Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Применение сферических функций к приближенному решению задач гравиметрии

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Применение сферических функций к приближенному решению задач гравиметрии"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ЗЕМЛИ

РГъ ОД

" • " ^ л

< ( ¿...и

На правах рукописи

БОЙКОВА Алла Ильинична

ПРИМЕНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ

04.00.22. Физика твердой Земли

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 2000

Работа выполнена в лаборатории комплексной интерпретации геофизических данных. Объединенного института физики Земли РАН.

Научный руководитель — д.ф.-м. н., профессор, академик РАН В. Н. Страхов.

Официальные ©пполситы: д.ф.-м.«., профессор Ю. И. Блох; д-ф.-м-н.,, профессор В. О. Михайлов.

Ведущая организация — ¡Российский государственный •университет нефти и газа им. И. М. Губкина.

Автореферат разослан « » ^' ' ' ' *'')_ 2000 г.

Защита состоится «: .» л !с^ у 2000 г. на заседании диссертационного совета К 002.08.02 при Объединенном институте физики Земли РАН по адресу: 123242, Москва, -ул. Б. Грузинская, д. 10, ОИФЗ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института физики Земли РАН по адресу: 123242, Москва, ул. Ь. Грузинская, д. 10.

Ученый секретарь диссертационного совета

к.т.н. _ . Э. А. Боярский

Актуаяыюсть тегы. Одтгата из еспсотысс еозятзй теории антсрпре-тациа геофззипесзхп: колей язяазугся тсясгтах щжгай и обратной задачи тотешшала.' Разработка пзслетвыя ьсетсдоз решезяя' прямой я обратной задачи гравиметрия всзгда амгла.вагсгоз гязледле п геофизике. Это обусловлено тем, что лзученне лоля езелы тя::сестп-гразптадлонпого соя! Земли явйлатса одним пз ненпопжх, а'по'сута дела, едхшстсен-тхгл (параду с сейсмологией) пстотапхом Чпформацпя о распредзлеяпн масс в земной' rcops. Прпблзпхеаньш г.гзтеда?,; решения цргх:од я обратной задач гряв-îî геттста тюевянтето бояыгтеа «тело паЗог, ггопрсбаый с5-гер тготсрых I' *» [7] Un i - [/) с - « "кодлиесть

разргЛотш. *.-:с. —zr л«-*-с jv -i-т г обратной

зэдгян гра* -с тр -т. ** "■""сггост-", ч т елг- 1 » -»-s ..-йдач гпзвп-г,;етртп от: ■ —. i -— г с „ , » r „ exos,

?.:2тсдоз, ггр-"^"1 —w-.—^ с г-«-п~ ^ егг-

'ïSîiTt ДТЛГЛ"'. ?ст~ ' "ît СГ~ ТТ" Г' щ

яюс птасса.1 tîçrrrœrS.- .

Крстсэ тгт>, с—» j г *•) (С «с

кл [»] аяа*ч с ------- -»* с* ' "-с -ор -с ятезграясз

типа Коштт, - ср*-з » '*"» - „ *.* г «гл* лишь п пс-

хлто'штсль'п — Нгг.э.туэ с/"~о, ^ "^стотцее время

OTCyTCTByiCT Р С~ТТ', Г-С - -1-0 -"р-Сг i счу ■"'ХТ'СГеНИЮ М.ЕО-

гемерпых тггеграяоа типа ХСспш.. - .

Небходашссть разработки оптимальных методов восстановления по-тешщальаых полей неоднократно подчеркивал В.Н. Страхов ( См! литературу х [12-14]). Им [12-14] же поставлена задача разработки адекватного геофизической практике аналитического аппарата представления потенциальных полей. ."■'...

При описании гравитационных солей Земли естествещго в качестве аналитического аппарата поспользозаться шаровыми и сферическими функциями, по своей "конструкцтта^ йреднгьзначеншймн для восстановления полей внутри или вне сферических пли эллипсоидальных поверхностей. Систематическое изучение методов разложения внешнего гравитационного поля по сферическим функциям фактически началось с работ 'В.Н.Страхоза (см., например, [11 }.)

В последнее время (в основном благодаря различным космическим программам) увеличилось число достоверных измерений значении гра-витаннонных полей. Это ставит на повестку дня задачу увеличения

ргмарзоетг: и occisos v соота^стЕггро yt сличен::;

чхяуи. слага^ы:; i= часяопх сук:.^; Фурз»с р^злс^сщи шлей rxo сфг р^сажи фунгции.г:. сяг&рЕтшг сфер.тчссшгс сзп«з;

прсдло>::с:^: d [17]. Elp;, зто\: в [17] стьгечаатсг, что ло eise сор остались LG^.ccjr'^übaniVÄ^ оезюшъп пробле.'.сы:

1) iioci-pj-jín.o глгор:гг! эг сфер:;чзсх:ого синтеза, оСесиг чкьаю^з устойчивое i. з^геюмсо^ па.таид^хшз элементов сферического синтеза;

2) построена апгоратмоа фильтрации, шзволяюодкх кспользозать при cq,'epi:!:¿ci0'.i еннчезо только доетовзрную кпфоры ацшо;

3) создание когшлздеа программ'ва .ЭВМ;'. ■

4) япоголзки«} регхепзя кодглыгых примеров. . •

'Eojtr шак nporpivaia ссслояэиашшметодов решения прямых к обрати:;;.- зэлач rt релита:-: третьей парадгтмы разработана Б-Н. Страховым [12-1<í]. В частности, в ией откечаатся актуальность разработки чЕСягвтасс 'маходаз решения обратных задач гргзгдшхрнк, основанных на "шьтгааЕном " подходе е ка двскрегшш. преастазяспиь потенциальных полей. .' .'.■

Целью работы является вострозаис, обос^окыше и арограьаннайре-алпзадаш эффектен еис: чеслзекьзх мзтсдоз pesetea: Hps.joií п обратной задачи гргоаиатрхш & грггаазрном случай, построеназ огшгьгзльаих не-'тсяоа восстааопнзьаг оэтехахшшышг casoä с разработка адекватного геофазичбс^ай крг&тшэз елгерггхыз иреегтавдашз' шш^йасальпых во-.лей. ..''..•-.■' ' •

Наутаг'аз ковазаа зазаэтазасц'ь скавуашзы: ' • - Разработсяы z обоеиэзиш вдстешхвдышгг cxeicj шврокст£адхш сотстплалыдд: сонзй ргяшк tío шарозы« фуакшшг;

- Построены .оЕгшмаяьаьгз щу.точаосхв с скоакюств елгорашн пред-ставдзпЕя в шееггшэаяейка азтегщкаятднх похкй; ' ' •

- Разработан вяаххатЕНЙ геофязэтей^ой прылтхкг асоарат представления потенцЕалышнс полай;

- Предложены и обоснованы алгоратмы решешш обратной задачи гравиметрии, осЕОвааныа на дискретном представлении гравктируьо-щего тела;

- Предложены алгоритмы решения прямой задачи гравиметрии, основанные на представлении 'потенциальных нолей, создаваемых телами с известной плотностью, , радами по шаровым функциям.

Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность рс боты состоит в том, что

- построены птерадасгшыз вычислительные методы синтеза потен-отшьных полей яо сферическим фушщням и доказала их сходимость;

- построены кубатурные формулы вычисления моментов по сферическим функциям л получены для них оценка погрешности;

- построены оптимальные по порядку кубатурные формулы восста-гозленяя потенциальных полей в случае представления последних трехмерными интегралами типа Коши; ■ •

- предложены прибла^енпые методы решения прямой задачи гравиметрия а вычисления трансформаций на хаотических сетках;

- построены штпма.тьдке по порядку методы гесс^гаповленпя потеп-дзальэых полей; _ V:

- предложены я оСосзгсгл'.г-! зычзсл-лтодъпые ¡трпил пленного рейнагоя. обратных -задач грязшгвхрш.- А ' .

Пратхпткххаа цез/:ссг> гэлут.сггл'.г? результате:) згадлтеотся з разработке яычяслзтаяьянх злтералгез л рсаяазугггстс гх преградим, поз-хнхгющах решать восяяхаюазсаз з созрагешгой гесфззячеокоЗ практике задачи синтеза штепцпалыгнх полей по спутвшажым измерениям, п зосстапозяежи трехмерного рельефа геологической , грахшды по граая-огатрхггеаснм пзмгреяшш. ,* •

Методшса Есслезсзаляя. Построение п обоснование вычислительных алгоритмов эекэтеа с помощью методов тгоргш яотеЕсааяа, кшетруэе— гтезпой теория фузкшй, методов решешд некорректных задач, функци-?иыяьного анализа ж аппарата одномерных, п многомерных йптегралоа гшха Коши. ,

Апробация работы. Материалы диссертационной работы доклады-?алпсь и обсуждались на

-Всероссийском семинаре "Вопросы теории и практики геологичес-сой интерпретации гравятационнызс, магнитных н электрических потей" (Москва, январь 1997), •

- Международном симпозиуме "Надежность п качество 99я, посвя-цеином 275-летию Российской Академии наук ( Пенза, пюпь 1999),

-Всероссийской конференции "Геофизика и математика" (Москва, гаябрь 1999), . ; .

-Конференции "Математические методы решения прикладных физико-технических задач" в Пензенсхой артиллерийской инженерной академии (Пенза, февраль 1998);

-на ежегодных научных конференциях прсфессорско-препод аватель-:кого состава Пензенского государстзелного уппверсететз (1526-1939).

Публгхатаи.. - .

По результатам зшкдагешшх- ЕССЛвдозглЕЙ слубли^с^ало 7 пзжитных работ.

' С-РУ^УГ'-'- cJJ.su г.'.оа^ггд.-,:. Д![г;ссо^Гсхил: состоит ил взйкгкйя, пят!' глот. с ч^стъ са 156 страннггх';

( в той числа 7 стр.- сшхрг. ллхсра'хурм). Спгсог аптературы п дао-сертащш содер^лт М гяодапоаа&зг..

Автор выражает пафзкшою -бйаккгараость езошу научному руководителю акадекацу РАН Владимиру Николаевичу Страхову за постановку-задач Е'постоярсшое-ВЕЕмапкз к работе.

Содурлсаике работы. . .

ПрзднарлтеяьЕо приведем взкоторыг матсагатичажиа опредепешаг,

используемые в работе. •

Через Яв)0)а(Л) обозначается класс функций /(хх,х2,хз), слрсдзлза-ных в облаете О — [<21,61; аз, 63,63] и удовлетворяющих условию

I х2, «з) - «з) 4 - Г + ! 4 - ~2 1° + I *3 - Х3 Г)-

Через Н1(В) обозначены классы функций /(~ь хз), определенных о В и удовлетворяющих условиям | /{г') — /(г") ¡< {(^{х ,х'))а, гдз

= (г;, 4,1-;), г" - А = гпаг,-1 х\ - х[ ¡,

Р2 = £?=1 1 ~ х\ [,рз 7Йл I Р-

Через обозпачаетса класс фушазвй /(«1,^2,хз), оараа>

леняых в облаете О « [аг, 61; са, Ьа; сг, 65], Еьггюгцгх проязкадЕЫй до г< порядка но пэреигзной = 1,2,3, с удозяаа»ра»ЩЕх усясваю ¿ = 1,2,3.-.

Опред&ленБо 1.[8]; Фуагдая /(ж, у, г) врцкадлежыт классу #(«, Л,.а) {0 < а < 1} в обиагтЕ £?, есшз она в а-гой оСяаето ограничена и имгет ограЕЕчешиге пеЕрерызшге пропзвагЕы-з ворздзга £, удазлотесь рякшще услозп» Гелькера с Ешазатслгм а а константой 'Л, т.е.

07

ОзГфдгГ*

где гх + г2 + гз — г,г = 0,1,...,«, и для любой пары точек тьтг €

В, расстояние гп меззду которыми меньше некоторого числа го < 1, справедливо неравенство ,

{ ^ V ( а*/- ^

Пусть 5— сфера Ляпунова к ЛГ— внешняя нормаль к ней. Произвольную точку то на 5 примем за начало местной декартовой системы

координат (х, направят ось ( по нормали N0 в точке то и зафиксировав как- нибудь оси х* Я в касательной плоскости. В достаточно малой окрестности точки уравнение поверхности £ в местной системе координат (х,т?,{) имеет вид

С = *•(*,>,).

Определение 2,(8]. Поверхность 5 принадлежит классу Ък(В,а) если г]) € Н{к,В,а) и константы В я а не зависят от выбора точки то.

Определение интеграла в смысле Адамара.

Интеграл вида V

А{х)йх

Г;

С

(Ь-гГ. ..

при целом р и 0. < а < 1' определяет [1] величину ("конечную часть") рассматриваемого интеграла как предел при х Ь суммы .

Л(*)<Й В(х)

если предположить, что А(х) имеет р производных в окрестности точки Ь. Здесь В(х)~ любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б)В(х) имеет по крайней мере р производных в окрестности точки

* = - . ■■ •■; ■'.'■• ■ .

Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие а) определяет значения р — 1 первых производных: от В(х) в точке 6, так что произвольный добавочный член в числителе есть бесконечно малая величина , по меньшей мере порядка (Ь —х)р.

В работе при построении алгоритмов вычисления моментов по> сферическим функциям потенциальных полей, определенных в произвольным образом заданных узлах (на хаотической сетке узлов),.а пржобсуж-дении приближенных методов вычисления трансформаций: потенциал!» ных полей используется понятие оптимальных по точности кубатурных формул. ■

Пусть Лг— натуральное число. Пусть требуется вычислить интеграл

в предположении, что функция /(г, у) определена N значениями

У к), fc = 1,2,..., N, в произвольным образом заданных точках (хк, ук) к = 1,2,..., N, (а*, ук), (t, s) 6 [а, Ъ; с,d], А- параметр (0 < А < 2).

Пусть интеграл J J вычисляется по кубатурным формулам вида

(Jf)(t,9) = jtpk{t,s)H*k,yk) + RAf,Pk{t,s),{xk,yk),(t,s)). (1)

Напомним, следуя [2], определение оптимальных по точности методов вычисления интегралов.

Погрешностью кубатурной формулы (1) называется величина

Ян(/,рк,(*к,Ук)) = sup \RnU,Pk{t, s), (xk, yk), {t, s))|.

Обозначим через Ф класс функций f(z,y), определенных в области ii = [а, 6; с, d]. Погрешностью кубатурной формулы (1) на классе функций Ф является величина

RN(V,Pki(xk, Ук)) ** sup Rn(f,pk, {Хк, Ук))-

■ , /е* ■ >

Введем функционал

Ы*) = inf ,рк,(х'к,ук)).

Кубатурвая формула, построенная по весам pk(t, s) и узлам (х'к,ук) называется оптимальной, асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе функций Ф если

, Д„(ф,а» . ыт ' '

Первая глава (§1 — 5) носит вспомогательный характер. В ней дан краткий обзор исследовании по приближенным методам решения прямой и обратной задачи гравиметрии ($1,2), по применению шаровых функций к решению прямых и обратных задач теории потенциальных полей (S3). Приведены необходимые сведения из теории полиномов Jle-жандра ($4), дано определение интегралов в смысле главного значения Коши - Адамара ($5).

Во второй главе исследуются вопросы разложения в ряд по шаровым функциям потенциальных полей, создаваемых отдельными телами . а также рассматриваются метопы приближенного вычисления моментов по кубатурным формулам. Представление потенциальных полей

рядами по сферическим функциям представляет значительный самостоятельный интерес и, кроме того, необходимо для точного определения моментов в модельных задачах.

Рассмотрим задачу определения коэффициентов Фурье разложения потенциального поля 17 (Р), созданного единичной массой, находящейся в точке Б с координатами (гь 9и фх). Точка Р имеет координаты (г, в, ф). В первом параграфе показано, что при Г1< г

и(РУ= I £(?)« £ «¿(я - "Ж" + ^р^^^сс^ф-ф^

Г „=0 Г т=0

где ■■■'.;.'.,., \ . ч

нормированные по В.Н. Страхову присоединенные полиномы Йежанд-ра, ет = 1 при т = 0, ет — 2 при т ф 0.

Аналогичным образом можно получить формулу для вычисления потенциала N точечных источников, расположенных в точках О,, г = 1,2,..., N. ни одна из которых не совпадает с началом координат:

ЩР) = ... + ^ + £ {-ПУМФ^виФгН

Г . . Г г Я31 -Г :

Т '■<»=1 г

Здесь использованы обозначения

ПЛМ) = Р°(соз9),

Уп}{в,ф) = Р?(соз9)созтф,1 = 1,2,...,п,

Уп,{в,ф) = Р™(созв)8Ытф,1 = п+ 1,п + 2,...,2п,

причем если <п,тот = У; если п + 1, то т = / —■ п.

Было получено разложение в ряд по сферическим функциям потенциального поля одного тела с переменной плотностью. Пусть дано тело

, занимающее область Э а имеющее плотность р(Б), где 5- точка, принадлежащая О. Тогда

ЩР) = ^ £ £ е№ф),*»гШгШф+

+ £ —^^»{вьФ») 1т')о{г,6,Ф)гп+:1атеУпо(9,ф)(1г<1в<1ф+

• .О V V 1 ("~т)!(п + т)?

Л. "Бп+Т -ТГйг--Гп,(е»,Ф1)*

*

/2* Л* /•«(»,*)

/о Г /о «МФ^вгпвУ^ф^тбвЛф,

где

По(М) = ^(со^),

* К(соэв)соатф,з = 1,2,...,п,

ф) = Р™{со$в)з\птфл = п + 1, п + 2,..., 2п,

причем если j < п, то т = если ^ > п + 1, то то = — п. *

Второй параграф посвжицен вычислению коэффициентов Фурье производных потенциальных полей.

Для разложения « ряд Фурье производных потенциальных полей от одного точечного истфшиха,находящегося в точке 5 с координатами 0*ъполучена следующая формула .

дЩР)

.'■;■•'■. : дг

п=1 «»=0 Vя 1)~ со 2п ■+• 1_

- £ -—гг5--Р"(со50)со5^(аппсозп^ + Ьмзтпф) п=0 г

Рассмотрим N точечных источников с массами ггц,» = 1,..., Лг, расположенными в точках = 1,..., N. Тогда

дУ £ _ , « (г,)" ^ , (» - т)!(я + т)! ((п + 1)а - т2) „ ~ т (П!)2 " (П + 1)

хР™+х{созв)Р™(созв^со8тп{ф - ф,)-10

- £ Ш2" +1)(со*6)е, РХ(соз9()соз9совп(ф - &)].

п-0 ' V"-/

Третий параграф посвящен приближенным методам вычисления потенциальных полей. *

Коэффициенты Фурье в формулах разложения геофизических полей в ряды по сферическим функййям в явном виде,как правило, не вычисляются. Поэтому необходимо для ИХ вычисления использовать различные вычислительные методы К , в частности, кубатурНые формулы.

В работе исследуется несколько видов кубатурных формул.

Во-первых, рассматриваются кубатурные формулы вычищения коэффициентов Фурье апт и 6пт

_ (п - т)!(п + т)!

где п = 0,1,...,, т = 0,1,..., п и (п - т)!(п + т)1

/ / /о г"+2<7(г» ^ Ф)Р^{созв)а>атфЛЫв(1ф,

^пт —

'¿¡"г / / /р е,.ф)Р?(со8в),ттф<1гс1Мф, .

где п = 1,2,... ,,т = 0,1,... ,п, полученные трехкратным применением формулы Гаусса

(п + т)!(п - т)! г»-ц - г<,ф„*\ - V."

х £ £ £ ^С ><

<1=1 /,=И|=»1

ХСС5ТП(®, . (2)

Здесь п - 0,1,..., т - 011)-... угГ, Л|'*>, веса й'у^лЫ'квадраГурной формулы Гаусса. • •

Веса А(кт,к = 1,2онределяЮтся-по следуюшей'; формуле

АМ = 2[1 - №)*)

в которох"« значения полиномов Лежандра'/^(а?)'вы4йсля1отся по рекуррентной формуле

}>М) = 3-~[*р}-х{х) - Р,_2(х}] + хР}-1{х). 1Г

Коэффициенты Ьпт вычисляются по аналогичным формулам.

Представляет значительный интерес исследование погрешности построенных кубатурных формул.

Это исследование было проведено при следующих предположениях: 1) плотность во всей области Б принадлежит некоторому классу гладких функций. В этом случае естественно предположить, что плотность принадлежит классу \У,,''{А) функций, имеющих непрерывные производные до (э-1) порядка по каждой переменной а отдельности, и кусочно-непрерывные производные з— го порядка, причем

¡¿М*ьх».*.)| < л,: = 1,2,3;

дх\

«с

2) плотность <т(х1,хг,хз) кусочно-непрерывна в области D.

Предположим, что радиус области О равен Я.

При выполнении первого предположения справедлива оценка

Л.< Ля1вав3..{:—— "¿»1" -Ч + •• • ......,+V An,A»a+ '

2ttR (kn)'+l v : \ , , +-ГТ---yri^n A Anj J + АЛЛ^Лз,

где N- число параллелепипедов, имеющих непустое пересечение с поверхностью тела D,hi = R/s\,hi — 27г/в2,Лз — ""/«зДп— константа Лебега .

Аналогичная оценка справедлива и при втором предположении.

Значительно более точные формулы можно построить в предположении, что п кратное вычисление значений плотности а(г,ф, &) в щщпз точках требует значительно меньше времени, нежели вычисление ин-. тегралов по формулам (2) при всех значения п я т.

Для определенности ограничимся случаем, когда <т(г, ф, в) € А — const и предположим, что требуется вычислить последовательность интегралов о„т и Ь„т, т = 0,1,..., п, при фиксированном значении п.

Опишем вокруг тела D сферу S с центром в точке О, принадлежащей телу D и с радиусом R. Введем систему концентрических сфер с центром в точке О и радиусами г* = R(k/ni)v, к = 1,2, ... ,ni,u = (s + l)/(n + l). Введем точки в{ ~ т/п2, i = 0,1,..., щ и ф^ — 27rj/«3> j s= 0,1,..., nj.

Построим сферический параллелепипед с вершинами в точках с координатами (а, б„ 0,), (г*, </>/),(г*, вц-иФт), (Оь8» Ф]+1).

(»Ч-нД+ь«^), этом зна-

чения = 0,и -ф-}ч) = 0,1,... ,Пз, выбираются таким образом, чтобы у каждого сферического параллелепипеда длины ребер были равны. Кубатурная формула строится применением формулы Гаусса по каждой переменно!! в каждом сферическом параллелепипеде. В этом случае получаем значительно меньшую погрешность

где г3 N1-общее число значений функция <г(г,ф,в), используемое при вычислении апт, £' - суммирование по параллелепипедам,'ик&ющим непустое пересечение с границей области й.

В четвертом параграфе рассматривались кубатурные формулы на хаотических сетках. Интерес к этим формулам вызван двумя обстоятельствами. Во-первых, при решении многочисленных задач гравимет-. рии приходится вычислять интегралы от функций, заданных своими значениям» на хаотической сетке узлов. Во-вторых, в качестве основных недостатков существкющих способов приближенного вычисления трансформаций потенциальных полей в [7] указывалось на то, что '

1) Способы разработаны только для случая горизонтальной поверхности и регулярной сети наблюдения; " .

2) Отсутствует эффективный алгоритм учета центральной зоны для вычисления трансформант для г = 0, т.е. в случае, когда интеграл, характеризующий трансформанту имеет особенность в точке х — у = 0;

3) Способы не адаптируются в смысле учёта влияния случайных погрешностей наблюдений и непредставительных компонент поля при изменении уровня сигнал/помеха, соотношения их радиусов автокорреляции ит. п. В большинстве случаев они обладают лишь очень слабыми фпльтрируюшнми свойствами и весьма чувствительны к погрешностям наблюдений; ■ "

4) Способы не являются оптимальными в смысле точности расчетов. Отсутствуют эффективные оценки точности, представление о которых можно получить на модельных примерах.

В работе предлагается алгоритм вычисления различных типов интегралов, возникающих при решении задач гравиметрии (интегралов в емькле Римана, типа Коши, в смысле главного значения по Коши,

интегралов в смысле Адамара) на хаотических сетках. При этом при построении хаотических сеток в качестве "эталонных" используются оптимальные кубатурные формулы. Получены оценки погрешности на различных классах функций. Кроме того, предлагается в формулах трансформаций потенциальных полей (например при рассмотрении одномерной трансформацией, предназначенной для вычисления вертикальной производной на прямой 2 = 0:

1 ?ц(С.р)-1|(г,0)

к-«)»

интеграл понимать в смысле Адамара. Таким образом, полученные в четвертом параграфе алгоритмы вычисления интегралов на хаотических сетках, свободны от основных из перечисленных выше недостатков.

Приведем типичный для этого параграфа результат. Пусть требуется вычислить интеграл

ь л

Л = / /

а с

в предположении, что функция /(х, у) определена N значениями /(хк, у к), к 1,2,.'.в произвольным образом заданных точках (х*, Ук) к = 1,2,... т ЛГ, (х»; I/*-) € (а,

Поставим в соответствие интегралу .7/ кубатурную формулу

+ (3)

где Гк к о+ (2к - 1)к,к = 1,...,ЛГ,тг = сЧ (2/ - 1 = 1 ,...,М,Л.= (Ь — а)/2]У, (¿-с)/2М.

Известно [10], что на классе Яг,>а(1) кубатурная формула (3) является оптимальной среди всевозможных кубатурных формул, использующих ИМ значений подинтегральных функций и ее погрешность равна

Опишем теперь метод построения кубатурных формул на хаотических сетках и оценим погрешность построенной кубатурной формулы.

Пусть функция /(х, у) задана своими значениями в Л^ — Л^Л/ точках (ик,и1к), к — 1,2,... , N1, произвольным образом расположенным в области П. Каждому узлу (££,к = 1,2,...,N,1 — 1,2,...,М оптимальной

f4. "Косой Ао-*ь*о я! Сст«и

Узлов

rjj(í ''срез ,

«а

.vV,

í.

я

<S° -» n )/J " Ойль., ' .

3/7Р/гЛ;

3j

8 Re/.

ao

,РазРабо

ег 00 всей : ****** '^Ц*»»***** ß

Щг) ^ 1 Jv

Ve.70e

Лесь /; \ „ ^«»Ы^ФУ-*.

«^Poj

Со*Щф

> лго-

ФУпк-

15

*m ai ,aaaebfe0o jC)r,

^»o

(г",.*'''

.....

фурье

ев* --

ей"

с-ге^

Сост®

„СО®

ТлФь

обра*»1

ХЯСТОДО® У" ' исТ«^

бу6"1 * -сохе»«» С па1отсЯ

.чвои

«с1

ПР00' ^ фор^

ав»'

сил»

атр"

А*

Ьи.Ь»1'""

рсгУ

ОО

аде* и ;Те**ой

ура»«

ья**4'

аегге»

^меяе'

е-

а>

слсКГ

-А'И

^ Т^^^ ^здось «о

где 0 < 0 < 1,7 = 1/(2 || А'А ||). Выше было взято р = 1/2.

В работе доказана сходимость итерационных схем (9),(10).

При проведении фильтрации (о которой речь пойдет ниже) этот метод теряет эффективность. Поэтому В.Н. Страховым была предложена другая регуляризация.

Регуляризация по В.Н.Страхову.

Регуляризация по В.Н.Страхову заключается в том, что решение уравнения (7) ищется в виде вектора

Х-А'2. (11)

Вектор Z определяется из уравнения

№ + АА'г = .Р, (12)

где (3 > 0— малый параметр.

При численном решении уравнения (12) использовался пакет прикладных программ для нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с точно заданной матрицей и приближенно заданной.правой частью, авторами которого являются В.Н.Страхов и Д.Е.Тетерин (Институт физики Земли РАН.)

Помимо этого система уравнений (12) решалась по следующим итерационным Схемам .

5.+1 = (1 - Р)2п - 7(АА*гп - Г), (13)

= (хп2п + (1 - /*„)(£„ - 7(/32„ + АА*гп - Р)), (14)

где 0 < (1, < < ц" < 1,7 — 1/(2 II А.А' ||). При реализации вычислительной схемы (14) было взято Цп = 1/2, п = 0,1,...,.

В уравнениях (13) и (14) ¡3— параметр регуляризации, (0— неотрицательное достаточно малое число); Цп— последовательность положительных чисел, удовлетворяющих условию 0 < ц, < Цп < 1 — ц' < I, где /х, и д*- соответственно нижняя и верхняя границы параметра /и„, п = 0,1.....

В работе доказана сходимость итерационных схем (13) ,(14).

Фильтрация по В.Н. Страхову. Помимо регуляризации эффективный прием получения более точных аппроксимаций потенциальных полей заключается в фильтрации уравнений из системы (6).

Метопы фильтрации для решения систем уравнений с неточно заданными коэффициентами и правыми частями предложены и исследованы В.Н. Страховым. к

Особое значение методы фильтрации приобретают при решении неустойчивых систем уравнений с правыми частями, полученными в результате измерений.

Применительно к исследуемой в настоящей работе задаче синтеза потенциальных полей метод фильтрации заключается в следующем.

При аппроксимации потенциального поля отрезками рядов по шаровым функциям из системы уравнений (6) определяются коэффициенты a■k^tbkl, которые являются моментами потенциального поля по шаровым функциям. Как правило, заранее известны плотности тела А < сг(г, 9, ф) < В, создающего потенциальное поле. Это позволяет получить оценки для моментов од, Располагая информацией об оценках моментов аы, Ьц, можно сделать выводы о достоверности измерений значений поля и(хк).

Проиллюстрируем это на примере решения системы уравнений

ИХ = Г,

(15)

где В - ¿и,к,I = 1,2,... ,N1,X « (ц,...,)т,^ = (/ь,..,/лг,)г.

Предположим, что вектор F получен в результате испытаний, т.е. содержит ошибку. Предположим, что имеется априорная информация о решении. Пусть, например, известно, что для

' II X 11, = [£& | х* I2]1/2.

справедливо неравенство 1РХ || < В.

Возьмем произвольную к строку из системы уравнений (15): = Д.

Из неравенства Гельдера следует, что

1=1

Г« ]1/а

И 5в

'=1

1/2

Поэтому если окажется, что

В

1-1

1/2

<1М.

то это к уравнение не соответствует исходной физической задаче и его следует отбросить;

Рассматриваются также другие критерии фильтрации.

Результаты, включенные в третью главу, частично опубликованы в

И-

Четвертая глава посвящена оптимальным методам восстановления потенциальных полей.

Первые два параграфа главы посвящены решению следующей задачи.

Задача. Дана область (7, в которой определено потенциальное поле V. Требуется по данному е(е > 0) определить минимальное число узлов-Шк,к = 1,2,..., jV. no значениям функции К(т*) в которых возможно восстановление поля V с точностью е в любой точке области <7. Кроме того требуется определить узлы т*, к — 1,2,...,//, и построить алгоритм восстановления потенциального поля V.

В первом параграфе исследуется гладкость потенциальных полей.

Плоский случай.

Теорема 1.1. Пусть функция ег(£) имеет непрерывные производные ю г - 1 порядка и ограниченную производную г— го порядка. Пусть контур Ь- гладкий. Тогда справедлива оценка

дс

где ¿(С, С)- расстояние от точки < до границы области (?. Пространсгведиьш случай.

Теорема 1.2. Пусть плотность а(х, у, г) ограничена и интегрируема. Тогда справедлива оценка

<A2.J 0<а<1,

SA2'\{d(myD))-+\ 1<л,

где d(m, D)~ расстояние от точки т = (х,у, х) до тела D, а ~ ai + зз + S3,0 < з, < 5, г = 1,2,3.

Теорема 1.4. Пусть поверхность jS принадлежит классу Ьц(В, a), a G Н(1,А,а), где 0 < I < к. Справедлива оценка

^V(x,y,z)

дх*1ду**дг"

0<а</ + 2, , I + 2 < s < op

(16)

где d(m,D)— расстояние от'точки т — (х, у, г) до области D, s = 8\ +

«2 + «3,0 < з{ < s.i = 1,2,3.

Во втором параграфе построены локальные сплайны для восстановления потенциальных полей. Алгоритм восстановления изложим на при-.мере восстановления поля, создаваемого сферой единичного радиуса, в предположении, что плотность тела имеет производные до 1-го порядка. Из теоремы 1.4 следует, что в этом случае напряженность гравитационного поля удовлетворяет неравенству (16).

Введем декартову прямоугольную систему координат, поместив начало координат (точку О) в центр тела в в направив ось 2 вертикально вверх.

Сферические координаты связаны с декартовыми формулами

х = г$4п8совф,у — гатВвтф, I = гсоав,

1*де 0-угол между осью 02Г ж радиус-вектором ОМ, соединяющим начало координат с точкой М, имеющей координаты (г,вьф); ф—угол в плоскости ОХ У, отсчитываемый в положительном направлении от оси ОХ до проекции радиус-вектора ОМ на плоскость ОХ У.

Пусть нужно построить алгоритм восстановления поля в области <?, заключенной между двумя концентрическими сферами с радиусами, равными единице и К. Построим систему концентрических сфер с радиусами Г* = 1 + (Д - 1) > к — 1, 2,... , ЛГ,« = 1п2. ПуСТЬ Гд = 1. Обозначим через — 0,1,...,^.— 1, множество точек, т — (х-,у,г), удовлетворяющих неравенству

< ¿(т,дГ) < а+1,

к — 0,1,... - 1, где с1(т,дТ)-расстояние от точки тп до границы <9Г единичной сферы.

Каждую из областей Д* разделим; следующим образом на сферические параллелепипеды. Обозначим через Л* = г*.,.] - г*, к = 0,1,...., Лг— 1, ■ расстояние между соседними концентрическими сферами. Покроем сферу с радиусом г*+| множеством сферических параллелограммов, которые строятся следующим образом. Введем сферическую систему координат, поместив начало координат в центр единичного шара.

. Поставим каждой области Ак, к — 0,1,.. ^,N—1, в соответствие множество узлов в£,фр которые определяются следующим образом. Обозначим через Мы.1,<+и+1 точку, имеюйцую сферические координаты г^] Д41 ф]+\. Значения 0,подбираются из требования, чтобы расстояние между точками Л/*+и М1+1,»+и> а также между точками Л4+ и

A/it+i,»¿+i было бы равно Л», к = 0,1,... ,N - 1. Соединим точки Mk+i,i¿ с началом координат и обозначим через l j точку пересечения этой прямой со сферой Sk- Обозначим через Дщ сферический параллелепипед с вершинами в точках ¡ i^+wi»j. AlJ+uj+i. AíJ+w+ij+i, "Mk+W, A/^jjí+ij+I«'-; .

Обозначим через рь * = 1,2,..., TV, узлы полинома Чебышева первого рода степени N, расположенные на сегменте [-1,1]. Пусть [а, £>]-произвольный сегмент. Отобразим сегмент [—1,1] на сегмент [а, 6] таким образом, чтобы точка -1 отобразилась в точку а, а точка 1 - в точку Ь. При этом узлы ¡¡к отображаются в р!к,к — 1,2,...,iV. Интерполяционный полином, построенный по узламц'к,к = 1,2,... ,iV, и интерполирующий функцию /(г) на сегменте [а, 6] обозначим через Pn(/, [а,Ь]). В случае, если возникнет необходимость отметить, что интерполяция проводится по переменной х будем писать [а, 6|).

После этих предварительных замечаний приступим к аппроксимации функции 1 V(r,e,4>) в сферическом параллелепипеде Д*^.-

Обозначим через Ак, Вк, Ск, Dk, А'к, В[, C'k,D'k вершины параллелепипеда Akij ■ На дугах АкВк; CkDk\ Ak+iBk^-, Ck+iDk+i функция V(r,6,4>) зависит только от переменной фу на дугах AkDk\ Bi¡Ck; Ak+iDk+\; Вк+\Ск+1 функция V(r, в, ф) зависит только от переменной в и на сегментах [Ак, Ан-i], [i?*, ßfc+i], [Dt, Dfc+il, [Ct, C*+i] функция V(r, 0, ф) зависит только от переменной г. Будем считать, что Ак, Aj¿+i; В*, Bfc+i; Dk, Dk+1; Ck,Ck+1 имеют соответственно следующие координаты (rk,&i,tyj),(rk+h 0¡.<f>j). (гк,9»Ф}+1), {гк+1,в>,Ф3-и), (rjt, 6i+i, (rjfc+i, ф}+1), (a, öi+1,

Введем обозначения ftj = |г*+1 - rjfc|, /»f = |0¡+i — ft^ = .Функция V(r, 9,ф) аппроксимируется в параллелепипеде интерполяционным полиномом

где описанный выше оператор интерполирования PSt последовательно применяется по переменным в, ф, г; зк = [к(1 + 2)] + 1.

Локальный сплайн, аппроксимирующий функцию У(г,в,ф) в области G и составленный из интерпрляционных полиномов Vjv(r, 6, ф), обозначим через Vn (г, в,ф).

Погрешность приближения функции V(r, 9,ф) локальным сплайном

'Здесь V(r, в,ф) = У{гсозВсозф,гсо.1в>тф,г!1пв).

б, оценивается неравенством

\\V{r,e,4>) - Mr,0,^)11 < A(R-

где п— число функционалов, используемых при построении сплайна.

Показано, что изложенный мете« является оптимальным по порядк среди всевозможных алгоритмов восстановления потенциальных поле) Для сравнения отметим, что если использовать равномерную гетк с п узлами, то погрешность восстановления равна A(R - l)'+2n~('4j,/S Описав метод представления этих сплайнов в виде отрезков рядо! Тейлора. Такое представление позволяет сводить операции сложении дифференцирования и интегртрования полей к арифметическим деист ВИЯМ.

В геофизике широко используются методы представления потенциальных полей интегралами типа Коши [9].

Пусть F- потенциальное в области П поле, удовлетворяющее уравнениям

divF - f(x,y,z), ratF - 0. Пусть grad и — F. Тогда

*

F(r') = h + = -¿/^{(n-FJWj^ + in x FJ x grad^-7{}ds+

+h I! [divF(17)

Здесь r € П,п -единичная нормаль к поверхности Г, г = xi + yj -f гк, г' = x'i Ь y'j + г'к.

В работе построены оптимальные по точности кубатурные формулы вычисления интегралов из (17).

Результаты, включенные в §§1,2,Частично опубликованы в [3]. Пятая глава посвящена приближенным методам решения обратных задач и состоит из двух параграфов.

В первом исследуется несколько итерационных методов решения обратных задач для контактных поверхностей в плоском, и пространственном случаях.

Второй параграф посвящен приближенным методам решения дискретных обратных задач.

Ввеязм vpsnoytom^yvt .декарггоау.- сгстему координат OXYZ, ua-лрав:т ось OZ "rrri. Пусть rштутглсо rrг.г-тгрутсгцсз тела G сгразп-чепо Ескгргасгтзяо Г e paceogcesasa-n гфгяугояыазм гтараллелзшшел-D — [«i.biWjO-r.cjfH- Вгеяем ©яяу:узяез = ex +.(6x - a\)k/Niyk —

0,1,...,Яг; - о« -b (03 - к — 0,1,...,Я2; y?s' = a3 +_ (03 -

а3)?-/Агл,йг = 0, Пусть -n«. « (¿4,%^),* - 0,l,...(iYbj ~

0,1 ,...,Ni,k =s 0,1,... ;/vrn. Катздсму-узлу регпетхп постаядм в соответстгсга таязвсстаую точечную пассу гпуь. При 'этом предполагаем, что грзвггагсюзгое полз, создаваемое масс&л ту*, расположенной в точг» Гу-%, равно золю, создаваемому парзлтзлешшедом Ащ — [i,-,tM-,Vj,Vj+ii-WL,ты],г = 0,l,..,,iYi - 1 ,j ~ 0,l,...,Ar3 - 1. к -ОД,...,iVj - 1. Пусть ri — тщ,тщ = m,-^,l = j + i-f /i^i + kNiN2. .

Для на:-:о-г1делЕ^ масс mi составим систему уравнений I'uzi — fк = 1,2,..., Дг — NiNzN%, где % = ад-гтп», a«— поле, создаваемое а точке к на «ог»ерг.-*сггя '¿««г; ш^гэтнсй массой, распсгго±енпой в rc"j:e TJ.

Рассмотрим лтох'-г^ссгай rpcrrccc S^+j = Z-:i — j(aZm -i- 3*BZm — S*F), m =s 0,2,..., г до В — {i'j;}, f = 1,2,..., /У, В*—матрица сспря-гсекязв ас В, а{0 < регуляразэдпа, 7 = гш'п{1/2, l/(2|}B*Bjj))..

Расскйтр~^:атсх чяазяэ xsftspsnsKnKa прсдгссы, yfjassasaioBjKe ела-1 щ;ф*пг/ ncsc-^aro решвзая,-' .

Результаты, ехипотзгя&е в глгау 5, чгстнтзта сгуЗпзгсззгы в [5,17].

Пршюаежпз cocrorr дз пята п&рзгргфоз, г^стшаш программ, гра-Ьтйюз s тгблзц ргшеягл нодзяьяьс: прамгрез. •

ЗзлЕт?жаемь:е полккааяя. Аатерои па saxxctsy вьссосжгсг:

-ПрпЗяк^яяк'Э ггатсды сштога.потвагсгзлг-Езж попсЗ по сферячес-oii£ фугшксам; .

-Пргблггжзшга кзтеетг решезиз сбрзт?тс2 гздачв грззхагагргк, сс-гоггзязше на дзекреэязе»! прздетазлагпя грягзтяруюшгго тела;

-Адзкза'г'зыа гесфпзагаесйзй прогтшаг мьтоды коссталозлеппя поте;1-етальяьс: пояеЗ к обработка геофззвчесхей кпферкацаа;

-Методы лосгроейая оптзмальнызс по точности а сложности алго-»итмсв Еосстапсвлегшя потсЕхщалъаых полсЗ;

-Методы построезля оптимальных по точности алгерпп.юз приблп-кенпого представления потенциальных полей, заданных я виде пнтег-)алоп типа Хошп.

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

-В диссертации построены оптимальные по порядку (по точности и,

•в ряде случаев, по сяоэкпасти) методы рсях^к^я Прагой грави-

метрии, восстановления и трапсформгцг::; пзтсядягшьпых полей п показана нх эффективность при решении практических задач;

-В диссертации построены, обекзюв&заы и апробированы итерациоа-ные методы синтеза потенциальных полей по сферическим функциям. На модельных примерах показана эффективность предложенного В.Н. Страховым метода фильтрации при решении систем уравнений с к е- -точно заданными правыми частями;

-В диссертации построены, обоснованы а апрс5прог.алы итерационные методы решеаяя обратных задач гравиметрии,. осеевшЕше иг дасхретном предстазлглги гразктируюхеего тела. Прздлккеад'зг обоснованы методы ргиашраляелнвакпя.прп решггшз обратн&эс зааэт rps- -•вкметряЕ.-, .'■■'-"■'.'"'■-■

Решение большого числа моезлыщз: прямзроэ доказало взасогуго зф--фатткоегь'вссжздоващыу ai лвссертонта аякфяшф.

Основные шлсшзеяцз диссертащш тубтшташ о psSpxsx [3]'[о],[15],[1?

.■-.■'■"'Лзтература " ■ •

1. Адамар Ж.Задача Коага дав- ягшейкэде- урт&ещв с n&ctsmsz .производными гиперболического тана.- Ы.: Игу.;;». 1078- S51 с. .

2. Бахвалов Н.С. О свойствах сгггшйльвдх катодов рещадая задач математической фазнки // Журнал кычнеяптеяьвой матеадатшш и математической физики. - 1970.-T.10. - Ш. - С.555 - 568.

* 3. Бойков Н.В., Войкова А.Й. Оптимальные методы восстаиоздэ-Ш1я потенциальных полей// Известия РАН. Физика Земли, 19S8, Но 8- 0.70-78.

4. Войкова А.И. Об одном приближенном методе решения прямой задачи гравиметрии// Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных ш электрических полей. Тезисы докладов международной конференции-семинара им. Д.Г. Успенского. Ухта. 1998. С. 44-46. - : :

5. Войкова А.И. Об одном приближенном методе решения обратных задач гравиметрии// Геофизика и математика. Материалы 1-й Всероссийской конференции. М.: Объединенный институт физики Земли, 1999. С. 17-20. ' -

6. Бойкова А.И. Кубатурные формулы на хаотических сетках// Доклады международного симпозиума "Надеусгость п качество 99," посвя-

ПЕвзЕсго 275-жггйю Российской АкаяэьяЕ* яаух. Пенза. 1999. С. 145-148.

7. Гразщшведаа. Под редахдией В.А.Мудргцсзсй. М.: Наука. 1981. 397с. : •■ . : '

8. Ггсзгер II.M. 'Георпя потевдааяз а-ее аршгёшяше s основным задачам 1;атогатгт1'зской фнзгпш. М.: ГИТТЛ. 1953. 415 с. . .

9. Жданов М.С. 'Аналога интеграла тала Копта в теории гсофозп-чзскш; полей. М.: Наука. 1S84. 327.с.:-: ;

10. Нгосольсгсзй С.М. Квадратурные фсрмулы.-М.: Наука, 1979.-254

11. Orpaxfc® B.h. О синтезе разложенля вкешлего гравитационного потетгтэла в рлд яо шаровым функциям // ДАН СССР.1980. T.254,N 4. С.839-841.

12. Страхов В.Н. Третья парадигма з теории я практике пнтерпре-таточ яотеядяаяьяых поясй (граестацношшх п магнитных аномалий) Чгсть I.// Электр опггый .^лу-ао-тафорзлациопный зауркад. Вестшгк ОГ-ГГГ-РАК W.; 1flW. Ш. П. ir>S-1<5H.

1? Ca Г п теория я продажа аотерпре-

тгят х. " т т;~' pac-Tdr^antn з mrnsrxra-« аномалий) Част- ' т ' ~ üjtos-skü• зсурнал. Вестхшк

ОПТ? w * • 1« .С. *)5- >

1-: - - ' " - -горзпз п spairr^se пнтерлре-

таия.л »о«"»- — г«»-- Су —амапетишканомалий)

Чёсть ИГ // С" г*-1* т*?" r^yo-j-"' -» чкисяяый дурная. Вестпиа

огп к * . j, п. о. ico-js*»

15. Страхов В.Н., BoäEosa АЛ. О прг.5.Ехг:енком прадатавлеязп по-теаЕжш&йКХ гасфжктаесзах полей,// Вопроси теории я орзктгдз гео-логнчэс®с5 гяггерпр&ггкгзз гравгт-ацлсшгыс, тдапютаых и зяватричес-' кзх полей. М.: ОИФЗ PAH.1Ö97. С.111-115. . : '

18. Страхов В.Н., Боикоза А.И. Об одесй ьгадпфшсащш монтанно-го метода// Вспр"-си теория п прахтшеа геологической нптерпрета-щш граптгацЕОКньгг,; магнитных. я зяззстрлческнх полей. М.: ОИФЗ РАН.2С00. С. 179-132.

17. Страхов В.Н., Ефимов A.B., Хохрякова М.М. Методы синтеза рядов по шаровым функциям, представляющих элементы потенциальных геофизических полей // Известия АН СССР. Физйка Земли. 1988, N 5. С.41-57.

. - . Леихесз Алла Ийжаняя

ПРИМЕНЕНИЙ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ■ ГРАВИМЕТРИИ

04.00.22 — Физика твердой Землей

Сдано в производство 09.02.2000. Формат 60x84 Бумага газетная. Печать офсетнад. Уса, псч. л. 1,39. Заказ 97. Тираж 100."

огрофкй иадательстаа Пензенского государственного университета. \. . 440017, Пенза, Кроеная, 4Q.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Бойкова, Алла Ильинична

Введение £

Глава 1. Приближенние методы решения прямой и обратной задач гравиметрии (современное состояние исследований)

§1. Прямая и обратная задачи гравиметрии в

§2. Численные методы решения прямой задачи гравиметрии М

§3. Применение шаровых функций к решению прямых и обратных задач теории потенциальных полей

§4. Вспомогательные предложения 2.

§5. Интегралы в смысле Адамара 2Я

Глава 2. Приближенное решение прямой задачи гравиметрии

§1. Разложение по шаровым функциям потенциальных полей, создаваемых односвязным телом

§2. Аналитическое определение коеффициентов Фурье производных потенциальных полей зЦ

§3. Приближенные методы вычисления потенциальных полей

§4. Кубатурные формулы на хаотических сетках и их применение к приближенным методам трансформации потенциальных полей

§5. Модельные примеры вычисления потенциала тела и его производных в ?

Глава 3. Приближенное представление потенциальных геофизических полей рядами по сферическим функциям

§1. Введение ?{

§2. Построение вычислительных алгоритмов определения моментов потенциальных полей 7 {

§3. Фильтрация по Страхову ЬО

§4. Приближенные методы определения моментов производных потенциальных полей £

Глава 4. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей

§1. Оценки роста модуля производных потенциальных полей

§2. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей д5"

§3. Оптимальные методы представления потенциальных полей юй

§4. Об одном подходе к аналитической аппроксимации потенциальных полей

Глава 5. Приближенное решение обратных задач для контактной поверхности

§1. Введение 12.2.

§2. Итерационный метод решения плоской обратной задачи для контактной поверхности

§3. Метод локальных поправок в пространственных обратных задачах 12.&

§4. Об одном итерационном методе решения дискретных обратных задач гравиметрии Литература Приложения Приложение 1 Приложение

Введение Диссертация по геологии, на тему "Применение сферических функций к приближенному решению задач гравиметрии"

Разработка численных методов решения прямой и обратной задачи гравиметрии всегда имела важное значение в геофизике. Это обусловлено тем, что изучение поля силы тяжести-гравитационного поля Земли является одним из немногих, а по сути дела, единственным (наряду с сейсмологией) источником информации о распределении масс в земной коре.

Диссертация посвящена приближенным методам решения прямых и обратных задач гравиметрии. Диссертация состоит из введения, 5 глав и приложения.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика", Бойкова, Алла Ильинична

Выводы .

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы:

-В диссертации построены оптимальные по порядку (по точности и, в ряде случаев, по сложности) методы решения прямой задачи гравиметрии, восстановления и трансформации потенциальных полей и показана их эффективность при решении практических задач;

-В диссертации построены, обоснованы и апробированы итерационные методы синтеза потенциальных полей по сферическим функциям. На модельных примерах показана эффективность предложенного В.Н. Страховым метода фильтрации при решении систем уравнений с неточно заданными правыми частями;

-В диссертации построены, обоснованы и апробированы итерационные методы решения обратных задач гравиметрии, основанные на дискретном представлении гравитирующего тела. Предложены и обоснованы методы распараллеливания при решении обратных задач гравиметрии .

Решение большого числа модельных примеров показало высокую эффективность исследованных в диссертации алгоритмов.

Библиография Диссертация по геологии, кандидата физико-математических наук, Бойкова, Алла Ильинична, Москва

1. Алексидзе М.А. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии. М.: Наука, 1987.

2. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа // Успехи математических наук. 1985.- Т.40. Вып.1. - С.З - 28.

3. Бакушинский A.B., Гончарский A.B., Степанова Д.Д. Применение алгоритмов итерационной регуляризации для решения обратных задач гравиметрии // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1986. No 10. С. 43-50.

4. Бахвалов Н.С. О свойствах оптимальных методов решения задач математической физики / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1970. - Т. 10. - N3.- С.555 568.

5. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы при-ближенноговычисления сингулярных интегралов. Часть 2. Пенза: Издательство Пензенского государственного технического университета. 1995 г. 128 с.

6. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей// Известия РАН. Физика Земли, 1998, No 8.- С.70-78.

7. Бойкова А.И. Об одном приближенном методе решения обратных задач гравиметрии// Геофизика и математика. Материалы 1-й Всероссийской конференции. М.: Объединенный институт физики Земли. 1999. С. 17-20.

8. Бойкова А.И. Кубатурные формулы на жаотических сетках / / Доклады международного симпозиума " Надежность и качество 99," посвященного 275-летию Российской Академии наук. Пенза. 1999. С. 145-148.

9. Бродский М.А. О единственности в обратной задаче гравиметрии для однородных многогранников // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1983, N12. с.60-67.

10. Бродский М.А., Страхов В.Н. О решении обратной задачи потенциала для многогранников с переменными полиномиальными плотностями // ДАН СССР. 1987. Т.293, N2.с.336-339.

11. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: ГИФМЛ.1959.-628с.

12. Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН. 1997. 122с.

13. Гласко В.Б., Остромогильный А.Х., Филатов В.Г. О восстановлении глубин и формы контактной поверхности на основе регуляризации // ЖВМ и МФ 1970. Т.10, N5. с.1292-1297.

14. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: ИЛ, 1952. 1987.

15. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.:Гостехиздат. 1954. 270с.

16. Гравиразведка. Под редакцией Е.А.Мудрецовой. М.: Наука. 1981. 397с.

17. Голиздра Г.Я. Особые точки аналитического продолжения гравитационного поля и их связь с формой возмущающих масс//в кн.: Дополнительные главы курса гравиразведки и магниторазведки. Новосибирск. Наука. 1966. с.273-388

18. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ. 1953. 415 с.

19. Данфорд Н.б Шварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ. 1962.

20. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории графических полей. М.: Наука. 1984. 327с.

21. Заморев A.A. Решение обратной задачи теории потенциала // ДАН СССР.- 1941. Т.32, N8. с.546-547.

22. Заморев A.A. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала / / Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. 1942. N1.

23. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // ДАН СССР. 1955. Т.105. N3. с.409-412.

24. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде / / ДАН СССР. 1956. Т.106. N4. с.598-593.

25. Иванов В.К. Обратная задача теории потенциала для тела, близкого к данному // Изв. АН СССР. Матем. 1956. Т.20, с.793-818.

26. Иванов B.K. Теория единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств // Изв. вузов. Математ.-1958.-КЗ. с.99-106.

27. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т.145, N2. с.270-272.

28. Иванов В.К., Васин В.В., Танака В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1976.

29. Канторович JT.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука. 1977. 744с.

30. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.:Наука. 1967. 500с.

31. Кудря A.B. Решение обратной задачи гравиметрии по гармоническим моментам гравитационного поля / / ДАН СССР. Т.205, N2, 1972. с.574-577.

32. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М: ГИФМЛ. 1961. 524с.

33. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.- Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 92с.

34. Лебедев В.И., Бабурин О.В. О вычислении интегралов в смысле главного значения, весов и узлов квадратурных формул Гаусса // ЖВМиМФ. 1965. Т.5, N3. с.454-462.

35. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицыи сингулярные интегральные уравнения. // Сб.Вычислительные процессы и системы. Под редакцией Г.И.Марчука.М.:Наука. 1990. Вып. 7. с.94-273

36. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М: Наука. 1965. 510 с.

37. Матвеев О.В. Методы приближенного восстановления функций, заданных на хаотических сетках.// Изв.РАН. Серия математическая. 1996. Т.60.5. С.111-156.

38. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. Москва-Ленинград. 1949. 688с.

39. Никольский С.М. Квадратурные формулы.-М.: Наука, 1979.-254 с.

40. Новиков П.С. О единственности обратной задачи потенциала// ДАН СССР.- 1938. Т.18, N3. с.165-168.

41. Обломская Л.Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений// ЖВМиМФ. 1968.- Т. 8, No 2. С. 417-426.

42. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Тела нулевого внешнего гравитационного потенциала: о забытых работах и современном состоянии теории / / Изв. АН СССР. Физика Зем-ли.1985, N3. с.49-62.

43. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала // Матем. заметки.- 1973. Вып. 14, N5. с.755-765.

44. Прилепко А.И. О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному // Сиб. мат. журнал. 1970. Т.11, N6. с.1321-1333.

45. Пруткин И.Л. О предварительной обработке измерений, заданных на площади. //Методы интерпретации и моделирования геофизических полей. Свердловск. Изд-во УрО АН СССР. 1988. с.11-15.

46. Раппопорт И.М. О плоской обратной задаче потенциала // ДАН СССР. 1940. Т.28, N4. с.305.

47. Раппопорт И.М. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала // Докл. АН УССР. 1940, N6.

48. Рябенький B.C. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М.: Наука. 1987. 320 с.

49. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. Гос-техиздат. 1946.- 318с.

50. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала // Докл. СССР.-1954. Т.99. N1. с.21-22.

51. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в задачахгравиметрии.- Киев. Наукова думка. 1978. 226с.

52. Старостенко В.И., Манукян А.Г. Решение прямой задачи гравиметрии на шарообразной Земле // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1984. No 12. С. 11-17.

53. Старостенко В.И., Манукян А.Г., Заворотько А.Н. Методы решения прямых задач гравиметрии и магнитометрии на шарообразных планетах. Киев: Наукова думка, 1986, 112 с.

54. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей.Часть 1 // Известия АН СССР. Сер. геофиз. 1961.No 2. С. 71-89.

55. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей.Часть 2 // Известия АН СССР. Сер. геофиз. 1961.No 3. С. 56-73.

56. Страхов В.Н. К вопросу о точности задания гармонических функций их значениями в узлах прямоугольной сети. -Геология игеофизика. 1964. N3. с. 112-139.

57. Страхов В.Н. К вопросу о построении наилучших вычислительных схем для трансформации потенциальных полей // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965, No 11.- С. 35-47

58. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве / / Дифференциальные уравнения. 1970.- Т.6, N8. с.1490-1495.

59. Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1970, N12. с.32-44.

60. Страхов В.Н. Эквивалентность в плоской задаче гравиметрии при переменной плотности масс // Изв. АН СССР. Физика Земли-1977, N5. с.48-60.

61. Страхов В.Н. Об общих решениях задач гравиметрии и магнитометрии // Изв. вузов. Геология и разведка. 1978. с.104-117.

62. Страхов В.Н. Современные проблемы математической теории задач гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли.1979, N8. с. 3-28.

63. Страхов В.Н. Эквивалентность к обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий II // Изв. АН СССР. Физика Земли-1980, N9. с.38-69.

64. Страхов В.Н. О синтезе разложения внешнего гравитационного потенциала в ряд по шаровым функциям // ДАН СССР.1980. T.254,N 4. С.839-841.

65. Страхов В.Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий / / Комплексные исследования по физике Земли. М.: Наука. 1989. с. 68-88.

66. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. I// Geofizika, Euro-Asian Geophysical Society Journal. 1995, N3. c.9-18.

67. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. I// Geofizika, Euro-Asian Geophysical Society Journal. 1995, N4. c.10-20.

68. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практикеинтерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) Часть I.// Электронный научно-информационный журнал. Вестник ОГГГГ РАН М.: 1997, N1. с. 163198.

69. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) Часть II.// Электронный научно-информационный журнал. Вестник ОГГГГ РАН М.: 1997, N2. С. 56-82.

70. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) Часть III.// Электронный научно-информационный журнал. Вестник ОГГГГ РАН М.: 1998,Nl.c.l00-152.

71. Страхов В.Н., Войкова А.И. О приближенном представлении потенциальных геофизических полей.// Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН.1997. с.111-115.

72. Страхов В.Н., Бойкова А.И. Об одной модификации монтажного метода// Вопросы теории и практики еологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. М.: ОИФЗ РАН.2000. с.

73. Страхов В.Н., Ефимов А.Б., Хохрякова М.М. Методы синтеза рядов по шаровым функциям, представляющих элементы потенциальных геофизических полей / / Известия АН СССР. Физика Земли. 1988, N 5. с.41-57.

74. Страхов В.Н., Иванов С.Н. Метод аналитического продолжения трехмерных потенциальных полей. / / Теория и практика геологической интерпретации гравитационноых и магнитных аномалий. Алма-Ата. 1984. Т.2. с.68-70.

75. Страхов В.Н. , Лапина М.И. Монтажный метод решения обратной задачи гравиметрии// Докл. АН СССР.- 1976.- Т 227, No 2.

76. Страхов В.Н., Романюк Т.В., Фролова Н.К. Методы решения прямых задач гравиметрии,используемые при моделировании глобальных и региональных гравитационных аномалий. М.: Ин-т Физики Земли АН СССР.- 1989.- С. 118-236.

77. Страхов В.Н., Успенская K.M. Аппроксимация и оптимизация при решении прямой задачи гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1979, N5.с.56-80.

78. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука. 1976. 382с.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.: Наука. 1974.-224с.

80. Харди Г.Г., Литлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ. 1948. 456с.

81. Цирульский А.В. О единственности решения обратной задачи теории потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли-1969, N6. с.60-65.

82. Цирульский А.В. О решении прямой и обратной задачи гравиметрии. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974, N7. с.84-90.

83. Чередниченко В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред в двумерном случае // Дифференциальные уравнения. 1978.- Т.14, N1. с.140-147.

84. Чередниченко В.Г. О разрешимости "в малом" обратной задачи логарифмического потенциала // Дифференциальные уравнения. 1975.- Т.11, N1. с.161-169.

85. Шрайбман В.И., Жданов М.С., Витвицкий О.В. Корреляционные методы преобразования и интерпретации геофизических аномалий. М.: Недра. 1977.

86. Fress. Spherical Harmonics. 1877.

87. Gleason D.M. Partial sums of Legendre series via Clenshaw summation// Manuscripta Geodaetica.1985. V.10. P.15-130.

88. Hobson E.W. The theory of spherical and ellipsoidal harmonics. Cambridge of the University press. 1931.

89. Lerch F.J, Putney В., Wagner C.,Klosko S.M. Goddard Earth Models of oceanograhyc application (GEM-10B and GEM-10c).//Mar.Geodesy. 1981. V.5. N 2. P.145-187.

90. Rapp R.H. Gravity anomalies and sea surface heights derived from a combined GEOS-3/SEASAT alyimeter lata set// J.Geophys. Res.1986. V.91. N B5. P.4867-4876.

91. Rizos C. An efficient computer technigue for the evaluationofgeopotential from spherical harmonic models//Aust.J.Geodesy, and Surveying. 1979. N 31.P.161-169.

92. Tscherning C.C. Computation of second order derivateves of the normal potential on the representation by a Legendre series// Manusripta Geodaetica. 1976. V.l. P.71-92.

93. Tscherning C.C., Rapp R.H., Goad C.C. A comparison of methods for computing gravimetric gualities from high degree spherical harmonic expansions //Manuscripta Geodaetica. 1983. V.8. P.246-2T2.