Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач

Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач
ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта

На правах рукописи

Арсанукаев Зайнды Зиявдиевич

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ В ДИСКРЕТНОЙ ПОСТАНОВКЕ ПРИ РЕШЕНИИ ИНТЕРПРЕТАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Специальность 25.00.10 - геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва, 2005 г.

Работа выполнена в Институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта РАН

Научный консультант: Академик РАН Страхов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

Блох Юрий Исаевич

Доктор физико-математических наук

Долгаль Александр Сергеевич

Доктор технических наук

Серкеров Серкер Акберович

Ведущая организация: Кафедра геофизических методов исследований земной коры МГУ.

Защита состоится 19 мая 2005 на заседании Ученого Совета Д 212.121.07 при Московском государственном геолого-разведочном университете по адресу (МГГРУ): 117997, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 23, в ауд. 6-38 в 15 часов.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГГРУ.

Автореферат разослан "_"_2005 г.

Ученый секретарь Диссертациз»ного>Совета,

к.т.н.,профессор ' /У*/-"}-) ¿¡„с^л^ Г Н Боганик

Общая характеристика работы Актуальность проблемы.

а) введения постановок любых задач, решения которых должны находиться по экспериментальной информации об аномальном поле, с учетом конечности и приближенности этой информации;

б) использования аппроксимационного подхода;

в) использования идеи алгебраизации, суть которой в том, чтобы редуцировать решение линейных задач гравиметрии и магнитометрии к проблеме нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, а решение нелинейных задач редуцировать к нахождению устойчивых приближенных решений последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

а) в рамках этого метода алгебраизация всех задач интерпретационного характера достигается наиболее простым и естественным образом;

б) возникающие в рамках этого метода системы линейных алгебраических уравнений имеют очень, сильно разреженные - матрицы и специфические (содержащие много нулевых компонент) векторов правых частей.

Цель диссертации: разработка методологии интерпретации данных гравимаг-ниторазведки на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практике.

Основные задачи исследования:

1. Постановка задачи и разработка теории продолжения заданных значений поля в нижнее полупространство на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, предложенного В.Н. Страховым.

2. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала вниз в заданный горизонтальный слой, целиком расположенный выше верхних особенностей, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.

3. Разработка алгоритмов и компьютерных технологий продолжения заданных значений поля вертикального градиента потенциала в заданный горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля, с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в двумерном случае.

4. Создание алгоритмов и компьютерных программ в при решении следующих задач в дискретной постановке, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении: фильтрация входных данных, осложненных помехой; разработка новых подходов, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля; постановка вычислительных экспериментов с уменьшением шага сетки и увеличением длины профиля, на котором расположены заданные значения поля.

5. Создание алгоритмов и компьютерных программ в дискретной постановке для трансформации аномальных элементов поля и построения функции, подобной функции Березкина для локализации особых точек.

6. Создание алгоритмов и компьютерных технологий решение обратных задач гравиамагнитой разведки без решения прямых с использованием метода дискретных аппроксимаций физических полей.

7. Апробация созданных алгоритмов и программ на модельных и практических примерах.

Научная новизна:

1. Разработана теория построения дискретных аппроксимаций потенциальных полей при решении интерпретационных задач.

2. Разработаны основы аналитического продолжения заданных значений потенциальных полей в нижнее полупространство с использованием дискретных аппроксимаций.

3. Оценена точность восстанавливаемых значений поля с учетом гармоничности функций, представляющих потенциальные поля.

4. Разработаны основы линейного трансформирования потенциальных полей на базе полученных дискретных аппроксимаций.

5. Показано, что с помощью дискретных аппроксимаций гравитационного поля можно эффективно решать задачи фильтрации входных данных и разрабатывать технологии, которые значительно повышают точность восстанавливаемых значений поля.

6. Предложен алгебраический метод решения обратной задачи без многократного решения прямых задач с использованием дискретных аппроксимаций уравнения Пуассона.

Практическая ценность.

Теоретические разработки реализованы в виде программных продуктов для персональных компьютеров и могут применяться для широкого круга задач.

Создана новая технология обработки данных непосредственно в поле на основе метода дискретных аппроксимаций потенциальных полей.По полученной из наблюдений информации исследователь с помощью ноутбуков может построить дискретные аппроксимации элементов аномальных потенциальных полей, а затем, по мере накопления данных, уточнять уже построенные. Личный вывод автора.

Автором разработана теория и методика применения дискретных аппроксимаций для решения разнообразных геолого-геофизических задач, созданы программные продукты, обработанные на модельных и практических примерах. Защищаемые положения. Показано, что

1. Для интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий вместе с классическим подходом, основанном на континуальном представлении, целесообразно применение дискретного подхода, основанного на дискретных аппроксимациях полей и соответствующих дифференциальных уравнений и обеспечивающих решение обратных задач по устойчивому определению локальных особенностей аномалеобразующих объектов.

2. Для получения устойчивых приближенных решений геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны: 1)ре-дукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью и 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных устойчивых методов, что обеспечивает резкое повышение точности оценки положения верхней кромки источников.

Апробация и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интер-

претации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Ухта 1998, Киев 2001, Екатеринбург 2002, Москва 2003 ; 2004); на Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Пермь, 2001 г.);на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год);на Международной школе-семинаре«Вопросы теории и практики комплексной интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» ( Апати-ты,2002г.); на Пятых ежегодных геофизических чтениях им.В.В.Федынского (Москва,2003 г.); на III Международном социальном конгрессе «Глобальная стратегия социального развития России: социологический анализ и прогноз». Секция « Актуальные проблемы математики и ее приложений»(Москва, 2003 г.). Были сделаны два доклада на Ученом совете Института геофизики НАН Украины по приглашению вместе с академиком Страховым В.Н. по случаю Года России на Украине в марте 2003 года. По теме диссертации опубликовано около 18 печатных работ, написано 3 отчета по опытно-методическим и тематическим работам. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 288 наименований. Она содержит 321 страниц основного текста, в том числе 124 рисунков и 36 табл.

Значительная часть диссертационной работы выполнена во время учебы в очной докторантуре при ИФЗ им.О.Ю.Шмидта РАН под научным руководством В.Н.Страхова Большинство методологических и теоретических положений, представленных в диссертации, базируется на научных работах В.Н.Страхова которому автор выражает огромную благодарность. Практические примеры были любезно предоставлены

А.С.Долгалем,С.Г.Бычковым и др.специалистами лаборатории Горного института Уральского отделения РАН Автор выражает также благодарность А.В.Страхову за полезные советы и рекомендации при использовании пакета компьютерных программ SPM.

Основное содержание диссертации.

В первой главе описываются основные положения метода дискретных аппроксимаций гравитационных и магнитных полей, предложенного В.Н.Страховым, для интерпретации данных гравимагниторазведки [ 3 ] . Кратко суть этого подхода может быть сформулирована следующим образом.

Напомним сначала основные (фундаментальные) факты континуальной теории потенциала для гравитационного поля.

1. Распределение тяготеющих масс в пространстве Я" описывается плотностью носитель масс (замкнутое множество, представляющее собой объединение конечного числа замкнутых областей) обозначается через виррр. Если х = (х,, х2,..., х,),х е ЭДфр р, то потенциал гравитацион-

ного поля У(х) = Vfa) удовлетворяет в точкех уравнению Лапласа:

О)

если же хе. Int Яфр р, потенциал гравитационного поля. У(х) - Vi(x) удовлетворяет в точке. уравнению Пуассона:

ДV{x) = -C.Gpk) , (2)

где С, - абсолютная константа, G - постоянная тяготения. В случаях п = 2кп = 3 имеем С1 =С, = 4jt. Очевидно, что уравнения (1) и (2) - это по-разному записанное одно и то же определяющее уравнение поля, ибо при х е supp р, р (хг) = 0 и (2) переходит в (1). Что же касается выражения констант Cjp при п ^ 3 они представляют собой площади поверхности единичной сферы в R". Следует подчеркнуть, что в точках границы носителя уравнение для потенциала поля не определено.

В точках х, в которых потенциал гравитационного поля удовлетворяет определяющему уравнению, имеет место интегральное представление

где Пл(х) - так называемое фундаментальное решение уравнения Лапласа (или Пуассона) в безграничном пространстве, которое удовлетворяет уравнению:

т,(х)—сХ*1 (4)

и при - условию:

НтП„(*)=0. (5)

В (4) ¿(х) суть так называемая дельта-функция Дирака, определяемая со-

отношениями:

(6)

¡5(jc)n„dx =1.

Из (4)-(7) при И > 3 следует:

при п =2 имеем:

Я2(*) = 21п ГГ~г

(7)

(8)

(9)

Из приведенных соотношений (1)-(9), как хорошо известно, вытекают все факты классической континуальной теории потенциала, которая до самого последнего времени рассматривалась как единственная математическая основа классической теории интерпретации гравитационного поля.

В дискретной теории гравитационного поля (иначе - в теории дискретного гравитационного потенциала) вместо непрерывно изменяющегося вектора декартовых координат рассматрива-

ется совокупность сеток, общее число этих сеток 2" (т.е. 4 при n = 2,Z при п = 3). Из этих сеток одна выделяется и именуется основной: в узлах

и определены значения функ-

ции иДх'1') - дискретного гравитационного потенциала. Что касается остальных -1 сеток, то они используются для задания значений сеточных производных (при использовании центральных разностей). Очевидно, при и = 2 имеем следующие аналоги первых и вторых производных по координатам (здесь ек есть единичный орт по к-йоси, ¿ = 1,2):

~ К

(10)

значения

экИ

<"> к-й

относятся к узлам

х^^х^+^-е,, к= 1,2,

вспомогательной сетки,

дгУ[

да

И 1 вг^п]

?д?р А,[ дх^ ~ дх^ ) значения при рд относятся к узлам л1113-й сетки:

(И)

(12)

2 2

(13)

если же р = д, то тогда соответствующие значения (разностных аналогов вторых производных) с очевидностью относятся к узлам х^' основной сетки. При п =3 имеем три вспомогательных сетки, порожденных первыми производными, три вспомогательных сетки, порожденных вторыми производными (при q = 1. 2. 3). и одна вспомогательная сетка, порожденная третьими производными (точнее речь идет о разностных аналогах произ-

Р 9 г

водных). Выше сеточные аналоги производных вводились из соображений наибольшей точности аппроксимаций обычных (континуальных) производных. Именно по этой причине потребовалось введение 2" различных (но согласованных) сеток.

Возможен и другой подход - вводить всего одну сетку, но "загрублять" определение сеточных аналогов производных; именно, можно ввести определения:

"ах^" гк

, А =1,2.....п

(14)

и т.д. (для вторых и более высоких производных). Именно такой способ, как будет показано ниже, наиболее естествен для теории дискретного магнитного потенциала, а также для согласованного с этой теорией варианта теории дискретного гравитационного потенциала.

Разностные аналоги уравнений (1) и (2) Лапласа и Пуассона с очевидностью могут быть записаны в форме:

л^ИН; (15)

Н"

(16)

В (15)—(16) Л суть выбранный конечно-разностный оператор (ясно, что аппроксимирует, с некоторым порядком, дифференциальный оператор

Лапласа) Н а

(17)

суть значения сеточных масс, порождающих дискретное (сеточное) гравитационное поле. Следует особо подчеркнуть, что сеточные массы в теории дискретного гравитационного поля и точечные массы в континуальной теории потенциала - это в принципе различные величины. Ясно, что конечно-разностный оператор в (15)—(16) может быть задан множеством различных способов. Наиболее простой состоит в использовании аппроксимации оператора Лапласа на так называемом шаблоне "крест"; при этом конечно-разностный оператор обозначается так:

Ясно; что если в векторе И = {И1,И1,...,Н,1) все компоненты А*равны к, то тогда для всех и получается существенно более простая (и точная по порядку) аппроксимация. Более сложной, но одновременно и более точной, является оператор Л, порождаемый аппроксимацией оператора Лапласа на шаблоне "ящик"; при этом возникающий конечно-разностный оператор обозначается так: А= Ла

(19)

означает, что при суммировании выпускается

Здесь символ

слагаемое С а, =а2 =... = а,= 0. Известно, что для шаблона "ящик" .«.''О-

Далее. Одна из важнейших методологических установок теории дискретного гравитационного потенциала состоит в том, чтобы рассматривать одновременно два различных конечно-разностных оператора и наряду с уравнением (1.15) при Л = Л| использовать дополнительное условие:

(20)

где у £ 0-параметр; Ду- заданная сеточная область; заданная сеточ-

ная функция; - евклидова норма для сеточных функций в

- неотрицательный функционал на векторах (одинаковой размерности) р и q. Подобного рода условие может (и должно!) использоваться и в случае базовых уравнений (16), либо уравнений (15) и (16) одновременно. Обычно принимается \\ = А* И Л; = Л".

Аналогами соотношений (3)-(7) выступают соотношения:

(21) (22) (23)

В (21) У5 есть совокупность векторов координат тех узлов сетки, в которых имеются ненулевые сеточные массы; иначе говоря, У, есть сеточный носитель источников поля. Функция П^'^с15') есть сеточный аналог фундаментального решения уравнения Лапласа в континуальной теории; ясно, что

следует именовать сеточным фундаментальным решением.

Очевидно, что соображения. высказанные при построении дискретных аппроксимаций значений гравитационного поля могут быть использованы и в случае магнитометрии.

Учитывая все вышеперечисленное Страховым В. Н. совместно с автором были внесены необходимые коррективы в построение дискретных схем при восстановлении значений потенциальных полей по заданным значениям.

Суть этих корректив в следующим.

Прежде всего было понято, что создавать методы, основанные на теории дискретного гравитационного поля, и изучать их точность в зависимости от различных факторов (см. ниже) необходимо прежде всего для случая плоской (двухмерной) задачи. В самом деле, в этом случае:

1) размерность решаемых систем линейных алгебраических уравнений (к чему в конечном итоге сводятся все задачи и все методы, основанные на теории дискретного гравитационного поля) минимальна-и никогда не превышает 104уравнений;

2) результаты всех расчетов наглядно представимы в форме графиков и таблиц, что существенно облегчает понимание роли и значения различных факторов, влияющих на устойчивость и точность решений задач.

Далее, как и в классических дискретных схемах, все непрерывное двухмерное или трехмерное пространство заменяется сеточным ; бесконечномерные (дифференциальные) уравнения Лапласа и Пуассона заменяются конечномерными (разностными) соотношениями, однако список дискретных аппроксимаций операторов Лапласа расширяется; к существующим классическим шаблонам «крест» и «ящик» добавляются новые конструкции шаблонов, разработанных В. Н. Страховым совместно с автором [ 4 ]. Следующий шаг состоит в рассмотрении совместно сразу нескольких аппроксимаций операторов, в результате чего приходим к переопределенной системе линейных алгебраических уравнений, а такие системы решаются устойчиво.

И наконец, последний шаг состоит в выделении основных решаемых задач. Всего можно выделить 4 основные задачи:

1. задачи восстановления дискретной функции в горизонтальном слое, расположенном целиком выше источников поля.

2. задачи формального аналитического продолжения дискретной функции в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля.

3. задачи восстановления дискретной функции в узлах сетки, принадлежащей некоторой многосвязной области; в общем случае в прямоугольной области П содержится п «купюр» - односвязных дискретных областей; в каждой из «купюр» расположены источники.

4. задача восстановления источников гравитационного поля в областях «купюрах» по восстановленному в их внешнем (в многосвязной области П с удаленными «купюрами») дискретному гравитационному полю.

В настоящей работе решаются все 4 задачи.

Помимо этого были поставлены и решены дополнительные задачи, тесно связанные с основными 4-мя задачами. О них будет сказано в следующих главах диссертации.

Все алгоритмы и компьютерные программы разработаны применительно к гравитационному полю, при заданных значениях вертикального градиента потенциала. В случае магнитного поля сохраняются все 4 класса задач, при этом задачи первого, второго и третьего классов решаются в точности тем же самым способом, что и в случае гравитационного поля. Различие между задачами гравитационного и магнитного полей проявляются лишь в задачах четвертого класса (в обратных задачах) (это связано с тем, что уравнение Пуассона для гравитационного и магнитного полей имеет различный вид).

Для устойчивого решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с приближенно заданной правой частью, к которым редуцируются геофизические задачи, в большинстве случаев использовался метод последовательного умножения полиномов, разработанный В.Н.Страховым [7]. Для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении некоторых дополнительных задач применялся, разработанный автором метод решения СЛАУ путем приведения матрицы к верхней треугольной форме с использованием преобразования Хаусхолдера.

Во второй главе приводятся компьютерные технологии по аналитическому продолжению заданных значений поля вниз в заданный горизонтальный слой, расположенный целиком выше вертикальной кромки аномалеобразую-щего тела с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа.

В связи с этим с этим необходимо решить важную задачу оценки точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении. Была разработана методика, позволяющая делать такие оценки. Для этого в модельных примерах в качестве аномалеобразующих тел принимались тела простой геометрической формы, для которых прямая задача решается точно, т.е. соответствующие интегралы вычисляются в конечном виде. С другой стороны, как известно, потенциал и его производные, вне тяготеющих масс, являются гармоническими функциями, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа.

Таким образом, решения прямых задач являются гармоническими функциями (что проверяется и непосредственным дифференцированием), они име-

ют явный вид и их можно рассматривать в качестве точного решения уравнения Лапласа. Ясно, что, если решения прямой задачи на уровне г=0, г=-Ь, рассматривать в качестве «входных значений» при аналитическом продолжении, а решения прямой задачи в нижнем полупространстве г >0 сравнивать по какой-либо норме ( здесь в среднеквадратИческой) со значениями, полученными' при аналитическом продолжении, то это дает возможность оценивать точность восстанавливаемых значений поля.

В качестве тел, имеющих простую геометрическую форму выбирались прямой пласт, слоистая структура, наклонный пласт - все бесконечной протяженности в направлении оси у.

Для первого примера прямого пласта (рис.1) поле вертикального градиента потенциала находится вначале вычислением тройного интеграла, взятому по прямоугольному параллелепипеду. Он берется в конечном виде, затем рассматривая значение первообразной на бесконечных пределах от + «о, получаем известное решение:

С другой стороны, решение (24) является гармонической функцией, что можно проверить и непосредственно, дифференцируя дважды по £ и по х и складывая.

Слоистая структура представляется в виде совокупности прямых пластов, для каждого из которых прямая задача решается точно.

Для наклонного пласта (рис.2) прямая задача решается также точно, если перейти к полярным координатам :

^ = /а хЫ(х1 + г2) + 2гаг^—

4*1

(24)

Н =2/оА^Р, - <Р})~ (<Рг ~ <РА) +

Р Р

Г1 4

Рг

+ (4 - п)созазта(ф^ },

(25)

Рис.1 Расчетная схема к решению дискретного уравнения Лапласа на шаблонах "прямой крест" + "косой крест" для прямого пласта: I- начальное положение шаблона "прямой крест" + "косой крест"; II- конечное положение шаблона "прямой крест" + "косой крест".

- где £ = — , 1 = £ = гравитационная постоянная,а - избыточная

плотность при обозначениях из рис.2 (как и выше, можно показать, что гравитационная аномалия Д£ , вызванная действием наклонного пласта,является гармонической функцией).

Рис.2. Расчетная схема к решению прямой задачи для наклонного пласта.

Для решения прямых задач в модельных примерах, когда источниками гравитационных аномалий являлись эти тела, составлялись компьютерные программы с использованием формул (24), (25).

Перейдем теперь непосредственно к компьютерным технологиям расчетов по аналитическому продолжению в заданный горизонтальный слой заданных на

уровнях г = О И 2 = -А значений п о л^яд о верхней кромки аномалеобразую-

щего тела (рис.1) для прямого пласта бесконечного простирания в направлении оси (задача1).

Как видно из рис.1, длина профиля заданных значений поля на уровнях £ = 0 и г = -к равна 16 км; шаг сетки А[ = Аг = 0 4, так что число точек наблюдений (заданий) равно 41.

Расстояние от г = 0 до верхней кромки прямого пласта 4 км; таким образом, число уровней, на которых располагаются искомые значения аналитически

дУ

продолженного в дискретной постановке поля и значения поля, получен-

ных решением прямой задачи, будет равно 10 (на каждом располагаются 41 искомых значения поля). Так что число искомых неизвестных здесь равно 41*10 = 410, а число уравнений здесь очевидно будет равно 39*10*2 = 780, так как дискретное уравнение Лапласа (26) рассматривается на шаблонах «прямой крест» + «косой крест» во всех внутренних точках профилей на уровне £ = 0 и во всех внутренних точках Х1 е ЬйП^ заданного горизонтального слоя (рис. 1):

(26)

при следующих обозначениях

(27)

Таким образом, здесь возникает переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(28)

где размерность матрицы А = 780x410, а размерность вектора /¡= 780х 1 (из которых ненулевых, очевидно, 156 компоненты).

Д - й ег

Для решения прямой задачи, т. е. нахождения точных значений поля в

узлах заданной области и заданных значений поля на уровнях с помощью формулы (24), была составлена программа рг Оё АЫ.

Для определенности, избыточная плотность принимается равной 0,1 г/см3, гравитационная постоянная размерность поля

= см/сек"2.

Для формирования матрицы А и вектора в правой части уравнения (28), были составлены программы (соответственно, рг 606 и рг 607) при рассмотрении дискретного уравнения Лапласа на составном шаблоне «прямой крест» + «косой крест». Матрица А в системе линейных алгебраических уравнений (28) очень сильно разрежена. Фактически, при проведении различных вычислительных экспериментов с использованием различных аппроксимаций уравнения Лапласа, было выяснено что в строках матрицы А операторного уравнения Аи = могут находится от 1 до 25 ненулевых элементов, тогда как общее число элементов в строке может составлять несколько тысяч.

Первоначально СЛАУ (28) решалась с использованием пакета программ 8РМ, разработанного на основе метода итерационного типа, предложенного В. Н. Страховым [5,6 ]; матрица рассматривалась здесь в своем естественном виде, т. е. с учетом, как ненулевых элементов, так и нулевых. Время решения СЛАУ, например, когда А = 780x410, составляло 02:19:26 (2 часа 19 мин. 26 сек.).Позже пакет программ 8РМ был модифицирован, и при решении СЛАУ посредством пакета 8РМ матрица А рассматривалась уже в «упакованном» формате (т. е. рассматриваются только ненулевые элементы матрицы А), что, понятно, приводит к резкому сокращению времени выполнения программы при решении СЛАУ. Например, для указанного примера матрицы А = 780х 410, время решения СЛАУ составило - 00:00:30).

Другой пример - аналитическое продолжение в нижнее полупространство за- данных значений поля для модельного примера вертикального пласта размерами2х12 км, шаг сетки 200м. Аналитическое продолжение осуществлялось на глубину 16.4 км, матрица А =26076x13202 рассматривалась в «упакованном» формате и время решения СЛАУ составило- 25:53:25 (на п/к

РentiumЗ).Однако во всех рассмотренных модельных примерах в двумерном случае порядок СЛАУ никогда не превышал 104. 4 00Е-3 —,

0.00 4.00 8.00 12.00 16.

Длина профиля, км

Рис 3. Аномальные кривые для слоистой структуры при длине профиля 16 км, шаге 0.4 км. глубине 0.8 км. шаблон "рпямой кресг"+"косой крест": 1 - решение прямой задачи, 2 - решение дискретного уравнения Лаплпса при помехе во "входных" данных; 3 • решение дискретного уравнения Лапласа при фильтрации во "входных" данных.

Результаты расчетов в условиях модельных примеров прямого пласта и слоистой структуры приведены на рис.3,4. Как видно из рис.3 на глубине равной 2 шагам сетки в нижнем полупространстве поле восстанавливается с высокой точностью (восстановленные значения отличаются от точных в среднем

на несколько процентов), несмотря на то, что « входные» значения осложне-

ны помехой.

Рис 4 Аномальные кривые заданных значений поля ^ ум глубины г ж 3 2 ш при аиапличесхом продолжении для прямого пласта и шаблона "п к" + "кк" 1 -рец<ив1епрямой дадачи,2-решениедис«ретно«оуравнения Лапласа при помехе ао "входных" данных, 3 • решение дискретного уравнения Лапласа при фмътрации во "входных" данных (фильтрация на 4-х уровнях)

Однако с глубиной, по мере приближения к верхней кромке источников, влияние помехи начинает существенно сказываться на точности восстанавливаемых значений поля : в аномальных кривых увеличиваются краевые эффекты( рис.4). Эти краевые эффекты в значительной степени снимаются фильтрацией «входных»данных, осложненных помехой.

Задача обработки (фильтрации) заданного вектора / ставится следующим образом: найти вектор у из решения условной экстремальной задачи:

Ву = О. ' (30)

Ограничение в виде линейных равенств By = 0 из (30) означает здесь, что искомые значения вектора у должны удовлетворять уравнению Лапласа с той или иной дискретной аппроксимацией оператора. Во всех приведенных ниже схемах фильтрации рассматривалась дискретная аппроксимация оператора Лапласа на составном шаблоне «прямой крест» + «косой крест» + «ящик 1-го порядка». Как показано выше, матрица В будет иметь размерность (МхМ), где

Очевидно, что при и=3, матрица В недоопределенная, а при я>3 переопределенная. Условная экстремальная задача (29), (30) методом множителей Лагранжа редуцируется к семейству безусловных экстремальных задач, зависящих от вектора множителей Лагранжа \ (размерность X равна Т\)

||,-У12+2(Л,Яу)=тт. (3Б

Применяя стандартные рецепты вариационного исчисления имеем

(32)

Из (32) следует, что имеет место соотношение

и для нахождения N вектора ^учитывая (30) получается уравнение

ВВТХ = В/. (34)

Для формирования элементов матрицы В была составлена программа рг ККТ, для вычислений в (33) - рг БШ; система линейных алгебраических уравнений (34) решалась с помощью пакета программ 8РМ.

Результаты расчетов по восстановлению значений поля в нижнем полупространстве при очищенном от помехи (отфильтрованном) «входном» векторе приведены в табл.1. Были разработаны еще более совершенные схемы фильтрации, представляющие собой обобщение предыдущей схемы, которые позволили (в два-три раза) увеличить точность восстанавливаемых значений

поля (в последнем столбце результаты расчетов для новой схемы фильтрации, в предпоследнем - для прежней схемы).

Таблица 1

№ Глубина, км Относительная погрешность т—1—1 К

Профиль длиной 16 км

Шаблон "прямой крест" + "косой крест"

Точные «входные» данные Фильтрация на 3-х уровнях Фильтрация на 4-х уровнях

1 0,0 - - 1,315364 Е-02

2 0,4 1,384470 Е-03 6,602082 Е-02 2,257311 Е-02

3 0,8 3,904223 Е-03 8,766595 Е-02 3,677226 Е-02

4 1,2 9,603643 Е-03 1,229854 Е-01 5,888476 Е-02

5 1,6 1,859483 Е-02 2,359596 Е-01 9,032099 Е-02

6 2,0 2,968818 Е-02 3,683777 Е-01 1,320342 Е-01

7 2,4 4,467576 Е-02 4,686887 Е-01 1,865628 Е-01

8 2,8 7,054781 Е-02 5,093807 Е-01 2,578954 Е-01

9 3.2 1,154519 Е-01 4,910130 Е-01 3,493333 Е-01

10 3,6 1,843241 Е-01 4,616842 Е-01 4,608530 Е-01

Однако, даже применение новых схем не снимает краевых эффектов в аномальных кривых, в особенности на глубинах близких к верхней кромке ано-малеобразующих тел (рис. 4). Было предположено, что природа этой погрешности другая что она не связана с наличием помехи во «входных» данных. Действительно, расчеты, проведенные со снятой помехой во «входных» данных показали.что краевые эффекты в аномальных кривых сохраняются. Ока-залось.что это связано с конечностью длины профиля,на котором расположены значения поля, т.е. длина профиля 16 км слишком коротка для параметров схемы рис.1, включая и размеры прямого пласта. Действительно, увеличив

длину профиля в два раза. удалось на порядок снизить относительную погрешность, и на глубине 3 шагов сетки от верхней кромки прямого пласта расхождение между восстанавливаемыми значениями поля и точными составляет теперь в среднем несколько процентов ( рис. 5 ). 6.00Е-3 —1

0.00 10.00 • 20.00 30.00 40.00

Длина профиля, км

Рис. 5. Аномальные кривые для прямого пласта при длине профиля 32 см, шаге 0,4 км. на глубине 3,6 ш, шаблон 'прямой крест" ♦ Чосои крест*. Л

1 - решение прямой задачи; 2- решение при точной значении заданных значений поля—

В третьей главе приводятся компьютерные технологии при аналитическом продолжении вниз в заданный горизонтальный слой, содержащий области, занятые тяготеющими массами.

Причем здесь компьютерные технологии разделяются, на: а) компьютерные технологии при восстановлении пространственных элементов поля в областях с удаленными «купюрами»,с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа (задача 3);

Ь) компьютерные технологии при формальном продолжении заданных значений поля в горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля, поскольку аналитическое продолжение с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа справедливо лишь вне масс(задача2).

При решении задачи 3 в качестве модельного примера рассматривался прямой пласт, а для восстановление значений поля в многосвязной области использовались следующие расчетные схемы: когда заданная сеточная область частично охватывает область, содержащую источники, и когда полностью.

Здесь возникают трудности при программировании, если прибегать к старому способу обозначения неизвестных. В связи с этим была заданная сеточная область разбивалась на блоки; очевидно, что теперь возникает более сложная структура СЛАУ. Для формирования элементов матрицы и вектора правой части были разработаны компьютерные программы pг KKBTvek и ргККВТvek.Результаты расчетов приведены в табл.2

Таблица 2

Относительная погрешность

¡и"" "Нн

' Ис

Режим для заданных значений поля Шаблон "прямой крест"+"косой крест"

Глубина, км Один блок Пять блоков

0,4 1,384470 Е-03 2,167992 Е-03

0,8 3,904223 Е-03 6,831071 Е-03

1,2 9,603643 Е-03 9,603643 Е-03

1,6 1,859483 Е-02 3,017506 Е-02

2,0 2,968818 Е-02 3,385508 Е-02

Точное 2,4 4,467576 Е-02 3,385508 Е-02

2,8 7,054781 Е-02 5,377997 Е-02

3,2 1,154519 Е-01 8,688611 Е-02

3,6 1,843241 Е-01 1,374865 Е-01

4,0 - 2,078727 Е-01

4,4 - 2,029408

4,8 - 7,357302

Примечание. Данные из 1рафы (один блок) взяты из табл 1

Как видно из таблицы,выше верхней кромки прямого пласта поле восстанавливается с высокой точностью", примерно такой же,что и при решении задачи 1. Однако.после прохождения отметки верхней кромки значения относи-

тельной погрешности составляют более 100% на глубинах 1-2 шага сетки от верхней кромки т.е. начинается распад поля.

При решении задачи 2 в модельных примерах список аномалеобразующих тел расширяется. К уже рассмотренным добавляются вертикальный пласт, горизонтальный цилиндр, вместо одного источника теперь рассматриваются несколько. Аналитическое продолжение осуществлялось: а) до верхней кромки аномалеобразующего тела; б) до центра тяжести; в) ниже нижних особенностей.

Проведенные вычислительные эксперименты вскрыли основные закономерности при формальном аналитическом продолжении заданных значений поля вертикального градиента потенциала. Оказалось, что эти закономерности не зависят ни от вида источников поля, ни от их количества. Проиллюстрируем сказанное на модельном примере прямого пласт (п.3.2.1). Выше верхней кромки поле восстанавливается с произвольной степенью точностью, поскольку «входной вектор» можно, как показано выше, эффективно очищать от помех, и можно назначать оптимальные длину профиля и шаг сетки. При аналитическом продолжении до центра тяжести выше верхней кромки поле восстанавливается также с высокой точностью, однако после прохождения верхней кромки в аномальных кривых начинают зарождаться высокочастотные колебания (осцилляции) (рис.6). причем до достижения отметки центра тяжести размах колебаний (амплитуда) осцилляции практически не увеличивается (рис 7). При аналитическом продолжении до отметки ниже нижних особенностей аномалеобразующего тела поле в областях выше верхней кромки восстанавливается уже с меньшей точностью, амплитуды осцилляции в аномальных кривых после прохождения верхних особенностей продолжают расти и после прохождения нижних особенностей сравниваются со значениями обобщенного максимума (рис. 8 ).

Рис б Аномальная кривы при а мал этическом продолжении чере» источиишдо отмели ц. мкс(б 0 ш| ма глубине4 4 шдля пряного пласта 4 8x4 0 км при шаге 0,2 км длине профиля 32 «м 1-решение уравнения Лапласа при точном значении входного вектора

Рис 7 Аномальная кривая при аналитическом продолжении через источники до отметки ц масс (6 0 км) на глубине 5 6 км для прямого пласта* 8x4 0 км при шаге 0.2 км длине профиля 32 км 1-решение уравнения Лапласа при точном значении входного вектора

2 ООЕ-1

ООО 10 00 20 00 30 00 40 00

Рис. в Аномальная кривая при аналитическом продолжении через источники до отметки 12,0 км на глубине 11,2 км для прямого пласта 4,8x4,0, при шаге 0,2 км, длине профиля 32 км 1 -решение уравнения Лапласа при точном значении входного вектора.

Далее были проведены вычислительные эксперименты, в которых к заданным на уровнях z = 0, z=-h значениям поля добавляются значения по боковым профилям заданного горизонтального слоя (программы формирования элементов матрицы и вектора правой части pг 606KTZ,pr607KTZ).Pacчеты показыва-ют,что теперь несколько увеличивается точность восстанавливаемых значений поля, однако основной вывод при решении задачи 1 остается в силе: отправляясь от заданных значений поля на уровнях z = 0, z=-h можно восстановить поля с очень высокой точностью. Были вычислительные эксперименты, в которых значения поля заданы по всему контуру («задача Дирихле»). Как видно из таблицы 3, расчеты показывают( уже на шаге сетки 200м) справедливость теоретического результата при решении задачи Дирихле: о однозначном восстановлении значений поля в заданном слое.

Действительно, впервые на отметке равной 2 шагам сетки от верхней кромки прямого пласта относительная погрешность равна 10г?е. восстановленные значения отличаются от точного решения в среднем на 1/100 %.

Таблица 3.

Аналитическое продолжение до отметки 3,8 км при заданных значениях поля на 2-х горизонтальных верхних, 2-х вертикальных боковых, и 1-ом горизонтальном нижнем профилях

Относительная погрешность ИЕ

Режим для заданных значений поля Профиль длиной 32 км

Глубина, в км Шаблон "прямой крест"+"косой крест"

ОД 1,073628 Е-005

0,4 2,941497 Е-005

0,6 5.376914 Е-005

0,8 8,206198 Е-005

1,0 1,129267 Е-004

1.2 1,452448 Е-004

1,4 1,780613 Е-004

1,6 2,106502 Е-004

Точное задание' 1,8 2,425003 Е-004

2,0 2,732097 Е-004

2,2 3,026575 Е-004

2,4 3,309432 Е-004

2,6 3,538232 Е-004

2,8 3,851298 Е-004

> 3,0 4,112802 Е-004

3,2 4,353962 Е-004

3,4 4,521158 Е-004

3,6 4,369747 Е-004

Следующие эксперименты (раздел 3.3) связаны с исследованием инвариантности восстанавливаемых значений поля относительно различных решения прямой задачи. Для этого«входной вектор» формировался в результате применения 2 вариантов решения прямой задачи: прежнего с использованием формулы (24); нового с использованием методов теории функций комплексной переменной. Для второго варианта вертикальный градиент потенциального ЗУ

поля рассматривается как действительная часть комплексной напряженно-&

сти гравитационного поля 0(5):

В случае прямого пласта (рис. 1),выражение для О(в) (35) запишется в виде:

где /■- гравитационная постоянная; а - избыточная плотность;

Zi,Z2,Z3,Z4- комплексные числа, являющиеся точками контура прямого пласта в комплексной плоскости (контур прямого пласта рассматривается в комплексной плоскости).

?i,Z2,?3,r4- комплексные числа, сопряженные

5- комплексное число, представляющее собой данную точку в комплексной плоскости, в которой ищется комплексная напряженность гравитационного поля G.

Для решения прямой задачи с использованием формулы (36), была составлена программа рг Complex. Результаты расчетов показали,,что в рамках действующих погрешностей измерений в геофизике, результаты аналитического продолжения заданных значений поля неразличимы для обоих методов решения прямой задачи.

Поиск путей повышения точности восстанавливаемых значений поля приводит к разработке следующих технологий (раздел 3.4). При аналитическом продолжении заданных значений поля в рамках первого подхода, дискретное уравнение Лапласа рассматривалось на составном шаблоне «ящик 2-го порядка» + «ящик 1-го порядка» + «прямой крест» + «косой крест» (или сокращенно «ящик 2-го п»+«ящик 1-го п.»+ «п. к.»+ «к. к.») для модельного примера прямого пласта. Шаблоны «ящик 1-го порядка» и «прямой крест» являются классическими, конструкция шаблона «косой крест» непосредственно оче-

видна,шаблон «ящик 2-го порядка» представляет собой обобщение аппроксимации оператора Лапласа на классическом шаблоне «ящик» [4 ].

При этом уравнение Лапласа рассматривалось: на шаблоне «ящик 2-го п.» во внутренних точках профиля на уровне 2 = 0; на шаблоне «ящик 1-го п.» во внутренних точках профиля на уровнях 2 — 0,2 = А; на шаблонах «п. к.» и «к. к.» во внутренних точках профиля на уровнях: от 2 = 2А до 2 =9А.Таким образом, здесь возникает переопределенная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). СЛАУ решались с помощью пакета программ 8РМ, результаты расчетов приведены в таблАИз табл.4 видно, точность вычисляемого поля с использованием новой технологии в рамках первого подхода увеличивается на порядок по сравнению с прежней технологией, причем точность выше в областях, близких к 2 = 0, т. е. там, где использовались высокоточные аппроксимации оператора Лапласа.

Таблица 4

Относительная погрешность

Режим задания значе- т = г-~1 К

ний поля № Глубина, км "п. к" + "к к" "ящ 2™ п" + "ящ. 1™ п" + "п к" + "к к"

1. 0,4 1,384470 Е-03 4,92070 Е- 04

2. 0,8 3,904223 Е-03 3,492533 Е- 03

3. 1,2 9,603643 Е-03 4,769514 Е- 03

4. 1,6 1,859483 Е-02 1,069080 Е- 02

Точное 5. 2,0 2,968818 Е-02 2,459834Е- 02

6. 2,4 4,467576 Е-02 4,197743 Е- 02

7. 2.8 7,054781 Е-02 6,123032 Е- 02

8. 3,2 1,154519 Е-01 8,713836 Е - 02

9. 3,6 1,843241 Е-01 1,312850Е- 01

Примечание. Данные в графе ("п.к"+"к к") взяты из табл 1

В рамках второго подхода аналитическое продолжение заданных значений поля вначале осуществляется на небольшую глубину порядка 2-3 шагов сетки. Восстановленные на этой глубине значения поля используются в качестве

«входных данных» на следующем этапе аналитического продолжения и так далее до отметки верхней кромки аномалеобразующего тела. Расчеты, проведенные в условиях модельного примера прямого пласта показывают,что и здесь точность вычисляемого поля с использованием новой технологии в рамках второго подхода увеличивается на порядок по сравнению с прежней технологией.

В четвертой главе продолжаются исследования. связанные с поиском путей повышения точности восстанавливаемых значений поля. В конце третьей главы были приведены технологии, позволяющие увеличивать точность восстанавливаемых значений поля на данном шаге сетки. Оказывается, еще более существенное увеличение точности восстанавливаемых значений поля дает уменьшение шага сетки.

Как видно из табл. 5 на глубинах »равным шагу сетки от уровня 2=0 относительная погрешность на шаге сетки 100м равна 5,559702 Е-06, т.е. восстановленные значения отличаются от точных в среднем на 5/10000 %. Если сравнивать относительные погрешности на шаге 100м с относительными погрешностями на шаге 400 м (табл. 1) на соответствующих глубинах, то как видно из таблиц, точность восстанавливаемых значений поля увеличиваются на порядки.

По восстановленным значениям поля находились трансформации гравитационных аномалий Дд: вычислялись высшие производные и строилась функция, подобной функции Березкина. Как было показано выше, погрешности в восстанавливаемых значениях поля можно значительно снизить за счет подходящих (оптимальных)схем фильтрации «входных данных», длины профиля, шага сетки. Таким образом, для нахождения трансформаций использовалось поле, восстановленное с очень высокой точностью за счет подбора оптимальных параметров модельной задачи.

I. Для вычисления высших производных и как точных решений прямой задачи в точках нижнего полупространства г>0 были разработаны программы рг БУ22 и ргБУ2Х.

Таблица 5

№ Глубина, км Относительна* погрешность

Шаблон "прямой крест" +■ "косой крест"

1 0,1 5,559702 Е-06

2 0,2 1,607697 Е-05

3 0,3 3,172351 Е-05

4 0,4 5,048843 Е-05

5 0,5 7,317153 Е-05

6 0,6 1,071488 Е-04

7 0,7 1,602211 Е-04

8 0,8 2,324498 Е-04

9 0,9 3,165779 Е-04

10 1,0 4,027994 Е-04

и 1,1 4,833849 Е-04

12 и 5,583075 Е-04

13 1,3 6,417477 Е-04

14 1,4 7,651660 Е-04

15 1,5 9,673843 Е-04

16 1,6 1,275858 Е-03

17 1,7 1,699168 Е-03

18 1,8 2,233740 Е-03

19 1,9 2,870668 Е-03

20 2,0 3,598705 Е-03

21 2,1 4,405809 Е-03

22 2,2 5,280328 Е-03

23 2,3 6,212291 Е-03

24 2,4 7,195293 Е-03

25 2,5 8,228566 Е-03

26 2,6 9,319447 Е-03

27 2,7 1,0*8611 Е-02

28 2,8 1,176018 Е-02

29 2,9 1,318909 Е-02

30 3,0 1,483754 Е-02

31 3,1 1,678815 Е-02

32 3,2 1,914181 Е-02

33 3,3 2,201842 Е-02

34 3,4 2,556157 Е-02

35 3,5 2,994933 Е-02

36 3,6 3,541642 Е-02

Сами выражения для высших производных И Wzг взяты из [1].Точные решения для третьих производных )Угхх И Wzгz и др. находились дифференцированием W2X и из соответственно по х и по Для вычисления производных WE^X И У^щ в точках нижнего полупространства £;>0 были составлены программы соответственно pг DVZXX и pгDVZZZ и pгDZZZZ.

3\У

II. Вычисление для высших производных для значений поля —— . полученных

ШГ

(восстановленных) при аналитическом продолжении заданных значений поля

в нижнее полупространство проводилось с использованием выражении

для 1-ой и 2-ой разделенной разностидля модельного примера прямого пласта, о котором пиаре'

Для вычисления значений высших производных, найденным по восстановленным значениям поля, были составлены программы соответственно рг ргУ2Х, рг ргУ2ХХ и рг У2222..Проведенные расчеты показывают,что

высшие проиводные находятся по восстановленным значениям с высокой точностью (рис.9)

Рис 9 Кривые вторых производных для профиля длиной 32 км, шаг сетки 0,2 км, глубина 2,0 км и шаблона "прямой крест" • "косой крест*. 1 ■ решение прямой задачи, 2 ■ из решения уравнения Лапласа при точном значении модных данных

Для построения функции, подобной функции Березкина [ 2 ], в настоящих расчетах, результаты которых приводятся ниже, принимался «усиленный» вариант функции Березкина (т.е. использовался более высокий порядок производных) :

(38)

Их,4= ^ЬС(Ь+к&х-г)

(39)

Для вычисления значений аналога функции Березкина в точках нижнего полупространства г>0 по формулам (37)-(39) была составлена программа pгBER. Результаты расчетов значений аналога функции Березкина в графической форме представлены на рис 10. Как видно из уже на небольших глубинах (рис 10) четко выделяются обобщенный максимум. соответствующий центральной оси симметрии прямого пласта и два первых максимума »соответ-ствующих особым точкам (угловые точки прямого пласта!).Однако координаты первых максимумов по оси х еще далеки от истинных »равных 13.6 км и 18.4 км (рис. 10а). С увеличением глубины с приближением к верхней кромке прямого пласта значения обобщенного и двух первых максимумов быстро растут, как и следует, по абсолютной величине, а координаты первых максимумов по оси х приближаются к истинным. Как видно из рис. 106 на глубине 3.8 км на расстоянии шага сетки от верхней кромки прямого пласта »координаты двух первых максимумов по оси х уже достаточны близки истинным координатам, представляющим координаты особых точек прямого пласта.

Во второй главе было показано, что краевые эффекты для аномальных кривых вблизи источников в значительной степени можно уменьшить, увеличивая длину профиля,на котором расположены заданные значения поля.Однако, если по каким-либо причинам на практике нельзя увеличить длину профиля можно применить следующую схему для снятия краевых эффектов.

а.

500Е-< —

400Е4 —

3 006-4

ООО 10 ОО 20 00 ЗООО 40 00

Рис. 10. График функции подобной функции Березкина для прямого пласта 4,8x4,0 км при шаге 0,2 км, длине профиля 32 км на глубине: а- 0,4 км; б - 3,8 км.

К сглаживаемому функционалу \Ay-ff = тт добавляется стабилизатор,

который в дискретном случае представляет собой квадрат нормы суммы квадратов вторых разделенных разностей соответственно по оси х и по 'С,-

Результаты расчетов приведены на рис. 11. Как видно из сравнения приведенного рисунка с рисунком 4 предлагаемая технология позволяет эффективно сглаживать краевые эффекты у аномальных кривых.

6 00Б-3 —1

X ООО 400 800 1200 1600

ДЛИН! профиля, Ш

Рис 11. Аномальные кривые для прямого пласта длиной профиля 32 км, шаг сетки 0.2 «и, глубина 3,6 км для шаблона "прямой крест" * "косой крест" 1 - решение прямой задачи, 2 • сглаженное решение уравнения Лапласа при точном значении входных данных

1 - - рошаим* пряной задачи,

2 - + + + оглажаиноа рашаниа

В разделе4.4 описывается доказательство методами функционального анализа сходимости приближенных схем к точному решению при неограниченном уменьшении шага. Суть доказательства состоит в следующем.

Назовем операторное уравнение Ах=у, (А - линейный оператор, дейст-, вующий из 0(А)сХ в К(А)сУ,Х И У - банаховы пространства) точным уравнением, а его решения - точными решениями. Далее, пусть X аппроксимируется посредством последовательности банаховых пространств {а^}, а пространство Y - посредством банаховых же пространств

Затем рассматривается последовательность приближенныхуравнений (п= 1,

- линейный оператор, отображающий 11(Л„)сУч. Решения Х„ назовем приближенными значениями.

Наконец, формулируется основное предложение (теорема) о сходимости последовательности приближенных решений к точному решению. Основными требованиями сходимости в настоящей теореме являются условия аппроксимации и устойчивости решений при каждом п.

Проведенный анализ показывает, что для вычислительной схемы, положенной в основу вышеупомянутых расчетов, проведенных с использованием дискретных аппроксимаций уравнения Лапласа, где в возникающей здесь системе линейных алгебраических уравнений матрицы переоопределенные, выполняются условия аппроксимации и устойчивости. Это свойство приближенных схем устанавливается, как уже было показано, и эмпирически: в проведенных вычислительных экспериментах при различных шагах сетки, уменьшение шага сетки существенно повышает точность восстанавливаемых значений поля.

В пятой главе в разделе 5.1 рассматриваются компьютерные технологии при пересчете заданных значений поля на физической поверхности Земли на заданные горизонтальные уровни для формирования «входных данных» при аналитическом продолжении с построением простого слоя, эквивалетного по внешнему полю, и далее решением прямой задачи для простого слоя. Описывается применение технологии определения верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел на практических примерах в условиях полуострова Таймыра и Западного Урала. Эта технология основывается на результатах проведенных вычислительных экспериментов.Суть ее заключается в следующем.

Используем значения поля ^Т на горизонтальных уровнях Ъ = 0, г = -Ь в качестве«входных» данных при аналитическом продолжении вниз в полупространство z>0 с использованием дискретной аппроксимации оператора Ла-

пласа на составном шаблоне «прямой крест» + «косой крест» по методике изложенной в главах 2,3. Принимаем в полупространстве 2>0 вначале два уровня с неизвестными значениями поля и, если осцилляции в аномальных кривых нет »продолжаем осуществлять аналитическое продолжение, присоединяя каждый раз по 1-2 уровня. Получим после ряда попыток местоположение верхней кромки аномалеобразующего тела, поскольку как было показано в главе 3, именно после прохождения этой отметки в аномальных кривых начинают проявляться высокочастотные колебания или по другому осцилляции (см п.3.2.1) По восстановленным значениям поля строится функция подобная функции Березкина для определения местоположения верхних особенностей по оси х. Продолжая далее процесс аналитического продолжения вниз с последовательным присоединением 1-2уровней с неизвестными значениями поля определим с хорошим приближением положение центра тяжести аномалеобра-зующего тела, как отметки, до достижения которой высокочастотные колеба-ния(осцилляции),возникшие после прохождения верхней кромки, не увеличивают свою амплитуду (см п.3.2.1), Снова продолжая процесс аналитического продолжения с присоединением уровней определим приблизительно положение нижних особенностей аномалеобразующего тела, как отметки, после прохождения которой амплитуды осцилляции в аномальных кривых резко возрастают и по своим абсолютным значениям становятся сравнимыми с главным (обобщенным) максимумом(см п.3.2.1).

Сопоставление результатов расчетов с геологическими разрезами, хорошо изученные скважинами, показывает,что контуры аномалеобразующих объектов восстанавливаются с удовлетворительной точностью.

Далее обосновывается в разделе5.2 теоретическими средствами возможность использования в качестве «входных данных», при решении дискретного

уравнения Пуассона внутри масс, восстановленные значения поля вблизи границы масс, полученные с помощью дискретных аппроксимаций Лапласа при аналитическом продолжении заданных значений поля на уровнях 2=0, г=-Ь.

Приводятся компьютерные технологии (п.5.3) решения обратной задачи в модельных условиях с использованием уравнения Пуассона в дискретной постановке с определением сеточных плотностей и значений поля вертикального градиента потенциала в узлах сетки внутри источника при априорно заданных границах (рис 12,13)

1-точное значение плотности,равное 0 1г/см3 2 -восстановленное значение плотности Рис12

•ООЕ-Э

- —1—1—'—1—'—I—■—I—■—1

ООО 1ЛО 200 3 00 4 00 5 00

Рис. 13. Аномальные кривые поля ^(см/сек2 внутри пласта на профилях длиной 4,6 км: а -на расстоянии ОД км от верхней кромки прямого пласта;; б - на расстоянии 1,8 км от верхней кромки прямого пласта;

Расчеты показывают, что значения сеточных плотностей в центральной части прямого пласта после усреднения дают значения, близкие к истинному зна-

дУ

чению плотности, равной 0.1 г/см3 (рис12). Поле — внутри прямого пласта

дг

от максимальных значений на периферии прямого пласта убывает к центру пласта до нулевых значений (за исключением краевых эффектов в нескольких точках на краях профиля ),что подтверждает и теоретический результат (рис13;размеры прямого пласта 4.8x4.0 км).

Цитируемая литература

1. Андреев Б. А, Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. Л.: Недра, 1965. С. 495

2.Березкин В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М: Недра, 1978. С.264.

3.Страхов В. Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Комплексные исследования по физике Земли. М.: Наука, 1989.С.68-87

4.Страхов В. Н, Арсанукаев 3. 3. Высокоточные дискретные аппроксимации оператора Лапласа и их использование в проблеме нахождения пространственного распределения аномальных гравитационных полей. I Случай двухмерной задачи // Актуальные вопросы математической геофизики. Т. 2. Ч. I М.: ОИФЗ РАН, 2001 г. С. 193-202

5. Страхов В.Н., Страхов A.B. Обобщение метода наименьших квадратов и регуляризованные алгоритмы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными, возникающих при решении задач геофизики. I. // Геофиз. журн. 1999. Т. 21, №

2. С.3-25.

6. Страхов В.Н., Страхов А В. Обобщение метода наименьших квадратов и регуляризованные алгоритмы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений с приближенными данными, возникающих при решении задач геофизики. II. // Геофиз. журн. 1999. Т. 21, №

3. С.3-17.

7. Страхов В.Н., Страхов A.B. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. I. M.: ОИФЗ РАН, 1999.40 с.

Список основных работ автора.

1.Арсанукаев 3.3. О некоторых вычислительных экспериментах, проведенных с использованием методов теории дискретных физических полей при решении задач гравиметрии в двухмерном случае.Ч.1. Аналитическое продолжение в нижнее полупространство выше источников поля.. Материалы 30-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей», Москва, 27-31 января 2003 г. Москва, ОИФЗ РАН, 2003. С. 12 - 13. 2Арсанукаев 3.3. О некоторых вычислительных экспериментах, проведенных с использованием методов теории дискретных физических полей при решении задач гравиметрии в двухмерном случае. Ч. 2. Аналитическое продолжение в нижнее полупространство через источники поля. Материалы 30-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей», Москва, 27-31 января 2003 г. Москва, ОИФЗ РАН, 2003. С. 13 -15. 3АрсанукаевЗ.З. О компьютерных технологиях при аналитическом продолжении заданных значений поля с использованием методов теории дискретных гравитационных полей. Материалы 31-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей», Москва, 26-29 января 2004 г. Москва, ОИФЗ РАН, 2004. С. 10.

4Арсанукаев 3. 3. Вычисление пространственных элементов аномальных полей с использованием методов теории дискретных гравитационных полей. Ж-л «Физика Земли» N11,2004. С.47-69.

5Арсанукаев 3. 3. Новые технологии при аналитическом продолжении в дискретной постановке заданных значений поля вертикальных градиентов. Ж-л «Физика Земли» N12,2004.0.42-47.

6.Арсанукаев 3. 3. Компьютерные технологии фильтрации входных данных,

осложненных помехой, при их аналитическом продолжении в дискретной

постановке. Ж-л «Ученые записки Московского государственного

становке. Ж-л «Ученые записки Московского государственного социального университета» N 5,2004г. Москва, РГСУ.' С. 75 - 87.

7. Арсанукаев 3. 3 Компьютерные технологии при аналитическом продолжении в дискретной постановке заданных значений поля через источники в двухмерном случае. Ж-л «Ученые записки Московского государственного социального университета» N 6,2004г. Москва, РГСУ. С. 121 -133.

8. Арсанукагв 3. 3. Экспериментальные и теоретические исследования сходимости дискретных схем к точному решению в случае уравнения Лапласа.. Материалы 32-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей»,, 26-29 января 2005 г. Пермь, 2005.С.11-12. 9Арсанукаев 3. 3., Страхов В. Н, Страхов А. В. Компьютерные технологии аналитического продолжения двухмерных потенциальных полей и результаты расчетов на модельных примерах // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 28-ой сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского, Екатеринбург, 28 января - 2 февраля 2002 г. В двух частях. Ч.П М.: ОИФЗ РАН, 2002. С. 77-83

10. Керимов И.А.,АрсанукаевЗ.З. Методика и результаты геологической интерпретации гравитационных аномалий Терско-Каспийского прогиба Материалы 27-й сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей», Ухта Ухтинский индустриальный институт, 2-7 февраля 1998г. С. 50.

11. Страхов В. Н, Арсанукаев 3. 3 Высокоточные дискретные аппроксимации оператора Лапласа и их использование в проблеме нахождения пространственного распределения аномальных гравитационных полей. I Случай двухмерной задачи // Актуальные вопросы математической геофизики. Т. 2. Ч. I М.:ОИФЗ РАН, 2001 г. С. 193-202

\2.Страхов В Н, Арсанукаев 3 3 Использование метода дискретного потенциала в задачах гравиметрии и магнитометрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 28-ой сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского, Киев, 20 января -2 февраля 2001 г.г. М.: ОИФЗ РАН, 2001. С. 102-104

13.Страхов В Н, Арсанукаев 3 3, Страхов А В Использование методов теории дискретных гравитационных и магнитных полей при интерпретации аномальных полей // Геофизика и математика: Материалы 2-ой Всероссийской конференции. Пермь, 1-14 декабря 2001 г. Пермь: ГИ УрО РАН, 2001. С. 272-274

14.Страхов В Н, Арсанукаев 3 3. Теория дискретного гравитационного поля (двухмерный вариант) и её использование при решении задач гравиметрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: материалы 28-ой сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского, Екатеринбург, 28 января - 2 февраля 2002 г. В двух частях. Ч. II М.: ОИФЗ РАН, 2002. С. 73-77

15.Страхов В Н, Арсанукаев 3 3 Теория дискретного гравитационного поля и её использование при решении задач гравиметрии. Материалы Всероссийской научной конференции «Геология, Геохимия и Геофизика на рубеже XX и XXI веков», Т.З. Москва, 8-10 октября 2002г.С.242-244.

16.Страхов В Н, Арсанукаев 3 3 Использование теории дискретного гравитационного поля при интерпретации данных о внешнем аномальном поле. Пятые ежегодные геофизические чтения им. В. В. Федынского, г. Москва, 27 февраля -1 марта 2003 г. М., Центр ГЕОН. С. 42 - 43.

17.Страхов В Н, Арсанукаев 3 3 Теория дискретного гравитационного поля и её использование при интерпретации гравитационных аномалий. Материалы Международной школы-семинара «Вопросы теории и практики комплексной геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» Апатиты, 3-8 октября 2002 г. Москва, ОИФЗ РАН, 2002 С. 77 - 79.

85.00

Типография ИФЗРАН Лицензия ЛР № 040959 от 19 апреля 1999 Усл. печ. Л2. Тираж 70 экз.

2? ДПР 2005

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич

Введение. стр

Глава 1. Методы интерпретации гравитационных и магнитных данных в геофизике.

1.1. Обзор существующих методов интерпретации данных гравитационных и магнитных аномалий. стр

1. 2.Дискретный метод при решении задач гравиметрии и магниметрии.стр

1.2.1. Основы теории дискретных гравитационных полей стр

1.2.2. Основы теории дискретных магнитных полей стр

1.3. Постановка задачи при аналитическом продолжении заданных значений (щ поля в дискретной постановке. стр

1.4. Методы устойчивого решения системы линейных алгебраических уравнений. стр

1.4.1. Метод последовательного умножения полиномов для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр

1.4.2. Метод с использованием преобразования Хаусхолдера для решения системы линейных алгебраических уравнений. стр

Глава2 . Компьютерные технологии при вычислении % пространственных элементов аномальных гравитационных полей в горизонтальном слое, расположенном выше источников поля.

2.1. Методика проведения вычислительных экспериментов. стр

2 . 2. Пример прямого пласта. стр

2.3. Пример слоистой структуры. стр

2.4. Пример наклонного пласта. стр

2.5. Фильтрация заданных значений поля — , осложненных помехой, и { дх ф' используемых в качестве входных данных при аналитическом продолжении в двухмерном случае. стр

ГлаваЗ . Компьютерные технологии при аналитическом продолжении заданных значений поля в области, занятые источниками.

3.1. Восстановление пространственных элементов поля в областях с удаленными «купюрами». стр

3. 2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, но при этом в этом слое заведомо находятся источники поля. стр

3. 2.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных уровнях z = 0, z = -h. стр

3. 2.1.1. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой , если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде прямых и вертикальных пластов. стр

3. 2.1.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если в модельных примерах аномалеобразующие тела представлены в виде круговых горизонтальных цилиндров. стр

3. 2.2. Формальное аналитическое продолжение заданных значений поля в горизонтальный слой, если заданные значения поля располагаются на двух горизонтальных верхних уровнях z = 0, z = -h и боковых вертикальных профилях или на полном контуре. стр

3.3. Инвариантность восстанавливаемых значений поля относительно различных решений прямой задачи. стр

3.4. Новые технологии , позволяющие повысить точность восстанавливаемых при аналитическом продолжении значений поля. стр

Глава4 . Дополнительные вычислительные эксперименты для решения различных практических и теоретических задач в дискретной постановке.

4 . 1.Вычисление высших производных потенциального поля. стр

4.2. Локализация особых точек построением функции подобной функции Березкина. стр

4.3. Сглаживание краевых эффектов у аномальных кривых поля Ag. стр 214 4.3.1. Технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поляЛ£. стр 214 4 .3 .2 . Составление программ и результаты расчетов. стр

4.4. Сходимость дискретных схем к точному решению при уменьшении шага сетки. стр

4.4.1. Аналитическое продолжение заданных значений поля в дискретной постановке при различных шагах сетки. стр

4.4.2. Исследование сходимости дискретных схем к точному решению при неограниченном уменьшении шага сетки. стр

4.4.2. 1 . Аппроксимация, устойчивость и сходимость стр

4.4.2.1.1. Приближение банахова пространства с помощью последовательности банаховых пространств. стр

4.4.2.1.2. Порядок аппроксимации элемента последовательностью, стр

4.4.2.1.3. Аппроксимация линейных операторов. стр 232 4.4.2. 1 .4. Условие устойчивости. стр 233 4.4.2. 1 .5. Теорема о сходимости приближенной схемы. стр 234 4.4.2.2 .Сходимость разностной схемы в случае уравнения Лапласа.стр

Глава 5. Решение обратной задачи с использованием методов теории дискретного гравитационного поля.

5.1. Пересчет заданных значений поля — на физической поверхности Земли в узлы равномерной сетки с заданным шагом, расположенных на уровнях г = О, г = -Ь. стр

5.2. Постановка задачи при восстановлении значений поля — внутри источников. стр

5.2.1. Потенциал однородной сферы. стр

5 .2.2. Потенциал объемных масс (общий случай). стр

5.3. Компьютерные технологии при решении уравнения Пуассона в дискретной постановке. стр

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач"

Актуальность проблемы.

В последнее десятилетие XX века огромное влияние на прикладную геофизику имело развитие вычислительной техники, и прежде всего -персональных компьютеров. Стали возможными реализации самых сложных вычислительных процедур и с каждым годом эти возможности возрастают. Соответственно возрастает роль математических методов в геофизике. Применение методов и результатов самых современных разделов математики при интерпретации данных об аномальных физических полях должно соответствовать реальной геофизической практике. Это соответствие теории практике достигается за счет: а) введения постановок любых задач, решения которых должны находиться по экспериментальной информации об аномальном поле, с учетом конечности и приближенности этой информации; б) использования аппроксимационного подхода ; в) использования идеи алгебраизации, суть которой в том, чтобы редуцировать решение линейных задач гравиметрии и магнитометрии к проблеме нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, а решение нелинейных задач редуцировать к нахождению устойчивых приближенных решений последовательности систем линейных алгебраических уравнений.

Адекватные реальной геофизической практике постановки возникают в рамках метода построения дискретных аппроксимаций аномальных физических полей, общая методология и конструктивные основы которого были разработаны В. Н, Страховым. Использование этого метода в современной теории интерпретации имеет два важнейших преимущества: а) в рамках этого метода алгебраизация всех задач интерпретационного характера достигается наиболее простым и естественным образом; б) возникающие в рамках этого метода системы линейных алгебраических уравнений имеют очень сильно разреженные матрицы и специфические (содержащие много нулевых компонент) векторов правых частей.

Цель диссертации: разработка методологии интерпретации данных гравимагниторазведки на основе метода дискретных аппроксимаций физических полей, соответствующей возрастающим потребностям современной геофизической практике.

Основные задачи исследования:

4. Создание алгоритмов и компьютерных программ в при решении следующих задач в дискретной постановке, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении: фильтрация входных данных, осложненных помехой; разработка новых подходов, обеспечивающих повышение точности восстанавливаемых значений поля; постановка вычислительных экспериментов с уменьшением шага сетки и увеличением длины профиля , на котором расположены заданные значения поля.

6. Создание алгоритмов и компьютерных технологий решение обратных задач гравимагнитой разведки без решения прямых с использованием метода дискретных аппроксимаций физических полей.

7. Апробация созданных алгоритмов и программ на модельных и практических примерах.

Научная новизна:

Практическая ценность.

Защищаемые положения. Показано, что

2. Для получения устойчивых приближенных решений геофизических задач с учетом имеющейся априорной информации эффективны: 1) редукция указанных задач к решению систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью и 2) решение получающихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью специально разработанных устойчивых методов, что обеспечивает резкое повышение точности оценки положения верхней кромки источников.

3. Применение разработанных алгебраических методов, не нуждающихся в многократном решении прямых задач, дает возможность эффективно локализовать источники гравитационного и магнитного полей. Апробация и публикации. Основные положения и результаты работы докладывались на семинаре «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» им. А.Г. Успенского в разные годы (Ухта 1998, Киев 2001, Екатеринбург 2002, Москва 2003 ; 2004); на Второй Всероссийской конференции «Геофизика и математика» (Пермь, 2001 г.);на конференции «Геофизика на рубеже XX и XXI веков», посвященной 10-летию РФФИ (Москва, 2002 год);на Международной школе-семинаре«Вопросы теории и практики комплексной интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» ( Апатиты,2002г.); на Пятых ежегодных геофизических чтениях им.В.В.Федынского (Москва,2003 г.); на III Международном социальном конгрессе «Глобальная стратегия социального развития России: социологический анализ и прогноз».Секция « Актуальные проблемы математики и ее приложений»(Москва, 2003 г.). Были сделаны два доклада на Ученом совете Института геофизики НАН

Украины по приглашению вместе с академиком Страховым В.Н. по случаю Года России на Украине в марте 2003 года. По теме диссертации опубликовано около 18 печатных работ, написано 3 отчета по опытно-методическим и тематическим работам. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 288 наименований. Она содержит 321 страниц основного текста, в том числе 124 рисунков и 36 табл.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич

Заключение

Основные итоги работ состоят в следующем: 1 .На основе теории дискретных гравитационного и магнитного полей, предложенной В. Н, Страховым, сформированы 4 основных и связанных с ними дополнительных задач, относящиесяся к важному аспекту теории: аналитическому продолжению заданных значений поля в нижнее полупространство. Эти задачи редуцировались к системе линейных уравнений СЛАУ, устойчивость решения которых достигалась за счет совместного использования дискретных аппроксимаций оператора Лапласа.

2.Разработана методика, заключающаяся в том, что в модельных примерах в качестве аномалеобразующих используются тела простой геометрической формы, для которых прямая задача решается точно.С другой стороны эти решения прямой задачи являются, как известно, гармоническими функциями, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа, что устанавливается непосредственным дифференцированием.Таким образом, принимая решения прямой задачи для вертикального градиента потенциального поля в качестве «входных» данных на уровнях г = 0, г = -Ь. при аналитическом продолжении с использованием дискретных аппроксимаций оператора Лапласа, и сравнивая по какой-либо норме восстановленные значения поля в соответствующих точках нижнего полупространства с решениями этой же прямой задачи, можно оценить точность, с которой восстанавливаются значения поля.

3.Разработаны компьютерные технологии при аналитическом продолжении дУ заданных значении поля — в двухмерном случае в заданный горизонтальд2 ный слой, находящийся целиком выше верхней кромки аномалеобразующих тел, с проведением вычислительных экспериментов, в которых:

• Разработаны компьютерные программы, формирующие элементы разреженных матриц и векторов правой части СЛАУ, возникающих при аналитическом продолжении с использованием сразу нескольких дискретных аппроксимаций оператора Лапласа;

• Исследованы закономерности в восстановлении значений поля, когда в качестве «входных» значений при аналитическом продолжении используются решения прямой задачи для аномалеобразующих тел с различной геометрией поверхности;

• Исследовано влияние помехи, при достаточно высоком ее уровне, на точность восстанавливаемых значений поля;

• Разработаны схемы фильтрации «входных» данных, осложненных помехой, позволяющие значительно повысить точность восстанавливаемых значений поля.

4.Разработаны компьютерные технологии при аналитическом продолжении заданных значений поля в двухмерном случае в заданный горизонтальный слой, заведомо содержащий источники поля с проведением вычислительных экспериментов, в которых:

• Разработаны компьютерные программы, формирующие элементы разреженных матриц и векторов правой части СЛАУ, возникающих при аналитическом продолжении с использованием нескольких дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в заданный горизонтальный слой с удаленными «купюрами» (т. е. с областями, со/ держащими источники поля).

• Разработаны компьютерные программы, формирующие элементы разреженных матриц и частей правой части СЛАУ, возникающих при формальном аналитическом продолжении с использованием нескольких дискретных аппроксимаций оператора Лапласа в заданный горизонтальный слой, включая и области, содержащие источники поля; расширен список аномалеобразующих тел в модельных примерах в сравнении с п. 3.

• Исследованы закономерности в восстановлении значений поля при аналитическом продолжении: а) до верхней кромки аномалеобразующих тел. б) до центра тяжести аномалеобразующих тел; в)ниже верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел.

• Исследованы закономерности восстановления значений поля при формальном аналитическом продолжении с измененными краевыми условиями.

5. Разработаны компьютерные технологии при решении различных дополнительных задач, тесно связанных с задачей аналитического продолжения, с проведением теоретических и вычислительных исследований, где:

• Установлена инвариантность восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении относительно различных значений прямой задачи.

• Разработаны новые технологии, позволяющие повысить точность восстанавливаемых при аналитическом продолжении значений поля при фиксированном шаге сетки.

• Вычислены высшие производные для восстановленных значений поля с оценкой их точности; построена функция, подобная функции Березкина, позволяющая локализовать особые точки.

• Разработана технология сглаживания краевых эффектов у аномальных кривых поля.

• Установлено значительное увеличение точности восстанавливаемых значений поля при аналитическом продолжении за счет уменьшения шага сетки; доказана теоретически сходимость дискретных схем к точному решению в случае уравнения Лапласа для рассматриваемой в настоящей работе разностной схемы.

• Разработана технология, позволяющая определять местоположение верхних и нижних особенностей аномалеобразующих тел с использованием результатов аналитического продолжения заданных значений поля и построения функции, подобной функции Березкина; эта технология опробована на модельных и практических примерах в условиях Норильска и п-ва Таймыра и позволяет достаточно уве ренно восстанавливать границы аномалеобразующих тел.

• Разработаны компьютерные технологии при решении обратной задачи в модельных условиях с использованием дискретного уравнения Пуассона, для которого в качестве краевых условий используются восстановленные с помощью дискретного уравнения Лапласа dV ли значения поля — заданные на уровнях z = 0, z = -h.; эти техноло

DZ гии опробованы на модельном примере при априорно заданных границ области, содержащей массы, и дают удовлетворительные результаты при вычислении плотности 6. Расчеты на модельных и практических примерах позволяют установить, что разработанные В. Н. Страховым метод МПУП и автором - метод приведения матрицы к верхней треугольной форме с использованием преобразования Хаусхолдера позволяют находить устойчивые приближенные решения СЛАУ большей размерности ~ 10 4 на компьютерах Pentium за приемлемое время.

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич, Москва

1. Алексидзе М.А. Решение некоторых основных задач гравиметрии. Тбилиси: Мицниереба, 1985. 411 с.

2. Андреев Б. А., Клушин И. Г. Геологическое истолкование гравитационных аномалий. Л.: Недра, 1965. С. 495

3. Антонов Ю.В. Разделение сложных аномалий силы тяжести. Воронеж: ВГУ, 1985. 240 с.

4. Аронов В.И. Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризации залежей нефти и газа на ЭВМ. М.: Недра, 1990. 300 с.

5. Аронов В.И. Обработка на ЭВМ значений аномалий силы тяжести

6. Аронов В.И. К вопросу о редуцировании аномалий силы тяжести горной области. В кн. : Геофизическая разведка, вып. 14. М. Гостоптехиздат, 1963, с.80-91.

7. Арсанукаев 3. 3. Вычисление пространственных элементов аномальных полей с использованием методов теории дискретных гравитационных полей. Ж-л «Физика Земли» N11,2004. С.47-69.

8. Арсанукаев 3. 3. Новые технологии при аналитическомпродолжении в дискретной постановке заданных значений поля вертикальных градиентов. Ж-л «Физика Земли» N12,2004.0.42-47.

9. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М., ГИТТЛ, 1955.

10. Балк П.И. «Столкновение геофизических и математических интересов главный источник противоречий в современной теории интерпретации потенциальных полей».// Геофизический журнал. 2000. Т 22. № 4. С.3-20.

11. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии. // Докл. АН СССР. 1989. Т.309. № 5 . С.1082-1084.

12. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи в рамках монтажного метода // Физика Земли. 1993.№ 5.С. 59-71.

13. Бахурин И.М. Магнитное поле тел правильной формы с точки зрения магнитометрии // Изв. Ин-та прикладной геофизики. Л., 1925. Вып.1. С.19-37.

14. Бауман В.И. Интерпретация результатов магнитометрической съемки. Л.: Геофиз. сектор ЦНИИГРИ, 1932.

15. Березкии В.М. Применение гравиразведки для поисков месторождений нефти и газа. М.: Недра, 1978. С.264.

16. Березкш В.М. Учет влияния рельефа местности и промежуточного слоя при детальной гравиразведке. М.: Недра, 167. 124 с.

17. Блох Ю.И. Возможности интерпретаций магнитных аномалий с учетом размагничивания // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4, С. 56-62.

18. Блох Ю.И. Комплексирование методов интерпретации при определении природы магнитных аномалий // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1991, №3, С. 36-42.

19. Блох Ю.И. Сингулярное разложение и конструктивная регуляризация в задачах аппроксимации геофизических полей // Материалы 1 -ой Всероссийской конференции « Геофизика и математика», Москва, 1999,С. 14-17.

20. Будак Б.М., Васильева В.Н. К обратной задаче об определении коэффициентов квазилинейного параболического уравнения // В сб.: Решение задач оптимального управления и некоторых обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974. С.3-20.

21. Булах Е.Г. Об одном алгоритме решения обратной задачи гравиметрии по аномальному полю, осложненному фоновым влиянием. //Доклады HAH Украины. 1999. №2. С. 122- 126.

22. Булах Е.Г., Маркова М.Н., Бойко П.Д. Математическое обеспечение автоматизированной системы интерпретации гравитационных аномалий. Киев: Наук, думка. 1984. 112 с.

23. Булах Е.Г., Шиншин И.В. Прямые и обратные задачи гравиметрии для совокупности локальных объектов и построение аналитической модели исходного поля. // Доклады HAH Украины. 1999. № 1. С. 112 -115.

24. Ъв.Булычев A.A., Гайнанов А.Г. и др. Гравиметрия//Геол.-геофизич.исс-дования в Атлантическом, Индийском и Тихом океанах. М., 1990.

25. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. О восстановлении трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным // Физика Земли. 1996. № 11. С. 58-62.

26. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. Решение задачи гравиметрии методами градиентного типа // Математическое моделирование. 1999. Т.П. № ю. С. 86-91.

27. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. 303 с.

28. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1965 .№ 12.С.21-30.

29. Воскобойников Г. М. К вопросу о практической применимости метода Б. А. Андреева для определения глубины залегания источников потенциальных полей. Изв. АН СССР. Сер. Геофиз., 1954, №11, с.97-99.

30. Гавурин М.К., Фабровская Ю.Б. Об одном итеративном методе разыскания суммы квадратов // ЖВМ и МФ. 1966.Т.6. № 6.С. 1094-1097.

31. Гамбурцев Г. А. К вопросу о природе Курской магнитной и гравитационной аномалии. Притяжение подземными хребтами // Избр.труды. М.: Академиздат, 1960. С.72-80.

32. Гипбарг Д., Трудингер М. Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука. 1989.

33. Голиздра Г.Я. Комплексная интерпретация геофизических полей при изучении глубинного строения земной коры. М.: Недра. 1988. 212 с.

34. Голуб Дж., ВанЛоун Ч. Матричные вычисления : М., Мир, 1999, 548 с.

35. Гольдшмидт В.И. Алгоритмы и программы для обработки геофизических данных на ЭВМ. Алма-Ата, КАЗВИРГ, 1971. Вып.1. 357 с.

36. Гольцман Ф.М. Состояние и перспективы развития статистических методов интерпретации геофизических наблюдений // Разведочная геофизика на рубеже 70-х годов. М.: Недра, 1974.

37. Гончарский A.B., Степанов В.В. Численные методы решения некорректно поставленных задач на компактных множествах // Вестн. Моск. Ун-та. Вычислительная математика и кибернетика. 1980, № 3. С. 12-18.

38. Гордин В.М. Способы учета влияния рельефа местности привысокоточных измерениях. Обзор ВИЭМС. Сер. IX. « Региональная, разведочная и промысловая геофизика». М.: ВИЭМС, 1974. 90 с.

39. Гравиразведка. Справочник геофизика. Изд. 3-е / Под ред. К.Е.Веселова и Е.А.Мудрецовой. М.: Недра, 1990. 607 с.

40. Долгаль A.C. Моделирование погрешностей учета влияния рельефа при гравиметрической съемке.// Известия РАН. Сер. Физика Земли. 1997. №8. С. 88-93.

41. Долгаль A.C. Оценка точности учета влияния рельефа местности при гравиметрической и магнитной съемках.// Доклады академии наук. 1997. Т. 354. №3. С. 389-391.

42. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука. 1991. 448 с.

43. Жданов М. С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука, 1984.328 С.

44. Заборовский А.И. Геофизические методы разведки. M.;JI.: Гос. научно-технич. горн, изд-во, 1932. 151 с.

45. Заморев A.A. Об определении производных гравитационного потенциала и соотношений между моментами возмущающих масс по производной, заданной на плоскости // Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1939. № 3. С.275-286.

46. Заморев A.A. Определение формы тела по производным внешнего гравитационного потенциала// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1942. № 1-2. С.42-54.

47. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София : БАН, 1968. 253 с.

48. Зидаров Д. О решении некоторых обратных задач потенциальных полей и его применении к вопросам геофизики. София: БАН, 1968. 253 с.

49. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и i® геодезията. София: БАН, 1984. 278 с.

50. Зидаров Д. Обратна гравиметрична задача в геопроучването и геодезията. София: БАН, 1984. 278 с.

51. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // ДАН CCCP,T.105,N3,1955,c.409-411.

52. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала // Докл.АН

53. СССР, 1962,142,т.5,с.998-1 ООО.

54. Иделъсон Н.И. Теория потенциала и ее приложения к вопросам ^ геофизики.ГТТИ ,Ленинград,Москва, 1932.

55. Каленщкш А.И., Смирнов В.И. Методические рекомендации по учету влияния рельефа в гравиразведке. Новосибирск: СНИИГГиМС, 1981. 174 с.

56. Калинина Т.Б. Статистические методы оценивания в магнитометрии и гравиметрии: Дис. докт. физ.-мат. наук. Л., 1978.

57. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

58. Канторович Л.В.,Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.-Ленинград.Гос. изд-во технико-теоретической литературы. 1952,695 с.

59. Кобрунов А.И. К анализу линейных приближений обратной структурной задачи гравиметрии // Доклады АН УССР, сер. Б. 1982. № 9. С. 7-9.

60. Кобрунов А.И. К теории интерпретации данных гравиметрии для слоистых сред ( равномерная аппроксимация) // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1986. № 1. С. 67-77.

61. Кобрунов А.И. Равномерные критерии оптимальности в задачах гравиметрии // Докл. АН УССР. Сер.Б. 1986. №11. С. 11-14.

62. Кобрунов А.И. Спектральные представления общего вида решения обратной задачи структурной гравиметрии // Докл. АН УССР. Сер. Б. 1988. №9. С.18-21.

63. Кобрунов А.И. Теория интерпретации данных гравиметрии для сложно-построенных сред. Учебное пособие. Киев, 1989. 100 с.

64. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. 279 с.

65. Котляков Н.С.,Глинер Э.Б.,Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз,1962. 767 с.

66. Красовский С.С. Гравитационное моделирование земной коры континентального типа. Киев: Наук, думка, 1980.

67. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. М.: Наука, 1966. 372 с.82 . Кузиванов В. А. Об аналитическом продолжении гравитациооного потенциала во внутреннюю область. Изв. АН СССР. Сер. Геофиз.,1956, № 12, с. 1419-1426.

68. Кузиванов В. А., Сагитов М. У. О невозможности определения геоида при помощи одних лишь гравитационных и геодезических данных. Изв. Вузов. Геодезия и аэрофотосъемка, 1960, №2, с. 89-93.

69. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.;Л.: Гостоптехиздат, 1950.

70. Логачёв А. А. Методическое руководство по аэромагнитной съемке. Государственное научно-техническое издательство литературы по геологии и охране недр. М.: 1955.

71. Ломтадзе В.В. Программное и информационное обеспечение геофизических исследрваний . М.: Недра, 1993. 268 с.

72. М.: ОИФЗ РАН, 1997. С. 105-108.

73. Малкин Н.Р. Об определении вертикальной производной силы тяжести из наблюдений с крутильными весами // Астрон. журнал. 1936. Т. 13, вып.5. С.495-498.

74. Маргулис А.С. Вопросы эквивалентности и единственности в обратных задачах гравиметрии // Тр. Ин-та геофизики УНЦ АН СССР,

75. МартышкоП.С. Теория и методы интерпретации данных гравитационных, магнитных и электрических полей // Материалы 1 Всероссийской конференции «Геофизика и математика», Москва, 1999,с. 88-92.

76. Мартышко П.С. Обратные задачи электромагнитных геофизических полей // Наука. Екатеринбург, 1996. 144 с. 91 .Миков Д.С. Палетки для интерпретации магнитных и гравитационных аномалий // Материалы Уральского геол. упр. Свердл. М., 1939. Вып.2. С.132-144.

77. Мудрецова Е. А., Дорофеев И. В., Целее В. И., Филатов В. Г. Аналитическое продолжение гравитационного поля в нижнеее полупространство на основе метода регуляризации. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1980, № 2, с. 97-100.

78. Никитин A.A. Статистические методы выделения геофизических аномалий. М.: Недра, 1979.

79. Никитин A.A. Теоретические основы обработки геофизической информации. М.: Недра, 1986.

80. Новиков П.С. О единственности решения обратной задачи потенциала//Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 3. С. 165-168.

81. Новоселицкий В.М. Интерпретация гравитационных данных в условиях материального изменения плотности осадочных толщ (на примере Пермского Приуралья): Дис. . д-ра геол.-мин. наук. Пермь, 1975.

82. Нумеров Б. В. Теоретические основания применения гравитационных методов в геологии // Изв. геол. комитета. 1925. Т. 10, №3.

83. Оганесян С.М. Теория и численные методы решения трехмерных задач гравиметрии: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. Ленинакан, 1987.

84. Оганесян С.М., Старостенко В.И. Параметрический функционал А.Н. Тихонова и итерационные методы решения некорректных задач геофизики // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1978. № 1. С.63-74.

85. Остромогилъский А.Х. О единственности решения некоторых обратных задач // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1971. Т. 11, № 1. С.861-865.

86. Отчет по тематическим работам : « Разработка теории и компьютерной технологии построения линейных аналитических аппроксимаций гравитационных и магнитных пол ей».Вторая очередь. Москва. 2001 г., 229 с.

87. Пршепко А.И. О единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193, № 2. С.37-40.

88. Пруткин И.Л. О решении трехмерной обратной задачи гравиметрии в классе контактных поверхностей методом локальных поправок // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1983. № 1. С.53-58. размагничивания // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1987, № 4, С. 56-62.

89. Пучков Е. П., Страхов В. Н. Решение обратных задач гравиметрии и магнитометрии в биополярной системе координат с помощью граничной окружности. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1973, № 9, с. 43-62

90. Раппопорт И.М. О некоторых достаточных условиях единственности решения обратной задачи теории потенциала // Докл. АН СССР. 1940. Т.28, № 5. С.23-30.

91. Ремпель P.P. Актуальные вопросы методики введения поправок, связанных с рельефом местности , в данные гравиразведки и магниторазведки // Физика Земли. 1980. № 12. С.75-89.1. С.4-23.

92. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.С. 380

93. Серкеров С.А. Преобразования Фурье и их приложение в гравираз-ведке и магниторазведке. М.: МИНХиГП, 1974. 71с. Соавт.: Гладкий К.В.

94. Ю.Смирнов В. И. Курс высшей математики.Тома 1-У,ГТТИ, 1969-1961.

95. Соколовский К.И. Унитарный метод решения трехмерных задач геофизики с применением кватернионов .В кн.: Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полей в СССР.

96. Материалы III Всесоюзной школы-семинара. Киев: Наук.Думка. 1983. С. 213-220.

97. Сретенский J1.H. Об одной обратной задаче теории потенциала// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1938. № 5/6.

98. Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии. Киев: Наук, думка, 1978. 227 с.

99. Старостенко В.И., Дядюра В.А., Заворотъко А.Н. Об интерпретации гравитационного поля методом подбора // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 4. С.78-85.

100. Стошов С. Теория функций комплексного переменного. М.: Ин. Лит. 1962.416 с.

101. Страхов В.Н, Керимов И.А., Страхов A.B. Линейные аналитические аппроксимации рельефа поверхности Земли // Геофизика и математика : Материалы 1-й Всероссийской конференции. М. : ОИФЗ РАН, 1999. С. 198 -212.

102. Страхов В.Н. Алгебраические методы в обратной задаче гравиметрии (решение обратных задач без решения прямых // Междун. геофиз. конф. "300 лет горно-геологической службе России": Тез. докл. Санкт-Петербург, 2-6 октября 2000 г. Секц. 1. С.50-52.

103. Страхов В.Н. Алгоритмы редуцирования и трансформаций аномалий силы тяжести, заданных на физической поверхности Земли // Интерпретация гравитационных и магнитных полей. Киев.Наук.Думка, 1992. С.4-81.

104. Страхов В.Н. Геофизика и математика // Физика Земли. 1995. № 12.

105. Страхов В.Н. Геофизика и математика. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 64 с.

106. Страхов В.Н. К теории интерпретации двухмерных гравитационных аномалий от масс, распределенных по неограниченным областям // Доклады АН СССР, 1979,Т. 248, № 8, С. 1086- 1089.

107. Страхов В.Н. К теории плоской задачи гравиметрии в случае источников постоянной плотности в бесконечных областях // Доклады АН УССР, 1980, сер.Б, № 5, с. 40-43.

108. Страхов В.Н. К теории структурной гравиметрии. // Прикладн. геофизика, 1972, вып. 68, с.119-138.

109. Страхов В.Н. Методологические особенности интерпретации данных гравиразведки и магниторазведки // Труды совещания "Вопросы методологии интерпретации геофизических данных в прикладной геофизике". Москва, 7-8 фев. 1996 г. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.110-123.

110. Страхов В.Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, № 12, с. 32-44.

111. Страхов В.Н. Некоторые примеры эквивалентности и слабой единственности в плоской обратной задаче потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1973. № 5. С.39-62.

112. Страхов В.Н. Нерешенные проблемы математической теории плоской задачи гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1979. № 8. С.3-28.

113. Страхов В.Н. О подходе к решению обратных задач гравиметрии, основанном на теории эквивалентных перераспределенных масс // Докл. АН СССР. 1977. Т.236, № 3. С.571-574.

114. Страхов В.Н. О построении аналитических аппроксимаций аномальных гравитационных и магнитных полей // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. М.: ОИФЗ РАН, 1999. С.65-125.

115. Страхов В.Н. О решении некорректных задач магнито- и гравиметрии, представляемых интегральными уравнениями типа свертки. Г. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1967. № 4. С.36-54.

116. Страхов В.Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. I. Постановки и основные конструктивные идеи // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. № 7. С.3-27.

117. Страхов В.Н. Об устойчивых методах решения линейных задач геофизики. II. Основные алгоритмы // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1990. №8. С.37-64.

118. Страхов В.Н. Определение некоторых основных параметров намагниченных тел по данным магнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1956. № 2. С. 144-156.

119. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. I // Геофизика. 1995. № 3. С.9-18.

120. Страхов В.Н. Основные направления развития теории и методологии интерпретации геофизических данных на рубеже XXI столетия. Ч. II // Геофизика. 1995. № 4. С. 10-20.

121. Страхов В.Н. Развитие гравиметрии и магнитометрии в XX веке: Труды конференции. Москва, 23 -25 сентября 1996 г. М.: ОИФЗ РАН. 1997. 234 с.

122. Страхов В.Н. Разработка теории и методов решения некорректно поставленных задач геофизики на базе идей оптимизации и регуляризации // Основные достижения ОИФЗ РАН за 1992-1996 гг. Т.1. М.: ОИФЗ РАН, 1996. С.53-59.

123. Страхов В.Н. Специальные ряды теории потенциала и их применение при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1989. №4. С.3-7.

124. Страхов В. Н., Валягико Г. М. Методика оперативной интерпретации данных гидромагнитных съемок в океане.- Докл. АН СССР, 1977, т. 235, № 1, с. 57-60.

125. Страхов В. Н., Григорьева О. М., Лапина М. И. Определение особых точек двухмерных потенциальных полей. М.: Недра, Сборник «Прикладная геофизика», выпуск 85, 1977. С. 96-114

126. ХМ.Страхов В. Н. Методы интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Пермь: 1984. С. 70

127. Страхов В. Н. Будущее теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий // Комплексные исследования по физике Земли. М.: Наука, 1989.С. 68-87

128. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитныхданомалий). Ч. II // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1997. №2(2). С.55-82.

129. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий). Ч. III // Электр, науч.-инф. журн. "Вестник ОГГГГН РАН". М: ОИФЗ РАН, 1998. № 1(3). С. 100-152.

130. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего) // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. № 2. С.95-135.

131. Страхов В.Н. Три парадигмы в теории и практике интерпретации потенциальных полей (анализ прошлого и прогноз будущего). М.: ОИФЗ РАН, 1999. 78 с.

132. Страхов В.Н.,Бродский М.А. К проблеме единственности в плоских обратных задачах гравиметрии и магнитометрии // Докл. АН СССР. 1983. Т.273, № 5. С. 1097-1101.

133. Страхов В.Н., Бродский М.А. О единственности решения плоской обратной задачи потенциала для многоугольников // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1984. С.128-142.

134. Страхов В.Н., Керимов H.A. Аппроксимационная реализация спектрального анализа в гравиметрии и магнитометрии // Основные проблемы теории интерпретации гравитационных и магнитных полей/Сборник научных трудов. М.ЮИФЗ РАН, 1999.-С. 183-206.

135. Страхов В. Н, Иванов С. Н. Регуляризованные конечно-разностные алгоритмы восстановления функций и их использование в геофизике. // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984. №2. С.63-83.

136. Страхов В.Н., Лапша М.И. Монтажный алгоритм решения плоской обратной задачи гравиметрии в случае двух односвязных тел однородной плотности // Вопросы численной обработки и интерпретации потенциальных полей. М., 1978. Деп. в ВИНИТИ, № 1198-78.С.26-47.

137. Страхов В.Н., Лапина М.И. Решение обратной задачи гравиметрии методом регулируемой направленной кристаллизации // Перспективы развития методов геологической интерпретации гравитационных аномалий. М.,1976.Деп. в ВИНИТИ, № 3053-76. С.66-78.

138. Страхов В.Н., Степанова И.Э., Гричук JI.B. Теория дискретного гравитационного потенциала и ее использование в гравиметрии // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Воронеж, 1998.С.49.71.

139. Страхов В.Н., Степанова И. Э., Гричук JI.B., Керимов

140. И. А., Страхов A.B. Метод линейных интегральных представлений при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Геофизика и ^ математика: материалы 1-й Всероссийской конференции. Москва, 2226 ноября 1999 г.М.: ОИФЗ РАН, 1999.С.191-198.

141. Страхов В.Н., Степанова Н.Э., Керимов И.А. К вопросу о вычислении поправок за рельеф // Физика Земли. № 4, 2002, с.55-66.

142. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии // Известия секции наук о Земле РАЕН. 1999. Вып. 3, ноябрь. С.20-22.

143. Страхов В.H., Страхов A.B. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. И. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 52 с.

144. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений с приближенно заданной правой частью, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 68 с.

145. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 1. Редукция к системам в канонической форме // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 4. С.545-548.

146. Страхов В.Н., Страхов A.B. О решении систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. 2. Методы решения систем в канонической форме // Докл. РАН. 1999. Т.368, № 5. С.683-686.

147. Страхов В.Н., Страхов A.B. Основные методы нахождения устойчивых приближенных решений систем линейных алгебраических уравнений, возникающих при решении задач гравиметрии и магнитометрии. I. М.: ОИФЗ РАН, 1999. 40 с.

148. Страхов В.К, Шефер У., Страхов A.B. Линейные аппроксимации элементов аномальных гравитационных и магнитных полей Земли // Тезисы докладов Международной конференции « Обратные задачи математической физики». Новосибирск: Ин-т математики, 1998. С. 6769.

149. Ступак Н.К. Интерпретация магнитных аномалий, созданных некоторыми двухмерными телами в случае произвольного направления намагниченности: Дис. канд. геол-мин. наук. Днепропетровск, 1955.

150. Тихонов А.Н.,Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М.,Наука, 1986,287 с.

151. Тихонов А. Н., Гласно В. Б., Литвиненко О. К., Мелихов В. Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающихся масс на основе метода регуляризации. Изв. АН СССР. Физика Земли, 1968, № 12, с. 30-48.

152. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. С. 735

153. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. С. 494

154. Трошков Г.А., Грознова A.A. Математические методы интерпретации магнитных аномалий. М. Недра, 1985.151 С.

155. Трошков Г. А. Вопросы локализации особенностей потенциальных полей в пространстве трех измерений // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1977. № 10. С.79-82.

156. Трошков Г.А. Представление векторных геофизических потенциальных полей в комплексном трехмерном пространстве // Изв. АН СССР.Физика Земли. 1988. № 9. С.49-58.

157. Р. Тьюарсон.Разреженные матрицы.Москва.Издательство «Мир», 1977.

158. Уилкинсон.Райнш. Справочник алгоритмов на языке Алгол. Линейная алгебра.Москва.Машиностроение. 1976.

159. ФаддеевД.К.и ФаддееваВ.Н.Вычислительные методы линейной алгебры.Москва, Ленинград, 1963.

160. Филатов В.Г. Устойчивые способы обработки и интерпретации потенциальных полей на основе регуляризации и концентрации источников: Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1988.

161. Цирулъский A.B. О редукции потенциальных геофизических полей на внешнюю плоскость //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1975. № 7. С. 43 47.

162. Цирулъский A.B., Никонова Ф.И., Федорова Н.В. Метод интерпретации гравитационных и магнитных аномалий с построением эквивалентных семейств решений. Свердловск: Изд. Ин-та геофизики АН СССР. 1980. 135 с.

163. Цирулъский A.B., Пруткин И.Л.О решении обратной задачи гравиметрии для произвольных классов двумерных и трехмерных потенциалаов // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1981. № 11. С. 45-63.

164. Чередниченко В.Г. Обратная задача для потенциала слоистых сред двухмерном случае // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 1. С. 140147.

165. Чередниченко В.Г. Обратные задачи логарифмического потенциала аналитической плотностью // Дифференц. уравнения. 1973. Т.9, № 2. С.333-342.

166. Шабат Я.5.Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976. Ч.1.С.319.

167. Шалаев С.В. Применение линейного программирования в геофизике // Геология и геофизика. 1965. № 5. С.71-77.

168. Шалаев С.В. Применение функций комплексного переменного при геологическом истолковании гравитационных и магнитных аномалий // Вопр. развед. геофизики. 1960. Вып.1. С.3-13.

169. Шашкин Ю.А. К вопросу об обратной задаче теории потенциала // Докл. АН СССР. 1958. Т.118, № 1. С.45-46.

170. Шефер У., Балк Т.В. Монтажный метод решения совмещенной обратной задачи грави- и магнитометрии. // Докл. АН. 1992. Т. 327. № 1. С. 79-83.

171. Шрайбман В.И., Жданов М.С., Витвицкий О.В. Корреляционные методы преобразования и интерпретации геофизических аномалий. М.: Недра. 1977. 137 с.

172. Я гола А. Г. О выборе параметра регуляризации по обобщенному принципу невязки // Доклады АН СССР. 1979. Т. 245, № 1. С. 37-39.

173. Ягола А.Г. О выборе параметра регуляризации при решении некорректных задач в рефлексивных пространствах // ЖВМ и МФ. 1980. Т. 20, № 3. С. 586-596.

174. Aikawa Hiroaki,Potential theory-selected topics: in Lecture Notes in Mathematics, 1996, v. 1633,pp. 102-202.

175. Aruliah U., Ascher E., Haber U. and Oldenburg D. A method for the forward modelling of 3D electromagnetic quasi-static problems // Math Modelling Applied Sciences, 2001,Vol 11, No. 1, pp 1 21

176. Ballani L., Engels J. and Grafarend J. W. Global base functions for the mass density in the interior of a massive body (Earth) // Manuscripta Geodaetica 18 (1993), pp. 99-114.

177. Balmino G., BarriotJ.P. Vales N. Non-singular Formulation of the Gravity Vector and Gravity Gradient Tensor in Spherical Harmonics // manuscripta geodaetica, 15, 11-16, (1990).

178. Balmino G., Barriot J.P., Koop R., Middel B., Vermeer M. Simulation of Gravity Gradients : A Comparison Study // Bulletin Geodesique, 65, 218-229,(1991).

179. Barthelmes F., Ballani L., Klees R. On the Application of Wavelets in Geodesy. In : Sanso F. (Ed.): Geodetic Theory Today. Springer Verlag, Berlin, 1995, pp. 394-403.

180. Beth S.Multiscale Approximation by Vector Radial Basis Functions on the Sphere, Shaker Verlag, Aachen (2000).

181. Bostock, M. G.,Rondenay, S., Shragge, J. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 1,Theory for oblique incidence // J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12 , p. 30,785.

182. Ellis R.G., and Oldenburg D. W. Applied geophysical inversion // Geophysical Journal International, 1994, 116, pp 5-11.

183. Essen Matts,Potential theory- selected topics: in Lecture Notes in Mathematics, 1996, v. 163 3,pp.3-99.

184. Farquharson C.G., and Oldenburg D. W. Nonlinear inversion using general measures of data misfit and model structure // Geophysical Journal International, 1998,134, pp 213-227.

185. Freeden W. and Michel V. Constructive approximation and numerical methods in geodetic research today—an attempt at a categorization based on an uncertainty principle. J. Geodesy 73 (1999), pp. 452-465.

186. Freeden W. and Schneider F. Wavelet approximation on closed surfaces and their application to boundary-value problems of potential theory. Math. Meth. Appl. Sci. 21 (1998), pp. 129-163.

187. Freeden W. Multiscale Modelling of Spaceborne Geodata, Teubner Verlag, Stuttgart, Leipzig (1999).

188. Freeden W., Gervens T. and Schreiner M. Constructive Approximation on the Sphere—With Applications to Geomathematics, Oxford Univ. Press, New York (1998).

189. Freeden W., On the approximation of external gravitational potential with closed systems of (trial) functions. Bull. Geod. 54 (1980), pp. 1-20.

190. Freeden W., Screiber M. New Wavelet Methods for Approximating Spherical Functions. In : Sanso F. (Ed.): Geodetic Theory Today. Springer -Verlag, Berlin, 1995, pp. 112-121.

191. Gleason D.M.: Partial Sums of Legendre Series via Cleshaw Summation//manuscripta geodaetica, 1985, vol. 10, pp. 115-130.

192. Gruber Th., Anzenhofer M. The GFZ 360 Gravity Field Model. Proc. XVIII General Assembly of the European Geophysical Society, 3-7 May 1993, Wiesbaden, 1993.

193. Haber E., and Oldenburg D. W. Joint inversion: a structural approach // Inverse Problems, 1997,13 , pp 63-77.

194. Haber U. and Ascher E. Preconditioned all-at-once methods for large, sparse parameter estimation problems // Inverse Problems, 17 (2001), 18471864.

195. Haber U., Ascher E., Aruliah U.and Oldenburg D. Fast modelling of 3D electromagnetic problems using potentials // J. of Comp. Phys., 2000, Vol 163, pp 150-171.

196. Haber, E., and Oldenburg, D. W. A GCV based method for nonlinear ill-posed problems // Computational Geosciences, 2000, Vol 4, pp 41-63.

197. Heiskanen fV.A., Moritz H. Physical Geodesy: W.S. Freeman, Co, San Fransisco, 1967.

198. Jiuping Chen, Eldad Haber and Douglas W. Oldenburg Three-dimensional numerical modelling and inversion of magnetometric resistivity data // Geophys. J. Int. (2002) 149, 679-697.

199. Klees R. Boundary Value Problems and Approximation of Integral Equations by Finite Elements // manuscripta geodaetica, 1995, vol. 20, pp. 345-361.

200. Li Y, and Oldenburg D. W. Incorporating geologic dip information into geophysical inversions // Geophysics, 2000,65, No. 1, pp 148-157

201. Li Y., and Oldenburg D. W. Joint inversion of surface and three-component borehole magnetic data I I Geophysics,2000, 65, No. 2, pp 540552.

202. Li Y., and Oldenburg D. W. 3D inversion of induced polarization data // Geophysics, 2000,Vol. 65, No.6.

203. Li Y., and Oldenburg D. W. 3-D inversion of magnetic data // Geophysics, 1996, 61, pp 394-408.

204. MallatS., Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of 2(). Trans. Amer. Math. Soc. 315 (1989), pp. 69-87.

205. Mallat S., Applied mathematics meets signal processing, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I, pp. 319-338, Documenta Mathematica, 1998.

206. Maus, S., and V. Dimri, Depth estimation from the scaling power spectrum of potential fields // Geophys. J. Int., 124, 113-120, 1996.

207. Michel V., A Multiscale Method for the Gravimetry Problem: Theoretical and Numerical Aspects of Harmonic and Anharmonic Modelling, Ph.D. thesis, Geomathematics Group, Shaker Verlag, Aachen, 1999.

208. N. Week, Zwei inverse Probleme in der Potentialtheorie. Mitt. Inst. Theoret. Geodasie, Univ. Bonn 4 (1972), pp. 27-36.

209. Naidu P.S., Mathew M.P. II Fast reduction oof potential fields measured over an uneven surface to a plane surface.// IEEE Trans. Geosci. and Remote Sens. 1994. 32. № 3. p. 508 512.

210. Naidu, P. Spectrum of the potential field due to randomly distributed sources// Geophysics, 33, 337-345, 1968.

211. Nerem R.S., Jekeli C., Kaula W.M. Gravity Field Determination and Characteristics : Retrospective and Prospective // J. Geophys. Res., 1995, vol. 100, No. B8, pp. 15053 -15074.

212. Nettleton L.L. Determination of density for reduction of gravity observations. Geophysics 4 (1939), pp. 176-183.

213. Nettleton L.L. Geophysical Prospecting for Oil, McGraw-Hill, New York (1940).№ 3, C. 36-42.

214. Oldenburg D.W., and Ellis R.G. Inversion of Geophysical Data Using an Approximate Inverse Mapping // Geophysical Journal International, 1991, 105, pp 325-353.

215. Oldenburg D. W., and Li Y. Inversion of induced polarization data // Geophysics, 1994, 59, 1327-1341.

216. Oldenburg D.W., Li Y, and Ellis R.G. Inversion of geophysical data over a copper gold porphyry deposit: a case history for Mt. Milligan // Geophysics, 1997, 62, No.5, pp 1419-1431.

217. Pasion, L., and Oldenburg, D.W. A discrimination algorithm for UXO Using Time Domain Electromagnetic Induction // Journal of Environmental and Engineering Geophysics, 2001,Vol 6, pp 91-102.

218. Pilkington Mark, Urquhart W. E. S. Reduction of potential field data to a horizontal plane. // Geofizics. 1990. 55. № 5. p. 549 -555.

219. Pilkington, M., and J.P. Todoeschuck, Naturally smooth inversions with a priori information from well logs // Geophysics, 56, 1811-1818, 1991.

220. Pilkington, M., M.E. Gregotski, and J.P. Todoeschuck, Using fractal crustal magnetization models in magnetic interpretation // Geophys. Prosp., 42, 677-692, 1994.

221. Rapp R.H Gravity Anomalies and Sea Surface Heights Derived from a Combined GEOS-3/SEASET Altimeter DATA Set // J. Geophys. Res., 1986, vol. 91, No. B5, pp. 4867-4876.t

222. Rapp R. H., Wang Y.M., Paulis N.K. The Ohio State 1991 Geopotential and Sea Surface Topography Harmonic Coefficient Models. Dep. Of Geod. Sei. And Surv., Rep. 410, The Ohio State Univ., Columbus, Ohio, 1991.

223. Reigber C., Balmino G., Mueller H., Bosch W., Mognot B. GRIM Gravity Model Improvement Using LAGEOS ( GRIM3-L1). //J.Geophys.Res., 1985, vol.90, No B11, pp.9285-9299.

224. Reigber Ch, Balmino G., MoynotB., Mueller H. The GRIM3 Earth gravity field model // manuscripta geodaetica , 1983, vol. 8, pp. 93-138.

225. Rondenay, S., Bostock, M. G., Shragge, J. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 3,Application to the Cascadia 1993 data set // J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12 ,p. 30, 771.

226. Routh, P.S., and Oldenburg, D. W. Electromagnetic coupling in frequency -domain induced polarization: a method for removal //

227. Geophysical Journal International, 2001, Vol 145, pp 59 76.

228. Sanso F., RummelR. (Eds.) : Theory of Satellite Geodesy and Gravity Field Determination. Springer Verlag, Berlin (1989).

229. Settle M., TaranikJ. V. Mapping the Earth's Magnetic and Gravity Field from Space. Current Status and Future Prospects // Adv. Space Res., 1983, vol.3, No 2,pp.l47-155.

230. Shragge, J., Bostock, M. G.,; Rondenay, S. Multiparameter two-dimensional inversion of scattered teleseismic body waves, 2,Numerical examples //J. Geophys Res., 2001, Vol 106, No. 12 ,p. 30,797.

231. Sneeuw N. Global Spherical Harmonic Analysis by Least-Squares and ^ umerical Quadrature Methods in Historial Perspective : Geophys. J. Int.,1994, pp. 707-716.

232. Stenger M. Das Gravimetrie-Problem—theoretische und numerische Aspekte eines neuen Multiskalenverfahrens, Diploma Thesis, Geomathematics Group, Dept. of Mathematics, University of Kaiserslautern, 1999.

233. Strakhov V.N., Schaefer U., Strakhov A. V. Neue lineare approximation linearer elemente des Gravitationsfeldes der Erde. Probleme nud Perspsctiven II Progress in Geodetic Science at GW 98. Als Ms. Gebr. -Aachen : Shaker, 1998. P. 315-322.

234. Strakhov V.N., Strakhov A. V., Teterin D.E.,Stepanova I.E.,Schaefer U. Algorithms for synthezing the Earth's gravity field // EGS XXI General Assembly. Vienna, 1997.

235. Suenkel H. (Ed.) Mathematical and Numerical Techniques in Physical Geodesy. : Lecture Notes in Earth Sciences, vol. 7, Springer-Verlag, Berlin, 548 p, 1986.

236. Thong N.C. Untersuchungen zur Loesung der fixen gravimetrischen Randwertprobleme mittels sphaeroidaler und Greenscher Functionen. : Deutsche Geodaet. Komm. B.d. Bayer Akd. Der Wiss., Reihe C., Heft Nr. 339, Muenchen, 1993.

237. Tscherning C. C. Computation of Second Order Derivatives of the Normal Potential on the representation by a Legendre Series // manuscripta geodaetica, 1976, vol. 1, pp. 71-92.

238. Tscherning C.C., RappR.H., GoadC.C. A Comparison of Methods for Computing Gravimetric Quantaties from High Degree Spherical Harmonic Expansions // manuscripta geodaetica, 1983, vol. 8, pp. 246-272.

239. Vandergheynst P., Ondelettes Directionnelles et Ondelettes sur la Sphere, Ph.D. thesis, Catholic University of Louvain, Louvain-la-Neuve, 1998.

240. Wenzel H.-G. Hochaufloesende Kugelfunktionsmodelle fuer das fj) Gravitationspotential der Erde. Wiss. Arbeiten der Fachrichtung

241. Vermessungswesen der Universitaet Hannover, Nr. 137, Hannover, 1985.

242. Zhang Z, and Oldenburg D.W. Recovering Magnetic Susceptibility from EM Data over a ID Earth // Geophysical Journal International, 130, No.2, pp 422-434.W

Информация о работе

Арсанукаев, Зайнды Зиявдиевич
доктора физико-математических наук
Москва, 2005
ВАК 25.00.10

Диссертация

Восстановление гравитационного поля в дискретной постановке при решении интерпретационных задач - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы