Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Теоретическое исследование влияния параметров среды, возмущающих факторов и нелинейности на нестационарные поверхностные и внутренние волны в океане

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Теоретическое исследование влияния параметров среды, возмущающих факторов и нелинейности на нестационарные поверхностные и внутренние волны в океане"

АКАДШШ ШК УКРАШЫ

морской пярс^виескея шсгштт

На правах рукописи

ФЕДОСЕНКО Василий Степанович

удк 651.465

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ Ш5ШЯ ПАРАМЕТРОВ СРВДУ, ВОЗМУЩАЩИХ ФАКТОРОВ И НЕЛШ5ЙН0СТИ НА НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ И ВНУТРЕННИЕ ВОЛНЫ В ОКЕАНЕ

04.00.22 - геофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук ■

Севастополь - 1992

Работа вкполис-на е Белорусском государственно!..' университете.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических каук,

профессор Ю.З.Алелков

доктор физико-математических каук ' С.Ф.Доцеяко

доктор физико-математических наук, профессор А.М.Тер-Крикоров

Ведущая организация - Шститут проблем механики РАН

Защита состоится " /-ооЛ-АрЯ- 1992 к в д часов

на заседании специализированного совета Д 016.01.01"по защите, диссертаций на соискание ученой степени доктора фкзино-матстатических наук при Морском гидрофизическом институте АН Украины ( 3Ъ5ооо , г.Севастополь, ул.Калитакская,-2).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан " Ыи пииЗри^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат.наук

А.М.Суворов

--с rvc.M t-

J'-bil.:.-:1-'

I. СБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТЫ

■ Актуальность теш диссертации. Исторически основные направления исследований в теории золн были определены работами Лапласа, Стокса, Рэлея, Кельвина, Коши, Пуассона, Пуанкаре. Но только известные работы А.И.Некрасова (1921г.) и Т.Леви-Чивита (1924г.), в которых было получено строгое доказательство существования нелинейных прогрессивных волн, дали толчок к интенсивному изучению волновых процессов в ккдкости. Спустя десять-пятнадцать лет фундаментальные работы Н.Е.Кочина, М.В.Келдыша, М.А.Лаврентьева, Д.И.Седова, Л.Н.Сретенского,.Н.Н.Моисеева, М.Д.Хаскинда вызвали неослабеваемый интерес к изучению, процессов развития гравитационных волн. Последующие десятилетия ознаменовались появлением большого количества работ, з которых- в той или иной степени затрагивались вопросы, связанные с распространением океанических волн. Особенно бурно теория волн начала развиваться в последние 20 лет. Изучению волновых процессов посвящен ряд монографий и обзоров (Праудмэн Дзс., 1957; Стокер Д.Д., 1959; Yi/i.C.-S., IS65; Крылов D.M., 1965; Каменкович В.М., 1973; Некрасов A.B., 1975; Сретенский Л.Н., 1935,1977; Уизеы Дж.Б., 1977; Черкесов Л.В., 1970, 1976, 1930; Филлкпс О.М., 1969, 1980; Киропольский D.3., 1981; Алгаков Ю.З., 1381; Мурти Т.С., 1981; Фукс В.Р., 1982; Бу-хатов А.Е., Черкесов Л.В., 1983; Ле Блок П., Майсек Л., 1981; Ефимов В.З., 1985; Гилл А., 1936 и др.).

Реальные процессы генерации волновых полей в Мировом океане в большинстве своем носят явно нестационарный характер. Механизмы возбуждения поверхностных и внутренних волн в морской среде разнообразны, а основные характеристики этих волн зависят от • многих факторов, таких, например, как тип -и форма возмущений, скорость их движения, параметры среды, нелинейность волновых движений и др.

Понимание процессов образования и поведения поверхностных и внутренних - волн возможно лишь на основе аргументированной тео-^ рии и тщательных экспериментов. Планирование и реализация экспериментальных исследований требует организации специализированных комплексных полигонов, где было бы возможно провести детальное измерение характеристик поверхностных й внутренних волн. В связи с этим возникают слояные проблем правильного планирования и ме-

3

тодики эксперимента, а по завершении его - точной интерпретации экспериментальных данных, согласующихся с теоретическими выводами. Следовательно, теоретические результаты долины быть как ыоя-но более точными по крайней мере в рамках рассматриваемой иодели.

Таким образом, возникает необходимость' в теоретическом изучении различных механизмов генерации поверхностных и внутренних волн и влияния на их характеристики типов и форм воз1чущений (вида источников генерации волн и форм пространственных областей ими занимаемых), скорости их перемещения, силы Кориолиса, стратификации, сжимаемости и вязкости морской среды, а такие нелинейности волновых дз:п<зний. Учет нестационарности еолноеьпс процессов важен для дальнейшего изучения физики моря и теории еолн. Изучение процессов развития еолн необходимо такке для разработки г/ето-доз прогноза волновых полей, генерируемых внешними возмущениями, и времени их установления, интерпретации данных натурных наблюдений и анализа лабораторных экспериментов.

Цель саботы и постановка задач исследования. Несмотря на длительную истории развития теории волн, к настоящему времени известно только несколько точных решений задач о неустановившихся волнах. Это известные решения плоской и пространственной задач о Еолнах в глубоком море, возбундагмых дельтообразными начальными возмущениями, полученные Н.Е.Кочикым в 1934 году методами теории расмерностей, а таю-г.е решение пространственной задачи о длин ных волнах, полученное в 1578 г. С.Ф.Доценко для недельтсобразно-го начального Еозмущения. В общей постановке линейной теории волн в море конечной глубины" точных решений до скх пор было неизвестно. Обычно их получают в интегральной форме, а затем исследуют методом стационарных фаз или численными методами. Однако, численные расчеты показывали, что при ширине области возмущений, превосходящей глубину океана уже б два-три раза, метод стационарных фаз дает большую ошибку в описании воль, следующих за головной, а форму волн в окрестности передних фронтов вообще не определяет. В последующем было предлонено описывать головные волны посредством функции Эйри, причем амплитуда этих волн фактически не зависела ни от вида возмущений, ни от их формы. Как показано в диссертации, такое представление головной волны также приводит к большой погрешности в описании волноеой поверхности. При этом

з асимптотических выражениях нельзя было получить предельный случай длинных волн. Вследствие погрешностей применяемых методов исследования часто отдельные вопросы образования и развития волн ■трактовались не совсем точно.

При исследовании неустановившихся волн в вязкой жидкости приближенными методами в предшествующих работах был установлен единственный результат: амплитуды образующихся волн за счет вязкости затухают с течением времени по экспоненциальному закону. Точные же решения, полученные в диссертации, выявили ряд существенных особенностей, характерных только для движения вязкой жидкости.

Нелинейность уравнений движения жидкости должна существенным образом сказываться на распространении поверхностных и внутренних волн в океане. Если по теории поверхностных гравитационных волн к настоящему времени имеется большое количество исследований, то нелинейные внутренние волны и капиллярно-гравитационные волны изучены хуке. Совершенно открытыми оставались вопросы существования и развития нелинейных изгибно-гравитационных волн под ледяным покровом и влияния силы Кориолиса на нелинейные волны.

В соответствии со сказанным выше цель настоящей работы формулируется следующим-образом: получение.точных и наиболее близких к точным решений линейных и нелинейных задач о распространении поверхностных и внутренних еолн в океане и анализ на их основе влияния вида и формы возмущений, скорости их перемещения, силы Кориолиса, капиллярных сил, сжимаемости, стратификации и вязкости аидкости на главные характеристики образующихся волн в океане.

Метом исследования. В диссертации в подавляющем большинстве случаев решения поставленных задач получены аналитическими методами. Используются методы интегральных преобразований, методы теории функций комплексного переменного, метод возмущений, асимптотические методы исследований интегралов. Анализ полученных результатов проводился, в основном, численно.'Кроме того, применялись численные метода анализа интегралов и решения крае-еых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 3 последнем параграфе диссертации разработан специальный аналитико-численных метод решения нелинейных задач

5

распространения прогрессивных волн в непрерывно стратифицированном океане. Во многих случаях аналитические метода лучае раскрывают природу задач, чем численные метода, которыми не всегда можно уловить те или иные специфические особенности распространения волн.

Основные результаты работы и их новизна. Работа является . теоретическим исследованием процессов развития поверхностных и внутренних волн в океане на базе более общих по сравнению с предшествующими гидродинамических моделей генерации и распространения волн, учитывающих такие важные для динамики еолн и физики моря факторы, как вязкость, плотностная стратификация и сжимаемость морской среды, вращение Земли, капиллярные силы, ледяной покров, нелинейность и др. Это постребовало разработки в ряде случаев новых конструктивных схем исследования нестационарных волн в рамках усовершенствованных моделей, что позволило, получить в свою очередь ряд новых результатов. Логическое изложение исследований в диссертации построено на последовательном изучении волновых процессов для усложняющихся типов внешних возмущений и моделей морской среда.

Основные результаты исследования состоят в следующем.

а) Предложен метод решения линейных задач о генерировании при учете капиллярных сил неустановившихся поверхностных и внутренних еолн в океане начальными возмущениями или возмущениями меняющейся интенсивности в неравномерном потоке, либо давлениями, двигающимися по произвольному пути с неравномерной скоростью.

б) Для определенных видов (начальные смещения свободной поверхности, поверхностные давления, подводные и придонные возмущения) и форм плоских и пространственных возмущений найдены точные представления волн .в глубоком мрре и волн типа цунами,

на основе которых изучены основные закономерности распространения неустановившихся волн. Обобщены известные формулы Н.Е.Кочи-на на случай переменного потока и для неоднородной гидкости.

в) Разработан метод асимптотического анализа интегральных Представлений решений волновых задач, который, в отличие от известных методов, дает более высокую степень точности описания еолн в области основных возмущений, в областях головных еолн

и в корестностях предельных углов яолиовых зон, образующихся

за перемещающимися зозмущениями. При этом при достаточно большой ширине области возмущений асимптотические формулы переходят в выражения для длинных волн, что невозможно было получить из всех ранее известных асимптотических представлений волновых поверхностей. На основе данного метода проведен анализ влияния на поверхностные и внутренние золны типа и формы возмущений, скорости их перемещения, силы Корполиса, стратификации и сжимаемости морской среды.

г) Исследована устойчивость неустановившихся внутренние волн на поверхности разнонаправленных потоков при учете капиллярных сил.

д) Проведен анализ причин образования внутренних волн при— лишних периодов большой амплитуды н подтверждена пхютеза

Дефанта.

е) Получено тонкое ред-зяке задачи о поверхностных и внутренних волнах в зяькой жидкости, возникающих от начальных возмущений, что позволило выявить ряд особенностей распространен:^ волн и зависимоеть их харгктеристчк от с::л поверхностного натя-.пения, коэффициентов турбулентного обмена, скорости движения возмущений и относительной разности плотностей неоднородной жидкости.

:?.) Изучено влияние частичного скольжения на дне бассейна и на поверхности раздела неоднородной вязкой кидкости на'золно-вые поля в океане, генерируемые периодическими по времени ■ на-чз ль ни ми воз мущ с- к и ям и.

з) Исследованы поверхностные и внутренние нелинейные капиллярно-гравитационные прогрессивные и стоячие золны. Установлено наличие спектров резонансных длин волн, при которых стоксовы решения недействительны, но в окрестностях этих резонансных длин волн происходит бифуркация решений и возможно существование составных волн. Изучено нелинейное взаимодействие нескольких волн

с точки зрения нелинейного волнового синхронизма.

и) Доказана теорема существования и единственности прогрессивных нелинейных пзгибно-грзвитэцпоннь'х волн. Изучены нелинейные прогрессивные и стоячие волны, образующиеся на поверхности раздела лед-года. Полученные результаты аналогичны установленным для капиллярно-ггапитациенккх волн.

7

к) Исследовано влияние вращения Земли на нелинейные прогрессивные волны в однородном и стратифицированном море и выявлено образование в этом случае инерционного течения.

л) На основе учета высших членов разложения потенциала скоростей показана возможность образования в океане одногорбых и двугорбых гравитационных, капиллярно-гравитационных и изгибно-гравитационных уединенных волн повышения и волн понижения (волн-впадин) .

м) Для исследования нелинейных прогрессивных внутренних волн в океане с произвольным распределением частоты Вяйсяля-Брента разработан аналитико-численный метод, позволяющий решать задачи не только при аналитическом задании плотности, но и дискретном.

Научные выводы и их достоверность. В результате проведенных исследований получены следующие выводы, которые выносятся на защиту.

1.' Поверхностные и внутренние неустановившиеся волны, генерируемые в однородном и стратифицированном море (при учете капиллярных сил) различного рода возмущениями (поверхностные давления, подводные и придонные возмущения, начальные смещения свободной поверхности и поверхности раздела), имеют идентичную интегральную форму представления и могут быть исследованы разработанными в диссертации методами.

Известные асимптотические методы (метод стационарных фаз и представление головных волн в виде волны Эйри) имеют большую погрешность при описании основных волн в океане конечной глубины.

Разработанные в диссертации асимптотические метода, учитывающие тип и форму возмущений, дают высокую точность описания поверхностных и внутренних волн во всей области их образования после истечения некоторого времени от начала их генерации, а также позволяют выяснить характер поведения и структуру волновых поверхностей в окрестностях предельных углов и внутри волновых зон, образующихся при движении "корабля" или возмущений переменной интенсивности. Порядок затухания головных волн с течением времени зависит от типа возмущений и их формы.

2. Обобщение известных формул Н.Е.Кочина на случай неравномерного потока и для неоднородного океана, анализ полученных

точных решений для ряда конкретных видов возмущений и исследование асимптотических выражений позволяет установить следующее:

- при = >50 ( 2. - ширина области возмущений, А -глубина бассейна) в океане генерируются длинные волны, структура которых близка к описываемым общей линейной теорией длинных волн;

- при 1< £0<50 в зависимости от формы начальных и подводных возмущений амплитуда головных поверхностных и внутренних волн затухают как £ ^'Р"3 (0$р<{) в плоском случае и как ^•¡/г_ в пространственном .( { - время, Я -расстояние от эпицентра возмущений); ,

- при 2о<{ амплитуда волн затухают как ^ 2 в плоском случае и как(/Н)~ - в пространственном, причем в этом случае они хорошо описываются посредством метода стационарных фаз;

- при эволюции трехмерных волн типа цунами скорость точек, лежащих на переднем склоне волны, больше ¡^А , а скорость точек на заднем склоне меньше К^/Г . С течением времени волна "растягивается". Однако, если начальное возмущение сосредоточено

в ограниченной области, то скорость переднего фронта волны цунами раЕна 1ГЦЛ , а скорость максимума волны больше ^рг . В этом случае с течением времени передний склон волны становится все более крутым, что при учете нелинейности приводит к ее опрокидыванию;

- учет вращения Земли сказывается таким образом, что по истечении некоторого времени от начала эволюции волны цунами впереди основной волны повышения появляется волна понижения, причем ширина ее с течением времени увеличивается. Влияние силы Корио-лиса на ширину угловой зона поверхностных корабельных волн незначительно, в то время как ширина угловой зоны внутренних корабельных волн может существенно уменьшаться; •

- учет капиллярных сил на поверхности раздела двух потоков," текущих с разными по величине или по направлению скоростями, приводит к устойчивости неустановившихся внутренних волн;

- нестационарные внутренние волны в двухслойном море, возникающие от начальных или импульсивных возмущений, могут иметь амплитуда сравнимые с амплитудами поверхностных волн только в случае действия Еозмущений в верхнем слое жидкости, причем импульсивные поверхностные давления значительных внутренних волн

не вызывают.. Если генератором волн является начальное 'смещение поверхности раздела, то- наступает явление "мертвой воды";

- в ограниченном двумя вертикальными меридиональными берегами стратифицированном океане приливообразующие силы не вызывают, кроме резонансных случаев, сколь-нибудь значительных внутренних волн. Однако, под действием приливных течений, образую-, щихся на континентальном шельфе или на склоне подводной горы,

в океане могут образовываться внутренние волны приливных периодов, имеющие большие амплитуды;

- при генерации волн начальными возмущениями в стратифицированном сжимаемом вращающемся океане, кроме гравитационной поверхностной волны типа цунами, образуется счетное множество акустических и итерационных или внутренних (в зависимости от соотношения между частотой Вяйсяля-Брента и параметром Кориолиса) волн. Сжимаемость и стратификация мало влияют на гравитационнную волну, а амплитуды инерционных волн весьма незначительны. Все мода акустических волн имеют одну и ту же скорость распространения передних фронтов, равную скорости звука в океане, являются предшественниками гравитационной и внутренних волн и по своей структуре напоминают внутренние волны. В фиксированную точку пространства моды внутренних волн прихода поочередно, т.к. они имеют существенно разные скорости передних фронтов, причем амплитуда предшествующей моды в данной точке за счет затухания

по -времени становится уже незначительной к приходу следующей моды.

3. Полученные точные решения задач о влиянии вязкости на неустановившиеся поверхностные и внутренние (двухслойная модель) волны в океане, позволили выявить ряд ранее неизвестных особенностей распространения волн. Основными из них являются следующие:

'' - в вязкой жидкости не могут существовать периодические по времени стоячие колебания с длиной волны меньше критической. Существует минимальный период колебаний. Возможно периодическое колебание с одной и той же частотой, но с разными декрементами затухания, двух волн разной длины, причем более короткие волны затухают с течением времени значительно быстрее;

- капиллярные силы незначительно уменьшают частоту, декре-

мент затухания и критическую длину волны. При возрастании отношения ¡Яз. ( Лр и Л= - горизонтальный и вертикальный коэффициенты турбулентного обмена декремент затухания, минимальный период колебаний и критическая длина волны.увеличиваются;

- при генерации волн произвольными начальными возмущениями образуются волны чисто "вязкого" происхождения, амплитуда которых пропорциональна коэффициенту кинематической вязкости, с большим декрементом затухания. За движущимися возмущениями корабельные волны возникают тслько при скоростях больших критической, причем угол волноеой зоны уменьшается при уменьшении скорости-пр» Яе/Л>iCГ> горизонтальный коэффициент турбулентного обмена играет основную роль в формировании волнового поля;

- амплитуды внутренних неустановиЕшихся. волн затухают за счет вязкости значительно быстрее, чем амплитуды поверхностных волн. Впереди поверхностных и внутренних волн типа цунами Есег-да за счет вязкости образуются волны понижения;

- использование более общего условия частичного скольжения на дне бассейна (Еместо услови." прилипания) при генерировании волновых полей б однородном и двухслойном океане "периодическими

и начальным/ возмущениями в большей степени сказывается на характеристиках поверхностных волн, а условие частичного скольжения на поверхности раздела больше влияет на внутренние волны. При этом существенно меняются структуры погранслоез у дна бассейна и поверхности раздела.

4. Доказанная в диссертации теорема существования и единственности нелинейных изгибно-гравитациснных волн на поверхности раздела лед-вода определяет также и способ нахождения методом возмущений нелинейных прогрессивных и стоячих изгибно-гравитаци-онных, капиллярно-гравитационных и внутренних (в двухслойном и непрерывно стратифицированном море) волн как при произвольных длинах еолн, так и при резонансных, так как структура волн во всех этих случаях имеет много общих свойств.

Известно, что у нелинейных прогрессивных и стоячих гравитационных волн амплитуда гребня больше амплитуда подошвы, гребень уже подошвы, а скорость волны зависит от амплитуды и она больше, чем скорость линейной волны. Учет капиллярных и упругих сил, а такие стратификации приводит к тому, что эти свойства могут

сохраняться, но может быть и обратное: амплитуды гребней меньше амплитуд впадин, гребни шире впадин, а скорости волн меньше,, чем-у линейной волны. Это связано с тем, что существуют спектры длин волн, при которых амплитуды нелинейных добавок в стокс.овых разложениях обращаются в бесконечность, т.е. наступает явление нелинейного резонанса (спектр резонансных длин стоячих волн содержит, как подмножество, спектр резонансных длин прогрессивных волн). Как следует из теоремы существования, в малых окрестностях резонансных длин волн образуются составные волны, а для пер-;вых двух длин волн из указанных спектров происходит бифуркация решений: в первом случае существуют две ветви, а во втором -три.'Установлено, что при следующих длинах волн из спектра бифуркация решений не происходит. Показано, что длины и частоты волн, при которых происходит нелинейный резонанс, удовлетворяют условиям общего нелинейного волнового синхронизма. Для двух и трехволнового взаимодействия изгибно-гравитационкых и капиллярно-гравитационных поверхностных и внутренних волн выведены разрешающие уравнения и получены их решения. Ранее предполагалось, что подобные решения неустойчивы, т.е. в течение некоторого периода взаимодействующие волны обмениваются между собой энергией. Однако, как установлено в диссертации, при определенном соотношении между фазами взаимодействующих волн, совпадающих с найденными методом возмущений, решения устойчивы. Получено также, что К - волновое взаимодействие ( к. г-4) является слабЙшнейкым. Возможность существования составных волн приводит к многообразию профилей поверхностных и внутренних волн. Если резонансные длины капиллярно-гравитационных волн малы (порядка 3-4 см), то .для изгибно-гравитационных волн они порядка нескольких сотен метров, а для внутренних - порядка нескольких километров.

Показано, что в случае непрерывной стратификации первая мода не имеет резонансных длин волн, а мода с номером п. (т-2) имеет 1 резонансную длину волны.

5. Ранее было известно, что в океане могут образовываться уединенные гравитационные волны только в виде волны повышения, а учет капиллярных сил приводил к образованию уединенных волн-.впадин-г но дал глубин жидкости меньше I км. Учет высших членов

разложения исходных уравнений гидродинамики при решении их методом узких полос позволил установить, что в океане могут образовываться гравитационные одногорбые и двугорбые уединенные волны как в виде волн поЕкаения, так и в гиде волн-зпалин.

6. В работе разработан акалитико-численный метод решения нелинейных задач для непрерывно стратифицированного океана с учетом Еращения Земли, причем предлагаемая методика позволяет задавать плотность или частоту Вяйсяля-Брента не только аналитической функцией, но и дискретно. Апробация метода проводилась для постоянной частоты Вяйсяля-Брента, т.к. в этом случае получено аналитическое решение. Проведенные расчеты для реального распределения плотности б районе полигона ПОЛИ,ЮЗЕ дали хорошее согласование с известными результатами.

Научные положения и выводы работы не противоречат результатам предшествующих исследований, проведенных в рамках более простых гидродинамических моделей. Отдельные из полученных результатов были подтверждены в более поздних исследованиях других авторов. В ряде случаев теоретические выводы и оценки параметров поверхностных и внутренних волн удовлетворительно согласуются, по литературным данным, с результатами лабораторных и натурных экспериментов и наблюдений. Вс-э теоретические исследования проведены строгими математическими методами, ото свидетельствует об обоснованности научных положений и достоверности сделанных екводов.

Практическая значимость работы. Материалы диссертации расширяют и углубляют знания, а также уточняют представления о динамике линейных и нелинейных поверхностных и внутренних нестационарных волн в океане. Изложенные в работе метода анализа и модели могут быть использоЕаны в океанологических исследованиях для количественного описания характеристик волноеых полей. Выводы работы представляют интерес для теории волн и физики моря. Они полезны при планировании натурных исследований, интерпретации данных наблюдений и лабораторного моделирования. Предложенная методика расчета нелинейных внутренних волн в непрерывно стратифицированном океане может быть использована при расчете волновых полей в отдельных районах Мирового океана. Отдельные

научные результаты исследований были использованы в хоздоговорной тематике прикладного характера, выполнявшейся в БГУ (х/д № 37819, 1981-1983 г.г.;-хУд № £1901, 1937-1289 г.г.), а также е отчетах по междуведомственным проектам "Золна" и "Внутренние

волны

Личный вклад автора. 3 диссертации обобщены результаты исследований, выполненных в Морском гидрофизическом институте АН УССР (1970-1976 г.г.) и в Белорусском государственном университете (1991-1991 г.г.) лично азтором, под его руководством и при его непосредственном участии. Основные научные положения и выводы работы получены автором. В совместных работах автор принимал паритетное участие в постановках задач, выборе методов исследования, кх реализации и интерпретации теоретических результатов.

Аппобаыкя работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались на 15-й Генеральной Ассамблее ЖТС (Лента-град, '1971); Международном симпозиуме "Термодинамическое взаимодействие атмосферы и океана в Арктике" (Ленинград, 1972); Шестом и Седьмом Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной ».геганикэ (Ташкент, 1935; Москза, 1991); Всесоюзной школе молодых ученых "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Минск, 1934); Всесоизной школе молодых ученых "Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Рига, 1985); Ш-ей и У-ой Республикански:-; конференциях математиков Белоруссии Шинск, 1971; Гродно, 1930); Республиканских научно-практических конференциях "Актуальные проблема информатики" (Минск, 1986, 1989); Республиканских научных конференциях, посвященных 60 и 70-летиям БГУ (Минск, 1931, 1991); Всесоюзных совещаниях и .конференциях по проектам "Волна" и "Внутренние волны" (Севастополь, 1980, 1983, 1935, 1987, 1939, 1990, 1991).

Основные результаты опубликованы в нижеприведенном списке научных работ.

П. СТРУКТУРА И (ЗДЕШНИЕ РАБОТЫ

Результаты исследований изложены в 2-х томах. Первый том состоит из введения, шести глав и заключения (объем 447 стоаниц)

' • " 11 14

Во втором томе (объем 1£8 страниц) содержится 127 рисунков и 16 таблиц к основному тексту диссертации, 3 приложения и список литературы, включающий 246 наименований.

Во введении обсуждается актуальность и своременное состояние исследований нестационарных линейных и нелинейных поверхностных и внутренних волн в океане, сформулированы цель и научные задачи диссертации, излагаются основные результаты и их апробация.

Первые три главы посвящены исследованию both в однородном море: последовательно изучается влияние различных факторов на линейные неустановившиеся волны.в. идеальной жидкости (1-я глава) и влияние на эти же волны вязкости'(2-я глава), а в третьей главе исследуются нелинейные прогрессивные и стоячие еолны. В четвертой - шестой главах изучаются эти же вопросы, но для неоднородного океана (на двухслойных моделях и при непрерывной стратификации океана).

В приложения Еынесены три вопроса, связанные с проведенными исследованиями.

ТакоЕа структура диссертации. Приведем изложение основного содержания работы.

ГДАЕА. I. Развитие неустановившихся'поверхностных волн

в океане и зависимость их характеристик от капиллярных сил, типа и скорости движения возмущений.

На основе точных и наиболее близких к точным решениям изучается влияние вица и формы начальных возмущений, скорости их движения, капиллярных сил и вращения Земли на плоские и пространственные неустановившиеся волны в однородном океане.

В § II приведена схема решения задач о генерации, при учете капиллярных сил различного ей,да и формы возмущениями переменной интенсивности (поверхностные и придонные возмущения, источник, начальные смещения свободной поверхности) неустановившихся волн в океане постоянной глубины. Возмущения действуют либо в переменном потоке, либо перемещаются по произвольному пути

^«fiOfc) • Решение найдено в интегральной форме. При равномерном потоке или при постоянной скорости перемещения возмущений интегралы представляют собой свертку передаточной функции,

характеризующей отклик гидродинамических моделей на импульсное эталонное воздействие, и функции, описывающей изменение интенсивности возмущений во времени. В общем случае интегралы сверткой не являются.

В дальнейшем в этом параграфе проводится исследование вида волн, возбуждаемых либо импульсивными возмущениями, либо начальными смещениями свободной поверхности. В плоском случае определение вида волн сводится к исследованию интегралов -

где tz^ihzh]'^

преобразование Фурье функции , характеризующей

форму возмущений; &("г) - голоморфная функция, характеризующая вид возмущений (в частности, если волны возникают от начальных смещений свободной поверхности, то ); JL- consi

величина, пропорциональная коэффициенту поверхностного натяжения; Ci(i) - скорость потока или движения возмущений. Следует заметить, что интегралы типа (I) (с функцией Ñ('г) , зависящей от параметров среда океана и вида рассматриваемых волновых движений) всегда получаются при решении линейных задач о генерации вынужденных неустановившихся волн в однородном и стратифицированном океане.

Обычно интегралы (I) исследуют методом стационарных фаз (Черкесов Л.В., 1970; Букатов А.Е., Черкесов Л.В., 1933), а в окрестности переднего фронта вид свободной поверхности описывают волной Эйри, амплитуда которой вычисляется в стационарной точке, 2= о (Ле Блон П., Майсек Л., 1981; Боровиков В.А. и др., 1984). Но, очевидно, что F(o) - величина, пропорциональная площади поперечного сечения начального возмущения, т.е. амплитуда волны Эйри фактически не зависит ни от типа, ни от формы возмущений.

Для исследования таких интегралов разработан метод, базирующийся на теореме о близких седловых точках, лемме Эрдейи и методе перевала (Федорюк М.В., 1987). Дцея его заключается в следующем. Преобразование Фурье от функции всегда содержит па-

раметр, характеризующий линейный размер области возмущений. Учет его при определении точек перевала, перевальных путей и близких седловых точек имеет существенное значение, если ширина области • большая. Применение же теоремы о близких седловых точках приводит к зависимости амплитуды волны (типа волны Эйри) от исходных параметров, координаты и времени. Смысл метода пояснил на простом примере.

Пусть <£z Ci(i) = О > а начальное смещение свободной поверхности имеет вид ¿(х^о)-0.о ехр(- кхг) . Тогда, проделывая соответствующие вычисления, находим такие выражения для вида волн на свободной поверхности (величины ï" ос/А. и i~iijjjh безразмерные)

сь^з , S. ; jk= i/4f<i , &=l-2ju2;

-m i^^iiifby-^i-t'^Ji

5l=^î{c«Mi- iboft-Jl ur-î/(iH ^ л (à M«,

Анализ этих выражений показывает, что в случае, когда ширина области начальных возмущений намного превосходит глубину океана С Аг < 1) , образующаяся головная волна £ является длинной и ее можно аппроксимировать еолной, получающейся из линейной теории длинных волн. Действительно, в этом случае ¿Г - величина малая и ~ ех.р[-к(х-+)г]. После прохождения головной волны остается след в виде волны Эйри, амплитуда которой затухает как

{ . Волна ^ - "хзост" основной волны - является быстро осциллирующей и затухает по экспоненциальному закону. Если к исходному интегралу применить метод стационарных фаз, то в результате фактически получим выражение для £

При увеличении к (уменьшении ширины области начальных возмущений) 1> стремится к единице, т.е. волна ^ становится определенной только при' эс>~Ь , а амплитуда ее начинает затухать экспоненциально. Головной волной в этом случае является Еолна Эйри, амплитуда которой сложным образом зависит 01 я и I и затухает как Следом ее становится волна р .

Такова и общая схема распространения волн типа цунами при произвольных начальных возмущениях. Анализ показывает, что при (?0>50 ( 6е~ , Ь - ширина области начальных возмущений) при описании волн цунами можно пользоваться общей линейной теорией длинных волн. При £0< 1 область, занятая' волной Зйри, .фактически стягивается в точку (с1-*о) ив этом случае вид волн хорошо описывается методом стационарных фаз.

При 1< < 50 вид головной еолны зависит как от вида возмущений, так и от их формы, т.е. от функции р(ъ) ■ ё(ъ) -- Та*14*00 (къ0}- Если *?(о) = сопи1 , то асимптотическое представление интеграла (I) имеет вид ,

? = [ (2) + I *'3%(5)А2(*)}[1+0а-1)1 (2)

где С ("г) и I) (?) - известные функции, вычисленные в близких седловых точках. При этом, если ^РС?) и п одинаковой чтенос-ти, то 1)= О , если разной, то С- О . Амплитуды головных волн, возникающих от начальных смещений свободной поверхности, от придонных и подводных возмущений (в случае четной функции ^(ж) ) затухают как г"1/3 , а от поверхностных импульсивных давлений - как { . Во всех случаях головная волна является волной повышения, но в случае поверхностных давлений основной волной является следующая за ней волна понижения. Проведенные численные расчеты показали, что формулы (2) с погрешностью не более 3 % описывают не только головные волны, но и следующие за ними три-четыре волны.

На вопрос: существуют ли такие формы начальных возмущений, при которых амплитуды голоеных волн затухали бы медленне, чем

± 3 , следует ответить утвердительно. В диссертации построены примеры форм начальных возмущений, при которых амплитуды головных волн затухают как (о<р<{).

Образующиеся за головными волны, амплитуда которых затухает как , имеют задний фронт (за счет учета капиллярных сил), в окрестности которого свободная поверхность описывается волной Эйри с амплитудой, затухающей как х'1^3 . Однако, величина ее незначительна.

В случае трехмерных начальных возмущений наблюдается полная качественная аналогия с плоской задачей, но имеется и су. щественное различие. Если в плоском случае максимум волн, генерируемых начальными смещениями свободной поверхности, подводными и придонными Еозмущениями, смещен влево от точки переднего фронта осгЧ: , то з пространственном случае .существует некоторое критическое значение £0° £ 25 , что при £< £° максимум еоякы находится левее линии переднего фронта х , а при - правее, причем расстояние от линии переднего фронта до линии максимума в обоих случаях с увеличением времени увеличивается. Кроме того, образующиеся головные волны в плоском и пространственном случаях имеют разный порядок затухания. Проведенные исследования голодных волн (с использованием специально построенных и вычисленных эталонных интегралов) при { < 10<50 показали, что они описываются выражениями вида

причем з случае поверхностных давлений С - О , а при других Еозмущениях 1) = 0.

Для трехмерных еолн та юге построены примеры форм начальных возмущений, при которых наблюдается другой порядок затухания. Установлено, что^в зависимости от крутизны (от отношения С1<>/2 ) возмущений в случае поверхностных давлений головные волны затухают как } а ПрИ других видах рассмотренных возмущений - как /Г'/г Г (0$4< 3Ау) .

Действие переменного потока для рассматриваемых возмущений сказывается в том, что он сносит образующиеся волны в направлении и со скоростью своего дзияения.

Подробное изложение результатов этого параграфа проведено в связи с тем, что предложенная методика исследования интегралов применялась в диссертации везде при изучении неустановившихся волн в однородном и стратифицированном океане, в том числе при учете взякости и для волн типа корабельных.

Оценку точности полученных асимптотических формул для произвольных начальных возмущений можно сделать только численно, т.к. до настоящего времени были известны только сравнительно простые формулы для вида волн на свободной поверхности глубокого моря, •" полученные Н.Е.Кочиным при дельтообразных начальных возмущениях методом теории размерностей: в виде рядов по параметру в плоской задаче и в виде комбинации бесселевых функций дробного порядка в случае трехмерных волн. Поэтому во втором параграфе была поставлена цель: получить точные решения задач о генерации поверхностных волн в глубоком коре недельтообразными возмущениями. Такие решения были получены в случаях начальных смещений свободной поверхности, поверхностных давлений и импульсивно действующего источника (з плоском и пространственном случаях и в переменном потоке). Обобщены также формулы Н.Е.Кочша на случай ■ переменного потока.

На основании точных решений были изучены основные характеристики образующихся волн и показано, что вид волн на свободной поверхности не зависит явно от ширины области возмущений или глубины погружения источника 2 (если ввести безразмерные

¡¿¡В и 1 л- £ ). Это означает, что все волновые харак-

теристики растягиваются по пространственным переменным и по времени при увеличении В ■ . Установлена также хорошая точность метода стационарных фаз при описании коротких неустановившихся волн. Асимптотика заметно'отличается от точных формул только вблизи эпицентра возмущений.

В последующих четырех параграфах изучались неустановившиеся пространственные волны, возникающие от движущихся возмущений постоянной и переменной интенсивности и влияние на них сил поверхностного натяжения и силы Кориолиса.

Впервые неустановившиеся корабельные еолны были изучены Черкесовым Л.В. (1953, 1970). Однако до сих пор оставался открытым вецрос о поведении волновой поверхности в окрестности пре-

дельных углов волновой зоны за движущимся "кораблем". Для исследования этого Еопроса в работе был применен метод близких седло-вых точек, разработанный в первом параграфе. Оказалось, что основные возмущения как раз и генерируются в окрестности этих предельных углов, что можно наблюдать з натуре Еизуально. Во всей остальной угловой зоне амплитуда волн значительно меньше.

Влияние капиллярных сил, вращения Земли и переменной интенсивности движущихся возмущений автором изучены впервые. Установлен ряд неочевидных свойств и характеристик особенностей образе— . вания волн внутри основных областей возмущений и на предельных углах. Отдельные результаты были подстверждекы другими авторами в более поздних работах. Поэтому на свойствах этих волн не останавливаемся. Заметим только, что сила Корколкса на поверхностные корабельг.ке волны влияет незначительно.

3 последнем параграфе изучались плоские и трехмерные длинные волны типа цунами, которые образуются, как показано з первом параграфе, при ?с 50 от различного рода возмущений. Исследование проводилось исхода не из-общих линейных уравнений теории длинных волн, а из интегральных представлений, полученных в первом параграфе (при <?С = О ). Делалось едгаственное упрощение: -Ьк(гк) заменялось аргументом. Это позволило получить более общие точные решения и установить границы применимости теории длинных волн.

3 пространственном случае до недавнего времени точных реше-■ кий было неизвестно. Впервые удалось сделать это Доценко С.Ф. (1973) для одного вида начальных смещений свободной поверхности недельтообразного типа. В диссертации получены точные решения для ряда конкретных форм начальных смещений свободной поверхности и поверхностных импульсивных давлений. Анализ этих решений подтвердил основные выводы, сделанные в первом параграфе на основании асимптотических представлений пространственных волн т:--г.а цунами: ^

а) амплитуда еолн в фиксированной точке затухает как Т а в фиксированный момент времени как ;

б) максимум волны цунами смещен вправо от лилии У^ТГ Ь'г

в) если начальные Еззмуцения заданы в неограниченной области, то передний склон волны является более пологим, чем задний,

а скорости точек волны, лежащих ка переднем склоне, больше скоростей точек волны на заднем склоне, т.е. с течением времени волна растягивается;

г) если начальные возмущения заданы в ограниченной области, то впереди переднего фронта, скорость которого постоянна и равна , свободная поверхность невозмущена, максимум волна имеет скорость большую , т.е. с течением времени передний склон волны становится все более крутым, что при учете нели- . нейности долено привести, вообще гоеоря, к ее опрокидывания;

д) позади основной волны повышения остаемся "хзост", который представляет собой волну повышения ДЛЯ пологих форм начальных возмущений и волну понижения для более крутых.

В этом параграфе показано также, что при ширине области возмущений сравнимой или большей глубины жидкости волны цунами, ?еиерируеше придонными возмущениями, только амплитудами отличаются от волн, генерируемых начальными смещениями свободной поверхности.

ГЛАВА. 2. Влияние вязкости на развитие поверхностных гравитационных и капиллярно-гравитационных волн з океане

Проводится исследование влияния вязкости, капиллярных сил, коэффициентов турбулентного обмена, скорости движений возмущений и частичного скольжения на развитие поверхностных волк в океане, генерируемых начальными смещениями свободной поверхности и поверхностными давлениями.

Первое исследование влияния вязкости ка неустановившиеся волны принадлежит Л.Н.Сретенскому (1941). В последующие годы к этому вопросу обращались Черкесов Л.В., Никитин А.К., Потетюн-ко Э.Н., Ъе&паОг £е$ Ц.и/. и др. Однако, во всех этих работах были найдены лишь приближенные решения задач о генерации неустановившихся волн. Фактически основным результатом являлось: амплитуда волн затухает с течением времени по экспоненциальному закону. Автору'впервые удалось получить точные решения и на их основе выявить ряд особенностей распространения волн в вязкой жидкости.

Исходя из общих линейных уравнений движения вязкой жидкости

в параграфах 1-4 последовательно изучается влияние на короткие неустановившиеся волны вязкости, капиллярных сил, скорости движения поверхностных возмущений, а также коэффициентов вертикального и горизонтального турбулентного обмена.

В случае косинусоидальных начальных смещений свободной поверхности или импульсивных поверхностных давлений установлено следующее:

- существует критическая длина волны /0 такая, что при длине волны меньше критической образуются только апериодические стоячие колебания очень быстро затухающие со временем. Учет капиллярных сил уменьшает незначительно J.'c , но при сГг А^/Л х > i ( JÍg и Лg - горизонтальный и вертикальный коэффициенты турбулентного обмена) jC0 увеличивается, причем пщ&>№* существенно;

- частота периодических стоячих колебаний зависит от волнового числа К таким образом, что б"(о) = <о(к0) - О , а при К-6" достигает своего единственного максимума б

т.е. существует минимальный период колебаний 'Iе- 27¡16"° • Ка- ' пиллярность уменьшает 1е , а при $"» I Io ■ существенно увеличивается;

- в вязкой жидкости могут существовать два вида волн с одной и тойже частотой колебаний, но разными длинами и декрементом затухания, причем Ео.тна с меньшей длиной затухает значительно 6tTCT£ee j

- хотя за счет вязкости проихонит экспоненциальное по времени затухание амплитуды, однако декремент затухания пропорционален коэффициенту кинематической вязкости V , т.е. затухание является весьма медленным при S- i • Так как декремент затухания в то же время пропорционален величине , то, очевидно, что при <$">>:! основную роль в формировании волнового поля играет J¡> ;

- установлено, что Л i зависит от характерных линейных размеров еолноеого движения. Так, например, при длине волны

Я К ЮО ы Je< 2-I0S см2Усг а при Áя. I км J}e< 6,4-I06cmVc;

- существует критическая скорость движения возмущений С0 такая, что при С< С0 корабельные волны не возникают. Предельный угол волновой зоны зависит от вязкости и скорости возмущений, причем при уменьшении С он уменьшается, а при с-с0

23

равен нулю; декременты затухания корабельных волн зависят не только от К , но и от луча

При произвольных начальных возмущениях показано, что кроме гравитационных и капиллярно-гравитационных волн, аналогичных Еолнам в идеальной жидкости, на свободной поверхности образуются неустановившиеся волны чисто вязкого происхождения: амплитуда их пропорциональна V и быстро затухает со временем. Эти волны являются предшественниками гравитационных.

В шестом параграфе изучены неустановиЕщиеся волны, генерируемые начальными возмущениями свободной поверхности в океане конечной глубины.. Здесь многие результаты идентичны тем, которые получены для коротких волн, за исключением формы представления волн чисто вязкого происхождения, а также качественного поведения частоты и декремента затухания в диапазоне длинных волн, где, например, декремент затухания пропорционален Уу . В предельном случае коротких волн расчетные формулы совпадают с полученными в первом параграфе, а в случае длинных волн - с полученными в пятом параграфе, где изучались длинные волны.

Для еолн типа цунами характерно, что влияние, вязкости сказывается меньше на головные волны, чем на цуг волн, следующий за головной..

В шестом и седьмом параграфах в постановке теории длинных волн исследовалось влияние частичного скольжения на дне бассейна на прогрессивные и неустановившиеся волны, т.е. вместо условия прилипания для горизонтальной составляющей скорости потока бралось более общее условие узу и г = ^ ц, ( # - коэффициент частичного скольжения). Установлено, что характер еолноеого движения существенным образом зависит от параметра 5= (Е{= рс £:У1/2Я'^гс"^с=^л).При -1 все характеристики волнового поля являются фактически такими же, как и в случае использования условия прилипания, а при £¿-2 движение становится близким к волновым процессам в идеальной жидкости. При -2<$<-1 значения всех волновых характеристик резко изменяются от своих значений в режиме полного скольжения, до значений в режиме полного прилипания. Значение коэффициента частичного скольжения на дне бассейна играет также определяющую роль в формировании придонного погранслоя.

ГЛАВА 3. ИзследоЕание распространения нелинейных

поверхностных волн в океане постоянной глубины.

В настоящее время нелинейные гравитационные волны в однородном океане довольно хорошо изучены. Хуже исследованы нелинейные капиллярно-гравитационные волны, а влияние вращения Земли и упругих характеристик ледяного покрова на нелинейные прогрессивные и стоячие волны фактически не исследовалось. По изгибно-гравита-ционным волнам имеется только несколько работ: Марченко А.З. (1987,1968) и РоъВе* I. К. (1968, 1988), в которых, однако, не учитывались инерционные свойства пластины, моделирующей ледяной покров.

Теорему существования и единственности для нелинейных прогрессивных гравитационных волн разными методами впервые доказали А.И.Некрасов и Леви-Чивита Т., а для капиллярно-гравитационных волн - Я.И.Секерж-ЗенькоЕич (1963). В диссертации (четвертый параграф) впервые, используя идеи метода Леви-Чивита, доказана аналогичная теорема для изгибно-гравитационных волн, из которой, как частный случай, следуют доказательства предыдущих теорем.

Способ доказательства теоремы указывает и путь нахождения решений задач как при произвольных длинах прогрессивных и стоячих волн в океане постоянной глубины, так и при критических, которые были получены в § 5 (прогрессивные волны) и в § 6 (стоячие волны) методом возмущений.

Известно, что в случае нелинейных гравитационных волн гребень всегда уже подошеы, амплитуда гребня всегда больше амплитуды подошвы, а скорость волны зависит от амплитуда и она больше скорости линейной волны. Изгибно-гравитационные волны могут иметь эти же свойства, но возможно и обратное: гребень шире подошвы, амплитуда гребня меньше амплитуда подошвы, скорость меньше скорости линейной волны. Это связано с тем, что как у прогрессивных, так и у стоячих волн существуют бесконечные спектры резонансных длин волн (каждое следующее приближение имеет дополнительно, по крайней мере, одну резонансную длину еолны), при которых амплитуда стоксогых приближений обращаются в бесконечность. При этом спектр для стоячих волн содержит, как подмножество, спектр для прогрессивных волн. В указанных вше работах это явление не ис-

следоЕалось, а в работах Fo^bes сказано, что при этих длинах волн происходит взламывание ледяного покрова. Однако, как следует из теоремы существования, в окрестностях этих длин волн происходит бифуркация решений, а кулевое приближение следует искать в виде составных волн. При первой длине из этого спектра решение имеет две ветви, а при второй - три ветви, т.е. существуют несколько волн одной длины,'но имеющих разные скорости распространения (или частоты для стоячих волн). При следующих длинах еолн бифуркации решений не происходит, а сами волны являются слабонелинейными.

Установлено, что резонансные длины волн удовлетворяют условиям общего нелинейного волнового синхронизма, характерного для диспергирующих сред. Найдены разрешающие уравнения для двухвол-нового и трехволнового нелинейного взаимодействия и получены их решения. В общем случае показано, что в течение соответствующего периода взаимодействующие волны обмениваются энергией. Однако, при согласовании фаз взаимодействующих волн существуют устойчивые волны, вид которых совпадает с найденными методом возмущений. Последнее свойство для такого типа уравнений обнаружено впервые

Показано, что свойства прогрессивных и стоячих нелинейных капиллярно-гравитационных еолн, исследованных в .§§ 1-3, фактически такие же, как и у изгибно-гравитационных. Качественное отличие состоит в том, что резонансные длины изгибно-гравитационных волн находятся в диапазоне нескольких сот метров, а капиллярно-гравитационных - Нескольких сантиметров. Существование резонансных длин волн в обоих случаях приводит к богатому разнообразию форы свободной поверхности, далеко отличных от синусоидальной.

Исследование.влияния вращения Земли на нелинейные прогрессивные волны, проведенное в § 7, позволило установить, что ли- ■ нейная волна вызывает во втором приближении инерционное периодическое течение (с периодом ЗГ/w ), охватывающее всю толщу океана, скорость которого на порядок превосходит известное Стоксо-во течение.

Используя метод узких полос (Моисеев H.H., Тер-Крикоров А. М., 1959) и сохраняя б разложении потенциала скоростей слагае-

taie белее высокого порядка, для определения вида уединенных еолн в океане получено нелинейное дифференциальное ¿'равнение четвертого порядка. Реаение стого уравнения позволило установить, что з океане могут существовать одногорбые и двугорбые уединенные золны повыщения и понижения (волны-впадины). Показано, что капиллярные и упругие силы весьма мало влияют на форму этих волн. Ранее считалось, что уединенные волны могут существовать только з виге волны повышения. К.'еэтся экспериментальные данные о существовании уединенных волн-впадин ( A m Le к C.l., 1985). Предполагалось, что они образовываются иснлюшттельно благодаря силам поверхностного натяжения я з качестве доказательства приводились теоретические исследования, основанные на учете лгаь нкз'лга членов разложения уравнений по малому параметру. На из эти исследований вытекало: глубина бассейна должна была быть меньше I км ( Amec.«СЛ., 1985, 1937), что противоречило эксперименту, т.к. глубина жидкости в лотке была больше.

ГЛАЗА 4. Развитие внутренних волн з океане и зависимости го: иара:-стеригт1зс от сил поверхностного натяжения, стратификации и типа возмущений

Дзухслойная плотностная модель является исторически первой моделью стратифицированного океана. Благодаря ее простоте удалось исследовать многие важные характеристики внутренних еолн, генерируемых различными возмущениями (см., например, монографии: Черкесов Л.З., 1970, 1973. 1975, 1930; Вукатоз A.S., Черкесов Л.З., 1933). Однако, основным инструментом исследования, как и для поверхностных волн, являлся метод стационарных фаз, который, как показано з первой глазе, в большинстве основных случаев дает неточные результаты. Поэтому б первых четырех параграфах методами, разработанными в § Ï.I, обобщены отделыгые результаты первой главы на случай двухслойного океана. Исследовались поверхностные и внутренние волны, генерируемые начальными смещениями свободной поверхности и поверхности раздела, поверхностными, давлениями, придонными возмущения!.:« и источниками, действующими в верхнем и нижнем слоях переменного потока. Установлены следующие особенности: • •

а) пирнна области,_ занимаемой головными внутренними волнами, значительно меньше, чем у поверхностных волн, а в остальном

они гагат те ке характерные особенности, что и головные поверхностные волны; •

б) капиллярные силы на поверхности раздела оказывают почги такое жз влияние на поверхностные волны, -как и капиллярные силы на свободной поверхности, но последние фактически не оказывают влияния на внутренние волны;

в) при любых видах возмущений отголосок внутренних волн на свободной поверхности имеет амплитуду порядка 0{£) ( £= 1-%/р, р1-

- плоскости слоев); импульсивные поверхностные давления'не вызывают сколь-нибудь значительных внутренних волн; ощутимые внутренние волны в двухслойном океане образуется при начальных смещениях свободной поверхности и поверхности раздела, а такие при подносных импульсивных возмущениях в верхнем слое;

г) учет капиллярных сил на поверхности раздела разнонаправленных потоков или потоков, имеющих разные скорости, приводит

к устойчивости неустановиваихся внутренних волн;

. д) сила Кориолиса существенно уменьшает угловые зоны внутренних корабельных волн, длины которых значительно больше, чем у поверхностных воля;

е) возможно обобщение известных формул Н.Е.Кочика для коротки волн на случай переменного потока в двухслойном океане.

Как показано Лмпольским А. Д. (1562), внутренние волны приливных периодов являются в океане преобладающими.'Исследования на дзухслойных моделях не смогли еыябить причин образования значительных внутренних волн. В диссертации получено точное решение задачи о возбуждении волн приливообразующими силами в непрерывно стратифицированном океане, ограниченном вертгаальными берегами. Показано, что, исключая резонансные длины бассейна, приливообра-зующие силы не вызывают заметных внутренних еолк. Однако, учет приливных течений на континентальном шельфе или на склонах подводных гор, привело к образованию внутренних волн большой амплитуды. Этим самым доказана известная гипотеза А.Дефанта (1952).

В шестом параграфе изучается совместное влияние стратификации, сжимаемости, вращения Земли я формы начальных возмущений на генерацию неустановившихся волн. Показано, что в океане еоз-буждаются гравитационные, внутренние или инерционные (в зависимости от соотношения между параметром Кориолиса и частотой Брен-

та-Вяйсядя) и акустические волны. Установлено, что инерционные волны получают зсое развитие лишь в малой окрестности начальных возмущений, но амплитуда их весьма малы. Акустические волны по своей структуре напоминают внутренние волны, причем все мода акустических волн имеют одинаковую скорость передних фронтов, разную скорости звука в океане, т.е. они являются предшественниками гравитационных и внутренне волн, однако, амплитуды IX незначительны. Так как скорости передних фронтов каждой моды внутренних волн существенно различны, то в фиксированную точку пространства следующая мода приходит тогда, когда амплитуда преда-дущей моды, из-за затухания по времени, уже становится незначительной. Вращение Земли сказывается на гравитационные волны та-кобразом, что впереди основной головной волны образуется волна понижения, причем ширина ее с течением времени увеличивается.

ГЛАВА 5. Влияние вязкости- на развитие внутренних волн в двухслойном море.

Результаты второй главы обещаются на случай двухслойного океана.

В первых трех параграфах исследуются поверхностные внутренние волны, генерируемые начальными.возмущениями. Показано, что основные особенности распространения поверхностных волн з вязкой жидкости, устаногпенные во второй главе, характер;« и для внутренних волн. Однако, критическое значение длины внутренних волн, при котором возможны периодические по времени колебания, значительно меньше, а минимальный период колебаний значительно больше, чем у поверхностных волн. Зто означает, что в определенном диапазоне длин волн в двухслойном море возможно только возбуждение внутренних волн, в то время как поверхностные волны фактически отсутствуют. Вторым отличием является то,что внутренние ьолны за счет вязкости затухают значительно быстрее, чем поверхностные. Так, например, на расстоянии 200 км от эпицентра начальных воз-мущешгй при -V = Ю"1м2/с максимальное значение амплитуды внутренних волн затухает за счет вязкости на 5 %, в то время как амплитуда поверхностных волн уменьшается только на 0,25 %. При локальных начальных возмущениях как у поверхностных, так и гнут-

ренних волн перед основной еолной повышения образуется волка понижения. Таки-; образом, можно считать доказанным, что наблндае-мое на практике (Соловьев С.А., Милитеев А.Н., К57) явление прихода волны понижения перед осноеной волной цунами происходит, главным образом, из-за совместного действия силы Корислиса к вязкости жидкости.

В последующих ДЗух "параграфах проведено исследование влияния частичного скольжения на дне бассейна и поверхности раздела на поверхностные и внутренние волны, генерируемые начальными и периодическими по времени возмущениями. Еместо условия прилипания на поверхности раздела и на дне бассейна используются более общие условия, которые соответственно имеют вид:Р игг= и р = . Показано, что волновое пола, генерируемое

возмущениями, складывается из двух составляющие: первая из них (^1) соответствует полю поазрхностных волн, а' вторая (1>2) -внутренних. Частичное скольжение на поверхности раздела практически не оказывает никакого влияния на поле поверхностных волн и оно остается такш же, как и в однородном море.

В формировании поля внутренних волн большую .роль играет коэффициент частичного скольжения на поверхности раздела, чем на дне бассейна В формировании придонного погранслоя вклад е 10-12 раз меньше вклада . Погранслой же у поверхности раздела создается исключительно внутренними волнами, а его величина и структура находятся в прямой зависимости от значения коэффициента частичного скольжения на поверхности раздела. Его ширина монет в два раза превосходить ширину придонного псгранслоя. Классификация характера скольжения аналогична классификации для поверхностных волн. Коэффициенты частичного скольжения на дне бассейна и поверхности раздела существенно изменяют скорости и декременты затухания поверхностных и внутренних волн соответственно.

ГЛАЗА 6. Нелинейные прогрессивные внутренние волны в океане постоянной глубины.

Методами, изложенными в третьей глаге, изучены нелинейные внутренние волны в двухслойном и непрерывно стратифицированном океане.

В первом параграфе исследованы нелинейные поверхностные и внутренние волны в двухслойном океане, причем учитывается действие капиллярных сил как на свободной поверхности, так и на поверхности раздела. Показано, что в двухслойном океане возможно существование двух типов волн одной длины, но распространяющихся с разными скоростями: скорость С^ близка к скорости поверхностных волн в однородном море, а скорость и характеризует внутренние волны. Основное развитие поверхностные волны получают на свободной поверхности, а отголосок внутренних волн на ней имеет весьма малую амплитуду. Если коэффициенты поверхностного натяжения (на свободной поверхности) и <тСг (на поверхности раздела) отличны от нуля, то для поверхностных и внутренних волн справедливы все те свойства, которыми обладают по-верхностлые волны в однородном море. Только во всех резонансных случаях амплитуда' внутренних волн примерно в 1,25 раза-больше амплитуде поверхностных. Если же сСг = 0 , то не существует длин волн, при которых возможен нелинейный резонанс у внутренних еолн, в то время как у поверхностных еолн он возможен. Отметил, что резонансные длины внутренних еолн находятся в метровом диапазоне, а поверхностных - в сантиметровом.

• Нелинейные прогрессивные волны в непрерывно стратифицированном океане при Л/(2)=сом4 с учетом вращения Земли изучены во втором параграфе. Показано, что при произвольных длинах волн нелинейность оказывает малое влияние на амплитуды образующихся • волн. Учет вращения Земли и нейлинейносги приводит к несимметричности внутренних волн относительно вертикали, проведённой через вершину гребня. 3 зависимости от исходных параметров либо задний, либо передний склон может быть более крутым, чем противоположный. При увеличен™ глубины профиль внутренней еолны становится близким к симметричному, а затем уже другой склон становится более крутым. Для моды с номером п. такое чередование повторяется М раз. Как и в однородном океане, учет вращения Земли приводит к образованию прогрессивными волнами во втором нелинейном приближении периодического инерционного течения;

Установлено, что перзая мода внутренних волн не имеет резонансных длин еолн (при <¿2=о внутренние еолны в двухслойном океане также не имели резонансных длт еолн!), а мода с номером

П имеет 1г-1 резонансную, длину волны. Получена_при-

ближенная формула, определяющая эти-длины: Л'л2-т2

(н =2,3>...) 7rt.~ijh.-i ^ , т.е. резонансные длины волн при небольших сравнимы или -больше глубины океана. В окрестностях резонансных- длин нелинейные внутренние волны имеют профили, существенно отличные от синусоидальной формы, а амплитуды волн значительно превосходят амплитуду-линейной волны. Показано также, что при исследовании нелинейных волн в стратифицированном море на свободной поверхности можно пользоваться условием твердой "крышки". : ' -

В заключительном параграфе предлагается аналитико-численный метод решения задач о нелинейных прогрессивных волнах во вращающемся океане для случая, когда плотность морской вода является произвольной функцией глубины. Решение предлагается искать методом возмущений. Тогда определение характеристик волнового поля в нулевом приближении сводится к нахождению некоторой функции

, являющейся решением однородной краевой задачи'на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка с переменными коэффициентами. Все последующие приближения определяются из решений граничных задач для ОДУ второго порядка с переменными коэффициентами, правая часть которого зависит от ё(г) и В'(г) . В связи с этим задачу на собственные значения предлагается решать методом ортогональной прогонки (т.к. метод-позволяет определять сразу ё(ё) и ё '(*) ) с корректировкой собственных значений методом Ньютона, а получающиеся задачи Копта - асимптотически устойчивым методом В.В.Бобкова. При применении данного метода аналитическое задание плотности или частоты Вяйсяля-Брента не обязательно, а достаточно их задание в узлах сетки, которая может быть неравномерной.

Апробация предлагаемого аналитико-численного метода проводилась для случая /\iiViConsi:. Численные расчеты показали, что имеется не только качественное, но и количественное согласование с результатами, полученными во втором параграфе. Даже при резонансных длинах волн отличие составляло не более 5 %.

В работе проведены расчеты внутренних волн для модели плотности с двумя пикноклинами и для распределения плотности, взятой из натурных измерений в районе ПОЛШОДЕ. В последнем случае имеется хорошее согласование с известными результатами.

В приложения вынесены вопросы, связанные с исследованием интегралов, встречающихся в теории неустановившихся корабельных волн и в теории неустановившихся движений зязкой жидкости, а также дано обоснование динамического граничного условия на поверхности раздела упругой пластины и жидкости б нелинейной теории изгибно-гравитационных волн.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах.

1. Неустановившиеся внутренние волны в вязкой жидкости.// Морские гидрофизические исследования, 1969, " 1(43). С.143-169. (Созкестно с Черкесовым Л.В.)

2. О влиянии вязкости на внутренние волны типа цунами.// Изв. АН СССР. ФАО, 1969, т.5, I? 2, С. 1197-1203.

3. Неустановившиеся внутренние волны в вязкой жидкости конечной глубины./V Морские гидрофизические исследования, 1970,

№ 1(47). С. 29-49 (Совместно с Черкесовым Л.З.)

4. Развитие корабельных волн в неоднородной жидкости.// РЬв. АН СССР. :.КГ, 1970, 4. С. 137-146. (Совместно с Черкесовым Л.З.)

5. Задача Коши-Пуассока для нзпиллярно-граэктационных волн з вязкой жидкости.// Тез. докл. на И Республик, конфер. математиков Белоруссии. Минск, 1971. С. 53.

6. Развитие волн, возникающих от движущихся периодически возмущений.// Морские гидрофизические исследования, 1971, 1(51). С. 62-80."

7. Деформация волн цунами при выходе на мелководье.// Тез. докл. на 15-й Генеральной Ассамблее МГГС. Д., 1971. С. 81. (Совместно с Черкесовым Л.З.)

8. Развитие внутренн>х волн.// Морские гидрофизические исследования, 1971, 2(52). С. 9-61 (Совместно с Черкесовым Л.З.)

9. Диссипация внутренних вслн.// Морские гидрофизические исследования, 1971, 2(52). С.-88-112. (Совместно с Черкесовым Л.В.)

10. Влияние вязкости и ледяного яокрога ка волновые дв'.гже-нпя, возникающие от начальных возмущений.// Тез.. докл. на .Международном симпозиум? "Термодинамическое взаимодействие атмосферы и океана в Арктике". Л., 1972. С.15.

П.1)ен)гтссКол. o^ {¡ипам I н'ш'е? и>А 1£е ¿л гу ъеа с А -ЬЬе ькаи-оуу ма1съ.//Ръосел-УеъВои-у Уар^о^ЗУй^ ¿,5В-55, (Совместно с Черкесовым Л.В., Кньшом В.В. и Лукикой И.П.)

12. О развитии поверхностных волн в вязкой жидкости.// Морские гидрофизические исследования, 1972, I? 2(59). С.27-39,

13. Неустановившиеся корабельные волны в неоднородной жидкости конечной глубины.// Морские гидрофизические исследования, 1972, № 2(58). С.11-26 (Совместно с Черкесовым Л.З.)

14. О влиянии силы Кориояиса на неустановившееся волны, возникающие от движущихся возмущений.// Морские гидрофизические исследования, 1973, }? 1(60). С.65-74.

15. Каналовая теория внутренних прхглпзкых аолн.// Морские гидрофизические исследования, 1975, № 1(63). С.50-61. (Совместно с Черкесовым Л.З.)

16. О влиянии сил поверхностного натяжения на неустановившиеся волны в вязкой жидкости.// Морские гидрофизические исследования, 1975, №2(69). С.61-62.

17. О диссипации неустановившихся волк.// Морские гидрофизические исследован:«, 1975, Л5 4(75). С.83.101. (Совместно с Черкесовым Л.В.)

18. О влиянии горизонтального обмена количеством движения на волны, возникающие от начальных воз>.?ущекпй.// Сб.: Цунами

и внутренние волны, 1976. С.45-46.

19. Неустановившиеся волны в вязкой жидкости от движущихся возмущений.// Тез. 'докл. на У Республиканской конференции математиков Белоруссии, Гродно, 1930. С.63-64. (Созместно с Абрапи-ной Н.К.)

£0. Нелинейные волны в вязкой жидкости.// Материалы Республиканской конфер., посвященной 60-летию БГУ, Ыинск, 1931. С.121-Ьсй.

21. Влияние силы Кориолиса на нелинейные прогрессивные волны.// Материалы Республик, конфер., посвященной 60-летию БГУ, Минск, 1931. С.123-124.

22. Нелинейное установившееся дыгжение упругой пластины, плавающей на поверхности жидкости.// Труды Всес. совещ.: Волновые процессы в морях и океанах. Севастополь, 30-31 карта, 1983. С.30-33. Сб.деп. в ЗШЛГИ 9.01.1984 (Совместно с Гладуном 0.:л.)

34