Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований

Мазурова, Елена Михайловна

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований
ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований"

На правах рукописи

Мазурова Елена Михайловна

Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований

Специальность 25.00.32 - Геодезия

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК).

Научный консультант: ■ Почетный профессор университета, доктор технических наук Хелыиут Мориц (Helmut Moritz)

Официальные оппоненты: Доктор технических наук Юркина Мария Ивановна; доктор технических наук, профессор, заслуженный работник геодезии и картографии РФ Панкрушпн Вениамин Константинович; доктор технических наук, профессор, заслуженный деятель науки'РФ Маркузс Юрии Исидорович

Ведущая организация: Институт Астрономии РАН

Защита состоится 1 июня 2006г. В 10 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.143.03 Московского государственного университета геодезии и картографии по адресу: 105064, Москва, Гороховский пер. 4, МИИГАиК, ауд.321.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

Автореферат разослан Iß.lPy 2006 года

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор ¡ЛзИмам^«—— Климков Ю.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы и постановка задачи В настоящее время с развитием глобальных навигационных спутниковых систем 0/>5(США) и ГЛОНАСС (Россия) геодезическая информация значительно увеличилась в объеме и изменилась в качестве измерений, что привело к пересмотру стратегии развития не только геодезии и гравиметрии как наук, но и топографо-геодезического и гравиметрического производства.

Развитие высокоэффективных спутниковых методов определения трехмерных координат позволяет получить высокоточную высотную сеть без трудоемкого нивелирования, но только при условии, если с сантиметровой точностью удастся определить аномалию высоты. Составляющие уклонения отвеса также надо знать с точностью не только нулевого, но и последующих приближений.

Актуальность диссертационной работы определяется необходимостью точного определения трансформант гравитационного поля.

Проблема точного определения трансформант гравитационного поля заключается в том, что классические методы решения задач физической геодезии основаны на составлении и решении того или иного интегрального уравнения. Это требует знания непрерывных безошибочных значений аномалии силы тяжести по всей поверхности Земли. Но непрерывная гравиметрическая изученность практически невозможна, а классический подход не способен дать полный ответ при неполной гравиметрической изученности.

На практике исходная информация дискретна, отягощена ошибками измерений и известна не на всей поверхности Земли.

Важнейшей чертой многих современных исследований является учет специфики реальных данных, которые не учитываются в классических методах.

В настоящее время разработано достаточно большое количество различных методов решения задач физической геодезии. Однако большие трудности возникают даже при вычислении первого поправочного члена, не говоря уже о последующих.

Поэтому целыо данной диссертационной работы является разработка принципиально новых теоретических и практических методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований.

Использование спутниковых методов, с применением глобальных навигационных систем GPS и ГЛОНАСС, а также создание глобальной сети станций, непрерывно принимающих сигналы со спутников GPS и ГЛОНАСС, сделало реальным распространение с сантиметровой точностью единой трехмерной системы координат на всей поверхности планеты. Это означает, что поверхность Земли Л' можно считать известной.

Поэтому, в настоящее время, можно перейти от решения третьей краевой задачи физической геодезии ко второй краевой задаче, с известной краевой поверхностью. Современные спутниковые измерения позволяют определять чистые аномалии силы тяжести не менее точно, чем смешанные. Интегральные оценки, выполненные В.В.Броваром, показали, что вычисления трансформант гравитационного поля по формулам, использующим чистые аномалии силы тяжести Sg, снижают ошибки аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса почти в два раза, относительно вычислений, выполненных по смешанным аномалиям Ag.

Таким образом, первым путем повышения точности вычисления указанных трансформант является определение их по формулам, позволяющим использовать чистые аномалии силы тяжести ¿g, которые являются функцией широты В, долготы L и геодезической высоты Н. Для вычисления аномалии высоты - это интеграл Неймана, а для вычисления составляющих уклонения отвеса - это модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса. Дальнейшее повышение точности вычисления указанных трансформант связано с методом вычислений.

В задачу диссертационной работы входила разработка двух методов точного определения указанных трансформант: первый связан с вычислением аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса по формуле Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения и вычисления поправочных членов, которые так же являются интегралами свертки. Здесь разрабатывались методы вычисления поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести и методы вычисления поправочных членов, которые вводятся в нулевые приближения указанных трансформант.

Естественно, что далее встает задача сравнения обоих подходов по эффективности и простоте вычислительных алгоритмов.

При использовании аппарата спектрального анализа возникает ряд проблем, связанных с циклической и линейной свертками, сдвигом функции, конечностью длины обрабатываемого массива. Поэтому требуется разработать методики учета перечисленных эффектов и дать конкретные рекомендации при реализации разрабатываемых методов.

Использование преобразований Фурье и Хартли позволяет выполнить сравнение этих преобразований по быстроте и удобству их применения для решения задач физической геодезии.

Применение двух преобразований(Фурье и Хартли) создает базу для теоретического обоснования и практической разработки общих принципов и технологических схем, позволяющих строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований.

Во многих типах научных расчетов используются свертки, поэтому изучалась возможность использования разрабатываемых методов, алгоритмов и технологических схем для применения их как в смежных областях, таких как геофизика, сейсмология, картографирование планет, гидрология, так и в других областях, например, при распознавании образов, получении и обработки речевых сигналов и изображений, голографичес,ких системах и так далее.

Научная новизна работы заключается в следующих новых теоретических и практических достижениях.

Доказана эквивалентность интегрального решения В.В. Бровара и решения методом аналитического продолжения Марыча-Морица второй краевой задачи в терминах свертки.

Разработаны теория и методы решения задач физической геодезии на основе линейных дискретных преобразований с использованием быстрых алгоритмов, реализующих эти преобразования. Разработки выполнены в двух направлениях:

Разработаны методы вычисления поправочных членов, которые выражаются интегралами свертки. Это позволяет определять трансформанты гравитационного поля по строгим формулам теории М.С.Молоденского с точностью нулевого, первого и последующих приближений.

Разработано несколько уточненных ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса. Проведено сравнение скорректированных ядер по точности аппроксимации и удобству использования. Для наиболее эффективных ядер на основе теории непрерывных линейных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций получены аналитические образы Фурье и Хартли ядер данных интегралов для оптимального использования указанных быстрых преобразований. Проведенные эксперименты показали, что вычисление интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с разработанными образами Фурье(Хартли) уточненных ядер данных интегралов дают точность первого приближения.

При разработке методов возник ряд проблем, связанных с использованием дискретных линейных преобразований. Это переход от циклической свертки к линейной, усечение длины обрабатываемой информации, сдвиг системы координат, шаг дискретизации. Эти эффекты вызывают различные искажения в обрабатываемой информации. Поэтому они были изучены, разработаны методики их учета.

Разработаны и обоснованы общие технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований.

Обоснована возможность и целесообразность использования разработанных методов, технологических схем и алгоритмов, как в смежных областях, так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов.

Практическая ценность работы заключается в выполненной разработке новых теоретических и практических методов решения задач физической

геодезии, позволяющих вычислять аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса по чистым аномалиям силы тяжести с точностью не только нулевого, но первого и последующих приближений, что сложно или практически невозможно сделать другими методами.

Сравнение предлагаемого метода решения задач физической геодезии с традиционными показало, что методы, разработанные на основе алгоритмов быстрых линейных преобразований, за счет своего непревзойденного быстродействия, полностью меняют вычислительно-экономический подход к решению указанных задач. Для 1024-точечного ДПФ объем требуемых вычислений можно снизить в 208,4 раза. Экономия возрастает с увеличением N и для достаточно больших N достигает 99% объема вычислительных затрат стандартного метода. При выполнении ДПФ требуется Ы2 операций комплексного умножения и сложения. При выполнении БПФ требуется (N/2)log2 N тех же операций. Поэтому выигрыш на вычислениях растет по закону Л^2 -(///2)1о§: N.

Вычисление трансформант гравитационного поля на основе быстрых преобразований имеет ряд бесспорных преимуществ относительно других методов, поскольку позволяет получать окончательный результат одновременно во всех узлах заданной решетки в реальном масштабе времени и вычислять любой порядок приближения.

Представленные в диссертации результаты экспериментальных работ подтверждают высокую эффективность применения теоретических и практических разработок. При использовании метода быстрых линейных дискретных преобразований точность вычисления указанных трансформант зависит только от точности исходной аномалии силы тяжести и ошибки дискретизации, но эти ошибки присущи всем методам вычислений.

Разработанные технологические схемы и методы вычислений можно использовать при решении задач физической геодезии на основе не только дискретных преобразований Фурье и Хартли, но и других линейных

дискретных преобразований. Наиболее эффективно использовать методы, имеющие быстрые алгоритмы своих преобразований.

Интегралы свертки встречаются во многих видах современных расчетов. Поэтому все разработки можно использовать при решении как задач геофизики, сейсморазведки и в других смежных областях, так и в областях обработки речевых сигналов, распознавании образов и т.д.

Апробация работы Основные результаты работы обсуждались на V международной конференции "Молодые ученые - промышленности, науке, технологиям и профессиональному образованию: проблемы и новые решения" (г. Москва, 2005 г.), на 59 Международной юбилейной конференции МИИГАиК (г. Москва 2004) , 58-й и 60-й научно-технических конференциях МИИГАиК (2003, 2005гг.), а также на научных семинарах МГУ им. Ломоносова на факультете ВМК.

Результаты работы опубликованы в 15 научных публикациях.

На защиту выносятся следующие положения

1. Результаты теоретического обоснования решения второй краевой задачи физической геодезии на основе линейных преобразований с использованием быстрых алгоритмов, реализующих эти преобразования. Непревзойденное быстродействие этих алгоритмов, полностью меняет вычислительно-экономический подход к решению указанных задач.

2. Разработанные методы и алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующие теорему о свертке в частотной области с использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского (с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь представлены два направления: для первого созданы методы вычисления поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, для второго созданы методы вычисления поправочных членов в рассматриваемые трансформанты гравитационного поля.

3. Полученные уточненные ядра в интеграле Неймана и модифицированном интеграле Венинг-Мейнеса, которые необходимы для повышения точности их плоской аппроксимации.

4. Выведенные аналитические образы Фурье и Хартли ядер для вышеуказанных интегралов, что значительно упрощает алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля.

. 5. Созданные метод и алгоритмы, использующие уточненные ядра, которые дают в результате точность первого приближения.

6. Разработанные общие принципы и технологические схемы, которые

- с одной стороны позволяют строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований, которые в данной работе подтверждены на примере использования преобразований Фурье и Хартли.

- с другой стороны могут использоваться как в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов и т.д.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, списка литературы и 19 приложений. Общий объем работы - 400стр., из них 314 страниц машинописного текста без списка литературы и приложений. Диссертация содержит 40 рисунков, в том числе 7 диаграмм, 8 таблиц. Список литературы составил 218 наименований, из них 104 на иностранных языках.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные направления исследований.

В первой главе рассмотрены краевые задачи теории потенциал и физической геодезии, а также вопросы, связанные с корректностью постановки этих задач. Дан анализ классических и современных математических подходов к постановке и решению задач физической геодезии. На основе проведенного анализа поставлены задачи исследования.

До настоящего времени все теоретические и практические вопросы физической геодезии были связаны с решением краевой задачи М.С.Молоденского, которая заключается в определении земной поверхности S,

если на ней известны вектор силы тяжести g и геопотенциал W, то есть

\ 1

формально надо решить уравнение

S = F(g,W). (1)

Линейная задача Молоденского сводится к решению уравнения Лапласа с краевым условием

. (2)

ch у dh

Здесь Дg - смешанная аномалия силы тяжести.

Определение поверхности Земли 5 практически означает определение всех точек этой поверхности в единой системе координат.

В настоящее время из спутниковых наблюдений мы можем получить прямоугольные пространственные координаты X,Y,Z в общеземной (геоцентрической) системе координат любых точек, расположенных на поверхности Земли. Поэтому поверхность Земли S можно считать известной. После введения отчетного уровенного эллипсоида от координат X,Y,Z переходим к геодезическим координатам B,L,H точек земной поверхности относительно выбранного эллипсоида. Их можно считать измеренными известными величинами. Поэтому в любой точке Р поверхности Земли можно вычислить нормальный потенциал UPi нормальную силу тяжести ур и чистую аномалию которая являются функцией широты В, долготы L и

геодезической высоты //. Из наземных измерений определяем силу тяжести g

на поверхности Земли. Тогда потенциал W на поверхности Земли и во внешнем пространстве формально можно найти из уравнения

= (3)

Это уравнение выражает краевую задачу с фиксированной краевой поверхностью. В данной задаче возмущающий потенциал 7' ищется из краевого условия

~ = ~(gP-rP) = ~^. (4)

СИ

Здесь - чистая аномалия силы тяжести, высота Л определяется как из наземных измерений, так и непосредственно из CPS измерений.

Заметим, что краевые задачи физической геодезии отличаются от классических задач теории потенциала, так как они являются задачами с косой производной.

Формулы (1) и (2) выражают только принцип двух задач. Непосредственное использование этих формул очень затруднительно, так как обозначения F и Ф в (1) и (2) являются сложными нелинейными операторами.

Как уже отмечалось, в настоящее время актуальна задача точного определения аномалии высоты. В своих работах В.В.Бровар установил, что один из возможных путей повышения точности вычисления трансформант гравитационного поля является определение этих трансформант из решения краевой задачи физической геодезии с известной краевой поверхностью. Для выяснения преимуществ формулы Неймана и модифицированной формулы Венинг-Мейнеса относительно формул Стокса и Венинг-Мейнеса было сделано сравнение ошибок вычисления по этим группам формул возмущающего

потенциала Т и полного уклонения отвеса v = +п2 ПРИ равномерной гравиметрической съемке. Ошибки возмущающего гравитационного потенциала и уклонений отвеса, вычисленных по чистым аномалиям, снижаются практически вдвое.

В настоящее время, спутниковые технологии позволяют уверенно вычислять чистые аномалии силы тяжести 5g, которые являются функцией геодезических

координат В,1.ЛН, определяемым по спутниковым измерениям. Поэтому основные разработки были направлены на создание методов вычисления трансформант гравитационного поля по чистым аномалиям силы тяжести.

Дальнейшее повышение точности вычисления трансформант гравитационного поля связано с методом вычислений.

Благодаря трудам М.С. Молоденского, В.Ф.Еремеева, М.И. Юркиной, В.В.Бровара, Б.В.Бровара, Л.П.Пеллинена, О.М.Остача, Б.П.Шимбирева, В.А.Магницкого и других ученых методы определения физической поверхности Земли и ее внешнего гравитационного поля базируются на строгой теории, позволяющей решать задачу М.С.Молоденского принципиально строго с любой степенью точности. Однако Л.П.Пеллинен отмечал, что для практического использования эти методы неудобны, так как "на каждой стадии приближений приходится вычислять в каждой точке физической поверхности несобственные интегралы. Это вычисление предъявляет одинаково высокие требования к знанию высот, аномалии силы тяжести и поправок, найденных в предыдущих приближениях, в окрестностях каждой исследуемой точки. Другой недостаток указанных методов - физическая нереальность материальной модели, объясняющей гравитационные аномалии. Из-за этого распределение плотностей материального слоя оказывается в горных районах весьма сложным и неустойчивым даже при спокойном поле аномалий силы тяжести, а процесс приближений сильно замедляется".

Практически указанные трудности в той или иной мере преодолеваются. Тем не менее вопросы численной реализации решения задач физической геодезии представляют большой интерес, так как исходная информация дискретна, отягощена ошибками измерений и известна не на всей поверхности Земли.

Важнейшей чертой многих исследований, выполненных в последние годы в области физической геодезии, является подход к задачам физической геодезии, как к задачам аппроксимации. Основные усилия направлены на учет специфики реальных данных, которые не учитываются в классических методах.

Большую роль в создании и развитии современных методов физической геодезии сыграли такие ученые, как А.Бъерхаммар (Bjerhammar), Х.Мориц (H.Moritz), Рапп P.(Rapp R.), Чернинг С. (Tsherning С.), Краруп T.(Krarup Т.), Р.Хирвонен (R.Hirvonen), В.И.Аронов, М.И.Марыч, Ю.М.Нейман и другие.

В данной главе рассмотрены метод коллокации (статистический и функциональный подходы), вариационный метод регуляризации, метод оптимальных интегральных ядер, мультипольное представление потенциала и другие. Выполнен подробный сравнительный анализ этих методов, рассмотрена возможная область их использования.

Ни один из перечисленных методов решения задач физической геодезии не использует тот факт, что интегралы Стокса, Неймана, интеграл Венинг-Мейнеса и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса, а также последующие члены классических рядов М.С.Молоденского являются интегралами двумерной свертки типа

опр --

Ах.у) * Цх,у) = JJ/(*\/y;(* - у-y')äx'<Jy' . ( 5 )

Значение свертки становится более очевидным, если рассматривать ее в частотных координатах и использовать тот факт, что свертка во временных координатах эквивалентна умножению в области частот.

Уравнение (5), как двумерное уравнение Фредгольма 1 рода типа свертки, может быть решено методом линейных преобразований, таких как Фурье, Хартли, Уолша, Xaapa,z и cas-cas- преобразования, вейвлет-преобразование и другие.

Несмотря на достаточно большое количество разработанных методов решения задач физической геодезии, до сих пор сложно вычислять трансформанты гравитационного поля с точностью более высокой, чем нулевое приближение. И в этом случае нет конкуренции методу, основанному на линейных дискретных преобразованиях.

Используемые для вычисления линейных дискретных преобразований быстрые алгоритмы позволяет вычислить трансформанты гравитационного поля

до любого порядка приближения в реальном масштабе времени сразу для всех узлов регулярной сетки.

В настоящее время известно достаточно большое количество линейных преобразований. Некоторые из них перечислены выше. В данной диссертационной работе использовались преобразования Фурье и Хартли. На такой выбор повлияло два фактора: первый - это то, что именно для этих преобразований разработано наибольшее количество быстрых алгоритмов, способных эффективно их реализовывать; второй — для указанных преобразований разработано несколько спецпроцессоров, которые еще больше увеличивают скорость вычислений. Их описание также представлено в данной главе.

Главный вывод, который сделан из анализа классических и современных методов решения задач физической геодезии, заключается в том, что интегральные формулы классической теории Молоденского и современные методы ни в коей мере не противоречат друг другу, а скорее дополняют друг друга. И классические, и современные методы восстанавливают гравитационный потенциал. Классические интегральные методы предполагают исходную информацию в виде непрерывных функций и оптимальны для учета дальних и средних зон. Современные методы, в основном, лучше использовать при учете ближних и центральных зон. При этом, для вычисления трансформант гравитационного поля с точностью более высокой, чем нулевая, наиболее эффективно использовать метод линейных дискретных преобразований, реализуемых через быстрые алгоритмы.

Вторая глава создает необходимый базис для теоретических и практических разработок, выполненных в последующих главах. В этой главе рассмотрена теория непрерывных одномерных и двумерных преобразований Фурье и Хартли, которая используется при разработках образов интегральных ядер в главе 4. Так как исходная геодезическая информация имеет дискретную форму, то здесь же рассмотрены вопросы, связанные с дискретизацией и квантованием обрабатываемой информации. Особую роль при обработке дискретной

информации приобретают дискретные преобразования. Поэтому достаточно подробно рассмотрена теория одномерных и двумерных дискретных преобразований Фурье и Хартли. Представлена матричная интерпретация этих дискретных преобразований. Заметим, что БПФ (БПХ) не является приближенным алгоритмом. При отсутствии вычислительных погрешностей он даст точно такой же результат, что и исходная формула ДПФ (ДПХ). Ускорение достигается исключительно за счет оптимальной организации вычислений. Наиболее оптимально в задачах физической геодезии использовать быстрые алгоритмы, когда число элементов в анализируемой последовательности является степенью числа два. Хотя ускорение вычислений наблюдается и при разложении N на другие множители, однако это ускорение менее велико, чем при N = 2К . Алгоритм БПФ (БПХ) предназначен для одновременного расчета всех спектральных отсчетов. Если необходимо получить только отсчеты для некоторых //, то может оказаться предпочтительней прямая формула ДПФ или алгоритм Герцеля. С целью классификации быстрых алгоритмов, все алгоритмы БПФ (и по аналогии с ними алгоритмы БПХ) разделены на две большие группы: в основе одной лежит децимация по частоте, а в основе другой - децимация по времени. В свою очередь каждая из этих форм имеет множество модификаций. Обе формы децимации могут выполняться с замещением или без замещения. Представлена структура быстрых алгоритмов в графической и матричной интерпретации. Акцент сделан на алгоритмы, реализующие быстрые двумерные преобразования.

В третьей главе представлена теория вычисления трансформант гравитационного поля по чистым аномалиям силы тяжести. Рассмотрено интегральное решение В.В.Бровара и решение Марыча-Морица, основанное на аналитическом продолжении посредством ряда Тейлора. Автором оба решения выражены в терминах свертки и доказана их эквивалентность в терминах свертки.

В этой же главе изложена теория решения задач физической геодезии на основе линейных дискретных преобразований. Сделаны выводы всех формул,

необходимых для разработки алгоритмов вычисления трансформант гравитационного поля с точностью не только нулевого, но и последующих приближений.

Рассмотрим решение на основе метода аналитического продолжения. Обозначим через значение чистой аномалии силы тяжести на физической поверхности Земли в точках Р, под точкой А подразумевается точка, в которой предполагается вычислять компоненты гравитационного поля. В плоской аппроксимации значение возмущающего потенциала имеет вид

v л *А' г(АР) Р >е '

Здесь Е - горизонтальная плоскость, проходящая через точку вычисления А, - поправочные члены, вычисляемые по рекуррентной формуле

^-¿г'Мя,..,) , (7)

где является превышением относительно точки вычисления А. По (7)

мы можем последовательно определить gnУ начиная с

¿Го =<% • (8)

Оператор ¿„ - оператор п - кратного вертикального дифференцирования, определяемый выражением

ь„ = = 1/хя„, = ( 9 )

п п //!

Чтобы использовать термины свертки (*), введем обозначение

1((х,у) = - = (х2+у2г1'2 - (Ю)

Тогда

ПхА,уА) = ^-^8я(,хА,уА)*1({хА%уА). ( 11 )

¿я л-о

Заметим, что в плоской аппроксимации пределы функций Стокса и Неймана

2 2

равны, то есть Нт = — и Ит Л^у) = —. Поэтому ядра интегралов в формулах,

?/-►<.> Г 1//-*о г

по которым можно вычислять возмущающий потенциал, аномалию высоты и

компоненты уклонения отвеса, по чистым и смешанным аномалиям аналогичны, отличие заключается в обкладках интегралов (соответственно в первом случае используются чистые аномалии в другом случае -

смешанные Д#). Формулы вычисления аномалии высоты д и составляющих уклонения отвеса £,// в плоской аппроксимации для случая использования чистых аномалий силы тяжести имеют вид

Ь ' 2Л7 V '(АР) Р луЦ /(АР) Р Р

ЩХА.УЛ)) 2 *ГЧ ^ (АР) \xj-xrj

Практические вычисления по формулам (12) и (13) осуществляются путем прибавления требуемого числа поправочных членов к формулам нулевого приближения.

Чтобы выразить данные уравнения в терминах свертки, введем обозначения Тогда перепишем уравнения (12) и (13) следующим образом

<г(*, .>',) = - = + ^¿Ж Ч > ( 15 )

у 2яу 2тгу

Ы*л*Ул)\ 2 14 [/^

Здесь 1. и ядра интегралов. Заметим, что /.(0,0) и /¿(0,0), /,(0,0)

шеют особенность в начале координат, которая выражается в выкалывании )собой точки, то есть полагается, что /?(0,0) =/;(0,0)=/„(0,0) = 0.

Известно, что Фурье( Хартли ^преобразование свертки двух функций равно произведению Фурье(Хартли)-преобразований каждой из этих функций в отдельности, поэтому (15) и (16) представим в виде

1 -Г+ Щ}}, ( 17 )

Я Л =

2 ку 4 1тгу

Образы Фурье функций /, и 1.,/побозначим через ¿.(к,»»)» и

соответственно. Здесь Р и Р х - прямое и обратное преобразование Фурье (Хартли) соответственно.

Значительное упрощение вычислений связано с тем, что образы Фурье (Хартли) /,,(;/,\>) и/^(г/,у) можно вычислить по аналитическим

формулам

= + у'У,а Л, ( 19 )

где и, V - частоты; j = л/-Т. С учетом (19) и (20) имеем

2лг ? q

Ч=^чти-г^Л«1+

Пл J 2 яу

2л/ГГ М

При решении практических задач можно использовать формулы (21) и (22). Если требуется вычислять с точностью нулевого приближения, то в правой части формул (21) и (22) берем только первые члены. Однако формулы нулевого

приближения дают удовлетворительную точность только для пунктов, расположенных на равнине, учет же поправочных членов, даже первого приближения, традиционными методами довольно сложный. Рассмотрим возможность вычисления аномалии высоты д и компонентов £ и п уклонения отвеса с точностью первого приближения по строгим формулам теории М.С.Молоденского с использованием преобразования Фурье (Хартли).

Вычисление с точностью первого приближения производится по разным алгоритмам, которые можно разделить на две группы: в первой вычисляются поправочные члены в нулевые значения трансформант гравитационного поля, вр второй группе поправки вводятся непосредственно в значения аномалии силы тяжести. Для каждой из представленных групп разработано по два алгоритма.

Вычисление аномалии высоты и составляющих уклонения отвесной линии с точностью первого и более высокого приближения теории Молоденского во многих алгоритмах базируется на вычислении поправочных членов gn. Интегралы, выражающие gn, являются

интегралами типа свертки, что позволяет при их вычислении использовать преобразование Фурье (Хартли). Представим значения поправок gn в терминах свертки

л ' ]

(2л-) г!

Здесь г(х,у) = г(х,у) - Ä(0,0)S(x,y), ( 24 )

где г(х,у)- вспомогательное ядро, S(x,y) - двумерная дельта-функция Дирака, /i(0,0) = /*r(r,>') = F-|[j(6')-/?(ö)], а R - образ Фурье функции г, hA и hp -нормальные высоты.

Используя свойства свертки, можно вычислить с помощью

преобразования Фурье (Хартли) по следующим алгоритмам

(2л-) г!

Дальнейшее упрощение связано с тем, что вспомогательная функция г имеет аналитический образ

Г{Пх,у)}= V) = -(2л-)-с/ . ( 26 )

Первые поправочные члены в нулевые значения соответствующих трансформант в терминах свертки имеют вид

(*-! > ) = -Г^- Кх (ХА > У А ) + (*» • ->'.-, ) , ¿.тгу

(27)

(28)

Учитывая аналитические образы ядер Ь и , из (19) и (20). Интегралы

свертки (27) и (28) можно вычислить с использованием преобразования Фурье(Хартли)

^ (29)

с, -

2 тгу

£Лхл »>'..)] 1

•р-

(30)

Следовательно, если нам известен образ С?,(г/,г) функции ¿^(.х,,^), то можно вычислить первые поправочные члены д1(хА,уА) и £1(хА,уА), т]1 (хА,уА) в аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса по алгоритмам (29) и (30) соответственно.

Если образ функции gx{xA,yA) не вычислен, то значения (хА,уА) и 4Лха>Уа)-> (хА,уА) можно определить по другим алгоритмам, то есть

—(А.-ЬР)(г(хА,уА)*<%(хА,уА))

7.ТС

1/7. (^о.^ 2Я7

Используя свойство рефлексивности свертки, распишем (31) и (32) в виде

$1(ХЛ'УЛ) =

2яу

(33)

Л7-' '

(V 1м

(34)

Здесь

0(п,у) - образ Фурье функции с/(х,у), который определяется

следующим образом : I) = — Н(н,г)• /•■{<%}.

2л-

Тогда с точностью первого приближения аномалию высоты и составляющие уклонения отвеса вычисляют по формулам

= £ = п = По+'Ь • (35)

Теперь рассмотрим алгоритмы, по которым можно определить аномалию высоты д{хА,уА) и компоненты £{хА>Ул)> Л^мУл) уклонения отвеса с точностью первого приближения путем введения поправочных членов в значения чистых аномалий.

Аномалию высоты д(хА,уА) и компоненты уклонения отвеса <И(хА,уА), ц(хА,уА) в заданной точке А с точностью первого приближения в плоской аппроксимации можно вычислить с помощью интегральных преобразований вида

) 1 (36)

\п{хА,УА)\ 2куЦ г {АР) к-дгр]

В терминах свертки

Я{хЛ*УЛ) = -^—$ВА*г*УР)*1АхР*УР) » (38)

2 тсу

1 ■ (39)

Ы'..УЛ 1 Ц'г.Уг).

Здесь

Формулы, выраженные через преобразования Фурье (Хартли), имеют вид

2яу I

(41 )

(42)

^О^'Х^ 2 лу

В диссертационной работе доказывается эквивалентность двух видов рассмотренных алгоритмов.

На практике часто вместо gl вводят поправку за рельеф с

-1 (Ш/_ ч ац/

( 43)

Здесь N - оператор Неймана, — - оператор производной функции

с1ц/

Неймана, |- пара чисел [£,/7].

Если принять, что чистые аномалии линейно зависят от высоты Л, то

Для оператора Неймана можно записать

(44 )

= + (45)

где р - средняя плотность топографических масс, в - гравитационная постоянная. На практике членом лОру'^И^ как правило, пренебрегают, поэтому

Щ^ъЫ^), (46)

что согласовывается с используемой аппроксимацией - ограничением в формулах вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса только первостепенных поправок и предположением о линейной зависимости ^ от Л.

Поправка за рельеф с в точку Р в плоской аппроксимации выражается формулой

^ Е ' \ХР ~Х'УР У)

При /3(0,0) интеграл (47) будет иметь бесконечное значение, поэтому функция I ограничивается таким образом :

г>(Хр-х,ур-у)=\^-хУ~+^-уУГ х*х" и У*У" .(48) [о х — Хр и У~Ур

Интеграл (47) является интегралом свертки, который можно записать в терминах свертки следующим образом

2 , (49)

где

1(х,У) = (х2+У2Г3'2 у ^у) = И\х,у) ^ ¿«=¿(0,0) (50)

Воспользуемся свойствами преобразования Фурье(Хартли) свертки и запишем (49) в виде

Ф, у) = ±Ср^' {Ды, у)Ци, V) - 2Ь(х, у^ {II(и, у)} + Ц0,0)Т(и, V)] . ( 51 )

Здесь большими буквами обозначены образы Фурье соответствующих функций. Уравнение (51) можно упростить за счет того, что функция 1(х,у) имеет аналитический спектр.

Вычисление рассматриваемых трансформант гравитационного поля с точностью второго и более высокого приближения можно также выполнить с использованием преобразования Фурье(Хартли).

Для вычисления с точностью второго приближения необходимо использовать значение g2 согласно (25) и вычислять вторые поправочные члены, которые в терминах свертки имеют вид

-Мтг^Ч)-^ гМ*. ЧИ. ( 52 )

-"-"¿НИ}- ««■ # (53 >

Где <Цхл,ул) = [г{хА,ул)* бё{хА, у А)], (х 4, у А) = [г2 (хА, ул ) * <%(*,, уА )]. Запишем формулы (52) и (53) в терминах преобразования Фурье (Хартли)

П2{*А*Ул)\ 2ЖУ

(55)

Третий поправочный член в аномалию высоты выражается формулой

(*, ,Ул)= (h4 ' ЬР ЬА l'(Xf *УгУ \hA ['(*/> Ур ) * 5g{Xp , Ур )]]]]* / -

о К

1 -

8лг3

r(xP,yP)* [hA [r(xP,yP)* [r(xP,yP ) *

1ОЛ"

+bphA +hl)

1 _

8л"

(* я» Ур ) * V (ХР ,Ур)*[г(хР,уР)* Sg{x,

56)

Воспользуемся свойствами преобразования Фурье(Хартли) свертки, аналитическим образом ядра Я из (50) и запишем формулу (56) в терминах преобразования Фурье (Хартли)

О Л"

\(hA-hP)

8 я

16 л-

-F-X^q-FlhlF-^-Airtql-A^q-FSgix^y^L;}

+Uhl+hFhA+hl)

8л-

Ц-F-1 {[-4яг2д[- 4лг3д[- Az2q-F5g(xPyyP)\ • L(

3-С57)

Вычисление третьих поправочных членов составляющих уклонения отвеса производится по формулам, аналогичным (56) и (57), но в (56) вместо ядра 1(

используются ядра ¡. и /,. А в (57) вместо образа ядра Л. берем образы ядер ь, и Л7 из (20).

Четвертая глава посвящена выводу формул для реализации второго метода высокоточного определения аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса в центральной зоне. Этот метод связан с коррекцией ядер в интеграле Неймана и модифицированном интеграле Венинг-Мейнеса и вычислением аналитических образов указанных ядер.

Высота квазигеоида д в точке определения земной поверхности может быть вычислена по формуле Неймана

Из (58) видно, что для определения аномалии высоты надо знать значения чистых аномалий силы тяжести (% по всей поверхности Земли. Но мировая гравиметрическая съемка не во всех районах имеет достаточную плотность. Согласно методу М.С.Молоденского, численное интегрирование ведется только в пределах некоторой "ближней зоны", обеспеченной подробной гравиметрической съемкой. Влияние же аномалии на больших расстояниях от исследуемой точки (в "дальних зонах") раскладывается в ряд по сферическим функциям и учитывается при помощи ряда разложения аномалии по этим функциям.

Запишем интеграл Неймана в виде

Здесь сг0 - некоторая избранная окрестность точки А - "ближняя зона" произвольной формы, (<т-ст0)- остальная часть сферы - "дальняя зона", /^„(у) -вспомогательная функция, определенная для всевозможных у/ от О до л- и представляющая собой некоторую линейную комбинацию нормированных полиномов Лежандра Рп(со$ц/). Ядро первого интеграла представим в виде

(58)

4яу»

(59)

= ( 60 )

п-ч

где Kn(v'n) - коэффициенты, зависящие от размера ближней зоны и способа учета влияния дальней зоны; Pn(cosy/)-полиномы Лежандра п-й степени; ц/ -сферическое расстояние.

Вычисление коэффициентов К„(у0) производилось под условием Молоденского

-Nmiv)]2 sin = min . (61)

Оно удобно тем, что не требует никаких сведений о поле аномалий Sg. Коэффициенты КТ„(У0) зависят только от расстояния ^о и степени N. В диссертационной работе значения Кя вычислялись для у/0=3°, N = 60. Заметим, что при других значениях у/0 и N коэффициенты Кя будут другими.

Используя точечную квадратичную аппроксимацию полиномами, функцию N(t//) искали в виде

дг(^) = >7(^X1 + , (62)

где у = , N(iy) = — . ( 63 )

R г

Коэффициенты М0 и Л/, подбирали методом наименьших квадратов.

Значения коэффициентов зависят от размеров ближней зоны.

То есть исправленное ядро определяем следующим образом

R г

2(—ьМ0+ А/, —) при г<г0

H(r) = { r2R R . (64)

— при г > г0

Здесь г0 - радиус ближней зоны. В данной главе рассмотрено еще одно представление ядра интеграла Неймана, но оно имеет более сложный вид, а по точности не превосходит ядро (62), поэтому, именно (62) рекомендовано к использованию.

Следующей задачей диссертационной работы было определение аншштических образов Фурье и Хартли исправленного ядра (62). При выводе

использовался тот факт, что функция ^ = —. = + у2 , в конечном счете,

является функцией одной радиальной переменной г и обладает свойством круговой симметрии. Если функция обладает свойством круговой симметрии во временной области, то и в области частот образ Фурье также является функцией только одной переменной и также обладает свойством круговой симметрии, то есть Р(н,\>) = /^с/), где е/2 = и2 + V2.

Если функция является функцией только одной переменной, то в двумерном преобразовании Фурье в этом случае отсутствует мнимая часть (она равна нулю). Это позволяет двумерное преобразование Фурье свести к одномерному преобразованию Ханкеля (Ганкеля).

Связь двумерного преобразования Фурье с одномерным преобразованием Ханкеля представим в виде

ЯДЧл%>)) = х№г)) = 2Ях(г-1) + 2МоХ{г"} + Щ*-Х{г) =

. (65)

</ (¿!): 4 + 1 Л(3 + 2 к)1 '

Здесь х ~ преобразование Ханкеля. При вычислении преобразования Ханкеля функцию г усекли до функции г0 (радиус ближней зоны).

Заметим, что если функция обладает свойством круговой симметрии, то преобразования Фурье и Хартли такой функции совпадают. Поэтому ядро (65) можно использовать как для преобразования Фурье, так и для преобразования Хартли.

В этой же главе рассмотрены скорректированные ядра для модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса, который представим в виде

- и^.Л,)*,. ( 66 )

\П<,(РА,ЛА)\ (/у [зт ад

Здесь ф - чистая аномалия, _ Пр0ИЗВ0Дная функции Неймана,

<1{//

обозначим ее Н(у/).

Раскладывая функцию //(у/) в ряд и ограничиваясь первым порядком малости у/, получили скорректированные ядра вида

. (М, МЛ

\г- Г

I/.

X I Л.

где /- -- д/а-2 - линейное расстояние между точкой вычисления /4(0,0) и текущей точкой интегрирования Р(х,у). Коэффициенты М2 и М3 равны Л/, = Л = 0.636744449-104 , М3 = -2/?: = -0.810886989-10' . (68) В диссертационной работе представлены и другие виды скорректированных ядер, полученные по другим принципам. Но проведенные исследования показали, что данный вид ядра хорошо аппроксимирует функцию //(у)» так как даже при у/= 10° дает расхождение не более 0.5% и имеет достаточно простой вид.

Как уже отмечалось, существенное упрощение в алгоритмы вычисления аномалии высоты и составляющие уклонения отвеса вносят аналитические значения образов ядер соответствующих интегралов. Поэтому, следующей задачей, которая решена в данной диссертационной работе, является вывод аналитических выражений для образов Фурье и Хартли откорректированных ядер модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса.

Образы Фурье, полученные для скорректированных ядер (67) модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса, имеют вид

= , (69)

(70)

Ум «

Выведенные отдельно образы Хартли для скорректированных ядер модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса имеют тот же вид, что (69) и (70), с той лишь разницей, что в них отсутствует мнимая единица /.

Заметим, что первые слагаемые в (65), (69) и (70) совпадают с образами Фурье (Хартли) для плоской аппроксимации, полученными в третьей главе.

Пятая глава посвящена результатам практической реализации разработанных теории и методов. В ней представлены численные алгоритмы, реализующие разработанные методы на основе использования БПФ и БПХ. Рассмотрены результаты экспериментов и проведен их анализ. Все вычисления выполнены по реальным материалам (аномалиям силы тяжести), за исключением двух случаев, когда целесообразно было использовать модельные данные. Значительный объем исследований направлен на выявление различных эффектов, связанных с линейными дискретными преобразованиями, и учет их влияния на получаемые результаты.

Одной из основных операций, реализуемых в разрабатываемом методе, является операция свертки. Для вычисления круговой(периодической) и линейной(апериодической) сверток двух последовательностей использовали ДПФ(ДПХ). Рассмотрим механизм возникновения кругового эффекта при вычислении сверток посредством БПФ(БПХ) и связанного с ним эффекта наложения информации. Операцию дискретной свертки двух

последовательностей х(//) и >■(//) запишем в виде

s(n) = х(п) * у(п) = ]Г х(п)у(п - р). (71)

Р--Ч

Образы Фурье(Хартли) дискретных функций х(п), >•(/?) и s(n) обозначим через Х{к), Y (к) и S(k) соответственно. При свертке необходимо, чтобы обе последовательности были равной длины. Если длины последовательностей, соответственно, равны Nt и N2, то к первой из них следует добавить N2 -1 нулей, а ко второй - Nt -1 нулей. После чего обе последовательности получат равную длину + TV2 — I.

Для ускорения вычисления свертки используем теорему, согласно которой получим

s(n) = x(n)*yin) = F-*[X(k)-Y(k)] . (72)

На основе теоремы о свертке в частотной области запишем

Уравнение (72) дает основание утверждать, что свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной, а уравнение (73) показывает, что свертка в частотной области эквивалентна умножению во временной.

В данной диссертационной работе подробно рассмотрены операции циклической и линейной сверток, так как они играют большую роль в разработанном методе.

Вычисление линейной свертки двух функций х(п) и >•(/») производится по формуле

•*(") = -

7'2></>)-Я""/') i = 0,l,...,N-l

Гм • <74)

Т ^х(р + /)• y(N-р) i = t + N,! = 0,1,...,//-1

р' i

Дискретную линейную свертку можно рассматривать как операцию взаимного сдвига двух последовательностей, одна из которых записана в обратном порядке.

В циклической свертке ope последова+ельности определены на окружности равного периметра. Переменная л, пробегая по окружности, принимает только N различных значений. Циклическая свертка определяется выражением

N-\ N-1

s(n) = ^x(pmodjV)>'[(/?-/7)mod//] = ]>]*[(//- р)modN]y(pmodN) . ( 75 )

p-ll p-0

Циклическую свертку можно представить как сумму двух частей - линейной и круговой, то есть

*(//) = х(р)у(п -р) + rf^'xip + п +1 )y(N- р -1) . ( 76 )

р=0 р=о

В прёдыдуших главах было отмечено, что интегралы, по которым вычисляются трансформанты гравитационного поля, являются интегралами типа линснноП свертки. Однако фактически при дискретном преобразовании Хартли и Фурье мы имеем дело с циклическими свертками. Поскольку нам нужно получить линейную свертку, необходимо позаботиться о том, чтобы

циклическая свертка давала тот же результат, что и линейная. Проведенные исследования показали, что надо добавить к каждой из сворачиваемых последовательностей нулевые отсчеты в количестве, не меньшим, чем длина второй последовательности минус единица. Длины двух последовательностей после этого должны стать одинаковыми и равными как минимум длине линейной свертки исходных последовательностей. Циклическая свертка таких дополненных нулями последовательностей совпадает с линейной сверткой исходных последовательностей. Проведенные исследования показали, что дополнительные нули могут быть либо начальными, либо замыкающими элементами, могут группироваться с данными, однако эти нули не должны размещаться между соседними элементами последовательности.

Чтобы вычислить двумерную свертку с использованием ДПФ(ДПХ) двух двумерных последовательностей, необходимо обе исходные последовательности дополнить нулями по двум осям. Но в качестве конечного результата выбираем массив размером //хА^, расположенный там, где до преобразования располагалась исходная информация. В нашем алгоритме это -верхний левый угол выходного массива (на рис.1 он заштрихован). Обобщая полученный результат можно утверждать, что подобную операцию необходимо проделывать при использовании других родственных им линейных дискретных преобразований (Уолша, Хаара, г - преобразования и т.д.).

Следующий эффект, который необходимо учитывать в процессе обработки цифровой информации, связан с конечностью размера обрабатываемого массива. Вся обрабатываемая цифровая информация известна нам на конечном интервале. Если исследуемая функция *(/) периодическая, то ее надо знать на отрезке длиной в период. Если же *(/) функция непериодическая, то ее надо знать на всей оси. Па практике исследуемая функция бывает известна только на конечном отрезке Т, который обычно меньше периода функции. Пусть мы

имеем функцию *(/), определенную на бесконечном интервале -оо</<оо. Конечная длина интервала наблюдения моделируется при помощи умножения

на прямоугольный импульс (или прямоугольное " временное окно") //(/), которое во всем интервале наблюдения равно единице.

Поэтому практически мы работаем не с функцией х(/), а с ограниченной интервалом от 0 до Т функцией х7 (/), которую можно записать в виде

хг(1) = х(1)»(/). (77)

63 <>--

Рис. 1

Следовательно, прямоугольное окно (окно Дирихле) можно рассматривать как выделяющую, или стробирующую, последовательность, воздействующую на входную последовательность для выделения из нее конечного участка. Преобразование Фурье "прямоугольной'' функции м(/) равно

и{к)='1\г^г}1ЛТ • (78)

То есть переход к конечной по длине информации сводится к свертке преобразования исходной функции бесконечной длины с функцией %тякТ1якТ, из-за которой наблюдается явление утечки или просачивания, которая проявляется в виде искажения результатов на концах конечного интервала. Так при обработке массива размером 32x32 мы получаем достоверный результат только для массива размером 17x17 (на рис.1 это массив с 8 по 24 , как по строкам, так и по столбцам).

Просачивания не происходит при работе с периодическими функциями, если длина реализации Т равна целому числу периодов.

Для подавления просачивания используют временные окна (весовые функции), сглаживающие исходную реализацию так, чтобы подавить резкие вариации на ее начальном и конечном участках. Сглаживание функций производят как во временной, так и в частотной области. Проведенные исследования показали, что с точки зрения вычислительных затрат сглаживание, как во временной, так и в частотной областях примерно равно.

В настоящее время разработано большое количество окон, обладающих различными свойствами. Многие окна позволяют изменять их параметры и тем самым подбирать наилучшие для конкретной задачи. В данной главе представлены исследования следующих окон: треугольного, Барлетта, Хэмминга, Блэкмана-Хэрриса, Кайзера-Бесселя, косинусного. Все перечисленные окна являются одномерными, но их используют для создания двумерных окон.

Исследовались выше перечисленные окна, но выбор пал на окно Кайзера-Бесселя и косинусное окно. Основным фактором, повлиявшим на выбор именно этих окон, явилось наличие у них достаточно гибких управляющих параметров.

Косинусное окно имеет вид

„(к) =

0.5 1.0 0.5

1.0 - СОБ

( 2тш Ь N

0 < // < — Л' 2

-N + \<n<(\--)N + \ 2 2

(79)

1.0 - соэ

2 -1 -//)

Ь N

где Л - длина косинусоидального фронта, которую можно менять. Это окно плавно сводит значения отсчетов к нулю на границах без заметного уменьшения усиления преобразования. Для исследования действия косинусного окна значения параметра Ь выбирались из интервала от 0.17 до 0.86 . При А <0.30 значения отсчетов на границах снижаются очень резко. При ¿>>0.5 сильно уменьшается число отсчетов, на которое накладывается единичное значение. В диссертационной работе проиллюстрированы виды косинусного окна при разных параметрах Ь.

Окно Кайзера-Бесселя выражается следующим образом

( г

Ль

2к -п-\ /;-1

, к = 1,2,...,«

(80)

Здесь к - номер выборки весовой функции; /0 - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, имеющая вид

(*/2)'

т\

(81)

где М теоретически равно бесконечности, но, так как амплитуда функции Бесселя быстро спадает с увеличением т, то на практике достаточно положить Л/ =32 (при этом /7 = 16). Управляющий параметр р отвечает за спад вырезающей функции на краях (во временной области). Окно Кайзера-Бесселя исследовалось при различных значениях р. С ростом р доля энергии, сосредоточенная в главном лепестке спектра, увеличивается (и тем шире этот главный лепесток), а уровень боковых лепестков уменьшается. На практике

используют значения р от 4 до 9. Меняя числовой параметр /?, можно найти компромисс между уровнем боковых лепестков 5 и шириной основного лепестка д. Наличие параметра р делает окно Кайзера-Бесселя практически универсальным. Заметим, что при /? = 0 функция Кайзера-Бесселя соответствует прямоугольной весовой функции, а при р - 5.44 функция похожа на функцию Хэмминга (хотя и не идентична ей). В диссертационной работе представлен вид окна Кайзера-Бесселя и его амплитудный спектр для различных значений Р. Проведенные исследования показали, что для двумерного массива размером 64x64 и менее при использовании косинусного окна оптимально брать Ь = 0.35, а для окна Кайзера-Бесселя - р = 6.28. Это позволяет увеличить размер получаемой полезной информации. На рис.1 полезная информация до использования спектральных окон заключена в заштрихованной внутренней области размером 17x17 (пересечение столбцов и строк с номерами 8 и 24). Использование временного косинусного окна позволяет увеличить объем полезной информации до массива размером 22x22 (пересечение столбцов и строк с номерами 6 и 26 включительно). Этот результат показан на рис.1.

Исследования показали, что для практического использования можно рекомендовать как косинусное окно с 6 = 0.35, так и окно Кайзера-Бесселя с >0 = 6.28.

При выполнении преобразования Фурье над массивом *(/?) (или преобразования Хартли, если функция *(«)- вещественная) важно знать интервал задания функции. Обычно неявно предполагается, что массив задан на интервале (0,//-1). На практике, например, при решении задач физической геодезии, функция может быть определена на интервале п е (т,1), где т * 0. В частности, функция может быть задана на симметричном интервале, когда N N

/;е(-у,у) или //еО-Л^) и так далее. В этом случае при выполнении

преобразований Фурье или Хартли необходимо использовать теорему о сдвиге. В данной диссертационной работе все вычисления проводились с двумерными

массивами данных. Значения чистых аномалий силы тяжести ¿% располагаются в узлах регулярной сетки, причем начало системы координат находится в центре массива. Ось дг направлена с запада на восток, а ось у- с севера на юг. Поэтому, исходя из выше сказанного, необходимо сдвинуть

систему координат по двум осям: по оси ОХ на х0 =

[f- \ Дх-1

-1 Ах + —

единиц

влево и на >•„ =

(N Л. Ду --1 \Ау + —

{2 J 2 .

единиц вверх по оси OY, это соответствует

переходу к новой системе координат х'о'у'. Таким образом, мы получим вспомогательную функцию/(х + х„,>• + >•„). Согласно теореме о сдвиге, чтобы получить образ Фурье F(u,v) вспомогательной функции необходимо образ Фурье G(n,v) исходной функции умножить на две экспоненты ехр(у2да „х0 ) и ехр( /2я1'п>'0), которые учитывают сдвиги по двум осям, то есть

F {и, v) = G{u,v)&vpU2nn„xa)cxçijlw„y0) • ( 82 )

Заметим, что для того чтобы получить обратное преобразование Фурье несмещенной функции необходимо сначала умножить F(n,v) на экспоненты ехр(-/2л7/яхч) и ехр(у2лгл>'„ ), а потом сделать ОПФ.

При вычислении аналитических образов Фурье(Хартли) ядер R(u,v),L{(u,v), L.{и,v), Ln(u,v) начало координат в спектральной области располагаем в левом

верхнем углу. Ось и направлена вправо, а ось v - вниз.

Все рассуждения справедливы и для преобразования Хартли, которое в этом двумерном случае определяется по формуле

H(">v) = соз2я(дг0мя + ynv„)H(w,v)-sin2^(x0ï/1I + y0vn)ÏT(-w,-v) . (83) В данной главе также рассмотрен вопрос о взаимосвязи преобразований Фурье и Хартли, которая базируется на свойстве симметрии. Существует взаимно однозначные соотношения между ДПФ и ДПХ. Преобразование Фурье можно представить как разность четной составляющей преобразования Хартли и нечетной составляющей, умноженной на /'; напротив, преобразование Хартли

определяется как разность вещественной и мнимой составляющих преобразования Фурье

'"(/) = Ж/У(84) Н(/) = Рг(/)-Г.(Л> (85)

где /•;(/) и 0{/) - соответственно четная и нечетная составляющие функции Н(/). /•;(/) = Яе/•'(/),/\(/) = 1тБлизость указанных преобразований подтверждается выводами аналитических образов ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса, полученных в 4 главе, которые совпадают для интеграла Неймана и отличаются только на мнимую единицу / в модифицированном интеграле Венинг-Мейнеса.

Изучение вопроса соотношения эффективности выполнения БПХ и БПФ показало, что БПХ не имеет существенного преимущества по времени и удобству вычисления относительно некоторых алгоритмов БПФ, особенно это касается двумерных преобразований.

Значительная часть данной главы посвящена описанию . разработанной методики вычисления трансформант гравитационного поля на основе быстрых дискретных преобразований Фурье и Хартли.

В интегралах Стокса, Неймана, Венинг-Мейнеса и модифицированном интеграле Венинг-Мейнеса под знаком интеграла стоит произведение двух функций: одна из них некоторая непрерывная функция, соответствующая данной конкретной задаче и называемая обкладкой (в нашем случае - это либо значения чистых аномалий силы тяжести, либо смешанных аномалий). Второй множитель - это функция координат, то есть ядро интеграла. Обкладку мы получаем из измерений, а ядро можем менять в зависимости от точности поставленной задачи. В данной главе разработаны конкретные алгоритмы с разными типами ядер и с разной точностью приближения теории М.С.Молоденского. Для экспериментальной проверки были разработаны следующие алгоритмы:

1. Вычисление аномалии высоты с ядром (19) в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения теории М.С.Молоденского. В основе алгоритма уравнение (17) в терминах преобразования Фурье при п-0.

2. Вычисление составляющих уклонения отвеса с ядром (20) с точностью нулевого приближения теории М.С. Молоденского. Алгоритм основан на уравнении (18) в терминах преобразования Фурье при /7 = 0.

3. Вычисление первого поправочного члена в аномалию высоты с ядром (19) на основе уравнения (29).

4. Вычисление первого поправочного члена в компоненты уклонения отвеса с ядром (20) на основе уравнения (30) в терминах преобразования Фурье.

5. Вычисление аномалии высоты с точностью первого приближения с ядром (19). В основе алгоритма уравнение (41).

6. Вычисление составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения с ядром (20). В основе алгоритма уравнение (42).

7. Вычисление поправки за рельеф с. В основе алгоритма уравнение (51).

8. Вычисление редукции аномалии силы тяжести на горизонтальную плоскость. В основе алгоритма уравнение (25) при /; = 1.

9. Вычисление второго поправочного члена в аномалию высоты с ядром (19) на основе уравнения (54) в терминах преобразования Фурье.

10. Вычисление второго поправочного члена в компоненты уклонения отвеса с плоским ядром (20) на основе уравнения (55) в терминах преобразования Фурье.

11. Вычисление аномалии высоты с использованием уточненного ядра (62). Алгоритм основан на уравнении (17) в терминах преобразования Фурье(Хартли) при п = 0. Аналитический образ Фурье (Хартли) этого ядра дан в (65). Для увеличения массива полезной информации использовалось косинусное окно с Ь = 0.35.

12. Вычисление составляющих уклонения отвеса с использованием уточненного ядра (67) с коэффициентами (68) основан на уравнении (18), которое представлено в терминах преобразования Фурье(Хартли) при #» = 0.

Аналитический образ Фурье этого ядра для £ дан в (69) , а для /7 - в (70). Эти же аналитические образы можно использовать при преобразовании Хартли, но без мнимой единицы /. Для увеличения массива полезной информации использовалось окно Кайзера-Бесселя с управляющим параметром ¡3 - 6.28.

Для подтверждения работоспособности данных разработок был составлен пакет программ. Проведены вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью нулевого приближения в плоской аппроксимации для района Охотского моря по алгоритмам 1 и 2, реализующим интегралы Стокса и Неймана для аномалии высоты, а так же для интеграла Венинг-Мейнеса и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса для составляющих уклонения отвеса. Результаты по одному из меридианов приведены в таблице 1. Индексы и указывает на то, что данные трансформанты были вычислены соответственно по смешанным и чистым аномалиям силы тяжести. В колонке 4 приведены результаты вычисления, выполненные в ЦНИИГАиК методом численного интегрирования.

С целью проверки справедливости разработанных алгоритмов вычисления с точностью нулевого приближения и поправочных членов в нулевое приближение, а также вычисления по уточненному ядру был проведен эксперимент для района Центральных Альп. Район вычислений ограничен координатами

46.775" <(р< 48.325, 13.375° <Л< 16.000°.

Исходные данные, в виде смешанных аномалий силы тяжести, известные на хаотичной сетке, были перевычислены на регулярную сетку вариационным методом. По известным формулам смешанные аномалии силы тяжести перевычислили в чистые аномалии для тех же узлов. Определение всех трансформант гравитационного поля проводили по чистым аномалиям.

В таблице 2 представлены результаты вычисления аномалии высоты. По первому алгоритму вычислялись значения аномалии высоты с точностью нулевого приближения (второй столбец). По алгоритму 3 был вычислен первый

поправочный член (третий столбец). В четвертом столбце таблицы представлено значение второго поправочного члена. По алгоритму 11 вычислено значение аномалии высоты по уточненному ядру (62), имеющему образ Фурье (65), результаты представлены в столбце 6. В пятом столбце приведено значение аномалии высоты с точностью второго приближения.

Таблица 1

п/ 11 4 4 '4 >4

(-") (л/) (Л/)

1 2 3 4 5 6 7 8

1. 19.55 19.21 19.32 0.9 0.4 0.9 0.7

2. 19.61 19.24 19.40 1.0 0.5 0.9 0.6

3. 19.67 19.31 19.50 1.1 0.6 0.9 0.7

4. 19.82 19.49 19.66 1.7 1.4 0.5 0.4

5. 19.89 19.52 19.79 1.0 0.7 1.6 1.4

6. 19.94 19.60 19.78 1.5 1.1 1.0 1.0

7. 19.79 19.54 19.68 0.9 0.7 0.8 0.7

8. 19.68 19.42 19.61 1.5 1.0 0.3 0.3

9. 19.76 19.41 19.61 0.6 0.4 1.5 0.6

10. 19.81 19.41 19.67 0.9 0.2 0.8 0.6

11. 19.83 19.48 19.67 0.4 0.3 0.8 0.3

12. 19.80 19.44 19.64 0.8 0.1 0.4 0.2

13. 19.79 19.42 19.67 0.5 0.2 0.6 0.2

14. 19.74 19.45 19.64 0.7 0.3 0.5 0.3

15. 19.68 19.33 19.57 0.4 0.4 1.3 0.5

16. 19.61 19.28 19.47 0.9 0.7 1.0 0.4

17. 19.52 19.22 19.38 0.6 0.3 0.6 0.6

В таблицах 3 и 4 представлены результаты вычисления составляющих уклонения отвеса с точностью второго приближения и результаты вычисления с уточненными ядрами. Обработанные массивы размером 32x32 представлены в диссертационном приложении, в таблицах приведены результаты вычисления только по одному меридиану.

(S «

i© es H

СЧ

о о VO CN m Ш Ю On о VO 00 ЧО 00 ON

VO r- vo о o 00 On o (N СП "fr vO VO m о 00 00

VO vO vd VO VO vO r-' r-' r-' r-' г- Г— г-' Г-' г-'

■n- "fr •<fr ■<fr ■"fr rf Tt- Tí- тг Tí-

00 00 m r-- CN CN en r- in О IT) VO оо г- о

vq UH VO t— 00 On p CN en VO VO UO г^ оо On

vo VO VO VO vo VO r-' r-' Г-' Г-' Г»' Г-' г-' г- К

rf "fr •<fr *fr тГ -fr -fr ■чг Tf rt

CN <N О (N o CN о CN о (N

О о O © о О о О p p p О о О о p О

о © О Ö о О о О о о © О © о о о О

vO Г-- СП о (N (N r- CS о СП оо о ЧО СП 00

CN en en СП г}; 'fr en en -fr СП СП CN <ч СП CN СМ CN

en О о О o О © о о о О о О о О о о О

ON ©N О о 00 (N en On VO г- Tf гч CN

^ < CN ^fr in 00 On — ; сп СП CN vq

CN О VO vO VO vO VO VO VO VO Г»' Г-' г»' г- г-' г- Г-'

■«fr ■«Г TT ■«fr ГГ ■>fr *fr "fr ■ч- ■4J- тГ тГ

<4 cW ^ «о' VO Г-' 00 à 2 Z - 2 S £ S £

en a S

VO я H

4/>

4j>

(N.

(N г—) О CN СП On (N vO о

(N р СП ■«fr ТГ О in о Tf

О Os On >n VO Ö о 00 Ö

1—1 ■ i i i 1

СП u-1 On 00 VO о

Tf On СП О r-

m о 00 Os W) w-i

00 VO ^ О

О о

I I

тг

1/4 00

r- — Ö —'

On (N On

en CN (N (N VO '-V (N n-

f—H СП W-) s—1 »—* vq (N

<N Ö Os VO vO vO О On" 00

m en (N On О 00 О СП VO 00 о r-o СП CN CN

ö Ö О О Ö о Ö ö ö ö ö Ö

< >—< О >—<' O (N О —«' o ó о

I I I

Tí-I

CN en rf «X VO t4' 00 Os' 2 2

13. 0.43 0.56 0.04 1.03 0.19

14. 1.31 0.04 0.84 2.19 1.34

15. 2.02 0.57 0.61 3.20 3.98

16. 3.42 1.54 0.54 5.50 4.97

17. -2.67 1.71 0.32 - 0.64 -1.21

Таблица 4

»/« >ь п' X п:.

1 2 3 4 5 6

1. -6.45 0.99 0.20 -5.26 -4.92

2. -7.89 1.12 0.19 -6.58 -6.68

3. -5.43 0.58 0.04 -4.81 -4.72

4. 1.63 0.98 0.07 2.68 2.54

5. -4.78 -0.46 0.02 - 5.22 -5.48

6. -3.29 -0.38 0.09 - 3.58 -3.49

7. -9.13 - 1.03 0.08 -10.08 -10.06

8. -6.36 -2.04 0.11 - 8.29 - 8.46

9. -4.68 0.06 0.21 - 4.41 -4.23

10. -3.89 -0.03 0.19 - 3.73 -3.65

И. - 1.02 1.24 0.09 0.31 0.44

12. 2.37 0.86 0.31 3.54 3.39

13. 3.56 1.03 0.21 4.80 4.89

14. 2.34 0.84 0.54 3.72 3.69

15. -5.09 - 0.43 0.11 - 5.41 -5.34

16. -3.21 0.99 0.09 - 2.13 -2.35

17. - 1.77 0.45 0.02 - 1.00 - 1.09

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в результате теоретических разработок и экспериментальных исследований в данной диссертационной работе решена проблема вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса по чистым аномалиям силы тяжести, это стало возможным только благодаря высокоэффективным современным спутниковым методам определения пространственных

трехмерных координат с сантиметровой точностью. Разработаны методы вычисления указанных трансформант гравитационного поля на основе линейных дискретных преобразований в рамках строгой теории М.С.Молоденского.

Современные требования к точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса требуют вычисления не только с точностью нулевого, но и последующих приближений. В диссертационной работе разработаны три метода вычисления с точностью первого приближения. А также разработана теория и алгоритмы вычисления с точностью не только первого, но и последующих приближений.

Разработаны различные уточненные ядра для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса, проведены их исследования, сделано сравнение по точности и простоте использования. Решена проблема получения аналитических образов Фурье и Хартли уточненных ядер. Это позволило получить достаточно простой и эффективный алгоритм вычисления указанных трансформант. Проведенные эксперименты показали, что вычисление интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с разработанными образами Фурье (Хартли) уточненных ядер данных интегралов дают точность первого приближения.

Сделан сравнительный анализ по простоте, скорости, удобству использования алгоритмов БПФ и БПХ в разрабатываемой методике. Данные исследования показали, что преобразование Хартли, являясь вещественным преобразованием и предназначенным для обработки вещественного сигнала, не имеет существенных преимуществ перед преобразованием Фурье, так как, в настоящее время, разработано достаточно большое количество алгоритмов быстрого преобразования Фурье, приспособленных для обработки вещественных последовательностей. Организация двумерных алгоритмов преобразования Хартли более сложная, чем для преобразования Фурье.

Тем не менее, в диссертации представлены методы вычисления трансформант гравитационного поля, в которых можно использовать как преобразование

Фурье, так и преобразование Хартли. Это сделано с целью продемонстрировать, что разработанные общие принципы и технологические схемы позволяют строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, таких как, например, преобразования Уолша, Хаара, Уолша-Адамара, cas-cas - преобразования, z-преобразования и другие родственные им преобразованиям.

Отметим, что представленные в диссертации разработки можно использовать как в смежных областях (сейсморазведке, магниторазведке, геофизике, гидрологии, картографировании планет и т.д.), так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, при получении и обработки речевых сигналов и изображений, голографических системах, радиолокации и в других областях, связанных с цифровой обработкой сигналов.

Основные теоретические и практические разработки, выполненные в данной диссертационной работе

1. Развитие теории решения задач физической геодезии:

- доказана эквивалентность интегрального решения В.В.Бровара и метода аналитического продолжения Марыча-Морица в терминах свертки второй краевой задачи физической геодезии;

- обоснована целесообразность использования дискретных линейных преобразований при решении второй и третьей краевых задач физической геодезии;

- разработано несколько уточненных ядер в интеграле Неймана и модифицированном интеграле Венинг-Мейнеса с целью повышения точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса. Проведено сравнение скорректированных ядер, выбраны ядра оптимальные по точности и удобству использования;

- сделан вывод аналитических образов Фурье и Хартли оптимальных скорректированных ядер в интеграл Неймана и модифицированный интеграл

Вемимг-Мейнеса на основе непрерывных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций.

2. Разработаны методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующие теорему о свертке в частотной области с использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского (с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь представлены два направления: для первого созданы методы вычисления поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, для второго созданы методы вычисления поправочных членов в рассматриваемые трансформанты гравитационного поля.

3. Разработаны методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующие алгоритмы вычисления интегралов Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с аналитическими образами Фурье и Хартли скорректированных ядер, обеспечивающие точность первого приближения.

4. Исследованы эффекты, возникающие при обработке цифровой информации методами спектрального анализа:

- переход от циклической свертки к линейной (эффекты подмены и наложения);

дискретность обрабатываемой информации, выбор интервала дискретизации;

- конечность длины выборки; исследование и подбор двумерного окна;

- сдвиг функций по осям координат во временной и частотной областях. Разработаны методики учета и снижения влияния перечисленных эффектов.

5. Выполнено исследование взаимосвязи преобразований Фурье и Хартли и сравнение эффективности быстрых дискретных преобразований Фурье и Хартли, которое показало, что одномерное преобразование Хартли быстрее одномерного преобразования Фурье, причем скорость возрастает с ростом последовательности. Но двумерное преобразование Хартли организовывается

сложнее, чем двумерное преобразование Фурье и потому теряет свое преимущество.

6. Разработаны и обоснованы общие принципы и технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований, которые в данной работе подтверждены на примере использования преобразований Фурье и Хартли.

7. Разработана теория и технологические схемы, которые можно и целесообразно использовать не только в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), но и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов и т.д.

Перечень основных опубликованных работ по теме диссертации

1. Староверова Е.М. О Вычислении редукции аномалии силы тяжести на горизонтальную поверхность методом быстрого преобразования Фурье // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1989, №1, с.108-112.

2. Староверова Е.М. Об учете первого приближения в вычислениях компонентов уклонения отвеса с использованием преобразования Фурье // Деп. УДК 528.232.24 № 377 - гд - 89 от 20 апреля, Юс.

3. Староверова Е.М. Вычисление дискретной свертки с использованием быстрого преобразования Фурье при определении гравиметрических уклонений отвеса// Деп. УДК 528.232.24 № 394 - гд - 89 от 12 июля, 11с.

4. Староверова Е.М. Разработка и исследование методов решения задач физической геодезии на основе быстрого преобразования Фурье // Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук, М., 1989, 220с.

5. Мазурова Е.М. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье//Изв. вузов "Геодезия и аэрофотосъемка", №3, 2004, с. 18-35.

6. Мазурова Е.М. Двумерное и матричное представление быстрого преобразования Фурье//Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №4, 2004, с.3-12.

7. Мазурова Е.М. О сравнении эффективности быстрого дискретного преобразования Фурье и быстрого дискретного преобразования Хартли//Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №1,2005, с.3-9.

8. Мазурова Е.М. К вопросу о вычислении поправки за рельеф на основе преобразования Фурье / В сб. научных докладов V международной научно-практической конференции, М.: МГИУ, 2005, с.241-244.

9. Мазурова Е.М. Алгоритм вычисления первого поправочного члена в формулы нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье // Геодезия и Картография , №5, 2005, с. 18-20. Ю.Мазурова Е.М. Вычисление вторых поправочных членов при определении аномалии высоты и компонентов уклонения отвесной линии на основе преобразования Фурье и Хартли для района Центральных Альп // Геодезия и Картография , №6, 2005, с.22-25.

11. Мазурова Е.М. К вопросу об определении одной из компонент внешнего гравитационного поля Земли// Исследование Земли из космоса, №6,2005,с.28-33.

12. Мазурова Е.М. О краевой задаче геодезии в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье//Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №5,2005, с. 14-22.

13. Мазурова Е.М. О вычислении аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье//Изв.вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №6,2005, с. 14-21.

14. Мазурова Е.М. О вычислении циклической и линейной сверток// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №1, 2006, с.28-45.

15. Мазурова Е.М. Алгоритм вычисления третьего поправочного члена в формулах определения аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса на основе преобразования Фурье // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №2, 2006, с.24-30.

Подписано в печать 13.04.2006. Гарнитура Тайме Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 3,0 Тираж 80 экз. Заказ №51 Цена договорная УПП «Репрография» МИИГАиК,105064, Москва, Гороховский пер., 4

Содержание диссертации, доктора технических наук, Мазурова, Елена Михайловна

Оглавление

Введение

Глава 1 Классические и современные математические подходы к постановке и решению задач физической геодезии

1.1 Краевые задачи теории потенциала

1.1.1 Прямые и обратные задачи теории потенциала

1.1.2 О корректности постановки краевых задач

1.2 Классические подходы к решению краевых задач физической геодезии

1.2.1 Метод функций Грина

1.2.2 Метод сферических функций

1.2.3 Метод интегральных уравнений

1.3 Современные математические подходы к постановке и решению задач физической геодезии

1.3.1 Концепция сферы Бъерхаммара

1.3.2 Коллокация (статистический и функциональный подходы)

1.3.3 Вариационный метод регуляризации

1.3.4 Метод оптимальных интегральных ядер

1.3.5 Мультипольное представление потенциала. Другие современные подходы к решению дискретных задач физической геодезии

1.3.6 Метод сверток на основе линейных дискретных преобразований. Быстрые алгоритмы

1.4 Аппаратные средства для вычисления БПФ и БПХ

1.5 Краевые задачи физической геодезии

1.5.1 Третья краевая задача

1.5.2 Вторая краевая задача

1.5.3 Краевая задача М.С.Молоденского

1.5.4 Краевая задача GPS

1.6 Анализ состояния проблемы и методов решения задач физической геодезии. Постановка задачи

Глава 2 Теория линейных преобразований Фурье и Хартли

2.1 Непрерывные преобразования

2.1.1 Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Фурье

2.1.2 Одномерное и двумерное непрерывные преобразования Хартли

2.2 Дискретизация и квантование

2.3 Дискретные преобразования. Их матричная интерпретация

2.3.1 Одномерное и двумерное дискретное преобразование Фурье

2.3.2 Одномерное и двумерное дискретное преобразование Хартли

2.4 Структура быстрых алгоритмов гармонического анализа

2.4.1 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье с децимацией во временной области

2.4.2 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье с децимацией по частоте

2.4.3 Двумерное быстрое преобразование Фурье

2.4.4 Матричная интерпретация быстрого преобразования Фурье

2.4.5 Алгоритмы быстрого преобразования Хартли с децимацией во временной области

2.4.6 Алгоритмы быстрого преобразования Хартли с децимацией по частоте

2.4.7 Двумерное быстрое преобразование Хартли. Матричная форма

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований"

В настоящее время с развитием глобальных навигационных спутниковых систем GPS (США) и ГЛОНАСС (Россия) геодезическая информация значительно увеличилась в объеме и изменилась в качестве измерений, что привело к пересмотру стратегии развития не только геодезии и гравиметрии как наук, но и топографо-геодезического и гравиметрического производства.

Поэтому, в настоящее время, можно перейти от решения краевой задачи физической геодезии, в которой краевая поверхность сама подлежит определению к краевой задаче, в которой краевая поверхность известна. Современные спутниковые измерения позволяют вычислить чистые аномалии силы тяжести не менее точно, чем смешанные. Интегральные оценки, выполненные В.В.Броваром, показали, что вычисления трансформант гравитационного поля по формулам, использующим чистые аномалии силы тяжести Sg, снижают ошибки аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса почти в два раза, относительно вычислений, выполненных по смешанным аномалиям А^ [14].

Таким образом, первым путем повышения точности вычисления указанных трансформант является определение их по формулам, позволяющим использовать чистые аномалии силы тяжести ^, которые являются функцией широты в, долготы I и геодезической высоты н. Для вычисления аномалии высоты - это интеграл Неймана, а для вычисления составляющих уклонения отвеса - это модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса.

Дальнейшее повышение точности вычисления указанных трансформант связано с методом вычислений.

Благодаря трудам М.С. Молоденского, В.Ф.Еремеева, М.И. Юркиной, В.В.Бровара, Б.В.Бровара, Л.П.Пеллинена, О.М.Остача, Б.П.Шимбирева, В.А.Магницкого и других ученых методы определения физической поверхности Земли и ее внешнего гравитационного поля базируются на строгой теории, позволяющей принципиально строго с любой степенью точности решать задачи физической геодезии. Общим для этих методов является представление аномалии силы тяжести притяжением материального слоя на поверхности Земли первого приближения и сведением задачи к решению последовательными приближениями составленных интегральных уравнений. При этом обеспечиваются универсальность и теоретически неограниченные возможности повышения точности конечных результатов. Однако Л.П.Пеллинен отмечал, что для практического использования эти методы неудобны, так как " на каждой стадии приближений приходится вычислять в каждой точке физической поверхности несобственные интегралы. Это вычисление предъявляет одинаково высокие требования к знанию высот, аномалии силы тяжести и поправок, найденных в предыдущих приближениях, в окрестностях каждой исследуемой точки. Другой недостаток указанных методов - физическая нереальность материальной модели, объясняющей гравитационные аномалии. Из-за этого распределение плотностей материального слоя оказывается в горных районах весьма сложным и неустойчивым даже при спокойном поле аномалий силы тяжести, а процесс приближений сильно замедляется".

То есть, проблема точного определения трансформант гравитационного поля заключается в том, что классические методы решения задач физической геодезии основаны на составлении и решении того или иного интегрального уравнения, а это требует знания непрерывных безошибочных значений аномалии силы тяжести по всей поверхности Земли. Но непрерывная гравиметрическая изученность практически невозможна, а классический подход не способен дать полный ответ при неполной гравиметрической изученности.

Большую роль в создании и развитии современных методов физической геодезии сыграли такие ученые, как А.Бъерхаммар (Bjerhammar), Х.Мориц (H.Moritz), Рапп P.(Rapp R.), Чернинг С. (Tscherning С.), Краруп T.(Krarup Т.), Р.Хирвонен (R.Hirvonen), В.И.Аронов, М.И.Марыч, Ю.М.Нейман и другие.

Поэтому целью данной диссертационной работы является разработка принципиально новых теоретических и практических методов решения задач физической геодезии на основе современных математических достижений.

Интегралы Стокса, Неймана, интеграл Венинг-Мейнеса и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса, а также последующие члены классических рядов Молоденского являются интегралами двумерной свертки (двумерным уравнением Фредгольма 1 рода). Проведенный анализ современных методов вычисления указанных трансформант показал, что очень эффективно использовать для вычисления указанных интегралов в центральной и ближней зонах метод линейных дискретных преобразований, таких как Фурье, Хартли, Уолша, Уолша-Адамара, Хаара, Карунена-Лоэва, cas - cas и г - преобразования, вейвлет-преобразование. Указанные преобразования имеют две формы: аналитическую и дискретную. Для нас важны обе - первая позволяет сделать вывод аналитических образов ядер вычисляемых интегралов, вторая привлекательна тем, что, во-первых: исходные данные в задачах физической геодезии имеют дискретный вид и естественно использовать для их обработки алгоритмы дискретных преобразований, во-вторых: для некоторых из указанных дискретных преобразований разработана эффективная техника вычислений - быстрые алгоритмы, использование которых позволяет вычислять большие массивы дискретной информации, присущие задачам физической геодезии, в реальном масштабе времени. Так для 1024-точечного дискретного преобразования Фурье(ДПФ) объем требуемых вычислений можно снизить в 208,4 раза. Экономия возрастает с увеличением N и для достаточно больших N достигает 99% объема вычислительных затрат стандартного метода. При выполнении ДПФ требуется N2 операций комплексного умножения и сложения. При выполнении быстрого преобразования Фурье (БПФ) требуется (N/2)\og2N тех же операций. Поэтому выигрыш в вычислениях растет по закону N2 -(iV72)log2 N. Использование спецпроцессоров еще больше увеличивает скорость обработки.

Вычисление трансформант гравитационного поля на основе быстрых преобразований имеет ряд бесспорных преимуществ относительно других методов, поскольку позволяет получать окончательный результат одновременно во всех узлах заданной решетки в реальном масштабе времени и вычислить любой порядок приближения, что практически сложно или даже невозможно сделать другими методами.

При использовании метода быстрых линейных преобразований точность вычисления указанных трансформант зависит только от точности исходной аномалии силы тяжести и ошибки дискретизации, но это присуще всем методам вычислений.

Проверка разработанных подходов и методов проводилась на дискретных преобразованиях Фурье и Хартли, так как эти преобразования имеют наибольшее количество быстрых алгоритмов эффективно реализующих дискретные преобразования. К тому же, в настоящее время, разработаны спецпроцессоры для данных преобразований.

Одной из задач данной диссертационной работы является разработка двух методов точного определения указанных трансформант: первый связан с вычислением аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса по формуле Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения и вычисления поправочных членов, которые так же являются интегралами свертки. Здесь разрабатывались как методы вычисления, в которых поправочные члены вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, так и методы вычисления, когда поправочные члены вводятся в нулевые приближения указанных трансформант.

Второй метод связан с выводом уточненных ядер в рассматриваемых интегралах. Все методы реализуются на основе вычисления интегралов свертки через быстрые алгоритмы преобразований Фурье и Хартли. Поскольку известно, что гораздо эффективнее быстрые преобразования Фурье и Хартли работают, если известны аналитические образы Фурье (Хартли) ядер в указанных интегралах, то ставится задача, на основе теории специальных функций, получить для второго метода соответствующие аналитические образы уточненных ядер. При использовании спектрального анализа для вычислений трансформант гравитационного поля возникает достаточно большое количество побочных эффектов, которые необходимо исследовать и учесть при разработке алгоритмов.

Поэтому данная диссертационная работа направлена на достижение следующих результатов:

1. Развитие теории решения задач физической геодезии

- доказать эквивалентность интегрального решения В.В.Бровара и метода аналитического продолжения Марыча-Морица в терминах свертки для исвторой краевой задачи физической геодезии;

- обосновать целесообразность использования дискретных линейных преобразований при решении задач физической геодезии;

- разработать несколько видов уточненных ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с целью повышения точности вывода аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса. При выполнении коррекции использовать различные аппроксимирующие функции, произвести сравнение скорректированных ядер и выбрать оптимальное по точности и удобству использования;

- на основе непрерывных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций сделать вывод аналитических образов Фурье и Хартли для оптимальных уточненных ядер в интеграл Неймана и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса.

2. Разработать методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующую теорему о свертке в частотной области с использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского (с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь необходимо разработать два подхода: в первом создать методы вычисления, в которых поправочные члены вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, во втором создать методы вычисления, когда поправочные члены вводятся в нулевые приближения рассматриваемых трансформант гравитационного поля.

3. Разработать методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующие алгоритмы вычисления интегралов Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с аналитическими образами скорректированных ядер.

4. Выполнить сравнение методов.

5. Провести исследования различных эффектов, возникающих при работе с дискретными линейными преобразованиями, выработать конкретные рекомендации по учету этих эффектов в разработанных методах исследовать переход от циклической свертки к линейной (эффекты подмены и наложения); исследовать вопрос, связанный с дискретностью обрабатываемой информации и выбором интервала дискретизации;

- исследовать эффект, связанный с конечностью длины выборки; выполнить исследование и подбор двумерных окон;

- рассмотреть сдвиг функций по осям координат во временной и частотной областях;

- рассмотреть взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли;

- сравнить эффективность быстрых дискретных преобразований Фурье и Хартли.

6. Обосновать общие подходы и разработать технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований. Провести проверку общих подходов и технологических схем, используя преобразования Фурье и Хартли.

7. Обосновать возможность и целесообразность использования разработанных методов, технологических схем и алгоритмов, как в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), так и в других областях науки, касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов, цифровой связи и т.д.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений, вынесенных в отдельный том.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Мазурова, Елена Михайловна

Основные результаты опубликованы в статьях [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,51].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определение координат точек в трехмерном пространстве с сантиметровой точностью позволяет получить высокоточную высотную сеть без трудоемкого наземного нивелирования, но только при условии, что с не меньшей точностью удается определить аномалию высоты.

Современные спутниковые измерения позволяют вычислить чистые аномалии силы тяжести не менее точно, чем смешанные. Одним из путей повышения точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса заключается в вычислении их через интеграл Неймана и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса. Дальнейшее повышение точности связано с методом вычисления указанных трансформант.

На основе изучения проблем и проведенного анализа, как классических, так и современных методов решения задач физической геодезии в диссертации разработана теория и методы решения указанных задач на основе линейных дискретных преобразований в рамках строгой теории М.С.Молоденского.

Все методы разрабатывались на основе использования дискретных линейных преобразований Фурье и Хартли с использованием быстрых алгоритмов вычисления этих преобразований. Использование сразу двух преобразований позволило теоретически обосновать и разработать общие технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, таких как, например, преобразования Уолша, Хаара, Уолша-Адамара, саз-саэ преобразования, г-преобразования и других родственных им преобразований.

Проведенные эксперименты показали, что вычисление интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с разработанными образами Фурье (Хартли) уточненных ядер данных интегралов дают точность первого приближения.

Сделан сравнительный анализ по простоте, скорости, удобству использования алгоритмов БПФ и БПХ в разработанных методах. Данные исследования показали, что преобразование Хартли, являясь вещественным преобразованием, специально предназначенным для обработки вещественного сигнала, не имеет существенных преимуществ перед преобразованием Фурье, так как, в настоящее время, разработано достаточно большое количество алгоритмов быстрого преобразования Фурье, приспособленных для обработки вещественных последовательностей. Организация двумерных алгоритмов преобразования Хартли более сложная, чем для преобразования Фурье. Тем не менее, в диссертационной работе разрабатывались методики вычисления трансформант гравитационного поля, в которых можно использовать как преобразование Фурье, так и преобразование Хартли.

Отметим, что разработанные технологические схемы вычисления сверток могут быть использованы не только при решении задач физической геодезии, но также в смежных науках, например, сейсморазведке, гравиразведке, геофизике, гидрологии, картографировании планет, а так же при получении и обработки речевых сигналов и изображений, голографических системах, радиолокации и в других областях, связанных с цифровой обработкой сигналов.

Представленные к защите результаты являются дальнейшим развитием работ, выполненных автором на протяжении многих лет.

Таким образом, основные теоретические и практические разработки, полученные в данной диссертации, заключаются в следующем:

1. Развитие теории решения задач физической геодезии выполнено доказательство эквивалентности интегрального решения В.В.Бровара и метода аналитического продолжения Марыча-Морица в терминах свертки для второй краевой задачи физической геодезии;

- разработано несколько видов уточненных ядер для интеграла Неймана и модифицированного интеграла Венинг-Мейнеса с целью повышения точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса. При выполнении коррекции использовать различные аппроксимирующие функции, проведено сравнение скорректированных ядер и выбраны оптимальные по точности и удобству использования;

- на основе непрерывных преобразований Фурье, Хартли и теории специальных функций сделан вывод аналитических образов Фурье и Хартли для оптимальных уточненных ядер в интеграл Неймана и модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса.

2. Разработаны методы вычисления трансформант гравитационного поля, реализующую теорему о свертке в частотной области с использованием алгоритмов быстрых преобразований Фурье и Хартли по формулам плоской аппроксимации в рамках строгой теории М.С.Молоденского (с точностью нулевого, первого и последующих приближений). Здесь разработано два направления: в первом созданы методы вычисления поправочных членов, которые вводятся непосредственно в значения чистой аномалии силы тяжести, во втором разработаны методы вычисления поправочных членов в рассматриваемые трансформанты гравитационного поля.

4. Выполнено сравнение методов из пунктов 2 и 3.

5. Проведены исследования различных эффектов, возникающих при работе с дискретными линейными преобразованиями, выработаны конкретные рекомендации по учету этих эффектов в разработанных методах исследован переход от циклической свертки к линейной (эффекты подмены и наложения); исследована проблема, связанная с дискретностью обрабатываемой информации и выбором интервала дискретизации;

- исследован эффект, связанный с конечностью длины выборки; выполнено исследование и подбор двумерного окна;

- исследован эффект, возникающий в результате сдвига функций по осям координат во временной и частотной областях;

- исследована взаимосвязь преобразований Фурье и Хартли; произведено сравнение эффективности быстрых дискретных преобразований Фурье и Хартли.

6. Разработаны общие принципы и технологические схемы, позволяющие строить новые методы и алгоритмы решения задач физической геодезии на основе других дискретных линейных преобразований, например, Уолша, Хаара и родственных им преобразований, которые в данной работе проверены на использовании преобразований Фурье и Хартли.

7. Рассмотрена возможность и целесообразность использования разработанных методов, технологических схем и алгоритмов, как в смежных областях (сейсмографии, гравиразведке, магниторазведке, геофизике и т.д.), так и в других областях науки касающихся цифровой обработки сигналов, например, голографии, распознавании речи и образов, цифровой связи и т.д.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора технических наук, Мазурова, Елена Михайловна, Москва

1. Агурок И.П. Использование алгоритма быстрого преобразования Фурье для ускорения алгоритма быстрой интерполяции Котельникова// Изв. вузов, Приборостроение, 1985,№9, стр.35-38.

2. Аронов В.И. К вопросу о редуцировании аномалий силы тяжести в горной области// В кн. Геофизическая разведка. М.: Госгеолтехиздат, 1963.

3. Аронов В.И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести при произвольном рельефе поверхности наблюдений// М., «Недра», 1976, 129 е., илл. (1976, 7.52.86).

4. Бабешко JI.O., Нгуен Тхань Вьет. Исследование некоторых методов восстановления скалярного поля с хаотичной сетки// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1988, №1, с.30-34.

5. БатМ. Спектральный анализ в геофизике//М.: Недра, 1980.

6. Бейтмен Г., А.Эрдейи Высшие трансцендентные функции (гипергеометрическая функция, функции Лежандра)// М., Наука, 1965, 294с.

7. Белый A.A., Бовбель Е.И., Микулович В.И. Исследование алгоритмов быстрого преобразования Фурье по основанию 4 с постоянной структурой// Радиотехн. и электрон., 1980, Т.25, №8, с.1638-1647.

8. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов// М.: Недра, 1971.

9. Блейхуд Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов// М.: Мир, 1989, 448с.

10. Болд Г.Э.Дж. Сравнение времен вычисления быстрых преобразований Хартли и Фурье// ТИИЭР, 1985, Т.73, №12, с.184-185.

11. Брейсуэлл Р.Н. Быстрое преобразование Хартли// ТИИЭР, 1984, Т.72, №8, стр. 19-27.

12. Брейсуэлл Р. Преобразование Хартли// М. ,Мир, 1990 г.,175с.

13. Бровар B.B. О решении краевой задачи Молоденского// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1963, №4, с. 129-137.

14. Бровар В.В. О возможном повышении точности гравиметрических выводов в геодезии // Астрономический журнал, 1971, т.48, №6, с. 1327-1332.

15. Бровар В.В., Магницкий В.А., Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли// М., Изд-во геодезической литературы, 1961, 256с.

16. Бровар В.В., Чеснокова Т.С. Аппроксимационные формулы для вычисления возмущающего потенциала и его производных в приближении Стокса // Труды государственного астрономического института им. П.К. Штернберга, 1990, т.61, с.141-185.

17. Ватсон Дж.(Watson G.N.) Теория бесселевых функций//ИЛ., 1949.

18. Вьюхина H.H. Индексное устройство процессора для быстрого преобразования Фурье // Автометрия, 1973, №3, стр.32-39.

19. Гладкий К.В., Серкеров С.А. Преобразования Фурье и их приложения в гравиразведке и магниторазведке//М.: Недра, 1974, 74с.

20. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов// М.: Сов. радио, 1973, 367с.

21. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов// М.: Мир, 1988,488с.

22. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения// М.: Мир, 1971-72, т.1 и т.2, 316с., 287с.

23. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам,РХД, Москва-Ижевск, 2004, 463 с.

24. Евтеев Ю.А., Кущев Б.И., Пикулин B.C. и др. Аппаратурная реализация дискретного преобразования Фурье//М.: Энергия, 1978, стр.128.

25. Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Теория высот в гравитационном поле Земли// М.," Недра", 1972,144с.

26. Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Интегральные уравнения для плотности простого поля// Тр. ЦНИИГАиК, вып. 198, 1972, с. 57 178

27. Ефанов В.Н., Коршевер И.И., Лобастов В.М. О вычислении мгновенного спектра // Автометрия., 1973, №3, с.39-45.

28. Ефимов A.B. Математический анализ (специальные разделы). Общие функциональные ряды и их приложение// М.: Высшая школа, 1980, т.1, 279с.

29. Жонгалович И.Д. Некоторые формулы, относящиеся к движению материальной точки в поле тяготения уровенного эллипсоида вращения// «Бюллетень института теоретической астрономии», т. VII, 1960, № 7, с. 521 — 537

30. Зайцев Г.В., Пагулин Н.Е. Класс алгоритмов быстрого преобразования Фурье действительной последовательности // Проблемы передачи инф., 1983, Т.19, №1, с.49-60.

31. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их приложение в управлении, связи и других областях // М. Наука, 1989, с.495.

32. Идельсон Н.И. Теория потенциала и ее приложения к вопросам геофизики// Гос. технико- теоретическое издательство, Ленинград, 1932 г., 348с.

33. Канасевич Э.Р. Анализ временных последовательностей в геофизике// М.: Недра, 1985.

34. Каханер Д., К.Моулер, С. Нэш Численные методы и программное обеспечение// М.: Мир, 2001г., 575с.

35. Короткова Л.Л. Выборочные функции и их использование в геодезии и селенодезии.// Геодезия, картография и аэрофотосъемка (Львов), 1979, № 29, с. 30-42

36. Косарев Е.Л. Методы обработки экспериментальных данных// М.: МФТИ, 2003, 256с.

37. Кузнецов M.B. Об учете первого приближения в решении задачи Молоденского вариационным методом// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1978, № 4, 46 51 (1979, 3.52.61)

38. Кузнецов М.В. Использование обобщенного параметра регуляризации в решении задачи Молоденского вариационным методом// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1979, № 4, 36 41 (1979, 11.52.73)

39. Кухарев Г.А., Тупиков В.Д. О некоторых алгоритмах обработки сигналов, реализуемых с использованием быстрого преобразования Фурье// Изв. вузов, приборостроение, 1980, №6, с.52-56.

40. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа// М.: Физматгиз, 1961,274с.

41. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения// М. Изд. ф-м лит., 1983, 358с.

42. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации// М., Мир, 1980, 608с.

43. Мазурова Е.М. Алгоритмы быстрого преобразования Фурье// Изв.вузов Геодезия и аэрофотосъемка, №3, 2004, с. 18-3 5.

44. Мазурова Е.М. Двумерное и матричное представление быстрого преобразования Фурье//Изв.вузов.Геодезия и аэрофотосъемка,№4,2004,с.3-12.

45. Мазурова Е.М. О сравнении эффективности быстрого дискретного преобразования Фурье и быстрого дискретного преобразования Хартли//Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №1,2005, с.3-9.

46. Мазурова Е.М. К вопросу о вычислении поправки за рельеф на основе преобразования Фурье. В сб.научных докладов V международной научно-практической конференции // М.: МГИУ, 2005, с.241-244.

47. Мазурова Е.М. Алгоритм вычисления первого поправочного члена в формулы нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье // "Геодезия и Картография" , №5, 2005, с. 18-20.

48. Мазурова Е.М. Вычисление вторых поправочных членов при определении аномалии высоты и компонентов уклонения отвесной линии на основепреобразования Фурье и Хартли для района Центральных Альп// " Геодезия и Картография" , №6, 2005, с.22-25.

49. Мазурова Е.М. К вопросу об определении одной из компонент внешнего гравитационного поля Земли// "Исследование Земли из космоса", №6, 2005,с.28-33.

50. Мазурова Е.М. О вычислении аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка , №6, 2005, с.14-21.

51. Мазурова Е.М. О краевой задаче геодезии в плоской аппроксимации с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе преобразования Фурье// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №5, 2005, с.14-22.

52. Мазурова Е.М. О вычислении циклической и линейной сверток// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №1, 2006, с.28-45.

53. Мазурова Е.М. Алгоритм вычисления третьего поправочного члена в формулах определения аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса на основе преобразования Фурье //Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка , №2, 2006, с.24-30.

54. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов// Мир, Москва, 2005, 671 с.

55. Майоров А.Н. Использование спектрального представления высот рельефа и аномалий силы тяжести при вычислении поправки 01 // Физическая геодезия ( сборник статей ), М.: ЦНИИГАиК, 1999, с.81-87.

56. Маккелан Дж.Х., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов// М.: Радио и связь, 1983, 367с.

57. Марченко А.Н. О вычислении моментов гравитационных мультиполей Земли//Геодезия, картография и аэрофотосъемка, 1977, вып. 25, стр. 35-41.

58. Марыч М.И. О решении задачи Молоденского с помощью ряда Тейлора// В сб. Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Издательство Львовского университета, вып.17, 1973, с.26-33.

59. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. Нахождение осей гравитационных мультиполей//Геодезия, картография и аэрофотосъемка,1977,вып.25,с.42 47.

60. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли// Труды ЦНИИГАиК, М., вып.131,1960, 251с.

61. Молоденский М.С. Определение фигуры геоида при совместном использовании астрономо-геодезических уклонений отвеса и карты аномалий силы тяжести// Труды ЦНИИГАиК, М.: Редбюро ЦЕ1Ж при СНК СССР, вып. 17,1937.

62. Молоденский М.С. Основные вопросы геодезической гравиметрии// Труды ЦНИИГАиК, М., вып.42,1945.

63. Мориц Г. Современная физическая геодезия// М.: Недра, 1983, с.391.

64. Мориц Г. Теория Молоденского и GPS (Памяти М.С.Молоденского) // Геодезия и картография, № 6,2001,с.7-17.

65. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии// М., «Недра», 1979,200с., (1980,2.52.59).

66. Нейман Ю.М. О регуляризации краевой задачи Молоденского// "Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка", 1975, № 3, 57 64 (1976, 6.52.92).

67. Нейман Ю.М. Вариационный метод решения дискретных задач физической геодезии// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1977, № 1, 21 27 (1977, 10.52.67).

68. Нейман Ю.М. К обоснованию вариационного метода теории фигуры Земли// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1977, № 4, 21 25 (1978, 3.52.62)

69. Нейман Ю.М. Вероятностная модификация формулы Стокса при вычислении аномалии высот// «Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка», 1974, №6, с. 21-24

70. Нуссбаумер Г.Д. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток// М.: Радио и связь, 1985, 248с.

71. Нэш Р.А., Джордан С.К. Статистическая геодезия: вклад инженеров и практические применения// ТИИЭР, т.66, №5, 1978, с.5-26.

72. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции// М. Наука, 1978, 375 с.

73. Орлова Е.М. Труды ЦНИИГАиК, М.: Недра, 1965, вып. 157

74. Отнес Р., Эноксон JI. Прикладной анализ временных рядов// М: Мир, 1982, 428с.

75. Пеллинен Л.П. Исследование уклонений отвеса и вывод фигуры квазигеоида на Кавказе// Труды ЦНИИГАиК, вып. 86, 1951, с.62-96.

76. Пеллинен Л.П., Остач О.М. Об учете влияния топографических масс при вычислении уклонений отвеса и высот квазигеоида// Stad. geophys. et geod., Vol.18, №4,1974, p.319-328.

77. Пеллинен Л.П. О тождественности различных решений задачи Молоденского// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1974, №3, с.65-71.

78. Пеллинен Л.П. Влияние топографических масс на вывод характеристик гравитационного поля Земли// Труды ЦНИИГАиК, М.: Геоиздат, вып. 145, 1962.

79. Пеллинен Л.П. О вычислении уклонений отвеса и высот квазигеоида в горах// Тр. ЦНИИГАиК, вып. 176, М„ Недра, 1969, стр. 99 112.

80. Петров Ю.П., Сизиков В.С. Корректные , некорректные и промежуточные задачи с приложениями//С-Пб, Политехника, 2003, с.261.

81. Никулин В.П., С.И. Похожаев Практический курс по уравнениям математической физики// М., МЦНМО, 2004, 208с.

82. Прадо Ж. Замечания к статье "Быстрое преобразование Хартли "// ТИИЭР, 1985.Т.73,№12, с.182-183.

83. Прангишвили И.В., Виленкин С.Я., Медведев И.Л. Параллельные вычислительные системы с общим управлением// М.:Энергоатомиздат,1983, 312с.

84. Прангишвили И.В. Применение микропроцессоров в приборостроении// Приборы и системы управления, 1981, №2, с. 48-50.

85. Прудников А.П., Ю.А. Брычков, О.И. Маричев Интегралы и ряды. Специальные функции // М., Наука, 1983, 750с.

86. Прудников А.П., Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. Интегралы и ряды//М., Наука, 1981,798с.

87. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов//М.,Мир, 1978, 848с.

88. Ракошиц B.C., Козлов A.B., Можаев И.А., Беляев A.A. Специализированные микропроцессоры, реализующие быстрые преобразования. Цифровая обработка сигналов и ее применения // Отв.ред. Л.П. Ярославский, М.: Наука, 1981, с.206-217.

89. Рейнберг A.M. Оценка точности аппаратной реализации алгоритма быстрого преобразования Фурье//Труды НИИР,№1, Спутниковая и радиорелейная связь, М., Радио и связь, 1986, с.113-120.

90. Сабанин Б.П.Дискретное преобразование Хартли и его приложение// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов, №4, 1977, с.75.

91. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов//Сан.-Пет.:Питер, 2004, 603с.

92. Сретенский Л.Н. Теория Ньютоновского потенциала// М-Л, Гостехиздат, 1946,318 с.

93. Староверова Е.М. О Вычислении редукции аномалии силы тяжести на горизонтальную поверхность методом быстрого преобразования Фурье// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1989, №1, с.108-112.

94. Староверова Е.М. Об учете первого приближения в вычислениях компонентов уклонения отвеса с использованием преобразования Фурье// Деп. УДК 528.232.24 № 377 гд - 89 от 20 апреля, Юс.

95. Староверова Е.М. Вычисление дискретной свертки с использованием быстрого преобразования Фурье при определении гравиметрических уклонений отвеса//Деп. УДК 528.232.24 № 394 гд - 89 от 12 июля, 11с.

96. Староверова Е.М. Разработка и исследование методов решения задач физической геодезии на основе быстрого преобразования Фурье// Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук, М.,1989,220с.

97. Старостенко В.И. Устойчивое решение задачи Неймана для гравитационного потенциала// "Изв. АН СССР. Физ. Земли", 1976, № 5, 46 -58 (1976,11.52.97)

98. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач// М.,Наука, 3-е изд., 1986 , 288 с.

99. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии// М., Наука , 1987;160 с.

100. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач// М.,Наука,1990; 160 с.

101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач// М., «Наука», 1974 .

102. Умов H.A. Построение геометрического образа потенциала Гаусса как прием изыскания законов земного магнетизма// Избр. соч. -М. Л., Гостехиздат, 1950, 555с.

103. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры// М., Недра, 1987, 221с.

104. Херрис Р.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье// ТИИЭР, т.66, №1, 1978, с.60-96.

105. Хокни Р., Джессхоуп К. Параллельные ЭВМ. Архитектура, программирование и алгоритмы// М., Радио и связь, 1986, 392с.

106. Чуйкова H.A. О представлении разложения геометрической фигуры Луны по сферическим и выборочным функциям// "Астроном, ж.", 1978, 55, № 3, с. 617-627

107. Шварцтраубер П. Векторизация быстрого преобразования Фурье. В кн. Параллельные вычисления// М., Наука, 1986, с.56-87

108. Шеннон К. Связь при наличии шума. В кн. Работы по теории информации и кибернетике//М., Ил., 1963, с.433-460

109. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли// М.: Недра, 1975, с.431,432

110. Юркина М.И. Методы исследования фигуры Земли в горном районе// Труды ЦНИИГАиК, М., Геодезиздат, вып. 103,1954.

111. Юркина М.И. Вычисление первой и второй вертикальных производных силы тяжести по картам ее аномалий // Труды ЦНИИГАиК, М., вып. 157,1965

112. Юркина М.И. Основы теории Молоденского. Оценка точности// Тр.ЦНИИГАиК, 1972, вып. 198, с.9 56.

113. Янке Е., Ф.Эмде, Ф.Леш Специальные функции. Формулы, графики и таблицы//М., Наука, 1968, 344с.

114. Agarwal,R.C., and Burrus C.S. Fast one-dimensional digital convolution by multi-dimensional techniques// IEEE , Trans. Acoust., Speech . Signal Process., ASSP-22,1, February 1974, pp.1-10.

115. Agarwal,R.C., and Burrus C.S. Number theoretic transforms to implement fast digital convolution // Proc. IEEE , 63, April, 1975, pp.550-560.

116. Agarwal,R.C., and J.W.Cooley New Algorithms for Digital Convolution// IEEE Trans.Acoust.,Speech, Signal Proc. ASSP-25(1977),pp.392-410.

117. Balmino G. Introduction to Least Squares Collocation// "Approximation Mathods in Geodesy", ed. H. Moritz, H. Sunkel. . Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978.

118. Bellaire R.G. Correlation functions on the upper half space// "Bull, geod.", 1977, 51, № 2,149 161 (1978,1.52.71).

119. Bergland G.D. and M.T.Dolan" Subroutine FFA" in Programs for Digital Signal Processing// New York : IEEE PRESS,1979, pp.1211-1216.

120. Bergland, G.D. A fast Fourier transform algorithm for real valued series// Communs ACM., 1968, Vol.11, №10, pp.703-710.

121. Bingham, C., M.D. Codfrey, Y.W. Tukey. Modern Techniques of Power Spectrum Estimation// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1967, Vol.AU-15, №2, pp.56-66.

122. Bold J. A comparison of the time involved in computing fast Hartley and Fourier transform// Proc.IEEE, 1985, Vol.73,pp. 1863-1864.

123. Bracewell R.N., O. Buneman , H.Hao, I.Villasenor /Fast two-dimensional Hartley transform// IEEE, Vol.74,1986, pp.1282-1283.

124. Bracewell R. The fourier transform and its application// New-York et.at.: MeGraw-Hill Book Company, 1978, 448p.

125. Bracewell R.N. The Discrete Hartley Transform// J. Opt. Soc. Amer., Vol.73, Dec. 1983, pp. 1832-1835.

126. Bracewell R.N. The fast Hartley transform// Proc.IEEE, 1984, Vol.72, pp.1010-1018.

127. Brigham E.O., Morrow R.E. The Fast Fourier Transform// IEEE Spectrum, 1974, Vol.4, №12, pp.63-70

128. Bjerhammar A. Gravimetric Geodesy Free of Density Estimates Through Analysis of Discrete Gravity Data// "Gimrada. Fort Belvoir", 1963.

129. Bjerhammar A.A. New Theory of Geodetic Gravity// Royal Institute of Technology, Geodesy Division, Stockholm, 1964.

130. Bjerhammar A. On the discrete boundary value problem in physical geodesy// "Proc. Symp. Earth's Gravit. Field and Secul. Variat. Posit. Syndey, 1973". Sudney, 1974, 475 488 (1776, 8.52.68)

131. Bjerhammar A. Discrete approaches to the solution of the boundary value problem in physical geodesy//"Boll. geod. y sci. affmi", 1975, 34, # 2, 185 240 (1975, 11.52.53)

132. Bjerhammar A. A Dirac approach to physical geodesy// "Z. Vermessungsw, 1976,101, № 26 41 44 (1976, 8.52.67)

133. Bjerhammar A. A review of discrete methods in physical geodesy. "Approximation Methods in Geodesy", ed. by H. Moritz, H. Sunkel. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978

134. Buneman O./ Conversion of FFT's to fast Hartley transform//SIAM J. Sci. Statist. Comp.,1986,Vol.7,№2, pp.624-638.

135. Buneman O. Two Hartley Transform for the price of one FFT// IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-26,1979, pp.328-345.

136. Burrus, C.S., Computation of the Discrete Fourier Transform, Trends and Perspectives in Signal Processing, USA, 1982, Vol.2, pp. 1-4

137. Chevilat P.R, Transform-Domain Filtering with Number Theoretic Transforms and Limited Word Length// IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-26, 1978, pp.284-290.

138. Chen I.I. Methods for Computing Deflection of the Vertical by Modifying Vening-Meinezs'Function//Bull.Geod., 56,1982, pp.9-26.

139. Colley J.W. Applications of the Fast Fourier Transform method. //Proc. of the IBM Scientific Computing Sump., June 1966.

140. Colley J.W., Y.W. Tukey. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series // Mathematics of Computation. Vol.19, №90, 1965, pp.297-301.

141. Danielson, G.C. and C. Lanczos. Some improvements in practical Fourier analysis and their application to X-ray scatting from liquids// J. Franklin Institute, Vol.233,1942, pp.365-380 andpp.435-452

142. Duhamel P., Hollmann H. Implementation of " split-radix" FFT algorithms for complex, real and real-symmetric data // ICASSP85, Tampra.

143. Duhamel P. Un algorithme de transformation de Fourier rapider a double base //Ann. Telecom. Vol.40,n.9-10, Sept-Oct.1985,pp.481-494.

144. Duhamel P., Vetterli M. Cyclic convolution of real sequences: Hartly versus Fourier and new schemes// International Conference On Acoustics, Speech and signal processing, Tokyo, Japan, 1986.

145. Ecker E. Uber die raumliche Konvergenz von Kugerlfünctionsreihen// Publ. Dent. Geod. Konem., A., 68,1970.

146. Erker E. The Austrian geoid Local geoid determination using modified conservative algorithms. The gravity field in Austria// Graz, 1987, pp. 19-46.

147. Ecker E. Boundary value problem for the sphere// "Bull. geod. e sei. affini", 1976, 35, №2, p.p. 185-224

148. Forsberg R. Gravity field terrain effect computations by FFT// Fall Meeting of the AGU. San Francisco, Calif, Dec., 1984.

149. Gentleman, W.M., G. Sande. Fast Fourier Transform For Fan and Profit, presented at 1966 Fall Joint Computer Conference, AFIPS Proc., 1966, Vol.29, pp.563-578.

150. Giacaglia G.E., Lundkuist C.A. Sampling functions for geophysics// "Spec. Rept. Smithson. Astrophys. Observ", 1972, № 344

151. Good,I.J. The Interaction Algorithm and Practical Fourier Analysis// Y.Roual Statist.Soc.,Ser.B20, 1958, pp.361-375.

152. Hadamard J. Sur les problemes aux derives partielles et leux signification physique// Bull.Univ. Princeton, 13, 1902.

153. Hadamard J. Le probleme de cancy et les equations aux derives partielles lineaires hyperboliques//P. .Hermann, 1932.

154. Harries, D.B., J.H. McClellan, D.S.K. Chan and H.W. Schuessler. Vector Radix Fast Fourier Transform// Rec. 1977, IEEE Internat. Conf. Acoust., Speech, Signal Proc. (1977), pp.548-551.

155. Hartliy.R.V. L. A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems// Proc. Inst. Radio Engrs. March 1942, Vol30, pp.144-150.

156. Hartwell Is Hartley really faster? // Byte.1988.Vol.13, №17, pp.26-28.

157. Heiskanen, W.A. and H. Moritz. Physical geodesy// Freeman W.H., San Francisco, 1967.

158. Hirvonen R.A. Interpolation and integration of the normal free anomalies// "Bull, geod.", 1962, № 63, pp. 69-71

159. Hinton O.R. and Salex R. Two-dimensional discrete Fourier with small multiplicative complexity using number theoretical transforms//IEEE Proc. G., Electron. Circuits & Syst., 1984, 131 (6), pp.234-236.

160. Huang Th. S., Two-Dimensional Windows. IEEE Transaction on Audio and Electro acoustics//1972, AU-20, №1, pp.88-90.

161. Johnson, H.W. and C.S. Burrus. The Design of Optimal DFT Algorithms Using Dynamic Programming//IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-31, 1983, pp.378-387.

162. Keller W. Zur Konvergenzverhalten des Kollokations. Verfahrens. "Vermessungstechnik"// 1978, 26, № 12, 420 422 (1978, 8.52.70)

163. Kolba, D.P., T.W. Parks. A Prime Factor FFT Algorithm Using High Speed Convolution// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-25, 1977, pp.281294

164. Kraiger G., N. Kiihtreiber, Y.M. Wang. The correction terms of the solution of Molodensky's problem by analytical continuation in the Central Alps of Austria// The gravity field in Austria. Graz, 1987, pp.95-109.

165. Krarup T. Some remarks about collocation. "Approximation Methods in Geodesy"// ed. H. Moritz, H. Sunkel. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978

166. Kumaresan R., Gupta P.K. Vector-radix algorithm for a 2-D discrete Hartley transform // IEEE, Vol.74, n.5, May, 1986, pp.755-757.

167. Maxwell J.C. A treatise on Electricity and MagnetismZ/Oxford, 1881, V.l -2d ed., 464 pp.

168. McCovan, D.W. Finite Fourier Transform Theory and Its Application to the Computation Convolution, Correlations and Spectra. Research Department Technical Memorandum// № 8-66, Earth Sciences Division, Teledyne, Inc., Dec. 1966.

169. Meckelburg H.J., Lipka D. Fast Hartley transform algorithm // FRG, Electron. Lett., vol.21, no.8, Apr.ll, 1985, pp.341-343.

170. Merserean, R. and T.C. Speake. A Unified Treatment of Cooley-Tukey Algorithms for the Evaluation of the Multidimensional DFT// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-29,1981, pp.1011-1018.

171. Moritz H. Series solutions of Molodensky's problem// Publ. Deut. Geod. Komm., A, 70, 1971 .

172. Moritz H. On the convergence of Molodensky's series//Boll. t. Geod. Sei. Affini, 32,1973, pp. 125-144.

173. Moritz H. The operational approach to physical geodesy// "Repts. Dep. Geod. Sei. Ohio State Univ.", 1978, № 277, 62 pp. (1979, 9.52.36)

174. MoritzH. Integral formulas and collocation//"Manuscr. geod", 1976,1, № 1, 1 -40 (1976,11.52.95)

175. Moritz H. Least Squares Collocation// Publ. Deut. Geod. Kommis. Reihe A, Heft 75, München, 1973, 91 p.

176. Moritz H. Introduction to interpolation and approximation //"Approximation Methods in Geodesy", ed. H. Moritz, H. Sunkel. . Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978, pp. 1 46

177. Morris P.L. A Comparative Study of Time Efficient FFT and WFTA Programs// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-26, 1978, pp. 141150.

178. Nyquist H. Certain Factors Affecting Telegraph Speed// Bell. Systems Journal, Vol.3,1924.

179. Paul M.K. A method of evaluating the truncation error coefficients for geoidal height// Bulletin geodesique. 1973. V.110. p.413-425.

180. Pease, M.C. Journal Association Computation Machine// 1968, Vol.15, pp.252264.

181. Pellinen, L.P. Accounting for topography in the calculation of quasigeoidal heights and plumb-line deflections from gravity anomalies// Bull. Geod., Vol.63, 1962, pp.57-65.

182. Pick,M. Analytical continuation of a function from the Earth's surface upwards// "Bull. Geod. sei. affini", 1975, 34, № 4, p.p. 417 431

183. Rader, C.M. Discrete Fourier Transform when the Number of Data Samples is Prime//Proc. IEEE, Vol.56,1968, pp.1107-1108.

184. Rader, C. M. Discrete convolution Mersenne transform // IEEE Trans. Comput., C-21,12. December 1972, pp. 1269-1273.

185. Rapp R.H., Agajelu S.J. Comparison of upward continued anomalies computed by the Poisson integral and by collocation// "Repts. Dep. Geod. Sei. Ohio State Univ.", 1975, № 223.

186. Rivard, G.E. Direct Fast Fourier Transform of Bivariate Functions// IEEE Trans. Accoust., Speech, Signal Proc. ASSP-25,1977, pp.250-252.

187. Rummel R. A model comparison in least-squares collocation// "Bull, geod.", 1976, 50, № 2, 181 192 (1977, 2.52.66)

188. Rummel R. Gravity parameter estimation from large and densely spaced Homogeneous data set// Presented at the 8 Symposium on Mathematical Geodesy 5-th Hotine Symposium. Como., Italy, Sept. 7-9,1981

189. Schmidt H.F. Möglichkeiten zur Erstellung von Erdmodellen mit Hilfe der Sampling-Funktionen// "Veroff. Bayer. Kommis. Int. Erdmess. Bayer. Akad. Wiss. Astron-Geod. Arb", 1975, № 33,119- 123 (1976, 3.52.192).

190. Schwarz, K.P., M.G. Sideries, R. Forsberg. Ortometric heights without leveling// Journal of Surveying Engineering, New York, Vol.113, №1, 1987.

191. Sideries M.G. A Fast Fourier Transform method for computing terrain corrections// Manuscript Geodetic, Vol.10, №1, 1985, pp.66-77.

192. Sideries M.G. and K.P. Schwarz. Advances in the numerical Solution of the linear Molodensky problem// Bull. Geodesique, Vol.62, №1,1988, pp.59-69.

193. Sideries M.G. and K.P. Schwarz. Solving Molodensky s series by Fast Fourier Transform techniques// Bull. Geodesique, Vol.60, 1986, pp.51-63.

194. Silverman, H.F. An Introduction to Programming the Winograd Fourier Transform Algorithm (WETA)// IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Proc. ASSP-25, 1977, pp.152-165.

195. Singleton, R.C. A method for computing the Fast Fourier Transform with Auxiliary Memory and Limited High-Speed Storage// IEEE Transaction on Audio and Electro acoustics, 1967, Vol.AU-15, №2.

196. Singleton, R.C. An Algorithm for Computing the Mixed Radix Fast Fourier Transform// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1969, Vol.AU-17, №2, pp.93-103.

197. Siu W.C. and Constantinides A.G. Very fast discrete Fourier transform using number theoretic transform// IEE Proc. C., Electron. Circuits & Syst., 1983, 130, (5), pp.201-204.

198. Sloane, E.A. Comparison of Linearly and Quadratically Modified Spectral Estimates of Gaussian Signals// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1969, Vol.AU-17, №2.

199. Sorensen H.V., Jones D.L., Buris S. and Heideman M.T. On computing the discrete Hartley transform// IEEE Trans., Oct. 1985, ASSP-33, Vol.32, №4, pp.1231-1238.

200. Stockham, T.G. High Speed Convolution and Correlation// Spring Joint Computer Conference, APIPS Proc., Washington, 1966, Vol.28, pp.229-233.

201. Sunkel H. Reconstruction of functions from discrete mean values using cubic spline- functions// 16-th Gen. Assem. IAG/IUGG Grenoble, 1975, s.l, Techn. Univ. Graz. 1976,27 p., (1976,11.52.315)

202. Stokes G.G. On Attraction and clairaut's theorem// Mathem. And Phys.Papers, vol.2,Cambridge, 1883, pp.131-171.

203. Sylvester J.J. Note of spherical harmonics, 1876 in Collected Mathematical Papers// V.3., Cambridge, 1909, pp.37 51.

204. Tscherning C.C., Rapp R.H. Closed covariance expressions for gravity anomalies, geoid undulations and deflections of the vertical implied by anomaly degree variance models// "Repts. Dep. Geod. Sci., Ohio State Univ.", 1974, № 208

205. Tscherning C.C. Application of collocation// Lecture notes. Ramsau, 1973

206. Tscherning C.C. On the relation between the variation of the degree-variances and the variation of the anomalous potential// "Boll. geod. e sci. affini", 1973, 32, № 3, 149 159 (1974, 9.52.92)

207. Tscherning C.C. On the convergence of least squares collocation// "Boll. geod. e sci. affini", 1978, 37, № 2 3, 507 - 516 (1979, 6.51.61)

208. Terman F.E. Radio Engineers// Handbook. New York: Mc-Graw-Hill, 1943,The oscillator was first described in a patent disclosure dated .Feb.10,1915.

209. Theilheimer, F. A Matrix Version of the Fast Fourier Transform// IEEE Transaction on Audio and Electroacoustics, 1969, Vol.AU-17, №2, pp.1011-1024.

210. Thomas, L.H., Using a Computer to Solve Problems in Physics, in Applications of Digital Computers// Giun and Co., Boston, Mass, 1968.

211. Vassiliou, A.A. and K.P. Schwarz. Study of the high frequency spectrum of the anomaly gravity potential// The University of Calgary, Division of Surveying Engineering, Alberta, Canada, T2№1№4, 1985, 28 p.

212. Velkoborsky P. On the solution of the boundary problem of the potential theory by means of the vertical derivative of the gravity anomaly// "Stud, geophys. et geod.", 1978, 22, № 1, 38 44 (1978, 7.52.74)

213. Vetterli M., Nussbaumer H.J. Simple FFT and DCT algorithms with reduced number of operator //Signal Processing, Vol.6, №4, July 1984, pp,267-278.

214. Vetterli M., Nussbaumer H.J. Algorithmes de transformation de Fourier et en cosinus mono et bi-dimensionnels // Ann. Telecom, Vol.40, №9-10, Sept.-Oct., 1985, pp.466-476.

215. Winograd, S. A new algorithm for Inner Product// IEEE Trans. Comp. C-17, 1968, pp.693-694.

216. Winograd, S. On Computing the Fast Fourier Transform// Proc. Nat. Acad. Seien. USA, Vol.73,1976, pp.1005-1006.

217. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ

218. Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основебыстрых линейных преобразований (приложение)

219. Специальность 25.00.32 Геодезия

220. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук1. На правах рукописи1. Мазурова Елена Михайловна

221. Научный консультант: Почетный профессор университета, доктор технических наук Хельмут Мориц (Helmut Moritz)1. Москва 20061. Оглавление1. Оглавление 2

Информация о работе

Мазурова, Елена Михайловна
доктора технических наук
Москва, 2006
ВАК 25.00.32

Диссертация

Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы