Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Новые классы точных решений краевых задач теории упругости, имеющих приложения в геофизике

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Текст научной работыДиссертация по геологии, доктора физико-математических наук, Цыбин, Николай Николаевич, Москва

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ АВИАЦИОННЫХ СИСТЕМ

на правах рукописи УДК 550.311:551.24 ,

ЦЫБИН НИКОЛАИ НИКОЛАЕВИЧ

НОВЫЕ КЛАССЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ, ИМЕЮЩИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В

ГЕОФИЗИКЕ

04.00.22 - физика твердой Земли

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

/Москва - 1999 о

¿Ы """' "

.....

С

СОДЕРЖАНИЕ

.................................................Л

I. ОбОбЩЕННОЕ ПРЕОбРАЗОВАНИЕ бОРЕЛН В КЛАССЕ КВАЗИЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

1.1. Преобразование Бореля в классе № квазицелых функций............................................

1.2. Обобщенное преобразование Бореля для КЦФ из класса

«.............................................т

Выводы.............. ............................3«

II. Б1ЛОРТОГОНАЛЬНЫЁ РАЗЛОЖЕНИЯ В ОСНОВНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 2.1. Биортогональные разложения в первой основной краевой задаче теории упругости....................Л5

2.1.1. Постановка задачи..............................Д2

2.1.2. Биортогональные системы функций...... ...........А/.

2.1.3. Полнота систем однородных решений {Ие (^а (у))} в

Ь2(Г)...........................................49

2.1.4. Другое представление биортогональных разложений

2.1.5. Биортогональные разложения.....................

2.1.6. Разложения Лагранжа. Сходимость биортогональных разложений к своим функциям. Разложение П.Ф.Папко-вича...........................................

2.1.7. Примеры биортогональных разложений..... .........73.

2.1.8. Асимптотические формулы для напряжений.........ЗД

2.1.9. Численные результаты............................Ш

2.1.10. Сосредоточенный диполь на торце полуполосы......$2

2.1.11. Неединственность решения краевой задачи теории упругости в области с угловыми точками границы...

2.2. Виортогональные разложения в третьей основной краевой задаче теории упругости...................9А

2.2.1. Постановка задачи..............................Я&

2.2.2. Виортогональные системы функций..... ..........шч

2.2.3. Полнота системы функций {1,Ие ик(у),1т ик(у)} в Ь2(Г)..........................................106

2.2.4. Другое представление Оиортогональных разложений

2.2.5. Виортогональные разложения.....................1.1Л

2.2.6. Примеры Оиортогональных разложений____ ........ш

2.2.7. Численные результаты..........................

Выводы............... ...........................ш

111. ВИОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В СМЕШАННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СЕСКОНЕЧНОИ ПОЛОСЫ

3.1. Смешанная краевая задача для гармонического оператора в бесконечной полосе...................../Г

3.2. Смешанная краевая задача для Оигармонического оператора в бесконечной полосе I..................

3.3. Смешанная краевая задача для Оигармонического оператора в Оесконечной полосе II.................1&А

Выводы.............. ...........................т

IV. ИЗГИб ЗАЩЕМЛЕННОЙ ПО КОНТУРУ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ. ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ

4.1. Постановка проблемы.......... ...................Ш

4.2. 'Георемы базисности и биортогональные системы функций...........................................У.^

4.3. Построение биортогональных разложений..........1&7.

4.4. Разложения Лагранжа и нетривиальные представления

нуля...........................................№

Выводы.............. ............................т

ЗАКЛЮЧЕНИЕ....................................

ЛИТЕРАТУРА....................................Я39

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена построению новых классов точных решений некоторых основных и смешанных краевых задач плоской теории упругости, а также задач изгиба тонких плит в прямоугольной области.

Теория упругости играет весьма важную роль в различных областях геофизики: тектонофизике, горной механике, при построении моделей механики очага землетрямений и т.д.

Между тем, класс задач теории упругости, для которых найдены точные решения, незначителен. Причем, не построены точные решения для наиболее важных краевых задач для конечных областей с негладкой границей. Не построены точные решения смешанных задач теории упругости, а также важнейших задач изгиба плит, хотя активные работы в этом направлении ведутся уже более 100 лет.

Существующие точные решения для конечных областей с угловыми точками границы следует рассматривать, скорее, как исключения, т.к. они не отражают в полной мере глубины проблем, присущих теории упругости.

Более того, не изучено в полной мере распределение напряжений даже для бесконечных областей с угловыми точками, например, для клина (эта задача играет основополагающую роль, в частности, при построении поля напряжений в областях тройных сочленений). После появления в 1958 г. знаменитой работы Койтера-Стернберга Й25! казалось, что задача для бесконечно-

го клина полностью исследована. Однако, через 30 лет дискуссия развернулась вновь [212 ]. Задача для клина показательна потому, что она демонстрирует наше недопонимание явлений, происходящих в упругой области, содержащей угловые точки границы. Следовательно, сразу же встает вопрос о доверии к широко применяемым в геофизике численным методам решения краевых задач теории упругости для конечных областей с негладкой границей.

Сложившаяся ситуация объясняется отсутствием математического аппарата, позволяющего находить аналитические решения задач теории упругости для конечных канонических областей, содержащих угловые точки границы.

Такой аппарат предложен в диссертации. С использованием этого аппарата к настоящему времени решены только отдельные частные (на наш взгляд, наиболее важные) краевые задачи теории упругости для конечных областей с угловыми точками границы. Однако, на основании уже имеющихся точных решений можно сделать следующие важные выводы: ♦ способ замены конечного упругого пространства бесконечным пространством или полупространством, используемый в геофизике для получения аналитических решений (например, в различных моделях точечного источника), в общем случае не корректен для областей, содержащих угловые точки границы или точки смены типа граничных условий, причем эта некорректность не может быть устранена при переходе к конечной области, если при этом строится численное решение. Это означает, что для таких областей некорректны прибли-

женные методы решения краевых задач теории упругости. Однако, для них, на основе полученных результатов, можно указать классы корректности, что чрезвычайно важно для получения надежных численных результатов;

♦ напряженное состояние вблизи угловых точек границы (например, в местах тройных сочленений) или точек смены типов граничных условий (например, различного рода включений) характеризуется неустойчивостью, которая может быть выявлена только на основе предлагаемого в диссертации аналитического подхода;

♦ малые изменения граничных условий вдоль границ области (разломов) вблизи угловых точек границы, могут приводить к сколь угодно большим изменениям напряженного состояния внутри области.

Эти выводы позволяют по-новому взглянуть на некоторые проблемы геофизики.

В частности, полученные в диссертации результаты

♦ позволяют уточнить классические модели точечных источников с учетом конечности области и наличия угловых точек границы;

♦ позволяют в новой постановке рассмотреть задачи распределения напряжений в местах тройных сочленений. Ясное понимание явлений, происходящих в этих областях, невозможно без пересмотра (на основе предлагаемой теории) классических решений теории упругости для бесконечного клина;

♦ дают возможность объяснить явление возможной неустойчивости напряженного состояния (т.е. резкое изменение картины

распределения напряжений, возникающих при весьма малых изменениях внешних воздействий на границе) в литосферных плитах вблизи сочленений и пересечения разломов или вблизи областей резкого изменения направления их простирания. Источником (спусковым механизмом) таких изменений могут являться землетрясения небольшой магнитуды или локальный асейсмичный крип вдоль разлома вблизи нерегулярных точек границы. При этом изменения напряженного состояния, мгновенно распространяющиеся вдоль разломов, могут переводить эти разломы из слабоактивного режима в активный и наоборот;

♦ позволяют дать точную картину движения вязкой жидкости ( мантии) вблизи нерегулярностей типа включений и угловых точек границы;

♦ дают возможность указать классы корректности краевых задач теории упругости для конечных областей с угловыми точками, что чрезвычайно важно для получения надежных численных результатов в геофизике.

Этот список может быть значительно расширен, если учесть, что на основе предлагаемого метода могут быть построены новые точные решения классических задач трехмерной теории упругости, а также решения динамических задач теории упругости для конечных областей, имеющих угловые точки границы.

Диссертация состоит из введения, обзора, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

В первой главе вводится обобщенное преобразование Бореля для класса квазицелых функций (КЦФ), аналогичного венеровско-му [7,34.183] для целых функций (ЦФ), и исследуются некоторые свойства этого преобразования. Для КЦФ устанавливаются

. 8

теоремы типа теорем Пэли-Винера для ЦФ. На результаты этой главы опирается, в частности, доказательство существования биортогональных систем функций, доказательство полноты систем однородных решений и т.п.

Вторая глава занимает центральное место в работе. Здесь построены системы функций, биортогональные на некотором контуре, лежащем на римановой поверхности логарифма, к расширениям Коши систем однородных решений. Такое понятие биортогональности является естественным обобщением понятия биортогональности на отрезке. Продемонстрированы возможности метода при доказательстве полноты систем однородных решений. Доказана сходимость разложений, полученных при помощи биортогональных систем функций, (такие разложения называются в работе биортогональными) к своим функциям. Установлена связь между биортогональными разложениями, разложениями Лагранжа, подобными изучавшимся в работах [97-102,115,116], и соотношением ортогональности Папковича. Приведены простые примеры биортогональных разложений (формулы для коэффициентов биортогональных разложений выражаются через элементарные функции) . Даны примеры анализа сходимости рядов однородных решений. Исследована природа нуль-разложений. Приведены численные результаты.

В третьей главе с помощью биортогональных разложений получено решение смешанной краевой задачи теории упругости для бесконечной полосы, когда на каждой из сторон полосы имеется только по одной точке смены типа граничных условий (по-суще-ству, задача сопряжения по торцам двух полуполос). Решение в

каждой из полуполос ищется в виде рядов по однородным решениям (9). Вводятся две специальные системы однородных решений, полные и минимальные на прямой, соединяющей точки смены типов граничных условий. В результате задача сводится к биор-тогональным разложениям на этой прямой по введенным системам однородных решений. Таким образом, проблема построения решения смешанной краевой задачи теории упругости в бесконечной полосе, когда на каждой стороне полосы имеется не более одной точки смены типа граничных условий, приводится к проблемам, рассматривавшимся ранее в рамках основных краевых задач теории упругости. Окончательно решение представляется рядами однородных решений в каждой полуполосе.

В четвертой главе впервые дается точное решение задачи об изгибе защемленной по контуру прямоугольной пластинки. В качестве примера рассмотрена классическая задача об изгибе тонкой плиты равномерным давлением. Дано сравнение полученного точного решения с наиболее известными приближенными решениями различных авторов.

С целью максимально упростить изложение, были выбраны самые простые канонические области (как правило, полуполоса -вместо конечной полосы), самые простые схемы нагружений (симметричное относительно оси полуполосы нагружение), самые простые варианты нагрузок (полиномиальные, тригонометрические -вместо функций общего вида) и т.п. При доказательстве различных утверждений упор был сделан на выявление существа этих утверждений (строгое их доказательство, как правило, связано с привлечением методов и средств теории целых и квази-

целых функций, которые нельзя назвать широко известными). Кроме того, часть материала была вынесена в раздел "Дополнения и замечания", помещенный в конце каждой главы. Здесь в сжатой форме представлены результаты, не включенные в основной текст работы, указаны возможные обобщения основных результатов, а также их связь с некоторыми близкими исследованиями других авторов.

ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ М ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Естественный путь решения краевых задач теории упругости в прямоугольной области состоит в использовании метода разделения переменных. Именно таким образом были получены известные решения Файлоном и Рибьером [181,215], которые свели краевую задачу для бигармонического оператора в прямоугольнике к одновременному разложению двух заданных на отрезке функций в ряды по тригонометрическим системам функций. Тригонометрические системы функций, по которым выполняются разложения, удовлетворяют некоторым однородным граничным условиям по двум противоположным (продольным) сторонам полосы. Эти граничные условия в случае плоской задачи теории упругости исчерпываются следующими двумя возможными вариантами: I) заданием по продольным сторонам полосы нулевых касательных смещений и нормальных напряжений; 2) заданием по продольным сторонам полосы нулевых касательных напряжений и нормальных смещений. Для других граничных условий появляются ьолее сложные, чем тригонометрические, системы функций, основным "недостатком" которых является то, что они не обладают внутренней ортогональностью на отрезке (как это имеет место в случае тригонометрических систем функций) и, следовательно, не позволяют получать

эффективные разложения по этим системам функций. Так как рассматриваемые функции удовлетворяют каким-либо двум однородным граничным условиям, то они были названы однородными решениями [119] (позже однородными решениями стали называть также любые производные от собственно однородных решений).

Покажем, как вводятся однородные решения в рассматриваемых в работе краевых задачах. Сделаем это на примере краевой задачи для полуполосы.

В полуполосе (|у| ^ 1, х ^ 0) рассмотрим краевую задачу

ЛЛФ(х,у) =о (|у| < 1, х > о)

Р^х.у) - Р2Ф(х,у) = О (х,у € 7) (2)

-

<2±Ф(х,у) = сх(у), <32Ф(х,у) = |3(у) (у € Г) (3)

условия на бесконечности (х -»<») (4)

Здесь |Г : х = О, у € (-1,1)| - торец полуполосы, а 7 -совокупность горизонтальных сторон {(х,у) : X € (О,оо) , у = =± 1), Рп, <Зп (п=1,2) - дифференциальные операторы, определяемые граничными условиями по продольным сторонам 7 и торцу Г. Решение задачи (1)-(4) будем искать в виде произведения

Ф(х,у) = ?(Л-,у)еАр< С?)

Подставляя равенство (5) в уравнение (I) и граничные условия (2), приходим к краевой задаче на собственные значения, порожденной обыкновенным дифференциальным уравнением

+ 2Л,2Р" (Л,,у) + А.4Р(А.,у) = О (6)

и краевыми условиями при у = ±1

= 1С2Р(А.,у) = 0, (7)

где х1 и %2 - обыкновенные дифференциальные операторы, зависящие от комплексного параметра К, получающиеся из соответствующих операторов Р1 и Р2 в результате подстановки (5).

Характеристическое уравнение

Ь(Л.) = 0 (8)

краевой задачи (6), (7) кроме нулевых имеет также счетное

множество вообщем комплексных корней {Л,к)^=1 , которым соответствуют собственные функции ТогДа бигармо-ническая функция Ф(х,у) может быть представлена в виде ряда

00 Л,, X

Ф(х,у) = Ф0(х,у) +^акРк(Л,к,у)е й (9)

где Ф (х,у) - бигармонический полином, отвечающий нулевым

корням уравнения (8), {ак}£=1 - произвольные комплексные числа .

Представление (9) бигармонической функции удовлетворяет уравнению (I) и краевым условиям (2), а подстановка его в условия (3) приводит к разложениям

а (у) = 2 а^С^.У) к=1

00

Р(у) = 2 акрк(\'у) к=1

из которых должны быть найдены неизвестные коэффициенты разложений (элементарное решение, соответствующее функции Ф0, для простоты опущено).

Функции ^(А^.у) и Рк(\.У) ~ однородные решения.

Функция Ъ(А-) (для любой из основных краевых задач теории упругости) является целой, экспоненциального типа равного двум, а ее комплексные нули расположены в четырех квадрантах комплексной плоскости X так, что каждому номеру к соответствует набор из четырех нулей {±А,к, ±7Ск) и, следовательно,

четыре коэффициента {ак)к=1 ряда (9). Однако, из условий на

бесконечности (х -*- <») суммирование в (9) и (10) производится только по Л,к с Ие Л-к < 0. Поэтому вместо разложений (10) получаем следующие

а(У) = 2 2Яе

(11)

Р(у) = 2 2Пе (акрк(^к,у)}, у е Г

Существуют многочисленные приближенные методы определения неизвестных коэффициентов разложений {ак, ак) из соотношений

(II) (небольшой обзор этих методов будет дан ниже). Однако явных формул, выражающих коэффициетны {ак, ак) через заданные

на торце полуполосы Г функции а(у) и (3(у) (например, анало-

гичных тем, какие имеют место для разложений Файлона и Рибье-ра) не найдено. Очевидно, это связано с тем, что однородные решения <\(А,к,у) и Рк(\>У) не обладают внутренн