Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Математическая теория и алгоритмы решения прямых и обратных задач электромагнитных геофизических полей

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Математическая теория и алгоритмы решения прямых и обратных задач электромагнитных геофизических полей"

МИНИСТЕРСТВО НА УХИ. ЕЫС2ЕЯ ПЗСОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ^ФВСКА© {^ДАРСТВЕННАЯ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНАЯ АКАДЕМИЯ ,, .. ...... у ¿/имели Серго ОРДЖОНИКИДЗЕ

На правах рукописи

Ш 550.838+550.837

Мартыэко Петр Сергеевич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Специальность 04.00.12 - Геофизические методы поискоз и разведки месторождения' полезных ископаемых

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора, физико-математических наук

Москва - 1993

Работа заполнена в Институте геофизики Уральского отделения Российской Академии Kay к.

Официальные оппоненты:

академик РАН. доктор физико-математических наук СТРАХОВ З.Н. доктор технических наук СЕЕТОБ B.C.

член-корреспондент АЕН, доктор технических наук БЕРДИЧЕВСШ М.Н

Ведущее предприятие - КПГП "Нефтегеофизика" Госкомитета по геологии и использование кедр Российской Федерации.

Запита состоится 1SS3 года

в__ часоз на заседании Специализированного Coserá Ü.0S3.55.03

при Ыхковской государственной геологоразведочной академии юс. Серго Орджоникидзе по адресу:

117-485, Москза, ул. Миклухо-Маклая, 23, ауд. Е-38.

С диссертацией жйкно ознакомиться з библиотеке акадеии:.

Автореферат разослан " __1S23 г.

Учений секретарь Специализированного Совета,

профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время зяектрохагнитные истоды широко используются для изучения глубинного строения Зелли. лри поиске и разведке месторождения полезных исколаехых. выявления зон приповерхностных нарушения, реаенми экологических задач.

Завершавши этапом геофизических работ является процесс истолкования данных измерений. полученных при использовании того или иного хетода.

Одна из проблек. возникающая при истолковании реальных геофизических полей, состоит з -повышении разрезающей способности методов интерпретации- Разработка зффггаязнсЯ натехаткчегг;а теории ЗЕКггдрпретгции геофизических зека я основанных на зяз; гзорки ¿гптздгз жжет способствовать регеккю данной дроблены я зязтону какгзта-Г22И0Й задачей.

Значительные результаты по мсследаззЕг» зафосоз. звггйа-гакх при репения задач теорул здекгроиагнЕЗЕк гзофизичвстх пс-геа получены М-Н.5ердичевсхим. З.И.Люггркевши М.С.Ядансзых. 3-Н.Страховых, В-С.Световым и дзулжи ученики.

Зкесте с тем необходимы на явз взгляд дальнейшие исследования по теории интерпретации данных зтях методов, так'лак прсводж-яые исследования посвящены, как х^гзидг. регени» прямых задаа-

С хагекгтескоя точки зренхя зешикахдие при зтох проблеш золятся к ребенка -обратных -задач матехатичесгоЯ физики.' которые скосятся х классу некорректно доставленных-, существенно таоаняет процесс геологического истолковании гвЕкзхышх лада и зхсаденкя параметров источников. Основы сб^пя тесриии я езгзгя некорректно поставленных задач были разргйгз^а

А.Н.Тихоновым , В.К.Ивановы* . Ы .«.Лаврентьевым , применительно к задачам геофизики разработке методов регуляризации посвящены работы В.Н.Страхова, В.Б.Гласко и др.

Отметим, что (как это следует из результатов по теории эквивалентности) однозначно решить обратную задачу, то есть определить аномалиеобразувдий объект и его физические параметры (плотность, магнитную восприимчивость, электропроводность) при интерпретации полей естественной природы в принципе невозможно без привлечения дополнительной геологической информации. Именно с этих позиция весьма привлекательны электромагнитные методы исследования, при использовании которых имеется принципиальная возможность однозначно реаить обратнуо задачу, интерпретируя данные наблюдения при нескольких (например, двух - в методе искусственного подмагничивания) положениях источника возбуждавшего поля, то есть используя только геофизическую информацию.

Сусественкый прогрегс при исследовании принципиальных теоре-. ткческих проблем к разработке алгоритмов интерпретации профильных данных гравимагнктометрии был достигнут с использованием аппарата теории функций комплексного переменного (ТФКЛ): исследованы аналитические свойства реиений прямых двухмерных задач гравкмагкпто-метрии, получено уравнение теоретической сбраткзй задачи, выделены классы сингулярных источников, для потенпиалсв которых теоретическая обратная'задача разрегиха в конечном, виде, разработаны на этой основе дзухэтапные методы интерпретации, хорош зарско-мендовавсиз себя на ряде практических примеров. Этот идейный подход позволил А.В.Цирудьскому провести исследования о единственности реаения обратной задачи метода искусственного подмагничивания. В.Н.Страхозу рассмотреть вопросы существования эквивалентных

>

семейств резений обратной задачи МИП без учета размагничивания.

■ Однако уже 8 двунернок случае построить аналогичные методы интерпретации для задач электроразведки не удавалось. Одной из причин этого являлось то обстоятельство, что ке были получены явные уравнения обратной задачи электроразведки. Из сказанного, по нашему мнении, следует необходимость дальнейших теоретических исследований и разработки эффективных алгоритмов ревения прямых и обратных задач электромагнитных геофизических полей.

Цель работы состоит в исследовании принципиальных Еопроссв теории интерпретации электрических и магнитных геофизических полей. определении условия, при которых возможно получить явные уравнения обратных задач, вывод этих уравнений и разработка на этой основе методоз ревения обратных задач.

Задицземые положения:

1. Резение прямых задач электроразведки, магниторазведки и МИП с учетом размагничивания может осуществляться с использованием интегрального уравнения относительно плотности двойного стая, для которого доказаны теорехы. гарантируювде сходимость метода последовательных приближения при всех физически содержательных значениях параметра.

2. Теоретические обратные задачи для электромагнитных полей сведены к явным (интегродифференциальнын) уравнениям, при решении которых можно построить эквивалентные семейства репений обратной задачи.

3. Интерпретация данных электро-магкиторазведки ыоает эффективно осуществляться двухэтагашхи методами: на первом этапе производится подбор наблюденных данных поляки сингулярных источников, на втором - строится эквивалентное семейство ревений теоре-

е

тической обратной задачи. Построены перзые примеры трхмеркых эквивалентов.

4. Применение двухэтапных методов интерпретации позволяет при комплексировании данных электро-магнитных методов эффективно определять физические параметры и границу аномального объекта.

ручная новизна проведенных, исследований состоит в следующем:

1) доказано.что обратная задача МИП с учетом размагничивания для достаточно широкого, с практической точки зрения, класса комплексных напряженностей сводится к системе нелинейных уравнений, а без учета размагничивания - разрешима в конечном виде;

2) показана принципиальная возможность в двух- и в трехмерной случае выделения единственного решения обратной задачи при комплексирозании наблюдений в земном поле и в поле точечного источника или при двух положениях источника индуцирующего поля;

3) доказала слабая единственность решения обратной задачи в методе Бя-зариания;

4) разработан способ вывода явных уравнения теоретических обратных задач электроразведки на постоянном токе с использованием интегральных представлений полевых функций через их граничные значения для скалярного (электрического) и векторного (магнитного) полея;

5) впервые получены явные интегродифференциальные уравнения теоретической обратной задачи электроразведки на постоянном токе, разработаны алгоритмы их реиения. с использованием которых построены первые примеры «-эквивалентных семейств реаекий ТОЗ электроразведки;

6) для реаения ТОЗ метода заряда по измерениям внутреннего и

внешнего электрического потенциалов проводящего включения получены интегральное и интегродифференциальное уравнения, совместное решение этих уравнения поззоляет определять границу и проводимость искомого объекта:

7) На основе интегралов Стреттока-Чу впервые получены интег-родифференциальные уравнения теоретических обратных задач для полей, удовлетворяли»!* уравнениям Гельмгольца. диффузии, волновому. телеграфному. т.е. рассмотрены случаи, охватывавшие практически все электромагнитные методы геофизических исследований.

Практическая ценность проведенных исследований состоит в том. что на их основе разработаны алгоритмы решения прямых и обратных двух- и трехмерных задач МИП и электроразведки на постоянном токе, позволявшие выделить единственное резение обратной задачи. Созданы теоретические предпосылки для разработки двух-этапных методов интерпретации электромагнитных полей.

Реализация работы. Разработанные алгоритмы использовались в Челябинской геологоразведочной экспедиции, ПГО Красиоярскгеоло-гия, НПО Рудгеофизика. Результаты научных исследований автора использовались в учебном процессе в Уральском государственном университете, Ленинградском горном институте,где еоели в учебное пособие.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на II и III Всесовзной пколе-семинаре "Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" (Тбилиси-1 эта, Ялта-1980). п-и Уральской конференции Теология и полезные ископаемые Урала" (1978. 81, 84 . 88). Всесоюзном семинаре им.Успенского 'Теория к методика интерпретации гравимагнитных полей" (¡Сиев-80, Пермь-82. Москва-85. Алма-Ата-89, Москва-92).

' Всесс1;з:ох семкнарс "Индукционная электроразведка-89" (Слазское). ' Международном семинаре "Вопрос« теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" Шосква-93). на конференциях "Применение математических методов и ЭВМ при обработке информации на геологоразведочных работах" (Сзердловск-85. Челябинск-89). на семинарах Челябинской геологоразведочной экспедиции, геофизического отдела ПГО ¡Срасноярскгео-логия. отдедоз элеетрораззедки ВИРГ НПО "Рудгеофизика" и ' "ВНИИГеофизики". Алгоритмы и программы внедрены в указанных выие 'производственных организациях и в ВИРГе.

Публикации- По теме реферируемой работы опубликована одна монография, а такав 26 статей и тезисов докладов.

Объем лзботы. Работа состоит из введения. 4 глав и заключения. Содержит 140 страниц текста. 24 рисунка и список литературы из 130 наименования.

Работа выполнена в лаборатории математической геофизики Института геофизики УрО РАН. К коему глубокому прискорбию Александр Вениаминович Цирульский - ученый, который привел меня в науку к под чьим руководство* я получил первые научные результаты, безвременно скончался а 1990 году. Благодарная память об Учителе, а также об основателе лаборатории - Георгии Митрофановиче Воскобой-нихове - навсегда сохранится в коек сердце.

Написание работы стало возможным благодаря огромной моральной и организационной поддержке академика Владимира Николаевича Страхова. Автор искренне-благодарит В.Н. Страхова.

Автор признателен своим коллегам - сотрудникам лаборатории математической геофизики . И.Л-Пруткину, Ф-И.Никоновоя. А.Ф.Шесгакову, Н.В ••Федоровой, с которыми обсуждались результаты

работы, а также Д.З.Бахтереву. оказавшему 'значительнух) покогь з оформлении работы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

1. ДВУХМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТОРАЗВЕДКИ. МЕТОДА ИСКУССТВЕННОГО ПОДМАШЧКВАНИЯ И ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ НА ПОСТОЯННОМ ТОКЕ.

1.1. Напомним, что задачи МИП. магниторазведки с учетом размагничивания и электроразведки на постоянном токе матехатически эквивалентны. Поэтому результата, полученные при исследовании, например, задач .\5Ш. ихгят универсальная характер (з указаннох высе схысле).

Математически прлхке задачи МИП Формулируется следуюцим сбрагох. Пусть область З^к* с границей «О, которая есть регулярная аналитическая крнвгл I. (класс таких сбластся обозначим через в^), заполнена вецествск с постоянной хагнитноя проницаемостью •л находится з среде с иагиктнеа проницаехостьп м,. Пусть *-хагнитнкя потенциал яядуциругсего поля. У.-внсакг.я. ^-внутренний потенциалы области 2. наведенные в поле к. Тогда нахоздениз потенциалов Vй V, з постановках 1 (с учетох размагничивания) и 2 (без учета ра:-аагничиванип) сводится к ревених) •следусгих граничных задач (соответственно)

v «v.

. .. ч

лу ¿7 еш I

(1)

ЛУк=0 (кИ.2),

04, ¿V еЩ

- = -Ап» — т вп та

1.2. Перейдем к комплексных координатам г=х+1у. а=х-1у, -рассмотрим функции комплексного переменного

а?. ¿V

Ц, (2) = - 1 (—1 - 1—1), п су

«V «V

ц^в) = - I (—1 - (3)

5 «I . «у «Я «И

4.(2) •= - у (--1—),

п ех #3

Из (3) следует аналитичность функций и (а) в Я". иг(а) и и. (г) в крохе того 11л Га*и. (аЛ^ынт.

1« 1-х»1-

А.В.Цкрульским было показано, что задачи (1) и доводятся к следующим задачах линейного сопряжения аналитических функций и,(а) И и,(а):

■ -и,(С)+и>(С>• - [и,(С>-и, (С уг (С)]. (5)

1

где (С ) - производная правой части уравнения кривой 1. в комплексных координатах.

х «

Из (5) мокло сразу получить представление и4(в) интегралом

1 КОЕЙ

# ч 2п* г и,(С) Г*(С)

¿П1 ■» 3

г.

Репение :граевой задачи (4) для произвольной М)г нз удается 'чить з замкнутой форме. В работе предложено искать решение (4) в виде интеграла типа

I

1 г*(С>

и(а) = — -ас. (7)

2п1 1

»(О - плотность интеграла - удовлетворяет на кризе Л Ь усло-Гельдера с показателем а, 0<а<1. Обозначая через АФ сингуляр-оператор

1 гф<С>

аф =» _ —1. а;. (8)

п1 -I С-з

гитавая. что на Ь (по формулам Сохоцкого-Племеляи+=

(-^АЧ)/2. Ф=и+-и". АГ=и++и~, получим из (4; следугкее скнгу-

:'.ое уравнение для нахождения искомой плотности интеграла типа'

л методом последовательных приближения

г<С„) -—-

+ А*(С)> + Р(С„). (9)

¿А

зрее бивалентно краевой задаче (4).

Метод решения граничной задачи» (9) в однородном хапмтном з и в поле точечного источника численно реализован,

1.4. Назовем теоретической обратной задачей МИЛ гктрсразведки) с учетом размагнг.т/.ваюЕ.сго эффекта сдсдусщу» ачу: задана в явном виде гармоническая в верхней полуплоскости: 1кция V, (х,у) и связанная с ней соотнесением (3) аналитическая

в верхней полуплоскости функция u (z), причем lim z*u (z) = С = const.

I ■ _ * о

Требуется найти эквивалентное семейство областей с постояни магнитной восприимчивостью, на границах которых u^z) удавлен ряет условию (4) (или (5).

Пусть функция z(t) реализует конформное отображение едини ного круга Т с границей Г на область D.

Введем функцию z"(t)=z(i/t). аналитическую в Т~; на z*(t)=z(t). функцию B(t) хожно рассматривать так подлежала опр делению при регении ТОЗ, ее. нахождение означает фактическое эффективное нахождение области D.

А.А.Чудиновой было получено следующее интегральное уравнен обратной задачи 1 относительно z(t):

X f TZ'(T)u (z(r))

- -î- ÛT =

2nl J т-t

г

1 fï.WrJte'tr) . u,<z(t))z-4t)

CJT _ -. (1(

2nl J T(T-t) t

г

В случае. когда размагничквашдим эффектом можно пренебречь вместо (10) имеем

X г и (Z(T))Z'(T) u (z(t))zf(t)

:— Г - йт = 2ns -2---

2лi J т-t t2 j

(1:

t'

3 однородном внешнем яолз ив=Н0 приходим к магнитному англе ГУ интегрального уравнения В.К.Иванова. На основе уравнения Ивг нова А-З.ЦирулъсгКК -л Ф.И.Нккокозой были зыделены классы кокглек сных напрякенностей, для которых ТОЗ разрешима в конечном виде Как ими было показано, такие классы напряженности удобно исполь

зовать при аппроксимации наблюденного поля, поскольку обратная задача может быть репена для них весьма эффективно и быстро. Пусть в случае магнитного поля 4,(2) имеет вид

Для и,(г) вида (12) доказана разрешимость уравнения (11). т.е. ТОЗ, в конечном виде, а уравнение (Ю) сведено к системе трансцендентных уравнения для построения эквивалентного семейства решения ТОЗ. ~

На основе этих результатов разработан алгоритм решения двумерной обратной задачи, опробование которого на ряде примеров дало удовлетворительные результаты. С использованием этого алгоритма удалось на примерах показать возможность практического нахождения единственного решения обратной задачи при комплексирова-нии данных магниторазведки и МИЛ или данных при двух положениях источника индуцирующего поля.

1.5. Понятие слабой единственности для ТОЗ было введено В.Н.Страховым: для класса областей с постоянной *. граница которых описывается известным уравнением с неопределенными коэффици-гнтами. имеет место слабая единственность решения обратной задали. если по заданному внешнему полю однозначно определяются, коэффициенты и магнитная восприимчивость

В работе показано, что в "косок" поле эллипсы являются игассом слабой единственности ТОЗ- (Этот факт другим способом был гстановлен и. И-Б лохом )3 доказана единственность решения обратной адачи метода Sq-sapиaций.

2. ЭФФЕКТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ТРЕХМЕР-

N

НЫХ ЗАДАЧ МАГНИТОРАЗЕЕШ С УЧЕТОМ РАЗМАГНИЧИВАНИЯ.

2.1. КлассичесхиЯ метод реаеиия пряхой трехмерной задачи магниторазведки с учетом размагничивания заключается в сведении задачи <1 > к интегральному уравненио второго рода относительно намагниченности тела или искомой плотности простого или двойного слоя, резагяуос задачу (1 )•

Первый подход предпочтительнее для ходелировайия полей от сложных объекте?,:, несколько тел с различными значения магнитной восприимчивости, разрез с кусочно-непрерывным изменением Этот подход был реализован в работах А.Фогеля. П.Иармы. В.З.Соболева к В.Т.Еелоголова и других исследователей. И.Блох на основе численного решения интегрального уравнения для намагниченности разработал эффективный аппарат решения прямых задач магниторазведки к низкочастотной индуктивной электроразведки, пригодный для изучения однородных и неоднородных, изотропных и анизотропных магнитных геологических объектов.

Второй подход позволяет реализовать алгоритмы решения прямых задач з параметрических классах, на'основе которых мезгно разработать методы резения обратных.

Ео втором случае, когда регение ищется в Биде двойного слоя с подлежащей определенно плотностью с (И), имеем следующее уравнение относительно д(И)

о(Н) - — X ш.ажохЕ = - — жи). (13)

2я а 2я

Гдз

И.ОеБ. К(И.0);15-(Р'") С5=с!м, Р

р - радиус-вектор точки С относительно точки В, п - р^таучича

Еехтор внеснея ¡юркали к поверхности S в точке Q, йи - телесный угол, под которых'из точки М виден элемент поверхности dSq.

и- .

Замечание 1. 3 предположении, что S-поверхность Ляпунова, доказано, что уравнение (13) является уравиениех со слабой особенность» и для него справедлива теория Фредголъма.

Замечание 2. Замкнутый дзойной слой постоянной плотности создает нулегой внепий и постоянный внутренний потенциалы и, следовательно, не вносит вклад з напряженность поля, поэтому б(М) моп:но находить с точность» до аддитивной постоянной.

Отмётим некоторые свойства уравнения (13). Наименьаим по модула собственных значением интегрального оператора уравнения (13) является Собственному значению vl соответствует единственная собственная функция pt - независимо от формы поверхности S. юх есть const (это обстоятельство важно для дальнейшего).

Численное резенис уравнения (13) затрудняет то обстоятельство ,что у=1 является собственных значением уравнения (13), в связи с чех метод последовательных приближений для этого уравнения при у=1 расходится, а при v. близких к 1. сходится медленно, причем проявляется плохая устойчивость реиения к малый погрешностям вычислений. 3 связи с: этих возникает задача разработки алгоритма решения интегрального уравнения с несимметричных ядром з окрестности первого собственного значения. Для этого нузхко выделить из •ресения слагаемое, содержащее совокупность соответстзухэцих этому значении собственных функций и распорядиться им в соответствии с требованиями реиаекой задачи (по Г.М.Боскобойникову).

3 силу сделанных замечаний, уравнения (13) и уравнение

(И-ДМаергокз)

б(М) - — X 6(0) Гк(И.С) - 1 = = - — «<М> сш

2п п I 1Э1 •» 2п

эквивалентны в смысле регеикк прямой задачи С1),ссответствУваке теоремы доказаны в работе (аналоги теорем Г.М-.ВоскобоЯнихова для уравнения с более сложным ядром).

Алгоритм реяения уравнения (14) был программно реализован в классе звездных те.-.На его основе удалось лостроитьприближенный метод реаекия обратной трехмерной задг.чи (с использованием нелинейного программирования) "квазиэквш^дентным эллипсоидом". Метод был успеано опрсбозан на практических пр;:мерах, показано влияние размагничивания на результаты реиения обратной задачи, эффективно определены единственные реиения комплексной обратной задачи наг-кУлоразЕедки.

3. ШЕШКЧЕСКАЯ ТЕОРИ И АЛГОРИТМЫ РЕИЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ 05-РЛТ;:Ж ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ на постоянном токе.

' 3.1. Интерпретация данных электроразведки связана с значительными трудностями, в обаем случае прямая задача не может быть решена в явном виде, поэтому' обратная сводится к операторному ' уравнению 1-го рода с неявно заданным оператором. Нами разработан алгоритм реиения аналогичного уравнения - для задач метода искусственного подмагнкчивания. которые мгтематичеам эквивалентны задачам электроразведки на постоянном токе. - одним из методов нелинейного программирования на основе параметризованного решения прямой задачи. Алгоритм, однако, требует значительных затрат машинного времени, так как на каждом шаге минимизации необходимо многократно резать интегральное уравнение, и поэтому реализован

1Т

только для ю.исса эллипсоидов. 3 связи с этих интересно псгучить для резения обратной задачи электроразведки уравнения с явно заданным оператором. Сказывается, что для' теоретической обратной задачи (ТОЗ) электроразведкикогда по заданному в явно)! виде аномальному электрическому потенциалу требуотся найти семейство тел с различной проводимостью. созда&дих в поле некоторого источника этот потенциал, такое уравнение можно получить. Отмет;:;:, что рекение ТОЗ представляет интерес не' только как реализация одного из этапов л .ухэташшх методов интерпретации . но и дает возможность строить геологически содержательные эквиваленты различны)! классах сингулярных источников.

3.2. Пусть И-односвязная область из евклидова пространства Г!1 проводимости бг - находится в среде с проводимостью б,. в'-электричес.:ий потенциал сторонних источников при отсутствии включения (возбуждающий потенциал). У2. ^ - внутренний и внеа:-.:й потенциалы проводящего включения i). Потенциал:: V . v/ - гармонические функции, т-е.

ду,=0 в луг-0 и м=0 в б. (15)

Кроме того, на границе В поверхности 5 - выполняются следующие соотношения

. V, = V, . (15)

¿V л/ «Я»

б, — ~ бг — = Ч"6»' — • (17)

1 *п ад

Решение прямой задачи электроразведки (для электрического поля) сводится к нахождению потенциалов V, к Уг из условий 05)-(17). Обратная задача может быть сформулирована следующий образом: по заданной V, удовлетворяющей на границе искомой области условиям (15)-(1?). найти эту область. Аналогичные задачи (с за-

меной электрических потенциалов на магнитные) возникают при интерпретации данных котода искусственного подмагничивсккя.-

Напомним, что обратную задачу будем называть теоретической, если задан в явном виде (ситуация, возникающая, например, после подбора наблюденных данных потенциалах;' сингулярных источников).

Для функций Уг, справедливы представления

1 г 4 «и 1 (р„), р„ск3\5

— X Г V?) --1- { сБ = \ * ° ° (18)

4п _ 1 ад ад г ■» О, Р„еВ

1 Г «7 1 . ,

— I — - - Уг<?) — 1 ЙЬ = 4п в ал г ад •>

г ° ° (13)

О, Р

О

где п - выселяя нормаль к Б: Р(х,у.а)<£; Роио.У0.20)=?0:

Г=/ (х-го)-+ с-у0 )*+(2-й0 )г.

Из условий (18). (19) с учетом (15) следует возможность представления:

<го)

_1 Г *7*с?) <?) 1 [ у»<*«>>. ^

4я , ад ад -I г " | 71(РС). Рй«ш Кз (17) легко получить

. (21) '

ад ад - б2 1 ад ад 1

+ . (22) ад ад 1 ад ад >

Подставляя (22) в (20). имеем-

V (Р ) ---1—^ / Г-+ —г-] — =

1 ° 4я б : 1 ад ад J г

1 б -б Г

---!__! г Г щ?) + V (Р) I ¿Б , (23)

4л б, в 1 1 с»П

ткуда з силу (15) получаем

7 (Р ) = — Г (И+У.) ^ сБ. (24)

10 4п б, , 1 «>п

Соотношение (24) можно рассматривать как уравнение для опре-(еления границы 5. Подставляя (21) в (20). получаем

- ~ — I [--+ ~-] - • (25)

4п я П Г

ткуда

1 р.-у- , Ш ¿7 1

Н = егай 7=--:—1 / Г — + | - сЗБ (25)

в п г

• интегральное уравнения обратной задача МИП.

Случая ва=а> (идеальный проводник). Этот случая представляет

[нтерес как предельный, поскольку при е2=«> инеем минимальную сб-

:асть из эквивалентного семейства тел. создаяаих при различных

шченхях проводимости един и тот же потенциал. При этом из (17)

:олучаем

а7 . аЩ .

— = - — . (27)

ЯП 'а «в

Тогда из (15) и (27) следует

. Ч± = - w + сопзг, ••е. в силу (15) получаем

С^+Эт) \а = ант. . (28)

Соотношение (28) можно рассматривать как уравнение для определения поверхности идеального проводника (которая является по-¡ерхностыо уровня для суммарного потенциала и=7,+Я). т.е. как

уравнение ТОЗ.

Заметим, что вид уравнений ТОЗ не измените."., если вместо одной области D рассматривать задачу для совокупности областей. При этом интегрирование будет выполняться по всем границам.

3.3. Автором были разработаны алгоритмы решения уравнений (24). (23) в классе звзздкых тел.

Этот класс достаточно широк (с практической точки зрения). Построим с центром в точке ззездности. сферическую систему координат. Выполняя в (24) и £23) сферическую замену переменны--:, получаем

я 2ГС - - -

1 6,-6, г г (Г°~р,И)

V,(Р„) ---— U(p(9.p).e.f) , , (15 б? .

. . 4в Л :; ir°-Pi9

. {Z.y.s}, if = 1р0<рр], (23)

и (р(е,р).б,р) = const,

т.е.

U(p(e.p),9.p) = V(p(e0,f 0),е0*??0) (30)

к • к к к

(выбор точки О0,р0) произволен), где.р(5,р) - правая ч-зсть уравнения поверхности тела р=р(5,р) в сферических координатах.

Соотношения (29) и (30) .чойщо рассматривать как интегродиф-ференциальное и функциональное уравнения относительно функции

pie.p). •

Правая часть уравнения поверхности тела D хо:-::ст быть представлена двойных рядом Фурье

со ей

-00 -СП

Поэтому будем разыскивать решения уравнений (29), (30) в виде отрезка двойного ряда Фурье

££ h,*** (32)

к«-n j■-m

нинимизкруя соответственно, следующие функционалы

м

uh -2 ^(х.^.яЫЛ-Сх.у,.^))1. (33)

ч

g(y) - 2 { иЭ^) .е, ,Pj(в оо> .е» .p 0). (34)

где точки fx^.V принадлежат носителя информации, выбор зсото-рого в случае теоретической обратной задачи з наисм распоряжении, г - лектор коэффициентов функции р^О.р). по который осудестзля-ется минимизация. V"™ - правая часть (3.29) с заменой р на pnm.

Функция рО.р). задавдая границу односвязной трехмерной области. дол:::на обладать следугцим свойством

p(0,pj=con3t. p(n,p)=con3t. (35)

Из условий (3.21) следуют соотнесения для коэффициентов pmn:

2 ^ = = к к

1

Jel-а.п], k,kte[-n,n]. ):=21 .±3....; (36)

Таким сбразом. необходимо искать нмшхун функционалов i. с при ограничениях типа равенств- Поэтому практичсск;: i; функционалы

Г и ;; добавлялся функционал

■ 1 . k " ■

, Pj - птрафные коэффициенты. Регуляризация уравнения (29) осуцест-: влялась, так же как в работе А.В.Цируяьского и ИЛ.Пруткина, с-похоаьо аналога сглаживавшего тихоновского регуляризатора 1-го порядка

п яп " ~ .

Шр) - / X •UfJ&l'+IPpl'WMp> Y. L «^»»«Ч/ <37>

О О к*-л J«-л*

Таким образом при решении уравнения (29) минимизируется функционал

1 + 144ОЙ. (38)

где параметр регуляризации а-определяется по невязке.

При решении уравнения (30) в качестве нулевого приближения выбирался cap минимального радиуса, содержахдаий внутри себя все особенности. Далее решение уравнения (30) в качестве нулевого приближения задавалось для (23) (в юзторое проводиность входит как параметр, что позволяет построить целое семейство эквивалентных тел. создающих с различными значениями проводимости одно и то же поле) при некотором значение <з2=<зо. На кзждок следующем ваге для проводимости з качестве кулевого приближения выбира-

ется тело В качестве носителя информации используется cap. заведомо содержаний внутри себя искомое репейке.

Описанные алгоритмы были программно реализованы на языке PCESHAN i: опрсбозаны на ряде теоретических примеров. С их использованием построены первые трехмерные эквивалентные решения обратной задачи.

3.4. В методе заряда могут возникнуть' ситуации, когда источник нормального поля находится внутри аномального объекта. Тогда функция W будет аналитической во внепности D. Следовательно, из соотиосений (23) получаем

1 б,-б, , <«?(?) <JV <Р) . ЙБ

W - ~ S [ — + —-] - . P0*CD. (33)

4п б. „ on an 1 г °

t О

откуда в силу (IS )

1 б,-о. г *W(P) 1 ai.

Vt(?c) = — -i—i X--+ V (P) - 1 dS . (40)

■ 4п б _ i т 1 <m J

4n 6. _ i ед г <»n

Аналогично, подставляя (21) в (20). получаса

t

1 б-бг f «*7(Р) av.c?) . dS

y2(Po) = _ j Г-+ —-1 - , .pa<D. Ш)

4л б 1 &П «Щ ; Г

2 S

гскуда

V.(P0) ---l—i J- Г Я(Р) +■ V (Р) ] — dS . (42)

An б2 s L J <>П

Соотношение МО) можно рассматривать как~уравнение ТОЗ для )пределения границы S. Задавая различные значения ба, можно пост-хзить однопарамет/лческое семейство ¿-эквивалентных тел (функции, шсывавцие границу - решения уравнения (40). Далее но измеренные шачениям \ у.з уравнения (-'.2) :-.эжно определить бг. Если потенци-1Л v2 измерен в достаточно бользеи (по сравнению с количеством ¡арамстроз. описывасцих S) числе точек, то (42) можно рассматри-:ать как уравнение ТОЗ.; Наконец, если определено. ех (по данных аукционного карота:«а). то формулу (42) кохено использовать для [реверки гипотез о границе; s_ (вычислял правул часть и сравнив.?;: с [зхсрснной хотя бы в одной точке левой). .

3.5. Как отмечалось еы~з. достаточно аироких с практической очки зрения является класс звездных тел. Построим с центром в очке звездности-0 сферическую систему координат. Выполняя в (40) : (42) сферическуо замену переменных, получаем

' 1Л"г erad ff(P(p.s.p»-M

1 г

w -TT-T^X/t

4П о о 1 |р-г°|*

V, (P(p,e,p))(r-r°,N)

lp-rV

J d9dp, (43)

1 6,-6, п гп

у2<0) ---/ J и(р(д.р).е,р))-51м-йэйр, (44)

4п О О

где , р(е.р) - правая часть уравнения поверхности б в сферических координатах, р-г0=к. П=рв»р^ Соотношение (43) - пнтег-родифференциальное, а (44) - интегральное уравнения относительно функции р(9.р). Алгоритм решения таких уравнения подробно описан выше (р(б.р) выбиралась в виде отрезка двсяногс ряд.1 Фурье и определялись коэффициенты ряда). От.че~:<х. что при Еыводе (44) предполагалось, что Уг изкерен 'в точке зБездности: это позволило получить соотношение без производных рд. рр.

Замечание. Учет горизонтальной границы земля - воздух можно осуществить известных в электроразведке методом отражений. Так, в левой част;: уравнения (3.29) вкесто \(Р0) будет \ (Ро > •

где Р* - ехчхетричкая относительно границы точка; если измерения выполняются на это-': границе: ?0»=Р^.

З.б. Е последнее е;с.ч.г: в геофизической разведка достаточно г-Ь^-ективно ислолгзухтся магнитные, поля топов растекания, т.е. токов создаваемых з земле с помощью заземленных электродов .Для таких полсЯ так:г:е удалось получить явные уравнения обратной зада-чи.т.е. осуцеств.-.ть принципиальный переход от скалярного к векторному случаю. При эток мы использовали резулк-аты М.С.Жданова по применению трехмерных аналогов интегралов типа Коши.

Пусть в среде с проводкхостью б, и магнитной проницаемостью находится проводящее, включение - 'тело 1-е параметрами б =сопзг, и =сопзг). Пусть также в среде имеются точечные источ-никк постоянного тока и Н. Е - напряженности магнитного и электрического полей вне и внутри проводящего включения. обусловленные этими источниками- В дальнейшем предполагаем, что Т - трехмерная

область, S - ее граница, r=ix.y.z> - радиус-ве:-:тор точки из R*.

, Как известно, вектор-функции Н(г), Е(г) удовлетворяют следующей системе уравнений 'соответственно внутри и вне Т) rot Е = О, dlv Е = О,

rot Н = J. dl7 Н = 0. з = <5Е, (45)

причем на границе S имеем

IHj-H, ,nJ=0, (^Н^Д.п)^, [Е^.пЬО.

(45)

Репение прямой задачи - определение Н(г), 2(г), удовлетворяющих системе (45) и граничным условиях (45), Обратную задачу можно сформулировать следувдкм образом: ло заданной вектор функции Н(г). удовлетворяющей на границе искомой области условиям (46), найти эту область.

Из условия (45) к векторных аналогов формул Помпея следует возможность представления :

1 г - - 1 - - 1

— J { (n.H*) grad-+ Сгь-Н*) grad-

4п , I а 1Г-ГМ а lr-r'

(n.rotB*J gr^d —) dS 1Г-Г*I ->

1 , f * 1 * ' 1

— J 1 tn'Hl> erad-+ tib.II1) grad-

4n ; l а ir-r'l 4 ^ ir-r'

tn.rotH'l grad- 1 dS

а ir-r'l J

I

H*(r' ),r'«D, 0, r'«CD,.

(47)

-^(rM.r'eCD, 0, r'«D.

(48)

Вычитая из (47) уравнение (48) при r®CD и учитывая, что rot а = сЕ, получаем .

I r--- 1 -> - 1

н* (г') ='— Г -Un.H1-!!*) ---+ In.H*-H*J grad-+

4n.; I " а ir-r'l ir-r'l

+ ín.íÓ'-ff.S11 erad——) üS ,(43)

I • 4 " 1Г-Г* i->

Из формулы (43) и граничных.условий (45) следует, что

н'(г') = — { S (n.H*) grad ——' сЗ + 4гс I fJx ^ 1Г-Г' I

- ^ 135 1 - + (Vй.> X - }. (50)

II а !Г-Г' I J

a так как S*= — rot н* то г.олучаех

J'(Г-) = — J { (п,——— Е1) grad —1— + 4тг s 1Г-Г* I

— tnxrotH' ] -—-— ) dS (51)

a 1Г-Г* l J

6,-6.

- интегродиффереккиалькие уравнения теоретической обратной задачи для магнитного поля токов растекания. Индуцированное магнитное поле, возникаете из-за магнитной неоднородности среды, в слабомагнитных породах (т.е. ) значительно кеньге' магнитного поля токоз х'В больпинстве случаев им мокко пренебречь. Следовательно, при Бхесто уравнения (51) для решения обратной задачи можно использовать уравнение

1 <5,-6, - - • йЗ

Е (г*) ---г [ПхГо№4] - , (52)

4п 6. . а |г-г'|

a вместо (50)

- 1 ciS

Н'(г') = — (б -б\ J - . (53)

4п 2 1 " |г-г'|

1 - <в

н'(г') = — (0,-6,) Г 1п»бгш1 VI--(54)

4л « 1г"г'»

- уравнение связи иежду электрическим полем, заданным на позерх-юсти Б, и измеренными значениями Н.

Автором реализованы и опробованы на примерах двухэтажные гетоды решения обратных задач для электрического и магнитного голея. Отметай, что А.А.Петров примени« подобные методы для прак-ическсЯ. интерпретации. При этом А-А.Петроз использовал для под-ора электрического поля потенциалы диполей. По-видимому, з трех-Ерном случае не удается определить оптимальный класс' фушщия для одбора наблюденных данных (нет кяассоз "разрешимости в конечном иде"). Универсальны лишь уравнения теоретических обратных задач, старые позволяют решать ТСЗ для любого класса потенциалов-

4. О РЕЕЕНКИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПЕРЕМЕННЫХ ЗЛЗСТРОМАПОТККХ ЗЛЕЯ - '

4.1 .По нашему мнению. заслуЕизают внимания не талька уразке-кя ТОЗ электоразведхи на постоянном токе, ко и методика их полу пи: используются представления палевых функция через значения тих функций к юг производных на границе ансмалеебразуадего объ-та - основная формула теории гармонических функций или - фор-глы Стреттека-Чу). Оказывается удается подучить разработанным ¡нее методом уравнения ТОЗ для различных тияоз переменных элект-1М2гнитных палея - Мы не будем ограничиваться квазистационарным нехрсосатическим пелен (т.е. уравнением Гельмгольца). так как в да геофизических методов (например. ШШ) приходится иметь дело телеграфных уравнение*. При этой мы будем опираться на резуль-

таты по применению интегралов Стреттона-Чу в теории электромагнитных полей. изложенные в книге М.С.Жданова 11384 3.

4.2. Пусть в линейной однородной среде с проводимостью б, и магнитной проницаемостью ^ находится тело Т с параметрами ог,

у.. Пусть также в среде имеются источники электромагнитного поля ^ ^

и Е(, В,. Н2, Ех - напряженности магнитного и электрического полей во внешности и внутри проводящего включения соответственно, обусловленные этими источниками. В дальнейшем предполагаем, что Т - трехмерная область. Б - ее граница - поверхность Ляпунова . г={х.у.2)-радиус-вектор точки из К*. На границе Б имеем

1Н1-Н1.п]=о, (мД-^.п^О.

(вД.пЬО. (¿Л-ЛЕ.П)^. (55)

с - диэлектрическая проницаемость среды, т) - поверхностная плотность электрического заряда.

Пусть Н° - внепнее поле области Т. наведенное полем источников В" и Еи. Тогда

Н, = Н^ + Н", Е = Е? + Е". (55)

(Н^.П^иКн^.П), (Ев,ц)=[£4(Е1,п)+г)]/с1. (57)

Векторы электрического и магнитного полей в области однородности среды в отсутствии сторонних токов и зарядов удовлетворяют однородному телеграфному уравнению

У др

ДР - Н£ — - ^ — = 0. (58)

41 <п

Для монохроматического поляу равнение (58) переходит в урав-

нение Гельмгольда

ДУ + к = о.

(59)

где волновое число среды к : к

Для квазистационарного поля векторы Н, Е удовлетворяют уравнении диффузии

а?

д? - ро — = 0.

бХ

(60)

Пусть б2=0, тогда уравнение (58) переходит в волновое урав-

нение

ДР - ис — = о, ог*

(61)

а уравнение (Б«0 в уравнение

Д? = О, . (62)

который удовлетворяют функции внутри Т.

4.3. Для монохроматического поля из (53) получаются формулы Стреттона-Чу

' В, (г*), г'ст

/ | (п • 2г)сгаЛС1+1г>2а ] [гь-Н^З ¿Б =

я

[ (п - [ ПхЗГ ] хдгайС^ [ ] С^ =

/ £ (n•H2)gГ2aG2+[nJcH2Зxgг£dG2+i5¡[г>Б;г]Gг | сЗЭ =

О, Г'еСТ

(53)

О, Г'еТ

(54)

н (г'),

О, Г'еСТ

(55)

-Н^(Г'), Г'еСО! О,

где с'=б-1шс - комплексная электропроводность: (67)

О (г*|г) = - . (68)

4п |г-г' |

Вычитая из (53) при. г*«ст (64) - и используя соотнопения (57). .(53), получаем

«Г<Г> = / { (П.Е-) бгай( ^ 0,-0.) + [ту+с^^'.п)] 4

" » сг ех

+ Сп»Е2)»вгай(С1-С1) + [п«^,]-ега£1С1 + ^Гп-Н^Нр^-рД) +

+ ^Гп-Н")^} (23, (63")

где

ох ог

-- I 1

Аналогичного из (65), (55) получаем

Я^(г') = X { егай( — сг-с4) + (п.Е") — бпШ са +

в Р2 ^Х

+ (а.2^]»етвс1(С1-С1) + 1п»НиЬвП1£Юг + ГгЛ^Нб^-оХ) +

*

,+ га-е"]^! сб. (70)

Соотношения (63) к (70) - уравнения теоретической обратной * •

задачи для монохроматического поля (относительно границу. Б). Отметан также, что. для случал горизонтально-слоистой среди обобщение. формул Стреттона-Чу было впервые получено £.3. Захаровым и

т.к.

- - . 1

Й1У_[ПхНЗ.

В.Ильиным,с использованием этих формул О.А.Хачай выписаны урав-гения ТОЗ для хвазистационарного монохроматического поля .

Замечание 1. Если область Т ограничена цилиндрической по-зерхностью. образу юаая которой параллельна оси У, а электромаг-1итное поле Е. н однородно по этой оси. то задача сводится к дву-<ерной. Двумерные уравнения сохраняют структуру трехмерных, ин-гегрирование Еедется по замкнутому контуру и

С(Пг') = - - н;"(К"|г-г'|). 4

где Нс - функция Ханкеля первого рода нулевого порядка.

4.4. В случае квазистационарного поля с использованием ин-гегралоз Стреттона-Чу аналогично вышеизложенному получаем уравне-яия ТОЗ (С - функция Грина уравнения диффузии)

ВТ(Г'Д') = ; ; { - ) +

-со «

4 ^n»Eн]«gгadG^ + ^[ПхН"]^! 4 (п,Е?)[егас1[ — С* - С* ]] 4

4 [ (т^с.аЛп)) ] ] АЗ « (71)

н^(г'.г') = / X { — - с? ] 4 ^(п.О-^с* 4

4 [пхН^'^згасК^ 4 (гь-Е? 4

4 - б.С* ] | ЙБ (И (72)

Если функции в и а удовлетворяют телеграфному уравнению, то формулы Стреттона-Чу имеют вид

_ _ _ ^ / / | (п,В1)бгайа* + [пхВ2]«5га£1а* + /^[пхН,]— | сПсБ =

^(г'.г). г-ст О. г'«СТ,

и [ (п.\)&ъйа1г + (п-Н^.бгшМ* + бг[П»Ег]

(73)

— «с* ,

- *Лп»Е,]— I йг(Б 1 1 »г >

н2(г\г),г'ет о. г'сст,

(74)

где С1 - фундаментальное решение для телеграфного уравнения.

С учетом аналогичных представлений для Е, и н. когда г'еот. получаем уравнения 703 для нестационарного электрохагнитного поля (обция случая):

. { - с1, ] +

а -оо

КГШМ»1 ■• » - « г , ,м

+ --1 + сп»е"+ с^ - с* ]] -

+ мгъсе"]— + с1ь«е*1Г - н,— | } ^ (75)

* лг 1 I- * ' « 1 }

Я^гЧГ) - Л ' { ^ - С1, )] +

в -в> л ' 1

(П.В-) ста«* * ¿ьнр[бгас1( с* - с; )] +

+ [гь.Ни1«вга(1 С* + 1п*1?]Г - с — 1 +

* V 1 ' л» >

«X

+- в4с;) -«~ - ^ ]} «в (76)

Если з области ? ихевтся сторонние токи и заряды, то соотношения (75) и (76) переходят в уравнения

ик£Г|г-г-| ^ _ £

Е?(г\Г) = Х; { [г>^)«бга!1( -1с* - с; ) +

а -со 2

Р ПьЕ^^гасф + СпкЕ^] [егзс[[ С, - С' ]] +

сК| "* . ' «Ч N

+ р Лай1]—1 + (1Ъ.Н"]| и —- и —I 1 I са « -<п 1 вг * «г > )

- Я/ / { - ег^ С + „У

- Г*егай С1 } <3£ йу (77)

иУДеЧг-гЧ „ „

н^(г\г) =/X { (а.н:)18гза(^ - с' )з +

а -<п 3

+ (п.Н") ¿гайс; + с* - С^ )] +

+ С' + Сп-К"] Г ¿С1 - £ 1 +

г г 2 9%

+ - ) - - ^ ]} «в «-

- ШI { - егач с - — *

т -в

» »с1

+еГ--3*»вга£1 С* ) йг (IV . (78)

«>г *

Таким образом .получены явные интегродифференциальные уравнения теоретических обратных задач для электромагнитных полей, удовлетворяющих уравнениям телеграфному, диффузии. Гельмгольца. Для решения этих уравнения можно использовать алгоритмы, разработанные для уравнения постоянного тока. Вместе с каким-либо методом подбора экспериментальных данных полями сингулярных источников на этоЯ основе можно, по-еидимому. построить методы интерпретации переменных электромагнитных полей, учитывающие наличие эквивалентных ресения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем.

1. Для ресения трехмерной ТОЗ электроразведки на постоянном токе и метода искусственного лодмагиичивания впервые получены значительно более простые, чем известные, уравнения с явно заданным оператором. Разработаны численные алгоритмы для их резения. с использованием которых построены первые примеры эквивалентных семейств реаения ТОЗ электроразведки.

2. Реализованы двухэтажные алгоритмы ревения обратных задач

электроразведки (для электрического и магнитного лолея). построены первые примеры «-эквивалентных решений трехмерной обратной задачи. Опробование алгоритмов на ряде примеров дало удовлетворительные результаты; алгоритмы используются в НПО "Рудгеофизика". где успешно опробованы на практических примерах.

3. Для векторных геофизических полей, удовлетворявших уравнениям Лапласа. Гельмгольца. диффузии, волновому, телеграфному получены явные интегродифференциальные уравнения обратных задач теории поля. Эти уравнения могут стать основой для разработки двухэтапных методов интерпретации соответствующих геофизических методоз.

4. Доказано, что для достаточно широкого с практической точки зрения класса "комплексных потенциалов" двумерная обратная задача .ЧИП з постановке 1 сводится к системе трансцендентных сравнений, а в постановке 2 разрешима з конечном виде.

5. Доказано, что эллипсы являются классом слабой,единствен-гости обратной задачи метода Бч-париация. Построен пример практи-1еской интерпретации данных метода Бя-вариаций.

6. Построены примеры экзизалентных семейств решений обратной а дачи МИП с учетом размагничивающего эффекта, проиллюстрировано яияние размагничивания на результаты решения обратной задачи, оказана (на теоретических и практических примерах) возможность ффектиЕно выделить единственное решение при совместной интерпре-ацик данных магниторазведки и МИП, или данных МИЛ при дзух поло-энглх источника внешнего поля.

7. Разработан алгоритм решения интегрального уразнения. к оторому сводится прямая трехмерная задача МИП в постановке 1 и нектроразгедки на постоянном токе, методом последовательных при-

ближения. Доказаны теоремы. гарантирующие сходимость хотела при • всех физически содержательных значениях параметра..

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в следующих работах:

1. Об учете размагничивавшего эффекта в задачах магниторазведки. // Изв. АН. СССР. Физика Земли. 1ЭТ9. N3, с.49-56 (совместно с А-Э.Цирульским),

2. Об одном алгоритме решения прямой и обратной двумерных задач магниторазведки с учетом размагничивавшего эффекта. // В кн. Геология и полезные ископаемые Урала: Тез. докл. vil Уральской конференции молодых, геологов к геофизикоз. Свердлогск, 1981.<.64-65.

3. О решении прямой и обратной задач магниторазведки- - Геофизический журнал. 1S82. т.4 N6. с.39-49 (совместно с И.Л. Прут-киным).

4. Решение задач метода искусственного подмагничизания в двух- и трехмерном случаях. - В кн. Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полей в СССР. Киез. 1982. С.198-204.

5. Некоторые вопросы теории и алгоритмы решения задач метода искусственного подмагничизания. Свердловск. 1982 . 32с. (Препринт) Изд-во УНЦ АН СССР.

6. О решении прямой и обратной трехмерных задач в параметрических хлассах. // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1963, N3. с.52-57.

7. Прямые и обратные задачи метода искусственного подмагни-чивания. // В кн.? Теория и методика интерпретации гравимагнитных полей. -Киев. 1981. с.38-51 (совместно с Г.Ы.Воскобойниковым.

.М.Гуревичем. И.Л.Прутшшм. А.В.Цирульскик).

8. О решении обратной задачи электроразведки. // В кн. Применив математических методов к ЭВМ при обработке информации на ологоразЕедочных работах. СБердловск. 1985, с. 124.

9. о реиении обратной задачи ' гпекгроразг/уцеи на постоянном ке для произвольны-: хлассоз потенциалов. // Изв.АН СССР. Физика :мли. 1586. N1. с.87-92.

ю. О решении обратной задачи для магнитного пс£л токов рас-кания // Геология и полезные ископаемые Урала. Свердловск. »86. с.55.

11. Интегродифференциальныс уразнения обратной задачи для тнитного поля токов растехания // .Методы интерпретации и мате--кческое моделирование геофизических полей.'Свердловск, юза, 24-27.

12. Уравнения обратных задач с явно заданным оператором для рехенных электромагнитных полей. // 3 кн. Применение математи-ских методов и 22М при обработке информации на геолсгоразссдоч-!Х работах. Челябинск. 1509, с-1С2.

13. 0 единственности решения обратной задачи теории по:еици-а в методе подмагничизания врагагацехсл полем (£>л-вариации). // проси теории и результаты применения методов интерпретации логических полей. С:.ердлозск. 1989. с. 13-19 (совместно с 2.А. янковым).

14. о возможности разбраковки магнитных анохалий по'данным года искусственного педмагничивания. // Глубкнниз строение и лезные ископаемые Востока СССР. Владивосток. 1985. с.54-70 звместно с А.В.Цирульским к О.М.Гурсвкчем).

15. 0 резении обратной задачи для переменных электромагнит-

ных полей // В кн-Электромагнитная индукция в верхней части зек ной коры. Москва, "Наука". 1990, с.89.

16. Интегродифференциальные уразненкя для переменных элект ромагнитных полей. // Кзв.АН СССР. Физика Земли. 1990. К5 с.55-62.

17. Уравнение обратной задачи для волнового электромагнитного поля. // Теория и практика электромагнитных методов геофизических исследований. Екатеринбург. "Наука", 1992, с-3-б.

18. о реаении обратной задачи метода заряда. // йзв-РАН, Физика Земли. 1993. N5. С.35-39.

19. Явные уравнения обратных задач для электромагнитных полей. // Тез. докл. III Научно-технического совещания по геотомог-рафик. Свердловск, 1991, с.90.

20. Об интерпретации данных плоагдкого зондирования ШП. /у Методы интерпретации к математическое моделирование ггсфиззг-сгсзгз: полей. Свердловск, 1988, с.33-39 (совместно с ©.Мурезича; я В.Н.Туранозым).