Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Определение нормального поля с использованием условия Бровара

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Определение нормального поля с использованием условия Бровара"

На правах рукописи

Романовский Сергей Иванович

Определение нормального поля с использованием условия Бровара

Специальность 25.00.32 — Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

UU3451564

Москва 2008

003451564

Работа выполнена в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) на кафедре высшей геодезии

Научный руководитель: кандидат технических наук, доцент

Огородова Людмила Валентиновна

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Баранов Владимир Николаевич

кандидат технических наук, доцент Крылов Виктор Иванович

Ведущая организация:

Государственный астрономический институт им. П. К. Штернберга (ГАИШ МГУ)

Зашита состоится: 20 ноября 2008 г. в 12 ч. на заседании диссертационного совета Д212.143.03 при Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) по адресу: 105064, г. Москва, Гороховский пер., 4, МИИГАиК, зал заседания Ученого совета

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИИГАиК

Автореферат разослан: «

Ученый секретарь

диссертационного совета

Ю. М. Климков

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Определение параметров общего земного эллипсоида, т.е. такого «... эллипсоида вращения, который наилучшим образом представлял бы многие астрономо-геодезические измерения, распределенные по земной поверхности...» (Гельмерт), относят к одной из основных задач геодезии. Разным аспектам решения этой задачи посвящены работы многих геодезистов. Ныне общий земной эллипсоид определяют как уровенный эллипсоид, внешнее поле которого определяют четыре фундаментальные постоянные. Три из них — геоцентрическая гравитационная постоянная СМ, разность (7(С - Л) полярного С и среднего экваториального А моментов инерции и угловая скорость а вращения — существуют у реальной Земли и в настоящее время известны с высокой точностью. Однако существует известный произвол в выборе и определении четвертого параметра, определяющего размеры уровенного эллипсоида. Постоянные, задающие размеры эллипсоида, не относятся к стоксовым постоянным Земли и не могут быть получены непосредственно по измерениям. В связи тем, что общий земной эллипсоид объективно не существует, его определение, по мнению М. И. Юркиной, является не только геодезической, а и философской проблемой.

В 1995 г. В. В. Бровар вместо прямых поисков оптимальной величины четвертого параметра уровенного эллипсоида предложил использовать общее требование, при котором «... возмущающая сила во внешнем пространстве достигает наименьшего значения...». В этом случае модель можно считать оптимальной, а общим земным эллипсоидом будет уровенный эллипсоид оптимального нормального поля. Требование Бровара записывают в виде условия, накладываемого на аномальный потенциал Т как гармоническую функцию,

где 5 — поверхность Земли, п — вешняя нормаль к 5. Такой подход объединяет требования к нормальному полю, выдвигаемые при решении как геометрических, так и физических задач, и открывает возможность создания оптимальной универсальной модели. Однако до настоящего времени предложение Бровара не реализовано на практике.

■ с/и

(1)

Принятое в геодезии поле уровенного эллипсоида не является единственной моделью нормального поля. Наряду с ним в смежных областях естествознания используются и иные модели, более удобные для решения специфических задач различных наук. В настоящей работе предложение Бровара реализовано в широкой постановке и использовано не только для поисков общего земного эллипсоида, а и для построения оптимальных в смысле условия Бровара моделей нормального поля при разных формах его представления.

Степень разработанности проблемы. Попытки использования предложения Бровара предпринимались международным коллективом авторов (М. Бурша, М. И. Юркина, Г. В. Демьянов, Я. Коуба и др.). Однако их работы основаны не на условии, предложенном Броваром, а на видоизмененных условиях, соответствующих аномальному потенциалу с иными аналитическими свойствами. Кроме того, решение построено с учетом измерений только на поверхности океана; в этом случае условие (1) Бровара неприменимо. Задача определения нормального поля, реализующего условие Бровара, до настоящего времени не решена.

Цель исследования: построение оптимального в смысле условия Бровара нормального поля и определение параметров общего земного эллипсоида, гарантирующего минимум интеграла Дирихле во внешнем относительно поверхности Земли пространстве.

Задачи исследования. Для достижения цели исследования были поставлены задачи:

1. получить удобные для минимизации выражения нормального потенциала и интеграла 1 для разных моделей нормального поля;

2. исследовать геометрию исходного поля уровенного эллипсоида на произвольных расстояниях от Земли и установить область существования эллипсоидальных уровенных поверхностей;

3. найти удобную форму представления информации о рельефе поверхности Земли.

Объект исследования: поверхность и внешнее гравитационное поле Земли.

Предмет исследования: поле притяжения и поле силы тяжести эллипсоида вращения и диполя.

Теоретическая, методологическая и информационная база исследования.

Теоретическая база — теория ньютоновского потенциала, методология —

определение потенциала притяжения из решения краевой задачи. Задача определения уровенного эллипсоида была поставлена не только как задача определения общего земного эллипсоида, а в более широком смысле: было снято требование близости эллипсоидальной уровенной поверхности к поверхности геоида. Другими словами, уровенная эллипсоидальная поверхность не отождествляется с поверхностью нормальной Земли, а ищется модель нормального поля, наиболее близкого к действительному, в котором единственная возможная эллипсоидальная уровенная поверхность занимает произвольное положение в пространстве. Информационная база — модель EGM96 гравитационного поля Земли и цифровая модель GLOBE земного рельефа.

Научная новизна. Новые научные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1. доказана теорема, обобщающая теорему Маклорена - Лапласа;

2. выяснена геометрия уровенных поверхностей на больших расстояниях от Земли;

3. установлены точные соотношения между параметрами уровенного эллипсоида;

4. определены параметры уровенного эллипсоида, гарантирующего минимум интеграла Дирихле;

5. предложен новый способ определения уровенного эллипсоида по стоксовым постоянным Земли;

6. получены формулы, удобные для вычисления потенциала эллипсоида и диполя;

7. выполнено разложение рельефа до 360-й степени и проведен анализ этого разложения.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит исследовательский характер. Полученные результаты дополняют теории уровенного эллипсоида и нормального поля. Найденные выражения для нормального потенциала и силы тяжести предлагаемого нормального поля могут найти применение при вычислениях нормальной высоты и действительного потенциала Земли. Модель земного рельефа целесообразно использовать при глобальных геофизических и геодезических исследованиях.

