Уравнения обратных задач электромагнитных геофизических полей и алгоритмы их решения

Рублёв, Алексей Леонидович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Уравнения обратных задач электромагнитных геофизических полей и алгоритмы их решения
ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Уравнения обратных задач электромагнитных геофизических полей и алгоритмы их решения"

На правах рукописи

о.

Рублёв Алексей Леонидович

УРАВНЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Специальность 25.00.10 Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург

2006

Работа выполнена в лаборатории математической геофизики Института геофизики УрО РАН.

Научный руководитель:

член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Мартышко Петр Сергеевич Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, доктор Мезенцев Андрей Николаевич Кандидат физико-математических наук, доцент Акимова Елена Николаевна

Ведущая организация: Горный Институт УрО РАН (Пермь)

Защита состоится 13 октября 2006 г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 004.009.01 в Институте геофизики УрО РАН по адресу: 620016, г. Екатеринбург, ул. Амундсена, д. 100.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института Автореферат разослан «-/2.» сентября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук,

профессор

Ю.В. Хачай

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Элеюромагнитные методы широко используются для изучения глубинного строения Земли, поисков месторождений полезных ископаемых, решения экологических задач. Завершающим этапом в исследованиях всегда является интерпретация экспериментальных данных. Получить как можно более точные и подробные результаты интерпретации - задача геофизика. Для этой цели требуется разработка математической теории интерпретации данных, полученных при измерении геофизических полей, и построение эффективных алгоритмов, основанных на этой теории.

Исследования в области решения задач для электромагнитных полей (прямых и обратных) проводились М.Н. Бердичевским, Л.Л. Ваньяном, В.П. Губатенко, В.И. Дмитриевым, М.С. Ждановым, П.С. Мартышко, Б.С. Световым, В.Н. Страховым и другими учеными. Известны работы новосибирских ученых под руководством М.И. Эпова по интерпретации данных ВИКИЗ. Можно отметить работы иностранных ученых, таких как G.W. Hohmann, P.E. Wannamaker, Р. Weidelt, Art Raiche. Заметим, что большинство работ в этой области посвящено решению прямых задач, а обратные задачи, как правило, решались методом многократного решения прямой задачи. Этот метод требовал большого количества машинного времени.

В Институте геофизики УрО РАН в области исследования электромагнитных полей, в частности, получены следующие результаты.

Под руководством А.Г. Дьяконовой были проведены обширные магнитотеллурические исследования на 11 региональных профилях, общей протяженностью свыше 4000 км. По результатам этих исследований были составлены площадные схемы распределения электрических параметров на разных глубинах, проведена количественная интерпретация магнитотеллурических данных и построены геоэлектрические модели строения земной коры и верхней мантии по

ряду протяженных субширотных геотраверсов, дающих представление о расслоенности геоэлектрических параметров до глубин в сотни километров.

В. В. Кормильцевым рассмотрен учет вызванной поляризации в уравнениях электродинамики. Предложены формулы для вычисления электрического и магнитного полей ВП для объектов сложной формы. Рассмотрены физико-теоретические основы метода ВП на переменном и импульсном токе, учет ВП в индуктивных методах электроразведки.

O.A. Хачай на основе интегральных представлений электромагнитных полей в слоистой среде с неоднородным включением, полученных Е.В. Захаровым и И.В. Ильиным, выведены уравнения теоретической обратной задачи для электромагнитных геофизических полей.

Разработка теории и методов решения обратных задач для потенциальных (гравитационное, магнитное) и волнового электромагнитного полей входят в одно из приоритетных направлений исследований лаборатории математической геофизики и восходят к фундаментальным работам В.К. Иванова (1956), Г.М. Воскобойникова (1962, 1965) и A.B. Цирульского (1969, 1974), посвященным проблеме решения некорректной обратной задачи логарифмического потенциала.

Направление исследований в этой области осуществляется по двум основным направлениям, связанных со спецификой решения обратной задачи.

Первое из них основывается на постановке и решении теоретической обратной задачи (ТОЗ), первоначально рассматриваемой для гравитационного и магнитного потенциалов в двухмерном варианте (A.B. Цирульский, Ф.И. Никонова, Н.В. Федорова), а затем и в трехмерном (A.B. Цирульский, П.С. Мартышко, И.Л Пруткин). Впоследствии, исследования в этой области привели к созданию двухэтапного метода интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений.

Ко второму направлению относится постановка и решение обратной задачи на множестве особых точек аналитического продолжения геофизического поля (в область источников аномалии), которые однозначно определяют внешнее поле и

несут объективную информацию о местоположении и характеристиках аномалиеобразующего объекта. Это направление начало формироваться благодаря фундаментальным результатам в области решения некорректных задач математической геофизики, полученным М.М. Лаврентьевым, В.К. Ивановым, Г.М. Воскобойниковым и A.B. Цирульским. Последующие исследования в этой области привели к созданию метода особых точек (МОТ) для интерпретации потенциальных полей, первоначально в двухмерной постановке (Г.М. Воскобойников, Н.И. Начапкин), а затем и в трехмерной (Г.М. Воскобойников,

A.Ф. Шестаков). В дальнейшем, этот метод был распространен на геофизические поля иной природы - волновые электромагнитные, возбуждаемые в гармоническом режиме, в двух- и трехмерном вариантах.

Как было отмечено выше, в Институте геофизики УрО РАН под руководством A.B. Цирульского была разработана теория и алгоритмы двухэтапной интерпретации гравитационных и магнитных полей (в двумерном варианте). Сущность двухэтапных методов состоит в следующем:

1) наблюденные данные аппроксимируются полями сингулярных источников (идея

B.Н. Страхова и A.B. Цирульского);

2) решается теоретическая обратная задача (ТОЗ) - по заданному всюду полю сингулярных источников строится эквивалентное семейство решений операторного уравнения 1 -го рода с явно заданным оператором.

Таким образом, на первом этапе происходит разделение полей, и обратная задача решается для каждой группы источников, трактуемых как один аномальный объект, отдельно. Эти методы успешно используются для интерпретации двумерных потенциальных полей.

Применим ли данный подход для трехмерной обратной задачи электроразведки? Следует отметить, что разработка алгоритмов численного решения ТОЗ для электромагнитного поля сопряжена со значительно большими (по сравнению с потенциальными полями) трудностями, поскольку приходится

находить решение операторного уравнения I рода, при этом уравнения имеют векторный характер.

При решении обратной задачи электроразведки возникают дополнительные трудности: нелинейная обратная задача электроразведки в общем случае сводится к уравнению с неявно заданным оператором. Для теоретической обратной задачи П.С. Мартышко были получены явные уравнения. Позже нами были выведены явные уравнения для теоретической обратной задачи электроразведки в случае, когда рассматривается полупространство с произвольной границей раздела земля-воздух.

Цель работы — получение интегральных уравнений обратной задачи электромагнитных геофизических полей и разработка эффективных алгоритмов решения этой задачи.

Поле, произвольно меняющееся во времени, в силу линейности уравнений Максвелла, может быть представлено в виде суммы гармонических полей, зависимость которых от времени выражена с помощью множителя ехр(-/<у/). Далее в работе рассматривались уравнения для гармонических электромагнитных полей -уравнения Гельмгольца. При численном решении этих уравнений использовался алгоритм, разработанный для класса звездных тел.

Вследствие того, что еще не определен полный класс функций для подбора элементов поля, позволяющий установить разрешимость обратной задачи в конечном виде, проблема реализации первого этапа в трехмерном варианте до сих пор остается открытой. Но исследование эквивалентных семейств решений представляет собой самостоятельный научный и практический интерес, позволяющий создавать и анализировать геологически содержательные модели аномалиеобразующих объектов, эквивалентных по полю различным классам сингулярных источников.

Отдельный интерес представляет задача учета границы раздела земля-воздух. Е.В. Захаровым и И.В. Ильиным получены интегральные представления электромагнитных полей в неоднородной слоистой среде. Авторы работы смогли

избавиться от интеграла по поверхности раздела земля-воздух за счет введения тензорных функций Грина. Но при этом значительно усложнилась подынтегральная функция, что приводит к увеличению объёма вычислений.

В полученных нами уравнениях учет границы земля-воздух задается интегралом по границе. Как показали решения для модельных примеров, вычисление интеграла по бесконечной границе раздела земля-воздух можно с большой степенью точности заменить интегралом по сравнительно небольшому прямоугольнику, так как электромагнитное поле быстро затухает с расстоянием. К тому же значение этого интеграла для каждой точки нашего носителя информации (множества точек, в которых задано поле) не зависит от изменения границы аномального включения, и поэтому он рассчитывается только один раз в начале работы алгоритма, после чего в минимизационный функционал подставляются заранее вычисленные значения интеграла.

Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:

1. Выведены уравнения (с явно заданным оператором) теоретической обратной задачи электромагнитных полей, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца (с учетом границы раздела земля-воздух).

2. Впервые построены примеры решений трехмерной теоретической обратной задачи электромагнитных полей.

3. Построены примеры, иллюстрирующие зависимость решения теоретической обратной задачи от выбора носителя информации.

4. Построены примеры, иллюстрирующие зависимость решения теоретической обратной задачи от рельефа границы раздела земля-воздух.

Защищаемые положения:

1. Получены новые уравнения теоретической обратной задачи (с явно заданным оператором) электромагнитного поля с учетом границы раздела земля-воздух для модели тела с постоянными значениями сг и ¡л в однородном полупространстве.

2. На основе разработанных алгоритмов решения теоретических обратных задач электромагнитных полей показано, что результаты интерпретации

электромагнитных данных существенно зависят от взаимного расположения изучаемого объема внутри Земли и множества точек, в которых задано (измерено) электромагнитное поле.

Практическая значимость работы

Создан пакет программ для решения теоретической обратной задачи трехмерных электромагнитных полей. Решение ТОЗ представляет интерес не только как реализация одного из этапов методов интерпретации, но и дает возможность строить геологически содержательные эквиваленты различным классам сингулярных источников. Личный вклад автора состоит:

• в получении уравнений теоретической обратной задачи для скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца с учетом границы раздела земля-воздух;

• в разработке и программной реализации алгоритмов решения обратных задач для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца;

• в построении примеров решений трехмерной теоретической обратной задачи для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях: Международных конференциях «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Воронеж, 1996, Москва, 1997, Ухта, 1998, Екатеринбург, 1999, Москва, 2000, Киев, 2001, Екатеринбург, 2002), Российской конференции «Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических методов (Екатеринбург, 1996 г), Международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками» (Санкт-Петербург, 1996), General Assembly of the EGS (Vienna - Austria, 1997), 59th EAGE

Conference & Technical exhibition (Geneva - Switzerland, 1997), 8th Scientific Assembly of LAGA (Uppsala — Sweden, 1997), Всероссийской научной конференции, посвященной памяти B.K. Иванова (Екатеринбург, 1998 г), "Electromagnetic Induction in the Earth" (Romania, 1998), 61st EAGE Conference & Technical exhibition (Helsinki - Finland, 1999), Second International Symposium on 3D Electromagnetics (Salt Lake City - USA, 1999), Международных научно-практических конференциях молодых ученых и специалистов «Геофизика — 99» (Санкт-Петербург, 1999 г), «Геофизика-2001» (Новосибирск, 2001 г), «Геофизика-2005» (Санкт-Петербург, 2005 г), Уральских молодежных научных школах по геофизике (Екатеринбург, 2000, Пермь, 2001, Екатеринбург, 2002, Пермь, 2003), 15th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth (Cabo Frio - Brazil, 2000), Международной конференции «Проблемы геокодмоса» (Санкт-Петербург, 2000 г), Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001 г), XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2005 г).

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 71 страницу текста и 9 рисунков. Библиография содержит 210 наименований.

Во введении сформулированы задача исследования, его актуальность, цель работы, представлены основные защищаемые положения, а также определена научная новизна работы.

В первой главе описан алгоритм решения теоретической обратной задачи для метода заряда. Во второй главе выведено скалярное уравнение Гельмгольца и получены примеры решения теоретической обратной задачи для этого уравнения с использованием алгоритма, описанного в первой главе. В третьей главе выведено векторное уравнение Гельмгольца с учетом границы раздела земля-воздух, получены примеры численного решения теоретической обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца с учетом и без учета границы раздела земля-воздух, показана зависимость получаемых решений от выбора носителя

информации, от рельефа границы раздела земля-воздух и положения возбуждающего источника.

По теме диссертации автором опубликовано 40 работ (из них 10 на английском языке), 9 выполнено лично автором. Основное содержание диссертации изложено в 12 работах.

Исследования по теме диссертации выполнены автором за период с 1994 по 2005 год в лаборатории математической геофизики Института геофизики УрО РАН под руководством заведующего лабораторией член—корреспондента РАН, доктора физико-математических наук, профессора П.С. Мартышко. Соискатель выражает искреннюю признательность своему научному руководителю за постановку задачи, многочисленные научные консультации и ценные замечания в процессе работы над диссертацией, за корректное руководство и помощь в анализе материала.

Автор признателен своим коллегам - сотрудникам лаборатории математической геофизики И.Л. Пруткину, Н.В. Федоровой, А.Ф. Шестакову, К.В. Мусыгину, O.A. Касимовой, с которыми обсуждались результаты работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1. О решении трехмерной обратной задачи электроразведки постоянным током

В первой главе рассматривается обратная задача для метода заряда.

постоянной проводимостью, создающих в поле некоторого источника этот потенциал, П.С. Мартышко были получены явные операторные уравнения.

Пусть D - область из евклидова пространства Л3 проводимости <т2 -находится в среде с проводимостью ег, (с,,сгг - const), W - электрический потенциал сторонних источников, помещенных в D; У, и Уг - внешний и внутренний потенциалы проводящего включения D. Как известно, потенциалы У,, У2 и W - гармонические функции, т.е.

ДК,=0, AW = 0 в £Г, Д^=0 В D*, (1.1)

кроме того, на границе D - поверхности 5 - выполняются следующие соотношения:

= (1.2)

5Уг ЭК 6W

ст,—о-1~^ = (сг,-<т2)—. (1.3)

дп an on

Решение прямой задачи метода заряда сводится к нахождению потенциалов У, и У2 из условий (1.1 )-(1.3).

Обратная задача может быть сформулирована следующим образом: по заданной функции Ух (К,), удовлетворяющей на границе искомой области условиям (1.1И1 -3), найти эту область.

П.С. Мартышко с использованием условий (1.1)-(1.3) и основной формулы теории гармонических функций, было получено уравнение ТОЗ метода заряда для определения границы S:

Атт гг. г

R дп дп

dS - (1.4)

Для решения уравнения использовался алгоритм, разработанный П.С. Мартышко для класса тел, звездных относительно некоторой внутренней точки О.

Построим сферическую систему координат с центром в этой точке. Пусть г = г(6,ф) - уравнение границы 5 в сферических координатах. Вектор-функция Т-7(в,ф) определяется тремя скалярными функциями х(в,ф), у(0,ф), :(в,ф):

В сферических координатах уравнение (1.4) будет иметь вид:

471 °1 0 0

\г-г°\'

- +

(1.5)

<ММф,

где г-г° = Л, Лг = гвхг((.

Соотношение (1.5) —уравнение 1-го рода относительно г(0,ф). Функция г(в,ф) выбирается в виде отрезка двойного ряда Фурье

= 124 е*р т+]Ф) • (1.6)

Будем искать коэффициенты ряда а^, минимизируя следующий функционал:

/(3) - ¿[^(х,.*.,г, )-*;-(*,. (1.7)

где точки принадлежат носителю информации, а - вектор коэффициентов

функции гпт(в,ф), по которым осуществляется минимизация, У"т - правая часть

уравнения (1.13) с заменой г на /■„„. Функция г(9,ф), задающая границу

односвязной трехмерной области, должна обладать следующим свойством:

г(0,ф) = сот!, г(я,ф) = согин.

(1.8)

Из этих условий следуют соотношения для коэффициентов а^:

5Х=0, IX; =0'

(1.9)

к, к, е[-л,л], к = ±1,±3,...; = ±2,±4,...

Таким образом, необходимо искать минимум функционала / при ограничениях типа равенств. Поэтому в функционал / добавлялся функционал

где Р/ - штрафные коэффициенты. Регуляризация уравнения (1.5) осуществляется с помощью аналога сглаживающего тихоновского регуляризатора 1 -го порядка

2 2>

2Х + (1.10)

\ к

Для решения уравнения (1.5) минимизируется функционал

/ + /,+ае,

(1.11)

(1.12)

где а - параметр регуляризации. Для минимизации используется метод Пауэлла, для одномерной минимизации — метод ДСК. Интеграл в (1.5) вычисляется по формулам с равными весами и равноотстоящими узлами. Для приближения функции г(9,ф) берутся первые 25 членов двойного ряда Фурье, т.е. в (1.6) п=2, ш=2. Интересно отметить, что удается значительно ускорить процесс минимизации за счет того, что в методе Пауэлла зачастую можно отбросить ряд направлений, по которым функционал не уменьшается. Как показали результаты численных

экспериментов, для построенных примеров существенными из 25 направлений являются только 13.

Описанные алгоритмы программно реализованы на языке PASCAL и опробованы на теоретических примерах: для потенциала F, = наведенного в

поле W =—, 0|=1, С?2=-1, 0з = 1, были построены при различных соотношениях R

а, примеры решения ТОЗ метода заряда [2].

Глава 2.0 решении трехмерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца

Во второй главе рассматривается обратная задача для скалярного уравнения Гельмгольца. Такая задача возникает при интерпретации данных электромагнитных методов, когда электромагнитное поле релаксирует в отсутствие индукции (например, в методе вызванной поляризации), а также диффузии и соответствующего ей электрического поля, термометрии, поля давлений при течении сжимаемой жидкости в однородном пространстве, включающем ограниченную область с другой фазовой проницаемостью.

Пусть D - область из евклидова пространства Л5, функция У,(Р) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

Кроме того, на границе £> - поверхности Ляпунова 5 - выполняются условия:

АУ1(Р) + к?У,(Р) = 0, Ре. D'

(2.1)

а функция и2Щ) удовлетворяет уравнению

&и1Ш) + к}и2(М) = 0, MeD, k„k2=const.

(2.2)

(2.3)

(2.4)

где I/, = К, + IV; и, удовлетворяет условиям Зоммерфельда

1/,=о(1/г), + =о(1/г), г->00

удовлетворяет уравнению

ЛЩМ) + к^(М) = 0, МеО

(2.6)

(так называемый потенциал возбуждающего поля, источники которого находятся вне О), к? = /о/',^. ' = 1, 2, где о - круговая частота; ^, - параметры среды, например магнитная проницаемость; ап ст, - характеристики поля, например электрическая проводимость.

Обратная задача может быть сформулирована следующим образом: по заданной функции удовлетворяющей на границе искомой области условиям

(2.1 )-(2.6), найти эту область. Обратную задачу будем называть теоретической, если функция У, задана в явном виде (ситуация, возникающая, например, после аппроксимации экспериментальных данных модельными функциями).

Из условий (2.1)-(2.6) и формулы Грина следует возможность представлений:

4л I

УЛРУ

дп

дУ,(Р) еЛ

дп

¿5 =

ОД), Ра е О" О, Я е £>

(2.7)

Ал ^

дп г дп

Уг{Р0), Р„еО О, Рп е о-

(2.8)

где п - внешняя нормаль к поверхности 5.

Складывая выражения (2.7) и (2.8) и используя условия (2.3) и (2.4), получаем

¿г, дЩР) е""г сг, дп г

-ЩР)-

дп

Соотношение (2.9) можно рассматривать как уравнения ТОЗ для определения границы 5 [1,6].

Для решения уравнения (2.9) использовался алгоритм, описанный в главе 1 для класса тел, звездных относительно некоторой внутренней точки О. Построим систему координат с центром в этой точке. Выполняя в уравнении (2.9) сферическую замену переменных, получаем

а, г г

-.Л'Жв'^и'.л') —----

г I сг, г г

(2.10)

амф,

где г(в,ф) - правая часть уравнения поверхности 5 в сферических координатах г = г(в,ф), Р = Р[г(в,ф),6,ф\, Л/ = г„хг,.

При заданной всюду (вплоть до особенностей) функции V, соотношение (2.10) - явное уравнение относительно г(в,ф). Как и в главе 1 функция г(в,ф) выбирается в виде отрезка двойного ряда Фурье

Коэффициенты ряда а^ находятся при минимизации функционала

/+/,+<*э,

где

(2.11)

(2.12)

+ Vx (*„ у,, г,)-Im V™ , у,, г,; 3)|2 J

/, и © вычисляются по формулам (1.10) и (1.11), соответственно. Описанные алгоритмы программно реализованы на языке PASCAL и опробованы на теоретических примерах [1, б].

Глава 3. Алгоритм и примеры решения обратной задачи для

В третьей главе построены примеры решения ТОЗ для электромагнитного поля для различных значений проводимости аномального объекта и для различных значений частоты поля. Также исследована зависимость решений от выбора носителя, на котором задано поле, от рельефа границы раздела земля-воздух и положения возбуждающего источника.

Пусть в линейной однородной среде с проводимостью сг, и магнитной проницаемостью //, находится тело Т с параметрами аг, Пусть также в среде имеются источники электромагнитного поля и Я,,£,,Я2,£2 - напряженности магнитного и электрического полей во внешности и внутри проводящего включения, соответственно, обусловленные этими источниками. В дальнейшем предполагаем, что Т - трехмерная область, 5 - ее граница - поверхность Ляпунова, г = y,z) - радиус-вектор точки из R3. Как известно, в линейной изотропной среде (е,р,сг- const) в отсутствие сторонних токов и зарядов вектор-функции /?, Ё удовлетворяют следующей системе уравнений (соответственно внутри и вне Г):

электромагнитного поля

rotH = j + cfJ/d,

rotE = -cBld,

divD = 0,

itivB - 0,

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

[Нг - Н„п] = о, (м2Н3-р,Н„п) = о, (3 5)

[Я2-£|,л] = 0, {e1E2-stEl,n)==Tj,

е - диэлектрическая проницаемость среды, т/ - поверхностная плотность электрического заряда. Пусть /?„ Ё, - внешнее поле области Т, наведенное полем источников Н" и ¿".Тогда

я, = н° + н", Et = ¿г +1", (3.6) [/}" +н;,п] = [нг,п], [Ён +Ё,",п] = 1Ёг,п],

(Нг,п) = ^-{НИ +Н°,п), (£,,«) = [г-,(£„й) + >7]/<г2. (3"?)

В силу линейности уравнений Максвелла поле, произвольно меняющееся во времени, может быть представлено в виде суммы гармонических полей, зависимость которых от времени выражена с помощью множителя exp{-¡at).

Для монохроматического поля из (3.1) - (3.4) следует

rotH =а* Ё, rolE - iaifiH, divl = 0, divN = 0, (3.8)

где cr* = cr-ieoe - комплексная электропроводность; вектор-функции Ё и Н удовлетворяют уравнению Гельмгольца

AF + k**F = 0, (3.9)

где волновое число среды к*: к*1 - ¡оца + тг це ,

Обратную задачу можно сформулировать следующим образом: по заданной вектор-функции F(r), удовлетворяющей вне Г уравнению (3.9) и на границе искомой области S - условиям (3.7), найти эту область.

Пусть F и Р - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые в Т (вплоть до границы) функции. Тогда справедливо следующее интегральное соотношение

J(aP • F + gradP ■ divF + Р ■ rotrotF^iV =

Г r( _ - - ) ' (ЗЛ0)

= J F)gradP+[iixf> gradP + Р-[йх rotFYfiS

с использованием которого П.С. Мартышко были получены явные операторные уравнения для монохроматического электромагнитного поля:

£,'(!■')= ¡{пЛ'^гасЦ^/е^ - О,) +[>7 + с, (£", п^гасЮ, I сг +

^пкЁ'У&аа^ -С1) + [пхЁ"]*&-асЮ1 + (3.11)

+ Ц«хН?](р2С2 + ¡шиг[пхЙ"]вг

где

+ [пхН?]х&а(/(Сг-С1) + [пхГ/"]х^гаЛ02+ (3.12)

+ [л X Ё?}(а2С2 - ) + [« х ¡аВ, г' ей'

Замечание. Б может быть объединением, как границ локальных объектов, так и структурных границ.

Для монохроматического поля в случае, когда учитывается граница земля-воздух, были получены следующие формулы [7, 13]:

£°(г') = /е, )С2-С,) +gradG.fr, + <-/£" ,п)]/с2 +

+ [пхЁ;]х$га4(Сг-С,) + [пхЁ" ]х8га4а2+ш[пхН? ](р302-р101)+ (3.13)

+ иор2/пхН" ;Сг}г/5 + ^п.Ё?^аЫв, +{пхЁ°]*.+ ¡щ,[п* И'

Щ (г') = /[п. Я" /р2Юг-С<) + (Н" .п)(ц, / Мг +

+ [пX 7X-С{) + [п* Й" ]х ёга402 +[пх £*](а'2Ог -сг.'С,; + (3.14) + /лх£"уа2'Ог^ + ^л./?1 )gradG1 +[пхЙ?]х фаЛв^ +[пх Ё'/а^О,

где /. - граница раздела земля-воздух.

При численном решении уравнений (3.11, 3.13) использовался алгоритм, описанный в главе 1 для класса звездных тел. Интеграл по бесконечной границе Ь в (3.13) аппроксимируется интегралом по достаточно большому ограниченному прямоугольнику, на котором прослежено поле. В результате были построены примеры решения ТОЗ для электромагнитного поля для различных значений проводимости аномального объекта [3, 4, 7], для различных значений частоты поля [4], исследована зависимость решений от выбора носителя [5], на котором задано

поле, от рельефа границы раздела земля-воздух [11, 15, 16] и положения возбуждающего источника [10].

Заключение.

Результатом работы является создание алгоритмов решения теоретической обратной задачи для электромагнитных полей на основе оригинальных уравнений с явно заданным оператором.

Основные результаты, полученные в работе состоят в следующем:

1. Выведены уравнения теоретической обратной задачи для скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца с учетом границы раздела земля-воздух, позволяющие построить эффективные алгоритмы интерпретации электромагнитных данных.

2. Разработаны и программно реализованы алгоритмы решения теоретических обратных задач для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца.

3. Создан комплекс программ для решения теоретической обратной задачи трехмерных электромагнитных полей.

4. Впервые получены примеры решений трехмерной теоретической обратной задачи для метода заряда, скалярного уравнения Гельмгольца и векторного уравнения Гельмгольца.

5. Показана зависимость решения теоретической обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца от выбора носителя информации.

6. Показана зависимость решения теоретической обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца от рельефа границы раздела земля-воздух и положения возбуждающего источника.

Основные публикации

1. Мартышко П.С., Рублев А.Л. О решении объемной обратной задачи для уравнения Гельмгольца // Институт геофизики УрО РАН. Екатеринбург, 1996. Депонировано в ВИНИТИ 10.01.96.

2. Мартышко П.С., Рублев АЛ. Об одном алгоритме решения объемной обратной задачи метода заряда // Институт геофизики УрО РАН. Екатеринбург, 1996. Депонировано в ВИНИТИ 10.01.96.

3. Мартышко П.С., Рублев А.Л. Алгоритм и примеры решения обратной задачи для переменного электромагнитного поля // Геоэлектрические исследования контрастных по электропроводности сред: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: Наука, Уральское отделение. 1996. С. 3-11.

4. Мартышко П.С., Рублев АЛ. Алгоритм и примеры решения обратной задачи для уравнения Гельмгольца II Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических методов. Доклады Российской конференции. Екатеринбург: Наука, Уральское отделение. 1996. С. 3 -6.

5. Мартышко П.С., Рублев А.Л. О выборе носителя данных при решении обратной задачи для эл.-маг. поля // Теория и практика геоэлектрических исследований: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 1998. С. 3-10.

6. Мартышко П.С., Рублев АЛ. О решении трехмерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца // Российский геофизический журнал. № 13 - 14, 1999 г. Санкт-Петербург, ВИРГ-Рудгеофизика. С. 98 - 10].

7. Мартышко П.С., Рублев АЛ. Уравнения и алгоритм решения теоретической обратной задачи электроразведки с учётом границы земля-воздух // Теория и практика электромагнитных методов геофизических исследований: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: Наука УрО, 2000. С. 3-11.

8. Мартышко П.С., Рублев АЛ. О решении теоретической обратной задачи для электромагнитного поля // Уральский геофизический вестник, № 1, 2000. С. 79-82.

9. Мартышко П.С., Рублев А.Л. Алгоритм и примеры эквивалентных решений обратной задачи для электромагнитного поля // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы 29-й сессии Международного семинара им. Д.Г.Успенского. Екатеринбург, 28 января - 2 февраля 2002 г. С. 73-77.

10. Мартышко П.С., Рублев АЛ. Алгоритм и примеры эквивалентных решений обратной задачи для электромагнитного поля И Электронный научно-информационный журнал "Вестник ОГГГГН РАН" № 1 (20)'2002.

11. Мартышко П.С., Рублев А.Л. Алгоритм и примеры решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей с учетом рельефа границы земля-воздух // Проектирование и анализ радиотехнических и информационных систем: Вестник УГТУ - УПИ. Серия радиотехническая. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. № 18 (48). С. 112-119.

12. Мартышко П.С., Рублев АЛ. О решении обратных задач для электромагнитных геофизических полей // XI Всероссийская школа-семинар

"Современные проблемы математического моделирования". Сборник трудов. Абрау-Дюрсо, 2-10 сентября 2005 г. С. 269-278.

13. Рублев A.JI. Алгоритм решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей // Материалы Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика - 99». Санкт-Петербург, 9-12 ноября 1999 г. Москва 2000 г. С. 167-171.

14. Рублев A.JI. Примеры решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей с учетом границы раздела земля-воздух // Уральская молодежная научная школа по геофизике. Сборник докладов. Екатеринбург, 2000. С.59-64.

15. Рублев АЛ. Алгоритм и примеры решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей с учетом рельефа границы земля-воздух // Международная конференция молодых ученых, специалистов и студентов «Геофизика-2001». Тезисы докладов. Новосибирск. Академгородок. 4-9 сентября 2001 г. С. 72-75.

16. Рублев A.JI. Алгоритм и примеры решения обратной задачи для монохроматического электромагнитного поля с учетом рельефа границы земля-воздух // Вторая Уральская мо л одёжная научная школа гю геофизике. Сборник докладов. Пермь: ГИ УрО РАН, 2001. С. 148-151.

17. Рублёв A. JI. Теоретическая обратная задача для трехмерных электромагнитных полей // V Международная научно-практическая геолого-геофизическая конкурс-конференция молодых ученых и специалистов «ГЕОФИЗИКА-2005». Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 12-15 сентября 2005 г. с. 249-251.

18. Martyshko P.S., Rublev A. L. On 3-D nonlinear electromagnetic inverse problem // EAGE 59th Conference, Geneva - Switzerland. Extended Abstracts, Volume 1. (26-30 May 1997).

19. Martyshko P.S., Rublev A. L. On 3-D nonlinear inverse problem И 8th Scientific Assembly of IAGA, Uppsala, Sweden. (Abstracts of the reports, 8-12 August 1997).

20. Martyshko P.S., Rublev A. L. Algorithm and Numerical Examples 3D Electromagnetic Inverse Problem 4 EAGE 61st Conference, Helsinki - Finland. Extended Abstract Book. (7-11 June 1999).

21. Martyshko P.S., Rublev A. L. Algorithm and numerical examples of 3D electromagnetic inverse problem // Second International Symposium on 3D Electromagnetics, Salt Lake Cily, USA, 1999. P. 158-161.

22. Martyshko P.S., Rublev A.L. New method for 3-d electromagnetic inversion based on analytical approximation //15th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth. Cabo Frio, Brazil. August 19-26, 2000.

23. Martyshko P.S., Roublev A.L. On 3D Electromagnetic Inverse Problem in the Case of Arbitrary Relief // EAGE Abstracts. RAI, Amsterdam, the Netherlands. 11-15 June 2001. P. 174-177.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Рублёв, Алексей Леонидович

введение з

глава 1.0 решении трехмерной обратной задачи электроразведки постоянным током

1.1 Введение

1.2 Постановка задачи

1.3 Алгоритм решения явного операторного уравнения ТОЗ 14 метода заряда

глава 2. о решении трехмерной обратной задачи для уравнения гел ьмгольца

2.1 Введение

2.2 Постановка задачи

2.3 Явные операторные уравнения ТОЗ

2.4 Алгоритм решения уравнения ТОЗ в классе звездных тел

2.5 Численные примеры

глава 3. алгоритм и примеры решения обратной задачи для электромагнитного поля

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Явные уравнения ТОЗ и алгоритм решения

3.4 Численные примеры 34 заключение 47 литература

Введение

Электромагнитные методы широко используются для изучения глубинного строения Земли, поисков месторождений полезных ископаемых, решения экологических задач. Завершающим этапом в исследованиях всегда является интерпретация экспериментальных данных. Получить как можно более точные и подробные результаты интерпретации - задача геофизика. Для этой цели требуется разработка математической теории интерпретации данных, полученных при измерении геофизических полей, и построение эффективных алгоритмов, основанных на этой теории.

Исследования в области решения задач для электромагнитных полей (прямых и обратных) проводились М.Н. Бердичевским [4, 5], JI.JI. Ваньяном [9], В.П. Губатенко [116], В.И. Дмитриевым [18-24],. М.С. Ждановым [4, 5, 7, 19, 28-38, 210], П.С. Мартышко [64-98, 193-203], Б.С. Световым [114-116], В.Н. Страховым [17, 118-133] и другими учеными. Известны работы новосибирских ученых под руководством М.И. Эпова [189] по интерпретации данных ВИКИЗ. Можно отметить работы иностранных ученых, таких как G.W. Hohmann [192, 207], Р.Е. Wannamaker [207], P. Weidelt [208], Art Raiche [209]. Заметим, что большинство работ в этой области посвящено решению прямых задач, а обратные задачи, как правило, решались методом многократного решения прямой задачи. Этот метод требовал большого количества машинного времени.

В. В. Кормильцевым [52-54] рассмотрен учет вызванной поляризации в уравнениях электродинамики. Предложены формулы для вычисления электрического и магнитного полей ВП для объектов сложной формы. Рассмотрены физико-теоретические основы метода ВП на переменном и импульсном токе, учет ВП в индуктивных методах электроразведки.

О.А. Хачай [15, 147-159] на основе интегральных представлений электромагнитных полей в слоистой среде с неоднородным включением, полученных Е.В. Захаровым и И.В. Ильиным [41], выведены уравнения теоретической обратной задачи для электромагнитных геофизических полей.

Г.М. Воскобойниковым [12-16] и А.Ф. Шестаковым [15, 16, 26, 85, 178187] предложен трехмерный вариант метода особых точек (МОТ) для интерпретации переменного электромагнитного поля, возбуждаемого в гармоническом режиме. Сконструированы оригинальные гасящие функции конкретного вида, допускающего эффективное их использование при определении параметров особых точек гармонических электромагнитных полей; разработаны устойчивые алгоритмы и программы численного решения задачи, реализующие МОТ. В дальнейшем А.Ф. Шестаковым [171-177] разработаны также теория и математический аппарат определения эффективных источников аномалий двухмерного электромагнитного поля, возбуждаемого в гармоническом режиме в однородной и слоистой средах, вмещающих геоэлектрическую неоднородность. На их основе предложен и обоснован двухмерный вариант МОТ для интерпретации монохроматического электромагнитного поля. Сконструированы гасящие функции для однородной и слоистой вмещающей среды, допускающие эффективное их использование при определении параметров особых точек ЭМ поля в двухмерной постановке; разработаны устойчивые алгоритмы численного решения задачи и реализующие их программы.

Под руководством А.Г. Дьяконовой [25-27] (в том числе и с использованием методики А.Ф. Шестакова) были проведены обширные магнитотеллурические исследования на И региональных профилях, общей протяженностью свыше 4000 км. По результатам этих исследований были составлены площадные схемы распределения электрических параметров на разных глубинах, проведена количественная интерпретация магнитотеллурических данных и построены геоэлектрические модели строения земной коры и верхней мантии по ряду протяженных субширотных геотраверсов, дающих представление о расслоенности геоэлектрических параметров до глубин в сотни километров.

Цель работы - получение интегральных уравнений обратной задачи электромагнитных геофизических полей и разработка эффективных алгоритмов решения обратной задачи электромагнитных геофизических полей.

В Институте геофизики УрО РАН под руководством А.В. Цирульского была разработана теория и алгоритмы двухэтапной интерпретации гравитационных и магнитных полей (в двумерном варианте) [14, 101, 102, 161167].

Сущность двухэтапных методов состоит в следующем:

1) наблюденные данные аппроксимируются полями сингулярных источников (идея В.Н. Страхова и А.В. Цирульского);

2) решается теоретическая обратная задача (ТОЗ) - по заданному всюду полю сингулярных источников строится эквивалентное семейство решений операторного уравнения 1-го рода с явно заданным оператором.

Таким образом, на первом этапе происходит разделение полей, и обратная задача решается для каждой группы источников, трактуемых как один аномальный объект, отдельно. Подчеркнем, что второй этап был реализован с использованием уравнения ТОЗ В.К. Иванова [43-51]. Эти методы успешно используются для интерпретации двумерных потенциальных полей.

При решении обратной задачи электроразведки возникают дополнительные трудности: нелинейная обратная задача электроразведки в общем случае сводится к уравнению с неявно заданным оператором. Для теоретической обратной задачи П.С. Мартышко в работах [67, 69] были получены явные уравнения. Позже нами были выведены явные уравнения для теоретической обратной задачи электроразведки в случае, когда рассматривается полупространство с произвольной границей раздела земля-воздух [90].

Поле, произвольно меняющееся во времени, в силу линейности уравнений Максвелла, может быть представлено в виде суммы гармонических полей, зависимость которых от времени выражена с помощью множителя ехр(-Ш). Далее в работе рассматривались уравнения для гармонических электромагнитных полей - уравнения Гельмгольца. При численном решении этих уравнений использовался алгоритм, разработанный в [67] для класса звездных тел.

Отдельный интерес представляет задача учета границы раздела земля-воздух. В статье Е.В. Захарова и И.В. Ильина [41] приведены интегральные представления электромагнитных полей в неоднородной слоистой среде. Авторы работы смогли избавиться от интеграла по поверхности раздела земля-воздух за счет введения тензорных функций Грина. Но при этом значительно усложнилась подынтегральная функция.

Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем:

2. Впервые построены примеры решений трехмерной теоретической обратной задачи электромагнитных полей.

Защищаемые положения:

1. Получены новые уравнения теоретической обратной задачи (с явно заданным оператором) электромагнитного поля с учетом границы раздела земля-воздух для модели тела с постоянными значениями сг и /л в однородном полупространстве.

2. На основе разработанных алгоритмов решения теоретических обратных задач электромагнитных полей показано, что результаты интерпретации электромагнитных данных существенно зависят от взаимного расположения изучаемого объема внутри Земли и множества точек, в которых задано (измерено) электромагнитное поле.

Практическая значимость работы

Личный вклад автора состоит:

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-практических конференциях: Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Воронеж, 1996 г), Российской конференции «Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических методов (Екатеринбург, 1996 г), Международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками» (Санкт-Петербург, 1996), General Assembly of the EGS (Vienna - Austria, 1997), 59th EAGE Conference & Technical exhibition (Geneva - Switzerland, 1997), 8th Scientific Assembly of IAGA (Uppsala - Sweden, 1997), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 1997 г), Всероссийской научной конференции, посвященной памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 1998 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Ухта, 1998 г), "Electromagnetic Induction in the Earth" (Romania, 1998), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Екатеринбург, 1999 г), 61st EAGE Conference & Technical exhibition (Helsinki - Finland, 1999), Second International Symposium on 3D Electromagnetics (Salt Lake City - USA, 1999), Международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика - 99» (Санкт-Петербург, 1999 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Москва, 2000 г), Уральской молодежной научной школе по геофизике (Екатеринбург, 2000 г), 15th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth (Cabo Frio - Brazil, 2000), Международной конференции «Проблемы геокосмоса» (Санкт-Петербург, 2000 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Киев, 2001 г), Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2001 г), Международной конференции молодых ученых, специалистов и студентов «Геофизика-2001» (Новосибирск, 2001 г), Второй Уральской молодежной научной школе по геофизике (Пермь, 2001 г), Международной конференции «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (Екатеринбург, 2002 г), Третьей Уральской молодежной научной школе по геофизике (Екатеринбург, 2002 г), Четвертой Уральской молодежной научной школе по геофизике (Пермь, 2003 г), V Международной научно-практической геолого-геофизической конкурсе-конференции молодых ученых и специалистов «ГЕОФИЗИКА-2005» (Санкт-Петербург, 2005 г), XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования" (Абрау-Дюрсо, 2005 г).

Основное содержание изложено в 40 работах (из них 10 на английском языке), 9 выполнено лично автором.

Исследования по теме диссертации выполнены автором за период с 1994 по 2005 год в лаборатории математической геофизики Института геофизики УрО РАН под руководством заведующего лабораторией член-корреспондента РАН П.С. Мартышко. Соискатель выражает искреннюю признательность своему научному руководителю за постановку задачи, многочисленные научные консультации и ценные замечания в процессе работы над диссертацией, за корректное руководство и помощь в анализе материала.

Автор признателен своим коллегам - сотрудникам лаборатории математической геофизики И.Л. Пруткину, Н.В. Федоровой, А.Ф. Шестакову, К.В. Мусыгину, О.А. Касимовой, с которыми обсуждались результаты работы. Объем и структура работы

Глава

О РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ ПОСТОЯННЫМ ТОКОМ

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Уравнения обратных задач электромагнитных геофизических полей и алгоритмы их решения"

В настоящее время в геофизической разведке достаточно эффективно используются электрические и магнитные поля токов растекания, т.е. токов, создаваемых в земле с помощью заземленных электродов. Теория интерпретации этих данных активно разрабатывается, но проводимые исследования посвящены, как правило, решению прямых задач. Обратная задача в общем случае сводится к операторному уравнению 1 -го рода с неявно заданным оператором. Вместе с тем, для случая теоретической обратной задачи (ТОЗ), когда по заданному в явном виде аномальному электрическому потенциалу, требуется найти семейство тел с различной постоянной проводимостью, создающих в поле некоторого источника этот потенциал, П.С. Мартышко были получены явные операторные уравнения [67-69]. Отметим, что решение ТОЗ представляет интерес не только как реализация одного из этапов методов интерпретации [101, 166, 167], но и позволяет строить геологически содержательные эквиваленты различным классам сингулярных источников.

Цель настоящей главы - построить на основе явных операторных уравнений примеры решения ТОЗ метода заряда.

1.2 Постановка задачи

Пусть D - область из евклидова пространства R3 проводимости <т2 -находится в среде с проводимостью а, (сг,,<72 - const), W - электрический потенциал сторонних источников, помещенных в D; V, и V2 - внешний и внутренний потенциалы проводящего включения D. Как известно, потенциалы VX,V2 и W - гармонические функции, т.е. кроме того, на границе D - поверхности S - выполняются следующие соотношения:

Решение прямой задачи метода заряда сводится к нахождению потенциалов V, и V2 из условий (1.1 )-(1.3).

Обратная задача может быть сформулирована следующим образом: по заданной функции V, (V2), удовлетворяющей на границе искомой области условиям (1.1)-(1.3), найти эту область.

AV{ =0, AW = 0 в D', AV2 =0 в D+,

1.1)

1.2) dV2 dVx dW

1.3)

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Рублёв, Алексей Леонидович

Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

3. Создан комплекс программ для решения теоретической обратной задачи трехмерных электромагнитных полей.

Заключение.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Рублёв, Алексей Леонидович, Екатеринбург

1. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике // Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1947. № 1. С. 8-16; 1949. № 3. С. 43-50. Сер. геофиз. 1952. № 2. С. 1-18; 1954. № 1. С. 30-39.

2. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции // М.: Наука, 1984.

3. Бердичевский М.Н., Жданов М.С. Интерпретация аномалий переменного электромагнитного поля Земли. М.: Наука, 1981. 328 с.

4. Бердичевский М.Н., Жданов М.С. Анализ аномалий переменного электромагнитного поля на поверхности многослойной горизонтально-неоднородной Земли. // Геомагнетизм и аэрономия, 1975, т. XV, №2, с. 372374.

5. Бернштейн С.Н. Аналитическая природа решений дифференциальных уравнений эллиптического типа. Харьков: ХГУ, 1956. 95 с.

6. Билинский А.И., Жданов М.С., Шилова A.M. К методике интерпретации аномалий переменного электромагнитного поля Земли // Физико-механические поля в деформирующих средах. Киев: Наукова думка, 1978. С. 140-145.

7. Блох Ю.И., Гаранский Е.М., Доброхотова И.А. Низкочастотная индуктивная электроразведка при поисках и разведке магнетитовых руд. М.: Недра, 1986. 192 с.

8. Ваньян Jl.JI. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. 108 с.

9. Ватсон Г. Н. Теория Бесселевых функций. Часть I. // М.: ИЛ, 1949.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

11. Воскобойников Г.М. Интегральные преобразования и расположение особенностей логарифмического потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. № 1.С. 76-89.

12. Воскобойников Г. М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-неоднородных средах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. № 9. С. 63-75.

13. Воскобойников Г.М., Хачай О.А., Шестаков А.Ф. О методе особых точек для интерпретации электромагнитных геофизических полей // Электромагнитные зондирования. М.: ИЗМИР АН, 1984. С. 32-33.

14. Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Страхов В.Н. и др. Метод регуляризации А.Н. Тихонова в современной разведочной геофизике. // Изв. АН СССР Физика Земли, № 1,1977. С. 24-35.

15. Гласко В.Б., Старостенко В.И. Регуляризующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики. // Изв. АН СССР Физика Земли, № 3, 1976. С. 44-53.

16. Дмитриев В.И., Жданов М.С. Методы решения обратных задач геофизики. // в кн.: Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике. М.: Недра, 1982. С. 89-105.

17. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод расчета поля постоянного тока в неоднородных проводящих средах // Вычислительные методы и программирование: Сб. работ ВЦ МГУ. / Под ред. В.И. Дмитриева, А.С. Ильинского. М.: МГУ, 1973. С. 175-186.

18. Дмитриев В.И. Электромагнитные поля в неоднородных средах. М.: МГУ, 1969.

19. Дмитриев В.И., Фарзан Р.Х. Метод расчета аномального электромагнитного поля от локальной неоднородности. В сб. Математические модели электроразведки в геофизике. Будапешт. 1980.

20. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987. 167 с.

21. Дмитриев В.И., Позднякова Е.Е. Метод и алгоритм расчета электромагнитного поля в слоистой среде с локальной неоднородностью в произвольном слое. Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М. Из-во МГУ. 1990. С. 133-141.

22. Дьяконова А.Г. Особенности строения тектоносферы Уральского региона по электромагнитным данным // Физика Земли. 1994. № 6. С. 97-101.

23. Дьяконова А.Г., Шестаков А.Ф., Варданянц И.Л., Годнева Г.С. Результаты глубинного магнитотеллурического зондирования в Уральском регионе // Физика Земли. 1990. № 2. С. 73-84.

24. Дьяконова А.Г., Нургалиев Д.К., Астафьев П.Ф., Коноплин А.Д., Вишнев B.C. Особенности глубинной структуры Ново-Елховского и

25. Ромашкинского месторождений углеводородного сырья по данным геоэлектрики // ДАН. 2006. Т. 406. № 5. С. 1-3.

26. Жданов М.С. Разделение переменных электромагнитных полей Земли. // Изв. АН СССР Физика Земли, № 6, 1973. С. 43-54.

27. Жданов М.С. Об аналитическом продолжении трехмерных электромагнитных полей // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. № 4. С. 66-78.

28. Жданов М.С. Аналитическое продолжение двумерных электромагнитных полей // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 1. С. 54-65.

29. Жданов М.С. Вопросы теории интерпретации глубинных электромагнитных аномалий на основе методов аналитического продолжения // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 9. С. 59-73.

30. Жданов М.С., Варенцов И.М., Голубев Н.Г. Определение положения геоэлектрических неоднородностей методами аналитического продолжения переменных геомагнитных полей // Геология и геофизика. 1978. № 7. С. 54-63.

31. Жданов М.С. Продолжение нестационарных электромагнитных полей в задачах геоэлектрики // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1981. № 12. С. 60-69.

32. Жданов М.С., Френкель М.А. Метод электромагнитной миграции. М.: ИЗМИРАН, 1983.33 с.

33. Жданов М.С., Френкель М.А. Метод электромагнитной миграции при решении обратных задач в геоэлектрике // Докл. АН СССР. 1983. Т. 271. № 3. С. 589-594.

34. Жданов М.С., Френкель М.А. Метод миграции электромагнитных полей // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. № 4. С. 60-74.

35. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984. 326 с.

36. Жданов М. С. Электроразведка. М.: Недра, 1986. 316 с.

37. Заборовский А.И. Переменные электромагнитные поля в электроразведке. М.: МГУ, 1960. 186 с.

38. Заморев А.А. Решение обратной задачи потенциала // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32. №8. С. 546-547.

39. Захаров Е.В., Ильин И.В. Интегральные представления электромагнитных полей в неоднородной слоистой среде // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970. №8. С. 62-71.

40. Захаров Е.В., Ильин И.В. Метод расчета электромагнитных полей в плоскопараллельной слоистой среде с локальными неоднородностями // Вычислительные методы и программирование. М, 1971. С. 83-108.

41. Иванов В.К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полиа // Математический сборник. Новая серия. 1956. Т. 40 (82). № з. с. 319-338.

42. Иванов В.К. О распределении особенностей потенциала // Успехи матем. наук. 1956. Т. 11. Вып. 5(71).

43. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи теории потенциала// Докл. АН СССР. 1956. Т. 105. № 3. С. 400-412.

44. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде // Докл. АН СССР. 1956. Т. 106. № 4. С. 598-599.

45. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142. № 5. С. 997-1000.

46. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145. № 2. С. 270-272.

47. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. Новая серия. 1963. Т. 61. № 2. С. 211-223.

48. Иванов В.К., Танана В.П., Васин В.В. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 208 с.

49. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма 1 рода. // Диф. уравн., 1967, т. 3, № 3. С. 410-421.

50. Кормильцев В.В., Мезенцев А.Н. Электроразведка в поляризующихся средах. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. -128 с.

51. Кормильцев В.В., Ратушняк А.Н. Векторные интегральные уравнения для градиента потенциала геофизических полей // Российский геофизический журнал. 1995. №5-6, С. 4-10.

52. Кормильцев В.В., Ратушняк А.Н. Моделирование геофизических полей при помощи объемных векторных интегральных уравнений. Екатеринбург: УрО РАН, 1999.-88 с.

53. Корн, Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

54. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710 с.

55. Крылов В.И. Приближенные вычисления интегралов. М.: Физматгиз, 1959,380 с.

56. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. № 6. С. 53-60.

57. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР. 1956. Т. 106. № 3. С. 861-864.

58. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях 1 рода. // Докл. АН СССР, 1960, т. 133. С. 1102-1105.

59. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 92 с.

60. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М., 1960. 618 с.

61. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983. 296 с.

62. Мартышко П.С. Некоторые вопросы теории и алгоритмы решения задач метода искусственного подмагничивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1982. 32 с.

63. Мартышко П.С. Интегродифференциальные уравнения обратной задачи для магнитного поля токов растекания // Методы интерпретации и математического моделирования геофизических полей. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983.

64. Мартышко П.С. О решении прямой и обратной трехмерной задачи магниторазведки в параметрических классах // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1983. №3. С. 52-57.

65. Мартышко П.С. О решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1986. №1. С. 87-92.

66. Мартышко П.С. О решении обратной задачи для магнитного поля токов растекания. // Методы интерпретации и математическое моделирование геофизических полей. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С. 24-27.

67. Мартышко П.С. Интегродифференциальные уравнения обратных задач для переменных электромагнитных полей. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. №5. С. 55-62.

68. Мартышко П.С. Явные уравнения обратных задач для электромагнитных полей // Тез. докл. III Научно-технического совещания по Геотомографии. Свердловск: УрО АН СССР, 1991. С. 90-93.

69. Мартышко П.С. Уравнение обратной задачи для волнового электромагнитного поля // Теория и практика электромагнитных методовгеофизических исследований: Сб. науч. трудов. Екатеринбург: Наука УрО, 1992. С. 3-5.

70. Мартышко П.С. О решении обратной задачи метода заряда // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1993. №7. С. 67-68.

71. Мартышко П.С. О двухэтапных методах интерпретации данных электроразведки на постоянном токе // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1994. №9. С. 91-93.

72. Мартышко П.С. Об интерпретации электромагнитных данных // Геофизика. 1994. №4. С. 41-46

73. Мартышко П.С. Об определении границы трехмерного изолятора // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1995. №4. С. 32-33.

74. Мартышко П.С., Рублев A.JI. О решении объемной обратной задачи для уравнения Гельмгольца // Институт геофизики УрО РАН. Екатеринбург, 1996. Депонировано в ВИНИТИ 10.01.96.

