Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с тензорным коэффициентом электропроводности на базе векторного метода конечных элементов

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с тензорным коэффициентом электропроводности на базе векторного метода конечных элементов"

На правах рукописи

□□3447350 ОРЛОВСКАЯ Надежда Викторовна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С ТЕНЗОРНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ НА БАЗЕ ВЕКТОРНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2008

003447350

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения РАН и Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Новосибирском государственном техническом университете Федерального агенства по образованию.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

академик РАН, профессор Михайленко Борис Григорьевич,

Защита состоится "23" октября 2008 г в 9 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.068.03 при Учреждении Российской академии наук Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения РАН в конференц-зале.

Адрес: проспект Академика Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090.

Факс: 8(383) 333-25-13

С текстом диссертационной работы можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИНГГ СО РАН (проспект Академика Коптюга, 3.)

Автореферат разослан "9" сентября 2008 г.

Ученый секретарь

Шурина Элла Петровна

доктор физико-математических наук, профессор Федорук Михаил Петрович.

Ведущая организация: Институт геофизики УрО РАН,

(ИГФ УрО РАН, г. Екатеринбург)

диссертационного совета канд. геол.-минерал. наук

H.H. Неведрова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования - математические модели электромагнитных полей в средах с тензорными коэффициентами параметров среды и способы описания анизотропии среды. Предметом исследования являются вычислительные схемы для таких моделей, реализованные на базе векторного метода конечных элементов, а также математическая модель тензора электропроводности, соответствующего произвольно ориентированной тонкослоистой среде.

Актуальность темы.

Известно, что электропроводность тонкослоистых геологических отложений с горизонтальными или вертикальными границами описывается диагональным тензором. На сегодняшний день нет общепринятого способа построения тензора электропроводности для тонкослоистой среды с произвольной ориентацией слоев. Решение задачи моделирования трехмерного электромагнитного поля в анизотропных средах требует создания новой эффективной вычислительной схемы и ее реализации в виде комплекса программ (инструментария). Известные методы решения задач геоэлектрики, такие как преобразование Фурье, представление поля через тороидный и поло-идальный скаляры, метод на основе матриц распространения, ориентированы на решение задач только с точечным дипольным источником поля в анизотропных средах, или на сравнительно узкий класс сред (в первую очередь, трансверсально изотропных). Использование векторного метода конечных элементов, позволяет моделировать поле различных типов источников в средах с электропроводностью, описываемой плотным тензором второго ранга. Исследование способов задания коэффициента электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды и построение новой вычислительной схемы на базе векторного метода конечных элементов, учитывающей такие факторы как: электропроводность в виде тензора второго ранга, геометрически конечные размеры источника или распределенный источник поля, являются актуальными задачами не только для геофизики, но и для математической физики, вычислительной математики.

Цель работы. Построение и реализация вычислительных схем для численного моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого различными типами источников, учитывающих

тензорный характер электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды на базе векторного метода конечных элементов.

Основные задачи исследования.

• Разработать вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитного поля в анизотропной среде для прямых задач геоэлектрики с распределенным и индукционным источниками;

• Исследовать особенности учета условий, накладываемых на компоненты поля на контактных границах анизотропных сред;

Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения поставленной задачи является система уравнений Максвелла. Основной метод исследования - математическое моделирование векторным методом конечных элементов. Для теоретических исследований влияния тензорных коэффициентов и обоснования условий на контактных границах применялся аппарат дифференциальных форм, дискретным аналогом которого является векторный метод конечных элементов. При исследовании способов определения тензоров электропроводности использовались методы преобразования координат при переходе из одной координатной системы в другую, а также анализ спектральных характеристик матриц и тензоров. Верификация разработанных алгоритмов и их программной реализации проведена на задачах, имеющих аналитическое решение и выполнение серии вычислительных экспериментов на сгущающихся сетках.Для проведения численного эксперимента в анизотропной среде использовались значения электропроводности тонкослоистой среды в продольном и поперечном направлениях, а также такие характеристики источников как зависимость тока от времени, форма и интенсивность ТЕ-волны.

Защищаемые научные результаты:

• Алгоритм моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей в средах с анизотропными коэффициентами электропроводности на базе векторного метода конечных элементов;

• Доказано, что предложенные вычислительные схемы позволяют автоматически учитывать условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля и нормальных компонент тока аЕ на границе раздела двух анизотропных сред с различными характеристиками анизотропии;

Научная новизна. Личный вклад.

• На базе векторного метода конечных элементов для учета тензорного характера электропроводности разработаны новые вычислительные схемы для расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей в анизотропных средах;

• Доказано автоматическое выполнение условия слабой дивергенции при использовании векторного метода конечных элементов в качестве метода моделирования, что гарантирует выполнение условий на контактных границах. Доказательство выполнено с использованием аппарата дифференциальных форм для системы уравнений Максвелла и волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля.

Значимость работы. Разработанная вычислительная схема эффективно учитывает особенности электропроводности тонкослоистой среды произвольной ориентации при моделировании электромагнитного поля от распределенных и локальных источников. Реализованный программный комплекс может быть использован при решении прямых задач моделирования в геофизике, в качестве инструмента для интерпретации геофизических данных, а также при проектировании аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: V международной школе молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды", (Томск, 2006); Third International Workshop on Reliable Methods of Mathematical Modeling, (Санкт-Петербург, 2007); конференции молодых ученых, аспирантов, студентов "Трофимуковские чтения-2007", (Новосибирск, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, (Новосибирск, 2007).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ, из них в ведущих научных рецензируемых журна-

лах, определенных Высшей аттестационной комиссией - 2 (журнал "Вычислительные технологии", 2006, №3, 2008, №1).

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы (84 наименования). Работа изложена на 156 страницах, включая 37 рисунков и 12 таблиц.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта "Университеты России" (проект 03.01.187), РФФИ (грант 05-05-64528), совместного международного проекта NWO-РФФИ (грант 047.016.003).

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н, профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Учреждения Российской академии наук Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения РАН и лично д.т.н, академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении приведены объект и предмет исследования, сформулированы актуальность работы, цель и задачи исследования, методы исследования, представлены основные результаты исследования и научная новизна работы. Кратко описаны структура и основное содержание диссертации.

Глава 1. В первой главе рассмотрены различные виды анизотропии, причины ее возникновения и способы математического описания анизотропных свойств среды, а также методы решения задач геоэлектрики в анизотропных средах.

В п.1.1 дано описание причин возникновения анизотропии в диэлектрических средах, осадочных породах и ионосфере. Математически анизотропия электрических свойств среды описывается в виде тензора второго ранга, структура и значения компонент которого связаны с особенностями характера анизотропии. Анизотропные свойства диэлектрической проницаемости связаны с типом кристаллической решетки исследуемой среды [Yakhno V. et al., 2006]. Анизотропия осадочных пород определяется главным образом структурой залегания породы ( чередование тонких слоев двух различных по-

род), трещиноватостыо и водонасыщенностью среды [Wang Т., Fang S., 2001; Yin С., Weidelt P., 1999; Yin С., Maurer Н.-М., 2001].

Диагональный тензор второго ранга описывает анизотропные свойства диэлектрической проницаемости для сред с кубическим, гекса-эдральным, тетраэдральным, треугольным и призматическим типами кристаллической решетки. Электропроводность трансверсалыю изотропной или тонкослоистой среды, слои которой параллельны или ортогональны дневной поверхности также могут быть описаны диагональным тензором второго ранга[Бреховских JI.M., 1973; Abubakar A., Habashy Т.М., 2006].

Тензор второго ранга, имеющий структуру вида

an «12 0

«12 Û22 0

0 0 азз

используется для описания анизотропных диэлектрических свойств сред с моноклинной кристаллической решеткой, и анизотропных проводящих свойств ионосферы [Ma Z., Croskey С., Hale L., 1993]. Плотный положительно определенный тензор второго ранга используется для описания диэлектрической проницаемости среды с триклинной кристаллической решеткой, электропроводности тонкослоистой среды с произвольной ориентацией слоев относительно дневной поверхности.

В п. 1.2 рассмотрены методы решения задач геоэлектрики в анизотропных средах. Анизотропный характер свойств исследуемой среды требует привлечения более сложных моделей и методов для решения задач геоэлектрики. Использование одномерных моделей для интерпретации данных геофизических измерений (импеданс, кажущееся сопротивление) в анизотропных средах приводит к некорректным результатам и интерпретации, поскольку не учитывает информацию о распределении сопротивления, которая может быть получена с использованием анизотропной модели [Жданов М.С., 1986; Королев В.А., 1995; Archie G., 1942].

Простейшая анизотропная модель для интерпретации — это модель трансверсально изотропного полупространства. Для зондирования на постоянном токе прямая задача может быть решена с использованием метода Фурье [Lacoste Р., 2000] при этом анизотропное полупространство заменяют эквивалентной изотропной средой либо

с помощью представления магнитного поля через тороидный и поло-идальный скаляры [Yin С., Weidelt Р., 1999]. Метод решения задачи на основе тороидного и полоидалыюго скаляров применим не только для трансверсально изотропного полупространства, но и многослойных моделей с наклонной азимутальной анизотропией слоев. Распределение рассчитанного с помощью такого подхода и построенного по данным измерений кажущегося сопротивления хорошо согласуются между собой, но отличаются от реального сопротивления земли. Такое явление называется "парадокс анизотропии"[Pirson S.J., 1935].

Использование метода преобразований Фурье для решения задачи магнитотеллурического зондирования становится неэффективным из-за необходимости производить вычисления с очень маленькими и очень большими числами, каждое из которых близко к границе представления чисел в арифметике с плавающей точкой. Предложенный в [Yin С., Maurer Н.-М., 2001] комбинированный подход к решению задачи заключается в представлении поля через тороидный и полоидальный скаляры для больших волновых чисел и применении метода Фурье для малых волновых чисел. Другим методом решения задачи магнитотеллурического зондирования в анизотропных средах является метод, основанный на построении матриц распространения [Kong J. А., 1972]. Выражения для матриц распространения отраженной и преломленной волны строго зависят от типа источника, возбуждающего электромагнитное поле [Loseth L. Ursin В., 2007].

Применение метода Фурье, преобразований поля в виде тороидного и полоидального скаляров, а также выписывание матриц распространения достаточно трудоемкие процедуры. Поэтому часто их используют для решения упрощенных задач, например, рассматривают только анизотропию, описываемую диагональным тензором, либо рассматривают поле от точечных источников поля, таких как электрический или магнитный диполь.

Для задачи электрического каротажа характерны конечные размеры источников поля (генераторной катушки), а также размещение источника не только на дневной поверхности. Для решения таких задач применяются численные методы на основе метода конечных разностей (МКР) и метода конечных элементов (МКЭ)[Стренг Г., Фикс Д., 1977; Сьярле Ф., 1980; Hiptmair R.,2002]. Применение МКР [Wang Т., Fang S., 2001; Huber С. et al., 1995; Moss C.D. et al., 2002; ] в областях с произвольной анизотропией сопряжено с рядом вычисли-

тельных сложностей, заключающихся главным образом в том, что компоненты электрического поля становятся линейными функциями всех компонент токового источника и волновое уравнение нельзя выписать относительно каждой компоненты поля по отдельности.

Универсального подхода к моделированию электромагнитных полей в анизотропных задачах геоэлектрики не существует. Известные методы решения имеют ограничения на тип анизотропии среды или тип источника, возбуждающего поле, что существенно сужает область из применимости. Векторный метод конечных элементов является наиболее перспективным для моделирования электромагнитного поля в анизотропных средах т.к. позволяет производить вычисления в естественных переменных, корректно моделировать поведение поля на границах сред с различными физическими свойствами и учитывать как точечные, локальные источники поля, так и распределенные во всей области (например, падающая ТЕ(ТМ)-волна).

Глава 2. В данной главе сформулированы математические модели для нестационарного электрического поля, выписаны необходимые условия на контактных границах анизотропных сред с помощью аппарата дифференциальных форм.

Фундаментальной математической моделью, описывающей поведение электромагнитного поля, является система уравнений Максвелла с соответствующими начальными и краевыми условиями [Стр-эттон Д.А., 1948; Смайт В., 1954; Франк Ф., Мизес Р., 1957]. Для исследования системы уравнений Максвелла в анизотропных средах, т.е. когда коэффициенты е,ц,а - тензоры второго ранга, была использована теория дифференциальных форм. Дифференциальные формы, являясь элементами топологических пространств, естественным образом описывают законы электромагнетизма независимо от системы координат [Deschamps G.A., 1981]. Каждой дифференциальной форме степени р wp, (р — 0,1,2,3) ставится в соответствие геометрический носитель (точка, линия, поверхность или объем) и тип непрерывности при переходе через границу элементов (полная непрерывность, непрерывность тангенциальной компоненты, непрерывность нормальной компоненты или отсутствие непрерывности) [Baldornir D., Harnond P., 1993]. Для дифференциальных форм определены следующие операторы: оператор внешнего произведения Л {bß> Л wl = wp+l) [Абр амов A.A., 2004], оператор внешнего дифференцирования d (dwp = wp+l) [Rieben R.N.,2004] и оператор Hodge *

(*wp = ws~p)[Warnick К., Arnold D.,1996]. Напряженности электрического поля (Е) и магнитного поля (Н) являются дифференциальными формами 1 порядка. Индукция магнитного поля В, диэлектрическое смещение D и ток J — дифференциальные формы 2 порядка. Плотность объемного заряда р — дифференциальная форма 3 порядка. Действие оператора внешнего дифференциала на дифференциальные формы 0, 1 и 2 порядка эквивалентны действию операторов векторной алгебры grad, rot, div, что позволяет выписать систему уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм. Оператор Hodge связывает дифференциальные формы 1 порядка (Б, Н) и дифференциальные формы 2 порядка (D, В) в материальных соотношениях. Дискретные дифференциальные формы есть векторный метод конечных элементов [Bossavit А., 1988; Ren Z., Ida N., 2000].

