Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Восстановление геометрии трехмерных объектов произвольной формы по измерениям потенциальных геофизических полей

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Пруткин, Илья Леонидович

ВВЕДЕНИЕ .А

1. РЕШЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ И МАГНИТОМЕТРИИ В КЛАССЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕКТОВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ.А0.

1.1. Интегральное уравнение двумерной обратной задачи и вычислительная схема ее численного решения.

1.2. Исследование свойств интегрального оператора уравнения двумерной обратной задачи.А%

1.3. Интегральное уравнение трехмерной обратной задачи гравиметрии и алгоритм его решения.А?

1.4. Схема решения трехмерной обратной задачи магниторазведки.

1.5. Метод локальных -поправок для приближенного решения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии в классе ограниченных об'ектов.ёМ

1.6. Построение об'емной модели гранитоидного массива Кен-дыкты по магнитным данным.УЛ

2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТРЕХМЕРНОГО РЕЯЬЕФА ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ КОНТАКТ

НЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПО ГРАВИТАЦИОННЫМ И МАГНИТНЫМ ДАННЫМ.Д<?

2.1. Алгоритм решения трехмерной обратной задачи гравиметрии для одной контактной поверхности.И

2.2. Сравнение метода локальных поправок с линеаризацией и методом Ньютона-Канторовича. РА.

2.3. Исследование устойчивости схемы и возможный подход к регуляризации обратной задачи. .Я9.

2.4. Решение трехмерной обратной задачи гравиметрии для случая нескольких границ раздела. /РА.

2.5. Восстановление нескольких границ раздела по профильным магнитным данным. ./РА

2.6. Нахождение трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным.Ш.

3. ПОСТОЯННЫЙ КОНТРОЛЬ ЗА ГОРНОТЕХНОЛОГИЧЕСКММ ПРОЦЕССОМ ПО ДАННЫМ ПОДЗЕМНОЙ ГРАВИРАЗВЕЩКИ.Ш

3.1. Понятие динамической гравитационной аномалии. . MQ

3.2. Контроль за формированием компенсационной камеры.

3.3. Оценка качества разрыхления руды при массовом обрушении блока./АР.

3.4. Контроль за выпуском руды из блока под налегающими породами. .М.

4. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ СТРУКТУРНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ.ißZ

4.1. Вычисление поля проводящего полупространства с неровным рельефом границы.

4.2. Алгоритм решения обратной задачи методом локальных по

ПР8®0«.

4.3. Схема решения двумерной обратной задачи.Ачч

4.4. Задача о нахождении трехмерного рельефа нижней границы изолирующего слоя по электромагнитным данным.

4.5. Алгоритм решения прямой задачи.

4.6. Решение обратной задачи методом локальных поправок./^

4.7. Восстановление нижней границы изолирующего слоя с помощью аналитического продолжения поля вниз. /А?

Введение Диссертация по геологии, на тему "Восстановление геометрии трехмерных объектов произвольной формы по измерениям потенциальных геофизических полей"

Гравиметрия, магнитометрия и электрометрия относятся к числу основных геофизических методов. Они требуют наименьших затрат. В то же время при должной интерпретации потенциальные геофизические поля представляют собой весьма важный источник информации о строении геологического разреза.

Наиболее актуальным для повышения качества интерпретации представляется решение следующих проблем: переход к решению трехмерных обратных задач; переход от простейших моделей геологических объектов к моделям более сложной формы; учет неединственности решения обратной задачи.

Именно решению трех упомянутых задач посвящена в основном настоящая работа. В ней получен ряд теоретических результатов, построены алгоритмы и разработаны комплексы компьютерных программ для решения всех рассмотренных обратных задач в трехмерном варианте. Поскольку при переходе от обработки профильных данных к интерпретации аномалий, заданных на площади, затраты времени многократно возрастают, под решением обратной задачи в этом случае понимают обычно поиск об'ектов простейшей формы (призм, цилиндров и т.д.). Нами использовался гораздо более широкий класс об'ектов. При решении обратной задачи в "рудной" постановке, когда искомым об'ектом является ограниченное тело, единственным требованием была звездность тела относительно некоторой своей точки, т.е. возможность задать границу искомого об'екта уравнением г = г(е,р) в подходящей системе сферических координат. При решении "структурной" обратной задачи, когда искомой является граница раздела, единственным ограничением была возможность задать искомую границу уравнением 2 = е(х,у) в декартовой системе координат. Учет неединственности решения обратной задачи осуществлялся в рамках созданной А.В.Цирульским теории эквивалентных решений обратной задачи [921 . Исследованные в работе обратные задачи были сведены к нелинейным интегральным уравнениям 1-го рода относительно функций гили . Скачок плотности (намагниченности) входит в уравнения в качестве числового параметра, что позволило получать семейства решений, создающих при различных значениях скачка физических свойств одно и то же внешнее поле.

Следует отметить, что задача решения интегрального уравнения 1-го рода относится к числу существенно некорректных (неустойчивых) задач [7, с.14] , что делает необходимым привлечение идей теории регуляризации некорректных задач, разработанной А.Н.Тихоновым [80-831, В.К.Ивановым [27-30] и М.М.Лаврентьевым [39-43].

С точки зрения об'ема имеющейся геологической информации можно условно выделить две различные ситуации, возникающие при интерпретации аномалий потенциальных геофизических полей.

Первая ситуация возникает, когда имеются достаточно детальные представления о геологии данного района, позволяющие построить весьма подробное нулевое приближение для подбора. При этом под подбором понимается уточнение некоторых параметров разреза, дающее возможность в рамках выбранной модели получить несколько лучшее соответствие поля от разреза заданному. Решению обратной задачи в такой постановке посвящена обширная литература [2-4, 15-17,20,32-34,45,48,52,53,68-72,83,84].В этой ситуации представляется оправданным и решение линейных обратных задач, когда искомым является распределение физических параметров разреза. Известно, однако, что задача нахождения многих параметров разреза и, особенно,линейные обратные задачи обладают очень высокой степенью неединственности решения [13 . Единственным обоснованным подходом является поиск решения на основе теории регуляризации [34,48, 53,68,69,831 , причем обычно в данном случае под регуляризованным решением понимается решение, удовлетворяющее заданным значениям поля и минимально отклоняющееся от разреза, построенного по априорным геолого-геофизическим данным. Можно сказать, что решение строится в основном по имеющейся априорной информации и не противоречит полю.

Принципиально другая ситуация возникает в случае, когда имеющаяся информация сводится в основном к заданным значениям поля. При этом весьма важен учет неединственности решения обратной задачи. В такой ситуации наиболее обоснованным , на наш взгляд, является применение двухэтапного подхода к интерпретации, идея которого была высказана в работах [75,90] . Этот подход был реализован в двумерном случае [49,50,85,86,91,923. К его достоинствам следует отнести отсутствие нежелательных предварительных гипотез о свойствах источников, что позволяет на втором этапе, учитывая имеющуюся геологическую информацию, анализировать альтернативные варианты геологического разреза.

Двухэтапный подход к интерпретации гравимагнитных аномалий заключается в следующем :

1. На первом этапе наблюденное поле аппроксимируется некоторым классом потенциалов с особенностями в нижнем полупространстве. На этом этапе никаких гипотез о количестве источников и их физических свойствах не требуется.

2. На втором этапе близлежащие особенности предполагаются принадлежащими полю одного однородного об'екта, причем могут быть опробованы различные варианты объединения особенностей. Задача, которую при этом необходимо уметь решать, состоит в следующем: по заданному в явном виде потенциалу или какой-либо из его производных требуется найти эквивалентное семейство об'ектов, создающих с разными значениями плотности (величины намагниченности) заданное поле. В дальнейшем эту задачу мы будем называть теоретической обратной задачей (Т.0.3.) . Конкретные объекты из эквивалентных семейств должны выбираться с учетом имеющейся геологической информации.

Реализация двухэтапного подхода к интерпретации в трехмерном случае представляет несомненный интерес. Решающей для этого является возможность осуществить второй этап интерпретации, т.е. умение решать трехмерные Т.0.3. гравиметрии и магнитометрии. Именно эти вопросы послужили исходным пунктом нашего исследования.

При реализации двухэтапного подхода в двумерном случае в качестве аппроксимационного класса использовались классы потенциалов, для которых обратная задача разрешима в конечном виде (по терминологии В.К.Иванова [251), что привело к существенному упрощению второго этапа интерпретации [85,91]. Однако при этом делалось невозможным использование для второго этапа интерпретации результатов подбора, проведенного другими методами. Кроме того, в ситуации, когда какой-либо вариант разреза уже построен без привлечения классов потенциалов, для которых обратная задача разрешима в конечном виде, для анализа возможного альтернативного варианта разреза требовалось заново провести подбор. В связи с этим даже в двумерном случае представляет интерес разработка эффективных методов реализации второго этапа для произвольных классов потенциалов.

В трехмерном случае классов потенциалов, для которых обратная задача разрешима в конечном виде, пока не выделено, а применение в этом случае разработанных двумерных методов может привести к существенным искажениям. Именно поэтому разработка методов решения трехмерной Т.0.3. для произвольных классов потенциалов представляется достаточно актуальной.

Как отмечено выше, задача нахождения геометрии трехмерного ограниченного тела произвольной формы по гравитационным или магнитным данным сводится к нелинейному интегральному уравнению 1-го рода относительно функции г(в,ф) - правой части уравнения границы тела в сферической системе координат. Если исходить при выводе интегральных уравнений из представлений потенциала в виде об'емного интеграла, то подынтегральные функции уравнений оказываются довольно сложными и, кроме того, являются трансцендентными относительно г(д,<р) , что приводит к существенному увеличению времени счета при численном решении уравнений. Другим возможным подходом к получению интегральных уравнений обратных задач гравиметрии и магнитометрии является использование представлений поля в виде поверхностных интегралов по границе об'екта. Подынтегральные функции в этом случае являются алгебраическими относительно г(в,ф) , но в них входят производные искомой функции, т.е. уравнения становятся интегро-дифференциальными. Это обстоятельство существенно затрудняет решение обратной задачи, так как искомая функция находится приближенно, а дифференцирование таких функций является, как известно, некорректной задачей.

В работе получены новые интегральные уравнения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии, свободные от указанных недостатков. Подынтегральные функции в них сравнительно просты и, что особенно важно, являются алгебраическими относительно г(в,ф) и не содержат производных искомой функции.

Построены вычислительные схемы численного решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии на основе полученных уравнений. Были исследованы вопросы параметризации искомого решения, выбора носителей информации и нулевых приближений, способов численного интегрирования, метода нелинейной минимизации, путей регуляризации задачи.

Как оказалось, для достаточно детального описания геометрии об'екта в трехмерном случае требуется искать не менее 25 коэффициентов разложения г(е,<р) . Задача нелинейной минимизации с таким числом искомых параметров является достаточно трудоемкой. Затраты времени могут быть значительно сокращены, если нам удастся предварительно построить хорошее нулевое приближение для решения обратной задачи на основе нелинейной минимизации. В дальнейшем мы перешли от использования процедур нелинейной минимизации к методу Ньютона-Канторовича, который также является весьма чувствительным к выбору хорошего нулевого приближения. С целью нахождения такого приближения нами был разработан приближенный метод решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии, получивший название метода локальных поправок.

Его опробование показало, что получающиеся результаты достаточно часто оказываются немногим хуже, чем при решении на основе нелинейной минимизации, а время счета - на порядок меньше. Другими словами, метод локальных поправок не только позволяет, резко сократив вычисления, получить хорошее нулевое приближение, но и, в ряде случаев, - вполне приемлемое с практической точки зрения решение. Кроме того, метод локальных поправок позволил построить весьма простые вычислительные схемы для численного решения целого ряда обратных задач, актуальных для разведочной геофизики. Эти обстоятельства, по-видимому, дают основание рассматривать метод локальных поправок как самостоятельный приближенный метод решения обратных задач.

На основе метода локальных поправок удалось построить вычислительные схемы не только для решения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии в классе ограниченных объектов, но и для восстановления одной и нескольких трехмерных контактных поверхностей по гравитационным или магнитным данным. Более того, метод позволяет решать обратные задачи с неявно заданным оператором, к которым относится задача нахождения трехмерного рельефа границы раздела сред различной проводимости по данным электроразведки на постоянном токе и электромагнитным данным в некоторых приближениях.

Разработанные алгоритмы в основном предназначены для решения задач разведочной геофизики. Оказалось, однако, что они могут быть успешно применены и для решения задач горной геофизики. На основе алгоритмов решения структурных обратных задач был разработан комплекс программ для нахождения трехмерного рельефа недоступных плотностных границ в блоке по данным подземной гравираз-ведки, что позволило осуществлять постоянный контроль за горнотехнологическим процессом на работающем руднике с подземным способом добычи.

Цель работы состоит в исследовании ряда теоретических вопросов, связанных с решением трехмерных обратных задач гравиметрии, магнитометрии и электрометрии, разработке на этой основе

-иалгоритмов восстановления геометрии трехмерных ограниченных об'-ектов произвольной формы, одной и нескольких трехмерных границ раздела по гравитационным, магнитным и электромагнитным данным, а также в применении алгоритмов для решения задач разведочной и горной геофизики.

Научная новизна проведенных исследований состоит в следующем :

1. Получено новое, более простое интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала. Сформулирован критерий эквивалентности двух областей по внешнему полю. Исследованы свойства интегрального оператора уравнения линеаризованной обратной задачи и в частном случае показано, что он является самосопряженным и положительно определенным.

2. Выведены новые,более простые интегральные уравнения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии. В отличие от известных ранее уравнений, подынтегральные выражения в них являются алгебраическими относительно искомой функции и не содержат ее производных.

3. Построены вычислительные схемы численного решения полученных уравнений. Исследованы вопросы параметризации искомого решения, выбора носителя информации и нулевого приближения, формул для численного интегрирования, метода нелинейной минимизации, способа регуляризации задачи.

4. Предложен новый метод приближенного решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии, получивший название метода локальных поправок. Метод позволяет сократить примерно на порядок затраты времени при численном решении обратных задач. На его основе построены весьма простые алгоритмы для решения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии в классе ограниченных об'ектов, восстановления одной и нескольких трехмерных контактных поверхностей по гравитационным и магнитным данным.

5. Продемонстрирована возможность применения алгоритмов в горной геофизике : разработан комплекс программ для восстановления недоступных плотностных границ на работающем руднике с подземным способом добычи по данным подземной гравиразведки. Использование методики делает горнотехнологический процесс более управляемым» приводит к более полному извлечению запасов из недр.

6. Показана применимость метода локальных поправок для решения обратных задач с неявно заданным оператором : построены алгоритмы для нахождения трехмерного рельефа границы раздела сред различной проводимости по данным электроразведки на постоянном токе и по электромагнитным данным.

7. Введен комплексный потенциал постоянного электромагнитного поля. Для него получено представление в виде интеграла типа Коши. На этой основе показано, что по измерениям электрического поля можно восстановить значения функции, конформно отображающей слой, ограниченный дневной поверхностью и искомой границей раздела, на горизонтальный слой, что позволило свести обратную задачу к линейному интегральному уравнению 1-го рода типа свертки с быстро затухающим ядром.

Практическая ценность проведенных исследований состоит в том, что они в сочетании с программами подбора трехмерных аномалий сингулярными источниками (стержнями) сделали возможной реализацию двухэтапного метода интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, заданных на площади.

В работе решаются непосредственно интегральные уравнения об

1Ъратных задач гравиметрии и магнитометрии, причем не делается никаких предположений о свойствах правых частей уравнений, т.е. решение ищется для произвольных классов потенциалов. В связи с этим полученные результаты могут оказаться полезными в ситуации, когда некоторый вариант разреза уже построен. В таком случае разработанные методы дают возможность рассмотреть различные варианты эквивалентных решений, что позволяет проанализировать альтернативные варианты разреза.

Алгоритмы решения структурных обратных задач, основанные на методе локальных поправок, позволяют восстанавливать геометрию одной и нескольких трехмерных контактных поверхностей по гравитационным или магнитным данным без предварительного подбора, непосредственно по измерениям на площади.

Комплекс программ для восстановления недоступных плотностных границ на работающем руднике с подземным способом добычи дает возможность на основе интерпретации данных подземной гравиразвед-ки осуществлять постоянный контроль за всеми тремя основными этапами горнотехнологического процесса : формированием компенсационной камеры, разрыхлением массива с помощью взрыва, выпуском руды под налегающими пустыми породами.

Алгоритмы нахождения трехмерного рельефа границы раздела сред различной проводимости позволяют проводить трехмерную интерпретацию данных электроразведки. Составной частью алгоритмов является процедура вычисления аномального электрического потенциала и компонент магнитного поля проводящего полупространства с произвольным трехмерным рельефом, которая используется для моделирования на площади данных метода заряда с измерением магнитного поля.

Защищаемые положения :

1. Разработаны алгоритмы восстановления геометрии трехмерных ограниченных объектов произвольной формы по гравитационным и магнитным данным. Теоретической основой алгоритмов являются новые, более простые интегральные уравнения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии, а также метод локальных поправок, позволяющий примерно на порядок сократить затраты времени при численном решении обратных задач.

2. Построены вычислительные схемы для нахождения по гравитационным иж магнитным данным трехмерной геометрии одной и нескольких контактных поверхностей. Схемы успешно применены для практического восстановления трехмерного рельефа геологических границ.

3. Полученные результаты позволили реализовать в трехмерном варианте двухэтапный подход к интерпретации гравитатационных и магнитных аномалий, заданных на площади. Соответствующие программы опробованы на большом количестве теоретических и практических примеров и внедрены в ряде научных и производственных организаций.

4. Разработанные алгоритмы успешно применены для решения задач горной геофизики. Разработан комплекс программ для постоянного контроля за горнотехнологическим процессом по данным подземной гравиразведки.

5. Доказана возможность решения на основе метода локальных поправок обратных задач с неявно заданным оператором : построены алгоритмы для нахождения трехмерного рельефа границы раздела сред различной проводимости по данным электроразведки на постоянном токе и по электромагнитным данным в квазистатическом приближении.

06'ем и структура работы. Работа состоит из введения, 4 глав и заключения.

Первая глава посвящена разработке алгоритмов решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии в классе ограниченных об'ектов произвольной формы. Основные результаты главы состоят в следующем :

1. Получены новые, более простые интегральные уравнения обратной задачи логарифмического потенциала и линеаризованной двумерной обратной задачи. Установлена связь моментов потенциала с коэффициентами разложения степеней г(р) в ряд Фурье и на этой основе сформулирован критерий эквивалентности двух областей по внешнему полю. Исследованы свойства интегрального оператора уравнения линеаризованной обратной задачи и для важного частного случая показано, что он является самосопряженным и положительно определенным.

2. Выведены новые, более простые интегральные уравнения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии. В отличие от известных ранее уравнений, подынтегральные выражения в них являются алгебраическими относительно искомой функции и не содержат ее производных.

3. Построены вычислительные схемы численного решения полученных уравнений. Исследованы вопросы параметризации искомого решения, выбора носителя информации и нулевого приближения, формул для численного интегрирования, метода нелинейной минимизации, способа регуляризации задачи.

4. Предложен новый метод приближенного решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии, получивший название метода локальных поправок. Его применение для восстановления геометрии трехмерных ограшчешых об'ектов позволяет сократить примерно на порядок затраты времени при численном решении обратных задач.

5. Разработанные алгоритмы в сочетании с программами подбора дали возможность реализовать в трехмерном случае двухэтапный подход к интерпретации. Его работоспособность продемонстрирована на примере построения об'емной модем гранитоидного массива Кен-дыкты.

Вторая глава посвящена разработке алгоритмов для восстановления трехмерного рельефа одной и нескольких контактных поверхностей по гравитационным и магнитным данным. Основные результаты главы состоят в следующем :

1. На основе метода локальных поправок разработана вычислительная схема решения обратной задачи для случая одной границы раздела.

2. Проведено сравнение построенной схемы с решением линеаризованной задачи и методом Ньютона-Канторовича.

3. Исследована неустойчивость обратной задачи и предложен возможный подход к ее регуляризации.

4. Разработаны алгоритмы восстановления нескольких границ раздела по гравитационным и магнитным данным. Для последнего случая построен алгоритм нахождения более точного решения обратной задачи, основанный на методе Ньютона-Канторовича и продолжении поля вниз.

5. Приведен практический пример восстановления трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным.

В третьей главе разработанные алгоритмы применены для решения задач горной геофизики. Построен комплекс программ для нахождения геометрии недоступных плотностных границ на работающем руднике с подземным способом добычи по данным подземной гравираз-ведки. Показана возможность контроля за перемещением плотностной границы по измерениям динамической гравитационной аномалии. На этой основе разработаны алгоритмы для управления процессом формирования компенсационной камеры, для оценки степени разрыхления массива после проведения взрывных работ, а также для контроля за положением границы руда-порода при выпуске руды под налегающими пустыми породами.

Четвертая глава посвящена решению обратных задач с неявно заданным оператором, к которым относятся задачи нахождения трехмерного рельефа границы раздела сред различной проводимости по электромагнитным данным. Основные результаты главы :

1. Исследованы проблемы при решении прямой задачи, связанные как с близостью источника первичного поля к искомой границе, так и с учетом влияния границы земля-воздух.

2. Построены вычислительные схемы решения обратной задачи по данным электроразведки на постоянном токе и по электромагнитным данным в квазистатическом приближении, основанные на методе локальных поправок.

3. Для случая двумерного рельефа введен комплексный потенциал постоянного электромагнитного поля, являющийся аналитической функцией комплексного переменного вне источников первичного поля. Для него получено представление в виде интеграла типа Коши. На этой основе показано, что по измерениям электрического поля можно восстановить значения функции, конформно отображающей слой, ограниченный дневной поверхностью и искомой границей раздела, на горизонтальный слой. Данное обстоятельство позволило свести обратную задачу к линейному интегральному уравнению 1-го рода типа свертки с быстро затухающим ядром.

4. Исследованы возможности упрощения алгоритма решения обратной задачи, связанные с предположением о том, что измеренное поле может быть продолжено в окрестность искомой границы. Разработан алгоритм, основанный на процедуре аналитического продолжения поля вниз. Нахождение границы свелось при этом к решению обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Реализация работы. Все изложенные в работе вычислительные схемы реализованы в программах для ЭВМ. Разработанные программы внедрены по хоздоговорам в ряде научных и производственных организаций : Институте геологии и геофизики АН УзССР, ПГО "Красно-ярскгеология" , НПО "Рудгеофизика" , ПГО "Башкиргеология" , НПО "Сибруда" , Гороблагодатском рудоуправлении.

Публикации. Все основные результаты настоящей работы опубликованы [ 8, 55-65, 93, 941.

Апробация работы. По материалам диссертации были сделаны доклады на Всесоюзном семинаре им. Успенского "Вопросы геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" ( Киев, 1980; Пермь, 1982; Москва, 1983, 1985, 1988; Киев,1989; Алма-Ата, 1990; Днепропетровск,1991; Москва, 1992), Всесоюзных школах - семинарах "Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий" ( Ялта, 1980; Алма-Ата, 1984; Ленина-кан, 1986), Уральской конференции "Геология и полезные ископаемые Урала" ( Свердловск, 1981, 1983, 1986, 1989, 1991), IV Всесоюзном с'езде по магнетизму ( Суздаль, 1991), II Научно-техническом совещании по геотомографии ( Свердловск, 1991), Международном семинаре "Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей" ( Москва, 1993; Воронеж, 1996; Москва, 1997), Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике памяти Л.В.Канторовича ( Новосибирск, 1994), Российской конференции "Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических полей" (Екатеринбург,1996), Всероссийской научной конференции "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" памяти В.К.Иванова ( Екатеринбург, 1995, 1998), заседании Специальной рабочей группы "Комплексная интерпретация гравитационных данных" Международной геодезической ассоциации ( Люксембург, 1996).

Работа выполнена в лаборатории математической геофизики Института геофизики УрО РАН. Автор хотел бы с благодарностью вспомнить своего первого научного руководителя А.В.Цирульского, под руководством которого автору посчастливилось работать с 1978 по 1990 год. Большое влияние на автора оказали таете В.К.Иванов, один из создателей теории регуляризации некорректных задач, чьи лекции автор слушал в университете; В.Н.Страхов, глава научного направления, к которому относит себя автор, бессменный научный руководитель семинара им. Успенского, где автор с 1980 по 1997 г. впервые докладывал свои результаты; Г.М.Воскобойников, создатель и многолетний заведующий лаборатории математической геофизики. Весьма полезными для автора были обсуждения полученных результатов с П.С.Мартышко, нынешним заведующим упомянутой лаборатории.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика", Пруткин, Илья Леонидович

Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем :

1. Разработаны алгоритмы восстановления геометрии трехмерных ограниченных об * ектов произвольной формы по гравитационным и магнитным данным. Теоретической основой алгоритмов являются новые, более простые интегральные уравнения трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии, подынтегральные выражения которых являются алгебраическими относительно искомой функции и не содержат ее производных, а также метод локальных поправок, позволяющий примерно на порядок сократить затраты времени при численном решении обратных задач.

2. Построены вычислительные схемы для нахождения по гравитационным или магнитным данным трехмерной геометрии одной и нескольких контактных поверхностей. Схемы успешно применены для практического восстановления трехмерного рельефа геологических границ.

3. Полученные результаты позволили реализовать в трехмерном варианте двухэтапный подход к интерпретации гравитатационных и магнитных аномалий, заданных на площади. Соответствующие программы опробованы на большом количестве теоретических и практических примеров и внедрены в ряде научных и производственных организаций.

4. Продемонстрирована возможность применения алгоритмов в горной геофизике : разработан комплекс программ для восстановления недоступных плотностных границ на работающем руднике с подземным способом добычи по данным подземной гравиразведки. Исполь

-Ц7зование методики делает горнотехнологический процесс более управляемым, приводит к более полному извлечению запасов из недр.

5. Показана применимость метода локальных поправок для решения обратных задач с неявно заданным оператором : построены алгоритмы для нахождения трехмерного рельефа границы раздела сред различной проводимости по данным электроразведки на постоянном токе и по электромагнитным данным в квазистатическом приближении.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиография Диссертация по геологии, доктора физико-математических наук, Пруткин, Илья Леонидович, Екатеринбург

1. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М. : Наука, 1978. 352 с.

2. Аронов В.И. Методы математической обработки геологических данных на ЭВМ. М. : Недра, 1977. 168 с.

3. Вулах Е.Г., Ржаницын В.А., Маркова М.Н. Применение метода минимизации для решения задач структурной геологии по данным грави-разведки. Киев : Наукова думка, 1976. 220 с.

4. Булах Е.Г., Бабенко Л.В., Зейгельман М.С., Маркова М.Н., Ржаницын В.А. Математические методы и автоматизированные системы интерпретации потенциальных полей. // Геофиз. журнал, 1980, т. 2, N 6. С. 69 75.

5. Бурьян Н.Р., Анищенко Н.М., Плишко И.В. и др. Опыт решения горнотехнических задач методами подземной гравиметрии. // Горный журнал, 1983, N 7. С. 52-54.

6. Васин В.В. Итерационная регуляризация монотонных операторных уравнений в полуупорядоченных В-пространствах. // Докл. РАН, 1995, т. 341, N 2. С. 151-155.

7. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ "Наука", 1993. 262 с.

8. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. О восстановлении трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным. // Изв. РАН. Физика Земли, 1996, N 11. С. 58-62.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1971. 512 с.

10. Воскобойников Г.М. О вычислении стационарных электромагнитных полей в некоторых кусочно-однородных средах.//Изв. АН СССР.Физика

11. Земли, 1973, N 9. С. 63-75.

12. Гласно В.Б., Остромогильский А.X.Филатов В.Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе метода регуляризации. // ЖВМ и МФ, 1970, т. 10, N 5. С. 1292 1297.

13. Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Страхов В.Н. и др. Метод регуляризации А.Н.Тихонова в современной разведочной геофизике.//Изв. АН СССР. Физика Земли, 1977, N 1. С. 24 35.

14. Гласко В.Б., Старостенко В.И. Регуляризующий алгоритм решения системы нелинейных уравнений в обратных задачах геофизики.// Изв. АН СССР. Физика Земли, 1976, N 3. С. 44 53.

15. Головков В.П., Симонян А.0.Яковлева С.В. Расчет поля скоростей на поверхности ядра Земли по данным о геомагнитных джерках.// Геомагнетизм и аэрономия, 1996, т. 36, N 1. С. 114 126.

16. Гольдшмидт В.И. Метод нелокального поиска в обратной задаче гравиметрии. // Изв. АН СССР.Физика Земли, 1979, N 5. С. 105-113.

17. Гольдшмидт В.И. Оптимизация процесса количественной интерпретации данных гравиразведки. М. : Недра, 1984. 184 с.

18. Гольцман Ф.М. Статистические модели интерпретации. М.: Наука, 1971. 328 с.

19. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М. : Наука, 1977. 512 с.

20. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М. : Наука, 1983. 416 с.

21. Завойский В.Н., Неижсал Ю.Е. О решении обратной задачи магниторазведки путем минимизации суммы модулей линейных функций. // Докл. АН УССР. Сер Б, 1975, N 7. С. 583 585.

22. Заморев А.А. Обратная двухмерная задача потенциала.//Докл. АН СССР, 1941, т. 31, N 9. С. 872 874.

23. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София : Изд. Болг. АН, 1968. 154 с.

24. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному.//Изв.АН СССР. Сер. матем., 1956, т. 20, N 6. С. 793-818.

25. Иванов В.К. Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы Полна. // Матем. сб., 1956, т.40, вып. 3. С. 333 341.

26. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. // Докл. АН СССР, 1956, т.106, N 4. С. 598, 599.

27. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала. // Докл. АН СССР, 1962, т. 142, N 5. С. 998 1000.

28. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. // Докл.АН СССР, 1962, Т. 145. С. 270 272.

29. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. // Матем.сб., т. 61. С. 211 223.

30. Иванов В.К. Об интегральных уравнениях Фредгольма 1 рода. // Дифф. уравн., 1967, т. 3, N 3. С. 410 421.

31. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. : Наука, 1978. 206 с.

32. Казинский В.А. Вопросы гравиметрии и методы ее применения в горном деле. М. : Наука, 1969. 204 с.

33. Калинина Т.Б. Количественная оценка предельной эффективности решения обратных задач. // Изв. АН СССР.Физика Земли, 1970, N 8. С. 49-61.

34. Кобрунов А.И. Анализ линейных приближений обратной задачиструктурной гравиметрии. // Докл. iH УССР. Сер. Б., 1982, N9. С. 7 10.

35. Кобрунов A.M. К вопросу об интерпретации аномальных гравитационных полей методом оптимизации (трехмерная задача). // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1979, N 10. С. 67 77.

36. Кобрунов А.И.,Журавлева О.И. Использование спектральных представлений для решения обратной задачи гравиметрии (равномерная оптимизация).//Изв. АН СССР.Физика Земли, 1991, N 5. С. 47-58.

37. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных сотрудников и инженеров. М. : Наука, 1973. 832 с.

38. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М. : Наука, 1966. 370 с.

39. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977. 408 с.

40. Лаврентьев М.М. 0 задаче Коши для уравнения Лапласа. // Изв. Mi СССР, сер. матем., 1956, N 20. С. 53 60.

41. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной задаче теории потенциала. // Докл. АН СССР, 1956, Т. 106. С. 861 864.

42. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях 1 рода. // Докл.АН СССР, 1960, Т. 133. С. 1102 1105.

43. Лаврентьев М.М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений.//Докл. АН СССР, 1965, т. 160, N 1. С. 32-35.

44. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск : Изд. СО АН СССР, 1962. 92 с.

45. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: ГИФМЛ, 1961. 524 с.

46. Ломтадзе В.В. Интерпретация гравитационных аномалий способом эквивалентных призм. // Вопросы разведочной геофизики : Сб.Вып.8.

47. Л. : Недра, 1968. С. 36 40.

48. Мартышко П.С. 0 решении обратной задачи электроразведки на постоянном токе для произвольных классов потенциалов.//Изв.АН СССР.Физика Земли, 1986, N 1. С. 87-92.

49. Мартышко П.С. Интегродифференциальные уравнения для переменных электромагнитных полей.// Изв. АН СССР. Физика Земли, 1990, N 5. С. 55-62.

50. Мудрецова Е.А., Филатов В.Г. Определение глубины залегания, формы, избыточной плотности на участке модуляции контактной поверхности. // Прикладная геофизика : Сб.Вып.78. М.: Недра, 1975. С. 153 158.

51. Никонова Ф.И. Использование одного нового класса потенциалов для приближенного решения обратной задачи гравиразведки и магниторазведки.//Прикладная геофизика. Сб. Вып. 93. М. : Недра, 1978. С. 153 165.

52. Никонова Ф.И., Цирульский A.B. Интерпретация гравимагнитных аномалий на основе классов потенциалов, для которых обратная задача разрешима в конечном виде.//Изв. АН СССР.Физика Земли, 1978, N 2. С. 74 85.

53. Новоселицкий В.М. К теории определения изменения плотности в горизонтальном пласте по аномалиям силы тяжести. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1965, N 5. С. 25 32.

54. Оганесян С.М., Старостенко В.И. О корректности постановки задач геофизики, представленных в виде систем уравнений, и итерационных методах их решения.// Изв. АН СССР.Физика Земли, 1978, 1 8. С. 54 64.

55. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Параметрический функционал А.Н.Тихонова и итерационные методы решения некорректных задачгеофизики. // Изв. АН СССР.Физика Земли, 1978, N 1. С. 63 76.

56. Петров A.A., Федоров А.Н. Интерпретация данных электроразведки постоянным током в условиях неровного рельефа.//Изв.АН СССР. Физика Земли, 1989, N 12. С. 84-88.

57. Пруткин И.Л. О приближенном решении трехмерных обратных задач гравиметрии и магнитометрии методом локальных поправок.//Изв. АН СССР.Физика Земли, 1983, N 1. С. 53-58.

58. Пруткин И.Л. О решении трехмерной обратной задачи гравиметрии в классе контактных поверхностей методом локальных поправок.// Изв.АН СССР.Физика Земли, 1986, N 1. С. 67-77.

59. Пруткин И.Л. О предварительной обработке измерений, заданных на площади. // Методы интерпретации и моделирования геофизических полей. Свердловск : Изд-во УрО АН СССР, 1988. С.11-15.

60. Пруткин И.Л. Нелинейные обратные задачи потенциала и построение двухслойных моделей Земли и Луны.//Изв.АН СССР.Физика Земли, 1989, N 11. С. 59 66.

61. Пруткин И.Л. О восстановлении нескольких границ раздела по профильным магнитным данным.// Теория, методы интерпретации и математического моделирования геофизических полей. Свердловск : Изд-во УрО АН СССР, 1991. С. 40-45.

62. Пруткин И.Л. О решении двумерной обратной задачи потенциала в классе ограниченных об'ектов. Там же. С. 53 60.

63. Пруткин И.Л. О решении структурных обратных задач электроразведки на постоянном токе.// Геоэлектрические исследования контрастных по электропроводности сред. Екатеринбург : Наука, Уральское отделение, 1996. С. 12-27.

64. Пруткин И.Л. О решений трехмерных структурных обратных задач электроразведки. // Теория и практика интерпретации данных электромагнитных геофизических методов. Екатеринбург : Наука, Уральское отделение, 1996. С. 7 10.

65. Пруткин И.Л. Изучение рельефа границы ядро мантия и динамики вещества ядра по гравитационным и магнитным данным. // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М. : ОИФЗ РАН, 1997. С. 21.

66. Пруткин И.Л. О нахождении трехмерного рельефа границы проводящего полупространства по электромагнитным данным. // Изв. РАН. Физика Земли, 1998, N 4. С. 62 66.

67. Пруткин И.Л., Цирульский А.В. О решении трехмерной обратной задачи магниторазведки. // Изв.АН СССР. Физика Земли, 1984, N 6. С. 79-85.

68. Сагитов М.У. Лунная гравиметрия. М. : Наука, 1979. 432 с.

69. Светов Б.С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. М. : Наука, 1988. 344 с.

70. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев : Наук, думка, 1978. 228 с.

71. Старостенко В.И., Оганесян С.М. Устойчивые операторные процессы и их применение в задачах геофизики. // Изв.АН СССР. Физика Земли, 1977, N 5. С. 61 75.

72. Старостенко В.И., Дядура В.А., Заворотько А.Н. Об интерпретации гравитационного поля методом подбора. // Изв.АН СССР. Физика Земли, 1975, N 4. С. 78 85.

73. Старостенко В.И.,Заворотько А.Н. Решение обратной задачи гравиметрии для нескольких контактных поверхностей.//Изв.АН СССР.Физика Земли, 1982, N 3. С. 46-61.

74. Страхов В.Н. К теории метода подбора.//Изв.АН СССР, сер. гео-физ., 1964, N 4. С. 494 509.

75. ТЗ. Страхов В.H. Сведение проблемы аналитического продолжения в горизонтальный слой к решению .линейных интегральных уравнений первого рода типа свертки с быстро убывающими ядрами.//Изв.АН СССР. Сер. геофиз., 1963, N 8. С. 1206-1221.

76. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. I. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1967, N 4. С. 36-54.

77. Страхов В.Н. Функциональные уравнения плоской обратной задачи потенциала и численные алгоритмы приближенного решения этой задачи. // ДОКЛ. АН СССР, 1973, Т. 213, N 4. С. 87-90.

78. Страхов В.Н. Теория приближенного решения линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве и ее использование в разведочной геофизике.// Изв. АН СССР. Физика Земли, 1969, N 8. С. 3054. N 9. С. 64 97.

79. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, N 2. С. 43-65.

80. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, N 6. С. 39-60.

81. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Метод аналитического продолжения трехмерных потенциальных полей. // Теория и практика геологической интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Алма-Ата, 1984. Т.2. С. 68-70.

82. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. //Докл. АН СССР, 1943, Т.39, N 5. С. 501 504.

83. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач.//Докл. АН СССР, 1963, Т. 151, N 3. С. 791 794.

84. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1979. 286 с.

85. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение методов регуляризации в нелинейных задачах. // ЖВМ и МФ, 1965, т. 5, N 3. С. 463 473.

86. Тяпкин К.Ф. Метод подбора (неформализованный) при решении геологических задач.//Гравиразведка. М. : Недра, 1981. С. 296 301.

87. Федорова Н.В., Шрульский A.B. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала для контактной поверхности в конечном виде. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1976, N 10. С. 61-72.

88. Федорова Н.В., Цирульский A.B. Об обратной задаче для контактной поверхности. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1978, N 3. С. 38 47.

89. Харди Г.Х., Рогозинский В.В. Ряды Фурье. М. : Физматгиз, 1962. 156 с.

90. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. : Мир, 1975. 320 с.

91. Цирульский A.B. О некоторых свойствах комплексного логарифмического потенциала однородной области. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1963, N 7. С. 1072-1075.

92. Цирульский A.B. О решении прямой и обратной задачи гравираз-ведки.//Изв. АН СССР. Физика Земли, 1974, N 7. С. 84-90.

93. Цирульский A.B., Никонова Ф.И. К вопросу о разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде. //Изв. АН СССР. Физика Земли, 1975, N 5. С. 37-47.

94. Цирульский A.B., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений.Свердловск:Изд.УНЦ АН СССР,1980.150 с.

95. Цирульский А.В., Пруткин И.Л. О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалов. // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1981, N 11. С. 45-61.

96. Юткин И.А., Пруткин И.Л. Об использовании гравиметрии при решении горнотехнических задач.// Методы интерпретации и моделирования геофизических полей. Свердловск : Изд-во УрО АН СССР, 1988. С. 90 94.

97. Яновский Б.М. Земной магнетизм. Л. : Изд-во ЛГУ, 1978. 592 с.

98. Barker F.S., Barraclough D.R., Malin S.R.C. World magnetic charts for 1980 spherical harmonic models oi the geomagnetic field and Its secular variations. // Geophys.J.Roy.Astron.Soc., 1981, v. 65, p.p. 523 - 533.

99. Bloxham J., Jackson A. Lateral temperature variations at the core-mantle boundary deduced irom the magnetic field. // Geophys. Research Letters, 1990, v. 17, N 11, p.p. 1997 2000.

100. Doornbos D.J., Hilton T. Models of the Core-Mantle Boundary and the Travel Times of Internally Reflected Core Phases.//J.Geophys. Res., 1989, v. 94, NB11, p.p. 15,741 15,751.

101. Garland G.D. The figure of the Earth's core and the nondipole field. // J. Geophys. Res., 1957, v. 62, p. 486.

102. Gudmundsson 0., Clayton R.W., Anderson D.L. Core mantle boundary topography Inferred from ISC PcP travel times.//Trans. Amer. Geophys. Union, 1986, v. 67, N 44 , p. 1100.

103. Hide R. Motions of the main geomagnetic field.// Science, 1967, v. 157, N 3784, p.p. 55,56.

104. Hide R. Interaction between the Earth's liquid core and solid mantle. // Nature, 1969, v.222, N 5198, p.p. 1055, 1056.

105. Hide R., Horal K.I. On the topography of the core-mantleinterface. // Phys. Earth Planet. Inter., 1968, v. 1, N5, p.p. 305 303.

106. Hide R., lalin S.R.C. Novel correlations between global features of the Earth's gravitational and magnetic fields. // Nature, 1970, v. 225, N 5233, p.p. 605-609.

107. Ivan M. On the Upward Continuation of Potential Field Data between Irregular Surfaces. // Geophys.Prosp., 1986, v.34, N 5, p.p. 735-742.

108. Kaula W.I. The gravity and shape of the loon. // Trans.Amer. Geophys.Union, 1975, v. 56, N 6, p.p. 309 316.

109. Liu G., Becker A. Two-dimensional mapping of sea ice keels with airborne electromagnetics. // Geophysics, 1990, v. 55, N 2, p.p. 239-248.

110. Morelli A., Dzlewonski A.M. Topography of the core mantle boundary and lateral homogeneity of the liquid core.// Nature, 1987, v. 325, N 6106, p.p. 678-683.

111. Oppliger G.L. Three-dimensional terrain corrections for mise -a-la-masse and magnitometrie resistivity surveys.// Geophysics, 1984, v. 49, N 10, p.p. 1718-1729.

112. Sjogren W.L. Lunar gravity estimate : independent confirmation. //J. Geophys. Res. , 1971, v. 76, N 29, p.p. 7021-7026.

113. Wagner C.A., Lerch F.J., Brownd J.E., Richardson J.A. Improvement in the geopotential derived from satellite and surface data (GEM 7 and GEM 8). // J.Geophys.Res., 1977, v. 82, N 5, p.p. 901 914.

114. Whaler K.A.A steady velocity field at the top of the Earth's core In the frozen-flux approximation errata and further comments. // Geophys.J.Int., 1990, v. 102, N 2, p.p. 507 - 509.