75. Мартышко П.С., Рублев A.JI. Об одном алгоритме решения объемной обратной задачи метода заряда // Институт геофизики УрО РАН. Екатеринбург, 1996. Депонировано в ВИНИТИ 10.01.96.

76. Мартышко П.С. Обратные задачи электромагнитных геофизических полей. Екатеринбург: УрО РАН, 1996.144 с.

77. Мартышко П.С., Рублев A.JI. О решении объемной обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца // Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками. Санкт-Петербург, 1996. Тезисы докладов международной конференции. С. 20.

78. Мартышко П.С., Рублев A.JI. Об одном алгоритме решения трехмерной обратной задачи электроразведки // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Москва, ОИФЗ РАН, 1997. С 26.

79. Мартышко П.С. Об интегральных преобразованиях электромагнитных полей // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1997. №2. С. 69-70.

80. Мартышко П.С., Рублев А.Л. Алгоритм и примеры решения обратной задачи для векторного уравнения Гельмгольца // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Ухта. 1998 г.

81. Мартышко П.С., Рублев А.Л. О выборе носителя данных при решении обратной задачи для эл.-маг. поля // Теория и практика геоэлектрических исследований. Сб. науч. трудов. Екатеринбург: УрО РАН, 1998. С. 3-10.

82. Мартышко П.С., Рублев A.JI. О решении трехмерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца // Российский геофизический журнал. № 13 14, 1999 г. Санкт - Петербург, ВИРГ - Рудгеофизика. С. 98 - 101.

83. Мартышко П.С., Рублев А.Л. О решении теоретической обратной задачи для электромагнитного поля // Уральский геофизический вестник, № 1,2000. С. 79-82.

84. Мартышко П.С., Рублев A.JI. Алгоритм и примеры эквивалентных решений обратной задачи для электромагнитного поля // Электронный научно-информационный журнал "Вестник ОГГГГН РАН" № 1 (20)'2002.

85. Мартышко П.С., Рублев A.JI. О решении обратных задач для электромагнитных геофизических полей // XI Всероссийская школа-семинар "современные проблемы математического моделирования". Сборник трудов. Абрау-Дюрсо, 2-10 сентября 2005 г. С. 269-278.

86. Московская Л.Ф. Метод подобия в обратных задачах электроразведки // Геофизика. 2003. № 2, С. 46-51.

87. Московская Л.Ф. Статистическое оценивание результатов решения обратных задач электроразведки при использовании многопараметрических гладких моделей // Геофизика. 20056. № 9, С. 74-80.

88. Никонова Ф.И., Цирульский А.В. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. №5.

89. Пруткин И.Л., Цирульский А.В. О решении трехмерной обратной задачи магниторазведки // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. №6. С. 79-85.

90. Рокитянский И.И. Геофизические методы магнитовариационного зондирования и профилирования. Киев: Наукова думка, 1972. 226 с.

91. Рокитянский И.И. Исследование аномалий электропроводности методом магнитовариационного профилирования. Киев: Наукова думка, 1975. 280 с.

92. Рублев А.Л. Алгоритм решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей // Международная конференция молодых ученых и специалистов «Геофизика 99». Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 9-12 ноября 1999 г. С. 108-109.

93. Рублев А.Л. Примеры решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей с учетом границы раздела земля-воздух // Уральская молодежная научная школа по геофизике. Сборник докладов. Екатеринбург, 2000. С. 59-64.

94. Рублев А.Л. О решении обратной задачи для уравнения Гельмгольца с учетом рельефа границы земля-воздух // Третья Уральская молодежная научная школа по геофизике. Сборник докладов. Екатеринбург, УГГГА, 2529 марта 2002. С. 91-93.

95. Рублёв А.Л. Алгоритм и примеры решения трехмерной обратной задачи для электромагнитных геофизических полей // Четвертая Уральская молодежная научная школа по геофизике. Сборник докладов. Пермь: ГИ УрО РАН, 2003.

96. Светов Б.С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.: ИЗМИР АН, 1984. 183 с.

97. Светов Б.С. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки. М.: Недра, 1973. -254 с.

98. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. М.: Наука, 1988. 344 с.

99. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовича, И. Стигана. М.: Наука, 1979. 831 с.

100. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении электрических полей, применяемых в некоторых методах электроразведки постоянным током // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. № 3. С. 406-418.

101. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении электрических полей в проводящем полупространстве //Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. № 3.

102. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике. Ч. I-II // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. № 8. С. 30-54; № 9. С. 64-97.

103. Страхов В.Н. О методах приближенного решения линейных условно корректных задач // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196. № 1.

104. Страхов В.Н. Некоторые примеры эквивалентности и слабой единственности в плоской обратной задаче потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. № 5. С. 39-62.

105. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении трехмерных потенциальных полей, заданных по профилям, по формулам плоской задачи // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. № 6. С. 25-39.

106. Страхов В.Н., Валяшко Г.М. О проблеме выбора параметра регуляризации при решении линейных некорректных задач // Докл. АН СССР. 1976. Т. 228. № 1.С. 48-51.

107. Страхов В.Н. Физический смысл и прикладное значение сингулярных источников комплекснозначных масс и мультиполей // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1981. № 8. С. 62-91.

108. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Метод аналитического продолжения потенциальных полей // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1983.

109. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Регуляризованные конечно-разностные алгоритмы восстановления функций и их использование в геофизике // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. № 2. С. 63-83.

110. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. I // Геофизика. 1995. №3. С. 9-18.

111. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. II // Геофизика. 1995. №4. С. 10-20.

112. Страхов В.Н. Геофизика и математика // Изв. РАН. Физика Земли. 1995. №12. С. 4-23.

113. Страхов В.Н. Геофизика и математика. Методологические основы математической геофизики. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40с.

114. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 77с.

115. Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М.: Гостехиздат, 1948. 539с.

116. Сурнев В. Б. Некоторые перспективы интерпретации данных электромагнитных зондирований методами дифракционной томографии // Геология и геофизика. 1999. т.40. №1. С. 121-133.

117. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 34. № 5. С. 195-198.

118. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953.679с.

119. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении методов регуляризации в задачах геофизической интерпретации // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 1.С. 38-48.

120. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 286 с.

121. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Дмитриев В.И. Математические методы в разведке полезных ископаемых. Сер. Математика, кибернетика. № 12. М.: Знание, 1983.

122. Трошков Г.А., Шалаев С.В. Применение преобразования Фурье для решения обратной задачи гравиразведки и магниторазведки // Прикладная геофизика. 1961. Вып. 30. С. 162-178.

123. Трошков Г.А., Голубчин С.И., Грознова А.А. Аналитическое продолжение векторных пространственных геопотенциальных полей с криволинейной поверхности наблюдений // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1987. №9. С. 39-46.

124. Федорова Н.В., Цирульский А.В. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности в конечном виде // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1976. №10. С. 61-72.

125. Федорова Н.В., Цирульский А.В. Об обратной задаче для контактной поверхности // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978а. №3. С. 38-47.

126. Филатов В.В. Об одной задаче продолжения нестационарных электромагнитных полей // Геология и геофизика. 1978. № 7. С. 105-111.

127. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. Том II. М-Л.: ОНТИ, 1937. 998 с.

128. Хачай О.А. Математическое моделирование электромагнитного зондирования трехмерных неоднородных сред // Электромагнитные методыгеофизических исследований: Сб. науч. трудов. Свердловск: УрО АН СССР, 1988. С. 5-16.

129. Хачай О. А. Математическое моделирование площадного электромагнитного зондирования трехмерных неоднородных сред при индукционном и гальваническом типах возбуждения. Свердловск: УрО АНСССР, 1988. 32 с.

130. Хачай О. А., Цирульский А.В. К вопросу об интерпретации повысотных электромагнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Физика Земли.1988. № 12. С. 47-56.

131. Хачай О. А., Цирульский А.В. Об интерпретации повысотных трехмерных электромагнитных аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли.1989. №4. С. 68-72.

132. Хачай О.А. Об интерпретации двумерных переменных и трехмерных стационарных аномалий электромагнитного поля // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. № 10. С. 50-58.

133. Хачай О.А. О решении обратной задачи для трехмерных переменных электромагнитных аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. № 2. С. 55-59.

134. Хачай О.А. Об эквивалентности и единственности результатов интерпретации переменных двумерных и трехмерных полей Изв. АН СССР. Физика Земли. 1991. № 6. С. 65-72.

135. Хачай О.А. О трансформации повысотных электромагнитных аномалий с учетом рельефа границ // Геология и геофизика. 1997. №3. С. 693695.

136. Хачай О.А., Новгородова Е.Н., Влох Н.П., Липин Я.И. Трехмерные электромагнитные исследования строения и состояния массива горных пород // Горная геофизика. Материалы международной конференции. С.-Петербург, 1998. С. 591-598.

137. Хачай О.А., Новгородова Е.Н. Использование трехмерной методики индукционных электромагнитных исследований строения горных массивов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1999. № 6. С. 61-65.

138. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. // М.: Мир, 1975. 320 с.

139. Цирульский А.В. О некоторых свойствах комплексного логарифмического потенциала однородной области // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. № 7. С. 1072-1075.

140. Цирульский А.В., Сиротин М.И. К вопросу об аналитическом продолжении логарифмического потенциала // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1964. № 1.С. 105-109.

141. Цирульский А.В. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1964. № 11. С. 16931696.

142. Цирульский А.В. О единственности решения обратной задачи теории потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. № 6. С. 60-65.

143. Цирульский А.В., Никонова Ф.И. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 5. С. 37-46.

144. Цирульский А.В., Пруткин И.Л. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов потенциалов. // Изв. АН СССР, Физика Земли № 11,1981, ч. I, II. С. 45-61.

145. Цирульский А.В. Функции комплексного переменного в теории и методах потенциальных геофизических полей. // Свердловск: УрО АН СССР, 1990. 135 с.

146. Шалаев С.В. Определение проводящего тела в электроразведке // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1955. № 5. С. 468-474.

147. Шалаев С.В. Опыт вычисления потенциальной функции в нижней полуплоскости по ее значениям, замеренным на поверхности Земли // Докл. АН СССР. 1957. Т. 117. №3. С. 403-406.

148. Шалаев С.В. Применение в геофизике аналитического продолжения потенциальной функции в нижнюю полуплоскость // Ученые записки ЛГИ. Т. 36. Вып. 2. Л.: Углетехиздат, 1959. С. 131-151.

149. Шестаков А.Ф. Некоторые вопросы теории и результаты модельных исследований определения особых точек двумерного ЭМ поля // Геология и полезные ископаемые Урала. IX Урал, конф. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. С. 52-53.

150. Шестаков А.Ф. Метод особых точек для интерпретации двумерных электромагнитных полей, возбуждаемых в гармоническом режиме // Актуальные проблемы геофизики. Материалы IV Всес. конф. Москва, 1989. С. 177-190.

151. Шестаков А.Ф. О двумерном варианте метода особых точек для интерпретации монохроматических электромагнитных полей // Геология и полезные ископаемые Урала. Тез. докл. X Урал, конф. Свердловск, 1989. С. 4-5.

152. Шестаков А. Ф. Метод особых точек для интерпретации двумерных монохроматических электромагнитных полей // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. № 2. С. 60-72.

153. Шестаков А.Ф. Двумерный электромагнитный вариант метода особых точек для слоистых сред // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. №5. С. 62-69.

154. Шестаков А.Ф. Метод особых точек для интерпретации двумерных электромагнитных полей, возбуждаемых в гармоническом режиме // Электромагнитная индукция в верхней части Земной коры. / Под ред. Ф.М. Каменецкого, Б.С. Светова. М.: Наука, 1990. С. 91-92.

155. Шестаков А.Ф. О методе особых точек для интерпретации потенциальных и гармонических электромагнитных геофизических полей // Материалы Всероссийской конференции-выставки «Санкт-Петербург 95». -С.-Петербург, 1995.

156. Шестаков А. Ф. Об использовании специальных функций при решении прямых и обратных задач электроразведки на постоянном токе //

157. Геоэлектрические исследования контрастных по электропроводности сред. Сб. науч. труд. Екатеринбург: Наука Урал, отд., 1996. С. 28-36.

158. Шестаков А.Ф. Об аппроксимации трехмерных электромагнитных полей, возбуждаемых в гармоническом режиме, полями сингулярных источников. Екатеринбург: Ин-т геофизики УрО РАН, 1996. Деп. в ВИНИТИ 23.01.96. №253-В96. 11 с.

159. Шестаков А.Ф. Уравнения ТОЗ для монохроматического ЭМ поля с учетом границы раздела двух сред. // Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических методов. Доклады Российской конф.. Екатеринбург: Наука УрО, 1996. С. 65-68.

160. Шестаков А.Ф. Интегральные представления для решения граничных задач электромагнитного поля, возбуждаемого в гармоническом режиме //

161. Теория и практика геоэлектрических исследований. Сб. науч. трудов. Вып.2. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 23-34.

162. Шестаков А.Ф. Интегральные представления для монохроматического электромагнитного поля при индукционном возбуждении трехмерного проводящего объекта // Уральский геофизический вестник. Екатеринбург, 2003. №5. С. 98-105.

163. Электроразведка: справочник геофизика / Под ред. В. К. Хмелевского и В. М. Бондаренко. Книга 1. М.: Недра, 1989. 438 с.

164. Эпов М.И., Глинских В.Н. Электромагнитный каротаж: моделирование и инверсия. Новосибирск: Изд-во СО РАН, Филиал «Гео», 2005. 135 с.

165. Carleman Т. Les functions quasianalytiques. Paris, 1925. P. 3-6.

166. Donald E. Livesay, Kun-Mu Chen. Electromagnetic fields induced inside arbitrary shaped biological bodies // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 1974. Vol. MTT-22,No 12. P. 1273-1280.

167. Hohmann G.W. Three-dimentional induced polarization and electromagnetic modelling // Geophysics, april 1975. Vol. 40, No2. P. 309-324.

168. Martyshko P.S., Rublev A.L. On inverse problem in charge method // «Annals Geophysicae» Supplement 1 to Volume 14. General Assembly. EGS 96.

169. Martyshko P.S., Rublev A.L. On 3-D nonlinear electromagnetic inverse problem // European Geophysical Society «Annals Geophysicae» Supplement 1 to Volume 15. (General Assembly of the EGS in Vienna, 21-27 April 1997).

170. Martyshko P.S., Rublev A.L. On 3-D nonlinear electromagnetic inverse problem // EAGE 59th Conference, Geneva Switzerland Extended Abstracts, Volume 1. (59th EAGE Conference & Technical exhibition, 26-30 May 1997).

171. Martyshko P.S., Rublev A.L. On 3-D nonlinear inverse problem // 8th Scientific Assembly of IAGA, Uppsala, Sweden. (Abstracts of the reports, 8-12 August 1997).

172. Martyshko P.S., Rublev A.L. 3-D Airborn Electromagnetic and Magnetic Data Integral Inversion // "Electromagnetic Induction in the Earth", Books of Abstract, Romania, 1998.

173. Martyshko P.S., Rublev A.L. Algorithm and Numerical Examples 3D Electromagnetic Inverse Problem // EAGE 61st Conference, Helsinki Finland. Extended Abstract Book. June 1999.

174. Martyshko P.S., Rublev A.L. Theoretical inverse problem for 3D electromagnetic field // Three-dimensional electromagnetics, Geoph. Developments series, v.7. SEG, Tulsa, USA. 1999.

175. Martyshko P.S., Rublev A.L. Algorithm and numerical examples of 3D electromagnetic inverse problem // Second International Symposium on 3D Electromagnetics, Salt Lake City, USA, 1999. P. 158-161.

176. Martyshko P.S., Rublev A.L. New method for 3-d electromagnetic inversion based on analytical approximation //15th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth. Cabo Frio, Brazil. August 19-26, 2000.

177. Martyshko P.S., Rublev A.L. 3-d electromagnetic and magnetic data integral inversion // Международная конференция «Проблемы геокосмоса». Санкт-Петербург. 22-26 мая 2000 г. С. 16-17.

178. Martyshko P.S., Roublev A.L. On 3D Electromagnetic Inverse Problem in the Case of Arbitrary Relief // EAGE Abstracts. RAI, Amsterdam, the Netherlands. 11-15 June 2001. P 147.

179. Milan Hvozdara, Kaikonnen P., Varentsov I.M. Algorithm for solving 3-D Problem of EM induction by means of a vector integral equation // Studia Geoph. et Geod., 1987. v.31. P. 369-385.

180. Roy A. Continuations of electromagnetic fields III Geophysics. 1968. V.33. No 5. P. 834-837.

181. Roy A. Continuations of electromagnetic fields II // Geophysics. 1969. V.34. No 4. P. 572-583.

182. Wannamaker P.E., Hohmann G.W. and Sanfilipo W.A. Electromagnetic modeling of tree-dimensional bodies in layered earths using integral equations // Geophysics. 1984. V.49. No 1. P. 60-74.

183. Weidelt P. Electromagnetic induction in three-dimentional structures // Geophysics. 1975. V.41. P. 85-109.

184. Zonghou Xiong, Art Raiche, Fred Sugeng. A new integral equation formulation for electromagnetic modelling // International Symposium on Three-Dimentional Electromagnetics / Shlumberger Doll Research. -Ridgefield, Connecticut, USA, 1995. P. 93-102.

185. Zhdanov M.S., Varentsov Iv.M., Bilinsky A.I. Formalized 2D interpretation of the induction anomaly in the Carpathians // Acta Geod., Geophys. Et Montanist. -Hung., 1983. V.18. No 1-2. P. 165-171.

Информация о работе

Рублёв, Алексей Леонидович
кандидата физико-математических наук
Екатеринбург, 2006
ВАК 25.00.10

Диссертация

Уравнения обратных задач электромагнитных геофизических полей и алгоритмы их решения - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы