Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Исследование критических явлений в задачах биологической кинетики

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Хибник, Александр Иосифович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ математические модели и методы).II

§ I. Качественные перестройки режимов функционирования биологических систем.II

§ 2. Математические методы исследования бифуркационных явлений.

ГЛАВА 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ алгоритмический подход).

§ I. Методика последовательного анализа бифуркаций.

§ 2. Численные алгоритмы исследования стационарных и колебательных режимов.

§ 3. Применение нового метода параметрического анализа в задачах математической биофизики

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ В ЗАДАЧАХ

ХИМИЧЕСКОЙ И ФЕРМЕНТАТИВНОЙ КИНЕТИКИ.

§ I. Множественность стационарных состояний и автоколебания в модели каталитической реакции

§2. Параметрический анализ механизмов колебаний в гликолизе.

§3. О взаимодействии триггерной и автоколебательной динамики.

ГЛАВА 4. КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ДИНАМИКЕ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОПУЛЯЦИЙ (пространственная и временная организация).

§ I. Мягкое и жесткое возбуждение колебаний численности популяций.

§ 2. Модель распределенной экологической системы и явление диффузионной неустойчивости

§ 3. Взаимодействие колебательной и диффузионной неустойчивости

§ 4. Множественные и нестационарные диссипативные структуры в распределенной экологической системе.

ВЫВОДЫ.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Исследование критических явлений в задачах биологической кинетики"

Актуальность работы, В современном естествознании построение и анализ математических моделей становится важным инструментом исследования. Библиография работ только по экологическим моделям [ Н] содержит более 1000 названий. Обзор результатов моделирования в иммунологии, биохимии, экологии и других областях можно найти в монографиях В^-8?],

В широком спектре математических моделей значительное место занимают модели, которые описываются дифференциальными уравнениями и для исследования которых используется аппарат качественной теории дифференциальных уравнений. Техника качественного анализа, хорошо развитая для систем двух дифференциальных уравнений J , в настоящее время оказывается недостаточной. Исследование конкретных достаточно сложных моделей (большое число переменных и параметров, сильные нелинейности) наталкиваются на значительные, порой непреодолимые трудности, в силу чего полученные результаты оказываются фрагментарными и не отражают в достаточной мере свойства моделируемого объекта или процесса. При изучении критических явлений, описывающих качественные перестройки режимов функционирования биологических систем, - к таким явлениям относится гистерезис, множественность устойчивых режимов, появление пространственной и временной упорядоченности и др., - эти трудности сказываются в наибольшей степени. Насущной проблемой является, поэтому, разработка инструментов для исследования математических моделей, сочетающих современные достижения качественной теории дифференциальных уравнений с вычислительной мощностью ЭВМ и учитывающих специфику задач математического моделирования в биологии. Особое внимание должно быть обращено на возможность исследования критических явлений, играющих фундаментальную роль на всех уровнях структурной организации живых систем.

Цель работы. На основе аппарата качественной теории дифференциальных уравнений и использования ЭВМ разработать эффективные методы анализа сложных математических моделей в биофизике. Применить развитые методы к изучению критических явлений в кинетике биологических систем на различных уровнях организации.

Основные задачи исследования,

1. Разработка методики применения результатов качественной теории дифференциальных уравнений в задачах математической биофизики.

2. Разработка алгоритмов и программ для параметрического анализа математических моделей.

3. Исследование критических явлений , таких как гистерезис, множественность устойчивых режимов, возбуждение автоколебаний, появление пространственной неоднородности и др., в моделях химической кинетики, ферментативной кинетики, кинетики взаимодействующих популяций.

Научная новизна.

I. Предложен новый метод качественного исследования многопараметрических моделей большой размерности. Метод основан на схеме последовательного анализа критических ситуаций и реализован в виде пакета программ для ЭВМ. Новый метод является эффективным средством анализа сложных математических моделей в различных областях биофизики.

2. В модели каталитической реакции впервые дано полное описание параметрических структур и динамических режимов, характеризующих взаимодействие триггерной и автоколебательной динамики. Изучен механизм усложнения динамики системы при изменении скоростей медленной стадии реакции.

3. Проведено полное двупараметрическое исследование стационарных и колебательных режимов в модели гликолиза, содержащей 5 дифференциальных уравнений. Показано, что эти режимы могут существовать одновременно и обладают близкими с точки зрения энергетики клетки свойствами. Изучены механизмы появления и исчезновения автоколебаний, в частности, переход от режима автоколебаний к режиму автомодуляции с большим периодом модуляции.

4. Предложена новая модификация пространственно-распределенной модели динамики системы "хищник-жертва". Исследовано взаимодействие механизмов колебательной и диффузионной потери устойчивости однородного стационарного состояния, приводящих к появлению временной и пространственной упорядоченности в экосистеме. Показано, что в результате такого взаимодействия возникают сложные пространственно-временные структуры.

Практическая ценность. Предложенный в работе алгоритмический подход к исследованию критических явлений и созданные на его основе методика и программы позволяют изучать широкий круг кинетических моделей. Развитые аналитические и численные методы уже нашли применение при изучении нелинейных процессов в химии, биохимии, микробиологии, физиологии, экологии, радиофизике, гидродинамике. Накопленный опыт свидетельствует об эффективности предложенных методов: они позволяют изучать стационарные, колебательные, стохастические режимы, их взаимные переходы; получаемые с помощью этих методов результаты обладают достаточной полнотой и достоверностью.

Апробация -работы и публикации.

Результаты диссертационной работы докладывались на 5 Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных уравнений (Кишинев, 1979), на Всесоюзной конференции "Стохастические явления и системы" (Горький, 1980), на 9 Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981), на I Всесоюзном биофизическом съезде (Москва, 1982), на 2 Всесоюзной конференции "Нестационарные процессы в катализе" (Новосибирск, 1982), на Всесоюзной конференции "Механизмы временной организации клетки и их регуляция на различных уровнях" (Пущино, 1983), на Международном симпозиуме "Авто-всшновые процессы в биологии, химии и физике" (Пущино, 1983), на 16 конгрессе ФЕБО (Москва, 1984), на Годовых научных конференциях НИВЦ АН СССР (Пущино, 1980, 1982, 1983, 1984), на семинаре Лаборатории математической экологии ВЦ АН СССР (Москва, 1982). По материалам диссертации опубликовано 16 работ.

Структура и объём диссертации.

Основная часть работы разбита на четыре главы. Первая глава носит обзорный характер и посвящена математическим моделям, описывающим критические явления в биологических системах, и методам исследования этих явлений. В ней обоснована необходимость разработки новых методов анализа многопараметрических моделей биологических систем. Показано, что отправной точкой для создания таких методов может служить концепция А.М.Молчанова ] 0 роли критических режимов в биологии. Описаны основные математические понятия, используемые при анализе критических явлений. Дается представление о параметрическом портрете модели - разбиении пространства параметров на области, отвечающие качественно различным типам динамики системы, о структуре множества критических значений параметров, о методах анализа динамики модели при значениях параметров, близких к критическим. Глава завершается обсуждением типичных бифуркаций устойчивых стационарных и колебательных режимов.

Вторая глава посвящена описанию разработанного автором нового метода параметрического анализа стационарных и колебательных режимов. В ней содержится алгоритм построения фазовых и параметрических портретов, основанный на изучении непрерывной зависимости стационарных и колебательных режимов от параметров модели. Описана реализация этого алгоритма в виде пакета вычислительных программ, обсуждены вопросы применения нового метода параметрического анализа в различных задачах математической биофизики и в смежных областях.

В третьей главе разработанный метод используется для анализа критических явлений в моделях химической и ферментативной кинетики. Сначала рассматривается модель каталитической реакции, обладающей автоколебательными и триггерными свойствами. Проводится трехпараметрическое исследование этой модели, цель которого - изучить природу нестационарных процессов в простых каталитических реакциях, выявить новые критические явления, возникающие в результате сочетания триг-герных и автоколебательных свойств таких реакций. Следующий раздел главы посвящен параметрическому анализу механизмов гликолитических колебаний. В рамках модели гликолиза 5 порядка исследуются такие явления, как мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний, множественность устойчивых режимов функционирования гликолиза, сложные колебания концентраций метаболитов. Обсуждается роль гликолитических колебаний в энергетике и в синхронизации биохимических систем клетки. Глава завершается описанием типичных параметрических и фазовых структур, возникающих при взаимодействии триггерной и автоколебательной динамики.

В четвертой главе исследуются механизмы появления пространственной и временной упорядоченности и сосредоточенных и распределенных моделях динамики взаимодействующих популяций. Вначале рассмотрены различные модификации классической системы Лотка-Вольтерра, описывающей систему хищник-жертва, и выяснены условия мягкого и жесткого возбуждения автоколебаний при потере устойчивости равновесного режима. Затем изучено явление диффузионной неустойчивости и появление пространственных диссипативных структур в распределенной экосистеме хищник-жертва, в случае одномерного ареала с непроницаемыми границами.

В следующем разделе решается общая математическая задача о взаимодействии колебательной и диффузионной потери устойчивости однородного стационарного состояния. Показано, в частности, что результатом такого взаимодействия может быть периодически меняющаяся во времени диссипативная структура. Полученные результаты применяются к распределенной системе хищник-жвртва, что позволяет обнаружить и изучить ряд новых для динамики биологических популяций явлений, например, мягкий и жесткий переходы от временного типа организации экосистемы к пространственному при уменьшении скорости миграции популяции жертвы.

Приложение содержит документы о внедрении программных разработок.

Общий объем работы -214 страниц (основной текст занимает 148 страниц). Работа содержит 36 рисунков и I таблицу. Список литературы состоит из 154 наименований.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Хибник, Александр Иосифович

ВЫВОДЫ

1. Предложен новый метод параметрического исследования математических моделей биологических систем, включающий детальную схему анализа модели и ее реализацию в виде пакета программ для ЭВМ. Метод позволяет проводить исследование стационарных и колебательных режимов, определять параметрическую структуру и динамические свойства модели. Новый метод применим для анализа сложных моделей в различных разделах биофизики. Возможности метода проиллюстрированы на примере трех задач химической и биологической кинетики.

2. Впервые проведено трехпараметрическое исследование модели третьего порядка, описывающей каталитическую реакцию. Построены параметрический и полный набор фазовых портретов, характеризующих взаимодействие триггерного и автоколебательного режимов. При этом: описано явление неустойчивости переходного процесса в химической системе, изучен механизм усложнения динамики химической системы при изменении скоростей буферной стадии реакции.

3. Исследованы механизмы колебаний в модели гликолиза 5 порядка, учитывающей совместную активацию фосфофруктокиназ-ной реакции посредством АМФ и ФБ£. Прослежена эволюция стационарных и колебательных режимов при изменении АТФазной нагрузки. При этом обнаружен ряд интересных явлений: жесткое возбуждение автоколебаний, наличие альтернативных устойчивых режимов функционирования гликолиза - равновесного и автоколебательного, переход к режиму автомодуляции. Выделена значительная область параметров, в которой автоколебательный режим характеризуется высоким средним уровнем и незначительной амплитудой колебаний концентрации АН, при больших амплитудах колебаний других интермедиатов гликолиза. Обсуждена возможная роль данного типа колебаний в энергетике клетки.

4. Изучены явления мягкого и жесткого рождения временных и пространственных диссипативных структур в классе сосредоточенных и распределенных моделей динамики взаимодействующих популяций. Показана возможность стабилизации неоднородного распределения жертвы быстро мигрирующим хищником. Впервые проведено исследование взаимодействия колебательной и диффузионной потери устойчивости в динамике популяций. Выяснено, что в результате такого взаимодействия либо появляются неоднородные по пространству автоколебания численностей популяций, либо возникают альтернативные устойчивые режимы, отвечающие пространственной и временной структуре.

5. Показана связь всех изученных в моделях режимов с каноническими структурами взаимодействия: а) триггерной и автоколебательной динамики, и б) пространственной и временной организации. Эта связь объясняет сходство параметрических портретов и совокупности критических явлений в задачах химической кинетики, ферментативной кинетики, кинетики взаимодействующих популяций и является основой для перенесения полученных результатов в другие разделы биофизики.

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям А.М.Молчанову и А.Д.Базыкину за постоянное внимание к работе.

Автор признателен Э.Э.Шнолю, Ф.С.Березовской, Р.М.Бори-сюку, В.ВДыннику, Ю.А.Кузнецову за многолетнюю подцержку и помощь. Автор благодарит Г.М.Маевскую, взявшую на себя тяжелый труд по перепечатке рукописи.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Хибник, Александр Иосифович, Пущино

1. Алексеев В.В. Биофизика сообществ живых организмов.- Успехи физ. наук, 1976, т. 120, в.4, с. 647-676.

2. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер

3. А.Г. Качественная теори динамических систем второго порядка.- М.: Наука, 1967. 568с.

4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости.- М.: Наука, 1967. 488с.

5. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е., Сафонова М.А. О бифуркациях в трёхмерной двупараметрической автономной колебательной системе со странным аттрактором. Изв. вузов. Радиофизика, 1983, т.26, №2, с. 169-176.

6. Апонин Ю.М. Популяционная динамика бактериальных плазмид в условиях хемостатного культивирования. Пущино, 1982. - 18с. (Препринт / НЦБИ АН СССР)

7. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сепаратрисы систем:ы двух дифференциальных уравнений. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1976. - 36с.

8. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Базыкин А.Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник две жертвы.- В кн.: Проблемы экологического мониторинга м моделирования экосистем, т. 5, Л.: Гидрометеоиздат, 1982, с. 163-180.

9. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Крейцер Г.П. Шноль Э.Э. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Предельные циклы системы двух дифференциальных уравнений. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Пущино: НЦБИ АН СССР,1974. 45с.

10. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304с.

11. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. В сб.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький: ПУ, 1983, с. 3-26.

12. Багоцкий С.В., Базыкин А.Д., Монастырская Н.П. Математические модели в экологии. Библиографич. указ. отечеств, работ. М.: ВИНИТИ, 1981. -224с.

13. Базыкин А. Д. Модель динамики численности вида и проблема сосуществования близких видов. Журнал общей биологии, 1969, т.30, J63, с. 259-264.

14. Базыкин А. Д. Система Вольтерра и уравнение Михаэлиса-Ментен. В кн.: Вопросы математической генетики. Новосибирск: СО АН СССР, 1974, с. 103-143.

15. Базыкин А.Д., Березовская Ф.С., Буриев Т.И. Динамика системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популя-ционной генетике. Путцино: НЦБИ АН СССР, 1980, с. 6-33.

16. Базыкин А.Д., Маркман Г.С. О диссипативных структурах в экологических системах. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1980, с. 135-149.- 190

17. Базыкин А.Д., Хибник А.И. Мягкое и жёсткое возбужден., ние колебаний в системе хищник-жертва. В кн.: Математические модели клеточных популяций. Межвуз. сборник. Горький: 1ТУ, 1981, с. 53-69.

18. Базыкин А.Д., Хибник А.И. 0 жёстком режиме возбуждения автоколебаний в модели типа Вольтерра. Биофизика, 1981, т. 26, № 5, с. 851-853.

19. Базыкин А.Д., Хибник А.И. Билокальная модель дисси-пативной структуры. Биофизика, 1982, т. 27, № I, с. 132136.

20. Базыкин А.Д., Хибник А.И., Апонина Е.А., Нейфельд

21. А.А. Модель эволюционного возникновения диссипативной.структуры в экологической системе. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1980, с. 33-47.

22. Балабаев Н.К., Луневская Л.В., Движение по кривой в п -мерном пространстве. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, серия ФОРТРАН, вып. I, Пущино, 1978. - 52с.

23. Баутин А.Н. Качественное исследование одной нелинейной системы. Прикл. матем. и мехнника, 1975, т. 39, №4, с. 633-641.

24. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976, 496с.

25. Белинцев Б.Н. Диссйпативные структуры и проблемы биологического формообразования. Усп. физ. наук, 1983, т. 141, в. I, с. 55-102.

26. Беляков Л. А. Об одном случае рождения периодического движения с гомоклиническими кривыми. Матем. заметки, 1974, т. 15, № 4, с. 571-580.

27. Беляков Л.А. 0 бифуркационном множестве в системахс гомоклинической кривой седла. Матем. заметки, 1980, т. 28, J6 6, с. 911-934.

28. Беляков Л. А. 0 структуре бифуркационных множеств в системах с петлей сепаратрисы седло-фокуса. В кн. j IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Тезисы докладов. Киев: ИМ АН УССР, 1981, с. 57.

29. Березовская Ф.С., Крейцер Г.П. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сложные особые точки системы двух дифференциальных уравнений. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Пущино: НЦБЙ АН СССР, 1975. - 56с.

30. Богданов Р.И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае двух нулевых собственных чисел. Тр. сем. им. И.Г.Петровского, в.2, 1976, с. 37-65.

31. Борисюк P.M. Стационарные решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметра. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, серия ФОРТРАН, вып. 6, Пущино, 1981. - 67г.

32. Борисюк P.M., Кириллов А.Б. Качественное исследование модели нейронной сети из двух однородных популяций. Пу-щино. 1982, - 17 с. (Препринт/НЦБЙ АН СССР).

33. Борисюк P.M., Хибник А.И. Численные эксперименты с цепочкой сильно взаимодействующих релаксационных осцилляторов- Пущино, 1976. 13с. (Препринт /НЦШ АН СССР).

34. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.й., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 384 с.

35. Быков В.И., Яблонский Г.С., Ким В.Ф. Об одной простой модели кинетических автоколебаний в каталитической реакции окисления СО. Докл. АН СССР, 1978, т. 242, №3, с. 637-640.

36. Быков В.И., Яблонский Г.С., Слинько М.Г. Динамика реакции окисления окиси углерода на платине. Докл. АН СССР, 1976, т. 229, & 6, с. 1356-1359.

37. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Чернавский Д.С. Элементы теории диссипативных структур: связь с проблемами структурообразования. В кн.: Математическая биология развития. М.: Наука, 1982, с. 82-101.

38. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы в распределённых кинетических ссстемах. -Усп. физ. наук., 1979, т. 128, № 4, с. 625-666.

39. Вшгенкин Б.Я. Взаимодействующие популяции. В кн.: Математическое моделирование в экологии. М.: Наука, 1978, с. 5-16.

40. Вольперт А.И., Иванова А.Н., 0 диффузионной неустойчивости и диссипативных структурах в химической кинетике.- В кн.: Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: ИПФ АН СССР, с. 33-45.

41. Вольтер В.В., Сальников И.Е. Устойчивость режимов- 193 работы химических реакторов. М.: Химия, 1981. 200с.

42. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. - 288с.

43. Гаврилов Н.К. 0 некоторых бифуркациях состояния равновесия с одним нулевым и парой чисто мнимых корней.- В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвуз. сборник. Горький: ГГУ, 1978, с. 33-40.

44. Гаврилов Н.К. 0 бифуркациях состояний равновесия с двумя парами чисто мнимых корней. В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Межвузов, сборник. Горький: ГГУ, 1980, с. 17-30.

45. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

46. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979. - 432с.

47. Домбровский Ю.А.,' Маркман Г.С. Пространственная и временная упорядоченность в экологических и биохимических системах. Ростов-на-Дону: РГУ, 1983- - 120с.

48. Дынник В.В. Теоретическое исследование механизмов автоколебаний в гликолизе. Канд.дисс., Пущино: ИБФ АН СССР, 1977. - 192 с.

49. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974. - 178 с.

50. Иванова А.Н., Тарнопольский Б.Л. Об одном подходе к выяснению ряда качественных особенностей поведения кинетических систем и его реализация на ЭВМ (критические условия, автоколебания). Кинетика и катализ, 1979, т. 20, № 6,с. I54I-I548.

51. Иванова А.Н., Фурман Г.А., Быков В.И., Яблонский Г.С. Каталитические механизмы с автоколебаниями скорости реакции.- Докл. АН СССР, 1978, т. 242, № 4, с. 872-875.

52. Ивлев B.C. Экспериментальная экология питания рыб.- Киев: Наукова думка, 1977. 272 с.

53. Исаев А.С., Хлебопрос Р.Г., Недорезов Л.В. Качественный анализ феноменологической модели динамики численности лесных насекомых. Красноярск, 1979. - 56 с.

54. Каймачников Н.П., Сельков Е.Е. Гистерезис и множественность динамических режимов в открытой двухсубстратной ферментативной реакции с субстратным угнетением. Биофизика, 1975, т. 20, с. 703-708.

55. Колебательные процессы в биологических и химических системах. М.: Наука, 1967. - 440 с.

56. Колебательные процессы в биологических и химических системах. Том 2. Пущино-на-0ке, 1971. - 362 с.

57. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 25. - М.: Наука, 1972, с. 100-106.

58. Красносельский М.А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

59. Крейцер Г.П. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Простые особые точки системы двух дифференциальн ных уравнений. Материалы по математическому обеспечению

60. ЭВМ. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1976. 48 с.

61. Кринский В.И., Жаботинский A.M. Автоволновые структуры и перспективы их исследования. В кн.: Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: ИПФ АН СССР, 1981, с. 6-32.

62. Кузнецов В. А. Бифуркации в модели двухуровневой реактивности иммунной системы на антигены развивающейся неоплазмы. В кн.: Динамика биологических популяций. Межвуз. сборник. Горький: ИУ, 1983, с. 54-66.

63. Кузнецов Ю.А. Одномерные сепаратрисы системы дифференциальных уравнений, зависящей от параметров. Материалы по матем. обеспечению ЭВМ, серия ФОРТРАН, вып. 8. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1983. - 47 с.

64. Кузнецов Ю.А., Панфилов А.В. Стохастические волны в системе Фитц-Хыо- Нагумо. Пущино, 1981. - 8 с. (Препринт/ НЦБИ АН СССР)

65. Лукьянов В. И. О бифуркациях динамических систем с петлей сепаратрисы "седло-узла". Дифф. ур-я, 1982, т. 18, . №9, с. I493-1506.

66. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. - 397 с.

67. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.: Мир, 1980. - 368с.

68. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. М.: Наука, 1980. - 264 с.

69. Маршнева В.И., Боресков Г.К. Исследование автокоде^-баний скорости в реакции окисления углерода на нанесённой на силикагель платине. Кинетика и катализ, 1984, т.25,в.4, с. 875-883.- 196

70. Молчанов A.M. Математические модели в экологии. Роль критических режимов. В кн.: Математическое моделированиев биологии. М.: Наука, 1975, с. I33-I4I.

71. Молчанов A.M. Критические точки биологических систем (математические модели). В кн.: Математическое моделиррва«-, ние в биологии. М.: Наука, 1975, с. 142-153.

72. Молчанов A.M. Экстремальные режимы. В кн. ': Математические методы в биологии. Киев: Наукова думка, 1977, с. 107-129.

73. Нелинейные волны. Самоорганизация. Под ред. Гапоно-ва-Грехова А.В., Рабиновича М.И. М.: Наука, 1983. - 264 с.

74. Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Под ред. М.И.Рабиновича. Горький: ИПФ АН СССР, 1980.- 286 с.

75. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979. - 512 с.

76. Ноздрачёва В.П. Бифуркации негрубой петли сепаратрисы. Дифф. уравнения, 1982, т. 18, Л 9, с. I55I-I558.

77. Одум Ю. Основы экологии. М.: Мир, 1975. - 740 с.

78. Орлов В.Н., Розоноэр Л.И. Метод локального потенциала для поиска стационарных состояний уравнений химической кинетики. React. Kinet. Catal. Lett., 1981, v. 16,1. No. 1, pp. 29-34.

79. Печуркин H.C. Популяционная микробиология. -Новосибирск: Наука, 1978. 277 с.

80. Полак Л.С., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М.: Наука, 1983. - 286 с.

81. Разжевайкин В.Н. О возникновении стационарных дис-сипативных структур в системе типа "хищник-жертва". В кн.:

82. Автоволновые процессы в системах с диффузией. Горький: ИПФ АН СССР, 1981, с. 243-249.

83. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическое моделирование в биофизике. -М.: Наука, 1975.- 343 с.

84. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984. - 304 с.

85. Рубин А.Б. , Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. М.: МГУ, 1977. - 330 с.

86. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологичес* ких сообществ. М.: Наука. - 352 с.

87. Сельков Е.Е. Автоколебания в гликолизе. Простая одночастотная модель. Молек. биол., 1968, т. 2, с. 252266.

88. Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний. -Прикл. матем. и механ., 1963, т. 27, Ш I, с. 160-166.

89. Смит Дж.М. Модели в экологии. М.: Мир, 1976.- 184 с.

90. Странные аттракторы. Под ред. Синая Я.Г., Шильни-кова Л.П. М.: Мир, 1981. - 256 с.

91. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при цроизводных. Матем. сборник, 1952, т. 31 (73), с. 575-586.

92. Фрисман Е.Я. О механизме сохранения неравномерности в пространственном распределении особей. В кн.: Математическое моделирование в экологии. - М.: Наука, 1978,с. 145-153.

93. Фурман Г.А. Разработка комплекса алгоритмов и про- 198 грамм для задач химической еинетики и его применение. -Автореферат канд.дисс., Черноголовка: ОИХФ АН СССР, 1979. 16 с.

94. Хазин Л.Г., Шноль Э.Э. О мягкой и жесткой потере устойчивости стационарных решений дифференциальных уранений.- М.: 1979. 30 с. (Препринт /ШШ АН СССР: № 128).

95. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 406 с.

96. Хибник А.И. Периодические решения системы дифференциальных уравнений. Алгоритмы и программы на ФОРТРАНЕ.- Материалы по матем. обеспечению ЭВМ, серия ФОРТРАН, вып.5, Пущино: НЦБИ АН СССР, 1979. 71 с.

97. Хибник А.И. Вычислительные аспекты исследования математических моделей в биофизике. В кн.: I Всесоюзный биофизический съезд. Тезисы докладов стендовых сообщений, т.2, М.: АН СССР, 1982, с. 170.

98. Хибник А. И. О вычислительных алгоритмах исследования нелинейных колебаний. В кн.: IX Международная конференция по' нелинейным колебаниям. Тезисы докладов. Киев: ИМ АН УССР, 1981, с.344.

99. Хибник А.И., Борисюк P.M. Исследования стационарных и автоколебательных режимов в одной модели каталитической реакции. В кн.: Нестационарные процессы в катализе. Материалы 2 Всесоюзной конференции, ч. I. Новосибирск:

100. СО АН СССР, 1983, С. 61-64.

101. Хибник А.И., Шноль Э.Э. Программы для качественного исследования дифференциальных уравнений. Информационный материал. Пущино: НЦБИ АН СССР, 1982. - 16 с.

102. Четырбоцкий А.Н., Базыкин А.Д., Хибник А.И. Качественное исследование одной из моделей, описывающей динамику системы хищник-жертва, с учётом насыщения и конкуренции.- Владивосток, 1983. (Препринт $ 19 (106)/ИА11У ДВНЦ АН СССР).

103. Чумаков Г. А., Слинько М.Г. Кинетическая турбулентность (хаос) скорости реакции взаимодействия водорода с кислородом на металлических катализаторах. Докл. АН СССР,1982, т. 266, № 5, с. II94-II98.

104. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус. Матем. сб., 1970, т. 81 (123), № I, с. 92-102.

105. Шильников Л.П. Теория бифуркаций динамических систем и опасные границы. Докл. АН СССР, 1975, т. 224, № 5, с. 1046-1049.

106. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца.- В кн.: Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и её приложения. М.: Мир, 1980, с. 317-335.

107. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. Новосибирск: Наука,1983. 254 с.

108. Applications of bifurcation theory. Ed. by Rabino-witz P.H. IT. - Y.j Acad. Press, 1977.

109. Ashkenazi M., Othmer H.G. Spatial patterns in coupled biochemical oscillators. J. Math. Biol., 1978, v.5, p. 305-350.

110. Bazykin A.D., Khibnik A.I. Bilocal model of dissi-pative structure in ecosystem. Pushchino, 1981. - 9p. (Preprint).

111. Bazykin A.D., Khibnik A.I., Aponina E.A. A model of evolutionary appearance of dissipative structure in ecosystems. J. Math. Biol., v. 18, p. 13-23.

112. Bifurcation problems and their numerical solution.- Intern, ser. numer. math., v. 54. Birkhauser-Verlag, Basel, 1980. 243 p.

113. Biological and biochemical oscillators. Ed. by Chance В., Pye E.K., Ghosh A.K., Hess B. H.-Y. - London: Acad. Press, 1973. - 534p.

114. Carr J. Applications of centre manifold theory.- Appl. Math. Sci., v. 35. Springer-Verlag, 1981. -142p.

115. Curry J.H. An algorithm for finding closed orbits.- In: Global theory of dynamical systems. Lect.Notes in Math., v. 819. Springer-Verlag, 1980. p. 111-120.

116. Doedel E. The numerical computation of branches of periodic solutions. Montreal: Concordia University, 1980. - 17p.

117. Freedman H.I. Graphical stability, enrichment, and pest control by a natural enemy. Math. Biosci.,,1976, v. 31, U3-4, p. 207-225.

118. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear oscollations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields.- Springer-Verlag, 1983. 453p.

119. Hassard B. Bifurcation of periodic solutions of the Hodgkin-Huxley model of the squid giant axon. J. The-or. Biol., 1978, v. 71, p. 401-420.

120. Hassard B.D., Kazarinoff H.D., Wan Y.H. Theoryand applications of Hopf bifurcation. Cambridge Univ. Press, 1981. - 311p.

121. Hess В., Boiteux A. Oscillatory phenomena in biochemistry. Annual Rev. Biochem., 1971, v. 40, p. 237-258.123» Higgins J. The theory of oscillating reactions. Industr. Engeneer. Chem., 1967, v. 59, p. 19-62.

122. Holling C.S. The functional response of predator to prey density and its role in mimicry and population regulation. Mem. Entomol. Soc. Canada, 1965, v. 45, p. 1-60.

123. Hsu S.B. On global stability of predator-prey systems. Math. Biosci., 1978, v. 39, N1-2, p. 1-10.

124. Keener J.P. Secondary bifurcation in nonlinear diffusion reaction equations. Studies in Appl Math., 1976, v. 55, P. 187-211.

125. Kubicek M., Marek M. Computational methods in bifurcation theory and dissipative structures. Springer-Verlag, 1983. - 243P.

126. Langford W.F., Iooss G. Interactions of Hopf and pitchfork bifurcations. In.: Bifurcation problems and their numerical solution. ISHM, v. 54. Birkhauser Verlag, Basel, 1980, p. 103-134.

127. Levin S.A. Uon-uniform stable solutions to reaction-diffusion equations: applications to ecological pattern formation. In: Pattern formation by dynamic systems and pattern recognition. Springer-Verlag, 1979, p. 210-222.

128. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow. J. Atmosph. Sci. 1963, v. 20, p. 130-141.

129. Lotka A.J. Elements of physical biology. Balti- 202 more: Williams and Wilkins, 1925.

130. Lynch D.T., Rogers T.D., Wanke S.E. Chaos in a continuous stirred tank reactor. Mathematical Modelling, 1982, v.3, No.2, p.103-116.

131. May R.M, Models for two interacting populations.- In: Theoretical ecology. Principles and applications. Oxford: Blackwell Scientific Publications, 1981, p.78-104.

132. Mumura M. Asymptotic behaviors of a parabolic system related to a planctonic prey and predator model. -SIAM J. Appl. Math., 1979, v.37, Ю, p.499-512.

133. Rinzel J., Miller R.N. Numerical calculation of stable and unstable periodic solutions to the Hodgkin-Hux-ley equations. -Math. Biosci., 1980, v.49, p.27-59.

134. Rossler O.E. Continuous chaos four phototype equations. - In: Bifurcation theory and applications in scientific disciplines. Ann.N.-Y. Acad. Sci., 1979, v.316, P.376-391.

135. Rozenzweig M.L., MacArthur R.M. Graphical representation and stability conditions of predator-prey interactions. Amer* Natur., 1963, N895, p.209-223.

136. Schulmeister Th., Sel'kov E.E. Folded limit cycles and quasi-stochastic self-oscillatons in a third-order model of an open biochemical system. Studia biophysica, 1978, v.72, p.111-112.

137. Segel L.A. Jackson J.L. Dissipative structure: an explanation and an ecological example. J. Theor., Biol., 1972, v.37, p.545-559.

138. Sel'kov E.E. Stabilization of energy charge, oscillations and multiplicity of stationary states in energy- 203 metabolism as a result of purely stoichiometric regulation. Europ. J.- Biochem., 1975, v.59, p.151-157.

139. Sel'kov E.E. Instability and self-oscillations in the cell energy metabolism. Ber. Bunsenges Phys. Chem., 1980, v. 84, p.399-402.

140. Smith H.L. The interaction of steady state and Hopf bifurcations in a two-predator-one-prey competition model. SIAM J. Appl. Math., 42, N1, p.27-43, 1982.

141. Steele J.H. Spatial heterogeneity and population stability. Hature, 1974, v.248, March, p.83.

142. Takens P. Unfoldings of certain singularities of vectorfields: Generalized Hopf bifurcations. J. Diff. Eq.;1973, v.14, N3, p.476-493.

143. Takens P. Singularities of vector fields. I.H. E.S. Publications Mathematiques, 1974, v.43, p.47-100.

144. Taranenko A.M. Sequences of limit cycles in a model of a biochemical oscillator with depot. Studia bio-physica, 1981, v.83, 11, p.19-26.

145. Tornheim K., bowenstein J.M. The purine nucleotide cycle. Control of phosphofructokinase and glycolytic oscillations in muscle extracts. J. Biol. Chem., 1975, v.250, p.6304-6314.

146. Turing A.M. The chemical basis of morphogenesis.- Phylosophical Transactions of the Royal Society of London, Ser. B: Biological Sciences. 1952, v.237, N641, p.37-72.

147. Uppal A., Ray Y/.H., Poore A. On the dynamical behavior of continuous stirred tank reactors, Chem. Eng. Sci., 1974, v. 29, N4, p.967-985.

148. Weber H. Numerical solution of Hopf bifurcation problems. Math. Meth. Appl. Sci., 1980, v.2,t p.178-190.