Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Метод решения прямых задач электрического каротажа в трехмерных средах

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Метод решения прямых задач электрического каротажа в трехмерных средах"

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ ИНСТИТУТ им. С ЕР ГО ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи УДК 530.832.7

БАХМУТСКИЙ Михаил Львович

МЕТОД РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО КАРОТАЖА В ТРЕХМЕРНЫХ СРЕДАХ

Специальность 04.00.12 — геофизические методы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени геологоразведочном институте имени Серго Орджоникидзе.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук профессор Г. Ц. Тумаркин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук профессор Е. Е Захаров

кандидат технических наук доцент А. Д. Карине кий

Ведущая организация: ВНИИГеофизика.

^ 1992г. в ¿¡Г*

Зашита диссертации состоится " -ь- 1992г. ъХ** часов на заседании Специализированного совета Д. 063. 55. 03 при Московском ордена Трудового Красного Знамени геологоразведочном институте имени Серго Орджоникидзе (МГРИ) по _ адресу 117485,Москва,ул. Миклухо-Маклая, д. 23,МГРИ ауд. ЬЗс*

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МГРИ.

Автореферат разослан ¿^ 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических

наук Ю. И. Блох

Общая характеристика работы.

Актуальность тени.

При разведке месторождений нефти и газа,подсчете их запасов, значительное место в общем комплексе геофизических исследований скважин принадлежит методам электрического каротажа на постоянном токе. Получение геологической информации путем интерпретации результатов измерений базируется на совместном анализе,полученных на скважине кривых профилирования с соответствующими теоретическими данными,полученными в результате расчета поля для моделей геоэлектрического разреза

В настоящее время теория методов электрического каротала на постоянном токе(в частности, методов кающегося сопротивления) разработана только для относительно простых моделей. Это вызвано тем,что получение аналитических решений,при всей их ценности возможно,как правило,Только в простейших случаях. Численное же решение эадачи классическими численными методами(например методом верхней релаксации) для сложных трехмерных моделей невозможно, из-за ограниченности ресурсов современных ЭВМ. В этой ситуации,выход часто видят в построении специфических численных методов,при помощи которых эффективно решаются прямые вадачи цдя какого-либо класса моделей. Например для осесимметричных иоделей среды с плоско-параллельными и цилиндрически-коаксиальными границами раздела удельной электропроводности. В этих юделях учет той или иной симметрии позволяет понизить размер-юсть задачи.

В последние годы стало ясно, что ввиду усложнения геологических >азреэов возникает необходимость в исследовании моделей среды

- г -

возникающих при изучении коллекторов со сложным строением пустотного пространства,с трещинной пористостью и т.д.

В настоящее время в мировой нефтяной практике широко используется гидравлический разрыв пластов,производимый для увеличения дебита нефтяных и газовых скважин. Согласно современным представлениям, в условиях нефтяных и газовых месторождений, при гидроразрыве пластов образуются вертикальные и субвертикальные трещины. Существуют также трещины возникающие при естественном гидрораэрыве пластов. С этим,например,связывают глубокое проникновение фильтрата бурового раствора в терригенные коллектора юры Западной Сибири .

При этом необходимо умение идентифицировать макротрешины в горных породах,определять их параметры .

. Усложнение задач,решаемых при помощи геофизических иследований скважин,вызывает необходимость анализа все более сложных' моделей и это,в свою очередь,повышает требования к математическому моделированию, как основе теории. Возникает необходимость введения, прч помощи математического моделирования,в практику геофизика-интерпретатора сложных моделей,близких к реальным,позволяющих, в частности,решать задачи электрокаротажа для трещинных коллекторов. Поэтому необходимо уметь расчитывать поле в таких средах,используя ресурсы современных ЭВМ распрстраненных типов.

Цель работы -разработка эффективного метода математического. моделирования на ЭВМ поля точечного источника тока-в трехмерных средах и расчета кривых профилирования кажущегося сопротивлени при движении источника(эонда).

Основные задачи исследований:

- разработка метода численного моделирования полей точечных источников постоянного тока в трехмерных средах,доступного для реализации на современных распространенных ЭВМ, в том числе и персональных,

- разработка алгоритмов и программных модулей, реализующих метод и иллюстрирующих его применение путем модельных расчетов.

Методы исследований: для разработки метода численного моделирования в работе использовалось сингулярное разложение матриц, метод разделения переменных, оценки и нахождение спектров матриц,ряды теории возмущений для функции Грина и построение сходящихся разложений для функции Грина на основе 'С - метода .Ланцоша. На этой основе была разработана версия программных средств для реализации метода.

Научная новизна проведенных исследований состоит в построении метода численного разделения переменных для решения уравнения в частных производных теории электрокаротажа на постоянном токе. Метод заключается в разбиении дифференциального оператора задачи . на основной(невозмущенный) и возмущающие операторы,построение ряда теории возмущений для функции Грина дифференциального оператора,использования 'С -метода Ланцоша для приближенного суммирования (с оценкой точности по норме) ряда теории возмущений и применения метода разделения переменных для вычисления

функции Грина невозмущенного оператора (начального приближения функции Грина).

Практическая значимость работы. На основе предложенного метода разработана первая версия комплекса программ решения прямых трехмерных задач электрометрии скважин точечными источниками постоянного тока. Эти программы используются при ,методических исследованиях теории электрокаротажа в трещинных коллекторах.

Реализация результатов работы.

Программы решения прямых задач электрометрии скважин используются при работах Центральной Геофизической Экспедиции Ассоциации "Роснефтегаэгеофизика" по созданию методик интерпретации результатов геофизических иследований скважин в сложнопостроенных трещиноватых коллекторах.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались на научных конференциях МГРИ (1986,1987,1988 г.г.),на семинаре "Автоматизация приемов обработки геофизической информации при поисках нефти и газа" в г. Перми( 1986).

Основные положения работы и некоторые результаты были включены в отчеты тематической партии номер 13 Центральной Геофизической Экспедиции Миннефтепрома СССР (ныне ассоциации "Роснефгегазге-офизика") (1987г.). Результаты работы (пакет программ "ЕШХЗ") представлялся Центральной Геофизической Экспедицией-на Международной Геофизической Конференции и Выставке по разведочной Геофизике (ЗЕ6). г. Москва (1992)

- б -

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения,четырех глав, заключения.

Объем работы^^&траниц текста,"^рисунков, таблиц, список литературы сдержит^Й'наименований.

Во введении обоснована актуальность темы и сформулированы цель и задачи исследований.

В первой главе дан краткий обзор работ и проведен анализ развития и современного состояния методов решения прямых задач теории каротажа по методу кажущихся сопротивлений,дан краткий обзор работ и проведен краткий анализ развития и современного состояния методов и алгоритмов ортогональных разложений и их применений.

Во второй главе сформулированы основные идеи предлагаемого метода,построен ряд теории возмущений для функции Грина. В приложении ко второй главе приведена конечно-разностная аппроксимация ряда формул второй главы.

В третьей главе исследована структура ряда теории возмущений для функции Грина,на основе 'С- метода Ланцоша построено сходящееся разложение, заменяющее собой исходный ряд теории возмущений,построенный во второй главе,даны оценки нормы еоз-мущающего оператора и формулы приближенного суммирования ряда теории возмущений.

В четвертой главе приведена постановка задачи и численные 2

расчеты двумерной перколяционной задачи о распространении тока в случайно-неоднородной среде. Приведены результаты моделирования,при помощи предлагаемого в диссертации метода,поля точечных источников и кривых профилирования для ряда моделей, представляющих интерес для нефтяной промысловой геофивики (трещина в пласте бесконечной мощности,пронизанном скважиной; наклонные трещины в пласте конечной мощности;пачка пластов с наклонной трещиной). .

В заключении сформулированы основные результаты выполненного исследования.

На защиту выносятся следующие положения:

7-разработан метод численного моделирования поля точечных источников постоянного тока в сложных трехмерных средах.доступный для реализации на современных ЭВМ распространенных типов и заключающийся в последовательном выполнении комплекса известных и аппробированных в различных задачах методов,а именно:

1)сингулярного разложения матриц, как средства удобной аппроксимации матриц;

2)метода разделения переменных,как способа решения многомерных задач математической физики;

3)теории возмущений,как способа сведения решения сложных задач к решению последовательности более простых;

4)метода 'С-разложения Ланцоша,как способа ускорения сходимости степенных рядов и построения сходящегося разложения,даже в случае расходящегося степенного ряда.

//"-разработанный метод позволяет производить численные расчеты

поля точечного источника электрического поля в трехмерных средах' не прибегая к помощи супер-ЭВМ.

7-разработанный метод позволяет использовать подробные сетки, чтобы изучать влияние даже незначительных неоднородностей среды (трещин) на показания зондов электрического каротажа. Тем самым, существенно расширяется класс моделей в методических исследованиях теории электрического каротажа.

7-разработанный метод позволяет ускорить расчет кривых профилирования для различных зондов электрического каротажа. При расчетах кривой профилирования для всех зондов и положений источника используется Оурье-образ функции Грина по базису собственных функций ассоциированной задачи Штурма-Лиувилля,который вычис-

ч

ляется один раз.

г-разработанный метод,позволяет рассчитать трехмерные модели, представляющие интерео для нефтяной геофизики,в частности, модель наклонной трещины в пласте конечной мощности, пронизанном скважиной,модель наклонной трещины в пачке пластов, пронизанной скважиной.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю д. ф. м. н., проф. Тумаркину Г. Ц. за внимание,ценные советы и поддержку работы. Автор благодарен начальнику тематической партии ЦГЭ "Роснефтегазгеофизики" Ильинскому В. М. и бывшему главному инженеру тем. партии ЦГЭ Вильге Б. И. 8а полезные обсуждения геофизической постановки вадачи и поддержку работы. Содержание работы.

Прямая задача электрокаротажа на постоянном токе является внешней граничной задачей для системы уравнений Максвелла с граничными условиями возбуждения, в точках где находятся источники поля, и излучения,на бесконечности. Характер распределения электрического поля в среде определяется электропроводностью среды. Знание распределения потенциала электрического поля,при тех или иных предположениях о геологической структуре,т. е. об удельной электропроводности среды,позволяет интерпретировать измерения электрического поля в скважинах и по ним судить об околоскважинном пространстве. Поэтому набор решений уравнения потенциала электрического поля для различных,геологически осмысленных, моделей составляет суть теории электрического каротажа. Эта теория возникла в 1932 году когда В. А. Фок нашел решение задачи о поле точечного источника постоянного тока в осесим-метричной среде с кусочно-постоянной проводимостью и одной цилиндрической границей раздела. Источник тока, при этом, помещался на оси цилиндрической скважины. В дальнейшем теория развивалась, обогащалаясь новыми моделями и аналитическими решениями полученными рядом исследователей (А.И.Заборовский,Л.М.Альпин, Е. Е Чаадаев, Е. А. Кулинкович, В. Е Дахнов, А. И. Сидоркук, Г. Е Зверев, В.В. Вержбицкий и др.). Однако,аналитические решения,при всей их ценности могли быть найдены только для очень ограниченога класса моделей. Необходимость рассмотрения новых моделей вызвала попытки нахождения поля точечного источника тока в среде при помощи физического моделирования (Л. М. Альпин, К Е Дахнов, Е М. Белаш, Е. А. Нейман). С появлением ЭВМ, для решения прямых задач теории электрокаротажа,начинают использоваться численные методы.

Широкое применение,при решении прямых задач электрического каротажа, получили методы интегральных уравнений JL М. Альпин,

B. И. Дмитриев, Е. В. Захаров,Б. Р. Меррик, Г. М. Чечин.Е Е Попов, Е. В. Чаадаев, Г. Н. Зверев, JL А. Таборовский, К. Г. Ваксман и др.).

Матрица системы линейных алгебраических уравнений,возникающая при дискретизации интегрального уравнения,является заполненой, что препятствует решению этим методом не только трехмерных, но и двумерных задач,при подробной дискретизации. Для решения прямых задач теории электрокаротажа широко применялся и метод конечных разностей. Для решения прямых задач каротажа сопротивлений в • осесимметричных моделях среды разработан целый ряд конечно-разностных и гибридных методов и приближений (Б. И. Вильге,

C. Д. Цейтлин, И. Г. Ярмахов,Е Т. Иванов, М. С. Масютина, А. С. Кронрод, Е Л. Дру скин, Glänze го S. .Anderson В. ,Tsang L. ,Chan А. и др.).

Для решения задач электрометрии скваяин применялись методы Монте-Карло (Дядькин Н. Г., Стариков Е П.,Колосов A. JL). Несмотря на наличие большого набора решеных задач,потребности геофизической практики диктуют необходимость разработки эффективных методов решения эадач каротажа сопротивлений в трехмерных средах, не использующих супер-ЭВМ.

Для решения задачи о расчете поля точечного источника тока в трехмерной среде,в работе предлагается метод численного разделения переменных для решения эллиптического уравнения в частных производных теории потенциала. При этом используется широко известное сингулярное разложение матриц.

Известно что любая матрица размерностью MxN может быть представлена в виде произведения матриц:

Матрицы и и V состоят из ортонормальных столбцов,матрица является диагональной с неотрицательными диагональными элементами. Другими словами элементы матрицы А можно записать в виде:

а* с;

Беря нужное число членов разложения,можно аппроксимировать элементы матрицы А с любой заданной точностью.

В первой главе работы дан очень краткий (ввиду широкого применения) обзор работ по применению ортогональных разложений, широко использовавшихся для обработки измерений,сжатия информации .таблиц, в некоторых задачах сейсмики.

В работе предлагается метод,широко использовавшийся ранее в задачах обработки информации,сжатия информации в многомерных таблицах,использовать для аппроксимации значений электропроводности, заданных в узлах конечной трехмерной сетки. Легко видеть, что,при таком рассмотрении,коэффициент уравнения (удельная электропроводность) представляется семейством матриц. Последовательно применяя сингулярное разложение матриц к матрицам этого семейства,можно представить электропроводность в узле с индексами 1^,1 в виде:

При этом > , , '

Сумма квадратов элементов векторов 1 (1),Х (О,У (;)) равна 1. Отношения старших чисел <5К к первому являются малыми параметрами ьадачи. Подставляя полученное разложение в уравнение для 'функции

Грина задачи,описывающей поле постоянного тока в среде А

получаем разбиение дифференциального оператора задачи на неЛ Л

возмущенный оператор (1^) и возмущающие операторы (Ь^. Функцию Грина ищем в виде ряда теории вовмущений по степеням малого параметра ^¿/б^ т. е. полагаем &

При этом,начальным приближением функции Грина (6°) является функция Грина невозмущенного оператора, т. е.: (т °=

т Шт+т ФА+Ш

1{ЫХА№Л( хтш^лк^

£г^1) £р- Структура невозмущенного опера-

тора такова, что для нахождения функции Грина этого оператора применим метод разделения переменных. Функция Грина ищется в виде разложения по конечному базису из собственных функций одномерных задач Штурма-Лиувилля, возникающих при решении задачи нахождения невозмущенной функции Грина методом разделения переменных. При этом функция Грина невозмущенной задачи является диагональной матрицей,а матрица возмущения является суммой матриц возмущающих операторов, каждая из которых является прямым произведением двумерных матриц.

Ряд теории возмущений представляет собой матричную геометрическую прогрессию,которая сходится если норма матрицы меньше единицы. Просуммировав аналитически формальный степенной ряд теории возмущений, можно переопределить начальное приближение

функции Грина таким образом,что степенной ряд заменяется разложением по смещенным полиномам Чебышева. При построении такого разложения используется подход известный под названием ^-метода .Ланцоша. Использование "^метода Ланцоша,как известно, позволяет строить сходящееся разложение даже в том случае,когда степенной ряд расходится. Езяв нужное число членов разложения Ланцоша, определяемое оценкой по норме остатка разложения, и перейдя от полиномов Чебышева к степенной зависимости .получим расчетную формулу для нахождения функции Грина задачи,с заданной точностью.

Изложенные вьюе соображения развиты во второй и третьей главах работы и обосновывают первое заярщаемое положение.

Во второй главе работы приводятся некоторые примеры аппроксимации распределения электропроводности на сетке при помощи сингулярного разложения матриц. При этом трехмерные зависимости на сетках большого порядка (159x159x243 узлов) аппроксимируются при помошй небольшого числа (до нескольких десятков) одномерных векторов. При нахождении базиса собственных функций решаются 3 одномерные задачи Штурма-Лиувилля,матрицы которых являются симметричными и трехдиагональными. Матрицы возмущающих операторов являются произведениями двумерных симметричных матриц. При этом оценки,приводимые в третьей главе работы й подтверждаемые в ходе численных расчетов,свидетельствуют о разреженности этих матриц. Это позволяет применять при вычислениях технологию работы с разреженными матрицами,описанную в ряде монографий по технологии разреженных матриц.

Все это позволяет ослабить требования как к объему оперативной

памяти, так и к быстродействию ЭВМ н обосновывает второе защищаемое положение.

Поскольку,при расчете поля в трехмерной среде,испольБуются только одномерные и относительно небольшие двумерные массивы,то, не прибегая к резкому увеличению ресурсов ЭВМ,возможно использование для решения трехмерных задач подробных сеток. Это повышает разрешающие способности численного моделирования .

Тем сам** обосновывается третье защищаемое положение. При снятии кривой кажущегося сопротивления фиксируют две координаты X и У и двигают зонд вдоль координаты 2. При расчете кривой профиллирования также фиксируются координаты X и У и изменяется координата 2. Поэтому,при заданных X и У,строится матрица,являющаяся Зурье-образом разложения функции Грина по базису собственных функций задачи Штурма-Лиувилля по оси 2. Эта матрица при вычислении кривой профиллирования вычисляется один раз. При моделировании перемещения зонда,матрица сворачивается с векторами собсвенных функций,вычисленными в точках источника и приемников.

Это обосновывает четвертое защищаемое положение. В настоящее время в нефтяной геофизике активно изучаются трещинные коллектора с протяженными трещинами раскрытостью от миллиметров до сантиметров. В частности,большой интерес представляют трещины гидроразрыва,искуственного и естественного. При этом возникает вопрос об их обнаружении,оценке параметров трещин и возможности использования в этих целях Злектрического каротажа. Является актуальным вопрос о влиянии трещинности на показания зондов электрического каротажа и о правильной интер-

претации кривых кажущегося сопротивления. Поэтому.в качестве иллюстрации применения предложенного метода,в четвертой главе работы приведены кривые кажущихся сопротивлений (КС.) для зондов длиной 0.45м и 1.05м, расчитанные для ряда моделей реальных сред. В частности, приведены кривые КС. для модели наклонной трещины в пласте конечной мощности,пронизанном скважиной, для наклонной трещины в пачке пластов,пронизанной скважиной.

Это обосновывает пятое защищаемое положение.

Заключение.

Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем:

1. Предложен численный метод решения конечно-разностной аппроксимации эллиптического уравнения теории потенциала для поля постоянного тока в трехмерной среде.

2. Предложенный метод реализован в разработанном пакете программ, написанном на языке Фортран для ЭВМ ЕС.

3. Решены некоторые модельные вадачи,иллюстрирующие применение метода и представляющие интерес для нефтепромысловой геофизики.

Рассмотрено влияние таких параметров как угол наклона трещины, раскрытость трещины, заполняемое^ трещины на форму кривых профилирования зондами электрического каротажа в моделях пласта конечной мощности,пронизанном скважиной и наклонной трещиной и пачки пластов,пронизанной скважиной и наклонной трешиной.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Прямой метод численного решения конечно-разностных аппрок-

симаций трехмерных эллиптических уравнений задач электрического каротажа. Изв. ВУЗов, Геология и разведка.-М. ,1985. -Деп. в ВИНИТИ 21.02. 85,N 1369-85

2. Численный метод расчета поля источника постоянного тока в трехмерной сложно-построенной среде. Тезисы докл. семинара "Автоматизация приемов обработки геофизической информации при поисках нефти и газа",Пермь, 1986г.

3. Математическое моделирование электрического,бокового и индукционного каротажа в сложных неоднородных средах. -В кн.: Совершенствование методических приемов обработки и интерпре^ тации данных ГИС с применением ЭВМ. Мэсква,1987( совместно с

Б. И. Вильге)

4. Математическое моделирование электрического каротажа в средах со случайными неоднородностями. Известия АН СССР, сер. Физика Земли, 1988,N6. (совместно с Б. И. Вильге)

5. Математическое моделирование поля постоянного тока в сложных средах в задачах ГИС. -Тезисы доклада на Международном семинаре "Автоматизация научных исследований в геологии,горном деле, экологии и медицине(профзаболевания),Москва,1991г.

1.1,

Подп. к печати 24 • уж 1992 г. ф.пя. 4/0 Тираж /СО Типография «Нефтяник» Зак. Мд /593