Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Прямые и обратные задачи гравиметрии и магнитометрии в одном подклассе звездных тел

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Прямые и обратные задачи гравиметрии и магнитометрии в одном подклассе звездных тел"

-Г, 0*

\ « -

"\\ НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

| \ ^ ІНСТИТУТ ГЕОФІЗИКИ ім. С.І.СУББОТІНА

Міхеєва Тетяна Леонідівна

УДК 550.831

ПРЯМІ ТА ОБЕРНЕШ ЗАДАЧІ ГРАВІМЕТРІЇ ТА МАГНІТОМЕТРІЇ В ОДНОМУ ПІДКЛАСІ ЗІРЧАСТИХ ТІЛ

Спеціальність 04.00.22 — геофізика

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичннх наук

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті геофізики ім. С.І.Субботіна Національної Академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Булах Євген Георгійович Інститут геофізики ім. С.І.Субботіна НАН України

Головний науковий співробітник

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Чорний Арнольд Володимирович Інститут геофізики ім. С.І.Субботіна НАН України Провідний науковий співробітник

кандидат геологічних наук Анікеєв Сергій Григорович, Івано-Франківський державний технічний університет нафти і газу Міністерства освіти України, доцент кафедри польової нафтогазової геофізики

Провідна установа: Національна гірнича академія України, м. Дніпропетровсі

кафедра геофізики

Захист відбудеться ««£?£.» лютого 2001 р.о « Ж годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.200.01 при Інституті геофізики ім. С.І.Субботіна Національної Академії наук за адресою:

03142 м. Київ, проспект Палладіна, 32

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту геофізики ім. С.І.Субботіна НАН України

л &

Автореферат розіслано »£^)> січня 2001 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. В гравітаційних та магнітних полях міститься важлива інформація практично про всі неоднорідності Земної кори і верхньої мантії. Темпи розвитку та вдосконалення обчислювальної техніки, сучасні методи обробки цифрової і графічної інформації суттєво впливають на підходи та принципи вирішення конкретних геологічних задач вивчення глибинної будови земної кори за допомогою математичного моделювання реального геофізичного середовища. У цьому плані проблема розробки економічних, геологічно ефективних і зручних для використання комп'ютерних систем інтерпретації гравіметричних та магнітометричних даних для геологічних моделей середовища є достатньо важливою й актуальною. Ці розробки значно прискорили процес розв’язання таких задач і за їх допомогою отримані якісно нові результати. Представлена робота пов’язана з розробкою нових алгоритмів та вдосконаленням автоматизованої системи інтерпретації гравітаційних і магнітних полів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. У дисертаційній роботі наведені результати досліджень автора у відділі математичної геофізики Інституту геофізики ім. С.І.Субботіна НАН України. Дослідження проводилися в рамках наукових тем: «Розвинути і ввести в експлуатацію автоматизовану систему обробки даних наукових досліджень при інтерпретації гравітаційних аномалій для прогнозування нафтогазових і рудних формацій» - комплексна програма ДКНТ СРСР 0.Ц.027 (1981 № дер. реєст. 81089680); «Розробка і подальше вдосконалення математичних методів і автоматизованих систем інтерпретації потенціальних полів (1985 р. № дер. реєст. 81057380); «Розробка теорії, методики і програмно-алгоритмічного забезпечення автоматизованих систем обробки і інтерпретації геофізичних полів» (1990 г-1995 г) № державної реєст. 01860068155) входить у комплексну програму 0.50.01 «Вивчення надр Землі та надглибоке буріння»; «Розробка чисельних методів, програмно-алгоритмічного забезпечення й автоматизованих систем для обробки і інтерпретації потенціальних полів у регіональній і розвідувальній геофізиці з метою прогнозування нафтогазових та рудних родовищ» (№ 1.5.2.54, 1996-2000). Входить у програму «Комплексне вивчення Земної кори і верхньої мантії».

Мета і задачі досліджень. Метою роботи є створення алгоритмічного, методичного та програмного забезпечення розв’язання прямих і обернених задач гравіметрії та магнітометрії в підкласі зірчастих об'єктів, поданих горизонтальними циліндричними тілами з довільним зовнішнім контуром і неоднорідною густиною, опрацьовування методики використання програмного комплексу автоматизованого підбору для практичного

моделювання густинних та магнітоактивних джерел за полем сили тяжіння та за виміряними компонентами магнітного поля. Для досягнення цієї мети були поставлені задачі:

1. Розробити ефективні алгоритми опису контурів складної конфігурації апроксимуючою конструкцією з невеликою кількістю параметрів. Методом обчислювального експерименту на модельних прикладах дослідити точність опису контурів при різній кількості параметрів.

2. На базі розробленої технології апроксимації створити алгоритми та програмне забезпечення для розв’язання прямих і обернених задач гравіметрії і магнітометрії для сукупності двомірних та обмежених за простяганням геологічних тіл із довільним зовнішнім контуром та неоднорідною густиною. Провести випробування програмного забезпечення на модельних і практичних прикладах.

3. Виконати адаптацію розробленої технології апроксимації контурів складної конфігурації та програмних модулів розв’язання прямих та обернених задач гравіметрії і магнітометрії в програмний комплекс моделювання геологічних розрізів і об’єктів за виміряними компонентами гравітаційного і магнітного полів.

4. Провести експериментальне дослідження дієздатності одного алгоритму мінімізації яружних функцій і оцінити його ефективність на конкретних модельних класах геологічних тіл.

5. Дослідити ефективність розробленого програмного забезпечення при інтерпретації практичних геофізичних матеріалів.

Наукова новизна одержаних результатів.

Нова аналітична апроксимація геологічної моделі дозволила для одного підкласу зірчастих об'єктів вирішувати не тільки прямі задачі гравіметрії і магнітометрії, але й обернені методом автоматизованого підбору. Розроблена технологія, що дає можливість одержувати багатоваріантні розв’язки і легко реалізовувати принцип послідовного ускладнення збурюючих джерел із складним розподілом фізичних властивостей.

Оригінальний спосіб мінімізації яружних функцій мети, котрий враховує структуру функціоналів, що мінімізуються, забезпечує високу ефективність використання розроблених алгоритмів.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблена в роботі апроксимаційна конструкція надає інтерпретатору широкі можливості при моделюванні рудних об'єктів складної конфігурації, з її допомогою зручно параметризувати збурюючі джерела із складним розподілом фізичних властивостей. Побудовано моделі магнітоактивних і гравітаційних джерел локальних аномалій уздовж регіонального профілю пр. Босфор — м. Одеса. Проведено багатоваріантне моделювання окремих локальних гравітаційних і

магнітних аномалій, зареєстрованих у Чорному морі, а також у протоці Брансфілд (район Антарктичного півострова).

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота виконувалася за плановою науковою тематикою відділу математичної геофізики під науковим керівництвом доктора фізико-математичних наук, професора Є.Г.Булаха. У процесі проведення теоретичних і практичних досліджень автором роботи виконана програмна реалізація алгоритмів розв’язання прямої й оберненої задачі гравіметрії і магнітометрії для виділеного підкласу зірчастих тіл. Особисто автором розроблені алгоритми і проведені обчислювальні експерименти для оцінки методів параметризації геологічних тіл вибраного геологічного класу. Виконано модельні дослідження при вивченні структури багатопараметричних функціоналів з метою покращення збіжності розв’язку обернених задач методом підбору. Досліджувалися можливості одержання єдиних розв’язків оберненої задачі для вибраного підкласу зірчастих тіл. Адаптація програмного й алгоритмічного забезпечення в програмний комплекс моделювання геологічних розрізів і об'єктів за виміряними компонентами гравітаційного і магнітного полів та обробка практичних геофізичних матеріалів здійснена спільно з доктором фізико-математичних наук І.М. Корчагіним.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були представлені: на міжнародних геофізичних конференціях «Анізотропія. Фрактали. Проблеми практичного застосування» (Київ, 1994); «Глибинна будова літосфери та нетрадиційне використання надр Землі (Київ, 1995); «Геофизические методы при региональных и глубинных исследованиях земных недр и геологосъемочных работах» (Санкт-Петербург,2000), «Теоретичні та практичні проблеми нафтогазової геології та геофізики» (Київ, 2000); семінарах відділу математичної геофізики Інституту геофізики НАН України (Київ, 1996 - 2000).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 15 наукових робіт. В тому числі: 3 — в наукових журналах, 5 — в збірниках наукових робіт, 2 - в депонованих рукописах, 5 — в збірниках тез доповідей міжнародних наукових конференцій.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, шести розділів, висновку та переліку використаних літературних джерел, що складає 127 найменувань. Загальний обсяг дисертації — 190 сторінок, з них 54 рисунки, 15 таблиць.

Автор висловлює глибоку подяку науковому керівнику — доктору фізико-математичних наук, професору Є.Г. Булаху за постановку задач, надання допомоги при теоретичних дослідженнях, наукові консультації на всіх етапах роботи. Автор щиро вдячна академіку НАН України В.І. Старостенку за увагу до роботи. За всебічну підтримку і консультації на протязі тривалого періоду роботи автор висловлює глибоку вдячність

. 4

доктору фізико-математичних наук, член-кореспонденту НАН України М.А. Якимчуку. Автор глибоко вдячна доктору фізико-математичних наук І.М. Корчагіну і кандидату технічних наук М.М. Марковій — за плідне творче співробітництво, фахові поради, спільні праці; доктору фізико-математичних наук В.М. Шуману, доктору геологічних наук С.С. Красовському, кандидату фізико-математичних наук С.П. Левашову — за наукові дискусії, критичні зауваження.

Короткий зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність роботи, вказано її зв’язок з науковими програмами, визначено цілі і задачі дисертаційного дослідження.

Розділ 1. Про методи інтерпретації потенціальних полів.

Даний розділ присвячений стислому огляду й аналізу теорії і методів розв’язання прямих і обернених задач гравіметрії та магнітометрії. Приводиться загальна характеристика інтерпретаційного процесу геолого-геофізичних даних. Дається стислий огляд застосування ЕОМ при інтерпретації даних гравірозвідки та магніторозвідки.

Значна увага приділяється поняттям модельності і моделювання. Важливо, що кожна конкретна інтерпретація здійснюється у межах обраних модельних уявлень із позицій системного підходу. Використовуючи ідеї В.М. Страхова, розглянуті методичні питання, пов'язані з розробкою комп'ютерної технології і ролі інтерпретатора на різних етапах її роботи. При цьому інтерпретаційна технологія виступає як повноважний об'єкт, що має свої особливості функціюнування. Проаналізовано проблему оцінки достовірності побудови інтерпретаційних моделей.

З апроксимаційної точки зору створення ефективних інтерпретаційних систем потребує розробки зручних апроксимаційних конструкцій з мінімально можливою кількістю невідомих і обсягом обчислень. У роботі розглядаються геологічні тіла, які можна виділити як підклас зірчастих тіл.

Закінчується розділ коротким резюме стосовно необхідності розв’язання поставлених в дисертації задач.

Розділ 2. Постановка інтерпретаційної задачі в класі горизонтальних циліндричних тіл. У розділі наводиться опис апроксимаційних особливостей вибраного модельного класу. Перші теореми про умови єдиності та стійкості розв’язання обернених задач були сформульовані П.С.Новіковим та А.Н.Тихоновим саме для класу зірчастих тіл. Узагальнення розв’язків задач у цих класах було зроблено в монографії О.А. Шванка й Е.Н.Люстиха. Задачі в класі зірчастих тіл було розглянуто у роботах Є.Г.Булаха, Г.Я.Голіздри, П.Ставрева, В.І.Старостенка, В.М.Страхова, А.В.Чорного, КоІЬепЬеуег Т,

Talwani M, Ewing M та ін. Необхідно відзначити одну особливість цих робіт. Зовнішній контур тіла описувався багатокутником. Така апроксимація зручна для розв’язання прядмої задачі. Але при розв’язанні обернених задач, коли необхідно плавно змінювати конфігурацію зовнішнього контуру, є не завжди вдалою. У дисертаційній роботі розглядаються геологічні тіла, які можна виділити як підклас зірчастих тіл. Вони подані сукупністю циліндричних тіл. Осі циліндрів горизонтальні і паралельні між собою. Як правило, такі моделі описуються своїми вертикальними перерізами. При розв’язанні оберненої задачі зовнішній контур циліндра апроксимується замкнутою кривою, рівнянням якої є тригонометричний поліномом, який може ускладнюватись.

Постановка задачі. Нехай є деяка область, заповнена масами з надлишковою густиною. Проведено площину, що проходить вхрест простягання збурюючих мас. Обрана площина одночасно з достатнім ступенем точності є площиною симетрії цієї області. У ній зафіксовано область S, що обмежується замкнутим контуром L. Конфігурація цього контуру буде такою, що область S' завжди зірчаста щодо фіксованої внутрішньої точки. Початок координат у точці - центрі зірчастості. Вісь абсцис горизонтальна - паралельна денній поверхні, якщо остання горизонтальна. У загальному випадку денна поверхня задана рівнянням 2=Н(х). По абсолютному значенню Н — глибина залягання фіксованої точки усередині області S. Збурюючі маси містяться у циліндричному тілі з перерізом S і воно обмежене за простяганням площинами Y-LI і К=L2. Маси характеризуються надлишковою густиною. Вона або постійна, або є функцією координат точки. Запишемо:

а = а(§,0=<то(1+аіг;+а242) (І+рі^+рг;2) (2.1)

За геологічними (або геофізичними) даними досить важко для конкретної моделі визначити коефіцієнти формули (2.1). Практично це зручно зробити так: на осі абсцис задано три точки (^і 0), (4і, 0),(§з,0).У цих точках відомо значення надлишкових щільностей сті, о2, сгЗ. Одна з цих точок може збігатися з початком координат. Цим уже визначений параметр

сг0. Розглянуто загальний випадок:о,-=сто+аоа1£,+0оа2Е,/2, /=1,3; & а1 = —-а2 = —•

" D ' DX' D\

Тут D = (Ь-Ь) GKi) ЄзЧі); Dl= сті Ь-h ІЬ<г) - ст2 fe4i)+ *3

D2= -а 1 (4зЧ22) + ст2 (і;зЧі2)-аЗ ($іЧЛ. D3= аі (&-& - о2 (&-$)+ аЗ

Якщо уздовж осі абсцис густина не змінюється, то потрібно її зазначити на початку

координат і записати Со = а(0,0). Припустимо, що густина змінюється з глибиною залягання,

тоді на осі аплікат зафіксовано дві точки і значення надлишкової густини в цих точках:

(0,^); (0,^5); ст4=ст(і^); ст5=ст(^5). із співвідношення (2,1) запишемо два рівняння:

04 - СГо=ОоР1^4 + СГ0 р2^42 СТ5 - <То=<ТоР1^5 + сто Р2Сі

(а4-СТоК,2-(а5-а0К4 2 (а,-а0)^ -(о4-а0К5

Розв’язуючи їх, одержимо (ЗІ =-------- ■ - ■---—--------р2 =----------——---------------

-4,0 -Чі)

Таким чином отримані всі коефіцієнти у формулі (2.1). Розглянуто дві задачі.

Перша задача. Положення тіла і його конфігурація відомі. Форма і розміри тіла

визначаються положенням зовнішньої границі, поданої як кусково-прямолінійний замкнутий

контур

М&й)і=1,т. (2.2)

Геологічна модель складається з ізольованих однозв’язаних тіл. Кожна точка — центр зірчастості локального тіла в центральній системі координат фіксується так (хоН)ь 1=1, ік. Параметр хо — центр локального тіла. Кожне тіло характеризується своїм зовнішнім контуром. Це або послідовність точок на контурі — запис (2.2), або його аналітична форма. При розв’язанні прямих задач геологічна модель описується вектором Р1= Ок; (хо, Но).; [т:£)&),і=1, т],; (2.3)

[сто або (41,42 43); (а1,а2,сгЗ); £4£5) (о4,о5)]„ 1=1,ік}

Друга задача. Положення тіла і його конфігурація не відомі. Поставлено обернену задачу в такій формі. У фіксованих зовнішніх точках на профілі задані вихідні поля:

Л^(Л>2,),або Д2„0,г) і = \,п (2.4)

Зроблено припущення, що збурюючі маси мають циліндричну форму. Потрібно знайти ці

маси. З центру тіла в полярній системі координат зовнішній контур тіла поданий радіусом-вектором:

чГ ■

R=R(ql) = R()+'£лicosj(p^-BJsmj<p або Л = Л1(ср) = і?, віп— (2.5)

/»і /-і ^

Вектор параметрів для обернених задач:

Р2= {зк; (х0, Н0)ь [Догпґ;(Д], Bj),j=l, ті]; [стоили (сто ,а1,сс2,рі,Щ); )],, 1=1,Зк (2.6) Задача розв’язується методом послідовного наближення. На підставі апріорних даних і деяких розрахунків задаються початкові параметри Р2. Відшукується вектор Р2*, що дозволяє мінімізувати ступінь наближення вихідного та теоретичного поля.

Отримано формули для розв’язання прямих задач гравіметрії і магнітометрії. їх можна записати в символічному вигляді гак:

Ag{x, г) = Ag{x, 2, Р1) ^g(x, 2) = Аg(x, г, Р2)

А2(х,г) = А2.{х,2,РХ) Ь2(х,г) - Ь2.{х,х,РТ)

Одна група формул використовується тільки для розв’язання прямих задач. Вона може знайти застосування при розв’язанні обернених задач методом простого моделювання. Друга група формул використовується в алгоритмах аналітичного пошуку параметрів моделі.

Розділ 3. Алгоритмічний і програмний розв'язок прямих задач. В процесі обчислювального розв’язання прямої й оберненої задачі досліджуються питання параметризації змінних при переході від інтегрування по області до інтегрування по контуру Досліджено два підходи для параметризації змінних.

Перший підхід до параметризації змінних. Криволінійний контур замінимо кусково-прямолінійним: Ми М2— -МтМі. У цьому випадку криволінійні інтеграли заміняються сумою лінійних інтегралів

/. '

Отримано формули в кінцевому вигляді. Вони використовуються при створенні алгоритмів для розв’язання прямих задач, але їх не можна використовувати для обернених задач.

Другий підхід до параметризації змінних. Достатньо перспективний інший підхід до задачі параметризації й обчислення криволінійних інтегралів при розв’язанні прямих задач.

У вихідних даних задана послідовність точок на контурі М(£,„ <У, і=1,2,...т. Замкнутий контур повинен бути параметризованим. Досліджено декілька способів параметризації.

Перший спосіб. Він був розглянутий Б.Банчевим, Г.Георгієвим, И.Недялковим.

Запишемо^ = %{Р.(р) ^ = /£{Р,(р) (3.1)

З сукупності точок М(^і, ^і) виділяються два масиви ,. Ці послідовності

апроксимуються усіченими рядами Фур'є:

А С

^(^i) = ~ + YAJCOSj,P + £(<Р,) = ^г + 'ЕСіс0!;У<Р + ^!і ііи'р (3.2)

2 /=і 2 1

У цьому випадку вектор Р, що визначає параметризацію в (3.1), містить коефіцієнти Р={Ао,А],Ві,Со,^,Оз). Розглянуто чисельні методи, що дозволяють знайти значення цих коефіцієнтів. Встановлено, що така апроксимація не забезпечує однозначності функції, що визначає зовнішній контур.

Другий спосіб представлення функцій (3.1). У роботі введена інша апроксимаційна конструкція. Для кожної точки М (§і Щ і= 1,2, т+1 визначається радіус - вектор

х, =Д(<рі) = ^,2 +;,2 • (3-3)

Співвідношення (3.1) подані так:^(ф) = Л(ч>)со8ф, (^(<р) = і?(ф)їіп(р, (3.4) Радіус-вектор може бути представлений функцією (2.5). Практика обчислювального експерименту показала, тцо цілком задовільно апроксимація функції виконується методом мінімізації спеціально побудованого функціоналу. У даному випадку порівнюється

1п

послідовність і?, = Я(<Рі) із його аналітичною формою. Використовується такий

т*І

функціоналР(Яа,А,В) = У',а,ГЯ(0-(?(ф,,Л„,А,В')У . м

Третій спосіб апроксимації. Радіус-вектор апроксимується усіченим рядом (2.5) за синусами: У розділі наведені модельні розв’язки прямих задач при різних способах апроксимації контурів різної будови.

Розділ 4. Метод підбору при розв’язанні обериених задач. У рамках методу підбору обернена задача гравіметрії і магнітометрії сформульована як екстремальна задача пошуку мінімуму заданого багатопараметричного функціоналу Р(Р), де Р — вектор параметрів, які описують геологічну модель і оптимізуються. Даний метод є ітераційним, тобто складається послідовність наближень Р°, Р1,... ,РК, що сходяться до точки мінімуму.

Для визначення чисельних значень параметрів моделі використовується апарат математичного аналізу. Створено пакети прикладних програм, що об'єднані в автоматизовану систему. Складаються функціонали різної структури, за допомогою яких порівнюються вихідне і теоретичне поля. Інтерпретаційна задача зводиться до мінімізації функціоналів

£/,Л0 ' и,.(і,Р)

Ці функціонали — нелінійні щодо шуканих параметрів. Як показали дослідження, вони мають яружну структуру. Причиною яружності багатьох функцій мети за І.М. Гельфандом є нерівномірний внесок до них параметрів, що підбираються. Потрібно відзначити, що результати розв’язку задачі градієнтними методами значно залежать від рельєфу функції мети в околі наступної точки траєкторії спуску.

У роботі запропоновано ще один спосіб мінімізації яружних функціоналів. При постановці задачі розв’язання адаптується до виду функції мети. У цьому випадку боротьба з ефектом яружності полягає не в пошуку спеціальних методів мінімізації, а в структурі самого функціоналу. Зміна структури функціоналу змінює траєкторію прямування до розв’язку і послаблює вплив яружності на хід обчислювального процесу. Характер яружності цих функціоналів різний. Головна відмінність складається в тому, що осі ярів функціоналів Рі і не співпадають. Остання обставина дозволила побудувати новий алгоритм мінімізації багатопараметричних функціоналів, який послідовно використовує мінімізацію функцій мети Р/ і /у Так, переходячи від однієї функції мети до другої, побудовано збіжний обчислювальний процес для випадку двох дуже яружних функціоналів.

Послабити вплив яружності можливо переходом від розв’язання задач у нелінійній постановці до лініаризованої. Проте тут багато перешкод обчислювального характеру.

и~т иг(‘,П и„,Л1) иТц,ру

Системи рівнянь можуть бути погано обумовлені. На це зверталася увага в роботах Є.Г.Булаха, В.І.Старостенка, В.М.Страхова, А.В.Чорного.

Питання єдиності розв’язку оберненої задачі методом підбору залишається дуже складним. Запропоновано алгоритм, що дозволяє серед множини можливих значень шуканих параметрів виділити підмножину, усередині якої функція буде випуклою, де справедлива теорема єдиності розв’язку оберненої задачі для підкласу моделей, що аналізуються.

Розділ 5. Реалізація технології апроксимації зірчастих тіл у комп'ютерній системі моделювання гравітаційних і магнітних аномалій. Однією з основних задач, поставлених перед автором у дисертаційній роботі, була адаптація запропонованої технології в комп'ютерну систему автоматизованого підбору методами багатопараметричної оптимізації, розробленої у відділі математичної геофізики Інституту геофізики ім. С.І.Субботіна НАН України Є.Г.Булахом, І.М.Корчагіним та ін. Програмне забезпечення підбору базується на оптимізації суми квадратів розбіжностей між виміряними та модельними компонентами полів. Структура функції мети, яка використовується в програмному комплексі, надає можливість реалізації підбору за кількома полями, а також за лінійними трансформантами полів. Програмне забезпечення надає користувачу широкі можливості в побудові і реалізації стратегій моделювання конкретних геологічних об'єктів. Воно дозволяє моделювати параметри аномальних джерел за компонентами гравітаційного (А%), магнітного (ЛД ЛТ) виміряних полів, окремо та спільно, за другими похідними гравітаційного потенціалу. Моделювання здійснюється шляхом розв’язку лінійних, нелінійних обернених задач гравіметрії і магнітометрії. На різних етапах підбору моделюються окремі ізольовані об'єкти або весь розріз у цілому. Апроксимаційна конструкція, що використовується в програмному комплексі, включає більше десяти модифікацій елементарних апроксимуючих комірок.

Технологічна схема автоматизованого підбору параметрів аномальних джерел за трансформантами виміряних компонент полів, яка використовується в програмному комплексі, є більш загальною в порівнянні з традиційними схемами підбору за самими компонентами полів. У цій схемі підбір за безпосередньо виміряними компонентами є окремим випадком підбору за трансформантами. Вектор параметрів окремої апроксимуючої комірки, що підбирається, має вигляд:

X X ^ и X , (<Т (5-1)

де (У - надлишкова густина, ІХ,1 у Л, — складові вектору інтенсивності намагнічування; V, у,— параметри простягання; Хк,2к — координати кутових точок апроксимуючого багатокутника.

Для циліндричних тіл із багатокутними перерізами додатково реалізована розроблена технологія апроксимації зірчастих контурів джерел радіусом-вектором, що задається

/V _

усіченим тригонометричним рядом R{(pj)=R0-¥'^A>coьjg)t+Бismj<pl., де —

м ' '

початкове значення радіуса-вектора; Аь В* — коефіцієнти членів апроксимуючого ряду; N -кількість членів ряду;^>( — кут (напрямок) чергового радіусу. Ця технологія дозволяє представляти джерела складної конфігурації невеликою кількістю параметрів. Її включення до програмного комплексу дає можливість реалізовувати багатоваріантні стратегії підбору.

При адаптації технології апроксимації зірчастих контурів апроксимаційна конструкція програмного комплексу доповнена ще кількома апроксимаційними комірками, котрі у загальному вигляді представляються вектором параметрів:

* = і,иі;= (сг,./х^у^;,у1,у2,х0,г0,ті,Я0,А],ВІ,...., А„,В„\ (5.2 )

Де Уь Уг — параметри простягання комірки; хо, го — координати центру ваги зірчастого тіла; ті — розмірність радіуса-вектора, що описує контур тіла (кількість точок). У цьому векторі апріорі фіксовані параметри — хо, і ті, будь-який інший параметр може або змінюватися або закріплюватися.

Відновлення конфігурації аномальних тіл на базі конструкції (5.1) реалізується за рахунок підбору координат кутових точок багатокутного контуру. Для цього в блоці розрахунку вектора-градіенту функції мети реалізоване обчислення похідних від аномальних компонент гравітаційного і магнітного полів за параметрами, що підбираються ’.ди/дх^ди/дг,. Розрахунок похідних від компонент полів, що моделюються, за параметрами Я0,АГВ. апроксимуючих комірок (5.2) реалізується із використанням значень ди/дх,,ди/дг,. Враховуючи, що

хі = Л((рі)со5<рі, г, = 11(<рі)віп<рі (5.3)

можна записати:

\(5.4)

ди ди дх ди дг, \ ди

____= = у 8и дх ) ди 82, . 8и ,_у- 8и дх | 8и дг>

дЯй 1г[ дх, дИ0 + дг, дЯ0 / дА1 Ь( дх, Ц + дг, дА1 / дВ, дх, дВі + дх, дВі,

Маючи значення діі/дх^ди/дг, і додатково обчисливши по (5.3)

&: . дг. . . дх. ^

—- = созJ<plcos(pl;—- = собу^Біп^ ; —- = 00350

дА, дА, ' дЯ„ '

дх

дг,

дг,

- = бш ] <р, сов <р/= s\r^J^pismtpi-, —= віп

ОЙ, б'б, б'/?,,

(5.5)

п

отримано необхідні значення похідних за параметрами конструкції (5.2).

Адаптація технології апроксимації зірчастих тіл контурами складної конфігурації значно розширює функціональні можливості даного комплексу моделювання. Наведені співвідношення справедливі як для двомірної і обмеженої за простяганням горизонтальних циліндричних конструкцій, так і для вертикальної циліндричної комірки. У вертикальній циліндричній конструкції координата кутової точки контуру 2,- замінюються на у,. На першому кроці інтерпретаційного процесу проводиться підбір джерел аномалій шляхом їхньої апроксимації багатокутними контурами невеликої розмірності. Після оптимізацн джерел аномалій здійснюється апроксимація отриманих оотимізованих конфігурацій із використанням технології опису зірчастих тіл.

Розділ 6. Використання розробленого програмного забезпечення при інтерпретації практичних геофізичних матеріалів.

Розроблені алгоритми моделювання джерел потенціальних полів складної конфігурації використовувалися при інтерпретації гравіметричних і магнітометричних матеріалів, отриманих у комплексних морських експедиціях на НДС «Київ» і «Ернст Кренкель» у Чорному морі в 1995-1998 р.м. (Гросс С.С., Зейгельман М.С., Коболев В.П., Козленко Ю.В., Корчагін І.М., Кутас Р.І., Соловйов В.Д., Якимчук М.А.). На цих же матеріалах досліджувались і методичні прийоми їх застосування в практичній діяльності.

У розділі наведено результати багатоваріантного моделювання чотирьох локальних гравітаційних аномалій, чотирьох локальних магнітних аномалій уздовж регіонального профілю пр. Босфор — м. Одеса та аномальних значень компоненти магнітного поля ДТ уздовж шістнадцятьох галсів у Чорному морі, а також високоінтенсивних магнітних аномалій уздовж галсу в протоці Брансфілд (район Антарктичного півострова). Результати моделювання подані в графічній формі і дозволяють простежити зміну конфігурації аномальних об'єктів, положення верхньої і нижньої границь та величини їх намагніченості.

Методика моделювання. Процес безпосереднього моделювання джерел за аномальною компонентою магнітного поля ЛТ складався з трьох кроків. На першому кроці підбору відновлювалися оптимальні значення магнітоактивних джерел з поперечним перерізом прямокутної форми, на другому кроці — з перерізом трапецеїдальної форми. На

третьому кроці моделювання підбір конфігурації джерел здійснювався за допомогою розробленої в дисертаційній роботі технології апроксимації контурів зірчастих тіл усіченими тригонометричними рядами. На цьому етапі моделювання значення вектора інтенсивності намагнічування магнітоактивних тіл фіксувалися. Координати центрів ваги джерел і початкові наближення для радіусів-векторів задавалися з урахуванням результатів розв’язку задач підбору на другому кроці моделювання. Кожна задача підбору розв’язувалася в двох варіантах — при апроксимації збільшення радіусів векторів зірчастих тіл одним і двома членами ряду відповідно. При цьому значення коефіцієнтів членів ряду на нульовій ітерації приймалися рівними 0.1. Модельні і практичні розрахунки показали, що ця технологія може успішно застосовуватися при розв’язанні визначеного, достатньо широкого кола геологічних задач.

Більш детально зупинимось на результатах моделювання локальної магнітної аномалії в Чорному морі та високоінтенсивних магнітних аномаліях у протоці Брансфілд.

Чорне море. При моделюванні джерела другої аномалії уздовж профілю пр. Босфор — м. Одеса було побудовано значну кількість припустимих рішень, упорядкованих відносно інтенсивності намагнічування (компоненти серед таких рішень були відібрані варіанти, що забезпечили кращу збіжність спостереженого і модельного полів. Для джерела з трапецієподібним перерізом отримані такі значення параметрів к ® 14 км, Як 36 км, Іх «

0.7, І:& 1.8 А/м. Варіант підбору аномалії джерелом складної конфігурації суттєвих змін у значення параметрів не вніс. Отримані значення глибини верхньої границі джерела добре узгоджуються із сейсмічними даними про глибину залягання консолідованих порід у котловині західного сектора Чорного моря, де зареєстрована аномалія. У той же самий час дані про глибину нижньої границі входять у протиріччя з інформацією про положення поверхні М на глибинах порядку 22-25 км і, у незначній мірі, із розрахунками положення ізотерми Кюрі магнетиту (580°) на глибинах у районі 25-30 км. Що стосується геологічної природи джерел аномалії, то тут можуть бути запропоновані різні версії. Одна з них — зв'язок аномалії з областю метаморфогенно-метасоматичної переробки порід у зоні глибинного розколу (розтягу) фундаменту. У зв'язку з цим відзначимо, що епіцентр аномалії знаходиться саме біля підніжжя північного континентального схилу глибоководної западини. Правомірна і версія про зв'язок аномалії з потужною камерою інтрузивних порід, що у вертикальному переризі має розміри приблизно 25x22 км.

Протока Брансфілд. У ІІ-ій Українській морській антарктичній експедиції в протоці Брансфілд уздовж галса 0704 закартовані інтенсивні магнітні аномалії (понад 1000 нТл), що можуть бути пов'язані з підводним вулканічним комплексом. Аномальне поле уздовж фрагменту галсу задовільно відновлено чотирма аномальними тілами з достатньо високими

значеннями намагніченості (6 А/м). В результаті моделювання джерел із використанням технології апроксимації об'єктів складними контурами встановлено, що із збільшенням числа членів ряду, що апроксимують радіуси-вектори об'єктів, збільшується точність відновлення аномальної кривої і ускладнюються підібрані конфігурації об'єктів. Результати ж багатоваріантного розв’язку задач відновлення конфігурації об'єктів при різних фіксованих значеннях намагніченості — 4, 3, 2, 1.5 (А/м) показують, що:

а) зі зменшенням намагніченості об'єктів зменшується точність відновлення аномальної кривої, збільшується потужність об'єктів і глибина залягання нижньої границі;

б) дві високоінтенсивні аномалії на початку галсу неможливо задовільно відновити за допомогою ізольованих джерел із низькими значеннями намагніченості;

в) контурами складної конфігурації високоінтенсивні аномалії на початку профілю відновляються за рахунок зменшення залягання глибини верхніх границь, що суперечить встановленим фактам (верхні границі піднімаються вище морського дна).

Виконані обчислення дозволяють стверджувати, що високоінтенсивні аномалії уздовж галсу 0704 обумовлені джерелами з досить високими значеннями намагніченості.

ВИСНОВКИ

1. На базі розробленої технології апроксимації контурів складної конфігурації створені алгоритми і програмне забезпечення для розв’язання прямих і обернених задач гравіметрії і магнітометрії для сукупності двовимірних і обмежених за простяганням горизонтальних циліндричних тіл із довільним зовнішнім контуром і неоднорідною густиною. Проведено випробування програмного забезпечення на модельних і практичних прикладах.

2. Проведено обчислювальний експеримент, в результаті якого встановлено, що при розв’язанні прямих задач доцільно вводити аналітичну апроксимацію контуру складної будови. Найкращий результат отримано при другому способі апроксимації. Встановлено, що окрема покоординатна апроксимація менш ефективна. Створено пакет програмного забезпечення, що дозволяє інтерпретувати досить складні аномальні поля методом простого моделювання. Це ж програмне забезпечення входить в комплект розв’язання обернених задач в автоматичному режимі.

3. Виконано адаптацію розробленої технології апроксимації контурів складної конфігурації і нових програмних модулів розв’язання прямої і оберненої задачі гравіметрії і магнітометрії в програмний комплекс моделювання геологічних розрізів і об'єктів за виміряними компонентами гравітаційного і магнітного полів. Функціональні можливості горизонтальних і вертикальних циліндричних апроксимуючих конструкцій суттєво

розширені за рахунок реалізації на їхній базі додаткового режиму автоматизованого підбору з використанням розробленої технології апроксимації. Використання градієнтного спуску на початкових ітераціях підбору й алгоритму сингулярного розкладання матриць в околі мінімуму функції мети, що оптимізується, значно прискорюють процес розв’язання практичних задач.

4. Здійснено випробування розробленої технології апроксимації в рамках програмного комплексу автоматизованого підбору за виміряними компонентам гравітаційного і магнітного полів на великій кількості модельних задач. У процесі розв'язання модельних і тестових задач досліджувалися:

а) залежність результатів від використовуваних алгоритмів оптимізації і режимів оптимізаційної процедури (метод спуску з процедурою прискорення збіжності і нормуючими множниками, алгоритм обмеження на зміну параметрів і можливі межі зміни самих параметрів);

б) залежність розв’язків від вибору початкового наближення;

в) можливість реалізації багатоваріантних стратегій автоматизованого підбору за аномаліями сили тяжіння і виміряними компонентами магнітного поля КЬ і ДТ.

З аналізу результатів розв’язку модельних задач показано що:

а) у деяких модельних прикладах кінцеві значення параметрів, що підбираються, суттєво залежать від початкового наближення, тому що функція мети, яка оптимізується, в більшості випадків є багатоекстремальною;

б) підвищенню стійкості розв’язків сприяють жорсткі обмеження на конфігурацію, що підбирається, а також приріст параметрів на ітераціях;

в) зі збільшенням диференційованості аномальної кривої над джерелом, що моделюється, зростають швидкість збіжності ітераційного процесу і точність відновлення шуканих параметрів.

5. На практичних матеріалах, зареєстрованих у Чорному морі й у протоці Брансфілд (район Антарктичного півострова), опрацьована методика використання програмного комплексу автоматизованого підбору магнітоактивних та гравітуючих джерел при багатоваріантному моделюванні окремих локальних гравітаційних і магнітних аномалій.

Публікації за гемою дисертаційної роботи:

1.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Об улучшении сходимости решения обратной задачи гравиметрии методом подбора//Докл УССР. — 1991. —N7. — С. 95—97.

2.Булах Е.Г, Михеева Т.Л. Решение прямых и обратных задач гравиметрии в классе звездных тел // Докл. АН Украины. — 1993. — № 7. — С. 81—85.

3.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. О критериях единственности решения обратной задачи гравиразведки методом подбора // Геофизический журнал — 1995. — Т. 17,№2. — С. 10—16

4.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Некоторые методические вопросы использования системы интерпретации сложных гравитационных аномалий // Кн. Геофизические исследования литосферы (по международным проектам КАПГ) — 1985— 4 с.

5.Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Использование автоматизированной системы при решении обратных задач для контактных поверхностей // Кн. Изучение литосферы геофизическими методами. —-К: Наукова думка, 1987. — С.43-54.

6.Маркова М.Н., Михеева Т.Л., Пак А.В. Практический опыт использования адаптивных алгоритмов решения обратных задач гравиразведки // Кн. Геологическая интерпретация гравитационных и магнитных аномалий. —■ Ташкент, 1988. — С.16-20

7.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Алгоритмические и программные особенности решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии методом подбора — В. сб. «Обратные задачи геофизики», Новосибирск, 1996. — .55-58

8.Левашов С.П., Михеева Т.Л., Прилуков В.В. Программно-алгоритмический комплекс моделирования гравитационных полей при прямом поиске месторождений углеводородов // В сб. «Теоретичні та прикладні проблеми нафтогазової геології», Киев, С. 140-145

9.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Решение прямых задач гравиметрии. Программное обеспечение и методические рекомендации. — Киев, 1989. — 117 с. Деп. в ВИНИТИ 11.08.89, Ха5425-В89.

Ю.Булах Е.Г., Михеева Т.Л. Прямые задачи гравиметрии в классе звездных тел. Алгоритмическое и программное обеспечение. Методические рекомендации // 1996. Деп. в ГНТБ Украины 04.04.96. —№892 — Ук96.

11.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Алгоритмическое и программное решение прямых и обратных задач гравиметрии в классе звездных тел и тел, заданных набором горизонтальных пластин // В кн. Тезисы международного семинара. Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. — М.: МГРИ, 1-4 февр. 1993. —25 с.

12.Булах Е.Г., Маркова М.Н., Михеева Т.Л. Алгоритмические и программные особенности решения обратных задач гравиметрии и магнитометрии методом подбора // В кн. Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. — Воронеж: Тезисы докладов международной конференции, 1996. —

13.Bulakh Y.G., Markova M.N., Mikheeva T.L. The direct and inverse Problems of

Gravimetry and Magnitometry in the Class of Star Bodies (Symposium on Control Problems in industry, Philadelphia) // Seventh Conference on discrete mathematics. — June 22-25, 1994. — New Mexico. — S. 10. ,

14.Bulakh Y.G., Markova M.N., Mikheeva T.L. The inverse problems of gravimetry and magnitometry Solved by fitting method // XIX General Assembly, Grenoble 25-29 april, 1994.

15. Yakymchuk M.A., Korchagin I.N., Mikheeva T.L., Orlova M.I., Yakymchuk Ju.M. Gravity and magnetic modeling of anomalous sources with complex configuration. Geophysics in the Baltic region: problems and prospects for the new millenium (International conference) — Tallinn, Estonia — September 26 - 30,2000 - P.83-84.

АНОТАЦІЇ

Міхеєва Т.Л. Примі та обернені задачі гравіметрії та магнітометріїв одному підкласі зірчастих тіл. -Рукопис

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спецільністю 04.00.22 - геофізика. Інститут геофізики ім С.І. Субботіна Національної академії наук України, Київ, 2000.

В дисертації розглядаються геологічні тіла, що можна виділити як підклас зірчастих об'єктів, поданих горизонтальними циліндричними тілами з довільним зовнішнім контуром і неоднорідною густиною. Зовнішній контур зірчастих тіл апроксимується тригонометричним поліномом. Варіювання кількістю членів поліному дозволяє ефективно описувати геологічні об'єкти зі складною конфігурацією. Створено нове алгоритміче і програмне забезпечення розв’язання прямих і обернених задач для вибраного класу геологічних тіл.

Адаптація розробленої технології апроксимації зірчастих тіл в програмний комплекс моделювання геологічних розрізів і об'єктів за виміряними компонентами гравітаційного і магнітного полів дозволяє здійснювати багатокрокові і різноваріантні стратегії автоматизованого підбору. Проведено моделювання окремих локальних гравітаційних і магнітних аномалій, зареєстрованих у Чорному морі й в акваторіях Антарктичного півострова.

Ключові слова: автоматизований підбір, гравіметрія, магнітометрія, пряма задача, обернена задача, метод підбору, моделювання, програмне забезпечення, алгоритм, апроксимація

Михеева Т.Л. Прямые и обратные задачи гравиметрии и магнитометрии в одном подклассе звездных тел - Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 04.00.22 — геофизика — Институт геофизики им С.И. Субботина НАН Украины, Киев, 2000.

Диссертационная работа посвящена созданию нового алгоритмического, методического и программного обеспечения решения прямых и обратных задач гравиметрии и магнитометрии. В работе рассматриваются геологические тела, которые можно выделить как подкласс звездных объектов, представленных горизонтальными цилиндрическими телами с произвольным внешним контуром и неоднородной плотностью. При решении обратных задач внешний контур цилиндрических тел аппроксимируется тригонометрическим полиномом. Варьирование количеством членов полинома позволяет эффективно описывать геологические объекты со сложной конфигурацией. Вычислительный эксперимент показал, что с приемлемой для практического применения точностью аппроксимация контуров осуществляется методом минимизации специально построенного функционала.

В отличие от предыдущих работ, направленных на применение специальных методов минимизации овражных функций, в работе предложен один алгоритм минимизации овражных функционалов, при котором решение адаптируется к структуре функции цели и строится быстро сходящийся вычислительный процесс. Предложен алгоритм, позволяющий среди множества значений искомых параметров выделить подмножество, внутри которого оптимизируемая функция будет выпуклой и, следовательно, справедлива теорема единственности решения обратной задачи для рассматриваемого подкласса геологических моделей.

Выполнена адаптация разработанных технологии аппроксимации контуров сложной конфигурации и программных модулей решения прямой и обратной задачи гравиметрии и магнитометрии в программный комплекс моделирования геологических разрезов и объектов по измеряемым компонентам гравитационного и магнитного полей. Функциональные возможности горизонтальных и вертикальных цилиндрических ячеек аппроксимационной конструкции комплекса существенно расширены за счет реализации на их базе дополнительного режима автоматизированного подбора с использованием разработанной технологии аппроксимации звездных тел контурами сложной конфигурации. Адаптация этой технологии аппроксимации в программный комплекс автоматизированного подбора дает возможность строить и использовать при практическом моделировании многошаговые и многовариантные стратегии автоматизированного подбора.

■' Разработанные алгоритмы и реализованные на их основе программные модули опробованы на представительном множестве модельных задач. В результате выполненных, модельных исследований сформулированы методические рекомендации по использованию разработанных компьютерных программ при решении практических задач подбора гравитационных и магнитных аномалий. Программное обеспечение использовалось при многовариантном моделировании отдельных локальных гравитационных и магнитных аномалий, зарегистрированных в Черном море и в акваториях Антарктического полуострова.

Ключевые слова: автоматизирований подбор, гравиметрия, магнитометрия, прямая задача, обратная задача, метод подбора, моделирование, программное обеспечение, алгоритм, аппроксимация.

Mikheeva T.L. Direct and inverse problems of gravimetry and magnitometry in one subclass of star objects — Manuscript.

Thesis is for Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the speciality 04.00.22 - geophysics- Institute of geophysics S.I. Subbotin National Academy of Science of Ukraine, Kiev, 2000

Thesis is denoted creation algorithmic, methodical and software of decision direct and inverse problems gravimetry and magnitometry. In work are considered the geological bodies, which possible select as subclass of starry objects, presented by horizontal cylindrical bodies with free external sidebar and varying density. The trigonometric multinomial is approximated decision of inverse problems external sidebar cylindrical objects. In multi-stage selection technology the various approach of the anomaly approximation have been realized: by the polygonal contours on initial selection steps and the truncated trigonometric series on subsequent. The software, developed on the base of this technology, allows to get the multi-variant solutions and easy realize the principle of consequent model complication in process of modeling problem solutions. The technology is tested on gravity and magnetic anomalies, registerred in Black sea and in areas of water of Antarctic peninsula.

Keywords: automated selection, gravimetry and magnitometry, direct problem, inverse problem, method of selection, modeling, program software .algorithm, approximation