Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне

Куркин, Андрей Александрович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне
ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне"

На правах рукописи

КУРКИН АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

НЕЛИНЕЙНАЯ И НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИНАМИКА ДЛИННЫХ ВОЛН В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

25.00.28 - Океанология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2005

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, E.H. Пелиновский

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, Е.Г. Морозов (Институт Океанологии РАН, Москва)

Доктор физико-математических наук, профессор, Л.Б. Чубаров (Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск) Доктор физико-математических наук, М.А. Носов

(Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва)

Ведущая организация - Институт водных проблем РАН

Защита состоится « 3 ,> НОЗор ^ 2005 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.239.62 при институте Океанологии им. П.П. Ширшова РАН по адресу: 117997, г. Москва, Нахимовский пр., 36

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Океанологии

РАН

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат географических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и цели исследования

Исследование длинноволновых процессов в прибрежной зоне океана необходимо для решения важных геофизических задач прогноза морских природных катастроф (в частности, цунами и, так называемых, волн-убийц), оценки перестройки прибрежного и донного рельефа, объяснения структуры и изменчивости вдольбереговых течений, выбора оптимальных морских путей, расчета динамики загрязняющих веществ. В диссертации основное внимание уделено нестационарной и нелинейной динамики волн цунами, краевых, захваченных и внутренних волн с приложениями к прогнозу морских природных катастроф.

Прогноз цунами невозможен без широкого применения численных методов расчета распространения волн цунами. Они применяются для описания уже прошедших цунами и направлены, в первую очередь, на проверку механизма генерации волн цунами сейсмическими и оползневыми источниками. Это очень важно для развития системы оперативного оповещения о цунами (службы цунами), поскольку позволяют оценить опасность цунами сразу по характеристикам только что прошедшего сейсмического события. Многие события удается достаточно хорошо промоделировать, в том числе практически сразу после события, обладая минимальной информацией о параметрах землетрясения. В качестве примера укажем на Шикотанское цунами 5 октября 1994 г., которое были промоделировано непосредственно после землетрясения, и результаты этих расчетов подтвердились затем в ходе экспедиционного обследования (Иващен-ко и др., 1996; Поплавский и др., 1997). Качественно расчеты последнего разрушительного цунами, случившегося 26 декабря 2004 г. в Индийском океане, выполненные с участием автора [7], находятся в согласии с наблюдаемыми данными. Тем не менее, проблема сейсмического источника является достаточно трудной, и в последнее время распространенным становится мнение, что землетрясение играет роль триггера, инициирующее оползневые явления на подводном склоне, которые и ответственны за генерацию волн цунами (Уа1стег е1 а1, 2003). Другой важной задачей приложения численных методов является определение оптимальных условий расположения датчиков гидрофизической подсистемы оповещения о цунами, развиваемой для Тихоокеанского побережья России (Поплавский и др., 1988; Поплавский и др., 1997) и ускорения оперативного прогноза характеристик цунами в различных пунктах побережья с учетом данных уровневых станций (Королев, 2004). Третьей важной задачей является долгосрочный прогноз цунами, особенно для пунктов, слабо обеспеченных данными наблюдений. Здесь обычно задача сводится к вычислению возможных высот волн в различных пунктах побережья от возможных источников в основной сейсмической зоне (Пелиновский, 1982; Шокин и др., 1988). Такой подход оказался эффективным для разработки схемы цунами районирования Тихоокеанского побережья России (Го и др., 1988). К сожалению, для многих морей, включая все российские моря, не удается схематизировать обобщенный очаг цунами, так что расчет любого сценария развития цунами имеет академический

РОС НАЦИОНЛ»;; БИБЛИОТЕКА

характер. Для таких ситуаций сейчас с участием автора активно разрабатывается метод оценки цунами - риска потенциала побережья, основанный на статистическом анализе многих сценариев развития цунами.

Наиболее сильное влияние на крупномасштабные движения в прибрежной зоне океана оказывают захваченные волны. Имеются многочисленные данные наблюдений реальных цунами, например, Камчатского цунами 4 октября 1952 г. (Ishi и Abe, 1980) и цунами 25 апреля 1992 г. с эпицентром около мыса Мендосино (Западное побережье США) (Gonzalez et al., 1995), интенсивность и поведение которых в прибрежной зоне океана нельзя объяснить без привлечения теории захваченных волн С их помощью легко объясняется также неравномерность изменения высоты волны цунами вдоль побережья (Шокин и др., 1988; Пелиновский, 1996). В целом, примерно до 70% волновой энергии цунами распространяется вдоль Курильских островов в виде захваченных волн (Файн и др., 1983).

' Вблизи берега на захваченные волны приходится 95 - 98% энергии, которая может передаваться вдоль берега на большие расстояния без существенных потерь. До сих пор остается открытым вопрос о причине гораздо более высокой энергонасыщенности захваченных волн по сравнению с волнами открытого океана, несмотря на то обстоятельство, что область захвата волн, как правило, занимает лишь 5 - 10% площади океана (Münk et al., 1964). Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Коротко-масштабные краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как формирование структуры линии берега и его рельефа, процессы, связанные с морфологией дна в прибрежной зоне и др. (Jle Блон и Майсек, 1981; Рабинович, 1993; Komar, 1998; Masselink et al., 2004). В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих их существование в волновом поле в прибрежной зоне океана (см., например, (Huntley and Bowen, 1973; Bryan et al., 1998)). Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии (Tang and Grimshaw, 1995).

В последнее время пристальное внимание привлекают также другие виды крупномасштабных захваченных волн: волны Кельвина, шельфовые волны, топографические волны Россби и пр., которые доминируют в зоне шельфа - континентального склона в экваториальной зоне, а также вблизи фронтальных разрезов (Физика океана, 1978; Jle Блон и Майсек, 1981; Ефимов и др., 1985; Мо-нин и Красицкий; 1985). Наблюдения последних лет показали, что эти волны оказывают существенное влияние на разнообразные процессы в океане. Например, такие разнородные явления, как топографические вихри, меандрирование пограничных течений (Гольфстрима и др.), апвеллинг (подъем на поверхность холодных масс воды вблизи берега), перенос донных материалов, тесно связаны с захваченными волнами (Физика океана, 1978; Ле Блон и Майсек, 1981; Ефимов и др., 1985). Кроме того, они участвуют в формировании океанской циркуляции, приливов, штормовых нагонов, цунами и даже влияют на погоду и климат морей и океанов (см., например, (Ефимов и др., 1985; Рабинович, 1993)).

При изучении различных проблем волновой динамики океана необходимо также рассмотреть так называемые планетарные вихри и волны, носящие имя К.Г. Россби, показавшего их фундаментальную роль в процессах глобальной циркуляции атмосферы (Rossby, 1940, 1948). Представление о важной роли волн Россби в жизни океана детализировано сравнительно недавно. Выяснилось, что существенная для многих приложений, (например, для мореплавания, рыболовства или гидроакустики) конкретная океанографическая «погода» определяется именно волнами Россби и тесно связанными с ними, сугубо нелинейными индивидуальными образованиями в виде синоптических вихрей.

Еще одним интересным объектом нелинейных волновых движений в прибрежной зоне океана являются внутренние волны, существующие в океане благодаря его раслоенности по температуре, солености и течению. Такие волны влияют на движение подводных аппаратов, распространение акустических сигналов, размывы грунта под нефтяными и газовыми платформами. Внутренние волны наблюдаются также во многих озерах. Наблюдения внутренних волн суммированы в ряде книг (Краусс, 1968; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин и Коняев, 1991; Imberger, 1998). Внутренние волны хорошо воспроизводятся в лабораторных условиях (см., например, (Степанянц и др., 1987; Кис-тович и Чашечкин, 1990; Стурова, 2001; Миткин и Чашечкин, 2000; Мотыгин и Стурова, 2002)). Нелинейные внутренние волны, в частности солитоны большой амплитуды, активно обсуждаются в литературе (Ostrovsky and Stepanyants, 1989; Grue et al., 2000; Holloway et al, 2001; Maderich et al., 2001).

Из всего выше сказанного становится ясной актуальность развития гидродинамической теории для описания нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне.

Линейная теория длинных волн представляет собой достаточно хорошо разработанный и устоявшийся раздел теории волн в океане (Физика океана, 1978; Jle Блон и Майсек, 1981; Ефимов, 1985; Рабинович, 1993; Миропольский, 1981; Морозов, 1985; Сабинин и Коняев, 1991; Пелиновский, 1996), однако, нелинейные аспекты теории, особенно захваченных волн, изучены еще недостаточно. Имеющиеся трудности связаны с тем, что при изучении данного класса волн, океан проявляет себя как существенно неоднородная, а, с учетом вращения Земли, и неизотропная среда. Сейчас считается, что короткомасштабные краевые волны генерируются случайными ветровыми волнами из-за сильной нелинейности поля ветровых волн - механизм параметрической генерации и/или нелинейного детектирования (Guza and Davis, 1974; Foda and Mei, 1981; Agnon and Mei, 1988; Miles, 1990; Blondeaux and Vitton, 1995). В работе (Fredsoe and Deigaard, 1992) подчеркнуто, что до настоящего времени нет никаких количественных моделей, описывающих эволюцию берега под действием краевых волн. Следует также отметить, что большинство теоретических работ, посвященных изучению краевых волн, рассматривают бассейны с цилиндрической геометрией дна, т.е. случай, когда глубина жидкости является только функцией поперечной к берегу координаты. Реальная же ситуация более сложная, так как нужно учитывать двумерную изменчивость глубины жидкости и этому посвя-

щено только несколько работ. Например, в работе (Stoker and Johnson, 1991) изучается захват и рассеяние топографических волн устьями рек и мысами, а, недавно, в работе (Baquerizo et al., 2002) было рассмотрено рассеяние краевых волн проницаемыми прибрежными структурами, которые расположены перпендикулярно к береговой линии. Кроме того, в работах (Chen and Guza, 1998, 1999) изучено резонансное рассеяние прогрессивных краевых волн вдольбере-говой периодической топографией. При изучении нелинейных внутренних волн в настоящее время используется несколько направлений Первое из них использует уравнение Кортевега - де Вриза (Benney, 1966), которое, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости. Затем, была учтена трехмерность волновых движений (Леонов, 1976) и сила Кориолиса, обусловленная вращением Земли (Островский, 1978; Grimshaw, 1985). В это же время было получено обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины (Пелиновский и Шаврацкий, 1977; Djordjevich and Redekopp, 1978). В последние десять лет активизировались работы по получению расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной и/или многослойной стратификацией (Lamb and Yan, 1996; Тапипова и др., 1999; Пелиновский и др., 2000; Holloway et al., 1999, 2001; Grimshaw et al., 2002).

Исходя из всего выше сказанного, основной целью диссертации выбрано изучение нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне с приложениями к прогнозу морских природных катастроф. В качестве первой цели выбрана разработка метода оценки цунами - риска потенциала побережья, основанного на статистическом анализе многих сценариев развития цунами. Второй целью диссертации является исследование нелинейной и нестационарной динамики захваченных волн, волн Россби и внутренних волн, приводящей к формированию аномально больших волн типа волн-убийц, хорошо известных для ветровых волн.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

2. Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет исследовать сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для выделения зон с разным уровнем цунами риска в Японском, Черном и Карибском морях.

3. Развита теория генерации волн цунами движущимися источниками. Получен ряд аналитических решений линейной теории мелкой воды и нелинейно-дисперсионной теории, демонстрирующие роль нелинейности, дисперсии и резонанса в генерацию волн на воде. Показано, в частности, что для волн цунами возможен эффект «волн-убийц», связанный с дисперсионной фокусировкой волновых пакетов. Выполнены численные расчеты генерации длинных волн при прохождении циклона «Лили» в Карибском море в 2002 г.

4. Выполнено численное моделирование ряда исторических цунами в Карибском и Черном морях, а также катастрофического цунами в Индийском океане, возникшего после сильнейшего землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия). Рассчитаны диаграмма направленности волн цунами и распределение высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов сопоставлены с данными наблюдений.

5. Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых типов подводного рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды - «краевых волн-убийц». Исследован процесс перестройки поля краевых волн при условии медленной вдольбереговой изменчивости подводного рельефа в рамках асимптотического подхода.

6. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Показано, что волны любой моды являются модуля-ционно неустойчивыми. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), и она находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

7. Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде при произвольной высоте неровностей. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа.

8. Показана возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова - Чарни аналитически и численно. Дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, при-

водящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби.

9. Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболо-идном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн.

10. Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью гамильтонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее.

11. Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега -де Вриза и уравнению Гарднера. Впервые показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится исчезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.

12. Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега - де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна при постоянном параметре Кориолиса.

13 Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега - де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры.

14. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации со-литона, полученные в рамках асимптотических формул.

15. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия; генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения; модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде. Ранее второй и четвертый механизмы не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

Практическая значимость результатов работы

Результаты диссертационной работы использовались в следующих исследовательских проектах, выполненных под научным руководством автора диссертации:

• «Нелинейные взаимодействия захваченных волн во вращающемся океане произвольного рельефа дна» (РФФИ № 00-05-64922), 2000 - 2002 гг.

• «Нелинейная динамика захваченных волн в прибрежной зоне» (Минобразо-вание России № А03-2.13-401), 2003 г.

• «Нестационарная динамика краевых волн в океане переменной глубины» (Минобразование России № А04-2.13-388), 2004 г.

• «Extreme waves» (INTAS 99-1637), 2000 - 2002 гг.

а также в следующем проекте, выполняемом в настоящее время

• «Нелинейная эволюция захваченных волн в шельфовой зоне океана» (РФФИ № 03-05-64975), 2003 - 2005 гг.

Их практическая значимость заключается в следующем:

• разработанный модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI», позволяет не только уменьшить время счета, но и существенно упростить процесс обработки полученной в результате этого информации о моделируемом цунами;

• предложенный метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря может быть использован при изучении сравнительной защищенности различных участков побережья. Сделанные оценки для Японского и Черного морей могут быть использованы в экспертной системе оценки риска цунами, разрабатываемых для этих регионов;

цировать процессы перераспределения наносов в прибрежной зоне, а также приводить к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне.

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 41] и докладывались на следующих международных конференциях: Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1999; Ницца, Франция, 2000 - 2004; Вена, Австрия, 2005); Международной конференции «Потоки и структуры в жидкости» (Санкт Петербург, Россия, 1999, 2003; Москва, Россия, 2001, 2005); Двенадцатой зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, Россия, 1999; Международной конференции ПРО-ТЭК'99, Москва, Россия, 1999; Международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности», Москва, Россия, 2000; Международных летних школах «Современные проблемы механики», Санкт Петербург, Россия, 2000 - 2005; Международной конференции «Взаимодействие структур жидкости», Халкидики, Греция, 2001; Международном симпозиуме по длинным волнам, Тессапоники, Греция, 2003; Конференции международного союза по геодезии и геофизики (11ЮО), Саппоро, Япония, 2003; Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Н. Новгород, Россия, 2003; Международном симпозиуме по наукам об океане, Портланд, США, 2004; Совместной ассамблеи геофизических обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н. Новгород, Россия, 2004, 2005; Двадцать первом международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (1СТАМ04), Варшава, Польша, 2004; Шестом международном симпозиуме по прибрежной механике, Владивосток, Россия, 2004; Второй межведомственной конференции «Проявление глубинных процессов на морской поверхности», Н. Новгород, Россия, 2005.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах Нижегородского государственного университета, Института прикладной физики РАН, Нижегородского государственного технического университета, Института океанологии РАН, научных школ академика РАН В.И. Таланова и член-корреспондента РАН Б.В. Левина.

Личный вклад автора

Автор принимал активное участие на всех этапах работы: обсуждение тематики, постановка задач исследований и их решение, а также практические приложения Автором проведено большинство аналитических исследований и численных экспериментов представленных в диссертации. Автору принадлежит основной вклад в исследовании динамики краевых волн в прибрежной зоне океана, образования волн большой амплитуды в случайных полях, динамики топографических волн Россби и шельфовых волн, а также в численной реализации модифицированного вычислительного комплекса «ЦУНАМИ», используемого в дальнейшем для оценки рисков, связанных с цунами.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, где приведены основные результаты работы, списка литературы и изложена на 381 странице. Список литературы содержит 393 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении представлено современное состояние исследований по теме диссертации и обоснована ее актуальность, сформулированы цели работы и основные положения, выносимые на защиту, отмечена новизна полученных результатов, кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава посвящена использованию численного моделирования волн цунами для долгосрочного прогноза цунами, особенно для пунктов, слабо обеспеченных данными наблюдений. Здесь обычно источник цунами предполагается заданным (т.н. обобщенный очаг), и задача сводится к вычислению возможных высот волн в различных пунктах побережья (Пелиновский, 1982; Шо-кин и др., 1988). Поскольку, для многих морей, включая все российские моря, не удается схематизировать обобщенный очаг цунами, подобный использованному при разработке схемы цунами районирования Тихоокеанского побережья России (Го и др., 1988), то расчет любого сценария развития цунами имеет академический характер Для таких ситуаций сейчас активно разрабатывается метод оценки цунами - риска потенциала побережья, основанный на статистическом анализе многих сценариев развития цунами. Он использован в данной главе для оценки цунами потенциала Японского, Черного и Карибского морей.

В параграфе 1.1 дан краткий обзор существующих методов оценки цунами риска и изложен развиваемый сейчас с нашим участием подход к оценке цунами потенциала. В этом же параграфе описан разработанный модифицированный вычислительный комплекс «Цунами», позволяющий не только уменьшить время счета, но и существенно упростить процесс обработки полученной в результате этого информации о моделируемом цунами. Этот комплекс использован при получении большинства результатов этой главы. При расчетах волн цунами на небольших акваториях в нем используется классическая нелинейная теория мелкой воды

т 5 (мХЦму^^мЯ^т^ (1)

гЛ о ; дх ю2

31 их О

я, я- п я., п 6 а. щг '

5/ дх\ И ) ду{ £>

ду 2£>

(2)

? + £ + (3)

дх ду

где г| - смещение водной поверхности; < - время; х и у - горизонтальные координаты; М и N - компоненты расхода воды вдоль осей х и у; £> = Ых, у) + г) -полная глубина, а Л(х, у) - невозмущенная глубина воды; g - гравитационная постоянная; к - коэффициент турбулентного трения о дно (в расчетах были ис-

пользованы два значения- 0 или 0.0025. последнее значение типично для длинных волн) Имея в виду малые размеры расчетной области, сила Кориолиса и сферичность Земли не учитывается. Не учитываются также приливы и ветровые нагоны, поскольку их временные масштабы отличаются от характерных периодов цунами.

Для расчета волн цунами на больших акваториях необходимо учитывать как сферичность Земли, так и силу Кориолиса. В этом случае используемая

система уравнений мелкой воды принимает вид

дМ 1 д

- +

д( ЯсозОЗЯ.

М2) 1 д[Ш сове4} 8В дп л, ----1 ----- 1 + --1- = /Ы, (4)

£> I ДсовеМ £> I ЯсоввдХ

1 д(М!1_д_

5/ ЯсоБЭдН О ) /?сове 50

И2 совО ] gDдr\

5/ ЛсобО

дМ д / ч

-+ —(Л^совв)

дк 50 '

, + ---= ~/М, (5)

о ) /г ав = 0, (6)

где в и Х - широта и долгота, соответственно; Л - радиус Земти,/- параметр Кориолиса (/-2со вшб) и о - частота вращения Земли

Источник (очаг) цунами моделируется соответствующими начальными условиями. В расчетах используются два типа очага. Первый из них - так называемый гидродинамический очаг, который представляет изменение уровня моря в начальный момент времени

т\(х,у,1 = 0) = По(^У), и(х,у,1 = 0) = у(х,у,1 = 0) = 0. Второй очаг представляет собой так называемый сейсмический очаг, его параметры определяются характеристиками сейсмического процесса, такими как протяженность разлома, наклоны плоскости разлома, сейсмический момент. Начальное смещение водной поверхности рассчитывается при этом по формулам Окас1а (1985).

В параграфе 1.2 приводятся результаты моделирования цунами 1867 г. на Виргинских островах в Карибском море, хорошо обеспеченного натурными данными на достаточно большой акватории (фактически, на всех Малых Антильских островах и Пуэрто-Рико). Эпицентр землетрясения взят с координатами 18°с.ш. 65°з.д.; поверхностная магнитуда цунамигенного землетрясения выбрана равной 7.5, а глубина залегания фокуса менее 30 км. Длина разлома коры земной поверхности составляет 120 км при ширине разлома 30 км. При моделировании этого исторического цунами рассмотрено несколько всевозможных расположений источника. Согласно апс! ТаЬег, 1920), первая подвижка расположена (5)) по параллели перпендикулярно широте. Другие три источника (5|, 52, 53) расположены под углами 15, 20, 25 соответственно градусов относительно географической параллели, близко к впадине Анегада Пассаж, около её наклонной плоскости. В качестве источника цунами выбран сейсмический очаг (рис. 1) Проведенное моделирование показало, что в среднем его результаты очень хорошо удовлетворяют данным наблюдения (рис. 2). Кроме то-

го, удалось продемонстрировать, что ориентация подвижки в очаге существенно влияет на диаграмму направленности волн цунами (рис. 3).

* ^жны« наблюдений * *

■ И »

• I) * 4

А •

♦

Сои X'ом '¡Ьу^о. Спита 1ояас'

Л«°" Ьос Г.р I (41 , Со-лоРм Гранааняы с-""

Рис. 1. Начальное смещение Рис. 2. Сравнение распределения макси-уровня моря для события 1867 г. мальных амплитуд для наблюденных и

расчетных данных

280

290

Рис. 3. Распределение максимальных амплитуд во время прохождения ьолны цунами для всех источников (по осям отложена долгота и широта)

Оценка цунами потенциала Карибского моря проводится в параграфе 1.3

на основании численных расчетов возможных событий, в том числе, и с использованием результатов параграфа 1.2. В этом параграфе кратко представлена историческая информация о сильных цунами в Карибском море, а также изучена важная проблема выбора очагов возможных цунами. При моделировании использовано общее число очагов равное 121, что позволило выполнить расчет большого числа сценариев возможных

Рис. 4. Географическое положение юн с низким цунами риском (звездочки) в Карибском море

цунами, в том числе, 19 исторических, которые использованы в качестве репер-ных точек для анализа. Результаты численного моделирования помогли выделить зоны слабого риска цунами в Карибском море (рис. 4).

Параграф 1.4 посвящен изучению цунами опасности российского побережья Японского моря. При моделировании были использованы 28 сейсмических источников: 4 исторических и 24 гипотетических, их положение показано на рис. 5а, а также 76 гидродинамических очагов, покрывающих однородно цу-намигенную зону с интервалом в 30 угловых минут (рис. 56). В данном случае в качестве гидродинамического очага использовался простой гидродинамический источник конической формы с максимальной высотой 4 м и глубиной 1 м и

диаметром 36 км. Проведенные расчеты показали, что распределения высот волн вдоль побережья определяются главным образом батиметрией прибрежной зоны и фактически не зависят от местоположения и характеристик очагов цунами. Результаты расчетов, сопоставленные с историческими данными о Рис. 5. Положение очагов цунами: сейсмиче- цунами в Приморье и на Са-ских (а) и гидродинамических (б) халине, подтвердили, что цу-

намиопасность Приморья выше, чем Сахалина, причем наиболее опасной зоной на Сахалине является его южная часть (Холмск - Невельск), а в Приморье - его центральная часть. Однако, и в ней обнаружены зоны слабого проявления цунами (в районе б. Ольги), подтверждаемые историческими данными (рис. 6). I

I л ргфй '/ ^

' га»

(У -а.-

иоШШж

1 !И

(игз'оъ"»"'-« ь ь1

64» иX «»I

вчва чо/ 1 > » ь «с«о/

А И

Рис. 6. Сопоставление рассчитанных распределений высот цунами на побережье Приморья с наблюдаемыми данными

поверхности ММ

42-,

'СН

Рис. 7. Начальная волна и моментальные снимки волны цунами в различные моменты времени (/ - 30,60 и 90 мин) Анапского цунами 1966 г.

В параграфе 1.5 дана сводка известных цунами в Черном море, а также выполнены расчеты исторических и гипотетических событий. В качестве примера, приведены результаты моделирования наиболее хорошо документированного события 1966 г. На рис. 7 показаны моментальные (при / = 30, 60 и 90 мин) снимки распространения волны цунами, полученные по результатам численного моделирования.

Сравнение численных и инструментальных записей, полученных на марео-графных станциях (Геленджик, Туапсе, Керчь и Феодосия) показано на рис. 8. Вычисленные времена прихода волны хорошо согласуются с инструментальными. Имеется определенная корреляция и в высотах волн.

Для оценки цунами потенциала российского побережья Черного моря в этом параграфе был использован гидродинамический очаг, который представляет собой в сечении окружность диаметра 65 км с высотой в очаге 3 м и впадиной на периферии 1 м. Источники цунами равномерно распределены в акватории Черного моря с шагом 60 км по долготе и широте. Всего рассмотрено 45 сценариев распространения цунами. Каждый случай отдельно моделировался на

Рис. 8. Сравнение инструментальных (слева) и численных (справа) записей Анапского цунами 1966 г. в различных пунктах

Рис. 9. Распределения высот волн от всех очагов (нормированные на //и.,)

время 5 ч, пока цунами не охватывало всей акватории Черного моря. В результате расчетов получено распределение высот волн вдоль российского побере-

жья Черного моря от 42°с.ш. до 45°с.ш. (рис. 9), согласно которому практически все российское побережье находится в одинаковых условиях по отношению к цунами, приходящим из акватории Черного моря. Небольшое локальное повышение заметно для Анапы, Новороссийска, Геленджика, Сочи и ряда других пунктов, что соответствует историческим данным. Однако, если цунами будет более сильным, оно проявится в большинстве пунктов Российского побережья При этом неважно, как удален источник цунами от нашего побережья (это влияет только на общую амплитуду цунами).

Описание Нижегородского события 1597 г, когда оползень с высокого берега реки Волга вызвал в ней «бугры великие», как это описано в летописи, содержится в параграфе 1.6. Выполнены расчеты этого события, подтвердившие локальность проявления цунами.

В параграфе 1.7 описываются механизмы генерации волн цунами, включая метеоцунами, движущимися источниками (циклонами, оползнями), где еще нет такой ясности, как для сейсмических цунами. В данном разделе с помощью теории мелкой воды исследуются резонансные эффекты генерации цунами, движущимися атмосферными возмущениями, которые приводят к появлению аномально больших волн. Подробные вычисления сделаны для одномерного случая, когда все аналитические выражения могут быть получены в явной форме. Кроме этого, здесь рассмотрена нелинейно-дисперсионная модель резонансной генерации волны цунами в рамках вынужденного уравнения Кортевега - де Вриза, впервые выведенном в работе (Akylas, 1984). В частности, изучена генерация солитонов движущимися источниками и показано, что существует большое множество сценариев волновой динамики, зависящих от скорости и знака атмосферного возмущения. Установлено, что амплитуда волны в процессе взаимодействия может увеличиваться в два и более раз. Исследован также эффект фокусировки нелинейных дисперсионных волновых пакетов. Подобные I

решения важны для интерпретации натурных данных и результатов численного моделирования. Выполнены расчеты генерации длинных волн в океане при прохождении циклона «Лили» в Карибском море в 2002 г. Кроме toi о, в этом параграфе рассмотрена генерация длинных волн подводным оползнем вблизи Геленджика (Черное море), что может рассматриваться как моделирование исторического события 1909 г. Имеющейся информации пока недостаточно, для того чтобы точно определить параметры оползней, приведших к цунами, поэтому, проведенные расчеты носят во многом модельный характер, однако, они подтверждают, что ряд локальных цунами в Черном море вполне мог быть вызван подводными оползнями.

Результаты численного моделирования крупнейшего цунами в Индийском океане, 26 декабря 2004 г около о-ва Суматра (Индонезия) содержатся в параграфе 1.8. Источником цунами оказалось сильнейшее землетрясение с эпицентром (3.298°с.ш., 95.779°в.д.) около северной оконечности о-ва Суматры, с магнитудой М, равной 9 баллов по шкале Рихтера. Для моделирования распространения Цунами в открытом океане была использована система уравнений мелкой воды на сферической Земле с учетом силы Кориолиса (4) - (6). Модели-

рование распространения цунами в прибрежной зоне проводится в рамках системы мелкой воды в декартовых координатах с учетом турбулентного трения о дно (влиянием силы Кориолиса пренебрегаем) (1) - (3). Качественно результаты расчетов находятся в согласии с имеющимися данными наблюдений, которые сейчас активно собираются международными экспедициями.

Основные результаты первой главы суммированы в параграфе 1.9 и опубликованы в работах [1, 6, 7, 12, 14, 16, 30, 36-41].

Во второй главе основное внимание уделяется изучению нелинейной и нестационарной динамики краевых волн в прибрежной зоне океана. В параграфе 2.1 исследуется дисперсионное сжатие линейных краевых волн Стокса, которое приводит к появлению аномально большой волны вблизи побережья (явление «волн-убийц»). Процесс формирования аномально большой волны является в какой-то степени обратным к известному процессу дисперсионного рас-плывания. Математически это следует из инвариантности исходного волнового уравнения относительно смены знака времени и вдольбереговой координаты, поэтому наиболее сложную в математическом отношении задачу доказательства появления аномально большой волны из заданного пакета можно свести к более простой задаче - эволюции заданной аномально высокой волны, как начального условия. Таким образом, все получаемые решения после инвертации в пространстве будут представлять собой волновые пакеты, эволюция которых будет всегда приводить к формированию аномально большого импульса. Эта простая идея оказалась весьма эффективной для ветровых волн в бассейне постоянной глубины, даже с учетом нелинейности (Пелиновский и Хариф, 2000; Куркин и Пелиновский, 2004), и в данном параграфе она применима к полю волн Стокса.

Сначала рассмотрен процесс формирования аномально больших импульсов из наиболее энергетической первой моды волн Стокса (л = 0). В этом случае временная эволюция волнового поля первой моды, имеющей спектр

Л(*) = ^ехр(-/|*|),

(7)

где А0 и / определяют амплитуду и длину аномальной волны непосредственно вдоль берега, описывается формулой вида

ф + у)2+х2(1 + у)

У)

ехр

3' — х

- ап^ --+

2 / + у 4

4*1ах

ехр

■ — агОД-

2 1+ у

(8)

-ехр[|

и gax

1 + У 4

1 + еН"

где erf - функция ошибок, а а - наклон дна. Форма аномальной волны, имеющей спектр (7), имеет вид (рис. 10)

ц/г(х,у) = Л (1 + у/{)/(( 1 + у/1)2 + (х/1)2). (9)

В частности, на урезе аномальная волна имеет вид лоренцевого импульса

П/г (*> У = = Л /(i + (* / О2 )• (10)

Основные черты волнового поля можно продемонстрировать на больших временах с помощью известного метода стационарной фазы. Волна Стокса на больших временах представляет собой пакет, модулированный по амплитуде и волновому числу. Впереди распространяются более длинные волны, имеющие большую групповую скорость, затем все более короткие волны. Амплитуда пакета в его головной части (длинные волны) мала, она также убывает в его тыловой коротковолновой части. Максимум амплитуды волнового пакета приходится на волновое число к^ — 3/(4(/ + у)), и он равен

.г -\3/4

Рис. 10. Трехмерный вид аномальной волны

AJ ехр(-3 / 4)

40 +У))

(И)

Как и следовало ожидать, максимальная амплитуда волнового пакета убывает с удалением от берега, а ее длина ( \/кпи^) возрастает вдали от берега. Максимальная амплитуда волны также уменьшается со временем из-за дисперсии и растягивания волнового пакета в пространстве. Важно подчеркнуть также, что волновой пакет в окрестности его максимума движется с постоянной групповой скоростью, зависящей от удаления от берега, поэтому в пространстве линия гребня или волновой фронт в окрестности максимальной амплитуды перестает быть плоским и трансформируется в параболу, изменяющуюся со временем.

Все сказанное выше относительно формирования аномально высокого импульса в одномодальном поле волн Стокса, было перенесено на волны Стокса любой моды. Важно подчеркнуть, что на урезе все интегралы (для любого п) сводятся к лоренцеву импульсу. С удалением от берега, лагерровские полиномы переменны по знаку, и волновой импульс не является знакопостоянным. С увеличением номера моды в этом случае наблюдается осцилляторная волновая картина на периферии импульса.

Аналогично рассмотрено формирование аномального импульса в много-модовом поле волн Стокса. Ксли, например, такая волна состоит из 11 первых мод с одинаковым спектром (7), то она представляет собой очень узкий импульс, сосредоточенный около берега (показан на рис. 11). С течением времени -мог импульс диспергирует в систему 11 волновых пакетов, причем впереди располагается мапоамплитудный цуг наивысшей моды. Форма волнового паке-

та на больших временах в приурезовой области представлена на рис. 12. Если теперь инвертировать этот волновой пакет в пространстве, то его эволюция приведет к образованию аномально большой волны, показанной на рис. 11 с его последующим дисперсионным расплыванием.

Рис. 11. Форма аномальной волны, Рис. 12. Форма волнового пакета, со-состоящей из 11 первых мод стоящего из 11 первых мод для без-

размерного времени /(£<х/3/)ш = 1000

Эффект дисперсионного сжатия важен для краевых волн при любой форме шельфа, что иллюстрируется в параграфе 2.2 для волн над вогнутым экспоненциальным шельфом.

Усиление краевой волны возможно также на двумерных шельфах, переменных вдоль берега, этот эффект с помощью асимптотических методов исследуется в параграфе 2.3. В данном параграфе показано, что амплитуда волны, волновое число и поперечная к берегу модальная структура находятся однозначно и могут быть использованы для исследования эволюции краевых волн в бассейне с медленно изменяющимся дном и береговой линией в продольном к берегу направлении. В качестве примера применимости развитой теории была рассмотрена эволюция краевых волн в бассейне с различной топографией дна: линейно наклонным шельфом, вогнутым экспоненциальным шельфом и шельфом-ступенькой. Для любой моды краевых волн Стокса, распространяющихся над линейно наклонным шельфом было получено, что А ~ а'1, где а.(Х) - медленно меняющийся угол наклона дна. Важно отметить, что параметры волны зависят от наклона дна и не зависят от кривизны береговой линии Пс ш как юн дна уменьшается, то амплитуда волны растет, а длина волны (во вдо.:ьберего-вом направлении) тоже уменьшается. Характерная поперечная к берегу длина модальной функции тоже уменьшается. В результате волна становится круче и более локализованной в прибрежной зоне.

Если параметры экспоненциального шельфа (Я0, а) медленно изменяются во вдоль береговом направлении, то изменение амплитуды волны при п = 0 имеет вид

А2-

2<о

(12)

нЛ2со2+8Нпа^-Я2нУ , V 2® + 8ноа

Согласно этой формуле, если глубина Н0 возрастает или ширина шельфа а"1 уменьшается, то амплитуда волны тоже уменьшается. В действительности,

параметр а пропорционален наклону дна на берегу и его уменьшение приводит к нарастанию волны, так же как это было получено для краевых волн Стокса. Вычисления, проведенные при п = 1, также показывают, что и в этом случае амплитуда волны уменьшается, если шельф становится глубже и уже. Необходимо также отметить, что при распространении над вогнутым экспоненциальным шельфом старших мод наблюдается так называемый эффект частоты отсечки, связанный с тем, что при изменении параметров шельфа она приближается к частоте отсечки распространяющейся волны ш0 (которая не изменяется), и после этого волна пропадает (ее амплитуда стремится к нулю в рамках асимптотических методов). Скорость изменения здесь велика, поэтому асимптотические формулы здесь строго не работают, однако, «оставшееся» волновое поле уже не будет представлять собой распространяющуюся волну.

Применение построенной теории к шельфу-ступеньке показало, что если глубина мелкой воды увеличивается, то амплитуда волны уменьшается. Это находится в хорошем соответствии с вычислениями для других моделей шельфо-вой зоны Если же изменяется ширина шельфа, то изменение амплитуды волны не монотонное из-за шельфового резонанса. В результате, зависимость от глубины на глубокой воде также не монотонная. В данном случае, так же как и при распространении старших краевых мод над экспоненциальным шельфом, наблюдается эффект отсечки, связанный с нарастанием критической частоты волны, приводящим к ее нераспространению.

Динамика нелинейных групп краевых волн изучается в параграфе 2.4, где получено нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового поля вида

2 кп '

= (13)

8 к0 I

Здесь = gkl|{2n -ь 1 )Р - частота волны в линейном приближении; Р - угол наклона дна; у„ - нелинейные поправки к дисперсионному соотношению для краевых волн различных мод, выражения для которых аппроксимируются выражением 1/(2 + 8л).

Важно подчеркнуть, что такие знаки в нелинейном уравнении Шредингера соответствуют модуляционной неустойчивости волновых пакетов (с любой модальной структурой). Ранее этот вывод был сделан для наинизшей моды (\Vhitham, 1976; УеЬ, 1985), и он остается справедливым для волны любой моды Поскольку нелинейный коэффициент спадает с ростом номера моды, следовательно, краевые волны высших мод линейные и более стабильные, если их параметры примерно одинаковы.

Нелинейные эффекты, приводящие к самомодуляции волнового поля и генерации аномальных волн, рассмотрены в параграфе 2.5, в рамках нелинейного уравнения Шредингера (13), которое в безразмерных переменных = к0х,

т = П„/, Л' - ки^¡у~А имеет универсальный для всех мод краевых волн вид

¡А'--А'„--\А'\2А' = 0. (14)

8 2

В рамках уравнения (14) сначала рассмотрено развитие модуляционной неустойчивости для слабо модулированных волновых пакетов вида

А'($,* = 0) = А0(1 + тсоз(Щ+ <?)), (15)

где Л о - амплитуда монохроматической волны, т - коэффициент модуляции, <р - фазовый сдвиг, вводимый для удобства представления функции на нужном интервале по координате К - волновое число, выбираемое из критерия неустойчивости (Островский и Потапов, 2003) для уравнения (14)

К < К, = ^2|а/б|Лц = Картина эволюции волны с огибающей (15) для

трех значений амплитуды А0 представлена на рис. 13. Рисунок демонстрирует различные сценарии самомодуляции: при возрастании амплитуды начальной волны возможно неоднократное появление одной, двух или трех локализованных групп волн большой амплитуды. Видно, что временные масштабы процесса определяются амплитудой начальной волны: чем больше Аи, тем быстрее происходит образование волны-убийцы, и тем она интенсивнее Тем не менее, усиление волнового поля более чем в три раза в рамках данного механизма не получается.

а б в

Рис. 13. Эволюция слабомодулироваиного волнового поля с огибающей (15): а - для А0 = 0.0235, б - для А0 = 0.0306, в - для А„ = 0.0448

< В данном параграфе также рассмотрена дисперсионная фоьм ировка (. т

бонелинейных краевых волн. Для этого выполнен численный эксперимент с начальным условием в форме Гауссова импульса:

А'- а0 ехр(-(4 /с/2). (16)

Здесь д0 и й? определяют амплитуду и ширину начального возмущения, - положение центра импульса. Затем полученное волновое поле инвертируется, и оно опять используется в качестве начального при численном эксперименте. На рис. 14 представлен процесс фокусировки для а0 = 0.07,= 5. Необходимо отметить, что временные масштабы процесса пространственно-временной фок>-сировки на порядок меньше времен самомодуляции, поэтому дисперсионное сжатие может конкурировать с эффектом модуляционной неустойчивости

-wWWW**-'-"">

................vmmHHtmmtmttftttmam ""........

о от»

35 SO 75 tüo «5 ISO 175 ;

Рис. 14. Процесс фокусировки волнового пакета с гауссовым профилем (16) огибающей аномальной волны (во = 0.07, d = 5) в рамках уравнения (14)

Рассмотренный выше процесс образования аномальной волны будет происходить с любой модой краевых волн. Однако, в размерных переменных пространственно-временные масштабы процессов и их амплитудные характери- « стики будут индивидуальными для волн каждой моды. Поскольку нелинейный коэффициент спадает с ростом номера моды, эффект модуляционной неустойчивости развивается медленно для высоких мод, хотя амплитуда волн-убийц может быть сопоставима для волн разных мод. В связи с этим рассмотрена дисперсионная фокусировка в многомодовом поле нелинейных краевых волн. Здесь в качестве начального условия использована суперпозиция физических волновых полей трех первых мод в размерных переменных:

Л(*,0= ¿л<я)(*,0= £ Л<п)(*,')ехр(/(П0/-*0х)), (17)

71=0 71=0

где огибающие Ам(х, t) восстановлены на основе поля (16) с параметрами а0 = 0.07, d = 5 для частоты Q0 = 1.26 с ' и соответствующих этой частоте волновых чисел ко для п = 0, 1,2. Процесс эволюции трехмодового поля краевых волн, приводящий к образованию группы волн большой амплитуды и последующему ее расплыванию изображен на рис. 15. Отличие от одномодового случая здесь состоит в том, что волновой пакет, представляющий суперпозицию трех волн разных мод, уже не описывается гауссовой огибающей, а содержит отдельные '

пики на ее фоне. Отметим, что характерное время образования волны-убийцы для условий расчетов составило примерно 80 мин, ее время жизни - 10 мин, а длина - несколько метров. Такое время жизни значительно превышает время жизни «ветровых» волн-убийц (меньше минуты), поэтому оно дает возможность подготовиться к приходу аномальной краевой волны и смягчить возможные негативные ее последствия.

Наконец, в последнем параграфе 2.6 аналитически изучено распространение уединенного длинного импульса над периодическим кусочно постоянным морским дном в рамках слабой нелинейно-дисперсионной теории, при специальных условиях, когда длина препятствия больше, чем длина волны. Простейшие формулы, известные в линейной теории мелкой воды, могут использо-

Рис. 15. Формирование аномальных волн (значения по осям отложены в метрах)

ваться для описания трансформации импульса на каждом шаге в линейной длинноволновой теории, так же как и в слабой нелинейно-дисперсионной теории. Если препятствие короткое (по сравнению с характерными длинами нелинейности и дисперсии), то распространение волны может быть описано полностью с помощью линейной теории мелкой воды. Декремент головной волны при этом вычисляется в явной форме. Если препятствие длинное (его длина превышает длины нелинейности и дисперсии), то головная трансформированная волна сохраняет солитонную форму в среднем, согласно теории уравнения Кортевега - де Вриза. Декремент головной уединенной волны и в этом случае вычисляется в явной форме. Декремент солитона для длинного препятствия больше, чем для короткого. Результаты вычислений декремента волны показали его чувствительность к общему виду геометрии дна. Кроме того, здесь также обсуждается проблема затухания головной волны над случайным рельефом. Вычисленный декремент находится в согласии с предсказаниями теории «средней формы» волны. Хорошее согласие получено также с экспериментальными данными для линейных волн. Подчеркивается также, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа.

Результаты выполненных исследований нелинейной и нестационарной динамики краевых волн, приведенные в этой главе, опубликованы в работах [2 - 5, П. 13, 21, 24, 26, 27, 31, 32, 34, 35].

Третья глава посвящена исследованию нелинейной динамики крупномасштабных волновых движений. В параграфе 3.1 рассматривается аналитически и численно нестационарная динамика волн Россби на основе уравнения Обухова - Чарни

|-(Дл-гя2т1) + р§ + ./(т1,ДП)=0, (18)

<Э/ дх

где г) - возвышение свободной поверхности жидкости; ось х системы координат направлена вдоль параллели (положительное направление на «восток», в сторону вращения земли), а ось у - вдоль меридиана (положительное направление «на север»); гк = /0 - радиус Россби-Обухова; И - глубина океана; g - ус-

д2 д2

корение свободного падения;/=/о + Р>> - параметр Кориолиса Д = —+ —г-, а

дх ду

У(т1,Дт|) = ^.ДДт^ -^(Дт^ - якобиан, нижние индексы обозначают дифференцирование по координатам х и у. Показано, что в волнах этого типа также возможно образование аномальных волн (вихрей), которые можно было бы назвать крупномасштабными «волнами-убийцами». Процесс формирования аномально высокой волны из нелинейно-диспергирующего волнового поля в различные моменты времени изображен на рис. 16 (на рисунке использованы безразмерные переменные х'=х/1у[^И , у'= у/Цф, г|'= т/Д/^/г, /л/д7/?) Показано также, что данные аномалии могут возникать на фоне случайного поля более слабых волн Россби.

Рис. 16. Процесс формирования аномально высокой волны из нелинейно-диспергирующего волнового поля в различные моменты времени

В параграфе 3.2 найден Гамильтониан для баротропных волн Россби в параболоидных бассейнах. На этой основе исследована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четы-рехволнового взаимодействия и сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей для типичных условий. Аналогичная задача для волн Кельвина в слое однородной вращающейся жидкости изучается в параграфе 3.3. Здесь для решения задачи о гамильтоновском описании кельвиновских волн производится обобщение соответствующего преобразования Клебша (Селиджнр и Уитем, 1969), позволяющее ввести канонические переменные. Последние являются отправной точкой для нахождения преобразования, диагонализирующего квадратичную часть гамильтониана, и позволяющего перейти к уравнениям для нормальных комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Построенная теория позволила исследовать один из возможных нелинейных механизмов генерации волн Кельвина, а, именно, их возбуждение за счет нелинейного взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее. Наряду с этим, исследуется стабилизация распадной неустойчивости кельвиновских волн за счет фазового рассогласования возбуждаемых волн, возникающего в результате четырехволнового взаимодействия волн Кельвина.

В параграфе 3.4 выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн вида

— + с„--(Л — + >, —г -£ 35$А2 — + 5? —г + —--5"\ = 0■ * У>

с* "дУ \ 1 дУ 'дУ') { 2 дУ дУ 2° дУ3 дУ дУ2)

Здесь А - амплитуда волны; х - координата, направленная перпендикулярно линии берега; у - вдоль линии берега; ( - время; е - параметр нелинейности;

х = е/, У = е(у - сьО; < =4](а-ц2с02)ф2л/]а,Ф2<&,

о /о

S2--c0

\^ФсЬс \Rl<S>dx }Л2"><& ¡R"2

£ , 3sJ = -c0 ~

'Ф dx

.nd

. о "J - с iL

's2b _c0 ,

\Их<Ьг(Ь ¡к^сЬс

О ООО

ц - параметр бездивергентности; А = Ых) - невозмущенная глубина океана; функция Ф(х) и скорость длинных волн Су являются решением линейную задачу на собственные значения, полученной в наинизшем порядке по е, а - неоднородная части краевой задачи, решением которых являются нелинейные, дисперсионные и нелинейно-дисперсионные поправки к структуре линейной моды Ф(дг) волны соответственно.

Новым результатом здесь является нахождение условий, когда квадратичная нелинейность становится очень малой, и становятся важными кубические эффекты. Аналогичное уравнение выведено для нелинейных топографических волн Россби (параграф 3.5), причем с учетом горизонтальной плавной изменчивости параметров океана вдоль направления распространения. Оно имеет вид:

,дА .дгА дА32А

ЗА _

-+ EJ

дх

аг3

лдА *

+ а4— + аА

а 4

д2А

+ £

дъА

*2а>+*3

+ s4A—^ + ^

а а2

6 а2

(20)

Здесь / - время, горизонтальные координаты х и у направлены так, что параметр Кориолиса О и глубина океана И изменяются главным образом по >•; функцию /¡•(у, х) и скорость длинных волн с(х) - это решение линейную задачу на собственные значения вида

Г = О, Р = 0 приу = 0, / или ^ -> 0 при у ± ос,

а 1 8F' 1 г п~

ду h ду с ду

а коэффициенты а, р, q и s* (к = 2 - 9) равны

1 8h д c2h\hdydy

О д2 ii УН п

h ~ду>

c'h

q=\F

dJL!L

дх ду

О" dF д П "n"

_ h . ду дх h h _

<fy,sk = \FCudyj¡FC2ld\ ,

где С2i: - функции, зависящие от F, П, h и с. Важным отличием выведенного уравнения от расширенного уравнения Кортевега - де Вриза, полученного в параграфе 3.4, является наличие интегральных членов, обусловленных низкочастотной дисперсией. Такие слагаемые часто возникают при учете вращения Земли (Островский, 1978). Эволюция топографических волн Россби в рамках полученного уравнения проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна при Q = const. Рассмотрен также пример, когда коэффициент нелинейности обращается в нуль, и для волн данного типа необходимо учитывать кубические эффекты.

Основные результаты данной главы суммированы в параграфе 3.6 и опубликованы в [9, 10, 15, 18, 19, 23, 25].

Четвертая глава посвящена исследованию динамики нелинейных внутренних волн в стратифицированном океане.

В параграфе 4.1 рассматривается излучательная неустойчивость волн отрицательной энергии в двухслойной жидкости. Вычислен инкремент излуча-тельной неустойчивости в линейном приближении. Дано описание нелинейной стадии неустойчивости в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шре-дингера с добавлением слагаемых, отвечающих за неустойчивость и диссипацию внутренних волн. В частности, рассмотрена эволюция солитонов огибающих и рассчитана релаксация амплитуды солитона к стационарному значению. Приводятся оценки, свидетельствующие о возможности проявления излуча-тельной неустойчивости в океанских условиях.

В параграфе 4.2 проведено сравнение двух различных версий нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане. Одна из версий - это так называемое двумерное уравнение Кортевега - де Вриза, выведенное еще в 1978 г. (Djordjevic and Redekopp, 1978)

{div(HVa) + ЧаУН\ц + 2HWaVr\ + q2 ^ + = 0. (21)

di dz

Здесь т| - волновая функция, имеющая смысл вертикального смещения пикнок-лина; Н - глубина жидкости; (Va)2 = с'2, где с - скорость распространения, которая находится из решения линейной краевой задачи; коэффициенты qu q2 и <?3 - это функции «медленных» горизонтальных координат X = £3/2х и У= е3/2у, определяемые с помощью модальной структуры; т = е'/2(а(х, у) - t) - «быстрое» бегущее временя; б - малый параметр.

Вторая версия - это одномерное уравнение Кортевега — де Вриза, написанное вдоль луча (Zhou and Grimshaw, 1989; Пелиновский и др., 1994; Hollo-way et al, 1997)

¿Q + ЭП + А^Д + Д S Г(з )]= 0 (22)

51 с2 di с* дt3 2 511 "

f2c\ 0 / 0 i;te / - лучевая координата; a = ^—J ^(d<S> I dzf dz j J(d<t>/dz)2dz и

fi = I C I f((t>2dz / ^{d<t>/dz)2dz - это коэффициент нелинейности и коэффици-

V 2 J и / _,/

енг дисперсии, соответственно; Ф(г) - модальная функция, являющаяся решением задачи на собственные значения; z - вертикальная координата; Q - дифференциальная ширина лучевой трубки, М - f | dz, р - волновое изме-

- н \ dz )

пение плотности. Показано, что обе эти версии эквивалентны.

Трансформация солитонов внутренних волн в горизонтально неоднородном океане изучается в параграфе 4.3 в приложении к арктическому бассейну в рамках обобщенного уравнения Гарднера, впервые предложенного в работе (НоИошау е1 а1,1999)

5л

дх

с\х)

сЧх)

дг с4(х)&г3 2 Мсъ

т| ¿(с М)

с1х

= 0, (23)

где коэффициент кубической нелинейности а, равен

Э^Т/сф-

<Я>

ей) ~<к

2( сП>

М>

-Ш/ск

функция Т есть нелинейная поправка к модальной функции Ф, определяемая уравнением

£ ск

¿Т сЬ

Т = —

а а ~с1Ф~ з а ц___

с <к 2ск и]

(24)

с нулевыми граничными 7\-Н) = 71(0) = 0 и нормировочным Дг^ц) = 0 условиями, где г^,, - координата точки максимума модальной функции Ф(гтах) = 1, а Щг) - вертикальное распределение частоты Брента - Вяйсяля.

Основой для расчетов послужили гидрологические данные, полученные в экспедиции 1993 г. в море Лаптевых (Полухин и др., 2003). Рассчитаны формы уединенных волн и выяснены условия существования солитонов предельных амплитуд. Показано, что солитоны могут существовать на протяжении 100 км, несмотря на изменчивость гидрологии по трассе (рис. 17).

Т1.м П." П "

Рис. 17. Эволюция солитона с начальной амплитудой 4 м на Ленском разрезе в море Лаптевых

В параграфе 4.4 исследована эволюция солитона в рамках уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности

ди

Э<

- [ам + а | м2 ]

ди ¡,д и

а*

= 0,

(25)

где а = 1, (3 = 1, а коэффициент кубической нелинейности а, есть функция медленно меняющегося времени Т = 8<, где 8 « 1 малый параметр. Проведено численное моделирование трансформации солитона при медленном изменении коэффициента кубичной нелинейности, подтвердившее сценарии трансформации

солитона, полученные в рамках асимптотических формул. Особый интерес здесь вызывают бифуркации в поведении солитона в критических точках, когда коэффициент нелинейности обращается в нуль. Также выполнены расчеты трансформации солитона для случая, когда коэффициент кубической нелинейности меняется быстро (рис. 18).

.П-

Рис. 18. Трансформация «толстого» солитона, когда параметр О) изменяется от -1 до -7

_I _ \_LL__ _ тшиппмм

——ЛЛАПЛПНГРМИЯГ

Рис. 19. Образование широкого им- Рис. 20. Образование узкого импульса пульса большой амплитуды в рамках большой амплитуды из солитона и модели Гарднера (25) при а! = -1 дисперсионного цуга при а, = 1 и а > 0

_ >иишшшшн

-Г

г • 2 4*10

"Яг

Рис. 21. Образование волны-убийцы при дисперсионном сжа-Iни бригера с волновым цугом при а| = 1 и а<0

Рис. 22. Образование и дальнейшее распространение бризеров из знакопеременного начального возмущения для параметров уравнения (17) а = 0, а, = 6, р = 1

Механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды («внутренние волны-убийцы») рассмотрены в параграфе 4.5. По существу, ма1ериал этого параграфа «перекликается» с приведенными ранее для краевых волн и волн планетарного масштаба. Показано, что к образованию аномальных внутренних волн приводят несколько механизмов: дисперсионное сжатие (рис. 19 - рис. 21); генерация и взаимодействие солитонов и бризеров из импульсно-

го возмущения (рис. 22, рис. 23); модуляционная неустойчивость слабомодули-рованных волновых пакетов (рис. 24, рис 25); трансформация нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде (рис 26, рис. 27)

-40 О 40 ю -5 э 5 10

Рис. 23. Взаимодействие солитонов разных полярностей в рамках уравнения Гарднера (17) с параметрами а = 6, <Х| = 6, Р = 1, приводящее к образованию положительного короткоживущего импульса большой амплитуды (на левом рисунке звездочкой помечен положительный солит он)

0,32 тп . „ ___->т! , г - 462

Рис. 24. Образование бризера из слабомодулированного волнового пакета амплитуды а = 0.08 в рамках уравнения (17) при параметрах а = 0, с»1 = 6, 3 = 1

■200 0 200 -200 0 200

Рис. 25. Образование волны большой амплитуды из амплитудно- и фазово-модулированного волнового пакета

учую*

4320 О

120

Рис. 26. Образование положительного солитона большой амплитуды из группы нелинейных волн отрицательной полярности при смене знака коэффициента квадратичной нелинейности

Рис. 27. Адиабатическая перестройка толстого солитона при смене знака коэффициента кубической нелинейности

Необходимо отметить, что второй и четвертый механизмы ранее вообще не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

Результаты исследований, представленные в этой главе суммированы в параграфе 4.6 и опубликованы в [8, 17, 20, 22, 28, 29, 33].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации.

1 Разработан модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «Т1ЖАМ1» для оценки рисков, связанных с цунами. Во-первых, удалось значительно уменьшить время счета за счет распараллеливания вычислений. Во-вторых, разработан новый интерфейс программы, позволяющей рассчитать характеристики цунами, обработать полученные данные и подготовить данные к презентации. Этот пакет использован для моделирования распространения волн цунами в Японском, Черном, Каспийском и Карибском морях. С его помощью выполнено моделирование ряда исторических цунами, хорошо обеспеченных данными наблюдений. В частности, исследованы волны цунами, вызванные землетрясениями на Виргинских островах в 1867 г. и в Черном море (вблизи г. Анапа) в 1966 г.; вулканическим извержением на острове Монтсеррат (Карибское море) в 2003 г. Обсуждается также цунами 1597 г. в реке Волга (в районе Нижнего Новгорода), вызванное сходом оползня с высокого берега. Выполнено численное моделирование крупнейшего цунами в Индийском океане, возникшего после землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия) Рассчитаны диаграммы направленности волн цунами и распределения высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов находятся в хорошем со-I ласии с имеющимися данными наблюдений.

2 Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет сопоставить сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для оценки цунами потенциала российского побережья Японского и Черного морей, а также побережья Карибского моря.

3 Развша теория генерации волн цунами движущимися источниками. Получен ряд аналитических решений линейной теории мелкой воды и нелинейно-дисперсионной теории, демонстрирующие роль нелинейности, дисперсии и резонанса в генерацию волн на воде. Показано, в частности, что для волн цунами возможен эффект «волн-убийц», связанный с дисперсионной фокусировкой волновых пакетов Выполнены численные расчеты генерации длинных волн при прохождении циклона «Лили» в Карибском море в 2002 г.

4. Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых шпон подводною рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приколи п. к вошикновению кратковременных трехмерных импульсов большой ампли1уды - «краевых волн-убийц». Этот процесс реализуется для произ-иолыюн) цилиндрического рельефа дна и любого номера моды. Показано мкжс, чю слабая пдольбереговая изменчивость подводного рельефа ведет к

изменению амплитуды и длины краевой волны. Этот процесс рассчитан в рамках асимптотического подхода для нескольких типов подводного рельефа.

5. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Показано, что волны любой моды являются модуляци-онно неустойчивыми, и нелинейная поправка к частоте положительна. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они чаще появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), которая находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

6. Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа.

7. Показана возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова - Чарни аналитически и численно. Показано, что дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, приводящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби.

8. Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболоид-ном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн.

9. Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью гамильтонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее.

Ю.Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега - де Вриза

и уравнению Гарднера. Впервые показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится ис-чезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.

11. Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега - де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна.

12. Показано, что внутренние волны в двухслойном потоке излучательно неустойчивы и рассчитан инкремент такой неустойчивости. Дано описание нелинейной стадии неустойчивости в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с добавлением слагаемых, отвечающих за неустойчивость и диссипацию. Показано, что в результате эволюции солитоны огибающих приходят к равновесному стационарному состоянию. Приведены оценки, свидетельствующие о возможности проявления излучательной неустойчивости в океанских условиях.

13. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае - трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега - де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

14. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия; генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения; модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде Ранее второй и четвертый механизмы не рассматрива-

лись в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Диденкулова И.И., Зайцев А.И., Красильщиков A.A., Куркин A.A., Пелинов-ский E.H., Ялчинер А.Ш. Нижегородское цунами 1597 года на реке Волга // Известия АИН им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4. С. 170- 180.

2. Дубинина В.А., Куркин A.A., Полухина O.E. Фокусировка краевых волн на шельфе моря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39. № 6. С. 839-848.

3. Дубинина В.А., Куркин A.A., Полухина O.E., Пелиновский E.H. Слабонелинейные периодические краевые волны Стокса // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2004. Т. 40. № 4. С. 525 - 530.

4. Дубинина В.А., Куркин A.A., Полухина O.E. Нелинейная динамика краевых , волн над линейно наклонным дном // Известия РАН. Физика атмосферы и

океана. 2005. Т. 41. № 2. С. 124 - 128.

5. Зайцев А.И., Куркин A.A., Пелиновский E.H. Исследование процесса возникновения аномальных краевых волн в шельфовой зоне океана при вдоль-береговом распространении // In: International Conference FLUXES AND STRUCTURES IN FLUIDS, (Moscow, Russia, June 20 - 22. 2001) Selected Papers. 2002. P. 303-311.

6. Зайцев А.И., Куркин A.A., Полухина O.E., Самарина Н.М., Ялчинер A.C. Численное моделирование возможных оползневых цунами в Черном море // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4. С. 150 -154.

7. Зайцев А.И., Куркин A.A., Левин Б.В., Пелиновский E.H., Ялчинер А., Тро-1 ицкая Ю.И., Ермаков С.А. Моделирование распространения катастрофического цунами (26 декабря 2004 г.) в Индийском океане // Доклады Академии Наук. 2005. Т. 402. № 3.

8. Кривелевич A.C., Куркин A.A. Излучательная неустойчивость волн отрица-»' тельной энергии в двухслойной модели // Прикладные вопросы математики и

информатики. Межвузовский сб. научных трудов. НГТУ. Н. Новгород 1999. С. 25-32.

9. Куркин A.A. Применение методов гамильтоновского формализма к теории нелинейного взаимодействия волн во вращающейся жидкости // Известия Вузов. Радиофизика. 1999. № 4. T. XLII. С. 359 - 368.

10. Куркин A.A. Каноническая теория баротропных волн Россби в параболоиде // Известия АИН РФ. 2001. Т.2. С. 176 - 187.

11.Куркин A.A. Динамика нестационарных краевых волн Стокса // Океанология. 2005. Т. 45. № 3. С. 325 - 331.

12.Куркин A.A., Зайцев А.И., Ялчинер А., Пелиновский E.H. Модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» для оценки рисков, связанных с

33 j 'ос. НАЦИОНАЛЬНА» t

i библиотека f

J С Петербург I

' О» ям am f ---------

цунами // Известия АИН им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2004. Т. 9. С. 88 - 100.

13.Куркин А А., Пелиновский Е.Н., Слюняев А.В. Физика волн-убийц в океане // «Нелинейные волны-04». М.: Наука, 2005. С. 37 - 51.

14.Куркин А.А., Пелиновский Е.Н., Чой Б.Х., Ли Д.С. Сравнительная оценка цунамиопасности япономорского побережья России на основе численного моделирования // Океанология. 2004. Т. 44. № 2. С. 163 - 172.

15.Куркин А.А., Полухина О.Е. Нелинейная фокусировка аномальных волн Россби в океане: численные эксперименты // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41. № 1. С. 93 - 101.

16.Пелиновский Е.Н., Заибо Н., Данкли П., Талипова Т.Г., Козелков А.С., Кур-кин А.А , Николкина И.Ф , Самарина Н.М. Цунами, вызванные извержениями вулкана на острове Монтсеррат в Карибском море // Известия АИН им. А М. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2004. Т. 6. С. 31 - 59.

17 Полухина О.Е., Красильщиков А.А., Талипова Т.Г., Куркин А.А. Уединенные внутренние волны и их поверхностные проявления на шельфе моря Лаптевых // Известия АИН РФ Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4. С. 154 -169.

18.Полухина О.Е., Куркин А.А Нелинейные континентальные шельфовые волны // Известия АИН им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4. С. 17-25.

19.Полухина О Е., Куркин А.А. Уточненная теория нелинейных топографических волн Россби // Океанология. 2005. Т. 45. № 4.

20 Галипова Т Г , Полухин Н.В., Куркин А.А., Лавренов И.В. Моделирование трансформации солитонов внутренних волн на шельфе моря Лаптевых // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4. С. 3 - 16.

21 Dubinina V.A., Kurkin А.А , Poloukhina О.Е. Nonlinear properties of long edge waves above a cylindrical shelf // Proceedings of The sixth (2004) ISOPE Pacific/Asia offshore mechanics symposium. Vladivostok. Russia. 2004. P. 157 -162.

22.Grimshaw R., Pelmovsky E., Talipova Т., Kurkin A. Simulation of the transformation of internal solitary waves on oceanic shelves // Journal Physical Oceanography. 2004. V. 34. P. 2774 - 2791.

23.Kurkin A.A. Canonical theory of nonlinear wave interaction in a rotating fluid // BRAS Physics/ Supplement Physics of Vibrations. 1997.V.61. № 1. P.52-55.

24.Kurkin A., Pehnovsky E.N. Focusing of edge waves above a sloping beach // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2002. V. 21. P. 561 - 577.

25.Kurkin A.A., Kozelkov A.S. Nonlinear mechanism of the anomalous high Kelvin waves formation in the shelf zone of ocean // Advanced problems in mechanics. Proceedings of XXX Summer School APM'2002. St. Petersburg. Russia. 2003. P 390-398.

26.Kurkin A , Pehnovsky E.N. Shallow-water edge waves above an inclined bottom slowly varied in along-shore direction // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2003. V. 22. P. 305-316.

27.Nakoulima О , Zahibo N , Pelinovsky E., Talipova Т., Kurkin A. Analytical study of the solitary water wave transmission in a basin with periodic bathymetry // Известия АИН им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2004. Т. 9. С. 3-18.

28.Nakoulima О., Zahibo N, Pelinovsky Е., Talipova Т., Slunyaev A., Kurkin А. Analytical and numerical studies of the variable-coefficient Gardner equation // Applied Mathematics and Computation. 2004. V. 152. № 2. P. 449 - 471.

29.Nakoulima O., Zahibo N, Pelinovsky E., Talipova Т., Kurkin A. Solitary wave dynamics in shallow water above periodic bottom // CHAOS. 2005.

30.Pelinovsky E., Talipova Т., Kurkin A., Kharif Ch. Nonlinear mechanism of the tsunami wave generation by atmospheric disturbances // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2001. V 1. № 4. P. 243 - 250.

31.Pelinovsky E., Kurkin A. Unsteady dynamics of edge waves // International Conference IUGG 2003. Abstracts. Sapporo. Japan. 2003. P B101

32 Pelinovsky E., Kurkin A., Poloukhina O. Unsteady dynamics of edge waves above a sloping beach // Proceedings of Long Waves Symposium, AUTh, Thessaloniki, Greece, August 25-27, 2003. P. 161 - 168.

33.Pelinovsky E., Xu Zhaoting, Talipova Т., Shen Guojin, Kurkin A., Poloukhin N. Two approaches to study nonlinear internal waves in the horizontal inhomogeneous ocean // Известия АИН РФ. Прикладная математика и механика. 2003. Т. 4 С. 92 - 98.

34.Pelinovsky E.N, Kurkin A.A., Poloukhina О.Е., Dubinina V.A. Nonlinear Dynamics of Stokes Edge Waves // Eos. Trans. AGU, 84 (52), Ocean Sci. Meet. Suppl, Abstract OS21F-02, 2004.

35.Poloukhina O.E., Kurkin A.A., Dubinina V.A. Focusing of large-amplitude edge and Rossby waves // Geophysical Research Abstracts. 2003. V. 5. P. 1504.

36.Yalciner A , Pelinovsky E., Talipova Т., Kurkin A., Kozelkov A., Zaitsev A. Tsunamis in the Black Sea: A Review // In Chapter 3 in the book Oceanography of the Eastern Mediterranean and Black Sea, Similarities and Differences of Two Interconnected Basins, Edited by Aysen Yilmaz Published by TUBITAK Publishers, Ankara, ISBN: 975-288-451-2. 2003.

37.Yalciner A., Pelinovsky E., Talipova Т., Kurkin A., Kozelkov A., Zaitsev A. Tsunamis in the Black Sea: comparison of the historical, instrumental and numerical data // J. Geophys. Research. 2004. V. 109. № С12, С1202310.1029/2003JC002 113.

38.Zahibo N., Pelinovsky E., Yalciner A., Kurkin A., Koselkov A., Zaitsev A. The 1867 Virgin Island Tsunami: observations and modelling // Oceanologica Acta. 2003. V. 26. P. 609-621.

39.Zahibo N., Pelinovsky E., Yalciner A., Kurkin A., Koselkov A., Zaitsev A. Modelling the 1867 Virgin Island Tsunami // Natural Hazards and Earth System Sciences. 2003. V. 3. № 5. P. 367 - 376.

40.Zahibo N., Pelinovsky E., Kurkin A., Kozelkov A. Estimation of far-field tsunami potential for the Caribbean Coast based on numerical simulation // Science Tsunami Hazards. 2003. V. 21. № 4. P. 202 - 222.

41.Zahibo N., Pelinovsky E., Talipova T., Rabinovich A., Kurkin A., Nikolkina I. Analysis of cyclone activity for Guadeloupe // Известия АИН им. A.M. Прохорова. Прикладная математика и механика. 2004. Т. 6. С. 98 - 118.

