Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Эффекты хаотической адвекции в вихревых структурах

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Эффекты хаотической адвекции в вихревых структурах"

На правах рукописи

Рыжов Евгений Андреевич Эффекты хаотической адвекции в вихревых структурах

25.00.28 - Океанология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 ОЕЗ 2011

Владивосток - 2011

4856150

Рабата выполнена в Учреждение Российской академии наук Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева Дальневосточного отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

старший науч>1ый сотрудник, Кошель Константин Валентинович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Жмур Владимир Владимирович доктор физико-мателштических наук, старший научный сотрудник, Ярощук Игорь Олегович Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт

водных проблем РАН

Защита состоится 25 февраля 2011 в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д-005.0П.02 при Учреждение Российской академии наук Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева Дальневосточного отделения РАН, расположенном но адресу: г. Владивосток, ул. Балтийская, д. 43.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждение Российской академии наук Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева Дальневосточного отделения РАН.

Автореферат разослан 25 января 2011

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Исследования процессов перемешивания и переноса примесей в океане имеют высокое значение по ряду причин. Известно, что перенос термогидродинамических характеристик напрямую воздействует на биопродуктивность океана, а также значительно влияет на климатическую изменчивость. Также, несомненно, важным вопросом является прогнозирование распространения различных негативных факторов, например, нефтяных разливов. Несвоевременные и неэффективные меры по ликвидации последствий глобальных техногенных катастроф последнего времени указывают, в том числе, на то, что процессы переноса и перемешивания примеси в океане все еще изучены достаточно слабо. В то же время, хорошо известно, что различные вихревые движения играют одну из определяющих ролей в данных процессах. Причем значительная доля таких вихревых движений приходится на топографические вихри. Вследствие этого, изучение переноса и перемешивания в таких топографических вихрях представляется актуальной для физической океанологии задачей.

Топографические вихри представляют собой замкнутые области рециркуляции в окрестности подводных возвышенностей. Данные объекты интересны для изучения, например, в связи с тем, что их местоположения совпадают с естественной средой обитания разнообразных биологических объектов или с распределением различных примесей, таких как соленость или тепло.

Простейшие баротропные или многослойные модели геофизических потоков, допускающих проявление вихревых движений, можно построить на основе концепции фоновых течений. Под фоновым понимается течение, характеризуемое постоянством и горизонтальной однородностью распределения потенциальной завихренности. Задавая стратификацию и рельеф дна, а также расходы на границах области, можно получать динамически-согласованные функции тока таких модельных течений. При условии несжимаемости невязкой жидкости в квазигеострофическом приближении для некоторых типов подводных возвышенностей удается получить довольно простые аналитические выражения таких функций тока, что позволяет провести исчерпывающий анализ свойств этих моделей. Хо-

рошо известно, что уже простой плоский гидродинамический поток с периодическим по времени возмущением, который может быть интерпретирован в качестве динамической системы с «полутора степенями свободы», допускает проявление хаотического переноса массы. Аналогично этому, хаотический перенос возникает в моделях фоновых течений. Под хаосом в данном случае подразумевается экспоненциальная расходимость изначально близких траекторий, при том, что уравнения движения являются детерминированными, то есть в параметрах модели отсутствует какая-либо случайная компонента.

Такой хаотический перенос приводит к тому, что вихрь обменивается жидкостью и, следовательно, растворенной в ней примесью, с внешним потоком. В случае малого возмущения внешнего потока, хаотическому переносу подвержена лишь небольшая область вихря на его периферии. Однако при конечных амплитудах возмущения такая область может увеличиться вплоть до всего размера этого вихря. Учитывая тот факт, что реальные периодические потоки имеют как раз конечные амплитуды возмущения, задача исследования процессов хаотизации окрестностей топографических вихрей в этом случае представляется полезной для океанологии.

В диссертационной работе рассматриваются свойства хаотического и регулярного переноса массы, проявляющегося в топографических вихревых структурах при наложении на них как малых, так и конечных возмущений различной природы в модели топографических вихрей в двух- и трехслойном приближениях океана. Цель диссертационной работы

Целью работы является развитие теоретических представлений и получение количественных характеристик процессов хаотического и регулярного переноса и перемешивания в топографических вихревых структурах океана.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• нахождение оценки размеров регулярной области сингулярной модели топографического вихря в приближении двухслойного океана при воздействии возмущения внешнего течения как малой, так и конечной амплитуды;

• исследование процессов хаотического переноса массы в модели топографического вихря в приближении трехслойного океана;

• описание регулярной и хаотической динамики жидких частиц в модели взаимодействии топографического вихря с захваченным сингулярным вихрем.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получены оценки ширины зоны перемешивания в окрестности певозмущенпой сепаратрисы в нижнем слое двухслойной модели океана. Показано и объяснено, что в случае малых возмущений внешнего потока ширина зоны перемешивания в окрестности гиперболической точки с ростом амплитуды этих возмущений меняется скачками. Как оценки, так и численное моделирование показывают, что стратификация приводит к более эффективному перемешиванию вследствие регуляризации поля скорости в окрестности эллиптической точки.

2. В сингулярных вихревых моделях критерий перекрытия резонапсов Чирикова с приближением к сингулярной особой точке стремится к нулю при любом значении амплитуды возмущения (как малой, так и конечной). Таким образом, для определения размеров зоны перемешивания при любых амплитудах возмущения внешнего потока можно использовать данный критерий.

3. На примере трехслойной модели океана, показано, что зона, подверженная хаотическому переносу, будет сильно отличаться в размерах в разных слоях. Данное отличие реализуется вследствии разницы между видом невозмущенных кривых частот оборота жидких частиц, определяемых параметрами модели (стратификация) и внешним потоком. Выявлены две предельные зависимости частоты оборота: одна для сингулярного вихря, а вторая для регулярного наименьшей площади.

4. При взаимодействии свободного вихря с топографическим наблюдается эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря. Определены два основных механизма такой вентиляции: 1) хаотический перенос; 2) изменение вида линий тока со временем. Показано, что вклад каждого из механизмов определяется положением захваченного вихря и его интенсивностью.

Научная и практическая значимость

Результаты данной работы могут быть использованы для описания процессов регулярного и хаотического переноса в топографических вихрях. Также результаты работы позволяют определить конкретные значения параметров моделей океанских потоков, при которых процессы хаотического переноса будут определяющими в динамике массы в топографических вихрях.

Результаты работы использовались в исследованиях по ряду проектов РФФИ: 06-05-96080-р _ восток _ а «Теоретическое и экспериментальное исследования стохастических транспортных процессов в краевых областях океана», 07-05-92210-НЦНИЛ _ а «Конвекция, хаотическая адвекция и когерентные явления в атмосфере и океане», 08-05-00061-а «Эффекты хаотической адвекции в связанных и свободных вихревых структурах геофизической гидродинамики», 10-05-00646-а «Регулярная и хаотическая динамика вихрен в стратифицированном океане», 10-05-00770-а «Исследование переноса завихренности п перемешивания консервативной примеси краевыми нелинейными волнами океана», ДВО РАН: 09-1-П4-04, 09-И-СО-07-002, 10-Ш-В-07-147 «Аналитические и численные оценки областей регулярного поведения частиц в вихревых структурах двух и трехслойной моделей океана».

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения

• В случае малых возмущений внешнего потока ширина зоны хаотического переноса в модели топографического вихря с ростом амплитуды этих возмущений меняется скачками. В случае же конечных возмущений показано, что для оценки такой зоны можно использовать критерий перекрытия резонаисов не только для регулярных моделей вихрей, но и для сингулярных моделей.

• Вид невозмущенных кривых частот оборота жидких частиц полностью определяет хаотический перепое и перемешивание в моделях топографических вихрен.

• При взаимодействии свободного вихря с топографическим наблюдается эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на: «XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова» (Владивосток, 2007), «Океанологические исследования. Четвертая конференция молодых ученых» (Владивосток, 2009), «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2009), «Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану» (Ижевск, 2010) и международных конференциях: «ШТАМ symposium: 150 Years of Vortex Dynamics» (Копенгаген, Дания, 2008), «Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Gcospheres» (Москва, 2009), «2nd Intern. Conf. on the High-Reynolds Number Vortex Interactions» (Брест, Франция, 2009), «European Geosciences Union. General Assembly» (Вена, Австрия, 2010), трех семинарах по «Нелинейной динамике» ТОЙ ДВО РАН и одном океанологическом семинаре ТОЙ ДВО РАН.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 4 статей в рецензируемых журналах |А1, А2, A3, А4] (также имеется 1 статья принятая в печать |А5])

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 94 страницы, из них 91 страница текста, включая 27 рисунков. Библиография включает 120 наименований на 11 страницах.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В Обзоре литературы представлен обзор современных публикаций по физической

океанографии, в которых основные результаты получены с применением методов теории динамических систем.

В первой главе на основе концепции фоновых течений представлена формулировка двухслойной модели океанских течений, в которой наблюда1тся синоптический топографический вихрь. Под фоновым понимается течение, характеризуемое горизонтально однородным распределением потенциальной завихренности, минимизирующее полную механическую (кинетическую и доступную потенциальную) энергию системы.

Для описания квазидвухмерных движений жидкости на / - плоскости удобно использовать квазигеострофичсскую потенциальную завихренность, которую можно ввести в каждом слое, как

п1 = д^ + /о + -^с-п;,п2 = д^ + /о + ^-(л-С)-щ. (1)

Щ Ч2

В каждом слое жидкости выполняется закон сохранения потенциальной завихренности:

= + UidU.il дх + ь,дП,/ду = 0, (2)

таким образом П] и П2 являются лагранжевыми инвариантами. Здесь (х, у) - декартовы координаты, ф - геострофическая функция тока, £ - возвышение уровня раздела между верхним и нижним слоями жидкости, /» - высота изолированной подводной возвышенности, Я,- - толщины слоев, /о - некоторое отсчетное значение параметра Кориолиса, Д^ = и>х — Щу - относительные завихренности в слоях с функциями тока ф{, П* - постоянные, определяемые из условия минимума механической энергии системы, такие что П* = /о —

П|.

Учитывая динамическое условие непрерывности давления на границе раздела С = }а {Ф2 — Ф\) 19"< гДе 9* = з(Р2 — л) /' Рг - редуцированное ускорение силы тяжести, р^ -плотность в I - ом слое, система (1) принимает вид:

п, = Аф1 + (ф2 - V,) ,п2 = д*, + - А. № - ф2) + А/1. (3)

9 " 1 9 "2 »2

В диссертации во всех главах рассматривается простейший вид подводной возвышенности — дельтаобразная изолированная возвышенность, то есть Л (г) = т^б (г), где введен

эффективный объем возвышенности г^ = тгЛ (0) X,2, в котором Ь играет роль горизонтального размера. Взаимодействие внешнего течения с такой возвышенностью приводит к возникновению сингулярного вихря в нижнем слое, а также при определенной скорости внешнего течения к вихрю с регулярным полем скорости в верхнем слое.

Решения (3) выражаются через функцию Грина С (г) оператора ЕД + .1, дополненными граничными условиями = 0 и = 0 при II —> оо, и имеют вид:

г - полярный радиус, К0 и К1 - модифицированные функции Бесселя, а = Нх/Щ - отношение толщин слоев, а Ьд = (р'Я^г/Я)1'2//о - внутренний радиус деформации Россби и Я = Я, + Н2.

Перейдем к безразмерным переменным посредствам следующего преобразования: и = и'УУ, (1,2/) = ¿'(х'.у'), £ = (Ь"/и')Г, ^ = где V - характерный мас-

штаб скорости, а Ь' - характерный масштаб длины, принимаемый для простоты равным Ьо- Опуская штрихи над переменными, окончательно получаем безразмерные функции тока:

ф1 = -\¥(1)у-<т{1пг + К0(г)),'ф2 = -\УЦ)у-<т(Ыг-аК0(г)). (5)

где а — ^/(НВ^) и О (1) - топографический параметр, Яо = и*/{/оЬ') - число Россби, Л* - эффективная высота подводной возвышенности. Значение а = 1 соответствует характерному размеру вихря Ь' = 70 км, при значении /о = 10-4с-1 для средних широтам.

Далее в этой главе рассматривается только нижний слой жидкости с сингулярным полем скорости. Пусть скорость внешнего течения имеет вид приливного течения:

\¥{1) = \У0(1+цсо в И). (6)

При ц = 0 (будем далее называть систему в таком случае стационарной или невозмущенной) траектории частиц совпадают с линиями тока. На рисунке 1а изображены линии тока системы, описываемой второй функцией тока из (5).

В случае же /л ф- 0 (в этом случае будем называть систему - возмущенной) система, описываемая второй функцией тока из (5), может проявлять хаотические свойства.

Рис. 1. а) картина линий тока и нижнем слое двухслойной модели топографического сингулярного вихря при /а — О, УУо - 0.3; б) теоретическая - по (7) (штрихпунктирная) линия и численная -(сплошная) линия, граница выхода траекторий из области вихря в нижнем слое. 1- и = 0.15, 2-V = 1.3, 3- V — 4.4. в, г) сечення Пуанкаре, нижний слой, частота возмущения V = 1.3, амплитуды возмущения: в) ц = 0.025, г) ц — 0.029.

Под хаосом в данном случае понимается, так называемый, детерминированный хаос, то есть экспоненциальная расходимость изначально близких траекторий за конечное время в отсутствии какой-либо случайной начальной составляющей. В таком случае часть траекторий жидких частиц, являющихся замкнутыми в стационарном случае, перестают быть периодическими и выходят во внешний поток. Также возможна и обратная ситуация, при которой частицы из внешнего течения могут проникнуть в вихревую область. Таким образом происходит обмен между внешним (проточным) течением и вихревой областью. Подобный тип обмена называется хаотическим переносом (хаотическая адвекция).

В случае малых возмущений (ц 1) размер области, подверженной хаотическому переносу (подобная область называется - стохастическим слоем), оценивается выражением: _ _

г м 1

W Wq

'2 з

2(W0r,s + a^KotrJ) | (7)

где

F(£) = (J + ат))М(иТ0(0),Т0(г) = f - Ж (8)

Оценка (7) показывает на какое максимальное расстояние от гиперболической точки (0;г28) отклоняется траектория, стартовавшая из положения с координатой (0;г0), за

время !Г0 (г).

Сравнивая оценку (7) с ее численным аналогом, можно заключить следующее. Толщина стохастического слоя 5а в зависимости ох амплитуды возмущения, вычисленная из условия (7) (пунктирные линии) и прямым численным интегрированием системы (сплошные линии), приведено на рисунке 16. Из этого рисунка видно, что оценка, имеет несколько особенностей. Первая - при малых частотах возмущения оценка (7) неприменима. При больших и промежуточных частотах оценка остается применима даже при достаточно больших амплитудах. Вторая особенность состоит в ступенчатом характере изменения толщины стохастического слоя с ростом амплитуды возмущения. Такое поведение можно объяснить следующим образом: оценка (7), также как и все оценки, сделанные посредством теории малых возмущений, предсказывают только огибающую хаотической зоны. Эту ситуацию иллюстрируют рисунки 1в и г, па которых представлено два сечения Пуанкаре при частоте V = 1.3 и амплитудах ц = 0.025 и 0.029. На этом рисунке отмечено начальное положение траектории, покидающей вихревую область за один оборот, и показывающее границу стохастического слоя. Видно, что указанная траектория находится внутри внешнего лепестка (первый фрагмент), по мере увеличения амплитуды возмущения следующий лепесток увеличивается, и в момент, когда он пересечет ось ординат, толщина зоны перемешивания увеличится скачком (второй фрагмент). Именно скачкообразное изменение ширины стохастического слоя объясняет неприменимость оценки (7) при малых частотах.

Оценки подобные (7) играют важную роль в понимании процессов, происходящих в окрестности расщепленной сепаратрисы, однако их существенный недостаток (все они строятся с помощью метода малых возмущений) не позволяет использовать их для исследования динамических систем (в том числе и (5)) при конечных амплитудах возмущения, в результате приводящих к глобальному хаосу. В этом случае определяющую роль играют не учитываемые ранее пересечения нелинейных резонансов. Размер хаотической области будет сильно зависеть от распределения этих резонансов но фазовому пространству и от их ширины, то есть, в конечном счете, от частоты и амплитуды возмущения внешнего потока.

Будем говорить, что нелинейный резонанс, проявляющийся на частоте оборо та и(г0) =

имеет число вращения m/r». Целочисленную переменную п, равную количеству островов устойчивости (наборов эллиптических и гиперболических точек), будем называть кратностью резонанса. Тогда как т будем называть порядком резонанса, что подразумевает под собой число периодов, за которое траектория обходит все острова.

Для определения границ регулярного поведения жидких частиц (вихревое ядро) используется критерий перекрытия рсзонапсов Чирикова. Этот критерий позволяет приблизительно определить момент перекрытия нелинейных резопаисов между собой. В случае если они занимают значительную область фазового пространства, такие перекрытия вносят значительную меру хаоса в систему. Таким образом, определив положение данных резопаисов, можно качественно определить размер вихревого ядра. Критерии имеет вид:

Кс = А J/ (25J) ~ y^Vb/ii/^dw W/dj) /и2 (У,). (9)

где J\ - «действие» первого резонанса. В тот момент, когда рсзонансы достаточно перекрылись (полуширина резонанса 1/1 порядка расстояния между резонансамн), в соответствующей области фазового пространства все траектории становятся хаотическими.

В первом приближение J ~ г2/2 и, следовательно:

Кс ~ ^(2ßW0/(a + l))^. (10)

Такая грубая оценка критерия перекрытия все же дает ответ па вопрос существования вихревого ядра в окрестности сингулярной особой точки при сколь угодно больших возмущениях системы. Критерий однозначно указывает на уменьшение степени перекрытий резопаисов при г —* 0 , то есть в окрестности сингулярной особой точки.

Для определения границы вихревого ядра рассматриваемой модели воспользуемся формулой (9), так как (10) отражает динамику только качественно. На рисунке 2а представлены значения критерия, с численно посчитанными частотой оборота частицы в вихревой области в невозмущенном случае ш (го) = 2тг/Т (го) и ее производной dui (го) /dr. Где период оборота частицы Т0 (г) определяется выражением (8).

Границей вихревого ядра будем считать значение радиуса (действия), при котором критерий перекрытия не меньше 0.3, что соответствует довольно высокой степени перекры-

Рис. 2. а) значения критерия перекрытия резонансов в зависимости от стартовой координаты частицы на оси симметрии. Амплитуда возмущения /х слева направо: 0.01, 0.1, 0.5, 1, 2. Пунктирной линией обозначено начало перекрытия резонансов. б,в) фрагменты сечений Пуанкаре для амплитуд б) 0.01 (частота 0.23) и в) 0.1 (частота 0.5).

тия резонансов 1/1 и 1/2. На рисунке 2а изображены значения критерия при амплитудах возмущения: 0.01, 0.1, 0.5, 1, 2.

Из приведенных сечений Пуанкаре видно, что критерий (9) дает неплохую точность при условии, если в динамике системы доминирующую роль играют перекрытия самых «широких» резонансов 1/1 и 1/2.

С помощью данного критерия помимо оценки положения границы регулярной области также можно получить значение оптимальной для хаотической адвекции частоты нестационарного возмущения в сингулярных моделях вихрей.

Обращаясь к океанологическому аспекту, можно отметить, что данные оценки размеров вихревого ядра (область регулярного поведения траекторий вокруг эллиптической особой точки) могут оказать помощь в вопросе интерпретации результатов моделирования распределенных вихрей точечными. Проблема данной интерпретации заключена в сопоставлении размеров распределенного вихря и точечного. Как один из вариантов - можно сравнивать гю расстоянию, па котором проявляется характерная скорость, либо, например, по равенству циркуляции. Дополнительно к этим вариантам, основываясь па оценках, изложенных выше, можно использовать в качестве характерного размера эквивалентного распределенного вихря размер вихревого ядра точечного вихря. Действительно, границей распределенного вихря является резкое изменение (линия из точек перегиба или макси-

мумов производных по расстоянию от центра) завихренности, которое служит сильным барьером для хаотического переноса. Таким образом, в качестве эквивалентного размера вихревой области точечного вихря имеет смысл выбрать границу вихревого ядра, также являющейся сильным барьером для хаотического переноса.

Во второй главе представлена формулировка трехслойной модели океанских потоков, в которой наблюдаются мезомасштабные топографические вихри в слоях. Данная модель является естественным усложнением, представленной во второй главе, двухслойной модели. Аналогичные представленным выше замкнутые динамически согласованные функции тока имеют вид:

ÍH = -üy+~((e,A-«*í/3,)log(r)-

7 л3

- (А - А) к0 (v'fca («2 - 1)г) - А (а2 - с*,) К0 (уД, (А - 1)г)), (11)

"i = ~k22/k21-a2/k2i (-hi - k22 + h (а2 - 1)), А = -knlhi-hlhi (~hi ~ hi + h (Д -a2 = k¡ + k¿ + fc2i + ¿22 + \>/2k3, p2 = kl + k3 + k2i + k22 - A0/2k3, a3 = A = 1, A0 = \J(fci - h + kn + k22)2 - 4 (-k¡k3 — k3k21 + ^¿22),

и__i js. — к — -L-й__fa и _ i ___ju„„ _ _L-fi¡_ =

Л1 — - Л3 Й=ДЙ ~ tfajift' Л21 ~ Щбр, ~ ЯззДр, > Л22 Й^Дй ДИ'

Api = р2~ Pi и Др^ = рз — f>2- скачки плотности, a R¡ - баротронный радиус деформации Россби в i - ом слое.

При достаточно малой скорости (см. рисунок За) внешнего потока в верхнем и среднем слоях может наблюдаться вихревое движение, в нижнем же слое за счет сингулярной изолированной возвышенности вихрь существует всегда. Схожего вихревого распределения по слоям можно добиться варьированием параметров стратификации (в работе рассмотрено влияние глубины) при неизменной средней скорости набегающего потока. Изменяя параметры модели, можно получать вихри различных линейных масштабов. В этой главе проводится анализ хаотических свойств модели. Показано, что в зависимости от вида иевозмущенных кривых частот оборота жидких частиц, определяемого параметрами модели (стратификация) и скоростью внешнего потока, картины хаотического переноса будут значительно отличаться. Показано, что существует две предельные зависимости частоты оборота, одна для сингулярного вихря, а вторая дня регулярного наименьшей площади (см. рисунок 36).

Рис. 3. а) азимутальные скорости в слоях; 6) частота оборота жидкой частицы вокруг эллиптической точки при /х = 0. Для обоих фрагментов толщины слоев равны: Н1 = 200 м, Н2 = 800 м, = 3000м. Горизонтальная штриховая прямая обозначает значение скорости набегающего потока IV — 0.23х- Сплошные линии - верхний слой, штриховая кривая - средний, штрихпувктирная кривая - нижний.

Остальные подобные зависимости являются промежуточными. Два предельных типа кривой частоты оборота определяют два различных сценария хаотического переноса. Промежуточные зависимости содержат в себе черты обоих сценариев.

Известный факт, что в регулярном случае хаотизация намного эффективнее, чем в сингулярном, объяснен различной степенью перекрытия нелинейных резонансов. В подтверждение этих слов приведен рисунок 4а. Видно, что при одинаковой амплитуде возмущения область, подверженная хаотическому переносу, имеет максимальный размер в верхнем регулярном слое, тогда как в нижнем сингулярном подобная область значительно меньше. Рисунок 4а демонстрирует, что максимальной хаотизации при такой амплитуде внешнего потока возможно добиться только в верхнем слое. На рисунке 46 видно, что в среднем слое все равно остается остров устойчивости, а в нижнем слое постоянно существует, подобное описанному в главе 2, неразрушенное вихревое ядро (рисунок 4в).

Как было сказано выше, картина хаотизации в любом из слоев полностью определяется видом частоты оборота жидкой частицы при постоянном внешнем потоке (рисунок 36). Действительно, основываясь на оценках критерия Чирикова (9), можно сказать - чем больше производная частоты оборота по действию, тем сильнее перекрываются резонан-

Рис. 4. а) степень выноса из вихревой области при /х — 0.1. Сплошная кривая - нижний слой, штриховая - средний, штрихлунктирная - верхний; б) сечение Пуанкаре в среднем слое при частоте возмущения V = 0.4; в) сечение Пуанкаре в нижнем слое при частоте возмущения V = 0.4. Сплошной линией на фрагментах б) и в) показан размер невозмущенной вихревой области. Толщины слоев жидкости Н\ — 200 м, ~ 800 м, 11?, = 3000 м, скорости набегающего потока = 0.23*.

сы, увеличивая при этом хаотическую область. Учитывая, что действие пропорционально квадрату радиуса, из этого рисунка видно, что производная частоты оборота в верхнем слое растет значительно быстрее, чем в среднем и нижнем. Резонанс 1/2 и более высокой кратности полностью разрушаются в верхнем слое, при этом оставшийся резонанс 1/1 определяет все регулярное поведение системы, а в среднем и нижием ширины резонанса 1/1 не хватает для полного разрушения окрестности эллиптической точки, поэтому размер регулярной области больше, чем в верхнем слое.

Сравнивая эффективность хаотического переноса и перемешивания для разных конфигураций параметров системы, приводящих к различным размерам вихревых областей, показано, что дииамика в вихрях с регулярными полями скорости эквивалента в любых слоистых моделях, построенных таким же образом, как и рассматриваемая в этой главе трехслойная,

В третьей главе обсуждаются особенности взаимодействия двух вихрей в трехслойной модели океана. Первый вихрь, называемый в диссертации «топографическим», образуется вследствие набегания внешнего фонового потока на подводную изолированную возвышенность дельтообразной формы. В результате, независимо от скорости внешнего

потока, в нижнем слое образуется сингулярный вихрь. За счет искажения границ раздела между слоями в среднем и верхнем слое также при определенных скоростях внешнего потока могут появляться вихри с регулярными полями скорости. Дополнительно в верхний слой помещается сингулярный вихрь, который при постоянном внешнем потоке движется по регулярным траекториям, совпадающим с линиями тока топографического вихря. В диссертации этот сингулярный вихрь называется «захваченным».

