Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Совершенствование коллокационных методов решения задач физической геодезии

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Совершенствование коллокационных методов решения задач физической геодезии"

На правах рукописи

ПОПАДЬЕВ ВИКТОР ВАЛЕРЬЕВИЧ

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОЛЛОКАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ФИЗИЧЕСКОЙ ГЕОДЕЗИИ

25.00.32 - Геодезия

Автореферат

диссертации на со искание ученой степени кандидата технических наук

6 ЛЕК 2012

Москва—2012

005056359

Работа выполнена па кафедре высшей математики Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК).

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

доктор технических наук, профессор Нейман Юрий Михайлович Яшкин Станислав Николаевич, Московский государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК), доктор технических наук, профессор, кафедра астрономии и космической геодезии, профессор:

Зуева Анастасия Николаевна, кандидат технических наук, ФБУ <<27 ЦНИИ Минобороны России», научно-исследовательский центр тоиографо-геодезического и навигационного обеспечения. ведущий научный сотрудник. Институт астрономии РАН

Защита состоится 18 декабря 2012 года в 12:00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.143.03 при Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) но адресу: 105064, Москва, Гороховский пер., д. 4, зал заседаний Учёного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайте www.miigaik.ru.

Автореферат разослан «1£» ноября 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета вОМ. J J lAJjL^ Климков Юрий Михайлович

Общая характеристика работы

Обоснование актуальности темы диссертации.

Благодаря трудам М. С. Молоденского, В. В. Бровара. Л. П. Пеллинена, Т. Krarup, Н. Moritz и других отечественных и зарубежных учёных линейные методы определения физической поверхности Земли и её внешнего гравитационного поля базируются в настоящее время на строгой теории, позволяющей решать основную проблему геодезии принципиально с любой точностью и обладающей, таким образом, практически неограниченными потенциальными возможностями. Однако вопросы устойчивой численной реализации этой теории представляют интерес и в настоящее время, поскольку неизбежные на практике дискретность измерений и наличие разного рода погрешностей вносят существенную специфику. К тому же ;за. последние десятилетия возникла многообещающая возможность существенно расширить состав исходных данных за счёт альтиметрии и различных методов спутниковой гравиметрии, в частности градиентометрии. Одним из наиболее эффективных методов, позволяющих совместно использовать такую разнородную информацию для решения как основной задачи геодезии, так и других более частных задач физической геодезии, является метод средиеквадратической коллокации. Характеристической чертой этого метода является тот факт, что любой объект геодезических измерений трактуется как определённый функционал на одном и том же потенциале силы тяжести Земли. Это и позволяет рассматривать любые разнородные по составу геодезические измерения с единых позиций: измерены с определённой точностью значения некоторых функционалов на геопотенциале, требуется оценить значения некоторых других функционалов и их точность или восстановить потенциал. По-видимому, такая уникальная ситуация —все измерения суть функционалы на единой функции — имеет место только в случае геодезических измерений, и было бы неоправданно этим не пользоваться. К тому же, упомянутая единая функция обладает целым рядом полезных свойств, поддающихся теоретическому изученшо в рамках специальной теории потенциала. Коллокация использует всё это полностью и даёт практический метод оценки одних функционалов на геопотенциале но результатам измерения других (локальная задача кол-локации) или метод восстановления самого потенциала по результатам измерения определённых функционалов на нём (глобальная задача коллокации). Но, конечно, присущи методу коллокации и недостатки. Поэтому совершенствование этого метода и исследование возможностей его развития является актуальной задачей современных численных методов физической геодезии.

Цель и основные задачи исследования

Основной целыо диссертационной работы является исследование и разработка таких модификаций метода коллокации, которые частично или полностью преодолевают следующие основные недостатки этого метода:

— необходимость решать количество уравнений, равное количеству несходных измерений;

— необходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ).

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

1. Анализ и экспериментальные исследования новейших зарубежных разработок последовательной и быстрой коллокацин.

2. Разработка и исследование собственного двухэтапного гармонического анализа ГПЗ.

3. Исследование возможностей фурье-анализа и вейвлет-аиализа для выявления признаков пестациопариостп ГПЗ.

4. Разработка и исследование методов коллокации 15 условиях нестационарного ГПЗ.

5. Разработка и исследование возможностей определения функций влияния исходных функционалов.

6. Адаптация программного пакета Сга^чоЙ и использование возможностей программ ¿еосо1 и 8р11§га.с для уточнения гравитационного поля по результатам спутниковой градиентометрии.

Научная новизна и практическая значимость работы.

1. Совмещение различных идей, связанных, с одной стороны, с аппроксимацией функционалов па геопотснциалс, а с другой стороны — с быстрым преобразованием Фурье, позволило С. С. ТвсЪегпше (Дания) и Р. Заиьо (Италия) создать совсем новый алгоритм быстрой коллокации. Проделанные нами численные эксперименты с быстрой коллокацией показали существенное увеличение быстродействия при решении ресурсоёмких задач космической гравиметрии, что позволяет рекомендовать алгоритм быстрой коллокации для практического использования и и пашей стране.

2. К этому же направлению исследований принадлежит и паша разработка в виде двухэтапного гармонического анализа. Вычисления вдоль параллелей методом быстрого преобразования Фурье позволяют обеспечить некоррелированность коэффициентов Фурье, соответствующих различным частотам. Поэтому на втором этапе вместо решения одной, по очень большой системы тр уравнений, доказана возможность решать 2Ы+1 систем, но каждая из них содержит лишь р уравнений. Здесь т и р — число меридианов и параллелей, соответственно, определяющих сетку с исходными данными, а N — наивысшая степень искомых гармонических коэффициентов. Разработаны методы контроля вычислений, составлены необходимые программы для ПК.

3. Ковариационный анализ гравитационного поля, обычно выполняемый в процессе решения задач физической геодезии методом коллокации, рекомендуется, для выявления анизотропности, выполнять с помощью двумерного преобразования Фурье и дополнять построением ковариационных карт и за-

висимостей радиуса корреляции от азимута по образцу рис. 7 — 12 (см. цвет, вклейку на стр. 11—12).

4. Предложенные операции вейвлет-анализа позволяют эффективно выявлять локальные нестационарности и обоснованно делить обширную область с нестационарным гравитационным полем на такие подобласти, в которых поле можно считать стационарным, см. рис. 9, 10 и 11 (см. цвет, вклейку на стр. 13).

5. Доказано, что отличие выборочного спектра от непрерывного имеет определённый порядок малости относительно шага сетки, и поэтому при вычислении выборочного спектра можно пользоваться известным в теории аппроксимации правилом Рунге.

С. В тех случаях, когда исходными данными в задаче коллокации служат измеренные значения одноимённых функционалов, разработана процедура непосредственной) вычисления функций влияния исходных функционалов, без решения систем уравнений. Показано, что функции влияния не зависят от вида функции, на которой зада.иы функционалы, а зависят только от используемого гильбертова пространства. Если поле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния, а все остальные функции получаются путём смещения аргумента. Область с нестационарным полем трактуется как объединение подобластей с полем стационарным (сегментация), и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.

7. Использование специального вида ковариационной функции нестационарного ГПЗ обеспечивает выполнение непрерывной сегментации ГПЗ и таким образом практически снимает ограничительное требование метода кол-локации о стационарности ноля.

8. Алгоритм непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, снимающий проблему решения большого количества уравнений.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Алгоритм двухэтапного гармонического анализа ГПЗ при большом количестве исходных данных.

2. Методы ковариационного анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять, графически интерпретировать и учитывать в вычислениях анизотропность ГПЗ.

3. Методы вейвлет-анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять и графически интерпретировать участки нестационарности поля.

4. Метод создания непрерывной сегментации ГПЗ, позволяющий при использовании коллокации отбросить гипотезу о стационарности ГПЗ.

5. Алгоритм непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, снимающий проблему решения большого количества уравне-

ний.

Вклад автора в исследование.

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Отдельные результаты получены совместно с к. ф.-м. н. Сугаиповой Л. С.

Структура диссертации и объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав основного текста и -заключения общим объёмом 143 стр. машинописного текста, имеется 41 иллюстрация и 11 таблиц. Список литературы насчитывает 75 наименований, в том числе 18 па английском и других языках.

Публикации и апробации работы.

