Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Структура и динамика локализованных квазидвухмерных вихрей в атмосфере

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Структура и динамика локализованных квазидвухмерных вихрей в атмосфере"

РГ6 од

1 9 ДПР 1393

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЗИКИ АТМОСФЕРЫ

На правах рукописи

Добрицын Андрей Александрович

УДК 551.511

СТРУКТУРА И ДИНАМИКА ЛОКАЛИЗОВАННЫХ КВАЗИДВУХМЕРНЫХ ВИХРЕЙ В АТМОСФЕРЕ

Специальность 04.00.22 - геофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фгеико-математических наук

Москва 1993

Работа выполнена в Институте физики атмосферы РАН. Научный руководитель: кандидат физико-математических наук В.М.Гряник.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Е.М.Добрышман,

кандидат физико-математических наук А.Т.Скворцов. Ведущая организация: Институт океанологии РАН.

Защита состоится " 6 " мая 1993 г. на заседании Специализированного совета К 003.18.01 Институте физики атмосферы РАН <109017, Москва, Пыжевский пер., 3).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФА РАН.

Автореферат разослан ." 4 " апреля 1993 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета ИФА РАН кандидат географических наук «/V

Л.Д.Краснокутская

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теин. В последнее время значительно усилился интерес к исследованию атмосферных вихрей синоптических масштабов. Это объясняется многими причинами: во-первых, возникла необходимость более детально учитывать их динамику и структуру в моделях общей циркуляции стмосферы; во-вторых, так как вихри достаточно долго сохраняют свои начальные характеристики (например, концентрацию примеси, теплосодержание), то их перемещение можно рассматривать как один из механизмов переноса таких сохраняющихся величин. В частности, изучение динамики вихрей приобретает особую важность длй задач, связанных с экологическими проблемами, например, для задач моделирования переноса вредных примесей.

Динамика крупно- и мезомасштабных процессов в атмосфере является квазидвухмерной. Долгоживущие вихревые возмущения, такие как циклоны и антициклоны, тропические ураганы в атмосфере, синоптические вихри и ринги в океане, оказывают на нее существенное влияние. При изучении эволюции уединенных вихрей и вихревых систем применяются как дискретные вихревые модели, в которых используются сингулярные начальные данные для поля завихренности, так и различные модели распределенных вихрей, например модоны или однородные вихри конечной площади. Некоторые из этих объектов пригодны только для описания течений в чисто двумерной не жимаемой жидкости, другие же допускают обобщения на случай расслоенной жидкости, течений со свободной поверхностью и т.д.

В реальной атмосфере (океане) вихри взаимодействуют, как правило, не только друг с другом, но и со внешним потоком, имШдим собственную завихренность, а также с твердыми границами жидкости,

например, с поверхностью земли. Кроме того, вихревые системы могут находиться в поле скорости других, достаточно удаленных от них вихрей, или в крупномасштабном волновом поле (например, в поле волны Россби).

Целы) данной работы является исследование структуры некоторого класса стационарных вихревых образований, находящихся в сдвиговом потоке или в волновом поле, исследование динамики диполышх вихрей с горизонтальной осью в неустойчиво стратифицированной среде, изучение характера меквихревого взаимодействия в сдвиговом потоке.

В диссертации рассмотрены следулцие задачи:

1) построение семейства вихревых образований в окрестности особой точки внешнего течения (в том числе и в случае вязкой жидкости);

2) изучение структуры таких образований в стратифицированной среде;

3) условия существования вихрей рассмотренного класса в поле волн Россби или в поле внутренних волн в устойчиво стратифицированной атмосфере;

4) структура и динамика диполышх вихрей с горизонтальной осью в неустойчиво стратифицированной экваториальной атмосфере;

5) моделирование взаимодействия вихрей конечного размера в сдвиговом потоке;

6) моделирование коллапса системы вихрей конечного размера.

Научная новизна. Построено однопараметрическое семейство точных решений уравнений двумерной гидродинамики, описывающее вихри с круговым ядром, существупцие в окрестности особых точек поля скорости течения. Исследованы случаи как невязкой, так и вязкой

г

несжимаемой жидкости. Аналогичные решения построены для стратифицированной атмосферы.

Упомянутые решения использованы для построения вихревых образований, движущихся в волновом поле (поле внутренних волн или поле волн Россби) с фазовой скоростьи волны. Найдены условия существования в волне вихрей из построенного семейства.

Исследована структура и динамика дипольных вихрей с■

г

горизонтальной осью в неустойчивой экваториальной атмосфере в случае, если ядро вихря характеризуется собственной стратификацией (собственным параметром статической устойчивости).

Выполненное в работе моделирование взаимодействия вихрей конечного размера в сдвиговом внешнем течении показывает, что наличие сдвигового потока значительно расширяет множество начальных значений, при которых возможна концентрация завихренности в двухмерных течениях. Найдены различные режимы слияния вихрей в потоке с постоянной завихренностью произвольного знака.

Продемонстрирована устойчивость явления коллапса Еихрей конечного размера к форме вихревых пятен и по отношению к малым возмущениям условий коллапса. Показана, что метод точечных вихрей дает весьма точную картину траекторий движения даже для Слизко расположенных вихрей неправильной формы.

Практическая ценность. Результаты представленных в да сертации исследований позволяют глубже понять особенности структуры и динамики реальных мезомасштабных атмосферных (океанических) вихрей.

Найденные в работе решения, возможно, отвечают наблюдавшимся в некоторых численных и лабораторных экспериментах вихревым структурам ("триполям").

Построенные вихри могут перемещаться вместе с волнами Россби, перенося свои характеристики. Вихри такой же структуры могут перемещаться вместе с внутренними волнами в устойчиво расслоенной атмосфере, перенося массу, что необходимо учитывать при рассмотрении проблем распространения примеси. Аналогично, примесь могут переносить вихри дипольного типа, перемещающиеся параллельно подстилающей поверхности в неустойчиво расслоенной атмосфере.

Численное моделирование взаимодействия вихрей конечного размера в сдвиговом потоке позволяет лучше понять механизм взаимодействия парных тропических циклонов (эффект Фудзивара), а также механизм концентрации завихренности в двумерных сдвиговых течениях.

Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались 1) на Всесоюзной конференции "Нелинейные явления" (Москва, 19-22сент. 1989г)., 2) на семинарах Отдела геофизической гидродинамики и Отдела численного моделирования атмосферных п„ цессов ИФА РАН, 3) на Летней школе по геофизической гидродинамике (Роскофф, Франция, 29июля - Юавг. 1991г.).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 7 опуйликованных-работах, из них 6 в соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, литературного обзора, четырех глав, включающих 10 параграфов, заключения и списка литературы. Работа содержит 116 страниц, в том числе 14 рисунков. Библиография включает 148 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, кратко излагается основное содержание диссертации.

Обзор литературы посвящен преимущесвенно вопросам построения некоторых классов точных решений уравнений гидродинамики и геофизической гидродинамики, а именно тех, которые описывают распределенные уединенные вихревые образования (модоны) и систэмы взаимодействующих точечных вихрей. Делается краткий обзор некоторых исследований, выполненных методом контурной динамики. Излагаются, в частности, результаты, касающиеся взаимодействия вихря со сдвиговым потоком.

Глава I, Локализованные вихря в окрестности особых точек □оля скорости течения

В первой главе рассматриваются вихри, локализованные е .окрестности особой точки поля скорости двумерного течения.

Поля скорости типичных атмосферных (океанических) течений имеют обычно особые точки, то есть точки, в которых вектор скорости равен нулю. Исследуется структура вихревого образования, которое может существовать в окрестности такой особой точки, где течение локально описывается первыми (т.е. квадратичными) членами в разложении функции тока ф = (0у/2)з? + Фг/2)уг. При П1П2>0 это выражение соответствует центру, при П102<0 - седлу, а при 0^=0 (но п1 или С^/О) описывает плоскопараллельный сдвиговый поток. Можно также

сказать, что нас интересует стационарное вихревое образована в

/

потоке с постоянным по х и по у сдвигом скорости их~-0гу, 1)^=0, X. Случай ^=0 рассматривался ранее В.В.Жмурзм (1988).

Строится решение уравнений двумерной гидродинамики, описыващее стационарный вихрь с круговым ядром радиуса а в окрестности особой точки внешнего потока. Из условия стационарности Аф = Р(ф).

Искомая функция тока при г*а должна быть квадратичной формой от координат, так что выполняется условие Лфю = Г^+Г^ я 0. Выбираем функцию ? следукдим образом:

Афех = 0 при г>а, Дф^ = - ^ф^ .при гф. Учитывая очевидные условия на границе ядра вихря, находим решения в виде

фщ = + (1)

Ф.х = В0(гг~аг) + Вг(гг - ^ ]соэ2е + 4,;г0(ц) (2)

где В0 = 0/4, Вг = 0/4, А0 = -Га2/цг^(ц), = 2Даг/|Аг0(|Л), С = П,-П2, ^ и ^ - функции Бесселя; кроме того, выполня-

ется "дисперсионное" соотношение Завихренность при этом

оказывается непрерывной на границе ядра вихря, граница г=а является линией тока.

Оказывается, что вид вихревой структуры, описываемой формулами (1)-(2), зависит исключительно от типа особой точки внешнего течения, т.е. от параметра Х.=02/П1 (удобнее выбрать другой параметр - отношение вихря к деформации е=А0/Аг). Можно показать, что кгртина течения перестраивается при следующих бифуркационных значениях параметров: е = 0, -1/2, -1, ±со, 1, 1/2 (соответственно к = -1, 0, 1/3, 1, 3, «о). Отметим, что суммарная завихренность ядра, взятого как возмущение на фоне внешнего течения, равна нулю, т.е. возмущенно имает конечную кинетическую энергию.'

Рассматриваются некоторые обобщения полученных решений: 1) внешний поток с более высокой симметрией (п>2)

Ф„ = ТГ* + ¿r2 О^созпв

2) влияние вязкости (при этом решение будет нестационарным). Решая уравнение двумерного движения вязкой несжимаемой жидкости, находим, что влияние вязкости состоит в осесимметризации вихревой структуры внешнего течения и экспоненциальном убывании завихренности ядра.

Таким образом, вблизи особой точки внешнего потока может формироваться вихревое образование, при этом результирующее течение имеет достаточно сложную структуру и распадается на несколько вторичных вихрей и гиперболических потоков. Тип особой точки при этом сохраняется, что позволяет итеративно строить "автомодельную" конструкцию, представляющую собой набор вложенных друг в друга вихрей типа (1)-(2). Отметим, что вихревые структуры, соответствующие е=1, схожи с вихрями, наблюдавшими я в численных экспериментах по моделированию двумерной турбулентности и в лабораторных экспериментах с вращающейся жидкостью (так называемыми "триполями" - legras et al. 1988, Van Heijst et al. 198Э).

Bo §2 рассматривается многослойный вихрь, имеющий более сложный профиль завихренности, чем (1)-(2).

В §3 исследуются вихревые структуры в окрестности особых точек течения в стратифицированной жидкости 'с постоянной частотой Брента-Вяйсяля. Оставляя в решении одну баротропную и одну бароклинную моду, получаем, что баротропная составляющая описывается прежни-л выражениями (1)-(2), для бароклинной же моды найдено соотношение, позволящее однозначно определить радиус вихря по толщине слоя стратифицированной жидкости. Радиус вихря оказывается по порядку величины равным о ~ Л/m, где R=BN// - радиус деформации РосоСи, т - номер бароклинной моды.

Глава 2. Вихри в поле внутренних волн в волн Россби.

В этой главе решения, полученные в предыдущем разделе, применяются для построения вихревых образований, которые могут перемещаться вместе с волной Россби или вместе о внутреннее волной в температурно расслоенной жидкости. Дня простоты рассматривается бегущая волна в виде суммы двух гармоник:

ф = A sin iyc' sin Зу/ где x'^x-ct (штрих в дальнейшем опускаем).

Траектории жидких частиц в системе отсчета, движущейся с фазовой скоростью волны с, совпадают с изолиниями функции ф = Ф + су. Жидкие частицы переносятся вместе с волной, если функция ф имеет замкнутые изолинии, ограничивающие финитные области, т.е, имеет критические точки, в которых скорость течения жидкости (в выбранной системе отсчета) равна нулю. Условие их появления:

0у= c/Akv <1 или А > Аш , Л, » f-

Таким образом, перенос «итгит частиц волной может осуществляться только при достаточно большой ее амплитуде. Области с захваченными жидкими частицами образуют решетку, вихревых диполей.

Рассмотрим прямоугольную вихревую решетку. Завихренность вблизи особых точек диполей зависит от параметра

Лф = tito* -/Г^

Будем искать теперь вихрь с круговым ядром радиуса а, локализованный вблизи критической точки волны. Так же, как и в. первой главе, получим однопараметрическое семейство вихрей, тип которых определяется отношением компонент волнового вектора к.

О волне с возбужденными на ней вихрями можно говорить как о нелинейном образовании, т.к. амплитуда вихря

в ~ АзИЦ = [лг - Л*]1'2. т.е. он возникает, если амплитуда волны превышает по абсолютной величине пороговое значение с/йе.

Такие вихри, имеющиеся в поле внутренней волны, распростра-.нявдейся в устойчиво расслоенной атмосфере, могут характеризоваться собственным параметром статической устойчивости, т.е. иметь как устойчиво, так и неустойчиво стратифицированное ядро.

Глава 3. Локализованные вихри с конечным ядром в экваториальной атмосфере.

В данной главе рассматриваются вихри (модоны) дипольного типа с горизонтальной осью, распространяющиеся параллельно подстилающей поверхности в меридиональном направлении. Ядро вихря можно характеризовать собственными параметрами плавучести а_ и устойчивости Г_, отличными от соответствующих внешних параметров а+ и Г+.

Локализованные вихри экваториального пояса могут играть существенную роль в его энергетике, осуществляя перенос энергии и импульса от экватора к средним широтам и в обратном направлении.

Динамика вихрей экваториального пояса описывается системой уравнений, предложенных Е.М.Добрышманом. Она имеет вид

Э 8Т

— Лф + Еф.Аф] = а+ щ

Э Эф

— Т + 1ф,Т} = - г. — м - ± ау

а Оу2

— и + [ф,и] я 0 , и = и--+ 2Пг,

. « Лд

где ф=ф(у,г,г) - функция тока такая, что ю=дф/0у, и=-<9ф/<9г, т и и -вертикальная и горизонтальная скорости, и - зональная скорость, ось

z направлена по радиусу Земли вертикально вверх, ось у - от экватора к полюсу, T=T(y,z,t) - отклонение температуры от равновесной, R3 и П - радиус и угловая скорость вращения Земли, А и [ J=<9yflí-flrflv - двухмерные операторы Лапласа и Якоби, а+ и Г+-

параметры плавучести и статистической устойчивости, причем знак "+" относится к области вне ядра вихря, а - к самому ядру.

рассмотривавтся решения этих уравнений,' отвечающие возмущениям, распространящимся вдоль оси у со скоростью с: ф=ф(у-с1;,г), T=t(y-ct,z). Поле температуры определится соотношениями

г+ Г

Т, = — <1>. , Т = - ф + (Г-Г )z , с "с

где Г+ и Г_ являются параметрами стратификации основного состояния среды вне и внутри ядра, а величина Г имеет смысл параметра, характеризующего стратификацию самого вихревого возмущения. Случай, когда жидкость внутри вихря так же стратифицирована, как и окружающая среда, т.е. Г+=Г_=Г, рассматривался Е.М.Добрышманом (1988) (решение для неподвижных модонов) и Ю.А.Степанянцем (1989) (решение для движущихся дапольных вихрей). Решение, описывающее сингулярные вихри и ансамбли вихрей, найдено В.М.Гряником (1988).

Найдем решение уравнений в виде модона с круговым ядром радиуса а: <J)+=R+(r)sin ф, где ф = arcsin(z/y)

са , а Г

R. = А.К1 (рг) , А, ---, р2 = - -V

+ + 1 + Кг (ра) с

(fea ctf^+q2) , а Г

R_ = A_J. (йг)+В г, А_ = -, В_ ---5—, Г = -

1 l^J, (йа) tr сг

где J1({) - функция Бесселя, К1(£) - функция Макдональда порядка 1,

а параметры вихря Х=ка, t=pa, e=-slgnT(N_/H+)2, (здесь N+ =

=(-а+Г+)1/г, . N_=(a_|r| )l/2 - эффективные частоты Брента-Вяйсяля

вне и внутри ядра вихря соответственно), связаны нелинейным дисперсионным уравнением:

Кг<{> ¿>(Я)

- = - е- . (3)

{К,(£) и, (\)

Уравнение (3) разрешимо как при е<0 (устойчиво стратифицированное возмущение), так и при е>0 (стратификация возмущения в ядре влакнонеустойчива, как и вне его). Из дисперсионного соотношения определяется зависимость скорости движения вихря от размера и термодинамических характеристик ядра. Скорость перемещения модона растет вместе с к при е<0 и убывает с ростом X при е>0.

Вихри локализованы по полю завихренности на характерном масштабе р-1= (-<х+Г+)""1/'гс: Дф ~ г-1/гехр(-рг) при г - <*>. Аналогичную локализацию они имеют также по полю скорости и температуры.

Во всех случаях скорость вихрей нелинейно зависит от размера ядра о и не может быть получена из простых соображений размерности типа с ~ Г^а. Зависимость скорости от параметров стратификации как вне ядра, так и в ядре также нелинейная.

Глава 4. Моделирование взаимодействия вихрей.

В первом параграфе главы рассматривается задача о взаимодействии двух точечных вихрей в однородном сдвиговом потоке на полуплоскости. Построен фазовый портрет динамической системы, описывающей их движение. Найдены значения безразмерного параметра Х=эе/(яд 1г) (здесь ае - интенсивность точечного вихря, I - некоторый характерный масштаб, а - сдвиг скорости внешнего потока), при которых система имеет положения равновесия.

Остальная часть главы посвящена численному моделированию взаимодействия локализованных вихрей в потоке с постоянным сдвигом скорости, а также моделированию коллапса системы вихрей конечного

размера. Коллапс точечных вихрей проанализировали Е.А.Новиков, Ю.Б.Седов (1979) и Н.АгеГ (1979).

Если расстояние между центрами вихрей достаточно велико по сравнении с их размерами, динамика вихрей хорошо описывается в рамках модели точечных вихрей (ТВ). Согласно известным результатам о движении двух ТВ в однородном сдвиговом течении (Богомолов, 1981), можно выделить три различные ситуации: 1) завихренности потока и обоих ТВ имеет один знак, 2) два ТВ одного знака находятся в потоке с противоположной завихренностью, 3) интенсивности ТВ имеют разные знаки. В соответствии с этим были проведены три серии численных экспериментов с вихрями конечного размера.

Оказалось, что в первом случав возможно слияние вихрей, даже если в начальный момент они расположены очень далеко друг от друга, критическое значение межвихревого расстояния зависит от отношения завихренности ядра к сдвигу скорости потока. Во втором случае возможны различные типы слияния вихрей, возможен также (как для ТВ) их разлет. Режим движения вихрей в потоке другого знака завихренности оказывается весьма чувствительным к величине начального расстояния между центрами вихрей. В третьем случае (движение вихревой -пары в сдвиговом потоке) типичным является образование грибовидных структур или вытягивание одного из вихрей в нить.

Последний параграф посвящен моделированию коллапса вихрей конечного размера. Рассмотрены случаи коллапса трех и симметричного коллапса четырех и пяти вихрей. Коллапс оказывается явлением, устойчивым к форме вихревых пятен, кроме того, показано, что центры вихрей конечного размера движутся по траекториям подходящих ТВ, даже когда межвихревые расстояния сравнимы с размерами вихрей, а последние представляют собой пятна изрезанной, неправильной формы.

В заключении суммируются основные результаты работы:

1. Построено. семейство стационарных вихревых образований й окрестности особых точек поля скорости течения. Структура полученных вихрей описана как в рамках уравнений двумерной гидродинамики, так и для случая стратифицированной атмосферы. Показано, что такие вихри могут существовать и в вязкой жидкости. Найдены бифуркационные значения параметра, разделяющие различные типа решений. Получено соотношение, определяющее размер вихря в стратифицированной атмосфере.

2. Показано, что вихри из указанного семейства могут существовать в поле волн Россби, а также в поле внутренних волн в устойчивой атмосфере, если амплитуда волны превышает пороговое значение. Перемещаясь вместе с волной, эти вихри могут переносить массу.

3: Исследована структура и динамика вихрей дипольного типа (модонов) с горизонтальной осью, перемещающихся в неустойчиво расслоенной жидкости и имеющих собственную стратификацию, отличную от стратификации окружащей среды. Тэкие вихри могут наблюдаться в экваториальной влажнонеустойчивой атмосфере.

4. Численно' исследовано методом контурной динамики взаимодействие двух вихрей в сдвиговом потоке на плоскости и на полуплоскости вблизи границы. Показано, что наличие потока и границы существенно влияет на величину критического расстояния, с которого возможно слияние вихрей, то есть существенно расширяет множество начальных значений, при которых возможна концентрация завихренности в двухмерных течениях. Описаны различные режимы слияния в зависимости от величины и от знака сдвига скорости внешнего потока. В гео-4изическом' плане проведенные численные эксперименты могут рассматриваться как моделирование эф!екта Фудзивара.

1Э

5. Помимо характерных особенностей явлений парного взаимодействия методом контурной динамики исследовался коллапс вихрей конечного размера. Показана устойчивость коллапса распределенных вихрей по отношению к изменению начальной формы вихрей и к малым возмущениям начальной конфигурации вихревой системы. Продемонстрировано, что приближение точечных вихрей хорошо применимо даже для близко расположенных вихревых пятен неправильной форма.

Основные результаты, изложенные в диссертации, содержатся в работах:

1. Добрицын A.A., Седов Ю.Б. Коллапс системы локализованных вихрей. М.: Пропринт ИФА АН СССР, 1986. 10 с.

2. Добрицын A.A., Седов D.E. К вопросу о коллапсе геострофических вихрей // Изв. АН СССР, «изика атмосферы и океана. 1987. Т. 23. А11. С. 1142-1150.

3. Гряник В.М., Добрицын A.A. Локализованные вихри с конечным ядром в экваториальной атмосфере: структура, динамика // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. Т.26. A4. С. 350-369.

4. Гряник В.М., Добрицын A.A. Обобщенные вихри Гельмгольца в гидродинамике: структура, динамика // Труды Всесоюзной конференции "Нелинейные явления". М.: Наука, 1991. С. 36-41.

5. Добрицын A.A. Локализованные вихревые образования в окрестности особой точки течения // Океанология. 1991. Т. 31. Вып. 3. С. 373-376.

6. Добрицын A.A., Седов D.E. Слияние вихрей в сдвиговом потоке и многовихревой коллапс. М.: Препринт XZ ИФА АН СССР, 1991. 14 с.

7. Гряник В.М., Добрицын A.A. Локализованные вихри в поле волн Россби // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1993. Т.29. ЖЗ. C.328-3M.