Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Разработка и исследование методики вычисления гравиметрической высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвеса на основе вейвлет-преобразования

ВАК РФ 25.00.32, Геодезия

Автореферат диссертации по теме "Разработка и исследование методики вычисления гравиметрической высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвеса на основе вейвлет-преобразования"

На правах рукописи

005003659

Лапшин Алексей Юрьевич

Разработка и исследование методики вычисления гравиметрической высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвеса на основе вейвлет-преобразования

Специальность 25.00.32 - Геодезия 2 4 НОЯ 2011

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва-2011

005003659

Работа выполнена на кафедре геодезии Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК).

Научный руководитель

Официальные оппоненты:

Ведущая организация

Доктор технических наук, профессор Мазурова Елена Михайловна (МИИГАиК) Доктор технических наук Демьянов Глеб Викторович (ЦНИИГАиК) Доктор технических наук, профессор Ярмоленко Александр Степанович (НовГУ им. Ярослава Мудрого) Институт Астрономии РАН (ИНАСАН)

Защита диссертации состоится 15 декабря 2011 г. в ) % часов на заседании диссертационного совета Д. 212.143.03 при Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) по адресу: 105064, Москва, Гороховский пер., д.4, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета геодезии и картографии.

Автореферат разослан « II » ноября 2011 г. Ученый секретарь

диссертационного совета ^¿уЩ^^-^'ЮМ. Климков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Развитие спутниковых методов определения координат, основанных на измерениях, выполняемых глобальными навигационными спутниковыми системами (ГЛОНАСС, GPS и др.), принципиальным образом меняет технологию и точность геодезических измерений.

Актуальным для нужд топографо-геодезического производства является установление связи между системой геодезических высот, полученных из спутникового нивелирования, с системой нормальных высот, полученных из наземного геометрического нивелирования. Связь геодезических и нормальных высот осуществляется через аномалию высоты, которую можно вычислить по результатам гравиметрических измерений, выполненных на поверхности Земли или отнесенными к ее поверхности. Точное определение аномалии высоты позволяет использовать спутниковое нивелирование взамен трудоемкого наземного нивелирования.

Актуальна и проблема определения гравиметрических уклонений отвеса, характеризующих отступление действительного гравитационного поля Земли от нормального. Составляющие уклонения отвеса используются при решении редукционных задач высшей геодезии, при установлении связи между астрономическими и геодезическими системами координат и т.д.

Важным требованием сегодняшнего дня являются теоретическое и практическое решение задачи определения трансформант гравитационного поля в реальном масштабе времени.

Классический подход к определению трансформант гравитационного поля, основанный на интегральных формулах, не учитывает, что исходная информация дискретна, отягощена ошибками измерений и известна не на всей поверхности Земли.

Современный подход, основанный на использовании дискретных линейных преобразований, использует тот факт, что известные интегралы Стокса, Неймана, Венинг-Мейнеса, модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса, а также последующие члены классических рядов Молоденского являются интегралами свертки. Методы современной вычислительной математики, такие как оконное преобразования Фурье(ОПФ) или дискретное преобразование Хартли(ДПХ), предназначены для вычисления сверток. Несмотря на существенное преимущество этого подхода перед классическими методами, отметим, что методы ОПФ и ДПХ не лишены ряда недостатков.

В настоящее время широкое распространение для решения задач спектрального анализа получил метод вейвлет-преобразования, который, на наш взгляд, более оптимален, лишен ряда недостатков, присущих ОПФ и ДПХ, и может быть использован для вычисления интегралов свертки. Не смотря на то, что математический аппарат вейвлет-анализа достаточно хорошо разработан и теория, в общем, оформилась, вейвлеты оставляют обширное поле для исследований.

Целью работы являются разработка и исследование методики определения трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования, которое позволяет обрабатывать большие массивы дискретной информации, присущие задачам физической геодезии, в реальном масштабе времени и является наиболее эффективным, на сегодняшний день, алгоритмом быстрых линейных преобразований.

Исходя из цели работы задачами исследования являются:

1. Аналитический обзор и классификация, применяемых в настоящее время, методов и алгоритмов решения задач физической геодезии.

2. Анализ существующих алгоритмов вейвлет-преобразования, сжатия и исследование их свойств.

3. Разработка методики решения задач физической геодезии на основе

вейвлет-преобразования, позволяющего своими уникальными

4

свойствами работать с дискретной исходной информацией на конечномерном интервале.

4. Разработка алгоритмов и программ вычисления трансформант гравитационного поля Земли в ближней зоне на основе разработанной методики.

5. Апробация разработанных алгоритмов и компьютерных программ на реальных материалах гравиметрических съемок.

6. Сравнение полученных результатов с результатами вычислений, выполненных другими методами.

7. Проведение исследований по оптимизации вычислений.

Методы исследования. Методы вейвлет разложений базируются на наиболее современных результатах функционального анализа, теории функций и вычислительной математики. В работе также использованы методы дискретной математики, теории множеств, методы высшей геодезии и теории фигуры Земли, методы решения задач физической геодезии на основе линейных преобразований, методы программирования в среде Ма^аЬ.

Научная новизна заключается в том, что представленная диссертация является одной из первых работ, в которой поставлен и решен вопрос разработки методики вычисления трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования с точностью не только нулевого, но и первого приближения теории Молоденского.

Практическая значимость работы представлена следующими практическими достижениями:

Разработанная методика вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого и первого приближений теории Молоденского на основе вейвлет преобразования может быть использована при решении широкого круга топографо-геодезических задач, таких как

выполнение спутникового нивелирования с целью замены геометрического нивелирования III - IV классов;

при решении широкого круга редукционных задач высшей геодезии; при переходе от астрономических координат к геодезическим.

Созданный программный пакет был успешно внедрен в камеральное производство компании ЗАО «Гравиразведка» и испытан на реальных данных одного из районов Сибири. Внедрение методики значительно ускорило процесс вычисления трансформант гравитационного поля и повысило эффективность камеральной обработки.

Личный вклад автора. Разработана методика, технологические схемы и алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля на основе вейвлет-преобразования. Создан пакет программ, реализующий эти разработки. Проведена экспертиза результатов разработок, в которой использовались данные реальных гравиметрических съемок аномалии силы тяжести, выполненных в акватории Охотского моря и в районе Центральных Альп. Проанализированы результаты сравнения полученных вычислений с результатами вычислений, выполненных другими методами, что подтвердило точность и эффективность разработанной методики.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-практических конференциях:

64-й (2009 г.) юбилейной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвященной 230-ой годовщине со дня его основания;

65-й (2010 г.) научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвящённой 65-летию победы в Великой Отечественной войне.

66-й (2011 г.) научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвященной 50-й годовщине первого полета человека в космос.

Республиканской научно-практической конференции посвященной 20-летию независимости Республики Узбекистан и 90-летию кафедры геодезии, картографии и кадастра НУУз, Ташкент, 13-14 мая 2011 г.

Публикации. Результаты диссертационного исследования изложены в 3 научно-технических статьях, опубликованных в журнале "Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка", включенном в перечень ВАК. Тезисы доклада, представленного на Республиканской научно-практической конференции посвященной 20-летию независимости Республики Узбекистан и 90-летию кафедры геодезии, картографии и кадастра НУУз, опубликованы в сборнике материалов конференции.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из двух томов. Первый том состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (всего 104 наименования, в том числе 42 на иностранных языках), содержит 56 рисунков, 16 таблиц и изложен на 205 страницах. Второй том включает в себя 34 приложения и состоит из 122 страниц.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи, научная новизна и практическая значимость полученных результатов.

В главе 1 рассмотрены современные методы, которые используются для вычисления трансформант гравитационного поля. Проанализированы их достоинства и недостатки. Выполнен анализ состояния проблемы и методов решения задач физической геодезии.

Одним из мощных современных методов обработки разнородной гравиметрической информации является метод коллокации. Этот метод очень эффективен, если измерения выполнены не только на поверхности Земли, но и во внешнем пространстве. Также рекомендуется использовать этот метод в задачах, связанных с аналитическим продолжением и для случая, если исходная информация не плотная. Однако, если исходная

информация однородна, то классические интегральные формулы более практичны.

Австрийский ученый Х.Мориц, рассматривая вопрос о том, чтобы решение, полученное методом коллокации при неограниченном возрастании числа исходных данных, сходилось по той или иной метрике к точному решению, соответствующему интегральным формулам Молоденского М.С., указал на слабую сходимость.

Вариационный метод рассматривает исходные данные в виде конечного множества измеренных функционалов и эффективен при вычислении трансформант гравитационного поля в ближней и центральной зонах.

Сравнительный анализ метода средней квадратической коллокации и вариационного метода регуляризации показал преимущество средней квадратической коллокации, которая позволяет обосновать точность конечных результатов и обеспечить минимум соответствующих дисперсий.

Однако, существенным недостатком рассмотренных методов является сложность вычисления трансформант гравитационного поля с точностью более высокой, чем нулевое приближение теории Молоденского М.С.

Так же существенно, что современному геодезическому производству необходимо получение трансформант гравитационного поля в реальном масштабе времени. Выше рассмотренные методы не могут этого обеспечить.

В этом случае нет конкурентов для методов, основанных на дискретных линейных преобразованиях. Важно, что для них созданы специальные быстрые алгоритмы.

В настоящее время известно несколько видов дискретных линейных преобразований. В данной главе рассмотрены наиболее известные: г-преобразование или преобразование Лорана, преобразования Фурье и Хартли, которые активно используются при решении задач физической геодезии.

Основной недостаток классического преобразования Фурье (ПФ) -

слабая локализация во временной области. В случае если надо определить

8

временной интервал присутствия частоты используется оконное преобразование Фурье (ОПФ), которое позволяет определять факт присутствия в сигнале любой частоты и интервал ее присутствия. Это расширяет возможности метода по сравнению с классическим преобразованием Фурье. Однако, вследствие принципа неопределенности Гейзенберга, в данном случае нельзя утверждать, что в цифровом сигнале частота ш0 присутствует в момент г0. Можно только определить, что спектр частот, например, а>2) присутствует в интервале ¿2).

Достоинством преобразования Хартли относительно преобразования Фурье заключается в том, что преобразование Хартли действительно и симметрично. Но остальные эффекты, присущие преобразованию Фурье, присущи и Хартли.

В настоящее время в области решения задач спектрального анализа активно используется вейвлет-преобразование (ВП), которое также подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга, но обладает свойствами многомасштабности. ВП имеет хорошее разрешение во временной области и плохое в частотной на высоких частотах, но плохое разрешение во временной области и хорошее в частотной на низких частотах, что позволяет использовать эффективное окно во всем частотно-временном диапазоне.

Поэтому главной задачей диссертационной работы является разработка методики решения задач физической геодезии на основе вейвлет-преобразования.

В главе 2 описана иерархия развития вейвлет-преобразования от семейства функций, построенных путем наложения масштабированных копий базовой функции, до вейвлетов второго поколения.

Рассмотрены основные признаки и свойства вейвлет-преобразования,

наличие которых качественно отличает вейвлет-преобразование от других

видов дискретных линейных преобразований. Так, например, характерная

масштабно-временная локализация функций вейвлет-преобразования

9

является одним из явных преимуществ перед преобразованием Фурье (в том числе, оконным) и позволяет выделять мелкие детали сигналов.

Наличие нулевых моментов базисной функции позволяет гибко подходить к вопросу сжатия данных. Для более эффективного сжатия необходимо использовать базисные функции с большим количеством нулевых моментов.

В этой главе описана теория непрерывного и диадного вейвлет-преобразований, а также теория кратномасштабного анализа (КМА), применение которой позволяет перейти от бесконечномерной области вычисления к конечномерной и при этом сохранить возможность полного восстановления сигнала. Данное свойство имеет неоспоримый практический смысл, в виду того, что реальная информация в геодезии всегда конечномерна. Так же исходная информация носит дискретный характер, поэтому для ее обработки необходимы инструменты дискретного вейвлет-преобразования (ДВП). Важно, что для ДВП разработаны быстрые алгоритмы реализации, что позволяет существенно сократить время вычислений.

Повысить производительность даже по сравнению с быстрыми

алгоритмами, позволяют вейвлеты второго поколения (ВВП), которые

строятся на основе лифтинг-схемы, являющейся относительно новым

методом построения вейвлетов. При ее использовании не нужно сдвигать и

масштабировать базисную функцию, как было представлено выше при

описании теории КМА. Преимуществом является и то, что лифтинг-схема

позволяет выполнять так называемый «т-р1асе» расчет вейвлет-

преобразования, который не требует дополнительной памяти, а исходные

данные могут быть заменены в памяти его собственным вейвлет-

преобразованием. Важным достоинством является простота получения

обратного вейвлет-преобразования. Еще одним преимуществом перед

классическим построением вейвлетов является возможность применения

лифтинг-схемы к обработке данных, число которых не является степенью

10

двойки, то есть N Ф 21. Это может значительно облегчить обработку геодезических вычислений. Так как, в силу разных причин, не всегда удаётся получить исходную информацию для сетки размером N = 2К В таком случае, возникает дополнительная трудность в виде либо обрезки данных, либо использования нескольких окон размерностью степени двойки. А это ведёт как к замедлению процесса обработки, так и к потере точности вычислений.

Поэтому использование лифтинг-схемы весьма перспективно при реализации вейвлет-преобразования.

Здесь же рассмотрен вопрос о возможности использования вейвлет-преобразования для вычисления интегралов свертки. Это важно для проведенных исследований, так как интегралы для вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса являются интегралами свёртки.

В главе 3 рассмотрены теория М.С. Молоденского, которая строго определяет физическую поверхность Земли без привлечения знаний о распределении плотностей внутри Земли и теория Стокса. Показаны сходство и различие двух теорий. Подчеркнем, что Молоденским получено решение, позволяющее определять возмущающий потенциал с любой степенью точности. В теории Молоденского понятие геоида оказалось лишним. Вместо высоты геоида, Молоденский ввел понятие "аномалии высоты" С (высоты квазигеоида), которая определяется в виде

с = h-H. (1)

Здесь Н - нормальная высота, полученная из геометрического нивелирования, h - геодезическая (эллипсоидальная) высота, которая может быть получена из ГЛОНАСС или GPS измерений.

Также рассмотрены ряды Молоденского, основанные на аналитическом продолжении аномалии силы тяжести, посредством ряда Тейлора, к уровню

исследуемой точки (или к выбранной внутренней сфере), определению на этой поверхности трансформанты гравитационного поля и аналитическому продолжению вверх найденного элемента. Данный метод был разработан одновременно советским ученым М.И.Марычем и австрийским ученым X. Морицем.

В этой же главе интегралы в рядах Молоденского, интегралы Стокса, Неймана и Венинг-Мейнеса (в том числе и модифицированный) представлены в терминах свертки.

В разделе 3.3 даны формулы для вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого приближения. Для составляющих уклонения отвесных линий формулы представлены в плоской аппроксимации.

Формулы вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого приближения теории Молоденского дают удовлетворительный результат только в равнинных районах и на море, тогда как в горных районах этого недостаточно. Более точно трансформанты гравитационного поля вычисляются в первом приближении, которое учитывает влияние рельефа. Для вычисления трансформант гравитационного поля с точностью первого приближения разработаны два алгоритма. Первый заключается в непосредственном вычислении аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения, а второй - в вычислении первых поправочных членов к значениям нулевого приближения.

Так же рассмотрен метод вычисления трансформант гравитационного поля, предложенный О. М. Остачем и Л. П. Пеллиненом, согласно которому из аномалии силы тяжести сначала исключается влияние топографических масс и потом уже ведут вычисления в поле остаточных аномалий. Данный подход реализован в виде

Р" (С, „¿Б , , рНйу

(3)

Р" ((, , рН<1у

Здесь Дд' - аномалия Фая, равная сумме аномалии в свободном воздухе Ад и поправке за рельеф Адр; I- направление, для которого вычисляется уклонения отвеса; Д£"р и Ат]"р - разности притяжений топографических масс при действительном расположении этих масс и при конденсации их на поверхность, проходящую через точку вычисления. рНйу

- поправка за кривизну силовой линии.

Однако интегральные формулы, выражающие поправку за рельеф Ддр в аномалию Фая и поправки А^р, А("р, Аг]"р не являются интегралами свертки, поэтому для их вычисления нельзя использовать вейвлет-преобразование. В диссертационной работе показано, что в данном методе можно использовать вейвлет-преобразование только при вычислении первого члена суммы в интегральных формулах (2) и (3).

В главе 4 описаны алгоритмы, результаты реализации и исследования методики вычислений трансформант гравитационного поля на основе вейвлет-преобразования.

Реализация алгоритмов проводились в среде программирования МаИаЬ.

Исходя из разработанной методики, построены алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого и первого приближений теории Молоденского в ближней зоне на основе вейвлет-преобразования. В качестве реализаций вейвлет-преобразования выбрана

лифтинг-схема с фильтрами Хаара (как наиболее производительная), также для сравнения использовались стационарные вейвлет-преобразования с фильтрами Хаара и Добеши второго порядка. Показано сравнение результатов вычислений с результатами, полученными на основе быстрого оконного преобразования Фурье. В качестве экспериментальных были взяты данные гравиметрических съемок, выполненных в акватории Охотского моря и территории Центральных Альп.

Разработанная методика позволила перейти от интегральных формул Стокса и Венинг-Мейнеса, для которых необходимо знание непрерывной гравиметрической информации по всей территории Земли, к формулам, использующим конечномерную дискретную информацию.

Вычисление аномалии высоты с точностью нулевого приближения теории Молоденского.

Алгоритм вычисления аномалия высоты (0 с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе вейвлет-преобразования построен на использовании формулы

Со = ■ Итф)]}, (4)

где Ад - значения смешанной аномалии силы тяжести, -

модифицированная функция Стокса, И/[...] - прямое вейвлет-преобразование функций (массивов данных), - обратное вейвлет-преобразование.

Произведение вейвлет-преобразований ядра и обкладки поточечное.

Результаты вычислений аномалии высоты на основе разработанной методики сравнивались с результатами вычислений, основанными на быстром оконном преобразовании Фурье.

Очевидно, что при использовании преобразования Фурье (рис.1.а) значения аномалии высоты сглаживаются, тогда как вычисления на основе вейвлет-преобразования (рис. 1.6) показывают детали. Такая разница обусловлена лучшей частотно-временной локализацией вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье. Среднеквадратические

14

отклонения значений, вычисленных на основе Фурье-преобразования, от значений, вычисленных на основе вейвлет-преобразования, для зоны размером 16*16 точек, составляют 5 см (для Охотского моря) и 25 см (для района Центральных Альп).

Рис.1. ЗБ-изображение аномалии высоты (Охотское море), вычисленной с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе а) Фурье-преобразования б) вейвлет-преобразования.

Вычисление составляющих уклонения отвеса с точностью нулевого приближения теории Молоденского.

При вычислении составляющих и г]0 уклонения отвеса с точностью нулевого приближения теории Молоденского, исследуемая область была разделена на две зоны: центральную (радиусом 10 км) и ближнюю (радиусом от 10 до 200 км).

Влияние центральной зоны на составляющие уклонения отвеса и г]с вычислено по формулам численного интегрирования

а

I

8

= -0.02628 V Ад соб

Г)с" = -0.02628 Ад зт(Ак)

где Ак - азимут направления.

Влияние ближней зоны на составляющие уклонения отвеса <;ъ и т]ь было вычислено по формулам плоской аппроксимации на основе вейвлет-преобразования

2лу

(6)

где

г (У ~ Уо) Чо гз

(7)

^о ~ г3

(л: - х0)

Значения составляющих и г/0 уклонения отвеса с точностью нулевого приближения теории Молоденского определялись из суммы

На рис.2 представлены результаты вычислений составляющей (0 уклонения отвеса, полученные на основе разработанной методики (рис.2б) и результаты вычислений, основанные на быстром ОПФ (рис.2а).

Среднеквадратические отклонения значений составляющих (0 и ??0 уклонения отвеса, вычисленных на основе Фурье-преобразования, от значений, вычисленных на основе вейвлет-преобразования для зоны размером 16^16 точек, составляют 0.1" (Охотское море) и 0.3"(Центральные Альпы) соответственно.

(о = (с + (г,. Ло = Чс+Ль-

(8)

Рис.2. ЗБ-изображение составляющей уклонения отвеса в плоскости меридиана (Охотское море), вычисленной с точностью нулевого приближения теории Молоденского на основе а) ОПФ; б) ВП.

Формулы теории Молоденского нулевого приближения дают удовлетворительный результат только в равнинных районах и на море, тогда как в горных районах этого недостаточно. Поэтому были разработаны алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля с точностью первого приближения теории Молоденского.

На основе разработанной методики поправка за рельеф 8дг в аномалию силы тяжести вычислена на основе вейвлет-преобразования

(9)

где

здесь Н и Н0 - нормальные высоты соответственно текущей и фиксированной точки.

Исходя из разработанной методики, аномалия высоты с точностью первого приближения теории Молоденского вычислена по двум алгоритмам: 1. Аномалия высоты { была вычислена с точностью первого приближения непосредственно на основе вейвлет-преобразования

<; ^^УУ-ЧШ^д + бдЛ^^т}- (И)

Рис.3 дает наглядное представление о различиях результатов вычислений аномалии высоты с точностью первого приближения на основе Фурье-преобразования (рис.3.а) и вейвлет-преобразования (рис.3.б). Среднеквадратические отклонения значений, вычисленных на основе

I

преобразования Фурье, от значений, вычисленных на основе вейвлет-преобразования для зоны размером 16У.16 точек, составляют 24 см.

а V' б

Рис.3. ЗБ-изображение аномалии высоты (Центральные Альпы), вычисленной с точностью первого приближения теории Молоденского на основе а) ОПФ; б) ВП.

2. Первый поправочный член в аномалию высоты (0 был вычислен на основе вейвлет-преобразования

(^¿¿п-чтъл-тпш (12)

На рис.4 показаны результаты эксперимента по вычислению первого поправочного члена ( для района Центральных Альп, а также представлен рельеф данной территории.

а * б

Рис.4. ЗБ-изображение а) первого поправочного члена (1 и 6) рельефа района Центральных Альп.

Вычисление составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского.

При вычислении составляющих <f и ij уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского, исследуемая область, как и для случая нулевого приближения, была разделена на две зоны: центральную (радиусом 10 км) и ближнюю (радиусом от 10 до 200 км).

Для учёта влияния рельефа в значения смешанных аномалий силы тяжести была введена поправка за рельеф 8д1.

По формулам численного интегрирования вычислено влияние центральной зоны fс и г\с на составляющие уклонения отвеса

8

(с" = -0.02628^Г(4д + 8д{) cos (Ak),

(13)

r]c" = -0.02628 Y (¿5+ sin(j4k).

k=1

Влияние ближней зоны на составляющие уклонения отвеса и rjb вычислено по формулам плоской аппроксимации на основе вейвлет-преобразования

& = -^Ю-^Ад + 8дг] ■ Ль = г!{]ЛГ[Ад + 5Л] ■ И/[Г,]}.

Значения составляющих £ и г) уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского вычислялись в виде суммы (8).

На рис.5 представлены результаты эксперимента по вычислению составляющей { уклонения отвеса в плоскости меридиана (Центральные Альпы), вычисленной с точностью первого приближения теории Молоденского на основе а) ОПФ б) ВП.

Рис.5. ЗБ-изображение составляющей £ уклонения отвеса в плоскости меридиана (Центральные Альпы), вычисленной с точностью первого приближения теории Молоденского на основе а) ОПФ б) ВП.

Среднеквадратические отклонения значений составляющих (и г] уклонения отвеса, вычисленных на основе Фурье-преобразования (рис.5.а), от значений, вычисленных на основе вейвлет-преобразования (рис.5.б) для зоны размером 16X16 точек, составляют 0.3" для составляющей в плоскости меридиана и 0.3" для составляющей в плоскости первого вертикала.

Оптимизация вычислений. Для оптимизации вычислений были проведены исследования по сжатию вейвлет-преобразования обкладки Ад и ядра Р(хр) интеграла Стокса и применены параллельные вычисления к разработанным алгоритмам. После вейвлет-преобразования обкладки Ад интеграла Стокса, большинство детализирующих коэффициентов по величине близки к нулю, которые для последующих вычислений приравнивались к нулю, и вычисление аномалии высоты выполнялось с использованием сжатой обкладки. Естественно, что исказив исходную информацию, результат вычисления аномалии высоты будет отличаться от первоначального. Критериями потери точности являлись максимальные расхождения и среднеквадратические отклонения результатов вычисления по сжатым данным от результатов по оригинальным данным.

Проведенные исследования позволили сделать вывод, что применять сжатие обкладки Ад в интеграле Стокса целесообразнее для данных (значений аномалий силы тяжести), имеющих более гладкую структуру, то есть для равнинных и водных территорий.

Также проведены исследования по сжатию ядра Р(ф) интеграла Стокса. Каждой точке вычисления соответствует массив Р(т/0 значений модифицированной функции Стокса. После выполнения вейвлет-преобразование, получены малые по величине детализирующие коэффициенты, которые были приравнены нулю.

Исходя из результатов экспериментов по сжатию обкладки и ядра интеграла Стокса, без существенной потери точности, можно выполнять сжатие не более чем на 25%.

Также проведены исследования по распараллеливанию процесса вычислений, для чего использовались многоядерные процессоры. Последовательно использовали от 1 до 4 ядер и фиксировали время вычислений. В таблицах 1 и 2 приведены результаты экспериментов по

определению времени вычислений аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса соответственно.

Таблица 1

Число процессоров 1 2 3 4

1 2 3 4 5

lwt2 dbl 5.3 4.4 4.5 4.4

swt2 dbl 53.8 27.1 25.4 24.4

swt2 db2 56.8 29.2 27 26.2

Таблица 2

Число процессоров 1 2 3 4

1 2 3 4 5

lwt2 dbl 8 6.4 5.9 5.9

swt2 dbl 86.9 43.4 40.5 39.3

swt2 db2 92.7 45.9 42.3 40.9

По результатам, приведённым в таблицах, видно существенное увеличение производительности при использовании двух ядер. При использовании 3 или 4 - ощутимого увеличения производительности не происходит. При проведении эксперимента использовался 4-х ядерный процессор Intel(R) Core(TM) i3 CPU 550 @3.20GHz, 4 Гб (ОЗУ) и программы распараллеливания в среде MatLab.

В результате выполненных исследований получены основные результаты:

1. Разработана и исследована методика решения задач физической геодезии по определению трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования, позволяющая выполнять вычисления с точностью не только нулевого, но и первого приближения теории Молоденского.

2. На основе стационарного вейвлет-преобразования и лифтинг-схемы разработаны алгоритмы решения следующих задач:

1) вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого приближения теории Молоденского в ближней зоне;

2) вычисления аномалии высоты с точностью первого приближения теории Молоденского в ближней зоне по двум алгоритмам:

a) вычисление первого поправочного члена в аномалию высоты нулевого приближения;

b) непосредственное вычисление аномалии высоты с точностью первого приближения.

3) вычисления составляющих уклонения отвеса с точностью нулевого и первого приближения теории Молоденского в ближней зоне;

3. На реальных данных выполнена проверка разработанной методики, показавшая её работоспособность и эффективность в сравнении с другими современными методами.

4. Решена задача оптимизации вычислений трансформант гравитационного поля на основе разработанных алгоритмов.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Лапшин А. Ю. Классификация основных видов вейвлетов и их свойства. - Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, №3, 2011, с. 18-22.

2. Мазурова Е.М., Лапшин А.Ю. Вычисление аномалии высоты с точностью первого приближения теории Молоденского в ближней зоне на основе вейвлет-преобразования. - Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. №6,2011.

3. Меньшова Е.В., Лапшин А. Ю. Алгоритмы определения числа коэффициентов в одномерном вейвлет-преобразовании. - Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. №1,2011, с. 30-33.

4. Лапшин А.Ю. Вычисление аномалии высоты при помощи вейвлет-преобразования. - Сборник материалов республиканской научно-практической конференции посвященной 20-летию независимости Республики Узбекистан и 90-летию кафедры геодезии, картографии и кадастра НУУз. Ташкент, 13-14 мая 2011, с. 134-136.

Подписано в печать 10.11.2011. Гарнитура Тайме Формат 60790/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Объем 1,5 усл. печ. л. Тираж 80 экз. Заказ №231 Цена договорная Издательство МИИГАиК 105064, Москва, Гороховский пер., 4

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Лапшин, Алексей Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ И СОСТАВЛЯЮЩИХ УКЛОНЕНИЯ

ОТВЕСА

1.1 Метод коллокации

1.2 Вариационный метод регуляризации

1.3 Дискретные линейные преобразования 24 1.3.1 г-преобразование (преобразование Лорана)

1.3.1.А Прямое г-преобразование

1.3.1 .Б Обратное г-преобразование

1.3.2 Преобразование Фурье

1.3.2.А Дискретное преобразование Фурье

1.3.2.Б Быстрое преобразование Фурье

1.3.3 Преобразование Хартли

1.3.3.А Дискретное преобразование Хартли 34 1.3.3.Б Быстрое преобразование Хартли.

Матричное представление

1.4 Анализ состояния проблемы и методов решения задач физической геодезии

ГЛАВА 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2.1 Общие понятия

2.2 История развития

2.3 Главные признаки вейвлета

2.4 Непрерывное вейвлет-преобразование

2.5 Ортогональное диадное вейвлет-преобразование

2.6 Ортогональный кратномасштабный анализ (КМА)

2.7 Дискретное вейвлет-преобразование

2.8 Быстрое вейвлет-преобразование (БВП)

2.8.1 Основные формулы быстрого вейвлет-преобразования

2.8.2 Матричное представление быстрого вейвлет-преобразования

2.9 Вейвлеты второго поколения (ВВП)

ГЛАВА 3 РЯДЫ МОЛОДЕНСКОГО В ТЕРМИНАХ СВЁРТКИ

3.1 Интегральные уравнения теории Молоденского

3.2 Ряды М.С. Молоденского основанные на аналитическом продолжении

3.3 Интегралы вычисления трансформант гравитационного поля в терминах свертки

3.3.1 Определение аномалии высоты с точностью нулевого приближения

3.3.2 Определение составляющих уклонения отвеса с точностью нулевого приближения теории Молоденского

3.3.3 Вычисление аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского

3.3.4 Вычисление составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории Молоденского

3.3.5 Альтернативные формулы вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса

ГЛАВА 4 АЛГОРИТМЫ, РЕЗУЛЬТАТЫ РЕАЛИЗАЦИИ И ИССЛЕДОВАНИЯ МЕТОДИКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ ТРАНСФОРМАНТ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ НА ОСНОВЕ ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

4.1 Алгоритмы вычислений аномалии высоты и составляющих уклоненийотвеса с точностью нулевого и первого приближения теории Молоденского

4.1.1 Алгоритм вычисления аномалии высоты с точностью нулевого приближения теории М.С. Молоденского

4.1.2 Алгоритм вычисление составляющих уклонения отвеса с точностью нулевого приближения теории М.С. Молоденского

4.1.3 Алгоритмы вычисления аномалии высоты с точностью первого приближения теории М.С. Молоденского

4.1.4 Алгоритмы вычисления составляющих уклонения отвеса с точностью первого приближения теории М.С. Молоденского

4.2 Численные результаты

4.2.1 Результаты экспериментов для акватории

Охотского моря

4.2.2 Результаты эксперимента для района

Центральных Альп

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Разработка и исследование методики вычисления гравиметрической высоты квазигеоида и составляющих уклонения отвеса на основе вейвлет-преобразования"

Актуальность темы. Развитие спутниковых методов определения координат, основанных на измерениях, выполняемых глобальными навигационными спутниковыми системами (ГЛОНАСС, GPS и др.), принципиальным образом меняет технологию и точность геодезических измерений.

Актуальным для нужд топографо-геодезического производства является установление связи между системой геодезических высот, полученных из спутникового нивелирования, с системой нормальных высот, полученных из наземного геометрического нивелирования. Связь геодезических и нормальных высот осуществляется через аномалию высоты (высоту квазигеоида), которую можно вычислить по результатам гравиметрических измерений, выполненных на поверхности Земли или отнесенными к ее поверхности. Точное определение аномалии высоты позволяет использовать спутниковое нивелирование взамен трудоемкого наземного нивелирования.

Актуальна и проблема определения гравиметрических уклонений отвеса; характеризующих отступление действительного гравитационного поля Земли от нормального. Составляющие уклонения отвеса используются при решении редукционных задач высшей геодезии, при установлении связи между астрономическими и геодезическими системами координат и т.д.

Важным требованием сегодняшнего дня являются теоретическое и практическое решение задачи определения трансформант гравитационного поля в реальном масштабе времени.

Классические методы определения трансформант гравитационного поля, основанные на интегральных формулах, не учитывают, что исходная информация дискретна, отягощена ошибками измерений и известна не на всей поверхности Земли.

Современный подход, основанный на использовании дискретных линейных преобразований, использует тот факт, что известные интегралы

Стокса, Неймана, Венинг-Мейнеса, модифицированный интеграл Венинг-Мейнеса, а также последующие члены классических рядов Молоденского являются интегралами свертки. Методы современной вычислительной математики, такие как оконное преобразования Фурье (ОПФ) или дискретное преобразование Хартли (ДПХ), предназначены для вычисления сверток. Несмотря на существенное преимущество этого подхода перед классическими методами, отметим, что методы ОПФ и ДПХ не лишены ряда недостатков.

В настоящее время широкое распространение для решения задач спектрального анализа получил метод вейвлет-преобразования, который, на наш взгляд, более оптимален, лишен ряда недостатков, присущих ОПФ и ДПХ, и может быть использован для вычисления интегралов свертки. Не смотря на то, что математический аппарат вейвлет-анализа достаточно хорошо разработан и теория, в общем, оформилась, вейвлеты оставляют обширное поле для исследований.

Целью исследований являются разработка и исследование методики определения трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования, которое позволяет обрабатывать большие массивы дискретной информации, присущие задачам физической геодезии, в реальном масштабе времени и является наиболее эффективным, на сегодняшний день, алгоритмом быстрых линейных преобразований.

Исходя из цели работы, задачами исследования являются:

1. Аналитический обзор и классификация, применяемых в настоящее время, методов и алгоритмов решения задач физической геодезии.

2. Анализ существующих алгоритмов вейвлет-преобразования, сжатия и исследование их свойств.

3. Разработка методики решения задач физической геодезии на основе вейвлет-преобразования, позволяющего своими уникальными свойствами работать с дискретной исходной информацией на конечномерном интервале.

4. Разработка алгоритмов и программ вычисления трансформант гравитационного поля Земли в ближней зоне на основе разработанной методики с точностью нулевого и первого приближения теории Молоденского.

5. Апробация разработанных алгоритмов и компьютерных программ на реальных материалах гравиметрических съемок и сравнение полученных результатов с результатами вычислений, выполненных другими методами.

6. Проведение исследований по оптимизации вычислений.

Методы исследования. Методы вейвлет разложений базируются на современных результатах функционального анализа, теории функций и вычислительной математики. В работе также использованы методы дискретной математики, теории множеств, методы высшей геодезии и теории фигуры Земли, методы решения задач физической геодезии на основе линейных преобразований, методы программирования в среде Ма^аЬ.

Научная новизна заключается в том,'что представленная диссертация является одной из первых работ, в которой поставлен и решен вопрос разработки методики вычисления трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования с точностью не только нулевого, но и первого приближения теории Молоденского. <

Новыми и выносимыми на защиту являются результаты:

• Теоретическое обоснование, разработка и исследование методики решения задач физической геодезии по определению трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования, которая позволяет выполнять вычисления с точностью не только нулевого, но и первого приближения теории Молоденского.

• Построение, на основе разработанной методики с использованием стационарного вейвлет-преобразования и лифтинговых схем, алгоритмов решения следующих задач:

1. вычисление трансформант гравитационного поля с точностью нулевого приближения теории Молоденского в ближней зоне;

2. вычисление аномалии высоты с точностью первого приближения теории Молоденского в ближней зоне по двум алгоритмам: a) вычисление первого поправочного члена в аномалию высоты нулевого приближения; b) непосредственное вычисление аномалии высоты ( с точностью первого приближения.

3. вычисление составляющих уклонения отвеса % ,г] с точностью первого приближения теории Молоденского в ближней зоне;

• Результаты вычисления трансформант гравитационного поля по разработанным методике и алгоритмам на реальных материалах гравиметрических съемок. Результаты сравнения с другими современными методами вычисления трансформант гравитационного поля Земли, которые показали работоспособность и преимущества выполненных разработок.

• Результаты исследования по оптимизации вычислений (сжатие и распараллеливание вычислений).

• Созданный программный пакет, позволяющий реализовать предложенные в диссертации методику и алгоритмы.

Практическая значимость работы представлена следующими практическими достижениями:

Разработанная методика вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого и первого приближений теории Молоденского на основе вейвлет преобразования может быть использована при решении широкого круга топографо-геодезических задач, таких как

- выполнение спутникового нивелирования с целью замены трудоемкого наземного геометрического нивелирования III - IV классов; при решении широкого круга редукционных задач высшей геодезии;

- при переходе от астрономических координат к геодезическим.

Созданный программный пакет был успешно внедрен в камеральное производство компании ЗАО «Гравиразведка» и испытан на реальных данных одного из районов Сибири. Внедрение методики значительно ускорило процесс вычисления трансформант гравитационного поля и повысило эффективность камеральной обработки.

Личный вклад автора. Разработана методика, технологические схемы и алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля на основе вейвлет-преобразования. Создан пакет программ, реализующий эти разработки. Проведена экспертиза результатов разработок, в которой использовались данные реальных гравиметрических съемок аномалии силы тяжести, выполненных в акватории Охотского моря и в районе Центральных Альп. Проанализированы результаты сравнения полученных вычислений с результатами вычислений, выполненных другими методами, что подтвердило точность и эффективность разработанной методики.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научно-практических конференциях:

64-й (2009 г.) юбилейной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвященной 230-ой годовщине со дня его основания;

65-й (2010 г.) научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвящённой 65-летию победы в Великой Отечественной войне.

66-й (2011 г.) научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых учёных МИИГАиК, посвященной 50-й годовщине первого полета человека в космос.

Республиканской научно-практической конференции посвященной 20-летию независимости Республики Узбекистан и 90-летию кафедры геодезии, картографии и кадастра НУУз, Ташкент, 13-14 мая 2011 г.

Публикации. Результаты диссертационного исследования изложены в 3 научно-технических статьях, опубликованных в журнале "Известия ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка", включенном в перечень ВАК. Тезисы доклада, представленного на Республиканской научно-практической конференции посвященной 20-летию независимости Республики Узбекистан и 90-летию кафедры геодезии, картографии и кадастра НУУз, опубликованы в сборнике материалов конференции.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из двух томов. Первый том состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (всего 104 наименования, в том числе 42 на иностранных языках), содержит .56 рисунков, 16 таблиц и изложен на 205 страницах. Второй том включает в себя 34 приложения и состоит из 122 страниц.

Заключение Диссертация по теме "Геодезия", Лапшин, Алексей Юрьевич

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем ,

• Впервые поставлена и выполнена задача использования вейвлет -преобразования для решения задач физической геодезии.

• Теоретически обоснована, разработана и исследована методика решения задач физической геодезии по определению трансформант гравитационного поля Земли на основе вейвлет-преобразования.

• Построены алгоритмы вычисления высоты квазигеоида (аномалии высоты) и составляющих уклонения отвеса с точностью нулевого и первого приближения теории Молоденского с использованием стационарного вейвлет-преобразования и лифтинг-схемы

• Выполнены вычисления трансформант гравитационного поля по разработанной методике на реальных материалах гравиметрических съемок и представлено сравнение полученных результатов с другими методами вычисления трансформант гравитационного поля Земли, которое показало работоспособность и преимущества выполненных разработок.

• Выполнена оптимизация вычислений трансформант гравитационного поля (сжатие и распараллеливание вычислений) показавшее их эффективность.

• Создан программный продукт, позволяющий реализовать предложенные в диссертации методику и алгоритмы.

В результате достигнута цель исследования - разработана и исследована методика определения высоты квазигеоида (аномалии высоты) и составляющих уклонения отвеса на основе вейвлет-преобразования с точностью не только нулевого, но и первого приближения теории Молоденского.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной диссертации, на основе изучения и проведения анализа классических и современных методов решения задач физической геодезии, разработана новая методика вычисления трансформант гравитационного поля Земли в рамках строгой теории М.С.Молоденского на основе вейвлет-преобразования.

Вейвлетный анализ является особым типом линейного преобразования цифровых сигналов и отображаемых этими сигналами физических данных о процессах и физических свойствах природных сред и объектов. К таким процессам в геодезии относятся,' в первую очередь, гравитационное поле Земли. Вейвлет-анализ представляет собой разновидность спектрального анализа, в котором роль простых колебаний играют вейвлеты. Базис собственных функций, по которому выполняют вейвлетное разложение цифровых сигналов, обладает многими специфическими свойствами и возможностями. Вейвлетные функции базиса показывают локальные особенностях анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью широко известных преобразований Фурье и Лапласа. Принципиальное значение имеет возможность вейвлетов анализировать нестационарные сигналы с изменением компонентного содержания; во времени или в пространстве.

Современные требования к точности вычисления аномалии высоты и составляющих уклонения отвеса требуют проведения вычислений не только с точностью нулевого, но и последующих приближений / теории Молоденского. Заметим, что классическими методами сложно вычислить трансформанты даже с точностью нулевого приближения. В диссертационной работе на основе разработанного метода получены алгоритмы вычисления трансформант гравитационного поля с точностью нулевого и первого приближений теории Молоденского.

Выбор конкретного вида и типа вейвлетов во многом зависит от анализируемых сигналов и задач анализа. Для получения оптимальных алгоритмов преобразования разработаны определенные критерии,' но1 их еще нельзя считать окончательными, т.к. они являются' внутренними по отношению к самим алгоритмам преобразования и, как правило, не учитывают внешних критериев, связанных с сигналами и целями их преобразований. Поэтому при практическом использовании вейвлетов необходимо много внимания уделять проверке их работоспособности!» и эффективности для поставленных целей по сравнению с другими методами обработки и анализа. Исходя из сказанного, все разработанные алгоритмы <- , , - ,,'.,*г , легли в основу компьютерных программ, по которым были выполнены определения трансформант гравитационного поля по реальным материалам гравиметрических съемок в акватории Охотского моря >;-к и т района Центральных Альп. Результаты вычислений сравнивались с результатами вычислений, выполненными на основе оконного преобразования Фурье. Результаты вычислений представлены в приложениях и для наглядности' визуализировались в формате 3(1.

В работе были проведены исследования по выбору наилучшего алгоритма

• ч ' , * ',}■ ^ ' вейвлет-преобразования для решения конкретных задач по определению трансформант гравитационного поля. Сравнивались лифтинг-схема ? с фильтрами Хаара (Ш2(.), 1 с1Ь1'), стационарное преобразование; с фильтрами Хаара (¡ы¡¥=* (¡Ы1) и стационарное преобразованием с; фильтрами Добеши второго порядка (swí2(.), ' с1Ь2*) . Такой выбор; обусловлен тем обстоятельством, что именно схема лифтинга, на-данный момент, является наиболее эффективным, с точки зрения скорости вычислений, алгоритмом реализации вейвлет-преобразования. При этом, как показывают исследования, результаты вычисления по точности не уступают,, например, использованию стационарного вейвлет-преобразования.

Выполнены исследования по оптимизации вычислений, которые выполнялись по двум алгоритмам: 1. путем сжатия ядра в интеграле Стокса;

2. путем сжатия обкладки в том же интеграле. Исследования показали, что

193 '*/ ■ ■ сжатие в интеграле Стокса до 30% для морских акваторий приводит к изменению аномалии высоты до 1 см. Сжатие в торной местности на 11% приводит к изменению аномалии высоты до 3 см. Из проведённых экспериментов можно сделать вывод, что применять сжатие целесообразнее для районов с достаточно гладким гравитационным полем, то есть для равнинных и водных территорий. ■ '

В диссертационной работе проводились исследования по использованию параллельных вычислений, которые используют увеличения производительности вычисления трансформант гравитационного поля. Исследование проводились на алгоритмах, относящихся к нулевому приближению теории Молоденского. Использовался 4-х ядерный процессор Intel(R) Core(TM) i3 CPU 550 @3.20GHz, 4 Гб (ОЗУ).

Результаты исследований показали существенное увеличение . производительности при использовании двух ядер. При использовании 3 или 4 - ощутимого скачка не происходит. Также можно заключить, • что Ы использование схемы лифтинга позволяет на порядок быстрее производить вычисления, нежели использование стационарного вейвлет-преобразования, даже при применении параллельных вычислений.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Лапшин, Алексей Юрьевич, Москва

1. Агурок И.П. Использование алгоритма быстрого преобразования Фурье для ускорения быстрой интерполязии Котельникова// Изв. вузов, Приборостроение, 1985, №9, стр. 35-38.

2. Астафьева Н.М., Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения, Успехи физических наук, 1996, том 166, №11, 1146-1170с.

3. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989.

4. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000. «Вейвлет-анализ». - С. 65-68.

5. Бердышев В.И., Петрак JI.B. Аппроксимация функций, сжатиечисленной информации, приложения/ Екатеринбург УрО РАН, 1999.279 с- ■

6. Болд Г. Э. Дж. Сравнение времен вычисления быстрых преобразований у Хартли и Фурье//ТИИЭР, 1985, Т.73, №12, с. 184-185.

7. Борисенко Н.С. Методы вейвлет-анализа в задачах обработки экспериментальных данных, диссертация на соискание учёной степени кандидата ф.-м. наук, 2004, Москва, с. 190

8. Брейсуэлл Р.Н. Быстрое преобразование Хартли// ТИИЭР, 1984, Т.72, №8, стр. 19-27.

9. Бровар В. В., Магницкий В. А., Шимбирев Б. П. Теория фигуры Земли. М., Геодезиздат, 1961, 256 с.

10. Бровар В.В., Чеснокова Т.С. Аппроксимационные формулы для вычисления возмущающего потенциала и его производных в приближении Стокса// Труды государственного астрономического института им. П.К. Штенберга, 1990, т. 61, с. 141-185.i 1 „ if àr t л »

11. Бывшев B.A. Уточнение теории и алгоритмов средней квадратической коллокации // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. №6, 1989, с. 920.

12. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов. Учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 2001г. 58 с.

13. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. ВУС, 1999. с. 204.

14. Грушинский Н.П., Теория фигуры Земли, 1976, Москва, Наука, 5124стр.

15. Даджион Д., Марсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов //f ^1. М.: Мир,1988, 488с.

16. Данилевич Я.Б., Петров Ю.П. О необходимости расширения понимания эквивалентности математических моделей// Докл. РАН, 2000, т.371, №4, с. 473-475.

17. Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный анализ и его приложения//.: Мир,1971-1972, т. 1 и т.2, 316с., 287с.

18. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. // Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 464 с.

19. Дрёмин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование, Успехи физических наук, том 171, №5, май 2001, 465-501с.

20. Закатов П.С., Курс высшей геодезии. -М.: Недра, 1976, 511 с.

21. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 200 с.

22. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1976. -544 с.

23. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

24. Лапшин , А. Ю. Классификация основных видов вейвлетов и их свойства. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, №3, 2011, с.18.22.

25. Мазурова Е.М. Разработка теории и методов решения задач физической геодезии на основе быстрых линейных преобразований// Диссертация на соискание учёной степени доктора технических наук, М., 2006, 332с.

26. Мазурова Е.М., A.C. Багрова. К вопросу вычисления аномалии высоты на основе вейвлет-преобразования и быстрого преобразования Фурье в плоской аппроксимации // Изв.Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, №4, 2008, стр. 6-9.

27. Мазурова Е.М., Лапшин А.Ю. Вычисление аномалии высоты с точностью первого приближения теории Молоденского в ближней зоне на основе вейвлет-преобразования. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. №6, 2011.

28. Мазурова Е.М., Разработка и исследование методов решения задач физической геодезии на основе быстрого преобразования Фурье// Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук, М.: 1989,217с. с прил.

29. Макаров Н.П. Курс геодезической гравиметрии, 1959, Москва, ВИА, 358 стр.

30. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. — М.: Мир, 2005. —671 с, ил.

31. Марыч М.И. О решении задачи Молоденского с помощью ряда Тейлора// В сб. Геодезия, картография и аэрофотосъёмка. Издательство Львовского университета, вып. 17, 1973, с. 26-33.

32. Меньшова Е.В., Лапшин А. Ю. Алгоритмы определения числа коэффициентов в одномерном вейвлет-преобразовании. Известия вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка. №1, 2011, с. 30-33. :

33. Мещеряков Г.А., Марченко А.Н. Нахождение осей гравитационных мультиполей//Геодезия, картография и аэрофотосъёмка, 1977, вып. 25, с.42-47

34. Молоденский М.С. Определение фигуры геоида при совместном использовании астрономо-геодезических уклонений отвеса и карты аномалий силы тяжести// Труды ЦНИИГАиК, М.: Редбюро иЕ1Ж при СНК СССР, вып. 17, 1937.

35. Молоденский М.С., Еремеев В. Ф., Юркина М. И. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли// Труды ЦНИИГАиК, М., вып. 131, 1960, 251 с.

36. Мориц Г. Современная физическая геодезия// М.гНедра, 1983, 391 с.

37. Нейман Ю.М. Вариационный метод физической геодезии// М., «Недра», 1979, 200с., (1980,2,52,59).

38. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков// Успехи математических наук. 1998. Т. 53. № 6 (324). С. 53-128.

39. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков, Фундаментальная и прикладная математика, 1997, Т. 3, 4.3. (1997), 999-1028

40. Новиков Л.В. Спектральный анализ сигналов в базисе вейвлетов // Научное приборостроение, 2000. Т. 10. - № 3. - С. 70-76.

41. Отнес Р., Эноксон Л., 1982, Прикладной анализ временных рядов, Москва, Мир, 428 стр.

42. Пеллинен Л. П. Влияние топографических масс на вывод характеристик гравитационного поля Земли М.: Геодезиздат, Труды ЦНИИГАиК, вып. 145, 1962.С 99-112. ;

43. Пеллинен Л. П. О вычислении уклонений отвеса и высот квазигеоида в горах. Труды ЦНИИГАиК, вып. 176, 1969, с. 99-112

44. Пеллинен Л.П. О тождественности различных решений задачи Молоденского// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 1974, №3, с. 65-71.

45. Переберин A.B. О систематизации вейвлет-преобразований //Вычислительные методы и программирование. 2001, с. 18-20. ч

46. Петров Ю.П., В.С.Сизиков Корректные, некорректные и промежуточные задачи с приложениями, СПб, Политехника, 2003,• 261с.V., ' „л

47. Пискун П.В. Программно-алгоритмическое обеспечение непрерывного вейвлет-преобразования при обработке и интерпретации геофизических полей, Дисс. На соискание учёной степени кандидата физико-математических наук, М., 2006,102с.

48. Сергиенко А.Б., 2005, Цифровая обработка сигналов, Изд-во Питер, 603 стр.

49. Сизиков B.C. Устойчивые методы обработки результатов измерений. -СПб.: Специальная литература, 1999.-239 с.

50. Соболев С.Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд. ЛГУ, 1950.

51. Сэломон Д. Сжатие данных, изображений и звука. М.: Техносфера, 2004,368 с.

52. Тихонов А. Н., Васильева А.Б., Свешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики. Выпуск 7. Дифференциальные уравнения//М. Наука. 1980, 231 с.

53. Тихонов А.Н. и Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач//

54. М., Наука, 3-е издание., 1986, 288 с.200

55. Толкова Е.И. Wavelet-анализ изображений, Оптический журнал, т.68, №3,, Нижний Новгород, (2001), 49-59.

56. Торге В. Гравиметрия, пер. с анг., М.: Мир, 1999, 428 стр.

57. Тристанов А.Б. Методы и модели интеллектуального анализа сигналов геофизических полей, Дисс. На соискание учёной степени кандидата технических наук, 2006, 144с.

58. Шимбирев Б.П. Теория фигуры Земли. М.: Недра, 1975, 431с.

59. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразование: Учеб. пособие. -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 104 с.

60. Яне Б. Цифровая обработка изображений. М : Техносфера, 2007.583 с.

61. Ярмоленко А.С. Вейвлет-преобразования в кодировании , графической информации//Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 2010, №4, с. 1825/ ■." ■

62. Ярмоленко А.С. Использование вейвлетов в аналитическом представлении дискретных функций графической информации// Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъёмка, 2008, №3, с. 20-30.

63. Agarwal R.C., and Burras C.S. Fast one-dimensional digital convolution by multi-dimensional techniques// IEEE, Trans. Acoust., Speech. Signal Process., ASSP-22,1, February 1974, pp. 1-10.

64. Antonini M., Barlaud M., Mathieu P., Daubechie I. Image coding using wavelet transforms, IEEE Trans. Image Process, v. 1, 1992, pp. 205-220.

65. Balmino G. Introduction to Least Squares Collocation// "Approximation Mathods in Geodesy", ed. H. Moritz, H. Sunkel. AAA. Herbert Wichmann Verlag, Karlsruhe, 1978.

66. Chui K. An introduction to wavelets, Academic press, N.Y., 1992. Перевод с англ. Жилейкина Я.М. Введение в вейвлеты, М., Мир, 2001. с. 412 с ил.

67. David Е. Newland (1993), "Harmonic wavelet analysis," Proceedings of the Royal Society of London, Series A (Mathematical and Physical Sciences), vol. 443, no. 1917, p. 203-225.

68. Delprat N., Escudie B., Guillemain P., Kronland-Martinet R., Tchamitchian P., and Torresani B. Asymptotic wavelet and Gabor analysis: extraction of instantaneous frequencies. IEEE Trans. Info. Theory, 38B):644-664, March 1992.

69. Ecker E. The Austrian geoid Local geoid determination using modified conservative algorithms. The gravity field in Austria// Graz, 1987, pp. 19/' 46. .

70. Ecker E. Boundary value problems for the sphere. «Boll. geod. e sei. affini», 1976, 35, № 2, 185-224 (1977, 3.52.62)

71. Ecker E. Uber die ruamliche Konvergenz von Kugerlfunctionsreihen// Publ. Dent. Geod. Konem., A., 68. 1970.

72. Forsberg R. and Tscherning, C. C. (1981), The Use or Heigt Data in Gravity Field Approximation by Collocation, Journal of geophysical research, vol. 86, № B9, pp.7843-7854.

73. Forsberg R. Gravity field terrain effect computation by FFT// Fall Meeting of the AGU. San Francisco, Calif, Dec, 1984.

74. Freevan P.B., Kashyap V., Rosner R., Nichol R.,Holdem B., Lamb D.Q., X-Ray Source Detection Using the Wavelet Transform, ASP Conference Series, v. 101, 1996.

75. Gabor D. Theory of communication. J. IEE, 93 :429-457, 1946.

76. Grafarend E.W. Operational geodesy. «Approximation methods in geodesy», ed. by H. Moritz, H. Sunkel. Herbert Wichmann Verlag. Karlsruhe, 1978.

77. Grossman A. and Morlet J. Decompositon of Hardy function into square integralle wavelets of constant shape. SIAM J. Of Math. Anal., 15(4), pp.723-736, July 1984.

78. Haar A. Zur theorie der orthogonalen funktionensysteme. Math. Annal., 69, 1910, pp 331-371.

79. Heiskanen W., Moritz H. Phisical geodesy. W. H. Freemen and Co. San Francisco, 1967, 364 p.y, «, • »1 . V I I M I^ ( >1. V > hi , . '' < 1 '

80. Heiskanen W.A., F.A. Vening-Meinesz, 1958, The Earth and its gravity field, McGraw-Hill, New York.

81. Hormander L. The boundary problems of physical geodesy. «Arch. Ration. Mech. and Anal.», 1976, 62, №1,1-52 (1977, 2.52.64).

82. Li C., Zheng C., Tai C. Detection of ECG characteristic points using waveletitransforms, IEEE, Trans, on Biomedical Engineering, V. 42, N. 1, 1995, pp 21-28.y

83. Mallat S. A theory for multiresolution signal decomposition: The wavelet representation. IEEE Transactions Analysis and Machine Intelligence, 11(7): 674-693, July 1989. '

84. Mazurova E.M. (2010) Computation of Height Anomaly through the Fast

85. Wavelet Transform (report), 2010, 28th IUGG Conference on Mathematicali

86. Geophysics CMG-2010, Pisa, Italy, 7-11 ' June. ' http ://cmg2010.pi. ingv. it/Abstract/index.htm.

87. Meyer Y. Wavelets: Algorithms and Applications. SIAM, 1993. Translated and revised by R. D. Ryan.

88. Meyer Yves. Ondelettes sur l'intervalle. Revista Matematica Iberoamericana. 7(2):115-143, 1991. „

89. Moritz H. Integral formulas and collocation//"Manuscr. geod.", 1976, 1, №1, 1 -40(1976,11.52.95).

90. Moritz H. Least-Squares Collocation // Reviews of Geophysics and Space Physics. Vol. 16. No.3. August 1978. pp. 421-430.

91. Moritz H. Least-squares collocation and the gravitational inverse problem. «J. Geophys.», 1977, p. 43.

92. Moritz H. Least-squares collocation. «Veroff Dtsch. Geod. Kommis. Bayer. Akad.Wiss.», 1973, A, № 75, 91 pp. (1974, 6.52.94).

93. Moritz H. On the convergence of Molodensky's series// Bolt. t. Geod. Sci. Affini, 32,1973, pp. 125-144.

94. Moritz H. Series solution of Molodensky's problem//Publ. Deut. Geod. Komm., A. 70, 1971. p. 92.

95. Moritz H. Stepwise and sequential collocation! «Repts Dep. Geod. Sci. Ohio State Univ.», 1973, № 203.

96. Paul M.K. A method of evaluation the truncation error coefficients for, geoidal height// Bulletin geodesique. 1973. V.l 10. p.413-425.

97. Soltanpour A., Nahavandchi H., Featherstone W.E. The use of second-generation wavelets to combine a gravimetric quasigeoid model with GPS-leveiling data// Springer-Verlag, 2006, DOI 10.1007/s00190-006-0033-0.

98. Strickland R.N., Hahn H.I., Wavelet transforms for detecting microcalcification in mammograms, IEEE Trans. Med. Imaging, v. 15, 1996. pp 218-229. . ,

99. Siinkel H. Covariance approximations. Presented at the 7th symposium on mathematical geodesy. Assisi, 1978, Italy

100. Sweldens W. The Lifting Scheme: A Construction of Second Generation Wavelets // SIAM J. Math. Anal. — 1996. — Vol. 3, No. 2.

101. Sweldens, W., Schroder, P. Building your own wavelets at home // "Wavelets in computer graphics", ACM SIGGRAPH, 1996.

102. Tschening C.C. On the convergense of least squares collocation.«Boll. geod. e sci. affini», 1978, 37, №2-3, 507-516, (1979, 6.51.61)

103. Tscherning C.C. Application of collocation. Lecture notes. Ramsau, 1973

104. Villasenor J.D., Belzer B., Liao J. Wavelet filter evaluation for image compression, IEEE Trans, on Image Process., v, 8, 1995, pp. 1053-1060. ,1. УТВЕРЖДАЮ

105. Главный геофизик экспедиции № 11. Начальник экспедиции № 11. Начальник ПТО

106. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ1. На правах рукописи1. Лапшин Алексей Юрьевич042.01 2 50 1 1 5