Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Напряженное состояние плоских областей с негладкой границей

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Коваленко, Михаил Денисович

Введение

1 Преобразование Бореля в классе W квазицелых 7 Ф функций

1.1 Класс W квазицелых функций

1.2 Равенства типа Парсеваля

1.3 Примеры

1.4 Обобщения

1.5 Выводы

2 О базисных свойствах систем однородных решений

2.1 Биортогональная система функций

2.2 Разложения Лагранжа по однородным решениям

2.3 Разложение Лагранжа по другим системам однородных решений

Ф 2.4 Выводы

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Напряженное состояние плоских областей с негладкой границей"

Целью работы является метод решения некоторых классических краевых проблем плоской теории упругости для конечных областей с негладкой границей.

Теория упругости играет фундаментальную роль в геофизике. Между тем, круг задач, для которых получены точные решения, незначителен. Причем, нет точных решений для наиболее важных краевых задач: для конечных областей с угловыми точками границы и точками смены типа граничных условий.

Если задаться вопросом, почему более 100 лет не удавалось построить решения фундаментальных краевых задач теории упругости, например, для прямоугольника с заданными на его сторонах напряжениями, то кратко ответить на него можно так: наличие конечного характерного размера (например, ширина прямоугольной полосы) приводит к тому, что угловая точка обладает двойственной природой. С одной стороны, она остается подобной всем остальным точкам области, то есть обладает всеми характеристиками, приписываемыми ей в рамках механики деформируемого твердого тела. А с другой стороны, она ведет себя как математическая точка, то есть просто как элемент, бесконечно малый по сравнению с характерным размером области. Иными словами, как элемент микроуровня.

Необходимо было построить математический аппарат, способный учитывать эту двойственность. Таким аппаратом является теория преобразования Бореля в классе W квазицелых функций экспоненциального типа, развитая в первой главе диссертации.

Во второй главе, на основе этого аппарата, изучены базисные свойства систем однородных решений теории упругости и построены, так называемые, разложения Лагранжа по однородным решениям, играющие фундаментальную роль в решении краевых задач теории упругости.

В третьей главе дается метод решения краевых задач плоской теории упругости в прямоугольной области. Метод проиллюстрирован примерами точных решений некоторых классических задач теории упругости. Показано, что двойственность свойств угловых точек приводит к тому, что для обеспечения единственности рещения краевой задачи в прямоугольнике, необходимо задавать величину работы, совершаемой в угловых точках. Решение, отвечающее нулевой работе, можно рассматривать как классическое, так как в этом случае угловая точка оказывается равноправной с другими точками области, то есть теряет свойство точки как математического объекта, а, значит, и свойство двойственности.

Полученные результаты позволяют рассматривать угловые точки тектонических плит как особые - триггерные точки, которые, возможно, отвечают за быстрые изменения напряженного состояния плит. Такие изменения напряженно-деформированного состояния могут быть инициированы не только изменениями напряженного состояния в малых окрестностях угловых точек области, но, возможно, изменениями внутренней структуры и реологии этих областей. Это может быть обусловлено как разупрочнением зон вблизи угловых точек под действием сейсмических, тектонических, термических и других процессов. Так и, наоборот, их упрочнением, например, при возникновении областей сейсмического затишья.

В четвертой главе дан метод построения точных решений смешанных краевых задач теории упругости.

Один из наиболее важных результатов, полученных здесь, заключается в том, что точки смены типа граничных условий (в частности, вершины разломов), подобно угловым точкам области, могут выступать в роли источников или стоков упругой энергии деформации. В приложении к геофизике это может означать, например, что сброс энергии деформации в литосферных плитах с разломами может не сопровождаться ростом трещины, а происходить за счет процессов поглощения упругой энергии в малой окрестности вершины разлома.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Коваленко, Михаил Денисович

4.4 Выводы

Решение смешанных краевых задач теории упругости связано со следующими основными трудностями

1. Построение порождающей функции, общей для правой и левой полуполос. Это весьма непростая проблема и пока не понятно разрешима ли она для произвольных комбинаций условий справа и слева от точки смены типа граничных условий. Для гармонического оператора и в задаче о стыке двух полуполос (2.1 и 2.2) она решается весьма просто, так как там нужно было построить порождающую функцию для системы экспонент. Ясно, что это будет просто экспонента егХу, где параметр Л принимает значения на части собственных чисел для правой полуполосы и на части собственных чисел для левой полуполосы. Для задачи о полосе с разрезом порождающую функцию удалось эффективно построить благодаря применению метода начальных функций путем такого выбора начальных функций (3.19), что они оказались заданными одинаковыми аналитическими выражениями для левой и правой полуполос. Из-за этого удалось получить одинаковые аналитические выражения для напряжений и перемещений справа и слева (3.29) и, как следствие, общее выражение для порождающей функции.

2. Вторая проблема - выделение базисных систем функций из неминимальных систем однородных решений, участвующих в условиях стыка на линии, соединяющей точки смены типов граничных условий на верхней и нижней сторонах полосы. Причем, базисность в гармонической задаче и задаче о стыке полуполос понимается в классическом смысле, а в последней задаче - в смысле глав 2 и 3. Эта проблема решена во втором параграфе (формулы (2.7) и (3.30)). Смысл операции (3.30) состоит в том, чтобы перейти от систем функций, содержащих тригонометрические функции, к системам функций, содержащим экспоненты. Затем отбросить часть собственных значений, скажем для правой полуполосы, заменив их эквивалентным множеством собственных значений для левой полуполосы. По существу, это та же операция, что и гармонической задаче, но только более сложная, так как в этом случае на стыке полуполос уже будет не два (1.4), а четыре граничных условия (2.5).

3. Третья проблема - это построение разложений по системам однородных решений. Эта проблема рассматривалась во второй и третьей главах. Формально здесь она та же и решается теми же средствами. Трудность состоит в том, что приходится работать не с аналитическими представлениями (целых функций) для собственных значений, а с плохо сходящимися бесконечными произведениями, которые возникают, как результат единой системы однородных решений, составленной из решений для правой и левой полу поло с.

4. Наконец, четвертая проблема - неединственность решения смешанной краевой задачи, что было продемонстрировано в разделе 4.3. Оказалось, что точки смены типа граничных условий, как и угловые точки границы, могут быть источником или стоком энергии деформации. То есть для одних 'и тех же граничных условий можно указать несколько возможных напряженно-деформированных состояний.

В задаче для полосы с разрезом мы ограничились решениями для двух таких состояний. Можно показать, что второе решение (его аналог - решение (6.16) из третьей главы) - это решение с большей энергией деформации, чем первое решение (его аналог - решение (6.14)). Но тогда, переход от второго решения к первому, то есть, по-существу сброс энергии в вершине разреза (точка смены типа граничных условий), может происходить без продвижения трещины, а только за счет некоторых процессов, протекающих в вершине разреза на микроуровне. Это может быть, например, межблоковое скольжение в небольшой зоне, инициированное увеличеним концентрации флюида.

Как и в главе 3, можно показать, что классическим решением задачи для полосы с разрезом, является второе решение.

Чтобы его построить нужно было воспользоваться представлением (3.62) (в виде ряда экспонент) функции, участвующей в би-ортогональных разложениях (3.36). Обратим внимание, что при решении первой основной краевой задачи для этих целей было использовано так же представление по системе экспонент, но с обычнами вещественными показателями к7Г, то есть, по существу, разложение в обычный ряд Фурье.

В общем случае, в зависимости от комбинаций граничных условий слева и справа от точки смены типа граничных условий, для того чтобы получить классическое решение, приходится выполнять разложения такого рода по определенной системе экспонент. Причем вид этой системы полностью определяется рассматриваемой краевой задачей.

Почему так происходит, до конца не понятно. Скорее всего это свидетельствует о различных механизмах состояния в точках смены типа граничных условий или угловых точках, соответствующих определению классического решения (то есть решения без притока или оттока энергии). m

Заключение

1. Развита теория преобразования Бореля в классе W квазицелых функций экспоненциального типа, которую можно рассматривать как аналог теории Пэли - Винера для целых функций.

2. На основе теории преобразования Бореля разработан метод решения основных краевых задач теории упругости в прямоугольнике и получены примеры точных решений наиболее известных, классических задач плоской теории упругости. Обнаружено, что для обеспечения единственности решения краевых задач для конечных областей с негладкой границей надо задавать дополнительно величину работы, совершаемой в угловых точках.

3. Разработан метод решения смешанных краевых задач теории упругости и даны примеры точных решений нескольких краевых задач. Оказалось, что, как и в случае угловых точек, для обеспечения единственности решения смешанной краевой задачи нужно задавать дополнительно работу в точке смены типа граничных условий.

4. На основе новых эффектов, связанных со способностью угловых точек и точек смены типа граничных условий накапливать (сбрасывать) упругую энергию деформации, предложен возможный механизм быстрых изменений напряженного состояния тектонических плит, а также механизм сброса упругой энергии деформации в вершине разлома. ш

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Коваленко, Михаил Денисович, Москва

1. Авдонин С.А. К вопросу о базисах Рисса из показательных функций в L // Вестник Ленинградского университета. Математика. 1974. № 13. С.5-12.

2. Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев. АН УССР. 1963. 350 с.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука. 1965. 407с.

4. Ахиезер Н.И., Левин Б .Я. Об интеполировании целых трансцендентных функций конечной степени// Записки матем. отделения физ.-мат. ф-та ХГУ и Харьк. матем. об-ва. 1952.Т, 23. С.5-26.

5. Ахиезер Н.И. О некоторых свойствах целых функций экспоненциального типа // Изв. АН СССР. Сер матем. 1946. Т. 10. №5. С. 411-428.

6. Ахиезер Н.И. Об интерполировании целых трансцендентных функций конечной степени // Доклады АН СССР. 1949. Т. 65. №6. С.781-784.

7. Артюшков Е.В. Геодинамика. М.: Наука. 1979.327 с.

8. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 4.1 М.: Наука. 1974. 294с.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. 4.2. М.: Наука. 1974. 295с.

10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1 М.: Наука. 1969. 343с.

11. Бейтмен., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т.2 М.: Наука. 1970. 327с.

12. Бибербах JI. Аналитическое продолжение. М.: Наука. 1967. 239с.

13. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир. 1968. 276с.

14. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука. 1980. 974с.

15. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука. 1977. 286с.

16. Буланов Г.С., Шалдырван В.А. О методе однородных решений в задачах со смешанными граничными условиями // Прикладная механика. 1989. Т.25. № 9. С. 21-30.

17. Буланов Г.С., Шалдырван В.А. К улучшению сходимости метода однородных решений // ПММ. 1980. Т.44. Вып. 5. С. 957960.

18. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука. 1964. 267с.

19. Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат. 1975. 224с.

20. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. М.: 1958. 456с.

21. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1988. 512с.

22. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды 2-го Всесоюз. съезда по теорет. и прикл. механике: Механика твердого тела. М.: Наука. 1966. С.116-137.

23. Ворович И.И., Ковальчук В.Е. О базисных свойствах одной системы однородных решений // ПММ. 1967. Т.31. Вып. 5. С.861-869.

24. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука. 1974. 455с.

25. Галфанян П.О. Решение одной смешанной задачи теории упругости для прямоугольника. // Изв. АН Арм.ССР. сер. физ.-мат. наук. 1964. Т.27. № 1. С. 39-62.

26. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз. 1959. 439с.

27. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука. 1967. 375с.

28. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука. 1969. 475с.

29. Головин В.Д. О биортогональных разложениях в L2 по нелинейным комбинациям показательных функций // Записки мех.-матем. ф-та ХГУ и Харьк. матем. об-ва. 1964. Т. 30. Сер. 4. С. 18-29.

30. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Метод однородных решений в смешанной задаче для упругой полуполосы // Прикл. механ. 1990. Т.26 Вып.2. С. 98-108.

31. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О методах однородных решений и суперпозиции в статических граничных задачах для упругой полуполосы. //Прикл. механ. 1986. Т.22. Вып.8. С. 84-93.

32. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О возможностях метода однородных решений в смешанной задаче теории упругости для полуполосы. // Теор. и прикл. механ. 1987. Вып. 18. С. 3-8.

33. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О сходимости разложений по однородным решениям в плоской задаче дляполу полосы с негладкими нагрузками. // Прикл. механ. 1989. Т.25. Вып. 4. С. 76-82.

34. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Асимптотика неиз-вестных при решении методом суперпозиции плоской задачи о продольной деформации упругой полосы. // Прикл. механ. 1988. Т. 24. Вып. 7. С. 77-83.

35. Гомилко A.M., Гринченко В.Т., Мелешко В.В. О методе Фай-лона разложения функций в ряды по однородным решениям в задачах теории упругости. // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. Вып. 4. С. 48-53.

36. Гринберг Г.А., Покровский А.П., Уфлянд Я.С. О характере напряженного состояния упругой тонкой клиновидной плиты с закрепленной и свободной сторонами. // Инж. Сб. 1955. Т. 22. С. 193-198.

37. Гринченко В.Т., Улитко В.Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т.З Равновесие упругих тел конечных размеров. Киев. Наукова Думка. 1985. 385с.

38. Гринченко В.Т., Коваленко А.Д., Улитко В.Ф. Анализ напряженного состояния жестко защемленной пластины на основе решения пространственной задачи теории упругости. Труды 7-го Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластинок. М.: Наука. 1970.

39. Гуревич С.Г. Решение плоской задачи для прямоугольной области, загруженной по краям нормальными усилиями, и применение ее к расчету фланцевых соединений. // Сб.: Прочность элементов паровых турбин. JL: Машгиз. 1951.

40. Гуревич С.Г. Распределение напряжений в прямоугольной плстинке, произвольно нагруженной по краям. // Изв. Ле-нингр. электротехн. ин-та. 1955. № 27. С. 77-122.

41. Гуревич С.Г. К решению смешанной задачи для прямоугольной пластинки. // Изв. Ленингр. электротехн. ин-та. 1958. № 35.С.239-251.

42. Гусейн-Заде М.И. О необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы. // ПММ. 1985. Т.29. Вып.4. С. 452759.

43. Гусейн-Заде М.И. Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы. // ПММ. 1985. Т.29. Вып. 2. С. 393-399.

44. Джанелидзе Г.И., Прокопов В.К. Метод однородных решений в математической теории упругости. // Труды 4-го Всесоюз. Математического съезда. Т. 2. М.: Наука. 1964. С.551-557.

45. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука. 1966. 671с.

46. Диткин В.А. , Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз. 1961. 524с.

47. Драгилев М.М., Захарюта В.П., Коробейник Ю.Ф. Двойственная связь между некоторыми вопросами теории базиса и интерполяции // Доклады АН СССР. 1974. Т.215. № 3. С. 522525.

48. Дубинский Ю.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике //УМН. 1982. Т. 37. Вып. 5. С. 97-137.

49. Дубинский Ю.А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с комплексными аргументами и ее приложения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 1986. Т.29. С. 109-151.

50. Ибрагимов И.И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука. 1971. 518с.

51. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука. 1984. 495с.

52. Келдыш М.В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений // Доклады АН СССР. 1951. Т. 77. № 1.С.11-14.

53. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978. 518с.

54. Китовер К.А. Об использовании специальных систем бигар-монических функций для решения некоторых задач теории упругости. // ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 6. С. 739-748.

55. Коваленко М.Д. О соотношении ортогональности Папковича для прямоугольной полосы//1979. Деп. ВИНИТИ. №2694-79Деп. 11 с.

56. Коваленко М.Д. Передача сосредоточенной нагрузки от краевого ребра жесткости к листу//Сб. Вопросы прочности и долговечности элементов авиационных конструкций. М.: КуАИ. 1979. №5. С. 36-44.

57. Коваленко М.Д., Власов В.В. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для подкрепленной полосы// 1979. Деп. ВИНИТИ. № 2695-79Деп. Юс.

58. Коваленко М.Д., Власов В.В. О соотношении биортогональности Папковича для прямоугольной подкрепленной полосы//

59. Всесоюзн. конф. по теории упругости. Тезисы доклада. Ереван. 1979. 34 с.

60. Коваленко М.Д., Власов В.В. Складчатая коническая оболочка под действием сосредоточенных сил и моментов в вершине// Сб.: Расчеты на прочность. М.: Машиностроение. 1979. № 20.

61. Коваленко М.Д. О решении плоской задачи теории упругости для подкрепленной полосы// Сб. Прочность, устойчивость и колебания элемнентов тонкостенных конструкций. М.: МАИ. 1980. с. 16-22.

62. Коваленко М.Д. Исследование напряженно-деформированного состояния подкрепленных пластин и складчатых призматических систем. Канд. дисс. Москва. 1980. 189 с.

63. Коваленко М.Д., Власов В.В. Контактная задача для подкрепленной полуплоскости//Конф. Расчета, и эксп. методы исслед. физич. процессов. Тезисы доклада. Николаев. 1983. 17

64. Коваленко М.Д. Изгиб полуполосы, защемленной по продольным сторонам с произвольными граничными условиями на торце//Сб. Прикладные проблемы прочности и пластичности. Аннот. докл. Горький ГТУ. 1983.№ 23. с. 114.

65. Коваленко М.Д. О некоторых свойствах системы функций П.Ф. Папковича//Всесоюзн. конф. «Современные проблемы строит, механ. и прочности JIA». Тезисы доклада. М.: 1983.

66. Коваленко М.Д. Передача сосредоточенной нагрузки к листу через периодический набор полубесконечных ребер жесткости// Сб. Вопросы прочности и живучести тонкостенных конструкций. М.: 1984. с. 58-66.

67. Коваленко М.Д., Власов В.В. Об одном методе расчета складчатых систем// в кн. «Механика неоднородных структур». Киев. Наукова думка. 1986. с. 155-166.

68. Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. К вопросу об использовании сред сложной структуры в инженерных расчетах//Сб. Прочность, устойчивость и колебания элементов конструкций JIA. М,: МАИ. 1986. с. 13-19.

69. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения по собственным функциям.1 //Диф. уравнения. 1987. Т. 23. № 10. С. 17641772.

70. Коваленко М.Д. Структура биортогональных разложений по однородным решения// Известия РАН. Механика твердого тела. 1997.№3.с 128. Аннотация доклада.

71. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения по собственным функциям.2 // Диф. уравнения. 1987. Т. 23. № 11. С. 18641873.

72. Коваленко М.Д., Попов Н.Н., Цыбин Н.Н. О некоторых вопросах, возникающих при исследовании движения вязких жидкостей // Труды 10-ой школы-семинара по проблемам трубопроводного транспорта. Уфа. 1987. С.7-8.

73. Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. Контактная задача для изотропной полуплоскости с симметрично подкрепленным краем // Сб. Вопросы прочности, живучести тонкостенных конструкций. М.: МАИ. 1988. С. 8-15.

74. Коваленко М.Д., Федоров Г.В., Цыбин Н.Н. Методы теории функций в некоторых задачах теории колебаний пластин // 2 Всесоюзн. конф. Проблемы виброизоляции машин и приборов. Тезисы доклада. Иркутск. 1989. С. 24.

75. Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. Изгиб защемленной по контуру прямоугольной пластинки. Точное решение // М.: 1998. Деп. в ВИНИТИ от 20.04.98 № 1204-В98. 9с.

76. Коваленко М.Д., Федоров Г.В., Цыбин Н.Н. Использование математических методов анализа состояния в вопросах повышения надежности объектов авиационной техники // Всесо-юзн. конф. Новинки и проблемы ЭТХ-91. Доклад. Звенигород. 1991. С. 74-79.

77. Коваленко М.Д. Методы теории функций в некоторых задачах теории упругости// Прикл. пробл. прочности и пластичности. ГТУ.1989. № 43. Аннот. докл.

78. Коваленко М.Д., Власов В.В. Двукратный базис системы функций Папковича.// Сб. Численные методы строит, механ. М.: МАИ. 1989. с. 16-24.

79. Коваленко М.Д. О сингулярных решениях в смешанных задачах для клина и полосы//Сб. Проблемы прочн. и строит, механ. М.:. 1989. С. 36-44.

80. Коваленко М.Д. Примеры точных решений в первой основной задаче теории упругости в полуполосе// Сб. Проблемы строит, механ. и прочн. J1A. М.: МАИ. 1989. С. 24-31.

81. Коваленко М.Д. О решении некоторых смешанных задач теории упругости// Сб. Пркл. проблемы прочн. и платич. М.: МАИ. 1990. № 46. с. 34-40.

82. Коваленко М.Д., Шибирин С.В. Точные решения в третьей основной задаче теории упругости// Сб. Числ. методы строит, механ. М.: МАИ. 1990 с. 13-20.

83. Коваленко М.Д., Шибирин С.В. Примеры точных решений третьей основной задачи теории упругости в полуполосе// Сб. Проблемы механики конструкций JIA. М.: 1991. с. 16-20.

84. Коваленко М.Д., Шибирин С.В. Смешанные краевые задачи для гармонического и бигармонического операторов в полосе//Деп. ВИНИТИ. 1992.№ 1870-В92.29с.

85. Коваленко М.Д., Шибирин С.В. Примеры точных решений основных краевых задач теории упругости в полуполосе//6-я Международная конф. по теории оболочек и пластин. Доклад. Новгород. 1993. с. 84-90.

86. Коваленко М.Д. Об одной краевой задаче для бигармонического уравнения в полуполосе// Деп. ВИНИТИ. 1992. № 1869-В92. 93 с.

87. Коваленко М.Д.Об одном свойстве биортогональных разложений по однородным решениям // Доклады РАН. 1997. Т.352. № 2. С. 193-195.

88. Коваленко М.Д. Биортогональные разложения в первой основной задаче теории упругости // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 6. С. 956-963.

89. Коваленко М.Д. Разложения Лагранжа и нетривиальные представления нуля по однородным решениям // Доклады РАН. 1997. Т. 352. № 4. С. 480-482.

90. Коваленко М.Д., Шибирин С.В. Полуполоса под действием сосредоточенной силы. Точное решение // Доклады РАН. 1997. Т. 356. С. 763-765.

91. Коваленко М.Д., Шибирин С.В. Стык двух полуполос. Известия РАН. Механика тв. тела. 1997. №1. с. 56-63.

92. Коваленко и др. О точных решениях некоторых основных и смешанных краевых задач теории упругости в прямоугольнике// 7-0й Съезд по теор. и прикл. механ. Тезисы докл. Пермь. 2001.

93. Коваленко М.Д., Цыбин Н.Н. Об одном интегральном преобразовании, применяемом в теории упругости. // Доклады РАН. 1999.Т. 365. № 2. С. 190-192.

94. Коваленко М.Д. О преобразовании Бореля в классе W квазицелых функций// Фундамент, и прикл. матем. 2001. №3. с.761-774.

95. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях // УМН. 1983. Т. 38. №2. С. 3-76.

96. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уровней в области с коническими или угловыми точками // Труды ММО. 1967. Т.16. С. 209-292.

97. Копасенко В.В. Исследование алгебраической системы бесконечного порядка, возникающей при решении задачи для полуполосы // ПММ. Т.37. Вып. 4. С. 715-723. т

98. Копасенко В.В. Две задачи теории упругости для полуполосы // Изв. АН СССР. МТТ. 1968

99. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542с.

100. Коробейник Ю.Ф. О применимости дифференциальных операторов // Сиб. матем. журнал. 1969. Т. 10. № 3. С. 549564.

101. Коробейник Ю.Ф. Об одной интерполяционной задаче для целых функций // Изв. ВУЗов, сер. матем. 1985. № 2. С. 37-45.

102. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т.36. Вып. 1 С. 73-126.

103. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1980. Т. 44 № 5. С. 1066-1114.

104. Коробейник Ю.Ф.Метод канонических биортогональных систем. Приложения к вопросам базисности и интерполяции // ВИНИТИ. № 1178-85. Деп. 1985. 104с.

105. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. математич. 1978. Т. 42. № 2. С. 325-355.

106. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о представлении линейного оператора в виде дифференциального оператора бесконечного порядка//Матеем. заметки. 1974. Т. 16. № 2. С. 277-283.

107. Костарев А.В. Применение соотношений расширенной ортогональности к решению краевых задач теории упругости // Изв. АН АРМ. ССР. сер. Механика. 1973. Т. 26. № 2 С. 1524.

108. Костарев А.В., Прокопов В.К. Соотношение расширенной ортогональности для некоторых задач теории упругости // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 5. С 945-951.

109. Костров Б.В. Механика очага тектонического землетрясения. М.: Наука. 1975.169 с.

110. Коялович Б.М. Исследования о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв. Физ.-мат. института. 1930. № 3. С.41-167.

111. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: ГИФМЛ. 1958. 678с.

112. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ. 1956. 632с.

113. Левин Б.Я. О функциях конечной степени, ограниченных на последовательности точек // Доклады АН СССР. 1949. Т.65. № 3.

114. Левин Б.Я. Обобщение теоремы Картрайт о целой функции ограниченной на последовательности точек // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т.21. С. 549-558.

115. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. Л.: ГИФМЛ. 1963. 358с.

116. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука. 1981. 320q.

117. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 536с.

118. Леонтьев А.Ф. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их применения // Труды 4-го Всесоюзн. Математического съезда. М.: 1961. С. 648-660.

119. Литовченко С.И., Прокопов В.К. Соотношение обобщенной ортогональности в задаче о равновесии упругого цилиндра // ПММ. Т. 37. Вып. 2. С. 285-290.

120. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 939с.

121. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ. 1955. 325с.

122. Лурье А.И. К задаче о равновесии пластины переменной толщины // Труды ЛПИ. 1936. № 6. С. 57-80.

123. Лурье А.И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. Т.6. № 2-3. С. 151-168.

124. Литл. Задача о полуполосе с заделанными краями // Прикладная механика. 1969. № 2. С. 184-186.

125. Лушка О.И. О поведении корней уравнения, определяющего особенность в окрестности вершины составного клина // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. Т. 5. С. 82-92.

126. Маркушевич А.И. Избранные главы теории аналитических функций. М.: Наука. 1976. 190с.

127. Маркушевич А.И. О базисах в пространстве аналитических функций // Матем. сб. 1945. Т. 17. № 2. С. 211-249.

128. Микаелян В.В. Об одной задаче растяжения прямоугольника с упругими накладками // Доклады АН Арм. ССР. 1974. Т.58. № 1.С. 21-27.

129. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир. 1974. 327с.

130. Михайлов С.Е. Сингулярность напряжений в окрестности ребра в составном анизотропном теле и некоторые приложения к композитам // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 5.

131. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Изд. технико-теор. лит. 1954. 351с.

132. Нобл. Б. Метод Винера-Хопфа. М.: Изд. иностр. лит. 1962. 279с.

133. Нуллер Б.М. О соотношении обобщенной ортогональности П.А.Шиффа // ПММ. 1969. № 2. С. 376-383.

134. Нуллер Б.М. Контактные задачи для полос и прямоугольных пластинок, усиленных стержнями // ПММ. 1975. Т. 39. Вып 3. С.959-964.

135. Папкович П.Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит //ПММ. Т. 5 Вып. 3. 1941. С. 359-374.

136. Папкович П.Ф. Теория упругости. М.-Л.: Оборонгиз. 1939. 640с.

137. Папкович П.Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. № 4.

138. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.: Наука. 1977. 311с.

139. Партон А.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука. 1981. 688с.

140. Пельц С.П., Шихман В.М. О сходимости метода однородных решений в динамической смешанной задаче для полуполосы // Доклады АН СССР. 1987. Т.295. № 4. С. 821-824.

141. Попов Г .Я. Концентрация упругих напряжений возле штампов, разрезов, тонких включений и подкреплений. М.: Наука. 1982. 342с.

142. Поля напряжений и деформаций в земной коре. Москва. Наука. 1987. Сб. статей. 185 с.

143. Прокопов В.К. Задача о стесненном изгибе прямоугольной полосы // Инж.сб. 1952. Т. 11. С. 151-160.

144. Прокопов В.К. О соотношении обобщенной ортогональности П.Ф.Папковича для прямоугольной пластинки // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 2 С. 351-355.

145. Прокопов В.К. Однородные решения теории упругости и их приложения к теории тонких пластинок // Труды 2-го Всесоюзного съезда по теоретич. и прикл. механ. М.: Наука. 1966. С. 253-259.

146. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям // Труды JlliH. 1967. № 279. С. 31-46.

147. Прокопов В.К. О соотношениях обобщенной ортогональности, имеющих приложения к теории упругости // Труды симпозиума по механ. сплошной среды и родств. проблемами анализа. Т.4 Тбилиси. Мицниереба. 1973. С. 206-213.

148. Прокопов В.К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // ПММ. 1952. Т. 11. Вып. 1 С. 45-56.

149. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука. 1976. 493с.

150. Ревуженко А.Ф. механика упруго- пластических сред и нестандартный анализ. Новосибирск. 2000.426 с.

151. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917. 305с.

152. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика, т. 1,2. М.: Мир. 1985.

153. Тимошенко С.П., Войковский-Кригер С. Пластинки и оболочки М.: Наука. 1975. 575с.

154. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л.: ГИТТЛ. 1948. 479 с.

155. Устинов Ю.А., Юдович В.И. О полноте элементарных решений биоортогонального уравнения в полуполосе // ПММ. 1973. Т. 37. Вып.№. 3. С. 706-714.

156. Устинов Ю.А. О полноте системы однородных решений теории плит // ПММ. 1976. Т.40. Вып.З. С. 536-543.

157. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Л.: Наука. 1967. 402с.

158. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. М.: Наука. 1977. 219с.

159. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука. 1970. 800с.

160. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука. 1970. 656с.

161. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в технике. М.: Наука. 1971.408с.

162. Шиманский Ю.А. Изгиб пластин. Л.: ОНТИ. 1934. 233с.

163. Шемякин Е.И. О краевых задачах теории упругости для областей с угловыми точками (плоская деформация)// Доклады РАН. 1996. Т.347. №3. с.342-345.

164. Benthem J.P. A Laplace transform method for the solution of semi-infinite and finite strip problems in stress analysis // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1963. V. 16. № 4.P. 413-429.

165. Boas R.P. Assymptotic properties of functions of exponential type // Duke Math. J. 1953. V. 20. № 3. Р/ 433-448.

166. Bogy D.B. Solution of plane end problem for a semiinfinite strip. // Z. Angew. Math. phys. 1975. V. 26. № 6. P. 749-769.

167. Bogy D.B., Sternberg E. The effect of couple-stress on the corner singularity due to an asymmetric sher loading // Int J. Solids Struct. 1968. V. 4. № 2. P. 159-174.

168. Brahtz J.N.A. The stress funchtion and photoelasticity applied to dams // Proc. of the American Soc. of civil end. 1935. V.61 №7. P. 983-1020.

169. Dougall J. An analytical theory of the equilibriym of an iso-topic plate // Trans. Roy. Soc. of Edinbourg. 1904. V 41. part. 1 №8. P. 143-197.

170. Dundurs J., Markenscoff X. The Sternberg-Koiter Conclusion and Other Anomalies of the Concentrated Couple // ASME Journal of Applied Mechanics. 1989. V 56. P. 240.

171. Gregory R.D., Gladwell I. The cantilever beam under tension, bending or flexure at infinity // Jorn. Elasticity. 1982. V. 12. № 4 P. 317-343.

172. Fadle I. Die Selbtspamiungs-Eigenwertfunctionen der quadra-tischen Scheibe Ing. - Arch. 1941. В. 11. № 2. S. 125-149.

173. Filon L.N.G. On the expansion of polynomials in series of functions // Proc. of the London Math. Soc. 1907. V. 4 Ser. 111. P.396.

174. Flugge W., Kelkar V.S. The problem of an elastic circular cylinder // J. Solids Structures. 1968. V. 4 № 4. Р/ 397-420.

175. Fuchs W.N. I. On the Growth of Functions of Mean Type // Proc/ Edinburgh. Math. Soc. 1954. V. 9 № 2. P. 53-70.

176. Koiter W.T. Approximate solution of Wiener-Hopf type integral equations with applications, parts. I-IIII I Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc. 1954. V. 57. P. 558-579.

177. Koiter W.T. On the flexural rigidity of a beam, weakened by transverse saw cuts. I-II // Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc. 1956. V. 56. P. 354-374.

178. Kovalenko M.D., Shibirin S.V. A half-strip under the action of concentrated force: an exact solution to the problem \\ Physics -Docklady, 1997, Vol. 42, No. 10.

179. Kovalenko M.D. Biorthogonal expansions in the first fundamental problem of elasticity theory \\ J. Appl. Math. Mechs. 1991, Vol. 55, No. 6.p.836-843.

180. Kovalenko M.D., Shibirin S.V. A junction of two semistrips// Mechan. of solids. 1997. Vol.32.P.45-51.

181. Kovalenko M.D. The Lagrange expansions end nontrivial representations in terms of homogeneous solutions \\ Physics Dok-lady, 1997, Vol. 42, No. 2.

182. Kovalenko M.D. On a property of biorthogonal expansions in terms of homogeneous solutions \\ Physics Doklady, 1997, Vol. 42, No. 1.

183. Kovalenko M.D. Biorthogonal expansions in eigenfunctions, \\ Differential equations. 1987, Vol. 23, No. 10.

184. Kovalenko M.D. Biorthogonal expansions in eigenfunctions, (part 2.)// Differential equations. 1987, Vol. 23, No. 11.

185. Kovalenko M.D., Tsybin N.N. On an integral transform used in Elasticity Theory // Physics Doklady, 1999, Vol. 44, No. 3.

186. Kovalenko M., Tsybin N. Borel Transformation in the W Class of Quasi-integral Functions and its Applications // 15-th IMACS World Congress on Scientific Computation, Modelling and Applied Mathematics. Berlin. August 1997/ V. 3. P. 545-550.

187. Kovalenko M., Gvishiani A., , Diament MH. Kroehl Y. Murakami, Nechitailenko D., Strakhov V. International Virtual Laboratory on Fundamental and Applied Problems of Elasticity Theory. 17th International COD ATA Conference . Italy. Baveno.2000.

188. Kovalenko M., Murakami Yu., Rebetsky. Yu. New mathematical approach to seismotectonic data studies.// 18th International CODATA Conference . Canada. 2002.

189. Kovalenko M., Murakami Yu., Rebetsky. Yu., Diamond M., Dubois J., Mikhailov V.On the modeling of fst variations mode of deformation of lithosphere plates.// 18th International CODATA Conference. Canada. 2002.

190. Kovalenko M.D. About basic of homogenious solutions to the elasticity theory. Applied Mathematic and Mechanic (in the press).

191. Little R.W., Childs. S.B. Elastostatie boundary region problem in solid cylinders // Quart. Appl. Math/ 1967. V. 25. № 3. P. 71-84.

192. Little R.W. Semi-infinite strip problem with built in edges // Trans. ASME. ser. E. 1969. V. 36. № 2.

193. Pfluger A. Uber eine Interpretation gewisser konvergenz -und Fortsetzungseigenschaften Dirichletscher Reichen //

194. Smith R.C.T. The bending of a semi-infinite strip // Australian J. of Scientific Res. 1952. V. 5. P. 227.

195. Shiff P.A. Sur L'equilibre d'un cylinder d'elastique //1. Math, pures et apple. 1883. T. 3 serie III. Comm. Math. Helv. 1935/36. V. 8. № 89. S. 89-129.

196. Sternberg Т., and Koiter W.T. The Wedge Under a Concentrated Couple: A Paradox in the Two-Dimensional Theory of Elasticity // ASME Journal of Applied Mechanics. 1958. V. 25 PP. 575-581.