Опуская выкладки, имеем функции тока в слоях:

ф. = -Uy + àB-lfa - A) log (г,) - в, (Д, - 1) Ко (^з(а2-1)г,) -

-А (1 - а2) Ко (ч/ЫА - l)n)] + àTg [(а, А - a,A) log (г) --а, (А - А) Ко (уЫа2-1)г) - А ("2 - а,) Ко (VMft - 1)г)] , (12)

где х = ^щц = ^¡Г^н^лЬ, a к = - мера интенсивности захваченного сингулярного

вихря и (xi(t),yi(t)) - декартовы координаты центра этого вихря.

В случае если скорость внешнего потока постоянна, захваченный вихрь движется по линиям тока, аналогичным рисунку 1а. В то же время динамика жидких частиц, описываемая функцией тока (12), становится хаотической, так как она зависит от изменяющегося положения центра захваченного вихря. Вследствие этого в системе возможны разнообразные динамические картины, которые будут сильно зависеть от значения двух параметров - начального положения захваченного вихря и его интенсивности.

Рассмотрим классификацию режимов движения в верхнем слое, описываемых функцией тока (12). Зафиксируем параметр х и будем менять коэффициент к в диапазоне зна-чепий [—х; х]- При малом значении к влияние захваченного вихря можно считать слабым: общая структура топографического вихря меняется незначительно. При к ~ х доминирующее влияние па пассивные маркеры оказывает захваченный вихрь, и общая динамика становится похожа на движение, индуцированное свободным вихрем во внешнем потоке. При промежуточных значениях к система проявляет черты, как первого, так и второго сценария, по па разных временных интервалах. Схожее влияние оказывает начальное положение захваченного вихря у\ (0) = ую- Если начальное положение близко к одной из неподвижных точек топографического вихря, то при некоторых значениях к эта особая

Рис. 5. а), 6) диаграмма количества регулярных особых точек с течением времени в зависимости от параметров (к\ ую): а) к < 0 (циклоническое движение захваченного вихря), 6) к < 0 (антнцик-лоническое движение захваченного вихря); в),г) картины времен жизни для следующих значений параметров (к; ¡до): в) (0.135;-5.5), г) (-0.435;-2.385).

точка поглотится одной из особых точек свободного вихря, и система будет проявлять в большей мере черты свободного вихря во внешнем потоке. При отрицательных значениях параметра к захваченный вихрь вращается в противоположном топографическому направлении, порождая сильное перемешивание, причем характерные черты свободного или топографического вихря пропадают. На рисунке 5а,б приведена диаграмма количества регулярных особых точек в зависимости от параметров (к; ущ) за один оборот захваченного вихря. В верхнем слое всегда существует сингулярная точка захваченного вихря. С течением времени одна или несколько регулярных особых точек могут исчезать.

Для иллюстрации эффективности хаотического переноса, при каждом наборе параметров, соответствующих какому-либо цвету на этих диаграммах, в диссертации приведены времена жизни жидких частиц. Под временем жизни понимается время, которое частица, изначально стартовавшая в области, ограниченной сепаратрисой невозмущеиного топографического вихря (жирная линия па рисунке 1а), будет находиться внутри вихревой области до пересечения линии х = 3. Такая характеристика наряду с накопленными

показателями Ляпунова является индикатором интенсивности обмена между внешним потоком н областью вихря. Значение времен жизни приведены к начальному положению частиц. Количество начальных положений, равномерно распределенных по области топографического вихря, выбирается равным 104. Частица, не вылетевшая из вихревой области в течении < = 103 (что соответствует земному времени порядка 1.1 х 105 суток), считается регулярной. На рисунке 6 приведены замороженные линии тока в указанные моменты времени. Жирной линией обозначена траектория захваченного вихря. Далее рассмотрим несколько случаев, соответствующим различным значениям к, для примера.

Рисунок 5в соответствует наличию трех регулярных точек (серые маркеры на диаграмме (параметры к = 0.135 и 1/1 (0) = —5.5)). На протяжении всего оборота захваченного вихря вокруг эллиптической точки в системе все время существуют три регулярные точки (рисунки 6а, б). В этом случае динамику в системе можно рассматривать кале топографический вихрь со сложным возмущением в виде захваченного вихря.

Рисунок 5г соответствует постоянному существованию пяти регулярных особых точек (параметры к = —0.435, т/1 (0) = —2.385). Здесь захваченный вихрь является циклоном, в отличие от антициклоиичсского топографического вихря. В результате такого вращения сам захваченный вихрь вначале имеет гетероклиническую структуру, при этом дополнительно образуется эллиптическая точка выше захваченного вихря, а пара точек топографического вихря смещается ниже (рисунок 6в). После начала оборота захваченного вихря гетероклиническая структура распадается на отдельные гиперболические точки, которые становятся парами для эллиптических точек системы (рисунок 6г). Как только захваченный вихрь доходит до оси симметрии, то картина замороженных линий тока становится аналогична начальной. В результате такого движения картина времен жизни приобретает достаточно сложный вид. При этом эффективность выноса (и, следовательно, перемешивания) очень высока, черные и серые маркеры выносятся очень быстро, тогда как белые остаются в зоне топографического вихря достаточно долго.

Основываясь на вышесказанном, можно сделать вывод о том, что захваченный вихрь даже в случае малой интенсивности не удастся рассматривать в качестве простого возмущения топографического вихря, и, следовательно, нет возможности провести оценку

Рис. е. (0.135; -5.5): а) ¿1 = 0, 6) ¿2 = 33; (-0.435; -2.385): в) г, = 0, г) {2 = 7.

области хаотизации стандартными методами теории динамических систем.

При наложении периодического по времени возмущения на внешний поток в данной главе рассматривается задача краткосрочного влияния захваченного вихря па жидкие частицы топографического вихря. В случае такого потока траектория захваченного вихря в зависимости от начального положения описывает незамкнутую кривую, которая, начавшись во внешнем течение, через какое-то время попадает в область топографического вихря и затем обратно выходит во внешнее течение. В связи с этим в диссертации оценивается именно краткосрочное влияние захваченного вихря.

Из рисунков 7а и б, на которых показан вынос при а) к = 0.01 и б) к = —0.01, видно, что знак к слабо влияет на количество вынесенных маркеров. Это может говорить о том, что уже при таком малом абсолютном значении к на вынос основное влияние оказывает само наличие захваченного вихря, нежели направление его вращения. В общем, исходя из всех трех фрагментов рисунок 7, можно сказать, что даже при достаточно малом значении такой захваченный вихрь вносит в систему очень большое возмущение, приводящее к эффективному и интенсивному переносу и перемешиванию жидких частиц топографического вихря. На всех трех фрагментах видно, что уже в том случае, когда

Рис. 7. Доля вымытых из области топографического вихря маркеров в зависимости от количества оборотов захваченного вихря при /л — 0.01, и= 0.1 и а) к = 0.01, б) к = —0.01, в) к = 0.1.

сингулярный вихрь не захватывается топографическим, он все же может вымыть до трети частиц, если проходит достаточно близко от невозмущенной сепаратрисы. Так же следует обратить внимание на интенсивность такого выноса. Видно, что основная часть маркеров ( ~ 0.35 при к = 0.01 и к = —0.01; ~ 0.75 при к = 0.1) выносится за первое прохождение захваченного вихря около невозмущенной сепаратрисы. Причем близкий к максимальному эффект фильтрации наблюдается уже при 10 — 15 оборотах.

В Заключении резюмируются результаты, представленные в диссертации. Делаются общие выводы о влиянии на хаотический транспорт в топографических вихревых структурах малых и конечных возмущении внешнего потока, сильной стратификации, о причинах существования транспортного барьера в сингулярной модели вихря, о результатах взаимодействия свободного вихря с топографическим. Основные результаты можно сформулировать следующим образом.

В первой главе показало, что в случае слабой нестационарпости внешнего потока ширина области, подверженной хаотическому переносу, с ростом амплитуды внешнего потока меняется скачками. Причина таких скачков заключена в особенности топологии лепестков - областей, ограниченных устойчивым и неустойчивым многообразием. Как оценки, так и численное моделирование показывают, что стратификация приводит к более эффективному хаотическому переносу, вследствие регуляризации поля скорости в окрестности эллиптической точки. Расширяя задачу на конечные амплитуды нестационарного внешнего потока, показало, что в моделях вихрей с сингулярной особой точкой критерий пе-

рекрытия резонансов Чирикова с приближением к этой особой точке стремится к нулю при любом значении амплитуды возмущения. Таким образом, критерий дает ответ на вопрос существования регулярного ядра в таких моделях в окрестности сингулярной особой точки при любом нестационарном внешнем потоке.

Во второй главе представлены результаты, относящиеся к хаотизации области топографического вихря в приближении трехслойного океана. При малой скорости набегающего потока в верхнем и среднем слоях может наблюдаться вихревое движение, в нижнем же слое за счет сингулярной возвышенности вихрь существует всегда. Схожего вихревого распределения по слоям можно добиться варьированием параметров стратификации (в работе рассмотрено влияние глубины) при неизменной средней скорости внешнего потока. Изменяя параметры модели, можно получать вихри различных линейных масштабов. В главе проведен анализ хаотических свойств модели. Показано, что в зависимости от вида невозмущенных кривых частот оборота жидких частиц, определяемого параметрами модели (стратификация) и средним значением внешнего потоком, сценарии хаотического переноса будут значительно отличаться. Выявлены две предельные зависимости частоты оборота: одна для сингулярного вихря, вторая для регулярного наименьшей площади. Остальные зависимости являются промежуточными. Два предельных типа кривой частоты оборота определяют два различных сценария хаотического переноса. Известный факт, что в регулярном случае хаотизация намного эффективнее, чем в сингулярном, объяснен различной степенью перекрытия нелинейных резонансов. Сравнивая эффективность хаотического переноса для разных конфигураций параметров системы, приводящих к различным размерам вихревых областей, показано, что динамика в вихрях с регулярными полями скорости эквиваленты в любых слоистых моделях, построенных таким же образом, как и рассмотренная трехслойная.

В третьей главе показано, что в модели взаимодействия свободного вихря с топографическим наблюдается эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря. Определены два основных механизма данной вентиляции. Одним из них является хаотический перенос. Наличие такого переноса показано с помощью анализа времен захвата жидких частиц из внешнего потока. Второй механизм связан с перестройкой фа^

зового портрета со временем. Это приводит к интенсивному обмену между меняющими объем областями рециркуляции и проточной областью. Вклад каждого из механизмов определяется полол«лшем захваченного вихря и его интенсивностью, при этом динамика жидких частиц внутри топографического вихря значительно меняется. При действии нестационарного внешнего потока, свободный вихрь может захватываться топографией на конечное время, в зависимости от своего начального положения во внешнем потоке. При таком краткосрочном воздействии эффективность и интенсивность вентиляции топографического вихря очень велика.

Основные публикации автора по теме диссертации

А1. Рыжов Е. А., Кошель К. В., Степанов Д. В. Об оценке толщины слоя хаотизации в модели двухслойного топографического вихря // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. С. 74-81.

А2. Рыжов Е. А., Кошель К. В. Хаотический перенос и перемешивание пассивной примеси вихревыми потоками за препятствиями // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46. С. 204-211.

A3. Ryzhov Е., Koshel К., Stepanov D. Background current concept and chaotic advection in an oceanic vortex flow // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 2010. Vol. 24. Pp. 59-64.

A4. Ryzhov E. A., Koshel К. V. Estimating the size of the regular region of a topographically trapped vortex // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. P. doi:10.1080/03091929.2010.511205.

A5. Рыжов E. А., Кошель К. В. Эффекты хаотической адвекции в трехслойной модели океана // Известия РАН. Физика атмосферы и океана (принята в печать).

Подписано в печать 01.12.2010. Заказ № 99 Формат 60 X 90/32. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Отпечатано в ТОЙ ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Рыжов, Евгений Андреевич

Введение

Содержание работы.

Обзор литературы.

Глава 1. Оценки размеров области регулярной динамики частиц в сингулярной вихревой модели.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Формулировка модели двухслойного океана.

1.3. Постоянный внешний ноток.

1.4. Переменный внешний поток.

1.5. Оптимальный для хаотического транспорта частотный интервал внешнего потока.

Глава 2. Хаотический транспорт и перемешивание в трехслойной модели океана.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Формулировка модели трехслойного океана.

2.3. Постоянный внешний поток.

2.4. Переменный внешний поток.

2.5. Хаотический транспорт в слоях модели.

2.6. Влияние параметров па динамику системы.

Глава 3. Вентиляция области топографического вихря захваченным свободным вихрем.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Формулировка модели вихревого диполя в трехслойной модели океана

3.3. Влияние параметра к и начального положения захваченного вихря на динамику системы.

3.4. Периодическое возмущение внешнего потока.

3.5. Динамика в среднем и нижнем слоях.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Эффекты хаотической адвекции в вихревых структурах"

Актуальность работы

Исследования процессов перемешивания и переноса примесей в океане имеют высокое значение по ряду причин. Известно, что перенос термогидродинамических характеристик напрямую воздействует на биопродуктивность океана, а также значительно влияет на климатическую изменчивость. Также, несомненно, важным вопросом является прогнозирование распространения различных негативных факторов, например, нефтяных разливов. Несвоевременные и неэффективные меры но ликвидации последствий глобальных техногенных катастроф последнего времени указывают, в том числе, на то, что процессы переноса и перемешивания примеси в океане все еще изучены достаточно слабо. В то же время, хорошо известно, что различные вихревые движения играют одну из определяющих ролей в данных процессах. Причем значительная доля таких вихревых движений приходится на топографические вихри. Вследствие этого, изучение переноса и перемешивания в таких топографических вихрях представляется актуальной для физической океанологии задачей.

Топографические вихри представляют собой замкнутые области рециркуляции в окрестности подводных возвышенностей. Данные объекты интересны для изучения, па-пример, в связи с тем, что их местоположения совпадают с естественной средой обитания разнообразных биологических объектов или с распределением различных примесей, таких как соленость или тепло.

Простейшие баротропные или многослойные модели геофизических потоков, допускающих проявление вихревых движений, можно построить на основе концепции фоновых течений. Под фоновым понимается течение, характеризуемое постоянством и горизонтальной однородностью распределения потенциальной завихренности. Задавая стратификацию и рельеф дна, а также расходы на границах области, можно получать динамически-согласованные функции тока таких модельных течений. При условии несжимаемости невязкой жидкости в квазигеострофическом приближении для некоторых типов подводных возвышенностей удается получить довольно простые аналитические выражения таких функций тока, что позволяет провести исчерпывающий анализ свойств этих моделей. Хорошо известно, что уже простой плоский гидродинамический поток с периодическим по времени возмущением, который может быть интерпретирован в качестве дииамической системы с «полутора степенями свободы», допускает проявление хаотического переноса массы. Аналогично этому, хаотический перенос возникает в моделях фоновых течений. Под хаосом в данном случае подразумевается экспоненциальная расходимость изначально близких траекторий, при том, что уравнения движения являются детерминированными, то есть в параметрах модели отсутствует какая-либо случайная компонента.

Такой хаотический перенос приводит к тому, что вихрь обменивается жидкостью и, следовательно, растворенной в ней примесыо, с внешним потоком. В случае малого возмущения внешнего потока, хаотическому переносу подвержена лишь небольшая область вихря па его периферии. Однако при конечных амплитудах возмущения такая область может увеличиться вплоть до всего размера этого вихря. Учитывая тот факт, что реальные периодические потоки имеют как раз конечные амплитуды возмущения, задача исследования процессов хаотизации окрестностей топографических вихрей в этом случае представляется полезной для океанологии.

В диссертационной работе рассматриваются свойства хаотического и регулярного переноса массы, проявляющегося в топографических вихревых структурах при наложении на них как малых, так и конечных возмущений различной природы в модели топографических вихрей в двух- и трехслойном приближениях океана. Цель диссертационной работы

Целью работы является развитие теоретических представлений и получение количественных характеристик процессов хаотического и регулярного переноса и перемешивания в топографических вихревых структурах океана.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• нахождение оценки размеров регулярной области сингулярной модели топографического вихря в приближении двухслойного океана при воздействии возмущения внешнего течения как малой, так и конечной амплитуды;

• исследование процессов хаотического переноса массы в модели топографического вихря в приближении трехслойного океана;

• описание регулярной и хаотической динамики жидких частиц в модели взаимодействии топографического вихря с захваченным сингулярным вихрем.

Научная новизна

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получены оценки ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенпой сепаратрисы в нижнем слое двухслойной модели океана. Показано и объяснено, что в случае малых возмущений внешнего потока ширина зоны перемешивания в окрестности гиперболической точки с ростом амплитуды этих возмущений меняется скачками. Как оценки, так и численное моделирование показывают, что стратификация приводит к более эффективному перемешиванию вследствие регуляризации поля скорости в окрестности эллиптической точки.

2. В сингулярных вихревых моделях критерий перекрытия резонансов Чирикова с приближением к сингулярной особой точке стремится к нулю при любом значении амплитуды возмущения (как малой, так и конечной). Таким образом, для определения размеров зоны перемешивания при любых амплитудах возмущения внешнего потока можно использовать данный критерий.

3. На примере трехслойной модели океана, показано, что зона, подверженная хаотическому переносу, будет сильно отличаться в размерах в разных слоях. Данное отличие реализуется вследствии разницы между видом невозмущенных кривых частот оборота жидких частиц, определяемых параметрами модели (стратификация) и внешним потоком. Выявлены две предельные зависимости частоты оборота: одна для сингулярного вихря, а вторая для регулярного наименьшей площади.

4. При взаимодействии свободного вихря с топографическим наблюдается эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря. Определены два основных механизма такой вентиляции: 1) хаотический перенос; 2) изменение вида линий тока со временем. Показано, что вклад каждого из механизмов определяется положением захваченного вихря и его интенсивностью.

Научная и практическая значимость

Результаты данной работы могут быть использованы для описания процессов регулярного и хаотического переноса в топографических вихрях. Также результаты работы позволяют определить конкретные значения параметров моделей океанских потоков, при которых процессы хаотического переноса будут определяющими в динамике массы в топографических вихрях.

Результаты работы использовались в исследованиях но ряду проектов РФФИ: 06-05-96080-] восток а «Теоретическое и экспериментальное исследования стохастических транспортных процессов в краевых областях океана», 07-05-92210-НЦНИЛ а «Конвекция, хаотическая адвекция и когерентные явления в атмосфере и океане», 08-05-00061-а «Эффекты хаотической адвекции в связанных и свободных вихревых структурах геофизической гидродинамики», 10-05-00646-а «Регулярная и хаотическая динамика вихрей в стратифицированном океане», 10-05-00770-а «Исследование переноса завихренности и перемешивания консервативной примеси краевыми нелинейными волнами океана», ДВО РАН: 09-1-П4-04, 09-П-СО-07-002, 10-Ш-В-07-001 «Аналитические и численные оценки областей регулярного поведения частиц в вихревых структурах двух и трехслойной моделей океана».

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения

• В случае малых возмущений внешнего потока ширина зоны хаотического переноса в модели топографического вихря с ростом амплитуды этих возмущений меняется скачками. В случае же конечных возмущений показано, что для оценки такой зоны можно использовать критерий перекрытия резонансов не только для регулярных моделей вихрей, но и для сингулярных моделей.

• Вид невозмущенных кривых частот оборота жидких частиц полностью определяет хаотический перенос и перемешивание в моделях топографических вихрей.

• При взаимодействии свободного вихря с топографическим наблюдается эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на: «XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова» (Владивосток, 2007), «Океанологические исследования. Четвертая конференция молодых ученых» (Владивосток, 2009), «Успехи механики сплошных сред» (Владивосток, 2009), «Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану» (Ижевск, 2010) и международных конференциях: «IUTAM symposium: 150 Years of Vortex Dynamics» (Копенгаген, Дания, 2008), «Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres» (Москва, 2009), «2nd Intern. Conf. on the High-Reynolds Number Vortex Interactions» (Брест, Франция, 2009), «European Geosciences Union. General Assembly» (Вена, Австрия, 2010), трех семинарах по «Нелинейной динамике» ТОЙ ДВО РАН и одном океанологическом семинаре ТОЙ ДВО РАН.

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 4 статей в рецензируемых журналах [29, 31, 97, 98] (также имеется 1 статья принятая в печать [27]) и 11 тезисов докладов [24-26, 28, 30, 99-104].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые па защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 94 страницы, из них 91 страница текста, включая 27 рисунков. Библиография включает 109 наименований па 11 страницах.

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Рыжов, Евгений Андреевич

Заключение

В работе рассмотрены динамически-согласованные двух- и трехслойные модели океана в квазигеострофическом приближении. За счет сингулярного топографического препятствия в нижнем слое на границах раздела между слоями появляются возмущения, играющие роль регулярных возвышенностей для верхних слоев. В результате таких возмущений в слоях наблюдаются вихревые образования. Эти вихревые образования представляют собой классическую картину линий тока с сепаратрисой, разграничивающей внешний поток и вихревую область. Приведенный па рисунке 1.1, фазовый портрет часто используется в качестве шаблона в моделях физической океанографии. В нижнем слое двухслойной модели, а также во всех слоях трехслойной в предположении постоянства потенциальной завихренности в слоях проанализирована хаотизация траекторий жидких частиц при нестационарном, в том числе и конечном, возмущении внешнего потока.

В первой главе показано, что в случае слабой нестационарности внешнего потока ширина области, подверженной хаотическому переносу, с ростом амплитуды внешнего потока меняется скачками. Причина таких скачков заключена в особенности топологии лепестков — областей, ограниченных устойчивым и неустойчивым многообразием. Также показано, что оценки по теории малых возмущений можно использовать для грубого определения интервала оптимальных для хаотизации частот нестационарного внешнего потока. Показано, что область, подверженная хаотическому переносу, в вихревых структурах имеет более сложный характер зависимости от параметров возмущения, чем считалось ранее. Как оценки, так и численное моделирование показывают, что стратификация приводит к более эффективному хаотическому переносу, вследствие регуляризации поля скорости в окрестности эллиптической точки. Расширяя задачу на конечные амплитуды нестационарного внешнего потока, показано, что в моделях вихрей с сингулярной особой точкой критерий перекрытия резонапсов Чирикова с приближением к этой особой точке стремится к нулю при любом значении амплитуды возмущения. Таким образом, критерий дает ответ на вопрос существования регулярного ядра в таких моделях в окрестности сингулярной особой точки при любом нестационарном внешнем потоке вида (1.16). Уточненный для нелинейных резонансов высокой кратности, критерий дает правдоподобную оценку размера такого регулярного ядра. Так же с помощью критерия возможно определение интервала оптимальных для хаотизации вихревой области частот для любых амплитуд внешнего потока.

Во второй главе представлены результаты, относящиеся к вихрям в трехслойной модели океана. При малой скорости набегающего потока в верхнем и среднем слоях может наблюдаться вихревое движение, в нижнем же слое за счет сингулярной возвышенности вихрь существует всегда. Схожего вихревого распределения по слоям можно добиться варьированием параметров стратификации (в работе рассмотрено влияние глубины) при неизменной средней скорости внешнего потока. Изменяя параметры модели, можно получать вихри различных линейных масштабов. В главе проведен анализ хаотических свойств модели. В зависимости от вида невозмущенных кривых частот оборота жидких частиц, определяемого параметрами модели (стратификация) и средним значением внешнего потоком, картины хаотического переноса и перемешивания будут значительно отличаться. Выявлены две предельные зависимости частоты оборота: одна для сингулярного вихря, вторая для регулярного наименьшей площади. Остальные зависимости являются промежуточными. Два предельных типа кривой частоты оборота определяют два различных сценария хаотического переноса. Известный факт, что в регулярном случае хаотизация намного эффективнее, чем в сингулярном, объяснен различной степенью перекрытия нелинейных резонансов. Сравнивая эффективность хаотического переноса для разных конфигураций параметров системы, приводящих к различным размерам вихревых областей, показано, что динамика в вихрях с регулярными нолями скорости эквиваленты в любых слоистых моделях, построенных таким лее образом, как и рассмотренная трехслойная.

В третьей главе показано, что в модели взаимодействия свободного вихря с топографическим наблюдается эффективная вентиляция вихревой области топографического вихря. Определены два основных механизма данной вентиляции. Одним из них является хаотический перенос. Наличие такого переноса показано с помощью анализа времен захвата жидких частиц из внешнего потока. Второй механизм связан с перестройкой фазового портрета со временем. Это приводит к интенсивному обмену между меняющими объем областями рециркуляции и проточной областью. Вклад каждого из механизмов определяется положением захваченного вихря и его интенсивностью, при этом динамика жидких частиц внутри топографического вихря значительно меняется. При действии нестационарного внешнего потока (1.16), свободный вихрь может захватываться топографией на конечное время, в зависимости от своего начального положения во внешнем потоке. При таком краткосрочном воздействии эффективность и интенсивность вентиляции топографического вихря очень велика. Так же показано, что стратификация значительно регуля-ризирует динамику в вихревых структурах в нижних слоях но сравнению с верхними.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Рыжов, Евгений Андреевич, Владивосток

1. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18. С. 13-40.

2. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции // Доклады АН. 2002. Т. 386. С. 686-689.

3. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние и фракталы в простом гидродинамическом потоке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126. С. 1167-1179.

4. Гледзер А. Е. Захват и высвобождение в вихревых структурах океана // Известия РАН. Физика Атмосферы и Океана. 1999. Т. 35. С. 838-845.

5. Гряник В. М. Динамика сингулярных геострофических вихрей в двухуровенной модели атмосферы (океана) // Известия АН СССР. Физика Атмосферы и Океана. 1983. Т. 19. С. 227-240.

6. Гряник В. М., Тевс М. В. Динамика сингулярных геострофических вихрей в .Ч-слой-иой модели атмосферы (океана) // Известия АН СССР. Физика Атмосферы и Океана. 1989. Т. 25. С. 243-256.

7. Дарницкий В. Б. Океанологические процессы вблизи подводных гор открытого океана. Владивосток: ТИНРО-Центр, 2006.

8. Заславский Г. М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

9. Зырянов В. Н. Топографические вихри в динамике морских течений. Москва: ИВП РАН, 1995.

10. Козлов В. Ф. Метод контурной динамики в модельных задачах о топографическом циклогенезе в океане // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1983. Т. 19. С. 845-854.

11. Козлов В. Ф. Модели топографических вихрей в океане. Москва: Наука, 1983.

12. Козлов В. Ф. Фоновые течения в геофизической гидродинамике // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31. С. 245-250.

13. Козлов В. Ф., Кошель К. В. Баротропная модель хаотической адвекции в фоновых течениях // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35. С. 137-144.

14. Козлов В. Ф., Кошель К. В. Об одной модели хаотического переноса в баротроп-ном фоновом течении // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36. С. 119-128.

15. Козлов В. Ф., Кошель К. В. Некоторые особенности хаотизации пульсирующего баро-тропного потока над осесимметричной подводной возвышенностью // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37. С. 378-389.

16. Козлов В. Ф., Кошель К. В., Степанов Д. В. Влияние границы на хаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41. С. 242-252.

17. Колмогоров А. Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. 1954. Т. 98. С. 527-530.

18. Кошель К. В., Израильский Ю. Г., Степанов Д. В. Определение оптимальной частоты возмущения в задаче о хаотическом транспорте частиц // Доклады АН. 2006. Т. 407. С. 773-776.

19. Кошель К. В., Пранц С. В. Хаотическая адвекция в океане // УФН. 2006. Т. 176. С. 1177-1206.

20. Кошель К. В., Пранц С. В. Хаотическая адвекция в океане. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2008.

21. Кошель К. В., Степанов Д. В. О хаотической адвекции, индуцированной топографическим вихрем бароклинного океана // Доклады АН. 2006. Т. 407. С. 773-776.

22. Мельников В. К. О некоторых случаях сохранения условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1965. Т. 165. С. 1245-1248.

23. Мельников В. К. Об одном семействе условно периодических решений системы Гамильтона // ДАН СССР. 1968. Т. 181. С. 546-549.

24. Рыжов Е. А. Оценка ширины стохастического слоя в двухслойной модели океана // Фундаментальные и прикладные вопросы механики. Тезисы докладов. Владивосток: 2006.

25. Рыжов Е. А. Об оценке толщины слоя хаотизации в модели двухслойного топографического вихря // XXXII Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. Владивосток: 2007.

26. Рыжов Е. А. Оценка области хаотизации в двухслойной модели топографического вихря // Океанологические исследования. Четвертая конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Владивосток: 2009.

27. Рыжов Е. А., Кошель К. В. Эффекты хаотической адвекции в трехслойной модели океана // Известия РАН. Физика атмосферы и океана (принята в печать).

28. Рыжов Е. А., Кошель К. В. Хаотические транспорт и перемешивание пассивной примеси топографическими вихревыми потоками // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46. С. 204-211.

29. Рыжов Е. А., Кошель К. В. Эффекты хаотической адвекции в трехслойной модели океана // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану. Тезисы докладов. Ижевск: 2010.

30. Рыжов Е. А., Кошель К. В., Степанов Д. В. Об оценке толщины слоя хаотизации в модели двухслойного топографического вихря // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34. С. 74-81.

31. Сэффмэн Ф. Д. Динамика вихрей. Москва: Научный мир, 2000.

32. Улейский М. Ю., Будянский М. В., Пранц С. В. Хаотический поперечный транспорт в двумерных струйных потоках (принята в печать) // ЖЭТФ. 2010.

33. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: НГУ, 1977.

34. Шагалов С. В., Реутов В. П., Рыбушкина Г. В. Асимптотический анализ перехода к турбулентности и хаотической адвекции в сдвиговых зональных течениях на бета-плоскости // Известия РАН. Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46. С. 105-118.

35. Acrivos A., Aref Н., Ottino J. М. Symposium он Fluid-Mechanics of Stirring and Mixing // Physics of Fluids a-Fluid Dynamics. 1991. Vol. 3. Pp. R3-R5.

36. Aref H. Stirring by chaotic advection // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 143. Pp. 1-21.

37. Aref H. The development of chaotic advcction // Phys. Fluids. 2002. Vol. 14. Pp. 1315-25.

38. Aref H. Stability of relative equilibria of three vortices // Phys. Fluids. 2009. Vol. 21. P. 094101.

39. Aref Ii. Self-similar motion of three point vortices // Phys. Fluids. 2010. Vol. 22. P. 057104.

40. Aref H., El-Naschie M. S. Chaos applied to Fluid Mixing. London: Pergamon, 1994.

41. Aref H., van Buren M. Vortex triple rings // Phys. Fluids. 2005. Vol. 17. P. 057104.

42. Babiano A., Provenzale A., Vulpiani A. Chaotic Advection, Tracer Dynamics and Turbulent Dispersion // Physica D. 1994. Vol. 76. Pp. R7-R8.

43. Baines P. G. Topographic Effects in Stratified Flows. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.

44. Beerens S. P., Ridderinkhof H., Zimmerman J. T. F. An Analytical Study of Chaotic Stirring in Tidal Areas // Chaos, Solitons and Fractals. 1994. Vol. 14. Pp. 1011-1029.

45. Beron-Vera F. J., Olascoaga M. J., Goni G. J. Oceanic mesoscale eddies as revealed by Lagrangian coherent structures // Geophys. Res. Lett. 2008. Vol. 35. P. L12603.

46. Branicki M., Malek-Madani R. Lagrangian structure of flows in the Chesapeake Bay: challenges and perspectives on the analysis of estuarinc flows // Nonlin. Processes Geophys. 2010. Vol. 17. Pp. 149-168.

47. Branicki M., Wiggins S. Finite-time Lagrangian transport analysis: stable and unstable manifolds of hyperbolic trajectories and finite-time Lyapunov exponents // Nonlin. Processes Geophys. 2010. Vol. 17. Pp. 1-36.

48. Brown M. G., Samelson R. M. Particle motion in vorticity-conserving, two-dimensional incompressible flows // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6. P. 2875.

49. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Hamiltonian fractals and chaotic scattering of passive particles by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. Pp. 369-378.

50. Dritschel D. G. Contour surgery: a topological reconnection scheme for extended integrations using contour dynamics //J. Comput. Phys. 1988. Vol. 77. Pp. 240-266.

51. Elliot B. A. Anticyclonic rings in the Gulf of Mexico // J. Phys. Oceanogr. 1982. Vol. 12. Pp. 1292-1309.

52. Fischer H. B., List E. J., Koh R. C. Y. et al. Mixing in Inland and Coastal Waters. New York: Academic Press, 1979.

53. Ichiye T. Circulation and water mass distribution in the Gulf of Mexico // Geofis. Int. 1962. Vol. 2. Pp. 47-76.

54. Inoue M., Wiseman W. J. Transport, Mixing and Stirring Processes in a Louisiana Estuary: A Model Study // Estuarine, Coastal and Shelf Science. 2000. Vol. 50. Pp. 449-466.

55. Izrailsky Y. G., Koshel K. V., Stepanov D. V. Determination of optimal excitation frequency range in background flows // CHAOS. 2008. Vol. 18. Pp. 1-9.

56. Izrailsky Y. G., Kozlov V. F., Koshel K. V. Some specific features of chaotization of the pulsating barotropic flow over elliptic and axisymmetric sea-mounts // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. Pp. 3173-3190.

57. Johnson E. R., McDonald N. R. The motion of a vortex near two circular cylinders // Proc. R. Soc. Lond. A. 2004. Vol. 460. Pp. 939-954.

58. Johnson E. R., McDonald N. R. The point island approximation in vortex dynamics // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2005. Vol. 99. Pp. 49-60.

59. Kirwan A. D., Merrell W. J., Lewis J. K., Whitaker R. E. Lagrangian observations of an anticyclonic ring in the western Gulf of Mexico //J. Geophys. Res. 1984. Vol. 89. Pp. 727-740.

60. Kizner Z., Khvoles R. The tripole vortex: Experimental evidence and explicit solutions // Physical Review E. 2004. Vol. 70. P. 016307.

61. Kizner Z., Khvoles R., McWilliams J. C. Rotating multipoles on the f- and gamma-planes // Phys. Fluids. 2007. Vol. 19. P. 016603.

62. Kizner Z., Reznik G., Fridman B. et al. Shallow-water modons on the f-plane // J. Fluid Mech. 2008. Vol. 603. Pp. 305-329.

63. Koshel K. V., Sokolovskiy M. A., Davies P. A. Chaotic advection and resonances in an oceanic flow above submerged seamount // Fluid Dynamics Research. 2008. Vol. 40. Pp. 695-736.

64. Kostrykin S. V., Khapaev A. A., Ponoinarev V. M., Yakushkin I. G. Lagrangian structures in time-periodic vortical flows // Nonlin. Processes Geophys. 2006. Vol. 13. Pp. 621-628.

65. Kuznetsov L., Toner M., Kirwan A. D. et al. The Loop Current and adjacent rings delineated by Lagrangian analysis of the near-surface flow // J. Marine Research. 2002. Vol. 60. Pp. 405-429.

66. Kuznetsov L., Zaslavsky G. M. Regular and chaotic advection in the flow field of a three-vortex system // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. Pp. 7330-7349.

67. Kuznetsov L., Zaslavsky G. M. Passive particle transport in three-vortex flow // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. Pp. 3777-3792.

68. Lewis J. K., Kirwan A. D., Forristall G. Z. Evolution of a warm-core ring in the Gulf of Mexico: Lagrangian observations // J. Geophys. Res. 1989. Vol. 94. Pp. 8163-8178.

69. Lichtenberg A., Lieberman M. Regular and Stochastic Motion. New York: Springer-Verlag, 1983.

70. Lipphardt B. L., Small D., Kirwan A. D. et al. Synoptic Lagrangian maps: Application to surface transport in Monterey Bay // J. Marine Research. 2006. Vol. 64. Pp. 221-247.

71. Mancho A. M., Hernandez-Garcia E., Small D. et al. Lagrangian Transport through an Ocean Front in the Northwestern Mediterranean Sea //J. Phys. Oceanogr. 2008. Vol. 38. Pp. 1222-1237.

72. Mancho A. M., Small D., Wiggins S. A tutorial on dynamical systems concepts applied to Lagrangian transport in oceanic flows defined as finite time data sets: Theoretical and computational issues // Phys. Rep. 2006. Vol. 437. Pp. 55-124.

73. Meleshko V. V., van Heijst G. J. F. Interacting 2-Dimensional Vortex Structures Point Vortices, Contour Kinematics and Stirring Properties // Chaos, Solitons and Fractals. 1994. Vol. 4. Pp. 977-1010.

74. Mendoza C., Mancho A. M. Hidden Geometry of Ocean Flows // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105. P. 03850.

75. Mendoza C., Mancho A. M., Rio M. H. The turnstile mechanism across the Kuroshio current: analysis of dynamics in altimeter velocity fields // Nonlin. Processes Geophys. 2010. Vol. 17. Pp. 103-111.

76. Miller P. D., Pratt L. J., Helfrich K. R., Jones C. K. R. T. Chaotic Transport of Mass and Potential Vorticity for an Island Recirculation //J. Phys. Oceanogr. 2001. Vol. 32. Pp. 80-102.

77. Noack B. R., Mezic I., Tadrnor G., Banaszuk A. Optimal mixing in recirculation zones // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16. Pp. 867-888.

78. Ottino J. M. The Kinematics of Mixing: Stretching, Chaos, and Transport. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

79. Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics 2 ed. New York: Springer, 1987.

80. Perrot X., Carton X. Point-vortex interaction in an oscillatory deformation field: Hamil-tonian dynamics, harmonic resonance and transition to chaos // DCDS-B. 2009. Vol. 11. Pp. 971-995.

81. Poje A. C., Toner M., Kirwan A. D., Jones C. K. R. T. Drifter Launch Strategies Based on Lagrangian Templates // J. Phys. Oceanogr. 2002. Vol. 32. Pp. 1855-1869.

82. Polvani L. M. Two-layer geostrophic vortex dynamics. Part 2. Alignment and two-layer V-states //J. Fluid Mech. 1991. Vol. 225. Pp. 241-270.

83. Pratt L. J., Lozier M. S., Beliakova N. Parcel trajectories in quasigeostrophic jets: neutral modes //J. Phys. Oceanogr. 1995. Vol. 25. Pp. 1451-1466.

84. Provenzale A. Transport by coherent barotropic vortices // Annu. Rev. Fluid Mech. 1999. Vol. 31. Pp. 55-93.

85. Reznik G., Kizner Z. Singular vortices in regular flows // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 2010. Vol. 24. Pp. 65-75.

86. Rhines P. B., Young W. R. Homogenization of Potential Vorticity in Planetary Gyres // J. Fluid Mecli. 1982. Vol. 122. Pp. 347-367.

87. Ridderinkhof H., Zimmerman J. T. F. Chaotic stirring in a tidal system // Science. 1992. Vol. 258. Pp. 1107-1111.

88. Roenby J., Aref H. Chaos in body-vortex interactions // Proc. R. Soc. Lond. A. 2010. Vol. 466. Pp. 1871-1891.

89. Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins A. An analytical study of transport, mixing and chaos in unsteady vortical flow //J. Fluid Mech. 1990. Vol. 214. Pp. 347-394.

90. Rom-Kedar V., Poje A. C. Universal properties of chaotic transport in the presence of diffusion // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11. Pp. 2044-2057.

91. Rypina I. I., Brown M. G., Beron-Vera F. J. et al. On the Lagrangian dynamics of atmospheric zonal jets and the permeability of the Stratospheric Polar Vortex //J. Atmos. Sci. 2007. Vol. 64. Pp. 3593-3610.

92. Rypina I. I., Brown M. G., Kocak H. Transport in an Idealized Three-Gyre System with Application to the Adriatic Sea // J. Phys. Oceanogr. 2009. Vol. 39. Pp. 675-690.

93. Ryzhov E., Koshel K., Stepanov D. Background current concept and chaotic advection in an oceanic vortex flow // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 2010. Vol. 24. Pp. 59-64.

94. Ryzhov E. A., Koshel K. V. Estimating the size of the regular region of a topographically trapped vortex // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. P. doi: 10.1080/03091929.2010.511205.

95. Ryzhov E. A., Koshel K. V. Estimation of chaotic boundary near singular vortex when non-stationary perturbation is not small // 2nd Intern. Conf. on the High-Reynolds Number Vortex Interactions. Abstracts. Brest. Prance: 2009.

96. Ryzhov E. A., Koshel K. V. Generation of topographic vortices by a tidal current at a coastal zone of the sea of Japan // International conference: Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres. Abstracts. Moscow. Russia: 2009.

97. Ryzhov E. A., Koshel K. V. Background currents in the models of stratified fluid // European Geosciences Union. General Assembly. Abstracts. Vienna. Austria: 2010.

98. Ryzhov E. A., Koshel K. V. On estimate of the regular region boundaries in a singular vortical model under finite nonstationary perturbation // European Geosciences Union. General Assembly. Abstracts. Vienna. Austria: 2010.

99. Ryzhov E. A., Koshel K. V., Stepanov D. V. Background current concept and chaotic ad-vection in an oceanic vortex flow // IUTAM Symposium "150 Years of Vortex Dynamics". Abstracts. Copenhagen. Denmark: 2008.

100. Ryzhov E. A., Koshel K. V., Stepanov D. V. Evaluating the stochastic layer thickness in a two-layer topographic vortex model // International conference: Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres. Abstracts. Moscow. Russia: 2009.

101. Sallee J. B., Speer K., Morrow R., Lumpkin R. An estimate of Lagrangian eddy statistics and diffusion in the mixed layer of the Southern Ocean //J. Marine Research. 2008. Vol. 66. Pp. 441-463.

102. Shadden S. C., Lekien F., Paduan J. D. et al. The correlation between surfaced rifters and coherent structures based on high-frequency radar data in Monterey Bay // Deep-Sea Research II. 2009. Vol. 56. Pp. 161-172.

103. Shevchenko I. I. The width of a chaotic layer // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. Pp. 808-816.

104. Sokolovskiy M. A., Verrón J. Finite-core hetons: Stability and interactions //J. Fluid Mech. 2000. Vol. 423. Pp. 127-154.

105. Sokolovskiy M. A., Zyryanov V. N., Davies P. A. On the influence of an isolated submerged obstacle on a barotropic tidal flow // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 1998. Vol. 88. Pp. 1-30.

106. Sutyrin G. G., Perrot X., Carton X. Integrable motion of a vortex dipole in an axisym-metric flow // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. Pp. 5452-5457.

107. Toner M., Kirwan A. D., Poje A. C. et al. Chlorophyll dispersal by eddy-eddy interactions in the Gulf of Mexico // J. Geophys. Res. 2003. Vol. 108. Pp. 3105-3117.

108. Treschev D. Width of stochastic layers in near-integrable two-dimensional symplectic maps // Physica D. 1998. Vol. 116. Pp. 21-43.

109. Uleysky M. Y., Budyansky M. V., Prants S. V. Mechanism of destruction of the transport barriers in geophysical jets with Rossby waves // Physical Review E. 2010. Vol. 81. P. 017202.

110. Verrón J. Topographic eddies in temporally varying oceanic flows // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 1986. Vol. 35. Pp. 257-276.

111. Vosbeek P. W. C., van Geffen J. H. G. M., Meleshko V. V., van Heijst G. J. F. Collapse interactions of flnitcsized two-dimensional vortices // Phys. Fluids. 1997. Vol. 9. Pp. 3315-3322.

112. Waugh D. W., Abraham E. R. Stirring in the global surface ocean // Geophys. Res. Lett. 2008. Vol. 35. P. L20605.

113. Wiggins S. Chaotic Transport in Dynamical Systems. New York: Springer-Verlag, 1992.

114. Wiggins S. The dynamical systems approach to Lagrangian transport in oceanic flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. Vol. 37. Pp. 295-328.

115. Zabusky N. J., Hughesand M., Roberts K. V. Contour dynamics for the Euler equations in two dimensions // J. Comput. Phys. 1979. Vol. 30. Pp. 96-106.

116. Zeng X., Pielke R. A., Eykholt R. Chaos theory and its applications to the atmosphere // Bull. Amer. Meteorol. Soc. 1993. Vol. 74. Pp. 631-644.