28].

При анализе взаимодействия высокочастотных ВВ с внутренним приливом было показано, что спектр ВВ принимает универсальный степенной вид Зр{~Т,

т.е.-йГ1, где Г-период ВВ. На основе данных, полученных осенью 1995г на мексиканском шельфе, было выполнено сравнение наклонов натурного и модельного спектров вариаций температуры. Для анализа выбирались фрагменты с максимальной и с минимальной амплитудами приливной изменчивости.

На рис. 12 представлен спектр вариаций температуры с 70 степенями свободы на фрагментах, соответствующих минимальным амплитудам приливной изменчивости. Прямым линиям отвечает линейная (прерывистая линия) и квадратичная (сплошная линия) зависимости спектра от периода. Из рис. 12 следует, что в указанном диапазоне частот с увеличением периода спектр растёт~ Т2, т.е. его наклон близок к стандартному р = 2.

На рис. 13 представлен спектр с 70 степенями свободы для фрагментов с максимальной амплитудой приливной изменчивости. Как и ранее, прямым линиям отвечает линейная (непрерывная линия) и квадратичная (прерывистая линия) зависимости спектра от периода. Из рисунка следует, что с увеличением периода спектр растём Т, т.е. -сГ1, его наклон соответствующий максимальным амшвпудам ее приливной

изменчивости близок к р = 1. Таким обра-

зом, с учётом линейной связи между вариациями температуры 5Т и амплитудой гармонической волны на основании изложенного можно сделать следующий вывод: на интервалах времени с минимальными амплитудами внутреннего прилива наклон спектра близок к р = 2, а на интервалах времени с максимальными амплитудами внутреннего прилива он близок к р = 1, т.е. совпадает с наклоном, предсказанным теорией взаимодействия нелинейного внутреннего прилива с высокочастотным внутренним волнением.

10

"Е 1

£ ш 0.1

0.01

1

30

3 10

Период Т(мин) Рис.12. Спектр высокочастотных вариаций температуры, соответствующий минимальным амплитудам её приливной изменчивости

10

"Н1

Е. 1

"о

со 0.1

0.01

30 Т

1 3 10

Период Т(мин)

Рис. 13. Спектр высокочастотных вариаций температуры.

В заключении перечислены основные результаты работы

1. С использованием асимптотического метода многих временных масштабов показано, что начальное возмущение поля скорости конечной амплитуды, расположенное у боковой границы мелкого моря, в процессе эволюции разделяется на геострофическую компоненту движения и нелинейную внутреннюю волну Кельвина, эволюция которой определяется уравнением Бюргерса с коэффициентом нелинейности, зависящим от распределения частоты плавучести по глубине;

2. Впервые решён ряд задач о трансформации спектра нелинейных ВВ в мелком море с плавными неоднородностями рельефа дна:

• показано, что в результате самовоздействия у поля ВВ формируется неоднородный спектр интенсивности вертикальных смещений с универсальной асимптотикой вида Sp({x\m) — «Г3;

• установлено, что в результате взаимодействия нелинейной ВВ с приливной частотой аа и высокочастотных ВВ спектр последних принимает универсальный вид Sp.(co,x)~ со'1 (с?1 /лsAxma), а его параметры определяются энергией волнения - <т2, амплитудой А и частотой о)а прилива;

• показано, что взаимодействие нелинейной ВВ с приливной частотой с\ и синоптического шума существенно зависит от шумовой модуляции Л/= asco0 х так, что в случае пМ з> 1 при (о-*оо спектр ВВ спадает по универсальному закону (л;о) -о"3, а для противоположного случая пМ<к 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых Sp((x\a>) ~со'ъ и Spf(x;a>) -а)'1.

3. Спектральный анализ измерений температуры, проведенных осенью 1999, 2003 годах в прибрежной зоне Японского моря и в 1995 г. на тихоокеанском шельфе Мексики показал, что степенная зависимость SpT - of с наклоном р= 3 неплохо аппроксимирует спектр её вариаций в среднем диапазоне частот, а в высокочастотной области наклон спектра близок к р=\.

4. С использованием метода эмпирических ортогональных функций (ЭОФ) показано, что в мелком море, охваченном нелинейными ВВ, модифицированные амплитудные функции нормальных мод NB(z)Wm(z) взаимозаменяемы с соответствующими

ЭОФ <рт корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра q0, фоновый градиент которого удовлетворяет соотношению dqjdz я С N„. В ходе анализа натурных наблюдений, выполненных на шельфе Японского моря осенью 1986 г установлено, что соотношение <рт (z) = T^Wn (z), где Г0'= (dTJdz)- фоновый градиент температуры, неплохо выполняется.

Выше изложенное позволяет заключить, что предложенная в работе модель нелинейного внутреннего волнения адекватно отражает целый ряд характерных особенностей волнового процесса и во многом определяющего мезомасштабную изменчивость гидрологических полей в прибрежной зоне Мирового океана.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Герман В.Х., Левиков С.П. Вероятностный анализ и моделирование колебаний уровня моря. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.231 с.

2. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990. 215 с.

3. Драган Я.П. Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов. Л.: Гидрометеоиздат, 1987. 319 с.

4. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения. М.: Физматлит, 2001. 250 с.

5. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем. Курс лекций М.: Физматлит, 2002. 180 с

6. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана. СПб, 1992,272 с.

7. Ле Блон П., Майсек Л. М. Волны в океане. М.: Мир, 1981. Т. I, Т. II. 682 с.

8. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990. 236 с.

9. Островский Л.А. Нелинейные внутренние волны в океане // Нелинейные волны М.: Наука, 1979. С. 292-324.

10. Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование // под ред. В.И. Таланова и Е.Н. Пелиновского Н. Новгород, 1999. Т. 2.340 с.

11. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М: Наука, 1984. 181с.

12. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны М.: Наука, 2000.286 с.

13. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука, 1987. 328 с.

14. Apel J.R., Gonzales F.I. Nonlinear features of internal waves of Bay California as observed from the SEASAT imaging radar// J. Geophys. Res. 1983. Vol. 88, No. 7, C7. P. 4459-4466.

15. Apel J.R. Badiey M., Berson J. et al. An overview of the 1995 SWARM shallow water internal wa-ve acoustic scattering experiment // IEEE J. Oceanic Engineering. 1997. Vol. 22, No. 3. P. 465-500.

16. Brink K.H. Coastal-trapped waves and wind-driven currents over the continental shelf // Annu. Rev. Fluid Mech. 1991. Vol. 23. P. 389-412.

17. Brown, В. E. Coral bleaching:Causes and consequences //Coral Reefs. 1997. Vol. 16. P. 129138.

18. Emery W.J. and Thomson R.E. Data Analysis Methods in Physical Oceanography. New York: Elsevier, 1997.634 pp.

19. Filonov E. A., M.F. Lavin Internal tides in the Northern Gulf of California // J. Geophys. Res. 2003. Vol. 108, NO, C5, 3151. P. 20-1 -20-17.

20. Ganet C.J.R., Munk W.H. Space-time scales of internal waves: A progress report // J. Geophys. Res. 1975. Vol. 80. P. 291-297.

21. Garret C.J.R., Munk W.H. Internal waves in the ocean //Annu. Rev. Fluid Mech. 1979. Vol. 11. P. 339-369.

22. Gill A.E., Clarke A.J. Wind-induced upwelling. Coastal currents and sea-level changes // Deep-Sea Research. 1974. Vol. 21. P. 325-345.

23. Helfrich K.R., W.K. Melville Long Nonlinear Internal Waves // Annu. Rev. Fluid Mech. 2006. Vol. 38. P. 395-425.

24. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. A nonlinear model of internal tide transformation on Australian Nofth-West Shelf// J. Phys. Ocean. 1997. Vol. 27. P. 871-896.

25. Holloway P.E., Pelinovsky E., Talipova T. A generalized Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone // J. Geophys. Res. 1999. Vol. 104, NO. C8. P. 18, 333-18,350.

26. Reznik G.V., Grimshaw R. Nonlinear geostrophic adjustment in the presence of a boundary // J. Fluid Mech. 2002. Vol. 471. P. 257-283.

27. van Haren H., Maas L., van Aken H. On the nature of internal waves spectra near a continental slope // Geophys. Res. Lett. 2002. 29, 1615, doi: 10.1029/2001GL0143 41.

28. van Haren H., Some observations of nonlinearly modified internal wave spectra // J. Geophys. Res. 2004. 109, C03045, doi:10.1029/2003JC002136.

29. Vlasenko V., Hutter K. Numerical experiments on the breaking of solitary internal waves over a slope-shelf topography // J. Phys. Ocean. 2002. Vol. 32. P. 1779-1793.

30. Wolanski, E., Pickard G. L. // Upwelling by internal tides and Kelvin waves at the continental shelf break on the Great Barrier Reef. // Aust. J. Mar. Res. 1983. Vol. 34. P. 65-80.

31. Wolanski E., Hamner W. H. Topographically controlled fronts in the ocean and their biological influence//Science. 1988. Vol. 241. P. 177-181.

32. Wolanski, E., and B. Delesalle // Upwelling by internal waves, Tahiti, French Polynesia // Cont. Shelf Res. 1995. Vol. 15. P. 357-368.

33. Inall V.E., Shapiro G.I., Sherwin T.J. Mass transport by nonlinear internal waves on the Malin Shelf//Cont. Shelf Res. 2001. Vol. 21. P. 1449-1472.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ростов И.Д., Гладышев C.B., Новотрясов В.В. Районирование северо-западной части Тихого океана по профилям частоты Вяйсяля-Брента и оценки значений параметров внутренних волн. М., 1988. 13 е.- Деп. в ВИНИТИ 15.01.88. № 321-В88.

2. Ростов И.Д., Гладышев C.B., Новотрясов В.В. Оценки возможных значений параметров внутренних волн для различных типов стратификации вод северозападной части Тихого океана// Морской гидрофиз. журн.. 1988. № 4. С. 59-61.

3. Новотрясов В.В., Симоненко C.B. Об интерпретации эмпирических ортогональных функций и вертикальной структуры вариаций температуры полусуточного периода // Изв. АН СССР. ФАО. 1989. Т. 25, № 3. С. 327-330.

4. Коган В.Я., Новотрясов В.В. Об акустическом методе исследования модовой структуры внутренних волн // Изв. АН СССР. ФАО. 1990. Т. 26, № 4. С. 437-440.

5. Навроцкий В.В., Новотрясов B.B. Вертикальная структура внутренних волн и эмпирические ортогональные функции. — Тр. X Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн (СДВ-90). Винница. 1990. Т. II. С. 307-311.

6. Новотрясов В.В., Юрасов Г.И. Эмпирические ортогональные функции и вертикальная структура внутренних волн // Океанология. 1991. Т. 31, вып. 3. С. 395399.

7. Новотрясов В.В. Дисперсионные зависимости и вертикальная структура поля внутренних гравитационных волн на течении со сдвигом скорости // Океанология. 1991. Т. 31, вып. 6. С. 885 -891.

8. Новотрясов В.В. Исследование вертикальной структуры внутренних гравитационных волн в океане: Дис. канд. физ.-мат. наук 11.00.08 Владивосток. 1992.130 с.

9. Новотрясов В.В. О вертикальной структуре приливных внутренних волн в океане // Изв. РАН. ФАО 1993. Т 29, № 2. С. 283-286.

10. Новотрясов В.В. О возбуждении стоячих по вертикали приливных внутренних волн в открытом океане // Океанология. 1994. Т. 34, № 3. С. 370-374.

11. Новотрясов В.В. О голубом смещении частоты инерционных колебаний в океане // Океанология. 1998. Т. 38, вып. 1. С. 64-67.

12. Новотрясов В.В. Модель инерционных колебаний с учётом вязкости // Изв. РАН. ФАО. 1998. Т. 34, № 5. С. 730-732.

13. Долгих Г.И., Новотрясов В.В.. Павлова Е.П. Наблюдение прилива Японского моря с помощью лазерного деформографа // Метеорология и гидрология. 1999. N8. С. 99-104.

14. Долгих Г.И., Новотрясов В.В. Низкочастотные литосферные деформации шель-фовой зоны Японского моря, вызванные внутренними гравитационными волнами // Физика Земли. 1999. Т.35, № 11. С. 85-90.

15. Долгих Г.И., Новотрясов В.В.. Карнаухов A.A. Деформометрический метод измерения морского прилива в прибрежной зоне Японского моря // Океанология. 2000. Т.40, № 6. С. 942-946.

16. Новотрясов В.В., Ванин Н.С. Низкочастотные внутренние волны в прибрежной зоне Японского моря //Изв. РАН. ФАО. 2002. Т. 38, № 4. С. 557-565.

17. Долгих Г.И., Новотрясов В.В.. Пермяков М.С. Особенности сверхнизкочастотных деформаций земной коры побережья Японского моря после шторма // Докл. АН.

2003. Т. 389, № 4. С. 532-534.

18. Новотрясов В.В. О спектре нелинейных внутренних волн Кельвина // Докл. АН 2003. Т. 392, № 2. С. 254-257.

19. Новотрясов В.В., Храпченков Ф.Ф. Нелинейные внутренние волны мелкого моря // Доклады X школы-семинар акад. JI.M. Бреховских «Акустика океана» -М.: ГЕОС 2004. С. 536-540.

20. Новотрясов В.В., Филонов А.Е. О спектре нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородном мелком море // Докл. АН. 2005. Т. 400, № 6. С. 818-821.

21. Новотрясов В.В., Ванин Н.С., Карнаухов А. А. Проявление нелинейных свойств у внутренних волн Кельвина в прибрежной зоне Японского моря // Изв. РАН. ФАО. 2005. Т. 41, № 5. С. 673-681.

22. Ростов И.Д., Н.И. Рудых, В.В. Новотрясов Электронный атлас гидрофизических характеристик района юго-восточной части полуострова Камчатка // Океанология.

2005. Т. 45, №4. С.717-721.

23. Navrotsky V., У. Novotraysov Inertial motions and internal waves in the ocean frontal zone // International conference "OCEANIC FRONTS AND RELATED PHENOMENA" Russia. St. Petersburg. 18-22 May. 1998. P. 367-370.

24. Novotryasov V.V., Navrotsky V.V. On the generation of vertical standing tidal internal waves in the ocean // "Mezo and Micro Structure of the Ocean - Measurement and Model of Processes". International Session. S.-Peterbyrg, 1992. P. 34.

25. Novotraysov Vadim V. Strong turbulence of internal nonlinear Kelvin waves // IUGG 2003. Sapporo Japan, June 30 - July 11. 2003. B.l 17.

26. Filonov A., Novotraysov V. Features of the nonlinear internal wave spectrum in the coastal zone//Geophys. Res. Lett., 2005. 32, L15602,doi:10.1029/2005GL023046.

27. Novotraysov V., Filonov A. On the nonlinear internal wave spectrum in the coastal zone // Inter, conf.: "FLUXES AND STUCTURES IN FLUIDS" Selected Papers. Moscow.

2006. P. 248-254.

Новотрясов Вадим Васильевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЫ ОКЕАНА

Автореферат

Подписано к печати 30.09.06 Формат 60x80/16. Уч. - изд. л. 2. Тираж 100 экз. Заказ 55. Бесплатно

Отпечатано в ОНТИ Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43.

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Новотрясов, Вадим Васильевич

Введение.2

Глава 1. Модельные уравнения нелинейных внутренних волн мелкого моря.15

1.1. Нелинейные внутренние волны неподвижного'мелкого моря.16

1.2. Нелинейные внутренние волны вращающегося мелкого моря с горизонтальной боковой границей.33

1.3. Влияние стратификации плотности, турбулентной вязкости и неоднородностей рельефа дна на проявление нелинейных свойств у внутренних волн в мелком море.54

1.4. Выводы.87

Глава 2. Статистическое описание нелинейного внутреннего волнения мелкого моря.93

2.1. Статистическое описание линейных внутренних волн.95

2.2. Кинетические уравнения и спектральные плотности нелинейных внутренних волн в мелком море.115

2.3. Модельный спектр нелинейного внутреннего волнения мелкого моря и его трансформация под воздействием неоднородностей рельефа дна.130

2.4. Выводы.139

Глава 3. Параметрическая неустойчивость и взаимодействие нелинейных внутренних волн в прибрежной зоне океана.143

3.1. Параметрическая неустойчивость внутренних волн в прибрежной зоне океане.144

3.2. Стоячие по вертикали внутренние волны, как параметрическое явление мелкого моря.151

3.3. Влияние низкочастотного шума на нелинейные внутренние волны с приливной частотой.158

3.4. Трансформация спектра высокочастотных внутренних волн под воздействием нелинейной внутренней волны с приливной частотой 164

3.5. Выводы.172

Глава 4. Интерпретация натурных наблюдений внутреннего волнения в прибрежной зоне океана с использованием предложенной модели нелинейных внутренних волн.175

4.1. Низкочастотные внутренние волны в прибрежной зоне Японского моря.177

4.2. Вертикальная структура внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря.202

4.3. Проявление нелинейных свойств у внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря.215

4.4. Интерпретация спектров внутреннего волнения шельфовой зоны океана с помощью нелинейной теории случайных волн.238

4.5. Выводы.256

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Нелинейные внутренние волны прибрежной зоны океана"

В динамике краевых областей океана, включающих шельф и прибрежную зоны, значительную роль играет разновидность волнового движения, связанного с одной стороны с плотностнойтификацией, а с другой вращением Земли, известного под названием внутренние волны (ВВ). Его исле-дование имеет большое значение в силу того, что именно оно, главным образом, формирует мезомасштабную изменчивость гидрофизических полей, вызывает апвелинг и неустойчивость вдольбереговых течений, оказывает существенное влияние на генерацию и изменчивость ветровых течений [113, 134, 192, 194]. Кроме того, ВВ во многом определяют особенности распространения акустических сигналов [110] и различного рода примесей [144], миграцию биологических сообществ [148, 149, 150, 151] ВВ оказывают влияние на состояние морской поверхности [78]. Их необходимо учитывать и при разработке новых и совершенствовании имеющихся методов исследования океана из космоса. Все эти факторы определяют актуальность изучения динамики внутренних волн (ВВ) в прибрежной зоне морей и океана.

Начало современным исследованиям ВВ в прибрежной зоне океанов приходится на середину шестидесятых годов прошлого века, примечательных тем, что это явление стало объектом пристального внимания исследователей сразу трёх разделов науки: экспериментальной океанографии, прикладной математики и дистанционного зондирования. Появление нового типа океанографических приборов в 60-х годах (например, «термических кос») позволило зарегистрировать эти необычные волны в различных районах прибрежной зоны океанов и окраинных морей. Среди наиболее известных из ранних измерений были измерения в Андаманском море [173]. С их помощью были зарегистрированы ВВ до 80 м высотой и 2000 м длинной в главном термоклине, расположенном на глубине 500 м при общей глубине 1,5 км. В работе [109] позднее было показано, что эти волны возбуждаются приливным потоком, проходящим через проливы между островами Андаман и Никобар. К числу ранних океанологических наблюдений ВВ следует отнес-ти наблюдения Хальперна в проливе Гибралтар [197, 198] и Хэйри в Массачусетсом заливе [137, 138]. Тогда же Торп [184] и Хункинс [140] выполнили аналогичные наблюдения в озёрах Лох-Несс, Сенека штат Нью- Йорк, соответственно. В работах [197, 198], в частности, был убедительно доказан солитонный характер волн.

Из первых наблюдений следовало, что искомое волновое движение принадлежало к нелинейному типу волн. Их амплитуды по сравнению с вертикальными масштабами стратификации были слишком велики для того, чтобы быть линейными. Каноническое уравнение, определяющее эволюцию длинных свободных волн, и содержащее нелинейность и дисперсию является уравнение КдВ и уже первые исследователи догадывались о значении недавнего открытия Гарднера [127] о точных асимптотических решений уравнения КдВ, которым соответствовали упорядоченные по рангу уединённые солитоны.

Третья «точка роста» в исследованиях нелинейных ВВ связана с развитием дистанционных методов. Апель [109] привёл доказательства присутствия нелинейных ВВ в Нью-йорской бухте и на северо-западе побережья Африки. Это было начало программы SEASAT , в которой началось использование радаров с синтезированной апертурой (SAR) для получения изображений прибрежной зоны океанов. На этих изображениях были отчёт-ливо видны пакеты, распространяющихся к берегу ВВ, повторяющиеся через приливной период. Вскоре выяснилось, что подобные ВВ повсеместно распространены в прибрежной зоне океанов и окраинных морей. Множество примеров этих ранних изображений можно найти в работе [126]. Обширная коллекция ВВ представлена на сайте http://www.internalwaveatlas.com/.

За прошедшие годы был опубликован ряд обзоров, включающих различные аспекты динамики длинных нелинейных ВВ. Обзор Майлса [159] по-свящён нелинейным ВВ, включая уединённые ВВ. В работе [171] сделан обзор натурных наблюдений и теорий нелинейных ВВ, и солитонов этих волн. В обзорах [135, 136] дан анализ уединённых ВВ и длинных нелинейных ВВ во вращающихся системах, соответственно. Важный обзор Акуласа [108], посвящён трёхмерным длинным нелинейным ВВ. И наконец, в последнем обзоре [140] подведены итоги исследования этого явления геофизической гидродинамики, важного для океанографии прибрежной зоны океана.