Реализация результатов работы. Результаты исследования внедрены в учебный процесс МИИГАиК. Модель рельефа Земли в виде разложения по сферическим функциям включена в учебник по высшей геодезии.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались на научных конференциях молодых ученых и аспирантов МИИГАиК (1998,2001 и 2008 гг.) и на Сагитовских чтениях в ГАИШ МГУ (1997 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 1998 — 2008 гг. в пяти статьях в журнале «Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка» и в сети Интернет.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 66 наименований, содержит 19 таблиц и 19 рисунков. Общий объем диссертации — 148 страниц.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. модели оптимального в смысле условия Бровара нормального поля при разных формах его аналитического представления;

2. новый принцип определения уровенного эллипсоида;

3. параметры эллипсоида, аппроксимирующего нормальный сфероид и = 1¥0 оптимального поля;

4. обобщенная теорема Маклорена-Лапласа о потенциале притяжения симметричного эллипсоида;

5. обобщенное условие Клеро, устанавливающее предельные значения параметров уровенного эллипсоида;

6. модель рельефа Земли в виде разложения по сферическим функциям.

Основное содержание работы

Во введении сформулированы цель и задачи исследования— практическое применение предложения Бровара для определения нормального поля.

Первая глава содержит описание аналитических форм задания нормального поля и методов его выбора. Отмечается значение условия (1) Бровара и его преимущество перед использованными прежде условиями, накладываемыми на элементы нормального поля.

Во второй главе для потенциала V притяжения эллипсоида вращения на основании решения краевой задачи с краевым условием

У(,=ат + а211Р2(&\пи)

найдено выражение

Е 5 Г С(С-Л) йМ

—+-/ 3—--;---

Ъ 2 Е3 Е

где ¿им — эллипсоидальные координаты, Р2(х) и С}2(*) — полиномы Лежандра

второй степени первого и второго рода соответственно, Е — линейный эксцентриситет (половина фокального расстояния), У0 — потенциал на поверхности эллипсоида, ат и а20 — коэффициенты. Потенциал притяжения определен тремя

результат сформулирован в виде теоремы, обобщающей теорему Маклорена-Лапласа: Софокусные эллипсоиды вращения равной массы с равными разностями моментов инерции и симметричным относительно оси вращения и плоскости экватора распределением плотности создают во внешнем относительно наибольшего из них пространстве одинаковое гравитационное поле.

Формула (2) позволяет получить как частные случаи потенциал притяжения однородного эллипсоида вращения и эллипсоида, уровенного для потенциала силы тяжести.

В третьей главе установлено, что для потенциала притяжения эллипсоида, уровенного для потенциала силы тяжести, коэффициенты ат и а2а имеют значения

где Ь0 — малая полуось эллипсоида, Ур — потенциал притяжения на его полюсе, а потенциал и силы тяжести имеет вид

постоянными — йМ, С(С - А) и Е — и не зависит от размеров эллипсоида. Этот

Потенциал силы тяжести определен постоянными GM, Е, а и Ь0 и зависит от размеров эллипсоида. При b = ba коэффициент при Р2 (sin г<) равен нулю, поэтому потенциал U0 на поверхности эллипсоида постоянен. При любом другом значении b потенциал зависит от широты и, и поэтому только одна уровенная поверхность потенциала силы тяжести является эллипсоидом вращения.

Эксцентриситет Е связан с разностью G(C-A) моментов инерции и распределением массы внутри эллипсоида. Установлены соотношения:

О < G(C - А) <\/5 GME2,

а>гЪ1 < 15 (3 + е'2 jarctgё — Ъё ^ 5 соЧ] GM ~ 4 ё {\ + ё2) " 2 GM '

где ё = Е/Ьп. Это точное соотношение, устанавливающее пределы изменения эксцентриситета ё в зависимости от распределения плотности. Оно эквивалентно известному соотношению Клеро. Нижний предел в соотношениях (3) соответствует однородному шару, верхний — однородному эллипсоиду.

При Ъ = const величины силы тяжести на оси вращения уровенного эллипсоида и в экваториальной плоскости связаны соотношением

аН«/2 + 2^ = 3^-2®2вА- (4)

При b = b0 эта формула переходит в формулу Молоденского, устанавливающую связь между силой тяжести на экваторе и полюсе уровенного эллипсоида.

Для общего земного уровенного эллипсоида, заданного первичными постоянными

GM = 3,986004418 ■ 10й м3 с"2,

J = G(c~f) = i 0826359 • Ю-3, (5)

2 GMal

со =7,292115-10"5 с"1 и параметром а0 = 6 378 137 м, производные постоянные принимают следующие значения:

¿»о = 6 356 752,26 м, £ = 521 854,72 м, и0 = 62 636 852 м2 с"2 и экваториальная сила тяжести равна нулю при Ь = Ьп= 42 161,466км, т.е. на расстоянии апр = + Е1 = 42 164,695 км от оси вращения. Потенциал в этой точке минимален и равен 11тт = 14 180 418 м2 с"2. Поверхность и = IIтт является последней (наиболее удаленной от Земли) замкнутой уровенной поверхностью. Она пересекает ось вращения на расстоянии Ъ = 28 107,650 км. В силу свойств потенциала уровенного эллипсоида эта поверхность не может быть эллипсоидом вращения.

Уровенный эллипсоид, сила тяжести на экваторе которого равна нулю, имеет параметры:

я0 =40 277,338 км,

Ь0 = 27 030,407 км, (6)

Е = 29 860,024 км,

а потенциал на его поверхности ¿У0 = 14 023 117 м2 с-2. Как видно, значение эксцентриситета превышает значение малой полуоси.

Сила тяжести ур на полюсе эллипсоида (6) согласно формуле (4) при у\и 0 = 0 равна

Гр=З^М—2а\= 0,43 м с"2 = 43 гал.

аа

Разность силы тяжести на предельном эллипсоиде (6) значительно (на порядок) больше разности силы тяжести на поверхности Земли.

Уровенные поверхности земного гравитационного поля и поверхность эллипсоида (6) приведены на рис. 1.

Таким образом, параметры внешней эллипсоидальной уровенной поверхности потенциала силы тяжести нормальной Земли могут изменяться в пределах, представленных в табл. 1.

Среди этих эллипсоидов находится тот, поле силы тяжести которого наиболее близко к земному гравитационному полю.

