Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике

ВАК РФ 25.00.29, Физика атмосферы и гидросферы

Автореферат диссертации по теме "Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ, ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

КАЛАШНИК Максим Валентинович

АДАПТАЦИЯ, УСТОЙЧИВОСТЬ, ФРОНТОГЕНЕЗ В ГЕОФИЗИЧЕСКОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ

Специальность 25.00.29 - Физика атмосферы и гидросферы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Москва-2008 г.

003455670

Работа выполнена в Государственном учреждении "Научно-производственное объединение "Тайфун", г. Обнинск

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

Зырянов Валерий Николаевич, Институт водных проблем РАН

Доктор физико-математических наук, профессор Показеев Константин Васильевич, физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова

Доктор физико-математических наук

Резник Григорий Михайлович, Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН Ведущая организация:

Институт физики атмосферы им. A.M. Обухова РАН

Защита состоится 24 декабря в 15 час. 30 мин. на заседании Диссертационного совета Д 501.001.63 при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, физический факультет, аудитория СФА

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета

МГУ

Автореферат разослан °

2008 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.001.63 кандидат физ.-мат. наук

В.Б. Смирнов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В геофизической гидродинамике - гидродинамике природных сред - рассматриваются движения вращающейся жидкости, стратифицированной в поле силы тяжести. Уравнения гидродинамики для этих движений имеют класс точных стационарных решений, описывающих так называемые сбалансированные состояния - состояния геострофического, циклострофического, гидростатического балансов. Как показывают наблюдения, стационарные движения атмосферы и океана близки к сбалансированным. Так, геострофичсский баланс - баланс между градиентом давления и силой Кориолиса - характерен для крупномасштабных зональных атмосферных течений в средних широтах (на картах погоды ветер направлен по изобарам). Баланс между градиентом давления и центробежной силой - циклострофический баланс - наблюдается в интенсивных атмосферных вихрях (тропические циклоны, торнадо), а также в закрученных газовых потоках, создаваемых в разнообразных технических устройствах. Вертикальное распределение термодинамических параметров в атмосфере и океане с большой точностью описывается уравнением гидростатики (гидростатического баланса).

К числу актуальных и приоритетных задач геофизической гидродинамики относятся теоретические исследования:

- процессов установления сбалансированных состояний (процессов адаптации),

- гидродинамической устойчивости этих состояний;

- процессов формирования разрывов в сбалансированных состояниях (процессов фронтогенеза).

Исследования в этих направлениях представляют большую научную и практическую ценность. Они создают основу для прогнозирования и понимания природы формирования широкого круга явлений, таких как атмосфершле и океанические фронты, циклоны, антициклоны, синоптические вихри в океане.

К настоящему времени уже разработаны некоторые основополагающие, базовые теории указанных процессов. Здесь нужно отметить классическую линейную теорию геострофической адаптации (ЯоэзЬу (1937), Обухов (1949), Ваппоп (2001)), квазигсострофическую теорию гидродинамической неустойчивости крупномасштабных сдвиговых течений (РеШовку (1970), Дикий (1976), Дымников, Филатов (1990)), теорию деформационного фронтогенеза (Нозкив, ВгеШеПоп (1972), Шакина (1985), В1шпеп (1995)).

/ Р

Вместе с тем, многие теоретические вопросы еще далеки от окончательного решети. Сюда относятся разработка нелинейной теории процессов приспособления в атмосфере и океане, теории адаптации в стратифицированных двухкомпонентных средах (соленая морская вода, влажный воздух), теории гидродинамической устойчивости, основанной на анализе полных (нефильтрованных) уравнений, применение достаточно новых и нетрадиционных подходов в теории устойчивости (вариационный метод, немодальный подход). Крайне недостаточно изучены также физические механизмы формирования атмосферных и океанических фронтов, что в значительной степени связано со спецификой возникающих здесь математических задач. Движения вращающейся стратифицированной жидкости не описываются уравнениями гиперболического типа, для которых хорошо развита теория образования разрывов. Физика природных фронтов также принципиально отличается от физики образования ударных волн в газовой динамике

Из вышеизложенного следует актуальность тематики диссертационной работы.

Цель и задачи исследования

Основная цель диссертационной работы состоит в теоретическом исследовании процессов адаптации, гидродинамической неустойчивости, фронтоге-неза в атмосфере и океане, а также моделировании этих процессов в лабораторных условиях.

Для достижения основной цели в диссертации решены задачи в следующих направлениях:

1. Теоретическое исследование процессов нелинейного геострофического (циклострофического, гидростатического) приспособления в стратифицированных вращающихся средах.

2. Теоретическое исследование новых и малоизученных типов гидродинамической неустойчивости вращающихся сдвиговых течений.

3. Развитие новых представлений о формировании фронтальных поверхностей (поверхностей разрыва) в стратифицированной вращающейся жидкости.

4. Теоретическое и экспериментальное исследование волновых и вихревых движений жидкости во вращающихся параболических сосудах.

Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. В рамках линейной теории геострофической адаптации исследован вопрос о перераспределении полной начальной энергии между энергиями геострофического и волнового компонентов. Показано, что в задаче с нулевым начальным полем скорости в кинетическую энергию геострофического компонента переходит менее половины реализованной потенциальной энергии, а остальная (большая) часть идет Fia генерацию волновых движений. Аналогичная оценка получена и в нелинейном случае.

2. Для осесимметричных и плоских движений несжимаемой вращающейся жидкости развита нелинейная теория геострофического (циклострофического) приспособления. С использованием ла1ранжевых законов сохранения массы и углового (геострофического) моментов, сформулированы замкнутые системы уравнений для определения финальных состояшш баланса по начальным данным и построен ряд их точных решений.

3. Предложено рациональное объяснение вихревого эффекта Ранка - формирования аномально низких (отрицательных) температур на оси быстро вращающегося газового потока в вихревой трубе. Показано, что подобные температуры устанавливаются в процессе приспособления осесимметричных движений идеального газа к состояниям циклострофического баланса (баланса между градиентом давления и центробежной силой).

4. Разработана гидродинамическая теория несбалансированного фронто-генеза, связывающая образование атмосферных и океанических фронтов с процессом нелинейного геострофического приспособления в непрерывно стратифицированной среде. Показано, что из гладких начальных полей в процессе приспособления могут формироваться разрывные геострофические состояния. Установлены критерии образования фронтов, описаны характерные геометрические конфигурации поверхностей разрыва.

5. В рамках теории деформационного фровтогенеза построен класс точных аналитических решений, описывающих процесс формирования холодного фронта в деформационном поле типа седла.

6. Изучен новый механизм формирования температурных неоднородно-стей в стратифицированных двухкомпонептных средах, связанный с процессами гидростатического и геострофического приспособления. Показано, что на финальной стадии процесса гидростатического приспособления в соленой морской воде формируется долгоживущий термохалинный "след" с вертикальными разрывными распределешмми, характерными для тонкой структуры океана.

7. В рамках полной (нефильтрованной) системы уравнений гидродинамики исследована линейная устойчивость некоторых важных классов вращающихся сдвиговых течений (тангенциальные разрывы, свободные слои сдвига). Показано, что течения с циклоническим сдвигом всегда более устойчивы, чем с антициклоническим (эффект циклон-антициклонной асимметрии). С использованием квадратичных законов сохранения получены достаточные условия общей (несимметричной) устойчивости состояний циклострофического и геострофического балансов.

8. Исследована структура захваченных волн в сдвиговых течениях стратифицированной вращающейся жидкости. Задача о нахождении частот захваченных волн сведена к решению уравнения Шредингера, однако, с более сложной зависимостью от спектрального параметра Получен ряд точных аналитических решений задачи, показано, что расположение области захвата определяется стратификацией жидкости и ориентацией сдвига.

9. С использованием немодального подхода описана линейная динамика возмущений в спектрально устойчивых сдвиговых течениях. Проведено разделение возмущений на два класса (быстроосциллирующие волновые и медленные вихревые) по значению потенциальной завихренности. Показано, что неустойчивость сдвигового потока может быть связана с нарастанием быстрых волновых возмущений, которые традиционно фильтруют в квазигеострофических моделях. Изучены новые типы сдвиговой неустойчивости (алгебраический, экс-поненциалыю-алгебраический), приводящие к гсЕШрации поверхностных и внутренних гравитационных волн

10. Теоретически и экспериментально исследован класс задач, относящихся к гидродинамике во вращающемся параболоиде (геострофическое приспособление, свободные колебания, структура и устойчивость геострофических течений), Изучен процесс формирования геострофических течений системой источник-сток массы, механизм топографической неустойчивости этих течений. Теоретические результаты хорошо согласуются с экспериментальными.

Научная новизна

Основные научные результаты диссертационной работы получены впервые. В частности:

- Впервые получены оценки эффективности преобразования полной начальной энергии в энергию сбалансированных состояний при геострофическом приспособлении.

- Впервые разработана теория несбалансированного фронтогенеза, описывающая процесс формирования фронтальных поверхностей (поверхностей разрыва) при адаптации из гладких начальных распределений.

- Впервые изучен механизм формирования термохалинных неоднородно-стей в океане, связанный с двухкомпонентным характером соленой морской воды.

- С использованием пемодального подхода впервые исследованы новые механизмы генерации поверхностных и внутренних гравитацжншых волн в спектрально устойчивых сдвиговых течениях.

- Впервые предложено строгое объяснение вихревого эффекта Ранка.

- Впервые теоретически и экспериментально исследован процесс геострофического приспособления, механизм топографической неустойчивости геострофических течений во вращающемся параболоиде.

Научная и практическая значимость работы

Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Она выполнялась в рамках пяти проектов РФФИ: 97-05-65580, 98-05-64527, 02-05-64203, 04-05-64027, 07-08-96434 (в трех из этих проектов автор был официальным руководителем). Научная значимость связана с тем, что полученные результаты дают строгое научное объяснение ряду наблюдаемых закономерностей динамики атмосферы и океана. Они позволяют глубже понять фундаментальные физические механизмы, приводящие к формированию атмосферных и океанических фронтов и циклонов, формированию наблюдаемой пятнистой структуры термохалшшых нолей в океане, генерации поверхностных и внузрешшх гравитациошшх волн во вращающихся сдвиговых течениях.

Практическая значимость работы определяется тем, что результаты создают базу, необходимую для разработки более сложных, детальных численных гидродинамических моделей Они, в частности, могут быть использованы для интерпретации результатов радиолокационного и спутникового зондирования атмосферы и океана, для повышения точности схем краткосрочного гидродинамического прогноза погоды н включения фронтов в прогностические схемы, для разработки методов лабораторного моделирования атмосферных и океанических течений.

Результаты работы использовались при выполнении ряда НИР Росгидромета в Институте экспериментальной метеорологии ГУ "НПО "Тайфун" (темы 1.5.4.8 и 1 5.3.1 Планов НИОКР Росгидромета).

Достоверность результатов и методы исследования

Основные результаты работы получены аналитическими методами теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, функций комплексного переменного. Достоверность результатов определяется тем, что в теоретическом анализе использованы хорошо обоснованные уравнения гидродинамики, вытекающие из фундаментальных законов природы. Практически все результаты представлены в аналитической форме и допускают непосредственную проверку. В заключительной главе диссертации проведено непосредственное сравнение ряда теоретических результатов с результатами лабораторных экспериментов.

Личный вклад автора

Основная часть результатов диссертационной работы получена автором лично.

В работах, выполненных в соавторстве с экспериментаторами (К.Н. Ви-шератин, С.Дж. Цакадзе, В.О. Кахиани, К.И. Патарашвили, P.A. Жвания и др.), автору принадлежит теоретическая часть и идея проведения ряда экспериментов Теоретические исследовашм процессов приспособления в несжимаемой жидкости, проблемы симметричной устойчивости выполнены в соавторстве с П.Н. Свиркуновым. Линейная теория гидростатической и геострофической адаптации в стратифицированных двухкомпоненттдх средах разработана совместно с Л.Х Ингелем. Исследования линейной динамики возмущений в сдвиговых течениях па основе немодального подхода выполнены в соавторстве с Г Д. Чагелишвили, Дж.Г. Ломинадзе, Г.Р. Мамацашвили.

Значительная часть основных публикаций по теме диссертации выполнена без соавторов. Во всех совместных исследоваштях автор участвовал в формулировке основных задач, разрабатывал аналитические методы их рететшя, проводил анализ результатов.

Апробация работы

По теме диссертации опубликованы 54 работы, из них более 30 в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК: "Доклады РАН", "Известия РАН. Физика атмосферы и океана", "Известия РАН. Механика жидкости и газа", "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Океанология", "Метеорология и гидрология" и др. Список основных публикаций приведен ниже.

Результаты работы докладывались на отечественных и международных конференциях, совещаниях и семинарах, в том числе: на IX Международной на-учно-техшгческой конференции "Современные методы и средства океанологических исследований", Москва, 2005; Международной конфч^енции МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность", Москва, ноябрь 2004 г; Perm Dynamo Days, Internationa] Workshop, Perm, 7-11 February 2005; International Conference "Fluxes and Structures in Fluids", St.-Pelersburg. July 2007; Юбилейной Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы", Москва. МГУ, октябрь-ноябрь 2002 г; Четвергой всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии (Экологическая физика)". Москва, МГУ. июнь 2004; Всероссийской научной конференции "С.II. Хромов и синоптическая метеорология" (Москва. МГУ, октябрь 2004 i.), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Н.Новгород, август 2006 г.; заседаниях Ученого совета и семинарах ГУ "НПО "Тайфун", семинарах ИФЛ РАН, ИБП РАИ, Ш1М РАН, кафедры физики моря и вод сущи физического факультета МГУ.

Структура н объем работы

Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Содержит 429 страниц, включая 89 рисунков, библиографию из 256 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации, излагаются основные цели и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту. Представлен об юр работ по теме диссертации.

Глава 1. Процессы приспособления во вращающейся -жидкости

В первых двух параграфах главы исследованы процессы циклострофиче-ского (геострофического) приспособления в рамках двух базовых моделей геофизической гидродинамики. Движения вращающейся жидкости в модели мелкой воды описываются системой уравнений

— + f\k, и]+gVh = 0, —+div(hu) = 0, (1.1)

dt dt

где и - двумерный вектор скорости, h - высота уровня жидкости, / - параметр Кориолиса, g - ускорение свободного падения, к - вертикальный орт,

dldt = d/dt + (uy).

Движения вращающейся несжимаемой стратифицированной жидкости в поле силы тяжести описывается системой

— + ~ = 0, <КУИ = 0, (1.2)

Л р А

где р - давление, /7 - плотность.

В параграфе 1.1 исследована энергетика процесса линейного геострофического приспособления. Как известно, решение линеаризованной системы уравнений динамики мелкой воды (1.1) представляется суммой стационарного (геострофического) и нестационарного (волнового) компонентов (Обухов, 1949). Соответствующая система при этом сохраняет возмущение потенциальной завихренности и полную энергию (кинетическую плюс потенциальную)

Л = + П =0.5|[я|и|2где Т] - отклонение полной глубины от средней Н. Для приращения полной энергии в работе получено выражение

Ас , (1 3)

2-

показывающее, что энергия устанавливающегося в процессе приспособления геострофического состояния Е5 всегда меньше полной начальной энергии Е0 (часть начальной энергии расходуется на излучение волн). На основе (1.3) получены оценки эффективности преобразования начальной энергии в энергию геострофического состояния для различных типов начальных условий. В частности, показано, что в задаче с нулевым начальным полем скорости в кинетическую энергию геострофического состояния К5 переходит менее даловпны реализованной потенциальной энергии ДП=П0 -Пх, а остальная (большая) часть идет на генерацию волн: Кц/ АП <1/2. Эта оценка, справедливая и в модели непрерывно стратифицированной жидкости, показывает, что процесс геострофического приспособления есть эффективный механизм генерации волновых движений в атмосфере и океане.

В параграфе 1.2 рассмотрен вопрос об определении стационарных состояний циклострофического (геострофического) балансов по начальным данным для нелинейных движений, обладающих осевой или трансляционной симметрией. Основная проблема, которая здесь возникает, состоит в том, что сбалансированные состояния нельзя определить из стационарных уравнений движения, поскольку неизвестных оказывается больше, чем уравнений. Как показано в работе, недостающие уравнения можно получить в форме сохраняющихся в процессе эволюции функциональных зависимостей между лаграпжевыми ин-

вариантами задачи. Существование этих связей вытекает из следующего простого математического предложения: произвольное векторное поле в п - мерном пространстве имеет ровно п функционально независимых (базисных) иа-гранжевых инвариантов, через которые выражается произвольный инвариант. Принципиальную роль при этом играет также тот факт, что для рассматриваемых движений имеются дополнительные лагранжевы инварианты - угловой момент в осесимметричном и геострофичесыш момент в случае трансляционной симметрии.

В качестве примера рассмотрим осесимметричные движения жидкости в модели мелкой воды в отсутствие фонового вращения:

ск! М2 5И (Ш дИ 1 о, л

■Г--Г = ^7 = °' ^ + (1-4)

т г ог т от г дг

где М =г\' - угловой момент, и,V - радиальная и азимутальная компоненты скорости, с!/ ск = 81 &+ ид/дг. Стационарный вариант системы (1.4) дает

О ^

и = О и уравнение циклострофического баланса М /г =gдlг/дr, которое связывает две неизвестные функции М, И. Для получения недостающего соотношения уравнение баланса массы записывае тся в форме яагранжева закона сохранения: <Ш! Л - 0, I = '¿^¡гг(1г. Из уравнений (И IЖ = 0, (Ш / ск = О

следует, что в процессе эволюции сохраняется функциональная связь М = конкретный вид которой получается исключением координаты г из начальных условий для М, I. С учетом данной связи и соотношения

gh = г'131 / дг, стационарное состояние определяется однозначно из уравнения

д 1 д! = Р2{1) дг г дг г3

в соответствии с заданными начальными условиями (зависимость ■£"(/)).

В случае осесимметричных движений стратифицированной жидкости (/ = 0) стационарный вариант системы (1.2) дает два уравнения

А/2 Вр др

г дг 02

которые связывают три неизвестных функции - р, М, р. Для однозначного определения стационарного состояния используются законы сохранения трех ла-гранжевых инвариантов: углового момента М, плотности р, потенциально!!

завихренности д = г~1д{М,р)/д(г,г). В процессе эволюции сохраняется

функциональная связь д = Р (А1, р), конкретный вид которой получается исключением координат г, 2 из пачальных условий для М, р, (/. С учетом этой связи, имеем замкнутую систему уравнений для определения стационарного состояния:

Ш^Кг^о, Щ^4-р{М,р). (1.6)

г

д.г дг ' г d(r,z)

Первое уравнение в системе (1.6) получено исключением давления из (1.5).

Приведенное рассмотрение распространяется на случай плоских (не зависящих от горизонтальной координаты у ) движений вращающейся (/ Ф 0) стратифицировашюй жидкости. В этом случае, формирующееся в процессе приспособления стационарное геострофическое состояние находится с использованием лагранжевых законов сохранения геострофического момента m = V + fx, плотности р, потенциальной завихренности q = с (т. р)! с{х, z) и фу нкцио нальной связи q = F {m, р).

В работе приведены примеры точных решений сформулированных нелинейных уравнений для стационарных состояний В рамках модели мелкой воды построено точное реше1ше, описывающее геострофическую струю, сформировавшуюся на месте первоначального разрыва уровня Показано, что в кинетическую энергию струи переходит ровно одна треть реализованной потенциальной энергии, а остальные две трети вдут на генерацию волн.

В параграфе 1.3 для горизонтально-однородных движений сжимаемой полубесконечной атмосферы развита линейная и нелинейная теория гидростатического приспособлышя. Система уравнений динамики имеет вид

ctw 1 dp л dp д , „ л dû . _ р , _ч

— +---~ + g = 0. — + — (/ж) = 0, —=0, 6» = —, (1.7)

dt р dz dt 3z dt p7

где w - вертикальная скорость, у — CpjCy - отношение теилоемкостей (для

воздуха у = 7/5), d/dt -д!dt + wdl dz. Стационарный вариант системы (1.7) дает IV = 0 и уравнение гидростатики dp/dz = -gp, связывающее две неизвестные функции р,р. С использованием лагранжевых законов сохранения

энтропии 0 и интегральной массы / = j^/xfe в работе сформулировано замкнутое нелинейное уравнение для однозначного определения стационарных состояний по начальным данным. Показано, что установление этих состояшш происходит за счет излучения акустико-гравитациоштых волн. Сформулирован вариационный принцип, утверждающий, что стационарным состояниям отвеча-

ет абсолютный минимум функционала полной энергии. Этот принцип позволяет дать физическую интерпретацию процессу гидростатического приспособления как процессу достижения системой состояния с минимумом полной энергии.

В заключительном параграфе 1.4 главы решена задача о приспособлении вихревых движений идеального газа к состояниям циклострофического баланса. Показано, что процесс приспособления носит нестационарный волновой характер и при начальных скоростях вращения, близких к скорости звука, сопровождается значительным падением температуры газа в лриосевой зоне (до - 50 * -100 °С). Этот результат приложен к объяснению вихревого эффекта Ранка - интенсивного охлаждения приосевой области закрученного газового потока в вихревой трубе.

Теоретическое исследование процесса приспособления выполнено в рамках системы уравнений газовой динамики, описывающей осесимметричные движения идеального политропного газа. Для этой системы рассмотрена задача с начальными данными, отвечающими ситуации, когда в газе, находящемся при постоянных температуре Г0, давлении р0, плотности мгновенно создан вихрь с тангенциальной скоростью Vv0(r/L), где V, L - заданные амплитуда и масштаб начального вихря. Как и в теории геострофической адаптации, решение задачи представлено суммой стационарного (сбалансированного) и нестационарного (волнового) компонентов, где волновой компонент описывает акустические колебания, возбуждаемые в процессе приспособления. Сформулирована нелинейная краевая задача для определения стационарного компонента по начальным данным, изучена структура сбалансированных состояний для различных типов начальных распределений тангенциальной скорости и различных

значений квадрата числа Маха s = (F / с)2.

В качестве примера на рис. 1 представлены радиальные распределения тангенциальной скорости УIV (а) и температуры Т/Т0 (б) в сбалансированном состоянии, формирующемся при я = 1 в случае начального неограниченного вихря, спадающего по алгебраическому закону: v0(r)~ \i rl~X. Кривым 1 - 3 отвечают значения Л = 0.3, 0.5, 0.7, пример начального распределения скорости показан пунктиром При X = 0.5 и начальной комнатной температуре Т0 =300 К (~27° С) температура на оси вихря падает на 72 К и достигает -45° С. Для достижения такого падения температуры нужна начальная скорость, немного превышающая половину скорости звука. В случае начального ограниченного вихря (задача в трубе радиуса L ) температура на оси вихря падает, в

и

то время как на периферии у стенки происходит нагрев. Нагревание периферийных слоев связано исключительно с условием сохранения полной массы, а не с эффектом трения о стенки, как это обычно предполагается.

Теоретический анализ дополнен результатами специальных экспериментов с трубкой Ранка, выполненных К.Н. Витнератиным. В этих экспериментах показано, что максимальное падение температуры наблюдается непосредственно вблизи выхода закручеттого потока из завихрителя, где и происходит процесс циклострофического приспособления.

Глава 2. Фронтогенез в непрерывно стратифицированной жидкости

В главе рассмотрены гидродинамические модели формирования атмосферных и океашяеских фронтов В параграфе 2.1 развита теория несбалансированного фронтогенеза, связывающая образование фронтов с процессом нелинейного геострофического приспособления в непрерывно стратифшцфовашюй вращающейся жидкости Основной физический результат состоит в том, что даже в случае гладких начальных несбалансированных распределений формирующиеся финальные геострофические состояния могут содержать поверхности разрыва типа фронтальных. Поскольку несбалансировашше распределения в атмосфере и океане возникают достаточно часто (например, при внезапных охлаждениях или на1ревах), этот результат показывает, что процесс геострофического приспособления есть один из важнейших механизмов природного фронтогенеза.

В теоретическом исследовашш рассматриваются плоские (не зависящие от координаты у) движения вращающейся стратифицированной жидкости, с компонентами скорости и, V, и' вдоль горизонтальных осей х, у и вертикальной оси 2 соответственно, в бесконечном горизонтальном слое 0 <2 <Н Описание движений проводится в рамках системы уравнений (1.2). записанной в приближении Буссинеска. Для этой системы рассматривается задача с начальными условиями / = 0: и = О, р = Ар[-г/Н + аИ(х/1)1 отвечающими си-

6

13

Рис. 1

туации, когда в покоящуюся линейно стратифицированную жидкость внесено возмущение плотности с амплитудой а и горизонтальным масштабом L (р -

отклонение плотности от фонового значения р*). Поскольку начальное состояние несбалансировано, в системе возникают волновые движения, и по истече-шш переходного периода адаптации устанавливается стационарное состояние геострофического равновесия. В этом состоянии u = w = 0, а переменные р, V удовлетворяют уравнению термического ветра

Jem 18z + (g / р,)др / Sx = 0, где m = v + jx.

Для приведенных начальных условий потенциальная завихренность q = ¿(/л. р)! д(х. z) = - /Ар/Н = const. С учетом этого факта, в безразмерных переменных для определения стационарного состояния имеем систему cm dp л с(т. р)

— + —= 0, V . - = —1 (2.1)

& ёх В{х, z)

в полосе 0 < z < 1, с краевыми условиями p\z Q= ah(Am),

р\ ± =~\ + ак(?М1). Здесь Я = =^АрН/р, // - радиус дефор-

мации Россби. В качестве масштабов г.х,р,\' приняты соответственно Краевые условия отражают сохранение функциональной связи между инвариантами р, т на горизонтальных границах.

Преобразование зависимых и независимых переменных - переход в системе (2.1) от независимых переменных х,г к переменным те, I - сводит ее к линейной системе Копш-Римана: др/Зт - дх/ дг, др! дг = -дх/дт. Этот факт позволяет использовать в анализе методы теории функций комплексного переменного. С использованием этих методов в работе построены точные решешы краевой задачи для различных типов начальных распределений /г(от) Основная особенность связана с существованием криттеской амплитуды а = асг, при превышении которой решения становятся многозначными (разрывными). Критическая амплитуда пропорциональна квадрату масштаба начального возмущения. С ростом а разрывы впервые возникают па горизонтальных 1раницах.

На рис. 2 (верх) в вертикальной плоскости шображены изолинии поля плотности (а) и касательной к фронту компоненты скорости V (б) в финальном геострофнческом состотоянии, формирующемся при а = асг из гладкой начальной плотностной ступеньки Соответствующие картшты изолиний в случае начального локализованного возмущения плотности

[¡г(т) -\1с\\2{Ьп)} для нижней половины слоя представлены на рис. 2 (низ). Точки сгущения изолиний отмечают положения формирующихся фронтов. С каждым фронтом связано интенсивное струйное течение. га б

Рис. 2

При а > асг многозначные решения для финальных состояний преобразуются в однозначные разрывные путем проведения поверхностей разрыва .ц ■= х-0 (/). Как и в задачах газовой динамики, это осуществляется с использованием непрерывной части решения и соответствующего физического условия на разрыве. В качестве последнего принимается условие непрерывности давления при переходе через разрыв, которое выражается известной формулой Мар-гулеса (безразмерная форма): с/х6 ¡(к - (/>2 ~л)/(т2 - щ)- гДе Рг-Р\ ■■■ ' значения величин соответственно справа и слева от разрыва. С использованием этой формулы в работе сформулирована нелинейная система уравнений для определения поверхностей разрыва и показано, что ее можно точно проинтегрировать, благодаря наличию первого интеграла, аналогичного интегралу площадей в газовой динамике. Важный результат состоит в том, что при достаточно

больших амплитудах геометрические конфигурации поверхностей разрыва носят универсальный характер, т е. не зависят от деталей начальных распределений. В случае начальной сглаженной ступеньки в верхней и нижней половинах слоя формируются два наклонных фронта, имеющие параболический профиль. В случае локализованного возмущения, наряду с наклонными фронтами, в верхней половине слоя формируется вертикальный фронт, на котором плотность непрерывна, а компонента скорости терпит скачок [20,29].

Для описания нестационарных волновых процессов приспособления в работе разработаны численная гидростатическая модель и упрощенная аналитическая модель, основанная на уравнениях динамики в лагранжевых перемешгых. Показано, что процесс установления разрывных геострофических состояний ноет' ярко выражешшй волновой характер с чередованием фаз гладкости и многозначности. На небольших временах эти фазы повторяются с инерционным периодом, т.е. формируется нестационарный пульсирующий фронт.

В параграфе 2.2 рассмотрена исторически более ранняя теория деформационного фронтогенеза, связывающая образование атмосферных и океанических фронтов с наличием специального класса фоновых деформационных полей скорости, обостряющих начальные градиенты. Деформационный фронтогенез, как правило, исследуется в рамках достаточно сложных численных моделей (Williams (1974), Ostdiek, Blumen (1995)). В работе впервые построен класс точных аналитических решений, описывающий процесс формирования холодного фронта в слое атмосферы конечной высоты H.

В деформационной модели (Hoskins, Bretherton (1972)) исследуется эволюция двумерных (не зависящих от координаты у) возмущений, помещенных в гиперболическое поле типа седла: и = —atx, v = а*у. Описание эволюции проводится в рамках системы уравнений динамики (1.2), в которой используется приближение геострофического баланса в направлении вдоль фронта. Использование закона сохранения потенциальной завихренности и переход к полу геострофическим координатам m, z позволяют свести эту систему к системе линейных диагностических уравнений, не содержащих временных производных. В ситуации с однородно распределенной потенциальной завихренностью эволюция поля безразмерной плотности (потенциальной температуры) описывается решением уравнения Лапласа Ар — 0 с краевыми условиями, зависящими от времени. pi =ah(vn), Р\„_л - + ah(vn). Здесь T = L~1eai, h(in) -граничная функция, задающая структуру начального распределения р с без-

размерными амплитудой а и масштабом Ь. Функция тока Ц', описывающая циркуляцию в вертикальной плоскости, находится из уравнения Ду/ = -2адр/дт. В качестве горизонтального и вертикального масштабов приняты соответственно Н и Ьр,.

Аналитические решения задачи построены для граничной функции к{т) = 0,5(1- \3л>п), описывающей плавный переход от более плотной (слева) к более легкой жидкости в начальный момент времени. Процедура построения решений включает конформное отображение полосы 0 < 2 < 1 на полуплоскость с последующим применением формулы Шварца. Распределение плотности в

дискретные моменты времени г = П = т, п-1,2..., описывается параметрическими (т - параметр) выражениями

я/готя

1-

сктг + собГяг - ук)

1 а у^ эт(жс-ук) 2« скят + с- ук)'

а

2и*=1

где ук = (2к -1)/2и, к = 1,2,...,п. Переход к физическим переменным осуществляется обращением зависимости х ~ х(т, х, г) —> т=т(х, г, г).

На рис. 3 представлены изолинии поля плотности для двух моментов времени: п -1 (а) и п = 2 (б). В момент времени I - !сг, зависящий от амплитуды а и размерной ширины переходной зоны ¿*, на горизонтальных границах

возникает разрыв (фронт). При а-1, а» = И) 5с"1, ¿„ = 500км, разрыв формируется в момент =¡12.5 часа, на расстоянии 730 км от начала координат.

С использованием аналитического решения для функции тока ц>, в работе показано, что впереди перемещающегося фронта имеют место восходящие движения теплого (легкого) воздуха, позади - нисходящие движения холодного. Именно такая структура вертикальной циркуляции характерна для холодных атмосферных фронтов.

Заключительный параграф 2.3 главы посвящен сопоставлению теоретических результатов с наблюдениями. Вытекающий из теории несбалансированного фронтогенеза важный практически! вывод состоит в том, что появление в атмосфере и океане областей с достаточно интенсивными горизонтальными градиентами плотности (температуры) неизбежно должно сопровождаться формированием фронтов и сопутствующих им струйных течений. Такого рода фронты действительно повсеместно наблюдаются. В качестве примеров можно привести шельфовые фронты в океане, бризовые фронты, крупномасштабные атмосферные фронты, разделяющие воздушные массы с различными термическими характеристиками. Развитая теория описывает следующие особенности структуры крупномасштабных фронтов: а) максимальные градиенты в области фронтальной зоны наблюдаются вблизи подстилающей поверхности и тропопаузы, а в основной толще тропосферы они выражены слабо, б) фронтальная зона образована единой системой, состоящей из приземного и верхнетропосферного фронтов, в) с каждым из фронтов связано интенсивное струйное течение, причем его ось смещена относительно фронта.

В данном параграфе представлено также прямое количественное сравнение с результатами лабораторных экспериментов (8(^пег й а1 (2004)), в которых моделировался плотностной фронт в двухслойной системе. Полученное в работе аналитическое решение хорошо описывает структуру фронта.

Глава 3. Адаптация в стратифицированных двух компонентных средах

Многочисленными измерениями распределений температуры и солёности в океане обнаружено существование ярко выраженных горизонтальных и вертикальных неоднородностей (Федоров (1976), Мошш (1988)). Распространены, в частности, ситуации с многочисленными скачками (ступеньками) на вертикальных профилях этих переменных (тонкая структура океана). Основными механизмами формирования неоднородностей считаются процесс обрушения внутренних гравитационных вот, а также конвекция, обусловленная двойной диффузией. В данной главе изучены новые механизмы, связанные с процессами гидростатического и геострофического приспособления в стратифицированных

двухкомпонснпшх средах, т. е. средах, плотность которых зависит как от температуры, так и от концентрации некоторой примеси.

Примерами двухкомпонентных сред являются соленая морская вода и влажный воздух. Уравнение состояния для соленой морской воды с большой точностью записывается в виде р - р,(l -аТ + fis), где /?, - значение р при постоянных средних значениях температуры Т„ и солёности s* ; 7', s - соответствующие отклонения от средних, а - коэффициент термического расширения, р - коэффициент соленостного сжатия. Адиабатические движения среды описываются системой уравнений

^JL^-tf, div« = 0, ^ = 0 , ^ = 0. (3.1)

dtp dt dt

В параграфе 3.1 исследовано поведение возмущений, внесешшх в устойчиво стратифицировашто двухкомпонентную среду (процесс гидростатического приспособления). Соответствующие начальные условия для системы (3.1) записываются в виде t = 0 : и ~ 0, Т = yTz + 7)(х), s = ysz + y.(-v), где Тп s, -заданные начальные возмущения, у?, ys - постоятгые фоновые значения вер-тикальпых градиентов каждой из субстанций. Фоновое состояние считается конвективно устойчивым, чему отвечает убывание фоновой плотности с высотой' p(z) = рч (l - у z), у ~а7т ~ Pïs > 0 • Относительный вклад температуры и концентрации примеси в фоновую стратификацию плотности характеризуется безразмерным параметром tj = fly5j<xyj .

В безграничной устойчиво стратифицированной среде начальные горизонтальные неоднородности поля плотности pj = -р*{аT, -fis,) приводят к возникновению волновых движений, которые сглаживают плотностные неоднородности и на больших временах затухают. В одпокомпонентной среде (плотность зависит только от Г) вместе с возмущением плотности затухает также возмущение температуры. Как показано в работе, совершенно иначе ведут себя возмущения в двухкомпонентной среде. Обозначим финальные (при t —> оо ) распределения возмущений температуры и концентрации примеси через T'j-. s'f. В рамках линейного приближения для этих распределений получены выражения

_ atjT, - /iv, , arjTi - /h,

if—-, Sf =--, ы-А)

f «(7-1) f P(rj-l)

которые показывают, что в двухкомпонештюй среде возмущения Т', я' не исчезают и на финальной стадии процесса гидростатического приспособления. Эти возмущения компенсируют друг друга в поле плотности =0),

формируя стационарный тсрмохалшшый "след".

Согласно (3.2), амплитуда финальных возмущений определяется значением параметра г/. Так, при 5, = 0 (начальное возмущение солености отсутствует) и 0 < 7] < 1 (стратификация соли неустойчива, но систему стабилизирует устойчивая стратификация температуры: аур > (Зу 3 >0) финальное и начальное возмущения Т' имеют противоположные знаки; т. е., например, в ответ на первоначальный нагрев в среде формируется холодный след. При т] > 1 (температурная стратификация неустойчива, но систему стабилизирует устойчивая стратификация примеси) амплитуда возмущения в финальном состоянии оказывается всегда больше начальной амплитуды. В работе представлен детальный анализ этих и ряда других нетривиальных особенностей, не имеющих аналогов в однокомпонентных средах.

Наряду с линейной теорией, в диссертации также развита нелинейная теория приспособления, основанная на решении системы уравнений динамики (3.1) в лагранжевых переменных. Универсальная особенность структуры следа в этой теории состоит в формировании вертикальных разрывных распределений из гладких начальных возмущений. При .V, =0 и начальном температурном возмущении вида Т1 - АТ И{х/Ь) т(г1 Я), финальное распределение 7у (г) на

оси симметрии возмущения описывается параметрическими (гд - безразмерный параметр) выражениями

г = т(г о), Тг = утН[гй + я(1 - ?/)г(г0)], (3.3)

где а = аАТIуН. На рис. 4а представлена зависимость (3.3) в случае гладкого локализованного распределения г(г0) > 0 и Ц < 0 (рассматривается неограниченная по вертикали среда). Этот рисунок иллюстрирует как с ростом параметра а (начальной амплитуды АТ) на вертикальном профиле 7у формируется

разрыв. Аналогичный разрыв формируется и на вертикальном профиле солености. Эти разрывы компенсируют друг друга так, что вертикальное распределение плотности остается гладким (линейным). При характерных для океана значениях II =10 м, а = 2 х Ю~4 К'1, у — 9 х 1(Г 7 м"1 начальное возмущение с амплитудой АТ = 7 х 10 К уже приводит к формированию разрыва.

Рис. 4

В случае периодического по вертикали начального возмущения г(20) = со8(Яг0) (рис. 46), вызванного, например, внутренней волной, формируется стационарный «пилообразный» профиль температуры, в котором слои с постояшшми градиентами разделены резкими скачками (инверсиями). Если начальное распределение апериодично (имеет положительные и отрицательные фазы), формируется профиль с нерегулярным распределением скачков. Подобные профили характерны для тонкой структуры океана, которая, согласно определению К.Н. Федорова (1978), "представляет собой неупорядоченное или систематическое чередование по глубине участков с низкими и высокими вертикальными градиентами того или иного свойства".

С гидродинамической точки зрения, формирование следа в двухкомпо-нентных средах связано с тем, что для адиабатических движений температура и концентрация примеси являются лагранжевыми инвариантами Векторное поле И = х Уз, касательное к линиям пересечения поверхностей равных значений этих инвариантов, при этом удовлетворяет уравнению вморожснности ¿/Я/с/? = (К ■ V)«. В случае возмущений малой амплитуды го этого уравнения следует простой локальный закон сохранения йг / = О, г -у5Т' - у^-я', ответственный за формирование следа в линейной теории. Из уравнения вморо-жепности вытекают два специфических для двухкомпонентных сред интегральных закона сохранения: сИ^/сИ— 0, = | [Ур х Уд]и (Ьс,

/2 = | [V7' x V.v]m dx, где q = rot и- Vp. Эти законы аналогичны законам сохранения Моффата и Вольтерра в обычной и магнитной гидродинамике и независимы от закона сохранения полной энергии.

В параграфе 3.2 в рамках системы (3.1), дополненной учетом фонового вращения, изучены особенности процесса геострофкческого приспособления в двухкомпонентных средах. Показано, что если первоначальная агеострофич-ность связана с возмущениями температуры и (или) концентрации примеси, то структура финальных распределений этих субстанций может качественно отличаться от классических решений задач адаптации. Например, первоначальный тепловой импульс может в процессе адаптащш приводить к формированию стационарного температурного возмущения большей амплитуды и (или) противоположного знака. При эволюции сглаженной температурной "ступеньки" возможно возникновение немонотонных температурных распределений, с амплитудами, много большими начальной амплитуды.

В случае достаточно больших амплитуд гладких начальных возмущений в процессе приспособления могут возникать поверхности разрыва. Учет двухком-попснтного характера среды делает качественные свойства таких поверхностей особенно разнообразными. Например, фронтальная поверхность может быть ярко выражена в поле одной из термодинамических компонент (температуры) и слабо в другой (солености). Подобные особенности проявляются в распределениях термогидродинамических полей в океане.

В параграфе 3.3 теоретические результаты сопоставлены с некоторыми данными океанологических наблюдений. Подробно рассмотрена работа Rudnick, Ferrari ("Science", 1999, v. 283, p. 526-529), в которой, на основании данных океанологических разрезов, выполненных в верхнем квазиоднородном слое в северной части Тихого океана, сделан вывод о практически полной ском-ненеировашюсти горизонтальных распределений температуры и солености в поле плотности. Подобная скомпенсировшшость на масштабах, меньших радиуса деформации Россби, объясняется развитой в диссертации теорией гидростатического приспособления. Приведены и проанализированы также данные К.Н Федорова, свидетельствующие о наличии практически полной скомпенсирован-ноеги и для вертикальных разрывных распределений (температурные интрузии, ступеньки).

Глава 4. Вопросы теории гидродинамической устойчивости вращающихся сдвиговых течений

Теория гидродинамической устойчивости вращающихся сдвиговых течений развита гораздо менее полно, чем классическая теория сдвиговой неустойчивости. При исследовании устойчивости вращающихся течений нельзя ограничиться рассмотрением только двумерных возмущений, поскольку нет аналога теоремы Сквайра. Устойчивость вращающихся течегатй существенно зависит от взаимной ориентации сдвига и направления вращения. Кроме того, во вращающейся жидкости в поле силы тяжести существуют собственные волновые движения - инерционно-гравитационные волны, которые при наличии сдвиговых течений могут быть захвачены (локализованы) внутри слоя сдвига.

Подавляющее большинство исследований устойчивости вращающихся сдвиговых течений выполнено в рамках упрощенных моделей, использующих квазигеострофическое приближение В данной главе исследование устойчивости выполнено в рамках полной линеаризованной системы уравнений динамики.

В параграфе 4,1 исследована устойчивость течений вращающейся жидкости постоянной плотности с горизонтальными сдвигами:

и = (С/О'),0,0), р = Р(у), /V = -дР / ду (4.1)

(р - редуцированное давление). Линеаризованная система уравнений динамики для возмущений сведена к одному уравнению для поперечной к потоку компоненты скорости:

где £>/£)/ = д1д1 + (1д/дх, К{у)=и'(у)//-безразмерный параметр, характеризующий взаимную ориентацию сдвига и направления вращения. Если II(у) < 0 (циклонический сдвиг), фоновая и сдвиговая завихренности параллельны, если Я (у) > 0 (антициклонический сдвиг) - антипараллелыш.

По геометрическим характеристикам возмущения в сдвиговом потоке разделяются на три класса - двумерные (не зависящие от коордипаты г вдоль оси вращения), симметричные (не зависящие от координаты х вдоль потока), пространственные (ориентированные под углом к потоку). С использованием вытекающих из (4.2) квадратичных законов сохранения в работе сформулированы достаточные условия устойчивости относительно возмущений го каждого класса. В частности, показано, что относительно симметричных возмущений

О? 7Эх

/2[1-11(у)Й = 0, (4.2)

■&2

сдвиговый поток устойчив, если Я (>') < 1. Согласно этому критерию, течения с циклоническим сдвигом всегда симметрично устойчивы.

