Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Численное исследование динамики вихревых структур в сплошных средах, включая плазму

ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Численное исследование динамики вихревых структур в сплошных средах, включая плазму"

На правах рукописи

СИНГАТУЛИН Ренат Маликович

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВИХРЕВЫХ СТРУКТУР В СПЛОШНЫХ СРЕДАХ, ВКЛЮЧАЯ ПЛАЗМУ

Специальности: 25.00.29 - Физика атмосферы и гидросферы 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре электроснабжения промышленных предприятий Казанского государственного энергетического университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.Ю. Белашов

Научный консультант:

доктор физико-математических наук СВ. Владимиров

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.Н. Фахрутдинова

доктор физико-математических наук СИ. Попель

Ведущая организация:

Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН, г. Троицк Московской области

Защита состоится 23 декабря 2004 года в 14 часов 30 минут на заседании Диссертационного совета Д 212.081.18 в Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлёвская, 18, физический факультет, ауд. 210.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан 22 ноября 2004 года

Ученый секретарь Диссертационного совета

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Настоящая работа посвящена численному исследованию вихревых областей конечной площади (ВОКП), которые представляют собой, в двумерном случае, связную конечную область однородной завихрённости, окруженную не-завихрённой средой. Такие объекты интересны тем, что их изучение играет важную роль при моделировании атмосферных, гидродинамических вихрей, вихревых структур в замагниченной плазме, а также при исследовании общей динамики вихревых образований.

Актуальность темы диссертации. Исследования пространственно-временной эволюции, устойчивости, динамики взаимодействия и разрушения двумерных нелинейных образований вихревого типа в сплошных средах, включая атмосферу и гидросферу Земли, атмосферы других планет, а также плазму ионосферы и магнитосферы Земли, стали актуальными в последние два с половиной десятилетия в связи с открытием так называемых когерентных структур. В природе такие структуры существуют в виде атмосферных циклонов и антициклонов, рингов Гольфстрима, грибовидных и триполярных структур, синоптических вихрей в океане, вихрей Россби, дрейфовых вихрей в плазме и др. С начала 80-х годов когерентные вихри стали объектом усиленного изучения как в физике плазмы, так и в динамике геофизических непрерывных сред. Эти исследования были стимулированы открытием в 1979 г. Хасегавой и др. аналогии между уравнением Хасегавы-Мима, описывающим нелинейные дрейфовые волны (вихри) в замагниченной плазме, и уравнением баротропной завихренности, которое в течение длительного времени использовалось для описания крупномасштабных вихревых течений в атмосфере и океане. В 1980 году В.И. Петвиашвили обобщил уравнение Хасегавы-Мима с учетом эффектов возмущения среды большой амплитуды в случае геофизических объектов и градиентов электронной температуры - в случае плазмы. При этом было установлено, что уравнения вихревого движения в атмосфере и плазме сводятся к одному уравнению, имеющему решение в виде двумерных круговых вихрей-антициклонов, перемещающихся в западном направлении, или солитонов-антицикло-нов, размер которых больше характерного размера дисперсии. Уникальность решения Петвиашвили заключается в том, что оно описывает плавный переход солитонов в вихри и показывает их общую природу.

Динамика вихрей составляет обширный раздел физики жидкости, газа и плазмы. Вихревые структуры участвуют в процессе турбулентного переноса, поэтому исследование общей динамики вихрей представляет непосредственный практический интерес. Часто в природе и в лабораторных установках (плазменных и гидродинамических) под влиянием определённых физических причин движение среды становится квазидвумерным. В атмосфере и океане такими

| рос илцмниамма! | ниммн I

! Увред

причинами являются вращение планеты (сила Кориолиса) и стратификация жидкости по плотности, в плазме - это магнитное поле (сила Лоренца). В двумерном случае для локальных вихревых образований характерно сохранение завихренности внутри некоторой области, что сильно ограничивает возможность распада таких структур, поэтому устойчивые вихри становятся существенными элементами динамики среды, и их исследование является важной задачей как для построения общей вихревой теории, так и для отдельных разделов физики атмосферы, геофизической гидродинамики и физики плазмы (включая плазму ионосферы и магнитосферы), связанных с изучением разнообразных вихревых движений.

Целью работы является численное исследование пространственно-временной эволюции и динамики взаимодействия вихревых структур в атмосфере и гидросфере, а также в плазме.

Решаемые задачи:

1) исследование структуры, пространственно-временной эволюции и устойчивости уединенных вихревых областей относительно возмущений их формы;

2) изучение режимов взаимодействия ВОКП, вычисление параметров, определяющих устойчивость //-вихревой системы, с целью прогнозирования характера взаимодействия вихревых структур, численное исследование эволюции и динамики ^вихревых систем;

3) исследование динамики трехмерных вихревых структур в плоскослоистых средах (квазидвумерное приближение), изучение эволюции и взаимодействия 3D вихревых систем;

4) исследование динамики потоков заряженных частиц (заряженных нитей) в однородном магнитном поле;

5) приложение результатов исследований к изучению некоторых проблем вихревой динамики в атмосфере и гидросфере: моделирование эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых структур и вихрей в океане, а также образований вихревого типа в плазме: вихревых и спиральных структур в магнитосфере и ионосфере Земли и в пылевой плазме;

6) развитие метода контурной динамики с целью улучшения его точностных характеристик и обеспечения возможности численного интегрирования систем эйлерового типа и соответствующих интегродифференциальных уравнений на больших временных интервалах.

Методологической и теоретической базой исследований послужили работы Г. Лэмба, Дж. Сэффмана и В.И. Петвиашвили, в которых развиты основные положения теории вихревых движений и выполнено её обобщение для геофизических процессов и явлений в замагниченной плазме. При интерпретации полученных результатов мы опирались на работы М.А. Соколовского и В.Ф. Козлова. Метод компьютерного моделирования, использованный нами в

работе, представляет собой модификацию и обобщение метода контурной динамики (КД), развитого Н.Дж. Забуски, Д.И. Пуллином и Д.Ж. Дритчелом.

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

1. Исследована динамика уединённых вихревых областей, впервые установлено, что для ВОКП эллиптической формы могут иметь место три типа эволюции, которые определяются значением эксцентриситета.

2. Впервые изучены режимы взаимодействия вихревых областей конечной площади и найдены параметры, определяющие режим взаимодействия и устойчивость вихревой системы, получен критерий устойчивости парного взаимодействия в К-вихревой системе, позволяющий осуществлять прогнозирование характера и результат взаимодействия ВОКП.

3. Исследовано взаимодействие многовихревых систем (в частности, трёхи четырёхвихревых) симметричной начальной конфигурации, показано отличие во взаимодействии однополярных и разнополярных вихревых областей, в численных экспериментах впервые установлено, что взаимодействие разнополяр-ных ВОКП происходит более интенсивно.

4. Впервые, в рамках квазидвумерного подхода, численно исследована структура, эволюция и динамика взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоскослоистых средах. Показано, что характер взаимодействия в 3Б вихревой системе определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях.

5. Численно исследована динамика развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в однородном магнитном поле. Впервые показано, что характер эволюции определяется амплитудой возмущения, количеством взаимодействующих нитей, плотностью их распределения и знаком заряда частиц.

6. Изучены приложения результатов к задачам исследования динамики некоторых типов вихревых систем в атмосфере, гидросфере и плазме: моделированию эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых образований, вихрей в океане, а также структур вихревого типа в магнитосфере и ионосфере Земли и в пылевой плазме.

7. Выполнена модификация метода КД, что позволило значительно улучшить его точностные характеристики и обеспечило возможность численного исследования эволюции и динамики взаимодействия 2Б и 3Б локальных вихревых возмущений в различных геофизических средах на значительных временных интервалах при существенной экономии времени счёта.

Практическая ценность работы определяется новыми результатами, уточняющими картину эволюции вихревых образований, возникающих в атмосфере, гидросфере и плазме, их взаимодействия и разрушения. Усовершенствованный метод контурной динамики и разработанные на его основе алгоритм и

компьютерная программа моделирования динамики вихревых структур являются эффективным средством исследования вихревых движений в сплошных средах, включая вопросы прогнозирования эволюции вихревых систем. Результаты, полученные в диссертации, используются в КГЭУ в работах по исследованию динамики неодномерных нелинейных структур солитонного и вихревого типов в сплошных средах и внедрены в лекционный курс «Математические методы моделирования физических процессов», читаемый в КГЭУ.