Таким образом, история их активного изучения насчитывает уже более трёх десятилетий, но всё ещё остаются открытыми целый ряд вопросов. Теоретические исследования продвинулись существенно дальше экспериментальных, о чём, в частности, свидетельствует литература, посвящённая ВВ, состоящая в основном из теоретических работ. Однако говорить о полной теоретической ясности явления ещё говорить рано. Практически отсутствуют работы, связанные с решением статистических задач теории нелинейных ВВ. Тем самым затрудняется интерпретация натурных наблюдений ВВ. Положение усугубляется ещё и тем, что исследования ВВ в натурных условиях представляют значительные трудности, в первую очередь, в техническом плане.

Разнообразие источников возбуждения (ветер, флуктуации давлении), наличие различного рода неоднородностей (рельефа дна, береговой черты.) усиливает случайную компоненту ВВ, усложняя адекватное описание волнового поля. Одним из наиболее эффективных методов анализа случайного волнового движения является спектральный метод [2, 121]. Спектральные характеристики волнового поля зачастую позволяют идентифицировать основные механизмы формирования этого движения с различными пространственно-временными масштабами. Кроме того, этот метод полезен не только с точки зрения моделирования структуры его спектров, но и как взгляд на явления, происходящие в океане через выбранное «спектральное окно» с последующим детальным статистическим анализом рассматриваемых через это «окно» флуктуаций.

Экспериментальные исследования показывают, что в отличие от ВВ глубокого океана в прибрежной зоне поле ВВ нелинейно, нестационарно во времени и неоднородно по пространству. Указанные особенности затрудняют использование традиционного спектрального анализа для исследования и интерпретации натурных наблюдений за ВВ. В связи с этим достаточно актуальной представляется задача определения пространственно-временных масштабов, в пределах которых поле ВВ может быть охарактеризовано как стационарное и однородное поле в широком смысле. В рамках такого подхода исследование нестационарной природы ВВ состоит в изучении нестационарной изменчивости и применении мощного аппарата теории нелинейных случайных волн [11, 27, 29] для создания спектральной модели этого волнения. Возможность такого подхода основывается на том, что в первом приближении по параметру нелинейности (б~А1Н где А- амплитуда волны, Я-глубина бассейна) нестационарность и неоднородность волнового поля является «плавной», т.е. изменение амплитуды волны - ЗА на расстоянии равном её длине мало, т.е. 8 А!А« 1.

Успехи в изучении нелинейных ВВ последнего времени связаны, прежде всего, с использованием численных метод, сделавших возможным расчёты полей в сложных и вполне реалистичных моделях прибрежной зоны [141, 142, 143, 189]. Не потеряла своей актуальности и возможность аналитического описания ВВ. Последняя важна при планировании натурных экспериментов и интерпретации полученных при этом данных. Дело в том, что в прибрежной зоне профиль частоты плавучести зачастую точно не известен. Кроме того, он существенно зависит от места и времени проведения измерений. Использование простых моделей ВВ позволяет прогнозировать изменение структуры ВВ при вариациях параметров и предвидеть последствия изменений условий проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес и с точки зрения развития теории обработки экспериментальных данных.

В натурных условиях профиль частоты плавучести отягчён различного рода погрешностями. Кроме того, он зависит от места и времени проведения измерений. Использование простых аналитических моделей позволяет прогнозировать изменение структуры ВВ при изменении параметров и предвидеть последствия изменение условия проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес и с точки зрения развития методов обработки экспериментальных данных. Наличие простых аналитических формул, связывающих характеристики частоты плавучести и параметры волнового поля, имеет особую важность при решении обратных задач. Например, в качестве измеряемых характеристик поля, играющих роль входных параметров при решении обратных задач можно рассматривать параметры мод.

В последнее время наметилось ещё одно направление в исследованиях ВВ прибрежной зоны, для которого использование аналитических методов весьма актуально. Это так называемая проблема замкнутого описания различных режимов эволюции нелинейного случайного внутреннего волнения. Её суть состоит в следующему. По целому ряду причин нелинейные ВВ в прибрежной зоне могут быть случайными. Известно, что слабодисперсные нелинейные случайные волны могут находиться в том числе и в режиме сильной волновой турбулентности. Дать замкнутое статистическое описание различных стохастических режимов в ансамбле случайных нелинейных ВВ в мелком море, проследить эволюцию такого ансамбля от начального состояния, до развитой турбулентности, изучить влияние гидрологических условий на развитие этих режимов без использования аналитических методов достаточно проблематично.

Изложенные выше соображения определяют актуальность темы диссертационной работы. Кроме того, актуальность работы, основанной на натурных наблюдениях, усиливается дефицитом экспериментальных исследований ВВ, вызванном ограниченностью финансовых возможностей для проведения таких исследований и техническими трудностями, связанными с проведением экспериментальных исследований в прибрежной зоне. Вместе с тем, небольшие глубины (<100м) и значительные амплитуды ВВ, близость пикноклина ко дну или к поверхности, наличие течений превращают прибрежную зону в полигон, где особенно выразительно проявляются нелинейные свойства ВВ. Тем самым указанная зона, может служить природным полигоном для тестирования теоретических моделей этого волнового процесса, и в тоже время исследование ВВ в этих зонах может быть стимулирующим фактором развития теории нелинейных волн в океане.

В соответствии со сказанным нами формулируется цель настоящей диссертации - разработка и экспериментальная проверка ряда математических моделей, пригодных для описания и анализа динамики внутреннего волнения в краевых областях океана с учётом его нелинейности и случай-ности. Реализация намеченной цели осуществлялась путём решения трёх основных задач, каждая их которых потребовала создания соответствующих математических моделей.

Эти задачи:

1. Изучение динамики нелинейных случайных внутренних волн в мелком море с произвольным распределением плотностной стратификации по глубине, диссипации, неоднородностей рельефа дна и наличия боковых границ.

2. Разработка методики анализа вертикальной структуры нелинейных случайных ВВ, адаптированной к натурным условиям.

3. Экспериментальная проверка основных положений и выводов, предложенных моделей случайного, нелинейного внутреннего волнения в краевых областях океана

Здесь и далее под математической моделью подразумевается совокупность дифференциальных или интегральных уравнений с соответствующими краевыми условиями и аналитического или численного алгоритма точного или приближённого решения задачи. При построении всех специализированных моделей исходным является представление о краевой зоне океана, глубина которой много меньше характерного горизонтального масштаба ВВ, расположенной на /-плоскости, ограниченной боковой границей, с неоднородным рельефом дна, заполненной вязкой жидкостью с произвольной плот-ностной стратификацией.

Первая модель представлена в главе 1 и предназначена для изучения динамики нелинейных внутренних волн, в том числе волн в краевых зонах. В основу первой модели положено известное гидростатическое приближение. В работе показано, что в рамках этого приближения волновое поле можно представить в виде суперпозиции нормальных мод, горизонтальная структура которых определяется решением нелинейного уравнения Бюргерса, а вертикальная структура определяется решениями линейной краевой задачей на собственные значения. Модель имеет аналитический.

Вторая модель представлена в главе 2 и предназначена для изучения динамики случайных нелинейных внутренних волн. В её основу положено уравнение Бюргерса со случайным краевым условием. С помощью этой модели удаётся эффективно решить задачу замкнутого статистического описания случайных нелинейных внутренних волн, проследить полную картину трансформации этих волн в мелком море.

Третья модель предназначена для анализа вертикальной структуры случайных нелинейных ВВ в мелком море. В её основу положен метод эмпирических ортогональных функций. Последние представляют собственные функции интегрального уравнения, ядром которого выступает корреляционная функция поля вертикальных смещений изопикн, вызванных ВВ.

Основные результаты настоящей диссертации состоят в следующем: используя асимптотический метод многих временных масштабов показано, что эволюция начального возмущения конечной амплитуды в мелком море, ограниченном боковой границей в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы и распространяющееся вдоль неё так, что граница остаётся справа, т.е. представляет нелинейную внутреннюю волну Кельвина (ВВК);

- установлено, что процесс трансформации фиксированной моды ВВК определяется уравнением Бюргерса с коэффициентом нелинейности у, существенно зависящим от распределения частоты плавучести по глубине.

- первые в океанологической практике решён ряд задач о трансформации спектра случайного нелинейного внутреннего волнения в мелком море:

• установлено, что при соответствующей стратификации плотности с ростом частоты нелинейного внутреннего волнения спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны - С, неоднороден и спадает по универсальному степенному закону вида

• показано, что наличие плавных уклонов дна (tg& «: 1) мелкого моря не изменяет универсального вида спектральной плотности его внутреннего волнения, т.е. его спектральная плотность в таком море сохраняет степенную асимптотику -со'3.

• обнаружено, что в результате взаимодействия нелинейного внутреннего прилива с высокочастотным внутренним волнением спектр последнего уширяется как в сторону высоких, так и в сторону низких частот, так что имеется область частот, в которой энергетический спектр волнения неоднороден и принимает универсальный степенной вид Б^{со,х)~ ^{о^/ж/ЗАхО) с наклоном р-1, а его параметры определяются энергией волнения ~ сг2, амплитудой А и частотой прилива;.

• показано, что эффективность взаимодействия синоптического шума и внутреннего прилива существенно зависит от шумовой модуляции М=<т/3о)0х, так что для случая иМ»1 при ¿у-»оо спектральная плотность внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону (х; со) , а для противоположного случая пМ«. 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых 8с(х;а>) ~со'г и 8((х;со) -со'2

-показано, что в мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями у/т (г) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра д0, средний градиент которого удовлетворяет соотношению ~СЫ0 (г);

-в ходе анализа гидрологической информации, полученной осенью 1986г., обнаружено, эмпирические ортогональные функции корреляционной матрицы вертикальных профилей температуры - <рт (г) на шельфе Японского моря и амплитудные функции внутренних волн ¡¥т(г) связаны приближённым соотношением срт (г) - (с!Т0/с1г)1¥т (г), где (с1Т01(к) - фоновый градиент температуры;

-анализ инструментальных измерений температуры, модуля скорости течения и уровня моря, полученных осенью 1999, 2001 годов в прибрежной зоне полуострова Гамова, показал, что спектр мезомасштабной изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: и,« 1/12.5ч"1, 2у, у2 »1/11.1 ч'х, у3 «1/1 ■4.6 ч~х и частоте синоптической изменчивости О «1/96 ч'1;

-обнаружено, что наклон спектра изменчивости температуры в прибрежной зоне Японского моря осенью 1999, 2003 годах и на тихоокеанском шельфе Мексики 1995 году в среднем диапазоне частот не плохо аппроксимируется наклоном р=3, а в высокочастотной области спектра изменчивости на мексиканском шельфе этот наклон оказался близок к р= 1.