С использованием метода нормальных мод исследована устойчивость: 1) вращающихся тангенциальных разрывов; 2) свободных слоев сдвига; 3) струйных течений. Основной результат связан с описанием эффекта циклон-антициклонной асимметрии, который состоит в том, что течения с циклоническим сдвигом всегда более устойчивы, чем с антициклоганееккм. Наиболее ярко этот эффект выражен в устойчивости вращающихся тангенциальных разрывов: £/(у) = [/0, >'>0; £У(у) = у<0. Как показано в работе, циклонический скачок скорости ({У0 <0) всегда симметрично устойчив, анпщиклони-ческий ({/0 > 0) - неустойчив Эта асимметрия проявляется и в устойчивости относительно пространственных возмущений, где при циклоническом скачке всегда существует кривая нейтральной устойчивости. Для инкрементов нарастания к3 симметричных и к пространственных возмущений получены выражения

/ ИГТ2т1Уо)2 , ! 1>п2 Т7 Г' 2,2

'•^НтЧ-1-

где к, гп - соотвегстветшо горизонтальное и вертикальное волновые числа. Из второго выражения следует, что для коротких волн учет вращения приводит к увеличению инкремента неустойчивости Кельвииа-Гельмгольца в случае (Уд > 0 и к уменьшению в случае 1<~0 < 0. В рамках лабораторного моделирования эффект циклон-антициклонной асимметрии исследовался Незлипым, Снеж-киным (1990).

В связи с геофизическими приложениями особый интерес представляют струйные течештя, где одновременно существуют области с циклоническим и антициклошгческим сдвигами. В работе подробно исследована задача о неустойчивости вращающейся "треугольной" струн (с кусочно-постоянными сдвигами). Показано, что в этом течении неустойчивые симметричные возмущения локализованы в области антициклонического сдвига. Подобная "односторонняя" неустойчивость наблюдалась в известных экспериментах Хайда по моделированию общей циркуляции атмосферы.

В параграфе 4.2 исследована структура захвачешшх симметричных возмущений в спектрально-устойчивых сдвиговых течениях. Рассмотрено баро-тропное сдвиговое течение (4.1) в слое 0 <2 <Н несжимаемой стратифици-

ровашюй жидкости с постоянной частотой Брента N. Для функции тока |//(у. г) симметричных возмущений из линеаризовашой системы уравненш' динамики (1.2) следует уравнение

д2.„ . а2„

а/2

эУ г?У

ф2 аг2

+ = (4.3)

& ау

которое рассматривается в устойчивом случае Я (у) < 1, Отыскиваются решения (4.3) вида у/ = 9»(у)ехр(/о/)5т(яйг///), где ®>0 - частота колебаний, А- = 1, 2,.. - номер вертикальной моды колебаний. Подстановка последнего выражения в (4.3) приводит к уравнению

^/^[т'И)^^«, т = |, (4.4)

ф N -& Н

которое, вместе с краевыми условиями ограниченности ср при ж, определяет спектральную задачу для нахождения частот колебаний со.

При качественном анализе спектральной задачи, уравнение (4.4) записывается в форме уравнения Шредипгера, однако, с более сложной зависимостью от спектрального параметра. При такой записи захваченные волны аналогичны связанным состояниям в квантовой механике; им отвечает дискретный спектр уравнения Шредипгера. Из проведенного анализа следует, что расположение области захвата возмущений определяется ориентацией сдвига и стратификацией. "Гак, если частота Бреита больше инерционной частоты /, захват происходит в области антициклонического сдвига, если меньше - в области циклонического сдвига. Соответственно, в первом случае частоты захваченных волн меньше инерционной частоты, во втором - больше.

В работе получены точные аналитические решения спектральной задачи для треугольной струи и гиперболического слоя сдвига (У (у) = Г/0 Ш(у IЬ). Представлены численные оценки, иллюстрирующие сильную зависимость числа захваченных волн от частота Брента N. Так при Ь = 500 км, Н = 10 км,

Г/() =10 м/с, / = 10~4 с"1, к= 1, Лг = 10~2 с'1 (атмосфера) существует ровно одна захваченная волна с периодом колебаний около 18 часов. При том же наборе параметров и нейтральной стратификации N = 0 существует уже ровно 70 захваченных волн. Результаты сопоставлены с наблюдениями волновой деятельности в районах атмосферных струйных течений (Рклщопуеп е! а1. (2003)).

В параграфе 4.3 установлены достаточные условия симметричной устойчивости состояний цшслострофического (геострофического) баланса в страти-

фицировашюй жидкости, т. е. устойчивости относительно осесимметричных (плоских) возмущений. В исследовании устойчивости использован вариационный или энергетический метод (Арнольд (1965), Владимиров (1989)), основанный на построении сохраняющегося на решениях системы функционала Ляпунова (как правило, это энергия плюс дополнительный интеграл движения).

В случае состояния циклострофического баланса (1.5) для построения функционала Ляпунова используется полная энергия

Е ~ \\(ри212 + р^2)гйгйг и семейство сохраняющихся (в силу того, что М, р - лагранжевы инварианты) функционалов /ф = зависящих от

произвольной функции ф{М,р). Следуя общей процедуре (связка интегралов), в рассмотрение вводится функционал I =Е + 1Ф, и функция Ф(Л/,р) подбирается так, чтобы на стационарном решении первая вариация 5Ь обратилась в

■у

ноль. В соответствии с общей теорией, если при этом вторая вариация 5 Ь строго положительна, стационарное решение устойчиво по Ляпунову в норме,

эквивалентной 52Ь. Из условий положительности второй вариации вытекают достаточные условия нелинейной симметричной устойчивости

обобщающие известный критерий устойчивости Рэлея для осесимметричных течений однородной жидкости.

Аналогичным образом, исследуется устойчивость состояния геострофического баланса, описывающего зональное (вдоль оси х) геоетрофическое течение стратифицированной жидкости. Достаточные условия симметричной устойчивости записываются в виде: (?/>/& <0. c(m.p)/v(}\z) < 0. где т - f(fv-ti). Если используется приближение Буссинеска, последние условия сводятся к условиям положительной определенное!и матрицы Якоби П, для неременных т. а, где а = -gpl р* - ра ¡мерная шаву честь. Из этих условий следует, что в устойчивом случае у ни наклона поверхностен т =consl должен превышать угол наклона повсрчнос тсй сг = const.

В заключительном параграфе 4.4 главы в рамках линейного приближения исследована проблема общей (несимметричной) устойчивости зональных гео-сгрофических течений со скоростью u(y,z). Аналю проблемы ограничен рассмотрением низкочастотных и длинноволновых (медлешю меняющихся по ко-

ординате х) возмущений. Для описания динамики таких возмущений в работе сформулировано уравнение относительно возмущения давления Р:

Di

N2 д2Р

7? а?

+ div2(nV2P)

■R(y,z)

дР дх

:0,

(4.5)

где С[ - потенциальная завихренность течения, Я{у,г) = д~2д(ц,сг)/ с(у,г),

П = П*1, V, - оператор градиента по переменным у, г. При асимптотическом выводе (4.5) накладывались лишь ограничения на характерную частоту со и волновое число кх возмущений: со « /, к,. «//110. В этом состоит основное отличие (4.5) от уравнения переноса потенциальной завихренности в квазигеострофическом приближении, справедливого лишь для течений с малыми числами Россби.

Из уравнения (4.5) следует семейство квадратичных законов сохранения, отражающих законы сохранения полной энергии и потенциальной завихренности. С использованием этих законов в работе сформулирована и доказана

Теорема: Относительно низкочастотных длинноволновых возмущений течение устойчиво, ест: а) всюду в области О, занимаемой течением, выполнены условия симметричной устойчивости (ТТ* > 0); 6) существует такая константа К, что

¿(v. z)

<?(" -к)

ds

<0.

(4.6)

¿Q

Если использовать <7 в качестве вертикальной координаты и рассматривать течет® между двумя горизонтальными плоскостями 2 = О,Н, условия (4.6) сводятся к следующим:

(гГ-кП

<<У

<0,

(it~ -К)'

да

dv

>0,

ду

>0.

z=0

В такой форме они совпадают с условиями устойчивости в квазшеострофиче-ской теории (теорема Чарни-Стерна) с той разницей, что вместо квазигеостро-фического выражения для потенциального вихря q стоит его точное значение, и горизонтальный градиент рассматривается на поверхностях а = const (изэн-тропических поверхностях).

В условиях земной атмосферы приведенные условия, как правило, нарушаются. Возникающая при этом неустойчивость исследована на примере геострофического течения с постоянным вертикальным сдвигом (обобщенная зада-

ча Иди). В рамках (4.5) определены параметры наиболее опасного возмущения (время удвоеття амплитуды порядка двух суток, горизонтальный масштаб - порядка радиуса деформации Россби). Показано, что на плоскости волновых чисел область неустойчивости есгь эллипс с полуосями, зависящими о г числа Ричардсона. Аналогичные результаты получены в исследовании устойчивости осееим-метричпых градиентных течений (состояний циклострофического баланса при наличии фонового вращения).

Глава 5. Не.модальный подход к описанию линейной динамик» возмущений в сдвиговых течениях

Основной недостаток традиционного метода нормальных мод в теории гидродинамической устойчивости состоит в том, что для широкого класса сдвиговых течений (без точек перегиба) соответствующая спектральная задача устойчивости не имеет решений в виде нормальных мод дискретного спектра. Информацию о поведении возмущений в 'лом случае дасг непрерывный спектр, т.с фактически полное решение задачи с начальными данными. Для нешрани-чешшх течений с постоянными (или почти постоянными) сдвигами решение начальной задачи легко построить, переходя в динамических уравнениях из лабораторной в движущуюся с потоком систему координат, и рассматривая поведение отдельной пространственной фурье-гармоники возмущения. Подобный подход, восходащий к Кельвину, в последние годы получил широкое распространение в задачах гидродинамики, физики плазмы, астрофизики и приобрел специальное название - немодальный подход (Farrel (1993), Chagelishvili et al (1997), Schmid, Ilenningson (2001)). В данной главе этот подход применяется к исследованию устойчивости некоторых важных классов сдвиговых течений.

В параграфе 5.1 с использованием немо дальнего подхода исследована устойчивость течений мелкой воды и несжимаемой стратифицированной жидкости с постоянным горизонтальным сдвигом в отсутствие фонового вращения. Остановимся подробнее на течении мелкой воды- ц = (Ду,0), h=H = const. Соответствующая линеаризованная система уравнений (1.1) записывается в виде

Du . 2 dt] „ Dv 2 dr¡ п Dn ди 5\ л ,, ,ч — +A\+c¿ — =0, — + с --- = 0, —'- + —+ —= 0, (5.1) Dt дх Dt ду Dt ёх ду

где c = yfgH -скорость длинных волн, D/Dt = o¡ dt+Ayci дх. Из (5.1) вытекает лагранжев закон сохранения возмущения потенциальной завихренности: Dq/Dt = 0, q = d\1dx-du/dy + A}].

Следуя общей схеме немодальпого подхода, отыскиваются решения системы (5.1) вида

(ti,v) = (u(r).v(f))cos0, t] — sin©, ® = fa + {l-Akt)y, (5.2) описывающие гармонические возмущения с переменными амплитудами u(t),\(t), 7](t) и волновым числом l(t) = l -Akt. Подстановка (5.2) в (5.1) приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд:

^ = £ = $ = R(«+p(0v), (5-3)

dt at at

где R-cklA - безразмерный параметр, характеризующий влияние сдвига, p(f) = /„ —t, tm=l/k. В качестве масштабов t, w, v приняты соответственно

А'\с,с.

Важная особенность состоит в том, что система (5.3) имеет первый интеграл v - p{t)a - R V/ = q = const, отражающий закон сохранения потенциальной завихренности. С использованием этого интеграла, система сводится к одному уравнению второго порядка, описывающему колебания математического

маятника с переменной частотой a{t) = д/l + (i-/„)2 . По значению потенциальной завихренности возмущения в сдвиговом потоке разделяются на два класса - быстроосциллирующис волновые возмущения с нулевой потенциальной завихренностью (q - 0) и медленные вихревые возмущения с потенциальной завихренностью, отличной от нуля.

В случае R » 1 (слабые сдвиги) асимптотические решения для амплитуд волновых и вихревых возмущений находятся методом ВКБ (рис. 5). На больших временах энергия вихревых возмущений затухает, а волновых изменяется пропорционально частоте, т. е. нарастает по линейному закону. Неограниченный рост энергии свидетельствует об алгебраической неустойчивости сдвигового потока относительно быстрых волновых возмущений (модифицированных сдвигом гравитационных волн).

Рис. 5. Зависимость от времени амплитуды волнового компонента дтя отклонения уровня

В случае Я «1 в динамике возмущений появляется ряд новых особенностей, одна из которых связана с эффектом внезапного (скачкообразного) излучения волн вихревыми возмущениями. Для акустических возмущений аналогичный эффект впервые обнаружен Чаголишвили и др. (1997).

Представленный анализ распространяется на случай сдвигового течения стратифицированной жидкости. Решешге соответствующей линеаризованной системы уравнений динамики представляется рядом по вертикальным модам. Динамика каждой моды при этом описывается системой уравнений мелкой коды (5.1), где вместо с теперь стоит фазовая скорость сп соответствующей моды внутренних волн. В рамках этой модели легко учитываются эффекты вязкости. Вязкость приводит к затуханию энериш волновых возмущений на больших временах, однако при малой вязкости участок алгебраического роста достаточно велик

В параграфе 5.2 исследована устойчивость потока стратифицированной жидкости с постоянным горизонтальным сдвигом в присутствии фонового вра-щещтя (геострофический ноток). По отношению к симметричным возмущениям с волновым числом / в направлении перпендшеулярпом ноток)', такой поток

неустойчив, если аналог числа Россби Яо = Л/'[ >1 и С привлечением немодального подхода, исследована динамика пространственных возмущении, ориентированных под углом к потоку. Сформулирована система уравнений для амплитуд фурьс-гармоник возмущений, проведено разделение возмущений на два класса (волновые, вихревые) по значению потенциальной завихренности. Установлено, что неустойчивость имеет место и при Их» < 1, причем она связана с алгебраическим нарастанием волновых возмущений, которые обычно фильтруют в традиционных квазигеострофпческик моделях. Этот результат иллюстрирует ограничешюсть возможностей квазигеостро-фических моделей в задачах тсорш! гидродинамической устойчивости.

Принципиально ноше поведение обнаружено в случае Яо > 1. В этом случае участки линейного роста энергии волновых возмущений перемежаются участками экспоненциального (взрывного) роста конечной продолжительности. Подобное поведение представляет собой новый, экспоненциально-алгебраический тин гидродинамической неустойчивости, ранее не изученный в геофизической гидродинамике. В математическом плане данный тан описывается дифференциальным уравнением второго порядка для амплитуды компоненты скорости в направлении вдоль потока.

тко1-^-*®2^=-/>(/)?. ®2(0=1+р(1-ао)+/(г),

с/г

где Р = /2 !с2к2. При Ко > 1 это уравнение содержит точки поворота или возврата, т, е точки, в которых со2{{)= 0. При переходе через эти точки мешется тип решения (осциллирующее, экспоненциальное). Причина появления точек поворота в данной задаче связана с зависимостью от времени волнового числа /(/) и попаданием его в интервал симметричной неустойчивости. В случае достаточно длинных волн в зональном направлении (Р »1) в работе построены асимптотические решения в терминах функций Эйри.

В параграфе 5.3 обнаружен и исследован эффект временного экспоненциального роста пространственных возмущений в геострофическом течении с постоянным вертикальным сдвигом. Как известно (Вет^, НовИт (1979)), по отношению к симметричным возмущениям такое течение неустойчиво, если число Ричардсона Ш < 1. 11а плоскости волновых чисел волновой вектор двумерных неустойчивых возмущений при этом лежит внутри сектора (угла), с границами, зависящими от И. В сдвиговом течении вертикальное волновое число пространственного возмущения зависит от времени. Эта зависимость приводит к вращению волнового вектора в вертикальной плоскости и прохождению его через сектор симметричной неустойчивости. Находясь внутри этого сектора, возмущение экспоненциально растет, вне его - осциллирует. Как и ранее, подобное поведение описывается уравнением, содержащим точки поворота (в данной задаче - для амплитуды тороидального потенциала скорости). Поскольку значения точек поворота определяются значениями волновых чисел, при суперпозиции возмущений с различными волновыми числами происходит чередование экспоненциальных стадий (вспышек) со стадиями гладкого осциллирующего поведения. Эта динамика может иметь прямое отношение к наблюдаемым внезапным вспышкам турбулентности в стратифицированных сдвиговых течениях.

В параграфе 5.4 изучен новый линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн. В отличие от традиционных ветровых механизмов, он не требует энергообмена между ветром и волнами и связан с наличием в слое жидкости со свободной поверхностью течения с постоянным горизонтальным сдвигом скорости. Показано, что в присутствии свободной поверхности такое течение гидродинамически неустойчиво, причем неустойчивость носит алгебраический характер. Развитие неустойчивости приводит к образованию на по-

верхности жидкости гравитационных волн, амплитуда которых нарастает по степенному закону.

Теоретическое исследование неустойчивости выполнено в рамках линеаризованной системы уравнений гидродинамики для однородной жидкости с соответствующими кинематическим и динамическим граничными условиями на свободной поверхности 2 = 0 и условием непротекания на дне 2 - —Н. С использованием немодального подхода описана динамика волновых и вихревых возмущений. Установлено, что на глубокой воде (Н =оо) энергия волновых возмущений нарастает по корневому закону, а энергия вихревых возмущений с течением времени затухает. Показано, что неограшгаенный рост энергии волновых возмущений следует также из основных уравнений лучевой теории волн (геометрической оптики) - уравнения сохранения волнового действия и уравнения, описывающего эволюцию волнового числа. Наряду с волнами на глубокой воде исследованы также волны в слое жидкости конечной глубины. Показано, что в присутствии горизонтального сдвига волновые возмущения с течением времени концентрируются у свободной поверхности и практически не испытывают влияния дна. Таким образом, на больших временах динамика возмущений удовлетворительно описывается моделью бесконечно глубокой воды.

Глава 6. Моделирование но.шовых и вихревых движений жидкости в параболоиде вращения

При вращении параболоида с жидкостью вокруг вертикальной оси, жидкость распределяется по его поверхности слоем мелкой воды практически постоянной толщины. Движения в этом тонком слое имеют важные общие черты с атмосферными и океаническими течениями. Сосуды с параболическим дном использовались в лабораторном моделировании вихревых солитонов Россби и спиральных галактик, сдвиговой неустойчивости вихревых течений (Незлин, Сиежкин (1990), 81е§рег. 7еШт (1998)) В наших экспериментах основное внимание уделено моделированию процесса геострофического приспособления, свободных (сеншевых) колебаний жидкости, изучению структуры и устойчивости создаваемых в параболоиде геострофических течений

Представленные в главе экспериментальные результаты получены при участии автора на специальной установке Абастуманской астрофизической обсерватории - параболоиде вращения с максимальным диаметром й = 120 см и профилем дна 2- кг /2, где радиус кривизны параболоида в полюсе Д =1/к =0.698 м.

Параграф 6.1 посвящен экспериментальному изучению свободных (сей-шевых) колебании жидкости в невращающемся параболоиде. Линейная теория этих колебаний дана Ламбом (1947); нелинейные колебания теоретически изучались в ряде работ (Miles, Ball (1963), Свиркунов (1996) и др.). В упомянутых работах построены примеры точных осесимметричпых решений уравнений мелкой воды, описывающих нелинейный аналог первой низкочастотной моды колебаний. Вытекающая из этих решений замечательная особенность состоит в том, что период Т колебаний не зависит от амплитуды и определяется только кривизной параболоида: Т = я /-JgK . Нелинейные осесимметричные колебания мелкой воды в параболоиде вращения, таким образом, обладают свойством изохронности и являются простейшей моделью точных водяных часов, подобных изохронным часам Гюйгенса.

Для проверки этого факта была проведена серия экспериментов. В этих экспериментах свободные колебания возбуждались импульсным (кратковременным) погружением в жидкость в центральной части параболоида осесим-метричных тел вращения. Колебания регистрировались специальными датчиками, измеряющими уровень жидкости и расположенными по радиусу сосуда. Анализ частотных спектров, полученных при различных полных глубинах жидкости, различных способах возбуждения колебаний, подтвердил независимость периода колебаний от амплитуды.

Наряду с колебаниями в параболоиде, теоретически исследованы нелинейные колебания жидкости в неограниченном параболическом канале. Показано, что для этих колебаний свойство изохронности отсутствует, найдены амплитудные поправки к периоду в приближении слабой нелинейности.

В параграфе 6.2 теоретически и экспериментально изучены свободные колебания и процесс геострофического приспособления во вращающемся параболоиде. Теоретическое исследование выполнено в рамках системы уравнений мелкой воды (1.1) с учетом центробежной силы, играющей важную роль в лабораторных условиях. Эта сила не учитывалась в предшествующих работах, в частности, в основополагающем исследовании Пуанкаре (1910).

Для частот со линейных осесимметричных мод свободных колебаний в работе получено выражение

со2п = Мп + - (2/i(« +l)- 4)Q2, (6.1)

где Q - угловая скорость вращения параболоида, Q* = \gx~, л =1,2,... Согласно (6.1), частота основной первой моды (п = 1) не зависит от П и опреде-

.таегся только параметрами параболоида: Ф\ = 2Г2* = . Из (6.1) также следует, что при Г2 -> Г2» частоты высших мод (и > 2) приближаются к частоте основной моды, т.е. исчезает эффект "расщепления" частот. Эти особенности были подтверждены проведенными экспериментами.

Наряду с генерацией волновых мод, во вращающемся параболоиде возбуждается также вихревая геострофичсская мода, г. е. происходит процесс геострофического приспособления. В рамках линейного приближения в работе детально изучена структура стационарной вихревой моды для различных начальных распределений глубины жидкости. Построено точное решение нелинейных уравнений мелкой воды, описывающее сформировавшийся в процессе присно-соблешм твердотельно вращающийся вихрь, осциллирующий с частотой первой линейной моды колебаний. Показано, что в этом решении можно выделить стационарный геострофический компонент путем осреднения по периоду колебаний.

В выполненных экспериментах волновая и вихревая моды возбуждались путем извлечения из центральной части параболоида предварительно погруженной полусферы. При таком способе возбуждения регистрировались несколько первых мод колебаний и наблюдался ярко выраженный циклонический вихрь с характерным временем жизни порядка нескольких десятков оборотов системы (время затухания за счет придонного трения). Для визуализации вихря на поверхность жидкости наносились мелкие частицы (трассеры), и производилась видео- и цифровая фотосъемка поверхности вращающейся камерон По длинам характерных треков частиц в экспериментах рассчитывались радиальные профили тангенциальной скорости жидкости в вихре. Одна из типичных фотографий, полученная в эксперименте, представлена на рис. б (слева). На правом рисунке представлено прямое сравнение экспериментальных профилей скорости для двух глубин погружения полусферы (штриховые лшши) с теоретическими (сплошные), рассчитанными в рамках линейной теории адаптации.

Выполненные эксперименты подтверждают классический сценарий теории геострофического приспособления (возбуждение волновой и вихревой мод). Вопрос об адекватности этого сценария условиям экспериментов до настоящего времени обсуждается в литературе.

В параграфе 6.3 теоретически и экспериментально исследован процесс формирования азимутальных геострофических течений, создаваемых во вращающемся параболоиде системой источник-сток массы. Эта система состоит из двух концентрических кольцевых пазов па дне параболоида, через которые с

заданным расходом и в заданном направлении прокачивается жидкость. Возникающий между концентрическими источником и стоком массы радиальный поток в поле силы Кориолиса трансформируется в азимутальное (зональное) течение.

Рис. 7

В рамках модели мелкой воды с учетом придонного экмановского трения, структура стационарных азимутальных течений исследована Даниловым, Сазоновым (1999). В работе построены аналитические решения, описывающие процесс установления этих течений. Исследована зависимость времени установления от безразмерных параметров задачи - чисел Россби и Фруда. Показано, что при малых значениях числа Фруда, когда можно пренебрегать деформацией свободной поверхности, течения устанавливаются на характерном экмановском временном масштабе. Если число Фруда не мало, время установления превышает экмановский масштаб и при малых числах Россби практически линейно зави-

сит от глубины жидкости. В выполненных экспериментах обнаружено хорошее согласие с теоретическими результатами. В качестве примера на рис. 7 представлено сравнение теоретических профилей скорости стационарных течений (сплошные линии) с экспериментальными данными, полученными при различных расходах и различной полярности системы источник-сток (а - источник в центре, б - на периферии).

В заключительном иараграфе 6.4 главы теоретически и экспериментально изучен механизм топографической неустойчивости вращающихся течений, связанный с неоднородностью распределения глубины жидкости. Топографическая неустойчивость обнаружена в экспериментах по изучению структуры течений, создаваемых системой источник-сток массы. В этих экспериментах устойчивые при постоянной средней глубине жидкости течения теряют устойчивость при наличии градиента средней глубины Градиент глубины создавался изменением угловой скорости вращения параболоида). Возникновение неустойчивости приводит к потере осевой симметрии течения и появлешпо автоколебаний с периодом, на порядок превышающим период вращения системы. При заданной угловой скорости вращения неустойчивость наблюдается лишь в определенном диапазоне интенсивности системы источник-сток.

В работе получено строгое доказательство существования топографической неустойчивости на основе решений спектральных задач теории устойчивости для некоторых модельных течений жидкости во вращающихся каналах. В частности, показано, что устойчивые в каналах с постоянной глубиной течения с линейным и квадратичным профилями скорости теряют устойчивость в каналах переменной глубины.

В Заключении перечисляются основные научные результаты и защищаемые положения работы.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Калашник М.В., IIIмерлин Б.Я Спонтанный рост возмущений типа урагана в модели влажной конвекции // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1990. - Т. 26, № 8. - С. 787-793.

2. Калашник М.В., Шмерлин Б.Я. О конвективной неустойчивости влажного насыщенного слоя // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1990. -Т. 26,№ 10.-С. 1034-1044.

3 Калашник М.В. О поле скорости конвективной ячейки // Докл. РАН. - 1993. - Т. 330, № 4. - С. 448-452.

4. Калашник М.В. О максимальной скорости ветра в тропическом циклоне // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1994. - Т. 30, № 1. - С. 26-30.

5. Калашник М.В., Свирку но в ПН. О перераспределении энергии при геострофической адаптации и экстремальности энергии геострофических состояний // Метеорология и гидрология. - 1995. - № 9. - С. 62-67.

6. Калашник М.В , Свиркунов П.Н. О состояниях щпслострофическош и геострофического баланса //Докл. РАН. - 1995. - Т. 344, № 2. - С. 233-236.

7. Свиркунов П.Н., Калашник М.В. Эволюция вихря, вызванная стоком массы в теории мелкой воды // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. -1995.-Т. 31. №5.-С 725-730.

8. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. О симметричной устойчивости состоянии циклострофического и геострофического баланса в стратифицированной среде//Докл. РАН. - 1996. - Т. 348, №6,-С. 811-813.

9. Калашник М.В., Свиркунов П.Н О состояниях циклострофического и геострофического баланса в модели межой воды // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1996. - Т. 32, № 3. - С. 402-409.

10. Калашник М.В. Формирование фронтов и струйных течений при геострофическом приспособлении в стратифицированной вращающейся жидкости //Докл РАН. 1997 - Т.357, №2. - С. 247-251.

11. Калашник М В. Замечание о законах сохранения и распространении волн // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1998. - Т.34, №3. - С. 441-444.

12. Калашник М.В. Образование фронтальных зон при геострофическом приспособлении в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 1998,- Т.34, №6. - С. 785-792.

13. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. Об определении состояний циклострофического (геострофического) баланса и их ухтойчивости // Метеорология и гидрология .- 1998,-№4,- С. 58-72.

4. Ингель J1.X., Калаппшк М.В., Перестенко О.В., Свиркунов П.Н. Шмерлин Б.Я. О некоторых малоизученных Mexainiaviax гидродинамической неустойчивости в атмосфере // Вопросы физики атмосферы: Сборник статей. С.-Пб. Гидрометеоиздат, 1998. - С 247-272.

5. Калашник М.В. Геострофическое приспособление и фронтогснсз в непрерывно стратифицированной жидкости /7 Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 2000. - Т.36, №3. - С. 386-395.

6. Калаппшк М.В. К теории гидростатической адаптации II Изв. РАН. Физика атмосферы и океана - 2000. - Т. 36, № 2. - С 521-527.

7. Калашник М.В. Критерии симметричной и несимметричной устойчивости геострофических и градиентных течений в стратифицированной вращающейся жидкости //Докл РАН. - 2000 - Т. 371, № 3. - С. 383-386.

8. Калашник М.В. К теории симметричной и несимметричной устойчивости зональных геострофических течений // Изв РАН. Физика атмосферы и океана. -2001. -Т. 37,№3 -С. 418-421.

9. Калашник М.В. Гидродинамические модели формирования атмосферных и океанических фронтов // "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы". Материалы Юбилейной Всероссийской научн. конф. Москва, МГУ, октябрь-ноябрь 2002 г. М.: МАКС Пресс, 2002. - С. 75-76.

0. Калашгопс М.В. Поверхности разрыва в теории несбалансированного фронтогенеза // Изв РАН. Физика атмосферы и океана. - 2002. - Т.38, №1 -С. 154-157.

1. Калашник М.В, Мамацашвили Г.Р., Чагелишвили Г.Д., Ломинадзе Д.Г. Динамика несимметричных возмущений в геострофическом потоке с постоянным горизонтальным сдвигом // Докл. РАН. - 2004. - Т.399, №5. - С. 687-692.

22. Калашник М.В. Аналитические решения в теории деформационного фронтогенеза // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 2004. - Т. 40, № 2. - С. 179-189.

23. Калашник MB. Теория несбалансированного фронтогенеза. Сборник тезисов Всероссийской научной конференции "С.П.Хромов и синоптическая метеорология". Москва, МГУ, октябрь 2004 г. М.: МАКС Пресс, 2004 -С.40.

24. Калашник М.В. Формирование вихревой воронки стоком массы в модели мелкой воды // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2004. - №2. - С. 120132.

25. Калашшж М.В. Энергетика линейного и нелинейного геострофического приспособления // Океанология - 2004. - Т. 44, № 1,- С 11-19.

26. Калашник М.В., Кахиани В.О., Ломинадзе Дж.Г., Патарашвили К.И.. Свиркунов П.Н., Цакадзе С.Д. Нелинейные изохронные колебания жидкости в параболоиде. Теория и эксперимент // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. -2004. -№5. - С. 131-142.

27. Калашшж М.В., Кахиани В.О., Лохмипадзе Дж.Г., Патарашвили К.И., Свиркунов П.Н., Цакадзе С.Д. Теоретическое и экспериментальное исследование свободных колебаний жидкости в параболических сосудах. Четвертая всероссийская научная конференция "Физические проблемы экологии (Экологическая физика)". Москва, МГУ, июнь 2004. М.: МГУ, 2004. -С. 55-56

28. Калашшж М.В., Шмерлин БЛ. Конвективная неустойчивость влажного насыщенного слоя атмосферы // Международная конференция МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность". Москва 23-25 ноября 2004 г. Сборник трудов. -М.: РОХОС, 2004. - С. 273-278.

29. Kalashnick M.V Geostrophic adjustment and frontogenesis in the continuously stratified fluid // Dynamics of Atmospheres and Oceans - 2004. - Vol. 38, N 1. -P. 1-37.

30. Калашник M.B, Ломинадзе Д.Г., Чагелишвили Г.Д. Линейная динамика возмущений в течениях с постоянным горизонтальным сдвигом // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2005 - №6. - С. 25-37.

31. Калашшж MB. Условия симметричной и несимметричной устойчивости геострофических течений в сжимаемой атмосфере // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 2005. - Т 41, № 2. - С. 29-34.

32. Калашшж М.В., Ингель Л.Х. Геострофическое приспособление и фронто-генез в стратифицированных двухкомпонентных средах // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. - 2006. - Т. 42, № 4. - С. 554-565.

33. Калашник М.В., Ипгель Л.Х. Гидродинамическая "память" бинарных смесей // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2006. - Т. 130, № 1. - С. 161-170.

34. Калашник М.В., Ингель Л.Х. Мехаштзм формирования температурных не-однородностей в стратифицированном по температуре и солёности океане //Докл. РАН. - 2006. - Т. 407, № 5. - С. 673-678.

35. Жвания М.А., Калашник М.В., Кахиани В.О., Нанобашвили Дж.И., Патарашвили К.И., Цакадзе С.Дж. Формирование азимутальных течений, соз-

даваемых системой источник-сток массы во вращающемся параболоиде // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2006. - № 2. - С. 60-74

36. Kalashnik M.V., Mamatsashvili G. R, Chagelishvili G. D., Lominad/e J. G. Linear dynamics of non-symmetric perturbations in geostrophic flows with a constant horizontal shear //Quart. Journ. Roy. Met. Soc. - 2006. - Vol. 132, N615.-P. 505-518.

37. Patarashvili K.I., Tsakadze Z J., Kalashnik M.V., Kakhiani VO, Chanishvili R.J., Nanobashvili J.I.. Zhvania R.A. Topographic instability of flow in a rotating fluid // Nonlinear Proc. Geophys. - 2006. - Vol. 13. - P. 231-235.

38. Калатзшк MB. К теории устойчивости вращающихся сдвиговых течений // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2007. - № 3. - С. 47 - 60.

39 Калашник М.В., Ломинадзе Д.Г., Чагелишвили Г.Д., Чашппвшш Р.Г. Гидродинамическая неустойчивость вращающихся сдвиговых течешш. Потоки И структуры в жидкостях: Международная конференция Санкт-Петербург, 2-5 июля 2007. Тезисы докладов. М.: ИПМ РАН, 2007. - С. 238 - 239.

40. Ингель Л.Х, Калашник М.В. Геострофическая адаптация линейных возмущений в диухкомпонентпых средах // Океанология. - 2007. - Т. 47, №5 -С. 657-665.

41. Калапшик М.В Лилейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн в течешш с горизонтальным сдвигом // Журнал экспериментальной и теоретической физики -2008 - Т. 133, №1. С 171-182

42 Калапшик М.В., Вишератин К.Н. Циклострофическое приспособление в закрученных газовых потоках и вихревой эффект Ранка // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2008. - Т. 133, № 4. С 935-947.

Компьютерная верстка М.В. Калашник

ЛР№ 020713 от 27.04.1998

Подписано к печати 2.?. Формат бумаги 60x84/16

Печать ризограф. Заказ № 2.И5 Бумага МВ Тираж 100 экз. Печ. л. 2,75 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Калашник, Максим Валентинович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Процессы приспособления во вращающейся жидкости.

§1. Энергетика линейного геострофического приспособления.

§2. Определение сбалансированных состояний по начальным данным в нелинейной теории.

§3. Приспособление горизонтально однородных движений сжимаемой атмосферы к состояниям гидростатического (механического) равновесия.

§4. Циклострофическое приспособление в закрученных газовых потоках и вихревой эффект Ранка.

ГЛАВА 2. Фронтогенез в непрерывно стратифицированной жидкости.

§1. Теория несбалансированного фронтогенеза.

§2. Аналитические решения в теории деформационного фронтогенеза.

§3. Наблюдательные аспекты фронтогенеза.

ГЛАВА 3. Адаптация в стратифицированных двухкомпонентных средах.

§1. Гидростатическое приспособление - механизм формирования температурных неоднородностей в стратифицированном по температуре и солёности океане.

§2. Геострофическое приспособление и фронтогенез в стратифицированных двухкомпонентных средах.

§3. Некоторые особенности структуры температурных и соленостных неоднородностей в океане.

ГЛАВА 4. Вопросы теории гидродинамической устойчивости вращающихся сдвиговых течений.

§1. Устойчивость течений однородной вращающейся жидкости с горизонтальными сдвигами.

§2. Захваченные волны и адаптация симметричных возмущений во вращающихся стратифицированных сдвиговых течениях.

§3. Критерии симметричной устойчивости геострофических и градиентных течений (состояний геострофического, циклострофического балансов).

§4. Критерии общей (несимметричной) устойчивости геострофических и градиентных течений.

ГЛАВА 5. Немодальный подход к описанию линейной динамики возмущений в сдвиговых течениях.

§1. Динамика возмущений в течениях мелкой воды и несжимаемой стратифицированной жидкости с постоянным горизонтальным сдвигом случай отсутствия фонового вращения).

§2. Динамика возмущений в геострофическом потоке с постоянным горизонтальным сдвигом.

§3. Временный экспоненциальный рост возмущений в геострофическом потоке с постоянным вертикальным сдвигом.

§4. Линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн в течении с горизонтальным сдвигом.

ГЛАВА 6. Моделирование волновых и вихревых движений жидкости в параболоиде вращения.

§1. Нелинейные колебания жидкости в параболоиде вращения и неограниченном параболическом канале.

§2. Колебания Пуанкаре и геострофическое приспособление во вращающемся параболоиде.

§3. Формирование азимутальных течений, создаваемых системой источник-сток массы во вращающемся параболоиде.

§4. Топографическая неустойчивость азимутальных геострофических течений во вращающемся параболоиде.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Адаптация, устойчивость, фронтогенез в геофизической гидродинамике"

Гидродинамика стратифицированной вращающейся жидкости или геофизическая гидродинамика как самостоятельная наука сформировалась несколько десятилетий назад. В этой области науки исследуются гидродинамические явления (волны, вихри, турбулентность, конвекция), происходящие в атмосферах и океанах вращающихся планет, прежде всего - атмосфере Земли и Мировом океане. Проблемы прогноза погоды, влияния человеческой деятельности на природную среду, распространения загрязнений и природных примесей делают задачи геофизической гидродинамики жизненно важными. Но эти задачи чрезвычайно сложны. Для их решения необходима разработка нелинейных гидродинамических моделей, учитывающих такие важные геофизические факторы как вращение, стратификация, сжимаемость жидких и газообразных сред.

К числу актуальных и приоритетных задач геофизической гидродинамики относятся теоретические исследования процессов адаптации, гидродинамической неустойчивости, фронтогенеза в атмосфере и океане. Исследования в этих направлениях представляют большую научную и практическую ценность. Они создают основу для прогнозирования и понимания природы широкого круга явлений, таких как атмосферные и океанические фронты, циклоны, антициклоны, синоптические вихри в океане. К настоящему времени уже разработаны некоторые основополагающие, базовые теории указанных процессов. Здесь нужно отметить классическую линейную теорию геострофической адаптации [7, 95, 133, 125, 231], квазигеострофическую теорию гидродинамической неустойчивости крупномасштабных сдвиговых течений [15, 89, 111, 219, 223], теорию деформационного фронтогенеза [112, 122, 143, 173, 214, 219]. Вместе с тем, многие теоретические вопросы еще далеки от окончательного решения. Сюда относится разработка нелинейной теории процессов адаптации в атмосфере и океане, теории гидродинамической устойчивости, основанной на анализе полных (нефильтрованных) уравнений, теории разрывных решений уравнений геофизической гидродинамики.

В диссертационной работе рассмотрен достаточно широкий круг вопросов, связанный с теоретическим описанием процессов адаптации, гидродинамической неустойчивости, фронтогенеза в атмосфере и океане. В исследованиях по адаптации основное внимание уделено разработке нелинейной теории геострофического (циклострофического, гидростатического) приспособления, теории геострофической и гидростатической адаптации в стратифицированных двухкомпонентных средах, исследованию энергетики процессов приспособления. В ходе этих исследований, в частности, обнаружен новый механизм формирования температурных неоднородностей в стратифицированном по температуре и солености океане, объяснен ряд особенностей термодинамических процессов в закрученных газовых потоках (вихревой эффект Ранка), сформулирован вариационный принцип минимума полной энергии для сбалансированных состояний, дающий физическую интерпретацию процессам приспособления.

В исследованиях гидродинамической неустойчивости вращающихся сдвиговых течений основное внимание уделено применению достаточно новых и нетрадиционных теоретических подходов (вариационный метод, немодальный подход). С использованием этих подходов, в частности, сформулированы необходимые и достаточные критерии устойчивости для широкого класса сдвиговых течений, обнаружены и изучены новые типы гидродинамических неустойчивостей (алгебраический, экспоненциально- алгебраический), исследованы новые механизмы генерации поверхностных и внутренних гравитационных волн в горизонтально-неоднородных сдвиговых течениях. Значительное внимание уделено также проблеме захваченных волн - нестационарных волновых возмущений, локализованных внутри слоя сдвига. С использованием математического аппарата квантовой механики получены аналитические выражения для частот захваченных волн в струйных течениях и свободных слоях сдвига, исследовано расположение областей захвата, установлены критерии существования захваченных волн.

К числу основных результатов диссертации относится также развитие принципиально новой теории формирования атмосферных и океанических фронтов -теории несбалансированного фронтогенеза. Соответствующая теория связывает образование фронтов с процессами нелинейного геострофического приспособления в стратифицированной вращающейся жидкости. В рамках этой теории, в частности, установлены критерии возникновения фронтальных зон, изучены характерные геометрические конфигурации поверхностей разрыва. В исследованиях фронтогенеза получила развитие также теория формирования фронтов в крупномасштабных деформационных полях скорости (теория деформационного фронтогенеза). Здесь впервые получен класс точных аналитических решений, описывающий процесс формирования холодного фронта в деформационном поле типа седла.

Прежде, чем переходить к подробному описанию целей и результатов диссертации, приведем краткий обзор современного состояния исследований затронутых вопросов.

1. Адаптация. Как хорошо известно из метеорологических и океанологических наблюдений, для крупномасштабных движений атмосферы и океана характерен геострофический баланс, т.е. баланс между градиентом давления и силой Кориолиса. Процесс установления этого режима представляет большой научный и практический интерес. Важнейший вклад в исследование этого процесса внесли в свое время работы Россби, Кана, Обухова, основанные на анализе фундаментального закона сохранения потенциальной завихренности [95, 133, 231]. В упомянутых работах было, в частности, показано, что общее решение линеаризованной системы уравнений динамики для вращающихся жидких сред представляется в виде суммы двух компонент. Одну из них, нестационарную, с нулевой потенциальной завихренностью, можно назвать волновой частью возмущения. Вторая представляет собой геострофический вихрь с потенциальной завихренностью, отличной от нуля. Было также показано, что в задаче с несбалансированными начальными данными амплитуда волновых возмущений с течением времени затухает, так что на больших временах в решении остается только стационарная геострофическая часть. Таким образом, помимо общей классификации динамических возмущений во вращающихся средах (волновые, вихревые), в упомянутых работах был непосредственно исследован процесс установления стационарного геострофического состояния, получивший название геострофического приспособления (адаптации).

Различным аспектам теории геострофической адаптации впоследствии был посвящен целый ряд работ, обзор которых представлен в [7, 125, 229, 256]. Отметим, что большинство работ в течение долгого времени ограничивались рамками линейного приближения и предположением об отсутствии сдвига скорости фонового течения. Среди них следует упомянуть работы Кибеля и Монина [74, 89], в которых исследовался процесс адаптации с учетом таких важных геофизических факторов как стратификация и сжимаемость среды. В работах Монина, в частности, была построена функция Грина для линеаризованной системы уравнений динамики политропной атмосферы, изучены пространственно-временные характеристики акустических и гравитационных волн, излучаемых в процессе адаптации. На основе этих работ, в работе [29] была развита линейная теория геострофической адаптации в присутствии источников и стоков тепла. Важные результаты были получены в исследованиях энергетики процессов линейного геострофического приспособления. Вопрос о перераспределении полной начальной энергии между нестационарной (волновой) и стационарной (геострофической) компонентами исследовался в [53, 63, 199, 214]. В частности, было показано, что в задаче с нулевым начальным полем скорости в кинетическую энергию финального геострофического состояния переходит менее половины реализованной потенциальной энергии, а остальная (большая) часть расходуется на генерацию волн. В работах [64, 65] был сформулирован важный вариационный принцип, утверждающий, что геострофическим сбалансированным состояниям отвечает абсолютный минимум полной энергии среди всех других состояний с заданным значением потенциальной завихренности. Этот принцип позволяет дать физическую интерпретацию процессу геострофического приспособления, как процессу достижения системой состояния с минимумом полной энергии.

В последние годы значительно усилился интерес к нелинейной теории геострофической адаптации, под которой в настоящее время нередко понимают общую теорию вихревых и волновых возмущений во вращающейся жидкости. Прямое численное моделирование процесса нелинейного геострофического приспособления в модели мелкой воды выполнено в работах [131, 191, 256]. В работах [65, 67] исследован вопрос об определении финальных геострофических состояний по начальным несбалансированным данным. Показано, что в нелинейной задаче для решения этого вопроса, помимо закона сохранения потенциальной завихренности, необходимо привлекать дополнительные лагранжевы законы сохранения - законы сохранения углового и геострофического момента. С их использованием была сформулирована замкнутые системы уравнений для определении финальных состояний и приведены примеры точных аналитических решений соответствующих нелинейных задач. В работах [37, 47, 52, 128, 213] обнаружена тесная связь процессов нелинейного геострофического приспособления с процессами фронтогенеза в атмосфере и океане. В частности, показано, что даже в случае гладких начальных несбалансированных полей финальные геострофические состояния могут содержать поверхности разрыва типа фронтальных.

В серии работ [229, 230, 275] исследован важный вопрос о разделении возмущений на волновые и вихревые в нелинейных моделях геофизической гидродинамики. На основе метода многомасштабных временных разложений получена иерархия амплитудных уравнений, описывающих эволюцию медленных вихревых и быстрых волновых возмущений. Обнаружено существование двух принципиально различных режимов эволюции - квазигеострофического и фронтального. Эволюция крупномасштабных вихревых возмущений в квазигеострофическом режиме описывается обобщенным уравнением Чарни-Обухова [219]. Для движений во фронтальном режиме характерно сильное взаимодействие вихревых и волновых возмущений, и их эволюция описывается нелинейным уравнением, аналогичным уравнению Шредингера. Формулировка канонических амплитудных уравнений представляется принципиально важной, в частности, для задач прогноза погоды.

Помимо геострофического приспособления, в последние годы начато также исследование процессов гидростатического и циклострофического приспособления. Связанный с излучением акустико-гравитационных волн процесс установления гидростатического равновесия в сжимаемой изотермической атмосфере исследован в [117, 118]. Общий случай неизотермической атмосферы рассмотрен в работе [40]. В частности, в этой работе сформулировано нелинейное уравнение для нахождения финальных состояний по начальным данным и получено его точное решение.

В работах [54, 60, 248] решена задача о приспособлении осесимметричных движений идеального газа к состояниям циклострофического баланса, т.е. баланса между градиентом давления и центробежной силой. Показано, что процесс приспособления носит нестационарный волновой характер и при числах Маха, близких к единице, сопровождается интенсивным падением температуры газа в приосевой зоне. Полученный результат приложен к объяснению вихревого эффекта Ранка - резкого падения температуры закрученного газового потока в трубе.

Отметим также серию работ [30, 31, 55-57], в которых исследован процесс гидростатического и геострофического приспособления в стратифицированных двухкомпонентных средах, в частности, в стратифицированном по температуре и солености океане. Показано, что в подобных средах установление сбалансированных состояний происходит иначе, чем в обычных жидкостях, стратифицированных только по температуре. Одна из особенностей состоит в формировании вертикальных разрывных распределений температуры и солености, характерных для тонкой структуры океана.

2. Гидродинамическая неустойчивость вращающихся сдвиговых течений. Одно из основных достижений метеорологии 20-го века - осознание того факта, что циклон-антициклонные образования в атмосфере средних широт являются проявлениями гидродинамической неустойчивости зональных геострофических течений, вызванных неоднородным нагревом в системе экватор-полюс. С гидродинамической неустойчивостью связывают также формирование ячеек Гадлея, облачных полос, линий шквалов, турбулентных пятен в безоблачной атмосфере, синоптических вихрей в океане. Начиная с 60-х годов прошлого века, число публикаций по теории гидродинамической устойчивости вращающихся течений растет чрезвычайно быстро. Только в 1990 г. в России было опубликовано сразу три монографии [20, 111, 93] и обзор [16], посвященные данной проблеме. Обширная библиография содержится также в монографиях [15, 76, 81, 233] и обзорах [223, 232, 246].

Традиционно в геофизической гидродинамике различают симметричную и общую несимметричную (баротропную, бароклинную) неустойчивость.

Симметричная неустойчивость. Собственно симметричная неустойчивость - это неустойчивость течений с вертикальными и горизонтальными сдвигами относительно возмущений, не зависящих от координаты вдоль потока. Являясь одной из форм термической конвекции во вращающейся жидкости (sloping convection), симметричная неустойчивость активно изучается в связи с проблемами формирования ячейки Гадлея, фронтальных облачных полос, циркуляции Лэнгмюра, полосовой структуры атмосферы Юпитера и др. Основополагающие исследования проблемы симметричной неустойчивости выполнены в работах [153, 210, 241, 254]. В рамках линейной теории устойчивости здесь изучены инкременты нарастания и структура неустойчивых мод для некоторых классов сдвиговых течений, сформулированы необходимые и достаточные условия симметричной неустойчивости. В частности, показано, что геострофический поток с постоянным вертикальным сдвигом симметрично неустойчив, если число Ричардсона Ri < 1. В работах [120, 172] условие симметричной неустойчивости представлено в терминах распределения потенциальной завихренности (завихренность отрицательного знака). Показано, что для крупномасштабных течений атмосферы и океана это условие не выполняется - симметричная неустойчивость может развиваться лишь в областях с интенсивными градиентами (фронтальных зонах).

Исследованию проблемы нелинейной симметричной устойчивости, т.е. устойчивости по отношению к возмущениям конечной амплитуды посвящены работы [140, 205, 206], а также [43, 64, 67, 100]. С использованием прямого метода1 Ляпунова в последних работах, в частности, получены достаточные условия нелинейной симметричной устойчивости зональных геострофических и осесимметричных (циклострофических) течений несжимаемой среды. На основе специально сконструированных функционалов Ляпунова получено также обращение теорем об устойчивости (достаточные условия неустойчиво сти).

Проблема вязкой симметричной неустойчивости исследовалась аналитически в [132, 147, 249] и численно, в рамках полных нелинейных уравнений, в работах [160, 202]. В численных экспериментах исследовалась как основная неустойчивость, приводящая к формированию валов, так и вторичные неустойчивости. Применительно к формированию фронтальных облачных полос симметричная неустойчивость с учетом фазовых переходов влаги исследовалась в [120, 148, 253]. Отметим также работу [235], посвященную разработке слабонелинейной теории симметричной неустойчивости.

Общая (несимметричная) неустойчивость. В отличие от симметричной неустойчивости, общая (несимметричная) неустойчивость носит длинноволновой характер и приводит к формированию крупномасштабных вихревых структур. Данный тип неустойчивости, как правило, исследуется в рамках квазигеострофической теории, в основе которой лежит уравнение переноса потенциальной завихренности (уравнение Чарни-Обухова). Неустойчивость течений с горизонтальными (вертикальными) сдвигами при этом называют баротропной (бароклинной) неустойчивостью. Поскольку во вращающейся жидкости вертикальный сдвиг скорости поддерживается горизонтальным градиентом температуры, о бароклинной неустойчивости говорят как о неустойчивости, связанной с высвобождением доступной потенциальной энергии.

Основополагающие результаты теории баротропной и бароклинной неустойчивости были получены в середине прошлого века в работах Иди, Чарни, Грина, Куо, Филлипса. В знаменитой работе Иди [145] впервые была решена задача о бароклинной неустойчивости геострофического течения с постоянным вертикальным сдвигом. Для этого течения Иди нашел параметры неустойчивых возмущений, согласующиеся с параметрами циклонов и антициклонов атмосферы умеренных широт (длина наиболее неустойчивой волны 1-5 тыс. км, время удвоения амплитуды - порядка суток). Задача Иди с учетом /? -эффекта исследована Чарни, Грином [139, 219], в рамках упрощенной двухслойной модели Филлипсом [221].

В работах Куо [192, 193] впервые получено аналитическое решение задачи о баротропной неустойчивости струйного течения на /? -плоскости, сформулировано необходимое условие баротропной неустойчивости сдвиговых течений. Согласно этому условию (критерий Куо), в неустойчивом течении широтный градиент потенциальной завихренности меняет знак. Критерий Куо обобщен на общий случай баротропно-бароклинной неустойчивости в работах [43, 50, 139, 203].

В последующих многочисленных работах свойства баротропной и бароклинной неустойчивости были изучены более подробно. Основное внимание при этом уделялось уточнению необходимых и достаточных критериев неустойчивости, развитию слабонелинейной теории неустойчивости на основе методов Стюарта-Ватсона и многих масштабов, численным решениям задач теории устойчивости, применению новых и нетрадиционных подходов в теории устойчивости (вариационный метод, немодальный подход). Отметим лишь некоторые наиболее важные, на наш взгляд исследования.

Математические аспекты спектральных задач теории баротропной (бароклинной) устойчивости исследовались в работах [15, 127, 156, 219, 223]. Здесь сформулированы различные обобщения классической теоремы Ховарда о полукруге, получены априорные оценки для инкрементов нарастания неустойчивых мод. В работах Дымникова, Филатова [19, 20] на основе прямого метода Ляпунова установлены достаточные критерии устойчивости зональных геострофических течений на сфере. Устойчивость незональных и геострофических течений исследовалась в работах [156, 197, 219, 220]. В работах Должанского с сотрудниками [16, 85] изучено влияние придонного экмановского трения на устойчивость. Показано, что только учет придонного трения позволяет добиться согласия теории с экспериментом. Влияние экмановских пограничных слоев на устойчивость исследовалось также в работах [134, 198, 202, 239].

Значительная часть работ была посвящена разработке слабонелинейной теории, описывающей поведение неустойчивых возмущений при слабых закритичностях [18, 196]. В рамках двухслойной модели слабонелинейная неустойчивость исследована в серии работ Педлоски [164, 165, 218]; случай непрерывно стратифицированной жидкости рассмотрен в [204]. Нелинейная динамика закритических вихревых режимов баротропной неустойчивости на основе метода Стюарта-Ватсона изучена в работах [16, 84]. Параллельно с теоретическими исследованиями, появилось также большое число примеров численных решений нелинейных задач теории устойчивости [20, 154, 174, 209]. Численные расчеты проводились с учетом реальной стратификации температуры и поля ветра.

В серии работ Хоскинса [170-174] проблема бароклинной неустойчивости исследовалась в рамках системы уравнений полугеострофического приближения (приближения геострофического момента), более точного, чем традиционное квазигеострофическое приближение. Было показано, что в неустойчивом бароклинном возмущении на нелинейной стадии развития формируются области больших пространственных градиентов (фронтальные зоны). Попытка выйти за рамки квазигеострофического приближения сделана также в работах [41, 43, 50]. В этих работах, в частности, сформулировано обобщенное уравнение переноса потенциальной завихренности (линеаризованная форма), пригодное для описания течений с умеренными и высокими значениями чисел Россби. В рамках сформулированного уравнения получены достаточные условия баротропной и бароклинной устойчивости относительно низкочастотных длинноволновых возмущений, решена обобщенная задача Иди о неустойчивости геострофического потока с вертикальным сдвигом.

Устойчивость вращающихся тангенциальных разрывов и свободных слоев сдвига в рамках полных (нефильтрованных) уравнений исследовалась в работах [42, 61]. Установлено, что течения с циклоническим сдвигом скорости всегда более устойчивы, чем с антициклоническим (эффект циклон-антициклонной асимметрии). Исследована также структура захваченных волн в сдвиговых течениях; показано, что расположение области захвата определяется ориентацией сдвига и стратификацией жидкости.

Наряду с устойчивостью гладких течений, в ряде работ рассматривалась задача об устойчивости фронтальных поверхностей, которую в первом приближении можно сформулировать как задачу об устойчивости наклонных поверхностей, разделяющих вращающиеся гидродинамические среды с различными характеристиками. Решение этой задачи представляет большой интерес для метеорологии, прежде всего, в связи с так называемой волновой гипотезой циклогенеза, предложенной в свое время норвежской метеорологической школой. Согласно этой гипотезе, внетропические циклоны и антициклоны развиваются в результате роста неустойчивой волны на наклонной поверхности, разделяющей воздушные массы с различными свойствами (фронтальной поверхности). Первые попытки решения задачи об устойчивости поверхностей раздела принадлежат Кочину (см. [111]). В рамках упрощенной постановки, он установил критерий неустойчивости фронтальной поверхности и обнаружил, что длины неустойчивых волн близки к масштабам фронтальных циклонов средних широт. Впоследствии эти исследования были развиты в работах Блиновой, Кибеля и др. [1, 111, 211, 237]. Рядом авторов были выполнены также численные исследования линейной задачи об устойчивости фронтальных поверхностей, однако окончательное решение задачи еще не получено.

Практически во всех упомянутых работах линейная устойчивость сдвиговых течений исследовалась в рамках спектральной теории устойчивости, основанной на анализе поведения нормальных мод возмущений [15, 18, 233]. Основной недостаток этой теории, однако, состоит в том, что для широкого класса сдвиговых течений (без точек перегиба) соответствующая спектральная задача устойчивости не имеет решений в виде нормальных мод дискретного спектра. Для изучения устойчивости этих течений чрезвычайно эффективным оказывается так называемый немодальный подход [137, 142, 185, 228, 115, 243], основанный на рассмотрении поведения отдельной пространственной фурье-гармоники возмущения в полулагранжевой, движущейся вместе с потоком системе координат. В последние годы этот подход получил широкое распространение в задачах гидродинамики, физики плазмы, астрофизики. С использованием немодального подхода, в частности, изучен новый механизм генерации звука в сдвиговых течениях сжимаемого газа [135-137], предложена новая концепция подкритической турбулентности в сдвиговых течениях [134, 161, 228, 245]. Применительно к проблеме бароклинной неустойчивости немодальный подход впервые использовал Фаррел [150-152]. В его работах, в частности, обнаружен эффект временного алгебраического роста бароклинных возмущений, играющий важную роль на ранних стадиях циклогенеза. Численному исследованию этого эффекта посвящены недавние работы [162, 168].

В серии работ [34, 35, 62, 183] с привлечением немодального подхода изучена линейная динамика возмущений в горизонтально-неоднородных сдвиговых течениях. Установлено, что по значению потенциальной завихренности возмущения в сдвиговом потоке разделяются на два класса (волновые, вихревые). Показано, что неустойчивость сдвигового потока может быть связана с алгебраическим нарастанием быстрых волновых возмущений, которые фильтруют в традиционных квазигеострофических моделях геофизической гидродинамики. В недавней работе [44] с привлечением немодального подхода изучен новый механизм генерации поверхностных гравитационных волн в течениях с горизонтальным сдвигом.

Отметим также важное направление исследований, связанное с лабораторным моделированием баротропной и бароклинной неустойчивости. Фундаментальные результаты в этом направлении получены Хайдом [167], Незлиным [93], Должанским [16], Голицыным [130], Чашечкиным [138] с сотрудниками. В экспериментах группы Хайда, исследовавшей бароклинную неустойчивость в кольцевом сосуде с неоднородно нагреваемыми стенками, удалось воспроизвести многие наблюдаемые особенности общей циркуляции атмосферы. Применительно к вихревой динамике атмосферы и океана баротропная неустойчивость вращающихся сдвиговых течений теоретически и экспериментально изучалась группой Должанского. В работах группы Незлина исследовались крупномасштабные вихревые структуры (солитоны Россби), формирующиеся за счет сдвиговой неустойчивости во вращающемся слое мелкой воды. Эбзор лабораторных моделей топографических вихрей представлен в монографии Зырянова [25]. Важные особенности конвективной неустойчивости в стратифицированных вращающихся средах обнаружены в экспериментах групп Чашечкина, Голицына. Достаточно полный список работ, посвященных лабораторному моделированию геустойчивостей в геофизической гидродинамике представлен в недавно вышедшей юнографии [2].

3. Фронтогенез. Существование зон резких горизонтальных изменений полей емпературы (плотности) - одна из наиболее ярких особенностей динамики атмосферы и кеана. Фронтальные зоны, как правило, формируются на границе раздела воздушных океанических) масс с различными термическими характеристиками; в областях [аксимальных градиентов возникают интенсивные струйные течения. Атмосферный фронт меет ширину менее 100 км, так что на картах погоды его изображают сплошной линией как поверхность разрыва. За основные параметры фронта обычно принимают тангенс угла, образованного фронтом с горизонтальной плоскостью, характерные значения скачков температуры (плотности) и скорости (касательной к фронту) при переходе через разрыв. Для типичного атмосферного фронта эти параметры составляют: tg/ = 1/300-И/50,

AT = 10 -И 5°С, Av = 15 30 м/с [219]. Параметры океанических фронтов меняются в достаточно широких пределах, что часто связано с особенностями географических условий их образования. Согласно [4, 7], фронты в океане иногда очень отчетливо выражены в полях температуры и солености, а в поле плотности практически не проявляются. Параметры типичного плотностного фронта [4]: tg/ = 6.5 - ИГ3,

Av = 150 см/с, Ар - 5 кг/м3 .

Несмотря на большой объем эмпирической информации о фронтах [4, 112, 212, 219], вопрос о динамических механизмах, приводящих к их формированию, в течение долгого времени находился на стадии эвристических (и зачастую противоречивых) гипотез. В первую очередь, это связано со сложностью и необычностью возникающих здесь математических задач. Движения вращающейся стратифицированной жидкости не описываются уравнениями гиперболического типа, для которых хорошо развита теория образования разрывов [98, 105]. Физика природных фронтов также принципиально отличается от физики образования ударных волн в газовой динамике.

К настоящему времени наиболее полно изучены три основных механизма фронтогенеза в атмосфере и океане - деформационный фронтогенез, фронтогенез в растущих бароклинных волнах, несбалансированный фронтогенез. Приведем краткое описание этих механизмов и относящихся к ним теоретических исследований. а) Деформационный фронтогенез. В основе теории деформационного фронтогенеза лежит гипотеза об обострении начальных температурных градиентов фоновыми сходящимися деформационными полями скорости. Предполагается, что такие поля создаются локальными особенностями крупномасштабных атмосферных течений. Выдвинутая в начале прошлого века (Бержерон [121]), эта гипотеза получила математическое обоснование в известной работе Хоскинса и Брезертона [173], разработавших динамическую модель формирования фронтов. Подробное описание модели содержится в монографиях [4, 112, 219]; остановимся на некоторых, наиболее важных деталях.

В деформационной модели исследуется эволюция двумерных возмущений, помещенных в горизонтальное деформационное поле типа седла. Описание эволюции проводится в рамках системы уравнений динамики, в которой использовано приближение геострофического баланса в направлении вдоль фронта. Как показано в [173], эта система допускает достаточно полное исследование - нелинейная замена переменных (переход к геострофическим координатам) и закон сохранения потенциальной завихренности позволяют свести ее к системе диагностических уравнений, не содержащих временных производных. Для течений с постоянной потенциальной завихренностью эволюция поля плотности (потенциальной температуры) описывается решением уравнения Лапласа с краевыми условиями, нелинейно зависящими от времени.

В упомянутой работе [173] краевая задача для плотности решалась численно, с использованием преобразования Фурье по горизонтальным координатам. Таким образом, удалось описать эффект возникновения разрывов и получить реалистичную структуру фронта в слое атмосферы конечной высоты. Другие примеры численных решений, с учетом эффекта фазовых переходов, трения о подстилающую поверхность, представлены в работах [122, 143, 169, 212]. Примеры аналитических решений уравнений деформационной модели были построены Девисом и Мюллером [144], однако, лишь в случае отсутствия верхней границы, т.е. для полубесконечной атмосферы. Условие независимости деформационного поля от вертикальной координаты в модели полубесконечной атмосферы, очевидно, является весьма искусственным.

В недавней работе [36] было показано, что возможность редукции системы уравнений деформационной модели к системе диагностических уравнений связана с наличием достаточно большого числа лагранжевых законов сохранения (лагранжевых инвариантов). Кроме того, на основе методов теории функций комплексного переменного, был построен класс точных аналитических решений деформационной модели, описывающий процесс формирования холодного фронта в слое атмосферы конечной высоты. С использованием аналитических решений был объяснен ряд наблюдаемых особенностей атмосферного фронтогенеза. В частности, показано, что впереди перемещающегося фронта наблюдаются восходящие движения, за фронтом - нисходящие.

В работах [123, 236] система уравнений деформационной модели была получена из общей системы уравнений динамики на основе метода многомасштабных временных разложений. Было показано, что в общем решении задачи о формировании фронта, наряду с медленной эволюцией, описываемой деформационной моделью, присутствует также «быстрый» волновой компонент. Наличие этого компонента приводит к характерным инерционным колебаниям полей температуры и ветра на фронте. В модели полубесконечной атмосферы подобные колебания изучались в работах Блюмена [123, 126].

Отметим также исследования, специально посвященные сравнению аналитических и численных решений теории деформационного фронтогенеза с результатами специализированных натурных экспериментов [122, 212].

Достаточно полный список работ, выполненных до 90-х годов, содержится в монографии Шакиной [112]. б) Фронтогенез в растущих бароклинных волнах. Этот механизм фронтогенеза непосредственно связан с теорией устойчивости зональных геострофических течений. В уже упоминавшихся работах Хоскинса [170-174] было показано, что в неустойчивой бароклинной волне на нелинейной стадии развития формируются области высоких температурных градиентов (фронтальные зоны). Этот эффект вначале был обнаружен при численном решении задачи о неустойчивости геострофического течения с вертикальным сдвигом [250], а затем аналитически исследован в работе [173]. В последней работе Хоскинс ввел нелинейное преобразование переменных (переход к геострофическим координатам), позволяющее полностью линеаризовать плоскую задачу о неустойчивости потока с постоянным вертикальным сдвигом (двумерную задачу Иди). Таким образом, был аналитически исследован процесс фронтогенеза в наиболее быстрорастущей волне Иди и получено достаточно хорошее согласие с эмпирическими данными. Аналитическое решение [173] было обобщено в [124] на случай учета эффектов трения о поверхность земли. Влияние трения изучалось также в [157, 235], а применительно к фронтам в океане -в работе [155]. Нелинейная динамика двумерных волн Иди в моделях с геострофическими координатами исследовалась также в работах [159, 170, 235].

В работе [171] для изучения пространственного (трехмерного) фронтогенеза Хоскинс предложил полугеострофическую систему уравнений, основанную на так называемом приближении геострофического момента. Использование этого приближения позволяет учесть ряд важных нелинейных эффектов, отсутствующих в квазигеострофических моделях. С использованием полугеострофических уравнений в работе [174] исследована нелинейная динамика трехмерных волн Иди и сопутствующих им фронтов.

Достаточно подробное численное исследование фронтогенеза в растущих бароклинных волнах было выполнено в работах Вильямса [250, 251]. В работе [207] сравнивались результаты описания эволюции бароклинных волн в квазигеострофической модели и в модели с примитивными уравнениями. В каждой из моделей фронтогенез на нижних уровнях происходил достаточно быстро, так что в течение трех суток в неустойчивой бароклинной волне формировалась фронтальная зона с имеющим характерный изгиб теплым сектором. Верхнетропосферный фронтогенез с характерной циркуляцией в области тропопаузы также был воспроизведен, причем он наблюдался в глубокой неустойчивой волне, имеющей значительную амплитуду.

После упомянутых работ, пространственный фронтогенез в циклонах стал объектом достаточно интенсивных исследований. Были разработаны весьма полные численные модели, учитывающие вертикальный и горизонтальный сдвиг ветра, фазовые переходы, трение о поверхность, топографические эффекты [112, 154]. К сожалению, даже в численных моделях не удается воспроизвести весь жизненный цикл бароклинного возмущения. Аналитические результаты в этой области практически отсутствуют. в) Несбалансированный фронтогенез. Принципиально новый динамический механизм формирования фронтов предложен в исследованиях по нелинейной теории геострофической адаптации [52, 129, 213]. В этих работах исследовалась структура финальных геострофических состояний, формирующихся из начальных несбалансированных полей в несжимаемой стратифицированной жидкости. При этом было показано, что даже в случае гладких начальных полей финальные геострофические состояния могут содержать поверхности разрыва типа фронтальных. Поскольку несбалансированные состояния в природе встречаются весьма часто (например, при быстрых охлаждениях или нагреваниях), этот результат положен в основу теории несбалансированного фронтогенеза.

Впервые связь процессов адаптации с фронтогенезом была обнаружена в работе Оу [213]. В этой работе рассматривалось гладкое начальное несбалансированное состояние с нулевой потенциальной завихренностью, или, что эквивалентно, с отсутствием вертикальной плотностной стратификации. Для этого состояния Оу определил финальное состояние геострофического равновесия и показал, что оно является многозначным (разрывным), если пространственный масштаб начального возмущения достаточно мал. Структура финальных состояний для начальных полей с однородно распределенной потенциальной завихренностью (наличие вертикальной плотностной стратификации) исследовалась в работах Блюмена, Ву [129, 252] и автора [37, 47, 48, 182]. В отличие от численных исследований Блюмена, Ву, в работах автора был построен класс точных аналитических решений для финальных состояний на основе методов теории функций комплексного переменного. С использованием аналитических решений были получены необходимые и достаточные критерии возникновения разрывов, описаны характерные геометрические конфигурации поверхностей разрыва, аналитически и численно исследован нестационарный волновой процесс установления финальных разрывных геострофических состояний. Кроме того, приведены примеры наблюдений природных фронтов, формирующихся за счет механизма нелинейного геострофического приспособления.

Наряду с упомянутыми исследованиями, в последние годы появился ряд работ, посвященных дальнейшему развитию теории несбалансированного фронтогенеза. В работах [149, 215] исследован несбалансированный фронтогенез в присутствии топографических эффектов, разработана численная модель формирования фронтов в стратифицированной сжимаемой атмосфере. Численная модель несбалансированного фронтогенеза разработана также Блюменом и Вильямсом [128]. В серии работ В. Цейтлина с сотрудниками [131, 225, 238, 256] предложена лагранжева модель образования фронтальных аномалий, рассмотрен математический вопрос о существовании решений для сбалансированных состояний, изучены особенности нелинейных волновых процессов приспособления. Отметим также работы [2, 240], посвященные лабораторному моделированию несбалансированного фронтогенеза. В лабораторной модели [240] несбалансированное начальное возмущение создавалось путем погружения во вращающуюся жидкость объема жидкости другой плотности. Было показано, что в подобной двухслойной системе процесс приспособления происходит очень быстро (за характерное время оборота установки), формирующиеся при этом фронты, разделяющие жидкости различной плотности, являются долгоживущими и достаточно устойчивыми образованиями.

В приведенном кратком обзоре неоднократно цитировались работы автора. Эти работы уже создают некоторое представление об основных направлениях исследований, связанных с теоретическим описанием процессов адаптации, гидродинамической неустойчивости, фронтогенеза в атмосфере и океане. Наряду с этими направлениями, еще одно важное направление связано с лабораторным моделированием волновых и вихревых движений вращающейся жидкости. Лабораторное моделирование проводилось при участии автора на специальной установке Абастуманской астрофизической обсерватории - сосуде с параболической формой дна. При вращении параболоида жидкость распределяется по его поверхности тонким слоем, движения в котором имеют важные общие черты с атмосферными и океаническими течениями. Отметим, что ранее подобная установка использовалась М.В. Незлиным в лабораторном моделировании вихревых солитонов Россби и спиральных галактик. В наших экспериментах основное внимание уделялось моделированию процесса геострофического приспособления, свободных (сейшевых) колебаний жидкости, изучению структуры и устойчивости создаваемых в параболоиде геострофических течений.

Сформулируем цели и основные направления работы более подробно.

Основная цель работы состоит в теоретическом исследовании процессов адаптации, устойчивости, фронтогенеза в атмосфере и океане, а также моделировании этих процессов в лабораторных условиях.

Для достижения основной цели в диссертации решены задачи в следующих направлениях:

1. Теоретическое исследование процессов нелинейного геострофического (циклострофического, гидростатического) приспособления в стратифицированных вращающихся средах.

2. Теоретическое исследование новых и малоизученных типов гидродинамической неустойчивости вращающихся сдвиговых течений.

3. Теоретическое исследование структуры захваченных волн во вращающихся сдвиговых течениях.

4. Развитие новых представлений о формировании фронтальных поверхностей (поверхностей разрыва) в стратифицированной вращающейся жидкости.

5. Теоретическое и экспериментальное исследование волновых и вихревых движений жидкости во вращающихся параболических сосудах.

По каждому из указанных направлений получен достаточно большой объем результатов, подробно перечисленных в Заключении диссертации. Сформулируем кратко основные научные результаты, выносимые на защиту:

1. В рамках линейной теории геострофической адаптации исследован вопрос о перераспределении полной начальной энергии между энергиями геострофического и волнового компонентов. Показано, что в задаче с нулевым начальным полем скорости в кинетическую энергию геострофического компонента переходит менее половины реализованной потенциальной энергии, а остальная (большая) часть идет на генерацию волновых движений. Аналогичная оценка, получена и в нелинейном случае.

2. Для осесимметричных и плоских движений несжимаемой вращающейся жидкости развита нелинейная теория геострофического (циклострофического) приспособления. С использованием лагранжевых законов сохранения массы и углового (геострофического) моментов, сформулированы замкнутые системы уравнений для определения финальных состояний баланса по начальным данным и построен ряд их точных решений.

3. Предложено рациональное объяснение вихревого эффекта Ранка - формирования аномально низких (отрицательных) температур на оси быстро вращающегося газового потока в вихревой трубе. Показано, что подобные температуры устанавливаются в процессе приспособления осесимметричных движений идеального газа к состояниям циклострофического баланса (баланса между градиентом давления и центробежной силой).

4. Разработана гидродинамическая теория несбалансированного фронтогенеза, связывающая образование атмосферных и океанических фронтов с процессом нелинейного геострофического приспособления в непрерывно стратифицированной среде. Показано, что из гладких начальных полей в процессе приспособления могут формироваться разрывные геострофические состояния. Установлены критерии образования фронтов, описаны характерные геометрические конфигурации поверхностей разрыва.

5. В рамках теории деформационного фронтогенеза построен класс точных аналитических решений, описывающих процесс формирования холодного фронта в деформационном поле типа седла.

6. Изучен новый механизм формирования температурных неоднородностей в стратифицированных двухкомпонентных средах, связанный с процессами гидростатического и геострофического и приспособления. Показано, что на финальной стадии процесса гидростатического приспособления в соленой морской воде формируется долгоживущий термохалинный "след" с вертикальными разрывными распределениями, характерными для тонкой структуры океана.

7. В рамках полной (нефильтрованной) системы уравнений гидродинамики исследована линейная устойчивость некоторых важных классов вращающихся сдвиговых течений (тангенциальные разрывы, свободные слои сдвига). Показано, что течения с циклоническим сдвигом всегда более устойчивы, чем с антициклоническим (эффект циклон-антициклонной асимметрии). С использованием квадратичных законов сохранения получены достаточные условия общей (несимметричной) устойчивости состояний циклострофического и геострофического балансов.

8. Исследована структура захваченных волн в сдвиговых течениях стратифицированной вращающейся жидкости. Задача о нахождении частот захваченных волн сведена к решению уравнения Шредингера, однако, с более сложной зависимостью от спектрального параметра. Получен ряд точных аналитических решений задачи, показано, что расположение области захвата определяется стратификацией жидкости и ориентацией сдвига.

9. С использованием немодального подхода описана линейная динамика возмущений в спектрально устойчивых сдвиговых течениях. Проведено разделение возмущений на два класса (быстроосциллирующие волновые и медленные вихревые) по значению потенциальной завихренности. Показано, что неустойчивость сдвигового потока может быть связана с нарастанием быстрых волновых возмущений, которые традиционно фильтруют в квазигеострофических моделях. Изучены новые типы сдвиговой неустойчивости (алгебраический, экспоненциально-алгебраический), приводящие к генерации поверхностных и внутренних гравитационных волн.

10. Теоретически и экспериментально исследован класс задач, относящихся к гидродинамике во вращающемся параболоиде (геострофическое приспособление, свободные колебания, структура и устойчивость геострофических течений). Изучен процесс формирования геострофических течений системой источник-сток массы, механизм топографической неустойчивости этих течений. Теоретические результаты хорошо согласуются с экспериментальными.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертационной работы получены впервые. В частности:

- Впервые получены оценки эффективности преобразования полной начальной энергии в энергию сбалансированных состояний при геострофическом приспособлении.

- Впервые разработана линейная и нелинейная теория гидростатического приспособления в горизонтально-однородной сжимаемой атмосфере.

- Впервые предложено рациональное объяснение вихревого эффекта Ранка.

- Впервые разработана теория несбалансированного фронтогенеза, описывающая процесс формирования фронтальных поверхностей (поверхностей разрыва) при адаптации из гладких начальных распределений.

- Впервые изучен механизм формирования термохалинных неоднородностей в океане, связанный с двухкомпонентным характером соленой морской воды.

- С использованием немодального подхода впервые исследованы новые механизмы генерации поверхностных и внутренних гравитационных волн в спектрально устойчивых сдвиговых течениях.

- Впервые теоретически и экспериментально исследован процесс геострофического приспособления, механизм топографической неустойчивости геострофических течений во вращающемся параболоиде.

Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Она выполнялась в рамках пяти проектов РФФИ: 97-05-65580, 98-05-64527, 02-05-64203, 04-0564027, 07-08-96434 (в трех из этих проектов автор был официальным руководителем). Результаты работы направлены на рациональное научное объяснение наблюдаемых закономерностей динамики атмосферы и океана, вращающихся жидких и газообразных сред. Полученные результаты позволяют глубже понять фундаментальные физические механизмы, приводящие к формированию атмосферных и океанических фронтов и циклонов, формированию наблюдаемой пятнистой структуры термохалинных полей в океане, генерации поверхностных и внутренних гравитационных волн во вращающихся сдвиговых течениях.

Практическая значимость работы определяется тем, что получена совокупность базовых реперных результатов, необходимая для разработки более сложных численных гидродинамических моделей. Результаты диссертационной работы, в частности, могут бьпъ использованы:

- для повышения точности схем краткосрочного гидродинамического прогноза погоды и включения фронтов в прогностические схемы;

- для интерпретации результатов радиолокационного и спутникового зондирования атмосферы и океана;

- для разработки методов лабораторного моделирования атмосферных и океанических течений;

- для разработки новых методов диагностики вихревых течений океана по характерной картине возбуждаемых ими поверхностных гравитационных волн;

- для повышения эффективности вихревых холодильных установок, основанных на эффекте Ранка.

Результаты работы использовались при выполнении ряда НИР Росгидромета в Институте экспериментальной метеорологии ГУ "НПО "Тайфун" (темы 1.5.4.8 и 1.5.3.1 Планов НИОКР Росгидромета).

Характеристика диссертационной работы. Согласно одной из формулировок, принятой в Положении о порядке присуждения ученых степеней, "автором исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение"

Достоверность результатов и методы исследования. Основные результаты работы получены аналитическими методами теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления, функций комплексного переменного. Достоверность результатов определяется тем, что в теоретическом анализе использованы хорошо обоснованные уравнения гидродинамики и переноса примеси, вытекающие из фундаментальных законов природы. Практически все результаты представлены в аналитической форме и допускают непосредственную проверку. В заключительной главе диссертации проведено непосредственное сравнение ряда теоретических результатов с результатами лабораторных экспериментов.

Личный вклад автора. Основная часть результатов диссертационной работы (исследования фронтогенеза, гидростатического приспособления, нелинейной адаптации в двухкомпонентных средах, захваченных волн, гидродинамической устойчивости сдвиговых течений, несимметричной устойчивости сбалансированных состояний, механизма генерации поверхностных гравитационных волн) получена автором лично.

В исследованиях вихревого эффекта Ранка, выполненных совместно с К.Н. Вишератиным, автору принадлежит теоретическая часть.

В работах, выполненных в соавторстве с экспериментаторами Абастуманской астрофизической обсерватории (С.Дж. Цакадзе, В.О. Кахиани, К.И. Патарашвили, P.A. Жвания, Дж.И. Нанобашвили и др.), автором выполнены расчеты структуры и устойчивости геострофических течений в параболоиде.

Исследования процессов циклострофического (геострофического) приспособления в несжимаемой жидкости, изложенные в первой главе (§1, 2), выполнены в соавторстве с П.Н. Свиркуновым. Совместно с П.Н. Свиркуновым исследована также проблема нелинейной симметричной устойчивости состояний циклострофического (геострофического) баланса (глава 4, §3).

Линейная теория гидростатической и геострофической адаптации в стратифицированных двухкомпонентных средах разработана совместно с Л.Х. Ингелем.

Исследования линейной динамики возмущений в сдвиговых течениях на основе немодального подхода, выполнены в соавторстве с Г.Д. Чагелишвили, Дж.Г. Ломинадзе, Г.Р. Мамацашвили.

Значительная часть основных публикаций по теме диссертации выполнена без соавторов. Во всех совместных исследованиях автор участвовал в формулировке основных задач, разрабатывал аналитические методы их решения, проводил анализ результатов.

Апробация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в отечественных и зарубежных журналах: "Доклады РАН", "Известия РАН. Физика атмосферы и океана", "Известия РАН. Механика жидкости и газа", "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Океанология", "Метеорология и гидрология", "Dynamics of Atmospheres and Oceans", "Quart. Journal of Royal Meteorological Society", "Nonlinear Processes in Geophysics" и др. По теме диссертации опубликовано 54 работы.

Результаты работы докладывались на отечественных и международных конференциях, совещаниях и семинарах, в том числе: на IX Международной научно-технической конференции "Современные методы и средства океанологических исследований", Москва, 2005; Международной конференции МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность", Москва, ноябрь 2004 г.; Perm Dynamo Days, International Workshop, Perm, 7-11 February 2005; International Conference "Fluxes and Structures in Fluids", St.-Petersburg, July 2007; Юбилейной Всероссийской научной конференции "Фундаментальные исследования взаимодействия суши, океана и атмосферы", Москва, МГУ, октябрь-ноябрь 2002 г.; Четвертой всероссийской научной конференции "Физические проблемы экологии (Экологическая физика)". Москва, МГУ, июнь 2004; Всероссийской научной конференции "С.П. Хромов и синоптическая метеорология". (Москва, МГУ, октябрь 2004 г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. Н.Новгород, август 2006 г.; заседаниях Ученого совета и семинарах ГУ "НПО "Тайфун", семинарах ИФА РАН, ИВП РАН, ИПМ РАН.

Структура, объем и краткое содержание работы. Диссертация состоит из Введения, шести глав и Заключения. Содержит 399 страниц, включая 75 рисунков, библиографию из 256 наименований.

Заключение Диссертация по теме "Физика атмосферы и гидросферы", Калашник, Максим Валентинович

1.5. Основные результаты. Сформулируем основные результаты. В данном параграфе исследована структура финальных состояний геострофического равновесия, формирующихся из гладких начальных несбалансированных данных с нулевой и однородно распределенной потенциальной завихренностью. С использованием методов теории функции комплексного переменного построен класс точных аналитических решений, описывающих финальные состояния. Показано, что, если амплитуда гладкого начального возмущения превышает критическую, в финальном состоянии возникают разрывы типа фронтальных. Сформулирована замкнутая система уравнений для определения поверхностей разрыва в финальных состояниях, использующая формулу Маргулеса в качестве условия на скачке (разрыва). Установлено, что геометрические конфигурации поверхностей разрыва носят универсальный характер, т.е. не зависят от деталей начальных распределений. Для описания нестационарных волновых процессов приспособления предложены численная гидростатическая модель и упрощенная аналитическая модель, основанная на линеаризованных уравнениях динамики в лагранжевых переменных. Показано, что процесс установления разрывных геострофических состояний носит ярко

Р (а)

Рис. 2.14. Зависимости р = р(х) в различные моменты времени. выраженный волновой характер с чередованием фаз гладкости и многозначности. На небольших временах эти фазы повторяются с инерционным периодом, т.е. формируется нестационарный пульсирующий фронт.

Основной физический результат состоит в том, что при геострофическом приспособлении происходит весьма сложная деформация изначально гладких несбалансированных полей с образованием поверхностей разрыва. Поскольку несбалансированные состояния часто возникают в природе, механизм нелинейного геострофического приспособления, таким образом, является одним из важных механизмов, ответственных за фронтогенез в атмосфере и океане. В теоретическом плане данный механизм привлекателен тем, что для объяснения фронтогенеза он не требует ни гипотезы о наличии фоновых деформационных полей скорости (теория деформационного фронтогенеза), ни представлений о неустойчивости зональных геострофических потоков (фронтогенез в растущих бароклинных волнах) [112]. С описанным механизмом можно связать наблюдаемый в природе прибрежный атмосферный фронтогенез (при неоднородном нагреве воздуха над сушей и океаном) или фронтогенез в шельфовой зоне океана при интенсивной конвекции с поверхности (шельфовые фронты) [4, 7, 213]. Как показано в [126, 128], связанные с наличием облачного покрова неоднородности нагрева подстилающей поверхности могут приводить к образованию кратковременных фронтов за счет описанного механизма. Формирование глобальных атмосферных фронтов (полярный фронт) также, возможно, связано с геострофическим приспособлением в неоднородно нагреваемой системе экватор-полюс. Проверка этой гипотезы, однако, требует дальнейших теоретических и лабораторных исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрен широкий круг вопросов, связанных с теоретическим исследованием процессов адаптации, гидродинамической устойчивости, фронтогенеза в атмосфере и океане. Основные результаты работы кратко сформулированы во Введении. Ниже эти результаты изложены более подробно.

1. В рамках линейной теории геострофической адаптации исследован вопрос о перераспределении полной начальной энергии между энергиями геострофического и волнового компонентов. Показано, что в задаче с нулевым начальным полем скорости в кинетическую энергию геострофического компонента переходит менее половины реализованной потенциальной энергии, а остальная (большая) часть идет на генерацию волновых движений. Аналогичная оценка, получена и в нелинейном случае.

2. Для осесимметричных и плоских движений несжимаемой вращающейся жидкости развита нелинейная теория геострофического (циклострофического) приспособления. С использованием лагранжевых законов сохранения массы и углового (геострофического) моментов, сформулированы замкнутые системы уравнений для определения финальных состояний баланса по начальным данным и построен ряд их точных решений.

3. Для горизонтально-однородных движений сжимаемой атмосферы развита линейная и нелинейная теория гидростатического приспособления. Показано, что установление гидростатического (механического) равновесия происходит за счет излучения акустико-гравитационных волн. Установлено, что финальные состояния равновесия однозначно определяются начальными данными и им отвечает минимум полной энергии.

4. Предложено рациональное объяснение вихревого эффекта Ранка - формирования аномально низких (отрицательных) температур на оси быстро вращающегося газового потока в вихревой трубе. Показано, что подобные температуры устанавливаются в процессе приспособления осесимметричных движений идеального газа к состояниям циклострофического баланса (баланса между градиентом давления и центробежной силой).

5. Разработана гидродинамическая теория несбалансированного фронтогенеза, связывающая образование атмосферных и океанических фронтов с процессом нелинейного геострофического приспособления в непрерывно стратифицированной среде. Показано, что из гладких начальных полей в процессе приспособления могут формироваться разрывные геострофические состояния. Установлены критерии образования фронтов, описаны характерные геометрические конфигурации поверхностей разрыва.

6. В рамках теории деформационного фронтогенеза построен класс точных аналитических решений, описывающих процесс формирования холодного фронта в деформационном поле типа седла.

7. Обнаружены принципиально новые особенности процессов гидростатического и геострофического и приспособления в стратифицированных двухкомпонентных средах. Показано, что на финальной стадии процесса гидростатического приспособления в соленой морской воде формируется долгоживущий термохалинный "след" с вертикальными разрывными распределениями, характерными для тонкой структуры океана. Установлено, что формирующиеся в двухкомпонентной среде фронтальные поверхности могут быть ярко выражены лишь в поле одной из термодинамических переменных (температуры или солености).

8. В рамках полной (нефильтрованной) системы уравнений гидродинамики исследована линейная устойчивость вращающихся тангенциальных разрывов и свободных слоев сдвига. В аналитической форме получены выражения для инкрементов нарастания неустойчивых мод. Показано, что течения с циклоническим сдвигом всегда более устойчивы, чем с антициклоническим (эффект циклон-антициклонной асимметрии).

9. Для описания длинноволновых несимметричных возмущений получены уравнения, обобщающие квазигеострофический вариант уравнения переноса потенциального вихря (линеаризованную форму) на случай зональных и осесимметричных течений с умеренными и высокими значениями чисел Россби. В рамках полученных уравнений доказаны теоремы об устойчивости, аналогичные теореме Чарни-Стерна в квазигеострофической теории.

10. Исследована структура захваченных волн в сдвиговых течениях стратифицированной вращающейся жидкости. Задача о нахождении частот захваченных волн сведена к решению уравнения Шредингера, однако, с более сложной зависимостью от спектрального параметра. Получен ряд точных аналитических решений задачи, показано, что расположение области захвата определяется стратификацией жидкости и ориентацией сдвига.

11. С использованием немодального подхода описана линейная динамика возмущений в спектрально устойчивых сдвиговых течениях. Проведено разделение возмущений на два класса (быстроосциллирующие волновые и медленные вихревые) по значению потенциальной завихренности. Показано, что неустойчивость сдвигового геострофического потока может быть связана с алгебраическим нарастанием быстрых волновых возмущений, которые традиционно фильтруют в квазигеострофических моделях.

12. Обнаружен и исследован эффект временного экспоненциального роста возмущений в геострофических течениях с постоянными сдвигами. Показано, что этот эффект может приводить к сложной динамике развития неустойчивости - чередованию экспоненциальных стадий (вспышек) со стадиями гладкого регулярного поведения.

13. Исследован новый механизм генерации поверхностных гравитационных волн, связанный с гидродинамической неустойчивостью течения с постоянным горизонтальным сдвигом скорости в слое жидкости со свободной поверхностью. Показано, что развитие неустойчивости приводит к образованию на поверхности жидкости гравитационных волн, амплитуда которых нарастает по степенному закону.

14. Теоретически и экспериментально исследован класс задач, относящихся к гидродинамике во вращающемся параболоиде (геострофическое приспособление, свободные колебания, структура и устойчивость геострофических течений). Изучен процесс формирования геострофических течений системой источник-сток массы, механизм топографической неустойчивости этих течений. Теоретические результаты хорошо согласуются с экспериментальными.

Автор глубоко признателен ряду коллег, совместная работа или обсуждения с которыми были для него весьма полезными: Б.Я Шмерлину, П.Н. Свиркунову, К.Н. Вишератину, Г. Д Чагелишвили, Дж.Г. Ломинадзе, Дж. Цакадзе, В.О. Кахиани, К.И. Патарашвили, P.A. Жвания, Дж.И. Нанобашвили. Ряд результатов диссертационной работы был получен благодаря стимулирующей поддержке и критическим замечаниям академика Г.С. Голицына. Автор признателен всем сотрудникам Центра плазменной астрофизики Абастуманской астрофизической обсерватории за атмосферу гостеприимства и доброжелательности во время проведения совместных исследований. Ряд результатов был опубликован в зарубежных изданиях, благодаря квалифицированным переводам И.Э. Инге ль.

Особая признательность Л.Х. Ингелю, многолетнее сотрудничество с которым существенно повлияло на формирование научных взглядов автора.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Калашник, Максим Валентинович, Обнинск

1. Абрамов A.A., Тареев Б.А., Ульянов В.И. Баротропная неустойчивость в двухслойной модели Кочина на бета-плоскости // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. -1972. - Т.8, №2. - С.131-141.

2. Алексеев В.В., Киселева C.B., Лаппо С.С. Лабораторные модели физических процессов в атмосфере и океане. М.: Наука, 2005. 312 с.

3. Арнольд В.И. Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости // ДАН СССР. 1965.- Т. 162, №5,- С. 975-978.

4. Боуден К. Физическая океанография прибрежных вод. М.: Мир, 1988. 324 с.

5. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 344 с.

6. Гельфанд И.М., Фомин C.B. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 228 с.

7. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. М.: Мир, 1986. Т.1. - 396 е., Т.2. - 415 с.

8. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981. 191 с.

9. Гольдштик М.А. Вихревые потоки. Новосибирск: Наука, 1981. 366 с.

10. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск: Наука, 1989. 336 с.

11. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 304 с.

12. Гупта Ф., Лилли Д., Сайред Н. Закрученные потоки. М.: Мир, 1987. 588 с.

13. ГуцолА.Ф. Эффект Ранка//УФН,- 1997.-Т. 167, №6.-С. 665-687.

14. Данилов С.Д., Сазонов И.А. Вычисление азимутального потока, создаваемого во вращающемся сосуде методом источников и стоков // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1999. - Т.35, №3. - С.344-355.

15. Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1976. 107 с.

16. Должанский Ф.В., Крымов В.А., Манин Д.Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений // Успехи физ. наук. 1990. Т.160, вып.7. - С.1-47.

17. Доценко С.Ф., Рубино А. Точные аналитические решения нелинейных уравнений длинных волн в случае осесимметричных колебаний жидкости во вращающемся параболическом бассейне // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2003. - №2. - С. 158-164.

18. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.: Физматлит, 2005. 288 с.

19. Дымников В.П., Скиба Ю.Н. О спектральных критериях устойчивости баротропных атмосферных потоков // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. ФАО. 1987. -Т.23, №12. - С. 1263-1264.

20. Дымников В.П., Филатов А.Н. Устойчивость крупномасштабных атмосферных процессов. JL: Гидрометеоиздат, 1990. 236 с.

21. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН.- 1997,- Т. 167, №11. С. 1137-1167.

22. Зельдович Я.Б., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. О представлении трехмерного векторного поля скалярными потенциалами // ДАН СССР. 1985. Т. 284. N 1. С. 103107.

23. Зырянов В.Н. Топографические вихри в динамике морских течений. М.: ИВП РАН, 1995,- 239 с.

24. Ингель Л.Х. "Отрицательная теплоемкость" стратифицированных жидкостей // УФН. -2002. Т.172, №6. - С.691-699.

25. Ингель Л.Х. Класс точных нестационарных решений уравнений мелкой воды с вращением // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. - Т.30, №5. - С. 718-720.

26. Ингель Л.Х. Механизм конвективной неустойчивости бинарной смеси // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2005. - Т. 128, №1. - С.179-182.

27. Ингель Л.Х. О влиянии источника тепла на крупномасштабные поля давления и ветра в бароклинной атмосфере // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. - Т. 21, №2. -С. 262-269.

28. Ингель JI.X., Калашник M.B. Геострофическая адаптация линейных возмущений в двухкомпонентных средах // Океанология. 2007. - Т. 47, № 5. - С. 657 - 665.

29. Ингель Л.Х., Калашник М.В. Об особенностях динамики гидротермодинамических возмущений в устойчиво стратифицированной бинарной смеси // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. - №6. - С. 13 - 21.

30. Ингель Л.Х., Калашник М.В., Перестенко О.В., Свиркунов П.Н. Шмерлин Б.Я. О некоторых малоизученных механизмах гидродинамической неустойчивости в атмосфере Вопросы физики атмосферы: Сборник статей. С.-Пб. Гидрометеоиздат, 1998. С.247-272.

31. Кадышников В.Н. К моделированию гидростатичности крупномасштабных атмосферных процессов // Метеорология и гидрология. 1971. - № 1. - С. 24-33.

32. Калашник М.В., Ломинадзе Д.Г., Чагелишвили Г.Д. Линейная динамика возмущений в течениях с постоянным горизонтальным сдвигом // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. - №6. - С. 25-37.

33. Калашник М.В, Мамацашвили Г.Р., Чагелишвили Г.Д., Ломинадзе Д.Г. Динамика несимметричных возмущений в геострофическом потоке с постоянным горизонтальным сдвигом // Докл. РАН. 2004. - Т.399, №5. - С. 687-692.

34. Калашник М.В. Аналитические решения в теории деформационного фронтогенеза // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2004. - Т. 40, № 2. - С. 179-189.

35. Калашник М.В. Геострофическое приспособление и фронтогенез в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. -Т.36,№3,-С. 386-395.

36. Калашник М.В. Замечание о законах сохранения и распространении волн // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1998. - Т.34, №3. - С. 441-444.

37. Калашник М.В. К теории гидростатической адаптации // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. - Т. 36, № 2. - С.521-527.

38. Калашник М.В. К теории симметричной и несимметричной устойчивости зональных геострофических течений // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. - Т. 37, № З.-С. 418-421.

39. Калашник М.В. К теории устойчивости вращающихся сдвиговых течений // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2007. - № 3. - С. 47 - 60.

40. Калашник М.В. Критерии симметричной и несимметричной устойчивости геострофических и градиентных течений в стратифицированной вращающейся жидкости // Докл. РАН. 2000. - Т. 371, № 3. - С. 383-386.

41. Калашник М.В. Линейный механизм генерации поверхностных гравитационных волн в течении с горизонтальным сдвигом // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2008. - Т. 133, № 1. С. 171-182.

42. Калашник М.В. О максимальной скорости ветра в тропическом циклоне // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1994. - Т. 30, № 1. - С. 26-30.

43. Калашник М.В. О поле скорости конвективной ячейки // Докл. РАН. 1993. - Т. 330, № 4. - С. 448-452.

44. Калашник М.В. Образование фронтальных зон при геострофическом приспособлении в непрерывно стратифицированной жидкости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1998,- Т.34, №6. - С. 785-792.

45. Калашник М.В. Поверхности разрыва в теории несбалансированного фронтогенеза // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2002. - Т.38, №1. - С. 154-157.

46. Калашник М.В. Теория несбалансированного фронтогенеза. Сборник тезисов Всероссийской научной конференции "С.П.Хромов и синоптическая метеорология". Москва, МГУ, октябрь 2004 г. М.: МАКС Пресс, 2004. С.40.

47. Калашник М.В. Условия симметричной и несимметричной устойчивости геострофических течений в сжимаемой атмосфере // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. - Т. 41, № 2. - С. 29-34.

48. Калашник М.В. Формирование вихревой воронки стоком массы в модели мелкой воды // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2004. - №2. - С. 120-132.

49. Калашник М.В. Формирование фронтов и струйных течений при геострофическом приспособлении в стратифицированной вращающейся жидкости // Докл. РАН. 1997. -Т.357, №2. С. 247-251.

50. Калашник М.В. Энергетика линейного и нелинейного геострофического приспособления // Океанология. 2004. - Т. 44, № 1.- С. 11-19.

51. Калашник М.В., Вишератин К.Н. Формирование температурной стратификации при циклострофическом приспособлении в закрученных газовых потоках. Приложение к эффекту Ранка // Потоки и структуры в жидкостях: Международная конференция.

52. Санкт-Петербург, 2-5 июля 2007. Тезисы докладов. М.: ИПМ РАН, 2007. С. 237 -238.

53. Калашник М.В., Ингель JI.X. Геострофическое приспособление и фронтогенез в стратифицированных двухкомпонентных средах // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2006. - Т. 42, № 4. - С. 554-565.

54. Калашник М.В., Ингель JI.X. Гидродинамическая "память" бинарных смесей // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2006. - Т. 130, № 1. - С. 161170.

55. Калашник М.В., Ингель JI.X. Механизм формирования температурных неоднородностей в стратифицированном по температуре и солёности океане // ДАН.2006. Т. 407, № 5. - С. 673-678.

56. Калашник М.В., Кахиани В.О., Ломинадзе Дж.Г., Патарашвили К.И., Свиркунов П.Н., Цакадзе С.Д. Нелинейные изохронные колебания жидкости в параболоиде. Теория и эксперимент // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2004. - №5. - С. 131-142.

57. Калашник М.В., Вишератин К.Н. Циклострофическое приспособление в закрученных газовых потоках и вихревой эффект Ранка // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2008. - Т. 133, № 4. С. 935-947.

58. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. О перераспределении энергии при геострофической адаптации и экстремальности энергии геострофических состояний // Метеорология и гидрология. 1995. - № 9. - С. 62-67.

59. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. О симметричной устойчивости состояний циклострофического и геострофического баланса в стратифицированной среде // Докл. РАН. 1996.-Т. 348, №6.- С. 811-813.

60. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. О состояниях циклострофического и геострофического баланса // Докл. РАН. 1995. - Т. 344, № 2. - С. 233-236.

61. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. О состояниях циклострофического и геострофического баланса в модели мелкой воды // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1996. - Т. 32, № 3. - С. 402-409.

62. Калашник М.В., Свиркунов П.Н. Об определении состояний циклострофического (геострофического) баланса и их устойчивости // Метеорология и гидрология .- 1998.-№4,- С.58-72.

63. Калашник М.В., Ингель J1.X. О стационарной крупномасштабной конвекции, связанной с объемным тепловыделением в атмосфере // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1988. Т. 24, № 12. - С. 1327-1328.

64. Калашник М.В., Шмерлин Б.Я Спонтанный рост возмущений типа урагана в модели влажной конвекции // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. - Т. 26, № 8. -С. 787-793.

65. Калашник М.В., Шмерлин Б.Я. О конвективной неустойчивости влажного насыщенного слоя // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. - Т. 26, № 10. -С. 1034-1044.

66. Калашник М.В., Шмерлин Б.Я. Стационарная конвекция, инициируемая линейным источником тепла во влажной атмосфере // Метеорол. и гидрол. 1990. - № 1. - С. 50-56.

67. Кибель И.А. О приспособлении движения воздуха к геострофическому // ДАН СССР. 1955-Т. 104, №1. С. 60-63.

68. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. T.l. М.: Физматгиз, 1963.- 560 с.

69. Курганский M.B. Введение в крупномасштабную динамику атмосферы. Санкт-Петербург: Гидрометеоиздат, 1993. 167 с.

70. Курганский М.В. Об одном интеграле адиабатического движения атмосферы // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985.- Т. 21, №12. - С. 1315 1318.

71. Ламб Г. Гидродинамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1947. 928 с.

72. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с.

73. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.З. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматгиз, 1963. 702 с.

74. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. М.: Мир, 1981. Т.1. - 480 е., Т.2. - 365 с.

75. Леонтьев А.И. Газодинамические методы температурной стратификации (обзор) // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2002. - №2. - С. 6-26.

76. Линь Ц.Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958.- 194. с.

77. Манин Д.Ю. Теория устойчивости квазидвумерных зональных течений с учетом внешнего трения и эффектов вращения / Автореф. дис. канд. физ-мат. наук. М., 1989.- 18 с.

78. Манин Д.Ю., Черноусько Ю.Л. Экспериментальное исследование устойчивости квазидвумерного струйного течения, создаваемого во вращающейся жидкости методом источников и стоков // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1990. -Т.26, №5. С.483-492.

79. Меркулов А.П. Вихревой эффект и его применение в технике. М.: Машиностроение, 1969.- 183 с.

80. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.- 302 с.

81. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1987. 400 с.

82. Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. 424 с.

83. Монин A.C., Озмидов Р.В., Пака В.Т. О гидрофизической мезоструктуре прибрежного апвеллинга // ДАН. 1987. - Т. 297. - С. 1469-1472.

84. Монин A.C., Федоров К.Н., Шевцов В.П. О вертикальной мезо- и микроструктуре океанических течений // ДАН. 1973. - Т. 208. - С. 833-836.

85. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.

86. Незлин М.В., Снежкин E.H. Вихри Россби и спиральные структуры. М.: Наука, 1990. -238 с.

87. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 344 с.

88. Обухов A.M. К вопросу о геострофическом ветре // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1949. - Т.13, №4,- С.281-306.

89. Островский J1.A., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003. 398 с.

90. Петвиашвили В.И., Похотелов O.A. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. 199 с.

91. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1976. 688 с.

92. Свиркунов П.Н. Неустановившиеся осесимметричные течения в приближении теории мелкой воды // Прикл. математика и механика. 1996. - Т.60, вып.З. - С. 520-522.

93. Свиркунов П.Н. Об условиях симметричной неустойчивости вихревых движений идеальной стратифицированной жидкости // Прикл. математика и механика. 1998. -Т.62, вып.6. -С.996-1001.

94. Свиркунов П.Н., Калашник М.В. Эволюция вихря, вызванная стоком массы в теории мелкой воды // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1995. - Т. 31, № 5. - С. 725-730.

95. Справочник по специальным функциям. Под ред. М.Абрамовича и И.Стиган. М.: Наука, 1979. 830 с.

96. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. 431 с.

97. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. -736 с.

98. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны, М.: Мир, 1977. 622 с.

99. Федоров К.Н. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1976.- 184 с.

100. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 352 с.

101. Филлипс О. М., Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1980. 267 с.

102. Фукс Б.А., Шабат В.В.: Функции комплексного переменного и некоторые приложения. М.: Наука, 1964. 388 с.

103. Шакина Н.П. Гидродинамическая неустойчивость в атмосфере. JL: Гидрометеоиздат, 1990. 309с.

104. Шакина Н.П. Динамика атмосферных фронтов и циклонов. Л.: Гидрометеоиздат, 1985.- 263 с.

105. Шмерлин Б.Я., Калашник М.В. Структура растущих локализованных мод в модели влажной конвекции // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1989. - Т. 25, № 4.- С. 4221-4228.

106. Шмерлин Б.Я., Калашник М.В. Структура растущих периодических мод в модели влажной конвекции // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1989. - Т. 25, № 8. -С. 810-818.

107. Bakas N.A., Ioannou P.J., Kefalikos J.E. The emergence of coherent structures in stratified shear flow// J. Atmos. Sci. 2001. - Vol.58, N 18. - P. 2790-2806.

108. Bannon P. Hamiltonian description of idealized binary geophysical fluids // J. Atmos. Sci. -2003. Vol. 60. - P. 2809-2819.

109. Bannon P.R. Nonlinear hydrostatic adjustment // J. Atm. Sci. 1996. - Vol. 53, N 23. - P. 3606-3617.

110. Bannon P.R. Hydrostatic adjustment: Lamb's Problem // J. Atm. Sci. 1995. - Vol. 52, N 10. -P. 1743-1752.

111. Bennets D.A., Jackson W.D.N. Source-sink flows in a rotating annulus: a combined laboratory and numerical study // J. Fluid Mech. 1974. - Vol. 66. - P. 689-705.

112. Bennets P.A., Hoskins B.J. Conditional symmetric instability a possible explanation for frontal rainbands // Quart. J. Roy. Met. Soc. - 1979. - Vol. 105. - P. 945-962.

113. Bergeron Т.: Uber die dreidimensional verknupteud. Wetteranalyse // Geofys. Publikasioner. 1928.-Vol. 5, N6. P. 1-11.

114. Blumen W. A comparison between the Hoskins Bretherton model of frontogenesis and the analysis of an intense surface frontal zone // J. Atmos. Sci. - 1980. - Vol. 37. - P. 64-77.

115. Blumen W. A model of inertial oscillation with deformation frontogenesis // J. Atm. Sci. -1997. Vol. 54, N 22. - P. 2681-2692.

116. Blumen W. A semigeostrophic Eady-wave frontal model incorporating momentum diffusion. Part I.: Model and solutions // J. Atmos. Sci. 1990. - Vol. 47, N 24. - P. 28902902.

117. Blumen W. Geostrophic adjustment // Rev. Geophys. Space Phys. 1972. - Vol.10, N2. - P. 485-528.

118. Blumen W. Inertial oscillation and frontogenesis in a zero potential vorticity model // J. Phys. Oceanogr. 2000. - Vol. 30, N1. - P. 31-39.

119. Blumen W. On the stability of quasi-geostrophic flow // J. Atmos. Sei. 1968. - Vol.25. - P. 929-931.

120. Blumen W., Williams R. Unbalanced frontogenesis: Part I. Zero potential vorticity // J. Atmos. Sei. 2001. - Vol.58, N15. - P. 2180-2195.

121. Blumen W., Wu R. Geostrophic adjustment: Frontogenesis and energy conversion // J. Phys. Oceanogr. 1995. - Vol. 25, N3. - P. 428-438.

122. Boubnov B.M., Golitsyn G.S. Convection in Rotating Fluids. Dordrecht: Kluwer Ac.Publ., Holland, 1995. 232 p.

123. Bouchut F., Sommer J., Zeitlin V. Frontal geostrophic adjustment and nonlinear wave phenomena in one-dimensional rotation shallow water. Part II. High resolution numerical simulations // J. Fluid. Mech. 2004. - Vol. 514. - P. 35-63.

124. Busse F.H., Chen W.L. On nearly symmetric instability // J. Atmos. Sei. 1981. - Vol. 38. -P. 877-880.

125. Cahn A. An investigation of the free oscillations of a simple current system // J. Meteorol. -1945.-Vol. 2.-P. 113-119.

126. Chagelishvili G.D., Chanishvili R.G., Hristov T.S., Lominadze J.G. A turbulence model in unbounded smooth shear flows. The weak turbulence approach // JETP. 2002. Vol. 94. - P. 434-445.

127. Chagelishvili G.D., Khujadze G.R., Lominadze J.G., Rogava A.D. Acoustic Waves in Unbounded Shear Flows // Physics of Fluids. 1997. -Vol. 9. P.1955-1965.

128. Chagelishvili G. D., Rogava A. D., Segal I., Hydrodynamic Stability of Compressible Plane Couette Flow // Physical Review E. 1994. -Vol. 50. P. 4283-4289.

129. Chagelishvili G. D., Tevzadze A. G., Bodo G., Moiseev S. S. Linear mechanism of wave emergence from vortices in smooth shear flows // Phys. Rev. Letters. 1997. - Vol. 79, N17. -P 3178-3181.

130. Chashechkin Y.D., Baydulov V.G., Kistovich V.A. Basic properties of free stratified flows // J. Engineering Mathematics. 2006.- Vol. 55. P. 313-338.

131. Charney J.G. Planetary fluid dynamics. In: Dynamic Meteorology. Ed. by P.Morel. Reidel, 1973.-P. 97-349.

132. Cho H., Shepherd T., Vladimirov V. Application of the direct Liapunov method to the problem of symmetric stability in the atmosphere // J. Atmos. Sci. 1993. - Vol.50. - P.822-836.

133. Craik A.D.D., Criminale W.O., Evolution of wavelike disturbances in shear flow: a class of exact solutions of the Navier-Stokes equations // Proc. R. Soc. Lond. A. 1986. - Vol. 406. -P. 13-23.

134. Criminale W. O., Drazin P. G. The evolution of linearized perturbations of parallel flows // Studies in Appl. Math. 1990. - Vol. 83, N2. - P. 123-157.

135. Cullen M. Solutions to a model of front forced by deformation // Quart. J. Roy. Met. Soc. -1983. Vol. 109. - P. 565-573.

136. Davies H.C., Muller J.C. Detailed description of deformation-induced semi-geostrophic frontogenesis // Quart. Journ. Roy. Meteorol. Soc. 1988. - Vol. 114. - P. 1201-1219.

137. Eady E.T. Long waves and cyclone waves. // Tellus. 1949. - Vol. 1, N3. - P. 35-52.

138. Eckart C. The generation of wind waves over a water surface // J. Appl. Phys. 1953. - Vol. 24. - P. 1485-1494.

139. Emanuel K.A. Inertial instability and mesoscale convective viscous fluids // J. Atmos. Sci. -1979. Vol. 36. - P. 2425-2449.

140. Emanuel K.A. The Lagrangian parcel dynamics of moist symmetric stability // J. Atmos. Sci. 1983. - Vol. 40. - P. 2368-2376.

141. Fang J., Wu R. Topographic effect on geostrophic adjustment and frontogenesis // Adv. in Atm. Sci. 2001. - Vol. 18, N4. - P. 524-538.

142. Farrel B.F. The initial growth of disturbances in baroclinic flow // J. Atmos. Sci. 1982. -Vol. 39, N8. - P.1663-1686.

143. Farrel B.F., Ioannou P.J. Transient development of perturbations in stratified shear flow // J. Atmos. Sci. 1993. - Vol. 50, N14. - P. 2201-2214.

144. Farrell B.F., Ioannou P.J. Optimal excitation of three-dimensional perturbations in viscous constant shear flows // Phys. Fluids A. 1993. - Vol. 5. - P. 1390-1400.

145. Fjortoft R. Application of integral theorems in deriving criteria of stability for laminar flows and for the baroclinic circular vortex // Geophys. Publ. 1950. - Vol. 17, N6. - P. 1-52.

146. Gamier E., Metais D., Lesieur M. Synoptic and frontal-cyclone scale instabilities in baroclinic jet flows // J. Atmos. Sci. 1998. - Vol. 55, N8. - P. 1316-1345.

147. Garret C., Louder J. Dynamical aspects of shallow sea fronts // Phil. Trans. R. Soc. 1981. -Ser. A302.-P. 563-581.

148. Gent P., McWilliams J. The instability of barotropic circular vortices // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1986.-Vol. 35.-P. 209-233.

149. Gill A.E. Homogeneous intrusions in a rotating stratified fluid // J. Fluid Mech. 1981. Vol. 103.-P.275-295.

150. Gogoberidze G., Samushia L., Chagelishvili G. D., Lominadze J. G., Horton W. Surface gravity waves in deep fluid at vertical shear flows // JETP. 2005. - Vol. 128. - P. 193-200.

151. Gu W., Xu Q. Baroclinic Eady wave and fronts. Part III: Unbalanced dynamics departures from viscous semigeostrophy // J. Atmos. Sci. - 2000. - Vol. 57. - P. 3414-3425.

152. Gu W., Xu Q., Wu R. Three-dimensional instability of nonlinear viscous symmetric circulations// J. Atmos. Sci. 1998. Vol. 55. -N 20. - P.3148-3158.

153. Gustavsson L.H., Energy growth of three-dimensional disturbances in plane Poiseuille flow // J.Fluid Mech. -1991. Vol. 224. - P. 241-260.

154. Hakim G. Role of nonmodal growths and nonlinearity in cyclogenesis initial value problems // J. Atmos. Sci. 2000. - Vol. 57. - P. 2951-2967.

155. Hart J.E. A laboratory study of baroclinic instabilitiy // Geophys. Fluid Dyn. 1972. - Vol. 3.-P. 181-195.

156. Heltrich K.R., Pedlosky J. Large-amplitude coherent anomalies in baroclinic zonal flows // J. Atmos. Sci. 1995. - Vol. 52, N10. - P. 1615-1629.

157. Heltrich K.R., Pedlosky J. Time-dependent isolated anomalies in zonal flows // J. Fluid Mech. 1993. - Vol. 93. - P. 377-409.

158. Hide R. On source-sink flows in a rotating fluid // J. Fluid Mech. 1968. Vol.32, Pt.4. - P. 737-764.

159. Hide R., Mason P. Sloping convection in a rotating fluid // Advances. Phys. 1975. - Vol. 24.-P. 47-100.

160. Hodyss D., Grotjahn R. Nonmodal and unstable normal mode baroclinic growths as a function of horizontal scale // Dyn. Atmos. Oceans. 2003. - Vol. 37. - P. 1-24.

161. Hoskins BJ. Atmospheric frontogenesis models: some solutions //Quart. Journ. Roy. Meteorol. Soc. 1971. Vol. 97. - P. 139-153.

162. Hoskins B.J. Baroclinic waves and frontogenesis. Part 1: Introduction to Eady waves // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1976. - Vol. 102. - P. 103-122.

163. Hoskins B.J. The geostrophic momentum approximation and the semi-geostrophic equations //J. Atmos. Sci. 1975. - Vol. 32. - P. 233-242.

164. Hoskins B.J. The role of potential vorticity in symmetric stability and instability flows // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1974. - Vol. 100. - P. 480-482.

165. Hoskins B.J., Bretherton F.P. Atmospheric frontogenesis models: mathematical formulations and solutions // J. Atmos. Sci. 1972. - Vol. 29. - P. 11-37.

166. Hoskins B.J., West N.V. Baroclinic waves and frontogenesis. Part 2: Uniform potential vorticity jet flows cold and warm fronts // J. Atmos. Sci. - 1979. - Vol. 36. - P. 1663-1680.

167. Ingel L.Kh., Kalashnik M.V. On the peculiarities of dynamics of the two-component stratified rotating media. Perm Dynamo Days. Intern. Workshop. 7-11 February 2005. Abstracts. Perm, 2005. P. 19.

168. Ingel L.Kh., Kalashnik M.V. Some new effects in hydrothermodynamics of binary mixes. Intern. Conf. "Fluxes and Structures in Fluids". St.-Petersburg, July 2-5. Abstracts. Moscow: IPM RAS, 2007. P. 47 - 48.

169. Ioannou P., Linzen R.S. Baroclinic instability in the presence of barotropic jets // J. Atmos. Sci. 1986. - Vol.43. - P.2999-3014.

170. Janssen P. The Interaction of Ocean Waves and Wind. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. 226 p.

171. Jeffreys H. On the formation of water waves by wind // Proc. R. Soc. Lond. 1925. Vol. A107.-P. 189-206.

172. Johnson J. A. The stability of shearing motion in a rotating fluid // J.Fluid Mech. 1963. -Vol. 17,N. 3. - P. 337-352.

173. Jones S.C., Thorpe A.J. The three-dimensional nature of "symmetric" instability // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1992. - Vol. 118. - P. 227-258.

174. Kalashnick M.V. Geostrophic adjustment and frontogenesis in the continuously stratified fluid // Dynamics of Atmospheres and Oceans. 2004. - Vol. 38, N 1. - P. 1-37.

175. Kalashnik M.V., Mamatsashvili G. R., Chagelishvili G. D., Lominadze J. G. Linear dynamics of non-symmetric perturbations in geostrophic flows with a constant horizontal shear// Quart. Journ. Roy. Met. Soc. 2006. - Vol. 132, N 615. - P. 505-518.

176. Kalashnik M.V., Mamatsashvili G.R., Chagelishvili G.D., Lominadze G.D. Dynamics of wave and vortex disturbances in the shear flows of the rotating fluid. Perm Dynamo Days. Intern. Workshop. 7-11 February 2005. Abstracts. Perm, 2005. P.20.

177. Kelvin L. Stability of fluid motion: Rectilinear motion of viscous fluid between two parallel planes // Phil. Mag. Ser. 5. 1887. - Vol. 24, N 147. P. 188-196.

178. Kelvin L. The influence of wind on waves in water supposed frictionless // Phil. Mag. -1871.-Vol. 42.-P. 368-374.

179. Klein P., Treguier A. Dispersion of wind-induced inertial waves by a barotropic jet // J. Mar. Res.- 1995.-Vol. 53.-P. 1-22.

180. Kolomiets S.M., Vasiljev V.I., Visheratin K.N., Zarenkov A.A. Ranque vortex tube some ways to raised efficiency. // Proceed. International Conf. "Fluxes and Structures in Fluids", St.-Petersburg, June 23-26. 2003. - P. 92-93.

181. Kunze E. Near-inertial wave propagation in geostrophic shear // J. Phys. Oceanogr. 1985. -Vol. 15,N5.-P. 544-565.

182. Kunze E., Boss E. A model for vortex trapped internal waves // J. Phys. Oceanogr. 1998. -Vol. 28.-P. 2104-2115.

183. Kuo A.C., Polvani L.M. Nonlinear geostrophic adjustment, cyclone/anticyclone asymmetry, and potential vorticuty rearrangement // Physics of Fluids. 2000. - Vol. 12, N. 5. - P. 1087-1100.

184. Kuo H. Dynamic instability of two-dimensional nondivergent flow in a barotropic atmosphere // J. Meteorol. 1949. - Vol. 6, N 2. - P. 105-122.

185. Kuo H. Dynamics of quasigeostrophic flows and instability theory // Adv. Appl. Mech. -1973.-Vol. 13.-P. 248-329.

186. Lilly D.K. On the instability of the Ekman boundary layer // J. Atmos. Sci. 1966. - Vol.23. -P. 481-494.

187. Llewllyn-Smith S. Near-inertial oscillation of a barotropic vortex: trapped modes and time evolution // J. Phys. Oceanogr. 1999. - Vol. 29. - P. 747-761.

188. Maslowe S. Weakly nonlinear stability theory of stratified shear flows // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1977. - Vol. 103. - P. 769-783.

189. Mclntyre M.E. On the non-separable parallel flow instability problem // J. Fluid Mech. -1970.-Vol. 40.-P. 273-306.

190. Mechoso C.R. Baroclinic instability of flows along sloping boundaries // J. Atmos. Sci. -1980. Vol. 37, N 6. - P. 1393-1399.

191. Middleton J.F. Energetics of linear geostrophic adjustment // J. Phys. Oceanogr. 1987. -Vol. 17,N6.-P. 735-740.

192. Miles J. W. On the generation of surface waves by shear flows // J. Fluid Mech. 1957.-Vol. 3.-P. 185-204.

193. Miles J.W., Ball F.K. On free-surface oscillations in a rotating paraboloid // J.Fluid Mech. -1963. Vol. 17, Pt 2. - P. 257-266.

194. Miller T., Antor B. Viscous nongeostrophic baroclinic instability // J. Atmos. Sci. 1986. -Vol. 43.-P. 329-338.

195. Montgomery M., Shapiro L. Generalized Charney-Stern and Fjortoft theorem for rapidly rotating vortices // J. Atmos. Sci. 1995. - Vol. 52. - P. 1829-1833.

196. Moroz I., Brindley J. Evolution of baroclinic wave packets in a flow with continuous shear and stratification // Proc. Roy. Soc. Lond. 1981. - Vol. 377A. - P. 379-404.

197. Mu M., Shepherd T., Swenson K. On nonlinear symmetric stability and the nonlinear saturation of symmetric stability // J. Atmos. Sci. 1996. - Vol. 53. - P. 2918-2923.

198. Mu M., Vladimirov V., Wu Yong-Hui. Energy-Casimir and energy-Lagrange methods in the study of nonlinear symmetric stability problems // J. Atmos. Sci. 1999. - Vol. 56. - N 3. -P. 400-411.

199. Mudrick S.E. A numerical study of frontogenesis // J. Atmos. Sci. 1974. - Vol. 31. - P. 869-892.

200. Munk W., Armi L., Fisher K., Zachariasen F. Spirals on the sea // Proc. R. Soc. Lond. -2000. Vol. A456. - P. 1217-1280.

201. Nakamura N. Momentum flux, flows symmetry and the nonlinear barotropic governor // J. Atmos. Sci. 1993.-Vol. 50.-N 14. - P. 2159-2179.

202. Ooyama K. On the stability of the baroclinic circular vortex: a sufficient criterion for instability // J. Atmos. Sci. 1966. Vol. 23, N 1. P. 43-53.

203. Orlanskil. Instability of frontal waves //J. Atmos. Sci. 1968.-Vol. 25. - P. 178-200.

204. Ostdiek V., Blumen W. Deformation frontogenesis: Observations and theory //J. Atmos. Sci. 1995. - Vol. 52. - P. 1487-1500.

205. Ou H.W. Geostrophic adjustment: A mechanism for frontogenesis // J. Phys. Oceanogr. -1984. Vol. 14, N 6. - P. 994-1000.

206. Ou H.W. On the energy conversion during geostrophic adjustment // J.Phys.Oceanogr. -1986. Vol. 16, N 12. - P. 2203-2204.

207. Pan Y., Wu R. Investigation on geostrophic adjustment, frontogenesis and oscillations // Acta Meteor. Sinica. 2001. - Vol. 15, N3. - P. 346-355.

208. Patarashvili K.I., Tsakadze Z.J., Kalashnik M.V., Kakhiani V.O., Chanishvili R.J., Nanobashvili J.I., Zvania R.A. Topographic instability of flow in a rotating fluid // Nonlinear Proc. Geophys. 2006. - Vol. 13. - P. 231-235.

209. Pedlosky J. Finite amplitude baroclinic waves // J. Atmos. Sci. 1970. - Vol. 27. - P. 15-30.

210. Pedlosky J., Geophysical Fluid Dynamics. Springer-Verlag: Berlin and New York, 1987. -710 p.220.221.222.223,224.225.226.227.228,229,230231232233234

211. Peng M., Williams R. Spatial instability of barotropic jet with slow streamwise variation // J. Atmos. Sci. 1986. - Vol. 43, N 2. - P. 2430-2442.

212. Phillips N.A. Energy transformations and meridional circulations associated with simple baroclinic waves in a two-level, quasi-geostrophic model // Tellus. 1954. - Vol. 6, N 3. -P. 273-286.

213. Phillips O. M. On the generation of waves by turbulent wind // J. Fluid Mech. 1957. - Vol. 2.-p. 417-445.

214. Pierrehumbert R., Swenson K. Baroclinic instability // Annu. Rev. Fluid Mech. 1995. -Vol. 27.-P. 419-467.

215. Reddy S.C., Henningson D.S. Energy growth in viscous channel flow // J. Fluid Mech. -1993.-Vol. 252.-P 209-219.

216. Rossby C.-G. On the mutual adjustment of pressure and velocity distribution in simple current systems. I. // J. Mar. Res. 1937. - Vol. 1. - P. 15-28.

217. Salmon R. Baroclinic instability and geostrophic turbulence // Geophys. Astrophys. Fliud Dyn. 1980. -Vol. 15.-P. 167-211.

218. Shen X., Ni Y., Ping Y. On problem of nonlinear symmetric instability in zonal shear flow // Adv. in Atm. Sci. 2001. - Vol. 19, N 2. - P. 350-364.

219. Shutts G.J., Cullen M.J.P. Parcel stability and its relation to semigeostrophic theory // J. Atmos. Sci. 1987. - Vol. 44. - P. 1318-1330.

220. Sinton D., Heise W. Frontal instability in a sheared basic state // J. Atmos. Sci. 1993. -Vol. 50, N 12. - P. 1691-1707.

221. Sommer J., Medvedev S., Plougonven R., Zeitlin V. Singularity formation during relaxation of jets and fronts toward the state of geostrophic equilibrium // Communic. in Nonlinear Sciences and Numeric Simulation. 2003. - Vol. 8. - P. 415-442.

222. Staley P., Adang T., Maier L. Baroclinic instability in a model with shear and static stability adjustable in the meridional plane // J. Atmos. Sci. 1987. - Vol. 44, N 15. - P. 2097-2114.

223. Stegner A., Bouruet-Aubertot P., Pichon T. Nonlinear adjustment of density fronts. Part I. Rossby scenario and experimental reality // J. Fluid Mech. 2004 - Vol. 502. - P. 335-360.

224. Stone P.H. Baroclinic stability under non-hydrostatic conditions // J. Fluid Mech. 1971. — Vol. 45, Pt. 4.-P. 659-671.

225. Stone P.H. On non-geostrophic baroclinic instability. Part II. // J. Atmos. Sci. 1970. - Vol. 27,N5. -P. 721-726.

226. Tevzadze, A.G., Chagelishvili, G.D., Zahn J.-P., Chanishvili R.G., Lominadze J.G. On Hydrodynamic Shear Turbulence in Keplerian Disks: Transient Growth of 3D Small Scale Perturbations // Astron. & Astrophysics.- 2003.- Vol. 408.- P. 779-785.

227. Thacker W.C. Some exact solutions to the nonlinear shallow-water wave equations // J. Fluid Mech. -1981. Vol. 107. - P. 499-508.

228. Trefethen L.N., Trefethen A.E., Reddy S.C., Driscoll T.A. Hydrodynamic stability without eigenvalues//Science. 1993.-Vol. 261.-P. 578-581.

229. Trittion D.J., Davies P.A. Instabilities in geophysical hydrodynamics. In: Hydrodynamic instabilities and the transition to turbulence. Ed. by H.L. Swinney and J.P. Gollub. Berlin Heidelberg New York: Springer-Verlag. 1981.

230. Van Haren H. On the polarization of oscillatory currents in the Bay of Biscay // J. Geophys. Res. 2003. - Vol. 108 (C9). - P. 3290-3293.

231. Visheratin K.N., Kalashnik M.V. Cyclostrophic adjustment and cooling processes in Ranque-vortex tube. International Journal of Low Carbon Technologies. 2007. - Vol. 2, N 1. - P. 10-19.

232. Weber J.E. Symmetric instability of stratified geostrophic flow // Tellus. 1980. - Vol. 32. -P. 176-185.429

233. Williams R.T. Atmospheric frontogenesis: a numerical experiment // J. Atmos. Sci. 1967. -Vol. 24, N4.-P. 627-641.

234. Williams R.T. Numerical simulation of steady-state front // J. Atmos. Sci. 1974. - Vol. 31, N5.-P. 1286-1296.

235. Wu R., Blumen W. Geostrophic adjustment of zero potential vorticity flow initiated by a mass imbalance // J. Phys. Oceanogr. 1995. - Vol. 25. - P. 439-445.

236. Xu Q. Conditional symmetric instability and mesoscale rainbands // Quart. J. Roy. Met. Soc.- 1986.-Vol. 112.-P. 315-334.

237. Xu Q. Generalized energetics for linear and nonlinear symmetric instability // J. Atmos. Sci.- 1986. Vol. 43, N10. - P. 972-984.

238. Xu Q., Gu W., Gao J. Baroclinic Eady wave and fronts. Part I.: Viscous semigeostrophy and the impact of boundary condition // J. Atmos. Sci. 1998. - Vol. 55, N 24. - P. 3598-3615.

239. Zeitlin V., Medvedev S., Plougonven R. Frontal geostrophic adjustment, slow manifold and nonlinear wave phenomena in one-dimensional shallow water. Part 1: Theory // J. Fluid Mech. 2003. - Vol. 481. - P. 269-290.