Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Разработка технологии и создание модели квазигеоида с использованием спутниковых данных

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Разработка технологии и создание модели квазигеоида с использованием спутниковых данных"

На правах рукописи

003454Гии

Майоров Андрей Николаевич

Разработка технологии и создание модели квазигеоида с использованием спутниковых данных

Специальность 25.00.32 - Геодезия

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2008

003454700

Работа выполнена в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) на кафедре высшей геодезии

Научный руководитель: доктор технических наук

Демьянов Глеб Викторович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Нейман Юрий Михайлович

доктор технических наук Татевян Сурия Керимовна

Ведущая организация: Институт физики Земли РАН

Защита диссертации состоится 18 декабря 2008 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д.212.143.03 в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) по адресу 105064, Москва, К-64, Гороховский пер., 4, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

Автореферат разослан 17 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета гТЪ,. Ю.М. Климков

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Революционные изменения в геодезической практике, произошедшие за последние два десятилетия, привели к кардинальному изменению основных видов геодезических работ. Центральное место в геодезическом производстве заняли спутниковые методы координатных определений, основанные на использовании сигналов спутниковых навигационных систем GPS и ГЛОНАСС. Отличительные характеристики этих методов - высокая точность, оперативность, всепогодность, возможность максимальной автоматизации измерений и снижения затрат труда квалифицированных специалистов, автоматизация процессов обработки. Для эффективной реализации потенциальных возможностей современных методов измерений в масштабах страны необходима соответствующая система геодезического обеспечения. Однако в настоящее время состояние системы геодезического обеспечения в нашей стране можно охарактеризовать как переходное. Несмотря на серьезные шаги по ее модернизации, она во многом сохраняет структуру, сформировавшуюся многие десятилетия назад. Выполнение организационных мероприятий по модернизации системы геодезического обеспечения должно сопровождаться серьезной научной проработкой многих направлений современной геодезии. В частности, геодезические высоты, вычисляемые в результате обработки спутниковых измерений, и нормальные высоты, определяемые геометрическим нивелированием, существуют независимо друг от друга. Спутниковые измерения не позволяют определять разность значений потенциалов точек земной поверхности, а нивелирные измерения не связаны с принятой системой геодезических координат. Но необходимость установления связи между системой нормальных высот и пространственной системой координат прояв-

ляется на всех уровнях топографо-геодезического производства. Так, например, в последнее время большое внимание уделяется проблеме создания условий для формирования единого пространства данных, необходимых для картографирования, ведения кадастров, создания геоинформационных систем. Топографо-геодезические данные, полученные на местах, необходимо уметь передавать заинтересованным организациям и интегрировать с данными из других источников. Здесь возникает проблема унификации систем координат и высот. В одних ситуациях по известным нормальным высотам должны быть получены геодезические высоты, в других - по известным геодезическим высотам должны быть получены нормальные высоты. Еще одним проявлением необходимости установления точной связи между геодезической системой координат и нормальной системой высот является неоднократно выраженная в документах и планах Роскартографии потребность внедрения метода спутникового нивелирования в геодезическую практику. Геометрическое нивелирование проигрывает определениям геодезических высот с использованием спутниковой аппаратуры по затратам и по производительности. Особенно это заметно в труднодоступных и малообжитых районах, которые занимают большую часть территории нашей страны. Поэтому задача замены геометрического нивелирования методом определения нормальных высот по геодезическим высотам, полученных из спутниковых измерений, является одной из наиболее актуальных задач, стоящих перед геодезическим производством.

Связь между геодезическими высотами в пространственной системе координат и нормальными высотами осуществляют высоты квазигеоида. В структуре системы геодезического обеспечения, которая формируется в настоящее время, модели высот квазигеоида отнесены к отдельному блоку, отвечающему за распространение возможностей спутниковых методов координатных

определений на большинство видов работ топографо-геодезического производства.

На государственном уровне основное внимание уделяется развитию и поддержке единой государственной системы геодезических координат и государственной системы нормальных высот. Поэтому, когда речь идет о моделях высот квазигеоида как об элементе государственной системы геодезического обеспечения, следует понимать, что эти модели высот квазигеоида должны осуществлять связь именно государственной геодезической системы координат с государственной системой нормальных высот. Требования, предъявляемые к точности моделей высот квазигеоида, ограничиваются только реально существующими возможностями.

Цель и задачи работы

Целью данной работы является создание модели высот квазигеоида, осуществляющей связь общегосударственной системы пространственных координат и государственной системы нормальных высот. При этом необходимо, чтобы модель сопровождалась оценкой точности, которая могла быть использована при решении геодезических задач. Также важно, чтобы модель позволяла определять нормальные высоты по результатам спутниковых измерений с точностью геометрического нивелирования III - IV классов. Для достижения поставленной цели в работе решены следующие задачи:

■ уточнена методика вычислений гравиметрических высот квазигеоида;

■ выполнена оценка точности гравиметрических высот квазигеоида исходя из точностных характеристик исходной гравиметрической информации;

■ выполнена оценка влияния точностных характеристик моделей высот рельефа на точность гравиметрических высот квазигеоида;

■ даны конкретные рекомендации для достижения современных требований к точности при построении модели высот квазигеоида.

Научная новизна и результаты, выносимые на защиту

Основу данной диссертации составили работы по созданию модели высот квазигеоида, выполненные автором в ЦНИИГАиК по заказу Роскартографии. Модели высот квазигеоида, осуществляющие связь между геодезическими высотами в системе координат, реализованной на пунктах фундаментальной астро но м о-ге о д ез ич е с к о й сети (ФАГС) и высокоточной геодезической сети (ВГС), и нормальными высотами в Балтийской системе, до этих работ не создавались. Новыми и выносимыми на защиту являются следующие результаты:

■ методика вычислений гравиметрических высот квазигеоида, уточненная в части выбора преобразования формулы Стокса;

■ характеристики ошибок гравиметрических высот квазигеоида, обусловленных ошибками гравиметрической съемки, допущенными при создании гравиметрической карты масштаба 1:200 ООО;

■ характеристики точности цифровой модели рельефа БШМ, созданной в результате осуществления международного проекта с целью глобального изучения поверхности Земли;

■ характеристики ошибок гравиметрических высот квазигеоида, обусловленных ошибками цифровой модели рельефа БШМ, ошибками осредненных аномалий Буге, ошибками осредненных высот рельефа;

■ модель высот квазигеоида, созданная на основе выполненных исследований и полученная с использованием спутниковых данных по результатам построения государственных геодезических сетей ФАГС и ВГС.

Практическая значимость результатов

Созданная модель высот квазигеоида может быть использована при решении широкого круга топографо-геодезических задач. Возможно применение модели для выполнения спутникового нивелирования с целью замены геометрического нивелирования III - IV классов. Модель может быть использована при производстве топографо-геодезических работ и работ по созданию кадастра недвижимости, в том числе при выполнении работ в реальном времени, для обеспечения преобразований координат из одной системы в другую. Модель может быть использована в качестве необходимого элемента блока преобразований координат в системе, обеспечивающей поддержку создаваемого в настоящее время в нашей стране единого геоинформационного пространства. Самостоятельное значение имеют вынесенные на защиту результаты оценки точности гравиметрической информации. В частности, они позволяют выполнять предварительную оценку точности создаваемых моделей высот квазигеоида в зависимости от характеристик гравиметрических данных имеющихся в наличии. И в случае необходимости проектировать работы по подготовке более точных гравиметрических данных и более точных цифровых моделей рельефа.

Также интерес могут вызывать результаты оценки точности цифровой модели рельефа SRTM, так как при решении широкого круга топографо-геодезических и картографических задач существует потребность в использовании моделей рельефа.

Апробация результатов

Результаты исследований представлялись в докладах:

• на заседании Международной рабочей группы «Системы высот, геоид и сила тяжести в азиатско-тихоокеанском регионе» IAG (Interna-

tional Association of Geodesy), проходившем в июне 2006 г. в гор. Улан-Батор, Монголия; • на XXIV Генеральной Ассамблее Международного союза геодезии и геофизики (IUGG), проходившей в июле 2007 г. в гор. Перуджия, Италия.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Диссертация изложена на 107 страницах машинописного текста и включает 37 рисунков, 7 таблиц. Список литературы включает 46 наименований.

Содержание работы

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, формулировку цели работы, а также выносимые на защиту основные результаты исследований, выполненных автором.

Первая глава посвящена анализу основных этапов определения непрерывного поля геометрических высот квазигеоида, связывающих геодезические высоты в системе координат, реализованной пунктами ФАГС/ВГС, и нормальные высоты в Балтийской системе. В настоящее время на территории нашей страны создана сеть пунктов, на которых эти высоты получены. Такие пункты являются опорными для создаваемой модели высот квазигеоида. Высоты квазигеоида Ç на опорных пунктах могут быть вычислены как разность геодезических высот Я и нормальных высот h полученных из измерений

C = H-h.

Так как геодезические координаты получают в результате реализации геометрического метода космической геодезии, а нормальные высоты получают с использованием геометрического нивелирования, то такие высоты квази-

8

геоида для краткости можно назвать геометрическими. Введение такого названия необходимо, чтобы отличать их от гравиметрических высот квазигеоида, вычисляемых по гравиметрическим данным в соответствии с теорией Молоденского

Для формирования непрерывного поля геометрических высот квазигеоида необходимо использование гравиметрических данных. С одной стороны, гравиметрическая информация, так же как в методе астрономо-гравиметрического нивелирования, позволяет учесть нерегулярную часть изменений поверхности квазигеоида так, что для оставшейся части А могут быть использованы простые методы интерполяции. С другой стороны, гравиметрическая информация нужна для фильтрации грубых ошибок в полученных на опорных пунктах значениях геометрических высот квазигеоида, а также для независимой оценки точности. Функция А восстанавливается по значениям, вычисленным как разность геометрических и гравиметрических высот квазигеоида на опорных пунктах. В результате искомое непрерывное поле геометрических высот квазигеоида получается как сумма непрерывного поля гравиметрических высот квазигеоида £гр и непрерывного поля, описываемого согласующей функцией А

В соответствии с теорией Молоденского формулы для вычисления гравиметрических высот квазигеоида принято представлять в виде ряда, члены которого можно подразделить на главный член и поправочные. Главный член ряда совпадает с формулой Стокса и позволяет вычислять высоты квазигеоида £ в сферическом приближении без учета влияния рельефа

4 тгу '

где Я - средний радиус Земли; у - среднее по Земле значение нормальной силы тяжести; с1и - элемент единичной сферы сг, - аномалии силы тяжести; 5(ц/) - функция Стокса; - сферическое расстояние между исследуемой точкой и текущей точкой единичной сферы. В диссертационной работе сделан вывод, что для построения непрерывного поля геометрических высот квазигеоида поправочные члены ряда Молоденского при вычислении гравиметрических высот квазигеоида могут не вычисляться.

На практике область интегрирования по формуле Стокса разбивается на две зоны — ближнюю к исследуемой точке и дальнюю. В результате формула Стокса преобразуется и возникает необходимость введения дополнительной функции Р(ц/) в ядро интеграла

£ = Л-1- ^»Жг + Е Й.&,'

4^7 ;о 2Г

где <2П - коэффициенты разложения функции — Р(\(/) по полиномам

Лежандра; g„ - сферические гармоники разложения функции аномалий силы тяжести в свободном воздухе.

В диссертации были исследованы преобразования формулы Стокса, предложенные М.С. Молоденским и О.М. Остачом. Показано, что с точки зрения достижения наименьших ошибок при радиусах ближней зоны до 2.5° предпочтение следует отдавать преобразованию Остача, при радиусах, превышающих 3° - преобразованию Молоденского.

Вторая глава посвящена оценке точности определений высот квазигеоида, основанной на результатах оценки точности исходной информации. Главное внимание уделено оценке точности гравиметрических высот квазигеоида. В соответствии с разделением всей области интегрирования по формуле Стокса на ближнюю и дальнюю зоны полная ошибка гравиметрических высот квазигеоида складывается из ошибок, вызванных влиянием ошибок

используемых данных в этих зонах. Так как гравиметрические высоты квазигеоида нужны главным образом для интерполяции между опорными пунктами геометрических высот квазигеоида, то основное влияние на точность результата оказывают ошибки гравиметрических данных ближней зоны. Аномалии силы тяжести в свободном воздухе необходимые для вычислений гравиметрических высот квазигеоида, получают как сумму аномалий Буге Д£В и поправок Буге Sg

Л? = + .

В свою очередь, аномалии Буге, как правило, получают по гравиметрическим картам масштаба 1:200 ООО, а поправки Буге вычисляют по данным моделей нормальных высот рельефа ¿^ = кИ , где постоянный коэффициент к зависит от принятой плотности топографических масс.

Ошибки непрерывного поля аномалий Буге формируются под влиянием ряда независимых источников ошибок. В диссертации рассмотрены следующие источники ошибок:

■ ошибки измерений силы тяжести в гравиметрических сетях I класса;

■ ошибки измерений силы тяжести в гравиметрических сетях II класса;

■ ошибки измерений силы тяжести в гравиметрических съемочных сетях;

■ ошибки аномалий силы тяжести, вызванные ошибками определения высот;

■ ошибки интерполяции аномалий Буге между гравиметрическими пунктами.

При составлении списка источников ошибок гравиметрических данных учитывалось, что на величину ошибки гравиметрических высот квазигеоида оказывает влияние не только дисперсия ошибок исходных данных, но и корреляционная зависимость между этими ошибками в различных точках. Например,

если ошибки гравиметрических данных в каждой точке являются независи-

11

мыми, то при любой дисперсии этих ошибок гравиметрические высоты квазигеоида будут безошибочными. Для каждого источника ошибок на основе информации, приведенной в нормативных документах, и существующей практики гравиметрических измерений была смоделирована ковариационная функция. В таблице 1 показаны принятые в диссертации значения существенных параметров ковариационных функций ошибок гравиметрических данных (среднеквадратическое значение ошибки и радиус корреляции г), а также соответствующие им оценки среднеквадратических ошибок гравиметрических высот квазигеоида при радиусах ближней зоны 3° и 5°.

Таблица 1

Источники ошибок Параметры ковариационной функции ошибок Ср.кв. ошибки высот квазигеоида (М)

Гравиметрические измерения в сети I класса 0.05 мГал, г = 4° 0.002,0.003

Гравиметрические измерения в сети II класса 0.15 мГал, г = 40' 0.006,0.006

Гравиметрические измерения в съемочных сетях 0.4 мГал, г = 8' 0.010,0.010

Геодезические определения (ошибки определения нормальных высот) 2.5 м (0.5 мГал)/3.0 м (0.6 мГал), г = 8' 0.005,0.005

Интерполяция аномалий Буге 0.6 мГал/1.12 мГал, г = 2' 0.002,0.002

Суммарное влияние ошибок данных гравиметрической карты 1:200 ООО 0.013, 0.013

В настоящее время наиболее подробную цифровую информацию о рельефе для обширной территории нашей страны можно получить по модели SRTM (Shuttle Radar Topography Mission), находящейся в свободном доступе в Интернете по адресу ftp://e0srp01u.ecs nasa.gov/. В этой модели значения нормальных высот заданы в узлах регулярной сетки с дискретностью 3"х3". Для

ее использования при вычислении гравиметрических высот квазигеоида были ' ' - 12

выполнены исследования точности. Высоты, полученные по модели 811ТМ, сравнивались с высотами, полученными с топографических карт масштаба 1:25 ООО и 1:50 ООО, для пяти площадных участков, а также с высотами пунктов плановой государственной геодезической сети (ГГС). Анализ результатов сравнения показал, что точность модели высот БЯТМ в первую очередь зависит от наклонов земной поверхности. В таблице 2 представлены значения среднеквадратических ошибок модели БЯТМ для исследованных участков, полученные по эмпирическим данным, и предсказанные по превышениям высот рельефа. Участки названы в соответствии с номенклатурой листов карты масштаба 1:25 ООО, на которых эти участки расположены.

Таблица 2

Участок Среднеквадратическое значение ошибки (м) Предсказанное среднеквадратическое значение ошибки (м)

К-38-33-А-г 6.71 7.0

N-37-53-E-6 5.12 2.0

0-41-114-А-а 3.80 5.1

К-38-56-А-а 35.54 33.2

К-38-56-А-в 29.65 33.0

Как следует из таблицы 2, величины предсказанных ошибок близки к значениям ошибок, непосредственно вычисленным по результатам сравнения с данными топографических карт.

Сравнение высот SRTM с высотами более чем 80 тысяч пунктов ГГС подтвердило высокую точность модели. На рис. 1 показано распределение величин ошибок высот SRTM, выраженное в процентах от общего количества пунктов. Как следует из данного распределения, значения ошибок от -5 м до 5 м (среднее значение 0 м) наблюдались почти на 62% пунктов, значения ошибок от 5 м до 15 м (среднее значение 10 м}- на 25% пунктов и т.д.

Распределение ошибок высот 8СТМ

Ошибки (м) рис. 1

Среднее значение из всех ошибок равно 3.9 м. Величина среднеквадратиче-ского отклонения от среднего равна 9.1 м.

По результатам сравнения высот БШМ с высотами пунктов ГГС также была оценена корреляционная функция ошибок модели. Это позволило получить ковариационную функцию ошибок гравиметрических высот квазигеоида, обусловленных ошибками высот БЯТМ. Зависимость среднеквадратической ошибки гравиметрических высот квазигеоида от среднеквадратической ошибки высот БЯТМ показана в таблице 3.

Технология использования моделей рельефа должна предусматривать обработку очень больших объемов данных, занимающих многие гигабайты памяти. Сравнительно недавно возможности вычислительной техники не позволяли этого делать. Поэтому использовали другой подход. В узлах регулярной сетки систематизировали не значения аномалий Буге, а осредненные значения

14

аномалий силы тяжести в свободном воздухе. Важно, что осредненные значения аномалий получали не осреднением аномалий в свободном воздухе, наблюдаемых на гравиметрических пунктах, а поэтапно. Сначала для одних и тех же точек отдельно вычисляли осредненные значения аномалий Буге и осредненные значения высот рельефа к. Затем по формуле Дg = + кИ вычисляли осредненные аномалии в свободном воздухе Аg. При такой технологии имеется возможность учета всех форм рельефа,

которые не отражаются в информации, полученной только на гравиметрических пунктах. Данный подход подготовки гравиметрических данных, предложенный несколько десятилетий назад, до настоящего времени является основным для большинства методик вычисления гравиметрических высот квазигеоида. В частности, в ЦНИИГАиК используются аномалии Фая (аномалии в свободном воздухе исправленные поправками за рельеф), осредненные по трапециям с размерами 5' по широте и 7.5' по долготе. Применение осредненных значений вместо значений в точках существенно сокращает объем исходной информации. Однако такой прием приводит к внесению в исходные гравиметрические данные дополнительных ошибок, которые можно называть ошибками осреднения. В диссертации получены оценки корреляционных зависимостей ошибок осреднения для поля аномалий Буге и для поля осредненных высот рельефа. На их основе были вычислены среднеквад-ратические ошибки гравиметрических высот квазигеоида, обусловленные ошибками осреднения. Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3

Источник ошибок Интервал ошибок Влияние на высоты квазигеоида

1 2 3

Влияние ошибок высот БЯТМ 0-40 (м) 1см /Юм

Влияние осреднения поля аномалий Буге 5'х7.5' 3-7 (мГал) 4 мм /1 мГал

Влияние осреднения рельефа 5'х7.5' 5 - 500 (м) 1.1 см /10 м

В столбце 3 таблицы 3 значение в числителе означает ошибку высот квазигеоида, обусловленную ошибкой указанной в знаменателе. Данные таблиц 1 и 3 позволяют получить оценки ошибок гравиметрических высот квазигеоида для конкретных условий.

В третьей главе описывается процесс создания модели геометрических высот квазигеоида для территории европейской части страны, ограниченной параллелями 64° на севере и 43.5° на юге, долготами 30° на западе и 48° на востоке. В настоящее время необходимая для создания модели высот квазигеоида информация систематизирована только для пунктов ФАГС/ВГС. Пункты ФАГС/ВГС, расположенные на данной территории и в ее окрестности, показаны на рис. 2.

ВИЛЬНЮС I \

^нск

' £ Бологое

Нелццсво

N.

XX ,А_?

Уне« Дэвыдсе

г Ктеима

Ветл>га

Коренеео ^

г.

I

Рсеежи ^

#

Псеортэ ^лайповка СгрэтЛ Петров В

а

Самаре

Ф&мовнки >

Чкапщжий

^ Элиста

Ершэв

Буденовок

V'

^ л*

Апеясащрсе Гзй

'«"Л

Срж ^

ч.

Ч

рис. 2

Каждый пункт ФАГС/ВГС связан спутниковыми измерениями как минимум с двумя пунктами главной высотной основы. Это означает, что вся сеть опорных пунктов, использованная для создания модели высот квазигеоида, разбивается на пары пунктов, сравнительно близко расположенных друг относительно друга. Такая схема расположения опорных пунктов позволяет контро-

лировать наличие грубых ошибок в значениях геометрических высот квазигеоида, вычисленных по формуле С, = Н — h и оценивать их точность. Для каждой пары близко расположенных опорных пунктов были вычислены превышения геометрических высот квазигеоида, которые затем были сопоставлены с соответствующими превышениями гравиметрических высот квазигеоида. Гравиметрические высоты квазигеоида вычислялись с использованием аномалий Фая, осредненных по трапециям 5'х7.5'. Допустимое расхождение 8 между превышениями высот геометрического квазигеоида и гравиметрического квазигеоида вычислялось с учетом оценок точности

S <2.5^1+mlh+ml(+lO-6DKM, где тш = 1 мм + 5-10"7 Dkm - среднеквадратическая ошибка разности геодезических высот; т^ = 2.0 mm-JD^ - среднеквадратическая ошибка

разности нормальных высот; = т^ „у 2(1 — Cor^ ) - среднеквадратическая ошибка разности гравиметрических высот квазигеоида, выраженная в миллиметрах; тf - среднеквадратическая ошибка гравиметрических высот квазигеоида; Corf- корреляция ошибок гравиметрических высот квазигеоида; Da, - расстояние между точками, выраженное в километрах. Последнее слагаемое учитывает влияние согласующей функции А, градиент которой оценивается величиной 10"6. Зависимость среднеквадратической ошибки разности гравиметрических высот квазигеоида от расстояний между пунктами представлена на рис. 3.

Если разность превышений оказывалась больше величины <5, то оба пункта исключались из списка опорных пунктов.

рис. 3

Значения разностей геометрических и гравиметрических высот квазигеоида, вычисленные для опорных пунктов, использовались для восстановления согласующей функции Д. В качестве математического метода восстановления использовался дифференциальный сплайн, имеющий вид

к

Д = Х^'2+ Г1 + Т2Х + хъУ > /=1

где К — количество опорных пунктов; I — расстояние между текущей точкой и /-м опорным пунктом; а, и гт2, т3 - - коэффициенты, вычисляемые по известным значениям функции А в опорных точках. При вычислении коэффициентов сплайна учитывалась точность значений функции А в опорных точках. Среднеквадратическая ошибка определения значений функции А дифференциальным сплайном составила 10 см.

Модель геометрических высот квазигеоида, полученная как сумма гравиметрических высот квазигеоида и согласующей функции А, показана на рис. 4. Изолинии проведены через 5 м.

Для проверки возможностей применения построенной модели в геодезической практике были использованы материалы экспериментального хода спут-

19

никового нивелирования, выполненного по заказу Роскартографии Южным астрономо-геодезическим предприятием в 2005 году. В ходе этой работы были сделаны спутниковые измерения на пунктах линии нивелирования I класса длиной около 300 км. Из обработки спутниковых измерений для всех пунктов были получены пространственные координаты в системе координат, реализованной на пунктах ФАГС/ВГС.

"Т^Т™" 11111 —"I I ^—I ' 30.00 32.00 34.00 36.00 38.00 40.00 42.00 44.00 46.00 48.00

рис. 4

В ходе проверки модели линия спутникового нивелирования была разбита на участки протяженностью примерно 50 км. Пункты нивелирования, попавшие на границы участков, были выбраны в качестве исходных пунктов спутникового нивелирования, отметки нормальных высот которых полагались извест-

ными и безошибочными. Нормальные высоты остальных пунктов полагались подлежащими определению.

На первом этапе для всех пунктов были вычислены значения нормальных высот как разность геодезических высот, полученных по спутниковым измерениям, и высот квазигеоида, полученных по модели. На втором этапе для пунктов, выбранных в качестве исходных, были получены невязки между значениями нормальных высот, известных из нивелирования I класса, и вычисленными значениями нормальных высот. Окончательные отметки нормальных высот были получены после распределения невязок на все пункты хода спутникового нивелирования. Невязки распределялись линейно, пропорционально расстоянию от исходных пунктов.

В результате для всех пунктов были вычислены разности нормальных высот, полученных с помощью модели высот квазигеоида, и эталонных значений нормальных высот. Величины разностей показаны на рис. 5 ромбами.

рис. 5

Так как пункты на рис. 5 расположены на равномерной шкале, а расстояния между ними существенно отличаются друг от друга, для сравнения там же

непрерывными кривыми показаны значения ожидаемых среднеквадратиче-ских ошибок нивелирования III класса, вычисленные по формуле

тш = ±5ммл[ЁГ , где Б - расстояние от ближайшего исходного пункта.

Только для одного пункта полученная разность превысила среднеквадратиче-скую ошибку нивелирования III класса больше чем в 3 раза. Этот пункт расположен на расстоянии около 100 м от исходного пункта. Поэтому величина разности 0.057 м для него оказалась недопустимой. Для остальных пунктов разности не превышают допустимых требований, предъявляемых к нивелированию III класса. Среднее квадратическое значение для всех ошибок, полученных в результате сравнения, составило 0.037 м.

В заключении диссертации выполнено обобщение результатов исследований:

1. Уточнена методика вычислений гравиметрических высот квазигеоида в части выбора преобразования функции Стокса в зависимости от размеров ближней к исследуемой точке зоны, в которой задана детальная гравиметрическая информация. Показано, что для зон, сферическим радиусом до 2.5° предпочтительнее использовать вспомогательную функцию, предложенную О.М. Остачем. В случаях, когда сферический радиус ближней зоны превышает 3°, следует использовать вспомогательную функцию, предложенную М.С. Молоденским.

2. Выполнены исследования ошибок гравиметрических данных, формируемых по результатам гравиметрической съемки масштаба 1:200 000. Показано, что на точность гравиметрических высот квазигеоида оказывает влияние не только величина дисперсии ошибок гравиметрических данных, но и корреляционная зависимость ошибок. Получены численные оценки существенных параметров ковариационных функций ошибок, вызванных независимыми источника-

22

ми. Установлено, что суммарное влияние ошибок гравиметрических данных, полученных с гравиметрических карт масштаба 1:200 ООО на гравиметрические высоты квазигеоида, не превышает 1.5 см.

3. Выполнены исследования точности цифровой модели рельефа SRTM (Shuttle Radar Topography Mission). Показано, что точность высот рельефа, полученных по модели, коррелирует с максимальными величинами углов наклона земной поверхности, наблюдаемых в окрестности исследуемых точек. В целом, точность модели рельефа SRTM сопоставима с точностью отображения рельефа на карте масштаба 1:50 ООО. Получена аппроксимация корреляционной зависимости ошибок высот рельефа SRTM. Установлено, что при использовании высот SRTM для вычислений гравиметрических высот квазигеоида каждые Юм сред-неквадратической ошибки в высотах рельефа приводят к 1 см средне-квадратической ошибки в высотах квазигеоида.

4. Получены численные оценки влияния осреднения аномалий силы тяжести и высот рельефа по трапециям 5'х7.5' на точность гравиметрических высот квазигеоида. Показано, что в равнинной местности влияние ошибок осреднения невелико. В горной местности влияние осреднения рельефа на гравиметрические высоты квазигеоида может приводить к ошибкам до 0.5 м.

5. Создана модель высот квазигеоида, связывающая геодезические высоты в системе, реализованной на пунктах ФАГС/ВГС, пространственных координат и нормальные высоты в Балтийской системе 1977 года.

6. Выполнены исследования точности созданной модели высот квазигеоида. Полученные оценки показали, что среднеквадратическая ошибка определения абсолютных значений высот квазигеоида для исследованного района составляет 10 см. Точность определения превышений высот квазигеоида позволяет использовать модель для вы-

полнения спутникового нивелирования, сопоставимого по точности с геометрическим нивелированием III - IV классов.

Публикации по теме диссертации

1. Майоров А. Н. О выборе преобразования формулы Стокса. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. Москва, ЦНИИГАиК, 1996.

2. Майоров А.Н. Поправки за эллипсоидальность при вычислении гравиметрических высот квазигеоида комбинированным методом. Геодезия и картография, №2,1997.

3. Демьянов Г.В., Майоров А.Н. К вопросу об установлении единой общеземной системы нормальных высот. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. Москва, ЦНИИГАиК, 2004.

4. Юркина М.И., Бурша М., Пик М.В., Майоров А.Н. О развитии теории и практики определения земного гравитационного поля. Геодезия и картография, №1,2006.

5. Demianov G., Maiorov A., Medvedev P. Comparison and evaluation of the new Russian global geopotential model to degree 360. International Assjciation of Geodesy Symposia, vol. 121,2004.

6. Demianov G.V., Mayorov A.N. Role of global gravity model in modern satellite geodesy. Analytical Representation of Potential Field Anomalies for Europe (ARORA), Luxemburg, pp. 13-16,2001.

Подписано в печать 10 11.2008. Гарнитура Тайме Формат 60*90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Объем 1,5 усл.печ л Тираж 80 экз Заказ №318 Цена договорная Отпечатано типография «Фиорд» 113396, Москва, Свободный проспект, д. 39, корп. 1

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Майоров, Андрей Николаевич

1 Введение.

2 Основные этапы вычисления высот квазигеоида с использованием спутниковых данных.

2.1 Определение геометрических высот квазигеоида.

2.2 Вычисление гравиметрических высот квазигеоида.

2.2.1 Учет поправочных членов ряда Молоденского.

2.2.2 Учет поправок за эллипсоидальность фигуры Земли.

2.2.3 Вычисление гравиметрических высот квазигеоида в стоксовом приближении.

2.2.3.1 Вспомогательные функции Молоденского и Остача.

2.2.3.2 Условие выбора оптимальной вспомогательной функции без привлечения информации о гравитационном поле Земли.

2.2.3.3 Определение вспомогательной функции, удовлетворяющей условию оптимальности.

2.2.3.4 Оптимальные вспомогательные функции при N оо.

2.2.3.5 Непосредственное сравнение вспомогательных функций.

2.3 Определение функции разностей геометрических и гравиметрических высот квазигеоида.

3 Оценка точности.

3.1 Точность геодезических высот, полученных по спутниковым измерениям.

3.2 Точность нормальных высот.

3.3 Точность гравиметрических высот квазигеоида.

3.3.1 Ковариационная функция ошибок вклада гравиметрических данных дальней зоны в высоту квазигеоида.

3.3.2 Ковариационная функция ошибок вклада гравиметрических данных ближней зоны в высоту квазигеоида.

3.3.2.1 Иерархическая схема распространения измерений силы тяжести.

3.3.2.2 Подготовка гравиметрических данных для вычислений высот квазигеоида.

3.3.2.3 Оценка ковариационной функции ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических данных.

3.3.2.4 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений I класса.

3.3.2.5 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений II класса.

3.3.2.6 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками гравиметрических измерений в съемочных сетях.

3.3.2.7 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками геодезических определений.

3.3.2.8 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками интерполяции аномалий силы тяжести.

3.3.3 Влияние ошибок, вызванных подготовкой гравиметрических данных для выполнения вычислений высот квазигеоида.

3.3.3.1 Оценка точности высот рельефа, полученных по модели SRTM.

3.3.3.2 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками осреднения поля аномалий Буге.

3.3.3.3 Ковариационная функция ошибок высот квазигеоида, вызванных ошибками осреднения поля высот рельефа.

3.3.4 Обобщение результатов оценки точности гравиметрических высот квазигеоида.

Результаты создания модели высот квазигеоида с использованием спутниковых данных.

4.1 Фильтрация грубых ошибок высот квазигеоида на опорных пунктах.

4.2 Экспериментальная проверка модели высот квазигеоида.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Разработка технологии и создание модели квазигеоида с использованием спутниковых данных"

В структуре современной системы геодезического обеспечения России модели высот квазигеоида занимают особое место. В настоящее время они по-прежнему, хотя и в меньшей степени, чем раньше, востребованы при редуцировании результатов наземных геодезических измерений на поверхность относимости. Но что более важно, сегодня моделям высот квазигеоида отводится ключевая роль в преодолении традиционного разделения геодезических измерений на плановые и высотные и внедрения в геодезическую практику элементов, так называемой, трехмерной геодезии. Когда по одним и тем же геодезическим измерениям получают плановые координаты, геодезические высоты и нормальные высоты. Наиболее оперативным, производительным и точным средством развития геодезических сетей в настоящее время является геодезическая аппаратура, принимающая сигналы Глобальных Навигационных Спутниковых Систем (ГНСС). Пока существуют две такие системы: российская ГЛОНАСС и американская GPS. Результатами обработки измерений спутниковых сигналов являются координаты геодезических пунктов в некоторой пространственной системе координат. В частности, по спутниковым измерениям определяются геодезические высоты пунктов. Широко распространенным традиционным методом определения наиболее точных нормальных высот является метод геометрического нивелирования. Оба вида информации - и геодезические координаты, и нормальные высоты, по-своему необходимы при решении научных и практических задач. Однако геометрическое нивелирование проигрывает определениям геодезических высот с использованием спутниковой аппаратуры по затратам и по производительности. Особенно это заметно в труднодоступных и малообжитых районах, которые занимают значительную часть территории нашей страны. Поэтому задача замены геометрического нивелирования методом определения нормальных высот по геодезическим высотам, полученных из спутниковых измерений, является одной из наиболее актуальных задач, стоящих перед геодезическим производством. Названный метод принято называть спутниковым нивелированием. Для осуществления метода спутникового нивелирования необходима модель высот квазигеоида. Обеспечение связи геодезических высот и нормальных высот также имеет большое значение при выполнении координатных преобразований. В последнее время большое внимание уделяется проблеме создания условий для формирования единого пространства данных, необходимых для картографирования, ведения различных кадастров, создания геоинформационных систем. Ситуация в городах, населенных пунктах, промышленных зонах и т.п. быстро изменяется. Местные организации оперативно собирают информацию об этих изменениях, в том числе и геодезическими методами. Большое количество лиц и организаций, в частности многие государственные органы, заинтересованы в получении и использовании этой информации. Однако почти все организации на местах выполняют геодезические работы в местных системах координат. Поэтому возможность выполнения достаточно точных преобразований из местных систем координат в единую (государственную) систему координат равносильно возможности использования без потерь информации, собранной на местах. Существенной частью обеспечения координатных преобразований также должны стать модели высот квазигеоида.

В нашей стране работы, связанные с вычислением высот квазигеоида выполнялись в основном представителями Минобороны и Роскартографии (ранее ГУГК СССР). Существенный вклад в развитие теории и практики решения этих задач внесли М.С. Молоденский, М.И. Юркина, В.Ф. Еремеев, Л.П. Пеллинен, О.М. Остач, Г.В. Демьянов, В.В. Бровар, Б.В. Бровар, Б.Е. Иванов, E.JL Македонский, А.А. Маслов, Ю.М. Нейман, В.Б. Непоклонов, С.В. Переверткин, П.Э. Яковенко. Для решения проблем редукции наземных геодезических измерений на поверхность относимости создавались модели высот квазигеоида методом астрономо-геодезического нивелирования. Метод астрономо-гравиметрического нивелирования, разработанный в 1935 г. М.С. Молоденским, изложен в работах [30, 33, 31, 32]. В нашей стране последний вариант модели высот квазигеоида над эллипсоидом Красовского, созданной методом астрономо-гравиметрического нивелирования, относится к периоду окончания общего уравнивания астрономо-геодезической сети в 90-х годах прошлого века. Практически для всей территории страны средние квадратические ошибки высот квазигеоида этой модели относительно исходного пункта в Пулково не превысили 1 м. Только для наиболее удаленных участков (северная часть полуострова Ямал, восточная оконечность Чукотки, Камчатка) ошибки возросли до 1.5 м из-за передачи высот в эти районы астрономическим нивелированием. Было установлено, что приращения модельных высот квазигеоида между точками, находящимися в пределах одного листа карты масштаба 1:1 ООО ООО, определяются со средней квадратической ошибкой не более 0.2 м. В последние десятилетия неоднократно создавались модели высот квазигеоида по гравиметрическим данным, а также модели, сочетающие определения высот квазигеоида по спутниковым и нивелирным данным с гравиметрическими определениями высот квазигеоида. Это было связано с решением конкретных задач для сравнительно небольшой территории. Например, модель высот квазигеоида для обеспечения геодезических работ вдоль железной дороги Москва - С.Петербург [22] или модель высот квазигеоида для обеспечения геодезических работ в гор. Москве. О разработках в области создания моделей высот квазигеоида по гравиметрическим данным с использованием спутниковых измерений указывается в публикациях специалистов 29 НИИ МО РФ [37]. Тем не менее, модели высот квазигеоида с точностью, сопоставимой точности основных геодезических работ, распространяемые на всю территорию нашей страны, до сих пор не созданы.

Одним из важных требований к таким моделям высот квазигеоида является то, что они должны связывать высоты в государственной геодезической системе координат с единой системой нормальных высот. По определению [32], высота квазигеоида £ равна разности геодезической высоты Н и нормальной высоты h

C = H-h. (1)

Под поверхностью квазигеоида принято понимать геометрическое место точек, которое может быть получено, если отложить от точек земной поверхности нормальные высоты по направлению нормали к отсчетному эллипсоиду вниз при положительных нормальных высотах и вверх при отрицательных нормальных высотах [44]. Положение поверхности квазигеоида относительно фигуры Земли- практически не зависит от используемой геодезической системы координат, а определяется системой нормальных высот. Действительно, для существующих систем геодезических координат различия в положении начал систем координат, и изменение размеров эллипсоида приводит к изменению направления нормали к отсчетному эллипсоиду на величину не превышающую 10". Что изменяет положение поверхности квазигеоида не более чем на 0.1 мм. В свою очередь, системы нормальных высот теоретически отличаются друг от друга некоторыми сдвигами, вызванными различиями по высоте начальных пунктов этих систем. Поэтому можно говорить о квазигеоиде как о единой поверхности, положение которой при необходимости может быть легко скорректировано изменением нормальных высот на постоянную величину. На практике ситуация более сложная. Нормальные высоты всегда определены в некоторой практической реализации системы нормальных высот. Практическая реализация системы высот определяется отметками всей совокупности геодезических пунктов — носителей системы нормальных высот. Эти отметки фиксируются в каталогах, и могут быть изменены только в результате выполнения ряда специальных мероприятий. Практическая реализация системы нормальных высот фиксирует неизбежные погрешности, вызванные ошибками измерений и методическими ошибками обработки, а также игнорирует изменения отметок пунктов, накапливающиеся со временем. Практика такова, что пункты, на которых удается выявить грубые ошибки, как правило, стараются не использовать в качестве исходных пунктов для дальнейшего распространения нормальных высот. Но они сохраняются на местности, а информация о них сохраняется в каталогах. Поэтому каждой системе высот, точнее, каждой практической реализации системы высот соответствует своя поверхность квазигеоида. Аналогичная ситуация наблюдается и для практических реализаций геодезических систем координат. Однако в настоящее время для них благодаря распространению спутниковой геодезической аппаратуры, в отличие от систем нормальных высот, существует реальная возможность оперативного мониторинга положения пунктов в системе координат. Ошибки, обнаруженные при использовании системы координат, могут быть исправлены значительно быстрее, чем ошибки, выявленные на пунктах высотной основы. В этом, в частности, заключается одна из причин необходимости скорейшего внедрения спутниковых технологий в процесс развития и эксплуатации систем нормальных высот. И одним из важных элементов такого внедрения должны стать модели высот квазигеоида. Таким образом, с практической точки зрения не безразлично геодезические высоты какой системы координат, и нормальные высоты какой системы высот должна связывать модель высот квазигеоида.

В нашей стране в течение последнего десятилетия в соответствии с [38] активно развивается фундаментальная астрономо-геодезическая сеть (ФАГС) и высокоточная геодезическая сеть (ВГС), на пунктах которых реализована пространственная система координат, близкая к реализации геоцентрической системы координат ITRF-2000. Эти сети с разной степенью плотности распространены на всю территорию страны. В ряде районов началось сгущение этих сетей пунктами спутниковой геодезической сети 1 класса (СГС-1). Ставится задача по привязке вновь создаваемых местных систем координат к системе координат, реализованной на пунктах ФАГС/ВГС. В результате созданы предпосылки для повсеместного распространения пространственной системы координат в качестве основы геодезического производства. Эта система координат, как наиболее точная и широко распространенная система, потенциально может и должна стать ядром координатных преобразований при формировании единого информационного пространства, объединяющего топографо-геодезические данные.

Также на всей территории нашей страны распространена Балтийская система нормальных высот 1977 года. Другие системы нормальных высот используются на ограниченных территориях, и обычно существуют одновременно с Балтийской системой. Результаты нивелирования, выполненного в Балтийской системе, востребованы в подавляющем числе случаев.

Отсюда, модель высот квазигеоида, связывающая геодезические высоты в системе координат, реализованной на пунктах ФАГС/ВГС, и нормальные высоты в Балтийской системе высот 1977 года, в наибольшей степени удовлетворяет требованиям, предъявляемым геодезическим производством к моделям квазигеоида.

Целью данной работы является создание модели высот квазигеоида, которая могла бы быть распространена на всю территорию нашей страны, и по точности могла обеспечить замену геометрического нивелирования III - IV классов методом спутникового нивелирования. Следует отметить, что предполагаемое использование модели высот квазигеоида для выполнения производственных геодезических работ невозможно без соответствующей оценки точности, необходимой для выявления грубых ошибок измерений и уравнивания результатов.

Для достижения поставленной цели необходимо:

- уточнить методику вычисления высот квазигеоида;

- оценить точность исходных данных, используемых для создания модели;

- на основе точностных характеристик исходных данных оценить точность полученных высот квазигеоида.

Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассмотрены основные этапы построения модели высот квазигеоида. Сделан вывод о необходимости использования гравиметрических высот квазигеоида для выполнения интерполяции между пунктами, для которых высоты квазигеоида получены с использованием спутниковых данных. Уточнена методика вычисления гравиметрических высот квазигеоида.

Во второй главе рассмотрены вопросы оценки точности высот квазигеоида. Приводятся характеристики точности определения высот квазигеоида по гравиметрическим данным.

В третьей главе представлены результаты построения модели высот квазигеоида с использованием спутниковых данных, а также результаты эксперимента проверки точности модели.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Майоров, Андрей Николаевич

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

• Уточнена методика вычислений гравиметрических высот квазигеоида в части выбора преобразования функции Стокса в зависимости от размеров ближней к исследуемой точке зоны, в которой задана детальная гравиметрическая информация. Показано, что для зон, сферическим радиусом до 3° предпочтительнее использовать вспомогательную функцию, предложенную О.М. Остачем. В случаях, когда сферический радиус ближней зоны превышает 3°, следует использовать вспомогательную функцию, предложенную М.С. Молоденским.

• Выполнены исследования ошибок гравиметрических данных, формируемых по результатам гравиметрической съемки масштаба 1:200 ООО. Показано, что на точность гравиметрических высот квазигеоида оказывает влияние не только величина дисперсии ошибок гравиметрических данных, но и корреляционная зависимость ошибок. Получены численные оценки существенных параметров ковариационных функций ошибок, вызванных независимыми источниками. Установлено, что суммарное влияние ошибок гравиметрических данных, полученных с гравиметрических карт масштаба 1:200 ООО на гравиметрические высоты квазигеоида, не превышает 1.5 см.

• Выполнены исследования точности цифровой модели рельефа SRTM (Shuttle Radar Topography Mission). Показано, что точность высот рельефа, полученных по модели, коррелирует с максимальными величинами углов наклона земной поверхности, наблюдаемых в окрестности исследуемых точек. В целом, точность модели рельефа SRTM сопоставима с точностью отображения рельефа на карте масштаба 1:50 ООО. Получена аппроксимация корреляционной зависимости ошибок высот рельефа SRTM. Установлено, что при использовании высот SRTM для вычислений гравиметрических высот квазигеоида каждые 10 м среднеквадратической ошибки в высотах рельефа приводят к 1 см среднеквадратической ошибки в высотах квазигеоида.

• Получены численные оценки влияния осреднения аномалий силы тяжести и высот рельефа по трапециям 5'х7.5' на точность гравиметрических высот квазигеоида. Показано, что в равнинной местности влияние ошибок осреднения невелико. В горной местности влияние осреднения рельефа на гравиметрические высоты квазигеоида может приводить к ошибкам до 0.5 м.

• Создана модель высот квазигеоида, связывающая геодезические высоты в системе, реализованной на пунктах ФАГС/ВГС, пространственных координат и нормальные высоты в Балтийской системе 1977 года. Модель создана с целью обеспечения решений широкого спектра геодезических задач, в том числе и высокоточных.

• Выполнены исследования точности созданной модели высот квазигеоида. Полученные оценки показали, что среднеквадратическая ошибка определения абсолютных значений высот квазигеоида составляет 10 см. Точность определения превышений высот квазигеоида позволяет использовать модель для выполнения спутникового нивелирования, сопоставимого по точности с геометрическим нивелированием 3 — 4 классов.

5 Заключение

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Майоров, Андрей Николаевич, Москва

1. Cruz J.Y. Ellipsoidal correction to potential coefficients obtained from gravity anomaly data on the ellipsoid. The Ohio State University, Report №371, 1986.

2. Duquenne H. QGF98, a new solution for the quasigeoid in France.

3. Duquenne H., Jiang Z. The geoid in the southern alps of France. New geoids in the world, IAG Bulletin № 4, 1995.

4. Farr, T.G., M. Kobrick, 2000, Shuttle Radar Topography Mission produces a wealth of data, Amer. Geophys. Union Eos, v. 81, p. 583-585.

5. Farr, T.G., M. Kobrick, Shuttle Radar Topography Mission produces a wealth of data, Amer. Geophys. Union Eos, v. 81, 2000, p. 583-585.

6. Kavzoglu Т., Saka M.H. Modelling local GPS/levelling geoid undulation using artificial neural networks. Journal of Geodesy, 78, 2005.

7. Leick A. GPS satellite surveying. John Wiley & Song, Inc. 1995

8. Milbert D.G. Improvement of a high resolution geoid height model in the United States by GPS height on NAVD88 benchmarks. New geoids in the world, IAG Bulletin № 4, 1995.

9. Omang O.C.D., Forsberg R. The northern European geoid: a case study on long-wavelength geoid errors. Journal of Geodesy, v 76, 2002, p. 369380.

10. Sideris M.G. FFT geoid computations in Canada. New geoids in the world, IAG Bulletin № 4, 1995.

11. Soltanpour A., Nahavandchi H., Featherstone W.E. The use of second -generation wavelets to combine a gravimetric quasigeoid model with GPS-levelling data. Journal of Geodesy, 80, 2006.

12. Ziebart M., Iliffe J., Cross P., Forsberg R., Strykowski G., Tscherning C. Great Britain's GPS height corrector surface. ION GNSS 17th International Technical Meeting of the Satellite Division, 2004.

13. Бровар В.В. К решению краевой задачи Молоденского с относительной погрешностью 5-10"5. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. Кн. 2. М. ЦНИИГАиК, 1996.

14. Бровар В.В. О возможном повышении точности гравиметрических выводов в геодезии. Астрономический вестник, том 48, вып. 6, 1971.

15. Бровар В.В. О решениях краевой задачи Молоденского. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №4, 1963.

16. Бровар В.В., Бровар Б.В. Высокоточный метод определения внешнего возмущающего потенциала реальной земли. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. -М.: ЦНИИГАиК 1999.

17. Бровар В.В., Копейкина З.С., Павлова М.В. Решение краевых задач Дирихле и Стокса для земного эллипсоида. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. Кн. 1. М. ЦНИИГАиК, 1996.

18. Бровар В.В., Чеснокова Т.С. Аппроксимационные формулы для вычисления возмущающего потенциала и его производных в приближении Стокса. Труды ГАИШ, том 61. М.: МГУ, 1989.

19. Бывшев В. А. Точностные расчеты при интерполировании геофизических полей дифференциальными сплайнами минимальной кривизны. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, № 2-3, 1997.

20. Демьянов Г.В., Майоров А.Н. К вопросу об установлении единой общеземной системы нормальных высот. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. Москва, ЦНИИГАиК, 2004.

21. Журкин И.Г., Нейман Ю.М. Методы вычислений в геодезии. М., Недра, 1988.

22. Инструкция по гравиметрической разведке. Недра, 1975.

23. Инструкция по нивелированию I, II, III и IV классов. ЦНИИГАиК, 2004.

24. Инструкция по развитию государственной гравиметрической сети II класса. Министерство геологии СССР. Москва, 1984.

25. Инструкция по развитию государственной гравиметрической сети СССР (фундаментальной и первого класса). ГКИНП-04-122-88. М. ГУГК СССР Москва, 1988.

26. Майоров А. Н. О выборе преобразования формулы Стокса. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съемкам и картографии. Физическая геодезия. Москва, ЦНИИГАиК, 1996.

27. Майоров А.Н. Поправки за эллипсоидальность при вычислении гравиметрических высот квазигеоида комбинированным методом. Геодезия и картография, №2, 1997.

28. Марыч М.И. О решении задачи Молоденского с помощью ряда Тейлора. Геодезия, картография и аэрофотосъемка. Львовский университет, №17, 1973.

29. Молоденский М.С. Определение фигуры геоида при совместном использовании астрономо-геодезических уклонений отвеса и карты аномалий силы тяжести. Труды ЦНИИГАиК, вып. 17, 1937.

30. Молоденский М.С. Основные вопросы, связанные с выполнением астрономо-гравиметрического нивелирования на большой территории. Сб. статей ГУГК, вып. IV. М. 1944.

31. Молоденский М.С., Еремеев В.Ф., Юркина М.И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли. Труды ЦНИИГАиК, вып. 131,1960.

32. Молоденский М.С., Лозинская A.M. Астрономо-гравиметрическое нивелирование по 51-й и 56-й параллелям от 30-го до 56-го меридиана. Сб. ЦНИИГАиК, вып. 3. М. Редбюро ГУГК при СНК СССР, 1939.

33. Мориц Г. Современная физическая геодезия. М., Недра, 1983.

34. Нейман Ю.М. К методике расчета точности вывода аномалий высот и уклонений отвеса по результатам гравиметрической съемки. Геодезия и картография, №2, 1974.

35. Нейман Ю.М. Об условиях изотропности при вероятностном изучении гравитационного поля. Известия вузов, Геодезия и аэрофотосъемка. №1, 1974.

36. Непоклонов В.Б., Чугунов И.П., Яковенко П.Э., Орлов В.В. Новые возможности развития сети нормальных высот на территории России. Геодезия и картография №7, 1996.

37. Основные положения о государственной геодезической сети Российской Федерации. ГКИНП (ГНТА)-01-006-03. М., 2004.

38. Остач О.М. Астрономо-гравиметрическое нивелирование: ретроспективный взгляд. Геодезия и картография, №3, 1994.

39. Остач О.М. К методике астрономо-гравиметрического нивелирования. Реферативный сборник ЦНИИГАиК, 1970.

40. Остач О.М. Решение задачи Стокса для эллипсоидальной граничной поверхности методом функций Грина. Труды ЦНИИГАиК, вып. 233, 1982.

41. Пеллинен Л.П. Влияние топографических масс на вывод характеристик гравитационного поля Земли. Труды ЦНИИГАиК, вып. 145,1962.

42. Пеллинен Л.П. Вопросы решения задачи Молоденского для поверхности морей и океанов. Труды ЦНИИГАиК, вып. 233, 1982.

43. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия. М., Недра, 1978.

44. Пеллинен Л.П. О тождественности различных решений задачи Молоденского. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №3, 1974.

45. Руководство пользователя по выполнению работ в системе координат 1995 года (СК-95). ГКИНП (ГНТА) 06-278-04, Москва, ЦНИИГАиК, 2004.