Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Хаотическая адвекция в топографических вихрях

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Хаотическая адвекция в топографических вихрях"

На правах рукописи

ХАОТИЧЕСКАЯ АДВЕКЦИЯ В ТОПОГРАФИЧЕСКИХ ВИХРЯХ

Специальность 25.00.28 - океанология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток-2006

Рампа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им В И Ильичева Дальневосточного отделения Российской Академии наук

Научный руководитель. доктор физико-математических наук Кошель Константин Валентинович

Официальные оппоненты' доктор физико-математических наук, профессор

Кильматов Т&чгаг Рустемович

кандидат физико-математических наук Пермяков Михаил Степанович

Ведущая организация: Институт водных проблем РАН

диссер районного совета Д 005.017 02 при Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН по адресу: 690041. г Владивосток, ул. Балтийская. 43

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тихоокеанского скеанотогического института им В И. Ильичева ДВО РАН.

Автореферат разослан « 2_» мая 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 005.017.02

кандидат reoi рафических Hayj^^/^j Храпченков Ф Ф

20О£А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Процессы горизонтального переноса и перемешивания определяют изменение характеристик вод океана, а также влияют на изменения климата. Исследование этих процессов в топографических вихрях имеет фундаментальное значение, так как именно горизонтальный перенос и перемешивание ответственны за изменение полей термогидродинамических характеристик и биопродуктивности вод.

При исследовании лагранжева переноса с помощью дрейфующих буев в районах топографического вихреобразования, возникает проблема в интерпретации полученных данных. Установлено, что среди размещенных недалеко друг от друга буев, есть такие, которые расходятся впоследствии на довольно значительные расстояния. Один из подходов к решению этой проблемы предлагает концепция «хаотической адвекции». В ее основе лежит тот факт, что траектории двух изначально близко расположенных частиц, в детерминированном вихревом потоке при наличии нестационарного возмущения могут расходиться экспоненциально друг от друга за конечное время. Таким образом, мезомасштабные вихревые поля скорости могут генерировать пространственные структуры в полях концентраций на масштабах много меньших, чем масштабы самого поля скорости. В рамках концепции хаотической адвекции основным механизмом процессов горизонтального переноса и перемешивания в топографических вихрях является хаотический перенос и перемешивание.

Для решения лагранжевых уравнений необходимо задать поле скорости. В приближении несжимаемой жидкости может быть введена функция тока, через которую выражается поле скорости. Важно, чтобы функция тока была динамически согласованной, т.е. удовлетворяла какому-либо динамическому условию, например закону сохранения

который <*ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ |

СПегервукУТ/ . ОЭ ■№^»«✓7/ ф

при условии исчезаюше малой вязкости выполняется во всем океане. Это удается сделать в рамках концепции фоновых течений В.Ф. Козлова, к< торая позволяет строить динамически согласованную функцию тока в замкнутом виде.

Основное направление исследований при выполнении диссертационной работы состояло в изучении процессов хаотического переноса и перемешивания в топографических вихрях. Особое внимание в работе уделено выявлению роли параметров внешних возмущений, граничных условий, а также неоднородности распределения плотности по вертикали в процессах переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы.

Цель и задачи работы.

Целью работы является развитие теоретических представлений и получение количественных характеристик процессов переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы. Для достижения поставленной цели был рассмотрен ряд конкретных задач:

В рамках баротропной квазигеострофической модели топографического вихря, расположенного возле прямолинейной твердой границы:

• Получение оценки ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при учете границы.

• Изучение влияния частоты внешнего возмущения и наличия прямолинейной границы на процессы хаотического переноса и перемешивания в вихревой области.

В рамках двухслойной модели топографического вихря без границы:

• Исследование влияния стратификации на перенос облака трассеров из вихревой области в проточную.

• Установление зависимости интервала частот внешнего возмущения оптимальных для процесса хаотического переноса от параметров модели.

Научная новизна.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получена оценка ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при наличии боковой границы. Показано, что при характерных масштабах топографических вихрей наличие боковой границы приводит к увеличению этой зоны до 1,5 раз.

2. Определен интервал оптимальных частот возмущения набегающего потока, при которых степень обновления вихревой области максимальна. Показано, что наличие границы приводит к более эффективной вентиляции вихревой области и перемешиванию в ней. Предложен эмпирический критерий, характеризующий эффективность горизонтального перемешивания в области вихря.

3. Установлено, что неоднородность распределения плотности по вертикали приводит к более эффективному и интенсивному процессу вентиляции вихревого ядра по сравнению с баротропной моделью. Показано, что интервал оптимальных частот лежит в окрестности максимальной частоты оборота жидких частиц в вихре.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные в работе результаты расширяют наше представление о процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях и могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных по дрейфующим буям. Они позволяют дать количественные характеристики исследуемых процессов, а также определить условия наиболее эффективной вентиляции и перемешивания в топографических вихрях.

Результаты использовались в работах по ряду проектов РФФИ: 99-05-64157-а «Исследование хаотического переноса в двухмерных моделях фоновых течений», 03-05-65214-а «Исследование влияния рельефа дна и береговой черты на хаотический перенос в моделях фоновых прибрежных течений», 06-05-96080-р_восток_? «Теоретическое и экспериментальное исследования стохастических транспортных процессов в краевых областях океана», ДВО РАН: 03-3-Ж-07-077 «Захват и высвобождение массы в топографических вихрях океана», 05-Ш-Г-07-128 «Исследование особенностей захвата и высвобождения массы в топографическом вихре бароклинного океана», 06-Ш-В-07-302 «Исследование особенностей горизонтального перемешивания и транспорта пассивной примеси в топографическом вихре бароклинного океана» и в ФЦП «Исследование природы Мирового океана» проект «Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере».

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Показано, что при характерных масштабах топографических вихрей в нестационарном потоке зона перемешивания в окрестности границы вихревой области увеличивается до 1,5 раз при наличии боковой границы.

2. Показано, что наличие боковой границы приводит к более эффективному, но менее интенсивному процессу обновления вихревой области в баротропной жидкости.

3. Установлено, что вентиляция вихревой области в двухслойной жидкости протекает более эффективно и интенсивно по сравнению с аналогичным процессом в однородной жидкости.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на «5-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию» (Владивосток, 2001), «I конкурсе научных работ молодых ученых ДВО РАН» (Владивосток, 2002), международной конференции «Flux and Structures in Fluids» (Москва, 2005), «Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова» (Хабаровск, 2005), семинаре по «Нелинейной динамике» ТОЙ ДВО РАН.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, в том числе 7 статей и 4 тезисов докладов, указанных в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (87 наименований), всего 119 стр. печатного текста, из них - титульный лист и оглавление на 2 стр., 44 рисунка и 2-е таблицы.

Личный вклад автора.

Все численные результаты получены автором самостоятельно. Формулировка модели топографического вихря в приближении двухслойной жидкости также выполнена автором. Построение аналитических оценок и анализ результатов выполнялись на паритетных началах. Новые научные результаты получены при решающем вкладе автора.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении показана актуальность темы, формулируются цели и задачи исследования, демонстрируется научная новизна и практическая значимость полученных результатов, формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе даются сложившиеся представления о концепции хаотической адвекции применительно к задачам горизонтального переноса и перемешивания в океане. Представлен обзор литературы, посвященной исследованию хаотического переноса и перемешивания. Обсуждается проблема динамической согласованности и пути ее решения.

В §1.1. кратко представлена концепция фоновых течений В.Ф. Козлова, в рамках которой строятся модели топографических вихрей. Алгоритм получения динамически согласованной функции тока для квазигеострофических моделей топографических вихрей в приближении баротропного океана представлен в §1.2., а для моделей в приближении двухслойной жидкости в §1.3. В §1.4. обсуждаются вопросы, связанные с особенностями численного интегрирования системы уравнений адвекции, допускающей существование хаотических траекторий. Представлены достоинства и недостатки метода Булирша-Штерра, используемого для интегрирования системы уравнений адвекции.

Вторая глава посвящена исследованию хаотической адвекции в рамках квазигеострофической баротропной модели топографического вихря, расположенного возле береговой черты в пульсирующем восточном (С/(/) > 0) вдольбереговом потоке

С/(/) = 1/0(1 + /«ш©/), (1)

где ио - средняя скорость потока, а - частота возмущения, ц - относительная амплитуда возмущения.

В §2.1. построена динамически согласованная функция тока течения, порожденного взаимодействием набегающего потока с неоднородностью рельефа дна, при наличии прямолинейной боковой твердой границы

¥ = -U(t)v + ^Чп

(1 „\2

где f0 - параметр Кориолиса, H - средняя глубина океана, гх - эффективный объем подводной возвышенности, (^,7)-координаты центра горы. Движение жидких частиц или пассивных трассеров в поле течения (2) характеризуется системой лагранжевых уравнений

х = -¥у,У = ¥х- (3)

Параграф 2.3. посвящен исследованию движения пассивных трассеров в поле течения (2) в случае стационарного набегающего потока U = U0 = const. В этом случае жидкие частицы двигаются вдоль линий тока. Проведен анализ особых точек системы (3) скорость в которых равна нулю. Установлено, что существует критическое значение скорости набегающего потока £/0 = 4, которое разделяет два типа картин линий тока. При U0> 4 гиперболическая особая точка находится на некотором расстоянии от границы - слабое влияние границы (рис. 16), а при U0< 4 гиперболическая особая точка расщепляется на две вдоль границы - сильное влияние границы (рис. 1а). Промежуточный случай U0= 4 здесь не представлен, но рассмотрен в диссертации. Область течения состоит из замкнутых линий тока - вихревая область (ВО) и линий тока уходящих на бесконечность - проточная область (ПО). Они отделены друг от друга линией тока с самопересечением в гиперболической особой точке, которая называется сепаратрисой. Важно упомянуть, что обмен пассивными трассерами между проточной и вихревой областями в невозмущенном случае отсутствует.

Следующие параграфы этой главы посвящены исследованию процессов переноса и перемешивания пассивных трассеров из ВО в ПО при наличии нестационарной компоненты скорости набегающего потока (1).

У У

Рис. 1. Картины линий тока: а) сильное влияние границы С/0 = 3.6, б) слабое влияние границы С/0 = 4.6. Выделены эллиптическая (0;уе) и гиперболическая (0;_уЛ) особые точки, и жирной линией сепаратриса.

В § 2.5 получены оценки зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы. При ц«1 на основе варианта теории возмущений Гледзера А.Е. модифицированного для случая отсутствия осевой симметрии

^«ОЛ £/„>4; ¿2*СУ3, 3<ий<4, где 8 - ширина зоны перемешивания, С,,С2 - константы, зависящие от II0 Как следует из полученных оценок, ширина зоны 8г при наличии прямолинейной твердой границы при характерных масштабах топографических вихрей увеличивается до 1.5 раз.

Параграф 2.6 посвящен случаю /л = 0.1, которое уже нельзя считать малым. На основе численных экспериментов исследовалось влияние частоты внешнего возмущения и наличие боковой границы на процесс хаотического переноса облака трассеров изначально равномерно распределенных по всей ВО. Показано, что эволюция числа вымытых трассеров из ВО в область ПО состоит из двух этапов: быстрого, в течении которого трассеры довольно интенсивно

вымываются из вихревой области и медленного, характеризующегося почти полным прекращение процесса переноса. Установлено, что с ростом частоты возмущения средняя интенсивность обмена между вихревой и проточной областью уменьшается. Кроме того, показано, что наличие боковой границы приводит к менее интенсивному переносу облака трассеров.

Проведен анализ зависимости степени обновления ВО от частоты внешнего возмущения, (рис. 2.). Показано, что существует интервал частот оптимальных для вентиляции ВО. Установлено, что наличие боковой границы приводит к увеличению степени обновления ВО и меньшим значениям оптимальных частот.

Рис. 2. Зависимость степени обновления вихревой области (в процентах) от частоты возмущения со для случаев а) сильного 11 {] =3.6 и б) слабого 11 п = 4.6

влияния границы.

Параграф 2.7. посвящен исследованию структуры ВО с помощью сечений Пуанкаре. Для этого отслеживалась эволюция от 10 до 100 трассеров, и

отображались их положения через период возмущения для тысячи периодов. Анализ таких отображений показа т, что ВО представляет собой совокупность зон (островов регулярности), ограниченных сплошными гладкими линиями, из которых трассеры не вымываются и хаотической области, из которой трассеры за конечное время проникают в область ПО. На рис. 3 представлены два примера такого сечения при со = 50 и при со = 100 для случая сильного влияния границы. Чем больше суммарная площадь островов, тем меньшее число трассеров покинут ВО, а соответственно, тем меньше степень вентиляции ВО. В результате численных экспериментов установлено, что с ростом частоты внешнего возмущения общая площадь островов регулярности сначала уменьшается, а затем увеличивается. Интервал оптимальных частот характеризуется минимальной суммарной площадью островов регулярности.

X X

Рис. 3. Сечения Пуанкаре для случая сильного влияния границы.

Анализ размерных значений времен вентиляции ВО (табл. 1) показал, что при наличии боковой границы время обновления ВО увеличивается от 3 - 6 лет до 12-60 лет.

Табл. 1.

Размерные значения периодов внешнего возмущения и времен вентиляции

вихревой области.

Период возмущения Время вентиляции вихревой области

Частота возмущения Период возмущения Степень вентиляции 50% Степень вентиляции 70%

Сильное влияние границы U0 = 3.6, размерное значение 0.28 м/с

75 22 час 5 лет 12 лет

100 16 час 24 лет 59 лет

Слабое влияние границы U0 = 4.6, размерное значение 0.37 м/с

125 13 час 1 год 3 года

150 11 час 2 года 6 лет

Параграф 2.8. посвящен исследованию процесса хаотического перемешивания в ВО. Как следует из концепции хаотической адвекции, этот процесс характеризуется растяжением и складкообразованием материального элемента.

Для локализации областей с наибольшим перемешиванием была

предложена характеристика эффективности перемешивания

Л г ф а-——-, ЛТ г

где Л - накопленный показатель Ляпунова, Л' - средний накопленный показатель Ляпунова по всем трассерам, / - время нахождения трассера в ВО, Г-средняя продолжительность быстрого этапа процесса переноса трассеров, йу - расстояние между соседними пересечениями траекторией оси Оу при у < 1, /•-расстояние между центром вихря и гиперболической точкой. Анализ распределений характеристики а (рис. 4), показал, что при наличии твердой границы эффективность перемешивания увеличивается до 20% по сравнению с 2% в случае слабого влияния границы.

У

0.3

0.6

0.9

1.2

0

0 1о 0.2

■ 0.2 Ю 0.4

■ 0.4 к) 0.42 ♦ 0.42 3.1

-0.6 -0.3 0 0.3 0.6 X

Рис. 4. Распределение характеристики а, приведенное к начальным положениям трассеров. Области, окрашенные в белый цвет, характеризуют зоны наименее эффективного перемешивания. Области, окрашенные в черный цвет, соответствуют зонам наиболее эффективного перемешивания.

В третьей главе рассматривается задача о роли стратификации в процессах хаотического переноса и перемешивания на примере квазигеострофической модели изолированного топографического вихря в двухслойной жидкости.

В § 3.1. дается формулировка модели топографического вихря, порожденного взаимодействием набегающего потока с неоднородностью рельефа дна в двухслойной жидкости. В рамках концепции фоновых течений В.Ф. Козлова построены динамически согласованные функции тока в слоях

2 кН

Я,

где Нх, Н2 -толшины слоев, Ld = k~l— внутренний радиус деформации Россби, К„ - функция Макдональда нулевого порядка. В дальнейшем рассматривалось движение только в верхнем слое жидкости у/х.

После приведения к безразмерному виду в §3.2 выражения для функции тока (4) и лагранжевых уравнений жидких частиц имеют вид

(x = U + (y/r)F{r), {y = -(x/r)F(r),

где г = yjx2 + у2, /г(г) = —- К ¡(г), К, - функция Макдональда первого порядка.

В § 3.3. рассматривается случай стационарного набегающего потока U = U0= const. Установлено, что имеется критическое значение U0 = UKp = 0.4 и численно найдена его величина, которое разделяет два типа течения. При U0 > UKp в потоке нет замкнутых линий тока, а при UB < U^ они есть. На рис. 5. приведены картина линий тока при скорости набегающего потока U„ = 0.3 и зависимость частоты оборота трассера в вихревой области от расстояния до центра вихря.

трассера а>п (справа) от расстояния до центра вихря г,.

Параграф 3.4. посвящен исследованию влияния частоты внешнего возмущения на процесс переноса облака трассеров изначально распределенного равномерно по всей вихревой области. Установлено, что имеются частоты, при которых процесс перероса трассеров имеет наряду с быстрым и медленными этапами, характерными для баротропной модели, промежуточный этап. На рис. 6. представлена эволюция числа вымытых трассеров (в процентах).

Рис. 6. Зависимость числа вымытых трассеров от времени (в логарифмическом масштабе).

Для со = 0.4 нет промежуточного этапа или он слабо выражен, а при й) = 0.11 он легко идентифицируется, обеспечивая до 10% от числа вымытых трассеров.

Анализ степени обновления вихревой области от частоты возмущения набегающего потока (рис. 7.) показал, что с ростом частоты возмущения степень обновления то увеличивается, то уменьшается в отличии от зависимостей, характерных для баротропной модели (см. рис. 2.).

N£0)

96

88

92

0

0.45

0.9

СО

Рис. 7. Зависимость степени обновления вихревой области Л', (а) (доля

вымытых трассеров от их общего числа в процентах) от частоты внешнего

возмущения со.

Для раскрытия механизма появления локальных максимумов и минимумов у этой зависимости в § 3.6. с помощью численных экспериментов проведен анализ сечений Пуанкаре. Установлено, что локальные экстремумы зависимости Мх_ (а>) связаны с разрушением и исчезновением островов, из которых трассеры не вымываются в область проточного течения. Это является следствием ограниченности зависимости а>0(г',) (см. рис.5). Процесс исчезновения центрального острова проиллюстрирован на рис. 8.

Установлено, что максимальная степень обновления вихревой области реализуется на частотах внешнего возмущения между сокр/2 и сокр. На основе

этого делается предположение о том, что интервал оптимальных частот находится в пределах от ю1р/2 до ткр (см. рис. 7).

Рис. 8. Сечения Пуанкаре. Исчезновение центрального острова.

Анализ размерных значений времен вентиляции вихревой области и соответствующих им периодов возмущений (см. таб. 2) в рамках двухслойной модели топографического вихря показал, что оптимальными для хаотического переноса являются внешние возмущения с периодом от 66 до 29 дней, а процесс обновления реализуется от 2 до 6 лет.

Табл. 2.

Размерные значения периодов внешнего возмущения и времен вентиляции

вихревой области.

Период возмущения Время вентиляции вихревой области

Частота возмущения Период возмущения Степень вентиляции 50% Степень вентиляции 70%

0.26 66 дней 1 год 2 года

0.28 61 день 1 год 2 года

0.54 32 дня 2 год 5 года

0.59 29 дней 3 года 6 лет

На примере двух моделей топографических вихрей, порожденных топографиями Гауссовой и эллиптической формы однородного по глубине

океана в § 3.7. показано, что действительно интервал оптимальных частот находится в пределах от половины критической частоты до критической частоты оборота трассера и, по-видимому, этот результат не зависит от конкретной модели.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

I. В рамках баротропной квазигеострофической модели топографического вихря, расположенного возле прямолинейной твердой границы бассейна, исследовано влияние нестационарности набегающего потока и боковой границы на процесс хаотического переноса из вихревой области в область проточного течения и хаотического перемешивания в вихревой области. В частности, установлено, что

а) при малой относительной амплитуде возмущения проточного течения ширина зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при наличии границы увеличивается при характерных масштабах топографических вихрей до 1,5 раз;

б) рост частоты возмущения скорости набегающего потока приводит к уменьшению интенсивности обмена трассерами между вихревой и проточной областями;

в) наличие границы приводит к более эффективному обновлению ядра вихря и смещению интервала частот, при которых степень обновления вихревой области максимальна, в область низкочастотных возмущений проточного течения, и более эффективному перемешиванию в вихревой области;

д) при характерных значениях скорости проточного течения ио = 0.4 м/с и периоде возмущения 13 часов время вентиляции вихревой области составляет 3 года, а при ио = 0.3 м/с и частоте возмущения в 22 часа увеличивается до 12 лет.

II. На примере квазигеострофической модели топографического вихря двухслойной жидкости исследована роль стратификации в процессе хаотического переноса. В результате исследования установлено, что

а) зависимость степени обновления вихревой области от частоты внешнего возмущения имеет ряд ярко выраженных локальных экстремумов, наличие которых связано с ограниченностью зависимости частоты оборота трассера в вихревой области от расстояния до центра вихря;

б) интервал оптимальных частот находится в окрестности критической частоты оборота трассера в вихревой области. Показано, что указанный факт, справедлив для моделей локализованных вихрей, порожденных топографиями гауссовой и эллиптической форм;

в) для двухслойной модели более эффективный процесс обновления вихревой области от 2 до 6 лет обусловлен долгопериодными возмущениями проточного течения от 29 до 66 суток.

III. Анализ размерных значений времен обновлений вихревой области и периодов возмущения показал, что, несмотря на увеличение периодов, соответствующих оптимальным частотам (от 29 до 66 суток в двухслойной модели вместо 13-22 часов в баротропной), эффективность и интенсивность вентиляции вихревой области выше для двухслойной модели по сравнению с баротропной моделью.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Степанов Д.В. Оценка стохастического слоя в баротропной квазигеострофической модели фонового течения, учитывающей влияние границы // 5-я Дальневосточная конференция студентов и аспирантов по математическому моделированию. Тезисы докладов. Владивосток, 2001. С. 43.

2.Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. О влиянии границы на хаотическую адвекцию в баротропных квазигеострофических моделях фоновых течений // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2, №2. С. 89-98.

3.Степанов Д.В. Оценка толщины стохастического слоя, окружающего топографический вихрь, расположенный у береговой черты // Океанологические исследования: сборник статей по материалам конференции молодых ученых Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН (27-30 ноября 2001 г.). - Вл-к: Дальнаука, 2002. С. 155 - 160.

4. Stepanov D.V. Influence of the tide on entrainment and release of passive

pollutant by ocean eddy structures // IUGG 2003, Sapporo Japan, June 30 -July 11,2003. A.427.

5.Koshel K.V., Stepanov D.V. Some specific features of chaotization and transport into pulsating barotropic flow over topographic point vortex near boundary // Regular and Chaotic Dynamics. 2004. Vol. 9, № 4. P. 439 - 450.

6. Кошель K.B., Степанов Д.В. Влияние границы на перемешивание и

транспорт пассивной примеси в нестационарном потоке // Письма в ЖТФ 2005. Т. 31, № 4. С. 6 - 12.

7. Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на

хаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, № 2, С. 242 - 252.

8.Kozlov V.F., Koshel K.V., Stepanov D.V. Study of Lagrangian turbulence in an unsteady vortex flow near boarder // International conference "Fluxes and structures in fluids" adstracts. Moscow. June 20-23, 2005. P. 67.

9. Степанов Д.В. Влияние частоты возмущения на хаотическую адвекцию в

вихревом потоке двухслойной жидкости // XXX Дальневосточная математическая школа—семинар им. Академика Е.В. Золотова. Тезисы докладов. - Хабаровск: ДВГУПС, 2005. 115 С.

10. Кошель К.В., Степанов Д.В. О хаотической адвекции, индуцированной топографическим вихрем бароклинного океана // Доклады АН. 2006. Т. 407, № 4. С. 542 - 546.

11. Кошель К.В., Израильский Ю.Г., Степанов Д.В. Определение оптимальной частоты возмущения в задаче о хаотическом транспорте частиц // Доклады АН. 2006. Т. 407, № 6. С. 773 - 776.

Подписано к печати 26.04.06. Формат 60*84/16. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 55.

Отпечатано в ТОЙ ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Балтийская, 43.

£00£> » - 9 2 5 9

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Степанов, Дмитрий Вадимович

Введение.

ГЛАВА 1. Хаотическая адвекция: обзор литературы.

§1.1. Фоновые течения в геофизической гидродинамике.

§1.2. Баротропная квазигеострофическая модель фонового течения.

§1.3. Двухслойная квазигеострофическая модель.

§1.4. Некоторые замечания по численному интегрированию.

ГЛАВА 2. Баротропная квазигеострофическая модель топографического вихря.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Масштабирование.

§2.3. Топографический вихрь в стационарном набегающем потоке.

§2.4. Перенос и перемешивание трассеров в нестационарном вихревом потоке

§2.5. Оценка ширины зоны перемешивания.

§2.6. Хаотический перенос.

§2.7. Сечения Пуанкаре.

§2.8. Хаотическое перемешивание в вихревой области.

ГЛАВА 3 Двухслойная квазигеострофическая модель топографического вихря

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Масштабирование.

§3.3. Топографический вихрь в стационарном баротропном потоке.

§3.4. Нестационарный набегающий поток.

§3.5. Хаотический перенос облака трассеров.

I §3.6. Сечения Пуанкаре.

§3.7. Универсальность положения интервала оптимальных частот для трех различных моделей топографических вихрей.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Хаотическая адвекция в топографических вихрях"

Актуальность темы

Процессы горизонтального переноса и перемешивания определяют изменение характеристик вод океана, а также влияют на изменения климата. Исследование этих процессов в топографических вихрях имеет фундаментальное значение в силу того, что именно горизонтальный перенос и перемешивание ответственны за изменение полей термогидродинамических характеристик и биопродуктивности вод.

При исследовании лагранжева переноса с помощью дрейфующих буев в районах топографического вихреобразования, возникает проблема в интерпретации полученных данных. Установлено, что среди размещенных недалеко друг от друга буев, есть такие, которые расходятся впоследствии на довольно значительные расстояния. Один из подходов к решению этой проблемы предлагает концепция «хаотической адвекции». В ее основе лежит тот факт, что траектории двух изначально близко расположенных частиц, в детерминированном вихревом потоке могут расходиться экспоненциально друг от друга за конечное время. Таким образом, мезомасштабные вихревые поля скорости могут генерировать тонкую структуру в полях концентраций на пространственных масштабах много меньших, чем масштабы самого поля скорости. В рамках концепции хаотической адвекции основным механизмом процессов переноса и перемешивания в топографических вихрях является хаотический перенос и перемешивание.

Для решения лагранжевых уравнений необходимо задать поле скорости. В приближении несжимаемой жидкости может быть введена функция тока, через которую выражается поле скорости. Важно, чтобы функция тока была динамически согласованной, т.е. удовлетворяла какому-либо динамическому условию, например закону сохранения потенциальной завихренности, который при условии исчезающе малой вязкости выполняется во всем океане. Это удается сделать в рамках концепции фоновых течений В.Ф. Козлова, которая позволяет строить динамически согласованную функцию тока в замкнутом виде.

Основное направление исследований при выполнении диссертационной работы состояло в изучении процессов хаотического переноса и перемешивания в топографических вихрях. Особое внимание в работе уделено выявлению роли параметров внешних возмущений, граничных условий, а также неоднородности распределения плотности по вертикали в процессах переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы.

Цель и задачи работы.

Целью работы является развитие теоретических представлений и получение количественных характеристик процессов переноса и перемешивания в вихревых структурах океана топографической природы. Для достижения поставленной цели был рассмотрен ряд конкретных задач:

В рамках баротропной квазигеострофической модели топографического вихря, расположенного возле прямолинейной твердой границы:

• Получение оценки ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при учете границы.

• Изучение влияния частоты внешнего возмущения и наличия прямолинейной границы на процессы хаотического переноса и перемешивания в вихревой области.

В рамках двухслойной модели топографического вихря без границы:

• Исследование влияния неоднородности распределения плотности по вертикали на перенос облака трассеров из вихревой области в проточную.

• Установление зависимости интервала частот внешнего возмущения оптимальных для процесса хаотического переноса от параметров модели.

Методы исследования.

При выполнении диссертационной работы применялись следующие методы исследования: концепция «Фоновых течений» В.Ф. Козлова, теория возмущений, методы теории нелинейных резонансов, метод Лагранжевых частиц, метод построения сечений Пуанкаре, численный метод интегрирования уравнений Булирша-Штерра.

Научная новизна.

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Получена оценка ширины зоны перемешивания в окрестности невозмущенной сепаратрисы при наличии боковой границы. Показано, что наличие боковой границы приводит к увеличению этой зоны в 1,5 раза при характерных масштабах топографических вихрей.

2. Определен интервал оптимальных частот возмущения набегающего потока, при которых степень обновления вихревой области максимальна. Показано, что наличие границы приводит к более эффективной вентиляции вихревой области и перемешиванию в ней. Предложен эмпирический критерий, характеризующий эффективность горизонтального перемешивания в области вихря.

3. Установлено, что неоднородность распределения плотности по вертикали приводит к более эффективному и интенсивному процессу вентиляции вихревого ядра по сравнению с баротропной моделью. Показано, что интервал оптимальных частот лежит в окрестности максимальной частоты оборота жидких частиц в вихре.

Основные положения, выносимые на защиту.

Основные результаты можно представить в виде следующих положений

1. Показано, что при наличии боковой границы возникающая в нестационарном потоке в окрестности границы вихревой области зона перемешивания увеличивается до 1,5 раз при характерных масштабах топографических вихрей.

2. Показано, что процесс вентиляции вихревой области в баротропной жидкости протекает более эффективно, но менее интенсивно при наличии боковой границы.

3. Показано, что процесс обновления вихревой области в двухслойной по плотности жидкости протекает более эффективно и интенсивно по сравнению с однородной жидкостью.

Научная и практическая значимость работы.

Полученные в работе результаты расширяют наше представление о процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях и могут быть использованы при интерпретации экспериментальных данных по дрейфующим буям. Они позволяют дать количественные характеристики исследуемых процессов, а также определить условия наиболее эффективной вентиляции и перемешивания в топографических вихрях.

Результаты использовались в работах по ряду проектов РФФИ: 99-05-64157-а «Исследование хаотического переноса в двухмерных моделях фоновых течений», 03-05-65214-а «Исследование влияния рельефа дна и береговой черты на хаотический перенос в моделях фоновых прибрежных течений», 06-05-96080-рвостока «Теоретическое и экспериментальное исследования стохастических транспортных процессов в краевых областях океана», ДВО РАН: 03-3-Ж-07-077 «Захват и высвобождение массы в топографических вихрях океана», 05-Ш-Г-07-128 «Исследование особенностей захвата и высвобождения массы в топографическом вихре бароклинного океана», 06-III-В-07-302 «Исследование особенностей горизонтального перемешивания и транспорта пассивной примеси в топографическом вихре бароклинного океана» и в ФЦП «Исследование природы Мирового океана» проект «Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере».

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на «5-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию» (Владивосток,

2001), «I конкурсе научных работ молодых ученых ДВО РАН» (Владивосток,

2002), международной конференции «Flux and Structures in Fluids» (Москва, 2005), «Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Е.В. Золотова» (Хабаровск, 2005), семинаре по «Нелинейной динамике» ТОЙ ДВО РАН.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы (87 наименований), всего 119 стр. печатного текста, из них -титульный лист и оглавление на 2 стр., 44 рисунка и 2-е таблицы.

Заключение Диссертация по теме "Океанология", Степанов, Дмитрий Вадимович

Заключение.

Понимание процессов переноса и перемешивания является одной из важнейших проблем в океанографии, которая до сих пор полностью не решена. Некоторый свет на понимание этих процессов может пролить использование лагранжева похода для изучения океанической циркуляции на различных масштабах. Кроме того, принимая во внимание нестационарность течений различных масштабов, становится ясной необходимость использования в качестве физической основы процессов переноса и перемешивания концепции хаотической адвекции.

Известно, что в предположении несжимаемости жидкости поле скорости выражается через функцию тока. С точки зрения геофизической гидродинамики эта связь носит название геострофических соотношений, в которых роль функции тока играет давление. В этом приближении система уравнений адвекции совпадает с Гамильтоновой системой, где роль канонических переменных играют координаты жидкой частицы, а роль Гамильтониана - функция тока. Связь между системой уравнений адвекции и Гамильтоновой системой дает возможность использовать все доступные к настоящему времени методы и приемы теории динамических систем [7],[27],[55],[79] для исследования движения пассивных частиц в различных модельных полях скорости. Из теории динамических систем известно, что если система имеет более 1 степени свободы, то в некоторой области фазового пространства две изначально близко расположенные частицы могут расходиться экспоненциально во времени. Это явление получило название динамического хаоса, а в приложении к гидродинамике хаотической адвекции. Для нестационарных океанических потоков при наличии пространственных структур типа вихрей, струй, фронтов в качестве основы процессов переноса и перемешивания предлагаются процессы хаотического переноса и перемешивание.

В диссертационной работе были рассмотрены процессы хаотического переноса и перемешивания на примере аналитических моделей топографических вихрей при различных граничных условиях в баротропном приближении и приближении двухслойного океана. Ставилась задача выяснить, какое влияние при этом оказывает граница и неоднородность распределения плотности по вертикали.

Важным требованием, предъявляемым к таким идеализированным моделям, состоит в том, чтобы функция тока удовлетворяла определенным динамическим соотношениям, т.е. была динамически согласованной [52],[68]. Эта проблема может быть разрешена с помощью концепции фоновых течений предложенной В.Ф. Козловым [12]. Функции тока, исследованные в работе и сконструированные в рамках этой концепции, являются динамически согласованными, в том смысле, что удовлетворяет закону сохранения потенциальной завихренности [57].

В рамках модели поля течения порожденного взаимодействием локализованной подводной возвышенности, расположенной рядом с береговой чертой с нестационарным набегающим потоком был изучен перенос и перемешивания пассивных трассеров. Подобный механизм появления области топографической завихренности над горой следует из динамических уравнений [11], а также подтверждается численными экспериментами [8]. В зависимости от величины скорости набегающего потока рассмотрено три характерных случая: слабого влияния границы, промежуточного влияния границы и сильного влияния границы. В отсутствии внешнего возмущения скорости набегающего потока облако трассеров изначально расположенное в области вихря никогда не покинет ее.

При наличии внешнего нестационарного возмущения картина изменяется кардинально. Появляется возможность обмена трассерами между областью вихря и областью проточного течения. Облако трассеров начинает деформироваться [7],[27],[55] и часть трассеров покидает область вихря.

В окрестности невозмущенной сепаратрисы образуется зона перемешивания, из которой трассеры, изначально расположенные в области вихря, начинают вымываться в область проточного течения. Ясно, что физически важной проблемой является задача о размерах этой зоны и как этот размер зависит от степени влияния границы. При малой относительной амплитуде внешнего возмущения с помощью теории возмущений на основе алгоритма предложенного в работе [5], который позволяет определить останется ли трассер в вихревой области или покинет ее. Показано, что с ростом степени влияния границы ширина зоны перемешивания в окрестности гиперболической особой точки пропорциональна не корню квадратному из относительной амплитуды внешнего возмущения, как в случае слабого влияния границы, а корню кубическому. При характерных масштабах топографических вихрей ширина зоны перемешивания при наличии границы увеличивается до 1,5 раз.

Исследование хаотического переноса и перемешивания для случая конечной относительной амплитуды внешнего возмущения проводилось с помощью численного моделирования. Важно установить какое влияние на процессы хаотического переноса и перемешивания окажет частота внешнего возмущения и наличие боковой границы.

В частности нами был проведен эксперимент по отслеживанию процесса размывания облака трассеров, изначально покрывающего всю вихревую область. На начальном этапе трассеры вымываются очень интенсивно из вихревой области. Затем наступает предельный режим, при котором трассеры перестают вымываться в область проточного течения. Однако, число трассеров, вымытых к предельному режиму, временной интервал на котором достигается предельный режим, а также перенос трассеров из вихревой области в область проточного течения существенным образом зависят как от наличия боковой границы, так и от частоты внешнего возмущения. Показано, что с ростом частоты возмущения, а также с ростом степени влияния границы средний перенос трассеров из области вихря в область проточного течения уменьшается и увеличивается временной интервал достижения предельного режима. Установлено, что как средний перенос, так и время выхода на предельный режим монотонно зависят от частоты, а также от степени влияния границы. Чего нельзя сказать о зависимости числа вымытых трассеров при достижении предельного режима или степени обновления вихревой области от частоты внешнего возмущения и степени влияния границы. В численных экспериментах показано, что имеются частоты внешнего возмущения - оптимальные частоты, при которых степень обновления вихревой области максимальная. Как показал анализ результатов численного моделирования, интервал оптимальных частот, а также степень обновления вихревой области на этих частотах зависят от степени влияния боковой границы. Установлено, что наличие боковой границы приводит к тому, что максимальная степень обновления вихревой области достигается на меньших частотах по сравнению со случаем слабого влияния границы. Однако, вентиляция вихревой области более эффективна при наличии боковой границы, по сравнению с ее отсутствием.

Таким образом, можно заключить, что рост частоты внешнего возмущения и наличие боковой границы приводят к уменьшению скорости обмена между вихревой и проточной областями. Наличие границы приводит к более эффективному обновлению ядра вихря и смещению интервала оптимальных частот в область низкочастотных возмущений.

Следующей важной задачей, рассмотренной в работе, была проблема хаотического перемешивания. Она связанная непосредственным образом с процессами растяжения и складкообразования материального элемента [55]. Эти процессы возможны в тех областях фазового пространства, рассматриваемой системы, где наблюдается экспоненциальная расходимость двух изначально близко расположенных траекторий. Для замкнутых систем количественной характеристикой хаотического перемешивания служат показатели Ляпунова. Однако в силу того, что рассматриваемая система является открытой, использование этой характеристики невозможно. Более приемлемо использование накопленных показатели Ляпунова, а также такой количественная характеристики, как «время жизни» или время нахождения трассера в вихревой области. Анализ распределений накопленных Ляпуновских показателей и времен жизни показал, что в случае сильного влияния границы имеются трассеры с продолжительным временем жизни и промежуточным значением накопленного показателя Ляпунова. Анализ этих трассеров показал, что в случае слабого влияния границы доля их от общего числа менее 1% с ростом же влияния границы число этих трассеров растет и в случае сильного влияния границы может достигать 20%.

Анализ размерных величин скоростей набегающего потока, времен вентиляции вихревой области показал, что с ростом влияния границы, время вентиляции вихревой области увеличивается от полугода при скорости набегающего потока U0=0,4m/c и периоду возмущения в 17 часов до 5 лет при скорости набегающего потока U0=0,3m/c и периоду возмущения в 22 часа.

Итак, резюмируя полученные результаты можно сказать, что учет боковой границы существенным образом повлиял на хаотический перенос и перемешивание. В приложении к эстуариям и открытым морям можно сказать, что при наличии береговой черты и расположенной рядом с ней вихревой области появляется возможность наиболее интенсивного, медленного перемешивания и переноса пассивной примеси из вихревой области в область проточного течения.

Важной задачей рассмотренной в диссертации была задача о влиянии неоднородности распределения плотности по глубине на движение пассивных трассеров в поле топографического вихря. Для учета такой неоднородности было использовано простейшее приближение двухслойной жидкости [57]. Также как и в баротропном случае, для получения динамически согласованных функций тока в слоях была использована концепция фоновых течений В.Ф. Козлова и рассмотрены эффекты хаотической адвекции в верхнем слое жидкости.

В случае стационарного набегающего потока область течения состоит из вихревой области с замкнутыми линиями тока и проточной области с линиями тока, уходящими на бесконечность, отделенными друг от друга сепаратрисой. Установлено, что при скорости набегающего потока U0 > 0.4 ВО не существует, хотя в нижнем слое ВО существует при любом значении скорости. Кроме того, в отличии от баротропной модели важной особенностью двухслойной модели является ограниченность зависимости частоты оборота трассера в вихревой области. Это предполагает существенное отличии в сценариях развития хаотического поведения траекторий трассеров в двухслойной модели от рассмотренной ранее баротропной модели топографического вихря.

Как и для баротропного случая исследовалась задача переноса облака трассеров, изначально однородно заполнявшего всю вихревую область, в область проточного течения. Ставилась задача выяснить, как на хаотический перенос повлияют частота внешнего возмущения в приближении двухслойного океана.

Анализ эволюции числа маркеров вымытых из ВО показал, что качественно процесс переноса трассеров протекает также как и для баротропного случая. Для большинства частот внешнего возмущения эволюция числа вымытых трассеров протекает в два этапа: быстрый и медленный. Подтверждена монотонно убывающая зависимость среднего переноса трассеров из вихревой в проточную область с ростом частоты возмущения. Однако установлено, что на некоторых частотах имеется кроме быстрого и медленного этапов, промежуточный этап, где средняя скорость переноса трассеров из вихревой области в проточную меньше, чем для быстрого этапа. Анализ зависимости Л^ (<у) числа вымытых трассеров к моменту выхода на медленный режим от частоты возмущения показал, что кроме наличия интервала оптимальных частот для хаотического перемешивания имеются несколько явно выраженных локальных минимумов. Для объяснения такого поведения Nx {со) было проведено исследование структуры вихревой области с помощью сечений Пуанкаре. Установлено, что в системе происходит процесс исчезновения нелинейных резонансов [33], который связан с ограниченностью зависимости &0(у). Показано, что основной вклад дает исчезновение резонансов соответствующих частотам и 63кр > т-е- самых больших по площади островов. Анализ эволюции резонансов различных порядков показал, что интервал оптимальных частот находится в пределах от —со^ до й)кр. Это подтверждает анализ результатов численного моделирования по хаотическому переносу облака трассеров в моделях топографических вихрей Гауссовой [19] и эллиптической формы [44]. Установлено, что, как и в рассматриваемой двухслойной модели топографического вихря зависимости частоты оборота трассера в вихревой области в нестационарном набегающем потоке для двух других моделей имеют критические частоты. Анализ зависимостей числа вымытых трассеров к моменту выхода на медленный режим от частоты возмущения показал наличие локальных экстремумов. Установлено, что локальные экстремумы зависимостей N^^co) связаны с исчезновение нелинейных резонансов [33], а интервал оптимальных частот находится в пределах от —сокр до сокр. Таким образом, учет неоднородности распределения плотности по глубине с помощью простейшего приближения двухслойного океана дает нетривиальную зависимость Nx [(d) .

Анализ размерных значений времен выхода на медленный режим, степени обновления ВО, оптимальных частот возмущения и среднего Лагранжева переноса трассеров из ВО в ПО для баротропной модели топографического вихря у границы и топографического вихря в приближении двухслойного океана показал, что для двухслойной модели характерны долгопериодные возмущения от 22 до 66 суток и интенсивный процесс обновления вихревой области от 1 до 2 лет.

Анализ размерных значений величин времен вентиляции вихревой области, периодов возмущения и скорости набегающего потока в рассмотренных моделях показал, что, несмотря на увеличение периодов, соответствующих оптимальным частотам (от 26 до 66 суток в двухслойной модели вместо 17-22 часов в баротропной) эффективность и интенсивность вентиляции вихревой области выше для двухслойной модели по сравнению с баротропной моделью. Таким образом, установлена существенная роль стратификации в процессах переноса и перемешивания в топографических вихрях.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Степанов, Дмитрий Вадимович, Владивосток

1. Борисов А.В., Мамаев И.С., Соколовский М.А. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 704 с.

2. Будянский М.В., Пранц С.В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, Вып. 6. С. 508-510.

3. Будянский М.В., Улейский М.Ю., Пранц С.В. Хаотическое рассеяние, транспорт и фракталы в простом гидродинамическом потоке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, Вып. 5. С. 1167-1179.

4. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. 4-е изд.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981. 512 с.

5. Гледзер А.Е. Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1990. Т. 35, N 6. С. 838845.

6. Данилов С.Д., Довженко В.А., Якушкин И.Г. Перенос пассивного скаляра и Лагранжев хаос в Гамильтоновой гидродинамической модели // ЖЭТФ. 2000. Т. 118, Вып 2. С. 483-494.

7. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988, 368 с.

8. Зырянов В.Н. Топографические вихри в динамике морских течений. -Москва: ИВП РАН, 1995, 240 с.

9. Каменкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане. Ленинград.: Гидрометеоиздат, 1987. 512 с.

10. Козлов В.Ф. Влияние рельефа дна на глубинные течения в океане (квазигеострофические модели). Учебное пособие. — Владивосток: ДВГУ, 1981. 91 с.

11. Козлов В.Ф. Модели топографических вихрей в океане. М.: Наука, 1983.200 с.

12. Козлов В.Ф. Фоновые течения в геофизической гидродинамике // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31, № 2. С. 245-250.

13. Козлов В.Ф., Гурулев А.Ю. О динамике фронта потенциальной завихренности в поле фоновых течений // Изв. РАН. 1998. Т. 34, № 3. С. 395—403.

14. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Охотском море // Метрология и гидрология. 1996, № 9. С. 58—64.

15. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Японском море (баротропная модель) // Океанология. 1995. Т. 35, № 5. С. 658—662.

16. Козлов В.Ф., Макаров В.Г. Фоновые течения в Японском море (двухслойная квазигеострофическая модель) // Океанология. 1996. Т. 36, № 4. С. 493-497.

17. Козлов В.Ф., Кошель К.В. Баротропная модель хаотической адвекции в фоновых течениях // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 35, № 1.С. 137-144.

18. Козлов В.Ф., Кошель К.В. Об одной модели хаотического переноса в баротропном фоновом течении. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36, № 1. С. 119-128.

19. Козлов В.Ф., Кошель К.В. Некоторые особенности хаотизации пульсирующего баротропного потока над осесимметричной подводной возвышенностью // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37, № 3. С. 378-389.

20. Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. О влиянии границы на хаотическую адвекцию в баротропных квазигеострофических моделях фоновых течений // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2, № 2. С. 89-98.

21. Козлов В.Ф., Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на хаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, № 2. С. 242-252.

22. Костыркин С.В., Якушкин И.Г., Перенос пассивной примеси и лагранжевы структуры в нестационарных вихревых течениях // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2003. Т. 39, N 6. С. 749-759.

23. Кошель К.В., Степанов Д.В. Влияние границы на перемешивание и транспорт пассивной примеси в нестационарном потоке. // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, № 4. С. 6-12.

24. Кошель К.В., Степанов Д.В. О хаотической адвекции, индуцированной топографическим вихрем бароклинного океана // Доклады АН. 2006. Т. 407, №4. С. 1-5.

25. Кошель К.В., Израильский Ю.Г., Степанов Д.В. Определение оптимальной частоты возмущения в задаче о хаотическом транспорте частиц // Доклады АН. 2006. Т. 407, № 6. С. 773 776.

26. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Издательство физ.-мат. Лит., 2001.296 с.

27. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 528 с.

28. Океанология. Физика океана. Гидродинамика океана. 2 Т. М.:Наука, 1978. 456 с.

29. Пранц С.В. Хаос, фракталы и полеты атомов в резонаторах // Письма в ЖЕТФ. 2002. Т. 75, Вып. 12. С. 777-785.

30. Степанов Д.В. Влияние частоты возмущения на хаотическую адвекцию в вихревом потоке двухслойной жидкости. // Тезисы докладов. Дальневосточная математическая школа семинар им. Е.В. Золотова -Хабаровск, 2005. С. 115.

31. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1977. 82 с.

32. Aref Н. Chaotic advection of fluid particles // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. Vol. 333. P. 273-288.

33. Aref H. The development of chaotic advection // Phys. Fluids. 2002. Vol. 14, №4. P. 1315-1324.

34. Beerens S.P., Ridderinkhof H., Zimmerman T.F. An analytical study of chaotic stirring in tidal areas // Chaos, Solutions and Fractals. 1994. Vol. 4, № 6. P. 1011-1029.

35. Bower A.S. A simple kinematics mechanism for mixing fluid particles across a meandering jet // J. Phys. Ocean. 1991. Vol. 20. P. 173-180.

36. Bower A.S., Т. Rossby Evidence of cross-frontal exchange processes in the Gulf Stream based on isopycnal RAFOS float data // J. Phys. Ocean. 1989. Vol. 19. P. 1177-1190.

37. Bower A.S., Heather D. Hunt Lagrangian Observations of the Deep Western Boundary Current in the North Atlantic Ocean. Part I: Large-Scale Pathways and Spreading Rates // J. Phys. Ocean. 2000. Vol. 30. P. 764-783.

38. Dahleh M.D. Exterior flow of the Kida ellipse // Phys. Fluids A. 1992. Vol. 4, №9. P. 1979-1985.

39. Eckart C. An analysis of the stirring and mixing processes in incompressible fluids // Journal of Marine Research. 1948. Vol. 7, № 3. P. 265-275.

40. Izrailsky Yu. G., Kozlov V. F., Koshel К. V. Some specific features of chaotization of the pulsating barotropic flow over elliptic and axisymmetric seamounts // Phys. Fluids. 2004. Vol. 16, № 8. P. 3173-3190. v

41. Kawakami A., Funakoshi M. Chaotic motion of fluid particles around a rotating elliptic vortex in a linear shear flow // Fluid Dynam. Res. 1999. Vol. 25. P. 167-193.

42. Koshel K.V., Stepanov D.V. Some specific features of chaotization and transport in pulsating barotropic flow over a topographic point vortex near boundary // Regular and Chaotic Dynamics. 2004. Vol. 9, № 4. P. 439^149.

43. Kozlov V.F., Koshel K.V., Stepanov D.V. Study of Lagrangian turbulence in an unsteady vortex flow near boarder // International conference "Fluxes and structures in fluids" adstracts. Moscow. June 20-23, 2005. P. 67.

44. Kovalyov S. Phase space structure and anomalous diffusion in a rotational fluid experiment// Chaos. 2000. Vol. 10, № 1. P. 153-165.

45. Liu Z., Yang H. The intergyre chaotic transport // J. Phys. Ocean. 1994. Vol. 24. P. 1768-1782.

46. Mariano A.J., Griffa A., Ozgokman T.M., Zambianchi E. Lagrangian analysis and predictability of coastal and ocean dynamics 2000 // J. Atmosph. Ocean. Tech. 2002. Vol. 19. P. 1114-1126.

47. Meyers S.D. Cross-frontal mixing in a meandering jet // J. Phys. Ocean. Notes and Correspondence. 1994. Vol. 12, № 6. P. 1641-1646.

48. Ngan K., Shepherd T.G. Chaotic mixing and Rossby-wave critical layers // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 334. P. 315-351.

49. Osborne A.R., Kirwan A.D., Jr., Provenzale A., Bergamasco L. Fractal drifter trajectories in the Kuroshio extension // Tellus. 1989. Vol. 41 A. P. 416-435.

50. Osborne A.R., Kirwan A.D., Jr., Provenzale A., Bergamasco L. A search for chaotic behavior in large and mesocale motions in the Pacific Ocean // Physica D. 1986. Vol. 23. P. 75-83.

51. Ottino J.M. The kinematic of mixing: stretching, chaos and transport. N.Y.: Cambridge. University Press. 1989. 364 P.

52. Ottino J.M. Mixing, chaotic advection and turbulence // Annu. Rev. Fluid. Mech. 1990. Vol. 22. P. 207-253.

53. Pedlosky J. Geophysical fluid dynamics — sec. ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1987.710 р.

54. Pierrehumbert R.T. Large-scale horizontal mixing in planetary atmospheres // Phys. Fluids A. 1991. Vol. 3, № 5. P. 1250-1260.

55. Pierrehumbert R.T., Yang H. Global chaotic mixing on isentropic surfaces // J. Atmos. Sci. 1993. Vol. 50, № 15. P. 2462-2480.

56. Pierrehumbert R.T. Chaotic mixing of tracers and vorticity by modulated travelling Rossby waves // Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn. 1991. Vol. 58. P. 285—320.

57. Poje A.C., Haller G. Geometry of cross-stream mixing in a double-gyre ocean model // J. Phys. Ocean. 1999. Vol. 29. P. 1649-1665.

58. Polvani L.M., Wisdom J. Chaotic Lagrangian trajectories around an elliptical vortex patch embedded in a constant and uniform background shear flow // Letters Phys. Fluids A. 1990. Vol. 2, №3. P. 123-126.

59. Ridderinkhof H., Loder J. W. Lagrangian characterization of circulation over submarine banks with application to the outer Gulf of Maine // J. Phys. Ocean. 1994. Vol. 24. P. 1184-1200.

60. Ridderinkhof H., Zimmerman J.T.F. Chaotic stirring in a tidal system // Science. 1992. Vol. 258. P. 1107-1111.

61. Rogier L., Stommel H. Float trajectories in simple kinematic flows // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1979. Vol. 76, № 10. P. 4760-4764.

62. Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins S. An analytical study of transport, mixing and chaos in an unsteady vortical flow // J.Fluid Mech. 1990. Vol. 214. P. 347-394.

63. Rom-Kedar V. Universal properties of chaotic transport in the presence of diffusion // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11, № 8. P. 2044-2057.

64. Samelson R.M. Chaotic transport by mesoscale motions / Stochastic modeling in physical oceanography. Eds J. Adler, P. Muller, B. Rozorskii. Boston: Birkhanson. 1996. P. 423-438

65. Samelson R.M. Fluid exchange across a meandering jet // J. Phys. Ocean. 1992. Vol. 22, № 4. p. 431-440.

66. Shlesinger M.F., Zaslavsky G.M., Klafter J. Strange kinetics // Nature. 1993. Vol. 363. P. 31-37.

67. Sokolovskuy M.A., Zyryanov V.N., Davies P.A. On the onfluence of an isolated submerged obstacle on a barotropic tidal flow // Geophys. Astrophys. Fluid. Dynamics. 1998. Vol. 88. P. 1-30.

68. Sotiropoulos F., Ventikos Y., Lackey Т. C. Chaotic advection in three-dimensional stationary vortex-breakdown bubbles: Sil'nikov's chaos and the devil's staircase. //J. Fluid. Mech. 2001. Vol. 444. P. 257—297.

69. Stepanov D. V. Influence of the tide on entrainment and release of passive pollutant by ocean eddy structures. // IUGG 2003, Sapporo Japan, June 30 -July 11, 2003. A.427.

70. Stoer J. Extrapolation methods for the solution of initial value problems and their practical realization //Lecture notes in Mathematics. Vol. 23. P. 1—21.

71. Tsega Y., Michaelides E. E. Particle dynamics and mixing in the frequency driven Kelvin cat eyes flow // Chaos. 2001. Vol. 11, № 2. P. 351 358.

72. Waseda Т., Mitsudera H. Chaotic advection of the shallow Kuroshio coastal waters // Journal of Oceanography. 2002. Vol. 58. P. 627-638.

73. Wiggins S., Ottino J.M. Foundation of chaotic mixing // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 2004. Vol. 362. P. 937-970.

74. Wiggins S. The dynamical systems approach to Lagrangian transport in ocean flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. Vol. 37. P. 295-328.

75. Wiggins S. Chaotic Transport in Dynamical System. N. Y.: Springer-Verlag, 1992. 301 p.

76. Yang H. The subtropical/subpolar gyre exchange in the presence of annually migrating wind and a meandering jet: water mass exchange // J. Phys. Ocean. 1996. Vol. 26. P. 115-130.

77. Yang H. Chaotic transport and mixing by ocean gyre circulation/ Stochastic modeling in physical oceanography. Eds J. Adler, P. Muller, B. Rozorskii. -Boston: Birkhanson. 1996. P. 439^165.

78. Yang H. Chaotic mixing and transport in wave systems and the atmosphere // J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3, № 6. P. 1423-1445.

79. Yang H. Dependence of Hamiltonian chaos on perturbation structure // Biffurc. and Chaos. 1993. Vol. 3, № 4. P. 1013-1028.

80. Yang H. Lagrangian modeling of potential vorticity homogenization and the associated front in the Gulf Stream // J. Phys. Ocean. 1996. Vol. 26, № 11. P. 2480-2496.

81. Yang H. Three-dimensional transport of the Ertel potential vorticity and N20 in the GFDL SKYHI model // J. Atmos. Sci. 1995. Vol. 52, № 9. P. 15131528.

82. Yang H. The three-dimensional chaotic transport and the Great Ocean Barier // J. Phys. Ocean. 1997. Vol. 27, № 7. P. 1258-1273.

83. Yuan G.-C., Pratt L.J., Jones C.K.R. T. Cross-Jet Lagrangian transport and mixing in a 2\-layer model // J. Phys. Ocean. 2004. Vol. 34. P. 1991-2005.