На защиту выносятся следующие положения и научные выводы:

1. Предложенные в настоящей работе математические модели решают сформулированные основные задачи.

Гидростатическая модель нелинейных внутренних волн Кельвина позволяет исследовать характерные особенности динамики этих волн для произвольной стратификации плотности, различного типа турбулентной вязкости, плавных шероховатостей рельефа дна.

Существенно опирающаяся на теорию случайных нелинейных слабодисперсных волн гидростатическая модель нелинейного внутреннего волнения является удобным средством исследования само и взаимодействия случайных нелинейных внутренних волн в краевых областях океана с произвольной стратификацией плотности по глубине и плавными неоднородностями рельефа дна.

Преимуществом предложенной методики исследования вертикальной структуры внутренних волн с использованием метода эмпирических ортогональных функций является то, что эта методика позволяет учесть случайный характер внутреннего волнения. Тем самым создаётся замкнутая схема анализа горизонтальной и вертикальной структуры случайных внутренних волн.

Все модели опробованы на ряде частных задач экспериментального или теоретического характера. Путём обобщения полученных с помощью различных моделей и не противоречащих друг другу результатов делаются сформулированные ниже выводы.

2. В краевой области океана, с плавными неоднородностями рельефа дна, расположенной на бета-плоскости и заполненной вязкой, стратифицированной по плотности жидкостью эволюция начального возмущения конечной амплитуды в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы и распространяющееся вдоль неё так, что граница остаётся справа, т.е. быстрая компонента представляет внутреннюю волну Кельвина (ВВК) с вынужденной поперечной компонентой поля скорости. Динамика ВВК существенно зависит от соотношения между нелинейностью и диссипацией.

3. В указанной краевой области при соответствующей стратификации плотности по глубине с малой диссипацией закономерности формирования спектральной структуры внутреннего волнения определяются нелинейным самовоздействием и взаимодействием его спектральных компонент. В частности, в результате самовоздействия спектр интенсивности вертикальных смещений фиксированной изопикны становится неоднороден и приобретает универсальный степенной вид Бр^х^й))- а>~г, а при взаимодействие внутеннего прилива конечной амплитуды с высокочастотным внутренним волнением у спектра последнего появляется область частот, в которой он принимает универсальный степенной характер Бр^а^)-со~х{<у21л0Ах£1), где а2 ~ энергии волнения, А - амплитуда и О - частота прилива.

4. При наличии в краевой области узкополосного синоптического шума и внутреннего прилива их взаимодействие существенно зависит от коэффициента шумовой модуляции М= а/3со0х, так что для случая пМ»1 при (о -»оо спектральная плотность внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону 8р^{х\о))~со'г, а для противоположного случая пМ<&\ в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых 8рс{х\со) ~со~ъ и -со'2.

5. Показано, что в мелком море, охваченном нелинейным внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод М0(г)1¥т(2) взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями ц/т [г) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра qQ, средний градиент которого удовлетворяет соотношению с1д0/с1г « С7У0 (г).

6. В прибрежной зоне Японского моря в районе полуострова Гамова при соответствующем распределении стратификации плотности (а) внутреннее волнение имеет модовую структуру, с преобладанием первых трёх мод, на которые приходится более ~ 90% от полной энергии волнового поля; возможно (б) формирование у внутреннего волнения спектра с наклоном р--Ъ\ (в) нелинейное параметрическое усиление внутреннего прилива синоптическим шумом.

Отдельные полученные в работе теоретические и экспериментальные результаты не противоречат более ранним исследованиям других авторов и подтверждены в более поздних исследованиях с помощью сопоставления с данными натурных наблюдений, а также путём воспроизведения одних и тех же эффектов во многих натурных и численных экспериментов. Это свидетельствует о научной достоверности сделанных выводов.

Основное значение настоящей работы заключается в построении различного уровня сложности математических моделей случайного нелинейного внутреннего волнения в прибрежной зоне океана, предназначенных для решения широкого круга задач мезоокеанологии

Основные результаты работы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространении волн (г. Винница, сентябрь 1990 г.); на международных конференциях «Потоки и структуры в жидкостях» (Владивосток, сентябрь 1991 г.; Санкт-Петербург, сентябрь 1992 г.; Москва, июнь 2005 г.), 23-м съезде Международного геофизического и геодезического союза 11100-2003 (Саппоро, Япония, 2003), на 11-й школе-семинаре «Акустика океана» (Москва, май 2004 г.), на семинарах ТОЙ ДВО РАН по «Нелинейной динамике».

В предлагаемой диссертации обобщены результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных в 1990-2005гг. автором в Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичёва ДВО РАН. Работы [61, 63, 65, 69] сделаны автором единолично, прочие в соавторстве. В выполненных в соавторстве работах [19-22, 31, 48, 50, 51, 59, 60, 125, 68, 70, 71, 82, 83, 84, 85] автором диссертации осуществлены постановка задачи и разработка программы экспериментов. Всё изложенное в настоящей работе отражает точку зрения автора и полностью лежит на его ответственности.

Диссертация состоит из настоящего введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и содержит 284 страниц машинописного текста, 35 рисунков и четырёх таблиц. Список литературы включает 199 наименования, в том числе 92 работы иностранных авторов.

Содержание работы видно из оглавления. Каждому параграфу и каждой главе в целом предпослана краткая аннотация с указанием публикаций основных результатов. Нумерация формул - по главам, а внутри глав - по параграфам; нумерация рисунков по главам.

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Новотрясов, Вадим Васильевич

Выводы.

В серии экспериментов, поставленных в различные годы (1986-2004) в прибрежной зоне Японского моря (залив Петра Великого) установлено, что мезомасштабная изменчивость гидрологических параметров в указанной зоне в летне-осенний период формируется, главным образом, колебаниями, вызванными бароклинной составляющей приливного и инерционного движений. Расчёты, выполненные с использованием натурных данных, показывают, что максимальная скорость потока, вызванного внутренним приливом (бароклинная составляющая) превышает максимальную скорость потока, индуцированного поверхностным (баротропная составляющая) приливом в 3-5 раз, т.е. приливы в указанном районе имеют выраженный бароклинный характер.

Основываясь на анализе натурных наблюдений, с использованием предложенной модели внутреннего волнения были сделаны следующие вывод: спектральный состав колебаний вдольбереговой компоненты скорости и температуры в прибрежной зоне полуострова Гамова определяется внутренними волнами с полигармонической (до двух гармоник) и многомодовой (более одной моды ) структурой приходящими со стороны моря и внутренними краевыми волнами, образующимися в результате дифракции внутренних волн с приливной частотой на мысе Гамова, а также атмосферного воздействия и процессами вихреоброзования на шельфе.

Анализ гидрологической информации, полученной в морской экспедиции 1986 года на шельфе Японского моря (залив Петра Великого), с использованием метода эмпирических ортогональных функций (ЭОФ) позволил придти к следующим выводам: а). Два набора функций: <рт(г)- собственные функции интегрального уравнения: о

-Н где /)7.(7,7,) = <^Г(7)-^Г(7,)> - оператор дисперсии вертикальных профилей температуры и амплитудные функции нормальных мод внутренних волн -иг. [г), представляющие решение краевой задачи на собственные значения о, связаны следующим приближённым соотношением срт (г) - ((¡Т0Шг) 1¥т (г), где {с1Тц1сЬ) - фоновый градиент температуры. Выявленная закономерность указывает на возможность использования для анализа вертикальной структуры внутренних волн в шельфовой и прибрежной зонах Японского моря линейной теории. б). В исследованном районе более 90% дисперсии флуктуаций гидрофизических параметров приходится на кинематический эффект от первых 3 нормальных мод внутренних волн, а распределение энергии по модам, полученное с помощью предлагаемой методики, оказалось отличным от аналогичного канонического распределения предложенного Гарретом - Манком.

Анализ инструментальных измерений температуры и скорости течения, полученных осенью 1999 г в прибрежной зоне полуострова Гамова, показал, что: (а) отношение амплитуды вертикальных смещений изотермы, отвечающей максимуму градиента температуры, к глубине, достигает внушительных значений -0,2; (б) спектр изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: v, = 1/12ч'1 у2=1/14ч~' , 2v,, v,+v2, v,-v2\(в) кривая изменчивости температуры содержит участки пилообразной формы со значительной скоростью- 4(°С/час). Выявленные особенности внутреннего волнения послужили основанием для заключения о том, что в прибрежной зоне полуострова Гамова указанное волнение проявляет нелинейные свойства, и тем самым открывается возможность для проверки предложенной в главах 1-3 модели этого волнения. Согласно этой модели первоначально гармоническая внутренняя волна фиксированной моды, распространяясь, трансформируется в волну пилообразной формы. При этом изменяется её спектр; появляются новые гармоники, которых не было в спектре исходной волны. Анализ взаимодействия двух ВВ с частотами v, и v2 показал, что в процессе эволюции при достаточно больших амплитудах исходных волн в прибрежной зоне образуются ВВ с частотами 2уп у, +у2, у,-у2. Сопоставление этих выводов с результатами анализа экспериментальных данных указывает на удовлетворительное соответствие между ними.

Спектральный анализ инструментальных измерений температуры, выполненных осенью 1999, 2003 годах в прибрежной зоне Японского моря, показал что степенная зависимость Бр^-й)'2 с наклоном р= 3 неплохо, аппроксимирует временной спектр вариаций температуры в среднем диапазоне частот. Спектральный анализ инструментальных измерений температуры на тихоокеанском шельфе Мексики, полученных осенью 1995 г показал, что степенная зависимость 8р( ~аГъ с наклоном р= 3 также неплохо аппроксимирует временной спектр её вариаций в среднем диапазоне частот.

Таким образом, данные наблюдений за температурой вод двух различных районов Тихого океана указывают на значительное сходство спектров её мезомасштабной изменчивости. Оба спектра имеют максимумы на полусуточной частоте и её обертоне. И тот и другой спектры в среднем диапазоне частот неплохо аппроксимируются степенной зависимостью, обратно пропорциональной кубу частоты, т.е. наклон такого спектра р= 3. Подобный спектр изменчивости температуры представлен и в работе [17], посвящённой внутренним приливам Калифорнийского залива, а в работе [79] представлен спектр кинетической энергии горизонтального движения в Бискайском заливе. Его наклон тоже оказался близок к р=Ъ. Подобное поведение натурных спектров находит естественное объяснение в рамках предложенной модели внутреннего волнения конечной амплитуды в мелком море, основанной на уравнении Бюргерса, если предположить, что изменчивость гидрологических параметров (температуры и скорости) вызвана, главным образом, полем внутренних волн конечной амплитуды.

Спектральный анализ инструментальных измерений температуры на тихоокеанском шельфе Мексики, полученных осенью 1995 года выявил ещё одну особенность спектра флуктуаций температуры в области высоких частот. Наклон указанного спектра в этой области частотного диапазона оказался близок к р= 1. Это свойство спектра, тоже находит естественное объяснение в рамках предложенной модели. Подобный наклон, как это было показано § 4.4, есть следствие взаимодействия высокочастотных линейных внутренних волн с квазигармонической приливной внутренней волной конечной амплитуды.

Всё перечисленное позволяет заключить, что предложенная модель нелинейного внутреннего волнения, основанная на уравнении Бюргерса, даёт объяснение целому ряду характерных особенностей мезомасштабной изменчивости гидрологических параметров прибрежных вод и нелинейного внутреннего волнения различных районов Мирового океана.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подведём итоги настоящего исследования с точки зрения достижения главной цели, сформулированной во введении. Чтобы охватить логику работы, следует иметь ввиду следующее. Внутреннее волнение представляет наиболее характерный мезомасштабный случайный процесс прибрежной зоны океана. Значительные амплитуды и небольшие глубины способствуют проявлению нелинейных свойств у внутреннего волнения в этой зоны.

Учёт случайного характера нелинейного внутреннего волнения чрезвычайно усложняет задачу его анализа, поэтому на первом этапе изучения нелинейных случайных внутренних волн целесообразно упростить задачу, ограничившись анализом без дисперсных внутренних волн конечной амплитуды. Это приводит нас ко второй основной задаче - сформулировать замкнутое статистическое описание нелинейного случайного внутреннего волнения в указанном мелком море.

Третья основная задача работы - провести экспериментальную проверку выводов и результатов, полученных при теоретическом анализе случайного нелинейного внутреннего волнения, используя доступные материалы натурных исследований внутреннего волнения в различных районах прибрежной зоны Мирового океана опубликованные в печати.

Для решения сформулированных задач были построены соответствующие математические модели, включающие дифференциальные уравнения, организованы и проведены натурные эксперименты на МЭС «Шульц» ТОЙ ДВО РАН по изучению внутренних волн в прибрежной зоне Японского моря, разработаны методики обработки натурных данных. Физическая согласованность всех моделей обеспечивается общим исходным представлением о внутреннем волнении как нелинейном волновом процессе. Эффективность каждой из моделей как инструмента исследования определённого класса явлений проверялась путём применения к решению отдельных частных задач. Будучи специализированными, все построенные модели имеют вполне определённую область применимости.

Первая модель (гл.1) предназначена для изучения нелинейного внутреннего волнения во вращающемся мелком море с достаточно произвольным распределением плотности по глубине, горизонтальной боковой границей и с плавными неоднородностями рельефа дна. С её помощью получены следующие результаты:

Используя асимптотический метод многих временных масштабов установлено, что эволюция начального возмущения конечной амплитуды в мелком море в общих чертах происходит следующим образом. Возмущение единственным образом расщепляется на «медленную» и «быструю» компоненты движения. Медленная компонента всё время остаётся близкой к геострофическому равновесию. Быстрая компонента представляет нелинейное возмущение, сосредоточенное в окрестности границы, т.е. представляет нелинейную внутреннюю волну Кельвина (ВВК).

Показано, что процесс трансформации ВВК определяется уравнением Бюргерса с коэффициентом нелинейности у, существенно зависящим от распределения частоты плавучести по глубине.

Для фиксированной моды с номером т относительное влияние диссипации и нелинейности на процесс деформации внутренних волн можно охарактеризовать волновым числом Рейнольдса Яе

Ке = (С0т/ННХ./о)НМ.Н2/у)-у:2 При значениях параметров таких, что Яе < 1, т.е. "вязкие" члены преобладают над нелинейными: большая диссипация приводит к поглощению волны раньше, чем успеют накопиться нелинейные эффекты. Причём диссипация растёт не только с уменьшением амплитуды волны и с ростом кинематической вязкости, но и с ростом частоты и номера моды. Напротив, при значениях Яе »1 преобладают нелинейные эффекты и распространение волн по своему характеру близко к распространению волн в среде с пренебрежимо малой диссипацией.

Вторая группа моделей (гл.2) предназначена для исследования трансформации случайных внутренних волн под действием нелинейности. В основу этих моделей положено уравнение Бюргерса. С помощью этих моделей получены следующие основные результаты: с ростом частоты спектр интенсивности вертикальных смещений частиц жидкости, под воздействием нелинейного случайного внутреннего волнения спадает по универсальному степенному закону вида (х;о) ~ со~г. Установлено, что наличие плавных уклонов дна (/&,9<£:1) мелкого моря не изменяет универсального вида спектральной плотности внутреннего волнения, т.е. последняя сохраняет степенную асимптотику со) -со'3. в результате взаимодействия высокочастотного внутреннего волнения (ВВ) с нелинейным внутренним приливом спектр ВВ уширяется как в сторону высоких, так и в сторону низких частот, так что имеется область частот, в которой энергетический спектр ВВ принимает универсальный степенной характер й)~1(сг2/яРАхО) с наклоном р= 1, а его параметры определяются энергией ВВ ~ сг2, амплитудой А и частотой прилива О. эффективность взаимодействия низкочастотного шума и внутреннего прилива существенно зависит от шумовой модуляции М=с?Рсойх, так что для случая пМ »1 при со <х> спектральная плотность ВВ спадает по универсальному степенному закону 8^(х;со) ~со~2, а для противоположного случая яМ« 1 в спектре можно выделить две характерные области частот, в которых 81г(х;а) -¿у"3и 8((х;со)-со'2 установлено, что в мелком море, охваченном внутренним волнением, амплитудные функции нормальных мод Ы0(2)^(2) взаимозаменяемы с соответствующими эмпирическими ортогональными функциями у/т (г) корреляционной матрицы вариаций поля скалярного параметра д0, средний градиент которого удовлетворяет соотношению dqJdz » С7У0 (г).

Решение третьей задачи посвящено экспериментальной проверки выводов и результатов, полученных при теоретическом анализе случайного нелинейного внутреннего волнения. Здесь основные результаты сводятся к следующему.

Анализ гидрологической информации, полученной в морской экспедиции осенью 1986 года выявил следующую закономерность - собственные функций оператор дисперсии вертикальных профилей температуры <рт (г) на шельфе Японского моря в районе залива Петра Великого и амплитудные функции внутренних волн №т(г) связаны приближённым соотношением рт{г)~ (с1Т01ск) 1¥т(г), где (с1Т01ск) - фоновый градиент температуры. Другими словами вертикальная структура внутренних волн, в указанной прибрежной зоне, определяется решениями линейного краевой задачи на собственные значения.

Анализ инструментальных измерений температуры и модуля скорости течения, полученных осенью 1999 года в прибрежной зоне полуострова Га-мова, показал, что спектр мезомасштабной изменчивости указанных параметров содержит максимумы на частотах: V, «1/12.5 ч"1, 2у, у2 «1/11.1ч"1, 1/14.6 ч"1. Выявленные особенности внутреннего волнения послужили основанием для заключения о том, что в районе эксперимента указанное волнение проявляет нелинейные свойства Анализ взаимодействия нелинейной ВВ с частотой V, и низкочастотного шума с частотой О показал, что в процессе эволюции при достаточно больших амплитудах исходных волн в прибрежной зоне образуются ВВ с частотами 2у, Сопоставление этих выводов с результатами анализа экспериментальных данных указывает на удовлетворительное соответствие между ними.

Спектральный анализ измерений температуры, проведенных осенью 1999, 2003 годах в прибрежной зоне Японского моря, 1995 году на тихоокеанском шельфе Мексики показал, что временной спектр её вариаций в среднем диапазоне частот не плохо аппроксимируется степенной зависимостью л -3

Б^-со с наклоном р=3. Спектр изменчивости температуры с подобным наклоном представлен в работе [16], посвящённой внутренним приливам Калифорнийского залива, а в работе [17] представлен спектр кинетической энергии горизонтального движения в Бискайском и Алжирском заливах. Его наклон тоже оказался близок к р=3. Выявленное поведение натурных спектров находит естественное объяснение в рамках предложенной модели внутреннего волнения конечной амплитуды в мелком море, основанной на уравнении Бюргерса, если предположить, что изменчивость гидрологических параметров: температуры и скорости вызвана, главным образом, полем внутренних волн конечной амплитуды.

Спектральный анализ инструментальных измерений температуры на тихоокеанском шельфе Мексики, полученных осенью 1995 года в высокочастотной области изменчивости выявил ещё одну особенность спектра флук-туаций температуры. Наклон указанного спектра в этой области частотного диапазона оказался близок к р= 1. Это свойство спектра, тоже находит естественное объяснение в рамках предложенной модели. Подобный наклон, как это было показано § 4.4, есть следствие взаимодействия высокочастотных линейных внутренних волн с квазигармонической приливной внутренней волной конечной амплитуды.

Выше изложенное позволяет заключить, что предложенные модели нелинейного внутреннего волнения мелкого моря, основанные на уравнении Бюргерса, вполне адекватно отражает целый ряду характерных особенностей нелинейного внутреннего волнения различных районов Мирового океана.

Подробно все полученные результаты и сделанные на их основе научные выводы перечислены во введении и в конце каждой из глав. По мнению автора, они свидетельствуют о физической содержательности построенных моделей и об их перспективности. Поскольку каждая из моделей удовлетворяет (с упомянутыми выше оговорками) по крайней мере, одному из перечисленных во введении требований (нелинейность, произвольность стратификации и случайность), мы заключаем, что цель настоящей работы в основном достигнута.

Остановимся теперь на недостатках построенных моделей и перспективах дальнейших исследований нелинейного внутреннего волнения.

1. В предложенных моделях не учитывалось влияние течения.

2. Игнорировался класс явлений, связанных с нелинейностью более высокого порядка, чем квадратичная нелинейность.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Новотрясов, Вадим Васильевич, Владивосток

1. Багров H.A. Аналитическое представление последовательности метеорологических полей посредством естественных ортогональных составляющих // Труды ЦИП. 1959, вып. 74. С. 3-24.

2. Белышев А.П., Клеванцов Ю.П., Рожков В.А. Вероятностный анализ морских течений. Л. Гидрометеоиздат 1987. 264с.

3. Богданов К.Т. Приливы Мирового океана. М.: Наука. 1975. 70с.

4. Бунимович Л.А., Василенко В.М., и др. Короткопериодные внутренние волны в верхнем слое океана. Альбом внутренних волн //ответ, редактор Г.И. Баренблат -М.: Институт океанологии им. П.П. Ширшова АН СССР, 1989, 345 с.

5. Василенко В.М., Мирабель А.П. О параметризации вертикальной структуры течений в тропической Атлантике с помощью статистически-ортогональных функций (СОФ) // Океанология, 1976, т. 16, вып. 2. С. 222-228.

6. Василенко В.М., Питебарг Л.И. О применимости модели Гаррета Манка для описания спектра внутренних волн в верхнем слое океана // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1986. Т. 22, № 6. С. 665-668.

7. Гаврилин Б.Л., Мирабель А.П. Методы параметризации вертикальной структуры крупномасштабных океанологических процессов // Океанология, 1973. Т. 13, № 6. С. 1003-1008.

8. Герман В.Х., Левиков С.П. Вероятностный анализ и моделирование колебаний уровня моря. Л.: Гидрометеоиздат 1988. 231с.

9. Гилл А. Динамика атмосферы и океана М. «Мир» T.l 397с. Т.2 415с.

10. Глазунов A.B., Дианский H.A., Дымников В.П. Локализованный и глобальный отклики на аномалию ТПО в средних широтах // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37. № 4. С. 471-483

11. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: «Наука» 1990.215 с.

12. Гурбатов С.Н., Саичев А.И., Якушкин И.Г. Нелинейные волны и одномерная турбулентность в средах без дисперсии // УФН 1983 Т.141 С. 219-255.

13. Голенко H.H., Кольцова Е.В. Вертикальная модовая структура внутренних волн по данным буксируемого термотрала // Океанология, 1985. Т. 25, № 5. С. 756-760.

14. Голубев Ю.Н., Черкесов Ю.В. Исследование вертикальной структуры вариацийтемпературы полусуточного периода с помощью эмпирических ортогональных функций // Океанология, 1985, т. 25, № 4. С. 587-593.

15. Гончаров В.В. О некоторых особенностях внутренних волн в океане. В кн.: Цунами и внутренние волны. Севастополь. Изд-во МГИ АН УССР, 1976. С. 87-96.

16. Драган Я.П. Рожков В.А., Яворский И.Н. Методы вероятностного анализа ритмики океанологических процессов. -Л.: Гидрометеоиздат 1987. 319с.

17. Доценко C.B. Случайные процессы в гидрофизических измерениях. Л.: Гидрометеоиздат 1983. 240с.

18. Дворянинов Г.С., Валентюк P.A. О возможности параметрической неустойчивости в океане и атмосфере // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1989, Т. 25, № U.C. 1173-1186.

19. Долгих Г.И., Новотрясов В.В., Павлова Е.П. Наблюдение прилива Японского моря с помощью лазерного деформографа // Метеорология и гидрология. 1999. N8. С.99-104.

20. Долгих Г.И., Новотрясов В.В. Карнаухов A.A. Деформометрический метод измерения морского прилива в прибрежной зоне Японского моря // Океанология, 2000. Т.40. № 6. С. 942-946.

21. Долгих Г.И., Новотрясов В.В. Низкочастотные литосферные деформации шельфо-вой зоны Японского моря, вызванные внутренними гравитационными волнами // Физика Земли. 1999. Т.35. № 11. С. 85-90

22. Долгих Г.И., Новотрясов В.В. Пермяков М.С. Особенности сверхнизкочастотных деформаций земной коры побережья Японского моря после шторма//Докл. АН 2003. Т.389, № 4.

23. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ. К.: Наукова Думка, 1986. 410 с.

24. Ильичёв В.И., Навроцкий В.В. Генерация внутренних волн и вертикальная структура температура вблизи границы шельфа // Докл. АН СССР 1987. Т. 294. № 1. С.216-220

25. Калиниченко В.А. Лабораторное исследование параметрической неустойчивости в двухслойной жидкости // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана 1986, т. 2. С. 206-210.

26. Калиниченко В.А. Экспериментальные исследования параметрического возбуждения поверхностных и внутренних волн в жидкости. Автореф. на соиск. Учен, степени канд. физ.-мат. наук (01 .02.05) Москва, 1986. С. 1-17 (Инст. проблем механики АН СССР).

27. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М: Наука, 1975. 84 с.

28. Кляцкин В.И. Метод инвариантного погружения в волновых задачах. М.: Наука, 1986. 184 с.

29. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика. Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения. М.: Физматлит, 2001. 250с.

30. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем. Курс лекций. М.: Физматлит, 2002. 180 с.

31. Коган В.Я., Новотрясов В.В. Об акустическом методе исследования модовой структуры внутренних волн // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1990, т. 26, № 4. С. 437-440.

32. Коняев К.В. Спектральный анализ случайных процессов и полей М.: Наука. 1973, 168с.

33. Коняев К.В., Сабинин К.Д. Волны внутри океана Сакт-Петербург, 1992,272с.

34. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд-во "Наука". М., 1974, 831 с.

35. Корчагин H.H., Монин A.C. Мезоокеанология. Москва, 2004, 175 с.

36. Краусс В. Внутренние волны. JL: Гидрометеоиздат, 1968,272 с.

37. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М: Механика. М.: Наука, 1973.103 с.

38. Ле Блон П., Майсек Л. М. Волны в океане. М.: Мир 1981. Т. I, Т. II 682с.

39. Марчук Г.И., Каган Б.А. Внутренние гравитационные волны в реально стратифицированном океане // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1970, т. 6, №4. С. 412-422.

40. Марпл-мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М. Мир. 1990. 584с.

41. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат. 1981. 302 с.

42. Монин A.C., Обухов A.M. Статистические исследования крупномасштабных атмосферных процессов // Динамика крупномасштабных атмосферных процессов. М.:1. Наука. 1965.14 с.

43. Монин A.C., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. М.: Наука. 41. 1965. 42 1967.

44. Монин A.C., Питербарг Л.И. О статистическом описании внутренних волн // ДАН СССР. 1977. Т. 234, № 3. С. 564-567.

45. Морозов В.Г. Генерация внутренних приливов на подводных хребтах // В кн.: Океанологические исследования. М.: Радио и связь. 1988. № 41. С. 55-67.

46. Морозов В.Г. Океанские внутренние волны. М.: Наука, 1985, 151 с.

47. Навроцкий В.В. О вертикальной структуре среднемасштабных колебаний температуры // В кн. Атлантический гидрофизический полигон 70. М.: Наука, 1974 С. 283-304.

48. Навроцкий В.В., Новотрясов В.В. Вертикальная структура внутренних волн: теория и наблюдения // Тр. IV Всесоюз. Конф. «Мировой океан». Владивосток. 1983.

49. Навроцкий В.В, Лазарюк А.Ю., Малышев A.A. Особенности структуры гидрофизических характеристик и внутренних волн вблизи границы шельфа // Докл. АН СССР 1989. Т. 309, № 1. С.187-191.

50. Навроцкий В.В., Новотрясов В.В. Вертикальная структура внутренних волн и эмпирические ортогональные функции. Труды X Всесоюзного симпозиума по дифракции и распространению волн (СДВ-90), Винница, 1990, Т. И. С. 307-311.

51. Навроцкий В.В., Новотрясов В.В. Метод определения модовой структуры внутренних волн с приложением к внутренним приливам // Тр. Межд. Сессии «Волны и вихри в океане и их лабораторные аналоги». Владивосток. 1991.

52. Навроцкий В.В. Взаимодействие внутренних волн и тонкой структуры в океане. -Автореф. на соискание учен. степ. док. физ.-мат. наук (11.00.08)-Владивосток, 1991 с. 43. (Тихоокеанский океанологический институт ДВО РАН)

53. Навроцкий В.В., Новотрясов В.В. О генерации стоячих по вертикали приливных внутренних волн в океане // Тр. Межд. сессии «Мезо и микроструктура океана». СПб. 1992

54. Навроцкий В.В, Изергин В.Л., Павлова Е.П. Генерация внутренних волн вблизи границы шельфа // Докл. АН СССР 2003. Т. 388, № 2. С.249-253.

55. Наугольных К.А., Островский JI.A. Нелинейные волновые процессы в акустике. -М.: Наука. 1990. 236 с.

56. Найфэ А.Х. Методы возмущений. М.: Мир. 1976. 455с.

57. Нестеров А.В. О параметрическом возбуждении внутренних волн в непрерывно стратифицированной жидкости. // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1982, №5, С. 167-171.

58. Новотрясов В.В., Симоненко C.B. Об интерпретации эмпирических ортогональных функций и вертикальной структуры вариаций температуры полусуточного периода. // Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1989, т. 25, № 3, С. 327-330.

59. Новотрясов В.В., Юрасов Г.И. Эмпирические ортогональные функции и вертикальная структура внутренних волн // Океанология . 1991, т.31, вып. 3. С. 395-399.

60. Новотрясов В.В. Дисперсионные зависимости и вертикальная структура поля внутренних гравитационных волн на течении со сдвигом скорости // Океанология, 1991, т. 31, вып. 6. С. 885 -891.

61. Новотрясов В.В. Исследование вертикальной структуры внутренних гравитационных волн в океане Диссертация на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук1100.08) // Владивосток, 1992. 130с. (Архив ДВО РАН).

62. Новотрясов В.В. О вертикальной структуре приливных внутренних волн в океане // Известия РАН. ФАО 1992, том 28, № 12

63. Новотрясов В.В. О голубом смещении частоты инерционных колебаний в океане Океанология 1998, том 38, № 1.

64. Новотрясов В.В. Модель инерционных колебаний с учётом вязкости // Известия РАН. ФАО 1998, том 34, № 5/ С

65. Новотрясов В.В. О спектре нелинейных внутренних волн Кельвина // Доклады АН 2003. Т. 392, № 2. С

66. Новотрясов В.В., Филонов А.Е. О спектре нелинейных внутренних волн в горизонтально неоднородном мелком море// Доклады АН 2005, том 400, № 6,

67. Новотрясов В.В., Ванин Н.С. Низкочастотные внутренние волны в прибрежной зоне Японского моря // Изв. РАН «Физика атмосферы и океана» 2002. Т. 38. № 4. С

68. Новотрясов B.B. О спектре нелинейных внутренних волн Кельвина // Докл. АН 2003, Т. 392, № 2,

69. Новотрясов В.В., Храпченков Ф.Ф. Нелинейные внутренние волны мелкого моря // Доклады X школы-семинар акад. JT.M. Бреховских «Акустика океана» -М.: ГЕОС 2004г. С. 536-540

70. Новотрясов В.В., Ванин Н.С., Карнаухов А. А. Проявление нелинейных свойств у внутренних волн Кельвина в прибрежной зоне Японского моря// Изв. РАН. Физика атмосферы и океана , 2005. Т. 41, № 5

71. Обухов А.М. Статистическое описание непрерывных полей. // Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, № 24(151), 1954. С. 23-40.

72. Обухов А.М. О статистически-ортогональных разложениях эмпирических функций // Изв. АН СССР. Сер. геофиз, 1960, № З.С. 432-439.

73. Океанология. Физика океана. Общие сведения о Мировом океане // под ред. Каменковича В.М, Монина A.C.- М.: Наука, 1978, Т.1.455 с.

74. Океанология. Физика океана. Т. 2, гл. 4. Внутренние волны // под ред. Каменковича В.М., Монина A.C. М.: Наука, 1978, 455 с.

75. Островский JI.A. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане // Океанология. 1978. Т. 18. Вып. 2. С. 181-191.

76. Островский JI.A. Нелинейные внутренние волны в океане // Нелинейные волны -М.: Наука 1979. С. 292-324.

77. Приповерхностный слой океана. Физические процессы и дистанционное зондирование // под ред. В.И. Таланова и E.H. Пелиновского. Н. Новгород, 1999. Т. 2. 348с.

78. Пугачёв B.C. Теория случайных функций и её применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. 619 с.

79. Рабинович М.И, Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 181с.

80. Ростов И.Д, Варлатый Е.П, Новотрясов В.В. Статистические характеристики и пара-метризация изменчивости тонкой структуры по данным многократных зондирований // Деп. ВИНИТИ 12.09.84, № 6628-84, 32с

81. Ростов И.Д., Варлатый Е.П, Новотрясов В .В. Короткопериодная изменчивость тонкой структуры по данным многократных зондирований // В кн.: Измерения иобработка океанологических данных. Владивосток: ДВНЦ АН СССР 1986. С. 105125.

82. Ростов И.Д., Гладышев C.B., Новотрясов В.В. Районирование северо-западной части Тихого океана по профилям частоты Вяйсяля-Брента и оценки значений параметров внутренних волн. //Деп. ВИНИТИ 15.01.88, № 321-В88, 13 с.

83. Ростов И.Д., Гладышев C.B., Новотрясов В.В. Оценки возможных значений параметров внутренних волн для различных типов стратификации вод северозападной части Тихого океана//Морской гидрофиз. журн., 1988, № 4. С. 59-61.

84. Ростов И.Д., Н.И. Рудых, В .В. Новотрясов Электронный атлас гидрофизических характеристик района юго-восточной части полуострова Камчатка // Океанология. 2005. Т. 45. №4, С.717-721

85. Руденко О.В., С.И. Солуян Теоретические основы нелинейной акустики М.: Наука; 1975.287 с.

86. Рутенко А.Н. Внутренние волны в прибрежной зоне Японского моря // Отчет о НИР. Владивосток, ТОЙ ДВНЦ АН СССР, 1986. С. 89-107, № 81067379.

87. Рутенко А.Н. Вертикальная акустико-гидрофизическая антенна «Моллюск97» // Приборы и техника эксперимента, 1998, № 5, С. 141-144

88. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны М. «Наука», 2000, 286с.

89. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику ч. 1 Случайные процессы М. "Наука" 1976. 494с.

90. Рытов С.М., Кравцов Ю.А.,; Татарский В.Н. Введение в статистическую радиофизику ч.Н Случайные поля. -М. "Наука", 1978, 463 с.

91. Сабинин К.Д. Измерение параметров внутренних волн с помощью движущейся системы датчиков, разнесенных в пространстве // Изв. АН СССР, Физ. Атм. и океана. 1971. Т.7, № 5. С. 571-574.

92. Сабинин К.Д., Шулепов В.А. К модели частотного спектра внутренних волн в океане // Изв. АН СССР, Физ. атм. и океана. 1981. Т.17, № 1. С.67-75.

93. Сабинин К.Д. Внутренние волны в океане. В кн.: Акустика океана. Современное состояние. М., 1982. С. 209-226.

94. Сборник научных программ на Фортране.- М.: Статистика, 1975, 354 с.

95. Секерж-Зенкович С.Я. Лабораторное моделирование параметрического возбуждения волн в жидкостях и возможные океанологического приложения. В кн.: Тезисыдокладов II Всесоюзного съезда океанологов. Севастополь, 1982, вып. 2. С. 39-40.

96. Серебрянный А.Н. Внутренние волны в прибрежной зоне приливного моря // Океанология. 1985. Т. 25. Вып. 5. С. 744-751.

97. Серебрянный А.Н. Короткопериодные внутренние волны на шельфе (Экспериментальные исследования) Автореф. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук .(01. 04.12) Севастополь, 1987. С. 1-20 (Морской гидрофизический институт АН УССР).

98. Серебрянный А.Н. Внутренние волны над шельфом и вблизи материкового склона по данным буксируемого распределённого датчика температуры // Океанология. 1987. Т. 27. Вып. 2. С. 225-226.

99. Серебрянный А.Н. Проявление свойств солитонов во внутренних волнах на шельфе // Изв. АН ССР Физика атмосферы и океана. 1993. Т. 29. № 2. С. 244-252.

100. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. IV. М., Физматгиз, 1959, 386с.

101. Чефранов С.Г., Чефранов А.Г. Параметрическое возбуждение внутренних волн и кон-вективная неустойчивость в слое жидкости, нагреваемой сверху // Изв. АН СССР, ФАО. 1983, т. 19, № 7. С. 741-749.

102. Филлипс О.М. Динамика верхнего слоя океана. М.: Мир. 1980. 229 с.

103. Филонов А.Е. Волны цунами на шельфе вблизи западного побережья Мексики (9 октября 1995 г.) // Изв. РАН Физ. атм. и океана. 1999. Т. 35, №3. С. 370-380.

104. Фукс В.Р. Введение в теорию волновых движений в океане. JL: Ленинградский университет. 1982. 200 с.

105. Шулейкин В.В. Физика моря М. «Наука» 1968. 1084с

106. Якубович В.А., Старжинский В.М. Параметрический резонанс в линейных системах М.: Наука, 1987, 328с.

107. Akylas TR. Three-dimensional long water-wave phenomena // Annu. Rev. Fluid Mech., 1994. 26:191-210

108. Apel JR Byrne. HM Proni JR, Charnell RL. Observations of oceanic internal and surface waves from the Earth resources technology satellite // J. Geophys. Res., 1975 80:865-81

109. Apel J.R. and Gonzales F.I., Nonlinear features of internal waves of Baja California as observed from the SEASAT imaging radar // J.Geophys. Res., 1983, vol. 88, No. 7, C7, P. 4459-4466

110. Baines P.G. On internal tide generation models // Deep-Sea Res. 1982. Vol.29, 3A, P. 307

111. Banks W.H.H., Drasin P.O., Zaturska M.B. On the normal modes of parallel flow of inviscid stratified fluid // J. Fluid Mech, 1976, v. 75. P. 149-171.

112. Brink K.H. Coastal-trapped waves and wind-driven currents over the continental shelf // Annu.Rev. Fluid Mech. 1991. V. 23. P. 389-412

113. Briscoe M.G. Preliminary results from the tri-moored internal wave experiment (IWEX) //J. Geophys. Res. 1975, v. 80. P. 3872-3884 .

114. Briscoe M.G. Observations on the energy balance of internal waves during JASIN // Phlos. Trans. R. Soc. London, Ser. A. 1983. VOL 308. P. 427-444.

115. Briscoe M.G. Internal waves in the ocean // Rev. Geophys. Spase Phys., 1975.V01. 13, P. 591-598, 636-645.

116. Briscoe M.G. Gaussianity of internal waves // J. Geophys. Res., 1977, VOL 82, P. 21172126.

117. Brown, B. E. Coral bleaching: Causes and consequences // Coral Reefs, 1997.16, S129-S138.

118. Cairns J.L., Williams G.O. Internal waves observations from a midwater float.2 // J. Geophys. Res., 1976, v. 81 . P. 1943 -1950.

119. Duda T.F., Lynch J.F., Newhall A.E., .et.all Fluctuation of 400-Hz sound intensity in the 2001 ASIAEX South China Sea experiment // IEEEE Journ. Oceanic Engineering. 2004. V. 29. №4. P. 1264-1279.

120. Emery, W.J. and Thomson R.E. Data Analysis Methods in Physical Oceanography, Pergamon, 1997.634 pp.

121. Frankignoul C., Joyce T.M. On the internal waves variability during the internal waves experiment (IWEX) // J. Geophys. Res., 1979, VOL 84, P. 769-776.

122. Filonov, A.E. and K.V. Konyaev, Nonlinear Internal Waves near Mexico's Central Pacific Coast, O.U.Velasco Fuentes et. al. (ads.), Nonlinear Processes in Geophysical Fluid Dynamics, Kluver Academic Publishers, 2003.257-274.

123. Filonov E. A., M.F. Lavin Internal tides in the Northern Gulf of California // J. Geophys. Res, 2003, VOL. 108, NO. C5, 3151. P. 20-1-20-17.

124. Filonov A., Novotraysov V. Features of the nonlinear internal wave spectrum in the coastal zone // Geophysical Res. Lett., 2005. 32, L15602,doi:10.1029/ 2005GL023046

125. Fu LL, Holt B. SEASAT views oceans and sea ice with synthetic aperture radar. // NASA JPL Publ. 1982. 81-120. Calif. Inst. Technol., Pasadena

126. Gardner CS, Greene JM, Kruskal MD, Muira RM. Method for solving the Korte-weg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967 19:1095-97

127. Garret C.J.R., and Munk W.H. Space-time scales of internal waves. // Geophys. Fluid Dyn, 1972. V. 2. P. 225-264.

128. Garret C.J.R., and Munk W.H. Oceanic mixing by breaking internal waves // Deep Sea Res., 1972, v. 19. P. 823-832.

129. Garret C.J.R.,& Munk W.H. Space-time scales of internal waves: A progress report // J. Geophys.Res.,1975, vol. 80, P. 291-297.

130. Garret C.J.R., and Munk W.H. Internal waves in the ocean. //Annu. Rev. Fluid Mech., 1979, v.l l.P. 339-369.

131. Ghil M., Mo K. Intraseasonal oscillations in the global atmosphere. Ptl.: Northen hemisphere and tropics // J. Atmos. Sci. 1991. V. 48. N5. P. 752-779.

132. Gregg M.C., Briscoe M.G. Internal waves, finestrueture, microstrueture and mixing in the ocean // Rev. Geophys. Space Phys., 1979. V. 17. P. 1524-1548.

133. Gill A.E., Clarke A.J. Wind-induced upwelling. Coastal currents and sea-level changes // Deep-Sea Research 1974. V. 21. P. 325-345

134. Grimshaw R. Internal solitary waves // In Advances in Coastal and Oceanographic Engineering, ed. P-LF Liu, pp. 1-30. Singapore: World Sci. 1997. 288 pp.

135. Grimshaw RHJ, Ostrovsky LA, Shrira VI, Stepanyants YA. 1998. Long nonlinear surface and internal gravity waves in a rotating ocean. // Surv. Geophys. 1971 19:289-338

136. Halpern D. Observations of short period internal waves in Massachusetts Bay.// J. Mar. Res. 1971.29:116-32

137. Haury LR, Briscoe MG, Orr MH. Tidally generated internal wave packets in Massachusetts Bay // Nature 1979 278:312-17

138. Helfrich K.R., W.K. Melville Long Nonlinear Internal Waves // Annu. Rev. Fluid Mech. 2006. 38:395-425

139. Hunkins K, Fliegel M. Internal undular surges in Seneca Lake: a natural occurence ofsolitons // J. Geophys. Res. 1973. 78:539-48

140. Holloway, P. E. Internal hydraulic jumps and solitons at a shelf break region on the Australian North West shelf// J. Geophys. Res., 1987 92, 5405-5416.

141. Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T., Barnes B. A nonlinear model of internal tide transformation on Australian Nofth-West Shelf// J. Phys. Ocean. 1997. 27: P. 871-896

142. Holloway P.E., Pelinovsky E., Talipova T. A generalized Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone // J. Geophys. Res. 1999 Vol. 104, No. C8, P. 18,3 33-18350

143. Inall V.E., Shapiro G.I., Sherwin T.J. Mass transport by non-linear internal waves on the Malin Shelf//Cont. Shelf Res, 2001 V. 21. P. 1449-1472

144. Kase R.H, Siedler G. Internal wave kinematics in the upper tropical Atlantic // Deep-SeaRes., 1980, v. 26, Suppl.l.P. 161-189.

145. Karhunen K. Zur spectraltheorie stochasstischer prozesse// Ann. Akad. Sci. Fennicae, ser.A. 1946. V. 1.34.P.3-7

146. Kosambi D.D. Statistics in functions space // J. Indian Math. Soc. 1943. V. 7. № 3. P. 76-88;

147. Knowlton, N, and J. B. C. Jackson The ecology of coral reefs // Marine Community Ecology, M. D. Bertness, S. D. Gaines, and M. E. Hay, Eds, Sinauer Associates, Inc.,, 2001 395^22

148. Leichter, H. L. Stewart, and S. L. Miller Episodic nutrient transport to Florida coral reefs // Limnol. Oceanogr, 2003: 48, 1394- 1407.

149. Leichter, G. Shellenbarger, S. J. Genovese, and S. R. Wing Breaking internal waves on a Florida (USA) coral reef: A plankton pump at work? // Mar. Ecol. Prog. Series, 1998: 166, 83-97.

150. Leichter J. J, Deane G.B, and Stokes M.D. // Spatial and temporal variability of internal wave forcing on a coral reef// J. Phys. Oceanogr, 2005. 35. P. 1945-1962.

151. Levine, M.D, A modification of the Garrett-Munk internal wave spectrum // J. Phys. Oceanogr, 2002.32, P. 166-3181.

152. Loeve M Sur le function aleatoire de second order // Rev. Sci. 1945. V. 84. P. 195-206;

153. Lorentz E.N. Empirical Orthogonal Function and Statistical Weather Prediction // Sci. Rep. No.l. Statistical Forecasting Project. Dept. of Meteorology 1956 49 pp.

154. MacKinnon, J. A., and M. C. Gregg Mixing on the latesummer New England shelf— Solibores, shear, and stratification//J. Phys. Oceanogr., 2003.33, 1476-1492.

155. Manton M.J. Mysak L.M. R.J. Mcgorman The difraction of internal waves by a semiinfinite barrier // J. Fluid Mech. 1970, vol. 43, part 1, pp. 165-176.

156. Mihaly, S.F., R.E. Thomson, and A.B. Rabinovich, Evidence for non-linear interaction between internal waves of inertial and semidiurnal frequency // Geophys. Res. Lett., 1998. 25, 1205-1208,

157. Miles JW. Korteweg-de Vries equation modified by viscosity // Phys. Fluids 1976. 19:1063

158. Miles JW. Solitary waves // Annu. Rev. Fluid Mech. 1980. 12:11-43

159. Munk W. Internal waves and small-scale procasses // Evolution of Physical oceanography / Ed. by B.A. Warren, C. Wunch Cambridge MIT, MT. 1981. P. 264-291.

160. Muller P., Olbers D.J., Wiliebrand J. The IWEX spectrum // J. Geophys. Res., 1978, VI. 83. P.479-500.

161. Navrotsky V.V., Novotraysov Inertial motions and internal waves in the ocean frontal zone // International conference "OCEANIC FRONTS AND RELATED PHENOMENA" Russia, St. Petersburg, 18-22 May, 1998 P. 367-370

162. Novotryasov V.V., Navrotsky V.V. Method of Internal Waves Modal Structure Determination with Application to Internal Tides // Waves and Vortices in the Ocean and Their Laboratory Analogues International Session. Vladivostok, 1991. p.51 .

163. Novotryasov V.V., Navrotsty V.V. On the generation of vertical standing tidal internal waves in the ocean // "Mezo-and Micro Sructure of the Ocean Megement and Model of Proseces". International Session. S.-Peterbyrg, 1992. p.34.

164. Novotraysov Vadim V. Strong turbulence of internal nonlinear Kelvin waves // IUGG 2003, Sapporo Japan, June 30 July 11,2003, B.l 17.

165. Novotraysov V. A. Filonov On the nonlinear internal wave spectrum in the coastal zone // International conference "FLUXES AND STUCTURES IN FLUIDS" Selected Papers Moscow 2006 P. 248-254

166. North G.R. Empirical Ortogonal Function and Normal Modes // J. Atmospheric. Sciences, 1984, v. 41, No. 5, March. P. 879-887.

167. Gibers D.J. Models of the oceanic internal wave field // Review Geophys. Space Phys., 1983, v. 21, No. 7. P.1575-1623.

168. Orlansky I. Trapere instability as a source of internal gravity waves. Pt. 1 . // J. Atmos. Sci., 1973, v. 30, No. 6. P. 1007-1016.

169. Osborne AR, Burch TL. Internal solitons in the Andaman Sea // Science 1980. 208:45160

170. Ostrovsky LA, Stepanyants YA. Do internal solitons exist in the ocean? // Rev.Geophys. 1989.27:293-310

171. Pineda, J. Predictable upwelling and the shoreward transport of planktonic larvae by internal tidal bores // Science 1991 253, 548-551.

172. Perry RB, Schimke GR. Large amplitude internal waves observed off the north-west coast of Sumatra// J. Geophys. Res. 1965 70:2319-24

173. Peters H. The kinematics of a stochastic field of internal waves modified by a mean shear current // Deep-Sea Res., 1983, V. 30, NO. 2A. P. 119-148.

174. Peters H. Dispersion curves and modes of high frequency internal waves during JASIN'78 // Jasin News. 1980, v.18. P.l-3.

175. Pinkel R. Upper ocean internal waves observation from Plip // J. Geophys. Res., 1975, v. 80. P. 3892-3910.

176. Reznik G.V., Grimshaw R Nonlinear geostrophic adjustment in the presence of a boundary // J. Fluid Mech. 2002, vol. 471, P. 257-283.

177. SEACAT SBE-16, SBE-19 (Conductivity and temperature recorder. Operating manual), SEA-BIRD ELECTRONICS, INC., Washington 98005, USA. 1995. 47 pp.

178. Sandstrom, H., and J. A. Elliott Internal tide and solitons on the Scotian shelf: A nutrient pump at work // J. Geophys. Res., 1984 89, 6415-6426

179. Sanford T.E. Observations of the vertical structure of internal waves // J. Geophys. Res., 1975. v. 80. P. 3861-3871.

180. Thorpe, S.A., The excitation, dissipation, and interaction of internal waves in the ocean //J. Gophys. Res., 1975. 80, 328-338.

181. Thorpe, S.A., On internal waves groups // J. Phys. Oseanogr., 1999. 29, 1085-1095.

182. Vautard R., Ghil M. Singualr spectrum analysis in nonlinear dynamics with application to paleoclimatic time series // Phisica D. 1989. V. 35. P. 752-779.

183. Vlasenko, V., and K. Hutter Numerical experiments on the breaking of solitary in-ternal waves over a slope-shelf topography // J. Phys. Ocean. 2002. 32. P. 1779-1793

184. Webster P. Estimates of the coherence of ocean currents over vertical distances // Deep-SeaRes., 1972, v. 19. P. 45-44.

185. White W.B. Doppler shift in the frequency of inertial waves observed in moored spectra //Deep- Sea Research. 1972. Vol.19. P. 595-600.

186. Wolanski, E., and G. L. Pickard Upwelling by internal tides and Kelvin waves at the continental shelf break on the Great Barrier Reef. // Aust. J. Mar. Res., 1983.34,65-80.

187. Wolanski, E., and W. H. Hamner Topographically controlled fronts in the ocean and their biological influence// Science 1988. 241, 177-181.

188. Wolanski, E., and B. Delesalle Upwelling by internal waves, Tahiti, French Polynesia // Cont. Shelf Res., 1995.15,357-368.

189. Wolanski, E., and E. Deleersnijder Island-generated internal waves at Scott Reef, Western Australia// Cont. Shelf Res., 1998.18. 1649-1666.

190. Wunsch, C., Geographical variability of internal waves field: a search for sources and sinks // J. Phys. Oseanogr. 1976. 6,471-485.

191. Ziegenbein J. Short internal waves in the Strait of Gibraltar. // Deep Sea Res. 1969. 16:479-87

192. Ziegenbein J. Spatial observations of short internal waves in the Strait of Gibraltar.// Deep Sea Res. 1970. 17:867-75

193. Zhou, X., R. Grimshaw, The Effect of variable currents on internal solitary waves // Dyn. Atmos. Oceans. 1989.14,17-39,.