С использованием аппарата дифференциальных форм:

- показана возможность перехода к волновому уравнению второго порядка относительно электрического поля в анизотропных средах без ограничений на характер анизотропии и наличие ограничений на тензор электропроводности при переходе к волновому уравнению второго порядка относительно магнитного поля;

- выписаны условия непрерывности тангенциальных компонент напряженности электрического поля и нормальных компонент тока <тЕ на границе, разделяющей области с различными изотропными и анизотропными физическими свойствами;

- доказано выполнение закона сохранения в терминах дифференциальных форм для системы уравнений Максвелла и уравнения второго порядка относительно электрического поля в анизотропных средах в слабом смысле.

Глава 3. Выписаны вариационные формулировки и их дискретные аналоги на базе векторного метода конечных элементов. В п. 3.1 введены функциональные пространства Н( grad; ft), if (rot; Q), H( div; О) для моделирования нестационарного электрического поля и описаны их свойства. Использование пространства Н(rot; П) в вариационных постановках, ориентированных на векторный метод конечных элементов, позволяет корректно моделировать скачкообразное поведение моделируемых полей на границах сред с различными свойствами. В работе рассмотрены две задачи: моделирование электрического поля от локального источника конечных геометрических размеров и

моделирование электрического поля от распределенного источника в виде падающей ТЕ(ТМ)-волны. Соответствующие вариационные постановки имеют вид:

Вариационная задача 1. Для Л0 е Ь2(П) найти Е е Но(тоЬ; П) такое, что \/\У £ Но(гоЬ;{1) выполняется:

I ц-1 пЛЁто^ейНI У = -1

п п и п

где параметры среды е, /х — диагональные тензоры, а — произвольный тензор ранга 2.

Вариационная задача 2. Для известного первичного поля Ер £ Н(тоЬ;£1) и Е(Ер) е Я(го^П) найти Е3 6 Н0{гоЬ-,О.) такое, что \ЛУ 6 Яо(го1;; Л) выполняется:

У /х-1 rotEs■rotWííí2+У У = -JF^WcKlí

п п п п

где -Ер - первичное поле, падающая волна, Е3 — вторичное поле, образованное за счет взаимодействия первичного поля с землей, обладающей проводящими свойствами.

Для дискретизации вариационных постановок в п.3.2 введены основные определения векторных конечных элементов на параллелепипедах и базисные функции Неделека I типа 1 порядка. После пространственной дискретизации вариационных задач в п.3.3 получены следующие матричные уравнения:

Л,д2е де

м 1Ае + £м^ + 3- = --, (1)

+ = (2)

где А — матрица жесткости, М — матрица массы, 5 - матрица массы с тензорным коэффициентом а, Р - вектор правой части вида / Ло •

п

УГсШ.

Для аппроксимации по времени задачи (1) использована неявная схема вида

(,ц~1т2А+еМ+тЗ)еп = (2 еМ+т8)еп~1-еМеп-2-тРп+тРп~1 (3)

Для задачи (2) аналогично имеем:

{ц~1т2А + еМ + тБ)еп = (2еМ + г5)еп"1 - еМеп~2 - т^С}?1 (4)

Глава 4. Глава посвящена построению тензора второго ранга, описывающего проводящие свойства тонкослоистой среды с произвольными границами. В п.4.1 дана постановка задачи вычисления компонент тензора электропроводности. Система уравнений Максвелла, сформулированные вариационные постановки и их дискретные аналоги определены в глобальной системе координат (х,у,г). Геометрия расчетной области и источника возбуждения поля заданы в координатах (х,у,г). Поэтому и тензор электропроводности, входящий в уравнения, должен быть записан в глобальной системе координат. Для анизотропной среды, представляющей собой тонкослоистую среду с произвольной ориентацией слоев относительно дневной поверхности, коэффициенты тензора электропроводности должны быть вычислены по определенным правилам. Введем локальную систему координат (х', у', х'), связанную с тонкослоистой средой: оси х' и у' лежат в изотропной плоскости, ось г' ортогональна плоскости слоев. Электропроводность тонкослоистой среды в локальных координатах - диагональный тензор. Для тонкослоистой среды, слои которой параллельны или ортогональны дневной поверхности, оси локальной и глобальной систем координат совпадают, и тензор электропроводности в глобальных координатах также является диагональным.

Для определения компонент тензора электропроводности при произвольной ориентации слоев было исследовано два подхода. Первый подход основан на использовании якобиана преобразования координат: а(х, у, г) = За{х', у', г'), где а(х', у', г') - диагональный тензор в локальных координатах, 3 - якобиан преобразования локальных координат в глобальные, а(х, у, г) — искомый тензор электропроводности в глобальных координатах. С использованием этого похода в п.4.2 и п.4.3 было построено и исследовано два тензора. Якобиан первого тензора (тензор I типа) построен проектированием точек области моделирования в локальной системы координат в глобальную систему координат. При построении якобиана второго тензора (тензор II типа) использованы ортогональные преобразования поворота. Критерием проверки построенных тензоров является сохранение свойства положительной определенности тензора для любого значения

угла в € [0°,90°], характеризующего ориентацию слоев тонкослоистой среды относительно дневной поверхности. Анализ спектральных свойств тензоров, полученных с использованием первого подхода, показал, что ни один из них не удовлетворяет свойству положительной определенности на всем интервале от 0° до 90°. Собственные значения тензоров I и II типов становятся комплексно-сопряженными при в > 15°, кроме того действительные части собственных значений тензора II типа отрицательны для в > 68°. Отметим, что использование якобиана преобразования координат при построении тензора не позволяет получить тензор, удовлетворяющий свойству положительной определенности.

Второй подход к построению тензора электропроводности в глобальных координатах, изложенный в п.4.4, основан на использовании тензорного преобразования координат [Абрамов A.A., 2004]:

3 3 л л „ Г^ V ^ ОХп ОХуп ( v

m=l n=l 1 J

где Xi, хз — координаты глобальной системы, х[, х'2, х'3 — координаты локальной системы, апт - компоненты тензора тонкослоистой среды в локальных координатах, сг® - компоненты тензора тонкослоистой среды в глобальных координатах. Тензор III типа, полученный с использованием такого подхода является положительно определенным для любого в € [0°,90°].

Свойство положительной определенности присуще не только тензору электропроводности, но и конечноэлементной матрице D, полученной в результате аппроксимации (левая часть уравнений (3), (4)). В п.4.5 приведены результаты анализа спектральных свойств конечноэлементной матрицы в зависимости от тензора электропроводности. В изотропной среде матрица D симметричная и положительно определенная. Матрицы Dj и Djj, аппроксимирующие задачи в средах с тензорами I и II типов соответственно, не являются положительно определенными. С ростом величины угла в (0°, 30°, 60°, 90°), характеризующего степень анизотропии среды, в спектре матриц Dj и Du наблюдается увеличение числа комплексных собственных значений. Отсутствие положительной определенности конечноэлемент-ных матриц Di и Du привело к расходимости итерационного процесса решения для в = 90° (тензор I типа) и в = 60°, 90° (тензор

II типа). Матрица Dm, соответствующая тензору III типа положительно определена для всех исследованных углов.

Глава 5. В главе 5 представлены описание программного комплекса, результаты его верификации и моделирования электрического поля в анизотропных средах.

В п.5.1 описывается структура программного комплекса, его основные модули и их особенности.

В п.5.2 приведены результаты верификации программного комплекса. Проведенная серия вычислительных экспериментов для задачи с гладким аналитическим решением на последовательности вложенных сеток подтвердили теоретические оценки аппроксимации O(h) Поскольку разработанный программный комплекс направлен на исследование влияния анизотропной электропроводности на поведение электромагнитного поля, моделирование электрического поля петли с током в изотропной однородной среде и изотропной среде, состоящей из двух подобластей с различными свойствами является вторым этапом верификации программного комплекса. Проведенные расчеты показали корректность моделирования электрического поля в однородной среде и при переходе через границу, разделяющую две подобласти с различными свойствами (скачок нормальной компоненты поля Е).

В п.5.3 исследовано влияние тензоров I, II и III типов на компоненты электрического поля. Были выполнены расчеты в области воздух - анизотропное полупространство для значений угла 9: 0°, 30°, 60°, 90° для каждого типа тензора. Полученные результаты показали нефи-зичное поведение поля для тензоров I и II типов (вытягивание поля вдоль диагонали области и "раскручивание"поля по спирали соответственно) вследствие отсутствия положительной определенности тензоров. Последовательность расчетов с тензором III типа на вложенных сетках показала сходимость и устойчивость итерационных процедур. Компонента поля Ez наиболее чувствительна к анизотропным характеристикам среды: в анизотропной среде эта компонента сравнима по величине с компонентами Ех и ДДрис. 1).

В п.5.4 приведены результаты трех серий вычислительных экспериментов, целью которых было исследование влияния мощности и характера анизотропии верхнего слоя двухслойной модели среды на ЭДС, наведенную в измерительных контурах. Была рассмотрена двухслойная среда со следующими мощностями слоев: Н\ = 30м,

а б

Рис. 1: Компоненты Ех, Еу, Ег: а — воздух - изотропное полупространство, б воздух - анизотропное полупространство

Н\ = 270м; Н\ = 60м, Н\ = 240м. Здесь верхний индекс означает номер эксперимента, нижний индекс номер слоя (отсчет идет сверху вниз от дневной поверхности). Третий вычислительный эксперимент проводился в анизотропном полупространстве мощностью 300м. Анизотропные свойства среды задавались тензором III типа с в = 0°, 28°, 60°, 90°. Наведенная ЭДС вычислялась в трех измерительных контурах. Контур 1 располагался в плоскости х — у, центр контура совпадал с центром генераторной петли. Контур 2 расположен в плоскости х — z, центр контура лежит на оси генераторной петли. Контур 3 лежит в плоскости у — z, центр контура 3 совпадает с центром контура 2. Радиус измерительных контуров в 5 раз меньше радиуса петли. Для каждого вычислительного эксперимента были получены зависимости ЭДС от времени. Отмечено, что ЭДС, наведенная в контурах 2 и 3 максимально чувствительна к изменениям характера анизотропии. Зависимости ЭДС для каждого значения угла б в этих контурах хорошо идентифицируются по отношению друг к другу (рис. 2). ЭДС, вычисленная в контуре 1 слабо реагирует на изменение в.

Характеристика глубины проникновения электромагнитного по-

0 005 0 01

1

Рис. 2: Зависимости ЭДС для различных 9 в контуре 2 для пласта в 30м

ля определяется как к = у/^, где t - время измерения, /г, а - скалярные параметры среды. Для анизотропных сред такое вычисление глубины проникновения /г затруднительно. Анализ зависимостей ЭДС, вычисленных для разных мощностей слоев среды позволил получить эквивалентные скалярные значения электропроводности, при которых глубина проникновения поля, рассчитанная по изотропной модели соответствует результатам, полученным по анизотропной модели. Назовем такую электропроводность эффективной и будем определять ее по формуле: <те/ = -щ^- Здесь t - момент времени, когда значения ЭДС, рассчитанные для слоя с минимальной мощностью (30 м) начинают отличаться от значений ЭДС, полученных для следующего по мощности слоя (60 м) на а%. а принимает значения 1% и 2%. По результатам расчетов построены зависимости ае/ от угла в. Максимальное значение cref достигается в контуре 2 при значении угла в = 28°. Абсолютные значения ае/ для а = 2% больше поскольку необходимая разница ЭДС достигается на более поздних временах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатами работы являются создание новых вычислительных схем для моделирования трехмерных электромагнитных полей в ани-

зотропных средах и их реализация в виде программного комплекса. Созданные на базе векторного метода конечных элементов вычислительные схемы позволяют решать прямые задачи геоэлектрики в естественных переменных, учитывать различные типы источников поля (падающая неоднородная ТЕ-волна, индукционный источник) и получать численное решение для сложных физико-геологических моделей среды (одномерные, двумерные и трехмерные среды), что является существенным преимуществом предлагаемого подхода по сравнению с известными методами решения прямых задач геоэлектрики в анизотропных средах.

Численные решения, полученные с помощью предложенных вычислительных схем должны удовлетворять условиям непрерывности компонент поля на границах анизотропных областей. В работе сформулированы и доказаны с использованием аппарата дифференциальных форм леммы, обосновывающие автоматическое (без решения дополнительных уравнений) выполнение этих условий для получаемого численного решения.

Разработанный программный комплекс ориентирован на моделирование трехмерного электромагнитного поля в одномерных тонкослоистых средах произвольной ориентации, рассмотренных как макроанизотропия, для задач с двумя типами источников (индукционный или удаленный источник). Проведенные исследования собственных значений тензорных коэффициентов электропроводности и ко-нечноэлементной матрицы показали, что корректность работы вычислительной схемы обеспечивается положительной определенностью тензора электропроводности.

Результаты трехмерного математического моделирования показали существенное влияние анизотропии электропроводности на компоненты электрического поля . Влияние анизотропного коэффициента электропроводности главным образом проявляется в увеличении амплитуды компоненты поля Ег над анизотропным полупространством до значений, сравнимых по величине с компонентами поля Ех и Еу, что не наблюдается для задач в изотропном полупространстве. Расчеты, проведенные в различно ориентированных средах также показали чувствительность распределения компоненты Ех к ориентации слоев тонкослоистой среды.

Реализованный программный комплекс может быть использован при решении прямых задач геофизики, в качестве инструмента для

разработки алгоритмов интерпретации геофизических данных и при проектировании аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Орловская Н. В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах // Физика окружающей среды: Материалы V Международной Школы молодых ученых и специалистов. Томск: Институт оптики атмосферы СО РАН, - 2006 - с. 98-101.

2. Орловская Н.В., Шурина Э.П., Эпов М.И. Моделирование электромагнитных полей в среде с анизотропной электропроводностью // Вычислительные технологии, 2006 - Т.11; - №3 - с. 99-116.

3. Orlovskaya N., Shurina Е., Epov M. Validation of the model with tensor conductivity for geophysical application // Abstracts of the third International Workshop on Reliable Methods of Mathematical Modeling. - St. Peterburg. - 2007. p. 31-32

4. Орловская H.В., Математическое моделирование электромагнитного поля в средах с выраженной анизотропией // Труды конференции «Трофимуковские чтения - 2007» - Новосибирск: Новосибирский государственный университет , 2007 - с. 261-263

5. Орловская Н.В., Математическое моделирование электрического поля в слоистых анизотропных средах // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Институт вычислительных технологий, - Новосибирск, - 2007 - с. 63

6. Орловская Н.В., Шурина Э.П., Эпов М.И. Тензорный коэффициент электропроводности в геофизических приложениях // Вычислительные технологии, 2008 - Т.13 - №1 - с. 93-106

Технический редактор О.М. Вараксина

Подписано к печати 26.08.2008 г. Формат 60x84/16. Бумага офсет №1. Гарнитура Тайме. Офсетная печать. Печ. л. 0,9. Тираж 120 Зак. № 16

ИНГГ СО РАН, ОИТ, 630090, Новосибирск, пр-н Ак. Коптюга, 3

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Орловская, Надежда Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРИКИ В СРЕДАХ С АНИЗОТРОПНЫМИ СВОЙСТВАМИ

1.1. Явление анизотропии в различных средах '■ ' I I

1.2. Модели анизотропных сред и методы решения задач геоэлектрики в таких средах

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В АНИЗОТРОПНЫХ

СРЕДАХ

2.1. Дифференциальные формы в.электромагнетизме

2.1.1. Уравнения Максвелла

2.1.2. Дифференциальные формы

2.1.3. Уравнения Максвелла в дифференциальных формах

2.1.4. Дискретные дифференциальные формы

2.2. Математическая модель для расчета электрического поля в среде с тензорным коэффициентом электропроводности.

2.2.1. Переход к уравнениям второго порядка в анизотропных средах

2.2.2. Условия на границе раздела изотропных сред

2.2.3. Условия на границе раздела анизотропных сред

Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

3.1. Функциональные пространства и вариационные постановки.

3.2. Векторные конечные элементы на параллелепипедах

3.3. Дискретные аналоги вариационных постановок

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕНЗОРА ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОЙ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Тензор I типа.

4.3. Тензор II типа.

4.4. Тензор III типа.

4.5. Влияние тензорного коэффициента электропроводности на спектральные свойства конечноэле-ментной матрицы.

Глава 5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

5.1. Структура программного комплекса.

5.2. Верификация программного комплекса.

5.3. Моделирование электрического поля в анизотропной среде.

5.4. Моделирование электрического поля в слоистой анизотропной среде.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Математическое моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с тензорным коэффициентом электропроводности на базе векторного метода конечных элементов"

Объект исследования - математические модели электромагнитных полей в средах с тензорными коэффициентами параметров среды и способы описания анизотропии среды. Предметом исследования являются вычислительные схемы для таких моделей, реализованные на базе векторного метода конечных элементов, а также математическая модель тензора электропроводности, соответствующего произвольно ориентированной тонкослоистой среде.

Актуальность исследования. Известно, что только электропроводность тонкослоистой среды с горизонтальными или вертикальными границами описывается диагональным тензором. На сегодняшний день нет общепринятого способа построения тензора электропроводности для тонкослоистой среды с произвольной ориентацией слоев. Решение задачи моделирования трехмерного электромагнитного поля в анизотропных средах требует создания новой эффективной вычислительной схемы и ее реализации в виде комплекса программ (инструментария). Известные методы решения задач геоэлектрики, такие как преобразование Фурье, представление поля через тороидальный и полоидальный скаляры, метод на основе матриц распространения, ориентированы на решение задач только с точечным источником поля в анизотропных средах, или на узкий класс моделируемых сред (диагональный тензор электропроводности). Использование такого современного метода математического моделирования, как векторный метод конечных элементов, позволит моделировать поле в средах с электропроводностью в виде плотного тензора второго ранга для задач с различными типами источников. Исследование способов задания коэффициента электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды и построение новой вычислительной схемы на базе векторного метода конечных элементов, учитывающей такие факторы как: электропроводность в виде тензора второго ранга, геометрически конечные размеры источника или распределенный источник поля, являются актуальными задачами не только для геофизики, но и для математической физики, вычислительной математики.

Цель работы - построение и реализация вычислительных схем для численного моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого различными типами источников, учитывающих тензорный характер электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды на базе векторного метода конечных элементов.

Основные задачи исследования.

• Разработать вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитного поля в анизотропной среде для прямых задач геоэлектрики с распределенным и индукционным источниками;

• Исследовать особенности учета условий, накладываемых на компоненты поля на контактных границах анизотропных сред;

Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения поставленной задачи является система уравнений Максвелла. Основной метод исследования - математическое моделирование векторным методом конечных элементов. Для теоретических исследований влияния тензорных коэффициентов и обоснования условий на контактных границах применялся аппарат дифференциальных форм, дискретным аналогом которого является векторный метод конечных элементов. При исследовании способов определения тензоров электропроводности использовались методы преобразования координат при переходе из одной координатной системы в другую, а также анализ спектральных характеристик матриц и тензоров. Для верификации программного комплекса, реализующего предложенную вычислительную схему, проведена серия расчетов на последовательностях вложенных сеток для задач с известным аналитическим решением и физических модельных задачах с последующим анализом сходимости полученных решений. Для проведения численного эксперимента в анизотропной среде использовались синтетические данные характеристик электропроводности тонкослоистой среды в продольном и поперечном направлениях, а также синтетические данные характеристик источников (зависимость тока от времени, форма и интенсивность ТЕ-волны).

Защищаемые научные результаты:

• Алгоритм моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей в средах с анизотропными коэффициентами электропроводности на базе векторного метода конечных элементов;

• Доказано, что предложенные вычислительные схемы позволяют автоматически учитывать условия непрерывности тангенциальных компонент электрического поля и нормальных компонент тока аЁ на границе раздела двух анизотропных сред с различными характеристиками анизотропии;

Научная новизна. Личный вклад.

• На базе векторного метода конечных элементов для учета тензорного характера электропроводности разработаны новые вычислительные схемы для расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей в анизотропных средах;

• Доказано автоматическое выполнение условия слабой дивергенции при использовании векторного метода конечных элементов в качестве метода моделирования, что гарантирует выполнение условий на контактных границах. Доказательство выполнено с использованием аппарата дифференциальных форм для системы уравнений Максвелла и волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля.

Значимость работы. Разработка инструментария для математического моделирования электромагнитного поля в анизотропной среде с учетом особенностей тензорного представления электропроводности имеет существенное значение для интерпретации данных геофизических измерений, усовершенствования и разработки новых приборов. Разработанная вычислительная схема эффективно учитывает особенности электропроводности тонкослоистой среды произвольной ориентации при моделировании электромагнитного поля от распределенных и локальных источников. Реализованный программный комплекс может быть использован при решении прямых задач моделирования в геофизике, в качестве инструмента для интерпретации геофизических данных и при проектировании аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались:

• V международная школа молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды", (Томск, 2006)

• Third International Workshop on Reliable Methods of Mathematical Modeling , (Санкт-Петербург, 2007)

• Конференция молодых ученых, аспирантов, студентов "Тро-фимуковские чтения-2007", (Новосибирск, 2007)

• VIII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, (Новосибирск, 2007)

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано б печатных работ [9, 10, 11, 12, 13, 61], из них в ведущих научных рецензируемых журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией - 2 [12, 13].

Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы (84 наименования). Работа изложена на 156 страницах, включая 37 рисунков и 12 таблиц.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Орловская, Надежда Викторовна

Выводы. Проведено тестирование разработанного программного комплекса, реализующего решение задачи моделирования электромагнитных полей в анизотропных средах векторным методом конечных элементов. Выполненная верификация комплекса на классе задач с аналитическим решением и классе модельных задач в изотропной среде показала высокую эффективность и достаточную точность при моделировании электромагнитных полей в средах с неоднородными физическими свойствами, а также подтвердила теоретические оценки интерполяционных свойств. Результаты ряда вычислительных экспериментов, выполненных в анизотропной среде, выявили влияние анизотропии электропроводности на все компоненты электрического поля, возрастание компоненты поля Ez в среде с плотным тензором электропроводности. Реализованный программный комплекс может быть использован в качестве средства разработки теоретических обоснований распространения электромагнитного поля в анизотропных проводящих средах, и одним из средств проектирования аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложены и реализованы вычислительные схемы для моделирования трехмерных электромагнитных полей в анизотропных средах на базе векторного метода конечных элементов. Использование таких вычислительных схем позволило расширить класс решаемых задач за счет моделирования трехмерного электромагнитного поля в естественных переменных от различных типов источников с учетом анизотропных свойств произвольно ориентированной тонкослоистой среды, как плотного тензора второго ранга. Сформулированы две вариационные формулировки для волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля в произвольно ориентированной тонкослоистой среде для локального источника поля (петля конечных геометрических размеров) и распределенного источника в виде падающей ТЕ-волны.

Выполнение условия слабой дивергенции при проведении численных расчетов гарантирует корректность моделирования поведения поля на контактных границах. С использованием аппарата дифференциальных форм доказано, что условие слабой дивер

I i , L генции выполняется автоматически как для системы уравнений Максвелла, так и для волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля при использовании векторного метода конечных элементов в качестве метода моделирования. Построены дискретные аналоги вариационных формулировок с ис-1 пользованием векторных конечных элементов Неделека I типа 1 порядка на параллелепипеидальных сетках.

-т -wr{

Разработанные вычислительные схемы позволяют моделировать электрическое поле в анизотропных средах, где электропроводность задана тензором второго ранга (матрица 3x3). Для транс-версально изотропных или тонкослоистых сред электропроводность есть диагональный тензор. На примере задачи определения компонент тензора тонкослоистой среды произвольной ориентации относительно дневной поверхности показано, что тензор электропроводности в глобальной системе координат (связана с геометрией области, источника) должен обладать свойством поло» * I ' жительной определенности. На основе анализа собственных значений тензоров и спектральных свойств конечноэлементной матрицы показано, что тензорное преобразование координат при переходе из локальной системы координат (связана с изотропными слоями тонкослоистой среды) в глобальную систему координат позволяет сохранить положительную определенность тензора при любой ориентации слоев.

Разработанные вычислительные схемы были реализованы в виде комплекса программ на языке С. Программный комплекс был верифицирован на ряде модельных задач: с известным аналитическим решением, а также физических модельных задачах в изотропных средах с различными физическими параметрами. Результаты вычислительных экспериментов на последовательности ч • »• . \ ► V I вложенных сеток подтвердили теоретические оценки интерполяции на задачах с аналитическим решением, и показали корректность моделирования электромагнитного поля в изотропной среде.

В результате вычислительных экспериментов в анизотропных средах была показала нефизичность получаемого решения при использовании в уравнениях Максвелла тензоров, не обладающих свойством положительной определенности. Итерационный процесс решения задачи для некоторых значений угла 9, характеризующего степень наклона слоев тонкослоистой среды относительно дневной поверхности (90° для тензора I типа и 60°, 90° для тензора II типа) расходится. Для модели с тензором, корректно описывающим проводящие свойства анизотропной среды, выполнена последовательность расчетов на вложенных сетках. Результаты расчетов показывают сходимость и устойчивость итерационных алгоритмов. Результаты моделирования электромагнитного поля в анизотропных средах показали существенное влияние тензорного коэффициента электропроводности на электрическое поле: появление компоненты поля Ez и изменение картины поля г ) t в плоскости параллельной дневной поверхности по сравнению с изотропной средой. Появление компоненты Ей в средах с изотропными свойствами характерно для случая присутствия в области локально расположенного объекта. Компонента поля Ег наиболее

С, , 1 , . 1 чувствительна к изменению анизотропных характеристик среды.

Для вычисления наведенной ЭДС в проведенных расчетах были использованы следующие измерительные контуры: контур 1, расположенный в плоскости х — у соосный с генераторной петлей; контур 2, расположенный в плоскости х — z, контур 3, расположенный в плоскости у — z. Центры контуров 2 и 3 располагались в одной точке на оси генераторной петли. Максимальная чувствительность ЭДС к изменениям характера анизотропии наблюдались в контурах 2 и 3. Контур 1 слабо реагирует на изменения анизотропных свойств среды. Для определения глубинности геофизических зондирований необходимо вычислить корень квадратный от коэффициента электропроводности, что невозможно сделать в случае анизотропной среды. На основе анализа зависимостей наведенной ЭДС, полученных для различных мощностей анизотропного пласта в двухслойной модели среды, была вычисленная скалярная величина "эффективной" электропроводности для оценивания глубинности зондирования в анизотропных средах. По результатам вычислений "эффективной" электропроводности для произвольно ориентированной тонкослоистой среды было вы1 явлено пиковое значение угла Q, при котором наблюдается максимальное значение величины "эффективной" электропроводности. Реализованный программный комплекс в дальнейшем может быть использован для получения теоретических обоснований взаимодействия электромагнитного поля с анизотропными проводящими средами, и одним из средств проектирования аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород. л') г Ч »

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Орловская, Надежда Викторовна, Новосибирск

1. Баландин М.Ю., Шурина Э. П. Методы решения СЛАУ большой размерности. — Новосибирск: НГТУ, 2000. — 70 с.

2. Баландин М. Ю., Шурина Э. П. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие.— Новосибирск: НГТУ, 2001.— 69 с.

3. Бердичевский М. Н., Дмитриев В. И. Магнитотеллурическое зондирование горизонтально-однородных сред. — М.: Недра, 1992. — 249 с.

4. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. — М.: Наука, 1973. — 343 с.

5. Жданов М. С. Электроразведка. — М.: Недра, 1986. — 316 с.

6. Кауфман JI. А. Введение в теорию геофизических методов. — М.: Недра, 1997. — 516 с.

7. Королев В. А. Мониторинг геологической среды. — М.: МГУ, 1995.— 272 с.н

8. Орловская Н. В. Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах // Физика окружающей среды: Материалы V Международной Школы молодых ученых и специалистов. — Томск: 27 июня- 2 июля, 2006. — С. 98-101.

9. Орловская Н. В. Математическое моделирование электромагнитного поля в средах с выраженной анизотропией // Труды конференции "Трофимуковские чтения -2007". — Новосибирск: 8 -12 октября, 2007. — С. 261-263.

10. Орловская Н. В., Шурина Э. П., Эпов М. И. Моделирование электромагнитных полей в среде с анизотропной электропроводностью // Вычислительные технологии. — 2006. — Т. 11, № 3. — С. 99-116.

11. Орловская Н. В., Шурина Э. П., Эпов М. И. Тензорный коэффициент электропроводности в геофизических приложениях // Вычислительные технологии. — 2008. — Т. 13, № 1. — С. 93-106.

12. ПотехинА. И. Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде. — М.: Наука, 1971. — 41 с.

13. Рояк М. Э., Соловейчик Ю. Г., Шурина Э. П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб.пособие. — Новосибирск: НГТУ, 1998. — 120 с.

14. Смайт В. Электростатика и электродинамика. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1954. — 606 с.

15. Спичак В. В. Магнитотеллурические поля в трехмерных моделях геоэлектрики. — М.: Научный мир, 1999. — 204 с.

16. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. — М.: Мир, 1977. — 349 с.

17. Стрэттон Д. А. Теория электромагнетизма. — М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1948. — 541 с.

18. Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

19. Филиппович Ю. В. Новая концепция тектонического строения фундамента и осадочного чехла Западно-Сибирской плиты // Геология нефти и газа. — 2001. — № 5. — С. 51-62.

20. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики.— Д.: ОНТИ. Главная редакция общетехнической литературы, !957. — 996 с.

21. Шпильман В. И., Мясникова Г. П., Трусов JI. JI. Перерывы при формировании неокомских клиноформ в Западной Сибири // Теология нефти и газа. — 1993. — № 6. — С. 3-13.

22. Archie G. The electrical resistivity log as an aid in determing some reservoir characteristics // Trans. AIME. — 1942. — Vol. 4, no. 1. — Pp. 1-30.

23. Arnold D. N., Falk R. S.,Winther R. Differential complexes and stability of finite element methods. I. The De Rham complex. — University of Minnesota: Institute for mathematics and its applications, 2005. — 24 pp.

24. Aruliah D. A. Fast Solvers for Time-Harmonic Maxwell's Equations in 3D: Ph.D. thesis / The University of Britishil. ui л .

25. Columbia. — 2001. —August. — 160 pp.

26. Baldornir D„ Hammond P. Global geometry of electromagnetic systems // IEE PROCEEDINGS-A,. — 1993. — Vol. 140, no. 2. — Pp. 142-150.

27. Beck R., Hiptmair R. Multilevel solution of the time-harmonic Maxwell's equations based on edge elements // Int. J. Numer. Meth.Engng. — Vol. 45. — Pp. 901-920.

28. Bhattacharya P. K., Patra H. P. Direct current geoelectrical sounding // Elsevier Pub I. Co. — 1968. — 135 pp.

29. Bossauit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism //IEEE PROCEEDINGS. — 1988. — Vol. 135, no. 8. — Pp. 493-500.

30. Crampin S. Effective anisotropic elastic cpnstants for wave propagation through cracked solids // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. — 1984. — Vol. 76. — Pp. 135-145.. , i. I p

31. Crampin S., Chesnokov E. M., Hipkin R. G. Seismic anisotropy -the state of the art II // Geophys. J. Roy. Astr. Soc. — 1984. — Vol. 76. — Pp. 1-16.

32. Deschamps G. A. Electromagnetics and differential forms // Proceedings of the IEEE. — 1981. — Vol. 69, no. 6. — Pp. 676696.

33. Differential forms basis functions for better conditioned integral equations / B. Fasenfest, D. White, M. Stowell et al. // IEEE AP-S International Symposium.— Washington, DC, United States: July 3, 2005 July 8, 2005. — Pp. 1-6.

34. Discrete differential forms: A novel methodology for robust computational electromagnetics: UCRL-ID-151522 / P. Castillo, J. Koning, R. Rieben et al.: Lawrence Livermore National Laboratory, January 17, 2003. — 61 pp.

35. Edge element computations of eddy currents in laminated materials / Y. Liu, A. Bonderson, R. Bergstrom et al. // IEEE Transactions on magnetics. — 2003. — Vol. 39, no. 3. — Pp. 17581765.

36. Euerett M. E„ Constable S. electric dipole fields over an anisotropic seafloor: theory and application to the structure of 40 myr Pacific Ocean Lithosphere // Geophysical Journal International. — 1999. — Vol. 136. — Pp. 41-56.

37. Fournet G. Electromagnetic quantities in 3-space and the dual Hodge operator // IEE Proc.-Sci. Meus. Technol. — 2002. — Vol. 149, no. 3. — Pp. 138-146.

38. Fournet G. Electromagnetic quantities in 4-0 space and the dual Hodge operator // IEE Puoc.-Sci. Mecis. Technol.— 2002. — Vol. 149, no. 4. — Pp. 158-164.

39. Fujii I., Schultz A. The 3D electromagnetic response of the earth to ring current and auroral oval excitation // Geophys. J. Int. — 2002. — Vol. 151. — Pp. 689-709.

40. Gedney S., Navsariwala U. An unconditionally stable finite element time-domain solution of the vector wave equation // IEEE Microiuaue and Guided Waue Lett. — 1995. — Vol. 5, no. 10. — Pp.332-334.

41. Geophysical Subsurface Imaging and Interface Identification / D. Day, P. Bochev, K. Pendley et al. — Sandia National Laborah S'i(tories, 2005. — 72 pp.

42. Gradinaru V., Himptmair R. Multigrid for discrete forms on sparse grids //Computing. — no. 71. — Pp. 17-42.

43. He В., Teixeira F. L. Differential forms, Galerkin duality, and sparse inverse approximations in finite element solutions of Maxwell equations // IEEE Transactions on antennas and propagations. — 2007. — Vol. 55, no. 5. — Pp. 1359-1368.

44. Hiptmair R. Finite elements in computational electromag-netism //Acta Numerica. — 2002. — Pp. 237-339.

45. Hiptmair R. From E to edge elements // The Academician. — 2003. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 23-31.

46. Huber C., Krumpholz M., Russer P. Dispersion in anisotropic media modeled by three-dimensional TLM // IEEE TRANSACTIONS ON MICROWAVE THEORY AND TECHNIQUES. — 1995. — Vol. 43, no. 8. — Pp. 1923-1934.

47. Kong J. A. Electromagnetic fields due to dipole antennas over stratified anisotropic media // GEOPHYSICS.— 1972.— Vol. 37, no. 6. — Pp. 985-996.

48. Kriegshauser В., Fanini O., Yи L. Advanced inversion techniques for multicomponent induction data // Presented at the1. V • ' i I70th Ann. Mtg. — Soc. Expl. Geophys.: 2000.

49. Loseth L., Ursin B. Electromagnetic fields in planarly layered anisotropic media // Geophys.J.Int.— 2007.— Vol. 170.— Pp. 44-80.

50. Maillet R. The fundamental equations of electrical prospecting//Geophysics. — 1947. — Vol. 12. — Pp. 529-556.

51. Ma Z., Croskey C., Hale L. The electrodynamic responses of theatmosphere and ionosphere to the lightning discharge // J our. I ( inal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physiscs. — 1998. — Vol. 60. — Pp. 885-861.

52. Moss C. D., Teixeira F. L., Kong J. A. Analysis and compensation of numerical dispersion in the FDTD method for layered, anisotropic media // IEEE TRANSACTIONS ON ANTENNAS

53. AND PROPAGATION. — 2002. — Vol. 50, no. 9. — Pp. 11741184.

54. Nedelec J.-C. Mixed finite elements in M3 // Numer. Math,. — 1980. — Vol. 35, no. 3. — Pp. 315-341.

55. Nedelec J.-C. A new family of mixed finite elements in R3 // Numer. Math. — 1986. — Vol. 50, no. 1. — Pp. 57-81.

56. Parasnis D. Principles of applied geophysics. — 3rd edition. — Chapman and Hall, 1986. — 402 pp.

57. Pek J., Santos F. A. Magnetotelluric inversion for anisotropic conductivities in layered media // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2006. — Vol. 158. — Pp. 139-158.

58. Pirson S. J. Effect of anisotropy on apparent resistivity curves //AAPG Bull. — 1935. — Vol. 19. — Pp. 37-57.

59. Ren Z., Ida N. High order differential form-based elements for the computation of electromagnetic fields // IEEE Transactions of magnetics.— 2000.— Vol. 36, no. 4.— Pp. 14721478.

60. Rieben R. N. A Novel High Order Time Domain Vector Finite El1 V i'i ) , .vement Method for the Simulation of Electromagnetic Devices: Ph.D. thesis / UNIVERSITY OF CALIFORNI. — 2004. — July. — 183 pp.

61. Rodrigue G., White D. A. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hex-ahedral grids // SIAM J, Sci, Comput.— 2001.— Vol. 23, no. 3. — Pp. 683-706.

62. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. — 2000. — 447 pp.

63. Santos J. E., Sheen D. On the existence and uniqueness of solutions to Maxwell's equations in bounded domains with application to magnetotellurics // Mathematical Models and Methods in Applied Science. — 2000. — Vol. 10, no. 4. — Pp. 615-628.

64. Sayers С. M., Ebrom D. A. Seismic traveltime analysis for az-imuthally anisotropic media: Theory and experiment // GEOPHYSICS. — 1997. — Vol. 62. — Pp. 1570-1582.

65. Schoberl J. Commuting quasi-interpolation operators for mixed finite elements // Mathematics Subject Classification. — 1991. — Vol. 65, no. 30. — Pp. 1-10.

66. Slichter L. The interpretation of resistivity prospecting method for horizontal structures // Physics.— 1933.— Vol. 4.— Pp. 307-322.

67. Surface based differential forms / J. Pingenot, C. Yang, V. Jandhyala et al. // Surface Based Differential Forms. — Honolulu, HI, United States: April 3, 2005 April 7, 2005. — Pp. 1-7.

68. Tonti E. On the mathematical structure of a large class of physical theories //Rend.Acc.Lincei. — 1972. — no. 52. — Pp. 48' ' • • t p)v>C

69. Tonti E. La Structtura Formale delle Teorie Fisiche. — Milano: CLUP, 1976. — Pp. 163-257.

70. Wang Т., Fang S. 3-d electromagnetic anisotropy modeling using finite differences // GEOPHYSICS. — 2001. — Vol. 66, no. 5. — Pp. 1386-1398.

71. Warnick K., Arnold D., Selfridge R. Differential forms in electromagnetic field theory // Proceedings of IEEE Antenna Propagation Symposium. — 1996. — Pp. 237-339.

72. Webb J. P. Edge elements and what they can do for you // IEEE TRANSACTIONS ON MAGNETICS.— 1993.— Vol. 29, no. 2. — Pp. 1460-1465.

73. Yakhno V., Yakhno Т., Kasap M. A novel approach for modeling and simulation of electromagnetic waves in anisotropic dielectrics // International Journal of Solids and Structures. — 2006. — Vol. 43, no. 20. — Pp. 6261-6276.

74. Yin С. MMT forward modeling for a layered earth with arbitrary anisotropy // GEOPHYSICS.— 2006.— Vol. 71, no. 3. — Pp. G115-G128.• . i J Ь

75. Yin С., Maurer H.-M. Electromagnetic induction in a layered earth with arbitrary anisotropy // GEOPHYSICS. — 2001. — Vol. 66, no. 5. — Pp. 1405-1416.

76. Yin C., Weidelt P. Geoelectrical fields in a layered earth with arbitrary anisotropy//GEOPHYSICS.— 1999.— Vol.64, no. 2. — Pp. 426-434.

77. Zhang J., Verschuurz D. J. Elastic wave propagation in heterogeneous anisotropic media using the lumped finite-elementmethod // GEOPHYSICS.— 2002.— Vol. 67, no. 2.— Pp. 625-638.

78. Zhu J., Dormanz J. Two-dimensional, three-component wave propagation in a transversely isotropic medium with arbitrary-orientation-finite-element modeling // GEOPHYSICS.— 2000. — Vol. 65, no. 6. — Pp. 934-942.