Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Моделирование булевскими сетями цикла клеточного деления Schizosaccharomyces pombe

ВАК РФ 03.01.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Моделирование булевскими сетями цикла клеточного деления Schizosaccharomyces pombe"

На правах рукописи

Давидич Мария Ивановна

МОДЕЛИРОВАНИЕ БУЛЕВСКИМИ СЕТЯМИ ЦИКЛА КЛЕТОЧНОГО ДЕЛЕНИЯ

зстговл ССНАИОМУСЕБ РОМБЕ

03.01.02 - биофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

4840860

1 7 МАР 2011

Пущино - 2011

4840860

Работа выполнена в Курском государственном университете.

Научный руководитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент,

Постников Евгений Борисович

Официальные оппоненты: докт. физ.-мат. наук, профессор,

Чуев Геннадий Николаевич

докт. физ.-мат. наук, профессор, Романовский Юрий Михайлович

Ведущая организация:

Учреждение Академии наук Институт молекулярной генетики РАН

Защита состоится "ЗСГ марта 2011 г. в 15 часов 30 минут на заседании Совета Д002.093.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Учреждении Российской академии наук Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН по адресу: 142290, Московская область, г. Пущи-но, ул. Институтская 3, ИТЭБ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной библиотеке НЦБИ РАН по адресу: 142290, Московская область, г. Пущяно, ул. Институтская 3, ИТЭБ

РАН.

Автореферат диссертации разослан « 25 >■> Февраля_2011 г.

Ученый секретарь совета,

кандидат физико-математических наук

Н.Ф. Ланина

Общая характеристика работы

Актуальность работы

На сегодняшний день центральная задача системной биологии состоит в создании моделей, которые способны прогнозировать динамику сложных молекулярных взаимодействий, контролирующих функции живых организмов. В качестве примеров развитых текущих проектов, посвященных комплексному математическому моделированию процессов в клетке можно отметить международный проект "Е-се11" (http://www.e-cell.org), "Computational Cell Biology" (http://rapf.biol.vt.edu) и информационно-программную среду "Математическая клетка" Института математических проблем биологии РАН (http: //www.mathcell.ru).

Известно, что функции, управляющие клеточными механизмами, могут быть формализованы на основе построения сетей, задающих генные и метаболические процессы. При этом анализ их динамических свойств на основе классического подхода, базирующегося на системах дифференциальных уравнений, является весьма сложным. Для него требуются обширные данные о биохимических взаимодействиях компонентов, которые, как правило, недоступны в достаточном объеме. Кроме того, решение больших систем жестких дифференциальных уравнений имеет существенную вычислительную сложность.

В то же время, существует подход, преодолевающий данную трудность. Этот подход был впервые предложен в работах С. Кауфмана (S. Kauffman, 1969) и основан на использовании булевских сетей. Он позволяет редуцировать пространство состояний до дискретной совокупности, каждый из элементов которой может принимать только два значения, соответствующих возбужденному и невозбужденному состояниям. При этом взаимодействия подчиняются правилам булевской алгебры. Этот подход наиболее эффективен при моделировании процессов, в которых основную информацию несет последовательность состояний клетки и влияние активности отдельных компонентов на выбор пути развития процесса. Примерами таких процессов являются цикл клеточного деления, апоптоз и дифференциация клеток.

Одними из важных модельных организмов в подобных исследованиях являются различные виды дрожжей, что связано с их относительно полной изученностью с молекулярно-генетической точки зрения. В частности, в 1996 году был расшифрован полностью геном Saccharomyces cerevisiae и позднее, в 2002 - Schizosaccharomyces pombe. Один из важных результатов, полученных в последние годы - построение простой булевской сети, адекватно моделирующей цикл клеточного деления Saccharomyces cerevisiae и всестороннее исследование ее динамической устойчивости.

В то время как Saccharomyces cerevisiae является более старой и изучен-

ной стандартной моделью, исследования Schizosaccharomyces pombe набирают все большую силу. Это связано с тем, что этот организм характеризуется более продолжительной фазой роста, чем у Saccharomyces cerevisiae, и поэтому являемся более удобной моделью для экспериментальных и математических исследований. Schizasaccharomyces pombe представляет особый интерес вследствие наличия большого количества генов-гомологов человеческого генома, в частности, генов, отвечающих различным болезням, таких как диабет, ки-стозный фиброз и гетерохроматин. В настоящее время достигнут определенный прогресс в описании цикла клеточного деления этого организма на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений описывает временную динамику изменения активности белков в ходе реакций фосфорилирования и комплексообразования (работы группы Дж. Тайсона (J. Tyson) и Б. Новака (В. Novak) начиная с 1995г.). Создание таких моделей требует нахождения кинетических констант, точные значения которых неизвестны, и подбор которых очень трудоёмок. Таким образся, создание полной модели клеточного цикла на основе систем дифференциальных уравнений является очень сложной задачей. Поэтому представляется актуальной задача создания булевской сети, моделирующей регуляцию ключевых белков и воспроизводящей правильную последовательность их активации и ингибирования в соответствующих фазах клеточного цикла, основываясь только на простейших экспериментально известных характеристиках.

Цели диссертационной работы Разработка булевских моделей цикла клеточного деления дрожжей Schizosaccharomyces pombe, исследование прогностических возможностей этих моделей по воспроизведению цикла клеточного деления Schizosaccharomyces pombe при нормальной и аномальной активности управляющих белков.

Исследование взаимосвязи моделей, основанных на системах обыкновенных дифференциальных уравнениях и моделей, основанных на булевских сетях. В частности - нахождение математических критериев предельного перехода от континуального описания к дискретному.

Научная новизна Впервые разработана булевская модель цикла клеточного деления дрожжей Schizosaccharomyces pombe, построена исключительно на базе известных взаимодействий активации и ингибирования основных белков, управляющих процессом. Она адекватно воспроизводит последовательность комбинаций активных и неактивных состояний белков для всех стадий цикла деления как для случая нормальной клетки, так и для случая аномального уровня активности управляющих белков.

Впервые обоснована процедура и сформулированы критерии соответствующего предельного перехода от модели, основанной на системе кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях, к модели на основе

булевской сети, воспроизводящей основные регуляторные процессы полного цикла клеточного деления на примере дрожжей БсЫгозасскаготусез ротЬе.

Разработан математический алгоритм и программное обеспечение, позволяющее оптимизировать необходимые компьютерные расчеты по скорости вычислений и удобству представления входной и выходной информации.

Практическая значимость Разработанная булевская модель цикла клеточного деления дрожжей БсЫгозасскаготусез ротЬе может служить инструментом для моделирования гп вШсо процессов клеточной регуляции и прогнозирования результатов воздействия (например, медикаментозного) на цикл деления клетки.

Разработанное программное обеспечение применимо для оптимизированных расчетов, связанных с моделированием динамики больших булевских сетей и визуализации их результатов.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• булевская модель клеточного цикла деления дрожжей БсЫгозасскаготу-сеэ ротЬе, сконструированная на базе известных элементарных взаимодействий активации и ингибирования основных белков, управляющих процессом;

• исследование динамических свойств модели, указывающее, что она воспроизводит нормальный цикл деления клетки ЗсЫгозасскаготусев ротЬе, и подтверждающее гипотезу об устойчивости к малым возмущениям клеточных регуляторных сетей, выдвинутую в 2004 группой авторов во главе с Ф. Ли (Р. 1Л а1) году на основе анализа цикла деления родственного организма - дрожжей Засскаготусеэ сегеотзае;

• воспроизведение особенностей аномальных путей цикла деления клетки для большинства экспериментально наблюдаемых ситуаций потери функций одного, двух и трех белков, а также ряда аномалий, соответствующих повышенной активности управляющих белков;

• процедура предельного перехода от модели", основанной на системе кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях к булевской сети, а также критерии допустимости такого перехода;

• математический алгоритм и программное обеспечение (библиотека программ для МАТЬАВ, совместимая с форматом представления данных программы визуализации больших сетей РАЛЕК), позволяющее эффективно осуществлять моделирование динамики булевских сетей.

Апробация работы Результаты по теме диссертации были доложены на следующих научных конференциях:

* The Eighth International Conference on Systems Biology (ICSB2007), Long Beach, USA, 2007;

» 2rid Netherlands Bioinformatics Conference and 4th International Symposium on Networks in Bioinformatics (NBIC - ISNB). Amsterdam, Netherlands, 2007;

о 71. Jahrestagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises Festkörperphysik. Regensburg, Germany, 2007;

«' Computational and Systems Biology Course at the Centre for Computational and Systems Biology (CoSBi), The Microsoft Research Center, Trento, Italy, 2008;

• 72. Jahr est agüiig der Deutsche Physicalische Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises vFestkörperphysik mit anderen Fachverbänden und den Arbeitskreisen der DPG. Berlin, Germany, 2008.

Помимо этого, результаты работы докладывались на семинарах кафедр статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Института физики Берлинского университета имени Гумбольдта, лаборатории физики сложных систем Института теоретической физики Бременского университета, семинаре по системной биологии университета г. Неймеген (Нидерланды).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах [1-3], 1 государственное свидетельство об отраслевой регистрации разработки библиотеки компьтер-ных программ [4] и 4 тезиса докладов [5-8].

Личный вклад автора Все результаты, изложенные в диссертации, получены либо автором самостоятельно, либо при его основном, непосредственном, активном и творческом участии.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст изложен на 115 страницах, включая таблицы, рисунки и приложение. Список литературы состоит из 104 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований и показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе приводится обзор основных механизмов регуляции цикла клеточного деления, а также подходов к их математическому моделированию.

Молекулярные механизмы, регулирующие биологические процессы в клетках, могут быть представлены в виде регуляторных сетей, которые описывают взаимодействиями между различными сегментами ДНК, РНК, белками, нуклеиновыми кислотами и полисахаридами. Запуск различных управляющих каскадов может быть инициирован как внешними, так и внутренними сигналами.

Построение соответствующих моделей, дискретных или континуальных, включает в себя два основных шага: 1) выделение перечня компонентов и их состояний, существенных для протекания моделируемого процесса, и 2) установление характера взаимодействия между этими компонентами, включая гипотезы о его кинетическом механизме.

В случае континуального описания на языке обыкновенных дифференциальных уравнений, на основе принципов биохимической кинетики формулируется система вида

^ = ад,1<г<п (1)

где х — [XI,..., хп] - вектор значений концентраций белков или экспрессии генов, а ^ - скорости их изменения. Следует отметить, что в этом случае необходимо знание детального механизма взаимодействий. Наиболее часто используются принцип действующих масс, кинетика Михаэлиса-Ментена или Хилла с использованием подгоночных значений элементарных кинетических констант. Для полноты постановки соответствующей задачи Коши система (1) дополняется вектором начальных условий х < 0.

Проблемы, связанные с построением и решением подобных систем ОДУ (см. раздел "Актуальность работы") обусловили развитие альтернативных упрощенных подходов, из которых в настоящее время одним из наиболее перспективных представляется подход на основе булевских сетей. Он состоит в том, что каждый элемент (ген и/или белок) представляется как узел сети и может находиться в двух состояниях 5*, = {0; 1}. Состояние 51, = 1 может интерпретироваться как "транскрибированный" в случае гена или соответствовать активному состоянию белка, то есть тому, что данный белок был фосфорилирован (дефосфорилирован), или просто имеет высокую концентрацию. Состояние = 0 соответствует неактивному состоянию или низкой концентрации белка.

Сеть, состоящая из п элементов (г = 1,2, ..п) в каждый дискретный момент времени £ представляется как вектор состояния

5(0 = (51(4)1...,5Я(4)). (2)

Целиком булевская сеть формирует 7г-размерное пространство состояний 2". Взаимодействия между элементами представляются с помощью связей сети, т.е. направленных ребер графа, задающих логические функции И (процесс

проходит при одновременной активации управляющих компонентов), ИЛИ (для активации целевого узла достаточно одного активного входя из нескольких), НЕ (повышение активности происходит при ингибировании входного управляющего сигнала). Таким образом, все разновидности реакций при использовании данного подхода редуцированы до активации/ингибирования, то есть подход можно использовать на основе более элементарной, известной и доступной экспериментальной информации, чем, например, подход на основе систем дифференциальных уравнений.

В ходе синхронного детерминированного обновления состояния булевской сети следуют определенным траекториям, пока не достигнут таких состояний (аттракторов), которые будут переходить сами в себя (предельных циклов или устойчивых точек). Все начальные состояния системы, приводящие к одному и тому же аттрактору, составляют бассейн притяжения. Еслл малое изменение начальных условий (переключение некоторых состояний с 0 на 1 и наоборот) для отдельных узлов не выводит/выводит систему из бассейна притяжения аттрактора, то последний называется устойчивым/неустойчивым.

Во второй главе представлено построение булевской сети,, описывающей регуляцию цикла клеточного деления дрожжей Schizosaccharomyces pombe. Также представлены разработанный математический алгоритм моделирования соответствующей динамики и анализ полученных результатов.

В качестве базовых биохимических элементов, активным и неактивным состояниям которых сопоставляются булевские элементы, выбраны три группы белков: 1) ферменты, объединенные под общим именем "циклин-зависи-мые киназы" (CDK), управляющие процессом фосфорилирования белков; 2) группа белков - циклинов, которые при реакции с CDK образуют фермент-субстратный комплекс, что является необходимым условием активации ки-наз, а также 3) группа ферментов - комплекс возбуждения анафазы (АРС), регулирующий завершение клеточного цикла путем разделения удвоенных хромосом с одновременным подавлением активности циклинов фазы митоза. Соответствующая булевская сеть, а также биофизическая аннотация ее элементов и функции каждого из элементов представлены на рис. 1.

Итерационное решение, описывающее динамику цикла деления клетки, задается следующим образом:

9 Start

Рис. 1. Булевская сеть, моделирующая деление клетки ЗсМго^асскаготусе^ ротЬе. Черные кружки - узлы, сохраняющие свое состояние, белые - узлы, переходящие в неактивное состояние при отсутствии возбуждения. Сплошние линии - активация, штриховые - ин-гибировалие. Линии соответствуют элементам вектора Т^; петли обозначают элементы вектора (¡^ с соответствующими свойствами.

Биологическая роль узлов сети:

Узел Название белков, их описания и функции.

1. Start Сигнал (масса клетки), активирующий стартовые киназы БК.

2. SK Комплексы циклинов, необходимых для перехода клетки в фазу активного роста.

3. Cdc2 / Cdel3 Cdc2 - циклин-зависимая активирующая киназа (может быть активна только в комплексе с циклином В-типа CdclЗ), контролирующая клеточный цикл эукариотов. Необходима для вхождения в фазу роста и митоз.

4. Ste9 Убиквитин-содержащий белок. Играет роль в дифференциации.

5. Ruml Циклин-зависимая киназа. Регулирует последовательность процессов при росте массы клетки и митозе, действуя как ингибитор Cdc2.

6. Slpl Убиквитин-содержащий белок. Отвечает за продолжение клеточного цикла после полного восстановления ДНК.

7. Tyr-15 Мономер полимерной молекулы Cdc2.

8. Mikl / Weel Комплекс киназ, контролирующих выход в митоз в качестве отрицательного регулятора С2/М перехода.

9. Cdc25 Белок, работающий в качестве индуктора в контроле митоза.

10. PP Предположительно, фосфорилированный белок С1р1р, который обеспечивает корректный выход из митоза.

Таблица 1. Бассейны притяжения аттракторов сети, представленной на рис. 1

Состояния устойчивых точек 36 68 ТО 74 78 100

Бассейны притяжения (абсолютное значение), и> 68 22 7 17 5 393

Бассейны притяжения (относительное значение), % 13.3 4.3 1.3 3.4 1.0 76.7

где использованы функции знака числа и Хэвисайда:

( * > Г 1 х > О

[ -1, х<0, [и, хъ и-

Мгярица связей Тцс и пороговый вектор определяют правила перехода между состояниями, в соответствии со следующими условиями: 1) возбужденный г-й узел может сохранять свое состояние неопределенно долго (в этом случае соответствующий диагональный элемент Тц = 1) или же 2) самоподавляется в отсутствии внешнего возбуждения на следующем шаге {Тц ==0)3) на каждом шаге имеет'место самовозбуждение узла. Последнее может соответствовать биохимическому процессу производства соответствующего вещества. Частным случаем такой ситуации является наличие постоянного активирующего узла., действующего только на данный и не имеющего ингибирукмцих входов от остальных узлов рассматриваемой сети. Такой процесс задается величиной <3; = 1. Этот выбор обеспечивает подавление узла только :зри поступлении в него ингибирующего воздействия. 4) Взаимодействие узлов сети описывается заданием недиагональных элементов Тц., г ф к и В том случае, если узел с номером i активируется (подавляется) узлом с номером к или соответствующее воздействие осуществляется совокупностью входов активных узлов к, объединенных логическим оператором ИЛИ, то — 1 (Т^ = -1). Если же возбуждение (подавление) узла осуществляется только при подаче на него нескольких активирующих (ингибирующих) сигналов, объединенных логическим оператором И, то необходимо дополнительное введение элемента вектора = — + 1 (<3; — ~ 1)> гДе индекс 3

пробегает все значения, соответствующие узлам, действующим на данный.

