Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с высоким контрастом электрических характеристик применительно к задачам каротажа

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Моделирование трехмерных электромагнитных полей в средах с высоким контрастом электрических характеристик применительно к задачам каротажа"

На правах рукописи

4

Азанов Алексей Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С ВЫСОКИМ КОНТРАСТОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ КАРОТАЖА

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2013

005539655

005539655

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофи-мука Сибирского отделения Российской академии наук (ИНГГ СО РАН).

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Шурина Элла Петровна Официальные оппоненты:

Федорук Михаил Петрович,

доктор физико-матеаматических наук, профессор, ректор Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Новосибирский национальный исследовательский государственный университет" (НГУ);

Глинских Вячеслав Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий лабораторией ИНГГ СО РАН.

Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное учреждение иауки Институт прикладной математики им. В.М. Келдыша Российской академии наук

Защита состоится 21 августа 2013 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 003.068.03 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения Российской академии наук, в конференц-зале по адресу: пр-т Ак. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по адресу: пр-т Ак. Коптюга, 3, г. Новосибирск, 630090, факс: (383)333-25-13, e-mail: NevedrovaNN@ipgg.sbras.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИНГГ СО РАН.

Автореферат разослан 18 июля 2013.

Ученый секретарь

диссертационного совета, f H.H. Неведрова

к.г.-м.н. доцент ИллР-У

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования -переменное электромагнитное поле в трехмерных составных областях с контрастными электрофизическими характеристиками.

Предметом исследования являются вычислительные схемы, реализованные на базе векторного метода конечных элементов на иерархических базисах и предназначенные для моделирования переменных электромагнитных полей в гсологитческих средах с контрастными электрофизическими коэффициентами.

Актуальность работы. Разработка и реализация новых электромагнитных каротажных зондов базируется как на использовании ранее не учитываемых особенностей поведения электромагнитного поля в сложно-построенных геологических средах, так и с изучением характеристик источников электромагнитного поля различной конфигурации. Математическое моделирование позволяет не только снизить временные затраты на испытание и тестирование вновь создаваемых приборов, по и оценить эффективность использования различных типов источников их информативность при решении задач геофизического исследования. Системы линейных уравнений, возникающие в процессе аппроксимации краевых задач электро-динимики характсрезуются зпаконеопределенностыо или сингулярностью, что приводит к необходимости разработки специальных процедур их решения. Следовательно, разработка эффективных вычислительных процедур для моделирования переменных электромагнитных полей в неоднородных по электрофизическим свойствам геологических средах является актуальной задачей гсоэлектрики и математической физики.

Цель работы - па основе разработанных и программно реализованных комплексов ассоциированных с ним специальных процедур предо-бусловливания па иерархических векторных базисных функциях высокого порядка выполнить численную имитацию сигналов электромагнитного каротажа в реалистичных моделях с учетом сильнопроводяшего бурового раствора, конечных размеров генераторных и приемных катушек, корпуса прибора и его эксцентриситета, а также неровностей стенки скважины

Задача исследования - разработать эффективные вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитных полей в частотной и временной области для реализации мпоговариантных расчетов. На основе разработанных вычислительных схем реализовать программный комплекс, для имитации сигналов электромагнитных зондов каротажа в реалистичных геоэлектрических моделях.

Основные этапы исследования.

• На базе векторного метода конечных элементов разработать и реализовать вычислительные схемы для моделирования электромагнитных полей во временной и частотной областях в неоднородных по электрофизическим характеристикам, трехмерных средах.

• Исследовать влияние неровностей стенки скважины на показания зондов ВИКИЗ в зависимости от удельной электрической проводимо-сти(УЭП) бурового раствора и его контраста с исследуемой средой.

Защищаемые научные результаты:

• Вычислительные схемы для моделирования электромагнитных нолей во временной и частотной областях на базе векторного метода конечных элементов в неоднородных и высококонтрастных по электрофизическим характеристикам трехмерных средах.

• В результате сравнительного анализа эффектов от неровностей стенки скважины и слабопроводящих тонких пропластков в сигналах ВИКИЗ показано, что они становятся соизмеримыми при повышении УЭП бурового раствора.

Научная новизна и личный вклад:

• Разработаны вычислительные схемы моделирования нестационарных и гармонических электромагнитных полей на базе векторного метода конечных элементов, с учётом реальных размеров источника электромагнитного поля.

• Вычислительные схемы реализованы в виде программного комплекса, позволяющего моделировать электромагнитное поле в трехмерных составных областях с контрастными электрофизическими характеристиками (электрическая проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемости).

• Проведено исследование эффективности вычислительных схем и верификация программного комплекса па ряде тестовых задач. Получены численные оценки порядков аппроксимации в различных нормах для векторных базисных функций до второго полного порядка включительно, согласующиеся с теоретическими результатами.

• В результате численных экспериментов выполнена оценка влияния неровностей стенки скважины па измеряемую в приемных катушках разность фаз э.д.с. в зависимости от электропроводности бурового раствора и смещения зонда. Установлено, что при повышении электрической проводимости бурового раствора влияние дефектов стенки скважины на результаты измерений становится сравнимым с реакцией на слабопроводящие пропластки в пластах-коллекторах.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается сравнением численпых расчетов с использованием реализованных вычислительных схем с решениями в аналитическом виде (закон Био-Савара-Лапласа, зависимость разности фаз э.д.с для зондов ВИКИЗ в однородной проводящей среде) и натурным экспериментом, проведенным для зонда ВИКИЗ N0 0511010 на Телсцком озере, результаты которого совпадают с численными расчетами с относительной погрешностью около 2%.

Фактический материал и методы исследования. При реализации вычислительных схем использовались теоретические результаты, представленные в работах Неделска |Nedelec, 1980] Mixed Finite Elements inRJ, [Nedelec, 1986] A New Family of mixed Finite Elements inE:!.

Для расчёта электромагнитного поля решались трехмерные краевые задачи для векторных волнового уравнения и уравнения Гельмгольца. Использовалась модификация векторного метода конечных элементов (ВМ-КЭ) на иерархических базисах второго полного порядка [Webb, 1993, 1999].

Для решения системы линейных алгебраических уравнений(СЛАУ), полученных в результате аппроксимации, применялся многоуровневый решатель, учитывающий её особенности.

Построение геометрических моделей выполнялось с использованием свободно-распространяемых генераторов тетраэдральных разбиений (GMSH, Netgen).

Практическая значимость. Полученные вычислительные схемы предназначены для расчета нестационарных и гармонических электромагнитных нолей в трехмерных областях со сложной геометрией. Программный комплекс позволяет учитывать геометрические размеры генераторных и приемных катушек и выполнять расчеты в типичных моделях каротажа. Реализованный программный комплекс применялся для моделирования сигналов электромагнитных зондов в скважинах с высокопроводящим буровым раствором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. XIII Международная научно-практическая конференция студентов и молодых ученых "Современные техника и технологии СТТ 2007", г. Томск, 26 - 30 марта 2007 г.

2. Российская научно-техническая конференция "Информатика и проблемы телекоммуникаций", г. Новосибирск, 26 - 27 апреля 2007 г.

3. VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, г. Новосибирск, 27-29 ноября, 2007 г.

4. Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" Алматы, Казахстан, 10 - 14 сентября 2008 г.

5. Всероссийская молодежная научная конференция с участием иностранных ученых "Трофимуковские чтения - 2008". г. Новосибирск, 5-12 октября 2008 г.

По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ [1-9], в том числе 3 в рецензируемых журналах [1-3].

Работа выполнялась при финансовой поддержке грантов "Университеты России" (проект 03.01.187), РФФИ (грант 05-05-64528), совместного международного проекта К\УО-РФФИ (грант 047.016.003).

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н. профессору Элле Петровне Шуриной, а также сотрудникам лаборатории электромагнитных полей Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука Сибирского отделения РАН и д.т.н., академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы цели и задачи, указаны методы исследований, показа-па научная новизна и значимость работы. Кратко описаны структура и основное содержание глав диссертации.

Глава 1. Методы моделирования в задачах скважинного каротажа. Показаны особенности задач геоэлектрики и сделан обзор методов численного моделирования решений этого класса задач.

В п. 1.1 рассматриваются методы гсоэлектрики. В п. 1.2 представлен обзор современных методов математического моделирования, рассматриваются преимущества и недостатки различных методов моделирования.

Методы моделирования электромагнитного поля делятся на два класса: аналитические и численные. К аналитическим методам решения задач электромагнетизма относятся методы разделения переменных, характеристик [Тихонов, Самарский, 1977], однако в подавляющем большинстве реальных геоэлектрических моделей аналитические методы либо неприменимы, либо их рссурсоёмкость становится недопустимо высокой. В частности, аналитические методы практически невозможно использовать для решения задач в моделях проводящих сред со сложной геометрией внутренних границ (сложность либо невозможность параметризации), при наличии локальных пеодиородпостей и конечных размеров источников. В таких случаях целесообразно использовать сеточные численные методы.

Широко распространенными в настоящее время численными методами являются методы конечных разиостей(МКР) [Самарский, Колдо-ба, Повещенко, Тишкин, Фаворский, 1996; Ильин, 2000;], конечных объ-ёмов(МКО) [Hermeline, 1993; Ильин, 2000; Shurina, Solonenko, Voitovich, 2002; Domingucs, Gomes, Roussel, Schneider, 2008] и конечных элемен-тов(МКЭ) [Лаевский, 1999; Braess, 2001; Brenner, Scott, 2002].

Применеиие скалярного МКЭ для вычисления векторных электрических или магнитных полей связано со следующими проблемами: высокие вычислительные затраты(процессорное время и память), сложность учёта условий непрерывности на границах сред с различными электрофизическими свойствами; сложность процедур обработки при наличии проводящих и диэлектрических фрагментов в расчётной области, а также сингулярно-стей на ребрах и углах подобластей; получение не имеющих физического смысла побочных решений [Jin, 2002; Assous, Ciarlet, Labrunie, Segre, 2003]. Решение, полученное с помощью скалярного МКЭ, полностью непрерывно на границах с различными электрофизическими свойствами, в то время как для электромагнитного поля должны выполняться только условия непрерывности тангенциальных компонент векторов (Е, Н) и нормальных компонент (D,B).

Этих проблем можно избежать, используя векторные конечные элементы, которые автоматически обеспечивают непрерывность тангенциальных или нормальных компонент векторного поля между соседними элементами. Это позволяет исключить ложные моды и представляет возможность корректного учёта условий непрерывности па межэлементных и межфраг-ментных границах. Векторный метод конечных элементов строится в пространствах, обладающих специальными свойствами [Ncdelec, 1980, 1986], которые совпадают с физическими свойствами поведения векторного поля. В настоящее время предложено множество базисов [Andersen, Volakis, 1998; Jorgensen, Volakis, Meincke, Breinbjerg, 2004; Ingeistrom, 2006; Jiao, Jin, 2003; Lee, 2002; Webb, 1993, 1999], основаных на работах [Nedelec, 1980, 1986].

Матрицы СЛАУ дискретных аналогов, полученные при дискретизации вариационных формулировок для уравнений Максвелла, являются ли-

бо зпакопеопределенными, либо сингулярными [Arnold, Falk, Winther, 2006; Costabel, Dauge, Nicaise, 2003; Hiptmair, 2002; Solin, Segcth, Dolezel, 2003]. Число степеней свободы для задач с реалистичными гсоэлектрическими моделями, как правило, превышает 10й, что в совокупности со спектральными свойствами матриц делает затруднительным применение не только прямых, но и проекционных итерационных методов решения СЛАУ.

Непредобусловленпые итерационные методы имеют тенденцию к ос-цилляциям решений при достижении определенного уровня невязки. Такие традиционные предобусловливатели, как неполная LU-факторизация или неполное разложение Холесского, не удается применить из-за свойств матриц СЛАУ. В настоящее время наиболее эффективными предобусловлива-ющими процедурами являются методы: декомпозиции областей |Hientzsch, 2001; Tang, Nabben, Vuik, Erlangga, 2007; Zheng, Simeon, Petzold, 2008]; алгебраический многосеточпый [Brezina, Cleary, Falgout, 2000; Hiptmair, 1998; Mifune, Iwashita, Shimasaki, 2002; Hu, Tuminaro, Bochev, 2006]; многоуровневые V- и W-циклы [Perrussel, Nicolas, Musy, 2006; Nechaev, Shurina, Botchcv, 2008].

Идея многоуровневых методов заключается в расщеплении погрешности аппроксимации на две составляющих: низкочастотную и высокочастотную. Осцилляции итерационных решений связаны в основном с низкочастотной составляющей ошибки. Высокочастотная же составляющая достаточно быстро подавляется итерационным решателем. Для подавления низкочастотной составляющей в многоуровневых методах вводятся специальные операторы проектирования па "грубые" подпространства [Шайду-ров, 1989; Chow, Vassilcvski, 2003; Jin, 2002; Tosclli, Widlund, 2005].

Глава 2. Математические модели для задач индукционных зондирований. В данной главе формулируются постановки задач для. моделирования нестационарных и гармонических по времени электромагнитных полей в неоднородных по электрофизическим свойствам областях. Представлены вариационные формулировки и дискретные аналоги для роторно-конформпых пространств конечных элементов.

В п. 2.1 описываются математические модели. От системы уравнений Максвелла первого порядка можно перейти к дифференциальным уравне-

ниям второго порядка относительно вектор-функций либо Е либо Н ¿£Ё + |.Ё + Ух^УхЁ = -| 30

здесь а - УЭП, е,ц -диэлектрическая и магнитная проницаемости. Величина Е в этом уравнении является действительной векторной функцией.

При моделировании гармонического но времени электромагнитного поля, переходят к векторному уравнению Гельмгольца, являющееся следствием системы уравнений Максвелла относительно напряженности электрического поля Е

Ух /х-1 Ух Ё + {ша - ш2г)Ё = -ш]0

Величина Е является комплекспозначной векторной функцией. В п. 2.1 приведены математические модели для нестационарного и гармонического во времени электромагнитного поля в неоднородных по электрофизическим свойствам средах. Рассмотрены условия непрерывности на внутренних границах между подобластями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле.

В п. 2.2 введено функциональное пространство Щгс^, £1) для формулировки векторных вариационных постановок. Для нестационарного по времени векторного уравнения второго порядка построена следующая вариационная постановка

Для J £ ]Ь2(П)-! х Т найти Е £ ШЦго^П) х Т,такие что V Ё € Но(го1;, П) выполняется

^(еЕ, Ё)п + ^(<тЁ, Ё)п + ((Г1 Ух Ё, Ух Ё)п = ~(30, Ё)п

Для векторного уравнения Гельмгольца формулируется другая постановка Для Л 6 И,2(Г2)3 найти Ё 6 Шо(гоЬ, О.),такие что V Ё 6 Ыо(гЫ, П) выполняется

{ц-1 Ух Ё, У х Ё)о + {{ша - ш2е)Ё, Ё)п = -ш(3, Б%

В п. 2.2 показано, что электрическое поле, удовлетворяющее данным вариационным формулировкам, удовлетворяет и закону сохранения зарядов.

В п. 2.3 вводится понятие степеней свободы, формулируются условия и определяются свойства, которым должны удовлетворять базисные функции дискретных подпространств.

В п. 2.4 строятся локальные иерархические векторные базисы дискретных подпространств на тетраэдральных разбиениях.

В п. 2.5 представлены дискретные аналоги вариационных формулировок.

Глава 3. Вычислительные схемы для конечноэлементных аппроксимаций, программный комплекс, верификация. В главе представлена структура матриц СЛАУ, полученных на этапе дискретизации, и описаны методы решения СЛАУ. Обоснована процедура построения операторов проектирования для многоуровневого решателя. Рассмотрены основные алгоритмы обработки сет очных данных для векторных конечных элементов до второго полного порядка включительно и решения СЛАУ. Приведены результаты исследования аппроксимациоппых свойств конечных элементов полных и неполных порядков в нормах различных пространств на регулярных и нерегулярных тетраэдральных разбиениях. Проведено исследование поведения электромагнитного поля па границе раздела сред с различными электрофизическими параметрами. Представлены результаты сравнительного анализа скорости сходимости классических итерационных и многоуровневых методов.

В и. 3.1 рассмотрена структура и свойства СЛАУ, полученных с по-мошыо иерархических базисов. Иерархический базис при дискретизации краевых задач определяет блочную структуру матриц жесткости и массы, зависящую от порядка базисных функций

А= {Аи},г,з = Т~4

где блоки А,у, при V г ^ з описывают связи между базисами различных порядков и типов.

В п. 3.2 сформулированы алгоритмы решения СЛАУ методами на подпространствах Крылова и двухуровневый У-цикл, построены операторы прямого и обратного проектирования.

Для решения результирующей СЛАУ использовался двухуровневый

У-цикл [Ольшанский, 2003; ЗМсЛаеу, ЯЬиппа, Вс^сЬеу, 2008], модифицированный для консчноэлементных СЛАУ, полученных при аппроксимации уравнений Максвелла векторными иерархическими базисными функциями.

Алгоритм 1 - У-сус1е - двухуровневый итерационный решатель_

Входные данные: А,Ь,7 Результат :х

г0 = Ь - Ах0;

Для г = 1,2..., пока ||г;|| > 7||г0||

g = Рг/-1;

г = (РАРТ)-^ или г = Я^РАР^л);

хг-1/2 = + РТ2;

г!-1/2 = Ь - Ах,-_1/2;

у = 52(А,г^1/2,7);

х; = х/_1/2 + у;

Г; = Ь - Ах.;;

X = хг;

В алгоритме 1 приняты следующие обозначения: Р - матрица перехода Р : V —> М™, А € И™*" - матрица системы, Ь 6 I" - вектор правой части системы, у = 5*(В,д,7) - итерационный решатель системы В у = д. Для симметричной матрицы СЛАУ предлагается использовать метод сопряженных градиентов. Описана модификация стандартного метода сопряженных градиентов для решения СЛАУ с комплекснозначными симметричными матрицами.

В п. 3.3 приведены алгоритмы программного комплекса УРЕМЗБ-Ьт1р. Носителями базисных функций в векторном МКЭ являются рёбра, грани и объемы конечного элемента. Исходный файл, полученный из сеточного генератора, содержит сетку в узловом формате. Преобразования тетраэдрального разбиения заключаются в выполнении процедур нумерации ребер и граней тетраэдров и генерации конечных элементов с соответствующим числом степеней свободы, зависящим от типа и порядка используемого базиса. Приведен алгоритм частичного переупорядочения блоков

результирующей матрицы и алгоритм численного интегрирования четвертого порядка на симплексах.

В п. 3.4 выполнена верификация программного комплекса па задачах с известным аналитическим решением. Оценены погрешности численного решения в нормах различных функциональных пространств.

В п. 3.5 приведены результаты тестирования по выполнению закона сохранения заряда в зависимости от порядка и типа используемого базиса, также дапы оценки эффективности двухуровневого решателя при вычислениях электромагнитного поля в средах с разрывными по электрофизическим характеристикам^, е, а) подобластями для нестационарной и гармонической задачи. По сравнепию с обычными итерационными решателями двухуровневый итерационный решатель затрачивает примерно в 30 раз меньше времени при прочих равных условиях для гармонических нолей, и в 3-7 раз меньше - для нестационарных электромагнитных полей.

Глава 4. Высокочастотные индукционные каротажные изо-параматрические зондирования. Разработанный программный комплекс использовался для моделирования высокочастотных индукционных каротажных изопараматрических зондирований (ВИКИЗ) в неоднородных средах с велсокой контрастностью физических параметров. Выполнено численное моделирование сигналов ВИКИЗ в скважинах с учётом неровностей сё стенки.

В п. 4.1 представлены результаты верификации с использованием аналитических описаний сигналов ВИКИЗ в однородной проводящей среде [Технология исследования нефтегазовых скважин па основе ВИКИЗ. Методическое руководство, 2000], а также сравнение с экспериментальными измерениями в пресной воде.

Разработанный программный комплекс позволяет моделировать электромагнитное поле, вычислять сигналы ВИКИЗ в скважиниых условиях с учетом эксцентриситета зонда. Программный комплекс использовался для моделирования сигналов ВИКИЗ в скважинах, заполненных высоко-проводящим (до 10 См/м), буровым раствором. Расчёты выполнены для вертикальных, горизонтальных и наклонных скважин, пересекающих коллекторы с различной ориентацией пропластков относительно их осей.

Расчетная область состоит из следующих объектов:

1. Зонд, состоящий из непроводящего корпуса (радиус корпуса зонда го = 0.035 м, £ = Зео), генераторной (Г1) и двух измерительных (И1, И2) катушек. Амплитуда силы тока в генераторной катушке 1 А, частота f=875 кГц, 14 МГц. Измерительная катушка И1 находится на расстоянии 2 м (875 кГц) и 0.4 м (14 МГц), а И2 на расстоянии 1.6 м (875 кГц) и 0.5 м (14 МГц) от генераторной. Зонд может смещаться внутри скважины.

2. Скважина (R = 0.108 м), заполненная буровым раствором с УЭП 02

3. Каверна, УЭП а3 которой может принимать значения либо 02, либо

(74

4. Пласт с УЭП аА = 0.2 См/м

5. Пропласток с УЭП <тГ) = 0.05 См/м

Результатом моделирования является разность фаз Aíp э.д.с., наведенной в приемных катушках И1 и И2. Она зависит от УЭП среды, окружающей зонд, и может использоваться для восстановления УЭП пласта.

Тестирование программного комплекса проводилось для однородной среды с УЭП сг при этом предполагалось, что УЭП равны между собой (<7i = а2 = <73 = — = с)- Относительная разность сигналов, полученных численно и аналитически, не превосходит 6 % - для басисных функций первого порядка и не превосходит 0.2 % - для базисных функций второго порядка.

Выполнено численное моделирование сигналов ВИКИЗ для определения влияния неровностей стснки скважины для буровых растворов с различными значениями УЭП (сг2 = 0.1,1,10 См/м).

На рисунке 2 представлены значения сигналов в коротком зонде (14 МГц). Сплошной линией описывается диаграмма Aip с УЭП <т2 = 0.1 См/м, пунктирной - С УЭП (72 = 1 См/м, штрих-пунктирной - с УЭП (72 = 10 См/м. На представленном рисунке горизонтальными сплошными линиями отмечены границы каверны (3) и пропластка (5). Каверна представляет

4 Гс 2

Г1 1

И1 И2

::........7 х

\ 7

5

Рисунок 1 Геоэлектрическая модель

Рисунок 2 Разность фаз А^р для различных значений УЭП бурового раствора с учётом каверны (3) и пропластка (5) (зонд на оси скважины)

собой часть поверхности сферы. Зонда движится вдоль оси г. Значения разностей фаз отнесены к положению дальней измерительной катушки И2. Центром системы координат принят центр каверны. Для построения диаграмм использовалось 45 положений зонда.

Результаты моделирования сигналов ВИКИЗ для различных значений УЭП бурового раствора показало, что с его увеличением теряется возможность выделения пропластков с низкой УЭП, на фоне влияния каверны.

В п. 4.2 приведены результаты моделирования для задачи со скважиной эллиптического сечения с каверной, пересекающей пласт и слабопро-водящий пропластк.

Заключение

В работе предложены и программно реализованы алгоритмы моделирования трехмерных нестационарных и гармонических по времени электромагнитных полей, в неоднородных по электрофизическим и геометрическим свойствам трехмерных областях. Обосновано выполнение условий слабой дивергенции. Сформулироваиы вариационные постановки для гиперболического векторного уравнения и векторного уравнения Гельмголь-ца, описывающих поведение электромагнитного поля с произвольной и гармонической зависимостью от времени. Показано, что электромагнитное поле, удовлетворяющее приведенным вариационным постановкам, также удовлетворяет закону сохранения зарядов в слабой форме. На основе вариационных формулировок построены дискретные аналоги вариационных постановок с использованием полных и неполных базисов до второго порядка включительно, на тетраэдральных разбиениях.

Показаны структуры матриц глобальных СЛАУ, полученные на структурированных и неструктурированных тетраэдральных разбиениях с использованием векторных иерархических базисов. Предложена процедура построения оператора проектирования для двухуровневого решателя (У-цикл). Численно показана эффективность двухуровневого решателя на задаче с разрывными электрофизическими коэффициентами. Предложен подход к переходу на элементы более высоких порядков и процедура построения оператора проектирования для них.

Численно получены оценки порядка аппроксимации для векторных элементов до полного второго порядка включительно. Оценки хорошо согласуются с теоретическими. Получены оценки погрешности решения в нормах пространств К", Ьг, Н(го1).

Выполнена верификация программного комплекса и предложенных алгоритмов на ряде тестов и задач, имеющих аналитическое решение. Показана адекватность предложенного представления индукционных источников электромагнитного поля(учтепы геометрические размеры). Численные эксперименты утвердили высокую эффективность двухуровневого решателя по сравнению с итерационными решателями на подпространствах Крылова.

Разработанный программный комплекс применялся для решения прямых задач в реалистичных моделях ВИКИЗ с неоднородной по электрофизическим и геометрическим свойствам среде (скважина, каверна, про-пласток).

На сегодняшний день достаточно перспективным направлением является разработка скважинных приборов с генератором электромагнитного поля в виде тороидальной катушки. Разработанный программный комплекс будет модифицирован для исследования такого типа источников электромагнитного ноля.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Азанов А. В. Математическое моделирование электромагнитного канала связи при бурении нефтяных скважин / А. В. Азанов, В. Н. Ерёмин //' Научный вестник НГТУ. - 2008. - Т. 1(30). - С. 41-49. (рекомендован перечнем ВАК)

[2| Азанов А. В. Вычислительные схемы решения прямых задач геоэлектрики в скважинах с криволинейными границами / А. В. Азанов, Э. П. Шурина, М. И Эпов // Совместный выпуск по материалам Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании (10 - 14 сентября 2008 г.), Вычислительные технологии, том 13, Вестник КазНУ им. аль-Фараби,

серия математика, механика, информатика, № 3 (58). — 2008. — С. 9599. (рекомендован перечнем ВАК)

[3] Азанов А. В. Исследование влияния дефектов стенок скважины на результаты высокочастотного индукционного каротажа / А. В. Азанов, Э. П. Шурина, М. И. Эпов // Каротажник. - 2010,- Т. 6 (195). С. 42 -57. (рекомендован перечнем ВАК)

[4] Азанов А. В. Моделирование электрического поля в неоднородном полупространстве / А. В. Азанов // Материалы конференции: Российская научно-техническая конференция «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (26—27 апреля). — Т. 1,— Новосибирск, 2007.— С. 97-100.

[5] Азанов А. В. Моделирование электрического поля в неоднородных средах с источником не индукционного типа / А. В. Азанов // VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (27-29 ноября). — Новосибирск : Изд-во ИВТ СО РАН, 2007.

[6] Азанов А. В. Моделирование электрического поля для проверки возможности передачи сигнала в неоднородном полупространстве / А. В. Азанов // ТРУДЫ XIII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ 2007» (26—30 марта). - Т. 1. - Томск, 2007. - С. 1618.

[7] Азанов А. В. Вычислительные схемы решения прямых задач геоэлектрики в скважинах с криволинейными границами / А. В. Азанов // Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании». Труды конференции. — Алматы, Казахстан, 2008.

[8] Азанов А. В. Вычислительные схемы решения прямых задач геоэлектрики в скважинах с учетом каверн / А. В. Азанов // Трофимуков-ские чтения - 2008 Всероссийская молодежная научная конференция с

участием иностранных ученых (5-12 октября). Труды конференции. — Т. 2. - Новосибирск, 2008. - С. 168-170.

[9] Азанов А. В. Применение базисов высокого порядка при расчете гармонических электромагнитных полей / А. В. Азанов // Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008 (18-24 августа). Тезисы докладов. — Красноярск, 2008.

Технический редактор Е.В.Бекренёва Подписано в печать 02.07.2013 Формат 60x84/16. Бумага офсет №1. Гарнитура Тайме

_Печ.л. 0,9. Тираж 120. Зак. № 91_

ИНГГ СО РАН, 630090, Новосибирск, просп. Акад. Коптюга, 3

1ЙГ

Текст научной работыДиссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Азанов, Алексей Владимирович, Новосибирск

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. A.A. Трофимука Сибирского отделения Российской академии наук

На правах рукописи

04201361341

Азанов Алексей Владимирович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СРЕДАХ С ВЫСОКИМ КОНТРАСТОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЗАДАЧАМ КАРОТАЖА

25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных

ископаемых

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор технических наук профессор Шурина Э. П.

Новосибирск 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 5

Глава 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ СКВА-

ЖИННОГО КАРОТАЖА 13

1.1 Модели зондов, типы источников и измеряемые величины .... 13

1.2 Методы трехмерного математического моделирования векторных полей......................................................................16

1.2.1 Скалярные методы..............................................16

1.2.2 Векторные методы..............................................19

1.3 Выводы..................................................................21

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ЗАДАЧ ИНДУКЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ 22

2.1 Система уравнений Максвелла, краевые условия и условия на межфрагментарных границах..........................................22

2.2 Вариационные формулировки..........................................31

2.3 Дискретные подпространства..........................................37

2.4 Иерархические базисы..................................................40

2.5 Дискретные аналоги вариационных формулировок в конечномерных пространствах ......................................................50

2.6 Выводы..................................................................52

Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КОНЕЧНОЭЛЕ-МЕНТНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ, ПРОГРАММНЫЙ КОМ-

ПЛЕКС, ВЕРИФИКАЦИЯ 53

3.1 Конечноэлементные системы уравнений..............................53

3.2 Методы решения конечноэлементных СЛАУ........................57

3.2.1 Итерационные методы на подпространствах Крылова ... 60

3.2.2 Многоуровневые методы........................................62

3.3 Описание комплекса программ........................................66

3.4 Верификация программного комплекса..............................72

3.4.1 Задача с распределенным источником........................74

3.4.2 Задача с сосредоточенным источником ......................81

3.5 Тестирование поведения электромагнитного поля на границах сред с различными физическими параметрами......................82

3.6 Выводы..................................................................89

Глава 4. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ ИНДУКЦИОННЫЕ КАРОТАЖНЫЕ ИЗОПАРАМАТРИЧЕСКИЕ ЗОНДИРОВАНИЯ 91

4.1 Скважина с каверной кругового сечения, пересекающая мощный пласт и относительно слабопроводящий пропласток................93

4.2 Скважина эллиптического сечения с каверной, пересекающая пласт и слабопроводящий пропластк.................109

4.3 Выводы.................................115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 116

ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования -переменное электромагнитное поле в трехмерных составных областях с контрастными электрофизическими характеристиками.

Предметом исследования являются вычислительные схемы, реализованные на базе векторного метода конечных элементов на иерархических базисах и предназначенные для моделирования переменных электромагнитных полей в геологитческих средах с контрастными электрофизическими коэффициентами.

Актуальность работы. Разработка и реализация новых электромагнитных каротажных зондов базируется как на использовании ранее не учитываемых особенностей поведения электромагнитного поля в сложнепостроенных геологических средах, так и с изучением характеристик источников электромагнитного поля различной конфигурации. Математическое моделирование позволяет не только снизить временные затраты на испытание и тестирование вновь создаваемых приборов, но и оценить эффективность использования различных типов источников их информативность при решении задач геофизического исследования. Системы линейных уравнений, возникающие в процессе аппроксимации краевых задач электродинимики характерезуются знаконеопре-деленностью или сингулярностью, что приводит к необходимости разработки специальных процедур их решения. Следовательно, разработка эффективных вычислительных процедур для моделирования переменных электромагнитных

полей в неоднородных по электрофизическим свойствам геологических средах является актуальной задачей геоэлектрики и математической физики.

Цель работы - на основе разработанных и программно реализованных комплексов ассоциированных с ним специальных процедур предобусловливания на иерархических векторных базисных функциях высокого порядка выполнить численную имитацию сигналов электромагнитного каротажа в реалистичных моделях с учетом сильнопроводяшего бурового раствора, конечных размеров генераторных и приемных катушек, корпуса прибора и его эксцентриситета, а также неровностей стенки скважины

Задача исследования - разработать эффективные вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитных полей в частотной и временной области для реализации многовариантных расчетов. На основе разработанных вычислительных схем реализовать программный комплекс, для имитации сигналов электромагнитных зондов каротажа в реалистичных геоэлектрических моделях. Основные этапы исследования.

• На базе векторного метода конечных элементов разработать и реализовать вычислительные схемы для моделирования электромагнитных полей во временной и частотной областях в неоднородных по электрофизическим характеристикам, трехмерных средах.

• Исследовать влияние неровностей стенки скважины на показания зондов ВИКИЗ в зависимости от удельной электрической проводимости (У ЭП) бурового раствора и его контраста с исследуемой средой.

Защищаемые научные результаты:

Вычислительные схемы для моделирования электромагнитных полей во временной и частотной областях на базе векторного метода конечных элементов в неоднородных и высококонтрастных по электрофизическим характеристикам трехмерных средах.

В результате сравнительного анализа эффектов от неровностей стенки скважины и слабопроводящих тонких пропластков в сигналах ВИКИЗ показано, что они становятся соизмеримыми при повышении УЭП бурового раствора.

Научная новизна и личный вклад:

Разработаны вычислительные схемы моделирования нестационарных и гармонических электромагнитных полей на базе векторного метода конечных элементов, с учётом реальных размеров источника электромагнитного поля.

Вычислительные схемы реализованы в виде программного комплекса, позволяющего моделировать электромагнитное поле в трехмерных составных областях с контрастными электрофизическими характеристиками (электрическая проводимость, диэлектрическая и магнитная проницаемости).

Проведено исследование эффективности вычислительных схем и верификация программного комплекса на ряде тестовых задач. Получены чис-

ленные оценки порядков аппроксимации в различных нормах для векторных базисных функций до второго полного порядка включительно, согласующиеся с теоретическими результатами.

• В результате численных экспериментов выполнена оценка влияния неровностей стенки скважины на измеряемую в приемных катушках разность фаз э.д.с. в зависимости от электропроводности бурового раствора и смещения зонда. Установлено, что при повышении электрической проводимости бурового раствора влияние дефектов стенки скважины на результаты измерений становится сравнимым с реакцией на слабопроводящие про-гшастки в пластах-коллекторах.

Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается сравнением численных расчетов с использованием реализованных вычислительных схем с решениями в аналитическом виде (закон Био-Савара-Лапласа, зависимость разности фаз э.д.с для зондов ВИКИЗ в однородной проводящей среде) и натурным экспериментом, проведенным для зонда ВИКИЗ N0 0511010 на Телецком озере, результаты которого совпадают с численными расчетами с относительной погрешностью около 2%.

Фактический материал и методы исследования. При реализации вычислительных схем использовались теоретические результаты, представленные в работах Неделека [Nedelec, 1980] Mixed Finite Elements in R3, [Nedelec, 1986J A New Family of mixed Finite Elements in K3.

Для расчёта электромагнитного поля решались трехмерные краевые задачи для векторных волнового уравнения и уравнения Гельмгольца. Использова-

лась модификация векторного метода конечных элементов (ВМКЭ) на иерархических базисах второго полного порядка [Webb, 1993, 1999]. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), полученных в результате аппроксимации, применялся многоуровневый решатель, учитывающий её особенности.

Построение геометрических моделей выполнялось с использованием свободно-распространяемых генераторов тетраэдральных разбиений (GMSH, Netgen).

Практическая значимость. Полученные вычислительные схемы предназначены для расчета нестационарных и гармонических электромагнитных полей в трехмерных областях со сложной геометрией. Программный комплекс позволяет учитывать геометрические размеры генераторных и приемных катушек и выполнять расчеты в типичных моделях каротажа. Реализованный программный комплекс применялся для моделирования сигналов электромагнитных зондов в скважинах с высокопроводящим буровым раствором.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. XIII Международной научно-практической конференции студентов и молодых ученых "Современные техника и технологии СТТ 2007", г. Томск, 26 марта - 30 марта 2007 ;

2. Российская научно-техническая конференция "Информатика и проблемы телекоммуникаций", г. Новосибирск, 26 - 27 апреля 2007:

3. VII Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, г. Новосибирск, 27-29 ноября, 2007;

4. "Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий - 2008". Тезисы докладов, Красноярск, 18-24 августа 2008;

5. Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" Алматы, Казахстан, 10 - 14 сентября 2008 года;

6. "Трофимуковские чтения - 2008" Всероссийская молодежная научная конференция с участием иностранных ученых, г. Новосибирск, 5-12 октября 2008;

По теме диссертационной работы опубликовано 9 работ [1-6], в том числе 3 в рецензируемых журналах [7-9].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта "Университеты России" (проект 03.01.187), РФФИ (грант 05-05-64528), совместного международного проекта ^О-РФФИ (грант 047.016.003).

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н. профессору Элле Петровне Шуриной, а так же руководству Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука Сибирского отделения РАН и лично д.т.н. академику Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,

заключения и списка используемой литературы. Работа изложена на 135 страницах, включая 35 рисунков и 23 таблицы.

Первая глава посвящена современному состоянию проблемы и обзору литературы. В п. 1.1 рассматриваются методы геоэлектрики. В п. 1.2 представлен обзор современных методов математического моделирования, рассматриваются преимущества и недостатки различных методов моделирования.

Во второй главе представлены математические модели, сформулированы вариационные постановки и их дискретные аналоги, для моделирования нестационарных и гармонических по времени электромагнитных полей. В п. 2.1 описываются математические модели. В п. 2.2 введены пространства и сформулированы векторные вариационные постановки для рассмотренных математических моделей. В п. 2.3 вводится понятие степеней свободы и условия, которыми должны обладать базисные функции дискретных подпространств. В п. 2.4 строятся локальные иерархические векторные базисы дискретных подпространств на тетраэдральных разбиениях. В п. 2.5 представлены дискретные аналоги вариационных формулировок.

В третьей главе рассматриваются свойства конечноэлементных систем уравнений и способы их решения. Приводится описание комплекса программ. В п.3.1 рассмотрена структура и свойства СЛАУ полученных с помощью иерархических базисов. В п. 3.2 сформулированы алгоритмы решения СЛАУ методами на подпространствах Крылова и двухуровневый алгоритм, построены операторы прямого и обратного проектирования. В п. 3.3 дано описание алгоритмов программного комплекса. В п. 3.4 выполняется верификация программного

комплекса на задачах с известным аналитическим решением. В п. 3.5 приведены результаты тестирования по выполнению закона сохранения зарядов.

Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам. Представлены результаты моделирования зонда ВИКИЗ в неоднородных средах. Также проведено сравнение с решениями, полученными аналитическими методами для однородных сред.

Глава 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ СКВАЖИННОГО КАРОТАЖА

Показаны особенности прямых задач скваженной геоэлектрики и методы численного моделирования этого класса задач.

1.1. Модели зондов, типы источников и измеряемые величины

Постоянные электрические и переменные электромагнитные поля возбуждают в проводящих горных породах с помощью батарей или источников тока, подключаемых к металлическим заземленным электродам или индукционым катушкам.

Скважинная электроразведка включает способы изучения около- и меж-скважинного пространства, основанные на возбуждении и измерении сигналов поля как внутри скважин, так и на поверхности земли. Скважинные модификации применяют для разведки залежей полезных ископаемых в околосква-жинном и межскважинном пространствах, изучения формы, размеров и компонентного состава залежи, а также для согласования результатов наземных и скважинных наблюдений [10-12].

Современные методы исследования околоскважинного пространства, основанные на выявлении областей с различной удельной электрической прово-димостью(УЭП), имеют сложное оборудование и программно-аппаратные комплексы для интерпретации результатов измерений. Такие модели сред включают: скважину с буровым раствором (на ее стенках могут быть каверны, трещи-

| | 0 05 т

Непроводящий сердечник

10*П т

радиус сердечника ; 0.04 т

Рисунок 1.1 - Схема зонда с диэлектрическим корпусом

ны и другие дефекты, вызванные механическими повреждениями грунта буровым инструментом), зону фильтрации бурового раствора

В зарубежной литературе рассматривают две основные конструкции зондов |13], используемые для получения данных в процессе бурения: зонд с диэлектрическим корпусом (рисунок 1.1), зонд с проводящим корпусом (рисунок 1.2).

На корпусе расположены генераторная и две измерительные каттушки [13]. В свою очередь источник электромагнитного поля может быть либо соле-ноидальной (рикунок 1.3), либо тороидальной катушкой (рисунок 1.3);

При математическом моделировании с соленоидальными катушками в качестве измеряемого сигнала рассматривается напряженность электрического поля (Е), для тороидальных напряженность магнитного поля (Н) |14].

В большинстве случаев, при моделировании сигналов, размеры генераторных катушек считаются малыми по странению с другими характерными разме-

0.15 т

Іі

еэ

V

приемная антенна

0.05 т

0.1 т

Є

г»

о

магнитная подложка :

р=10000 Пт

М,«10000

металлический сердечник:

р т

Мг*50

Рисунок 1.2 - Схема зонда с металлическим корпусом

(а) (б)

Рисунок 1.3 Схематическое изображение генераторных катушек

рами области и их заменяют на диполями(соленоидальная катушка - вертикальный магнитный диполь , тороидальная катушка - вертикальный электрический диполь), это, несомненно влияет на точность и достоверность получаемых результатов в ближней зоне источника.

1.2. Методы трехмерного математического моделирования векторных полей

Методы моделирования электромагнитных полй делятся на два класса: аналитические и численные. К аналитическим методам решения прямых задач электромагнетизма относятся методы разделения переменных, характеристик и другие [15|. В подавляющем большинстве практических ситуаций аналитические методы либо неприменимы, либо весьма трудоемки. В частности, аналитические методы практически нельзя использовать в задачах со сложной геометрией расчетной области (сложность либо невозможность параметризации), наличие локальных неоднородностей и источников. В таких случаях целесообразно использование сеточных численных методов.

1.2.1. Скалярные методы

Широко распространенными современными численными методами являются методы конечных разностей (КР), конечных объемов (КО) и конечных элементов (КЭ).

Суть метода конечных разностей заключается в замене дифференциальных операторов уравнения на разностные, что позволяет свести решение диф-

ференциального уравнения к решению его разностного аналога. Недостатком метода является то, чт