ЦИТИРУЕМАЯ В АВТОРЕФЕРАТЕ ЛИТЕРАТУРА

Го Ч.Н., Кайстренко В.М., Пелиновский E.H., Симонов К.В. Количественная оценка цунамиопасности и схема цунамирайонирования Тихоокеанского побережья СССР // Тихоокеанский ежегодник. Владивосток. 1988. С. 9 - 16. Ефимов Е.Е. и др. Волны в пограничных областях океана. - Л.: Гидрометеоиз-дат, 1985.280 с.

Иващенко А.И., Гусяков В.К., Джумагалиев В.А. и др. Шикотанское цунами 5 октября 1994 г. // ДАН. 1996. Т. 348. № 4. С. 532 - 538.

Кистович A.B., Чашечкин Ю.Д. Генерация, распространение и нелинейное взаимодействие внутренних волн // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. 1990. Т. 24. С. 129-135.

Королев Ю.П. Расчет цунами по измерениям уровня моря в удаленных точках при оперативном прогнозе // Океанология. 2004. Т. 44. № 3. С. 373 - 379. Краусс В. Внутренние волны. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. 272 с. Куркин A.A., Пелиновский E.H. Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. - Н. Новгород: НГТУ, 2004. 158 с.

Ле Блон П., Майсек Л.А. Волны в океане: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. Т. 1. 478 с. Т. 2. 365 с.

Леонов А. И. О двумерных уравнениях Кортевега де Вриза в нелинейной теории поверхностных и внутренних волн // ДАН СССР. 1976. Т. 229. С. 820 - 824. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. - Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 302 с.

Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Экспериментальное исследование поля скоростей вблиш цилиндра в непрерывно стратифицированной жидкости // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2000. Т. 5. С. 20 - 30.

Монин A.C., Красицкий В.П. Явления на поверхности океана. - Л.: Гидроме-гсои {дат, 1985. 376 с.

Морозов Ь.Г. Океанские внутренние волны. - М.: Наука, 1985. 151 с. Могыгин О.В., Стурова И.В. Волновые движения в двухслойной жидкости, выданные малыми колебаниями цилиндра, пересекающего поверхность раздела// И<вссгия РАН. Механика жидкости и газа. 2002. Т. 4. С. 105 - 119. Осфовский Л.А. Нелинейные внутренние волны во вращающемся океане // Океанология 1978. Т. 18. С 119-125.

Осгровский Л.А , Потапов А И. Введение в теорию модулированных волн. -М.: Фи»ма1лит, 2003. 400 с.

11олиновский Ь.Н. Нелинейная динамика волн цунами. - Горький: ИПФ АН (.ССР, 1982.

11елиновский Ь.Н. Гидродинамика волн цунами. - Нижний Новгород: ИПФ РАН, 1996. 276 с.

Пелиновский E.H., Полухина О.Е , Лэмб К Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению // Океанология. 2000. T. 40.Х» 6. С. 805-815.

Пелиновский E.H., Степанянц Ю.А , Талипова Т Г. Моделирование распространения внутренних волн в горизонтально-неоднородном океане // Известия РАН. ФАО. 1994. Т. 30. № 1. С. 79 - 85.

Пелиновский Е , Хариф К. Дисперсионное сжатие волновых пакетов как механизм возникновения аномально высоких волн на поверхности океана // Известия АИН РФ. 2000. Т. 1. Р. 50-61.

Пелиновский E.H., Шаврацкий С.Х Рафушение кноидальных волн в горизонтально неоднородном океане // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. Т. 13. С. 455-456.

Полухин Н.В., Талипова Т.Г., Пелиновский E.H., Лавренов И В. Кинематические характеристики поля высокочастотных внутренних волн в Северном ледовитом океане // Океанология. 2003. Т. 43. С. 333 - 343.

Поплавский A.A., Куликов Е.А., Поплавская Л.Н. Методы и алгоритмы автоматизированного прогноза цунами. - М.: Наука, 1988.

Поплавский А А., Храмушин В.Н., Непон К.И., Королев Ю.П. Оперативный прогноз цунами на морских берегах Дальнего Востока России. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ, 1997.

Рабинович А.Б. Длинные гравитационные волны в океане: захват, резонанс, излучение. - Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1993. 326 с Сабинин К.Д., Коняев К.В. Волны внутри океана. - СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. 272 с.

Селиджер Р.Л., Уитем Г.Б. Вариационные принципы сплошной среды Ч Сб. пе-рев. "Механика". 1969. № 5. С. 99 - 123.

Степананц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации Поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники, Механика жидкости и газа. 1987. Т. 21. С. 93 - 179.

Стурова И.В. Колебания круглого цилиндра в линейно с гратифицированной жидкости // Известия РАН Механика жидкости и газа. 2001. Т. 3. С. 155 - 164 Талипова Т.Г., Пелиновский Е Н., Холловей П.Э. Нелинейные модели трансформации внутренних приливов на шельфе // Приповерхностный слой океана Физические процессы и дистанционное зондирование. Н. Новгород: ИПФ РАН. 1999. Т. 1.С. 154- 172.

Файн И.В., Шевченко Г.В., Куликов Е.А. Исследование лучевым методом захватывающих свойств Курильского шельфа // Океанология. ¡983. Т. 23. № 1 С. 23 - 26.

Физика океана. - М. Наука, 1978. Т. 1,2. 455 с.

Шокин Ю.И., Чубаров Л.В , Марчук А.Г., Симонов К.В. Вычислительны'! ->кс-перимент в проблеме цунами. - Новосибирск: Наука, 1988. Agnon Y., Mei С.С. Trapping and resonance of long shelf waves due to groups of short waves //J. Fluid Mech. 1988. V. 195. P. 201 - 221.

Akylas T.R. On excitation of long nonlinear water waves by a moving pressure dis-

tribution // J. Fluid Mech. 1984. V. 141. P. 455 - 466.

Baquenzo A., Losada M. A., Lozada I.J. Edge wave scattering by a coastal structure // Fluid Dynamics Research. 2002. V. 31. P. 275 - 287.

Benney D.J. Long nonlinear waves in fluid flows // J. Math. Phys. 1966. V. 45. P. 52 -63.

Blondeaux P., Vittori G. The nonlinear excitation of synchronous edge waves by a monochromatic wave normally approaching a plane beach // J. Fluid Mech. 1995. V.301.P. 251 -268.

Bryan K.P., Hows P.A., Bowen A.J. Field observations of bar-trapped edge waves // J. Geoph. Research. 1998. V. 103. P. 1285 - 1305.

Chen Y., Guza R.T. Resonant scattering of edge waves by longshore periodic topography // J. Fluid Mech. 1998. V. 369. P. 91 - 123.

Chen Y., Guza R.T. Resonant scattering of edge waves by longshore periodic topography: finite beach slope // J. Fluid Mech. 1999. V. 387. P. 255 - 269. Djordjevic V.D., Redekopp L.G. The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography // J. Phys. Oceanography. 1978. V. 8. P. 1016-1024.

Foda M.A., Mei C.C. Nonlinear excitation of long trapped waves by a group of short swell//J. Fluid Mech. 1981. V. 111. P. 319 - 345.

Fredsoe J., Deigaard R. Mechanics of coastal sediment transport. - World Sci., 1992. Gonzalez F.I., Satake K., Boss E.F., Mofjeld H.O. Edge Wave and Non-Trapped Modes of the 25 April 1992 Cape Mendocino Tsunami // Pure and Appl. Geophys. 1995. V. 144. № 3/4. P. 409 - 426.

Gnmshaw R. Evolution equation for weakly nonlinear internal waves in a rotating fluid // Studied Appl. Math. 1985. V. 73. P. 1 - 33.

Gnmshaw R., Pelinovsky E., Poloukhina O. Higher-order Korteweg de Vries models for nonlinear solitary waves in a stratified shear flow with a free surface // Nonlinear Processes in Geophysics. 2002. V. 9. P. 221 - 235.

Grue J., Jensen A., Rusas P.-O., Sveen J.K. Breaking and broadening of internal solitary waves//J. Fluid Mech. 2000. V. 413. P. 181 - 217.

Guza R.T., Davis R.E. Excitation of edge waves by waves incident on a beach // J. Geophys. Research. 1974. V. 79. P. 1285 - 1291.

Holloway P, Pelinovsky E., Talipova T. A Generalized Korteweg de Vries Model of Internal Tide Transformation in the Coastal Zone // J. Geophys. Res. 1999. V 104(C8). P 18333 - 18350

Holloway R., Pelinovsky E , Talipova T., Barnes B. A Nonlinear Model of the Internal tide transformation on the Australian North West Shelf // J. Phys. Oceanography. 1997. V. 27. № 6. P. 871 -896.

Holloway P., Pelinovsky E., Talipova T. Internal tide transformation and oceanic internal solitary waves. Chapter 2 in the book: Environmental Stratified Flows (Ed. R. Gnmshaw). - Kluwer Acad. Publ., 2001. P. 29 - 60.

Huntley D.A., Bowen A.J. Field observations of edge waves // Nature. 1973. V. 243. ('. 160 162.

Imbcrger J. (Ed) Physical processes in lakes and oceans. - Washington DC: AGU, 1998.668 p.

Ishii H., Abe K. Propagation of tsunami on a linear slope between two flat regions. I. Eigenwave // J. Phys. Earth. 1980. V. 28. P. 531 - 541. Komar P. Beach Processes and Sedimentation. - NJ.: Prentice-Hall, 1998. Lamb K., Yan L. The evolution of internal wave undular bores: comparisons of a fully nonlinear numerical model with weakly nonlinear tfeeory II J. Phys. Oceanography. 1996. V. 26. P. 2712 - 2734.

Maderich V., Heijst G.J., Brandt A. Laboratory experiments on intrusive flows and internal waves in a pycnocline // J. Fluid Mech. 2001. V. 432. P. 285 - 311. Masselink G. Alongshore variation in beach cusp morphology in a coastal embay-ment II Earth Surface Processes and Landforms. 1999. V. 24. P. 335 - 347. Masselink G., Russell P., Coco G., Huntley D. Test of edge wave forcing during formation of rhythmic beach morphology // J. Geophys. Res. 2004. V. 109. C06003 doi: 10.1029/2004JC002339.

Miles J.W. Parametrically excited standing edge waves // J. Fluid Mech. 1990. V. 214. P. 43-57.

Munk W.H., Snodgrass F.E., Gilbert F. Long waves on the continental shelf: an experiment to separate trapped and leaky modes // J. Fluid Mech. 1964. V. 20. Pt. 4. P. 529 - 544.

Okada Y. Surface deformation due to shear and tensile faults in a half-space // Bull. Seism. Soc. America. 1985. V. 75. P. 1135 - 1154

Ostrovsky L., Stepanyants Yu. Do internal solitons exist in the ocean? // Rev. Geophys. 1989. V. 27. P. 293 - 310.

Reid H.F., Taber S. The Virgin Islands Earthquakes of 1867 - 1868II Bull. Seismol Soc. America. 1920. V. 10. P. 9 - 30.

Rossby C.G. Planetary flow patterns m the atmosphere // Quart. J. Meteor. Soc. Suppl. 1940. V. 66. P. 68 - 87.

Rossby C.G. On displacements and intensity changes of atmospheric vortices // J. of Marine Res. 1948. V. 7. № 3. P. 175 - 187.

Stoker T.F., Johnson E.R. The trapping and scattering of topographic waves by estuaries and headlands // J. Fluid Mech. 1991. V. 222. P. 501 - 524. Tang Y.M., Grimshaw R. A modal analysis of coastally trapped waves generated by tropical cyclones // J. Phys. Oceanography. 1995. V. 25. P. 1577 - 1598. Whitham G.B. Nonlinear effects in edge waves // J. Fluid Mech. 1976. V. 74. P. 353 -368.

Yalciner A., Pelinovsky E., Okal E., Synolakis C. Submarine Landslides and Tsunamis. - Kluwer, 2003.

Yeh H.H. Nonlinear progressive edge waves: their instability and evolution // J. Fluid Mech. 1985. V. 152. P. 479 - 499.

Zhou X., Grimshaw R. The effect of variable currents on internal solitary waves // Dynamics Atmos. Oceans. 1989. V. 14. P. 17 - 39.

»14568

РНБ Русский фонд

2006-4 9058

Андрей Александрович Куркин

НЕЛИНЕЙНАЯ И НЕСТАЦИОНАРНАЯ ДИНАМИКА ДЛИННЫХ ВОЛН В ПРИБРЕЖНОЙ ЗОНЕ

Автореферат

Подписано в печать 15.06.2005. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2. Зак. 829. Тир. 150.

Типография Нижегородского госуниверситета. Лиц. ПД № 18-0099 от 04.05.2001. 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Куркин, Андрей Александрович

Содержание

Введение

Глава 1. Моделирование волн цунами и их долгосрочный прогноз

1.1. Модифицированный вычислительный комплекс «Цунами» для расчетов 17 длинных волн и оценки рисков, связанных с цунами

1.1.1. Методы оценки цунами риска

1.1.2. Основные уравнения модели

1.1.3. Модифицированный комплекс «ЦУНАМИ»

1.2. Моделирование Виргинского цунами 1867 г. в Карибском море

1.3. Оценка цунами потенциала для Карибского моря

1.3.1. Сильные цунами в Карибском море

1.3.2. Потенциальные источники цунами

1.3.3. Анализ результатов расчета высот волн в Карибском море

1.3.4. Ослабление цунами с расстоянием

1.4. Сравнительная оценка цунамиопасности Япономорского побережья Россия 60 на основе численного моделирования

1.4.1. Исторические данные о цунами в Приморье и западном побережье 60 Сахалина

1.4.2. Численное моделирование исторических и гипотетических цунами

1.5. Цунами в Черном море: анализ натурных данных и численные расчеты

1.5.1. Исторические данные о цунами в Черном море

1.5.2. Моделирование цунами 1966 г. около г. Анапа и сопоставление с из- 76 мерениями в некоторых точках российского побережья

1.5.3. Оценка цунами риска для Российского побережья Черного моря

1.6. Моделирование цунами 1597 г. в реке Волге

1.7. Генерация цунами движущимися источниками

1.7.1. Генерация волн цунами атмосферными возмущениями

1.7.1.1. Линейная генерация длинных волн вариациями атмосферного 91 давления

1.7.1.2. Нелинейная модель генерации цунами атмосферными возму- 94 щениями

1.7.1.3. Численное моделирование генерации длинных волн в океане 99 при прохождении циклона «Лили»

1.7.2. Генерация волн цунами при сходе подводного оползня

1.8. Моделирование распространения катастрофического цунами (26 декабря 108 2004 г.) в Индийском океане

1.9. Выводы

Глава 2. Нелинейная и нестационарная динамика краевых волн в шельфо- 115 * вой зоне

2.1. Распространение и фокусировка краевых волн Стокса

2.2. Дисперсионное сжатие краевых волн над вогнутым экспоненциальным 134 шельфом

2.3. Усиление краевых волн в бассейне с переменной вдоль берега топографией

2.4. Нелинейное уравнение Шредингера для краевых волн Стокса

2.5. Сопоставление эффектов самомодуляции и дисперсионной фокусировки 173 краевых волн Стокса

2.6. Рассеяние солитона над периодическим и шероховатым дном

2.6.1. Линейная теория трансформации импульса

2.6.2. Трансформация солитона над длинным препятствием

2.6.3. Распространение солитона над случайным дном

2.7. Выводы

Глава 3. Нелинейные модели крупномасштабных волновых движений

3.1. Нестационарная динамика волн Россби (в рамках уравнения Обухова - Чар- 204 ни)

3.2. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби в параболоиде

3.2.1. Волны Россби во вращающемся параболоиде в приближении жесткой 215 крышки

3.2.2. Волны Россби в параболическом слое жидкости со свободной по- 220 верхностью

3.2.3. Резонансные взаимодействия баротропных волн Россби внутри вра- 225 щающегося параболоида

3.3. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн во вращаю- 230 щейся жидкости

3.4. Расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфо- 243 вых волн

3.5. Нелинейные топографические волны Россби

3.5.1. Топографические волны Россби в канале с дном в форме ступеньки

3.5.2. Топографические волны Россби в канале с плоским наклонным дном

3.6. Выводы

Глава 4. Динамика нелинейных внутренних волн в стратифицированном 282 океане

4.1. Излучательная неустойчивость волн отрицательной энергии в двухслойной 284 % жидкости

4.2. «Двумерное» уравнение Кортевега - де Вриза для внутренних волн

4.3. Трансформация солитонов внутренних волн в горизонтально - неоднород- 304 ном океане (с приложением к арктическому бассейну)

4.3.1. Основная модель

4.3.2. Уединенные внутренние волны в модели Гарднера

4.3.3. Трансформация солитона в горизонтально неоднородном океане

4.4. Эволюция солитона в рамках уравнения Гарднера с переменным коэффици- 318 ентом кубической нелинейности

4.4.1. Приближенная теория

4.4.2. Результаты численного моделирования

4.5. Механизмы образования внутренних волн аномально большой амплитуды

4.5.1. Основные уравнения

4.5.2. Механизм нелинейно — дисперсионного сжатия

4.5.3. Генерация бризеров и солитонов, как механизм образования ано- 338 мальных волн

4.5.4. Генерация внутренних «волн-убийц» за счет модуляционной неус- 341 тойчивости

4.5.5. Образование внутренних волн большой амплитуды при смене знака 343 квадратичной и кубической нелинейности

4.6. Выводы 349 Заключение 351 Список литературы

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне"

Актуальность темы и цели исследования

Прогноз цунами невозможен без широкого применения численных методов расчета распространения волн цунами. Они применяются для описания уже прошедших цунами и направлены, в первую очередь, на проверку механизма генерации волн цунами сейсмическими и оползневыми источниками, что очень важно для развития системы оперативного оповещения о цунами (службы цунами), поскольку позволяют оценить опасность цунами сразу по характеристикам только что прошедшего сейсмического события. Многие события удается достаточно хорошо промоделировать, в том числе, практически сразу после события, обладая минимальной информацией о параметрах землетрясения. В качестве примера, можно указать на Шикотанское цунами 5 октября 1994 г., которое были промоделировано непосредственно после землетрясения, и результаты этих расчетов подтвердились затем в ходе экспедиционного обследования [45, 110]. Качественно расчеты последнего разрушительного цунами, случившегося 26 декабря 2004 г. в Индийском океане, выполненные с участием автора [К5], находятся в согласии с наблюдаемыми данными. Тем не менее, проблема сейсмического источника является достаточно трудной, и в последнее время распространенным становится мнение, что землетрясение играет роль триггера, инициирующее оползневые явления на подводном склоне, которые и ответственны за генерацию волн цунами [350]. Другой важной задачей приложения численных методов является определение оптимальных условий расположения датчиков гидрофизической подсистемы оповещения о цунами, развиваемой для Тихоокеанского побережья России [109, 110] и ускорения оперативного прогноза характеристик цунами в различных пунктах побережья с учетом данных уровневых станций [53]. Третьей важной задачей является долгосрочный прогноз цунами, особенно для пунктов, слабо обеспеченных данными наблюдений. Здесь обычно задача сводится к вычислению возможных высот волн в различных пунктах побережья от возможных источников в основной сейсмической зоне [94, 147]. Такой подход оказался эффективным для разработки схемы цунами районирования Тихоокеанского побережья России [23]. К сожалению, для многих морей, включая все российские моря, не удается схематизировать обобщенный очаг цунами, так что расчет любого сценария развития цунами имеет академический характер. Для таких ситуаций сейчас с участием автора активно разрабатывается метод оценки цунами - риска (потенциала) побережья, основанный на статистическом анализе многих сценариев развития цунами.

Наиболее сильное влияние на поведение крупномасштабных поверхностных волн типа цунами в прибрежной зоне океана оказывают захваченные волны. Имеются многочисленные данные наблюдений реальных цунами, например Камчатского цунами 4 октября 1952 г. [242] и цунами 25 апреля 1992 г. с эпицентром около мыса Мендосино (Западное побережье США) [207], интенсивность и поведение которых в прибрежной зоне океана нельзя объяснить без привлечения теории захваченных волн. С их помощью легко объясняется также неравномерность изменения высоты волны цунами вдоль побережья [95, 147]. В целом, примерно до 70% волновой энергии цунами распространяется вдоль Курильских островов в виде захваченных волн [141].

Вблизи берега на захваченные волны приходится 95 - 98% энергии, которая может передаваться вдоль волновода на большие расстояния без существенных потерь. До сих пор остается открытым вопрос о причине гораздо более высокой энергонасыщенности захваченных волн по сравнению с волнами открытого океана, несмотря на то обстоятельство, что область захвата волн, как правило, занимает лишь 5 — 10% площади океана [289]. Одним из видов захваченных волн являются краевые волны. Коротко-масштабные краевые волны играют определяющую роль во многих процессах береговой динамики, таких как формирование структуры линии берега и его рельефа, процессы, связанные с морфологией дна в прибрежной зоне и др. [69, 112, 150, 162, 166 - 169, 203, 231, 232, 235, 236, 254, 275, 276]. В настоящее время имеется множество фактов, подтверждающих их существование в волновом поле в прибрежной зоне океана (см., например, [167, 173, 237, 238]). Крупномасштабные краевые волны являются важной компонентой движений воды, производимых циклонами, движущимися вдоль береговой линии [337].

В последнее время пристальное внимание привлекают также другие виды крупномасштабных захваченных волн: волны Кельвина, шельфовые волны, топографические волны Россби и пр., которые доминируют в зоне шельфа - континентального склона в экваториальной зоне, а также вблизи фронтальных разрезов [19, 41, 69, 76, 93, 142]. Наблюдения последних лет показали, что эти волны оказывают существенное влияние на разнообразные процессы в океане. Например, такие разнородные явления, как топографические вихри, меандрирование пограничных течений (Гольфстрима и др.), апвеллинг (подъем на поверхность холодных масс воды вблизи берега), перенос донных материалов, тесно связаны с захваченными волнами [41, 69, 142]. Кроме того, они участвуют в формировании океанской циркуляции, приливов, штормовых нагонов, цунами и даже влияют на погоду и климат морей и океанов (см., например, [41, 112]).

При изучении различных проблем волновой динамики океана необходимо также рассмотреть так называемые планетарные вихри и волны, носящие имя К.Г. Россби, показавшего их фундаментальную роль в процессах глобальной циркуляции атмосферы [322, 323]. Представление о важной роли волн Россби в жизни океана детализировано сравнительно недавно. Выяснилось, что существенная для многих приложений (например, для мореплавания, рыболовства или гидроакустики) конкретная океанографическая «погода» определяется именно волнами Россби и тесно связанными с ними сугубо нелинейными индивидуальными образованиями в виде синоптических вихрей.

Еще одним интересным объектом нелинейных волновых движений в прибрежной зоне океана являются внутренние волны, существующие в океане благодаря его расло-енности по температуре, солености и течению. Такие волны влияют на движение подводных аппаратов, распространение акустических сигналов, размывы грунта под нефтяными и газовыми платформами. Внутренние волны наблюдаются также во многих озерах. Наблюдения внутренних волн суммированы в ряде книг [56, 74, 77, 123, 241]. Внутренние волны хорошо воспроизводятся в лабораторных условиях (см., например, [5, 12, 50, 75, 78, 134, 136]). Нелинейные внутренние волны, в частности солитоны большой амплитуды, активно обсуждаются в литературе [220, 221, 229, 272, 281, 302].

Линейная теория длинных волн представляет собой достаточно хорошо разработанный и устоявшийся раздел теории волн в океане [41, 69, 74, 77, 95, 112, 123, 142], однако, нелинейные аспекты теории, особенно захваченных волн, изучены еще недостаточно. Имеющиеся трудности связаны с тем, что при изучении данного класса волн, океан проявляет себя как существенно неоднородная, а с учетом вращения Земли, и неизотропная среда. Сейчас считается, что короткомасштабные краевые волны генерируются случайными ветровыми волнами из-за сильной нелинейности поля ветровых волн - механизм параметрической генерации и/или нелинейного детектирования [153, 165, 199, 222, 284]. В работе [202] подчеркнуто, что до настоящего времени нет никаких количественных моделей, описывающих эволюцию берега под действием краевых волн. Следует также отметить, что большинство теоретических работ, посвященных изучению краевых волн, рассматривают бассейны с цилиндрической геометрией дна, т.е. случай, когда глубина жидкости является только функцией поперечной к берегу координаты. Реальная же ситуация более сложная, так как нужно учитывать двумерную изменчивость глубины жидкости и этому посвящено только несколько работ. Например, в работе [331] изучается захват и рассеяние топографических волн устьями рек и мысами, а, недавно, в работе [160] были рассмотрены рассеяние краевых волн проницаемыми прибрежными структурами, которые расположены перпендикулярно к береговой линии. Кроме того, в работах [176, 177] изучено резонансное рассеяние прогрессивных краевых волн вдольбереговой периодической топографией. При изучении нелинейных внутренних волн в настоящее время используется несколько направлений. Первое из них использует уравнение Корте-вега — де Вриза [164], которое, будучи одномерным по форме, описывает двумерные волновые движения жидкости. Затем, была учтена трехмерность волновых движений [70] и сила Кориолиса, обусловленная вращением Земли [88, 211]. В это же время было получено обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза для жидкости переменной глубины [103, 193]. В последние десять лет активизировались работы по получению расширенных уравнений Кортевега - де Вриза для жидкости с произвольной и/или многослойной стратификацией [97, 139, 213, 228, 229, 257].

Исходя из всего выше сказанного, основной целью диссертации выбрано изучение нелинейной и нестационарной динамики длинных волн в прибрежной зоне с приложениями к прогнозу морских природных катастроф. В качестве первой цели выбрана разработка метода оценки цунами — риска (потенциала) побережья, основанного на статистическом анализе многих сценариев развития цунами. Второй целью диссертации является исследование нелинейной и нестационарной динамики захваченных волн, волн Россби и внутренних волн, приводящей к формированию аномально больших волн типа волн-убийц, хорошо известных для ветровых волн.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту

Научная новизна диссертационной работы определяется полученными оригинальными результатами:

1. Разработан модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI» для оценки рисков, связанных с цу8 нами. Во-первых, удалось значительно уменьшить время счета за счет распараллеливания вычислений. Во-вторых, разработан новый интерфейс программы, позволяющей рассчитать характеристики цунами, обработать полученные данные и подготовить данные к презентации.

2. Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамиi ф ческом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет исследовать сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для выделения зон с разным уровнем цунами риска в Японском, Черном и Карибском морях.

4. Выполнено численное моделирование ряда исторических цунами в Карибском и Черном морях, в том числе катастрофического цунами в Индийском океане, возникшего после сильнейшего землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия). Рассчитаны диаграмма направленности волн цунами и распределение высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов сопоставлены с данными наблюдений.

5. Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых типов подводного рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды — «краевых волн-убийц». Исследован процесс перестройки краевых волн при условии медленной вдольбереговой изменчивости подводного рельефа в рамках асимптотического подхода.

6. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Показано, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они более часто появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), которая находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде при произвольной высоте неровностей. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа. Показана возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова — Чарни аналитически и численно. Показано, что дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, приводящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби.

Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболоидном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн. Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью га-мильтонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее. Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега - де Вриза и уравнению Гарднера. Впервые показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится исчезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.

12. Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега — де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна при постоянном параметре Кориолиса.

13. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега - де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры.

14. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

15. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия, генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения, модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде. Ранее второй и четвертый механизмы не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

Практическая значимость результатов работы

• «Нелинейная динамика захваченных волн в прибрежной зоне» (Минобразование России № АОЗ-2.13-401), 2003 г.

• «Extreme waves» (INTAS 99-1637), 2000 - 2002 гг. а также в следующем проекте, выполняемом в настоящее время

• «Нелинейная эволюция захваченных волн в шельфовой зоне океана» (РФФИ № 0305-64975), 2003-2005 гг.

Их практическая значимость заключается в следующем:

• предложенный метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря, может быть использован при изучении сравнительной защищенности различных участков побережья. Сделанные оценки для Японского и Черного морей могут быть использованы в экспертной системе оценки риска цунами, разрабатываемых для этих регионов;

• полученные теоретические результаты, показывающие возможность образования аномально больших краевых волн могут быть использованы для прогнозирования появления сильных краевых волн, которые могут интенсифицировать процессы перераспределения наносов в прибрежной зоне, а также приводить к аномальным и кратковременным наводнениям локального характера, наблюдаемым в прибрежной зоне.

Апробация работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [К1 - К41] и докладывались на следующих международных конференциях: Генеральные Ассамблеи Европейского геофизического общества (Гаага, Нидерланды, 1999; Ницца, Франция, 2000 -2004; Вена, Австрия, 2005); Международной конференции «Потоки и структуры в жидкости» (Санкт Петербург, Россия, 1999, 2003; Москва, Россия, 2001, 2005); Двенадцатой зимней школе по механике сплошных сред, Пермь, Россия, 1999; Международной конференции ПРОТЭК'99, Москва, Россия, 1999; Международной школе-семинаре «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентности», Москва, Россия, 2000; Международных летних школах «Современные проблемы механики», Санкт Петербург, Россия, 2000 — 2005; Международной конференции «Взаимодействие структур жидкости», Халкидики, Греция, 2001; Международном симпозиуме по длинным волнам, Тессалоники, Греция, 2003; Международной конференции IUGG, Саппоро, Япония, 2003; Международном симпозиуме «Актуальные проблемы физики нелинейных волн», Н. Новгород, Россия, 2003; Международном симпозиуме по наукам об океане, Портланд, США, 2004; Совместной ассамблеи геофизических обществ, Монреаль, Канада, 2004; Всесоюзной молодежной научно-технической конференции «Будущее технической науки», Н. Новгород, Россия, 2004, 2005; Двадцать первом международном конгрессе по теоретической и прикладной акустике (ICTAM04), Варшава, Польша, 2004; Шестом международном симпозиуме по прибрежной механике, Владивосток, Россия, 2004; Второй межведомственной конференции «Проявление глубинных процессов на морской поверхности», Н. Новгород, Россия, 2005.

Автор выражает благодарность, прежде всего, научному консультанту профессору, лауреату Государственной премии России Ефиму Наумовичу Пелиновскому за большую помощь и безграничное терпение, проявленные им при обсуждении настоящей диссертации. Также автор выражает благодарность своим соавторам: к.ф.-м.н. А.В. Слюняеву, к.ф.-м.н. О.Е. Полухиной, А.И. Зайцеву, В.А. Дубининой, А.С. Козелкову, Н.М. Самариной, Н.В. Полухину, без которых не были бы написаны многие работы.

Также автор благодарит коллектив кафедры «Прикладная математика» Нижегородского государственного технического университета, д.ф.-м.н. Н.С. Петрухина, д.ф.м.н. С.Н. Митякова, д.т.н. Ю.М. Максимова, д.ф.-м.н. А.И. Потапова, Е.Ф. Листопада за создание благожелательной, творческой атмосферы на кафедре, позволившей автору закончить диссертацию.

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Куркин, Андрей Александрович

4.6. Выводы

В заключение сформулируем основные результаты исследований динамики нелинейных внутренних волн в стратифицированном океане, полученных в этой главе:

1. Показано, что внутренние волны в двухслойном потоке излучательно неустойчивы, и рассчитан инкремент такой неустойчивости. Дано описание нелинейной стадии неустойчивости в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с добавлением слагаемых, отвечающих за неустойчивость и диссипацию. Показано, что в результате эволюции солитоны огибающих приходят к равновесному стационарному состоянию. Приведены оценки, свидетельствующие о возможности проявления излуча-тельной неустойчивости в океанских условиях.

2. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега — де Вриза для решения практических задач.

3. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры.

4. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

5. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия, генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения, модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде, причем второй и четвертый механизмы ранее вообще не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

В диссертации представлены следующие результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан модифицированный вычислительный комплекс «ЦУНАМИ» на основе известного международного кода «TUNAMI» для оценки рисков, связанных с цунами. Во-первых, удалось значительно уменьшить время счета за счет распараллеливания вычислений. Во-вторых, разработан новый интерфейс программы, позволяющей рассчитать характеристики цунами, обработать полученные данные и подготовить данные к презентации. Этот пакет использован для моделирования распространения волн цунами в Японском, Черном и Карибском морях. С его помощью выполнено моделирование ряда исторических цунами, хорошо обеспеченных данными наблюдений. В частности, исследованы волны цунами, вызванные землетрясениями на Виргинских островах в 1867 г. и в Черном море (вблизи г. Анапа) в 1966 г.; вулканическим извержением на острове Монтсеррат (Карибское море) в 2003 г. Обсуждается также цунами 1597 г. в реке Волга (в районе г. Нижнего Новгорода), вызванное сходом оползня с высокого берега. Выполнено также численное моделирование крупнейшего цунами в Индийском океане, возникшего после землетрясения 26 декабря 2004 г. около северной оконечности о-ва Суматра (Индонезия). Рассчитаны диаграммы направленности волн цунами и распределения высот волн вдоль побережья. Результаты расчетов находятся в хорошем согласии с имеющимися данными наблюдений.

2. Предложен метод оценки цунами риска (потенциала), основанный на гидродинамическом моделировании распространения волн от удаленных источников, произвольно расположенных в акватории моря. Он позволяет сопоставить сравнительную защищенность различных участков побережья. Метод применен для оценки цунами потенциала российского побережья Японского и Черного морей, а также побережья Карибского моря.

4. Исследованы дисперсионные эффекты в поле краевых волн для некоторых типов подводного рельефа. Показано, что дисперсионные эффекты могут приводить к возникновению кратковременных трехмерных импульсов большой амплитуды — «краевых волн-убийц». Этот процесс реализуется для произвольного цилиндрического рельефа дна и любого номера моды. Установлено также, что слабая вдольбереговая изменчивость подводного рельефа ведет к изменению амплитуды и длины краевой волны. Этот процесс рассчитан в рамках асимптотического подхода для нескольких типов подводного рельефа. Выведено нелинейное уравнение Шредингера для краевой волны Стокса с любым номером моды. Получено, что волны любой моды являются модуляционно неустойчивыми, и нелинейная поправка к частоте положительна. Коэффициент нелинейности спадает с увеличением номера моды, так что нелинейные эффекты при прочих равных условиях играют меньшую роль с увеличением номера моды. Исследованы процессы появления краевых «волн-убийц» в результате дисперсионного сжатия и нелинейной самомодуляции. Показано, что дисперсионное сжатие может приводить к большим амплитудам необычных волн, однако, они чаще появляются за счет нелинейной самомодуляции. Выполнена оценка времени жизни краевых «волн-убийц» (10 мин), которая находится в удовлетворительном согласии с длительностью наводнения (3 мин), произошедшего на Черном море в 2000 г.

5. Решена задача о рассеянии солитона в бассейне с периодически изменяющимся дном. В приближении кусочно-постоянного дна и короткого импульса удалось получить выражение для декремента линейного импульса и солитона в явном виде. Полученное выражение для декремента линейной волны согласуется с экспериментальными и теоретическими результатами для волны над случайно изменяющимся кусочно-постоянным дном. Показано, что декремент солитона чувствителен к особенностям донного рельефа.

6. Продемонстрирована возможность образования аномальных импульсов (вихрей) в поле волн Россби, которые могут быть названы крупномасштабными «волнами-убийцами». Эти результаты получены в рамках модели Обухова - Чарни аналитически и численно. Показано, что дисперсионное сжатие пакетов волн Россби, приводящее к образованию аномально высоких импульсов, возможно на фоне случайного поля малоамплитудных волн Россби.

7. Дано гамильтоново описание баротропных волн Россби в тонком параболоидном слое жидкости. Рассчитана матрица нелинейного трехволнового взаимодействия и проанализирована устойчивость квазимонохроматических пакетов волн Россби по отношению к эффектам трех- и четырехволнового взаимодействия рассматриваемых волн. Сделаны численные оценки инкрементов развития распадной и модуляционной неустойчивостей при типичных параметрах возбуждаемых волн.

8. Выполнены расчеты взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре с помощью гамиль-тонова формализма. Построенная теория позволила исследовать нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. Для этого процесса найдены инкременты неустойчивости возбуждаемых волн, проведено их сопоставление с известными экспериментальными данными и сравнение эффективности этого механизма неустойчивости с рассматривавшимися ранее.

9. Выведено расширенное уравнение Кортевега - де Вриза для континентальных шельфовых волн с помощью метода многих масштабов. Выполнено асимптотическое сведение полученного уравнения к уравнению Кортевега — де Вриза и уравнению Гарднера. Показано, что имеются геометрии шельфа, при котором квадратичная нелинейность для шельфовых волн становится исчезающе малой, так что эффекты кубической нелинейности становятся принципиальными.

10. Выведено нелинейное эволюционное уравнение для топографических волн Россби в случае плавного изменения глубины вдоль широты. В первом порядке оно совпадает с уравнением Кортевега — де Вриза, выведенном ранее, а в высших порядках содержит дифференциальные и интегральные слагаемые. Все коэффициенты представлены в интегральной форме через решения соответствующих неоднородных краевых задач. Построенная теория проиллюстрирована на примерах волн Россби в канале с дном в виде ступеньки и плоским наклоном дна.

11. Показано, что внутренние волны в двухслойном потоке излучательно неустойчивы и рассчитан инкремент такой неустойчивости. Дано описание нелинейной стадии неустойчивости в рамках обобщенного нелинейного уравнения Шредингера с добавлением слагаемых, отвечающих за неустойчивость и диссипацию. Показано, что в результате эволюции солитоны огибающих приходят к равновесному стационарному состоянию. Приведены оценки, свидетельствующие о возможности проявления излуча-тельной неустойчивости в океанских условиях.

12. Доказано, что существующие в настоящее время различные версии нелинейного эволюционного уравнения для трансформации внутренних волн в неоднородном, в общем случае — трехмерном, океане эквивалентны между собой. В вычислительном плане это означает возможность использования более простого лучевого уравнения Кортевега — де Вриза для решения практических задач. Исследована трансформация солитонов внутренних волн в море Лаптевых с учетом реальной горизонтально изменчивой гидрологии. Рассчитаны формы уединенных внутренних волн и выяснены условия существования солитонов предельной амплитуды (так называемых столообразных солитонов). Показано, что реальная горизонтальная изменчивость гидрологии на трассах порядка 100 км не разрушает форму солитона, а только влияет на его параметры. Получено асимптотическое квазисолитонное решение уравнения Гарднера с переменным коэффициентом кубической нелинейности и выполнены численные расчеты в рамках исходного уравнения. Рассмотрены случаи как медленного, так и быстрого изменения коэффициента кубической нелинейности. Численное моделирование подтвердило сценарии трансформации солитона, полученные в рамках асимптотических формул.

13. Показана возможность образования аномальных внутренних волн («внутренних волн-убийц») за счет нескольких механизмов, а именно: дисперсионного сжатия; генерации и взаимодействия солитонов и бризеров из импульсного возмущения; модуляционной неустойчивости слабомодулированных волновых пакетов и трансформации нелинейных внутренних волн в горизонтально-неоднородной среде. Ранее второй и четвертый механизмы не рассматривались в проблеме «волн-убийц», а они справедливы именно для внутренних волн.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Куркин, Андрей Александрович, Нижний Новгород

1. Абузяров З.К. Морское волнение и его прогнозирование. Л.: Гидрометеоиздат, 1981. 166 с.

2. Антипов С.В., Незлин М.В., Родионов В.К., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Солитоны Россби: устойчивость, столкновения, асимметрия и генерация течениями со сдвигом скорости //ЖЭТФ. 1983. Т. 84. Вып. 4. С. 1357 1371.

3. Антипов С.В., Незлин М.В., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Солитоны Россби в лаборатории // ЖЭТФ. 1982. Т. 82. Вып. 1. С. 145 159.

4. Антипов С.В., Незлин М.В., Снежкин Е.Н., Трубников А.С. Автосолитон Россби и лабораторная модель Большого Красного пятна Юпитера // ЖЭТФ. 1985. Т. 9. Вып. 6. С. 1905-1920.

5. Атлас единой глубоководной системы европейской части РСФСР. Минренфлот РСФСР, т. 5. Река Волга, 1981. 78 с.

6. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972. 456 с.

7. Бабков В.Ф., Безрук В.М. Основы грунтоведения и механики грунтов. — М.: Высшая школа, 1986. 239 с.

8. Бенилов Е.С., Пелиновский Е.Н. К теории распространения волн в нелинейных флуктуирующих средах без дисперсии // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 1. С. 175 185.

9. Берестов А.Л. Уединенные волны Россби // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15. № 6. С. 648 654.

10. И. Берестов А.Л., Монин А.С. Уединенные волны Россби // Успехи механики. 1980. Т. 3. С. 3-34.

Информация о работе

Куркин, Андрей Александрович
доктора физико-математических наук
Нижний Новгород, 2005
ВАК 25.00.28

Диссертация

Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне"

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Куркин, Андрей Александрович

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне"

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Куркин, Андрей Александрович

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Куркин, Андрей Александрович, Нижний Новгород

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Нелинейная и нестационарная динамика длинных волн в прибрежной зоне
ВАК РФ 25.00.28, Океанология