Бесплатный автореферат и диссертация по географии на тему

Нелинейная динамика волн завихренности в океане

ВАК РФ 11.00.08, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Нелинейная динамика волн завихренности в океане"

РОССИЙСКАЯ-АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ОКЕАКОДОГИИ им. П.П.ШИРШОВА

РГБ ОД

2 7 ЯИЯ Ю07

На правах рукописи ГЮР01ЮВИЧ ВЯЧЕСЛАВ ВИКТОРОВИЧ

УДК 551.465

1ЕЛ1ШЕЙНАЯ ДИНАМИКА ВОЛН ЗАВИХРЕННОСТИ В ОКЕАНЕ Специальность 11.00.08 - океанология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математинеских наук

Мое к па - 3996

Работа выполнена в Институте океанологии им. П.П.Шнршова РАН

Научный руководитель:

кандидат фнз.-мат. наук В.И.Шрпра Официальные оппоненты:

доктор фнз.-мат. наук Н.Н.Романова

доктор фнз.-мат. наук' '" В.В.Жмур

Ведущая организация - Институт водных проблем РАН

Зашита состоится ". В часов

на заседании Специализированного совета К.002.86.02 по присуждению ученой степени кандидата наук п Институте океанологии пм. П.П.Шнршова РАН по адресу: 117218, Москва, ул. Красикова, 23

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института океанологии им. П.П.Шнршова РАИ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Волновые движения представляют собой широко распространенное и активно изучаемое природное явление, ответственное за значительную часть наблюдаемой изменчивости гидрофизических полей в океане. Основные физические механизмы, обеспечивающие существование волн в океане хорошо известны: гравитация для волн на границе раздела океан - атмосфера (поверхностные волны) и в толще стратифицированного по плотности океана (внутренние волны), сила Корнолиса (инерционные волны), а также неоднородность поля планетарной завихренности, создаваемая изменениями параметра Корнолиса с широтой (Р-эффект), либо изменениями глубины океана (топографический /?-эффект).

Существует, однако, и другой источник локальной неоднородности поля завихренности, а следовательно и возможного волнового движения, повсеместно встречающийся в океане, а именно сдвиговые течения. Последние приводят к возникновения нового и сравнительно мало изученного класса движений, сдвиговых волн или волн завихренности, представляющих собой тип движения, промежуточный между волновым и пихрепым, которые в определенных условиях могут описываться как волны. Подобный формализм особенно эффективен для описания длинноволновых движений в течениях типа пограничного слоя на границе раздела океан - атмосфера и в прибрежной зоне, где их типичной чертой является малость характерного масштаба изменчивости течения по сравнению с продольным масштабом возмущения. Такие движения, представляющие собой прежде всего интенсивные колебания продольной составляющей скорости, могут существовать в неоднородном поле завихренности, созданном сдвиговым течением, даже когда эффекты, связанные со стратификацией, вращением или изменчивостью поля планетарной завихренности пренебрежимо слабы. Волны завихренности представляют собой слабо-дпепергнруюшие и, что особенно важно, слабозатухаюшие пакеты волн сплошного спектра и, в определенном смысле, являются промежуточной асимптотикой начальных возмущений произвольной формы на умеренно

больших временах.. Это принципиальное обстоятельство, обнаруженное в работе Шрира (1989) позволяет использовать подобный формализм для описания эволюции возмущений в стационарных сдвиговых течениях на умеренно больших временах. Взаимодействие волн с течениями представляет собой другую важную проблему гидродинамики и океанологии, где использование представления о волнах завихренности позволяет достигнуть значительного прогресса. Хотя классическая теория волн достигла значительных успехов в изучении линейной и отчасти нелинейной динамики океанских волн, вопросы взаимодействия волн и течений все еще в значительной степени не разрешены. Концепция же волн завихренности позволяет в определенных условиях изучать взаимодействие волн и течений в рамках формализма волна - волна, что дает возможность существенно достигнуть существенного прогресса в его изучении.

Процессы на границе раздела океан - атмосфера исключительно важны как с точки зрения проблем глобальной циркуляции океана, прогноза погоды и создания климатических моделей, так и в контексте развития дистанционной диагностики океана. Среди этих процессов волны завихренности занимают особое место. С одной стороны, будучи локализованы в непосредственной близости к свободной поверхности, эти движения создают весьма заметные вариации горизонтальной скорости на поверхности, что приводит к сильной модуляции коротких ветровых волн и, в частности, к сильной перемежаемости их обрушений. Последнее обстоятельство может заметно менять не только локальные характеристики (альбедо, шероховатость) и через них локальные потоки тепла и импульса, но и пространственно осредненные потоки на границе океан - атмосфера. С другой стороны, по своим пространственным и временным масштабам волны завихренности оказываются близки к внутренним гравитационным волнам, локализованным в верхнем гшкноклпне, что позвволяет ожидать интенсивного взаимодействия между этими двумя классами движений и, тем самым, более интенсивных проявлений движений в пикноклине на морской поверхности. Представляется также вероятным, что процессы обрушения волн завихренности могут играть

заметную роль а заглублении квазноднородного слоя. Таким образом, весьма актуальным является построение моделей нелинейной динамики волн завихренности и исследование их вхаимодействпя с другими типами движении, п первую очередь с внутренними гравитационными волнами.

