Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Применение рациональных аппроксимаций при решении двумерных задач гравиметрии и магнитометрии

ВАК РФ 04.00.12, Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Применение рациональных аппроксимаций при решении двумерных задач гравиметрии и магнитометрии"

государственным комитет по |г родному образовл ию

С С Р----------------------- ------------------------

московский ОРДЕНА ЛЕШШЛ, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАЧППИ (ОСУДАРСТВР.ННЫП УНИВЕРСНЛ Г 1!у?ш1 л\. В. ЛО\\ОИОС( ,чл

! еологическн."! фдкулмеч

На прг.вах рукописи

ИВАНОВА Ирина Анатольевна

УДК 550.83) 4-550.838

П I■. I ЬI ал; и 'х! ¡' л я и о п \л ь н ых Л П П РОК СИ Л\Л ц и \

гп'[( 14 ¡11 (и (1 ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИМЕТРИИ и МАГНИТОМЕТРИИ

Специальность 0-1.00.12 — Геофизические метды поисков и развел ни месторождений полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1990

Работа выполнена на кафедре геофизических методов исследования земной коры Геологического факультета Московского государственного университета им. М. В, Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

член-корреспондент АН СССР, профессор В. Н. Страхов; доктор геолого-мипералогиче ских наук, профессор А. Г. Гайнанов.

доктор физико-математических наук К). И. Блох; кандидат физико-матемэтических наук В. М. Гордин.

Институт Геофизики АН УССР им. С. И. Субботина.

Защита диссертации состоится 21 ноября 1990 г. в 14 часов 30 минут на заседании специализированного ученого совета Д 053.05.24 в Московском I осударственном университете им. М. В. Ломоносова по адрес : 119899, Москва, Ленинские горы, Геолсгический факул:тет МГУ, зона «А», аудитория 829.

С диссертацией можго озна; омиться в библиотеке Геологического йакультета МГУ.

Авторе( ерат разослан «

/т7 » ^/¿Л//^^

1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д 053.05,24 кандидат технических наук

Б. А. Никулин

ОБЩАЯ X АРЛКТЕРИСТИКЛ РАБОТЫ

-----Актуальность раЯоты"."'В комплексе геолого-геофизических исследований ваяная роль принадлежит магнито- и гравираэведке как наименее дорогостоящим,мобильным и достаточно производительным методам. Поэтому разработка новых и совершенствование старых способов интерпретации гравитационных и магнитных данных имеет,безусловно, Баянов прикладное значение.Применение Эй., при обработке и интерпретации геофизической информации с одной стороны повысило эффективность пр1 енення методов разведочной геофизики иа прадтике,а с другой стороны поставило перед исследователями новые теоретические и Езчяслнтелышо задачи,знстарило на более высоком уровне разрабатывать вопросы методологии,теории и создания численных методов интерпретации. Исследования велись как в направлении создания более точных вычислительных схем,так и создания принципиально новых подходов я количественной и качественной интерпретации,предполагающих приложение методов современной натематики,таких,например,как теории случайных функций,функционального анализа,интегральных преобразований и др.,к решению задач грави- и магниторазведку!.К тому ае.как известно,ряд задач геофизики относится к классу некорректных,« для успешного решения этих задач потребовалось применение нови приближённых методов математики.Таким образом,разнообразие геолого-геофизических ситуаций,встречающихся на практике,трудности задачи определения параметров геологических объектов по магнитным и гравитационным аномалиям,постоянно повышавшиеся требования к точности п эффективности, интерпретационных и вычислительных схем в определённом смысле стимулируют развитие математической теории интерпретации, заставляют искать новые математические подхода к резенив геофизических задач.

Постановка проблемы и цель г-аботм. Общепризнано,что основные процедуры обработки гравитациоинкх и магнитных наблюдений кмеит аппроксимациониуо основу.Задача аппроксимации аномальных потенциальных полей функциями заданного вида,зависящими от параметров, подлежащих определению по экспериментальным дяннчм - някболез общял и фундаментальная задача теории интерпретации гршптацио! .кх и магнитных аномалий.В сущности } езение обратных задач гравиметрии

п магнитометрии заданных модельных классах источников реализуется через решение задач аппроксимации,аппроксимационную основу ныеат и решения других задач - линейных трансформаций аномальных полей, нахождение интегральных характеристик источников поля и т.д. При ого^.еели при решении обратных задач используются "истокообразные аппроксимации",то при решении большинства вспомогательных задач (например,начиная с задачи построения карты поля на ЭВШиспользу-ются аппроксимации формальными аналитическими выражениями.Например, используются аппроксимации тригонометрическими и алгебраическими полиномами,сплайнами,а также целыми функциями экспоненциального типа конечной степени.Очевидно,что свойства подобных аппроксимаций далеки от аналитически свойств функций,описывающих элементы аномальных потенциальных полей,отсюда возникает ряд трудностей,которые более или менее успеино преодолеваются с помощью построения алгоритмов с элементами регуляризации."Однако уже сейчас мокно констатировать, что доже регулкриэованные алгоритмы формальных линейных аппроксимаций не обеспечив-шт подлинно оптимального решения как задач линейных трансформаций аномальных полей,так и ряда других.По существу треоуетсп переход к использовании аппроксимаций функциями, боле" близкими по свойствам к свойствам элементов полей,которые содержат нелинейно нхсдязцио параметры.Иными словами,требуется переход к нелинейной аппроксимации".( В.Н.Страхов).Однако при построений аппроксимаций с больтпш числом нелинейно входящих параметров возникает целый ряд технических сложностей,особенно в случае трёхмерных задач.Преодолеть подобные трудности можно построением такой конструкции, когда не коше параметры последовательно вводятся в схему и последовательно определяются,независимо от предыдущих.

При решения задачи аппроксимации наиболее разумным представляется использование аппроксимаций рациональными функциями. Преодоление ряда трудностей достигается,если аппроксимирующую конструкцию стирать в форме специальной цеплой дроби.В диссертационной работе рассматривается случай двумерной задачи,хотя метод допускает обобщение я на трёхмерный вариант.Аппарат представления аналитическая функций цепными дробями является классическим к давно уке используется хгри решении многих прикладных, а сдач, однако он ещ§ не нашёл

применения в геофизике.В работе показано,чтс данный аппарат

иояот бить с успехом использован при решении пр.ыш задач,задач трансформации потенциальных полей, п гтие'прн опредг.':пш хараьто--ристик источнике грчиггчцпотпве' п'о7?сйалий.

При ото;? п диссертации решалась злеяугцие конксзто.'е ляля'1?',:

1) разработка катсмагической теории применения аппарата цепнях ' дробей к реишшю прлнмх двумерных о яд а" гр.1Ш!р;>ллсдк1; длл тлл ПрОКЗ ВОЛЬНОЙ фор!'Л,

2) конкретизянич ггртгг.т2тгетт.7 Аппарата т:г дробей к рея*« ш.о п; гл.'*. дьучирг'Ь'х гравир.'лгплкч Л1'' т" ?■'ноIо^'г-г!о••.'ч. сечлащ г случ&в ¡¡ооктннои и линейно изменяющейся плотности.

3) разработка алгоритмов,создание ппптпотртоуг»!!^ п«

ЫеФОНМ ми мгтр>!«.1П1» ;

4) роэрабо'/иь теоретических вопросоп аппроксимации потенциальных полей конструкциями,в основе которых лежит аппарат непрерывных

дробей.

б) создание алгоритмов и программ,реализующих задачи аппроксимация

потенциальных полей подобным! конструкциями. 6) опробование программ на моделншх и практических примера;:, исследования возможностей гшенаэсашюго подхода при решении

ялл.чч мштрппгш''1 а (тцм "у п .. iг.ол г'!; сг ,г'1 » —

ЛмЦмН, '-ни: гр; иол:':!;'!;!, спр:7то;;;ч>!е уродил ниоко^асл'гг/ис- ..,г■ >-

ПЙК'П! , ОПр^ДСЛО!!^'! ЗИа^СШ!!! НЯ урОБНЯХ , ОчМЛ'.ЧШ".-: 07 О:

ппторпрото.1п;п;,

" оеь.,льтяуе работ» !;:>. единой математической оспс"^ - гоор":; непрерывных ярсбай -- рлзр-лбоупиы иетодц,резлизозшш и о>фобои<ч{н на пр,«лорах конкретнее прогрггши:

1) решения пряма; Лорюрпнх задач г'рарнраз редки для случал чал многоугольного сечения: а)постояниой плотности, б)плотности, являющейся линейной ^г-'"'?'.-* гсор^тпг-т;

2) ши, ¡жегакицга тбляцетюго поя;? ръ-кюргт-гч-З тгонетруг/тс': « П;!дс шяерполяциоикой цепной дроби,на оснопе данной апироксп-ыацня получены решения интерпретационных задач,окликал задачу поиска пара!.1етров источников аномального поля,поставленную

ппхегдештя "осо'ш: ^очок", •, ■■ >.7.~п,/:. . ;■ ■'.■■ц.- п-.уу-:-с-рптд свсгс-наЯ о евоПстпж ерзды

на первом этапе интерпретационного процесса;намечены перспектиш дальнейшего исследования и пути улучшения решения задачи,основанные на применении метода аппроксимаций Паде. 3) опробован метод,основанный на среднеквадратической аппроксимации наблюдённого поля усложнённой рациональной конструкцией,в основа которой лекит "алгоритм" непрерывных дробей¡исследованы воэиои-ности данного подхода к решению геофизических задач интерпретации аномальных полей.

Наушая новизна. Научная новизна проведённых исследований состоит в применении аппарата непрерывных дробей к задачам интерпретации,ранее в теории и практике геофизических исследований не при-иенлшягося.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается В той, что в результате исследований были разработаны теоретические вопросы, алгоритмы и программы,а также методические приёмы решения задач интерпретации потенциальных полей,основанные на применении рациональных конструкций в виде непрерывных,или цепных .дробей.Предложенные алгоритмы и программы достаточно экономичны и просты с точки зрения пользователя.Метод позволяет получать эффективное решение прямчх задач,задач трансформации потенциальных полей,а такяе строить решение обратной задачи гравиметрии при минимуме априорной мифорыа- . ции о свойствах источников.

Основные научные положения,выносимые на защиту:

1) С точки зрения математической теории и практики аппарат непрерывных дробей позволяет решать задачу рациональных аппроксимаций потенциальных полей достаточно просто,экономично и эффективно.

2) Аппарат непрерывных дробей позволяет получить эффективной решение прямой двумерной задачи гравиметрии для тел многоугольного сечения в случае постоянной и линейно изменяющейся плотности.

3) Данный аппарат позволяет получить достаточно эффективный метод определения параметров источников поля,не требующий больвих технических затрат, при минимальных априорных предположениях о свойствах источников поля,который может быть использован при ранении задач, возникающих на первом этане процесса интерпретации.

4) Использование рациональных аппроксимирующих конструкций,в основа которых лежит алгоритм непрерывных дробей,в принципе допускает получение более точного решения обратной задачи на более высоких стадиях интерпретации.

Объёы работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и заключения;содержи? /зустръниц машинописного текста, рисунков,одну таблицу,списоклитерсРгурыиз"¿У наименований.

Результаты работы докладывались и обсуждались на конференция иолодых ученых Геологического факультета МГУ (1988) и на гравимаг-нитном семинаре кафедры Геофизики Геологического факультета МГУ (апр.,1990г.).

По теме диссертации I работа опубликована и I находится в печати.

Автор выражает глубокую благодарность члену-корреспонденту АН СССР,профессору В.Н.Страхову,а также профессору Л.Г.ГаПнанову п сотрудникам кафедры Геофизики за постоянную помощь в работа, внимательное отношение и оказанное содействие.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОга

Во введении определена научная направленность,сформулирована цель работы й непосредственно решаемые конкретные задачи.

■ Первая глава посвящена обсуждению результатов применения рациональных аппроксимаций в физических и геофизических исследованиях.Методы рациональных аппроксимаций чисел и аналитических функций достаточны актуальны.Они успешно применяются к решению интегральных уравнений,задачам теории рассеяния,квантовой теории поля и к другим вычислительным задачам теоретической физики и механики.С точка зрения математики,круг вопросов,связанный с рациональными аппроксимациями, те чае очень широк .'аналитические функции, ортогональные многочлены,теория потенциалов и другие.В теории рациональных аппроксимаций действительных чисел и аналитических функций много общего. Обе теории -и числовая,!! функциональная происходят от идеи алгоритма Евклида.В функциональной области это приводит к аппроксимациям Паде.в числовой - к теории непрерывных дробей,Поэтому методы аппроксимаций Паде и метод непрерывных дробей - достаточно близкие друг другу методы.В основе их лежит углублённое изучение представления функции степенными радами.Данные методы обладают возможностями, имещими,безусловно,важное значение кепосредстренно для нолей наук». Они применимы для улучшения сходимости последовательностей и рядов, позволяют пэлучать нетривиальные результаты о формальных ствпеннях рядах,этот аппарат может служить аппаратом приближения аналитических функций,ибсб;ц0ю>циы такой классический аппарат как ряд

- а -

Тейлора (или Лорана).Согласно теории аналитического продолжения функций комплексного переменного,все свойства функций.аналитической в некоторой точке,определяются её степенным разложением в этой точке,и центральной практической задачей является изучение свойств функции непосредственно по заданным коэффициентам ряда.Подобные аппроксимации могут очень эффективно применяться для вычисления значений функций,особенно,если имеется качественная информация об их свойствах,с Другой стороны,позволяют получать важную информацию о характере и расположении особенностей функции.

В геофизике применение аппроксимирующих конструкций в виде рациональных функций также является делом давно опробованным,В диссертационной работе проанализированы результаты применения на практике ряда интерпретационных методов,которые по сути своей сводятся к решению задач аппроксимации наблюдённых аномальных полей рациональными функциями определённого вида,зависящими от набора параметров,который и подлежит определению.Как известно, аппарат рациональных функций в грави- и магниторазведке возникает совершенно естественно,так как выражение для аномальных полей и их производных для многих моделей описывается рациональными функциями. Поэтому при выборе подобных моделей при интерпретации тех или иных аномалий,мы фактически ставим перед собой задачу описания экспериментальных кривых рациональными функциями определённого вида и подбора параметров этих кривых.связанных с характеристиками источников аномалий,по экспериментальным данным.Это справедливо для классических методов касательных,характерных точек,для палаточных методов интерпретации,при интегральных методах определения характеристик источников при соответствующем выборе модельних тел. Но наибольший интерес для нас представляют методы,ставящие задачу аппроксимации "йскусственным''путем (то есть искусственно построенным рациональным выражением) и результаты практического применения этих методов.К работам,посвящённым рациональным аппроксимациям гравитационны*, к магнитных аномалий можно отнести работы С.В.Шалаева,Л.Т.Перфильева,Г.Г.Кравцова,А,В,Цирульского и других.Хотя ещё С.В.Шалаевы;/, было отмечено,что успех применения тсй или иной вычислительной схемы тесно связан с выбором аппроксимирующего выражения,:! что применение рациональных дробей является со всех точек . зрения интересной и заманчивой задачей,недостатки соответствующих •»зтодоь оказались достаточно серьёзннми.Так,например,А.В.Цирульскиы

был сделан вывод,что^по-вцдимому,класс рациональных функций не является оптимальным для приближения наблюдённых полей",« дальнейшие исследования и построения.проводились ^анннн автором для Иного класса потенциалов.

То есть,мн видин в результате.что рациональные аппроксимации с одной стороны - аппарат,хорошо изученный в математике,с болмпг-: успехом применяется при резании многих задач физики,вычислительной математики и т.д. ,е другой стороны,примек ние его при рогпепнл задач интерпретации потенциальных полей тю вьпнваот уререятя, оптимистических оценок.В данной работе,токгад сСразом,ставилась задача выяснить вопрос перспективности применения рациональны* аппроксимация при роаении ¡ъо^чткс'ягх задач, а гсажа был» сцея»»»* попытка изменить подход к построения аппроксимирующей рациональной конструкции,определённым образом усложнить и тем самым обогатить его,применив и задачам интерпретации аппарат непрерывных дробей.

Основные идеи применения данного математического аппарата к задачам теории интерпретации потенциальных полей принадлежат В.Н.Страхову.

Но второй главе диссертационной работы приводится обзор математического аппарата,на основе которого осуществлялось псстрпсти? ре-нения описчнннх звдач.Основное внимание здесь уделено следе-

ниям из теории цепныг дробей .вводятся необходимые понятия и определения, приводятся факты,кл которых базируется предложотпмв методы и оягоритмч интерпретации гравитационных и магнитных аномалий .

При разработке методов решения прямой задачи теории интерпретации использовались цепные дроби специального вида,элементы которх? является функциями комплексного переменного 2 ,-так называете общие Т-дроби,или непрорывные дроби Трона.В данной главе рассматриваются некоторые теоретические вопросы,еююоипшз с представлением аналитических функций непрерывны!« дробями.Осной-ноП фа: г:если известии ряд Тойл:рл »пзапгдческоЗ функции ^ в начале координат

/г Г

л

и рад Лор«:г этой ?учкцш5.схояш.:Мся в г-.ф-гстнггя» ¿ьсноьечно удалённой го«киг

£ >

то по коэффициентам этих радов с помощью так называемого алгоритма (см. ниже) при определённых условиях однозначно находятся параметры ¿к , та« называемой цепной дроби Трона (или Т-дроби): - ^ ^ ^ ^

г* - О. -алгоритм основывается на следующих соотношениях:

г *

■ ' * у / л^

* *>- С;*С'-См ; У..; Л)

...

1Саас уае было сказано,в данной работе алгоритм непрерывной цроби был применён не только для решения прямой задачи,но и для задач интерполяции,экстраполяции и различных трансформаций потенциальных полей,а также была сделана попытка подойти к решению обратных задач.

Идеи интерполироьанка разрывных функций рациональными привода в математике к построению интерполяционных формул в ваде рациональных .дробей.Пусть значения функции -¿/х) известны г точках У», Хг .■■ .Л'л, .и среди значений аргумента нет ровных между собой. Построим последовательность функций Я^ ) -^/у)

^ - - яа м - /у.) (?)

<гл,^ ... л-1 - * '

J

9°«., -•• ■ УЗ-^„¿К... л,.,}

Если ПОЛОЖИТЬ Хе_ ,то получки у ,

Же ~~ .г* ^ __' 4 /

■ «7^ • • •

Выражение /"Л, Ж/У называется обратной первой разделенной разностью функции значения аргумента У; ¿Л

- обратной второй разделённой разностью функции значений

аргумента ; ¿~ У».. обратной А -Я разделён-

ной разностьо функции//^для значений аргумента - • .

Непрерывная дробь,приближающая функцию »^^и совпадающая с ■//* J в точках X», Л* ■■■ Ля- определяется соотнолениеы

** М * СО, Г — АУ

/"А, ; V-

Вычясленныэ обратные разделённые разности удобно записывать в виде таблицы:

ж. /а. ;

Хл ¿{г.)

^ г*. ко

Диагональные элемент« этой таблицы и дают частные знаменатели дроби /3) .:

В данной главе изложены такде осноишэ идеи построения ииого-точэчных аппроксимаций Паде.позволяпцих по сути по заданный дискретным значениям построить аппроксимирующую конструкции в виде отноления двух полинонов.Пусть задан степенной ряд

/Л)* £ С, «?' //в ,

г' а 'У

представляющий функцию /&)

л ••• - коэффициенты ряда. Раз ложе га а //о) является исходным пунктом анализа, использующего

аппроксимации Пада. „

Лпгтюкспиация Пада - это рациональная функция сада '

г. 6 /,, 7 а* * аг ✓ ал * я* г * /„ \

разлоаение которой в ряд Тейлора (с центром а нуле) совпадает с разлогениен /л>) до тех пор,йо«а это возыоадо.Причём коэффициент« ¿2; //могут бить Еыбршш оптимальный образом.

В данной главе рассматривается также необходимые для дальнейших построений вопросы представления двумерных гравитационных полей биполярными рядами,вводятся основные понятия.терминология,рассматриваются некоторые свойства разложения,описывается задача поиска оптимального центра разложения при использовании биполярной системы координат для случая,когда область,занятая массами,имеет многоугольное семени е. Данный алгоритм был,как известно,, предложен ранее В.Н.Страховым.Кроме сгтэго.в главе даётся краткое описание математических методов,используемых в процессе решения задач теории интерпретации: поиск минимума квадратичного функционала,поиск корней алгебраического многочлена с комплексными коэффициентами и Т.Д.

Третья глава посеязена теории методов решения прямой и обратной задати грави- н магнитометрии.основанных непосредственно на применении аппарата цепных дробей.

В качестве используемого аппарата при решении прямых задач, как уже было сказан? виде,били выбраны непрерывные дроби Трона. В работе получено представление крмплексной напряжённости гравитационного поля Т-дроСями для случая,когда аномальное двумерное гравитационное поло создаётся массами постоянной плотности в конечной области 'Ъ и для случая.когда плотность есть линейная функция координат.Пусть плотность/в конечной области 2) из нижний полуплоскости с границей Э"Ъ. <P/s)' * t - комплексная напряжённость внешнего поля: , — .,

f-fs) - /г у /'*J '

Учитывая характер аппроксимации аналитических функций Т-дробкыи, решение задачи строилось во вспомогательной биполярной системе координат i .* ¿~ • 2г « •

s-s* ' 6-S. '

Таким образом,достаточно уметь строить представление Т-дробью функции <P/«i|no соответствующим радам Тейлора и Лорана,которые двют аппроксимацию

окрестностях точек *iX и & в исходной переменной .Имеем выражения рядов Тейлора и Лорана для ¿уфв веде

л.я ¿С**' / « '

V А' ^

В случае,когда /^..многоугольник имеет арраины ъ точная с аффиксами ^Л у... выражения для коэффициентов рядов (/>)-('.г) имеют вид

с:*Г?

Ъ* !*-/!•> ^„¿А, ^ - ■ ( у

Урярнени<2 стороны многоугольника ¿- «О о Е -,'/0>> ¿¿А

По полученным коэффициентам степенных разложений Лорана и Тзйлора на основе алгоритма может быть построена соответствующая непрерывная дробь.Идейно случай линейной плотности аналогичен.

Как уяе было сказано,в данной работе алгоритм непрернвкой дроби был применён не только для ретения прямых задач,но и для задач интерполяции,экстраполяции,различных трансформаций потенциальных полей,а также опробован способ поиска рет»ния обратной Задачи в случае плоских трл.В качестве сонорного аппарата о данной части работы использовались формулы рациональной интерполяции ■функции цепными дробями.Неоспоримым достоинствам ?того подхода является его простота.При аппроксимации гравитационного или магнитного поля интерполяционной цепко?, пробью вида /#) возникает, естественно,проблема задания самой функции у'/47,несбхсдиыой тснссти значений функции,количества узлов А задания,величины нага з?.»"лия, и расположения последовательности точек Уе. .Ул .К тому *е,оч<гш*дио, возникает вопрос об устойчивости значение самих разделённых разнос-гей при различной точности задания исходных данных.Поэтому первоначально был проведён «шчкиэ затуяс".'.]!'.'--".! свойств резания от вход-•шх данных,дана оценка ""сксзд.^ги Г4-к,«-н«-»ия м-тода для задач шпрг'сиуодои ,бшк> сделана попытка ввести в аппроксимирующую конструкцию элементы регуляризации.Подобные аппроксимации могут 5ыть использованы для осуществления трансформаций поля.Например, три нахождении значений интерн? ляп?" - • ■ " г>у-бу. при различных «зиплексшк значенияз аргумента фун-•!:<••' г: могло легко найти их м урсрнях.отличнкх от уровня задании поля и т.д. По чзетнш «пс-н знаменателя непрсрып"-« • • • :р"т Ою> псяе«итоик

подходящие дроби - полиномы /£и Осуществив на практике атот алгоритм,мы получаем для функции -//г) (то есть для изучаемого геофизического поля ) последовательность описывающих её подходящих дробей ^/¡ркг . В случае,когда построены подходящие дроби,то есть подучено приближённое представление исходного поля в виде отношения двух полиномов, помимо нахождения значений функции при комплексном значении аргумента может ставиться вопрос о выделении фоновой составляющей,а также могут быть легко найдены корни знаменателя подходящей дроби,которые так или иначе сдяэаны с особыми точками функции,описыващей изучаемое геофизическое поле,а,следовательно, с источниками поля.Отметим также,что для повышения устойчивости Л- -ую подходящую дробь цепной дроби можно представить также в виде отношения комбинация полиномов Чебышева.

Первоначально предполагалось,что метод,основанный на применении интерполяционной дроби,как наиболее простой,быстрый,нетрудоёмкий, может быть использован в качестве экспресс-метода интерпретации на некоторой начальной стадии изучения поля и его источников.Хотелось далее разрешить задачу более детальной апроксимации,усложнив алро-нсвмнрупцув конструкцию.Была поставлена задача построения апроксимации непрерывней функции,заданной в дискретных точках,рациональной конструкцией в ввде отношения двух алгебраических полиномов определённого вида и степени.Поиск коэффициентов полиномов осуществляется путём решения задачи среднеквадратического приближения, то есть задача решалась в виде: ^ ^ у

здесь ¿¿в,Г - значения аппроксимируемой функции,заданные й узлах: Л-.. -А. ; полином степени/^ .При этом в качест-

ве варианта,исходя из структуры гравитационного поля ^.(действительной части комплексен напряжённости)рассматривается знаменатель, записанный в виде / ^ /** , здесь £ - комплексная

координата текущей точки, ^ - особенности,характеризующие источники поля,координаты которых в процессе аппроксимации подлежат уточнению.Далее задача может быть усложнена:» качестве аппроксимирующей берётся конструкция .построенная по такому гфинципу

- U> -

Вм® шушшвстн от вида знаменателя на начальном этапе процесса nosicsm решения задавтся нулевые приближения определяете? napauet-ров.Начинается процесс аппроксимации при малом количестве ксксгак пярмгетров.и только а процессе уточнения,если условия минимизации иг удовлетворены,степе!ш полиномов наршцивоотся.Задача поиска шша-цука решалась поэтапно:при закрепленном значении знаивнатадя ыиин-ш:зируем функционал по параметрам числитоля,затем,закрепляя значение числителя,ищем нигашуа функционала,варьируя знаменатель.Реэенно эадячя по параметрам числителя /2, осуществляется с помощью разлога-гая ого по системе ортонормировании* на совокупности точекJí'kJ полк-ноыйв.Шжнмиэещия функционала при закреплённом значении числителя осуществлялось по методу сопряжённых грядиентов.прц этой алирокем-иируацая конструкция мояет бить приведена к оптимальному р смысла организации вычислительной задачи виду.

На основании всего изложенного составлены программы,иалисагашз на языкв"ФОРТРАН"нреализ ованиыа на ЭВМ ВС-1045.

В чевёртой главе приводятся результаты опробования описанных впав методов на модельных и практических примерах.Программа решения прямой задачи,реализупцал построение Т-дробн,соответствующей полю ^ .источником которого явдшэтея двумерные тела многоугольного ее- ' 49ния для случая постоянной и линейно изменяющейся плотности,Программа состоит из отдельных блоков,каддый из гсоторих решает одну яэ подзадач:вычисление коэффициентов рядов Лорана и Тейлора,реализация -алгоритма,вычисление дробя в различных точках плоскости.Программа uosct работать в 2 режимах: I) вычисление поля от одного иного-угольника,2}от произвольного количества многоугольников, np;s атом (что повышает эффективность программы биполярные моменты высчитывав стся последовательно для каждого тела,затем происходит сушшрованна, н y.i8 по суммарным коэффициентам строится единая цепная дробь.В ре-эультатеиопытных"расчётов получены характеристики быстродействия решения прямой задач*,! для различного числа членов ряда /У^рабочнЯ диапазон"изменения /V, приведены ргзультгги расчетов,характернзущзо точность и зффсктивность метода, проанализировано влияние положения центра биполярной системы на качество реаеняя.Приведённые материалы поназывают,что метод достаточно аффективен,когда:а)кычисллю5ея ан*-ченияfiy'Jwi многих точках от совокупности ыногоугояьных tes однородной плотности или намагниченностивычисляются значения¡?-/ÍJot шог^-уголышх тел с переменной(полиномиал ьной)плстнсстьг; в5 вычисляется одновременно значения dj? и ряда других элементоп поля от совокупностей однородных тел.

Далео в четвёртой главе работы дан подробный анализ результатов опробования методов,основанных на применении интерполяционных дробей к геофизическим задачам.Приведены результаты исследования точности и устойчивости метода в зависимости от точности задания исходных данных,субъективности при выборе последовательности узлов задания функции,различные способы задания входной информации.В работе приводятся также результаты решения обратной задачи для ряда моделысух и практических примеров при различных уровнях помех в исходных данных.8 работе напечет перспективы развития метода,основанные на применений аппроксимаций Паде.Опробование метода,использующего квядра-тическов приближение,показ ало,что ои в гораздо большей степени,чем предыдущий, подверзтн влиянии случайной погрешности.Недостатком метода является также его медленная сходимость,зависимость от нулевого приближения. Кроме того, с трудом осуществляв гея аппроксимация кривых при наличии двух максимумов.

Основные результаты работы сформулированы в заключении.Перечислим кратко кх:1)на основе использования аппарата непрерывных дробей разработана теория и алгоритмы решения прямых задач г/р для случая плоских тел многоугольного сечения с постояюяП илмнойиой пло?-н о с т ь ю;И)ро алüз о л гц ы и опробованы на конкретных примерах соответствующие программы,3)разработан метод и алгоритм рациональной аппроксимации потенциальных полей с использованием аппарата интерполяционная дробей.Показано,что данный аппарат позволяет достаточно эффективно решать задачи трансформации,определения уровня фоковой компоненту^ также задачу локализации источников аномалий на первой стадии процесса интерпретации при машшумг априорных данных о свойствах среды;4)разработаиы теория и алгоритм среднеквадратического приближения наблюдённых полей рациональной конструкцией,в основа которой декад алгоритм цепной дроби,проведено исследование работы метода на конкретно примерах.В данной работе показано,что рациональные аппроксимации являются достаточно интересным и во многих отношениях перспективным объектом исследования.В зшш>чении wis хотелось бы ещё раз выразить свою благодарность пл.-корр. Ш СССР В.Н.Страхову за руководство и помощь в работе.

По.теме диссертации опубликованы следующие работы: I) В.Н.Страхов,И.И.Иванова Применение цепных дробей при решении пряных двухмерных задач гравиметрии и мапгатомзтрии.Вестн.ЫГУ,сер.4,

Ш ?(1трахов^?Л.Иванова Применение аппарата интерполяционных цепных дробей для локализации источников двухмерных гравитационных ц'магнитных аномалий. М.,Препринт ИФЗ.