Основные результаты, полученные в третьей главе:

1. определены требования, которым должна удовлетворять разность С-А моментов инерции для существования уровенной поверхности в виде эллипсоида вращения и сферы;

2. получено соотношение, связывающее силу тяжести на оси вращения и в экваториальной плоскости, обобщающее формулу Молоденского;

3. установлено точное соотношение между параметрами уровенного эллипсоида, соответствующее приближенному неравенству Клеро;

4. установлены пределы изменения параметров уровенного эллипсоида в зависимости от разности С-А и значения потенциала на его поверхности.

км

Рисунок 1 — Уровенные поверхности нормального поля

Таблица 1 — Изменение параметров уровенной поверхности в зависимости от потенциала

62 636 852 м2 с"2 >и0> 14 023 117 м2 с-2

6 378,137 км <«0 < 40 277,338 км

6 356,752 км <К< 27 030,407 км

521,855 км <Е< 29 860,024 км

9,832185 м с"2 > У > • р 0,449651 м с-2

9,780325 м с"2 >К> 0

298,26 >\:а > 3,04

Четвертая глава посвящена выбору нормального поля под условием Бровара в сферическом приближении, а также определению общего земного эллипсоида и нормального поля, заданного стоксовыми постоянными.

Вывод оптимальных в смысле условия Бровара параметров нормального поля в сферическом приближении. Вычисление интеграла (1) для реальной Земли даже для безошибочных измерений связано со значительными трудностями. Это обусловлено, главным образом, сложностью формы поверхности S Земли, вследствие чего в (1) входит производная аномального потенциала не по направлению радиус-вектора или отвесной линии, а по наклонному к ним и нерегулярно меняющемуся направлению. Еще более сложной является задача определения параметров эллипсоида с одновременным уравниванием результатов измерений. Выясним поэтому сначала только те возможности, которые предоставляет изменение параметров эллипсоида. Интеграл / преобразован к виду

- [T—dS = -\T—p1d(J+ if—— + Veto-, (7)

I dn j dp d<P cos <p oL 8L J

где p, q>, L — геоцентрические координаты, h — высота, da = cos <pd(pdL, a — поверхность единичной сферы. Для оценки первого члена

правой части (7) аномальный потенциал Т представлен суммой

т = ЯК¿(4 Т¿(с: соьтЬ + Е^ зти^Р»,

Р п=0\Р У т=0

в которой

< =с.„-«

для зональных коэффициентов,

для всех остальных; С" — коэффициенты разложения нормального потенциала. Центробежные потенциалы действительной и нормальной Земли считаем одинаковыми, поэтому аномальный потенциал является потенциалом притяжения. В сферическом приближении нормаль п к поверхности Земли совпадает с радиусом-вектором р, производная -<1Т1<1п становится чистой аномалией силы тяжести и интеграл /0 принимает вид

степенная дисперсия аномального потенциала. Согласно (9) и (10) интеграл /0 как сумма квадратов коэффициентов всегда положителен. Это его свойство вытекает из выражения для интеграла Дирихле и подтверждается практическими вычислениями, выполненными Бурша и др.: для всех использованных ими точек поверхности Мирового океана знаки аномалии высоты, т. е. аномального потенциала, и чистой аномалии силы тяжести, т. е. производной - (¡Т/(1р, одинаковы.

Будем считать массы и разность С-А моментов инерции действительной и нормальной Земли совпадающими, начало координат поместим в центр масс Земли. Тогда члены нулевой и первой степени в (8) и (9) и зональный коэффициент С2*0 второй степени равны нулю. При этих условиях вычислим интеграл /0 для двух

(9)

где

(10)

моделей: поля уровенного эллипсоида вращения и поля двух неподвижных центров, используя для нахождения дисперсий Д, коэффициенты модели ЕОМ96.

Для коэффициентов С" потенциала притяжения уровенного эллипсоида найдены выражения:

С» = (- 1)гз-

(2п + + 3)л/4«+Тя2"

1-

= (-1)"3

1-5X1%

(2п + \\2п + ъу1Ап + 1

С" = О

Результат вычислений интеграла /0 с этими коэффициентами представлен на рис. 2.

"5 О

-700-600-500-400-300-200-100 0 100 200 300 400 500 600 700 значение линейного эксцентриситета Е, км

Рисунок 2 — Зависимость интеграла /0 от линейного эксцентриситета уровенного эллипсоида и график функции (С4"0 У

Точки экстремумов кривой /0 найдены с помощью условия

аЕ Л '1пс1Е у '

где

ас»_ (- \)" 6п(п-\)Е1п~ъ (50(с-а) А

аЕ (2И+1Х2И + 3)л/4« + Ч2Ч СМ )

Выражение (11) сходится очень быстро, стабильный результат получается уже при N = 8. При этом члены с и = 3 и 4 мало влияют на результат. Производная (11) содержит независящий от степени п множитель

50(С-Л)_£2= 2 2

ем е 2

который входит во все члены ряда (11). Поэтому условие й(70/йК = 0 выполняется при

5а2 -Е2 = 0, (12)

откуда Е = ае^5Т2.

При = 1 082,626684 ■ 10"6 и ае = 6 378 137 м (ЕОМ96)

Е = ±469 265,05 м.

Это значение эксцентриситета соответствует локальному максимуму интеграла /0. Минимума интеграл /0 достигает при

Е = 298 527,97 м (¿>0 = - 5 024 643,07 м)

и

Е = 592 349,15 м (¿0 = 6 946 842,74 м).

В обоих случаях на полюсе эллипсоида (5) потенциал практически одинаков и равен 62 636 805,46 ± 0,42 м2 с"2, поэтому для представления нормального поля можно взять любое значение Е. Однако, поскольку первое из них приходится на область отрицательных полуосей, для уровенного эллипсоида нормального поля выбран эллипсоид с параметрами

Е = 592 349,15 м, Ъ0 = 6 946 842,74 м,

названный минимальным эллипсоидом или эллипсоидом Бровара. Его большая полуось а0 = 6 972 051,46 м.

Полуоси эллипсоида Бровара— уровенного эллипсоида, соответствующего минимуму интеграла Дирихле, — оказались примерно на 600 км больше полуосей общего земного эллипсоида. На экваторе эллипсоид Бровара проходит на высоте 593,92 км, на полюсе на высоте 590,09 км над Землей. Сжатие эллипсоида Бровара равно 1:277 и значительно больше сжатия земного эллипсоида.

При дипольном представлении нормального поля коэффициенты С " имеют вид

г» _(, у/г (1 + + ¡У + (1 -iu\a-iУ _ , у/2 (сг + >)""'-(о"~'Г'; ' ~{ l) 2V2«~+T(l + сг2У"2 ~{ l> +

где а параметр, определяющий массы и положение центров диполя. Интеграл /0 достигает минимума при а =-0,035535671. Для центрально-симметричного диполя, у которого массы равны и расположены симметрично относительно начала координат, а = 0.

Таблица 2 — Сравнение интеграла /„ для различных моделей нормального поля

уровенные эллипсоиды диполи

WGS-84 ПЗ-90 Бровара центрально-симметричный несимметричный

/„, 1013 м5 с"4 3,389 3,380 3,383 3,267

Значение минимума интеграла /0 для несимметричного диполя меньше, чем при использовании эллипсоида Бровара и центрально-симметричного диполя (см. табл. 2). Это объясняется тем, что в первом случае в нормальный потенциал включены и нечетные зональные гармоники, т. е. учтена асимметрия северного и южного полушарий. Поле центрально-симметричного диполя и эллипсоида Бровара

дают практически одинаковое значение минимума интеграла /0, увеличенное по сравнению с несимметричным диполем на 3,3%- Для эллипсоида системы ПЗ-90 интеграл /„ больше по сравнению с несимметричным диполем на 3,6%.

Модели нормального поля, основанные на стоксовых постоянных. Поскольку коэффициенты С" разложения по шаровым функциям потенциалов моделей очень быстро убывают с возрастанием степени п, для выбора нормального поля можно не определять минимум интеграла Дирихле, а обеспечить совпадение начальных коэффициентов модели и реального земного поля. Зональный коэффициент второй степени в разложении аномального потенциала равен нулю. Поэтому для уровенного эллипсоида изменение интеграла J0 вызваны, в основном, изменением коэффициента С4*0 четвертой степени

^4,0 = ^4,0 — С4 = ^"4,0 ^ 35а4 ' ^^

поскольку коэффициент С" не превышает 10~2 коэффициента С" и его изменение не может заметно повлиять на аномальный потенциал и интеграл 10. Зависимость квадрата коэффициента С4*0 от эксцентриситета представлена на рис. 2. Как видно, характер изменения интеграла 70 и квадрата коэффициента С4'0 одинаков. Согласно (12) все коэффициенты достигают максимума при одном и том же значении эксцентриситета. Точки минимума найдены как точки пересечения кривой С40 с осью абсцисс; в этих точках С40 = 0 и из (13) получаем уравнение, связывающее линейный эксцентриситет Е эллипсоида с коэффициентами С20 и С4 0, решение которого имеет вид

Е1 = а2е(-5л/5С2(1 + л/]25С210 -35С4П),

откуда

Е1Л =±298 291,89 м, £3 4 =±592 824,86 м.

Эти значения близки к значениям, найденным из условия минимума интеграла Дирихле. Использование в качестве четвертого исходного параметра коэффициента С40 снимает неопределенность в выборе уровенного эллипсоида, который вместо исходных постоянных СМ, С(С-А), а, а0, или б(С- А), со, 1У0, основан в данном случае только на реальных стоксовых постоянных Земли и угловой скорости ее вращения

где Д, 0 — зональная стоксова постоянная четвертой степени в разложении потенциала земного притяжения. Уровенный эллипсоид, основанный на четырех первичных постоянных (14), определяется однозначно; неточность его параметров явится следствием только ошибок этих постоянных.

Коэффициенты разложения потенциала притяжения центрально-симметриченого диполя не зависят от параметра а и содержит только два параметра— СМ и С(С-А) (или J2). Его нормированные коэффициенты определены только параметром .

Несимметричный диполь содержит уже три параметра; его коэффициенты включают параметр а, который можно найти из условия равенства коэффициентов третьей степени диполя и Земли

отсюда а = -0,035571550, что несколько отличается от значения, найденного из условия Бровара.

Определение общего земного эллипсоида. Найдем общий земной эллипсоид как эллипсоид, аппроксимирующий уровенную поверхность

поля эллипсоида Бровара, проходящую вблизи Земли, выбрав его под условием

вМ, С(С-А), £>4.о,0,

(14)

С3 = -(У2)3/2-—-= 0,957254173792 • КГ4,

и Е = сот!

(15)

рБ — радиус вектор уровенной поверхности (15), р0 — радиус-вектор поверхности общего земного эллипсоида. Потенциал UE на поверхности а не постоянен. На полюсе и экваторе потенциал эллипсоида Бровара меньше, а на широте 45° больше, чем потенциал U0 на поверхности уровенного эллипсоида (5). В линейной мере разность р0-рБ составляет +4,7 м на полюсе, —1.9 м на широте 45° и +1,8 м на экваторе. Если же считать потенциал на поверхности эллипсоида (5) постоянным, то поле такого эллипсоида будет далеко от оптимального. Следовательно, соблюдение одновременно обоих требований к общему земному эллипсоиду, а именно

р0-рБ= 0 и U = U0 = const

для эллипсоида, находящегося вблизи Земли, невозможно. Эти условия выполнены только для эллипсоида Бровара, все остальные уровенные поверхности оптимального в смысле условия (1) поля эллипсоидальными не являются.

Подберем эллипсоид вращения к уровенной поверхности поля эллипсоида Бровара

UE = 62 636 857 м2 с"2 (17)

под условием (16). Экваториальный и полярный радиус-векторы уровенной поверхности (17) соответственно имеют значения

(я0)0 = 6 378 134,65 м,

(60)0 = 6 356 747,05 м

и меньше полуосей эллипсоида (5). Параметры эллипсоида практически одинаковы при аппроксимации как уровенной поверхности оптимального поля, так и уровенной поверхности реальной Земли. Во всех случаях полуось а0 совпадает с обычно используемой, а сжатие больше.

Результат аппроксимации уровенной поверхности U = 62 636 857 м2 с-2 эллипсоидом вращения для разных моделей потенциала дан в табл. 3. На рис. 3 показано взаимное положение эллипсоида Бровара и общего земного эллипсоида, а также отступления от последнего уровенных поверхностей U = 62 636 857 м2 с-2 поля эллипсоида Бровара (сфероп Бровара) и зональной части модели EGM96 (сфероид Мещерякова). Высоты этих двух уровенных поверхностей над общим земным эллипсоидом представлены в сильно увеличенном вертикальном масштабе.

км

Рисунок 3 — Взаимное положение общего земного эллипсоида, эллипсоида Бровара, а также его сферопа и сфероида по Мещерякову вблизи поверхности Земли

Таблица 3 — Параметры общих земных эллипсоидов, аппроксимирующих уровенные поверхности различных моделей поля силы тяжести

Модель поля силы тяжести, уровенную поверхность которой аппроксимирует эллипсоид Параметры аппроксимирующего общего земного эллипсоида

а0,м г>0,м 1 \а

эллипсоид Бровара 6 378 137,24 6 356 749,62 298,216269

зональная часть EGM96 (только четные гармоники) 6 378 137,45 6 356 749,11 298,206382

полная зональная часть EGM96 6 378 137,47 6 356 749,10 298,205978

зональная часть GEM-10C (только четные гармоники) 6 378 137,00 6 356 748,71 298,207

Таблица 4 — Параметры уровенных эллипсоидов

Параметр Модель потенциала ЕвМ96 Уровенные эллипсоиды

\VGS-84 ПЗ-90 Бровара

вМ, 1014 м3 с'2 3,986004418 3,986005 3,9860044 3,986004418

Е, м — 521 854,01 521 853,39 592 349,15

а0, м — 6 378 137,00 6 378 136,00 6 972 051,46

С.,10-6 —484,165372 —484,166855 —484,164953 -484,165372

С4,10"6 0,539874 0,790304 0,790296 0,542423

С^ИГ6 -0,149958 -0,001687 -0,001687 0,000993

и0,мгс2 — 62 636 861 62 636 861 57 326 349

и^,м2с2 — 62 636 861 62 636 851 62 636 806

и*™,м2с2 — 62 636 861 62 636 852 62 636 871

^,м2с-2 — 62 636 861 62 636 852 62 636 834

Примечание: II^, 1/45.в и V^ — значения нормального потенциала на полюсе, широте 45° и экваторе эллипсоида (5) соответственно

В табл. 4 для сравнения приведены параметры поля эллипсоида Бровара, эллипсоидов основных моделей ГРС-80 и ПЗ-90 модели ЕОМ-96. Как видно, уровенные эллипсоиды ГРС-80 и ПЗ-90 дают коэффициент С4 0 в полтора раза больше, чем модель ЕОМ96 и эллипсоид Бровара.

Несмотря на существенное различие полуосей эллипсоида Бровара и общего земного эллипсоида, сила тяжести оптимального нормального поля близка к силе тяжести на поверхности общего земного эллипсоида, рассматриваемого как уровенный. Разность значений нормальной силы тяжести рассмотренных моделей не превышает 4 мгл, то есть оптимальная модель дает близкие к земным значения силы тяжести.

Основные результаты, полученные в четвертой главе:

1. выяснено, что наиболее близким к земному гравитационному полю является поле уровенного эллипсоида вращения, проходящего на высоте около 600 км над Землей;

2. получено выражение для силы тяжести поля эллипсоида Бровара;

3. показано, что возможности минимизации аномального поля при использовании нормального поля уровенного эллипсоида вращения ограничены. Меньшие значения интеграла /0 соответствуют дипольному представлению нормального поля.

4. получены параметры неуровенного общего земного эллипсоида, обеспечивающего наименьшее значение интеграла /0.

В пятой главе выполнена приближенная оценка второго члена ДI в выражении (7)

ДГ +

Д д<р дер cos <р dL 8LJ

с использованием разложения высот h физической поверхности Земли по сферическим функциям

h = S S cos mL + ^ sin mL)KM ■

п= 0 т=0

Коэффициенты аш и bim найдены разложением по сферическим функциям до 360-й степени и порядка цифровой модели рельефа GLOBE.

Поправка Д/ представлена в виде AI = А11+А12,

¿4=2 (с„тапт + s„Ат \пг + п-тг\

Л П=1 (71=0

где Гтах — максимальное значение аномального потенциала, Д/2 — член, содержащий произведения полиномов Лежандра разных степеней и тригонометрических функций, обращающихся в нуль при нечетных значениях п + т. Для Гтах принято значение удта = 103 м2 с'2, у — нормальная сила тяжести, = Ю0 м — максимальная аномалия высоты, тогда

360 и . .

А/г = 3,93 ■ 1011 м4 с4 * ^K^ + sJ^+n-^) = 8,31 • Ю,0м5 сЛ

п=1 т= 0

Значение Д7, составляет около 0,25% /0, поэтому можно ожидать, что учет влияния рельефа не приведет к качественному изменению полученных в диссертации глобальных оценок. Для более надежной оценки представляет интерес вычисление интеграла I по наземным измерениям с выполнением интегрирования по реальной поверхности Земли.

Основные результаты пятой главы:

1. получены ошибка представительства и дисперсия высоты рельефа Земли;

2. выполнено разложение высот земного рельефа по сферическим функциям в четырех вариантах;

3. найдены значения средней высоты земного рельефа, равное 232 м, и средней квадратической высоты — 636 м;

4. выполнена приближенная оценка влияния рельефа на величину интеграла I.

Заключение

В диссертации представлен первый опыт применения предложения Бровара о выборе общего земного эллипсоида под условием минимума аномального гравитационного поля. Задача Бровара поставлена и решена в более широком смысле, как поиск не только параметров общего земного эллипсоида, но и определения нормального поля, заданного любой моделью. Для практического решения в качестве исходных данных о гравитационном поле Земли использованы коэффициенты модели EGM96, о поверхности Земли — цифровая модель GLOBE.

Основные результаты, полученные в диссертации, состоят в следующем:

1. определен уровенный эллипсоид вращения, поле силы тяжести которого наиболее близко к земному. Этот эллипсоид расположен на высоте 600 км над Землей;

2. получены параметры неуровенного общего земного эллипсоида, обеспечивающего наименьшее значение интеграла I: большая полуось 6 378 137,24 м, сжатие 1:298,216. Сжатие этого эллипсоида заметно больше сжатия эллипсоидов используемых ныне моделей;

3. предложен новый способ определения уровенного эллипсоида;

4. показано, что возможности минимизации аномального поля при использовании нормального поля уровенного эллипсоида вращения ограничены. Меньшие значения ннтеграла 1 соответствуют дашольному представлению нормального поля;

5. доказана теорема, обобщающая теорему Маклорена-Лапласа;

6. получено соотношение, связывающее силу тяжести на оси вращения и в экваториальной плоскости, обобщающее формулу Молоденского;

7. установлено точное соотношение между параметрами уровенного эллипсоида, соответствующее приближенному неравенству Клеро;

8. выполнено разложение высот земного рельефа по сферическим функциям в четырех вариантах.

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях*.

1. Огородова JI. В., Романовский С. И. Применение интеграла Дирихле для выбора нормального поля. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1998, б, с. 33-46.

2. Романовский С. И. Сила тяжести оптимальной модели Земли. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2001, 1, с. 26 - 30.

3. Романовский С. И. Некоторые характеристики цифровой модели GLOBE-98 рельефа Земли и ее спектральных представлений //Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2002,1, с. 40 - 51.

4. Огородова Л. В., Романовский С. И. Соотношения между параметрами уроненного эллипсоида. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2003, 4, с. 15-28.

5. Огородова Л. В., Романовский С. И. Уровенный эллипсоид, основанный на стоксовых постоянных. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2008, 4, с. 3 - б.

6. Романовский С. И. Разложение высот цифровой модели рельефа Земли GLOBE в ряд по сферическим функциям // http://www.galaxy44. fatal. ru/files/globe98 .rar.

Подписано п печать 15.10.2008. Гаршнура Тайме Формат 60*90/16. Бумага офсетная. Печать офсешая.

Объем 1,5 усл. нем. л.

Тираж 80 жч. Закат №208 Цена договорная Издательство МИИГЛпК 105064, Москва. Гороховский цер., 4 Отечагапо ь типографии МПНГАиК

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Романовский, Сергей Иванович

Введение.

1 Способы задания нормального поля.

1.1 Нормальная Земля как фигура равновесия вращающейся жидкости.

1.2 Использование ряда Лапласа.

1.3 Нормальное поле как поле уровенного эллипсоида. ' '/ ! I '

1.4 Представление нормального поля точечными массами.

1.5 Критерии выбора нормального поля.

2 Потенциал притяжения эллипсоида вращения.

2.1 Потенциал притяжения эллипсоида вращения.

2.2 Системы координат сжатого эллипсоида вращения и потенциал однородного эллипсоида в этой системе.

2.3 Потенциал притяжения уровенного эллипсоида вращения.

2.4 Определение стоксовых постоянных эллипсоида вращения.

3 Потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида.

3.1 Потенциал силы тяжести уровенного эллипсоида.

3.2 Сила тяжести уровенного эллипсоида.

3.3 Соотношения между параметрами уровенного эллипсоида.

3.4 Поле силы тяжести уровенного эллипсоида на больших расстояниях от Земли

4 Применение интеграла Дирихле для выбора нормального поля в сферическом приближении.

4.1 Выражение интеграла Дирихле для аномального потенциала в сферическом приближении. постоянных.

4.6 Об определении общего земного эллипсоида

4.7 Сила тяжести оптимальной модели Земли.

5 Оценка влияния рельефа на величину интеграла 1.

5.1 Выражение интеграла Дирихле для реальной поверхности Земли.

5.2 Описание модели GLOBE.

5.3 Ошибка представительства высот физической поверхности Земли.

5.4 Представление рельефа физической поверхности Земли рядом сферических функций.

5.5 Оценивание поправки Ы\.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Определение нормального поля с использованием условия Бровара"

Понятия нормальной Земли и нормального поля относятся к одним из основных понятий геодезии. Задающие их параметры являются фундаментальными постоянными астрономии и геодезии. Непрерывное совершенствование измерений— изменение их состава и вида, увеличение объема и повышение точности — приводит к постоянному уточнению численных значений фундаментальных постоянных, определяющих механические свойства Земли и параметры ее вращения. Это позволяет вносить уточнения в используемые модели гравитационного поля.

В настоящее время в связи с внедрением спутниковых технологий изменяются многие понятия геодезии и повышаются требования к выбору нормальной Земли и потенциала на ее поверхности. Так, ныне геоид определяют как уровенную поверхность потенциала силы тяжести, потенциал на поверхности которой равен нормальному потенциалу на уровенном эллипсоиде. Изменилось также понятие нормальной высоты. Теперь нормальную высоту не связывают с результатами геометрического нивелирования и называют нормальной высотой высоту над нормальным эллипсоидом той точки, в которой нормальный потенциал равен действительному. Поэтому действительный потенциал вычисляют сейчас как нормальный потенциал по известным значениям геодезических координат и нормальной высоты. В связи с этим повышаются требования к выбору нормального потенциала и точности его определения.

В геодезии в качестве модели нормального поля используют обычно поле уровенного эллипсоида вращения. Известно, что внешнее поле силы тяжести такого эллипсоида определяют четыре фундаментальные постоянные, три из которых — геоцентрическая гравитационная постоянная ОМ, разность С(С-Л) полярного С и среднего экваториального А моментов инерции и угловая скорость со вращения — существуют у реальной Земли и в настоящее время известны с высокой точностью. Однако постоянные, определяющие линейные размеры эллипсоида, не относятся к стоксовым постоянным и не могут быть получены непосредственно по измерениям.

В связи с этим существует известный произвол в определении размеров уровенного

Наряду с уровенным эллипсоидом или нормальной Землей в геодезии существует понятие общего земного эллипсоида, под которым понимают «.эллипсоид вращения, который наилучшим образом представлял бы многие астрономо-геодезические измерения, распределенные по земной поверхности.» [16]. Поскольку ни физическая поверхность Земли, ни уровенные поверхности потенциала силы тяжести не являются эллипсоидальными, понятие общего земного эллипсоида также достаточно произвольно, и его параметры, выведенные из согласования с разного вида измерениями, могут быть различными. Это вызвано тем, что общий земной эллипсоид объективно не существует. Тем не менее, в геодезии до сих пор не прекращаются попытки определения общего земного эллипсоида как реального объекта природы. По словам Юркиной, проблема эта является скорее философской, чем геодезической [54].

В 1995 г. Бровар предложил вместо поисков параметра, определяющего размер эллипсоида, использовать общее требование, «при котором поле возмущающей силы во внешнем относительно поверхности Земли пространстве достигает наименьшего значения.» [6]. Требование Бровара записывают в виде условия, накладываемого на аномальный потенциал Т как гармоническую функцию, где сг — поверхность Земли, п — вешняя нормаль к а. Это условие Бровара до настоящего времени для определения параметров уровенного эллипсоида использовано не было.

Условие Бровара можно применить не только для поиска размеров уровенного эллипсоида, но и для нахождения параметров нормального поля при любых формах его представления. эллипсоида.

Задача определения оптимального в смысле условия Бровара нормального поля, заданного любой моделью, к настоящему времени не только не решена, но даже еще не поставлена.

Целью предстоящего исследования является построение оптимальных в смысле условия Бровара моделей поля уровенного эллипсоида вращения и поля двух неподвижных центров и определение параметров общего земного эллипсоида, гарантирующего минимум интеграла Дирихле во внешнем пространстве.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Романовский, Сергей Иванович

Основные результаты, полученные в диссертации состоят в следующем:

1. определен уровенный эллипсоид вращения, поле силы тяжести которого наиболее близко к земному. Этот эллипсоид расположен на высоте 600 км над Землей;

2. получены параметры неуровенного общего земного эллипсоида, обеспечивающего наименьшее значение интеграла I: большая полуось 6 378 137,24 м, сжатие 1:298,216. Сжатие этого эллипсоида заметно больше сжатия эллипсоидов используемых ныне моделей;

3. предложен новый способ определения уровенного эллипсоида;

4. показано, что возможности минимизации аномального поля при использовании нормального поля уровенного эллипсоида вращения ограничены. Меньшие значения интеграла I соответствуют дипольному представлению нормального поля;

5. доказана теорема, обобщающая теорему Маклорена-Лапласа;

6. получено соотношение, связывающее силу тяжести на оси вращения и в экваториальной плоскости, обобщающее формулу Молоденского;

7. установлено точное соотношение между параметрами уровенного эллипсоида, соответствующее приближенному неравенству Клеро;

8. выполнено разложение высот земного рельефа по сферическим функциям в четырех вариантах.

Заключение

В диссертации представлен первый опыт применения предложения Бровара о выборе общего земного эллипсоида под условием минимума аномального гравитационного поля. Задача Бровара поставлена и решена в более широком смысле, как поиск не только параметров общего земного эллипсоида, но и определения нормального поля, заданного любой моделью. Для практического решения в качестве исходных данных о гравитационном поле Земли использованы коэффициенты модели EGM96, о поверхности Земли — цифровая модель GLOBE.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Романовский, Сергей Иванович, Москва

1. Аксенов Е. П. Теория движения искусственных спутников Земли. М., Наука, 1977, 360 с.

2. Аксенов Е. П., Гребеников Е. А., Демин В. Г. Обобщенная задача двух неподвижных центров и ее применение в теории движения искусственных спутников Земли. // Астрономический журнал, 1963, т. 40, 2. с. 363 372.

3. Антонов В. А., Тимошкова Е. И., Холшевников К. В. Введение в теорию ньютоновского потенциала. М., Наука, 1988, 270 с.

4. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. JI. М., ОНТИ, 1936, 376 с.

5. Бальмино Дж. Представление потенциала Земли с помощью совокупности точечных масс, находящихся внутри Земли. Сб. «Использование искусственных спутников для геодезии». М., Мир, 1975, с. 178 183.

6. Бровар В. В. Оптимизация модели нормальной Земли. // Геодезия и картография, 1995, 9. с. 10-13.

7. Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли. М., Геодезиздат, 1961,256 с.

8. Бровар В. В., Юзефович А. П. Параметры лунных масконов.

9. Сб. «Современные проблемы позиционной астрометрии». М., изд-во МГУ, 1975, с. 303-312.

10. Бурша М. Фундаментальные геодезические постоянные. // Геодезия и картография, 1996, 5, с. 15-22.

11. Бурша М., Ватрт В., Войтишкова М. и др. Оценка точности геопотенциальных моделей EGM Х01 Х05, EGM96M. // Геодезия и картография, 1998, 8, с. 10 - 13.

12. Бурша М., Ватрт В., Коуба Я., Шима 3., Юркина М. И. Определение общего земного эллипсоида при условии В. В. Бровара. // Геодезия и картография, 2002, 11, с. 6-9.

13. Бурша М., Демьянов Г. В., Юркина М. И. Об определении модели Земли — общего земного эллипсоида. // Геодезия и картография, 1997, 4, с. 9 13.

14. Бурша М., Юркина М. И. Вывод параметров общего земного эллипсоида с использованием данных спутниковой альтиметрии. // Геодезия и картография, 2000, 7, с. 14-17.

15. Валеев С. Г., Дьяков В. И. Оптимизация математических моделей эквивалентного рельефа Земли. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1998, 3, с. 3 22.

16. Галазин Г. Ф., Каплан Б. Л., Лебедев М. Г., Максимов В. Г, Петров Н. В., Сидорова-Бирюкова Т. Л. Система геодезических параметров Земли «Параметры Земли 1990 г.» (ПЗ-90). (Справочный документ). Под ред.

17. В. В. Хвостова. М., Координационный научно-информационный центр, 1998, 37 с.

18. Гельмерт Ф. Р. Математические и физические теории высшей геодезии, т. 1. М., Геодезиздат, 1962, 409 с.

19. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., Наука, 1968, 800 с.

20. Еремеев В. Ф., Юркина М. И. Теория высот в гравитационном поле Земли. М., Недра, 1972, 145 с.

21. Жарков В. Н., Трубицын В. П., Самсоненко П. В. Физика Земли и планет. Фигуры и внутреннее строение. М., Наука, 1971, 384 с.

22. Изотов А. А. Форма и размеры Земли по современным данным. Труды ЦНИИГАиК, 1960, 73, 204 с.

23. Идельсон Н. И. Теория потенциала. М. Л., Объединенное научно-техническое издательство, 1936,424 с.

24. Клеро А. Теория фигуры Земли, основанная на началах гидростатики. М., Издательство АН СССР, 1947, 358 с.

25. Красовский Ф. Н. Избранные сочинения, т. 4. М., Геодезиздат, 1955, 575 с.

26. Мещеряков Г. А. О нормальной Земле. // Геодезия, картография и аэрофотосъемка, 1986, 43, с. 64-71.

27. Мещеряков Г. А. Задачи теории потенциала и обобщенная Земля. М., Наука, 1991,216 с.

28. Мещеряков Г. А., Агеев Н. Ф. Предварительный вариант нетрадиционной нормальной Земли. //Геодезия, картография и аэрофотосъемка, 1986,44, с. 58-63.

29. Мещеряков Г. А., Агеев Н. Ф., Фыс М. М. Нетрадиционная нормальная Земля. // Труды 2-ой Орловской конференции «Изучение Земли как планеты методами геофизики, геодезии и астрономии». Киев, Наукова думка, 1988, с. 31 -33.

30. Молоденский М. С. Избранные труды. М., Наука, 2001, 571 с.

31. Молоденский М. С., Еремеев В. Ф , Юркина М. И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли. Труды ЦНИИГАиК, вып. 131, М., Геодезиздат, 1960, 251 с.

32. Мориц Г. Современная физическая геодезия. М., Недра, 1983, 392 с.

33. Огородова Л. В. Высшая геодезия. М., Геодезкартиздат, 2006, 384 с.

34. Огородова Л. В., Романовский С. И. Применение интеграла Дирихле для выбора нормального поля. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1998, 6, с. 33 -46.

35. Огородова Л. В., Романовский С. И. Соотношения между параметрами уровенного эллипсоида. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2003, 4, с. 15-28.

36. Огородова Л. В., Романовский С. И. Уровенный эллипсоид, основанный на стоксовых постоянных. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2008, 4, с. 3-6.

37. Огородова JI. В., Юзефович А. П., Бобков Г. Н. Представление аномального гравитационного поля Луны полем точечных масс. Сб. «Современные проблемы позиционной астрометрии». М., изд-во МГУ, 1975, с. 312 317.

38. Остач О. М. О выборе нормального эллипсоида. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1960, 9, с. 47 49.

39. Пеллинен Л. П. Методика разложения гравитационного потенциала Земли по сферическим функциям. Труды ЦНИИГАиК, 171,1966, с. 36 62.

40. Пеллинен Л. П. Высшая геодезия. М., Недра, 1978, 264 с.

41. Пеллинен Л. П., Нейман Ю. М. Физическая геодезия. Итоги науки и техники. Серия геодезия и аэросъемка, т. 18, М., ВИНИТИ, 1980,132 с.

42. Питьев Н. П., Титов В. Б., Холшевников К. В. Фигуры равновесия небесных тел. СПб., Санкт-Петербургский государственный университет, 2002, 108 с.

43. Пицетти П. Основы механической теории фигуры планет. М. Л., Государственное технико-теоретическое издательство, 1933, 170 с.

44. Пуанкаре А. Измерения силы тяжести и геодезия. Сб. «Статьи о силе тяжести и фигуре Земли». М., Геодезиздат, 1961, с. 101 135,

45. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000, 208 с.

46. Романовский С. И. Сила тяжести оптимальной модели Земли. // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2001,1, с. 26 30.

47. Романовский С. И. Некоторые характеристики цифровой модели GLOBE-98 рельефа Земли и ее спектральных представлений // Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2002, 1, с. 40 51.

48. Романовский С. И. Разложение высот цифровой модели рельефа Земли GLOBE в ряд по сферическим функциям //http ://www. galaxy44 .fatal .ru/files/globe9 8 .rai'.

49. Слудский Ф. А. Общая теория фигуры Земли. Сб. «Избранные геодезические труды». М., Недра, 1967, 239 с.

50. Сретенский JI. Н. Теория ньютоновского потенциала. М. Л., ОГИЗ Гостехиздат, 1944, 320 с.

51. Стоке Дж. О силе тяжести на земной поверхности. Сб. «Статьи о силе тяжести и фигуре Земли». М., Геодезиздат, 1961, с. 9 44.

52. Чуйкова Н. А., Максимова Т. Г. Гармонический и статистический анализ глубин поверхности Мохоровичича. Труды ГАИШ, LXV, 1996, с. 33-47.

53. Щербаков А. М. Гармонический анализ рельефа Земли по сферическим функциям до 30-го порядка и степени. // Физика Земли, 1983,11, с 15 27.

54. Юркина М. И. К определению общего земного эллипсоида. Физическая геодезия. Научно-технический сборник ЦНИИГАиК. М., 1999, с. 71 80.

55. Balmino G, Lambeck К, Kaula W. A spherical harmonic analysis of the Earth Topography. // J. Geophys. Res., 1973, 78, 2, p. 478 481.

56. Bursa M. Primary and derived parameters of common relevance of astronomy, geodesy and geodynamics. // Earth, Moon and Planets, 1995, vol. 69, p. 51 63.

57. Bursa M., Groten E., Kenyon S., Kouba J., Radej K., Vatrt V., Vojtiskova M. Earth's Dimension Specified by Geoidal Geopotential. // Stud, geophys. geod., 2002,46, p. 1 8.

58. Bursa M., Kostelecky J. Space Geodesy and Space Geodynamics, Prague, 1999, 459 p.

59. Bursa M., Kouba J., Sima Z., Vatrt V., Yurkina M. I. Dimension of the Earth's Mean Ellipsoid Specified by Brovar's Modified Condition. // Acta Geodaetica et Geophysica Hungarica, 2002, Vol. 39,1, p. 15 25.

60. Hastings D. A., Dunbar P. K. Development and Assessment of the Global Land One-km Base Elevation Digital Elevation Model (GLOBE). // ISPRS Archives, 1998, Vol. 32,4 (September), p. 218 221.

61. Heiskanen W. A., Moritz H. Physical Geodesy. Freeman and Company, San-Francisco, 1967, 364 p.

62. Lee W. H. K, Kaula W. M. A spherical harmonic analysis of the Earth Topography. // J. Geophys. Res., 1967, 72, 2, p753 758.

63. Petroskevicius P. Zemes normaliojo sunkio lauko analize // Geodezija ir kartografija / Vilniaus Gedimino technikos universitetas. 2000, vol. XXVI, 3, p. 99 -104.

64. Prey A. Darstellung der Höhen- und Tiefenverhältnisse der Erde durch eine Entwiclung nach Kugelfunctionen bis zur 16 Ordnung. // Abhandlungen der Gesellschaft der Wissenscaften. Göttingen, Math.-physik. Kl., vol. 11, 1, 1922, p. 1-29.

65. Sjogren W. L., Muller P. M., Gottlieb P., Wong L., Buechler G., Downs W., Prislin R. Lunar surface mass distribution from dynamical point-mass solution. // Earth, Moon, and Planets, 1971, vol. 2, 3, p. 338 353.