В святи с интенсификацией хозяйственной деятельности в прибрежной зоне резко возрос интерес к фундаментальным проблемам ее динамики, особенно к процессам массопсреноса и морфолинамики. В последнее время предметом весьма активного изучения стали коротковолновые движения во вдольбереговых сдвиговых течениях, образуемых в результате обрушения ветровых волн и обычно имеющих- немонотонный профиль скорости. Эти движения, наблюдавшиеся как в натурных экспериментах (ОНтап-ЭЬау а а1. 1989), так и детально исследовавшиеся в лабораторных условиях (Пешек еЛ а1. 1994) обычно интерпретировались в терминах линейных волн завихренности (Волусп Но1шап 1989). Однако, ряд качественных особенностей наблюдавшихся волн не смог получить объяснения в рамках линейной теории, что делает весьма актуальной проблему построения теории их нелинейной динамики.

Таким образом, изучение динамики волн завихренности и их взаимодействия с другими типами волновых движений в океане представляет собой важную и актуальную задачу современной океанологии. Основной целью работы является изучение принципиальных особенностей нелинейной динамик» волн завихренности, как в стратифицированных сдвиговых течениях в открытом океане, так и во вдольбереговых течениях в прибрежной зоне, а также рассмотрение вопросов взаимодействия волн завихренности с волновыми движений других типов. Основные задачи.

1. Исследовать нелинейную динамик}' волн завихренности в приповерхностных течениях стратифицированной жидкости. Построить модель, описывающую их нелинейную динамику, выяснить влияние стратификации плотности жидкости на основные особенности рассматриваемого класса движений, такие как дисперсионные характеристики, затухание, возможность существования нелинейных уе-

диненных волн.

2. Построить теорию резонасного взаимодействия внутренних волн с приповерхностным сдвиговым течением как на глубокой, так и на мелкой воде, и выяснить его влияние на интенсификацию поверхностных проявлений внутренних волн.

3. Рассмотреть нелинейную динамику волн завихренности на океанском течении, имеющем профиль типа погранслоя в прибрежной зоне. Построить модель, описывающую их нелинейную динамику, выяснить влияние вращения Земли и крупномасштабных изменений глубины океана на основные особенности рассматриваемого класса движений, такие как дисперсионные характеристики, затухание, возможность существования и основные свойства нелинейных уединенных волн. Выяснить роль неоднородностей береговой линии как механизма возбуждения волн завихренности.

4. Исследовать нелинейную неустойчивость как механизм генерации волн завихренности в прибрежной зоне на течениях с существенно немонотонным профилем скорости, возникающих в результате обрушения поверхностных гравитационных волн.

Научная новизна. Представление о движениях жидкости, поддерживаемых исключительно сдвиговым течением, впервые возникло в гидромеханике при изучении погранслоев на пластине и течений в каналах, где они понимались как невязкий предел волн Толмина-Шлихтинга большой амплитуды. Собственно термин vorticity waves был предложен в работе Pedley к, Stephanoff (1985), посвященной наблюдению движений подобного типа в теченшш Пуаэейля в симметричном канале. С другой стороны, как в гидродинамике, так и в океанологии уже много лет известны сдвиговые моды, возникающие на скачках завихренности в течениях с кусочно-линейным профилем скорости (достаточно упомянуть классическую задачу о неустойчивости Кельвнна-Гельмгольца). Однако последние представляют собой реальные моды дискретного спектра в отличие от расматриваемых в данной работе. Основополагающая концепция волн

завихренности п течениях типа погранслоя как промежуточной асимптотики эволюции возмущения обшего типа была сформулирована в работе Шрпры (1989), где были исследованы основные свойства движений подобного типа в однородной жидкости. Позднее был обнаружен резонансный механизм взаимодействия внутренних волн с приповерхностным сдвиговым течением (Реутов 1990).

Начало исследованиям коротких волн завихренности в океане было положено их наблюдениями в ходе эксперимента SUPERDUCK 198G (Oltman-Shay et al.). В настоящее время их принято рассматривать как неустойчивые моды возникающей задачи на собственные значения типа Рэлея (Bowcn к Holnian 1989), т.е. результатом неустойчивости сдвигового течения, имеющего имеющего точку перегиба в профиле скорости.

Исследования, проведенные в процессе подготовки диссертации, позволили существенно расширить область применимости концепции волн завихренности, выяснить влияние на их динамику ранее не учтенных физических факторов (стратификация, топографический /?-эффект и др.). а также обнаружить новый механизм усиления поверхностных проявлений внутренних волн и новый механизм нелинейной неустойчивости сдвиговых течений, локализованных в прибрежной зоне. При этом получен ряд существенно новых результатов, в том числе:

1. Построена модель, позволяющая описывать нелинейную динамику существенно неодномерных волновых движений в стратифицированном сдвиговом течении типа погранслоя на границе раздела океан - атмосфера в рамках одного нелинейного ннтогро-днфференцнального уравнения. В уравнении дисперсионный оператор полностью определяется заданным профилем стратификации. Показано, что возможность описания эволюции неплоских волн в рамках данного формализма связана с подавлением малой, но конечной вязкостью мелкомасштабных вихревых движений в критическом слое, при этом вклад вязких членов в эволюционное уравнение пренебрежимо мал в рассматриваемом диапазоне длин и амплитуд возмущений.

2. Изучен процесс излучения бегущей волной завихренности резонансных внутренних волн, ведущий к ее радиационному затуханию .

3. Обнаружен новый механизм усиления поверхностных проявлений сравнительно коротких внутренних волн под действием приповерхностного сдвигового течения, наиболее выраженного в случае линейного резонанса, т.е. совпадения фазовой скорости волны и скорости течения на поверхности.

4. Построена модель нелинейного резонансного взаимодействия внутренних волн с ветровым течением на мелкой воде. Обнаружено, что в окрестности резонанса нелинейная динамика внутренних волн определяется взаимодействием с дрейфовым течением и описывается системой двух связанных уравнений: линейного уравнения Кадомцева-Петвиашиили и римановой волны. Модель обладает интересными свойствами, в частности, нетривиальными решениями в виде стационарных волн, амплитуда которых ограничена сверху, причем гребень волны предельной амплитуды имеет особенность типа скачка производной. Таким образом, даже внутренние волны сравнительно малой амплитуды благодаря резонансу проявляются на поверхности в виде существенно нелинейных движений.

о. Построена модель, позволяющая описывать нелинейную динамику длинноволновых движений в околобереговом погранслое крупномасштабного океанского течения в рамках одного интегро-диф-ференипального уравнения, дисперсионный оператор в котором полностью определяется заданным профилем изменения глубины. Изучено влияние топографического /^-эффекта и неоднородностеп бере--говой линии на динамику волн завихренности.

0. Показано, что резонасные взаимодействия коротких волн завихренности в прибрежной зоне могут вести к нелинейной (взрывной) неустойчивости, причем умеренное донное трение не является препятствием для ее развития. Результатом развития такой неустойчивости является, как правило, интенсивное вихреобразование, поэтому

основным элементом динамики возмущений на подобном течении п береговой зоне следует считать именно вихри, а но монохроматическою волны, как это принято в настоящее время.

Практическая ценность. Результаты работы могут быть использованы для интерпретации данных натурных наблюдений и планирования экспериментов в океане. В частности, результаты исследования резонансного взаимодействия волн завихренности с внутренними волнами могут быть использованы для интерпретации данных наблюдений солитонов внутренних волн, не укладывающихся в рамки классической теории, а также восстановления данных о структуре внутренних волн в океанской толще по их поверхностным проявлениям. Обнаруженный механизм нелинейной неустойчивости течений в прибрежной зоне может быть использован для объяснения данных натурных, лабораторных и численных экспериментов, свидетельствующих об интенсивном вихрообразованни (Deigaard et al. 1994). Результаты работы могут также использованы для тестирования численных моделей динамики пограничного слоя на границе океана и атмосферы и прибрежной зоны.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на IV Международном симпозиуме по стратифицированным течениям (Гренобль 1994), II Европейской конференции по механике жидкости (Варшава 1994), Международном симпозиуме по нелинейным волновым процессам (Melbourne 1995), Международной конференции "Динамика атмосферы и океана" (Москва 1996), а также на семинарах Лаборатории ИОРАН.

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в трех статьх в различных российских и зарубежных журналах, в виде препринта ИПФ РАН (Нижний Новгород), а также в-виде четырех тезисов вышеупомянутых конференций. Всего опубликовано 8 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав н заключения. Объем диссертации 142 страницы основного текста. 11 рисунков. Список литературы содержит 94 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Во введении обсуждается концепция волн завихренности в целом, дастся обзор основных работ, формулируется цель работы и краткое ее содержание.

Р первой главе рассмотрена нелинейная динамика существенно неплоских волн завихренности в сдвиговых течениях стратифицированной жидкости. Расмотрены течения типа погранслоя, имеющие профиль скорости без точек перегиба и быстро убывающие с глубиной, так что характерный вертикальный масштаб течения к много меньше как типичного масштабг! стратификации, так и общей глубины жидкости Я. Подобные течения обычно генерируются ветром и представляют широко распространенное в океане явление. В § 1.2.1 исходные уравнения движения в приближении Буссинеска преобразуются в безразмерную форму на основе регулярной процедуры скешшнга, а также обсуждаются основные физические предположения, позволяющие ввести безразмерный малый параметер и построить решение в виде строгого асимптотического разложения. Прежде всего, горизонтальный масштаб движения Ь предполагается много большим масштаба вертикальной изменчивости течения /г, так что их отношение образует искомый малый параметер: € = к/Ь <§; 1. Другим основным предположением, позволяющим эффективно разделить влияние эффектов плавучести и изменений завихренности, является малость глобального числа Ричардсона: Ш = (Дгок/У)"1 <С 1. При этом фазов;ш скорость волны завихренности близка к скорости течения на поверхности, а вертикальная и поперечная горизонтальная компонента скорости слабонелннешюго возмущения подавлены по сравнению с про7 дольной компонентой. Наличие в задаче двух вертикальных масштабов движения позволяет эффективно применить в § 1.2.2 метод многих масштабов и путем последовательной асимптотической процедуры свести исходные уравнения к одному интегро-дифференциальному уравнению для амплитуды волны:

дтА - аАдхА - = 0, (1)

коэффициенты которого определяются параметрами течения на поверх-

и21

ности: о- = и' 1__п, Р — — , а дисперсия описывается интегральным

(7'1г=о

оператором вида:

1 +СЮ

= -—Л д(к)95(г1)схр[1к(г - п)] акап

-с»

Ядро дисперсионного оператора не зависит от структуры течения, а

у.

полностью определяется профилем стратификации: <5(к) = -р , где функция ¡к{~) является решением граничной задачи:

Волна завихренности имеет критический слой вблизи поверхности, что ведет к расходимости разложения, особенно сильной в силу трехмерности движения. Динамика критического слоя рассмотрена в §1.2.3 путем перенормировки вертикальной переменной и последующего сращивания разложений внутри и вне критического слоя. Подобная процедура для плоских волн хорошо известна в гидромеханике (КасЬапоу еХ а1. 1993), где критический слой обычно имеет вязко-нелинейный характер. Однако трехмерный характер движения приводит к генерации вихревых структур в критическом слое, что делает невозможным применение стандартной схемы. Тем не менее, если критический слой имеет вязко-линейный характер, вклад его в уравнение отсутвует, а расходимость возникает лишь в старших порядках разложения. Однако условие вязко-линейного режима вместе с условием отсутствия вязкого вклада непосредственно в (1) налагает ограничение на допустимые длины и амплитуды рассматриваемых волн:

и (3)

ЛБли -С Ь < Л11е5

Кроме того, реализация подобной схемы существенно зависит от граничных условии (постоянное напряжение Репнольдса в океанском по-гранслое или условие прилипания в погранслое на пластине). В пределе нечезающе слабой стратификации уравнение (1) представляет собой двумерное обобщение уравнения Бснжамшга-Оно в случае океана бесконечной глубины, либо Джозефа - в океане конечной глубины и обладает решениями в виде уединенных волн, локализованным по всем направлениям. В стратифицированной жидкости, однако, кроме волн завихренности могут существовать также внутренние гравитационные волны. В случае резонанса, т.е. совпадения фазовой скорости внутренней волны с,„(к) и скорости течения на поверхности С/о при некоторой величине волновго вектора решение (2) обращается в ноль при : = 0 и в ядре дисперсионного оператора возникает сингулярность, соответствующая существенному усилению дисперсии в окрестности резонанса п фурьс-лространстве. В § 1.3 на базе упрощенной модели, включающей течение с кусочно-линейным профилем и экспоненциально стратифицированную жидкость, рассмотрен процесс линейного взаимодействия волн и расщепления дисперсионных кривых в ¿-пространстве в окрестности резонанса. Тип расщепления определяется соотношением знаков энергии взаимодействующих волн (Спик 1985), т.е. в конечном итоге параметрами среды. В рассмотренном случае расщепление происходит по устойчивому типу, так же как и в случаях двухслойной или трехслойной жидкости. Вообще, поиск типов стратификации, ведущих к неустойчивому перезамыканию дисперсионных кривых внутренней волны и волны завихренности не дал результатов, хотя полностью исключать такую возможность нельзя. Хотя наличие резонанса для плоских волн определяется конкретными характеристиками среды (стратификация, скорость течения) н в некоторых случаях он может отсутствовать (например в пределе слабой стратификации), некоторые гармоники трехмерного волнового пакета всегда находятся в резонансе с внутренними .волнами. В §1.4 показано, что в процессе эволюции волнового пакета происходит излучение резонансных внутренних волн, приводящее к радиационному затуханию движущегося

возмущения по типу затухания Ландау. Поэтому существование стационарных трехмерных структур в стратифицированной жидкости в рамках предложенной модели представляется маловероятным. Во второй и третьей главах рассмотрено резонансное взаимодействие внутренних волн с приповерхностным сдвиговым течением, как эффективный механизм усиления поверхностных проявлений внутренних волн, понимаемых как увеличение амплитуды горизонтальной скорости частин жидкости, движущихся с волной. Возможность наблюдения внутренних волн непосредственно с поверхности океана связана прежде всего с созданием волной на поверхности неоднородного поля горизонтальной скорости, приводящего к образованию зон конвергенции и дивергенции в движениях морской поверхности. Последние, в свою очередь, создают неоднородности в поле физических процессов на поверхности океана, например приводят к обрушению мелкомасштабных ветровых волн, возникновению регулярных структур в поле поверхностно активных веществ, скоплений планктона, водорослей или плавающего льда, пространственному изменению коэффициента отражения морской поверхности и т.д. Следует заметить, что другие факторы, сопутствующие распространению океанских волн, такие как смешение океанской поверхности, в случае внутренних волн выражены слабо и не могут быть эффективно использованы для наблюдений.

Во второй главе рассмотрено линейное воздействие приповерхностного сдвигового течения на монохроматическую внутреннюю волну, длина которой сравнима с общей глубиной океана, однако намного превышает толщину движущегося слоя. В §2.2 на основе упрошенной модели, включающей экспоненциально стратифпрованную жидкость и течение с кусочно-линейным профилем скорости, сосредоточенное в приповерх-ностпом квазиоднородном слое, построено решение стандартных лна-неризованных уравнений движения в приближении Буссиненска в виде асимптотического разложения по малому параметру е =. кк, где к - вертикальный масштаб течения, а к - обратная длина волны. Воздействие течения на дисперсионные характеристики волны проявляется

лишь в первом порядке малости, т.е. волна сохраняет свои основные свойства, такие как частота и фазовая скорость, Однако присутствие течения приводит к существенной интенсификации движения в приповерхностном слое, особенно его продольной компоненты. В частности отношение амплитуд горизонтальной скорости при наличии и отсутствие течения определяется фактором:

и - v • к

где и - собственная частота волны, a v - значение скорости течения на поверхности.

Коэффициент усиления Р стремится к бесконечности, а построенное разложение расходится в условиях фазового резонанса: и = v • к, т.е. совпадения фазовой скорости волны и проекции поверхностной скорости течения на направление ее распространения. Явление фазового резонанса подробно изучено в § 2.3. В этом случае дисперсионное соотношение имеет корень кратности два в главном порядке, причем один из корней соответствует внутренненй волне, а другой вихревой моде, возникающей на скачке завихренности (на изломе профиля скорости течения. Хорошо известно, что фазовый резонанс в реальности приводит к перезамыканию дисперсионных поверхностей ("change of identities"), которое может быть устойчивым, либо неустойчивым в зависимости от соотношения знаков энергий взаимодействующих мод (Craik 1985). Результатом является расщепление дисперсионных кривых в порядке 0(у/ё) и соответствующее усиление дисперсии в окрестности резонанса. Поэтому далее на основе стандартной процедуры перенормировки построено решение в виде асимптотического ряда по полуцелым степеням малого параметра, найдены дисперсионные поправки порядка 0(у/ё), и по* казано, что тип расщепления и возможность неустойчивости полностью определяется дисперсионными характеристиками внутренней волны, в свою очередь зависящими от конкретных физических свойств жидкости. Хотя в рассматриваемом случае, как и в других классических моделях, стратификации неустойчивости обнаружено не было (Реутов 1990), явление резонанса имеет важное значение для динамики внутренних волн в

океане, поскольку приводит к интенсификации горизонтального движения в приповерхностном слое по порядку величины (коэффициент усиления Я ~ <~5). При этом дисперсионные поправки все сше малы и волна сохраняет свои основные свойства. Таким образом, резонансное взаимодействие с течением ведет к значительной интенсификации поверхностных проявлений внутренних волн, что облегчает задачу их наблюдения. Кроме того, воздействие сдвигового течения приводит к выделению из стохастического поля внутренних волн резонансных гармоник, обратная длина волны которых определяется в рамках предложенной модели заданными значениями частоты Брента-Вяйсяля и скорости течения на поверхности соотношением: к« = И/11о-

Третья глава посвящена резонансному взаимодействию течения с квазиплоскими волнами конечной амплитуды на мелкой воде: длина волны I предполагается много большей не только вертикального масштаба течения Л, но и общей глубины океана Я, асе поперечный масштаб Ь много большим длины, при этом толщина слоя локализации по-прежнему предполагается малой по сравнению с общей глубиной жидкости. Совпадение фазовой скорости волны со скоростью течения на поверхности приводит к образованию критического слоя, й котором происходит интенсивное взаимодействие волны с течением. Задача о взаимодействии с критическим слоем является классической и количество посвященных ей работ исчисляется десятками (см. обзор МаяЬтсе 1986), однако несмотря на несомненный прогресс в понимании динамики критического слоя, следует отметить, что основные достижения связаны с динамикой квазимонохро-матнческих волн. Длинные волны на мелкой воде, напротив, представляют собой слабодиспергирующие пакеты с широким Фурье-спектром, и их взаимодействие с течениями практически не изучено. Концепция волн завихренности позволяет рассматривать взаимодействие волны с течением в рамках формализма межволнового взаимодействия, что существенно упрощает задачу и. позволяет достигнуть заметного прогресса.

В сформулированной выше задаче имеется четыре различных масштаба движения и, как следствие, три независимых малых параметра, по-

этому процедура скэйлпнга, проведенная в §3.2. является принципиально важной и имеет нетривиальный характер. Предполагается выполненным баланс малых параметров вида:

а также малость глобального числа Ричардсона по сравнению с единицей. В §3.3 решение уравнений движения в приближении Буссинеска найдено в виде асимптотического разложения по полуцелым степеням е, причем движение имеет разную амплитуду на глубине н в движущемся приповерхностном слое. В то время как в толще все компоненты возмущения скорости имеют один и тот же порядок величины: и, 1\и< ~ с, в ло-гранслое, образованном течением, поперечнзд компонента горизонтальной скорости сохраняет свою величину, тогда как вертикальная существенно ослаблена: и; ~ о, а продольная, наоборот, усилена: и ~ п. Затухание вертикального движения вблизи границы для внутренних волн хорошо известно, усиление же продольного горизонт;шьного вызвано резонансным взаимодействием с волной завихренности. Применение метода многнх масштабов показывает, что нелинейная динамика амплитуд волн определяется системой двух связанных уравнений:

где Д параметер фазовой расстройки, описывающий неточность резонанса в первом порядке малости. Заметим, что собственная нелинейность внутренней волны а(х, у, в рамках (4) отсутствует, а нелинейный характер се эволюции полностью определяется нелинейной динамикой волны завихренности Ь{х,у, /), опосредованно входящей в первое уравнение. Таким образом уже достаточно слабые внутренние волны благодаря резонансному взаимодействию с волной завихренности могут возбуждать сильнонслинейное движение в приповерхностном слое.

Анализ полной системы (4) представляет собой весьма сложную задачу, поэтому в §3.4 проведен анализ редуцированной системы: волны

(«< -+- Даг + а.

XXX

- 1>х)г -ъ а „у = о,

О)

1н + 2Ы>т - ат - О,

предполагаются плоскими, т.е. имеющими неизменную амплитуду в поперечном направлении. Исследование фазовой плоскости редуцированной системы показывает, что в системе возможно распространение двух типов уединенных волн, сохраняющих свою форму в процессе эволюции и движущихся с постоянной скоростью быстрее и медленнее линейной волны, соответственно. Амплитуды "быстрых" солптонов ограничены сверху: при приближении к порогу на гребне волны формируется особенность в виде скачка производной, что является индикатором возможного обрушения. В целом система является промежуточной между системой типа КдВ и Уизема (РогиЬегй & М'ЬШкип 1978), в рамках которой также были построены решения с сингулярностями на гребне. Построенные точные решения весьма отличаются от получаемых в рамках классических моделей нелинейной динамики длинных внутренних волн (уравнение КдВ и модифицированное КдВ) и могут быть использованы для интерпретации результатов наблюдений солптонов внутренних волн необычной формы. Особая роль солптонов состоит в том, что такие долгоживущие состояния обычно являются точками притяжения в процессе эволюции начального возмущения произвольной формы. Результаты численного моделирования, однако демонстрируют, что подобный сценарий реализуется лишь в случае импульсов с амплитудой, меньшей критического значения. Напротив, импульсы закритической амплитуды ведут к развитию сингулярности (вертикальный склон у гребня) и вероятному последующему обрушению.

Краткий анализ полной системы (4) проведен в § 3.5. Показано, что существование неплоских уединенных волн в рамках системы невозможно из-за резонанса с линейными волнами малой амплитуды. В то же время легко получить решения в виде уединенных волн, распространяющихся под углом к течению.

Четвертая и пятая главы посвящена нелинейной динамике волн завих-. ренности в прибрежной зоне. Неоднородное поле завихренности, являющееся нх источником, здесь создастся течениями, имеющими различную природу, и как следствие тип профиля скорости, и ведущими к

принципиально отличной динамике волновых возмущений. На течениях погранслойного типа, имеющих монотонный профиль скорости, например, в прибрежных зонах западных пограничных течений, приливных или других течениях в заливах, преобладают возмущения длинные по сравнению с масштабом погранслоя. Основные черты и характер их эволюции подобны рассмотренным в первой главе для волн завихренности в стратифицированной жидкости, хотя имеют свою специфику.

Течения принципиально иного типа создаются в прибрежной зоне в процессе обрушения волн зыби. Они имеют существенно немонотонный профиль скорости, и, согласно теореме Рэлея, потенциально неустойчивы в коротковолновой области, т.е. на масштабах порядка поперечного размера течения. Хотя неустойчивость может быть стабилизирована влиянием факторов диссипации различной природы (диффузионная вязкость, донное трение и др.), тем не менее в динамике волнового поля в данном случае преобладают коротковолновые гармоники, поэтому описание нелинейной динамики в рамках одного эволюционного уравнения в данном случае не имеет достаточных основании. Однако, концепция волн завихренности позволяет трактовать линейную неустойчивость, как процесс линейного взаимодействия волн с энергией разного знака, веду-шегр к перезамыканию дисперсионных кривых по неустойчивому типу (Островский & Степанянц 1986), а также рассматривать нелинейные резонансные взаимодействия волн завихренности, ведущие при определенных условиях к гораздо более сильной взрывной неустойчивости. Результатом последней зачастую является интенсивное ппхреобразованне, что позволяет предположить ведущую роль вихрей, а не гармонических волн в динамике течений подобного типа.

В четвертой главе рассмотрена нелинейная динамика волн завихренности на течении, скорость которого быстро растет от нуля до некоторого постоянного значения причем значение завихренности У/к нигде не .обращается в ноль или бесконечность. Последнее предположение гарантирует отсутствие коротковолновой неустойчивости типа Рэлея в задаче, что позволяет рассматривать длинные волны завихренности как один из

основных элементов динамики гидрофизических полей. Волны предполагаются длинными по сравнению с характерным масштабом изменчивости течения: £ = d/L <С 1, однако достаточно короткими, чтобы влияние вращения Земли и топографического /3-эффекта на их динамику было выражено слабо. Последнее условие позволяет эффективно разделить масштабы волн завихренности и континентальных шельфо-вых волн (Grirnshaw 1987), которые по многом подобны друг другу, хотя существует и принципиальная разница: континентальные шельфо-вые волны представляют собой моды дискретного спектра, тогда как полны завихренности - пакеты волн сплошного спектра. Глубина океана предполагается постоянной в направлении береговой линии, но изменяющейся в поперечном направлении на двух характерных масштабах: h(x.) = H{x/d)D[x¡L). В §4.3.1 на основе асимптотического метода многих масштабов получено решение исходных уравнений мелкой воды в виде разложения по степеням е и выведено нелинейное эволюционное уравнение, определяющее динамику волн малой амплитуды:

От Л +- к Аду А - т G[5y.4] = О

-Ykb

r~ // ~V"I=0' я Uo

(5)

где Vao и Яоо - предельные значения скорости течения и глубины при xjd —» оо, a G[/] - дисперсионный оператор:

-юо о 1

G[/j = // —"IjiY') exp{ifc(r ~ К')} d/ccir (6)

— ОО

ядро которого определяется решением граничной задачи:

о )х £> (7)

фк(Х) —0 X —>■ оо.

то есть фактически крупномасштабным профилем дна. В §4.3.2 показаг но, что нелинейный критический слой, образующийся при х = 0, не даст вклад в главном порядке асимптотического разложения как в случае конечной, так и в случае нулевой глубины океана у берега.

В §4.3.3 рассмотрено влияние типа крупномасштабных изменении глубины на дисперсионные характеристики волн. Показано, что для произвольного профиля дна в пределе \к\ —> оо ядро дисперсионного оператора имеет вид: С^(к) —> — \к\, а также получен явный вид ядра дисперсионного оператора для экспоненциального и степенного профилен дна. Для определенного класса степенных профилей, достаточно быстро растущих при удалении от берега: £>(Л') ~ Хп, п> 1, (5) является промежуточным между уравнениями Бенжамина-Оно и КдВ, т.е. ядро дисперсионного оператора в пределе малых к стремится к асимптотическому значению к) ~ — к2. Это позволяет предсказывать экспоненциальное поведение решений в виде уединенных волн на их периферии, что является важным фактом для построения солптонной динамики решений (5).

Влияние вращения Земли на нелинейную динамику волн завихренности большой длины рассмотрено в §4.3.4. Основными эффектами являются линейный сдвиг фазовой скорости волны:

где Р = /Ь/Уоо - обратное число Россби и, что более важно, изменение дисперсионных характеристик волны завихренности, вызванное топографическим /^-эффектом. В данном случае ядро дисперсионного оператора определяется решением граничной задачи, отличной от (7):

В определенных условиях, а именно при совпадении скорости течения на бесконечности со скоростью одной из мод континентальных шельфовых волн в рамках рассмотреной задачи возможен резонанс, подобный описанному в первой главе. Несомненно, резонанс с шельфовымн волнами будет также приводить к их излучению бегущей волной завихренности и ее радиационному затуханию.

Примеры решений н виде уединенных волн построены численно в § 4.4 методом Петвиашвнлн п предположении об экспоненциальном профиле

Фк ->о

а1 А' —> оо.

глубины: D{X) ~ ехрг/Л", q > 0. Построенные решение хорошо иллюстрируют промежуточный характер уравнения, а асимтотнческие оценки показывают, что для любого профиля глубины, принадлежащего к классу быстрорастущих, амплитуда уединенных волн при больших значениях координаты спадает экспоненциально. Данный факт представляет большое значение для изучения взаимодействия их взаимодействия, т.е. решения широкого класса нестационарных задач.

В §4.5 рассмотрено влияние неоднородности береговой линии на динамику волн завихренности, причем неоднородность предпопагаается достаточно плавной (характерный продольный масштаб порядка длины волны) и имеющей сравнительно малую амплитуду. Учет такой неоднородности как малого возмущения в рамках построенной модели приводит к уравнению, подобному (5), но имеющему вынуждающий член в правой части, аналогично задаче о генерации шельфовых волн неод-нородностямн береговой линии, рассмотренной Grimshaw (1987). Особая важность волн завихренности в контексте береговой динамики состоит в том, что их скорость лишь на асимптотически малую величину отличается от скорости течения у берега, т.е. от нуля. В некотором смысле волны находятся в резонансе с берегом, поэтому их влияние на динамику береговой линии должно быть весьма эффективно.

В пятой главе рассмотрена динамика коротких волн завихренности на вдольбереговых течениях, создаваемых в процессе обрушения поверхностных волн. Последние обычно локализованы в пределах нескольких сотен метров от берега и характерны существенно немонотонным профилем скорости, и, наряду с изменениями глубины создают в прибрежной зоне знакопеременное поле завихренности, потенциально неустойчивое в смысле Рэлея. В таких условиях волны завихренности с частотами порядка 10~3-10~2 Гц и длинами порядка сотен метров наблюдались в ходе натурного эксперимента SUPERDUCK 1986 у побережья Северной Каролины, США. Основная теоретическая, модель (Bowen ¿c Holman 1989), предложенная для описания короткопериодных волн завихренности, включает океан постоянной глубины и течение с кусочно-линейным

профилем скорости. Для гармонических волн на скачках завихренности, которых в модели два, получена задача на собственные значения типа Рэлея, имеющая в некоторой области фурье-пространства экспоненциально растущие решения. D дальнейшем как аналитические расчеты в рамках более реалистичных моделей, так и численные расчеты с использованием экспериментальных профилей течения и дна, подтвердили принципиальные результаты модели Боуена и Холмэна. Тем не менее, как амплитуды наблюдаемых возмущении скорости (вплоть до 30 см/с), так и результаты численного моделирования нелинейных уравнении мелкой воды, в которых обнаружены существенно многомодовые режимы нелинейной эволюции (Allen et al. 1996), а также формирование цепочки вихрей в результате развития неустойчивости (Deigaard et al. 1994), убеждают в недостаточности описания коротких волн завихренности в рамках линеаризованных уравнений.

Линейная неустойчивость подобного тина свидетельствует о наличии в системе мод с различным знаком энергии (Островский et al. 1986), нелинейное резонансное взаимодействие которых может приводить к развитию нелинейной (взрывной) неустойчивости. При этом амплитуды взаимодействующих волн растут одновременно, достигая бесконечно большой величины за конечное время. В реальности, конечно, амплитуда движения всегда ограничена, однако характер его изменяется: волны обруша-ются, либо генерируется система вихрей. В §§ 5.2.5.3, исходя из системы уравнений мелкой воды, получены уравнения трехволнового резонансного взаимодействия волн завихренности малой амплитуды с учетом затухания, вносимого донным трением. Уравнения имеют обобщенный характер и пригодны для анализа береговой зоны с произвольным« профилями дна и течения, которые лишь определяют конкретное значение коэффициентов взаимодействия. Анализ простейшей модели, основанной на кусочно-линейном профиле течения и постоянной глубине жидкости, проведен в §5.5. Показано, что взрывные резонансные триплеты полк всегда существуют, однако влияние донного трения запрещает развитие неустойчивости, до тех пор пока начальные амплитуды пзанмоде.йству-

юших не превышают некоторого порогового значения.

Основное значение взрывной неустойчивости состоит, во-первых, в том, что даже в условиях сильной диссипации и отсутствия вследствие этого линейной неустойчивости все еще возможны нарастающие решения при условии превышения их начальной амплитудой некоторого порогового значения. Во-вторых, учет взрывных процессов приводит к расширению спектра неустойчивости, поскольку линейно устойчивые гармоники могут входить во взрывные триплеты. В частности явление нелинейной неустойчивости объясняет отсутствие в экспериментальных данных низкочастотного обрезания спектра неустойчивости, следующее из линейной теории (ЭосМ 1994). В-третьих, обнаруженное отсутствие нелинейного механизма стабилизации взрывной неустойчивости свидетельствует об интенсивном вихреобразовании, как неизбежном результате ее развития. В этом смысле, представляется более правильным описывать динамику возмущений на течениях, созданных обрушаюшимнея волнами зыби, в терминах вихрей, а никак не гармоническнх волн, что и подтверждается данными упоминавшихся численных экспериментов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Исследована нелинейная эволюция волновых возмущений в приповерхностных сдвиговых потоках стратифицированной жидкости типа погранслоя при больших числах Рейнольдса. В рамках систематического асимптотического подхода показано, что описание нелинейной динамики существенно трехмерных волновых возмущении сводится к одному нелинейному интегро-дифференциальному уравнению в (2+1) измерениях, причем дисперсия определяется заданным профилем стратификации. Масштаб вертикальной изменчивости течения предполагается малым по сравнению как с масштабом стратификации, так и с характерной длиной волны. Уравнение не содержит вязких членов и является гамильтоновым, хотя режим эволюции, который оно описывает, возникает благодаря конечной вязкости, т.е. для среднего течения с большим, но конечным числом Рейнольдса полученное эволюционное уравнение справедливо лишь

в некотором диапазоне амплитуд возмущений. Показано, что в отличие от плоских трехмерные возмущения сдвигового течения всегда находятся в резонансе с внутренними волнами на определенных кривых в Фурье пространстве, что ведет к радиационному затуханию и, по-видимому, запрещает существование каких либо двумерных стационарных структур в рамках полученного уравнения.

2. Обнаружен новый механизм усиления проявлений внутренних волн на поверхности океана. Необходимым условием его существования является присутствие приповерхностного сдвигового течения, что типично для верхнего квазподнородного слоя океана. Показано, что воздействие внутренних волн на поверхность, а именно, вызванные волной вариации горизонтальной скорости, усиливается под действием среднего течения. В случае линейного резонанса, т.е. совпадения при некоторой величине полнового вектора к, фазовых скоростей внутренней гравитационной моды, локализованной в термоклнне, и волны завихренности, локализованной в основном в пршювехност-ном сдвиговом слое, эффект наиболее выражен и достигает порядка

где п - характерный вертикальный масштаб, предполагаемый малым.

3. Построена нелинейная модель резонанса длинных внутренних волн с приповерхностным сдвиговым течением. В рамках слабонелинейного приближения задачу удалось свести к анализу двух связанных эволюционных уравнений. Обнаружено, что система обладает стационарными решениями в виде двух типов уединенных волн различных полярностей, движущих быстрее и медленнее исходной волны. Амплитуда "быстрых" солитонов ограничена сверху, причем на гребне предельной волны формируется особенность типа скачка производной. Начальные локализованные возмущения с амплитудой, меньшей критической, эволюционируют к найденным стационарным решениям, в то время как "закригичсскис''' начальные почмушеиия образуют сингулярность типа вертикального уклона на гребне за конечное время, что означает обрушение.

4. Исследована задача об эволюции волн завихренности на течении, нмеюшим вид погранслоя в Береговой зоне, причем характерная длина волны предполагается много большей масштаба погранслоя. Получено нелинейное интегро-дпфференниальное уравнение, определяющее динамику волн малой амплитуды, причем возникающий критический слой не даст вклада в главный порядок, а вид дисперсионного оператора полностью определяется крупномасштабным профилем глубины. Для некоторого класса профилей дна уравнение является промежуточным между уравнениями КдВ и Бенжамина-Оно, при этом решения в виде уединенных волн имеют экспоненциальные асимптотики на бесконечности. Учет неоднородности линии берега, создаст неоднородный член в уравнении и может рассматриваться п качестве эффективного механизма генерации волн.

5. Показано, что нелинейные резонансные взаимодействия коротко-периодных волн завихренности в прибрежной зоне возникают уже в низшем порядке и могут иметь взрывной характер, т.е. амплитуды всех взаимодействующих волн синхронно растут, образуя сингулярность за конечное время. В ре;шьности результатом взрывной неустойчивости, вероятно, будет интенсивное вихреобразование. Учет умеренного донного трения не запрещает неустойчивость, но требует превышения начальными амплитудами волн некоторой пороговой величины для развития неустойчивости. Оценки, проведенные для реальных натурных условий, дают относительно невысокие значения пороговых амплитуд, что позволяет рассматривать взрывную неустойчивость как важный механизм генерации и динамики волн завихренности. В рамках рассматриваемой модели объяснен экспериментальный факт отсутствия длинноволновой границы области неустойчивости л данных наблюдений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ D РАБОТАХ:

1. Вороновнч В.В., Пелиновский Д.Е., Степанянц К).А., Шрира В.И.. Двумерные эволюционные уравнения для описания нелинейных волн в стратифшшованных сдвиговых потоках. Препринт N343 ИПФ РАН. Нижний Новгород, 1994.

2. В.В.Вороновым, В.И.Шрира. Об усилении поверхностных проявлений внутренних волн приповерхностным сдвиговым течением. Океанология 36, 173-178 (1996).

3. Shrira V.I., Voronovich V.V. Nonlinear dynamics of vorticity waves in the coastal zone. J. Fluid Mech. 326, 181-203 (199G).

4. Shrira V.I., Voronovich V.V., Koziielupova N.G. On tiie explosive instability of vorticity waves. ./. I'hys. Oceanoyr. 27, No 3.

5. Shrira V.I., Voronovich V.V. On the amplification of internal wave surface manifestations due to subsurface shear current. Preprints, V.3. Fourth International Symposium on Stratified Flows, June 29 - July 2, 1994, Grenoble, France.

6. Shrira V.I., Voronovich V.V. Nonlinear dynamics of vorticity waves in the coastal zone. Abstracts of papers, 2nd European Fluid Mechanics Conference, September 20 - 24, 1994, Warsaw, Poland.

7. Вороновнч В.В., КожелуповаН.Г., Шрира В.И.. О взрывной неустойчивости волн завихренности в прнбежной зоне. Тезисы докладов, Международная конференция "Динамика атмосферы и океана", 22 25 ноября, 1995, Москва.

8. Воронович В.В., Шрира В.И.. Двумерные эволюционные уравнения для нелинейных волн в стратифицированной жидкости. Тсзисы докладов, Международная конференция "Динамика атмосферы и океана", 22 - 25 ноября, 1995, Москва.

2G