Использование такой формы правила обновления узлов (3) имеет ряд вычислительных преимуществ. В частности, она позволяет использовать быстрые и экономичные по затратам памяти алгоритмы для работы с разреженными матрицами, а так же обладает высокой совместимостью с представлением структур« сети в формате стандартной программы обработки и визуализации РАЛ*К.

Так как каждое состояние сети может быть представлено как десятиразрядное двоичное число, то для визуализации и анализа результатов предло-

Рис. 2. Эволюция состояний булевской сети, представленной на рис. 1: а) траектории состояний при всех возможных начальных условиях; Ь) распределение конечных состояний; с) число состояний в ходе эволюции.

жено маркировать состояния соответствующими числами в десятичной записи. Например, состоянию нормального начала клеточного цикла ("биологическому начальному состоянию") соответствуют единичные состояния узлов 1 (Start), 4 (Ste9), 5 (Ruml). 8 (Mikl/Weel), остальные - нулевые, что можно представить в виде двоичного числа 1001100100 (совокупности нулей и единиц задают состояния узлов в порядке слева направо, в соответствии с нумерацией в таблице в подписи к рис. 1). Показано, что модель адекватно воспроизводит основные биологические особенности исследуемого процесса. А именно, последовательность состояний, рассчитанных при указанных выше начальных условиях, полностью соответствует последовательности экспериментально известных комбинаций активных и неактивных форм выбранных регулирующих белков при нормальном протекании деления.

На рис. 2 приведено графическое представление результатов моделирования динамики описанной булевской сети при всей возможной совокупности сочетаний активных и неактивных узлов после активации стартового (то есть состояниях от 513 до 1023, выбранны в качестве начальных условий). Видно (рис. 2а), что траектории уже за 9 итераций приходят в набор

Рис. 3- Последовательность активации узлоз в случае нормального цикла деления и при подавленной активности VVee и/или Cdc25. Черный/белый цвет отвечает активно-му/неактизному состоянию соответственно.

из шести-стационарных точек. На рис. 2Ь изображены абсолютные значения мощности бассейнов притяжения каждой из этих стационарных точек, т.е. количество начальных состояний, при задании которых система приходит в данное устойчивое состояние (см. численные значения в табл. 1). Видно, что наибольшее количество начальных состояний приводит к конечному состоянию 100, которое отличается от биологически корректного исходного условия (612) неактивным узлом Start, включение которого запускает новый цикл деления. На рис. 2с представлена зависимость количества возможных состояний сети в ходе итераций, начиная с максимально возможного sia6opa в 512 состояний. Сжатие множества возможных состояний происходит весьма быстро, в частности, на первых четырех шагах оно с большой точностью удовлетворяет степенному закону N ос W2-25. Такое поведение говорит о высокой степени глобальной устойчивости сети, отвечающей циклу клеточного деления Schizosaccharomyces pombe, которое отмечалось ранее также и для другого вида дрожжей, Sacch.arom.yces cerevisiae, и служит подтверждением гипотезы о том, что глобальная устойчивость является неотъемлемым свойством клеточных систем.

В третьей главе па основе булевской сети проведено математическое моделирование цикла клеточного деления Schizosaccharomyces pombe для случаев аномальной активности ряда управляющих белков: потери функции белка и его сверхактивности. Причинами таких аномалий могут выступать, например, мутации кодирующего гена, воздействия, температуры или химических веществ. Для того, чтобы учесть возможно большее количество аномалий, булевская модель, рассмотренная во второй .главе, была модифицирована: вместо представления стартовых киназ в виде одного узла, было введено раширение модели путем рассмотрения трех стартовых киназ в виде отдельных узлов.

Первая группа промоделированных аномалий связана с потерей активности регуляторов комплекса Cdc2/CdclZ: Wee, Cdc2b, Ruml, Slpl и Ste9. Полная потеря активности соответствующих управляющих узлов моделировалась их удалением, а повышенная активность была представлена следующим образом: узел, соответствующий белку, который характеризуется повышенной активностью, получал постоянную подкачку - активирующий сигнал.

На рис. 3 представлен ряд временных эволюции состояний узлов при аномальном процессе деления, а также, для сравнения - при нормальном. Показано, что данные результаты соответствуют экспериментально наблюдаемым. В частности, в случае отсутствия Wee (WeeА) при мутации соответствующего гена клетка входит в фазу митоза, обладая меньшим размером, но остается жизнеспособной. При двойном повреждении RumlAWeeA или Ste9AWeeA клетки делятся слишком быстро и у них не хватает времени для роста, что приводит к их гибели. В случае повышенной экспрессии Wee клетка остается жизнеспособной. Sip 1А соответствует летальной мутации кодирующего данный белок гена, которая не дает клетке войти в фазу митоза. При этой мутации эволюция белков вначале совпадает с нормальным течением цикла, но затем останавливается в устойчивом неподвижном состоянии, соответствующей биологически фазе G2.

Аномалии активности стартовых киназ Cigl/Cdc2, Cig2/Cdc2, Pucl/Cdc2 влияют только на продолжительность фазы G1, которая протекает дольше. Таким образом, в случае Сгд 1Л, Cig2A, Pud А, а также их сосуществующих двойных и тройных комбинаций Cig\ACig2A, CiglAPucLA, Cig2APuclA, CiglACig2APuclA клетки остаются жизнеспособными. Результаты моделирования, представленные на рис. 4, соответствуют такому поведению, подтвержденному известными экспериментальными данными.

Таким образом, построенная усовершенствованная булевская модель воспроизводит биологическую последовательность этапов цикла деления клетки, как для нормального течения процесса, так и для случаев аномальной активности белков. Было рассмотрено всего 30 различных вариантов аномалий, что составляет 70% от экспериментально известных к настоящему времени

Рис, 4. Последовательность активации узлов в случае нормального цикла деления и при аномальной активности стартовых киназ. Черный/белый цвет обозначает активное/неактивное состояние соответственно.

мутаций в рамках белков, рассмотренных в модели. Промоделированные му- 1 тации £!ключа.ют в себя как большое количество одиночных, так и двойных и тройных аномалий, приводящих к потере функции белка, а также некоторые варианты повышенной активности. |

В четвертой главе исследуется соответствие между подходами к математическому моделированию процесса клеточного деления на основе булев- | ских сетей и систем обыкновенных дифференциальных уравнений фермета-тивной кинетики. Приводится общее математическое обоснование предельно- | го перехода к булевским сетям от систем уравнений биохимической кинетики на примере клеточного цикла БсЫгозасскаготусев ротЬе. Так же показывает- ! ся, что булевская сеть, получаемая при таком переходе, сохраняет свойства системы ОДУ в рамках модели Тайсона-Новака (рис. 5):

о.]СУс13т1] = +к^.е91] + к"'{31р11})[Сс1с13Т1] (4)

си

Рис. 5. Модель Тайсона-Новака регуляции клеточного деления ВсЫговасАаготусег ротЬе.

¿¡ргеМРЪ3 = к^Мк»[Са[сит1] _ 1ргеМРР1]) _ С5)

~(к25к'^\ргеМРР1] -к'2 + к'^е^} + +к'£[81р11})\ргеМРР1}

- (6)

~1Г~ ~ + Ы Р п] { )

—¿Г ~ + [5/Р1п] - [Яри! " «^8 + №1г] ~ (8)

- ^[МР^] + к,[1т] - + (9)

= А:п-(&г2-/:'12[5Л:1] + &;'2[МР^])(Дпт1п] (10)

= АиМ-МВД (П)

— = ^ (12)

rm]

G(ki5M, k'16 + k"6[MPFi], J15, J16 кwee i^wee ~ ktt,ee)G(VaTOee, i Jaweei Ji

На + (*£> - ^25)G{Va2b[MPFi], Vi25, Ja25, Ji25)

(13) 0(14) (15)

fc,

[MPFi]

Trimer

(ky,{Cdcl3Ti] - k'yfyreMPFx}) ([fc17[Cdcl3n]) (k'£[Cdcl3Ti] - k'{7[Trimer] X k$[Cde 13n]

fcis [Cdcl З74] \RumlTi]

(16)

(17)

(18)

a

(T+ yjo"1 - /c'18[(7dcl3n][/îuml'n] k[9[Cdcl3T1] + k"9[RumlT1] + I<diss

где использована функция Гольдбетера-Кошланда, имеющая вид:

G(a, 6, с, d) =

2ad

(19)

b-a + bc + ad + л/(Ь-а + Ьс + ad)2 - 4ad(b - a)

Рассматриваемая в данной работе последовательная процедуры перехода между моделями состоит в двух шагах: сначала переход от непрерывных переменных к дискретным состояниям, а затем построение логических функций, ответственных за динамику.

