Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем

Карнаухова, Елена Викторовна

Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему
Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем
ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем"

На правах рукописи

Карнаухова Елена Викторовна

РАЗРАБОТКА И ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ БИОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

03.00.02 - Биофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пущино - 2005

Работа выполнена в Институте биофизики клетки РАН, г.Пущино

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук Карнаухов Алексей Валерьевич

Официальные оппоненты: кандидат физико-математических наук Казановкч Яков Борисович

Ведущая организация: Институт физико-химической биологии им. А.Н. Белозерского

Диссертационного Совета Д 002.093.01 в Институте теоретической и экспериментальной биофизики РАН по адресу: 142290, г. Пущино, Московская обл., ул. Институтская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной библиотеке НЦБИ РАН по адресу: 142290 Пущино, Московская обл., ул. Институтская, 3, ИТЭБ РАН.

доктор физико-математических наук Полозов Роберт Валентинович

МГУ

Защита диссертации состоится

заседании

Автореферат разослан

г.

Ученый секретарь Диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Ланина Н.Ф.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Аюуалыюсть темы. При изучении сложных нелинейных систем, таких как живой организм или отдельная клетка, практически невозможно разбить систему на простые подсистемы без потери точности ее описания. Поэтому крайне актуальной является задача разработки универсальных методов идентификации нелинейных систем с большим числом идентифицируемых параметроа

Предмет теории идентификации составляет решение задачи построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений. Идентификация системы включает ряд основных этапов: выбор математической модели на основе информации о поведении системы; получение данных наблюдений, исходя из особенностей модели; определение идентифицируемых констант модели.

Несмотря на широкий спектр методов описания динамических систем, существует проблема описания именно нелинейных динамических систем. Например, проведение качественных исследований систем дифференциальных уравнений позволяет определить поведение системы вблизи особой точки (положения равновесия), но не дает возможности определить параметры модели по данным наблюдений. С помощью асимптотических методов можно решать задачу идентификации лишь в линейном приближении, что часто ведет к потере точности, а в некоторых случаях, например для систем с квазистохастическими свойствами, подобная линеаризация не может быть применена в принципе без искажения основных свойств системы. Эмпирический подход применяется в тех ситуациях, когда невозможно понять и изучить внутренние взаимосвязи системы и поэтому он не отражает суш наблюдаемых явлений. Отметим, что существует достаточно много численных методов решения задачи идентификации нелинейных динамических систем, но их применение в сильной степени ограничено количеством идентифицируемых параметров в соответствии с вычислительными мощностями современных компьютеров.

В связи с этим перспективным представляется разработка методов идентификации нелинейных систем с большим числом параметров (порядка 10 и выше), основанных на аналитическом решении задачи идентификации. Такие методы вдентификации помогут выявить устойчивые связи и закономерности, которые и будут достаточно точно описывать законы природы.

При этом не умаляется значение относительно простых линейньк моделей, которые в первом приближении могут оказаться полезными при изучении основных закономерностей, выявлении отклонений от линейных законов. Это дает возможность сделать второй шаг в изучении системы: выбрать модель из класса нелинейных моделей и определить ее параметры на основе экспериментальных данных с помощью современных методов идентификации.

Цель работы. Целью настоящей работы являлось исследование методов идентификации сложных систем на основе критерия наименьших квадратов, критерия минимальной квадратичной невязки и статистического подхода, а также их практическое применение для задач биофизики, биохимии и геобиофизики. В соответствии с целью работы были поставлены следующие задачи:

- построение модели биологического возраста на основе критерия наименьших квадратов, устойчивой к изменению популяционной выборки;

- оценка величины климатической чувствительности Земли для различных концентраций углекислого газа в атмосфере на основе аппроксимации полиномами 2-й и 3-й степеней.

- разработка метода вденшфикации дая широкого класса нелинейных .д инамических систем, позволяющего решить задачу идентификации в аналитическом виде для

- разработка новою сгашеггического подхода к описанию нелингйных динамических

Методы исследования. Для изучения свойств математических моделей основным методом является вычислительный эксперимент. Все вычисления проводились с использованием встроенных функций системы MA1 LAB 6.1 [1]. Так, дня решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Рунге-Кутта (функция ODE45) с использованием формул 4-го и 5-го порядков и автоматическим выбором шага на неравномерной сетке. При численном интегрировании использовалась функция TRAPZ с применением метода трапеций. Дня вычисления производных вместо функции EHFF использовалась модифицированная нами схема вычисления производных в узлах разбиения, что позволило повысить точность вычислений. При вычислении обратных матриц использовалась функция INV. Алгоритм реализации случайной шумовой компоненты основывался на использовании функции RANDN. Аппроксимация полиномами 2-й и 3-й степеней проюдилась с использованием функции POLYF1T.

Наряду с численными методами исследования динамических систем использовались аналитические методы, среди которых методы идентификации систем на основе критерия наименьших квадратов, методы статистического анализа для исследования свойств нейронных сетей, в частности, Центральная предельная теорема

Для получения параметров ритмической активности сердца использовался процэамшо-аппаратный комплекс <Окспресс» (Центр Н И М "Контракт") [2].

Научная новизна работы. Впервые проведено численное оценивание параметров линейной регрессии для задачи определения биологического возраста человека, где в качестве биомаркеров старения были выбраны параметры ритмической активности сердца, которые в большой степени отражают состояние всего организма, поскольку ритмическая активность регулируется нервными и гуморальными факторами центральной нервной системы. На основе достаточно большой статистической выборки нами бьшшлучетбазаданнькосвязи параметров ритмической активности с календарным возрастом человека, что дало возможность построить модель, устойчивую к изменению популяционной выборки. Показан принципиально нелинейный характер процессов старения, что приводит к выводу о необходимости использования нелинейных моделей с учетом того факта, что старение является сложным многопараметрическим процессом. Построена нелинейная модель биологического возраста

На основе проведенного анализа пшеоклиматических данных, полученных при бурении ледникового шита в Антарктиде, оценено значение климатической чувствительности Земли для различных концентраций углекислого газа в атмосфере. Отметим, что вопрос правильного применения методов идентификации при изучении такой сложной нелинейной динамической системы, каковой является климатическая система Земли, приобретает особую значимость в связи с наблюдаемыми в последние десятилетия изменениями климата, причиной которых является парниковый эффект.

этого метода для конкретньк нелинейных динамических систем: моделей с предельными циклами (осциллятор типа Ван дер Поля и брюсселятор), модели с квазистохастическим поведением (странный аттрактор Ресслера). Показана высокая устойчивость метода к шумовой компоненте динамических параметров.

Предложено использовать видоизмененный функционал минимальной квадратичной невязки с целью учета экспфиментальной погрешности измерения динамических параметров для вышеупомянутого метода идентификации, что позволяет повысить точность вычисления констант динамической модели. Эффективность такого метода демонстрируется на примере задачи идентификации констант химической реакциидля системы свертывания крови.

Предложен новый статистический подход для описания нелинейных динамических систем, таких как нейронные ансамбли. Подход был применен для решения ряда конкретньк задач: оценки информационной емкости нейронных сетей, оценки эффективности процесса обучения и подбора параметров обучения. Статистический подход оказался также полезным для определения степени активности связанных между собой двух популяций нейронов и предсказания поведения системы в последующий момент времени.

Практическое значение работы. Разработка общих методов идентификации для нелинейных динамических систем позволяет решать специальные задачи биофизики, биологии, медицины и т. д. Например, возможно применение предложенного нами метода идентификации на основе минимальной квадратичной невязки для изучения кинетики сложных реакций (феномена колебаний рецепторного связывания или кинетики реакций системы свертывания крови), для стохастических и автоколебательных систем (реакция Белоусова-Жаботинского). Метод может найти применение для исследования многопараметрических систем, например, в теоретической медицине для разработки количественных моделей таких сложных системных заболеваний как рак, атеросклероз, артериальная пшертензия, а также для создания теории старения как союкупности патологаческих процессов и системных заболеваний. Возможности применения данного метода на сегодняшний день обеспечивается широким внедрением новых компьютерных и технических разработок для получения экспериментальньк данных (например, ЭПР- и ЯМР-спектроскопии), позволяющих получать большие массивы информации с достаточно высокой степенью подробности.

Для нейронносетевых моделей практическое значение состоит в возможности применения полученных результатов как для понимания работы человеческого мозга, так и для создания искусственных нейронных сетей — либо на основе искусственных нейронов (нейрочипов), либо на базе компьютерных программ-имитаторов. Отметим также, что модели нейронных сетей могут применяться для идентификации нелинейных динамических систем, путем их обучения в ссхлвегствии с набором входных и вькодных сигналов.

Практическое значение разработанной нами модели биологического возраста состоит в возможности ее использования совместно с другими методами для массовых обследований населения, мониторинга окружающей среды, контроля действия лекарственных препаратов и пишевых добавок (БАДов).

Предложенный нами анализ палеоклиматических данных используется для тестирования климатических моделей. Отметим, что анализ палеоклиматических данных является практически единственным на данный момент методом проверки климатических моделей, поскольку экспериментальная проверка подобных моделей невозможна.

Апробацияработьь Результаты исследований, изложешыхвработе,докладьюалисьи обсуждались на научных семинарах:

ИМАШ РАН (руководитель семинара - дф.-мл. ВВ. Смолянине»), ИТЭБ РАН

(руководитель семинара - дф.-мл ЛБ. Медвинский), Кафедра биоинформазики

биологического фатодалета МГУ (руководитель семинара- к.ф.-мн. ОВ. Демин).

Результат работы также докладывались на следующих конференциях:

2-й Съезд биофизиков России (Москва, 1999);

Меяе^народная научно-практическая конференция «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья» (Санкт-Петербург, 1999);

Школа-конференция «Горизонты физико-химической биологии» (Пущино,2000);

12-я конференция молодых ученых ИМАШ РАН (Москва, 2000);

13-я конференция молодых ученых ИМАШ РАН (Москва, 2001);

Международная научно-практическая конференция «Измерительные

информационные технологии и приборы в охране здоровья» (Санкт-Петербург, 2003);

2-й съезд геронтологов и гериатров России (Москва, 2003);

Международный семинар «Экология и здоровье, экологическая медицина. Управление качеством жизни». (Москва, 2003);

Итоговая научная конференция ИЕК РАН (Пушцно,2003);

8-я экспериментальная конференция по хаосу (Флоренция, Италия, 2004);

3-й Съезд биофизиков России (Воронеж, 2004).

Публикации, По материалам д иссертации опубликовано 16 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех пив, основных выводов и результатов и списка цитируемой литературы (193 названия). Диссертация изложена на 175 страницах, содержит 3 8 рисунков и 7 таблиц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Процедура идентификации системы, как правило, включает три этапа; 1) выбор модели на основе предварительной информации о поведении системы; 2) получение данных наблюдений, исходя из особенностей модели и экспериментальных возможностей; 3) определение идентифицируемых констант модели и оценка степени соответствия данной модели наблюдаемым данным. Выбор модели осуществляется либо на основе физических закономерностей, лежащих в основе изучаемого явления, при этом идентифицируемые константы модели имеют определенный физический смысл, либо вьйираелся произвольная модель из некоторого класса, а констаты рассматриваются как варьируемые средства подстройки моделей к имеющимся д анным и не отражают физики процесса. Для определения констант модели широко применяется подход минимизации функции ошибки предсказания [3], которая вычисляется в соответствии с используемым критерием и с учетом наблюдений. Подобные методы используют такие хорошо известные критерии оценки ошибки тредеказания, как критерий наименьших квадратов, критерий максимального правдоподобия,

В данной работе используется критерий наименьших квадратов для задачи определения биологического возраста и для задзчи определения климагшческой чувствительности Земли (пива 2), а также предложенный нами критерий минимальней квадратичной невязки (глава 3).

Можно вадэппь в отдельную группу задачи исакдаанганешнейныхдшимичвских систем. В данной работе это системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) в явной форме Коши с нелинейной правей частью (глава 3) и модели нейронных сетей, описываемые с помощью вероятностного подхода (глава 4).

Асимптотические методы цденгафикации таких систем часто бывают неприемлемы, поскольку подобные приближения ведут к потере точности описания поведения системы. Поэтому для первой задачи (пива 3) нами предложен подход, с помощью которого константы модели находятся на уровне системы ОДУ, а для второй задачи (глава 4) предложен статистический подход на основе Центральной предельной теоремы, основным моментом которого является получение интеграла вероятностей для суммарного синагаического тока отдельного нейрона Для таких динамических моделей путем варьирования параметров модели можно получить характерные фазовые портреты, дающие представление о поведении системы.

Отметим, что при планировании экспериментов ранее приходилось ограничиваться моделями с небольшим числом параметров. Дело в том, что среди специалистов в области идентификации систем широко распространено мнение, что «за исключением отдельных частных случаев, нелинейная задача предсказания (идентификации) не имеет конечномерных решений» [3]. При этом имеется ввиду именно отсутствие аналитических решений. Использование же численных методов для нелинейной задачи ограничено техническими возможностями вычислительных машин.

Предложенный в работе метод идентификации на основе минимальной квадратичной невязки (глава 3) позволяет представить решение задачи идентификации широкого класса нелинейных систем в аналитическом виде. При этом задача сводится к решению системы линейных уравнений. Отметим, что для решения систем линейных уравнений существуют быстрые численные алгоритмы.

Глава 1. Краткий обзор современных методов идентификаций систем

В этой главе излагаются основные методы идентификации систем. Дается анализ математических моделей, рассматривается вопрос выбора модели - определения функциональной зависимости и параметризации модели. Рассматриваются методы аппроксимации функций с использованием критерия наименьших квадратов. Обсуждается подход к идентификации, основанный на ошибке предсказания. Дается краткий анализ программных (нейронносетевых) моделей.

Глава 2. Использование линейных и нелинейных регрессионных моделей для задач биофизики и геобиофизики

В данной главе используется 2 примера регрессионных моделей, - один с относительно большим числом параметров для задачи определения биологического возраста (БВ), другой -с небольшим числом параметров для задачи определения климатической чувствительности Земли. В первой части настоящей главы используется линейная регрессионная модель для задачи БВ. Несмотря на относительную простоту выбранной модели, использование параметров ритмической активности сердца в качестве биологических маркеров старения позволило получить нетривиальный результат. Рассматривается также вопрос о возможности применения нелинейной (квадратичной) регрессионной модели для более точного описания изучаемой системы. Во второй части главы рассматривается задача применения нелинейных регрессионных моделей (агтроксимация полиномом степени п=2, 3) для задачи из области геобиофизики. Такой подход к анализу палеоклиматаческих данных позволил получить надежную оценку весьма важной характеристики климатической системы Земли — так называемой климатической чувствительности.

Определение биологического возраста человека па основе параметров ритмической активности сердца

flflflhtfMMI

Для нашей модели биологического возраста (БВ) использовались параметры ршмограммы до и во время нагрузки, а также в переходный период (оргастическая гроба).

Ртмограмма представляет собой 'ühk ll упорвдоченную последовательность

кардиоингервалов At™, где А/** -временной интервал между R-

ишнммнмнннннвмшннпнярц ЭКГ (в сек-Х i - НОМФ

ööm m ¡и огкоетм "!i"61кардиоинтервала. Ритмограмма

может бьпь представлена в виде

Рис. 1. Ритаограмма испытуемого (24 года). гРвФикя ^ 1>> по 0,31 а6сщюс

которого слкгвдывакжя номера

кардиоингервалов, а по оси ординат - временные интервалы между R- зубцами ЭКГ [4].

В качестве исходного набора биомаркеров старения для нашей модели были

использованы 22 параметра ритмической активности (А,, где / — номер параметра) и один

единичный параметр^ = 1, введенный для единообразною описания свободного члена в

линейной регрессионной модели.

Для определения биологического возраста человека использовалась линейная

регрессионная модель:

а)

где Wt - биологический возраст i - го пациента (i = 1. .N), AtJ - биологические маркеры (параметры римограммы), - консташьг модели {] = 1..л). Из условия минимума

квадратичного функционала; Ф (v}) = - min ,где Wr калевдарный возраст (KB)

/-то пациента, легко получил, систему линейных уравнений: J^v'i/ = cJ, ще

(1 = 1..л). Константы модели тогда вычисляются

I i

стацщлным образом:

v'=2V (б/)"1. (2)

Для статистической обработки полученных результатов использовалась выполненная автором программа на базе системы MATLAB 6.1 [1]. Применялись стандартные статистические методы корреляционного и регрессионного анализа Для сценки качества аппроксимации БВ вычислялся множественный коэффициент корреляции [5, с.90]:

--^-, где Wcp =—]Г Ж, ,и-кшичество параметров модели.

¿IW-^)2 N'=l

я м

Проверка гипотезы Но о равенстве нулю коэффициента корреляции г проводилась с использованием F - распределения [5, с.93]. Построение доверительных интервалов для коэффициента корреляции г [5, с .66] основывалось на предположении о приближенно нормальном распределении величины г для больших объемов выборки. Цри оценивании погрешности параметров множественной линейной регрессии использовалось t-распределение [5, с342]. Параметры аппроксимирующих функций определялись с использованием функции potyfk системы MATLAB 6.1 [1], которая находит коэффициенты полинома степени р-1, агтроксимирующего функцию в смысле МНК.

На основе экспериментально полученной нами базы данных зависимости БВ от КВ для 830 испытуемых были рассчитаны константы v¡, т. е. построена модель БВ (23 параметра). На рис. 2, а показаны графики зависимостей ГО от КВ для совместной выборки мужчин и женщин в возрасте от 20 до 70 лег. Объем экспериментальной выборки (количество ритмгарамм) составляет №=830, коэффициент корреляции r=0.67 ± 0.04 (1^=0.45). Для женщин

Рис.2. Зависимости биологического возраста (>V, годы) от календарного (РV, щд ы), 23 параметра; а- для совместной выборки, б- для женщин, б- дня мужчин. Прямая 1 сослвегявует случаю БВ=КВ, прямая 2 - должный биологический возраст

- W

зги показатели составили №471 и гж=0.68±0.06 (¿=0.46), для мужчин N=359, г„=0.70± 0.06 ' (гЦ).49) (уровень значимости р=0.05) (рис. 2, б, в). Коэффициенты корреляции статистически значимо отличаются от нуля, Но - гипотеза отвергается с уровнем значимости а = 0.01.

Полученные коэффициенты корреляции сраишмы с получаемыми датами методиками; хота и несколько меньше [6, 7]. Например, для широко известной киевской методики для модели с 14 параметрами - гж=0.84, гм=0.93; для модели с 4 параметрами -гж=0.76, гм=0.79. Применение киевской методики для другой популяции, по выборке которой

модель не строилась (проверочной) дет более низкие коэффициенты корреляции: для модели с 14 параметрами - гж=0.72, гм=0.55; для модели с 4 параметрами - гж=0.48, гм=0.41.

,. Показана высокая устойчивость полученной в настоящей работе модели с 23 параметрами к изменению гопуляционной выборки. Это можно проиллюстрировать путем раадэкния основной выборки на д ве равные части и, исшль^ налу модажБВ, определить коэффициенты корреляции для обучающей (по которой определялись параметры модели) и проверочной выборок. Усреднение го 50 вариантам разбиения выборок дает значения для соответствующих коэффициентов корреляции - грО.68 ± 0.04, гг=0.60 ± 0.06 (р=0.05) и для дисперсии регрессионных остатков - <т2 =91.8 (гю проверочной выборке), где

о*-2 ог.-ю2 /(*-»)•

/=1

При построении модели ЕВ одним из важных вопросов является вопрос отбора биомаркеров. Для нашей модели методом исключения были отобраны десзпь наиболее значимых параметров. Метод исключения состоит в там, что на каждом шаге из полного набора последовательно исключается тот параметр, в отсутстаие которого корреляция БВ и КВ для общей выборки оказывается максимальной. Для десяш параметров коэффициенты корреляции дня общей, женской и мужской выборок составили, соответственно, г<й1г0.67±0.04 (¿Ч1.45), гж=Ю.6б± 0.06 (¿=0.44), гм=0.67± 0.06 (гЧ).45), (р=0.05). В табл.1 показаны . значения констант модели с десятью параметрами При тестировании на устойчивость к

Таблица 1. Значения констант линейной модели с десятью параметрами (биологическими маркерами), отобранными методом исключения. ЧСС - частота сердечных сокращений, СКО - среднеквадратичное отклонение, РЗ, Р4- спектральные плотности для диапазонов 2-7 сек., -и менее 2сек., РА - резерв адаптации, ФС - функциональное состояние, ЭС - наличие экстрасистол, Кг - параметр переходного процесса, Ац - единичный параметр; (л) - в положении лежа, (с) - в положении стоя

№ Название параметра Констанш линейной модели (Р=0.1) Среднеквадратичное отклонение биомаркеров сгу

Общая выборка г=0.67± 0.04, гЧ).45 Женская выборка г-0.66±0.06, гЧ).44 Мужская выборка г=0.67± 0.04, г*=0.45

1 ЧСС (С) -6.10 ±0.63 -5.14 ±0.84 -5.83 ±0.98 13.85

2 СКО (л) -1.58 ±0.74 -1.49 ±0.98 -1.93 ±1.08 0.02

3 Р3(л) -0.55 ±0.70 -1.09 ±0.90 -0.28 ±1.04 79.10

4 Р3(с) -1.81 ±0.71 -1.52 ±0.89 -2.07 ±1.1 47.86

5 Р4(с) 1.05 ±0.69 0.52 ±0.79 2.80 ±1.3 87.12

6 РА 1.53 ±0.70 2.50 ±0.89 0.69 ±1.11 1.20

У ФС 2.67 ±0.83 1.40 ±1.06 3.55 ±1.29 0.82

8 ЭС 1.13 ±0.56 0.27 ±0.72 2.05 ±0.82 0.35

9 к2 2.48 ±0.69 1.66 ±0.86 2.92 ±1.13 0.08

10 Агз 47.68 ±6.39 53.00 ±8.31 39.00 ±9.73 -

изменению популяционной выборки были получены следующие значения коэффициентов корреляции: ггО.68±0.04 для обучающей, Г2=О.64±0.06 для проверочной выборок (дисперсия регрессионных остатков о2 = 84.4 ). Ошегим, что если построить модель БВ по более простому принципу, отобрав первые 10 ЕМ, для каждого из которых коэффициент корреляции с КВ больше,чем для оставшихся ЕМ, то во-первых, набор отобранных параметров будет огаичнгься от приведенного в таблице, и, во-вторых, коэффициент корреляции КВ иБВ для модели БВ с тими параметрами будетаиже (^=0.52 ± 0.06, гж=0.55 ± 0.04, гм=050 ± 0.06 X чем для модели, ще параметры отбирались методом

исключения. Выполненная нормировка параметров модели позволяет оценить значимость каждого параметра доя определения БВ исходя из величин koi клант модели v¡.

При применении полученной модели БВ для более широкого диапазона возрастов (от 4 да 90 лег) показан принципиально нелинейный характер процессов старения (завышение ЕВ дня молодых возрастов и занижение БВ для старших возрастов). Это приводит к выводу о необходимости использования нелинейных моделей с учетом того факта, что старение является сложным многопараметрическим процеосом. На основе отобранных 10 параметров вышеупомянутой линейной модели построена нелинейная (квадратичная) модель БВ с 55 параметрами и проведена процедура отбора наиболее информативных биомаркеров методом исключения. Полученные коэффициент корреляции для квадратичной модели с 10 параметрами и модели с 15 параметрами составили, соответственно, r1(j=0.69 ±0.04 и rifOJl ±0.04 (рЮ.05). Но - гипотеза отвергается с уровнем значимости а = 0.01. При тестировании на устойчивость к изменению популяционной выборки были получены следующее значения для коэффициентов корреляции для обучающей и проверочной выборок для модели с 10 параметрами rfOJO ±0.04, rjO.68 ±0.05(pF=0.05), дисперсия регрессионных остатков а2 = 78.3; для модели с 15 параметрами rfO.72 ± 0.04, rfO.69 ± 0.05

Отметим, что использование квадратичных моделей дает некоторое преимущество по отношению к линейным моделям биологического возраста Можно предположи^ что более сложные модели не повысят существенно качество аппроксимации. Это в большой степени связано с неравномерностью темпов старения отдельных индивидов и отчасти с варьированием показателей ритмической активности в течение относительно небольших промежутков времени (меньше года) для отдельно взятого испытуемого. Включение других, более стабильных показателей в модель, или использование совместно с данными моделями других моделей биологического возраста, может значительно улучшить качество аппроксимации.

Рассмотренные модели обладают тем преимуществам, что имеют достаточно хорошую устойчивость к изменению популяционной выборки и использование данной методики определения БВ может быть проведено в короткие сроки (не более 10 мин.)

Анализ палеоклиматических данных

На основе палеоклиматических данных, полученных на станции «Восток» га ледовых кернов [8] (рис. 3\ установлен универсальный характер зависимости величины климатической чувствительности Земли о^р^) от концентрации СОг- Используя палеоклиматические данные, в настоящей работе рассмотрена зависимость глобальной температуры от концентрации СОг (рис. 4). В результате математического моделирования получены формулы для квадратичной и кубической аппроксимации зависимости изменения со временил

температуры поверхности Земли А Т0 егт величины / = 1п(ро Ро °2 ^) -

где Рор?=280 ррш - доицдустриальная концентрация СОь р$02-текущая концентрация СОъ ДГо - отклонение от доиндустриального значения средаепланетарной температуры Из соотношений (3), (4) найчжа зависимость величины климатической чувствительности Земли

(а2 = 78.6).

ДГ0 = 32.5-/2 +33.6-/+0.5

ДГ0 =63.9 -/3 +70.5 -I2 +39.2 -/ + 0.6,

(3)

(4)

оСр^) = йМ-0/Д от концентрации СОг (рис. 5). Следует отметить, что величина климншческой чувствительности, полученная ш палеоклимаянеских данных, намного лучше! согласуются с величиной, вычислений на основе рздцационно-адиабаггаческой модели [9], чем из широко известной радиационно-конвекшшой модели [8].

Глубина, м

130 200

Возраст, тыс. лет

Рис. 3. Палео климатические данные а - концентрация С02, б - температура, с концентрация СЩ.

аг„, 'С

ДГ., "С

■01 -С < -О I -С.2

п=2

01 02 /

Рис.4. Нелинейная регрессия: а - квадратичная аппроксимация, б - кубическая аппроксимация.

Для математической обработки результатов использовалась выполненная ангаром программа на базе системы МАПАВ 6.1 [1]. Параметры аппроксимирующих функций (3), (4) определялись с использованием функции рЫф системы МАТЬАВ 6.1, которая находит коэффициенты шлиома степени р-1, аппроксимирующего функцию в смысле МНК. Дня полученных моделей был определен иццекс корреляции [5, с.81]:

14 /-1

, где ЛЕ=286 - количество экспериментальных точек, /7=3(4) -

количество праметров модели, 7] - экспериментальные значения отклонения температуры от доивдустриалыюго значения,/-значения аппроксимирующей функции ДГ0(/) (выражения (3), (4)), Тф — среднее значение величины Тг Доверительные интервалы для ивдекса корреляции вычислялись в предположении о приближенно нормальном распределении величины г для больших объемов выборки. Определялась также оценка среднеквадратичного отклонения ст для величины е, =Т, - /, - отклонения экспериментальных значений величины 7} от значения апгроксимирующей функции Были получень1 следующие оценки: для кводшичнсй аппроксимации: г = 0.88 ±0.03 (а =0.05), г2 = 0.7730, а = 2.035; для кубической аппроксимации: г = 0.88±0.03 (а = 0.05), г2 = 0.7738, а = 2.029 (а -уровень значимости для г). Но - гипотеза об отсутствии корреляции отвергается с уровнем значимости а = 0.01.

Рис.5. Зависимость климатической чувствительности от концентрации СОз.

СО 2

Ро , ррт

Таким образом, нами показано, что используемая в климатологии величина климатической чувствительности Земли не является постоянной, а изменяется в зависимости от концентрации углекислого газа в атмосфере. При этом квадратичная и кубическая аппроксимации достаточно хорошо описывают наблюдаемые изменения климатической чувствительности Земли и могут быть использованы для тестирования климатических моделей.

Глава 3. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки

В данной главе рассматривается задача вдентификации для широкого класса нелинейных динамических моделей, представленных ОДУ в явной форме Коши. Подобные модели могут использоваться для изучения различных биофизических и биохимических процессов, где простые асимптотические методы идентификации неприемлемы, а численные методы не могут быть использованы по причине наличия большого числа параметров, подлежащихидентификации.

Формулировка метода идентификации

Рассматривается класс нелинейных динамических моделей, представленных системой дифференциальных уравнений в яеной форме Коши:

= Е а/^/Х^Х^), 0, (5)

т м

где Х$) -набф динамических параметров изучаемого явления (/ = 1,...,Л0, {«■'Ь-магрида

констант д инамической модели (7=1.....м), ^/Х/<)>■■■ ,Хц(О, О- набф линейно независимых

непрерывных функций, удовлетворяющих условию Липшица [10]. В отличие от прямой задачи моделирования, задача идентификации (или обратная задача моделирования) состоит в нахождении матрицы констант динамическш модели {я-'},- на основе известных зависимостей от времени динамических параметров Х,@). Набор констант динамической модели а{ определяется из условия минимизации функционала квадратичной невязки для конкретной реализации временной зависимости набора динамических параметров изучаемого явления ХД):

/ \ " % (ЛХ м I2

/=1/, I Ш М )

Ошешм, что согласно теореме существования решения нормальней системы (системы ОДУ в явной форме Коши) [10], последовательность приближенных по невязке решений, сход ящаяся по невязке на отрезке [(0, Т], сходится равномерно на этом опрезке к функдаи

Х(1). Нетрудно показать, чю матрица констант динамической модели обеспечивающ ая минимум функционала (6), может бьпь вычислена »посредственно:

•{«'},== {си}({г>;}Д (?)

где элементы магриц {Ъ^},, {с™},- (т, у = 1,..., М) следующим образом выражаются через набор динамических парамэтров ХД'):

(6)

» <1

ст

Ъ.т = .....Х2((),0Р1т(Х,(0.....Х„Ш))ь, (8)

» '1

.....(9)

Как мы видим, задача идентификации исходной нелинейной модели (5) в рамках 1фитерия минимума квадратичной невязки получает простое аналитическое решение (7 - 9).

Огметим существование важного частного случая - класса нелинейных динамических моделей, представленных системой дифференциальных уравнений в явной форме Коши с квадратичной правой частью:

(ю)

где Х/О - набор динамических параметров изучаемого явления (г = 1,...,Л'), [г/1-'2} -маярица констант данамической модели С/, < =1,...,^.

В рамках квадратичной модели (10) существует возможность наряду с квадратичными описывать также линейные по Х,(1) слагаемые и свободные члены в правой часта уравнений путем добавления к наберу ¿V динамических параметров Х,($ в (10) формального параметра Хо(0 = 1 .Равенство = 0 обеспечивает непротиворечивость №Т -мерноймодели.

В качестве примера использования модели с квадратичной правой частно можно привести задачу идентификации констант биохимических реакций. Конеганш динамической модели а;соответствуют константам биохимических реакций, а динамические параметры изучаемого явления Х/^-юнцеетрацишучаствующихвреаквдяхвещесш.

Таким образом, для построения интегральной модели сложной системы (явления) следует лишь получил, некоторый массив данных (достаточной степени подробности) об изменении во времени определяющих систему (явление) параметров Х$).

Тестовые задачи идентификации для нелинейной динамической модели с предельными циклами

Рассматривается применение данного метода на примере тестовой задачи идентификации нелинейного осциллятора с тремя степенями свободы:

№-1 -мерная квадратичная модель (N=3):

<!Хг (")

—-—- ~Х0Х^ + Х§Х2 —X^Хз

с1Х

•■ — кХл X1 — кХ пХ -г

л 11 03

Отметим, что при к система уравнений (11) списывает стандартный осциллятор Ван дер Поля [11]. Матрица констант динамической модели (10) {а/и2} (при к = 1) будет иметь вид представленный в таблице 2

Тестирование метода производится в несколько этапе®. На первом этапе получаются решения системы (11) на некагором временном интервале / е [0,20] методом Рунге-Кугш с использованием формул 4-го и 5-го порадков и автоматическим выберем шага на неравномерной сетке, всего Р= 157 значений, которые рассматриваются как массив данных об юненении во времени динамических параметров изучаемой системы Х, (() (рис.6, а).

ТабдиюХЗ^ичмияматрвдыконстздтдтамичз^^

Номер ураюв- НИЯ,! Точные значения {<к} ВоссганошкнкьЕзначзшя Восстановленные значения {а/иг } ;<Г=0.06

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0.00 0 0 0.00 0.00 0 0 0 0.00 -0.08 0.07 -0.02 0.10 0 0.02 -0.01 -0.06 0 0 0.03 0.03 0 0 0 -0.07

1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00 -0.00 0.99 -0.00 0 -0.00 0.00 0.00 0 0 -0.00 -0.00 0 0 0 0.00 0.10 -0.11 1.04 -0.17 0 0.03 -0.04 0.08 0 0 -0.00 -0.00 0 0 0 0.05

2 0-110 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -0.00 -0.99 0.98 -0.01 0 0.00 -0.00 0.00 0 0 0.00 -0.98 0 0 0 0.00 -0.05 -0.94 0.92 0.06 0 0.02 -0.00 -0.01 0 0 0.01 -0.92 0 0 0 -0.04

3 0 0 0 -1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00 -0.00 0.00 -1.00 0 0.99 -0.00 -0.00 0 0 0.01 -0.00 0 0 0 0.00 0.02 -0.02 -0.03 -1.04 0 0.97 0.03 0.02 0 0 -0.02 0.02 0 0 0 0.04

Рис.6. Временная зависимость динамических параметров системы уравнений типа Ван дер ПоляЛ)Г0 (где / = 0,. ..,3); а - в отсутствие шумовой компоненты; б - при наличии шума 5=0.06.

На втором этапе, считая констанш динамической модели а'хп неизвестными, восстанавливаются их значения в соответствии с формулами (7-9). Восстановленные значения обозначаются а/1;з (таблД). Для них ошибка не превышает 2%. Имеется также возможность применения настоящего метода при наличии шума. В таблице 2 приведены восстановленные значения при наличии в модели шумовой компоненты с

амютпудой 5 = 0.06 (рис.6, б). Несмотря на довольно высокий уровень шума, средняя ошибка в определении значений а/^2 не превышает 10%. При увеличении количества экспериментальных точек Р точность определения элементов матрицы {а/иг} будет расти.

Рассмотрено применение данного метода на примере тестовой задачи идентификации 3-х молекулярной системы, так называемого брюоселятора - наиболее простой модели,

проявляющей свойства самоорганизации [12]. Классическим примером самоорганизующейся шлемы, более сложной, нежели брюсселягор, является реакция БелоусовагЖаботинского. Эволюция брюсселятора может бьпъ ошкана системой ОДУ:

А-(В+\)Хх+Х{Хг

^ = ВХ1~Х11Х2 Л 112

(12)

где Х1, Х2 - концентрации реагирующих веществ, А, В-константы. Матрица констант динамической модели (12) имеет вид: а,' = ^ ■ В таблице 3 приведены

значения константу/ } (при А = \,В = 2). Таблшю13йЕташшгрщь1конпшг.ш«^

Товдыгзгояэшя ВООСШНОШЕЯНЬЕ значения я/; 5=0 ВОССШЖЖГНШЬЕ знанзшя я/; 5=0.06

1 -3 1 0 2-1 0.99 -2.99 0.99 000 199 -099 1.00-297 058 003 187 -095

Тестирование метода проводится по такому же алгоритму, что и в предыдущем случае. № рис.7, а показаны восстановленные значения динамических параметров X,(() на временном интервале ¡е [0,50] (общее количество точек /И001). Сравнение точных и восстановленных значений динамических параметров дает ошибку, не превышающую 0.4%. При наличии шума 5= 0.06 ошибка не превышает 6% (таблЗ).

В диссертации рассматривается еще один пример использования предложенного метода для задачи идентификации системы, имеющей квазисгохасгическое поведение, -аттрактора Ресслера [13]. Эта задача интересна тем, что необходимо вдешифицировать

поведение системы, для которой отсутствует предельный цикл или устойчивый фокус в фазовом пространстве, но траектория движения точки занимает ограниченный объем этого пространства.

Системаураетенийдта аттрактораРесслераимеетЗ степени свободы:

(13)

Дня квазистохастических систем метод линейного приближения динамических уравнений неприменим, вследствие принципиального отсутствия у подобных систем линейного асимптотического поведения. Рассматриваемый метод позволяет использовать общий вид нелинейной динамической модели и определить константы динамической модели

в анашпическом виде.

Рис. 8. Временная зависимость динамических параметров системы уравнений апракгора РесслсраЛ"/;); а - в отсутствие шумовой компонент; б - при наличии шума 5= 0.12.

Ранения системы ОДУ в явной форме Коши для аттрактора Ресслера получены методом Рунге-Купа на временном интервале /е [0,100], всего Р=2001 значение (рис.8, а).

Имеет место хорошее соответствие точных а,лл и восстановленных значений а/ш -ошибка не превышает 5%. Несмотря на высокий уровень шума 5=0.12 (рис.8, б), средняя оцпйка в определении значений «/'л не превышает 15% (табл. 4).

Таблица 4. Зйатаиякшрщыксистакгдинамичхкйш,г^^ алраиираРеосдераА-

В0МфУраИКЯР1^/>С1р(ЖИ,/2-С1О|й1Ь1).

Номер уравнения,! Точныгзшчзшя Воссшюшкшыезначзшя ВосстаношишьЕ значения {а/1''2 } ;5=0.12

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0.00 0.00 0.00 0 0 0.00 0.00 0 0 0 0.00 -0.00 -0.00 -0.00 -0.00 0 0.00 -0.00 -0.00 0 0 -0.00 0.00 0 0 0 0.00

1 0 0 -1-1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.00 -0.00 -0.99 -1.02 0 0.00 0.00 0.00 0 0 -0.00 0.00 0 0 0 0.00 -0.03 -0.00 -0.99 -0.77 0 -0.00 0.00 -0.01 0 0 0.00 -0.03 0 0 0 -0.00

2 0 1 0.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.00 0.99 0.19 0.00 0 -0.00 -0.00 -0.00 0 0 -0.00 0.00 0 0 0 0.00 -0.00 0.99 0.19 -0.07 0 0.00 0.00 0.01 0 0 0.00 0.01 0 0 0 0.00

3 0.2 0 0 -5.7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.17 -0.00 0.00 -5.59 0 0.00 0.00 0.98 0 0 0.00 -0.00 0 0 0 -0.00 0.18 -0.00 0.00 -4.67 0 -0.00 0.00 0.92 0 0 0.00 -0.14 0 0 0 -0.02

Учет характера экспериментальной погрешности

Если ошибка измерений пропорциональна значению измеряемого вещества Х: (/) в определенных диапазонах Х1 (I), что характерно, например, для биохимических задач, то повысить точность вычислений констант динамической модели можно путем модификации функционала квадратичной невязки (10), поделив каждое слагаемое по /' на значение но динамического параметра:

¿4ЛЛ)=—-——- У>/1/2 —1—хмх,м К> ' [Х/О+е, Л „¿о -ОД + *, Л Н

(14)

ще С/ - регуляркзирующий параметр. Фактически этой процедурой вводятся веса

р, (/) = * , обрагао пропорциональные ошибке измерений. Чем меньше значение Х{ (() Х/(0

для данного временного интервала, тем меньше ошибка измерений, а значит, тем с большим весом в функционале берегся величина X, (/).

При определении констант химических реакций при малых значениях регуляризирукяцего параметра. е, в большей степени используется информация в области низких значений концентраций. При больших значениях е, используется информация практически во всем диапазоне значений X ДО, но информация о значениях величины .УД/) в области низких значений концентраций уже учитывается в меньшей степени, нежели это было в предыдущем случае. Выбор оптимального параметра е, определяется границей доминирования абсолютной и относшепшой ошибки имерешгё для каждого параметра^.

,0'1---,-,-

О 5 10 16 20 25

Время, минуты

Рис.9. Результаты восстановления кинетики химических реакций для различных £: а - для е-ОпМ, б-дпя £=10 пМ, в - для £=1000 пМ (для к1,к_1р< 0.05)

В диссертации дается пример использования такого подхода для исследования кинетики конкретной биохимической реакции - ингибирования фактора Ай ингибитором ТУР/ в процессе свертывания крови [14]. Задача идентификации состоит в нахождении констант химической реакции для одношагового процесса: Е+1 о Е1, ще£-фактор^ I- ингибитор Т¥Р1 Для этого используются серии экспериментальных зависимостей концентрации вещзсгва Е от времени при различных началшых концентрациях ингибитора I (рис 9, а). Результаты восстановления кинетики химических реакций для различных е (в данной случае имеется один динамический параметр X (/) = Е) показаны на рис. 9, а, б, в. Значками показаны экспериментальные значения концентрации вещества Е. Сплошными линиями показаны восстановленные значения концентрации вещества Е в соответствии с вычисленными динамическими константами модели. Видно, что при е = 0 пМ обеспечивается хорошее совпадение экспериментальных и восстановленных значений концентрации вещества Е в области малых значений концентраций вещества Е. При г = 1000 пМ обеспечивается хорошее совпадение при больших значениях концентраций вещества Е. При е = 10 пМ удается наши оптимальное решение. Па рис. 9, а, б, в указаны значения констант химических реакций (/о, к.;), соответствующие различным значениям параметра г. Значения констант усреднены по шли сериям экспериментов. Заметим, что отклонения от средних значений минималшы для случая, когда е = 10 пМ. Это говорит о том, что при вычислении констант для е = 10 пМ учитываются значения как в области низких, так и в области высоких значений концентраций вещества Е.

Глава 4. Исследование свойств нейронных сетей как модельных динамических систем в рамках задачи идентификации

Актуальность изучения свойств моделей нейронных сетей обусловлена, в частности, большими перспективами их применения в будущем при решении сложных задач идентификации нелинейных систем. структура таких моделей устанавливается путем их обучения (настройки весовых коэффициентов) в сххлветствии с наборами входных и выходных данных некоторой эталонной выборки. В настоящей пиве рассматривается задача оптимизации обучающей процедуры, т. е. нахождения такого алгоритма обучения, который бы обеспечивал как высокую скорость, так и достаточно высокую точность обучения.

Помимо того, что нейронные сети могут быть использованы для задач идентификации систем, динамические свойства самих нейронносетевых моделей могут изучаться с помощью других методов идентификации. Дтя анализа моделей нейронных сетей в настоящей работе предлагается относительно общий подход, основывающийся на Центральной предельной теореме.

Модели нейронных сетей могут также применяться для задач распознавания образов. В связи с этим в данной главе дается оценка числа стационарных ссстояний для сети Хопфилда

Общим для различных типов нейронных сетей является понятие порогового элемента (модельного нейрона). Союкупность взаимодействующих пороговых элементов является нейронным ансамблем. Его динамика для широкого класса моделей нейронных сетей списывается уравнением:

(/+*)=/(!;(о! /=цу, (15)

\.Л=1 у

где ЛГ- количество нейронов, 5,(0 - состояние /-го нейрона (0 или 1), Кы(()- весовой коэффициент, характеризующий связь, через которую проходит сигнал от п-го нейрона к г-му, и / (0/) -пороговаяфункция:

[о, е(<е^р

1, е,>(

(16)

где - порог возбуждения, = (0. Представление нейронной сети как

п=1

статистического ансамбля основывается на Центральной предельной теорема В соответствии

с этим сумма ^ распределена нормально при <», в предположении, что К¡п, -

Л=1

независимые случайные величины. Функция плотности вероятности имеет вид:

гехр<-

(9,-Ме)3

(17)

где - математическое ожидание, а £>0 -дисперсия в. В соответствии с этим поучены выражения для вероятности того, что нейрон находится в возбужденном состоянии:

/&пор-МI ^

I Щ

(18)

Модель взаимодействия популяций нейронов

При изучении взаимодействия нейронных популяций вводится понятие активности нейронов - А((), т. е. количества нейронов данной популяции, находящихся в активном 1 N

состоянии: A(t) = —V £,(/) = Р (/). Описанный выше статистический подход позволяет Nm

получил, выражение дня эволюции системы из двух взаимодействующих популяций с определенным числом "горящих" (возбужденных) нейронов А1 (/), Л2 (/). Исходя из (18), динамика активности нейронов первой популяции описывается уравнением:

A,(t+s) = -erfc

в^-ЕадпаЛДО-М,

а=!,2 _

,(19)

2^Na [Dna Аа (/)+М\,а (Аа (0 - Al (/))]+ 2 Da

где Mm, MKl2, DKU, DKn - параметры распределения весовых коэффициентов с соответствующими индексами, Nx и Иг - общее число нейронов в популяциях 1 и 2, a Msn, Dm - параметры распределения внешнего квазисгохастического бинарного сигнала, приходящего к нейронам первой популяция Динамика активности нейронов вирой

Рис. 10. Примеры динамического поведения нейронных ансамблей: а -предельный цикл (в отсутствие внешнего сигнала), б — фокус (относительно слабый внешний сигнал); в - фокус (сильный внешний сигнал)

популяции описывается аналогичным выражением. На рте. 10 приведены характерные картины динамического поведения нейронных ансамблей. В отсутствие внешнего сигнала существует стабильный предельный цикл (ос-риш). При наличии внешнего сигнала а-ригм исчезает. Отметим, что наши результаты согласуются с широко известной феноменологической моделью Вильсона и Коуэна [15], однако в нашем случае уравнения динамики активности нейронов не постулируются, а непосредственно выводятся из базовых уравнений, описывающих динамику пороговых элементов. Отметим также, что данный подход может быть обобщен для трех и более нейронных популяций.

Оценка числа стационарных состояний для нейронной сети Хопфилда

Предложенный нами подход позволяет оценить количество стационарных состояний для сета Хопфилда [16]. Показано, что математическое ожидание числа нейронов, находящихся в состоянии, отличном от заданного,

согласно (18), зависит как от общего числа нейронов М, так и от количества записанных в память конфигураций т, так что математическое ожидание имеет вид:

N1п / 1~.N 1 Значения М^ при различных /я иЛ^приведены в таблице 5.

Табли» 5. Мшшшичгскоеакидэшг состав т.

Общее Количество записанных Обшре количество ошибок

количэсгво впамяькафвураций. прирааюзнавании/л

нейронов^ т конфигураций, Мн.

ЛЧО т=2 Мп=0.015

=3 =039

=4 =137

=5 =2.88

=8 =933

лчоо т=5 МП=1.4Е4

=8 =0.063

=10 =0.433

=11 =0.8

=12 =15

=14 =35

=18 =13.9

ЛИООО т=14 Мп=124Ег14

=28 =1.62Е-5

=40 =&27Б-3

=45 =0.0Й

=60 =0.16

=55 =0.46

=1.16

=65 =25

^70 =4.9

Задача оптимизации обучающей процедуры

В данном разделе ставится задача оптимизации алшрима обучения нейронной сет, т.е. повышения скорости и точности обучения. Рассматриваются два пороговых элемента с весовыми коэффициентами К] и К2. Каждый пороговый элемент имеет N входов и один

выход На вход каждого порогового элемента подается одинаковый сигнал 5,1 = = . Первый пороговый элемент является обучающим. Это означает, что весовые коэффициенты первого порогового элемента не изменяются, а весовые коэффициенты второго меняются на величину д к таким образом, чтобы выходной сигнал второго элемента максимально совпадал с выходным

О <000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 *

сигналом первого 5вых (/), т.е. на Рис. 11. Зависимость вероятности ошибочного одинаковые внешние сигналы оба ответа * от времени обучения. 1 - пороговых элемента должны отвечать

малые значения да:, 2 - большие АК, 3 - схожим образом. Весовые оптимизированные АК в соответствии с (22). коэффициенты второго порогового

элемента модифицируются

следующим образом:

$(!+в) = К?(1) + ДДОад^КО - О))- (21)

Характер обучающей процедуры гаавным образом определяется параметром "наказания" АК. Для большого АК обучение проходит быстро, но точность настройки низка Для малых значений АК обучение будет медленным, хотя настройка становится более точней. Согласно предложенному подход ,', получено выражение для эволюции параметра "наказания" АК:

АКа + е) = (1-А, )АК(0 + А2 - 1, (22)

где \ , 0<А, < 1. Рис. 11 иллюстрирует результат моделирования процесса

обучения при различных способах определения АК.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен метод идентификацдадля широкого класса нелинейныхдинамических систем на основе минимальной квадратичной невязки. Демонстрируется применение этого метода для задач идентификации нелинейных моделей с предельными циклами, а также для модели с квазисгохастическим поведением. Показана высокая устойчивость метода к шумовой компоненте сигнала

2 Предложена модификация функционала минимальной квадратичной невязки для учета экспериментальной погрешности измерения динамических параметров. Показана возможность учета априорной информации о структуре модели применительно к идешификации сложных каскадов химических реакций. В результате сравнительного анализа интегральных и дифференциальных методов идентификации показано преимущество дифференциального метода при идентафикации многопараметрических нелинейныхдинамических систем.

3. Впервые проведено численное оценивание параметров линейной регрессии для задачи определения биологического возраста человека с использованием параметров ритмической активности сердца. На основе большой статистической выборки построена база данных этих параметров для пациентов различных возрастоа Большой объем базы данных (около 1000 обследованных) позволил создать модель биологического возраста, устойчивую к изменению популяционной выборки. Показан нелинейный характер процессов старения.

4. Сформирован сташстический метод описания динамики нейронньк ансамблей. На основе предложенного подхода решен ряд конкретных задач описания таких ансамблей: исследовано поведение системы, состоящей из двух популяций нейронов в фазовом пространстве в зависимости от значения управляющих параметров; оценена информационная емкость нейронной сети Хопфилда; дана оценка эффективности процесса обучения в зависимости от параметров обучения.

5. Показано, что величиштслиматичесюй чувствительности Земли не является постоянной, а изменяется в зависимости от концентрации углекислого газа в атмосфере. Полученные выражения для климатической чувствительности могут быть использованы для тестирования климатических моделей.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Kamaukhov A.V, Kamaukhova E.V. ТЪе neural netwoik as an object of dynamical descriptaL// In "Neuronal netwoiks: Theory and Architecture7'/ Manchester lAiiv. Piess.-Manchester.-1990.-P. 83-94.

2. Карнаухов AB, Карнаухова ЕВ. Экспертные системы на основе принципов функционирования нейронных сетей// 2-й съезд биофизиков России. Тезисы доки, Москва.-1999.

3. Карнаухов АВ, Карнаухова ЕВ. Методы идентификации систем в физиологии и медицине// Международная научно-практическая конференция «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». Материалы конф., Санкг-Пегербург.-1999. t

4. Карнаухов АБ, Карнаухова ЕВ. Методы идентификации систем в биояопш и медщин^//Шкота-конференция «Горизонт физико-химической биологии». Материалы шзф,Пугдано.-2000.

5. Карнаухова ЕВ. Использует ли человеческий мозг четырехзначную логику для принятия решений? // Тезисы 12-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.- Москва-2000.

6. Карнаухова ЕЛ, Карнаухов A3. Исследование возрастной динамики риша сердца человека на основе анализа параметров ришограмм// Тезисы 13-й конференции молодых ученых ИМАШРАН-Москва,-2001г.

7. Карнаухов АВ., Карнаухова ЕВ. Применение нового метода идентификации нелинейных динамических систем для задач биохимии// Биохимия.-2003,- Т. 68, выпЗ-С309-317.

8./ Карнаухов АВ, Карнаухова ЕВ. Оценка биологического возраста на основе атегарфизиологических данных//Клиническая геронтология - 2003.- Т5.- С. 165.

9. Карнаухов АВ., Карнаухова ЕВ. Задача стандартизации методов оценки биологического во^растаУ/ Труды международной научно-практической конференции «Измерительные

, информационные технологии и приборы в охране здоровья». -СПб - Нестор.- 2003,- С. 46,47.

10. Карнаухова ЕВ, Карнаухов АВ., Иванова НИ, Манохин АА, Манохина ИА, Косякова НИ. Оценка биологического возраста человека на основе анализа вариабельности сердечного ришаЛ Сборник научных трудов международного семинара «Экология и здсровъе, экологическая медицина. Управление качеством жизни». -М, изд. МНЭПУ-2003.-С. 125-132,

11. Карнаухов АВ., Карнаухова ЕВ. Новый метод идентификации систем на основе критерия ^ минимальной квадратичной невязки для задач биофизики// Биофизика.- 2004.- Т. 49, вып.

1.-С 88-97.

1Z Карнаухова ЕВ, Карнаухов АВ. Определение биологического возраста человека на основе ршмичесюой активности сердц а// Физиология человека. -2004.- Т. 30, №4,- С. 8190.

13. Karnaukhov A, Kamaukhova Е Application of the new method of identification to nonlinear dynamical system with quasi-stochastic behaviot// Absdacis of the 8-th Expérimental Chaos Conférence. Нотах», Italy-2004.

14. Кфнаухов АВ, Карнаухова ЕВ. Использование метода идентификации систем на основе критерия минимальной невязки при планировании биофизических экспериментов// 3-йсьезд биофизиков России Тезисы докл. - Воронеж.-2004.- Т. 1 - С. 343-344.

15. Карнаухов АВ, Карнаухова ЕВ. Радиационноодиабагшческая модель дня даухшмпонешного (СОг+НгО) парникового эффекта позволяет согласовать всю совокупность климатических данных при учете тепловой инерции климатической оклады Земли. // 3-й съезд биофизиков России. Тезисы докл, Воронеж,- 2004,-12,- С 660-661.

16.Карнаухов АВ, Карнаухова ЕВ, Зарницына ВЛ Учет априорной информации и характера экспериментальной погрешности при использовании метода идентификации та основе тфигерия минимальной квадратичной невязки. // Биофизика- 2005 -Т. 50 -С.1-6.

1. ШгажшВГ.О«лв^МАТ^.-М.:1фашгМИФИ, 1997.-350с. 2 РифашАД//Авгореф.диос.кб.кК1ет:Ингатуг^

3. ЛькигЛ Идэпификдаия акточ -М: Наука, 1991.-432а

4. ЖашЙ1теДИ,КаукгаасЙ^К)сжЕ//Ашл^

5. Айвазян САПршслащшс1агас1Иса:Иса1едование:^^ 1985.-487с.

6. Круш® В Л, Смирнова ТМ, Донцов В.И, Борисов СЕ. // Физиология чгювека -2001.- Т27, №6. -С.88.

7. ВоШшкоВПДокарьАВ,ШтажвАМ//Герощвдэгияи

8. Ндц$йоп.1.Т,ИпдУ. (Е&)СШта1еСЬаг^2001:ТЬг8ага^

10. ТихпновАН, ВасильеваАБ., Свешников АГ.Дифферя^ 1998.

И. Стокер Дж. Нелинейные ктзбания в механичажих и анеир^кских сискмах. -М.: Мир, 1953. 12 ТсаотсдаДкМТ.Неэстойчивосшикагаяр^

13. Хакш Г. Ошфгетка иерархии неэгапйяив(х^

14. Jes^,J,Wш,T.CandLo^®^Л//BkxteыslIy.-1994.-V.ЗЗ.-P.12686-12694. 16. НорйеШ1У/йоаНай Аса! &а.Ц8А- 1982-У.79.-Р2554-2558.

Принято к исполнению 36/65/2005 Исполнено 01/06/2005

Заказ № 915 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095) 747-64-70 2ЖЩ.аи1оге1ега1 ги

ш?

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Карнаухова, Елена Викторовна

Введение.

Глава 1. Краткий обзор современных методов идентификации систем.

1.1. Типы моделей.

1.2. Математические модели: определение функциональной зависимости и параметризация.

1.3. Приближение функций.

1.4. Определение вида эмпирической формулы.

1.5. Определение параметров эмпирической формулы.

1.6. Подход к идентификации, основанный на ошибке предсказания.

1.7. Численные методы оценивания параметров и «укороченные» методы идентификации динамических систем.

1.8. Модели нейронных сетей.

1.81.Классификация нейронных сетей и основные задачи, решаемые в рамках теории нейронных сетей.

1.82. Модели нейронных ансамблей.„

1.8.3.Модели ассоциативной памяти и распознавания образов (сети Хопфилда).

1.8.4.Модель адаптивного порогового элемента.

1.8.5.Нейронные сети в системах управления и идентификации динамических объектов.

Глава 2. Использование линейных и нелинейных регрессионных моделей для задач биофизики и геобиофизики.

2.1. Определение биологического возраста человека на основе параметров ритмической активности сердца.

2.1.1. Параметры ритмической активности сердца как биологические маркеры старения.

2.1.2. Линейная регрессионная модель для определения биологического возраста.

2.1.3. Определение констант линейной модели биологического возраста и отбор значимых параметров.

2.1.4. Квадратичная модель биологического возраста.

2.2. Анализ палеоклиматических данных.

2.2.1. Использование ценных палеоклиматических данных антарктической станции «Восток» для прогнозирования климата Земли.

2.2.2. Зависимость климатической чувствительности Земли от концентрации С02.

Глава 3. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки.

3.1. Формулировка метода идентификации.

3.2. Тестовые задачи идентификации для нелинейной динамической модели с предельными циклами.

3.3. Возможность применения метода идентификации на основе минимальной квадратичной невязки для задач биохимии.

3.4. Учет характера экспериментальной погрешности.

3.5. Сравнительный анализ дифференциальных и интегральных методов.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем"

В настоящей работе рассматриваются различные методы идентификации и их применение для описания поведения динамических систем. Предмет теории идентификации составляет решение задачи построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений. Идентификация системы включает ряд основных этапов: выбор математической модели на основе информации о поведении системы; получение данных наблюдений, исходя из особенностей модели; определение идентифицируемых констант модели. Теория идентификации систем является элементом общей научной методологии, что определяет актуальность данного направления исследований.

Актуальность темы. При изучении сложных нелинейных систем, таких как живой организм или отдельная клетка, практически невозможно разбить систему на простые подсистемы без потери точности ее описания. Поэтому крайне актуальной является задача разработки универсальных методов идентификации (изучения) нелинейных систем с большим числом идентифицируемых параметров.

В связи с этим перспективным представляется разработка методов идентификации нелинейных систем с большим числом параметров (порядка 10 и выше), основанных на аналитическом решении задачи идентификации. Такие методы идентификации помогут выявить устойчивые связи и закономерности, которые и будут достаточно точно описывать законы природы.

При этом не умаляется значение относительно простых линейных моделей, которые в первом приближении могут оказаться полезными при изучении основных закономерностей, выявлении отклонений от линейных законов. Это дает возможность сделать второй шаг в изучении системы: выбрать модель из класса нелинейных моделей и определить ее параметры на основе экспериментальных данных с помощью современных методов идентификации.

- оценка величины климатической чувствительности Земли для различных концентраций углекислого газа в атмосфере на основе аппроксимации данных наблюдений полиномами 2-й и 3-й степеней.

- разработка метода идентификации для широкого класса нелинейных динамических систем, позволяющего решить задачу идентификации в аналитическом виде для моделей с большим числом параметров;

- разработка нового статистического подхода к описанию нелинейных динамических систем, таких как нейронные сети.

Методы исследования. Для изучения свойств математических моделей основным методом является вычислительный эксперимент. Все вычисления проводились нами с использованием встроенных функций системы MATLAB [165]. Так, для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Рунге-Кутга (функция ODE45) с использованием формул 4-го и 5-го порядков и автоматическим выбором шага на неравномерной сетке. При численном интегрировании использовалась функция TRAPZ с применением метода трапеций. Для вычисления производных вместо функции DIFF использовалась модифицированная нами схема вычисления производных в узлах разбиения, что позволило повысить точность вычислений. При вычислении обратных матриц использовалась функция INV. Алгоритм реализации случайной шумовой компоненты основывался на использовании функции RANDN. Аппроксимация полиномами 2-й и 3-й степеней проводилась с использованием функции POLYFIT.

Для получения параметров ритмической активности сердца использовался программно-аппаратный комплекс «Экспресс» (Центр НТТМ "Контракт") [168].

Научная новизна работы. Впервые построена линейная регрессионная модель для задачи определения биологического возраста человека, где в качестве биомаркеров старения были выбраны параметры ритмической активности сердца, которые в большой степени отражают состояние всего организма, поскольку ритмическая активность регулируется нервными и гуморальными факторами центральной нервной системы. На основе достаточно большой статистической выборки нами была получена база данных о связи параметров ритмической активности с календарным возрастом человека, что дало возможность построить модель, устойчивую к изменению популяционной выборки. Показан принципиально нелинейный характер процессов старения, что приводит к выводу о необходимости использования нелинейных моделей с учетом того факта, что старение является сложным многопараметрическим процессом. Построена нелинейная модель биологического возраста.

На основе анализа палеоклиматических данных, полученных при бурении ледникового щита в Антарктиде, произведена оценка значения климатической чувствительности Земли для различных концентраций углекислого газа в атмосфере. Отметим, что вопрос правильного применения методов идентификации при изучении такой сложной нелинейной динамической системы, каковой является климатическая система Земли, приобретает особую значимость в связи с наблюдаемыми в последние десятилетия изменениями климата, причиной которых является парниковый эффект.

Разработан новый метод идентификации для широкого класса нелинейных динамических систем. В основе метода лежит критерий минимальной квадратичной невязки. Решение задачи идентификации получено в аналитическом виде. Метод может быть применен для моделей с большим числом параметров, что особенно актуально для исследования каскадов сложных биохимических реакций. Показана возможность применения этого метода для конкретных нелинейных динамических систем: моделей с предельными циклами (осциллятор типа Ван дер Поля и брюсселятор), модели с квазистохастическим поведением (странный аттрактор Ресслера). Показана высокая устойчивость метода к шумовой компоненте динамических параметров.

Предложено использовать видоизмененный функционал минимальной квадратичной невязки с целью учета экспериментальной погрешности измерения динамических параметров для вышеупомянутого метода идентификации, что позволяет повысить точность вычисления констант динамической модели. Эффективность такого метода демонстрируется на примере задачи идентификации констант химической реакции для системы свертывания крови.

Предложено использовать новый статистический подход, основанный на Центральной предельной теореме, для описания нелинейных динамических систем, таких как нейронные ансамбли. Подход был применен для решения ряда конкретных задач: оценки информационной емкости нейронных сетей, оценки эффективности процесса обучения и подбора параметров обучения. Статистический подход оказался также полезным для определения степени активности связанных между собой двух популяций нейронов и предсказания поведения системы в последующий момент времени.

Практическое значение работы. Разработка общих методов идентификации для нелинейных динамических систем позволяет решать специальные задачи биофизики, биологии, медицины и т. д. Например, возможно применение предложенного нами метода идентификации на основе минимальной квадратичной невязки для изучения кинетики сложных реакций (феномена колебаний рецепторного связывания или кинетики реакций системы свертывания крови), для стохастических и автоколебательных систем (реакция Белоусова-Жаботинского). Метод может найти применение для исследования многопараметрических систем, например, в теоретической медицине для разработки количественных моделей таких сложных системных заболеваний как рак, атеросклероз, артериальная гипертензия, а также для создания теории старения как совокупности патологических процессов и системных заболеваний. Возможности применения данного метода на сегодняшний день обеспечивается широким внедрением новых компьютерных и технических разработок для получения экспериментальных данных (например, ЭПР- и ЯМР- спектроскопии), позволяющих получать большие массивы информации с достаточно высокой степенью подробности.

Для нейронносетевых моделей практическое значение состоит в возможности применения полученных результатов как для понимания работы мозга, так и для создания искусственных нейронных сетей — либо на основе искусственных нейронов (нейрочипов), либо на базе компьютерных программ-имитаторов. Отметим также, что модели нейронных сетей могут применяться для идентификации нелинейных динамических систем, путем их обучения в соответствии с набором входных и выходных сигналов.

О содержании и структуре диссертации. В главе 1 излагаются основные методы идентификации систем. Дается анализ математических моделей, рассматривается вопрос выбора модели — определения функциональной зависимости и параметризации модели. Рассматриваются методы аппроксимации функций с использованием критерия наименьших квадратов. Обсуждается подход к идентификации, основанный на ошибке предсказания. Дается краткий анализ программных (нейронносетевых) моделей.

Несмотря на то, что набор методов идентификации систем очень широк: от простейших статистических и спектральных до методов идентификации многопараметрических нелинейных динамических систем, процедура идентификации системы является достаточно универсальной и, как правило, включает три этапа:

- выбор модели на основе предварительной информации о поведении системы;

- получение данных наблюдений, исходя из особенностей модели и экспериментальных возможностей;

- определение идентифицируемых констант модели и оценка степени соответствия данной модели наблюдаемым данным.

Для определения констант модели широко применяется подход минимизации функции ошибки предсказания [153], которая вычисляется в соответствии с используемым критерием и с учетом наблюдений. Подобные методы используют такие хорошо известные критерии оценки ошибки предсказания, как критерий наименьших квадратов, критерий максимального правдоподобия, критерий максимума апостериорной информации и другие.

В данной работе используется критерий наименьших квадратов для задачи определения биологического возраста и для задачи определения климатической чувствительности Земли (глава 2), а также предложенный нами критерий минимальной квадратичной невязки (глава 3).

Можно выделить в отдельную группу задачи исследования нелинейных динамических систем. В данной работе это системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) в явной форме Коши с нелинейной правой частью (глава 3) и модели нейронных сетей, описываемые с помощью вероятностного подхода (глава 4). Асимптотические методы идентификации таких систем часто бывают неприемлемы, поскольку подобные приближения ведут к потере точности описания поведения системы. Поэтому для первой задачи (глава 3) нами предложен подход, с помощью которого константы модели находятся на уровне системы ОДУ, а для второй задачи (глава 4) предложен статистический подход на основе Центральной предельной теоремы, основным моментом которого является получение интеграла вероятностей для суммарного синаптического тока отдельного нейрона. Для таких динамических моделей путем варьирования параметров модели можно получить характерные фазовые портреты, дающие представление о поведении системы.

Отметим, что при планировании экспериментов ранее приходилось ограничиваться моделями с небольшим числом параметров. Дело в том, что среди специалистов в области идентификации систем широко распространено мнение, что «за исключением отдельных частных случаев, нелинейная задача предсказания (идентификации) не имеет конечномерных решений» [153, с. 124]. При этом имеется ввиду именно отсутствие аналитических решений. Использование же численных методов для нелинейной задачи ограничено техническими возможностями вычислительных машин.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Карнаухова, Елена Викторовна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен метод идентификации для широкого класса нелинейных динамических систем на основе минимальной кваарашчнэй невязки. Далэнстрир^стся применение этого метода для задач идентификации нелинейных моделей с предельными циювми, а также для модели с квазисгахаслическим поведением. Показана высокая устойчивость метода к шумовой компоненте сигнала.

2 Предложена модификации функционала минимальной квадратичной невязки для учета зкеперименталыюй погрешности измерения динамических парамегроа Показана возможность учет априорной информации о структуре модели применительно к идентификации сложных каскадов химических реакций В результате сравнительного анализа интегральных и дифференциальных методов идентификации показано преимущество дифференциального метода при идентификации многопарвметрических нелинейных динамичеосих систем.

3. Впервые проведаю численное оценивание параметров линейной регрессии для задачи определения биолошческого восрэсга человека с использованием параметров ритмтрксгой акшвности сердца. На основе большой сшгасгачесиой выборки построена база данных зшх параметров для пациентов различных возрастов Большой объем базы данных (около 1000 обследованных) пошалил создать модель биологического возраста, устойчивую к изменению шпуляционной выборки. Показан нелинейный характер процессов старения.

4. Сформулирован новый статистический метод описания динамики нейронных ансамблей. На основе предложенного подхода решен ряд конкретных задач описания таких ансамблей: исследовано поведение системы, состоящей ш двух популяций нейронов в фазовом пространстве в зависимости от значения управляющих параметров; оценена информационная емкость нейронной сети Хопфицда; дат оценка эффекп-шносш процесса обучения в зависимости or параметров обучения.

5. Показано, что величина климатчесмэй чувствительности Земли не являегся постоянной, а изменяется в зависимости от концентрации углекислого газа в атмосфере. Полученные выражения дги кгтиматичесгаэй 'чувствительности могут бьтть использованы для тестирования климатических моделей

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Карнаухова, Елена Викторовна, Пущино

1. Ainsworth, S. // J. Theor. Biol. -1977. -V. 68. -PP. 391-413.

2. Amari S. Natural Gradient Works Efficiently in Learning.// Neural Computation. — 1998 — V. 10.-PP. 251-276.

3. Anderson B.D.O., Moore J.B., Hawkes R.M. Optimal Filtering. — N.J.: Englewood Cliffs, 1979 -423 P.

4. Arbib M.A., Erdi P., Szentagothai J. Neural Organization. Structure, Function, and Dynamics. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1998.

5. Ariens, E.J., Beld, A.J., Rodrogies de Mirande, J.F., Simonis, A.M. // In: The receptors: a comprehensive treatise, Plenum Pub. Corp., New York. -1979. -V. 1. PP. 33-91.

6. Baesar E., Bullock Т.Н. Induced Rhythms in Brain. Boston: Birkhauser, 1992.

7. Bak K. // Acta Chem. Scand. 1963. - V. 17. - P. 985.

8. Bard Y. // SIAM J. Numer. Anal. 1970. - V. 7, N 1. - P. 157-186.

9. Booth V., Bose A. J. // Neurophysiol. 2001. - V. 85. - P. 2432.

10. Borisyuk G., Borisyuk R., Kazanovich Y.// in Emergent Neural Computational Architectures Based on Neuroscience (eds. S. Wermter, J. Austin, D. Willshaw) Berlin: Springer-Verlag. - 2001. - P. 237.

11. Borisyuk G.N. et al.// Bull. Math. Biol. 1995. - V. 57. - P. 809.

12. Borisyuk R., Hoppensteadt F.// Biol. Cybern. 1999. - V. 81. - P. 1999.

13. Borisyuk R.M., Kirillov A.B. // Biol. Cybern. 1992. - V. 66. - P. 319.

14. Brunei N.J. // Comput. Neurosci. 2000. - V. 8. - P. 183.

15. Crampin E.J., McSharry P.E., Schnell S. // Extracting Biochemical Reaction Kinetics from Time Series Data / M.Gh. Negoita (Eds.): KES 2004, LNAI3214. P. 329-336.

16. Crampin E.J., Schnell S., McSharry P.E. Mathematical and computational techniques to deduce complex biochemical reaction mechanisms // Progress in Biophysics and Molecular Biology. 2004. - V. 86. - P. 77-112.

17. Cymbalyuk G.S., Nikolaev E.V., Borisyuk R.M. // BioL Cybern. 1994. - V. 71. - P. 153.

18. Denham M.J., Borisyuk R.M.// Hippocampus. 2000. - V. 10. - P. 698.

19. Diederich S., Opper M. Learning of Correlated Patterns in Spin-Glass Networks by Lokal Learning Rules.// Phys. Rev. Letters. 1987 - V. 58. - P. 949-952.

20. Domany E., Meir R. Strong and Retrucving Information in a Layed Spin System.// Europhys. Lett. 1986 - V. 2. - PP. 175-185.

21. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis. — New York: Wiley, 1981.

22. Ermentrout G.B., KopellN.J.// Math. Biol. 1991. - V. 29. - P. 195.

23. Fay L., Balogh A. // Acta chim. Acad. Sci. Hung. 1968. - V. 57. - P. 391.

24. Fogel E., Huang Y.F. On the value of information in system identification- bounded noise case// Automatica 1982 - V. 18. - PP. 224-238.

25. Fonarev A., Kryzhanovsky B.V. et al.// Optical Memory and Neural Networks. — 2001. — V. 10.-P.31.

26. Frolov A.A., Husek D., Muraviev I.P. // Neural Networks. 1997. - V. 10. - P. 845.

27. Fujii H // Neural Networks. 1996. - V. 9. - P. 1303.

28. Garfinkel D., Rutledge J.D., Higgins J.J. // Comm. Assoc. Computing Machinery. — 1961. -V.4.-P. 559.

29. Gauss K.F. Theory of the Motion of the Heavenly Bodies. New York: Dover, 1963.

30. Gerstner W. et al.// Neural Comput. 1996. - V. 8. - P. 1653.

31. Golomb D., Hansel DM Neural Comput. 2000. - V. 12. - P. 1095.

32. Grossberg S. The Adaptive Brain.// Advances in psychology. — 1987 V. 1. - PP. 231236.

33. Grossberg S., Raizanda R.D. // Vision Res. 2000. - V. 40. - P. 1413.

34. Hannan E.J. Multiple Time Series. New York: Wiley, 1970.

35. Hannan E.J. Nonlinear time series regression.// J. Appl. Prob. 1971 - V. 8. - PP. 767780.

36. Hill, C.M., Waight, R., and Bardsley, W.G.// Mol. Cell. Biochemistry 1977. -V.15. - PP. 173-178.

37. Himmelblau D.M., Jones C.R., BischoffK. // Ind. Eng. Chem. Fund. 1967. - V. 6. - P. 539-543.

38. Hodjkin A.L., Huxley A.F. // J. Physiol. (London). 1952. - V. 117. - P. 500.

39. Hopfield J.J. Neural networks and physical systems with emergent collective abilities. // Proc. Natl. Acad. USA. 1982.-V.79.- PP.2554-2558.

40. Hopfield J.J. Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons. //Proc. Natl. Acad. USA. 1982.-V.81.- PP.3088-3092.

41. Hosten L.H. // Сотр. Chem. Eng. 1979. - №3 - P. 117-126.

42. Houghton J.T., Ding Y., Griggs D.J., Noguer M., P.J. van der Linden and Xiaosu D. (Eds.) Climate Change 2001: The Scientific Basis. Cambridge University Press, UK.-2001 — P. 994.

43. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory.- New York: Academic Press, 1970-360 P.

44. Jennrich R.J. Asymptotic properties of nonlinear Least squares estimations // Ann. Math. Statis.- 1969 V. 40. - No 2.- PP. 633-643.

45. Jesty, J., Wun, Т. C. and Lorenz, A. // Biochemistry. -1994. -V. 33. -PP. 12686-12694.

46. Karnaukhov A., Karnaukhova E. Application of the new method of identification to nonlinear dynamical system with quasi-stochastic behavior // Abstracts of the 8-th Experimental Chaos Conference. Florence, Italy.- 2004.

47. Karnaukhov A.V., Karnaukhova E.V. The neural network as an object of dynamical description // In "Neuronal networks: Theory and Architecture". Manchester: Manchester Univ. Press. - 1990.- PP. 83-94.

48. Kazanovich Y.B., Borisyuk R.M.// Biol. Cybern. 1994. - V. 71. - P. 177.

49. Kazanovich Y.B., Borisyuk R.M.// Neural Networks. 1999. - V. 12. - P. 441.

50. King J. Fuzzy logic provides new way to deal with uncertainty.// Electronics — 1985 — PP. 40-41.

51. Kittrel J.B., Mezaki R., Watson C.C. // Brit. Chem. Eng. 1966. - V. 11. - №1. - P. 1521.

52. KohonenT. Self- Organisation and Associative Memory. — Berlin: Springer, 1984 — 225 P.

53. Kosh C., Segev I. Methods in Neuronal Modeling: from Ions to Networks. — Cambridge, Mass.: MIT Press. 1998.

54. Kryukov V.I. in Neurocomputers and attantion. — V. 1. Neurobiology, Sinhronisation, and Chaos. Manchester: Manchester Univ. Press. - 1991. — P.319.

55. Kryzhanovsky B.V. et al.// Optical Memory and Neural Networks. 2000. — V. 9. — P. 267.

56. Kuramoto Y. // Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. — Berlin: Springer-Verlag, 1984.

57. Kurganov, B.I. Allosteric Enyimes. Kinetic Behaviour 11 J. Wiley and Sons, Chichester. -1982. PP. 32-54.

58. Levenspiel O. Chemical Reaction Engineering. Wiley, New York, 1962.

59. Levine D.S., Brown V.T., Shirey V.T. Oscillations in Neural Systems. — Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publ., 2000.

60. Liley D.T. //Network: Comput. Neural Syst. 1999. - V. 10. - P. 79.

61. Lindgren B.L. Statistical Theory. New York Macmillan, 1976 -230 P.

62. Lindsay K.L. // Ind. Eng. Chem. Fundamentals. 1962- V.l. - P. 241.

63. Ljung L. Analysis of recursive stochastic algorithms // IEEE Trans. Automatic Control. — 1977. -V. AC-22. -PP. 551-575.

64. Ljung L. Consistency of the last-squares identification method // IEEE Trans. Automatic Control. 1976. -V. AC-31. -PP. 779-781.

65. Ljung L. On the consistency of prediction error identification methods // In System Identification, Advances and Case Studies (R-K. Mehra and D.G. Lainoitis, eds.) — New York: Academic Press- 1976 PP. 121-164.

66. Ljung L. On the consistency of prediction error identification methods //Report 7405, Division of Automatic Control. Sweden: Lund, 1974 - PP.24-26.

67. Ljung L., Glover K. Frequency domain versus time domain methods in system identification.// Automatica. -1981. V. 17. -No 1. - PP. 71-86.

68. Marr D.A. A theory of cerebral neocortex. // Proc. Roy. Soc. London B. - 1970 - V. 176.-PP. 161-234.

69. Milanese M., Tempo R. Optimal algorithms theory for robust estimation and prediction. // IEEE Trans. Automatic Control. 1985. -V. AC-30. -PP. 730-738.

70. Miller R. Time and the brain. Amsterdam: Harwood Acad., 2000.

71. Neltner L. et ai.//Neural Coput. 2000. - V. 12. - P. 1607.

72. Noest A.J.// Europhys. Letters. -1988. V. 6. - P. 469.

73. Peterka V. Bayesian system identification// Automatica. 1981 -V. 17. - PP. 41-53.

74. Petit J.R. et all Л Nature. 1999. - V. 399. - P. 429-436.

75. Rao C.R. Linear Statistical Inference and Its Applications. New York: Wiley, 1973.

76. Riz R., Sejnowski T.J. // Curr. Opin. Neurobiol. 1997. - V. - 7. - P. 536.

77. Rosenblatt F. Principles of neurodynamics.- Washington: Spartan Books, 1962 342 P.

78. Rumelhart D.E., McClelland // ParallelDistributed Processing: Explorations in the Microstructure of Cgnition. V. 1,2. - 1986.

79. Singer W. // Neuron. 1999. - V. 24. - P. 49.

80. Singer W., in Large-Scale Neuronal Theories of the Brain (Eds. C. Koch, J.L. Davis) Cambridge: MIT Press, 1994. P. 201.

81. Steiner R., Schoenemann K. // Chem. Ing. Tech. 1965. - V. 37. - P. 101.

82. Sturm A.K., Konig P. // BioL Cybern. 2001. - V. 84. - P. 153.

83. Tononi G., Sporns O, Edelman G.M. // Cereb. Cortex. 1992. - V. 2. - P. 310.

84. Vinogradova O.S.// Prog. Neurobiol. 1995. - V. 45. - P. 523.

85. Wahlberg В., Ljung L. Design variables for basis distribution in transfer function estimation // IEEE Trans. Automatic Control. 1986. - V. AC-31.- PP. 134-144.

86. Walker A.M. On periodicity in series of related terms.// Proc. Roy Soc. — Ser. A. —1931. — V. 131. — PP.518-532.

87. Whittle P. Hypothesis Testing in Time Series Analyses. — New York: Hafner, 1951.- 465 P.

88. Widrow B. Generalization and information storage networks of Adeline neuron.// Wash: Spartan Books. -1962 PP.435-461.

89. Wilson H.R., Cowan G.D. Excitatory and inhibitory interactions in Localized populations of model neurons // Biophysical G. — 1972.- V. 12. — P. 1.

90. Yang H.H., Amari S. Complexity Issues in Gradient Descent Method for Training Multilayer Perceptrons.// Neural Computation. 1998 - V.10. - PP. 2137-2157.

91. Yule G.U. On a method for investigating periodicities in disturbed series with spectral reference to Wolfer's sunspot numbers.// Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A.-1927. - V. 226. - PP. 267-298.

92. Абарбанель Г.Д. // УФН. 1996. - Т. 166. - С. 363.

93. Абраменков В.В. Метод Прони в задаче измерения координат источников излучения с близкими параметрами. // Радиотехника. — 2002. №3. -С. 37-41.

94. Абраменков В.В., Быстрое А.В., Савинов Ю.И. Использование метода наименьших квадратов в задаче цифрового спектрального анализа коротких последовательностей. // Радиотехника. 1999. - №2.

95. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М: Финансы и статистика, 1985.-487 с.

96. Айзенберг Н.Н., Ивасьов Ю.Л. Многозначная пороговая логика. Киев, 1977 - 148 с.

97. Ахапкин Ю. К. Биотехника — новое направление компьютеризации. М.: Наука, 1990.

98. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М: Гостехиздат, 1947.

99. Баевский P.M. Анализ вариабельности сердечного ритма в космической медицине // Физиология человека 2002. Т.28. №2. С.70.

100. Баевский P.M., Берсенева А.П. Оценка адаптационных возможностей организма и риск развития заболеваний. М.: Медицина, 1997. 236 с.

101. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. — М: Финансы и статистика, 1979. — 349 с.

102. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. — М: Физматгиз, 1959.

103. Бонгарт М.М. Проблемы узнавания. М.: Наука, 1967.

104. Борисюк Г.Н. и др.// Математическое моделирование. — 1992. — Т. 4. — С. 3.

105. Борисюк Г.Н., Борисюк P.M., Казанович Я.Б., Иваницкий Г.Р. Модели динамики нейронной активности при обработке информации мозгом — итоги "десятилетия" // УФН. 2002. - Т. 172.-С. 1191-1214.

106. Брин Э.Ф., Павлов Б.В. // Кинетика и катализ. 1975. - Т. 16. - С. 233-240.

107. Вайнцвег М.Н. Моделирование обучения и поведения. М.: Наука, 1975.

108. Варфоломеев С.Д., Гуревич К.Г. Биокинетика: Практический курс. М.: ФАИР-ПРЕСС, 1999.

109. Виноградов И.М. Математическая энциклопедия в 5-ти томах. — М: Советская энциклопедия, 1985.

110. Войтенко В.П., Токарь А.В., Полюхов А.М Методика определения биологического возраста человека // Геронтология и гериатрия. Ежегодник 1984. Биологический возраст, наследственность и старение/ Под ред. Чеботарева Д.Ф. — Киев.- 1984. -С.132.

111. Гаврилей Ю.К. и др.// Нейроинформатика — 2000, 2-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2000. - С. 161.

112. Галушкин А.И. Нейрокомпьютеры и их применение М: ИПРЖР, 2000 —416 с.

113. Гальченко А.А., Дедус Ф.Ф. Идентификация экспоненциальных сигналов методом взвешенных моментов // Автометрия №4.-1983.

114. Гельфандт И.М., Розенфельд Б.И., Шифрин М.А. Очерки о совместной работе математиков и врачей. — М.: Наука, 1989.

115. Гончаров B.JI. Теория приближения и интерполирования функций. — М: ГТТИ, 1934.

116. Дедус Ф.Ф., Махортых С.А., Устинин М.Н., Дедус А.Ф. Обобщенный спектрально-аналитический метод обработки информационных массивов. Задачи анализа изображений и распознавания образов. М: Машиностроение, 1999. 357 с.

117. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М: Физматгиз, 1960. -664 С.

118. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. — М: Физматгиз, 1962. 368 С.

119. Дунин-Барковский B.JI. Нейронные схемы ассоциативной памяти. Моделирование возбудимых структур. Пущино, 1975 - С. 90-141.

120. Ермакова А. Новый комплекс численных методов идентификации и анализа кинетических моделей // Математическое моделирование каталитических реакторов: Сб. научн. тр. Новосибирск: Наука. Сиб. отд. - 1989. - 260 с.

121. Жаботинский А.М. Концентрационные волны. М: Наука, 1974.

122. Жданов А. А., Крыжановский М.В.// Нейроинформатика 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. - 2003. — С. 163.

123. Жемайтите Д.И. Возможности клинического применения и автоматического анализа ритмограмм // Дисс. д-ра мед. наук. Каунас: Медицинский институт, 1972. -285 с.

124. Жемайтите Д.И., Каукенас Й., Кусас В. и др. Система автоматизированного анализа ритмограмм. И Анализ сердечного ритма.- Вильнюс. — 1982.- С. 5.

125. Иваницкий Г.Р. и др. // Биофизика. 1991. - Т. 36. - С. 358.

126. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 3-е изд., ч.1, М: Наука, 1971.-304 с.

127. Карнаухов А.В. Роль биосферы в формировании климата Земли. Парниковая катастрофа // Биофизика. 2001. -Т. 46. -С. 1138-1149.

128. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Задача стандартизации методов оценки биологического возраста.// Труды международной научно-практической конференции «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». -СПб.- Нестор.- 2003.- С. 46-47.

129. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Использование метода идентификации систем на основе критерия минимальной невязки при планировании биофизических экспериментов.// 3-йсъезд биофизиков России. Тезисы докл. Воронеж.- 2004.- Т.1-С. 343-344.

130. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в биологии и медицине.// Школа-конференция «Горизонты физико-химической биологии». Материалы конф., Пущино.- 2000.

131. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в физиологии и медицине.// Международная научно-практическая конференция «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». Материалы конф., Санкт-Петербург.-1999.

132. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки для задач биофизики.// Биофизика. -2004.- Т. 49, вып. 1.- С. 88-97.

133. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Оценка биологического возраста на основе электрфизиологических данных.// Клиническая геронтология.- 2003.- Т.9.- С. 165.

134. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Применение нового метода идентификации нелинейных динамических систем для задач биохимии.// Биохимия.- 2003.- Т. 68, вып.З.- С.309-317.

135. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Экспертные системы на основе принципов функционирования нейронных сетей.// 2-й съезд биофизиков России. Тезисы докл., Москва.- 1999.

136. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В., Зарницына В.И. Учет априорной информации и характера экспериментальной погрешности при использовании метода идентификации на основе критерия минимальной квадратичной невязки // Биофизика.-2005.-Т. 50.-С. 32 9-ЪЪЦ.

137. Карнаухов А.В.// Биофизика. 1996. - Т. 41. - С. 523-526.

138. Карнаухова Е.В. Использует ли человеческий мозг четырехзначную логику для принятия решений? П Тезисы 12-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.-Москва.- 2000.

139. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Исследование возрастной динамики ритма сердца человека на основе анализа параметров ритмограмм.// Тезисы 13-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.- Москва.- 2001г.

140. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Определение биологического возраста человека на основе ритмической активности сердца.// Физиология человека. -2004.Т. 30, №4.- С. 81-90.

141. Кендалл М.Д., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М: Наука, 1973. — 900 с.

142. Кирсанов Э.Ю. К вопросу о выборе структуры одного класса запоминающих устройств на пороговых элементах. // Электронное моделирование. — Киев, 1981 -№6-С. 88-89.

143. Котляков В.М. Гляциология Антарктиды. — М.: Наука, 2000 — 431 с.

144. Котляков В.М., Данилов А.И.// Земля и Вселенная. -1999. №4. - С.З.

145. Кругько В.Н., Смирнова Т.М., Донцов В.И., Борисов С.Е. Диагностика старения. Сообщение 1. Проблема надежности линейных регрессионных моделей биологического возраста // Физиология человека. -2001.- Т.27, №6. -С. 88.

146. Крыжановская М.П. Эмпирические формулы и основы номографии. — JI: ГТТИ, 1949.

147. Крыжановский Б.В., Литинский Л.Б.// Нейроинформатика 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. - 2003. — С. 72.

148. Крыжановский Б.В., Микаэлян А.Л.// ДАН. 2002. - Т. 65. -С. 286.

149. Курганов Б.И. // Биохимия, 2000 Т. 65. - С. 1058-1071.

150. Льюнг Л. Идентификация систем. -М.: Наука, 1991. 432 С.

151. Магомедов Б.М., Жданов А.А.// Нейроинформатика 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. - 2003. - С. 157.

152. Марпл С.Л. Цифровой и спектральный анализ и его приложения. М: Мир, 1990.

153. Милн В. Э. Численный анализ. М: ИЛ, 1951.

154. Минский М., Пайперт С. Персептроны.- М.: Мир, 1971 270 С.

155. Михайлов А.С. Физики задумываются над механизмом работы мозга. // Природа. 1987 - №3 — С. 15-26.

156. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М: Гостехиздат, 1949.

157. Павлов Б.В., Брин Э.Ф. // Хим. Физика. 1984. - Т. 3, № 3. С. 393-404.

158. Парин В.В., Баевский P.M. Введение в медицинскую кибернетику. М.: Медицина, 1966. С.220.

159. Парин В.В., Баевский P.M., Волков Ю.Н., Газенко О.Г. Космическая Кардиология. Л.: Медицина, 1967. С.206.

160. Петровский Б.В. Большая медицинская энциклопедия. — М: Советская энциклопедия. 1986.-Т.8.- С. 179.

161. Потемкин В.Г. Система MATLAB. М.: Диалог МИФИ, 1997.

162. Прохоров А.М. Физическая энциклопедия. М: Советская энциклопедия., 1988. — Т. 1. - С.625-628.

163. Ремез Е.Я. Общие вычислительные методы чебышевского приближения. АН УССР, 1957.

164. Рифтин А.Д. Распознавание функциональных состояний организма на основе математического анализа сердечного ритма // Автореф. дисс. к. б. н. Киев : Институт кибернетики им. В.М. Глушкова. 1987. — С. 16.

165. Родштат И.В., Чернавский Д.С., Карп В.П. Н Биомедицинская радиоэлектроника. 1999 - Т.27. - Вып. 2.

166. Рудаков Е.С. // Кинетика и катализ. 1960. - Т. 1. - С. 177.

167. Рудаков Е.С. // Кинетика и катализ. 1970. - Т. 11. - С. 228-236.

168. Самарин А.И.// Нейроинформатика 2001, 3-я Всероссийская научно-техническая конференция. — 2001. — С. 65.

169. Самуилов В.Д., Олескин А.В., Лагунова Е.М. // Биохимия. — 2000. — Т. 65, С. 1029-1046.

170. Семендяев К.А. Эмпирические формулы. М: 111 И, 1933.

171. Скарборо Дж. Численные методы математического анализа. — М.-Л: ГТТИ, 1934.

172. Солодкая (Карнаухова) Е.В. Имитационное моделирование самоорганизующихся систем в биологии // Дипломная работа, физический фак-т МГУ, 1988. — 62 с.

173. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических системах. -М.: Мир, 1953.

174. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. -М.: Наука, 1998.

175. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985.

176. Уорсинг А., Геффенер ДЖ. Методы обработки экспериментальных данных. — М: ИЛ, 1949.

177. Успенский А.К. Выбор вида и нахождение параметров эмпирической формулы. -М: Наука, 1960.

178. Ухтомский А.А. Избранные труды. Л.: Наука, 1978. С. 177.

179. Фролов А.А., Гусек Д., Муравьев И.П.// Нейроинформатика — 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2003. - С. 28.

180. Фролов А.А., Муравьев И.П. Нейронные модели ассоциативной памяти. — М.: Наука, 1987-160 с.

181. Фролов А.А., Мушинский А.М., Цодыкс М.В. // Биофизика. — 2001. Т. 36. — С. 339.

182. Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетический подход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности. М: ПЕР СЭ, 2001 —351 с.

183. Хакен Г. Синергетика: иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. -М.: Мир, 1985.

184. Цыпкин Я.З. Обобщенные линейные алгоритмы обучения и их применение. Распознавание образов. Адаптивные системы. М.: МИРЭА, 1981 С.204-213.

185. Шаров К.С. и др.// Нейроинформатика — 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2003. - С. 151.

186. Шепелев И.Е.// Нейроинформатика — 2003, 5-я Всероссийская научно-техническая конференция. 2003. - С. 143.

187. Яковлев К.П. Математическая обработка результатов измерений. М: 111 И, 1933.

188. СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

189. Karnaukhov A.V., Karnaukhova E.V. The neural network as an object of dynamical description.// In "Neuronal networks: Theory and Architecture"/ Manchester Univ. Press. — Manchester.- 1990.- P. 83-94.

190. Карнаухов A.B., Карнаухова E.B. Экспертные системы на основе принципов функционирования нейронных сетей.// 2-й съезд биофизиков России. Тезисы докл., Москва.- 1999.

191. Карнаухов АВ., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в физиологии и медицине.// Международная научно-практическая конференция «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья».Материалы конф., Санкт-Петербург.-1999.

192. Карнаухов АВ., Карнаухова Е.В. Методы идентификации систем в биологии и медицине.// Школа-конференция «Горизонты физико-химической биологии». Материалы конф., Пущино.- 2000.

193. Карнаухова Е.В. Использует ли человеческий мозг четырехзначную логику для принятия решений? // Тезисы 12-й конференции молодых ученых ИМАП1 РАН.- Москва.- 2000.

194. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Исследование возрастной динамики ритма сердца человека на основе анализа параметров ритмограмм.// Тезисы 13-й конференции молодых ученых ИМАШ РАН.- Москва,- 2001г.

195. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Применение нового метода идентификации нелинейных динамических систем для задач биохимии.// Биохимия.- 2003.- Т. 68, вып.З.- С.309-317.

196. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Оценка биологического возраста на основе электрфизиологических данных.// Клиническая геронтология,- 2003.- Т.9.- С. 165.

197. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Задача стандартизации методов оценки биологического возраста.// Труды международной научно-практической конференции «Измерительные информационные технологии и приборы в охране здоровья». -СПб.- Нестор.- 2003.- С. 46-47.

198. Карнаухов А.В., Карнаухова Е.В. Новый метод идентификации систем на основе критерия минимальной квадратичной невязки для задач биофизики.// Биофизика.- 2004.- Т. 49, вып. 1.- С. 88-97.

199. Карнаухова Е.В., Карнаухов А.В. Определение биологического возраста человека на основе ритмической активности сердца.// Физиология человека. — 2004.- Т. 30, №4.- С. 81-90.

200. Karnaukhov A., Karnaukhova Е. Application of the new method of identification to nonlinear dynamical system with quasi-stochastic behavior.// Abstracts of the 8th Experimental Chaos Conference. Florence, Italy.- 2004.

201. Карнаухов A.B., Карнаухова Е.В. Использование метода идентификации систем на основе критерия минимальной невязки при планировании биофизических экспериментов.// 3-йсъезд биофизиков России. Тезисы докл. -Воронеж.- 2004.- Т.1- С. 343-344.

Информация о работе

Карнаухова, Елена Викторовна
кандидата физико-математических наук
Пущино, 2005
ВАК 03.00.02

Диссертация

Разработка и применение методов многопараметрической идентификации для нелинейных моделей биофизических систем - тема диссертации по биологии, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы