Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры

Рок, Владимир Ефимович

Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему
Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры
ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры"

На правах рукописи

РОК Владимир Ефимович

НАСЛЕДСТВЕННЫЕ МОДЕЛИ ПЕРЕХОДНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ГЕОЛОГИЧЕСКИХ СРЕДАХ, СОДЕРЖАЩИХ ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ

Специальность 25.00.10. геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых (физико-математические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

МОСКВА 2004

Работа выполнена в Государственном научном центре Российской Федерации - Всероссийском научно-исследовательском институте геологических, геофизических и геохимических систем (ВНИИгеосистем), г. Москва.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, академик РАН ГОЛЬДИН Сергей Васильевич

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН НИКОЛАЕВ Алексей Всеволодович

доктор физико-математических наук, профессор ФАЙЗУЛЛИН Ирик Султанович

Ведущая организация - Кафедра сейсмометрии и геоакустики геологического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Защита диссертации состоится 28 октября 2004 г. в 14. часов на заседании диссертационного совета Д216.011.01 при ВНИИгеосистем по адресу 117105 Москва, Варшавское шоссе д. 8., конференц-зал. Тел. (095)-954-53-50 факс (095)-958-37-11.

С диссертацией можно познакомится в библиотеке ВНИИгеосистем

Автореферат разослан 27 сентября..2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор геолого-минералогических наук,

профессор

B.C. Лебедев

ВВЕДЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию наследственных пространственно-временных математических моделей распространения переходных (нестационарных) волн в упругих геологических средах, содержащих фрактальные структуры, со статистическим самоподобием относительно масштабных преобразований (скейлинговой симметрией).

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

Процессы распространения возмущений состояния геологических сред, имеющие волновой характер, определяются структурой сред и микроскопическими механизмами процессов, вызывающих эти изменения состояния и приводящих к комплексной дисперсии волн при макроскопическом описании. Макроскопическое описание этих процессов требует либо применения достаточно сложных процедур статистического осреднения их микроскопических параметров, либо привлечения модельных представлений о макроскопических эффективных свойствах среды, для описания которых требуется небольшое количество эмпирических параметров.

В последнее время все больше подтверждений получает представление о том, что во многих случаях нелинейные процессы формирования геологических сред и структур приводят к появлению у них характерных признаков статистической фрактальной скейлинговой симметрии в некоторых диапазонах характерных пространственно-временных масштабов. По существу в этом проявляется не вполне случайный характер свойств геологических сред в различных пространственных точках и в

различные моменты времени, а *: *Уг|1х свойств с

С.Пет«| 03 300

корреляциями, затухающими относительно медленно, степенным образом, по мере удаления точек наблюдения друг от друга. В математической теории случайных функций подобными свойствами обладают случайные процессы, подобные фрактальному броуновскому движению.- Это свойство позволяет сформулировать достаточно общие требования к математическим моделям, которые описывают волновые возмущения, распространяющиеся в. таких средах. Речь идет об эффективном макроскопическом описании указанных процессов в форме промежуточных асимптотик механики сплошных сред.

Многомасштабный спектр процессов, ведущих к релаксации и диссипации возмущений, состояния таких сред,, вырождается, в непрерывный, обладающий характерным степенным асимптотическим поведением. При этом макроскопическая эффективная реакция среды на возбуждение оказывается наследственной, то есть такой, при которой локальное, с макроскопической точки зрения состояние среды определяется предысторией изменения этого состояния в прошлом. Эффективное макроскопическое описание указанных динамических процессов требует конкретизации. наследственных зависимостей, определяющих состояние среды и процессы его изменения при распространении макроскопических возмущений этого состояния. Математически они выражаются в форме нелокальных по времени уравнений состояния, которые приводят к уравнениям распространения волновых возбуждений, имеющим вид интегро-дифференциальных уравнений. Обычно подобные свойства физических систем называют «памятью»

Поскольку свойства скейлинговой симметрии фрактальных элементов структуры проявляются в том, что все указанные уравнения оказываются содержащими интегральные операторы

типа свертки с ядрами, обладающими интегрируемой степенной особенностью, то во многих случаях их удобно представить также в виде дробно-дифференциальных уравнений.

Построение и исследование решений таких уравнений в пространственно-временном: представлении позволяет уточнить связь между наблюдаемыми кинематическими явлениями и эффективными динамическими свойствами сред, уточнить методы геофизических исследований геологических сред, обладающих указанными свойствами, макроскопического воздействия на них с помощью волновых процессов, и, в тех случаях, когда структурные особенности геологических сред проявляются в различных геофизических полях, искать объединяющую г эти проявления физическую основу. Необходимость- в таком, обобщении и разработке аппарата для его выполнения уже давно назрела, поскольку присутствие в геологических системах и структурах признаков статистически фрактального распределения, неоднородностей, имеющих соответствующие проявления в параметрах различных геофизических полей, достаточно широко освещено в научной литературе.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Получение макроскопических эффективных математических моделей распространения возмущений состояния геологических сред, содержащих однородно распределенные статистически фрактальные элементы, удовлетворяющих принципу причинности и макроскопическим свойствам симметрии, включая масштабную инвариантность. Получение и исследование свойств их нестационарных волновых решений в точном пространственно-временном представлении и физическая интерпретация

возникающих эффектов, прежде всего в случае возбуждения макроскопических упругих волн.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ

Предложены и обоснованы, наследственные факторизуемые уравнения распространения волн в. пространственно-временном представлении, пригодные для, причинного описания сейсмоакустических волн в средах, содержащих, масштабно-инвариантные структуры, в приближении промежуточных асимптотик механики сплошных сред. При этом:

♦ Показано, что полученные уравнения соответствуют линейным моделям наследственно-упругих сред со слабосингулярными ядрами наследственности. Предложен вид таких ядер наследственности для различных вариантов ограничений спектра масштабов» статистического самоподобия среды. В основе всех их лежит- модель безгранично масштабируемой фрактально-самоподобной среды, наследственные свойства которой описываются слабосингулярными степенными ядрами абелева типа.

♦ Показана их связь с обобщенными уравнениями диффузии (аномальной диффузии).

♦ Получены достаточно простые квадратурные представления для точных пропагаторов (двухточечных функций Грина) волн, соответствующих плоским, цилиндрическим и сферическим пропагаторам в пространственно-временном представлении для базового случая уравнений со степенными наследственными ядрами абелева типа и исследованы их точный вид и асимптотические свойства.

♦ Показана принципиальная возможность и особенности применения развитых математических моделей для описания поляризованных волн в изотропных и анизотропных, а именно, трансверсально-изотропных, упругих (то есть, эффективно вязко-упругих) сред.

♦ Показано, что волновые пакеты в подобных средах распространяются, достаточно устойчиво сохраняя некоторое время свою форму, при этом затухая и замедляя свое перемещение по мере удаления от источника по почти автомодельному закону.

♦ Показано, что нелинейная монотонная зависимость макроскопических волновых процессов в рассматриваемых сред от основной количественной характеристики их фрактальных свойств может быть использована для контроля за изменением их состояния по наблюдаемой кинематике волновых импульсов.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ В работе показано, что ряд эмпирически обнаруженных и достаточно широко проявляющихся особенностей распространения волновых возмущений состояния геологических сред, таких как степенные в широком диапазоне частот зависимости затухания волн, и, соответственно, слабо изменяющиеся с частотой удельные диссипативные функции, при наличии фрактальной микроструктуры в таких средах могут быть связаны с их внутренней статистически самоподобной симметрией, обусловленной, фрактальными элементами структуры, благодаря которым диссипация возмущений происходит по законам, частотный спектр которых обладает степенной зависимостью от частоты.

Показана применимость такого подхода к описанию закономерностей распространения сейсмоакустических волн. Практически, это позволяет с единой; точки зрения подойти к исследованию взаимосвязи сейсмоакустических волновых свойств подобных сред и проявлениями их структурных особенностей в других, (в том числе гравитационном, электромагнитном) геофизических полях и их аномалиях (флуктуациях).

Полученные результаты могут быть применены для повышения точности геофизических методов, используемых при выделения геологических структур, проявляющих исследованные в работе свойства, и мониторинга их изменений под действием естественных. или техногенных факторов. В частности, эти результаты были использованы при выполнении исследований напряженно-деформированного состояния горных, пород по проектам Министерства природных ресурсов РФ и международному проекту Joule П "Reservoir Oriented Delinitation Technology" no гранту Европейской комиссии No.JOF3-CT95-0019.

ЛИЧНЫЙВКЛАД

Университет г. Берген), проф. Ю.А.Кравцовым (ИКИ РАН), проф. С.Шапиро (Свободный университет, Берлин), проф. Р.Эвансом и А.Дружининым (Британская геологическая служба; Эдинбург), проф. Б.Гуревичем (Технический университет, Перт) и многими другими учеными и специалистами, коллегами по работе, которые принимали участие в- формальных и неформальных научных дискуссиях, посвященных затронутым проблемам, поддержали оформление относящихся к их решению- результатов и способствовали поискам путей их практического применения.

На первоначальном этапе работы внимание автора к задаче о распространении волн в вязко-упругом стержне привлек А.А.Локшин, плодотворное сотрудничество с которым позволило наметить направление развития ряда применяемых в диссертации математических методов. Ему принадлежат результаты, связанные с исследованиями асимптотических свойств прообразов Лапласа по их образам для ряда функций, возникающих в ходе решения математических проблем, относящихся к данному исследованию, с помощью интегральных преобразований Фурье-Лапласа, (тауберовы теоремы). В.свое время результаты А.А.Локшина сыграли важную роль, в развитии использованного в данной работе, метода. В диссертации автору удалось построить уже полные точные решения рассматриваемых уравнений и квадратурные представления ключевых функций и на их основе получить простые и эффективные вычислительные алгоритмы.

С помощью А.Дружинина, в 2002-2004 были реализованы программы для численного моделирования взаимодействия, поля упругих, волн с фрактальными неоднородностями. Некоторые результаты, этих вычислительных экспериментов приведены, в работе в качестве иллюстраций.. Все остальные компьютерные вычисления, в том числе и необходимые для построения

приведенных в работе графиков, выполнены автором в системах Mathematica 5.0 и MathCAD2001i Pro с помощью» алгоритмов, непосредственно, основанных на полученных в работе математических выражениях.

Наконец, хотелось бы отметить глубокое влияние на развитие представлений автора о методах и. идеях, лежащих в основе механики сплошных сред, которое оказал двухсеместровый спецкурс по этому предмету, прочитанный проф. Г.И.Баренблаттом в 1971/72 году на кафедре дифференциальных уравнений отделения математики механико-математического факультета МГУ.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность этим ученым, которые оказали неоценимое влияние на научные исследования, изложенные в данной работе.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации изложены в 28 отечественных и зарубежных научных публикациях, включая одну монографию.

Результаты исследований были представлены и рассмотрены на международных конференциях Европейской ассоциации геоученых и инженеров (EAGE) - 57-й, в Глазго (1995), Великобритания; 58-й в Амстердаме (1996), Нидерланды, 60-й в Лейпциге (1998), ФРГ, 65-й в Ставангере (2003), Норвегия; на V международном симпозиуме «Применение математических методов и компьютеров в геологии, горном деле и металлургии» в Дубне (1998), Россия; на совместном EAGE и SEG (американского Общества. поисковой геофизики) исследовательском семинаре по «Коллекторным горным породам» ('Reservoir Rocks'), в По (2001), Франция; на- международной конференции «Воздействие упругих волн на флюиды в пористых средах» (в рамках международного симпозиума по нелинейной акустики ISNA16), в Москве (2002), Россия; на международной

геофизической конференции «Геофизика XXI века - прорыв в будущее», в Москве (2003), Россия; на объединенной ассамблее Европейского геофизического общества - Американского геофизического союза - Европейского союза наук о Земле (EGS-AGU-EG) в Ницце (2003), Франция; 73-м ежегодном съезде американского Общества разведывательной геофизики (SEG) в Далласе (2003), США; на семинарах в Университете г. Утрехт (1991), Делфтском техническом университете (1991, 2000), Нидерланды, Университете г. Цюрих (1999), Швейцария, Свободном берлинском университете (2000,2002), ФРГ, совместном семинаре Университета г. Эдинбург и Британской геологической службы (2002), Великобритания.

Лежащий в основе работы подход к математическому представлению уравнений распространения волн в наследственно -упругом теле с сингулярными ядрами наследственности специального вида впервые был представлен на заседании Московского математического общества и семинаре под руководством акад. Ю.Н.Работнова на механико-математическом факультете МГУ, соответственно, в ноябре и декабре 1977 года.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, 4 глав и заключения. Она включает 204 страниц текста, 34 рисунков и список литературы из 209 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 1.

Математические модели распространения плоских волн в

структурах, обладающих фрактальными свойствами.

Учет скейлинговой симметрии (масштабной инвариантности) фрактальных структур в уравнениях распространения

нестационарных возмущений в средах, содержащих такие структуры, совместно с требованиями принципа причинности, позволяют получить. варианты уравнений распространения возмущений. Эти уравнения могут служить для описания таких процессов в приближении эффективного макроскопического среднего по промежуточному масштабу поля возмущений, то есть в виде промежуточных асимптотик приближения сплошных сред. Полученные уравнения имеют вид интегро-дифференциальных уравнений наследственного типа со слабо-сингулярными ядрами наследственности («памяти»).

Хорошо изученным примером статистических моделей случайных процессов, обладающих асимптотически степенными корреляционными функциями, служат фрактальные броуновские движения..

Ядра «памяти» рассмотренных, наследственных уравнений являются зависящими от времени функциями, содержащими степенные интегрируемые особенности в знаменателе (и, соответственно, степенные зависимости от спектральной переменной в спектральном представлении).

Количество параметров, входящих в эти ядра, и характеризующих макроскопические эффективные наследственные свойства сред в указанном приближении, определяется диапазоном масштабов самоподобия фрактальных элементов структуры сред, количеством реализуемых на микроуровне механизмов распространения возбуждений и пространственно-временным спектром переходных процессов, которые осредненно описываются в рамках введенных эффективных наследственных моделей.

Для плоских свободных нестационарных волн и{х,1), распространяющихся в рассматриваемых средах, получены следующие наследственные уравнения (максимальная скорость

волн, соответствующая высокочастотному пределу их фазовой скорости, принимается за единицу):

где «*» обозначает свертку функций:

а функции определяющие

наследственную часть приведенного линейного оператора, имеют интегрируемую степенную особенность по 1 и при достаточно простых качественных предположениях о границах масштабов самоподобия могут иметь модельный вид:

где Г(х) - гамма-функция Эйлера, 0 < а < 1, > 0. Важной чертой уравнений вида (1) является факторизуемость соответствующих им линейных операторов.

Рис. 1 иллюстрирует возможность аппроксимации комплексного закона дисперсии плоских волн в широком диапазоне частот (от единиц герц до десятков килогерц, - всего свыше 13 октав), полученного в лабораторных экспериментах в случайно-неоднородной пористой двухфазной среде (водонасыщенном гравии) с помощью модельного наследственного волнового уравнения (1) с функцией (2). В тех случаях, когда не требуется моделирование закона дисперсии в столь широкой полосе частот, в частности, если характерная полоса частот исследуемых распространяющихся макроскопических возбуждений состояния

среды достаточно далека от одной или обеих границ области частот, в которой проявляются фрактальные динамические свойства среды, можно ограничиться частными случаями функций (2), содержащими меньшее количество параметров, за счет обнуления одного или обоих коэффициентов (Д у), входящих в выражение, стоящее в степени показательной функции.

КГи

Рис.1. Скорость Ср и декремент затухания 8Р продольных плоских волн в водонасыщенном гравии (по книге White J.E. Underground sound. Application of Seismic waves, 1983) - широкие пунктирные линии; сплошные тонкие линии — результат их аппроксимации, выполненной автором диссертации с помощью комплексного закона дисперсии, соответствующего модельному уравнению (1) и с ядром наследственности, порожденным функцией (2).

Главным параметром, отражающим в макроскопическом динамическом описании распространения возмущений фрактальную структуру среды, является показатель степени а времени t в ядре

наследственности соответствующих модельных уравнений. Другие параметры связаны с наличием границ скейлинговой симметрии (масштабной инвариантности) свойств; среды по отношению к спектру распространяющихся возмущений (в частотном представлении — частотами, кроссовера - перехода к другим моделям описания волновых процессов).

Математическое описание введенных моделей возможно как с помощью интегро-дифференциальных уравнений с указанными ядрами интегральных операторов типа свертки, так и с помощью интегралов и производных дробного порядка (что удобно при 7=0).

Поскольку для задач, в которых не требуется использование моделей, содержащих все параметры, функции (2) упрощаются, то в простейшем случае отличным от нуля остается только показатель а степени времени t в знаменателе (2).

Глава 2.

Волны в наследственно-упругих телах.

В данный главе проведен математический анализ возможности применения эффективных моделей распространения наследственно-упругих волн, возбужденных в первоначально невозмущенной изотропной и трансверсально-изотропной среде, дополнительно обладающих скрытой скейлинговой (масштабно-инвариантной) симметрией, характерной, в частности, для сред с фрактальной (мультифрактальной) микроструктурой. Наглядное представление об элементе пространственной структуры таких сред дает рис. 2, представляющий визуализацию анизотропного статистически аксиально-симметричного фрактального кластера,

сгенерированного с помощью компьютера.

Рис.2. Визуализация фрактального кластера (в пространстве 500x500x500 элементов).

Тензорный характер уравнений состояния сред, обладающих упругими свойствами относительно быстрых сдвиговых деформаций, с учетом наследственного макроскопического описания этих сред требует замены матричных элементов представления тензора упругих модулей наследственными

операторами, действующими на функции, описывающие зависимость от времени соответствующих составляющих тензоров локальных деформаций. Используя запись закона Гука в виде связи между введенными Томсоном 6-мерными векторами напряжений

а = {а'),СТг,а"з,(Т4,СТ5,<Т6}ги деформации м = {мри2,и3,м4,м5,м6}г с

помощью тензора модулей упругости представленного в этом

пространстве симметричной матрицей второго ранга, можно записать:

С трехмерными компонентами тензоров напряжений <Х(>. и деформации и элементы 6-мерных векторов связаны равенствами:

С учетом эффективных наследственных свойств среды, в этом представлении компоненты тензоров упругих модулей можно представить операторами типа свертки обобщенных функций по схеме:

(Индексы у элементов операторного тензора упругих модулей и соответствующих ядер релаксации в (6) опущены).

Эти операторы содержат необходимое количество наследственных ядер, то есть функций времени, определяющих эффективные наследственные свойства среды. Условия пространственной симметрии наследственно-упругих свойств среды вместе с условиями существования свободно распространяющихся волн устанавливают внутренние связи между элементами наследственных тензоров модулей упругости и приводят к

ограничениям на необходимое количество функций релаксации (или ползучести).

Выполненный анализ позволил получить достаточно простые математические модели, пригодные для описания переходных (нестационарных) волновых полей, соответствующие импульсам, возбужденным источниками, помещенными в первоначально невозмущенную среду любого указанного типа.

Показано, что для полного описания макроскопической кинематики волн и волновых пакетов, то есть импульсов, в изотропной среде с такими свойствами требуется небольшое количество параметров, которые нужны для задания элементов эффективного наследственного тензора модулей упругости. Эти элементы действуют как операторы типа свертки по времени, учитывающие в прастранственно-временном описании наследственные эффекты, связанные с характерной, включающей степенную зависимость от частоты (в спектральной области) комплексной дисперсией волн в описанной среде. Наследственное поведение выражается в данном случае функциями релаксации и ползучести, служащих ядрами соответствующих интегральных операторов, с характерными степенными сингулярными интегрируемыми функциями, как функциями времени (или частоты - в Фурье представлении).

Для изотропных сред данного типа продольные и поперечные волны подчиняются однотипным наследственным уравнениям, отличающимся предельными скоростями распространения волн и наследственными ядрами релаксации. После перехода в каждом из них к единицам измерения времени, в которых исключается из уравнения предельная скорость распространения волн каждой из мод, что можно сделать в силу их независимости, они принимают вид

с вообще говоря различными ядрами релаксации для сдвига и всестороннего сжатия Г (и — соответствующие составляющие вектора смещений). С помощью резольвентных к ним операторов ползучести с ядрами Ф(0, имеющими тот же характер сингулярности, что и соответствующие ядра релаксации, уравнения (7) могут быть представлены в виде (1) с заменой второй производной по пространственной координате на оператор Лапласа:

Для анизотропных сред сформулированы общие принципы построения эффективных наследственно-упругих моделей распространения переходных волн, учитывающие необходимое количество зависящих от времени ядер операторов ползучести и релаксации, которые требуется включить в эффективную модель среды в соответствии с полным набором собственных волновых мод, удовлетворяющих свойствам симметрии среды. Показано, что для представления этих ядер также можно использовать функции, введенные в главе 1.

В частности показано, что необходимое количество ядер ползучести и соответствующих им ядер релаксации для описания в рамках наследственных моделей распространения всех независимых волновых мод, разрешенных свойствами пространственной

и-Ф*—-и = 0

Эг

(8)

симметрии среды, в изотропной масштабно-инвариантной трансверсально-изотропной среде равно четырем.

Все рассматриваемые задачи являются линейными. Поэтому решающим шагом для качественного понимания особенностей распространения волн в подобных средах, количественного исследования нестационарных (переходных) волн и решения соответствующих начальных и граничных задач является исследование и решение фундаментальной проблемы Коши для обобщенных волновых уравнений (1) с ядрами наследственности, содержащими слабосингулярную - (интегрируемую на любом конечном интервале) степенную зависимость от времени, то есть решения уравнений (5), определенные при />0, с начальными условиями

Начальные условия (9) физически соответствуют мгновенному точечному источнику в начале координат.

В пространственно-временном представлении эти решения представляют собой распространяющиеся с конечной скоростью волны и могут быть выражены. в виде квадратур, содержащих функцию, которую можно определить обратным преобразованием Лапласа:

* <Х+/°о

ДО = С, [ехр(- s$ (5))]= — Jds exp (si - (5)), (10)

tfT—foo

где 0 (у) - образы Лапласа функций 0(f) типа (2).

Функции 0(s) имеют степенную точку ветвления в комплексной плоскости s. В простейшем случае это свойство

соответствует степенным особенностям в наследственных ядрах уравнений (1).

Глава 3.

Пропагаторы волн, (функции Грина) для обобщенного волнового уравнения с абелевой особенностью наследственного ядра.

В данной главе построены пропагаторы скалярных волн, возбуждаемых в эффективно наследственно-упругоих средах с сингулярным (абелевым) ядром наследственности, соответствующим /} = у = 0 в (2), мгновенным точечным

источником, то есть двухточечные функции Грина , для задач с

пространственной размерностью N=1, 2 (в цилиндрической системе координат), 3 (в сферической системе координат), в виде легко вычислимых квадратур.

Полученные функции Грина соответствуют волнам, которые распространяются от точечного источника, соответствующей размерности с конечной скоростью, то: есть являются строго причинными:

«одномерная» (плоская в трехмерном пространстве) волна,

Ж.

Лиг

- трехмерная сферическая волна, г = (х2 +у2 +г2^'2 • В (11)-(12) и далее в{() - единичная ступенчатая функция Хевисайда.

Входящая в выражения (11), (12) специальная функция /а(/;А)

представляет собой частный случай функции (10), соответствующий

Поскольку в пространстве обобщенных функций существует предел

то в том же смысле показано, что эти функции Грина непрерывно по коэффициенту , стоящему перед наследственным интегральным членом обобщенного волнового уравнения (1), переходят в классические функции Грина для обычных волновых уравнений с соответствующей пространственной размерностью в пределе, когда этот коэффициент стремится к нулю, то есть «выключает» наследственный член обобщенного линейного волнового оператора:

(13)

ВтОл(/,г;А)= -1-5(/-г).

А-»0 4лу>

Поэтому, с помощью масштабного преобразования единиц измерения координат и времени

можно исключить Я & О из уравнений (1), формально полагая в них что, помимо всего, явно демонстрирует то

обстоятельство, что наследственный член в рассматриваемых уравнениях никогда не является малым, в отличие. от наследственных волновых уравнений с регулярными ядрами, и выразить функции Грина (11), (12) через универсальную функцию

Для двумерной, соответствующей цилиндрической расходящейся волне в трехмерном пространстве, функции Грина (уже с исключенным параметром Я) помощью метода, подобного методу Каньяра-Хупа, получено выражение

здесь Я = (х2 +_у2}/2 .

Единственная спецфункция, используемая. в выражениях для функций Грина — это функция /а{$). Для этой функции с помощью

интегральных преобразований Лапласа и Меллина получено общее представление с помощью Н-функций Фокса, связанных с обобщенными гипергеометрическими функциями:

Только для частных значений а=1/2, 1/3 и 2/3 известны явные выражения функции (18) через элементарные функции и функции Эйри, поэтому в работе для вычисления её значений используется интегральное представление

содержащее в подынтегральном выражении только элементарные функции и легко устранимую особенность при ф=0. При приближении к верхнему пределу интеграла (19) подынтегральная функция быстро затухает. Представление (19) справедливо внутри открытого интервала значений а от нуля до единицы, на концах которого функция fa(f) стремится в обобщенном смысле к пределам, пропорциональным дельта-функциям Дирака. На графиках, приведенных на рис.3 масштаб по оси абсцисс растянут в десять раз по сравнению с масштабом по оси ординат. Решения уравнений, не содержащих явно параметр Я,

----- t * *

! ■ ; l ------- --

------- ! ■ i !

: : -------

---- .. .. ----- j j

-----------

г.......-

"■ifiL— rr.'lV,"^-;; 1 I lj

ЫУ

-oL-о.г -----oÉ-o.4 -od-o-6 -----oi-o.a -0C-0.99

----Od-0.3---OL-0-5 -----Od-o.7---©£-0.95----Od-0.99

Рис.3. Графики fa(t) при различных значениях а

выраженные через могут быть легко пересчитаны в исходные размерные значения всех физических величин, благодаря возможности обращения масштабных преобразований (16) и последующей замене / —> , где с, - высокочастотный предел

скорости распространения волн соответствующей ветви полного закона дисперсии для всех типов свободных волн.

Глава 4.

Распространение волновых импульсов конечной ширины в среде с фрактально распределенными случайными включениями.

В этой главе рассмотрены явления, связанные с распространением волновых пакетов и диссипации волн в рассматриваемых наследственных моделях сред, обладающих сингулярными наследственными ядрами.

Показано, что распространение волновых импульсов в среде с комплексным законом дисперсии, который соответствует наследственной модели с сингулярными абелевыми ядрами памяти, происходит так, что огибающая волнового пакета, составляющего импульс, совершает замедляющееся перемещение (с уменьшением энергии за счет сопутствующего затухания), сохраняя относительную устойчивость формы (с естественным расплыванием за счет дисперсии скорости).

Характерные элементы, например пики (максимумы) таких импульсов движутся по закону, близкому к автомодельному. Связь между путем, пройденным огибающей импульса, и временем содержит показатель степени, обратный показателю степени абелева ядра наследственности. Соответствующая зависимость определяется в основном положением максимума функции Грина наследственного волнового уравнения.

сингулярными ядрами наследственности (на графиках вертикальные масштабы исходного и наблюдаемого сигналов различны, чтобы скомпенсировать затухание) в обезразмеренных переменных.

Это утверждение, основано на следующих результатах работы, связанных с решением задачи о возбуждении и распространении волновых импульсов в рассматриваемых средах.

Для граничного условия, представленного в виде

где g(t) - некоторая заданная функция времени, показано, что одномерное уравнение (1) имеет решение

(20)

Поскольку при ф =фа функция в1 = и

и пока то, учитывая форму и

свойства функции /„(/) (рис.3), видно, что максимум функции

определяется условием

абсцисса максимума То есть при вычислении свертки в

правой части (17) профиль g несколько искажается и «отстаёт» на время , увеличивающееся по мере удаления от источника

сигнала. Эта связь имеет очевидный автомодельный характер.

Зависимость положения максимума /а (/) от значений а имеет монотонный характер и представлена на рис.6.

об

Рис.6. Положение максимума 1тах функции//^ в зависимости от значения а.

Процессы, которые могут изменять динамическую фрактальную структуру физической среды и степень сингулярности абелева ядра наследственности в характеризующем её наследственном волновом уравнении, могут быть зарегистрированы на основе этой зависимости.

Рассмотрено также дополнительное обоснование ограничения диапазона допустимых значений показателя степени степенной особенности ядра наследственной части волнового оператора с

точки зрения условий диссипации нестационарной < волны в средах, комплексная дисперсия, волн в которых соответствует наследственным волновым уравнениям, введенным в главе 1.

Показано, что из уравнения (7) следует справедливость уравнения

где х\? = у*и и ф2 = 1—ГЛ (у). В отсутствии источников поля в объеме среды функция для достаточно больших значений ? должна монотонно убывать со временем. С учетом связи между функциями релаксации и ползучести, которые являются ядрами линейных интегральных операторов, резольвентных по отношению друг к другу, образы Лапласа ф- и ф (например, любой из функций (2)) связаны зависимостью

Таким образом, требования, ограничивающие асимптотическое поведение функции оказывается обусловлено ограничениями на поведение функций

В работе доказано, что обратному преобразованию Лапласа от (23) соответствуют функции. -положительные,

-монотонно убывающие при возрастающем ^ -стремящиеся к нулю на бесконечности, -

для всех функций вида (2) только при условии, что показатели степени в любой из них ограничены интервалом от нуля до единицы. В основе доказательства- этого утверждения лежит полученное представление для функций

соответствующей образу (23) при через функции

Миттаг-Леффлера и использование свойств монотонности этих функций.

Таким образом, еще раз, на основе соображений термодинамического характера о волновом поле, распространяющегося под управлением уравнений вида (1), подтвержден допустимый интервал значений показателя степени степенного сингулярного фактора наследственных ядер волновых, операторов, рассмотренных в работе.

ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Пространственно-временная картина распространения волн- в средах, волновая динамика которых связана с наличием в них фрактально распределенных статистических неоднородностей, может быть описана в виде промежуточной асимптотики механики сплошных сред с помощью наследственных волновых уравнений с характерными степенными особенностями ядер наследственности, с показателями степени, лежащими в интервале от нуля до единицы, и факторизуемыми линейными интегро-дифференциальными операторами.

Распространение волн, подчиняющихся наследственным моделям с сингулярными ядрами, сопровождается степенным по частоте затуханием в пределах частотной области, соответствующей масштабной инвариантности распределения неоднородностей.

Наследственная модель обобщена: на среды, проявляющие упругие свойства при быстрых деформациях, как в изотропных, так и в анизотропных случаях.

Факторизуемость и линейность интегро-дифференциальных операторов, рассмотренных уравнений позволяет построить в достаточно простой форме, удобной для анализа и. компьютерных вычислений, их точные функции Грина в пространственно-временном представлении, полученные в работе и исследовать процессы возбуждения и кинематику распространения волновых импульсов, подчиняющихся таким уравнениям:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В итоге научных исследований по теме диссертации установлено, что для описания процессов распространения волновых возмущений, распространяющихся в геологических средах, содержащих статистические масштабно-инвариантные, фрактальные, структурные элементы в приближении промежуточных асимптотик механики сплошных сред пригодны наследственные модели, основанные на обобщенных интегро-дифференциальных волновых уравнениях с характерными степенными интегрируемыми особенностями наследственных интегральных ядер.

Показано, что показатель степени этих особенностей является количественной характеристикой динамических фрактальных свойств среды и лежит в интервале от нуля до единицы.

С помощью анализа полученных точных решений предложенных модельных уравнений установлены закономерности кинематики и диссипации нестационарных волновых возмущений, распространяющихся в рас с:нных средах, такие, к: а к

замедление перемещения

по мере удаления от источника и установлена связь этого эффекта с показателем степени сингулярности наследственного ядра.

Полученные результаты позволяют расширить класс точных математических моделей волновых процессов, применяемых для количественного описания диспергирующих сред с характерными для многих геофизических задач степенными (по частоте) законами затухания. Они могут быть использованы с целью повышения точности их исследования геофизическими волновыми методами и обнаружения и диагностики изменений в их состоянии, связанных с естественными или техногенными воздействиями.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Локшин А.А., Рок В.Е. Фундаментальные решения волновых уравнений: с запаздывающим временем. //Известия. АН СССР «Механика тв.тела», 1977, №4, с. 181.

2. Локшин А.А., Рок В.Е. Фундаментальные решения волновых уравнений с запаздывающим временем. //Доклады АН СССР, 1978, т.239,вып. 6,с 1305-1308.

3. Локшин А.А., Рок В.Е. Автомодельные решения волновых уравнений с запаздывающим временем. //Успехи математических наук, 1978, т.ЗЗ, вып. 6, с.221-222.

4. Lokshin, A.A., Rok, V.E. Automodel solutions of wave equations with time lag. //Russian Math. Surveys, 1978,.v.33(6), P.243-244.

5. Рок В.Е. Приближенное решение обобщенного: уравнения теплопроводности с конечной скоростью распространения тепловых возмущений. Щеп. в ВИНИТИ, 1979, №1414-79 Деп.

6. Локшин А.А., Рок В.Е. Ударные волны; в линейных наследственных средах с пространственной дисперсией. //Доклады АН СССР, 1985, т.283, №1, с.61-66.

7. Локшин А.А., Рок В.Е., Виноградова О.С. Сухое трение, память и псевдодифференциальные операторы. //Известия АН СССР сер. «Механика твердого тела», 1989, №1, с. 152-155.

8. Локшин А.А., Лопатников С.Л., Рок В.Е. Метод Каньяра-Хупа для поглощающих сред. // Известия АН СССР сер. «Механика твердого тела», 1990, №5, с. 188-190.

9. Lokshin, A.A., Itskovits, M.A., Rok,. V.E. An acoustical investigation method for a bar with nonlinear inclusions. //Journ. Acoust. Soc. Amer., 1991, v.89 (1), p.88-100.

10. Rok, V.E. Near-front spatial profile of wave impulses in microinhomogeneous media. In: 57th EAGE Conf.&Technical Exhibition, Glasgow, Scotland, 1995, Extended abstr. book, v.l.

11. Rok, V.E. Time-domain representation of waves in media with frequency power law of dispersion. In: 58th EAGE Conf.&Technical Exhibition, Amsterdam, The Netherlands, 1996, Extended abstr. book.

12. Rok, V.E. Time-domain representation of seismo-acoustic waves in media with frequency power law of dispersion. В кн.: Труды V международного симпозиума по применению математических методов и компьютеров в геологии, горном деле и металлургии, 1996,с.213-217.

13.Rok, V.E. Time delay effect of signal propagation through poroelastic media. 60th EAGE meeting, Leipzig, Germany, 1998, R004.

14. Druzhinin, A., Role, V.E. A simple frequency-dependent velocity average equation for reservoir sedimentary rocks. 60th EAGE meeting, Leipzig, Germany, 1998, R094.

15. Gorbachev, Yu., Rafikov, R., Rok, V.&Pechkov, A. Acoustic Well Stimulation: Theory and Application. 60th EAGE meeting, Leipzig, Germany, 1998.

16.Рок В.Е. Пространственно-временное представление волн, распространяющихся в наследственных средах с ядром ползучести, содержащим сингулярность абелева типа. //Геоинформатика, 1998, №3. с.63-70.

17. Gorbachev, Yu., Rafikov, R., Rok, V.&Pechkov, A. Acoustic Well Stimulation: Theory and Application. //First Break, 1999, v.l7, No.lO,p.331-334.

18.Hanyga, A., Rok, V.E. Wave propagation in micro-heterogeneous porous media: a model based on an integrodifferential wave equation. //Journ. Acoust. Soc. Amer., 2000, v.l07, No.6, p.2965-2972.

19.Рок В.Е., Кухаренко Ю.А., Кухаренко П.Ю. Вязкость насыщенных пористых сред. //Геоинформатика, 2001, №3. с.26-31.

20.Rok, V.E. Simple hereditary mediae models with; singular memory kernels for transient waves in lossy media: In.: Abstr. of EAGE/SEG research workshop on "Reservoir Rocks", Pau, France, 2001:

21.Курьянов Ю.А., Кухаренко Ю.А., Рок В.Е. Сейсмоакустика пористых и трещиноватых; геологических сред. М.: Государственный научный центр Российской Федерации -ВНИИгеосистем, 2002,202 с.

22. Кузнецов О Л., Каракин А.В., Рок В.Е. Взаимодействие акустического поля с песчанно-глинистой смесью, содержащей случайнораспределенные многомасштабные песчаные агрегаты, в сб. Международной конференции «Воздействие упругих волн на флюиды в пористых средах», Москва, 2002.

23.Rok, V.E., Druzhinin, A., Evans, J.R., Li, X.-Ya. Frequency power law attenuation-scattering by fractal inclusions. In: Abstr. of EGS-AGU-EG joint Assembly, Nice,France, 2003.

24. Рок B.E., Дружинин А., Дж.Р.Эванс, Ли Кс.-Я. Степенной закон затухания-рассеяние на фрактальных включениях. CD: Международная геофизическая конференция и выставка «Геофизика XXI века-прорыв в будущее», 2003.

25. Рок В.Е. Наследственные модели распространения волн в средах, содержащих фрактальные структуры. CD: Международная геофизическая конференция и выставка «Геофизика XXI века-прорыв в будущее», 2003.

26.Rok, V.E., Druzhinin, A., Evans, J.R:, Li, X.-Y. Frequency power law attenuation-scattering by fractal inclusions. In: abstr. 65th EAGE Conference, Stavanger, Norvay, 2003.

27.Rok, V.E., Druzhinin, A., Evans, J.R., Li, X.-Y. Multi-scale fracture charachterization using fractal frequency-power law attenuation models. In: SEG 73th Annual meeting, Dallas, USA, 2003.

28.Рок В.Е. Макроскопическое феноменологическое описание переходных волн в эффективной вязкоупругой среде, соответствующей квазиоднородной среде, содержащей анизотропные одноосные мультифрактальные включения. //Геоинформатика, 2004, №2, с. 29-36.

Подписано в печать 20.09.2004 г. Заказ № 17. Тираж 150 экз.

117105 Москва, Варшавское шоссе, 8, ВНИИгеосистем

H74Ô3

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Рок, Владимир Ефимович

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Математические модели распространения плоских волн в структурах, обладающих фрактальными свойствами.

1.1. Фракталы и фрактальная размерность.

1.2. Размерность подобия (гомотетическая размерность).

1.3. Некоторые простые физические следствия из самоподобия фрактальных систем.

1.4. Модели законов дисперсии волн, распространяющихся в системах, содержащих фрактальные структуры.

1.5. Вывод причинных одномерных линейных уравнений для распространения нестационарных возмущений в средах, содержащих фрактальные структуры.

1.6. Переход к пространственно-временному представлению линейных наследственных волновых уравнений для переходных волн в средах, содержащих фрактальные структуры. Операция дробного дифференцирования.

1.7. Феноменологический учет ограниченности диапазона фрактального самоподобия физических систем в моделях распространения в них переходных волн.

Выводы по главе 1.

Глава 2. Волны в наследственно-упругих телах.

2.1. Наследственные модели в теории упругости.

2.2. Общие свойства решений наследственных волновых уравнений с факторизуемым линейным наследственным волновым оператором.

2.3. Случай трансверсально-изотропной среды с мультифрактальной структурой.

2.4.Типы волн, распространяющихся в однородной аксиально-симметричной (трансверсально-изотропной) вязкоупругой среде.

2.5. Динамическая эффективная.вязкоупругая модель комплексной дисперсии волн в статистически масштабно-самоподобной трансверсальноизотропной упругой среде.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Пропагаторы волн (функции Грина) для обобщенного волнового уравнения с абелевой особенностью наследственного ядра.

3.1. Вычисление пропагаторов волн для уравнений со степенной слабой сингулярностью в ядре наследственности.

3.2. Интегральное представление для функции Грина уравнения с Абелевым ядром наследственности.

3.3. Функции Грина для трехмернного обобщенного волнового уравнения с абелевым ядром наследственности.

3.4. Функции Грина для двумерного обобщенного волнового уравнения с абелевым ядром наследственности.

3.5. Масштабное преобразование координат и времени, ведущее к исключению крэффициента перед интегральным (наследственным) членом в обобщенном волновом уравнении.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Распространение волновых импульсов конечной ширины в среде с фрактально распределенными случайными включениями.

4.1. Рассмотрение задачи об импульсе, возбужденном в наследственной среде с сингулярным ядром памяти.

4.2. Оценка эффекта замедления распространения импульса от показателя степени абелева ядра наследственности.

4.3. Изменение «энергии» волновой моды при распространении в наследственной среде.

Выводы по главе 4.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры"

Практические задачи геофизической акустики, сейсмики и сейсмоакустики связаны во многих случаях с использованием эффектов, возникающих при возбуждении и распространении акустических импульсов, то есть нестационарных (переходных) волн, в различных геологических средах и структурах с последующей регистрацией отраженного, рассеянного или прошедшего сейсмоакустического поля и обработкой полученных данных. Эти задачи распадаются на огромное количество отдельных проблем и методов, разработанных и продолжающих разрабатываться для их решения и применения в конкретных приборах, устройствах и технологиях, используемых на практике. Их фундаментом служит теория волновых процессов, протекающих в физических системах, свойства которых в том или ином отношении отражают существенные свойства геологических сред, влияющие на динамику изменений их физического состояния.

Развитие теоретических представлений и моделей, позволяющих математически описать существенные особенности указанных процессов в условиях, соответствующих распространению переходных упругих волн в случайно-неоднородных геологических структурах, содержащих элементы, обладающие фрактальными свойствами, представлено в данной работе. Причем, именно процессы распространения волн, а не микроскопические детали формирования наблюдаемых при их распространении свойств среды, будут служить объектом рассмотрения. Естественно, что имеются в виду стохастические мультифрактальные объекты, а не регулярные фракталы построенные с помощью каких-либо рекурсивных процедур [Федер, 1991].

Прежде всего, следует отметить, что геологическая среда, в которой преобладают горные породы, разбитые трещинами на блоки, и структуры, сформированные длительными процессами разрушения, смешивания, агрегации, физико-химического метаморфизма, приводящие появлению широкого спектра неоднородностей горных пород и геологических структур [Садовский, 1979; Садовский, Болховитинов Писаренко, 1987 ]. Во многих случаях обнаруживаются закономерности иерархического строения геологических объектов, например, свойства самоподобия, возникающие в ходе процессов самоорганизации геосреды [Кузнецов, Муравьев, Видяпин, 2000]. Статистическое самоподобие характерно также и для внутреннего строения многих геологических пород в достаточно широком диапазоне масштабов. Поскольку самоподобие является основным свойством фракталов [.Mandelbrot, 1977], то естественным способом математического описания соответствующих структур геосреды является привлечение методов, развитых при изучении фрактальных объектов. То, что фрактальные свойства действительно присущи в ряде случаев реальным геологическим средам и системам, имеющим сложную пространственную и структурную организацию [Одинцев, Бунин, 2004], как и элементам ландшафта [Burrough, 1981], уже подтверждено многочисленными наблюдениями. Эти свойства проявляются также и в ряде сейсмических и сейсмоакустических явлений, детерминированных происходящими в геосреде процессами, связанными с возбуждением и распространением волн в таких средах. По-видимому, они проявляются и в ряде других свойств и процессов, характерных для геологических сред, таких как механические свойства горных пород, особенности процессов фильтрации флюидов в них и тому подобное. Имеются убедительные данные, свидетельствующие о степенном характере спектров аномалий потенциальных полей (гравитационных, магнитных) геологических структур и их связи с фрактальным характером намагниченности земной коры [Todoeschuck, Pikington, Greotski, 1992]. Также давно обнаружено, что процессы распространения электромагнитных волн в природных средах происходят так, что эффективные комплексные, то есть с учетом затухания, диэлектрические свойства этих сред наилучшим образом соответствуют модели степенного по частоте закона измерения в широком диапазоне частот [Cole, К., and Cole, R., 1941, Jonscher, 1977].

Фрактальные свойства геологических систем в сейсмоакустических полях наблюдаются и проявляются в геофизике на разных временных и масштабных уровнях — от распределения неоднородностей в литосфере [ФайзуллинШапиро, 1989; Shapiro, Faizullin, 1992], до высокочастотного сейсмического шума [Мухамедов, 1992]. Фрактальными свойствами обладают также распределения в объеме пористой среды фильтрующихся сквозь неё несмешивающихся флюидов. Уже перечисленные примеры имеют разную по происхождению физическую природу, но подтверждают широкое распространение фрактальных объектов в геосреде и применимость идей и методов, основанных на особенностях и свойствах таких объектов, при изучении и объяснении протекающих в них процессов, в том числе и связанных с распространением возмущений состояния геосреды.

Внимание к такого рода подходу в различных областях физики и её приложений выросло из стремления «. к установлению связи между микроскопической структурой и макроскопическим поведением сложных систем», как отмечено в отношении всего многообразия исследований по изучению фрактальных структур в волновых процессах авторами обзора [Зосимов, Лямшев, 1995].

Самоподобие и свободная масштабируемость фрактальных структур означает, что для них — в идеальном случае - отсутствуют какие-либо внутренние характерные масштабы. Это приводит к тому, что спектр неоднородностей такого рода оказывается непрерывным (или может рассматриваться как квазинепрерывный). С точки зрения описания процессов распространения возбуждений, в первую очередь механических волн, это приводит к тому, что частотные спектры пропагаторов волн, возбуждаемых и распространяющихся в таких средах, обладают не дискретными особенностями например, в виде полюсов различных порядков), а непрерывными особенностями - в виде разрезов на соответствующей комплексной плоскости.

Сами процессы формирования геологических сред и систем, содержащих фрактальные структуры, носят, очевидно, нелинейный характер. То есть появление у геологических объектов таких многомасштабных неоднородностей является, очевидно, результатом длительных процессов их формирования, в ходе которых могли иметь место различные нелинейные явления, во многих случаях сопровождающиеся динамической хаотизацией [.Заславский и Сагдеее, 1988; Заславский и др. 1991], такие как случайное перемешивание, растрескивание, случайное перемещение флюидов, сопровождающееся фазовыми и химическими изменениями и преобразованиями компонентов среды и тому подобными процессами. В некоторых случаях уже сейчас есть достаточно развитые и исследования математических моделей подобных явлений, имеющих отношение к геологическим процессам, например, гидрогеологического явления Харста [Hurst, 1951] в работах [Найденов и Кожевникова, 2000, 2001а,б], которое связано с фрактальным характером колебаний стоков рек, катастрофических наводнений, колебаний уровня моря и глобального климата. В других случаях можно найти достаточно глубокие аналогии с нелинейными моделями, построенные и изученными вне прямой связи с геологией и геофизикой. Примером могут служить модели порождения фрактальных структур рекурсивными процедурами, имеющими, некоторое качественное сходство с характерными особенностями некоторых геологических процессов [Морозов, 1999].

Наличие фрактальных свойств у микронеоднородных упругих сред, в первую очередь масштабное самоподобие их физических структур в достаточно широком диапазоне пространственных масштабов, позволяет существенно упростить задачу конструирования эффективных феноменологических макроскопических уравнений, специальным образом описывающих пространственно-временном представлении осредненное акустическое поле и распространение переходных волн в таких средах. При этом «центр тяжести» решения соответствующих задач переносится с получения статистическим методами эффективных параметров среды и осредненных значений акустических полей - на решение уравнений, описывающих кинематику волн в пространстве и времени, соответствующих осредненному волновому, например, акустическому, полю, удовлетворяющему некоторому уравнению адекватно описывающему эффективные макроскопические волновые свойства среды, которые в основном исчерпываются комплексными законами дисперсии (то есть частотной дисперсией скорости и частотной зависимостью затухания) каждой волновой моды, способной распространяться в этой среде. Объединяющей чертой математических моделей этих волновых процессов является наличие характерных макроскопических наследственных свойств, которые могут быть представлены в виде зависимости актуального локального состояния от истории его изменений в прошлом, которое может быть представлено интегральными операторами с ядрами, представленными функциями, содержащими интегрируемые степенные особенности. Вопросы физического происхождения структур подобного типа при таком подходе можно оставить в стороне, как это делается в механике сплошных сред, где обычно макроскопические уравнения состояния сплошных сред вводятся эмпирически. Тем не менее, использование фрактальных моделей естественно оказывается приложимым к любой системе, в которой неоднородность распределения некоторого свойства проявляется на заданном уровне разрешения (точности) наблюдений так, что степень наблюдаемой неоднородности возрастает с уменьшением масштабов наблюдаемых деталей. То есть в том или ином смысле обладают свойствами «карты береговой линии» степень изрезанности которой зависит от масштаба карты и тем выше, чем детальней изображение, как это было рассмотрено в одной из первых работ по фрактальной геометрии в природе [.Mandelbrot, 1967].

Данный подход относится, по существу, к способу построения промежуточных асимптотик [Баренблатт, 1982, Зельдович, Соколов, 1985, ВагепЫаи, 1996] для задач о распространении возмущений состояния сред, в условиях, когда проявление особенностей их физического строения наблюдается в масштабах, характеризующих масштабы возмущений много больших, чем собственные масштабы элементов структурных неоднородностей среды, но не настолько, чтобы эти неоднородности перестали сказываться на их динамике. То есть речь идет о более грубых моделях этих процессов, чем модели, основанные на каких-либо представлениях о составе, структуре и взаимодействии элементов среды, но зато такой подход позволяет найти и выделить характерные особенности кинематики распространения, например, волновых импульсов в пространственно-временном представлении и необходимых для их описания моделей эффективных параметров среды. При этом нет нужды отвлекаться на анализ множества возможных вариантов их микроскопической реализации и сложные процедуры дальнейшего статистического осреднения, необходимого для получения макроскопических эффективных значений физических параметров среды статистическими методами.

Целью работы является получение макроскопических эффективных математических моделей распространения возмущений состояния геологических сред, содержащих однородно распределенные статистически фрактальные элементы, удовлетворяющих принципу причинности и макроскопическим свойствам симметрии, включая масштабную инвариантность. Получение и исследование свойств их нестационарных волновых решений в точном пространственно-временном представлении и физическая интерпретация возникающих эффектов, прежде всего в случае возбуждения макроскопических упругих волн.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Рок, Владимир Ефимович

1998), Россия; на совместном EAGE и SEG (американского Общества поисковой геофизики) исследовательском семинаре по «Коллекторным горным породам» ('Reservoir Rocks'), в По (2001), Франция; на международной конференции «Воздействие упругих волн на флюиды в пористых средах» (в рамках международного симпозиума по нелинейной акустики ISNA16), в Москве (2002), Россия; на международной геофизической конференции «Геофизика XXI века — прорыв в будущее», в Москве (2003), Россия; на объединенной ассамблее Европейского геофизического общества Американского геофизического союза - Европейского союза наук о Земле (EGS-AGU-EG) в Ницце (2003), Франция; 73-м ежегодном съезде американского Общества разведывательной геофизики (SEG) в Далласе (2003), США; на семинарах в Университете г. Утрехт (1991), Делфтском техническом университете (1991, 2000), Нидерланды, Университете г. Цюрих (1999), Швейцария, Свободном берлинском университете (2000, 2002), ФРГ, совместном семинаре Университета г. Эдинбург и Британской геологической службы (2002), Великобритания.

Лежащий в основе работы подход к математическому представлению уравнений распространения волн в наследственно-упругом теле с сингулярными ядрами наследственности специального вида впервые был представлен на заседании Московского математического общества и семинаре под руководством акад. Ю.Н.Работнова на механико-математическом факультете МГУ, соответственно, в ноябре и декабре 1977 года.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В диссертации изложены основанные на полученных автором результатах методы феноменологического описания переходных волновых процессов в упругих средах, содержащих фрактальные структуры. Показано, что наличие дополнительной внутренней симметрии, связанной с масштабной инвариантностью фрактальных структур, вместе с требованием причинности позволяет построить ряд макроскопических феноменологических моделей распространения возмущений состояния таких сред (то есть бегущих волн) которые могут иметь вид обобщенных (аномальных) уравнений диффузии или обобщенных волновых уравнений, имеющих вид уравнений наследственного типа с ядрами наследственности, отличительной особенностью которых является слабая (интегрируемая) степенная особенность.

В работе указана связь математического аппарата интегро-дифференциальных уравнений с степенным сингулярным ядром интегральных членов типа свертки и уравнений с производными (и интегралами) дробного порядка. Показано, что особенность указанного типа в наследственном ядре является необходимым следствием масштабной инвариантности динамической структуры таких сред и требований принципа причинности, приводящего к дисперсионным соотношениям, примененным для конструирования уравнений, феноменологически описывающих распространение волн в рассматриваемых средах.

Полученные уравнения второго порядка по пространственной координате имеют факторизуемые линейные операторы, предложенные в работах, выполненных с участием автора, и позволяют существенно упростить процедуру их исследования и получения решений в удобной для исследования и применения для вычислений, необходимых при решении задач, связанных с возбуждением и распространением волновых возмущений.

Построены пространственно-временные функции Грина обобщенных волновых уравнений для плоских, цилиндрических и сферических случаев (с соответствующими источниками) в удобной для исследования и построения вычислительных алгоритмов форме одномерных интегралов от простых выражений, содержащих только элементарные функции. Это позволяет, вместе с модифицированным принципом Дюамеля, благодаря линейности задач, исследовать и решить задачи об излучении любых источников, возбуждающих исследуемые среды. Показано, что характерная для них волновая дисперсия приводит к тому, что огибающие волновых пакетов, распространяющихся в соответствии с исследуемыми уравнениями, замедляет своё перемещение в пространстве по мере удаления от источника приблизительно сохраняя тем не мене свой профиль, постепенно растягивающийся и затухающие в силу дисперсии и диссипации .

Показана возможность применения наследственных операторов указанного вида с сингулярными ядрами ползучести и релаксации в моделях эффективно вязкоупругих изотропных и анизотропных (трансверсально изотропных сред).

Указаны также возможности использования зависимости макроскопических волновых (дисперсионных) свойств исследуемых сред от изменения их фрактальных характеристик, которые могут быть вызваны внешними воздействиями на состояние такой среды, для волновой диагностики изменений этого состояния.

Научная новизна работы.

Предложены и обоснованы наследственные факторизуемые уравнения распространения волн в пространственно-временном представлении, пригодные для причинного описания сейсмоакустических волн в средах, содержащих масштабно-инвариантные структуры, в приближении промежуточных асимптотик механики сплошных сред. При этом:

Показано, что полученные уравнения соответствуют линейным моделям наследственно-упругих сред со слабосингулярными ядрами наследственности. Предложен вид таких ядер наследственности для различных вариантов ограничений спектра масштабов статистического самоподобия среды. В основе всех их лежит модель безгранично масштабируемой фрактально-самоподобной среды, наследственные свойства которой описываются слабосингулярными степенными ядрами абелева типа.

Показана их связь с обобщенными уравнениями диффузии (аномальной диффузии).

Получены достаточно простые квадратурные представления для точных пропагаторов (двухточечных функций Грина) волн, соответствующих плоским, цилиндрическим и сферическим пропагаторам в пространственно-временном представлении для базового случая уравнений со степенными наследственными ядрами абелева типа и исследованы их точный вид и асимптотические свойства.

Показана принципиальная возможность и особенности применения развитых математических моделей для описания поляризованных волн в изотропных и анизотропных, а именно, трансверсально-изотропных, упругих (то есть, эффективно вязко-упругих) сред. Показано, что волновые пакеты в подобных средах распространяются, достаточно устойчиво сохраняя некоторое время свою форму, при этом затухая и замедляя свое перемещение по мере удаления от источника по почти автомодельному закону.

Показано, что нелинейная монотонная зависимость макроскопических волновых процессов в рассматриваемых сред от основной количественной характеристики их фрактальных свойств может быть использована для контроля за изменением их состояния по наблюдаемой кинематике волновых импульсов.

Практическая значимость работы.

В работе показано, что ряд эмпирически обнаруженных и достаточно широко проявляющихся особенностей распространения волновых возмущений состояния геологических сред, таких как степенные в широком диапазоне частот зависимости затухания волн, и, соответственно, слабо изменяющиеся с частотой удельные диссипативные функции, при наличии фрактальной микроструктуры в таких средах могут быть связаны с их внутренней статистически самоподобной симметрией, обусловленной фрактальными элементами структуры, благодаря которым диссипация возмущений происходит по законам, частотный спектр которых обладает степенной зависимостью от частоты.

Показана применимость такого подхода к описанию закономерностей распространения сейсмоакустических волн. Практически, это позволяет с единой точки зрения подойти к исследованию взаимосвязи сейсмоакустических волновых свойств подобных сред и проявлениями их структурных особенностей в других (в том числе гравитационном, электромагнитном) геофизических полях и их аномалиях (флуктуациях).

Полученные результаты могут быть применены для повышения точности геофизических методов, используемых при выделения геологических структур, проявляющих исследованные в работе свойства, и мониторинга их изменений под действием естественных или техногенных факторов. В частности, эти результаты были использованы при выполнении исследований напряженно-деформированного состояния горных пород по проектам Министерства природных ресурсов РФ и международному проекту Joule II "Reservoir Oriented Delineatation Technology" по гранту Европейской комиссии №JOF3-CT95-0019.

Личный вклад автора

Диссертация основана на теоретических исследованиях, выполненных автором в период с 1977 по 2004 год. С 1981 года эти исследования проводились во ВНИИгеосистем при неизменной поддержке проф. О.Л.Кузнецова, без которой эта работа, скорее всего, не могла бы быть завершена. Все основные теоретические результаты, изложенные в работе, получены лично автором или при его решающем творческом вкладе. В процессе выполнения этих исследований, предлагаемые подходы и методы обсуждались с акад.Ю.Н.Работновым (МГУ), проф. Б.М.Болотовским (Физический институт РАН), проф. А.Т. де Хупом (Технический университет в Делфте), проф. А.Ханыгой (Институт физики твердой Земли, Университет г. Берген), проф. Ю.А.Кравцовым (РЖИ РАН), проф. С.Шапиро (Свободный университет, Берлин), проф. Р.Эвансом и А.Дружининым (Британская геологическая служба, Эдинбург), проф. Б.Гуревичем (Технический университет, Перт) и многими другими учеными и специалистами, коллегами по работе, которые принимали участие в формальных и неформальных научных дискуссиях, посвященных затронутым проблемам, поддержали оформление относящихся к их решению результатов и способствовали поискам путей их практического применения.

На первоначальном этапе работы внимание автора к задаче о распространении волн в вязко-упругом стержне привлек А.А.Локшин, плодотворное сотрудничество с которым позволило наметить направление развития ряда применяемых в диссертации математических методов. Ему принадлежат результаты, связанные с исследованиями асимптотических свойств прообразов Лапласа по их образам для ряда функций, возникающих в ходе решения математических проблем, относящихся к данному исследованию, с помощью интегральных преобразований Фурье-Лапласа, (тауберовы теоремы). В свое время результаты А.А.Локшина сыграли важную роль в развитии использованного в данной работе метода. В диссертации автору удалось построить уже полные точные решения рассматриваемых уравнений и квадратурные представления ключевых функций и на их основе получить простые и эффективные вычислительные алгоритмы.

С помощью А.Дружинина в 2002-2004 были реализованы программы для численного моделирования взаимодействия поля упругих волн с фрактальными неоднородностями. Некоторые результаты этих вычислительных экспериментов приведены в работе в качестве иллюстраций. Все остальные компьютерные вычисления, в том числе и необходимые для построения приведенных в работе графиков, выполнены автором в системах Mathematica 5.0 и MathCAD 200 li Pro с помощью алгоритмов, непосредственно основанных на полученных в работе математических выражениях.

Наконец, хотелось бы отметить глубокое влияние на развитие представлений автора о методах и идеях, лежащих в основе механики сплошных сред, которое оказал двухсеместровый спецкурс по этому предмету, прочитанный проф. Г.И.Баренблаттом в 1971/72 году на кафедре дифференциальных уравнений отделения математики механико-математического факультета МГУ.

Апробация работы

Библиография Диссертация по наукам о земле, доктора физико-математических наук, Рок, Владимир Ефимович, Москва

1. Аки К., Ричарде П. Количественная сейсмология. Теория и методы. М.: Мир. 1983, Т.1 519 е., Т.2.880 с.

2. Ахманов С.А, Дьяков Ю.Е., Чиркин A.C. Введение в статистическуюрадиофизику и оптику. М.: Наука физ.мат., 1981, 640 е.;

3. Багрищева К.И. Условия формирования и свойства карбонатных коллекторов нефти и газа. — М.:РГГУ, 1999, 285 с.

4. Баренблатт, Г.И., 1982, Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика: теория и приложения к геофизической гидродинамике, изд. 2-е перераб. и доп., Л.: Гидрометеоиздат, 254 с.

5. Бейтмен Г. и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.2. М.: 1974, 296 с.

6. Бейтмен Г.и Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 3. М.: Наука, 1967, 300 с.

7. Бейтмен Г.и Эрдейи А.при участии В.Магнуса, Ф.Оберхеттингера, Ф.Трикоми. Таблицы интегральных преобразований. Т. II. Преобразования Бесселя, интегралы от специальных функций. М.: Наука, 1970,328 с.

8. Бейтмен Г.и Эрдейи А.при участии В.Магнуса, Ф.Оберхеттингера, Ф.Трикоми. Таблицы интегральных преобразований. Т. I. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969, 344 с.

9. Бунин И.Ж., Одинцев В.Н. Фрактальность трещиновато-блочной структуры горных пород. //Маркшейдерия и недропользование, 2003, №1, с.24-26.

10. Ю.Вадов, P.A. Затухание низкочастотного звука в океане. В сб.: Проблемыакустики океана. М.: Наука, 1984, с.31-42. П.Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979, 320 с.

11. Влияние дисперсии фазовой скорости на измерение средних и интервальных скоростей методами сейсмического и ультразвукового каротажа. авторы: Калинин A.B., Азими Ш.А., Калинин В.В., Пивоваров Б.Л. - //Изв. АН СССР. Сер. Фзика Земли, 1968, №9, с.79-84.

12. Гельфанд И.М. и Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними, вып.1. М.: Гос. Издат. физ.-мат. Лит-ры, 1959, 470 с.

13. Н.Гладков С.О. Физика композитов: Термодинамические и диссипативные свойства. М.: Наука, 1999, 330 с.

14. Гладков С.О. Физика пористых структур. М.: Наука, 1997, 175 с.

15. Гонсовский В.Л., Россихин Ю.А. О волнах напряжений в вязкоупругой среде с сингулярным ядром наследственности. //Журнал прикладной механики и технической физики (ПМТФ), 1973, №4, с. 184-186.

16. Гулд X, Тобочник Я, Компьютерное моделирование в физике, пер. с англ., т. 2, М.: Мир, 1990, (т.1, 349 с, т.2, 400 е.).

17. Гуревич Г.И. Деформируемость сред и распространение сейсмических волн. М.: Наука, 1974, 474 с.

18. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. М.:Наука, 1971, 288 с.

19. Динариев О.Ю. О скорости распространения сигнала в жидкости с релаксацией. //ПММ, 1990, т.54, вып.1, с.59-64.

20. Динариев О.Ю. О материальных соотношениях для жидкости с наследственностью и нелокальностью. //Доклады АН СССР, 1991, т.316, №1, с.67-71.

21. Динариев О.Ю. Основные положения феноменологического подхода в нелокальной гидродинамике. //Прикл.матем. и мех., 1999, т.63, вып.4, с.591-602.

22. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука физ.-мат., 1991, 235 с.

23. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, помежуточная асимптотика. //УФН, 1985, т. 146, №3, с.493-506.3О.Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М., 1983, 303 с.

24. Золотарев В.М., Учейкин В.В., Саенко В.В. Супердиффузия и устойчивые законы распределения. //ЖЭТФ, 1999, т. 115, вып.4, с. 14111425.32.3осимов В.В., Лямшев JI.M. Фракталы в волновых процессах. //Успехи физических наук, 1995, т.165, №4, с. 361-401.

25. Исакович М.А. К теории поглощения звука в поликристаллах. //ЖЭТФ, 1948, т. 18, вып.4, с. 386-391.

26. Исакович М.А., Чабан И.А. Акустическое поведение сильновязких жидкостей и теории жидкости. // Доклады АН СССР, 1965, т. 165, №2, с. 299-302

27. Исакович, М.А. Общая акустика. М. 1973, 495 с.

28. Исследование зависимости между скоростью продольных волн и пористостью карбонатных пород. Ищенко В.И., Чахмахчев В.Г., Басин

29. Я.И., Новгородов В.А. //Известия высших учебных заведений сер. «Геология и разведка», 1978, №3, с.136-141.

30. Ищенко В.И., Кузнецов O.JL, Чахмахчев В.Г. Модель карбонатного разреза для акустического каротажа по скорости продольных волн. // Известия высших учебных заведений сер. «Геология и разведка», 1978, №12, с.153-154.

31. Кельберт М.Я., Чабан И.А. Релаксация и распространение импульсов в жидкостях. //Изв. АН СССР, сер. Механика жидкости и газа, 1986, в.5, с.153-160.

32. Колмогоров А.Н. Спираль Винера и другие интересные кривые в гильбертовом пространстве //ДАН СССР, 1940, т.26, №2, с. 115-118.

33. Колтунов М.А. К вопросу выбора ядер при решении задач с учетом ползучести и релаксации. //Механика полимеров, 1966, №4, с.483-497.

34. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М.: Мир, 1974, 340 с.

35. Кузнецов O.JI., Муравьев В.В., Видяпин Ю.П. Очагово-геодинамическая модель самоорганизации геологической среды. — тез. Докл. IV междунар. Конф. «Новые идеи в науках о Земле». — М.: МГГА, 2000, с.96-100.

36. Кузнецов O.JL, Симкин Э.М. Преобразование и взаимодействие геофизических полей в литосфере. М.: Недра, 1990, 269 с.

37. Курьянов Ю.А., Кухаренко Ю.А., Рок В.Е., Теоретические модели в сейсмоакустике поротрещиноватых упругих сред, М.: ВНИИреосистем, 2002,188 с

38. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теоретическая физика, т. V, Статистическая физика, ч.1, М.: Наука физ.-мат., 1976, 584 с.

39. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. VII, Теория упругости, М.: Наука физ.-мат., 1987, 248 с.

40. Локшин A.A., Рок В.Е. Автомодельные решения волновых уравнений с запаздывающим временем. //УМН, 1978а, т.ЗЗ, №6, 221-222.

41. Локшин A.A., Рок В.Е. Фундаментальные решения волновых уравнений с запаздывающим временем. //Доклады АН СССР, 19186, т.239, в.6, 1 SOSDOS.

42. Локшин A.A., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: МГУ, 1982, 152 с.

43. Лопатников С.Л., Локшин A.A., Рок В.Е. Метод Каньяра-де Хупа для вязко-упругих сред. //Изв. АН СССР, сер. Механика тв. тела, 1990, №5, с.188-190.

44. Лопатников С.Л.и Гуревич Б.Я. Трансформационный механизм затухания упругих волн в заполненной пористой среде.//Изв. АН СССР, Физика Земли, 1988, т.24, №2, с.151-153.

45. Лысанов, Ю.П.и Лямшев, Л.М. Рассеяние звука объемными случайными неоднородностями с фрактальным спектром.// Акустический журнал, 1998, т.44, №4, с. 506-509.

46. Мандельброт Б. Самоаффинные фрактальные множества. В сб. Фракталы в физике, под ред.Л.Пьетронеро, Э.Тозатти. М.: Мир, 1988,

47. Мандельброт, Б, 2002, Фрактальная геометрия природы, пер. с англ., М.: Институт компьютерных исследований, 656 с.

48. Монин A.C. Уравнения турбулентной диффузии. //Доклады АН СССР, 1955, т. 105, №2, с.256-260.

49. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика, ч.2. М.: Наука, 1967, 509 с.

50. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Нижний Новгород: Изд. Нижегородс. Унив-та, 1999, 140 с.

51. Мун Ф. Хаотические колебания. Пер. с англ. М.: Мир, 1990, 312 с.

52. Мухамедов В. А. О фрактальных свойствах высокочастотного сейсмического шума и механизмах его генерации. //Физика Земли, 1992, №3, с. 39-49.

53. Найденов В.И., Кожевникова И.А. Гидрофизический механизм явления Харста. //Доклады Академии Наук, 2001а, т.373, №1, с. 45-47.

54. Найденов В.И., Кожевникова И.А. Нелинейные колебания уровня Каспийского моря и глобального климата. //Доклады Академии Наук,2001, т.378,№1,с.51-57.

55. Найденов В.И., Кожевникова И.А. О степенном законе катастрофических наводнений. //Доклады Академии Наук, 20016, т.386, №3, с.338^344.

56. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984,232 с.

57. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: «Логос»,2002, 664 с.

58. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Дополнительные главы. М.: Наука, 1986, 800 с.

59. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. — М.: Наука, 1979, 744 с.

60. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977, 384 с.

61. Ржаницын, А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.-Л.: ГИТТИ, 1949, 252 с.

62. Рисс Ф.и Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979, 587 с.

63. Рок В.Е. Приближенное решение обобщенного уравнения теплопроводности с конечной скоростью распространения тепловых возмущений. //Деп. в ВИНИТИ, 1979, №1414-79 Деп.

64. Рытов С.М., Владимирский В.В.и Галанин М.Д. Распространение звука в дисперсных средах. //ЖЭТФ, 1938, т.8, вып.6, с. 614-621.

65. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы. //Доклады АН СССР, 1979, т.247, №4, с.829-831.

66. Садовский М.А., Болховитинов Л.Г., Писаренко В.Ф. Деформирование геофизической среды и сейсмический процесс. М.: Наука, 1987, 100 с.

67. Саичев А.И., Уткин С.Г. Асимптотические законы супердиффузии. //Журн.тех.физики, 2003, том 73, вып.7, с.1-6.

68. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987, 687 с.

69. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. М.: Наука, 1991,

70. Справочник по специальным функциям. Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. М.: Наука, 1979, 832 с.

71. Уэбман И. Упругое поведение фрактальных структур. В сб. Фракталы в физике. Труды VI международного смпозиума по фракталам в физике (Триест, Италия, 9-12 июля, 1985), М.: Мир, 1988. с.488-497.

72. Файзуллин И.С., Шапиро С. А. Рассеяние сейсмических волн и фрактальный характер неоднородностей литосферы. //Физика Земли. 1989, №10, с.43-49.

73. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991, 254 с.

74. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.2. М.:Мир. 1984, 738 с.

75. Френкель, Я.И., К теории сейсмических и сейсмоакустических явлений во влажной почве. //Изв. АН СССР, Сер. Географическая и геофизическая, 1944, т.8, №4, с. 133-149.

76. Чукбар К.В. К теории турбулентной диффузии. //Письма в ЖЭТФ, 1993, т.58, вып.2, с.87-90.

77. Чукбар К.В. Стохастический перенос и дробные производные. //ЖЭТФ, 1995, том 108, вып.5(11), с.1875-1884.

78. Arenz R.J. Uniaxial wave propagation in realistic viscoelastic materials. Trans. ASME, Ser. E., Journ. Appl. Mech., 1964, vol.31, no.l, p. 17-21.

79. Barkai, E., Metzler, R., and Klafter, J. From continuous time random walks to the fractional Fokker-Plank equation. //Phys. Rev. E., 2000, v.61, No.l, p. 132138.

80. Barkai, E., Silbey, RJ. Fractional Kramers Equation. //J.Phys.Chem. B, 2000, v. 104, p.3866-3874.

81. Bassingthwaighte, J.B., Beyer, R.P. Fractal Correlation in Heteroeneous Systems. //Physica D, 1991, v.53, No.l, p.71-84.

82. Biot, M.A. Generalized theory of acoustic propagation in porous dissipative media. //J. Acoust. Soc. Amer, 19626, v. 34, No. 9, pp. 1254-1264.

83. Biot, M.A. Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media. //J. Appl. Phys., 1962a, No.4, pp. 1482-1498.

84. Biot, M.A. Theory of Propagation of Elastic Waves in a Fluid Saturated Porous Solid. I, II. //J.Acoust.Soc.Am., v.28, No. 2, 1956, p.168-178, 179-190.

85. Boltzmann, L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkung. //Annalen der Physik und Chemie, Ergraezugband, 1876, B.7, s.624-654.

86. Buchen, P.W.and Mainardi, F. Asymptotic expansions for transient viscoelastic waves. //Journal de Mecanique, 1975, v. 14, No. 4, 597-608.

87. Burrough P.A. Fractal Dimensions of Landscapes and Other Environmental Data. //Nature, 1981, v. 294, No 5838. P.240-242.

88. Burrough, P. A., 1981, Fractal Dimensions of Landscapes and other Environmental Data, Nature, v. 294, No.5838, p.240-242.

89. Caputo, M. Linear models of dissipation whose Q is almost frequently independent-II. //Geophys. J. R. astr. Soc., 1967, v. 13, p.529-539.

90. Caputo, M. Linear models of dissipation, whose Q is almost frequency independent. //Annali di Geofisica. 1966, v. 19, no.4, p.383-393.

91. Carcione, J.M. Full frequency-range transient solution for compressional waves in a fluid saturated viscoacoustic porous medium. //Geophysical Prospecting, 1996, v.44, no.l, 99-129.

92. Carcione, J.M. Viscoelastic effective rheologies for modeling wave propagation in porous media. //Geophysical Prospecting, 1998, v.46, no.3, p.249-270.

93. Carcione, J.M., and Tinivella, U. The seismic response to overpressure: a modeling study based on laboratory, well and seismic data. //Geophysical Prospecting, 2001, v.49, 523-539.

94. Carcione, J.M.and Cavalini, F., Mainardi, F. Modeling constant-Q wave propagation with fractional derivatives. Trans. 70th Annual International Meeting of Soc. ofExpl. Geophysics, 2000, p.2345-2348.

95. Carcione, Jose M. and Cavalini, F. A rheological model for anisotropic media with applications to seismic wave propagation, Geophysical J. Int, 1994, v.119, 338-348.

96. Carcione, Jose M., Wave propagation in anisotropic linear viscoelastic media: theory and simulated wavefields, Geophysical J. Int, 1990, v.101, 739750.

97. Carpinteri, A. Fractal nature of material microstructure and size effects on apparent mechanical properties. //Mechanics of Materials, 1994, v. 18, p.89-101.

98. Carpinteri, A., Chiana, B., Cornetti, P. A fractional calculus approach to the mechanics of fractal media. //Rend.Sem.Mat.Univ.Pol.Torino, 2000, v. 58, 1, p.57-68.

99. Carpinteri, A., Chiana, B., and Invernizzi S. Three-dimensional fractal analysis of concrete fracture at the meso-level. //Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 1999, v.31, p. 163-172.

100. Carpinteiy, A. and Ferro, G. Size effects on tensile fracture properties: a unified explonation based on disorder and fractality of concrete microstructure. //Materials and Structures, 1999, v. 28, 563-571.

101. Cattaneo, C. Sur une forme d l'equation de la shaleur eliminantle paradoxe d'une propagation instanee. //C.r. Acad. sci. 1958, v. 247, No.4, p. 431-433.

102. Chesnokov, E.M., Kukharenko, Yu.A., Kukharenko, P.Yu. Frequency Dependence of Physical Parameters of Microinhomogeneous Media. Space Statistics REVUE DE L'INSTITUTE FRANCAIS DU PETROL, 1998, v. 53, No 5, p.729-734.

103. Chesnokov, E.M., Queen, J.H., Vikhorev, A.A., Lynn, H.B., Hooper, J.M., Bayuk, I.O., Castagna, J.A., Roy, B. Frequency dependent anisotropy, 2001 SEG Annual Meeting, San Antonio.

104. Cole, K.S.&Cole, R.H. Dispersion and absorbtion in dielectrics, I: Alternating current characteristics. //J.Chem. Phys, 1941, v. 9, p. 341-351.

105. Computation of linear elastic properties from microtomographic images: Methodology and agreement between theory and experiment, by Arns, C.H., Kneckstedt, M.A., Pinczewski, W.V., Garboczi, E.J. //Geophysics, 2002, v.67, No.5, p.1396-1405.

106. Druzhinin, A. Factorized ray tracing in viscoporoelastic media. — EAGE 64th Conference and Exhibition Florence, Italy, 27-30 May 2002, PI04.

107. Eberhard-Phillips, D., Han, D.-H., and Zoback, M.D. Empirical relationships among seismic velocity, effective pressure, porosity and clay content in sandstone. //Geophysics, 1989, v.54, p.82-89.

108. Engler, H. Similarity solutions for a class of hyperbolic integrodifferential equations. //Differ. Integr. Equ., 1997, v.10, p. 815-845.

109. Fox, C. The G and H Functions as Symmetrical Fourier Kernels. //Trans.Am.Math.Soc, 1961, v.98, p.395-429.

110. Freund, D. Ultrasonic compressional and shear velocities in dry rocks as function of porosity, clay content, and confining pressure. //Geophysical Journal International, 1992, v.108, p.125-135.

111. Geweke, J., and Porter-Hudak, S. The estimation and application of long memory time series models. //J.Time Series Ana., 1983, v.4, p.221-238.

112. Gorenflo, R.and Mainardi F. Approximation of Levy-Feller Diffusion by Random Walk. // Journal for Analysis and its Applications, 1999, v. 18, no.2, p. 231-246/

113. Gurevich, B., Lopatnikov, S.L. Velocity and attenuation of elastic waves in finely layered porous rocks. //Geopisical J.Int., 1995, v. 121, 933-947

114. Hanyga A. A calculus of memory effects in dynamics of porous media. -EAGE 64th Conference and Exhibition Florence, Italy, 27-30 May 2002, P244.

115. Hanyga, A. and Carcione, J. Numerical study of pulse delay effects in poroacoustic wave equation. Trans. 70th Annual International Meeting of Soc. of Expl. Geophysics, 2000, p.2337-2340.

116. Hanyga, A. and Seredynska, M. Power law attenuation in acoustic and isotropic anelastic media. //Geophys.J.Int., 2003, v.155, 830-838.

117. Hanyga, A. and Seredynska, M. Uniformly asymptotic solutions for pseudodifferential equations with singular operators. //J.Comput.Acoustics 2001, 9(2), p.44195-504

118. Hanyga, A., and Seredynska, M. Asymptotic ray theory in poro- and viscoelastic media.//Wave Motion, 1999, v.30, p. 175-195.

119. Hanyga, A., and Seredynska, M. Some effects of the memory kernel singularity on wave propagation and inversion in poroelastic media.-I. Forward problems. //Geophys. J. Int., 1999, v. 137, 319-335.

120. Hanyga, A.and Rok, V. Wave propagation in micro-inhomogeneous porous media: A model based on an integro-differential wave equation. //Journ. Acoust. Soc. Am., 2000, v. 107, no.6, p.2965-2972.

121. Hausdorff, F. //Math. Ann., 1919, Bd.79, S. 157-179

122. Henry, B.I., Wearne, S.L. Fractional Reaction-Diffusion. //Physica A, 2000, v.276, p.448-455.

123. Hilfer, R. Fractional Diffusion Based on Riemasnn-Liuville Fractional Derivatives. //J.Phys.Chem. B, 2000, v. 104, p.3914-3917.

124. Hoop, de, A.T. Representation theorems for the displacement in an elastic solid and their application to elastodynamic diffraction theory. Ph.D. thesis, TU Delft, 1958, 84 p.

125. Hunt, G.A. Random Fourier transforms. //Trans. Amer. Math. Soc., 1951, v.71, p.38-69.

126. Hurst, H, Long-term storage capacity of reservoirs. //Tras. Amer. Soc. Civil Eng., 1951, v. 116, p. 770-808.

127. Jones, S.M. Velocities and quality factors of sedimentary rocks at low and high effective pressures. //Geophysical Journal International, 1995, v. 123, p.774-780.

128. Jonscher, A.K. The 'universal' dielectric response. //Nature, 1977, v.267, 673-679.

129. Katz, A.J., and Thomson, A.H. Fractal sandstoun pores: implications for conductivity and pore formation. //Phys. Rev. Letters, 1985, v.54, No. 12, pp.1325-1328.

130. Kelbert, M.Ia., and Sazonov, I. Pulses and other wave processes in fluids: an asymptotical approach to initial problems. — Dordrecht; Boston: Kluver Academic Publishers, 1996, ix, 226 p.

131. Khaksar, A., Griffiths, C.M., and McCann, C. Compressional- and shear-wave velocities as function of confining stress in dry sandstounes. //Geophysical Prospecting, 1999, v.47, p.487-508.

132. Kirshteller, O., and MacBeth, C. Compliance-based interpretation of dry frame pressure sensitivity in shallow marine sandstone. — In: Expanded abstracts, San Antonio, Society of Exploration Geophysics, 2001, p.2132-2135.

133. Kjartansson, E. Constant Q-wave propagation and attenuation. //J. Geophys. Res., 1979, v. 84, № B9, p.4737-4748.

134. Koch, H. von. Sur une Curbe Continue sans Tangente Obtenue par une Construction Geometrique Elémentaire. //Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik, 1904, B.l, p.681-702.

135. Kunsch, H. Discrimination between monotonie trends and longer range dependence. //J.Appl.Prob., 1986,, v.23, p.1025-1030.

136. Lamperti, J. Semi-stable stochastic process. //Trans. Amer. Math. Soc., 1962, v.104, p.62-78.

137. Leith, J.R. Fractal scaling of fractional diffusion processes. //Sign. Proc., 2003, v.83, p. 2397-2909.

138. Lerche, I.and Petroy, D. Multiple scattering of seismic waves in fractured media. Velocity and effective attenuation.// Pure Appl. Geophys., 1986, v. 124, p. 975-1019.

139. Liuville, J. Memore sur quelques questions de gemetrie et de mecanique, et sur un nouveau gentre de calcul pour resoudre ces questions. //J. l'Ecole Roy. Polytech, 1832, v.13(21), 1-69.

140. Mainardi, F. Linear viscoelasticity. In: A.Gurran (ed.), Vibration and Control of Structures. Syngapore: World-Scientific, 1997.

141. Mainardi, F. Transient waves in linear viscoelasticity. In: A.Gurran (ed.), Vibration and Control of Structures. Syngapore: World-Scientific, 1997.

142. Mainardi, F.and Gorenflo, R. The Mittag-Leffler function in the Riamann-Liuville fractional calculus. In: Proc. Int. Conf., 90-th birth day anniversary of Prof. F.D.Gakhov, Minsk, Belarus, 16-20 February 1996.

143. Mainardi, F.and Tomirotti M. Seismic pulse propagation with constant Q and stable probability distributions. //Annali di Geofísica, 1997, v. 40, no.5, 13111328.

144. Malamud, B.D., Morein, G., Turcotte, D.L. Forest fires: An Example of Self-Organized Critical Behavior. //SCIENCE, 18 Sept. 1998, v. 281, p. 1840-1842.

145. Mandelbrot, B.B. How long is the Costt of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractal Dimension. //Science, 1967, v. 156, No.3775, p.636-638.

146. Mandelbrot, B.B. Fractals: form, chance, and dimension. San Francisco: F.H.Freeman, 1977, 365 p.

147. Mandelbrot, B.B. The fractal geometry of nature. N.Y.: W.H.Freeman and company, 1983, 468 p.

148. Mandelbrot, B.B. Fractals. In: Encyclopedia of Physical Science and Technology/ editor-in-chief, Robert A. Meyers. 3rd ed. San Diego: Academic Press, 2002.

149. Mandelbrot, B.B. How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractal dimension //Science, 1967, v. 155, p. 636-638.

150. Mandelbrot, B.B. and Van Ness, J.W. Fractional Brownian motions, fractiona noises and applications. //SIAM Review, Oct. 1968, v. 10, No.4, p. 422-437.

151. Marrink, S.J., Lincoln Paterson, Knackstedt, M.A. Definition of percolation thresholds on self-affine surfaces. //Physica A, v. 280, 2000, p.207-214.

152. Metzner, R., Barkai, E., Klafter, J. Anomalous Diffusion and Relaxation Close to Thermal Equilibrium: A Fractional Fokker-Planck Equation Approach. //Phys. Rev. Lett., 1999, v.82, No 18, 3563-3567.

153. Metzner, R., Nonnenmacher, T.F. Fractional diffusion: exact representation of spectral functions. //J.Phys. A: Math. Gen, 1997, v.30, p. 1089-1093/

154. Murawski, K. Random sound waves in weakly stratified atmosphere. //Waves in Random Media, 2002, v. 12, p.433-441.

155. Niemeyer, L., Pietronero, L., and Wiesmann, H.J., Fractal Dimension of Dielectric Breakdown. //Phys.Rev.Lett., 1984, v.52, No. 12, p. 1033-1036.

156. Nigmatullin, R.R. The realization of the generalized transfer in a medium with fractal geometry. //Phys. Stat. Solidi, 1986, B133, p.425-430.

157. Ochmann, M.&Makarov, S. Representation of absorption of nonlinear waves by fractional derivatives. //J.Acoust.Soc.Am., 1993, v.94, p.3392-3399.

158. Okubo, P.G.and Aki, K., Fractal geometry in the San Andreas fault systems. J. Geophys. Res., 1987, v.92, p. 345-355.

159. Podlubny, I. Geometric and Physical Interpretation of Fractional Integration and Fractional Differentiation. //Frac. Calculus and Appl. Anal., 2002, v.5, No.4, 367-386.

160. Podlubny, I., Fractional differential equations. Academic Press, San Diego-Boston-New York-London-Tokyo-Tokyo, 1999, 368 p.

161. Pollard, H. The representation of e'** as a Laplace integral. //Bull. Amer. Math. Soc., 1946, v.52, no. 10, p.908-910.

162. Pollard, H. //Bull. Amer. Math. Soc., 1948, v.54, no. 12, p. 1115-1116.

163. Prasad, M., and Manghami, M.H. Effects of pore and differential pressure on compressional wave velocity and quality factor in Beria and Michigan sandstones. //Geophysics, 1997, v.62, p. 1163-1176.

164. Ribodetti, A. and Hanyga, A. Some effects of the memory kernel singularity on wave propagation and inversion in poroelastic media, II: Inversion. //Geophys. J. Int., 2004, v. 158(2), p.426-442.

165. Riemann, B. Versuch einer allgemeinen Aufassung der Integration und differentiation. Gesammelte Matematishe Werke, Leipzig, Teubner, 1876, s. 331-344.

166. Rok, V. Simple Hereditary Media Models with Singular Memory Kernels for Transient Waves in Lossy Media. EAGE/SEG Research Workshop, Pau, France, 30 April-3 May 2001.

167. Rok, V., Druzhinin, A., Evans, R., and Li, X.-Y. Frequency-power-law attenuation scattering by fractal inclusions, EAGE 65th Conf., Stavanger, Norway, 2003, 2-5 June.

168. Rok, V.E. Time delay effect of signal propagation through poroelastic media. 60th Mtg. EAGE, 1998, Session: R004.

169. Rok, V.E. Time-domain representation of waves in media obeying frequency power law of dispersion. In: 58th EAGE meeting/S111 EAPG conference Extended Abstr., vol.1, Amsterdam, The Netherlands, 1996.

170. Rossikhin Yu.A.and Shitikova M.V. Application of fractional calculus to dynamic problems of linear hereditary mechanics of solids. //Appl. Mech. Rev., 1997, vol.50, no.l, p. 15-67.

171. Schapery, R.A. Approximate methods of transform inversion for viscoelastic stress analysis, 2. Proc. 4th U.S. National Congress Appl.Mech., vol. 2, Berkley, CA, 1962, N.Y., ASME, p. 1075-1085.

172. Schneider, W.R., Wyss, W. Fractional diffusion and wave equations. //J.Math.Phys., 1989, v.30, no.l, p. 134-144.

173. Schulzky, C, Essex, C., Davidson, M., Hoffmann, K.H. The similarity group and diffusion equations. //J.Phys.A:Math.Gen, 2000, v.33, p.5501-5511.

174. Shapiro, S.A. Elastic waves scattering and radiation by fractal inhomogeneity of a medium. //Geophys. J. Int., 1992, v.l 10, 591-600.

175. Shapiro, S.A.and Faizullin, I.S. Fractal properties of fault systems by scattering of body seismic waves. //Tectonophysics, 1992, v.202, p. 177-181.

176. Steenstrap, K., Nielsen, M. The Hausdorff Dimension and Scale-Space Normalization of Natural Images. //Journ. Of Visual Comm. and Image Repres., 2000, v.l 1, p.266-277.

177. Szabo, T.L., Time domain wave equation for lossymedia obeying a frequency power law. //J.Acoust.Soc.Am., v.96, No. 1, 1994, p.491-500.

178. Szabo, T.L. Causal theories and data for acoustic attenuation obeying a frequency power law. //J. Acoust. Soc. Amer., 1995, v.97, No 1, 14-24/

179. Thomson, W, (Lord Kelvin), 1856, Elements of a mathematical theory of elasticity. //Phil. Trans. R. Soc., 166,481-498.

180. Thomson, W, (Lord Kelvin), Mathematical theoiy of elasticity, in Encyclopaedia Britannica, 1878, v.7, pp.819-825.

181. Ting, T.C.T., Invariants of anisotropic elastic constants. //Q.J. Mech. appl. Math, 1987, v.40, Pt. 3, 431 -448.

182. Todoeschuck, J.P., Pilkington, M., Gregotski, M.E. If geology is fractal, what do we do next? (round table)//Geophysics: The Leading Edge of Exploration, 1992, 11, No.10, p.29-35.

183. Volterra, V. Leçons sur les fonctions de lignes. Paris, 1913.

184. Volterra, V. Sulle equazioni integrodiffereziali délia theoria dell' elastecita. //Atti délia Reale Accademia dei Lincei. 1909, v.l8,2, 295.

185. Volterra, V. Theoiy of functional and of integral and integrodifferential equations. London, 1959, 226 p.

186. Voss, R.F. Random fractal forgeries, in: Fundamental Algorithms for Computer Graphics (R.A.Ernshaw Ed.), v. 17, 805-835, Springer-Verlag, Berlin, 1985.

187. Wass, R.F., 1985, Random Fractals: Characterization and Measurement, in: Scaling Phenomena in Disordered Systems, Ed. By Pynn, R.&Skjeltorp, A., N.Y.: Plenum Press, p. 1-11.

188. White, J.E. Underground Sound. Application of Seismic Waves. -Elsevier, Amsterdam, 1983, 253 p.

189. White, J.E. Seismic waves in fluid-saturated rocks: An examination of the Biot theory in: White, J.E., et al. Seismic waves: anisotropy fluid saturation and interfaces. Colorado School of Mines Press: 1984, p. 1-32.

190. Wilson, D.K. Relaxation-matched modeling of propagation through porous media including fractal pore structure. // Journ. Acoust. Soc. Amer., 1993, v.94, No.2, Pt.l, p.l 136-1145.

191. Wu, R.S., and Aki, K. The fractal nature of the inhomogeneities in the lithosphere evidenced from seismic wave scattering.// Pure Appl. Geophys., 1985, v.123 (6), p.805-818.

192. Wyss, W. The fractional diffusion equation. //J.Math.Phys., 1986, v.27, no.l 1, p.2782-2785.

193. Yaglom, A.M. Correlation theory of processes with random stationary nth increments. //Amer. Math. Soc. Transl.(2), 1958, v.8, p.87-141.

194. Zimmerman, R.W., Somerton, W.H., and King, M.S. Compressibility of porous rocks. //Journal of Geophysical Research, 1986, v.91, p. 12765-12777.

Информация о работе

Рок, Владимир Ефимович
доктора физико-математических наук
Москва, 2004
ВАК 25.00.10

Диссертация

Наследственные модели переходных волновых процессов в геологических средах, содержащих фрактальные структуры - тема диссертации по наукам о земле, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы