Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Метод локальных функций Грина для исследования сингулярно возмущенных процессов переноса примесей

ВАК РФ 03.00.16, Экология

Автореферат диссертации по теме "Метод локальных функций Грина для исследования сингулярно возмущенных процессов переноса примесей"

На правах рукописи

Тимофеев Дмитрий Владимирович

МЕТОД ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ

03.00.16 - экология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Краснодар - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Кубанский государственный университет"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Глушкова Наталья Вилениновна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент Уртенов Махам ет Али Хусеевич

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Семен чин Евгений Андреевич

ГОУ ВПО "Ростовский государственный университет" (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится « 5 » октября 2006 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.101.07 в ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет" по адресу: 350040, г.Краснодар, ул. Ставропольская, 149, ауд. 231.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Кубанский государственный университет".

Автореферат разослан «августа 2006

Ученый секретарь диссертационного совета

Евдокимов А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопросы экологической безопасности и рационального природопользования включают в себя мониторинг загрязнения воздушной и водной среды. Оценка возможного загрязнения как в результате стихийных природных катастроф, приводящих к выбросам и разливам загрязняющих веществ, так и при повседневной хозяйственной деятельности, предполагает наличие эффективных математических моделей указанных процессов.

Важнейшими физическими процессами, определяющими распространение загрязнений, являются перенос за счет конвекции и диффузии. Поэтому основной моделью описанных процессов является уравнение конвекции-диффузии. Во многих практических ситуациях распространения примесей конвективный перенос доминирует над диффузией. Например, в атмосфере такие явления проявляются при большой разнице температуры или давления.

Ввиду разномасштабности процессов коэффициенты при конвективных и диффузионных членах уравнения отличаются на порядки, т.е. рассматриваемые задачи относятся к классу сингулярно возмущенных с малым параметром при старших производных. Характерной особенностью таких задач является наличие узких пограничных и внутренних слоев, в которых решение меняется очень быстро. Большой градиент делает невозможным применение обычных сеточных методов численного решения без достаточного измельчения сетки в пределах погранслоя.

К настоящему времени разработан ряд подходов для решения сингулярно возмущенных задач. Среди них можно выделить асимптотические методы, уменьшение шага сетки в районе слоя, специальная аппроксимация дифференциального оператора, учитывающая погранслойную структуру решения, а также итерационные методы решения сильно несимметричных задач. В то же время структура решения и расположение слоев зачастую не поддаются прогнозу на предварительном этапе, что существенно затрудняет применение этих методов. Другой проблемой является обеспечение независимой скорости сходимости метода от величины малого параметра.

Таким образом, для мониторинга загрязнения экологических систем и анализа динамики распространения примесей в воздушной и водной среде

актуальной является проблема разработки адекватных математических моделей, базирующихся на численных методах, устойчивых при сингулярном вырождении уравнений конвекции-диффузии, описывающих процессы переноса.

Целью работы является ,

1) создание на основе метода локальных функций Грина математической модели, адекватно описывающей процесс переноса примесей при сильном доминировании конвекции;

2) компьютерная реализация метода локальных функций Грина для сингулярно возмущенных процессов переноса примесей в двумерном и трехмерном случае;

3) апробация метода на эталонных задачах переноса загрязнений конвективно-диффузионными потоками;

4) обобщение метода для решения нелинейных уравнений Навье-Стокса и Бюргерса.

Научная новизна определяется тем, что

- в работе дано обобщение метода локальных функций Грина на случай многих переменных;

— разработаны методы построения локальных функций Грина, основанные на интегральном представлении для квадратного и круглого носителей и на представлении в виде ряда по собственным функциям, а также асимптотика локальной функции Грина для предельных значений параметра возмущения;

- разработаны алгоритмы и программы, а также получены на их основе численные результаты решения эталонных задач;

- ■ получена устойчивая схема дискретизации нестационарных нелинейных уравнений гидродинамики (Навье-Стокса) при больших числах Рейнольдса, основанная на использовании разработанных в диссертационной работе алгоритмов построения локальной функции Грина;

— предложена устойчивая схема аппроксимации разрывных решений (на примере нелинейных уравнений Бюргерса);

■ ■ проведен численный анализ характерных особенностей переноса загрязнений и примесей при значительном доминировании конвективных потоков над диффузионными;

— продемонстрировано образование пограничных и внутренних слоев, формирующихся в потоках переноса веществ в случае малой диффузии.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановок задач, строгим доказательством выводов и утверждений, и сравнением решений задач, полученных разработанным методом, с результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Разработана и реализована в виде пакета компьютерных программ математическая модель процесса распространения примесей в экологических системах, дающая устойчивые результаты как при сильном сингулярном возмущении, так и при учете нелинейных механизмов формирования гидродинамических потоков.

Теоретическая значимость работы. Разработан новый метод решения сингулярно возмущенных задач на основе схемы Петрова-Галеркина в случае многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 2-ой и 3-ей объединенной научной студенческой конференции факультета прикладной математики Кубанского государственного университета «Прикладная математика XXI века» (Краснодар, 2002 г., 2003 г.), на международном семинаре «Environmental Problems and Ecological Safety» (Wiesbaden, Germany, 2004), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Дюрсо, 2005), на заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края «р2003юг» (Краснодар, 2005). В целом диссертация обсуждалась на семинарах кафедр прикладной математики и численного анализа КубГУ и на семинаре «Краевые задачи математической физики» в Южно-Российском региональном центре информатизации Ростовского государственного университета (Ростов-на-Дону, 2006).

Диссертационные исследования проводились в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-96626-р2003юг «Метод локальных функций Грина для сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии» и NATO PST.CLG.980398 «Boundary Meshless Methods for Solving Large Scale Problems».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

Структура работы: диссертация изложена на 91 странице, состоит из введения, 5 глав, заключения, списка используемых источников. Работа содержит 25 рисунков, 6 таблиц и библиографию из 95 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по рассматриваемой тематике, обосновывается актуальность работы, формулируются цели исследования.

Развитие методов прогнозирования распространения загрязнений и мониторинга экологических систем основывается на результатах теоретического и экспериментального изучения закономерностей распространения примесей от их источников, т.е. из зон выброса промышленных загрязнений, мест природных и техногенных катастроф и т.п. Такое изучение осуществляется главным образом по двум направлениям. Одно из них состоит в разработке теории турбулентной диффузии на основе математического описания распространения примесей в воздушной и водной среде. Другое связано с эмпирико-статистическим анализом распространения загрязняющих веществ в атмосфере и с использованием для этой цели интерполяционных моделей большей частью гауссовского типа. Значительный вклад в развитие обоих направлений внесли ряд отечественных ученных - Берлянд М.Е., Вызова Н.Л., Монин A.C., Обухов A.M., Яглом A.M., Семенчин Е.А. и др.

Загрязнения переносятся течениями и диффундируют благодаря действию турбулентности. Причиной турбулентной диффузии являются хаотические гидродинамические движения различных масштабов, вплоть до очень малых, порядка сантиметра. Необходимо отметить вклад ученых Тейлора Г.И. и Ричардсона Л.Ф., заложивших основы описания и исследования турбулентной диффузии.

В настоящее время имеется большое количество работ, посвященных математическому моделированию распространения загрязнений на основе уравнения турбулентной диффузии. Кроме указанных ранее авторов, интересные результаты получены в этой области под руководством академиков Марчука Г.И. и Бабешко В.А.

В Кубанском государственном университете разработкой математических моделей в экологии занимаются Дембицкий С.И., Демехин Е.А., Лежнев В.Г., Уртенов М.Х. и др.

Основным математическим инструментом исследования указанных процессов в движущейся сплошной среде является уравнение конвекции-диффузии:

Lu = -Ми + b • Vm +cu = /, x = (x, .у, z) e f2, (1)

где и(х) - концентрация вещества, f(x) >0 - коэффициент диффузии, b(x) = (61,62>^з) - скорость движения среды и с(х)>0 - коэффициент поглощения. Как уже отмечалось, во многих практических задачах это уравнение является сингулярно возмущенным с малым параметром при старших производных. При этом в качестве малого параметра выступает либо коэффициент диффузии (е), либо, после перехода к безразмерным параметрам, величина обратная к числу Пекле (l / Ре), Ре = max|b|//£, где / - характерная длина для рассматриваемой задачи. Сингулярное возмущение приводит к формированию узких пограничных и внутренних слоев, в которых решение имеет сильный градиент (порядка 0( 1 / £)).

Начало систематическому изучению уравнений с малым параметром было положено академиком Тихоновым А.Н. Существенные результаты в исследовании асимптотического разложения сингулярно возмущенных краевых задач получены Лгостерником JI.A., Вишиком М.И., Васильевой А.Б., Бутузовым В.Ф. и др.

Для преодоления сингулярного возмущения используется специальным образом сгущаемые (априорно или апостериорно) сетки в районе слоя, различные адаптивные методы, и методы экспоненциальной подгонки (Бахвалов Н.С., Ильин A.M., Шишкин Г.И., Шайдуров В.В., Dulan Е. и др.). Развиты также подходы с явным учетом погранслойной структуры решения выбором базисных функций (Axelsson О., Hemker P.W. и др.). При использовании метода конечных элементов применяются различные стабилизирующие подходы - противопоточный метод Петрова-Гаперкина, residual-free bubbles (RFB) (Hughes T.J.R.), а также так называемые бессеточные (meshless) методы (Atluri S.N.)

К отдельному направлению можно отнести итерационные методы решения сильно несимметричных систем для разностных схем уравнений конвекции-диффузии, а также многосеточные методы, являющиеся одними из наиболее экономных с точки зрения вычислительных затрат итерационных методов (Самарский A.A., Вабищевич П.Н., Федоренко Р.П., Крукиер JI.A., Муратова Г.В., Ольшанский М. A., Brandt А., Hackbusch V., Wesseling Р. и др.)

Помимо распространения примесей, необходимо моделировать собственное движение воздушной и водной среды, что также сводится к

7

численному моделированию конвективно-диффузионного переноса (Кобельков Г.М., СЬоп'п ЯоасЬе P.J. и др.).

Развитие идеи учета погранслойной структуры в базисных функциях привело к схеме Петрова-Галеркина, где проекторами являются локальные функции Грина. Такая схема продемонстрировала свою эффективность, так как устойчивость обеспечивается уже на грубых сетках, не требуя специального сгущения сетки в районе слоя. Однако в случае двух и более переменных, несмотря на все достоинства, метод локальных функций Грина не использовался. Из-за отсутствия в этом случае явного вида локальной функции Грина.

Основная идея диссертационной работы - обобщение метода локальных функции Грина на случай двух и трех переменных, базирующегося на предложенном Аксельсоном О., Глушковым Е.В. и Глушковой Н.В. (Докл. РАН. 2003. Т. 388. № 2. С. 166-170) подходе, основанном на использовании техники интегральных преобразований. Разработанная в диссертационной работе модель конвективно-диффузионного распространения примесей основана на реализации данного метода.

Первая глава носит вспомогательный для последующего изложения характер. В ней излагается общая схема, позволяющая адекватно описывать процесс переноса примесей при сильном доминировании конвекции.

В п. 1.1 дается физическая постановка задачи и математическая постановка краевой задачи Дирихле для стационарного уравнения конвекции-диффузии (1). В п. 1.2 рассматривается обобщенная постановка задачи. Формулируется метод Петрова-Галеркина, в соответствии с которым приближенное решение обобщенной задачи представимо в виде линейной комбинации базисных функций (рк = <р{{х - хк )/к,(у ~ У к У к), заданных в узлах конечно-элементной сетки {хк,ук):

N

(2)

разложения сj определяются из

условий ортогональности невязки системе проекторов {у/Д^,: (£«„,у,-)=(/>,), / = 1,2,...,//,

которые приводят к линейной алгебраической системе

Ас = Г (4)

относительно неизвестного вектора коэффициентов с = (с, ,с2,...,сдг )Т. Элементы матрицы системы а^ = [Lq>J,y/¡} и компоненты вектора правой части f¡ = (/, V,) выражаются через выбранные базисные функции <Pj, у/1.

Решение задач переноса примесей методом Галеркина с одинаковым видом базисных функций и проекторов: (р{ приводит к неестественной осцилляции численного решения. Предложенная Петровым модификация метода Галеркина состоит в устранении численной неустойчивости с помощью выбора формы проекторов . Идеальными проекторами были бы такие, функция-формы которых является фундаментальным решением сопряженной задачи:

*

Ьи- <5(х).

Здесь Ь - сопряженный оператор: (¿и, у) = (г/, Ь у). В этом случае из-за (3) следует:

(«д,-и,Ь у/1)={иы-н,5(х-х,)) = 0, => МдГ(х,) = ы(х(), 1 = 1,2,., т.е. приближенное решение и^ совпадает с точным решением в узлах сетки хНо построение таких функций по трудоемкости эквивалентно решению исходной задачи, поэтому используется фундаментальное решение для уравнения с оператором, аппроксимирующим сопряженный оператор в окрестности узлов сетки.

Вторая глава посвящена способам построения локальных функций Грина в случае двух и трех переменных для различных форм носителей, а также выводу их асимптотики при предельных значениях малого параметра. В начале главы рассматривается двумерная постановка, а затем метод обобщается на трехмерный случай. В п. 2.1 формулируется краевая задача для, локальной функции Грина в случае квадратного носителя, рассматривается построение локальной функции Грина на основе интегрального представления. В п. 2.2 рассматривается шаблон линейной алгебраической системы (4), к которой исходная краевая задача сводится методом локальных функций Грина. Это система обладает разреженной матрицей, свойства которой позволяют использовать итерационный метод Гаусса-Зейделя для её

решения. В п. 2.3 строится локальная функция Грина для круглого носителя, что сокращает вычислительные затраты всей схемы, если в области решения меняется только направление конвективного поля. В п. 2.4 рассмотрено представление локальной функции Грина в виде ряда по собственным функциям, что позволяет получить асимптотику при стремлении малого параметра к предельному значению. Полученная асимптотика существенно расширяет границы применимости метода. В п. 2.5 дается обобщение разработанных алгоритмов и методов на трехмерный случай.

В соответствии с разложением (2) оператор Ь аппроксимируется суммой операторов Lj с постоянными коэффициентами Ь^ = Ь(х у),

CJ-C(xj), заданных на подобластях Лу :|л:-.Гу| < < А, а для

построения функции формы у/ естественным образом возникает задача на элементарной ячейке О/, : |дг| < А, |.у| < А:

ХЁП,, (5)

<г|г =*(х),гА = апЛ (6)

1 я

Здесь Ьи = —ЕАи — Ь • Ум + си - сопряженный к Lj дифференциальный оператор в локальной системе координат с центром в Ху.

Для построения полуаналитического представления точного решения у/ используется техника преобразования Фурье, при этом учитывается, что производная дц/1 дп терпит разрыв на границе ¿ЮА. В результате представление для решения задачи (5)-(6) получено в виде

У = Е + и*-и~+и1-и~, (7)

в котором g - глобальная функция Грина, а функции и*, и*, корректируют её поведение на границе. Они выражаются через скачки нормальной производной на границе г^(у) = ±еду//сЬ= ду/1 ду

Л

-Л

Неизвестные V*, V* определяются из системы одномерных

интегральных уравнений, возникающих при удовлетворении граничных условий (6).

На рис. 1 приведен пример локальной функции Грина при е = 0.001, Ь = (со8(я78),5т(я78)), с = 1, й = 0.05, построенной описанным выше способом. Физически она дает распределение концентрации примеси от точечного источника загрязнений, расположенного в центре. При этом примесь уносится по направлению против потока Ь, что соответствует сопряженному оператору Ь. В силу условия (6) на границе области происходит резкое уменьшение концентрации, поэтому вдоль границы л: = —0.05 формируется погранслой.

Рис. 1. Локальная функция Грина с квадратным носителем

При использовании локальных функций Грина в качестве проекторов система (4) является разреженной. Её элементы а^ выражаются через матрицу-шаблон третьего порядка В = \Ь(р\, Рг)\ по правилу а1к = Ь(р^,р2), Р\> Рг~ -1.0,1:

/

-1 10 'I

I

В =

(9)

-1

\

где

Р\={х,-хк)1Ь, р2^(У1~Ук)1К р„=± 1,0,

А

А

7р2= {^(^(у/Л + Рг)^. = ¡у^(хУр(х/к + р^х.

-и

-II

Так как ненулевыми являются только элементы а¡к для соседних узлов, то в каждой строке матрицы А не более девяти ненулевых элементов.

Важно отметить, что элементы шаблона выражаются не через саму двумерную функцию Грина, а только через одномерные функции V*, V* и <р, поэтому после их определения формирование шаблона не требует сколько-нибудь заметных вычислительных затрат. Численные и аналитические исследования в следующих главах показывают, что матрица обладает диагональным преобладанием, что обеспечивает быструю сходимость итерационного метода Гаусса-Зейделя:

В то же время при увеличении числа Пекле (Ре—>со при е—>0), возрастает время построения локальной функции Грина как в случае квадратного, так и круглого носителя. Преодолеть указанную проблему позволяет полученная асимптотика. Для этого методом разделения переменных строится явное решение задачи (5) - (б) в виде двойного ряда по собственным функциям м„,„ : ¿м,„„ =^„шм,и„ дифференциального оператора ¿на клетке . В рассматриваемом случае

"тЛх,у) = Я|,шМы2)„(х), и1к(х) = ехр(-Ь,(£)/2£->*(£), (П)

= зт((£ + И)як/2И), г = 1,2; Аг = шилии.

Собственные функции итп исходного оператора Ь получаются из (11) заменой в экспонентах ~Ь/ на 6,, при этом собственные числа Ятп

У='+1 У

остаются прежними. В силу биортогональности собственных функций итп и ы„,„, локальную функцию Грина можно представить в следующем виде:

оо оо

у{х,у) = X £ fm„U„,„(х,у)/Л„ш,

т=Оп=0

где /,„„ - (S, ипт ) /(«„,„, и„,„ ) = итп (0,0) / й2.

Получено представление скачков нормальной производной v*, v* в виде однократного ряда

v± = + Le<bX(±h)+biyns)R{y) h

h

k-0

ak = sjbf+bi + 4se + el(2k +1)2 . Эти выражения, хотя и являются явными, не дают преимущества перед интегральным способом построения, так как однократный ряд ■/?(£) медленно сходится при e/h« 1. В то же время это представление, позволило построить асимптотику методом перевала, что существенно расширяет границы применимости метода в случае сколь угодно малого параметра возмущения.

В третьей главе приводятся численные результаты решения модельных задач переноса примесей, демонстрирующие эффективность применения разработанного метода при решении экологических проблем. В п. 3.1 показывается, что важным аспектом практической реализации общей схемы (4) является эффективное вычисление интегралов правой части. В п. 3.2 на примере задачи с резким погранслоем анализируется сходимость и устойчивость метода. В п. 3.3 рассматриваются результаты численного моделирования распространения примесей в различных постановках, в том числе и в случае вихревых течений. В п. 3.4 моделируется перенос примесей в трехмерной постановке.

Для оценки эффективности и устойчивости разработанного метода при уменьшении параметра сингулярности е —> 0 рассматривается тестовая задача в квадратной области 0 < х, у < 1, для которой известно точное

решение:

и(х,у) = х2у2{\-ех{х)\\-е2{у)) е„(^„) = ехр(-(1 -х„)1е\ и = 1,2. Оно имеет погранслои у краев х = 1 и у = 1.

1 ы

Эффективность оценивается по г,, = — — с,| » |Т,|" - Мд,|бЮ -

N |=1

осредненной погрешности, числу итераций метода Гаусса - Зейделя (10) и I - общему времени счета в секундах при частоте процессора 733 МГц. Для оценки свойства системы анализируется значение элементов шаблона В (9).

Таблица - Пример решения тестовой задачи на основе ряда по собственным функциям (12) (до £ = 10~3), или асимптотики (для £ < 10~5), с = 1, Ь — (соз(Зя18),5ш(3я"/8)), Ы = 100-100 = 104

£ матричный шаблон В К,, погрешность время счета

ю-2 -0.0498 -0.1259 -0.1011 -0.0952 1.0000 -0.2397 -0.0673 - 0.1846 - 0.1336 256 0.0018 5 с

ю-4 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 1.0000 -0.5793 0.0000 0.0000 -0.4097 2 0.0024 2 с

10~6 0.0000 0.0000 -0.0001 0.0000 1.0000 -0.5794 0.0000 0.0000 -0.4097 2 0.0028 < 1 с

10"8 ,0.0000 0.0000 -0.0001 .. 0.0000 1.0000 -0.5795 0.0000 0.0000 -0.4098 2 0.0024 < 1 с

Результаты расчетов демонстрируют малую чувствительность сходимости метода к изменению малого параметра, особенно в наиболее критической зоне при £ « 1. Наоборот, число итераций даже уменьшается при уменьшении параметра возмущения, стабилизируясь вместе с шаблоном. При этом разреженная матрица системы А имеет единичную диагональ и

малые по величине отрицательные недиагональные элементы, т.е. является М-матрицей. Тем самым получена монотонная численная схема, которая является устойчивой. Этим и объясняется малая чувствительность метода локальных функций Грина к изменению параметра возмущения.

Работоспособность метода проверялось и на численных примерах для широкого круга задач, описывающих распространение примесей в ограниченных областях. Например, если выброс загрязнений происходит только на части границы области с наветренной стороны, то образуется ярко выраженный поток частиц, который постепенно размывается за счет диффузии и поглощения части вещества (рис.2). На противоположной границе области примесь полностью абсорбируется, что является причиной образования погранслоя. Приведенный на рис.2 пример соответствует разрывным граничным условиям Дирихле: и = 1 на участке границы х = 0, 0.25 < у <, 0.5 и и = 0 на остальной части; £ = Ю-7, b = (cos(7T/8),sin(^/8)), с = 1, N = 50-50 = 2500.

О о

Рис. 2. Распределение примеси в ограниченной области

Полученная асимптотика существенно сокращает вычислительные затраты, позволяя моделировать перенос примесей и в случае неоднородного конвективного поля. На рис. 3 в качестве примера приведены вид поля переноса и распределение концентрации в нем. Загрязнение поступает через отрезок границы х = 0, 0.8 < < 1, на котором задано м = 1, на остальной

части границы - условия абсорбции и = 0; £т = 10~9, с — Ы = 50-50, ЛГ, =85.

Рис. 3. Концентрация примеси в неоднородном (вихревом) поле переноса

Характерной чертой решений, приведенных на рис. 2 и 3, является наличие резких внутренних погранслоев, разделяющих потоки с высокой и низкой концентрацией и(х,у) переносимых веществ. Использование традиционных конечно-разностных схем потребовало бы существенного измельчения сетки в этих зонах с большим градиентом Ум, положение которых, вообще говоря, заранее неизвестно. Разработанный метод локальных функций Грина не требует такого измельчения, обеспечивая

численную устойчивость в узлах даже сравнительно грубой равномерной сетки, покрывающей рассматриваемую область.

В указанных примерах прямоугольные области естественным образом разбиваются квадратной сеткой на элементарные ячейки. В то же время метод применим и в случае областей более сложной формы, например, с криволинейными границами. В этом случае использование базисов с квадратными или прямоугольными элементарными носителями фактически означает аппроксимацию областью со ступенчатой границей. Однако, сходимость в узлах численного решения сохраняется и в этом случае. В качестве иллюстрации рассмотрена задача Хемкера для области с круговым 1 1

отверстием Пс:г+/¿1 и горизонтальным конвективным потоком Ь =(1,0), £ = 0.02, с = 0; на границе отверстия Гс = 50с заданы условия Дирихле =1, на удаленной границе - условия Неймана ди/Вп|х_]2 =0.

Результаты расчетов дают хорошее совпадение с известным аналитическим решением для данной тестовой задачи (рис. 4).

Четвертая глава посвящена анализу метода и доказательству его устойчивости. В п. 4.1 рассматриваются свойства нормальной производной локальной функции Грина, которые и определяют положительные свойства всего метода. В п. 4.2 доказывается устойчивость приближенного решения, для этого , анализируются свойства матрицы линейной алгебраической системы. В п. 4.3 проводится аналогия с методом конечных разностей против потока.

Устойчивость приближенного решения следует из следующих свойств линейной алгебраической системы (4). Пусть интегралы вычислены точно, тогда эти соотношения могут быть записаны в матричной форме

где С/, - матрица конечных элементов и {/Л, - векторы соответствующие

узловым значениям ик и соответственно. В диссертации

доказано, что эта матрица является М-матрицей, что определяет устойчивость приближенного решения. В этом случае верно неравенство:

тах^ЭНС/^ВД,, е О/,

при этом константа К не зависит от шага сетки.

В пятой главе рассматривается использование метода локальных функций Грина для решения нелинейных уравнений, определяющих движение сплошной среды. Модель распространения примесей на основе уравнения конвекции-диффузии предполагает, что конвективное векторное поле Ь уже известно. Оно может быть определено по фактическим измерениям, либо на основе применения моделей, описывающих движение среды. К таким моделям можно отнести уравнения движения жидкости Навье-Стокса и уравнение Бюргерса. В качестве малого параметра здесь выступает величина обратная к числу Рейнольдса, 1/11е, характеризующая соотношение между скоростью и вязкостью.

Основная идея применения метода локальных функций Грина состоит в том, что нелинейные сингулярно возмущенные уравнения после дискретизации по времени сводятся к серии стационарных линейных уравнений конвекции-диффузии, для решения которых применяется метод, разработанный в диссертационной работе.

В п. 5.1 рассматривается уравнения Навье - Стокса. В п. 5.2 решается

невязкое уравнение Бюргерса, особенностью которого является образование разрывов в решении, требующих использования специальных подходов сшивания на разрывах при стандартных конечно-разностных аппроксимациях. В то время как при использовании метода локальных функции Грина достаточно использовать равномерную сетку без дополнительных условий. В п. 5.3 рассматривается модельная задача процесса обессоливания в электромембраниой системе. При условии электронейтральности решение задачи разбивается на два этапа. Первый -это решение уравнений Навье-Стокса, на втором этапе решается нелинейная система конвекции-диффузии, при этом нелинейность проявляется в граничных условиях через соотношение для плотности тока. Полученные результаты согласуются с известными результатами других авторов. При решении уравнений Навье-Стокса:

<3и _ 1 .

— + и Уи = -Vр + — Аи, Ы -Яе

сПУи = 0, ,'

относительно составляющих вектора скорости и = (м,у) и давления р, необходимо использование проекционного метода, обеспечивающего соленоидальность и. После дискретизации по времени на каждом временном слое решаются уравнения:

ц"~ц" ' фц^УЦ" ^-Ур""1 + —ДО", г И Ие

представляющие собой два уравнения конвекции-диффузии (1) относительно каждой из скалярных компонент неизвестного вектора и" = (м", 9"):

£Йл=/„ ¿Vя =/2, (х,у)еП, где е = -1/Яе, Ь = и"-1, с = 1/г; /, =-др"~х 18х + ип~х/г, /, = -Вр"'1 /ду+

у"-1 / т. Для их дискретизации применяется метод локальных функции Грина.

Для обеспечения соленоидальности вводится коррекционное давление рс так, чтобы векторное поле

и" =Й"-тУрс

было несжимаемым.

На рис. 5 изображены линии тока течения в классической тестовой задаче для квадратной каверны с подвижной верхней крышкой, когда

19

течение уже стабилизировалось при / » 1 (t = 60, Re = 1000). Полученные результаты хорошо согласуются с результатами, приведенными в работах Лойцянского Л.Г. (Механика жидкости и газа. М.,1987.) и Ольшанского М.А. (Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2002. Vol. 191. P. 5515-5536.)

Рис. 5. Линии тока при Яе=1000 Заключение содержит основные положения, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Для моделирования процессов распространения как антропогенных загрязнений, так и природных химических веществ в воздушных и водных экосистемах разработан, реализован в виде компьютерных программ и апробирован при решении ряда практических задач метод локальных функций Грина, обеспечивающий устойчивое моделирование конвективно-диффузионного пространственного распространения примесей.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ

1. Методы построения локальных функций Грина, основанные на интегральном представлении для квадратного и круглого носителей и на представлении в виде ряда по собственным функциям, а также асимптотика локальных функций Грина для предельных значений параметра возмущения;

2. Алгоритмы и программы, а также полученные на их основе численные результаты решения эталонных задач;

3. Устойчивая схема дискретизации нестационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, основанная на использовании разработанных в диссертационной работе алгоритмах построения локальных функций Грина;

4. Устойчивая схема аппроксимации разрывных решений на примере нелинейных уравнений Бюргерса.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1.Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Решение сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии методом локальных функций Грина // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 4. - № 3. - С. 462-471.

2. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Timofeev D.V. The local Green's function method in simulation of the environmental pollutions spreading // Environmental Problems and Ecological Safety: proceedings of Workshop. Wiesbaden, Germany, September 29-October 1, 2004. - University of Applied Sciences, 2004. - P. 72-84.

3. Glushkov E.V., Glushkova N.V., Timofeev D.V. Numerically stable Petrov-Galerkin scheme for singularly perturbed problems // Advances in Meshless Methods I edited by: J. Sladek, V. Sladek, and S.N. Atluri. - Forsyth: Tech Science Press, USA, 2006.

4. Глушков E.B., Глушкова H.B., Тимофеев Д.В. Использование локальных функций Грина для решения сингулярно возмущенных задач // Труды XI Всероссийской школы-семинара современные проблемы математического моделирования. - Ростов-на-Дону, 2005. - С. 102-107.

5. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Численное решение краевых сингулярно возмущенных задач // Заключительная конференция грантодержателей РФФИ "р2003юг". - Краснодар. 2005. -С. 15-16.

6. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Устойчивое решение нелинейных сингулярно возмущенных задач // Наука Кубани. - 2005. -№4.-С. 15-17.

ТИМОФЕЕВ Дмитрий Владимирович

МЕТОД ЛОКАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 3.07.2006 г. Формат 60x84 Уч.-изд. л. 1,28. Усл. печ. л. 1,39. Бумага Maestro. Печать трафаретная. Тираж 100 экз.-Заказ № 6166.

Тираж изготовлен в типографии ООО «Просвещение-Юг»

с оригинал-макета заказчика. 350059 г. Краснодар, ул. Селезнева, 2. Тел./факс: 239-68-31.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Тимофеев, Дмитрий Владимирович

Введение

1 Основные определения. Предпосылки использования метода

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основная идея метода.

2 Локальная функция Грина

2.1 Определение локальной функции Грина. Квадратный носитель

2.2 Структура матричного шаблона.

2.3 Локальные функции Грина с круглым носителем

2.4 Метод разделения переменных и асимптотика функции Грина

2.5 Локальная функция Грина в трехмерном случае.

3 Практическая реализация.Численный анализ

3.1 Реализация вычисления правой части.

3.2 Порядок сходимости. Эффективность применения асимптотических формул

3.3 Внутренние слои, криволинейные границы, неоднородные поля

3.4 Численные примеры в трехмерном случае.

4 Анализ метода

4.1 Свойства нормальной производной локальной функции Грина

4.2 Устойчивость приближенного решения. М-матрица

4.3 Связь с методом конечных разностей против потока.

5 Использование метода локальных функций Грина для решения нелинейных сингулярно возмущенных уравнений

5.1 Уравнения Навье-Стокса.

5.2 Уравнение Бюргерса.

5.3 Модельная задача процесса обессоливания в электромембранной системе

Введение Диссертация по биологии, на тему "Метод локальных функций Грина для исследования сингулярно возмущенных процессов переноса примесей"

Вопросы экологической безопасности и рационального природопользования включают в себя мониторинг загрязнения воздушной и водной среды. Оценка возможного загрязнения как в результате стихийных природных катастроф, приводящих к выбросам и разливам загрязняющих веществ (ЗВ), так и при повседневной хозяйственной деятельности, предполагает наличие эффективных математических моделей указанных процессов. Математическое моделирование в данном случае особенно важно, учитывая, что экологические системы, изучаемые современной наукой, больше не поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долог, дорог, часто либо опасен, либо попросту невозможен, так как многие из этих систем существуют в "единственном экземпляре". Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока [51, 45].

Развитие методов прогноза основывается на результатах теоретического и экспериментального изучения закономерностей распространения примесей от их источников. Такое изучение осуществляется главным образом по двум направлениям. Одно из них состоит в разработке теории турбулентной диффузии на основе математического описания распространения примесей. Другое связано в основном с эмпирико-статистическим анализом распространения загрязняющих веществ в атмосфере и с использованием для этой цели интерполяционных моделей большей частью гауссовского типа.

Первое направление является более универсальным, поскольку позволяет исследовать распространение примесей от источников различного типа при разных характеристиках среды. В частности, оно дает возможность использовать параметры турбулентного обмена, применяемые в метеорологических задача о тепло- и влагообмене в атмосфере.

Сравнительно просты для описания закономерностей распределения примеси гауссовы модели, чем объясняется довольно широкое распространение в различных странах работ второго направления.

Более подробное описание обоих направлений содержится в ряде книг отечественных и зарубежных авторов [40, 11, 13, 39, 37, 53, 89, 79] и др., а также в обзорных докладах [12, 74, 94] и др.

В рамках теории атмосферной диффузии изучается распространение примесей в воздухе (см. обзор в [38]). При отсутствии атмосферной диффузии загрязнения накапливались бы в нижнем слое воздуха, что затруднило бы существование людей. Это особенно важно при распространении в воздухе радиоактивных веществ, что тревожит в последние годы все человечество.

Атмосферная диффузия является сложным явлением и зависит от многих факторов. Рассматривается целый ряд факторов влияющих на распространение загрязняющих веществ. Во-первых, нужно знать, как загрязнения поступают в воздух, т.е. каков характер источников загрязнения. Загрязнения могут попадать в воздух от промышленных предприятий, с земли или от искусственных источников. Источники могут быть точечными или же распределены по линии, поверхности, объему.

Вторая группа факторов относится к свойствам самого загрязнения. Нужно знать, как влияет сила тяжести, нужно учитывать возможность химических и радиоактивных превращений загрязнения, а также физических превращений, таких как коагуляция, сублимация и абсорбция на аэрозолях.

Третья группа относится к условиям взаимодействия загрязнений с поверхностью земли или воды. Загрязнения могут либо задерживаться этой поверхностью, как бы прилипая к ней или поглощаясь ею, либо отражаться от неё и возвращаться обратно в воздух.

В-четвертых, необходимо определить закономерности распространения загрязнений в воздухе при различных метеорологических условиях [И, 13]. Загрязнения переносятся воздушными течениями и диффундируют в воздухе благодаря действию турбулентности. Причиной турбулентной диффузии являются хаотические гидродинамические движения различных масштабов, вплоть до очень малых, порядка сантиметра.

Необходимо отметить вклад ученых Тейлора [93] и Ричардсона [91], заложивших основы описания и исследования турбулентной диффузии.

В настоящее время имеется большое количество работ посвященных математическому моделированию явлений, связанных с загрязнением атмосферы и воды за счет турбулентной диффузии. Кроме указанных ранее работ, следует отметить исследования академиков Г.И. Марчука и В.А. Бабешко.

Так в работах школы Г.И. Марчука с помощью уравнения переноса с учетом турбулентной диффузии исследованы загрязнения атмосферы и подстилающей поверхности пассивными и активными примесями. Для этого разработаны численные методы решения, проанализированы свойства конечно-разностных аппроксимации уравнения [35, 32, 33].

В реальных условиях атмосфера имеет вертикальную стратификацию, чаще всего можно выделить три слоя со скачкообразными изменениями метеорологических параметров. Именно так было во время выбросов на Чернобыльской АЭС, когда в трех слоях атмосферы было три различных направления ветра. Группа исследователей во главе с В.А. Бабешко разработала методы решения уравнения турбулентной диффузии, учитывающих эту особенность атмосферы [3, 4, 5, 6]. В качестве основы были использованы подходы, оправдавшие себя в задачах теории упругости для многослойных сред [17, 7].

Другой важнейшей экологической проблемой является загрязнение гидросферы, что вызывает дефицит воды используемой для обеспечения жизнедеятельности человека и в технологических целях. Один из самых экологических методов, из-за отсутствия вторичного загрязнения, решением данной проблемы является элетромембранные системы очистки воды. Для оптимизации процессов очистки воды используются математические модели этих процессов [25].

Турбулентная, молекулярная и другие виды диффузий имеют различную физическую природу, но с точки математического моделирования описывают один и тот же процесс. Основным математическим объектом для исследования указанных процессов в движущийся сплошной среде является уравнение конвекции-диффузии. А.А. Самарским исследованы численные методы решения стационарных и нестационарных задач конвекции-диффузии как наиболее важных для практики задач для эллиптических и параболических уравнений второго порядка с несамосопряженными операторами. Выделены три типа таких задач, связанных с использованием дивергентной, недивергентной и так называемой симметричной формой записи операторов конвективного переноса, а так же рассмотрены итерационные методы решения полученых сеточных задач [49, 50, 48, 52].

Диссертация посвящена разработке метода решения стационарного уравнения конвекции-диффузии:

Си = —еАи + b • Vm + си = /, х = (ж, у, z) G Cl, где и(х) - концентрация вещества, е(х) > 0 - коэффициент диффузии, Ь(х) = (&ъ&2,&з) - скорость движения среды и с(х) > 0 - коэффициент поглощения.

Важнейшим классом проблем являются ситуации, когда скорость конвективного переноса на много порядков больше, чем у диффузионных процессов, однако последние нельзя исключить из математической модели, так как без их учета невозможно получить корректное решение, удовлетворяющее всем требуемым граничным условиям. Ввиду разномасштабности процессов коэффициенты при конвективных и диффузионных членах уравнения отличаются на порядки, т.е. рассматриваемые задачи относятся к классу сингулярно возмущенных с малым параметром при старших производных. При этом в качестве малого параметра выступает либо коэффициент диффузии (г) либо, после перехода к безразмерным параметрам, величина обратная к числу Пекле (1/ Ре), Ре = тах\Ъ\Ь/е, где L - характерная длина для рассматриваемой задачи.

Характерной особенностью таких задач является наличие узких пограничных и внутренних слоев, в которых решение имеет большой градиент (порядка 0(1/£)) [15, 14]. Это делает невозможным применение обычных сеточных методов численного решения без достаточного измельчения сетки в пределах погранслоя. Увеличение числа узлов, а тем самым и размерности алгебраической системы, возникающей в результате дискретизации, приводит не только к быстрому росту вычислительных затрат, необходимых для ее решения, но главное, к быстрой потере численной устойчивости ввиду роста числа обусловленности матрицы системы.

Начало систематическому изучению уравнений с малым параметром было положено А.Н. Тихоновым. Существенные результаты для сингулярно возмущенных уравнений в частных производных получены J1.A. Люстерником, М.И. Вишиком [15], предложивших метод экспоненциального пограничного слоя.

В настоящее время имеется ряд метод построения асимптотического разложения синугялрно возмущенных задач. Развитие этой идеи привело к созданию метода пограничных функций [14].

В тоже время основной проблемой является разработка численных схем, у которых погрешность и вычислительные затраты незначительно зависят от малого параметра [9, 26, 19].

Одним из способов решения данной задачи является использование специальным образом сгущаемых (априорно или апостериорно) сеток в районе слоя, при этом часто используются сетки Н.С. Бахвалова [9] или Г.И. Шишкина [63]. Хотя априорные методы более просты в реализации, в то же время необходимо обладать достаточной информацией о точном решении, что особенно трудно сделать в случае внутренних слоев. Поэтому большой интерес вызывают адаптивные методы, автоматически сгущающие сетку в подобластях, где решение оказывается недостаточно точным [36]. Эти методы объединены общей идеей - уменьшение локального параметра возмущения: в случае уравнения конвекции-диффузии этим параметром является локальное число Пекле Pe/j, = |b|h/e (здесь h - характерный размер ячейки сетки).

Поиск преодоления относительно медленной сходимости итерационных методов привел к созданию многосеточных методов. Идея состоит в решении задач на последовательности измельчаемых сеток, при этом решение на новом уровне вычисляется с учетом предыдущего уровня, что сокращает необходимое количество итераций. Так в работах Р.П. Федоренко [55, 56] был сформулирован многосеточный алгоритм для стандартной пятиточечной дискретизации уравнения Пуассона в единичном квадрате, который позволяет получить численное решение, выполняя 0(N) арифметических операций (N - число узлов сетки). Позднее его идеи получили развитие в работах Н.С. Бахвалова [8] и других отечественных и зарубежных математиков [2, 68, 78].

Теория и практика хорошо разработаны в случае самосопряженных задач [62]. К сожалению, уравнение конвекции-диффузиии не является самосопряженным, поэтому разработка методов и анализ сходимости для таких задач является сложной проблемой [30]. Для получения "универсальных методов" используются "универсальные" сглаживания, операторы перехода с одно сеточного уровня на другой, зависящие от матрицы системы [95]. Но такие модификации основываются в основном на эвристических доводах и эмпирических исследованиях. В то же время в специальных случаях получены удовлетворительные результаты [41].

Итерационные методы решения с несамосопряженными операторами можно найти в общих руководствах [52], [61]. Это направление достаточно активно развивается, появляются новые итерационные методы, а так же развиваются подходы связанные с использованием различных переобусловливателей, позволяющих ускорить сходимость уже существующих итерационных методов (см., например, [29, 28],[75]).

Для преодоления недостатков МКЭ (метод конечных элементов), больших нефизических осцилляций, развиваются стабилизированные методы конечных элементов, в частности, в работах Т. Хьюза представлены противопо-точный метод Петрова-Галеркина (SUPG) [73, 82] и модификация метода наименьших квадратов - Galerkin/least-squares (GLS) [83]. Также следует отметить метод residual-free bubbles (RFB), где устойчивость обеспечивается за счет добавления к пространству конечных элементов специальных функций, равных нулю на границе сетки конечных элементов [69], [70]. Эти методы являются развитием метода классической искусственной вязкости в рамках галеркинской аппроксимации дифференциальной задачи, причем стабилизацию обеспечивает учет мелкомасштабных компонентов решения [84],[85].

Подход, связанный со специальной аппроксимацией оператора дифференциального уравнения, привел к использованию противопоточных разностных схем, которые широко используются в вычислительной гидродинамике и задачах тепломассообмена [46, 43, 42]. К этому же подходу относится явный учет погранслойной структуры решения выбором базисных функций, как в [80, 66]. Рассматриваемый в диссертации метод локальных функций Грина является вариантом схемы Петрова-Галеркина со специальным выбором тест-функций (проекторов), учитывающим структуру решения [1, 67, 21].

В последнее время развиваются так называемые бессеточные (meshless) методы. Авторы подчеркивают, что эти методы рассматриваются в качестве альтернативы к традиционным методам конечных элементов. Основной идеей является отказ от разбиения области решения конечно-элементной сеткой, при этом область покрывается облаком узлов-центров базисных функций. В качестве носителей используются удобные для интегрирования формы - круг и шар. Обзор литературы по этим методам и применение одного из них, локального бессеточного метода Петрова-Галеркина, к задаче конвекции-диффузии можно найти в работах С.Н. Атлури [64, 65].

Несмотря на большое количество существующих методов решения сингулярно возмущенных задач, требование времени приводит к необходимости рассматривать все более сложные экологические модели. При этом структура решения зачастую не поддается прогнозу на предварительном этапе, что существенно затрудняет применение этих методов. Другой проблемой является обеспечение независимой скорости сходимости метода от величины малого параметра.

Таким образом, для мониторинга загрязнения экологических систем и анализа динамики распространения примесей в воздушной и водной среде актуальной является проблема разработки адекватных математических моделей, базирующихся на численных методах устойчивых при сингулярном вырождении уравнений конвекции-диффузии, описывающих процессы переноса.

Целью работы является:

1) создание на основе метода локальных функций Грина математической модели, адекватно описывающей процесс переноса примесей при сильном доминировании конвекции;

2) компьютерная реализация метода локальных функций Грина для сингулярно возмущенных процессов переноса примесей в двумерном и трехмерном случае;

3) апробация метода на эталонных задачах переноса загрязнений конвективно-диффузионными потоками;

4) обобщение метода для решения нелинейных уравнений Навье-Стокса и Бюр-герса.

Развитие идеи учета погранслойной структуры в базисных функциях привело к схеме Петрова-Галеркина, где проекторами являются локальные функции Грина. Такая схема продемонстрировала свою эффективность, так как устойчивость обеспечивается уже на грубых сетках, не требуя специального сгущения сетки в районе слоя [80, 66]. Однако в случае двух и более переменных, несмотря на все достоинства, метод локальных функций Грина не использовался. Причина состоит в отсутствии в этом случае явного вида локальной функции Грина. В отличие от глобальной функции Грина, являющейся фундаментальным решением сопряженного уравнения во всем пространстве, локальные функции Грина определяются в элементарных окрестностях узлов сетки. При этом, являясь проекторами (тестовыми функциями), они должны удовлетворять главным граничным условиям используемой вариационной схемы. Таким образом, для построения локальных функций Грина необходимо решить краевую задачу для неоднородного сопряженного уравнения (с дельта- функцией в правой части) и главными краевыми условиями на границе элементарной ячейки (однородными условиями Дирихле).

Основная идея диссертационной работы - обобщение метода локальных функции Грина на случай двух и трех переменных, базирующегося на предложенном Аксельсоном О., Глушковым Е.В. и Глушковой Н.В. [1] подходе, основанном на использовании техники интегральных преобразований. Разработанная в диссертационной работе модель конвективно-диффузионного распространения примесей основана на реализации данного метода.

В соответствии с указанными целями в первой главе, которая носит вспомогательный характер, дается физическая постановка задачи и математическая постановка краевой задачи Дирихле для стационарного уравнения конвекции-диффузии, рассматривается обобщенная постановка задачи, формулируется метод Петрова-Галеркина.

Вторая глава посвящена способам построения локальных функций Грина в случае двух и трех переменных для различных форм носителей, а также выводу их асимптотики при предельных значениях малого параметра. В начале главы рассматривается двумерная постановка, а затем метод обобщается на трехмерный случай. В п. 2.1 формулируется краевая задача для локальной функции Грина в случае квадратного носителя, рассматривается построение локальной функции Грина на основе интегрального представления. В п. 2.2 рассматривается шаблон линейной алгебраической системы, к которой исходная краевая задача сводится методом локальных функций Грина. Это система обладает разреженной матрицей, свойства которой позволяют использовать итерационный метод Гаусса-Зейделя для её решения. В п. 2.3 строится локальная функция Грина для круглого носителя, что сокращает вычислительные затраты всей схемы, если в области решения меняется только направление конвективного поля. В п. 2.4 рассмотрено представление локальной функции Грина в виде ряда по собственным функциям, что позволяет получить асимптотику при стремлении малого параметра к предельному значению. Полученная асимптотика существенно расширяет границы применимости метода. В п. 2.5 дается обобщение разработанных алгоритмов и методов на трехмерный случай.

В третьей главе приводятся численные результаты решения модельных задач переноса примесей, демонстрирующие эффективность применения разработанного метода при решении экологических проблем. В п. 3.1 показывается, что важным аспектом практической реализации общей схемы является эффективное вычисление интегралов правой части. В п. 3.2 на примере задачи с резким погранслоем анализируется сходимость и устойчивость метода. В п. 3.3 рассматриваются результаты численного моделирование распространения примесей в различных постановках, в том числе и в случае вихревых течений. В п. 3.4 моделируется перенос примесей в трехмерной постановке.

Четвертая глава посвящена анализу метода и доказательству его устойчивости. В п. 4.1 рассматриваются свойства нормальной производной локальной функции Грина, которые и определяют положительные свойства всего метода. В п. 4.2 доказывается устойчивость приближенного решения, для этого анализируются свойства матрицы линейной алгебраической системы. В п. 4.3 проводится аналогия с методом конечных разностей против потока.

В пятой глава рассматривается использование метода локальных функций Грина для решения нелинейных уравнений, определяющих движение сплошной среды. В п 5.1 рассматривается уравнения Навье - Стокса. В п 5.2 решается невязкое уравнение Бюргерса, особенностью которого является образование разрывов в решении. В п 5.3 рассматривается модельная задача процесса обес-соливания в электромембранной системе.

Заключение содержит основные положения, выносимые на защиту.

Научная новизна определяется тем, что

- в работе дано обобщение метода локальных функций Грина на случай многих переменных;

- разработаны методы построения локальных функций Грина, основанные на интегральном представлении для квадратного и круглого носителей и на представлении в виде ряда по собственным функциям, а также асимптотика локальной функции Грина для предельных значений параметра возмущения;

- разработаны алгоритмы и программы, а также получены на их основе численные результаты решения эталонных задач;

- получена устойчивая схема дискретизации нестационарных нелинейных уравнений гидродинамики (Навье-Стокса) при больших числах Рейнольдса, основанная на использовании разработанных в диссертационной работе алгоритмов построения локальной функции Грина;

- предложена устойчивая схема аппроксимации разрывных решений (на примере нелинейных уравнений Бюргерса);

- проведен численный анализ характерных особенностей переноса загрязнений и примесей при значительном доминировании конвективных потоков над диффузионными;

- продемонстрировано образование пограничных и внутренних слоев, формирующихся в потоках переноса веществ в случае малой диффузии.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановок задач, строгим доказательством выводов и утверждений, и сравнением решений задач, полученных разработанным методом, с результатами других авторов.

Практическая значимость работы. Разработана и реализована в виде пакета компьютерных программ математическая модель процесса распространения примесей в экологических системах, дающая устойчивые результаты как при сильном сингулярном возмущении, так и при учете нелинейных механизмов формирования гидродинамических потоков.

Теоретическая значимость работы. Разработан новый метод решения сингулярно возмущенных задач на основе схемы Петрова-Галеркина в случае многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 2-ой и 3-ей объединенной научной студенческой конференции факультета прикладной математики Кубанского государственного университета «Прикладная математика XXI века» (Краснодар, 2002 г., 2003 г.), на международном семинаре «Environmental Problems and Ecological Safety» (Wiesbaden, Germany, 2004), на XI Всероссийской школе-семинаре «Современные проблемы математического моделирования» (Дюрсо, 2005), на заключительной конференции грантодержателей регионального конкурса РФФИ и администрации Краснодарского края мр2003юг"(Краснодар, 2005). В целом диссертация обсуждалась на семинарах кафедр прикладной математики и численного анализа КубГУ и на семинаре «Краевые задачи математической физики» в ЮжноРоссийском региональном центре информатизации Ростовского государственного университета (Ростов-на-Дону, 2006).

Диссертационные исследования проводились в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-96626-р2003юг «Метод локальных функций Грина для сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии» и NATO PST.CLG.980398 «Boundary Meshless Methods for Solving Large Scale Problems».

Основные результаты диссертационого исследования содержаться в публикациях [21], [76], [22], [23], [24], [77].

Автор выражает глубокую признательность д.ф-м.н., профессору Е.В. Глушкову за постановку задачи и консультации. Особую благодарность автор выражает научному руководителю д.ф-м.н., ст. науч. сотруднику Н.В. Глушко-вой за постоянное внимание и помощь в работе.

Заключение Диссертация по теме "Экология", Тимофеев, Дмитрий Владимирович

Основные результаты: Для моделирования процессов распространения как антропогенных загрязнений, так и природных химических веществ в воздушных и водных экосистемах разработан, реализован в виде компьютерных программ и апробирован при решении ряда практических задач метод локальных функций Грина, обеспечивающий устойчивое моделирование конвективно-диффузионного пространственного распространения примесей.

На защиту выносятся:

- методы построения локальных функций Грина, основанные на интегральном представлении для квадратного и круглого носителей и на представлении в виде ряда по собственным функциям, а также асимптотика локальных функций Грина для предельных значений параметра возмущения;

- алгоритмы и программы, а также полученные на их основе численные результаты решения эталонных задач;

- устойчивая схема дискретизации нестационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, основанная на использовании разработанных в диссертационной работе алгоритмах построения локальных функций Грина;

- устойчивая схема аппроксимации разрывных решений на примере нелинейных уравнений Бюргерса.

Заключение

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Тимофеев, Дмитрий Владимирович, Краснодар

1. Аксельсон О., Глушков Е.В., Глушкова Н.В. Метод локальных функций Грина для сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии // Докл. РАН. 2003. Т. 388. № 2. С. 166-170.

2. Астраханцев Г.П. Об одном итерационном методе // Журн. вычисл. ма-тем. и матем. физ. 1971. Т.Н. № 4.

3. Бабешко В.А., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. Об одной модели распространения загрязняющих веществ по глубине водного потока // Докл. РАН. 1994. Т. 337. № 5.

4. Бабешко В.А., Гладской И.Б., Зарецкая М.В., Кособуцкая Е.В. К проблеме оценки выбросов загрязняющих веществ источниками различных типов // Докл. РАН 1995. Т. 342. № 6.

5. Бабешко О.М., Евдокимова О.В., Евдокимов С.М. Об учете типов источников и зон оседания загрязняющих веществ// Докл. РАН. 2000. Т. 371. № 1.

6. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. - 344 с.

7. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. Т.69. № 5.

8. Бахвалов Н.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя //Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т. 9, № 4, С. 841-859.

9. Бахвалов Н. С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ Лаборатория знаний, 2004. - 636 с.

10. И. Берлянд М.Е. Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения атмосферы. JL: Гидрометеоиздат. 1975. - 448 с.

11. Берлянд М.Е. Состояние и пути совершенствования нормирования, контроля и прогноза загрязнения атмосферы, АН СССР. ОБМ.Препринт N2 59, М., 1983. 50 с.

12. Вызова H.J1. Рассеивание примесей в пограничном слое атмосферы. М.: Гидрометеиздат. 1974. - 190 с.

13. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. - 272 с.

14. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5. С. 3-122.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1988.

16. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974. - 456 с.

17. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральноые преобразования и операционное исчисление. М., 1974.

18. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983.

19. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.-М.:Добросвет, 2000. 412 с.

20. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Решение сингулярно возмущенных задач конвекции-диффузии методом локальных функций Грина // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. № 3. С. 462-471.

21. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Использование локальных функций Грина для решения сингулярно возмущенных задач // Труды XI Всероссийской школы-семинара современные проблемы математического моделирования. Дюрсо. 2005. С. 102-107.

22. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Численное решение краевых сингулярно возмущенных задач // Заключительная конференция грантодержателей РФФИ "р2003юг". Краснодар. 2005. С. 15-16.

23. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Тимофеев Д.В. Устойчивое решение нелинейных сингулярно возмущенных задач // Наука Кубани. 2005. №4. С 15-17.

24. Заболоцкий В.И., Никоненко В.В., Гнусин Н.П., Уртенов М.Х. Конвективно-диффузионная модель процесса элетродиализного обессли-вания. Распределение концентраций и плотности тока // Электрохимия. 1995. Вып. 3. Т. 21.

25. Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной // Мат. заметки. 1969. Т. 6, вып. 2. С. 237-248.

26. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 456 с.

27. Крукиер JI.A., Бочев М.А. Об итерационном решении сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. Т. 37. № 11. С. 1283-1293.

28. Крукиер JI.A. Решение сильно несимметричных систем линейных алгебраических уравнений итерационным методом, основанным на кососиммет-ричной части исходной положительной матрицы //Мат. модел., Т. 13. № 3, 2001. С. 49-56.

29. Крукиер JI.A., Муратова Г.В. Решение стационарной задачи конвекции-диффузии с малым параметром при старшей производной многосеточнымметодом // Изв. высших уч. зав. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2001 г. Спецвыпуск. С. 105-109.

30. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987.

31. Марчук Г. И. Некоторые математические проблемы охраны окружающей среды // Комплексный анализ и его приложения. М.: Наука, 1981. -С.375-381.

32. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.:Наука, 1982.

33. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981. 416 с.

34. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы: Математические модели и численные эксперименты. Л.: Гидрометеоиздат, 1977.

35. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

36. Метерология и атомная энергия / Пер. с англ. Под ред. Бызовой Н.Л и Махонько К.П. Л.: Гидрометеоиздат. 1979. - 80 с.

37. Монин А.С. Атмосферная диффузия // УФН. 1959. Т. 67. вып. 1. С. 119130.

38. Монин А.С., Яглом A.M. Статистическая гидродинамика, ч I. М.: Наука. 1965 - 638 с.

39. Обухов A.M. Турбулентность и динамика атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат, 1988.

40. Ольшанский М. А. Анализ многосеточного метода для уравнений конвекции-диффузии с краевыми условиями Дирихле // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 8. С. 1450-1479.

41. Пасков В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984.

42. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат, 1984, - 150 с.

43. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. - 800 с.

44. Рациональное использование водных ресурсов бассейна Азовского моря / Под ред. И.И. Воровича. М.: Наука, 1981. 360 с.

45. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980.

46. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.:Наука, 1971.

47. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные схемы для нестационарных задач конвекции-диффузии // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 2, С. 207-219.

48. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 248 с.

49. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Эдиториал УРСС, 2003. - 784 с.

50. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.:Физматлит, 2001.

51. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.

52. Семенчин Е. А. Аналитические решения краевых задач в математической модели атмосферной диффузии Ставрополь: СКИУУ. 1993. - 142 с.

53. Уртенов М.Х., Сеидов P.P. Математические модели электромемьранныйх систем очистки воды: Монография. Краснодар: КубГУ, 2000. - 139 с.

54. Федоренко Р.П. Релаксационного метод решения разностных эллиптических уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т.1. № 5.

55. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4, № .3.

56. Федорюк М.В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.:Наука, 1987. - 544 с.

57. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. Т. 1-2 . М.: Мир, 1991.

58. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, - 280 с.

59. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.:Наука, 1987.

60. Хейгеман JL, Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.

61. Шайдуров, В.В. Многосеточный метод конечных элементов. М: Наука, 1989.

62. Шишкин Г.И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1992.

63. Atluri, S.N. and Shen, S. The meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method: a simple & less-costly alternative to the finite element and boundary element methods // Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2002. Vol. 3. No. 1. P. 11-51.

64. Atluri, S.N., Lin H. Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method for Convection-Diffusion Problems // Computer Modeling in Engineering & Sciences. 2000. Vol. 1. No. 2. P. 45-60.

65. Axelsson O. Stability and error estimates of Galerkin finite element approximations for convection-diffusion equations // IMA J. Numer. Anal., 1981. № 1. P. 329-345.

66. Axelsson O., Glushkov E. V., Glushkova N. V. Petrov-Galerkin method with local Green's functions in singularly perturbed convection-diffusion problems

67. International Journal of Numerical Analysis and Modeling. 2005. V. 2. P. 199-259.

68. Brandt A. Multi-level Adaptive Computations in Fluid Dynamics // AIAA 1980. J. 18. P. 1165-1172.

69. Brezzi F., Franca L.P., Hughes T.J.R., Russo A.b = Jg // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1997. № 145. P.329-339.

70. Brezzi F., Franca L.P., Russo A. Further consideration on residual-free bubbles for advective-diffusive equation // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1998. № 166. P.25-33.

71. Burgers J.M. The nonlinear diffusion equation. Dordrecht: Reidel, 1974.

72. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems. // Journal of Computational Physics, 1967. № 2. P.12-26.

73. Brooks A.N., Hughes T.J.R. Streamline upwind Petrov-Galerkin fomulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equation // Comput. Meth. Appl. Engng. 1982. V.32.P.199-259.

74. Deardorff J. Different approaches toward predicting pollutant dispersion in the boundary layer and their advantages and disadvantages // In: Pap. WNO Symp., Norrkoping, WMO N 510, 1978. P. 1-8.

75. Elan H.C. Relaxed and stabilized incomplete factorizations for nonselfadjoint linear systems // BIT (Dan.). 1989. V. 29(4). P. 890-915.

76. Glushkov E.V., Glushkova N.V. and Timofeev D.V. Numerically stable Petrov-Galerkin scheme for singularly perturbed problems // Advances in Meshless

77. Methods / edited by: J. Sladek, V. Sladek, and S.N. Atluri. Tech Science Press, USA, 2006.

78. Hackbusch V. Multigrid method and applications. Berlin etc.: Springer -Verlag, 1985.

79. Hanna S., Brigss G., Hosker R. Handbook of atmosphere diffusion.- Tech. Inf. Center. US Dep. of Energy. 1982. 102 p.

80. Hemker P.W. A numerical study of stiff two-point boundary problems, Ph.D. thesis, Mathematical Center, Amsterdam, 1977.

81. Hemker P.W. A singularly perturbed model problem for numerical computation // Journal of Computational and Applied Mathematics, 1996. № 76. P. 237-285.

82. Hughes T.J.R. and Brooks A.N. . A multidimensional upwind scheme with no crosswind diffusion / In T.J.R. Hughes, editor, Finite Element Method For Convection Dominated Flows, AMD Vol. 34, 19-35. ASME, New York, 1979.

83. Hughes T.J.R., Franca L.P., and Hilbert G.M. A new finite element formulation for computational fluid dynamics: VIII. The Galerkin/least squares method for advective-diffusive equations. Comput. Methods Appl.Mech.Engrg., 1989. 73(2) P. 173-189.

84. Hughes T.J.R. Multiscale phenomena: Green's function, the Dirichlet-to-Neumann formulation, subgrid scale models, bubbles and the origins of stabilized methods // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1995. № 127. P.387-401.

85. Hughes T.J.R., Feijoo G., Mazzei L., Quincy J-B. The variational multiscale method- a paradigm for computational mechanics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 1998. № 166. P.3-24.

86. Kim J., Moin P. Application of a fractional step method to incompressible Navier-Stokes equation // J.Comp. Physics, 1985. Vol. 50. P. 308-323.

87. Kurganov A., Tadmor E. New high-resolution central schemes for nonlinear conservation laws and convection-diffusion equations // Journal of Computational Physics. 2000. Vol. 160. P. 241-282.

88. Morton K.W. Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems, Chapman and Hall, London, 1996.

89. Nieuwstadt F.T.M., Van Dop H. Atmospheric turbulence and air pollution modelling. Dordrecht, Reidel. 1982.

90. Olshanskii M.A. A lower order Galerkin finite element method for the Navier-Stokes equation of steady incompressible flow: a stabilization issue and iterative methods // Computer Methods Appl. Mech. Engrg. 2002. Vol. 191. P. 5515-5536.

91. Richardson L.F. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph. // Proc. R. Soc. A, 1926:110, P. 709-737.

92. Sonin A., Probstein P. A hydrodynamic theory of desalination by electrodialysis // Desalination, 1968. № 3. P.293.

93. Taylor G.I. Statistical theory of turbulence. Parts 1-4. Proc. Roy. Soc. London A. 1935. V. 151. P.421-478.

94. Turner B. Atmospheric dispersion modeling. A critical review // J. Air Poll. Contr. Ass., 1979. P. 502-519.

95. Wesseling P. An introduction to multigrid methods. Wiley, Chichester. 1992.