Личный вклад автора. Решение поставленных задач исследования эволюции и динамики взаимодействия вихревых структур, модификация метода и вычислительного алгоритма контурной динамики, проведение численных экспериментов, обработка, интерпретация и анализ полученных результатов.

Апробация работы. Результаты исследований были представлены и обсуждались на VII и VIII Научных конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 2000, 2001); III Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ (Казань, 10-14 сентября 2001); Республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); Школе-семинаре акад. В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 1-4 октября 2002); 11th International Congress on Plasma Physics (Sydney, Australia, July 15-19, 2002), 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (S.-Petersburg, Russia, July 7-11, 2003); Joint International Scientific Conference «New Geometry of Nature: Mathematics, Geophysics» (Kazan, August 25 - September 5, 2003); IV International Conference «Plasma Physics and Plasma Technology» (Minsk, Belarus, September 15-19,2003); Теоретическом семинаре научно-исследовательской лаборатории «Физика плазмы» ИОФАН (Москва, январь 2004); III Молодёжной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Н. Новгород, 26-27 мая 2004); Общегородском научном семинаре «Теория и компьютерное моделирование нелинейных и нестационарных процессов в физических средах» (Казань, КГЭУ, 2001-2004).

Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований: гранты РФФИ № 01-02-16116, № 02-03-06172 (MAC), Академией наук Республики Татарстан: грант №02-2(Г).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, из них 3 статьи, 6 полных текстов докладов в сборниках трудов международных и всероссийских научных конференций и симпозиумов, 11 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, содержит 122 страницы машинописного текста, 36 рисунков, 8 таблиц, 110 наименований использованной литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность темы диссертации, проанализировано современное состояние проблемы, сформулированы цели и задачи исследования и обозначены подходы к их решению, приведены структура и содержание диссертации и указаны работы, в которых отражены основные результаты.

В первой главе рассмотрены основные уравнения, описывающие движение вихревых структур в жидкости и газе, осуществлен переход к переменным за-вихрённость-функция тока и обоснована его целесообразность для решения поставленных задач. Изложена модель двумерной замагниченной плазмы Тэйло-ра-Макнамары и продемонстрирована аналогия между гидродинамическими уравнениями и уравнениями, описывающими плазму в рамках данной модели. Таким образом, последовательно проводится идея универсальности основных уравнений динамики и инвариантности формы их решений для сред различных типов в рамках исходных предположений, формулируемых в работе. Система уравнений имеет следующий вид:

В зависимости от рассматриваемой среды, входящие в эту систему уравнений переменные, имеют различный физический смысл (табл. 1).

Таблица 1

Ф-ция Жидкость, газ Плазма

р г-компонента завихренности линейная плотность заряда

V функция тока потенциал электрического поля

В В= 1 модуль вектора магнитной индукции

/ /=0 /= 0 - с кулоновским взаимодействием / = к2\у - с экранированным кулоновским взаимодействием

В работе рассмотрены случаи, когда/'= 0, что соответствует вращению локальных вихревых образований в жидкости или эволюции потоков заряженных частиц в однородном магнитном поле.

Во второй главе представлен краткий обзор основных методов численного исследования вихревых структур, проведен сравнительный анализ и показаны преимущества и недостатки использования тех или иных подходов для решения задач моделирования локальных вихревых возмущений. Подробно описан метод контурной динамики, выполнена его модификация, позволяющая исключить некоторые погрешности «классического» метода КД, а также приведены результаты диагностики модифицированного метода контурной динамики, использовавшегося в работе при численном моделировании динамики вихревых структур, показано соответствие с результатами аналитических решений для модельных задач эволюции эллиптического вихря Кирхгофа.

В третьей главе путём численного эксперимента проведены исследования динамики вихревых образований. Для уединённых ВОКП эллиптической формы установлено, что в зависимости от величины эксцентриситета е, могут иметь место три типа эволюции вихря: при е < 0.94 - устойчивое вращение вокруг центра завихренности, при - деформация ВОКП в процессе эволюции с образованием нитей завихренности и вихревых пелен, в случае 0.98 < е <1 - разрушение вихревой области с образованием мелкомасштабных вихревых структур и дальнейшей турбулизацией волнового поля.

Численное моделирование взаимодействия пары круговых вихрей с противоположными знаками завихренности циклонического < 0) и антициклонического типов, которые являются предельными состояниями для сильно вытянутых дипольных структур, моделирующих ограниченные струйные течения, показало, что вихри движутся в одном направлении, перпендикулярном оси, соединяющей их центры. Направление и скорость движения вихревой пары зависят от знаков и величин завихренностей, а также от расстояния между центрами ВОКП.

Исследование динамики парного взаимодействия вихрей с одинаковыми знаками показало, что могут иметь место два режима взаимодействия:

1. При достаточно большом расстоянии между центрами вихревые области вращаются вокруг некоторого общего центра, при этом происходит деформация вихрей - они вытягиваются, принимая форму близкую к эллиптической, но со временем возвращаются к первоначальному состоянию - наблюдается явление «квазивозврата» (рис. 1а).

2. С уменьшением расстояния между центрами вихри начинают все больше деформироваться в процессе взаимодействия, что приводит к образованию точек заострения и вызывает появление нитей завихренности (см. рис. 16). При дальнейшем уменьшении расстояния между центрами вихрей происходит их «фазовое перемешивание» (рис. 1в).

Рис. 1. Режимы парного взаимодействия вихрей антициклонического типа

Качественное изменение (своего рода «скачок») в характере взаимодействия двух вихревых областей происходит при переходе в состояние фазового перемешивания. Для прогнозирования характера вихревого взаимодействия была введена функция основных характеристик взаимодействующих вихревых обра-

зований, отвечающих их состоянию при / = 0:

б=(s//2)(с, /c,Xi (1+sin2e),

где S- площадь ВОКП (предполагаем, для определённости, что площади взаимодействующих ВОКП = S2 — S), / - расстояние между их центрами, ¿¡| И ^ значения завихрённостей (причем > £2), е$=(е\ +ei)/2 - усреднённый по двум ВОКП эксцентриситет и 9 = 9] H-Öj - сумма углов наклона больших осей эллипсов ВОКП относительно прямой, соединяющей их центры (рис. 2).

Вводя в качестве критических параметров функции CL—S/l*, ß = Ci

и варьируя соответствующие аргументы, в численных экспериментах для вихревых областей круговой и эллиптической формы удалось получить значения при которых система переходит

скачком в режим активного взаимодействия, отвечающего фазовому перемешиванию: =a„ß„y(;r90(.r =0.267x1.11x7.143x1.005 = 1.129.

Сравнивая значение £ для произвольной начальной конфигурации вихревой пары с критическим значением можно прогнозировать результат взаимодействия вихревых областей: если то фазового перемешивания ВОКП наблюдаться не будет, в против-

Рис. 2. Схема исходной конфигурации системы двух ВОКП

ном случае, когда £ > будет происходить их слияние с последующим образованием завихрённостей более мелкого масштаба.

Для многовихревых систем также наблюдаются два режима взаимодействия: режим квазивозврата и режим фазового перемешивания. Численные эксперименты с четырьмя линейно расположенными вихрями показали, что для такой системы, наряду с 4-вихревым взаимодействием (рис. За), характерной особенностью является возможность попарного взаимодействия вихрей (рис. 36).

1-е i 1 i Г i i 1 -10

.-13 ! ч 1-16

* *

t -0 * 1 ! I I -in

t -20 1 t-J2 m

♦ !

f

; * г

Рис. 3. Взаимодействие круговых вихрей диаметра d и С, = -1 при 5 = d!2 (а) и 5 = d (6)

Параметр в этом случае разделяет режимы вихревого взаимодействия следующим образом. Для режима фазового перемешивания всей системы асг = 0.227, для попарного взаимодействия значение параметра а--лежит в пределах наблюдается режим квазивозврата.

Для структуры из четырёх вихрей, расположенных в вершинах квадрата, также было найдено критическое значение Как показали числен-

ные эксперименты по исследованию эволюции вихрей с разными знаками завихренности, взаимодействие разнополярных ВОКП (рис. 5) происходит интенсивнее, чем однополярных.

Исследование динамики заряженных нитей, которые представляют собой потоки заряженных частиц в однородном магнитном поле (двумерная модель плазмы Тэйлора-Макнамары), показало, что чем больше амплитуда возмущения, чем большее количество нитей участвует во взаимодействии и чем плотнее они расположены, тем быстрее и интенсивнее происходит образование структур вихревого типа (рис. 6).

Рис. 6. Динамика развития вихревых структур при поперечных возмущениях заряженных нитей

В четвёртой главе рассмотрены приложения полученных результатов к исследованию динамики вихревых образований в атмосфере, гидросфере и плазме. Исследование стационарных ВОКП в геофизической формулировке представляет собой важный класс задач динамики стационарных фронтов завихренности. Результаты моделирования эволюции синоптического вихря циклонического типа, который можно рассматривать как фронт завихренности, представлены на рис. 7 (слева). В численных экспериментах качественно вос-

И

произведены наблюдаемые на спутниковых изображениях (справа) деформации вихревого поля. Масштабные соотношения параметров модельных и некоторых реальных вихревых систем приведены в табл. 2.

На рис. 8 представлены результаты моделирования четырёхвихревого взаимодействия, наблюдавшегося в канале Наруто (Япония). Сравнение результатов численного эксперимента с данными видеонаблюдений подтверждает их качественное совпадение.

Одной из стационарных конфигураций является пара симметричных ВОКП с завихрённостями противоположных знаков, представляющих собой предельные состояния для сильно вытянутых дипольных структур, моделирующих ограниченные струйные течения. Наблюдаемая при этом в численных экспериментах концентрация завихренности в квазистационарной головной части имеет прямое отношение к формированию грибовидных течений в океане.

Исследование динамики трехмерных вихревых структур выполнялось в квазидвумерном приближении, справедливом в случае, когда вертикальной компонентой скорости частиц допустимо пренебречь, т.е. среда может рассматриваться как плоскослоистая. При этом, исходя из реальных физических условий, характерных для моделируемого объекта, в каждом слое 3Б вихря задавалась величина завихренности, а вертикальная его структура определялась физической постановкой задачи. На рис. 9 представлены результаты моделирования эволюции торнадо в рамках квазидвумерного подхода с использованием послойной аппроксимации вихревой структуры системой ВОКП. При этом исследовалось влияние возмущения, наложенного на ось торнадо, проходящую через центры завихренности плоских слоев 3Б объекта, на его динамику. В результате установлено, что малое поперечное возмущение приводит к незначительным колебаниям оси и, в целом, не влияет на структуру и устойчивость вихря. Численные эксперименты по динамике взаимодействия 3Б вихревых структур позволили установить, что его характер определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях. Результаты данного цикла исследований, с учетом соответствующих масштабных преобразований (см. табл. 2), показывают, что использование модифицированного метода КД дает возможность прогнозировать эволюцию торнадо и эффективно моделировать динамику взаимодействия вихрей подобного типа (рис. 10).

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 10. Взаимодействие ЗО-вихрей

Отметим, что данный подход также применим к исследованию динамики воронкообразных вихрей в жидкости.

Таблица 2

Параметр Модельные значения Торнадо Тропические циклоны Океанические вихри

Л 1 10г м 105м 2.5x104 м

V 1 100 м/с 10 м/с 2.5 м/с

% 1 1с' 10-4с" Ю-4 с'

Т 2* 2гсс 2ях104с 2ях104с

Численное исследование взаимодействия частиц в пылевой плазме с вихревыми структурами большего масштаба показало, что при отсутствии вращения самих пылевых частиц взаимодействие является слабым и практически не проявляется, с появлением у частиц ненулевой завихренности взаимодействие становится заметным, и частицы вовлекаются в вихревое движение (рис. 11).

1-0 е-ю % 1-20 *

1 = 30 1- 1=40 ,*г * ' 1 = 50 /«V

б

*

С

€

Рис. 11. Взаимодействие пылевых частиц с вихрем: а - линейные пылевые слои, б - пылевое облако

Исследование динамики заряженных нитей в однородном магнитном поле в приложении к процессам в магнитосфере и ионосфере Земли выполнялось с целью изучения влияния возмущений, имеющих различную физическую природу (солнечная активность, магнитные бури, приводящие к нарушению конфигурации (деформации) силовых магнитных линий в области полярного каспа и др.), на распространение потоков заряженных частиц. В результате установлено, что поперечные возмущения скорости потока приводят к его переходу в

неустойчивое состояние с образованием складок и сложных вихревых структур.

Отдельный цикл исследований был посвящен изучению структуры и эволюции плазменных облаков в ионосфере, образующихся в процессе солнечной ионизации искусственно инжектированного бария в ракетных экспериментах на высотах F-области. В численных экспериментах было установлено, что такие плазменные образования, приводящие к формированию вытянутых вдоль магнитного поля электронно-ионных неоднородностей (преимущественно столк-носительная плазма с малым диффундируя в процессе эволюции

в направлении, перпендикулярном В, приобретают в поперечном сечении нерегулярную полосчатую структуру (рис. 12).

.....#.....

Рис. 12. Эволюция искусственной электронно-ионной неоднородности (поперечное сечение)

Такие плазменные образования, являясь, с одной стороны, индикаторами состояния ионосферы, способствуют развитию нелинейности в F-слое и могут приводить к рассеянию и затуханию радиоволн КВ-УКВ-диапазона.

В заключении приводится перечень основных результатов, полученных в диссертации, и их обсуждение.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Численные эксперименты по исследованию динамики уединённых вихревых областей позволили установить, что для ВОКП эллиптической формы в зависимости от величины эксцентриситета могут иметь место три типа эволюции: при - устойчивое вращение вокруг центра завихренности, при

- деформация ВОКП в процессе эволюции с образованием нитей завихренности и вихревых пелен, в случае 0.98 < е < 1 - разрушение вихревой области с образованием мелкомасштабных вихревых структур и дальнейшей турбулизацией волнового поля.

2. Исследование структуры, эволюции и динамики взаимодействия N вихревых систем позволило установить, что в таких системах могут иметь место два режима взаимодействия ВОКП. При этом показано, что реализация того или иного режима определяется параметрами системы: величиной завихренности, расстояниями между центрами вихрей, формой и площадью ВОКП, конфигурацией их взаимного расположения. На основе результатов численных экспериментов получен критерий устойчивости парного взаимодействия в N вихревой системе, позволяющий осуществлять прогнозирование характера и результат взаимодействия ВОКП. Показано отличие во взаимодействии одно-полярных и разнополярных вихревых областей и установлено, что взаимодей-

ствие разнополярных ВОКП происходит более интенсивно.

3. На основе исследований динамики трехмерных вихревых структур в плоскослоистых средах в рамках квазидвумерного подхода установлено, что малое поперечное возмущение торнадоподобных вихрей приводит к незначительным колебаниям их оси и, в целом, не влияет на структуру вихря. Показано, что характер взаимодействия в 3D вихревой системе определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях.

4. Численное исследование эволюции и динамики взаимодействия заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в однородном магнитном поле показало, что характер эволюции определяется амплитудой поперечных возмущений, количеством взаимодействующих нитей, плотностью их распределения и знаком заряда частиц. Результаты имеют непосредственное приложение к физике магнитосферы и авроральной области ионосферы Земли.

5. В численных исследованиях структуры и эволюции плазменных облаков в F-области ионосферы установлено, что они, диффундируя со временем в направлении, перпендикулярном В, приобретают в поперечном сечении нерегулярную полосчатую структуру, что, в свою очередь, может способствовать развитию нелинейности в F-слое и приводить к рассеянию и затуханию радиоволн КВ-УКВ-диапазона.

6. Выполнена модификация метода КД, что позволило значительно улучшить его точностные характеристики и обеспечило возможность численного исследования эволюции и динамики взаимодействия 2D и 3D локальных вихревых возмущений в атмосфере, гидросфере и замагниченной плазме на значительных временных интервалах при существенной экономии времени счёта.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах (приведены в хронологическом порядке):

1. Сингатулин P.M. Стационарные F-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение//Идеи, гипотезы, поиск...: Сб. статей по материалам VII науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 2000. - С. 16-17.

2. Сингатулин P.M. Численное моделирование эволюции вихревых структур с разными порядками симметрии//Идеи, гипотезы, поиск...: Сб. статей по материалам VIII науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 2001. - С. 12-16.

3. Сингатулин P.M. Применение метода контурной динамики к явлениям, описываемым уравнениями эйлерового типа//П Межвузовская научно-практич. студ. конф. 17-18 апреля 2001 г. Тезисы докладов. Магадан: Изд. СМУ, 2001. С. 98-100.

4. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Моделирование эволюции вихревых структур в рабочих камерах энергетических установок/?Тр. III Межд. симп. по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ, Казань, 10-14 сентября

2001 г. Т. 2. Казань: КГЭУ, 2001. - С. 260-263.

5. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Компьютерное моделирование эволюции вихревых структур в сплошных средах//Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2001. №9-10. С. 103-109.

6. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Численное исследование эволюции V-состояний в сплошных средах//1У Научно-практич. конф. молодых ученых и специалистов РТ, Казань, 11-12 декабря 2001 г. Тезисы докладов. Кн. 3. Физико-математическое и техническое направление. Казань: Изд-во «Мастер Лайн», 2001.-С.41.

7. Сингатулин P.M. Численное исследование динамики вихревых струк-тур//Республиканский конкурс научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского, Казань, 2002 г. Сб. тезисов итоговой конференции. Т. II. Казань: КГУ, 2002. - С. 106-107.

8. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Исследование влияния конфигурации вихревых структур на их взаимодействие//Тр. Школы-семинара акад. В.Е. Але-масова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении», Казань, 1-4 октября 2002 г. Казань: КГЭУ, 2002. - С. 50-52.

9. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//llth Intern. Congress on Plasma Physics, July 15-19, 2002, Sydney, Australia. P. 107.

Ю.Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Алгоритм метода контурной динамики и моделирование вихревых структур. Деп. в ВИНИТИ № 272-В2003. Казань: КГЭУ, 2003.-39 с.

11.Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//Proc. of 11th Intern. Congress on Plasma Physics. American Institute ofPhysics (AIP). Conference Proceedings, 2003. Pp. 609-612.

12.Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of the Vortex Structures' Interaction in Dependence on Their Symmetry Order and Geometry of the System. New Geometry of Nature. Mathematics, Mechanics, Geophysics, Astronomy & Biology. Joint Intern. Sci. Conf., Aug. 25 - Sept. 5,2003. Kazan State University, Russia. V.I. Pp. 45-50.

13.Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//30th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 711 July, St. Petersburg, 2003. ECA. Vol. 27A. P-2.200.

RBelashov V.Yu., Singatulin R.M. Application of CD-Algorithm to Study of Vortices in Plasmas and Fluids//IV Intern. Conf. "Plasma Physics and Plasma Technology - PPPT-4", Sept. 15-19 2003, Minsk, Belarus, 2003. Pp. 892-895.

15.Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. О критических параметрах взаимодействия вихревых структур. Деп. в ВИНИТИ № 496-В2004. Казань: КГЭУ, 2004. -22 с.

16.Сингатулин P.M. Нелинейная динамика вихревых структур в жидкости и плазме//Ш молодёжная научн.-техн. конф. «Будущее технической науки», Н.Новгород, 26-27 мая 2004 г. Тезисы докладов. Н.Новгород: ННГТУ, 2004. -С.275.

»25666

Изд лиц № 00743 от 28 08 2000 Подписано к печати Гарнитура «Times» Физ печ л 1 0 Усл

Тираж 100 экз

1011 2004 Вид печати РОМ печ л 0 94 Заказ № 2298

Формат 60x84/16 Бумага «Business» Уч -изд л 1 0

Типография КГЭУ 420066, Казань, Красносельская, 51

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Сингатулин, Ренат Маликович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Основные уравнения динамики вихревых структур.

1.1. Уравнения движения несжимаемой жидкости: уравнения Эйлера и неразрывности

1.2. Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока.

1.3. Сравнительные достоинства систем уравнений для переменных (\\/, Q и для переменных (г/, v, Р).

1.4. Уравнения движения заряженных нитей.

Глава 2. Численные методы решения уравнений.

2.1. Методы численного интегрирования.

2.1.1. Конечно-разностные схемы.

2.1.2. Метод «частиц в ячейке» (PIC-модель).

2.1.3. Метод дискретных вихрей.

2.2. Метод контурной динамики.

2.2.1. Алгоритм метода.

2.2.2. Модификация метода КД.

2.2.3. Диагностика метода.

Глава 3. Динамика вихревых структур.

3.1. Структура и эволюция вихревых областей конечной площади.

3.1.1. Структура и эволюция уединенных вихревых пятен с различными порядками симметрии.

3.1.2. Взаимодействие вихревых структур.

3.1.3. Критические параметры взаимодействия вихревых структур.

3.1.4. Эволюция и взаимодействие ЗО-вихрей.

3.2. Динамика потоков заряженных частиц в магнитном поле.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Численное исследование динамики вихревых структур в сплошных средах, включая плазму"

Исследования пространственно-временной эволюции, устойчивости, динамики взаимодействия и разрушения двумерных нелинейных образований вихревого типа в сплошных средах, включая атмосферу и гидросферу Земли, атмосферы других планет, а также плазму ионосферы и магнитосферы Земли, стали актуальными в последние два с половиной десятилетия в связи с открытием так называемых когерентных структур. В природе такие структуры существуют в виде атмосферных циклонов и антициклонов, рингов Гольфстрима, грибовидных и триполярных структур, синоптических вихрей в океане, вихрей Россби, дрейфовых вихрей в плазме и др.

С начала 80-х годов когерентные вихри стали объектом усиленного изучения как в физике плазмы, так и в динамике геофизических непрерывных сред. Эти исследования были стимулированы открытием в 1979 г. Хасегавой и др. [1] аналогии между уравнением Хасегавы-Мима [2], описывающим нелинейные дрейфовые волны (вихри) в замагниченной плазме, и уравнением баротропной завихренности, которое в течение длительного времени использовалось для описания крупномасштабных вихревых течений в атмосфере и океане. В 1980 году В.И.Петвиашвили [3] обобщил уравнение Хасегавы-Мима с учетом эффектов возмущения среды большой амплитуды в случае геофизических объектов и градиентов электронной температуры - в случае плазмы. При этом было установлено, что уравнения вихревого движения в атмосфере и плазме сводятся к одному уравнению, имеющему решение в виде двумерных круговых вихрей-антициклонов, перемещающихся в западном направлении, или солитонов-антициклонов, размер которых больше характерного размера дисперсии. Уникальность решения Петвиашвили заключается в том, что оно описывает плавный переход солитонов в вихри.

Работа В.И. Петвиашвили стимулировала многих исследователей к изучению стационарно распространяющихся монопольных вихрей как в динамике геофизических сред, так и в физике плазмы. Например, идея экспериментального исследования вихрей в атмосфере (океане) и дрейфовых вихрей в плазме на «мелкой» воде во вращающемся сосуде с профилем, близким к параболоиду, предложенная Петвиашвили в [3], была успешно осуществлена группой Незли-на [4] (Институт атомной энергии им. Курчатова), а также Ломинадзе и др. [5] в Абастуманской астрофизической обсерватории. В частности, по результатам экспериментов был сделан вывод о дуализме вихрей Россби, которые одновременно проявляют свойства и вихрей, и волн.

Динамика вихрей составляет обширный раздел физики жидкости, газа и плазмы. Вихревые структуры участвуют в процессе турбулентного переноса, поэтому исследование общей динамики вихрей представляет непосредственный практический интерес. Часто в природе и в лабораторных установках (плазменных и гидродинамических) под влиянием определённых физических причин движение среды становится квазидвумерным. В атмосфере и океане такими причинами являются вращение планеты (сила Кориолиса) и стратификация жидкости по плотности, в плазме — это магнитное поле (сила Лоренца). В двумерном случае для локальных вихревых образований характерно сохранение завихренности внутри некоторой области, что сильно ограничивает возможность распада таких структур, поэтому устойчивые вихри становятся существенными элементами динамики среды и их исследование является важной задачей как для построения общей вихревой теории, так и для отдельных разделов физики атмосферы, геофизической гидродинамики и физики плазмы, связанных с изучением разнообразных вихревых движений.

Настоящая работа посвящена численному исследованию вихревых областей конечной площади (ВОКП) [6,7], которые представляют собой в двумерном случае связную конечную область однородной завихренности, окруженную не-завихрённой средой. Такие объекты интересны тем, что их изучение играет важную роль при моделировании атмосферных, гидродинамических вихрей, вихревых структур в замагниченной плазме, а также при исследовании общей динамики вихревых образований.

Простейшее вихревое пятно представляет собой вихрь Рэнкина - это круг радиуса R в неограниченной жидкости. Кирхгоф показал [8], что для эллиптической области с главными полуосями а и b угловая скорость вращения такого вихря определяется соотношением r ab ат ~ 0>О о" > а + ЬУ где Q) - постоянная завихренность.

Г. Лэмб обобщил это решение на круговые области, к границе которых приложено возмущение малой амплитуды г = Rq [1 + е cos(та - соmt)\, где т — порядок симметрии вихревого пятна (мода), Rq — условный радиус ВОКП, в - эксцентриситет, а - угол. В этом случае угловая скорость т-ой моды в лабораторной системе отсчета cow I т-\ ат =-= --• т 1 т

Например, эллиптические волны {т = 2) вращаются в том же направлении, что и частицы жидкости на границе, но с вдвое меньшей скоростью. Моды высшего порядка имеют меньшие периоды вращения: 2я 4пт ат (т-1)

Как показал Лэмб, колебания эллиптической границы имеют период

Со Ьа который, следовательно, является функцией отношения большой и малой полуосей (Ыа).

Мур и Сэффмен [9] обобщили решение Кирхгофа на случай, когда поле скоростей подвергается внешней деформации. Решая аналитически уравнения для вихревых пятен, они приходят к выводу, что стационарные эллиптические пятна во внешнем однородном поле деформации скоростей не могут существовать, если деформация слишком велика или мала завихренность ВОКП. Нестационарный случай рассмотрен Кида [10], Нью [11] и Джименесом [12]. Согласно их исследованиям, вихри вытягиваются в длинные тонкие эллипсы вдоль главной оси.

Отметим, что аналитическое исследование локальных вихревых образований, восходящее к трудам Декарта, представляет собой трудоёмкую, а в некоторых случаях невыполнимую задачу, поскольку сложные эволюционные уравнения, описывающие динамику вихрей, являются нелинейными. Точные стационарные решения для однородных вихревых пятен исчерпываются вихрем Кирхгофа и обобщениями Мура-Сэффмена. Для неоднородных же вихревых пятен известны некоторые точные решения, например, полый вихрь Хилла [13], вихревая пара Лэмба [8], пара полых вихрей Поклингтона [14], линейный ряд полых вихрей Бэйкера, Сэффмена и Шеффилда [15]. Возможно, существует целое множество точных решений такого рода и алгоритм построения семейств таких решений. Например, с использованием метода комплексных лагранжевых координат в работе [16] показано, что уравнениям гидродинамики удовлетворяет некоторый класс вихревых нестационарных течений, включающих в себя, как частные случаи, известные точные решения — вихрь Кирхгофа и волны Герстнера. Эта теория применяется, в частности, для аналитического исследования динамики локализованной вихревой области с произвольной формой границы в начальный момент времени. Другой подход - это использование гамильтонова формализма [17], благодаря которому можно проводить исследования эволюции уединённых вихревых пятен с различными порядками осевой симметрии, а также динамики N точечных вихрей. Однако этот подход нельзя применить к исследованию эволюции многовихревых систем, когда вихри представляют собой конечные области с постоянной завих]$&т®Еор0м результаты аналитических и численных исследований различных равновесные конфигурации вихревых образований. Остановимся вначале на уединенных вихревых пятнах, вращающихся в покоящейся жидкости. Как отметили Дим и Забуски [18], вихрь Кирхгофа - это лишь один из представителей бесконечного семейства вращающихся вихрей с т-полигональной симметрией. Ими была построена кривая зависимости периода вращения ВОКП от порядка симметрии т.

Численные исследования Дима и Забуски привели к предположению, что каждая ветвь бифуркаций (при т > 2) заканчивается в точке, в которой форма пятна принимает вид криволинейного многоугольника. Выполненный Сэффме-ном и Сцето [19] анализ, показывает, что внутренние углы многоугольников прямые, а их кривизна в вершинах обращается в бесконечность. Такие вихревые пятна устойчивы относительно инфинитезимальных возмущений, но нельзя исключить возможность дальнейших бифуркаций, ослабляющих симметрию их формы. Конкретные вычисления применительно к вихрю Кирхгофа выполнены Муром и Сэффменом в [9]. Используя эллиптические криволинейные координаты, они показали, что частоты со возмущений, развивающихся на фоне вихря Кирхгофа, который обладает симметрией т-то порядка, выражается равенством

Они также показали, что при отношении полуосей alb = 3 мода m — 2 становится неустойчивой, в результате чего рождается новое семейство решений, описывающих несимметричные пятна, которые, однако, неустойчивы относительно возмущений с симметрией второго порядка. Последующие бифуркации происходят при значениях а/Ь, для которых со обращается в ноль при любых Свойства таких решений подробно исследовал Камм [20].

Мур и Сэффмен [9] исследовали также свойства устойчивости двумерных инфинитезимальных возмущений на фоне эллиптического вихря, подверженного однородной деформации. В этом случае

2 mab (а + bf"

2 . ,2 2 , /2 а + b а + b

Отсюда следует, что такой эллиптический вихрь линейно устойчив при а!Ь< (а/Ь)с и неустойчив в противном случае. Семейство неэллиптических вихрей рождается при значениях alb, для которых со = 0, при т > 2 . Такого рода бифуркации исследовались также Каммом [20].

Численные исследования изолированных ВОКП, выполненные Димом и Забуски [18], а также Дритчелом [21], показывают, что с течением времени на границе вихря появляются точки заострения (укручение), которые затем переходят в нити. Этот процесс называется «филаментацией». Такого развития событий можно было ожидать в случае неустойчивых вихревых пятен [22]. Однако, филаментация происходит и в случае устойчивых (в рамках линейной теории) ВОКП круговой и эллиптической формы. Укручение и филаментация наблюдаются также в слоях однородной завихренности, расположенной в окрестности твердой стенки. Эти исследования были проведены Дритчелом в [21] и Пуллином [23]. При этом необходимо отметить, что существует нелинейный механизм вторичной неустойчивости не слишком толстых слоев, ускоряющий процесс филаментации (Пуллин и др. [24]).

Анализ, выполненный Чемином [25], показывает, что нелинейное укручение не приводит к образованию углов и острых выступов на границе. Из соображений размерности время tB, которое требуется, чтобы выпуклое возмущение на границе кругового однородного вихревого пятна в результате укручения вызвало филаментацию, выражается формулой

1 г tB'-f

I h

V^o RoJ

Здесь Rq и С, - радиус и завихренность пятна, a h и / - амплитуда и ширина возмущения соответственно. Расчёты Дритчела [21], подтверждённые в какой-то мере результатами Пуллина и Мура [26], дают оценку т юо/л

15 +

V nRo)

InQi'

Для пятен эллиптической формы с отношением осей а/Ь>3 филаментация наблюдается также в слоях однородной завихренности, расположенных в окрестности твёрдой стенки [23]. В этом случае нелинейный механизм вторичной неустойчивости может, как упоминалось выше, приводить к ускорению фила-ментации при условии, что слой не слишком толстый.

Существует интересное различие между филаментациями вихревого пятна и слоя. В первом случае филаментация экструзивна, т.е. тонкие нити завихренности проникают в незавихренную жидкость. Во втором случае она интрузивна: нити незавихренной жидкости внедряются в слой с ненулевой завихренностью. В работе Пуллина и др. [24] высказаны соображения, что это различие скорее кажущееся, поскольку для описания эволюции пятна следует пользоваться системой отсчёта, в которой выпуклость границы квазистационарна. В такой системе отсчёта внешняя жидкость обладает ненулевой завихренностью.

Марсден и Вейнстейн [27], а также Дритчел [21] сформулировали квазилинейное уравнение эволюции малых возмущений на границе однородного кругового вихревого пятна. А. Рухи (частное сообщение) вывел эволюционные уравнения для слоя однородной завихренности, ограниченного бесконечной плоской стенкой, решение которого ищется в классе возмущений, периодических с периодом L в направлении параллельной стенке оси х.

Структура пары вихрей с равными по величине, но противоположными по знаку циркуляциями ± Г, совершающей поступательное движение с постоянной скоростью V описана Димом и Забуски [28]. Пьерхамберт [29] рассчитал семейство таких решений в зависимости от параметра 0 = Rq / г, где /?о - эффективный радиус каждого вихря, а 2г - расстояние между их центрами. При 9 « 1 вихри движутся со скоростью Vq = Г/4Т1Г без изменения формы, близкой к форме круга. С увеличением 6 и уменьшением просвета между вихрями отношение VIVq уменьшается от единицы до 0.6, а аспектное отношение (длина/ширина) возрастает от единицы до 3.34. Предельное значение 0 равно 2.16.

Пара соприкасающихся вихрей движется со скоростью Vc - 0.16д/5^2 , где S — площадь каждого вихря. Предельное отношение 8/(длина вихря) = 0.22. Существование соответствующего ему предельного решения следует из численных результатов. Оно было рассчитано Садовским [30], затем Сэффменом и Тэнвиром [31], которые исправили ошибку в формулировке Пьерхамберта.

Точные решения в замкнутом виде для пары полых вихрей были получены Поклингтоном [14] (а также Тэнвиром [32]). Их аспектное отношение при В -> оо стремится к бесконечности, причём для соприкасающихся полых вихрей предельного решения не существует.

Устойчивость пары вихрей с противоположными знаками завихренности, по-видимому, детально не исследовалась, но есть основания полагать, что они устойчивы. Из доказательства существования решений, сделанного Киди [33] на основе вариационного принципа, следует, что скорость движения пары вихревых пятен с циркуляциями ± Г меньше скорости движения пары точечных вихрей с такими же циркуляциями, расположенных на расстоянии, равном расстоянию между центрами завихренности пятен.

Установившееся движение пары пятен одного знака завихренности численно исследовалось Сэффменом и Сцето [34] методом контурной динамики. Сильно удалённые пятна имеют форму, близкую к круговой. Деформация пятен усиливается с уменьшением расстояния между ними вплоть до соприкосновения. С увеличением Sir", где S— площадь каждого пятна, а г — расстояние между их центрами завихренности, просвет 5 между пятнами уменьшается. Соприкосновение происходит при Sir = 0.3122 [20]. Сэффменом и Сцето также была получена зависимость величины 5// от Sir , из которой следует, что максимальное значение площади пятна превышает её критическое значение, соответствующее соприкосновению пятен. В данном случае это, однако, не связано с изменением характера устойчивости. Соприкосновение происходит в точке с абсциссой

0.3121 в которой момент импульса и регулярная составляющая энергии принимают соответственно минимальное и максимальное значения.

При Sir' = 0 безразмерный момент импульса J равен бесконечности и с

2 2 увеличением Sir убывает до минимального значения при Sir — 0.3121, затем возрастает, пока не произойдёт соприкосновение вихрей. Аналогично ведёт себя кинетическая энергия Т, за исключением того, что она сначала возрастает, затем убывает. Минимум J и максимум Т достигаются при одном и том же значении Sir'. Это следует из вариационного принципа Кельвина и означает, что при этом значении происходит смена устойчивого состояния на неустойчивое относительно двумерных инфинитезимальных возмущений, поскольку лишь одна из ветвей (нижняя) соответствует минимуму функционала энергии.

Это согласуется с расчётами Камма устойчивости пары одноименно завихренных пятен в линейной постановке задачи. После соприкосновения вихри объединяются и принимают форму гантели, как это происходит с односвязны-ми эллиптическими вихрями Кирхгофа под влиянием бифуркаций.

Точное решение в замкнутом виде для соприкасающихся пятен неоднородной завихренности приводится в книге Лэмба [8]. Д .Блисс (1970, частное сообщение) обратил внимание на то, что решение Ламба можно обобщить так, чтобы оно описывало вращение соприкасающейся вихревой пары с постоянной угловой скоростью CD.

Сэффмен и Сцето [19], а также Пьерхамберт и Уиднэлл [35] исследовали свойства линейной цепочки вихревых пятен одинаковой площади S и циркуляции Г, центры которых расположены на прямой с постоянным интервалом г. Исследование проводилось численно методом контурной динамики.

Ими были получены следующие результаты. С увеличением безразмерного параметра Sir2 от нуля до предельного значения просвет между вихревыми пятнами уменьшается. Форма пятен малых размеров близка к круговой, а пятен больших размеров - к эллиптической. Конфигурация цепочки определяется упомянутым внешним параметром 0 = Sir2 . Уместно отметить, что решения с эллиптической симметрией существуют только при 9 < 0.2377 - максимального или предельного значения, не совпадающего с критическим значением, соответствующим соприкосновению пятен [20]. Наличие предельного значения 9 означает существование в его окрестности различных решений с одинаковой площадью пятен и, следовательно, нейтральную устойчивость предельного решения относительно инфинитезимальных возмущений. Поскольку течение невязкое и время обратимо, можно предположить, что в точке нейтральной устойчивости появляются кратные собственные значения и происходит переход от устойчивого относительно инфинитезимальных возмущений состояния к неустойчивому. Это - так называемая супергармоническая неустойчивость, исследованная Муром и Сэффменом [36].

С другой стороны, согласно вариационному принципу Кельвина переход ог устойчивого состояния к неустойчивому происходит в точке экстремума регулярной составляющей кинетической энергии. Таким образом, можно ожидать, что в предельной точке кинетическая энергия как функция 9 имеет максимум или минимум. Сэффмен и Сцето численно показали, что минимуму энергии соответствует максимальная площадь. Аналитически это утверждение проверил Бэйкер [37] для линейной цепочки полых вихрей, также рассматривавшейся в работе Бэйкера, Сэффмена и Шеффилда [15]. При достижении критического значения 9 происходит соприкосновение пятен, и семейство дискретных цепочек вихрей превращается в семейство связанных вихрей или волн конечной амплитуды на вихревой пелене конечной толщины. Критическая длина волны, при которой из пелены постоянной толщины 2Ъ рождается семейство волн, равна 9.83Ь. Форма и свойства такого семейства волн не зависят от Г, которая определяет лишь временные масштабы течения.

Таковы основные результаты исследований динамики вихревых областей конечной площади, проводимых с использованием аналитических и численных методов. Подводя итог, определим некоторые вопросы, которые в настоящее время остались нерешенными. Исследование эволюции пары вихрей с одинаковыми знаками завихренности, проводившееся во многих работах, всё же является не достаточно полным, поскольку не определены наиболее общие критерии устойчивости, позволяющие прогнозировать характер взаимодействия такой системы, хотя в некоторых работах (например [34]) вводится некоторый критический параметр, зависящий от расстояния между центрами завихрённо-стей, который разделяет два режима взаимодействия, однако он не обладает достаточной общностью, поскольку не учитывает величины завихрённостей, формы вихрей, их первоначальной конфигурации. Для многовихревых образований одинаковой полярности были изучены только линейные конфигурации, при этом практически отсутствуют работы по исследованию систем с симметричным расположением вихрей. Из имеющихся по этому вопросу публикаций, начиная с работ лорда Кельвина, подавляющее большинство относится к изучению точечных вихрей, тогда как для вихрей конечной площади характер взаимодействия несколько отличается. Как уже отмечалось, устойчивость пары вихрей с противоположными знаками завихренности детально не изучалась, к этому добавим, что не была также исследована эволюция многовихревых систем, состоящих из ВОКП разной полярности.

Исходя из вышесказанного, можно определить объект исследования - это локальные вихревые образования, возникающие в атмосфере и гидросфере и замагниченной плазме. Предметом исследования является их пространственно-временная эволюция, условия и критерии устойчивости, а также динамика их взаимодействия и разрушения.

Целью работы является численное исследование пространственно-временной эволюции и динамики взаимодействия вихревых структур в атмосфере и гидросфере, а также в плазме.

Решаемые задачи:

1) исследование структуры, пространственно-временной эволюции и устойчивости уединенных вихревых областей относительно возмущений их формы;

2) изучение режимов взаимодействия ВОКП, вычисление параметров, определяющих устойчивость УУ-вихревой системы, с целью прогнозирования характера взаимодействия вихревых структур, численное исследование эволюции и динамики TV-вихревых систем;

3) исследование динамики трехмерных вихревых структур в плоскослоистых средах («квазидвумерное» приближение), изучение эволюции и взаимодействия 3D вихревых систем;

4) исследование динамики потоков заряженных частиц (заряженных нитей) в однородном магнитном поле;

5) приложения результатов исследований к изучению некоторых проблем вихревой динамики в атмосфере и гидросфере: моделирование эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых структур и вихрей в океане, а также образований вихревого типа в плазме: вихревых и спиральных структур в магнитосфере Земли и пылевой плазме;

6) развитие метода контурной динамики с целью улучшения его точностных характеристик и обеспечения возможности численного интегрирования систем эйлерового типа и соответствующих интегродифференциальных уравнений на больших временных интервалах.

Методологической и теоретической базой исследований послужили работы Г. Лэмба [8], Дж. Сэффмана [6] и В.И. Петвиашвили [3], в которых развиты основные положения теории вихревых движений и выполнено обобщение теории геофизических процессов и явлений в замагниченной плазме. При интерпретации полученных результатов мы опирались на работы М.А. Соколовского и В.Ф. Козлова [38-40]. Метод компьютерного моделирования, использованный нами в работе, представляет собой модификацию и обобщение метода контурной динамики (КД), развитого Н.Дж. Забуски, Д.И. Пуллином и Д.Ж. Дритчелом [7, 41, 42].

Научная новизна работы определяется следующими результатами:

1. Исследована динамика уединённых вихревых областей, впервые установлено, что для ВОКП эллиптической формы могут иметь место три типа эволюции, которые определяются значением эксцентриситета.

2. Впервые изучены режимы взаимодействия вихревых областей конечной площади и найдены параметры, определяющие режим взаимодействия и устойчивость вихревой системы, получен критерий устойчивости парного взаимодействия в TV-вихревой системе, позволяющий осуществлять прогнозирование характера и результат взаимодействия ВОКП.

3. Исследовано взаимодействие многовихревых систем (в частности, трёх- и четырёхвихревых) симметричной начальной конфигурации, показано отличие во взаимодействии однополярных и разнополярных вихревых областей, в численных экспериментах впервые установлено, что взаимодействие разнополярных ВОКП происходит более интенсивно.

4. Впервые, в рамках «квазидвумерного» подхода, численно исследована структура, эволюция и динамика взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоско слоистых средах. Показано, что характер взаимодействия в 3D вихревой системе определяется конфигурацией и полярностью «вихревых трубок», а его интенсивность наиболее высока в средних слоях.

5. Численно исследована динамика развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в однородном магнитном поле. Впервые показано, что характер эволюции определяется амплитудой возмущения, количеством взаимодействующих нитей, плотностью их распределения и знаком заряда частиц.

6. Изучены приложения результатов к задачам исследования динамики некоторых типов вихревых систем в атмосфере, гидросфере и плазме: моделированию эволюции тропических циклонов, торнадоподобных вихревых образований, вихрей в океане, а также структур вихревого типа в магнитосфере Земли и пылевой плазме.

7. Выполнена модификация метода КД, что позволило значительно улучшить его точностные характеристики и обеспечило возможность численного исследования эволюции и динамики взаимодействия 2D и 3D локальных вихревых возмущений в различных геофизических средах на значительных временных интервалах при существенной экономии времени счёта.

На защиту выносятся:

1. Результаты численного исследования структуры, пространственно-временной эволюции уединённых вихревых образований и динамики взаимодействия TV-вихревых систем;

2. Критерии устойчивости парного и четырёхвихревого взаимодействия в Л^-вихревой системе, приложения к изучению вихревых движений в атмосфере и гидросфере;

3. Результаты исследования структуры, эволюции и динамики взаимодействия трехмерных вихревых образований в плоскослоистых средах;

4. Результаты исследования динамики развития и взаимодействия поперечных возмущений заряженных нитей (потоков заряженных частиц) в замаг-ниченной плазме, приложения к изучению структур вихревого типа в магнитосфере Земли;

5. Модификация метода контурной динамики, связанная с улучшением его точностных характеристик и расширением возможностей использования в задачах моделирования динамики вихревых структур.

Практическая ценность работы определяется новыми результатами, уточняющими картину эволюции вихревых образований, возникающих в атмосфере, гидросфере и плазме, их взаимодействия и разрушения. Усовершенствованный метод контурной динамики и разработанные на его основе алгоритм и компьютерная программа моделирования динамики вихревых структур являются эффективным средством исследования вихревых движений в сплошных средах, включая вопросы прогнозирования эволюции вихревых систем. Результаты, полученные в диссертации, используются в КГЭУ в работах по исследованию динамики неодномерных нелинейных структур солитонного и вихревого типов в сплошных средах и внедрены в лекционный курс «Математические методы моделирования физических процессов», читаемый в КГЭУ.

Апробация работы

Результаты исследований были представлены и обсуждались на VII и VIII научных конференциях аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета (Магадан, 2000, 2001); III Международном симпозиуме по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ (Казань, 10-14 сентября 2001); Республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань, 2002); Школесеминаре акад. В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 1-4 октября 2002); 11th International Congress on Plasma Physics (Sydney, Australia, July 15-19, 2002), 30th EPS Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics (S.-Petersburg, Russia, July 7-11, 2003); Joint International Scientific Conference «New Geometry of Nature: Mathematics, Geophysics» (Kazan, August 25 -September 5, 2003); IV Intern. Conf. Plasma Physics and Plasma Technology (Minsk, Belarus, September 15-19, 2003); Теоретическом семинаре научно-исследовательской лаборатории «Физика плазмы» ИОФАН (Москва, январь 2004); III Молодёжной научно-технической конференции «Будущее технической науки» (Н. Новгород, 26-27 мая 2004); Общегородском научном семинаре «Теория и компьютерное моделирование нелинейных и нестационарных процессов в физических средах» (Казань, КГЭУ, 2001-2004).

Работа была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований: гранты РФФИ № 01-02-16116, № 02-03-06172 (MAC), Академией наук Республики Татарстан: грант №02-2(Г).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 20 печатных работ, из них 3 статьи, 6 полных текстов докладов в сборниках трудов международных и всероссийских научных конференций и симпозиумов, 11 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, содержит 122 страницы машинописного текста, 36 рисунков, 8 таблиц ,110 наименований использованной литературы.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Сингатулин, Ренат Маликович

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах (приведены в хронологическом порядке):

1. Сингатулин P.M. Стационарные ^-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение//Идеи, гипотезы, поиск.: Сб. статей по материалам VII науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 2000. - С. 16-17.

2. Сингатулин P.M. Численное моделирование эволюции вихревых структур с разными порядками симметрии//Идеи, гипотезы, поиск.: Сб. статей по материалам VIII науч. конф. аспирантов и молодых исследователей Северного международного университета. Магадан: Изд. СМУ, 2001. - С. 12-16.

3. Сингатулин P.M. Применение метода контурной динамики к явлениям, описываемым уравнениями эйлерового типа//П Межвузовская научно-практич. студ. конф. 17-18 апреля 2001 г. Тезисы докладов. Магадан: Изд. СМУ, 2001. С. 98-100.

4. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Моделирование эволюции вихревых структур в рабочих камерах энергетических установок//Тр. 111 Межд. симп. по энергетике, окружающей среде и экономике РНС-ЭЭЭ, Казань, 10-14 сентября 2001 г. Т. 2. Казань: КГЭУ, 2001. - С. 260-263.

5. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Компьютерное моделирование эволюции вихревых структур в сплошных средах//Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2001. №9-10. С. 103-109.

6. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Численное исследование эволюции Г-состояний в сплошных средах//1У Научно-практич. конф. молодых ученых и специалистов РТ, Казань, 11-12 декабря 2001 г. Тезисы докладов. Кн. 3. Физико-математическое и техническое направление. Казань: Изд-во «Мастер Лайн»,

2001.-С. 41.

7. Сингатулин P.M. Численное исследование динамики вихревых структур/УРеспубликанский конкурс научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского, Казань, 2002 г. Сб. тезисов итоговой конференции. Т. II. Казань: КГУ, 2002. - С. 106-107.

8. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Исследование влияния конфигурации вихревых структур на их взаимодействие//Тр. Школы-семинара акад. В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении», Казань, 1-4 октября 2002 г. Казань: КГЭУ, 2002. - С. 50-52.

9. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//11th Intern. Congress on Plasma Physics, July 15-19,

2002, Sydney, Australia. P. 107.

10. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. Алгоритм метода контурной динамики и моделирование вихревых структур. Деп. в ВИНИТИ № 272-В2003. Казань: КГЭУ, 2003.-39 с.

1 1. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//Proc. of 11th Intern. Congress on Plasma Physics. American Institute of Physics (AIP). Conference Proceedings, 2003. Pp. 609-612.

12. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of the Vortex Structures1 Interaction in Dependence on Their Symmetry Order and Geometry of the System. New Geometry of Nature. Mathematics, Mechanics, Geophysics, Astronomy & Biology. Joint Intern. Sci. Conf., Aug. 25 - Sept. 5, 2003. Kazan State University, Russia. V.l. Pp. 45-50.

13. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Dynamics of Vortex Type Wave Structures in Plasmas and Fluids//30th EPS Conf. on Controlled Fusion and Plasma Physics, 7-11 July, St. Petersburg, 2003. ECA. Vol. 27A. P-2.200.

14. Belashov V.Yu., Singatulin R.M. Application of CD-Algorithm to Study of Vortices in Plasmas and Fluids//IV Intern. Conf. "Plasma Physics and Plasma Technology - PPPT-4", Sept. 15-19 2003, Minsk, Belarus, 2003. Pp. 892-895.

15. Белашов В.Ю., Сингатулин P.M. О критических параметрах взаимодействия вихревых структур. Деп. в ВИНИТИ № 496-В2004. Казань: КГЭУ, 2004. - 22 с.

16. Сингатулин P.M. Нелинейная динамика вихревых структур в жидкости и плазме//Ш молодёжная научн.-техн. конф. «Будущее технической науки», Н.Новгород, 26-27 мая 2004 г. Тезисы докладов. Н.Новгород: ННГТУ, 2004. -С. 275.

В заключение автор выражает благодарность доктору физико-математических наук профессору В.Ю. Белашову за руководство работой, а также доктору физико-математических наук профессору С.В. Владимирову за ценные замечания и полезные обсуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Сингатулин, Ренат Маликович, Казань

1. Hasegawa A., Maclennan C.G., Kodama Y.//Phys. Fluids. 1979. V. 22. Pp.2122-2137.

2. Hasegawa A., Mima K.//Phys. Fluids. 1978. V. 21. Pp.87-103.

3. Петвиашвили В.И.//Письма в ЖЭТФ. 1980. т.32. - С.632-644.

4. Антипов С.В., Незлин М.В., Родионов В.К. и др. Свойства дрейфовых со-литонов в плазме, вытекающие из модельных опытов на быстровращаю-щейся мелкой воде//Физика плазмы. 1988. Т. 14. - Вып.9. - С. 1104-1121.

5. Антонова Р.А., Жвания Б.П., Ломинадзе Д.Г. и др. Взаимодействие дипо-лярных вихрей с твёрдой границей и их дальнейшая динамика//Физика плазмы. 1996. Т.22. - №9. - С. 857-864.

6. Саффман Ф.Дж. Динамика вихрей. М.: Научный мир, 2000. 376 с.

7. Zabusky N.J, Hughes, M.N., Roberts K.V. Contour Dynamics for the Euler Equations in Two Dimensions // Journal of computational physics. 1979. V.135. Pp. 220-226.

8. Ламб Г. Гидродинамика. M.: Гостехиздат, 1947. 900 с.

9. Moore D.W., Saffman P.G. Structure of a line vortex in an imposed strain. Aircraft wake turbulence (Olsen, Goldburg, Rodgers eds.). Plenum. 1971. Pp. 339-354.

10. Kida S. Motion of an elliptic vortex in a uniform shear flow // J. Phys. Soc. Japan. 1981. V. 50. Pp. 3517-3520.

11. Neu J.C. The dynamics of a columnar vortex in an imposed strain // Phys. Fluids. 1984. V. 27. Pp. 2397-2402.

12. Jimenez J. Linear stability of a non-symmetric, inviscid Karman street of small uniform vortices//J. Fluid Mech. 1988. V. 189. Pp. 337-348.

13. Hill P.M. Single hollow vortex in a strain field // Ph. D. Thesis, Imperial Colledge, London. 1975.

14. Pocklington H.C. The configuration of a pair of equal and opposite hollow straight vortices of finite cross-section, moving steadily through fluid // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1895. V. 8. Pp. 178-187.

15. Baker G.R., Saffman P.G. Sheffield I.S. Structure of a linear array of hollow vortices of finite cross section // J. Fluid Mech. 1976. V. 74. Pp. 469-476.

16. Абрашкин A.A., Якубович Е.И. О локализованных вихревых образованиях в идеальной жидкости // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова думка, 1985. С. 160-162.

17. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Под ред. А.В. Борисова, И.С. Мамаева, М.А. Соколовского.-М.-Иж.:ИКИ, 2003.-704 с.

18. Дим Г. Забуски Н. Стационарные ^-состояния, их взаимодействие, возврат и разрушение // Солитоны в действии: Пер. с англ. под ред. А.В. Га-понова-Грехова. М.: Мир, 1981. С.289-304.

19. Saffman P.G., Szeto R. Structure of a linear array of uniform vortices // Stud. App. Math. 1981. V. 65. Pp. 223-248.

20. Kamm J.R. Shape and stability of two-dimensional vortex region // Ph. D. Thesis, Caltech. 1987.

21. Dritschel D.G. The repeated filamentation of two-dimensional vorticity interfaces//J. Fluid Mech. 1988. V. 194. Pp. 511-547.

22. Polvani L.M., Flieri G.R., Zabusky N.J. Filamentation of unstable vortex structure via separatrix crossing: A quantitative estimate of onset time // Phys. Fluid. 1989. V. Al. Pp. 181-184.

23. Pullin D.I. The nonlinear behavior of constant vorticity layer at a wall // J. Fluid Mech. 1981. V. 108. Pp. 401-421.

24. Pullin D.I., Jacobs P.A., Grimshow R.H.J. Saffman P.G. Instability and filamentation of finite-amplitude waves on vortex layers of finite thickness // J. Fluid Mech. 1990. V. 209. Pp. 359-385.

25. Chemin J.-Y. Existence globale pour le probleme des poches de tourbillon // C.R. Acad. Sci. Pans. 1991. V. 312. Pp. 803-806.

26. Pullin D.I. Moore D.W. Remark on result of D. Dritschel // Phys. Fluid. 1990. V. A2. Pp 1039-1041.

27. Marsden J.E., Weinstein A. Coadjoin orbits, vortice and Clebsch variables for incompressible fluids // Physica. 1983. D7. Pp. 305-323.

28. Overman E.A., Zabusky N.J. Coaxial scattering of Euler-equation translating K-states via contour dynamics // J. Fluid Mech. 1982. V.125. Pp. 187-202.

29. Pierrehumbert R.T. A family of steady, translating vortex pairs with distributed vorticity // J. Fluid Mech. 1980. V. 99. Pp. 129-144.

30. Sadovskii V.S. Vortex regions in a potential stream with a jump of Bernouli's constant at the boundary // App. Math. Mech. 1971. V. 35. Pp. 773-779.

31. Saffman P.G., Tanveer S. The touching pair of equal and opposite uniform vortices // Phys. Fluids. 1982. V. 25. Pp. 1929-1930.

32. Tanveer S. A steadily translating pair of equal and opposite vortices with vortex sheets on their boundaries // Stud. App. Math. 1986. V. 74. Pp. 139-154.

33. Keady G. Asymptotic estimates for symmetric vortex street // J. Austral. Math. Soc. 1985. Ser. B26. Pp. 487-502.

34. Saffman P.G., Szeto R. Equilibrium shapes of a pair of equal uniform vortices // Phys. Fluids. 1981. V. 23. Pp. 2339-2342.

35. Pierrehumbert R.T. Widnall S.E. The structure of organized vortices in a free shear layer//J. Fluid Mech. 1981. V. 102. Pp. 301-313.

36. Moore D.W., Saffman P.G. The density of organized vortices in a turbulent mixing layer// J. Fluid Mech. 1975. V. 69. Pp. 465-473.

37. Baker G.R. Energetic of a linear array of hollow vortices of finite cross-section// J. Fluid Mech. 1980. V. 99. Pp. 97-100.

38. Козлов В.Ф. Метод контурной динамики в модельных задачах о топографическом циклогенезе в океане//Изв. АН СССР. ФАО. 1983. -Т.19. - №8. - С.845-854.

39. Козлов В.Ф. Метод контурной динамики в океанологических исследованиях: результаты и перспективы//Мор. гидрофиз. журн. 1985. — №4. -С. 10-15.40.41,42,43