Fia первом этапе кинетические константы исходных дифференциальных уравнений масштабируются таким образом, чтобы соответствующие решения принимали значения между 0 (полностью неактивен) и 1 (максимально активен).

Затем г.:роводится отображение непрерывных решений системы ОДУ в дискретные состояния булевской сети, которые идентифицируются с последовательностью стационарных решений ОДУ.

Ряд переменных (Ste9, Slpl, IEP) в стационарных состояниях описываются функциями Гольдбетера-Кошланда. Характерным свойством этих функций является то, что в зависимости от параметров они принимают одно из двух граничных состояний, соответствующих высокой или низкой концентрациям. При малом значении параметров cud область перехода между ними достаточно мала. В работе приведено строгое математическое доказательство того, что при с -> 0, d —У 0 функция Гольдбетера-Кошланда переходит в функцию Хэвисайда в (а — Ь). Таким образом, в данном пределе переменная а играет роль активаторного входа, а переменная b - ингибиторного. Выход активен/неактивен (его булевское значение соответствует 1/0), если суммарное значение активаторного входа больше/меньше, чем суммарное значение ингибиторного входа. Поэтому мы можем легко аппроксимировать решения соответствующих уравнений бинарными переменными.

Рис. 6. Булевская сеть, соответствующая системе дифференциальных уравнений (4) - (18). Сплошные линии соответствует ативационному взаимодействию, штриховые - ингибитор-ному.

Кроме того, три алгебраических уравнения (13), kwee (14) и /С25 (15) содержат функции Гольдбетера-Кошланда изначально. Для этих переменных двум их предельным состояниям также могут быть поставлены в соответствие булевские переменные.

Далее, упростим поведение переменных Сйс\Ът, preMPF, и Rumlr-Для упрощения описания динамики переменных СйсУЗт, preMPF, и Rumlr произведено пренебрежение деталями перехода между предельными стационарными состояниями в соответствии с гипотезой Гласса (Glass, 1973). Это позволит в нам в конечном итоге перейти к булевским переменным.

Для того, чтобы такая замена была правомочна, необходимо соблюдение следующих требований для исходных уравнений: 1) В малой окрестности точки переключения поведение функции может быть апроксимировано зависимостью, представляющей собой экспоненцигльный рост; 2) на больших интервалах у уравнения должно быть стационарное решение с резкими переходами между двумя предельными стационарными состояниями; 3) функция - решение стремится к функции Хевисайда в результате предельного перехода.

Показано, что динамика Михаэлиса-Ментен

¿X , 1-Х , X

удовлетворяет этим требованиям, т.к. разложение (20) в окрестности точки переключения, где X « « 1 с сохранением членов первого порядка

является стандартным дифференциальным уравнением экспоненциального роста/падения. Это позволяет представить уравнение экспоненциального роста как разложение (21) в окрестности точки переключения, т.е. удовлетворить условию 2. Так как стационарные состояния (20) описываются функцией Гольдбетера-Кошланда, то выполнено и условие 3.

Оставшиеся переменные MPF и М не могут быть описаны в рамках этого формализма, так как для комплекса МРР характерны три состояния: когда МРР выключен, имеет среднюю или высокую активность. Поэтому введены две булевские переменные МРР и МРР2. Первая активируется посредством Сйс\Ъ. Для активации другой переменной, МРР2, необходима активация низкого уровня МРР, при этом узел ргеМРР должен быть неактивен.

Клеточная масса М играет особую роль в системе дифференциальных уравнений Т'айсона-Новака, а именно, выступает в роли независимой переменной, которая взаимно-однозначно отвечает за течение времени в системе и управляет эволюцией Сйс13 и ТР. Критерием завершения клеточного цикла служит деление массы пополам, при этом момент этого деления определяется по мониторингу других переменных. Момент, когда они достигают определенных значений, служит сигналом окончания клеточного цикла. Текущее значение М "вручную" делится пополам, так как известно, что в конце митоза клетка делится на две дочерние клетки примерно одинаковой массы. После этого М вновь продолжает свой, экспоненциальный рост.

Следуя данной стратегии, в булевской модели выделяются два принципиально разных значения клеточной массы -Ми 2М. Значение М выступает в качестве триггера для серии переключений в начале клеточного цикла, в то время как 2М играет роль индикатора конца клеточного цикла. Соответственно, 2М и М меняют уровень своей активности в конце митоза, когда 5/р1, 5£е9, и 1ЕР находятся в состоянии высокой концентрации.

Результирующая булевская модель может быть представлена в виде сети, представленной на рис. 6. В данной дискретной системе больше не содержится информации о непрерывном течении времени. Её заменила последовательность событий переключений, вычисляемых итеративным решением данной системы.

Таблица 2. Временная эволюция последовательности активации белков для цикла нормального клеточного деления, описываемого сетью на рис. 6.

Итерация СЛс 13Г ргеМРЯ1 МРР\ МРП к2ь м Б1р1 5<е9 ТР 4'Я' гм [ЕР Яит1

1 0 0 0 0 0 1 0 : 1 а 0 1 1 1

2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1

а 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1

4 0 0 0 о 0 1 1 а 0 1 1 0 а 0

5 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0

6 1 1 1 0 0 1 1 с- а 1 1 а 0 0

7 1 1 1 а 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0

8 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 а 0

9 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 а

10 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0

11 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

12 0 0 1 1 1 0 1 1 0 а 0 а 1 0

13 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

14 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1

Временная эволюция состояний белков для данной булевской сети представлена в таблице 2. Сравнение с результатами, полученными группой Тай-сона-Новака, показывает, что данная последовательность переключений совпадает с последовательностью максимумов и минимумов переменных, входящих в систему (4) - (18).

Конечное состояние соответствует стабильному стационарному состоянию системы. Сравнивая начальное и конечное состояния, мы видим, что они идентичны, за исключением значений активности узлов М и 2М. Обновление узлов М и 2М, не меняя состояния остальных узлов, служит стартом для нового цикла клеточного деления. Такое зацикливание модели аналогично реализации в модели ОДУ.

В качестве еще одного теста сопоставимости моделей на основе системы ОДУ и на основе булевской сети, полученной редукцией системы ОДУ, был проведен расчет эволюции состояний булевской модели, соответствующих всему множеству 215 возможных начальных состояний. В результате, в 67% всех возможных начальных условий система приходит к одному и тому же аттрактору, соответствующему нормальному циклу клеточного деления. Это подтверждает вывод об устойчивости сети, соответствующей базовой регуляции цикла деления клетки.

Таким образом, можно констатировать, что возможен переход от дифференциальных уравнений к булевской модели, для достаточно широкого класса систем, что подтверждает гипотезу Гласса.

В Заключении сформулированы основные выводы по результатам диссертационной работы:

1. На примере моделирования цикла клеточного деления дрожжей ЗсЫго-засскаготусев ротЪе продемонстрировано, что минималистический булевский подход может быть использован для построения прогнозирующих моделей, которые способны воспроизводить последовательность

Е-ктивации белков без дополнительных требований, связанных с точными значениями кинетических констант.

2. На основе известной топологии связей биохимических реакций, регулирующих цикл клеточного деления дрожжей Schizosaccharomyces pombe, построена булевская модель, адекватно воспроизводящая последовательность активности регуляторных белков в ходе нормально протекающего клеточного цикла.

3. Показано, что данная булевская модель воспроизводит также 30 типов аномальной активности, что соответсвует 70% известных мутаций, нарушающих работу белков, включенных в модель.

4. Показан и обоснован переход от модели взаимодействия белков, осно-веиной на кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях, к булевской сетевой модели.

5. На примере ОДУ модели Тайсона-Новака клеточного цикла деления дрожжей Schizosaccharomyces pombe показано взаимное соответствие результатов модели ОДУ и выведенной из неё булевской сети.

В Приложении приведено техническое описание и программный код разработанной библиотеке программ для моделирования динамики булевских сетей в MATLAB и интерфейса взаимодействия с системой визуализации PAJEE.

Список публикаций

1. Давидич М.И., Постников Е.Б. Булевская модель цикла деления клетки дрожжей Schizosaccharomyces pornba динамика в случае нормальных и возмущенных начальных условий // Математическая биология и биоинформатика. 2007. Т. 2. С. 375-384.

2. Davidich М., Bornholdt S. Boolean Network Model Predicts Cell Cycle Sequence of Fission Yeast // PLoS ONE. 2008. Vol. 3. P. el672.

3. Davidich M., Bornholdt S. The transition from differential equations to Boolean networks: A case study in simplifying a regulatory network model // Journal of Theoretical Biology. 2008. Vol. 253. Pp. 269-277.

4. Постников Е.Б., Давидич М.И. Библиотека программ MATLAB-PAJEK для работы с булевскими сетями // Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8934 от 20.08.2007 Отраслевого фонда алгоритмов и программ (ОФАП).

5. Davidich М., Bornholdt S. Robustness of the fission yeast cell cycle // The Eighth International Conference on Systems Biology (ICSB2007), October 1-7. Long Beach, USA: 2007. P. 42.

6. Davidich M., Bornholdt S. How general is the Boolean network approach for predictive models? A case study of the yeast cell-cycle // 2nd Netherlands Bioinformatics Conference and 4th International Symposium on Networks in Bioinformatics (NBIC - ISNB). April, 16-19. Amsterdam, Netherlands: 2007. P. 35.

7. Davidich M., Bornholdt S. How general is the Boolean network approach for predictive models? A case study of the yeast cell-cycle // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. 2007. Vol. 42, no. 4. P. 81.

8. Davidich M., Bornholdt S. Boolean Model of Fission Yeast Cell Cycle Predicts Mutations // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. 2008. Vol. 43, no. 1. P. 54.

Давидич Мария Ивановна

МОДЕЛИРОВАНИЕ БУЛЕВСКИМИ СЕТЯМИ ЦИКЛА КЛЕТОЧНОГО ДЕЛЕНИЯ SCHIZOSACCHAROMYCES POMBE

Автореферат

Подписано в печать 22.02.2010 г. Формат 60x84/16 Бумага офсетная. Печать офсетная Тираж 100. Заказ №2363

Изд-во Курского государственного университета _305000, г. Курск, ул. Радищева, д. 33_

Отпечатано в лаборатории информационно-методического обеспечения КГУ

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Давидич, Мария Ивановна

Введение

Глава 1. Основные подходы к моделированию биологических регуляторных сетей

1.1. Основные биологические принципы клеточной регуляции

1.2. Принципы построения математических моделей регуляторных сетей

1.3. Булевские сети.

1.4. Булевские сети в системной биологии.

Глава 2. Булевская модель нормального цикла клеточного деления дрожжей.

2.1. Клеточный цикл дрожжей

2.2. Основные узлы, регулирующие процесс деления.

2.3. Динамическая булевская модель.

2.4. Результаты моделирования нормального цикла деления клетки

2.5. Влияние малых возмущений начальных условий.

2.6. Обсуждение и выводы по главе

Глава 3. Булевская модель цикла клеточного деления дрожжей при аномальной активности управляющих белков

3.1. Введение: булевский подход к описанию мутации генов и аномальной активности управляющих белков

3.2. Раширенная булевская модель клеточного цикла 5. РотЬе

3.3. Булевское моделирование аномальной активности управляющих белков.

3.4. Обсуждение и выводы но главе

Глава 4. Взаимосвязь подходов к моделированию клеточного цикла на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений и булевских сетей

4.1. Введение: ОДУ модель Тайсона-Новака.

4.2. Стационарные состояния системы ОДУ.

4.3. Переход к логическим булевским функциям

4.4. Полная модель, редуцированная к булевской сети.

4.5. Результаты численного моделирования динамики модели, редуцированной к булевской сети.

4.6. Обсуждение и выводы по главе

Введение Диссертация по биологии, на тему "Моделирование булевскими сетями цикла клеточного деления Schizosaccharomyces pombe"

Актуальность работы

На сегодняшний день центральная задача системной биологии состоит в создании моделей, которые способны прогнозировать динамику сложных молекулярных взаимодействий, контролирующих функции живых организмов. В качестве примеров развитых текущих проектов, посвященных комплексному математическому моделированию процессов в клетке; можно отметить международный проект "Е-се1Г (http://www.e-cell.org). "Computational Cell Biology" (http://mpf.biol.vt.edu) и информационно-программную среду "Математическая клетка" Института математических проблем биологии РАН (http://www.mathcell.ni).

Известно, что функции, управляющие клеточными механизмами, могут быть формализованы на основе построения сотой, задающих генные и метаболические процессы. При этом анализ их динамических свойств на основе классического подхода, базирующегося на системах дифференциальных уравнений. является весьма сложным. Для него требуются обширные данные о биохимических взаимодействиях компонентов, которые, как правило, недоступны в достаточном объеме. Кроме того, решение больших систем жестких дифференциальных уравнений имеет существенную вычислительную сложность.

В то же время, существует подход, преодолевающий данную трудность. Этот подход был впервые предложен в работах С. Кауфмана [1| и основан на использовании булевских сетей. Он позволяет редуцировать пространство состояний до дискретной совокупности, каждый из элементов которой может принимать только два значения, соответствующих возбужденному и невозбужденному состояниям. При этом взаимодействия подчиняются правилам булевской алгебры. Этот подход наиболее эффективен при моделировании процессов, в которых основную информацию несет последовательность состояний клетки и влияние активности отдельных компонентов на выбор пути развития процесса. Примерами таких процессов являются цикл клеточного деления [2, 3], апонтоз и дифференциация клеток [4].

Одними из важных модельных организмов в подобных исследованиях являются различные виды дрожжей, что связано с их относительно полной изученностью с молекулярно-генетической точки зрения. В частности, в 1996 году был расшифрован полностью геном Засскаготусев евгетзгае и позднее, в 2002 - ЗсЫгон а ссЛ ато ту се я pow.be. Один из важных результатов, полученных в последние годы построение булевской сети, адекватно моделирующей цик л клеточного деления За сс к а ? п гп у ссн сегетнгае и всестороннее исследование ее динамической устойчивости [2, 3].

В то время как Засскаготуссз сегеьг.чгае является более старой и изученной стандартной моделью, исследования всЫговасскаготуссз ротЬе набирают все большую силу. Это связано с тем, что этот организм характеризуется более продолжительной фазой роста, чем у ЗассИаготусез сегеь'шае. и поэтому является более удобной моделью для экспериментальных и математических исследований. всЫгояиссЛаготусев ротЬс представляет особый интерес вследствие наличия большого количества генов-гомологов человеческого генома, в частности, генов, отвечающих различным болезням, таких как диабет, кистоз-ный фиброз и гетерохроматин. В настоящее время достигнут определенный прогресс в описании цикла клеточного деления этого организма с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Система дифференциальных уравнений описывает временную динамику изменения активности белков в ходе реакций фосфорилирования и комплексообразования (работы группы Дж. Тай сон а [5] и Б. Новака [6]).

Создание таких моделей требует нахождения кинетических констант, точные значения которых неизвестны, и подбор которых очень трудоёмок.

Таким образом, создание полной модели клеточного цикла на основе систем дифференциальных уравнений является очень сложной задачей. Поэтому представляется актуальной задача создания булевской сети, моделирующей регуляцию ключевых белков и воспроизводящей правильную последовательность их активации и ингибирования в соответствующих фазах клеточного цикла, основываясь только на простейших экспериментально известных характеристиках.

Цели диссертационной работы Разработка булевских моделей цикла клеточного деления дрожжей Б с Ш г о в а с с Ь, а го г г I у с с я ротЪе. исследование прогностических возможностей этих моделей по воспроизведению цикла клеточного деления Зскгго.часскаготусез ротЬв при нормальной и аномальной активности управляющих белков.

Исследование; взаимосвязи моделей, основанных на системах обыкновенных дифференциальных уравнениях и моделей, основанных на булевских сетях. В частности нахождение математических критериев предельного перехода от континуального описания к дискретному.

Научная новизна Впервые разработана булевская модель цикла клеточного деления дрожжей ЗсЫговассМаготусез ротЬе. построена исключительно на базе известных взаимодействий активации и ингибирования основных белков, управляющих процессом. Она адекватно воспроизводит последовательность комбинаций активных и неактивных состояний белков для всех стадий цикла деления как для случая нормальной клетки, так и для случая аномального уровня активности управляющих белков.

Впервые обоснована процедура и сформулированы критерии соответствующего предельного перехода от модели, основанной на системе кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях, к модели на основе булевской сети, воспроизводящей основные регуляторные процессы полного цикла клеточного деления на примере дрожжей век гго я а ссЬ, ато ту сея ротЬе.

Разработан математический алгоритм и программное обеспечение, позволяющее оптимизировать необходимые компьютерные расчеты по скорости вычислений и удобству представления входной и выходной информации.

Практическая значимость Разработанная булевская модель цикла клеточного деления дрожжей век г г о я а с с Ь, отогну с е 8 ротпЬе может служить инструментом для моделирования гп зйгео процессов клеточной регуляции и прогнозирования результатов воздействия (например, медикаментозного) на цикл деления клетки.

Разработанное программное обеспечение применимо для оптимизированных расчетов, связанных с моделированием динамики больших булевских сетей и визуализации их результатов.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• булевская модель клеточного цикла деления дрожжей ЗсЫгозассКаготу-се.ч ротЬс. сконструированная на базе известных элементарных взаимодействий активации и ингибирования основных белков, управляющих процессом;

• исследование динамических свойств модели, указывающее, что она воспроизводит нормальный цикл деления клетки всМгозасскаготусев ротЬе, и подтверждающее гипотезу об устойчивости к малым возмущениям клеточных регуляторных сетей, выдвинутую в 2004 году группой авторов во главе с Ф. Ли [3] на основе анализа цикла деления родственного организма дрожжей васхНаготусея сегелляае,

• воспроизведение особенностей аномальных путей цикла деления клетки для большинства экспериментально наблюдаемых ситуаций потери функций одного, двух и трех белков, а также ряда аномалий, соответствующих повышенной активности управляющих белков;

• процедура предельного перехода от модели, основанной на системе кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях к булевской сети, а также критерии допустимости такого перехода;

• математический алгоритм и программное обеспечение (библиотека программ для MATLAB. совместимая с форматом представления данных программы визуализации больших сетей PAJEK), позволяющее эффективно осуществлять моделирование динамики булевских сетей.

Апробация работы Результаты по теме диссертации были доложены на следующих научных конференциях:

• The Eighth International Conference on Systems Biology (ICSB2007), Long Beach, USA. 2007;

• 2nd Netherlands Bioinformatics Conference and 4th International Symposium on Networks in Bioinformatics (NBIC - ISNB). Amsterdam. Netherlands, 2007:

• 71. Jahrestagung der Deutschen Physikalischen Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises Festkörperphysik. Regensburg. Germany, 2007:

• Computational and Systems Biology Course at the; Centre for Computational and Systems Biology (CoSBi), The Microsoft Research Center. Trento, Italy, 2008;

• 72. Jahrestagung der Deutsche Physicalische Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises vFestkörperphysik mit anderen Fachverbänden und den Arbeitskreisen der DPG. Berlin. Germany, 2008.

Помимо этого, результаты работы докладывались на семинарах кафедр статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов

Института, физики Берлинского университета имени Гумбольдта, лаборатории физики сложных систем Института теоретической физики Бременского университета, семинаре по системной биологии университета г. Неймеген (Нидерланды).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах. из них 3 статьи в рецензируемых журналах [7 9]. 1 государственное свидетельство об отраслевой регистрации разработки библиотеки компьтер-ных программ [10] и 4 тезиса докладов [11 14].

Личный вклад автора Все результаты, изложенные в диссертации, получены либо автором самостоятельно, либо при его основном, непосредственном. активном и творческом участии.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст изложен на 115 страницах, включая таблицы. рисунки и приложение. Список литературы состоит из 104 наименований.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Давидич, Мария Ивановна

Выводы

1. На примере моделирования цикла клеточного деления дрожжей всЫхо-зассНаготусеа ротЬе продемонстрировано, что минималистический булевский подход может быть использован для построения прогнозирующих моделей, которые способны воспроизводить последовательность активации белков без дополнительных требований, связанных с точными значениями кинетических констант.

2. На основе известной топологии связей биохимических реакций, регулирующих цикл клеточного деления дрожжей ScMzosaccharomyc.es ротЬс, построена булевская модель, адекватно воспроизводящая последовательность активности регуляторных белков в ходе нормально протекающего клеточного цикла.

3. Показано, что данная булевская модель воспроизводит также 30 типов аномальной активности белков, что соответствует 70% известных мутаций, нарушающих работу белков, включенных в модель.

4. Показан и обоснован переход от модели взаимодействия белков, основанной на кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях, к булевской сетевой модели.

5. На примере ОДУ модели Тайсона-Новака клеточного цикла деления дрожжей Schizosaccharomyces pombeпоказано взаимное соответствие зультатов модели ОДУ и выведенной из неё булевской сети.

Заключение

Генные и белковые регуляторные сети управляют всеми функциями в клетках и имеют сложную структуру. Предсказания динамики этих сетей является центральной задачей системной биологии. Хотя на сегодняшний день создание моделей для всего организма в целом все еще недостижимо, уже существуют успешные модели для отдельных молекулярных сетей живых клеток, что и является основным предметом активных исследований на сегодняшний день.

В данной работе; показано, что минималистический булевский подход может быть использован для построения прогнозирующих моделей, которые способны воспроизводить последовательность активации белков. При этом для построения таких моделей не требуется нахождения точных значений кинетических констант.

Это успешно продемонстрировано на примере моделирования цикла клеточного деления дрожжей ЗсЫгояассНаготусея ротЬе. Булевская модель, построенная исключительно на основе известной топологии связей биохимических реакций, адекватно воспроизводит последовательность активности регу-ляторных белков в клеточном цикле. Динамические свойства модели показывают, что соответствующая биологическая динамическая последовательность устойчива но отношению к возмущениям начальных условий.

Таким образом, биологически-реализуемая регуляторная последовательность представляет собой притягивающую траекторию, поэтому отклонение процесса от биологически корректного пути маловероятно. Соответствующее стационарное состояние, отвечающее началу фазы 01 в ожидании сигнала к началу деления, является доминантным аттрактором в пространстве состояний.

Реалистичность модели была протестирована также исследованием воспроизводимости экспериментально известных откликов на аномальную активность управляющих белков (потеря функции белка, а также еверхактив-ность). Построенная модель воспроизводит 30 типов аномальной активности белков, что составляет 70% известных мутаций, нарушающих работу белков, включенных в модель. Для сравнения, существующие на сегодняшний день модели, основанные на ОДУ, были протестированы только для 22 типов аномальных активностей белков. Таким образом, можно заключить, что модель успешно воспроизводит не только нормальный цикл клеточного деления дрожжей ЗсЫгозасскатогпусе.ч ротпЬе. но и основные механизмы процесса нарушения нормального цикла.

В работе также показан и обоснован переход от модели взаимодействия белков, основанной на кинетических обыкновенных дифференциальных уравнениях, к булевской сетевой модели. На примере модели Тайсона-Новака клеточного цикла деления дрожжей ЗсМгояасхНаготпусез ротЬе было показано взаимное соответствие результатов модели ОДУ и выведенной из неё булевской сети.

Таким образом, на примере клеточного цикла дрожжей ЗсЫгояасеАаготу-сен ротЬе продемонстрировано, что булевский подход может являться эффективным методом оценки наличия у исследуемой динамической системы аттракторов и ключевой последовательности квазистационарных состояний. Кроме, того, булевский подход может служить стартовым шагом при отборе моделей на основе ОДУ и, тем самым, облегчать последующего детальное моделирование временной эволюции исследуемой динамической системы в условиях недостатка информации о кинетических константах взаимодействия.

Результаты представленной работы, в которой сложное биохимическое поведение моделируется на основе использования очень простых пороговых правил активации, могут служить отправной точкой для построения более сложных моделей, включающих более широкий набор управляющих белков или/и генов). Этому также способствует предложенный математический алгоритм описания и расчета, предоставляющий существенные упрощения но структуре модели и использованию вычислительных ресурсов по сравнению с использовавшимися к настоящему времени методами обработки булевских сетей.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Давидич, Мария Ивановна, Курск

1. Kauffmann S. A. Mctabolic stability and epigenesis in randomly constructed ' genetic nets // J. Theor. Biol. 2269. Vol. 19. Pp. 437 467.

2. Faure A., Naldi A., Chaouiya C., Thieffry D. Dynamical analysis of a generic Boolean model for the control of the mammalian cell cycle // Bioinformatics. 2006. Vol. 22. Pp. 124 131.

3. Li F. Long Т. Lu Y. et al. The yeast cell-cycle network is robustly designed // PNAS. 2004. Vol. 101. Pp. 4781 4786.

4. Albert R., Othmer H. G. The topology of the regulatory interactions predicts the expression pattern of the Drosophila segment polarity genes // J. Theor. Biol. 2003. Vol. 223. Pp. 1 18.

5. Tyson J. J., Chen К. C. Novak B. Network dynamics and cell physiology // Nat. Rev. Mol. Cell. Biol. 2001. Vol. 2. Pp. 908 916.

6. Novak В., Pataki Z.; Ciliberto A. Tyson J. J. Mathematical model of the cell division cycle of fission yeast // Chaos. 2001. Vol. 11. Pp. 277 286.

7. Давидич М.И. Постников Е.Б. Булевская модель цикла деления клетки дрожжей Schizosaccharojnyces ponibe: динамика в случае нормальных и возмущенных начальных условий // Математическая биология и биоинформатика. 2007. Т. 2. С. 375 384.

8. Davidich М., Bornholdt S. Boolean Network Model Predicts Cell Cycle Sequence of Fission Yeast // PLoS ONE. 2008. Vol. 3. P. el672.

9. Davidich M., Bornholdt S. The transition from differential equations to Boolean networks: A case study in simplifying a regulatory network model // Journal of Theoretical Biology. 2008. Vol. 253. Pp. 269 277.91

10. Постников Е.Б., Давидич М.И. Библиотека программ MATLAB-PAJEK для работы с булевскими сетями // Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 8934 от 20.08.2007 Отраслевого фонда алгоритмов и программ (ОФАП).

11. Davidich М., Bornholdt S. Robustness of the fission yeast cell cycle // The Eighth International Conference on Systems Biology (ICSB2007), October 1-7. Long Beach, USA: 2007. P. 42.

12. Davidich M., Bornholdt S. How general is the Boolean network approach for predictive models? A case study of the yeast cell-cycle // Verhandlungen der Deutschen Physikalisehen Gesellschaft. Reihe VI. 2007. Vol. 42, no. 4. P. 81.

13. Davidich M., Bornholdt S. Boolean Model of Fission Yeast Coll Cycle Predicts Mutations // Verhandlungen der Deutschen Physikalisehen Gesellschaft. Reihe VI. 2008. Vol. 43, no. 1. P. 54.

14. H.A. Колчанов, E.A. Ананько, Ф.А. Колпаков и др. Генные сети // Мол. Биология. 2000. № 34. С. 534 544.

15. Jong Н. Modeling and simulation of genetic regulatory systems: a literature review // J. Сотр. Biol. 2002. Vol. 9. Pp. 67 103.

16. Alberts В., Bray D. Lewis J. et al. Molecular biology of the cell. New York: Gorlaned Ine, 1983.

17. Brown P. О., Botstein D. Exploring the new world of the genome with DNA microarrays // Nature Genet. 1999. Vol. 21. Pp. 33 37.

18. Kahn P. From genome to protcomc: Looking at cell's proteins // Science. 1995. Vol. 270. Pp. 369 370.

19. Lipschutz R. J., Fodor S. P. A. Gingeras T. R., Lockhart D. J. High density synthetic oligonucleotide arrays // Nat. Genet. 1999. Vol. 21. Pp. 20 24.

20. Lockhart D. J., Winzeler E. A. Genomics, gene1, expression and DNA arrays // Nature. 2000. Vol. 405. Pp. 827 836.

21. Mann M. Quantitative proteomics // Nat. Bioteehnol. 1999. Vol. 17. Pp. 954 955.

22. Pandey A., Mann M. Proteomics to study genes and genomes // Nature;. 2040500. Vol. 405. Pp. 837 846.

23. Zhu H., Snyder M. Protein arrays and microarrays // Curr. Opin. Chem. Biol. 2001. Vol. 5. Pp. 40 45.

24. B.A. Лихошвай, Ю.Г. Матушкин. А.В. Ратушный и др. Обобщенный химико-кинетический метод моделирования генных сетей // Мол. Биология. 2001. № 35. С. 1021 1079.

25. Tyson J. J., Chen К. С., Novak В. Sniffers, buzzers, toggles and blinkers: dynamics of regulatory and signaling pathways in the cell // Curr. Op. Cell Biol. 2003. Vol. 15. Pp. 221 -231.

26. Bliss R. D., Painter P. R. Marr A. G. Role of feedback inhibition in stabilizing the classical operon // J. Theor. Biol. 1982. Vol. 97. Pp. 177 193.

27. Carrier T. A. Keasling J. D. Investigating autocatalytic gene expression systems through mechanistic modeling // J. Theor. Biol. 1999. Vol. 201. Pp. 25 36.

28. Mahaffy J. M. Cellular control models with linked positive and negative feedback and delays: I. The models. // J. Math. Biol. 1984. Vol. 106. Pp. 89 102.

29. Endy D., You L. Yin J., Molineux I. J. Computation, prediction, and experimental tests of robustness for bacteriophage TT mutants with permuted genomes // PNAS. 2000. Vol. 97. Pp. 5375 5380.

30. Koh B. T., Tan R. B. H.; Yap M. G. S. Genetically structured mathematical modeling of trp attenuator mechanism // Bioprocessing. 1998. Vol. 58. Pp. 502 -509.

31. Hammond B. J. Quantitative study of the control of HIV-1 gene expression. // J. Theor. Biol. 1993. Vol. 163. Pp. 199 221.

32. Toth A., Queralt E. Uhlmann P., Novak B. Mitotic exit in two dimentions // J. Theor. Biol. 2007. Vol. 248. Pp. 560 573.

33. Castagnetti S., Novak B., Nurse P. Microtubules offset- growth site from the cell center in fission yeast // Cell Sci. 2007. Vol. 120. Pp. 2205 2213.

34. Zhang A., Wu J.; Lai H. W. C., Jew D. T. Apoptosis a brief review // Neuroembryology. 2004. Vol. 5. Pp. 47- 59.

35. Leloup Goldbeter A, JC. A model for the eircadian rhythms in Drosophila incorporating the formation of a complex between the PER and TIM proteins // J. Biol. Rhythms. 1998. Vol. 13. Pp. 70 87.

36. RuofF P., Vinsjcvik M., Moimerjahn C., Reusing L. The Goodwin model: Simulating the effect of light pulses on the eircadian sporulation rhythm of Neurospora crassa // J. Theor. Biol. 2001. Vol. 209. Pp. 29 42.

37. Glass L. Kauffman S. A. Co-operative components, spatial localization and oscillatory cellular dynamics // J. Theor. Biol. 1972. Vol. 34. Pp. 219 237.

38. Glass L., Kauffman S. A. The logical analysis of continuous, nonlinear biochemical control networks // J. Theor. Biol. 1973. Vol. 39. Pp. 103 129.

39. Glass L., Perez R. Limit cycle oscillations in compartmental chemical systems // J. Chem. Phys. 1974. Vol. 61. Pp. 5242 5249.

40. Hunding A., Kauffman S. A., Goodwin B. C. Drosophila segmentation: Supercomputer simulation of prepattern hierarchy // J. Theor. Biol. 1990. Vol. 145. Pp. 369 384.

41. Lacalli T. C., Wilkinson D. A., Harrison L. G. Theoretical aspects of stripe formation in relation to Drosophila segmentation // Development. 1988. Vol. 103. Pp. 105-113.

42. Meinhardt H. A model of pattern formation in insect embryogenesis // J. Cell Sci. 1977. Vol. 23. Pp. 117 139.

43. Meinhardt H. Hierarchical inductions of cell states: A model for segmentation in Drosophila ,// J. Cell Sci. 1986. Vol. 20. Pp. 357-381.

44. Meinhardt H. Models for maternally supplied positional information and the activation of segmentation genes in Drosophila embryogenesis // Development. 1988. Vol. 104. Pp. 95 110.

45. Gillespie D. T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions // J. Phys. Chem. 1977. Vol. 81. Pp. 2340 2361.

46. Ko M. S. A stochastic model for gene induction // J. Theor. Biol. 1915391. Vol. 153. Pp. 181-194.

47. McAdams H. H., Arkin A. It's a noisy business! Genetic regulation at the nanomolar scale // Trends Genet. 1999. Vol. 15. Pp. 65 69.

48. Nicolis G., Prigogine I. Self-Organizationin nonequilibrium systems: From dissipative structures to order through fluctuations. New York: Wiley-Inter-science, 1977.

49. Rigney D. R. Stochastic models of cellular variability // Kinetic Logic: A Boolean Approach to the Analysis of Complex Regulatory System. Springer, 1979. Pp. 237- 280.

50. Szallasi Z. Genetic network analysis in light of massively parallel biological data acquisition // Proc. Pac. Symp. Biocomput. (PSB-99). Vol. 4. Singapore: World Scientific, 1999. Pp. 5 -16.

51. Arkin A. Ross J. McAdams H. A. Stochastic kinetic analysis of developmental pathway bifurcation in phage-infected Escherichia coli cells // Genetics. 1998. Vol. 149. Pp. 1633 1648.

52. Gillespie Daniel T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions // The Journal of Physical Chemistry. 1977. Vol. 81. no. 25. Pp. 2340 2361.57. van Kampen N. G. Stochastic processes in physics and chemistry. Elsevier. 1997.

53. Ligon D. A., Gillespie J. B., Pellegrino P. Aerosol properties from spectral extinction and backscatter estimated by an inverse Monte Carlo method // Appl Opt. 2000. Vol. 39. Pp. 4402 4410.

54. Schiff Joel L. Cellular Automata: A Discrete View of the World (Wiley Series in Discrete Mathematics & Optimization). Wiley-Intersciencc, 2008.

55. Lindenmayer Aristid. Mathematical models for cellular interaction in development: Parts I and II, // Journal of Theoretical Biology. 1968. Vol. 18.

56. Kaplan D. T.; Smith J. M.; Saxberg B. E. H., Cohen R. J. Nonlinear dynamics in cardiac conduction // Math. Biosci. 1988. Vol. 90. Pp. 19 48.

57. Pytte E. Grinstein G., Traub R. D. Cellular automaton models of the CA3region of the hippocampus. // Network: Computation in Neural Systems. 1991. Vol. 2, no. 2. Pp. 149 167.

58. Schonfisch Birgitt, Kinder Michael. A Fish Migration Model // Proceedings of the 5th International Conference on Cellular Automata for Research and Industry. ACRI '01. London, UK: Springer-Verlag, 2002. Pp. 210 219.

59. Ermentrout Bard G., Edelstein-Keshet Leah. Cellular Automata Approaches to Biological Modeling // Journal of Theoretical Biology. 1993. Vol. 160, no. 1. Pp. 97 133.

60. H. Moore J., L.W. Hahn. A cellular automata-based pattern recognition approach for identifying gene-gene and gene-environment interactions // American Journal on Human Genetics. 2002. Vol. 67, no. 52. Pp. 3 7.

61. B.A. Лихошвай, Ю.Г. Матушкин, С.И. Фадеев. Обобщенный химико-кинетический метод моделирования генных сетей // Мол. Биология. 2001. № 35. С. 1080 1087.

62. Huang S. Genomics, complexity and drug discovery: insights from Boolean network models of cellular regulation // Pharmacogenomics. 2001. Vol. 2. Pp. 203-222.

63. Bornholdt S. Boolean network models of eelular regulation: prospects and limitations // J. R. Soc. Interface. 2008. Vol. 5. Pp. 85 94.

64. Bray D. Protein molecules as computational elements in living cells // Nature. 1995. Vol. 376. Pp. 307 312.

65. Chaves M., Albert R., Sontag E. D. Robustness and fragility of boolean models for genetic regulatory networks // J. Theor. Biol. 2005. Vol. 235. P. 431.

66. Chaves M., Sonfcag E. D., Albert R. Methods of robustness analysis for Boolean models of gene control networks // IET Systems Biology. 2006. Vol. 153. Pp. 154-167.

67. Klamt Steffen. Rodriguez Julio S., Lindquist Jonathan ot al. A methodology for the structural and functional analysis of signaling and regulatory networks // BMC Bioinformatics. 2006. February. Vol. 7. no. 1. Pp. 56+.

68. Saez-Rodriguez Julio, Simeoni Luca. Lindquist Jonathan A. et al. A Logical Model Provides Insights into T Cell Receptor Signaling // PLoS Comput Biol. 2007. August. Vol. 3, no. 8. Pp. el63-K

69. Kreeger P.K. D.A. Lauffenburger. Cancer systems biology: a network modeling perspective // Carcinogenesis. 2010. Vol. 31. Pp. 2 8.

70. Sahin Ozgur. Frohlich Holger, Lobke Christian et al. Modeling ERBB receptor-regulated Gl/S transition to find novel targets for de novo trastuzumab resistance. // BMC Syst Biol. 2009. Jan. Vol. 3, no. 1. P. 1.

71. Ferreira S. C., Martins M. L., Vilela M. J. Reaction-diffusion model for the growth of avascular tumor // Physical Review E. 2002. Jan. Vol. 65, no. 2. Pp. 021907+. URL: http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevE.65.021907.

72. Jiang Y. A Multiscale Model for Avascular Tumor Growth // Biophysical Journal. 2005. December. Vol. 89, no. 6. Pp.3884 3894. URL: http: //dx.doi.org/10.1529/biophysj.105.060640.

73. Sutherland R. M. Cell and environment interactions in tumor microregions: the multicell spheroid model // Science. 1988. April. Vol. 240, no. 4849. Pp. 177 184.

74. Mendoza L., Thieffry D., Alvarez-Buylla E. R. Genetic control of flower morphogenesis in Arabidopsis Thaliana: a logical analysis. // Bioinformatics. 1999. Vol. 15. Pp. 593 606.

75. Thum K. E., Shasha D. E., Lejay L. V., Coruzzi G. M. Light- and car-bonsignaling pathways. Modeling circuits of interactions // Plant Physiol. 2003. Vol. 132. Pp. 440-452.

76. Li S., Assmann S. M., Albert R. Predicting essential components of signal transduction networks: a dynamic model of guard cell abscisic acid signaling // PLOS Biol. 2006. Vol. e312. Pp. 1732- 1748.

77. Schmulevich I., Dougherty E.R., Yhang W. From Boolean to Probabilistic Boolean Networks as Models of Genetic Regulatory Networks // Proceedings of the IEEE. 2002. Vol. 90-11. Pp. 1778-1792.

78. Schmulevich I. Dougherty E.R., Kim S., Yhang W. Probablistic Boolean networks: a rule based uncertanty model for gene regulatory networks // Proceedings of the IEEE. 2002. Vol. 18-2. Pp. 261- 274.

79. Friedman N., Linial M. Nachman I. Pe'er D. Using Bayesian networks to analyze expression data. // Journal Computational Biolgy. 2000. Vol. 7. Pp. 601 620.

80. Pearl J. Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems. Morgan Kaufmann. San Francisco, CA., 1988.

81. D. Aguda Baltazar. Modeling the Cell Division Cycle // Tutorials in Mathematical Biosciences III / Ed. by A. Friedman. Springer Berlin / Heidelberg. 2006. Vol. 1872 of Lecture Notes in Mathematics. Pp. 1-22.

82. Tyson J. J. Csikasz-Nagy A., Novak B. The dynamics of cell cycle regulation // Bio Essays. 2002. Vol. 24. Pp. 1095 1109.

83. Furnari B., Rhind N., Russell P. Cdc25 Mitotic Inducer Targeted by Chkl DNA Damage Checkpoint Kinase // Science. 1997. Vol. 227. Pp. 1495 1497.

84. Moreno S., Nurse P. Regulation of progression through the Gl phase of the cell cycle by the ruml+ gene // Nature. 1994. Vol. 367. Pp. 236 242.

85. Chunhui C. Network Dynamics of Budding Yeast Cell Cycle. Master's thesis. Hong Kong Baptist University, 2005.

86. Gupta. S., Bishta S. S., Kukretia R. et al. Boolean network analysis of a neurotransmitter signaling pathway // J. Theor. Biol. 2007. Vol. 244. Pp. 463 469.

87. Sveiczer A., Csikasz-Nagy A., Gyorffy B. et al. Modeling the fission yeast cell cycle: Quantized cycle times in weel-cdc25 mutant cells // PNAS. 2000. Vol. 97. Pp. 7865 7870.

88. Novak B., Tyson J. J. A model for restriction point control of the mammalian cell cycle // J. Theor. Biol. 2004. Vol. 230. Pp. 563 579.

89. Russel P., Nurse P. Negative regulation of mitosis by weelf-f ., a gene encoding a protein kinase homologue // Cell. 1987. Vol. 49. Pp. 559 567.

90. Kitamura K., Maekawa H., Shimoda C. Fission yeast Ste9, a homolog of Hctl/Cdhl and fizzy-related, is a novel negative regulator of cell cycle progression during Gl-Phase // Mol. Biol. Cell. 1998. Vol. 9. Pp. 1065 1080.

91. Kim S. H., Lin D. P. Matsumoto S. et al. Fission Yeast Slpl: An Effector of the Mad2-Dependent Spindle Checkpoint // Science. 1998. Vol. 279. Pp. 1045-1047.

92. Novak В., Tyson J. J. Numerical analysis of a comprehensive model of M-phase control in Xenopus oocyte extracts and intact embryos // J. Cell. Sci. 1993. Vol. 106. Pp. 1153 1168.

93. Novak В. Tyson J. J. Modeling the control of DNA replication in fission yeast // PNAS. 1997. Vol. 94. Pp. 9147 -9152.

94. Glass L. Hill C. Ordered and disordered dynamics in random networks // Europhys Lett. 1998. Vol. 41. Pp. 599-604.

95. Goldbeter A., Koshland D. E. An amplified sensitivity arising from covalent modification in biological systems // PNAS. 1981. Vol. 78. Pp. 6840 6844.

96. Braunewell S., Bornholdt S. Superstability of the yeast cell-cycle dynamics: Ensuring causality in the presence of biochemical stochasticity // J. Theor. Biol. 2006. Vol. 245. Pp. 638 643.