Результаты исследований представлялись на научно-технических конференциях студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК 4 апреля 2010 г., 6 апреля '2011 г., 3 апреля 2012 г. и опубликованы в трёх статьях в журналах. включённых в перечень ВАК.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, указаны научная новизна и практическая значимость ожидаемых результатов.

Первая глава «Основы средиеквадратической коллокащш» начинается с краткого исторического обзора развития метода коллокации. Благодаря работам датского математика Т.Кгашр, шведского геодезиста A. Bjerhammar, советского геофизика В. И. Аропова, австрийского геодезиста II. Moritz, датского геодезиста С. С. Tscherning ц других ученых, сред-пеквадратическая коллокации в настоящее время является одним из самых эффективных численных методов физической геодезии. Этому способствуют следующие факты:

— возмущающий потенциал, определяемый в результате решения глобальной задачи коллокации, является гармонической функцией, то есть автоматически решается уравнение Лапласа, обусловленное физикой явления;

— решениям локальных задач коллокации обеспечены наилучшие линейные несмещённые оценки;

— имеется теоретически обоснованная возможность совместно обрабатывать разнородные исходные данные, полученные как на поверхности Земли, так и вне её;

— имеется теоретически обоснованная возможность приписывать адекватную меру точности получаемым оценкам.

Но, конечно, присущи методу коллокации и недостатки. Основной из них состоит в необходимости решать такое количество линейных алгебраических уравнений, которое при строго формальном подходе равно количеству измерений. В современных задачах спутниковой гравиметрии это количество, как

известно, достигает десятков миллионов и решить совместно такое количество уравнений пока невозможно. К тому же при увеличении числа исходных измерений обычно не только растёт подлежащая решению система линейных уравнений, но и ухудшается её обусловленность. Однако совсем необязательно составлять все нужные уравнения одновременно и решать их все сразу. Целесообразно пользоваться различными многогрупновыми методами и алгоритмом так называемой быстрой коллокацни (по аналогии с быстрым преобразованием Фурье). Кроме того, основной путь решения данной проблемы — усреднение измерительной информации но ячейкам подобранных размеров и формы.

Другим серьёзным недостатком метода коллокацни является предположение о том, что ковариацня между точечными значениями трапсформант ГПЗ не зависит от координат точек, а зависит только от вектора, соединяющего пару точек или даже только от модуля этого вектора. Это предположение является следствием гипотезы о стационарности пли даже изотропности гравитационного поля. Конечно, в общем случае это не так, и использование п коллокацни единой ковариационной структуры приводит к излишнему заглаживанию ГПЗ в горах и, наоборот, к неоправданным скачкам результатов в равнинных районах. И хотя известны доказательства того, что эти неприятные влияния уменьшаются с увеличением плотности исходных данных п вообще вариации воспроизводящего ядра не сильно влияют на оценки искомых функционалов, а больше сказываются на результатах оценивания точности, тем ие менее, гипотезу о стационарности поля следует считать принципиальным недостатком метода коллокацни.

Наконец, некоторые исследователи считают недостатком тот факт, что перед вычислениями методом коллокацни обычно необходимо выполнять ковариационный анализ гравитационного поля, с которым предстоит работать, и определять подходящую ковариационную функцию. В связи с этим стоит вспомнить, что траисформанты ГПЗ представляют собой непрерывные функции, а измерения выполняются в дискретных точках. Поэтому все практические методы физической геодезии в той или иной мере используют интерполяцию. Но при отсутствии пространственной корреляции между данными любая интерполяция просто ие имеет смысла.

С математической точки зрения метод коллокацни самодостаточен в том смысле, что вполне обеспечивает согласованность между всевозможными трансформантами ГПЗ при любом воспроизводящем ядре. Но результаты ковариационного анализа позволяют уточнить то гильбертово пространство, в котором наиболее целесообразно искать решения, и, следовательно, задать наиболее подходящую меру аппроксимации (то есть правило измерения расстояния между функциями аппроксимируемой и аппроксимирующей) именно в имеющихся конкретных обстоятельствах. Подобная априорная оценка

гладкости искомого решения свойственна многим методам аппроксимации, поскольку невозможно действовать разумно без информации о том, что решение принадлежит определённому классу и. следовательно, удовлетворяет определённым ограничениям.

Изложены основы теории средиеквадратической коллокацни в рамках традиционной гипотезы об изотропности ГПЗ. Описаны различные трактов-га! метода: с функциональной и вероятностно-статистической точек зрения. Разобран смысл часто смешиваемых терминов «коллокация» и «кригииг». Собраны и систематизированы используемые в геодезии ковариационные функции и спектральные плотности различных трансформант стационарного геопотенцпала.

В заключение отмечается, что в разных науках о Земле часто и с пользуются похожие па коллокацию численные методы под разными названиями. Во избежание путаницы, представляется целесообразным пользоваться термином «средпеквадратпческая коллокация» только но существу, то есть только в тех случаях, когда обработке подлежат измеренные значения разнородных функционалов на некоторой функции, принадлежащей определённому гильбертову пространству, и задача состоит или в восстановлении этой функции, или в оценке других функционалов на ней. В остальных случаях лучше говорить об интерполяции, экстраполяции, разного рода кривите, регрессии или об уравнивании методом наименьших квадратов, поскольку если объекты исходных измерений не являются функционалами на одной и той же функции, то между ними нет зависимостей, обусловленных физикой соответствующего явления и, следовательно, дополнительно возникает непростая задача разумного назначения весов разнородной информации, различающейся не только точностью измерений, по и единицами измерений. Игнорирование физической размерности при этом может легко привести к ошибочным выводам.

Вторая глава «Развитие теории коллокации» является основной в диссертации и посвящена развитию метода коллокации и преодолению её недостатков.

Начнём с обсуждения стационарности и нестационар! юстн гравитационного поля в задачах коллокации. Давно известно, что реальное ГПЗ редко бывает стационарным и к тому же изотропным. Поэтому в диссертации выполнен обзор известных способов ослабления влияния нестационарное™ ноля: удаление тренда, разбиение на блоки (кусочная сегментация), пространственное преобразование данных. В данной работе мы не стремимся устранить не.изотропиостъ поля, а пытаемся её учесть. Для этого традиционный дли коллокации предварительный ковариационный анализ гравитационного поля мы рекомендуем проводить по профилям различных направлении и отражать и виде карт коиариаций ( термин заимствован из литературы но геоста-

тистике). Рис:. 1—4 содержат один из результатов такого анализа, наглядно показывающего структуру анизотропности.

Рис. 5, 6 (см. цвет, вклейку на стр. 11) демонстрируют зависимость радиуса корреляции от азимута.

Для того чтобы практически учесть выявленную анизотропность, необходимо определить ковариацню как функцию не только расстояния между точками, но и направления между ними. Это можно сделать с помощью двумерного преобразования Фурье имеющегося массива исходных данных д{х,у). Полученную матрицу С{шх,шу) надо умножить на. такую же матрицу с комплексно сопряжёнными элементами и разделить на общее количество исходных данных. Соответствующая двумерная ковариационная функция получается обратным двумерным преобразованием Фурье: С(Ах, А у) = &~13(ых,Шу). Пример результата таких вычислений показан на рис. 7 для того же миллионного листа карты N45 с аномалиями Фая.

То же для листа карты 041 показано па рис. 8.

Полученные ковариационные функции являются функциями разности координат Ах, Ау двух точек, то есть функциями вектора, соединяющего эти две точки, и, следовательно, описывают неизотропное поле.

Если поле не является стационарным, то есть его спектральный состав изменяется с местоположением, то для изучения структуры поля естественно отказаться от фурье-анализа и воспользоваться вейвлет-анализом.

На рис. 9 показан результат одномерного непрерывного вейвлет-преобраз-ования по параллелям листа карты N45 с аномалиями Фая (с запада на восток) на базе вейвлета ¡зуш2 (семейство §уш1е№ — почти симметричная модификация классических вейвлетов БаиЬесЫея).

Исходной информацией послужила матрица размерностью 200 х 300. Преобразование выполнено построчно с запада на восток. Вверху - все 200 строк матрицы с данными, а внизу —в увеличенном виде (как под микроскопом) только первые две строки. Подробная вейвлет-спектрограмма демонстрирует мельчайшие детали частотного образа: в её нижней части хорошо просматривается структура высокочастотных компонент, а в верхней — низкочастотных (изменения яркости менее частые, чем в нижней части): при этом отчетливо фиксируются начало и конец импульсов, темный тон соответствует переходам аномалии через нуль, а светлый тон — экстремумам.

На рис. 11 показаны вейвлет-спектрограммы, соответствующие коэффициентам сЛьсЯьоОьсУ] одного уровня двумерного дискретного вейвлет-преобразования миллионного листа карты N45 с аномалиями Фая. Спектрограмма, например, для преобразования сА\ вычисляется по следующему правилу: 1) оценивается спектр, то есть каждый коэффициент массива возводится в квадрат, 2) оценивается общая мощность спектра, то есть составляется сумма квадратов всех коэффициентов, 3) вычисляется процентное содержа-

ние квадрата каждой амплитуды, то есть квадрата каждого коэффициента, в подученной общей мощности спектра. Аналогично получены вейвлет-спектрограммы для коэффициентов cH\,cDi,c\\. Спектрограмма сА\ отражает низкочастотную структуру поля, а спектрограмма cDi — высокочастотную.

Наглядно видно, что изучаемое поле можно трактова ть как стационарное, за исключением небольшой подобласти, спектр которой заметно отличается от среднего. Ориентация этой подобласти соответствует наклону анизотропности, выявленному ранее, см. рис. 1 и 5.

Таким образом, даже простейшие методы вейвлет-анализа работают как своеобразный математический микроскоп и позволяют эффективно выявлять тонкую структуру имеющейся информации (скачки, резкие переходы производных через нуль и т. п.). Подобный анализ очень полезен для изучения локальных нестацнонарностей и обоснованного деления большой области с нестационарным гравитационным полем на такие подобласти, в которых поле можно считать стационарным (сегментация поля).

Итак, пусть ГПЗ в изучаемом районе 0 не только неизотропное, но н нестационарное вовсе. С математической точки зрения это означает, что ковариационная функция Rj(p.p') представляет собой функцию четырёх переменных х,у, s!л] (на плоскости) и. таким образом, полностью меняется с изменением местоположения точек р, р'. Однако естественно ожидать, что эти изменения происходят достаточно плавно и. следовательно, всегда можно разбить изучаемую область на некоторое количество таких подобластей 01, 02,..., в которых ГПЗ достаточно обоснованно можно полагать стационарным (хотя, быть может, и непзотропиым). Количество таких подобластей зависит, конечно, от тщательности предварительного учёта многих факторов, в том числе от структуры и неоднородности рельефа, но в любом случае эта подобласти по должны пересекаться, а их объединение должно совпадать с

Для каждой такой подобласти с номером г = 1,2,... надо отдельно определить параметры анизотропности а;, Ни, На и составить симметричную положительно определённую матрицу анизотропности подобласти 0* вида

Здесь азимут а; определяет направление анизотропности, см. рис. '1 — 8. а ¿1«, ¿2» — радиусы корреляции в двух взаимно ортогональных направлениях, соответствующих собственным векторам. Ковариационная функция нестационарного поля для произвольной пары точек ■,?/;) 6 0; и у,-) € 0;

D.

cPti cos2 сц + siir а{ (cij,: — Н$,-) cosa» sin сц (d'fi — rfjj) cos ai sin ai dni cos2 а,- + cif,: sin2 et;

(1)

г л

Рис. 1: Ковариационная карта (мГал2) Рис. 2: Изолинии ковариационной карты миллионного листа карты номенклатуры (мГал2) аномалий Фая па листе N45 в си-N"45 с аномалиями Фая стсме координат азимут а, расстояние е.

СОУ(а.8>

Рис. 3: Ковариационная карга (мГал2) Рис. 4: Изолинии ковариационной карты миллионного листа карты номенклатуры (мГал2) аномалий Фая на листе 041 в си-041 с аномалиями Фая стеме координат азимут а, расстояние 8.

Рис. 5: Зависимость радиуса корреляции Рис. 6: Зависимость радиуса корреляции от азимута на листе карты N45. от азимута на листе карты 041.

s

л

Map 041. Anisotropic covariance function for anomaly Faye

Рис. 7: Ковариация неизотропного поля аномалий Фая на листе карты N45.

Map 041, Anomaly Faye

Map 041, Anisotropicy covariance function contours for anomaly Faye

■ 1550

Рис. 8: Ковариация неизотропного ноля аномалий Фая на листе карты 041.

Analyzed all rows (points 1

Coefficients of the Continuous Transform

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Coefficients of the Continuous Transform

! I

Рис. 9: Результаты одномерного непрерывного вейвлет-прообразования (спектрограммы) но параллелям листа карты N45 с аномалиями Фая (с запада на восток). Вверху: все 200 строк, внизу: первые две строки.

Approximation А1

Horizontal Detail H1

100 200 300 Vertical Detail VI

100 200 300 Diagonal Detail D1

Рис. 10: Результат двумерного дискретного вейвлет-преобразования миллионного листа карты с аномалиями Фая.

Рис. 11: Вейвлет-спектрограммы. Доля (в процентах) квадрата амплитуды каждого коэффициента в общей мощности спектра результатов двумерного дискретного вейвлет-преобразования первого уровня миллионного листа карты N45 с аномалиями Фая.

0.8 0.6 0.4 0.2 3 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

~ll -0.5 0 0.5 1

alpha = 30

Рис. 12: Линии уровней 0,25, 1.00 и 3,00 квадратичной формы (3) с в\ = 3,53, = 2,10. а = 7г/6, Ах = Xi, А у — х2. Также показаны координатные орты гг, г2 и собстенные векторы Vb V¡ матрицы Е-1.

Рис. 13: Дисперсия аномалии силы тяжести в единицах мгал2, вычисленной на поверхности Земли и сглаженной по одноградусным трапециям.

+ -1/2

2 • ехр

-шг (^р-У т)

области И имеет вид

(2)

где Со - дисперсия, а индексы ?!, •/ соответствуют номерам подобластей Б\, О},.... Важнейшую роль при этом играет квадратичная форма

Яч = (7>.7>)у (¿(Ъ + (р?р]). (3)

Квадратичную форму (3) удобно геометрически интерпретировать соответствующими линиями уровня. На рис. 12 показаны три такие линии уровней 0,25, 1,00 и 3,00 квадратичной формы (3) с = 3,53 , 02 = 2,10, а = 7г/6, Ах = хх, А у = Х2- Там же показаны координатные орты ц, ¿2 и собственные векторы V'!, ]'2 матрицы Е-1.

Если положить

= (4)

где £......произвольная положительно определённая матрица, то получим известное в математической статистике понятие — расстояние МаЬЫапоЫч

= \/Щ- (5)

Соответствующая ковариационная функция остаётся стационарной, но уже неизотропной. Если матрица Т, = Е единичная, то получается обычное расстояние в евклидовом пространстве:

= тТ>У\- (6)

Если о: = 0, то ковариационная функция способна описывать нензотропное поле при условии, что направление анизотропности совпадает с направлением координатных осей. Если = в2, то (¡^ не зависит от а и соответствующая ковариационная функция предназначена для характеристики только изотропных полей.

Интересно, что с помощью замены г2 = на С}-^ можно получить

целое семейство нестационарных ковариационных функций.

Таким образом удаётся избегать тех проблем с плохой стыковкой результатов коллокацнн, которые обычно возникают на границах подобластей.

Сама идея такого деления поля, конечно, не нова и обычно называется сегментацией поля. Однако традиционная сегментация кусочна в том смысле, что на границах подобластей полученные результаты коллокацнн не согласуются. В диссертации описана непрерывная сегментация, при которой указанные проблемы не возникают.

Далее речь идёт об ослаблении недостатка коллокации, связанного с необходимостью решать большое количество уравнений. Направления возможных действий при этом условно можно разделить на два пути. Основы первого пути состоят в разработке оптимального порядка использования исходных данных. Хорошим примером успеха на этом пути являются практически неизвестные в нашей стране «последовательная коллокация» и особенно развитая F. Sanso (Италия) и С. Tscherning (Дания) «быстрая коллокация», названная по аналогии с известным быстрым преобразованием Фурье. Совмещение различных идей, связанных, с одной стороны, с аппроксимацией функционалов на геопотенцнале, а с другой стороны — с быстрым преобразованием Фурье, позволило заметно упростить метод коллокации, в частности, процесс гармонического анализа ГПЗ.

Примерно этому же направлению исследований принадлежит и наша разработка в виде двухэтапного гармонического анализа, сокращающая количество подлежащих решению уравнений. Задача состоит в определении безразмерных гармонических коэффициентов cvlA, snk разложения возмущающего потенциала Т в ряд по полностью нормированным шаровым функциям (квадрат нормы = Аж). Решение основано на следующих рассуждениях.

Пусть произвольная функция ¡{О, А), квадратично интегрируемая на единичной сфере су представлена рядом по полностью нормированным сферическим функциям. Соответствующие гармонические коэффициенты определяются известными формулами

- 2тг

fe} = i I ы™ VI m Л) .л . Sinft*. (7)

о о

Здесь внутренний интеграл имеет форму коэффициента Фурье при разложении функции /(в, Л) по параллели в тригонометрический ряд Фурье, то есть, если

то

оо

/(в, Л) = cos кХ + Вк{в) sin кХ]. (9)

/v = 0

Подставим (9) в (7) и учтем, что, благодаря ортогональности функций тригонометрической системы,

В результате получается связь гармонических коэффициентов и широтных коэффициентов Фурье:

{:::}=<•»

порядок к г армонического коэффициента совпадает с частотой коэффициентом Фурье.

Если вместо произвольной функции /(в, Л) взять, для определённости, вторую радиальную производную Тгг(0, А) возмущающего потенциала Т. то гармонические коэффициенты а,,,/-, b„iдля Тгг можно вычислить в два этана: 1) интегрированием по меридианам получаем широтные коэффициенты Фурье для всевозможных частот к — 0,1,2,...

Ак(0) Вк(в)

0

2) интегрированием по параллелям получаем гармонические коэффициенты

тогда

с-пк:

я.2

©""{г}- <»>

Эпк ) 11{п + 1) (п + 2)

Пользуясь правилом преобразования ковариаций и учитывая ортогональность синусов и косинусов, мы получили ковариации спк с А^д) и с В^в):

^ 1 / Л,(9) \\ (п+1)(п+2) , т ,1Г>

1 • \ в,(в)); = (2п+1)дд^"(г) (15)

Таким образом, гармонические коэффициенты £„д: различных степеней п коррелируют только с такими коэффициентами Фурье .4/(6), В|(0), частота которых I совпадает с порядком гармонического коэффициента к.

В результате вычисления вдоль параллелей методом быстрого преобразования Фурье позволяют обеспечить некоррелированность коэффициентов Фурье, соответствующих различным частотам. Поэтому на втором этапе вместо решения одной, но очень большой системы тр уравнений, доказана возможность решать 2Л' 4- 1 систем, но каждая из них содержит лишь р уравнений. Здесь гп и р- число меридианов и параллелей соответственно, определяющих сетку с исходными данными, а Л* наивысшая степень искомых гармонических коэффициентов. Разработаны методы контроля вычислений,

составлены необходимые программы для ПК.

Второй наш путь избегать большое количество уравнений принципиально отличается от первого. При его реализации необходимость в решении систем уравнений вообще не возникает и заменяется отысканием функций влияния для исходных функционалов. Основные вычисления выполняются в частотной области, а исходной информацией о гравитационном ноле служит не ковариационная функция, а спектральная плотность.

Идея такого подхода вытекает из связи коллокацин с кратномасштабным вейвлет-ана лизом, указанной С. КоЬжки (Греция). В наших исследованиях мы не пользуемся кратномасштабным анализом, но заимствуем критерий оптимальности коллокации в частотной области и показываем возможность определения иод этим условием функций влияния для исходных функционалов.

Приведём рассуждения в рамках функций одной переменной, поскольку обобщение для функций нескольких переменных носит чисто технический характер.

Наилучшие оценки методом коллокации в частотной области при заданном шаге к предложено искать под условием минимума среднего интегрального значения квадрата модуля разности образов Фурье функций аппроксимируемой д(х) н аппрокимнрующей д(х). В терминах функций одной перменной это выглядит следующим образом:

Л/2

к) = 1 I |СМ - Л, х')\- ■ с1х' -> пип для Ус-. (16) -Л/2

Здесь |С?(о,')|2 = ■ С*(ш) — спектральная плотность функции д(х). а к,х')\2 — спектральная плотность функции д(х). Усреднение спектральной плотности разности образов Фурье функций аппроксимируемой и аппрокимнрующей по промежутку длиной в период к объясняется тем фактом, что при заданном шаге к сетку можно выбрать бесчисленным количеством способов, смещая начало отсчёта переменной х по промежутку- длиной в период к. Здесь С{ш, к,х') обозначает образ Фурье аппроксимирующей функции, сдвинутой по оси х на величину х',

( 2жк \

С(ш,11,х') = С{и,к) ■ ехр ( -г—х'\ , -Л/2 < х' < к/2. (17)

Соотношение (16) определяет средиеквадратический принцип минимума в частотной области. Величина £>(ы, /г) обусловлена усреднённой спектральной плотностью погрешностей аппроксимации. Однако усреднение производится не по ансамблю из гипотетических повторных измерений, а по всевозможным дискретизациям при заданном уровне разрешения к. Тем самым обеспсчива-

ется чисто детермшшрованиый подход к задачам коллокацин, несмотря на общность терминологии с теорией случайных функций.

Если исходными данными служат значения одноимённых функционалов (например значения аномалии силы тяжести, значения каких-нибудь производных геонотенцпала и т. п.), то глобальную задачу коллокацин можно решать в виде

il— 1

ОьМ^^сАЩ-гф-кк), (18)

где g(kh) — исходные измерения изучаемой функции д(х) в узлах kh регулярной сетки с шагом А, а с/,(х — к h) — соответствующие функции влияния. Практически надо вычислить только одну функцию с помощью одного (обратного) преобразования Фурье

щ(х) = (19)

так как все остальные функции влияния для каждого узла kli можно получить аналитически или численно путём сдвига найденной материнской функции ik{x) по оси абсцисс па. kh. Обра:} Фурье Vh{w) требуемой функции ))/,(.т) определяется отношением

у IG'Ml2 , 1GM12

/.:--—СО

Таким образом, единственной необходимой информацией об изучаемой функции д(х) служит её спектральная плотность |G(w)|2 = G(w) • G*(w), то есть образ Фурье соответствующей автоковариационной функции cov(x, х') = aov(x — х') = cov(Ax):

foc

|G'(w)|" = ~ ( cou(Ax)cxp{-iu;Ax)dAx, (21)

2тг J

— OO

a |Gs(w,/i)|2 —спектральная плотность выборочной функции д„(х) + 00 +ос G.,(w, h) = j !i4x)rj:p(--Ur}dx = ^ ~

Η-OC

(22)

Отметим, что искомые функции влияния не зависят от вида изучаемой функции д{х), а зависят только от используемого гильбертова пространства H.

а2'

Точность решения задачи коллокации определяется дисперсией

+0° / ~ \ ЧН)=1 (23)

—оо ^ '

которая зависит только от шага /г, то есть от разрешающей способности выборки.

Чем ближе спектр выборочной функции к спектру реа^ной исходной функции, тем меньше дисперсия аппроксимации и тем оптимальнее используемая величина шага.

Предположим теперь, что нас интересует не сама восстанавливаемая функция д(х), а её какое-нибудь линейное преобразование типа д'(х) = Ь{д)(х)- В таком случае

п-1 11-1

(¡1,{х) = д(хк) ■ Ц1>и,.)(х) = . у'кА(х). (24)

Ь-о к 1)

Если преобразование Ь представляет собой свёртку с какой-нибудь весовой функцией я (ж) (например д(х) — аномалия силы тяжести, а нужно определять высоты геоида), то есть

оо

д'(х) = Цд)(х) = У <у(х'Мг - т!) йх! = д * а, (25)

— ОС

то образ Фурье новой функции влияния ь'кЛ(х) находится но формуле

[ ' ~ IС (ш к)\2 ~ -^-• (26)

к=—о

Здесь S(ui) обозначает образ Фурье весовой функции а (г) свёртки (например, известный образ Фурье функции Стокса).

Третья глава описывает численные эксперименты, выполненные в процессе подготовки диссертации, и содержит следующие разделы: 3.1 Численный эксперимент с двухэтапным гармоническим анализом; 3.2 Численные эксперименты с определением функций влияния функционалов; 3.3 Опыт работы с современным программным обеспечением (речь идёт о пакетах GravSoft и GOCE User Toolbox (GUT)); 3.3.1 Численные эксперименты с результатами спутниковой граднентометрии; 3.3.2 Создание регулярной сетки точечных и усреднённых значений различных трансформаит геопотенциала. Последний раздел отражает практический опыт диссертанта работы с гравиметром.

Проделанные эксперименты подтвердили теоретические результаты второй главы диссертации. Кроме того, установлено следующее.

1. Гладкость изучаемой функции оказывает заметное влияние на точность определения выборочного спектра.

2. Отличие выборочного спектра от непрерывного имеет определённый порядок малости относительно шага сетки и поэтому при вычислении выборочного спектра можно пользоваться известным в теории аппроксимации правилом Рунге.

3. Точность спектрального синтеза заметно повышается, если предварительно выполнить кусочно-линейную интерполяцию исходных значений функции.

4. Модельные вычисления с различными комбинациями данных вторых производных возмущающего потенциала Trr,Tev,Tnn,Tnr,Tn,Tr,T показали пригодность и достаточное удобство используемых алгоритмов и программного обеспечения. Алгоритм быстрой коллокацпи снижает временные затраты на вычисления примерно на порядок. Теоретически возможно совместно использовать все 6 видов измеренных производных и определять коэффициенты до 360-ой степени, но мощности доступного компьютера явно ис хватает необходимо распараллеливание вычислительных потоков.

5. Некоторые типы возможных исходных данных так сильно физически коррелироианы, что приводят к практически идентичным результатам; из трех диагональных элементов Trr,T,x,Tml матрицы Гессе наилучшие но точности результаты дают Тгг\ исходные значения Т<<: и Т„„ по точности результатов примерно одинаковы, по их совместное использование оказывается полезным.

6. Хотя низкочастотная часть спектра (2 24 или 2 36) удалялась из исходных данных, оценки соответствующих коэффициентов но результатам гармонического анализа значимо отличались от нуля. Этот эффект проявляется тем заметнее, чем выше порядок исследуемой производной потенциала. По-видимому, это является следствием наложения более высоких частот.

7. Процедура определения гармонических коэффициентов геопотенциала но результатам спутниковой градиситометрии целесообразно разделить на две части: создание на некоторой сфере (радиус которой выбирается с учётом усреднённой высоты полёта спутника) регулярной сетки с усреднёнными по ячейкам результатами измерений вторых производных геопотенциала (первичная обработка); гармонический анализ на этой сфере с использованием известных преимуществ за счёт симметрии узлов регулярной сетки.

8. Для строгого оценивания точности значений различных трансформаит геопотенциала, вычисленных гармоническим синтезом по глобальным моделям GOCE, теперь доступны ковариационные матрицы ошибок соответствующих гармонических коэффициентов. Вычисления удобно выполнять с по-

мощыо программ covhsmp (вычисляет дисперсии заданных значений на сетке, регулярной по широте, долготе и постоянной высоте над эллипсоидом) и covhs2p (оценивает и ковариации заданных пар). На рис. 13 показан результат одного из экспериментов по определению точности аномалии силы тяжести, сглаженной по одиоградусиым трапециям на Земле, по результатам гармонического синтеза вторых производных геопотенциала до 150-ой степени и порядка по данным проекта GOCE.

9. С помощью преобразования ковариаций и теоремы о выборке можно аналитически найти ковариационные функции между заданными точечными и искомыми усредненными по сферическим ячейкам значениями вторых производных геопотенциала.

Заключение

Ранее отмечалось, что среднеквадратическая коллокация является в иа-стоящее время одним из самых эффективных численных методов физической геодезии. Однако необходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ) существенно ослабляет теорию этого метода, а необходимость решать количество уравнений, равное количеству исходных измерений, заметно затрудняет его практическое использование. В данной работе сделана попытка преодолеть или, по крайней мере, ослабить указанные недостатки.

Исследования подтвердили давно известный факт о том, что гравитационное поле заметно зависит от рельефа и может обоснованно трактоваться как стационарное только в равнинных районах. Но даже в равнинных районах возможность пользоваться изотропностью ноля требует практического обоснования. В диссертации предложены подробные процедуры структурного анализа ГПЗ в виде построения разного рода ковариационных карт и вычисления ковариационных функций. Наиболее целесообразно, на наш взгляд, определять ковариационную функцию для исходных данных через двойное дискретное преобразование Фурье. Полученные таким способом ковариационные функции являются функциями разности координат двух точек, то есть функциями вектора, соединяющего эти две точки, и, следовательно, описывают неизотропное поле.

Если поле не является стационарным, то есть его спектральный состав изменяется с местоположением, то для изучения структуры поля приходится отказаться от фурье-анализа и естественно воспользоваться вейвлет-анализом. Именно так и сделано в диссертации. Построение одномерных вейвлет-преобразований отдельных профилей ноля и двумерных вейвлет-спектрограмм позволяет выделить явно отличающиеся друг от друга участки поля и разделить, таким образом, изучаемую область па неперекрывающиеся подобласти, внутри каждой из которых ноле можно считать стационарным.

Для каждой такой подобласти составляется матрица анизотропности, что позволяет построить ковариационную функцию для нестационарного поля в исходной области. Дальнейшие вычисления выполняются по стандартным формулам коллокацнн, но «евклидовы расстояния» между точками заменяются «расстояниями Ма1ш1апоЫ8». Таким образом, известная идея о сегментации ноля в данном случае реализуется непрерывно, в отличие от традиционного подхода, приводящего к проблемам «нестыковки» на границах подобластей.

Что касается ослабления практического недостатка коллокации, связанного с необходимостью решать большое количество уравнений, то вкладом диссертанта являюся алгоритмы двухэтапного гармонического анализа и определения функций влияния. Первый из них уменьшает количество уравнений, подлежащих решению, примерно вдвое, а второй алгоритм вообще не требует решения уравнений. Основные вычисления при этом выполняются в частотной области, а исходной информацией о гравитационном поле служит не ковариационная функция, а спектральная плотность.

Если иоле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния с помощью одного (обратного) преобразования Фурье, 'так как все остальные функции влияния для каждого узла кк можно получить аналитически пли численно путём сдвига найденной материнской функции т)/,(х) по осп абсцисс на кН. Область с нестационарным полем трактуется как объединение подобластей с полем стационарным, и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.

Все теоретические разработки автора обеспечены программами для персонального компьютера, позволяющими оперативно выполнять нужные вычисления и, при необходимости, сопровождать результаты графической интерпретацией.

Список публикаций но теме диссертации.

1. Попадьев В. В. Современное состояние метода коллокации. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, № 5, 2011, —С. 10—15.

2. Басманов А. В., Попадьёв В. В., Сермягин Р. А. Развитие государственной гравиметрической сети Вьетнама // Геодезия и картография, № 5, 2011.-С. 16-19.

3. Нейман Ю. М., Сугаипова Л. С.. Попадьев В. В. Эксперименты со спутниковой граднентометрией // Геодезия и картография, специальный выпуск, посвященный конференции «Научно-технические разработки в области геодезии и картографии и их применение в хозяйственной и оборонной деятельности страны», 2012.

Подписано в печать 12.11.2012. Гарнитура Тайме Формат 60790/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 1,5усл. печ. л. Тираж80 экз. Заказ №144-2012 Цена договорная Издательство МИИГАиК 105064, Москва, Гороховский пер., 4

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Попадьев, Виктор Валерьевич

Введение.

1 Основы среднеквадратической коллокации

1.1 Историческая справка.

1.2 Функциональная трактовка коллокации.

1.2.1 Постановка задач коллокации.

1.2.2 Объекты геодезических измерений как функционалы на геопотенциале

1.2.3 Воспроизводящее ядро гильбертова пространства.

1.2.4 Функционалы в пространстве с воспроизводящим ядром.

1.2.5 Решение задач коллокации с помощью воспроизводящего ядра

1.2.6 Выбор воспроизводящего ядра.

1.2.7 Среднеквадратическая коллокация.

1.3 Вероятностно-статистическая трактовка коллокации.

1.3.1 Задачи прогноза, фильтрации и сглаживания.

1.3.2 Учёт случайных ошибок измерений.

1.3.3 Общая модель среднеквадратической коллокации.

1.4 Сравнение коллокации с кригингом.

1.4.1 Частный случай коллокации: статистический прогноз и фильтрация

1.4.2 Метод кригинга.

1.4.3 Выводы.

1.5 Замечание об использовании неоднородной информации.

1.6 Ковариационный анализ гравитационного поля Земли.

1.6.1 Ковариационные функции, спектральные плотности, вариограммы и их определение

1.6.2 Ковариационная модель глобального ГПЗ ТвсЬетищ апс! Ларр

1.7 Выводы: достоинства и недостатки среднеквадратической коллокации

2 Развитие метода коллокации

2.1 Последовательное использование разнородной информации.

2.2 Быстрая коллокация

2.3 Двухэтапный гармонический анализ

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Ковариация гармонических коэффициентов с широтными коэффициентами Фурье

2.3.3 Ковариация широтных коэффициентов Фурье со второй радиальной производной и между собой.

2.3.4 I этап. Вычисление вдоль параллелей методом быстрого преобразования Фурье.

2.3.5 II этап. Вычисление вдоль меридианов методом коллокации

2.4 Учет нестационарности ГПЗ.

2.4.1 Введение.

2.4.2 Удаление тренда.

2.4.3 Разбиение на блоки (кусочная сегментация).

2.4.4 Пространственное преобразование данных.

2.4.5 Использование вейвлет-анализа.

2.4.6 Ковариационные функции неизотропного поля и нестационарного поля.

2.4.7 Коллокация в условиях нестационарности поля.

2.5 Коллокация в терминах функций влияния исходных функционалов

2.5.1 Постановка задачи.

2.5.2 Выборочная функция и её образ Фурье.

2.5.3 Функции влияния исходных функционалов

2.5.4 Итоги.

2.6 Выводы главы 2.

3 Численные эксперименты

3.1 Численный эксперимент с двухэтапным гармоническим анализом

3.2 Численные эксперименты с определением функций влияния функционалов

3.3 Опыт работы с современным программным обеспечением.

3.3.1 Численные эксперименты с результатами спутниковой градиен-тометрии.

3.3.2 Создание регулярной сетки точечных и усреднённых значений различных трансформант геопотенциала.

3.4 Опыт практической работы с гравиметром.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Совершенствование коллокационных методов решения задач физической геодезии"

Обоснование актуальности темы диссертации

Благодаря трудам М. С. Молоденского, В. В. Бровара, JI. П. Пеллинена, Т. Krarup, Н. Moritz и других отечественных и зарубежных учёных линейные методы определения физической поверхности Земли и её внешнего гравитационного поля базируются в настоящее время на строгой теории, позволяющей решать основную проблему геодезии принципиально с любой точностью и обладающей, таким образом, практически неограниченными потенциальными возможностями. Однако вопросы устойчивой численной реализации этой теории представляют интерес и в настоящее время, поскольку неизбежные на практике дискретность измерений и наличие разного рода погрешностей вносят существенную специфику. К тому же за последние десятилетия возникла многообещающая возможность существенно расширить состав исходных данных за счёт альтиметрии и различных методов спутниковой гравиметрии (градиентометрия и др.). Одним из наиболее эффективных методов, позволяющих совместно использовать такую разнородную информацию для решения как основной задачи геодезии, так и других более частных задач физической геодезии, является метод среднеквадратической коллокации. Характеристической чертой этого метода является тот факт, что любой объект геодезических измерений трактуется определённым функционалом на одном и том же потенциале силы тяжести Земли. Это и позволяет рассматривать любые разнородные по составу геодезические измерения с единых позиций: измерены с определённой точностью значения некоторых функционалов на геопотенциале, требуется оценить значения некоторых других функционалов и их точность или восстановить потенциал. По-видимому, такая уникальная ситуация — все измерения суть функционалы на единой функции — имеет место только в случае геодезических измерений, и было бы неоправданно этим не пользоваться. К тому же, упомянутая единая функция обладает целым рядом полезных свойств, поддающихся теоретическому изучению в рамках специальной теории потенциала. Коллокация использует всё это полностью и даёт практический метод оценки одних функционалов на геопотенциале по результатам измерения других (локальная задача коллокации) или метод восстановления самого потенциала по результатам измерения определённых функционалов на нём (глобальная задача коллокации). Но, конечно, присущи методу коллокации и недостатки. Поэтому совершенствование этого метода и исследование возможностей его развития является актуальной задачей современных численных методов физической геодезии.

Цель и основные задачи исследования

Основной целью диссертационной работы является исследование и разработка таких модификаций метода коллокации, которые частично или полностью преодолевают следующие основные недостатки этого метода: необходимость решать количество уравнений, равное количеству исходных измерений; необходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ).

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

• Анализ и экспериментальные исследования новейших зарубежных разработок последовательной и быстрой коллокации.

• Разработка и исследование собственного двухэтаиного гармонического анализа ГПЗ.

• Исследование возможностей фурье-анализа и вейвлет-анализа для выявления признаков нестационарности ГПЗ.

• Разработка и исследование методов коллокации в условиях нестационарного ГПЗ.

• Разработка и исследование возможностей определения функций влияния исходных функционалов.

• Адаптация программного пакета СгаувоЙ и использование возможностей программ Сеосо1 и БрЬргпщ для уточнения гравитационного поля по результатам спутниковой градиентометрии.

Научная новизна и практическая значимость работы.

• Совмещение различных идей, связанных, с одной стороны, с аппроксимацией функционалов на геопотенциале, а с другой стороны — с быстрым преобразованием Фурье, позволило С.С.Тзсегш^ (Дания) и Р.Башо (Италия) создать совсем новый алгоритм быстрой коллокации. Проделанные нами численные эксперименты с быстрой коллокацией показали существенное увеличение быстродействия при решении ресурсоёмких задач космической гравиметрии, что позволяет рекомендовать алгоритм быстрой коллокации для практического использования и в нашей стране.

• Примерно этому же направлению исследований принадлежит и наша разработка в виде двухэтапного гармонического анализа. Вычисления вдоль параллелей методом быстрого преобразования Фурье позволяют обеспечить некоррелированность коэффициентов Фурье, соответствующих различным частотам. Поэтому на втором этапе вместо решения одной, но очень большой системы тр уравнений, доказана возможность решать 2ЛГ + 1 систем, но каждая из них содержит лишь р уравнений. Здесь т и р — число меридианов и параллелей соответственно, определяющих сетку с исходными данными, а N — наивысшая степень искомых гармонических коэффициентов. Разработаны методы контроля вычислений, составлены необходимые программы для ПК.

• Ковариационный анализ гравитационного поля, обычно выполняемый в процессе решения задач физической геодезии методом коллокации, рекомендуется для выявления анизотропности выполнять с помощью двумерного преобразования Фурье и дополнять построением ковариационных карт и зависимостей радиуса корреляции от азимута по образцу рис. ?? — 2.19.

• Предложенные операции вейвлет-анализа позволяют эффективно выявлять локальные нестационарности и обоснованно делить обширную область с нестационарным гравитационным полем на такие подобласти, в которых поле можно считать стационарным, см. рис. 2.3, 2.22 и 2.23.

• Доказано, что отличие выборочного спектра от непрерывного имеет определённый порядок малости относительно шага сетки и поэтому при вычислении выборочного спектра можно пользоваться известным в теории аппроксимации правилом Рунге;

• В тех случаях, когда исходными данными в задаче коллокации служат измеренные значения одноимённых функционалов, разработана процедура непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, без решения систем уравнений. Показано, что функции влияния не зависят от вида функции, на которой заданы функционалы, а зависят только от используемого гильбертова пространства. Если поле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния, а все остальные функции получаются путём смещения аргумента. Область с нестационарным полем трактуется как объединение иод-областей с полем стационарным (сегментация), и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.

• Разработан специальный вид ковариационной функции нестационарного ГПЗ, обеспечивающий выполнение непрерывной сегментации ГПЗ и таким образом снимающий ограничительное требование метода коллокации о стационарности поля.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• Алгоритм двухэтапного гармонического анализа ГПЗ при большом количестве исходных данных.

• Методы ковариационного анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять, графически интерпретировать и учитывать в вычислениях анизотропность ГПЗ.

• Методы вейвлет-анализа локального ГПЗ, позволяющие выявлять и графически интерпретировать участки нестационарности поля.

• Метод создания непрерывной сегментации ГПЗ, позволяющий при использовании коллокации отбросить гипотезу о стационарности ГПЗ.

• Алгоритм непосредственного вычисления функций влияния исходных функционалов, снимающий проблему решения большого количества уравнений.

Вклад автора в исследование.

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Отдельные результаты получены совместно с к. ф.-м. н. Сугаиповой Л. С.

Структура диссертации и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста и заключения общим объёмом 145 страниц машинописного текста, имеется 41 рисунок и 11 таблиц. Список литературы насчитывает 75 наименований, в том числе 48 на английском языке.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Попадьев, Виктор Валерьевич

Заключение

Ранее отмечалось, среднеквадратическая ко л локация является в настоящее время одним из самых эффективных численных методов физической геодезии. Однако необходимость опираться на гипотезу о стационарности и даже изотропности гравитационного поля Земли (ГПЗ) существенно ослабляют теорию этого метода, а необходимость решать количество уравнений, равное количеству исходных измерений, заметно затрудняет его практическое использование. В данной работе сделана попытка преодолеть или, по крайней мере, ослабить указанные недостатки.

Исследования подтвердили давно известный факт о том, что гравитационное поле заметно зависит от рельефа и может обоснованно трактоваться как стационарное только в равнинных районах. Но даже в равнинных районах возможность пользоваться изотропностью поля требует практического обоснования. В диссертации предложены подробные процедуры структурного анализа ГПЗ в виде построения разного рода ковариационных карт и вычисления ковариационных функций. Наиболее целесообразно, на наш взгляд, определять ковариационную функцию для исходных данных через двойное дискретное преобразование Фурье. Полученные таким способом ковариационные функции являются функциями разности координат двух точек, то есть функциями вектора, соединяющего эти две точки, и, следовательно, описывают неизотропное поле.

Если поле не является стационарным, то есть его спектральный состав изменяется с местоположением, то для изучения структуры поля приходится отказаться от фурье-анализа и естественно воспользоваться вейвлет-анализом. Именно так и сделано в диссертации. Построение одномерных вейвлет-преобразований отдельных профилей поля и двумерных вейвлет-спектрограмм позволяет выделить явно отличающиеся друг от друга участки поля и разделить, таким образом, изучаемую область на неперекрывающиеся подобласти, внутри каждой из которых поле можно считать стационарным. Для каждой такой подобласти составляется матрица анизотропности, что позволяет построить ковариационную функцию для нестационарного поля в исходной области. Дальнейшие вычисления выполняются по стандартным формулам коллокации, но «евклидовы расстояния» между точками заменяются «расстояниями МаЬаЫюЫэ». Таким образом, известная идея о сегментации поля в данном случае реализуется непрерывно, в отличие от традиционного подхода, приводящего к проблемам «нестыковки» на границах подобластей.

Что касается ослабления практического недостатка коллокации, связанного с необходимостью решать большое количество уравнений, то вкладом диссертанта являюся алгоритмы двухэтапного гармонического анализа и определения функций влияния. Первый из них уменьшает количество уравнений, подлежащих решению, примерно вдвое, а второй алгоритм вообще не требует решения уравнений. Если исходными данными служат значения одноимённых функционалов (например значения аномалии силы тяжести, значения каких-нибудь производных геопотенциала ит. п.), то глобальную задачу ко л локации можно решать в виде п-1

9н(х) = ^ д(к1г>>" ~ кН)> (3-35) к=О где д{кК) — исходные измерения изучаемой функции д(х) в узлах кН регулярной сетки с шагом 1г, аи^х- кК) — соответствующие функции влияния. Они не зависят от вида функции, на которой заданы функционалы, а только от используемого гильбертова пространства. Основные вычисления при этом выполняются в частотной области, а исходной информацией о гравитационном поле служит не ковариационная функция, а спектральная плотность \С{и)\2.

Если поле стационарно, то достаточно найти только одну функцию влияния с помощью одного (обратного) преобразования Фурье, так как все остальные функции влияния для каждого узла кк можно получить аналитически или численно путём сдвига найденной материнской функции Ьь(х) по оси абсцисс на к!г. Область с нестационарным полем трактуется как объединение подобластей с полем стационарным, и для каждой такой подобласти материнскую функцию влияния надо определять отдельно.

Точность решения задачи коллокации определяется дисперсией оо / " \ а2(К) = I |СН|2 • (1 - ) йи, (3.36) оо * где Уи(со) - образ Фурье материнской функции влияния. Дисперсия зависит только от шага к, то есть от разрешающей способности выборки. Чем ближе спектр выборочной функции к спектру реальной исходной функции, тем меньше дисперсия аппроксимации и тем оптимальнее используемая величина шага.

Известно, что один из наиболее эффективных методов интерполяции и аппроксимации функций основан на теории сплайнов. В разд. 3.2 показано, что базисные сплайны в общем случае не могут непосредственно использоваться в качестве функций влияния, но фундаментальные сплайны — типичные функции влияния. В диссертации выполнено экспериментальное сравнение точности восстановления функции по её выборочным значениям на регулярной сетке с помощью функций влияния и с помощью сплайнов. Мы ограничились при этом только кубическими сплайнами, как наиболее часто используемыми благодаря своим уникальным свойствам минимальной кривизны. Полученные среднеквадратические ошибки восстановления говорят о преимуществе функций влияния. С укрупнением шага это преимущество возрастает.

Наконец отметим, что все теоретические разработки автора обеспечены программами для персонального компьютера, позволяющими оперативно выполнять нужные вычисления и, при необходимости, сопровождать результаты графической интерпретацией.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Попадьев, Виктор Валерьевич, Москва

1. Balmino G. Contribution to WP 9000 (Error covariance matrix: rigorous computation, Approximate computation), GUT meeting, ESR1., 2008.

2. Басманов А. В., Попадъёв В. В., Сермягин Р. А. Развитие государственной гравиметрической сети Вьетнама // Геодезия и картография, № 5, 2011. — С. 16—19.

3. Большаков В. Д., Маркузе Ю. И. Практикум по теории математической обработки геодезических измерений. М.: Недра, 1984.

4. Blais J. A. R. Synthesis of Kriging Estimation Methods // Manuscripta Geodaetica, vol. 7, No. 4, 1982, pp. 325-352.

5. Bottom G. P., Barzaghi R. Fast collocation. Bulletin Geodesique (1993) 67: 119-126.

6. Bjerhammar A. A new theory of geodetic gravity — Stockholm, 1964

7. Colombo C. Numerical methods for harmonic analysis on the sphere. Rep. 310, Department of Geodetic Science and Surveying. The Ohio State University, Columbus, 1981.

8. Darbehesti N., Featherstone W. E. Non-stationary covariance function modelling in 2D least-squares collocation // J. of Geod. (2009) 83:495-508.

9. Darbeheshti N., Featherstone W. E. A review of non-stationary spatial methods for geodetic least-squares collocation

10. Darbehesti N. Modification of the Least-Squares Collocation Method for Non-Stationary Gravity Field Modelling. Thesis presented for the Degree of PhD. 2009.

11. Демьянов Г. В., Майоров А. Н., Юркина М. И. Построение общеземной системы нормальных высот // Геодезия и картография. — 2009, №1. — С. 12—16.

12. Демьянов Г. В., Сермягин Р. А. Планетарные модели гравитационного поля Земли, их роль в современных условиях развития геодезии // Геодезия и картография. 2009, №10. - С. 8-12.

13. Dermanis A. Kriging and collocation — a comparison // Manuscripta geodaetica (1984) 9: 159-167

14. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). Ч. 1. —М.: Высшая школа, 1980. — 279 с.

15. Forsberg R. A New Covariance Model for Inertial Gravimetry and Gradiometry // Journal of Geophysical Research, vol. 92, No. B2, pp. 1305—1310, 1987.

16. D. Higdon, J. Swall, J. Kern. Non-stationary spatial modeling. In J.M. Bernardo, J.O.Berger, A.P. Dawid, and A.F.M. Smith, editors, Bayesian Statistics 6, pages 761-768, Oxford,U.K., 1999. Oxford University Press.

17. Heller W. G., Jordan S. К Attenuated White Noise Statistical Gravity Model // Journal of Geophysical Research, vol. 84, No. B9, august 10, 1979.

18. Хемминг P. В. Численные методы. M.: Наука, 1972. 400 с.

19. Зубарев А. Э. Численный эксперимент с математической обработкой разнородных измерений // Геодезия и Аэросъемка, 2, 2010.

20. Jordan S. К. Self-Consistent Statistical Models for the Gravity Anomaly, Vertical Deflections and Undulation of the Geoid // Journal of Geophysical Research, vol. 77, No. 20, july 10, 1972

21. Калиткии H. H. Численные методы. — M.: Наука, 1978. —512 с.

22. Kasper J. F. A Second-Order Markov Gravity Anomaly Model // Journal of Geophysical Research, vol. 76, No. 32, november 10, 1971. ,

23. Kearsley A. H. W. 1977. Non-stationary estimation in gravity prediction problems. Report 256, Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, USA.

24. Keller W. 1998a. Collocation in reproducing kernel Hilbert spaces of a multiscale analysis. Physics and Chemistry of the Earth 23(1), 25.29.

25. Keller W. 2000. A wavelet approach to non-stationary collocation. In Geodesy Beyond 2000. The Challenges of the First Decade, Volume 121, pp. 208.214. IAG Symposia Series, Springer, Berlin, Germany.

26. Keller W. 2002. A wavelet solution to ID non-stationary collocation with extension to the 2D case. In Gravity, Geoid and Geodynamics 2000, Volume 123, pp. 79.84. IAG Symposia Series, Springer, Berlin, Germany.

27. Kotsakis C. The multiresolution character of collocation. Journal of Geodesy, v. 74, n. 3-4, May 2000.

28. Krarup T. A contribution to the mathematical foundation of physical geodesy. Geodastisk institut. K0benhavn, 1969.

29. Купер Док., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. /Пер. с англ. под ред. Горяинова В. Т. — М.: Мир, 1989. —376 с.

30. Lambeck К. The Perth Basin: A possible framework for its formation and evolution, Exploration Geophysics, vol. 18, nos. 1&2, pp. 124-128. 1987.

31. Левицкая 3. H. Статистические модели аномальных характеристик гравитационного поля Земли. В сб.: Гравиметрические исследования на море. — М.: Наука, 1988.

32. Lophaven S. N., Nielsen Н. В., Sondergaard J. DACE. A Matlab Kriging Toolbox, Version 2.0. Report IMM-REP-2002-12, Informatics and Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, 34 pages, 2002.

33. Lophaven S. N., Nielsen H. В., Sondergaard J. Aspects of the Matlab Toolbox DACE. Report IMM-REP-2002-13, Informatics and Mathematical Modelling, DTU. (2002), 44 pages

34. Matern, B. Spatial Variation, Lecture Notes in Statistics, 2nd Edition. New York, 1986. USA: Springer.

35. Moritz H. 1972. Advanced least squares methods. Report 175, Department of Geodetic Science, The Ohio State University, Columbus, USA.

36. Moritz H. Least-Squares Collocation // Rev. of geoph. and space phys. (1978) 16, No. 3, 421-430.

37. Мориц Г. Современная физическая геодезия. Пер. с англ.—М.: Недра, 1983. 392 с.

38. Гофман-Веллепгоф В., Мориц Г. Физическая геодезия. Перевод с англ. под ред. Неймана Ю.М., М., МИИГАиК, стр. 410.

39. Нейман Ю. М. Вариационный метод физической геодезии. — М.: Недра, 1979.

40. Нейман Ю. М. и др. Уравнения связи спутниковой градиентометрии // Известия вузов. Геодезия и аэросъемка, 2005, №5, с. 3—18.

41. Нейман Ю. М. К вопросу о математической обработке разнородных измерений // Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2, 2008.

42. Нейман Ю. М. О решении задачи спутниковой градиентометрии методом колло-кации. // Доклады юбилейной конференции, посвящённой юбилею МИИГАиК, 2009.

43. Нейман Ю. М., Бывшее В. А. Вариационный метод физической геодезии и кол-локация. В кн.: Гравиметрия и геодезия. М.: Научный мир, 2010. 572 с.

44. Нейман Ю.М., Хозяйчиков А.А. О современных форматах хранения и передачи данных в космической геодезии (иа примере проекта GOCE).

45. Новиков Л. В. Основы вейвлет-анализа сигналов. СПб, 1999. — 152 с.

46. Oppenheim А. V., Schafer R. W. Discrete-time signal processing.

47. P. Отнес, Л. Эноксон Прикладной анализ временных рядов. — М.: Мир, 1982.

48. Paciorek С. J. Nonstationary Gaussian Processes for Regression and Spatial Modelling. Carnegie Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania, 2003

49. Paciorek C. J., Schervish M. J. Nonstationary Covariance Functions for Gaussian Process Regression, Department of Statistics. Carnegie Mellon University, Neural Information Processing Systems December 9, 2003.

50. Proakis J. G., Manolakis D. G. Introduction to digital signal processing. MPC NewYork, CMP London, 944 p.

51. Попадъев В. В. Современное состояние метода коллокации. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, № 5, 2011. —С. 10—15.

52. Sampson P. D., Guttorp Р. (1992) Nonparamctric estimation of non-stationary spatial covariance structure, Journal of the American Statistical Association, vol. 87, no. 417, pp. 108-119

53. Sanso F. and Sideris M. G. (1997): On the similarities and differences between systems theory and least-squares collocation in physical geodesy. Bollettino di Geodesia e Scienze Affini, vol. 54, no. 2, pp. 173-206.

54. Sanso F., Tscherning С. C. Fast spherical collocation: theory and examples // J. of Geodesy (2003) 77: 101-112.

55. Schwarz K. P., Lachapelle G. (1980) Local characteristics of the gravity anomaly covariance function. Bull Geod 54(l):21-36

56. Shaw L., Paul I., Henrikson P. Statistical Models for the Vertical Deflection from Gravity-Anomaly Models // Journal of Geophysical Research, vol. 74, No. 17, august 15, 1969.

57. Смоленцев H. К. Основы теории вейвлетов. Изд. 3, 2008

58. Sneeuw N., Bun R. Global spherical harmonic computation by two-dimensional Fourier methods. Journal of Geodesy (1996) 70: No. 4: 224—232.

59. Стойнов В., Пенева E. Физическа геодезия. — София: Полиграфическа база при УАСГ, 2002. 254 с.

60. Сугаипова Л. С. Основные задачи первичной обработки результатов спутниковой градиентометрии // Известия вузов. Геодезия и аэросъемка, 2009.

61. Сугаипова Л. С. О ковариации между точечными и усредненными значениями вторых производных геопотенциала // Известия вузов. Геодезия и аэросъемка (в печати).

62. Trefethen L. N. Spectral Methods in Matlab. http://www.comlab.ox.ac.uk/

63. Tschernig С. C., Arabelos D. N. Computation of a geopotential model from GOCE data using fast spherical collocation — A simulation study

64. Tscherning С. C. A FORTRAN program for the determination of the anomalous potential using stepwise least squares collocation. Dep. of Geodetic Science, OSU, Report No. 212, 1974.

65. Tscherning С. C. Introduction to functional analysis with a view to its application in approximation theory // Approximation methods in geodesy, 1978

66. Tscherning С. C. Geoid determination by least-squares collocation using GRAVSOFT, Lectures Notes for the International School for the Determination and Use of the Geoid, DIIAR Politecnico di Milano, Milano. 1994

67. Tscherning С. C. Computation of spherical harmonic coefficients and their error estimates using least-squares collocation // J. of Geod. (2001) 75 : 12—18.

68. Tscherning С. C. Geoid determination after the first satellite gravity missions (2001).

69. Tukey J. W. 1970. Some further inputs. In Geostatistics, a Colloquium, pp. 163.174. Proceedings of a Colloquium on Geostatistics, Plenum Pub Corp, New York, USA.

70. Unser M. "Splines: A Perfect Fit for Signal and Image Processing," IEEE Signal Processing Magazine, vol. 16, no. 6, pp. 22-38, 1999.

71. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.— 320 с.

72. Хи P. L. 1991. Least squares collocation with incorrect prior information. Zeitschrift für Vermessungswesen 116(6), 266.273.