Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Исследование фрактальных свойств геологических сред методами геоэлектрики

ВАК РФ 25.00.10, Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

Автореферат диссертации по теме "Исследование фрактальных свойств геологических сред методами геоэлектрики"

Санкт-Петербургский государственный университет.

На правах рукописи.

Любчич Владимир Алексеевич

Исследование фрактальных свойств геологических сред методами геоэлектрики.

Специальность 25.00.10 - Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург, 2005

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте физики Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент Крылов Сергей Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор геолого-минералогических наук Жамалетдинов Абдулхай Азымович кандидат физико-математических наук Макаренко Николай Григорьевич

Ведущая орг анизация: Центр геоэлектромагнитных исследований Института физики Земли Российской Академии наук

Защита состоится « Л » < 2005 года в /Г часов на заседании диссертаци-

онного совета Д 212.232.19 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д 7/9, Геологический факультет (здание бывшего ПИФИ), ауд. 347.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М. Горького СПбГУ по тому же адресу.

Автореферат разослан 'ЛУ^/^А^^З 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

В.А.Шашкапов

2000>-Ч \&\\0

Введение.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы диссертации.

В последние десятилетия широкое распространение в различных областях естествознания получили идеи нелинейной динамики, исключением не стала и геология. С современных позиций земная кора в целом и отдельные ее элементы рассматриваются как открытые диссипативные динамические системы. Вследствие этого образование различных геологических структур, будь то рудные поля или текстурные особенности распределения льдистости в мерзлых породах, рассматривается не как результат последовательных линейных воздействий различной природы, а как следствие сложного кооперативного взаимодействия многих факторов. Отличительной особенностью таких систем является иерархическая структура их организации, или другими словами фракгальность. Однако большинство фрактальных геологических систем недоступны непосредственному наблюдению, для изучения их свойств приходится использовать геофизические данные. Вследствие этого очень актуальным является решение вопроса, насколько адекватную информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем можно получить, анализируя фрактальные характеристики пространственных рядов геофизических данных, полученных при профилировании над такими системами.

Существует и другой аспект проблемы исследования фрактальных структур. Одним из основных свойств фрактальных систем является их крайняя неоднородность, причем в силу свойства самоподобия неоднородности присутствуют в широком диапазоне масштабов. В том случае, если характерный линейный размер геофизической установки, к примеру, разнос или длина волны, сравним с линейными размерами фрактальной области, то такая среда будет являться макронеоднородной. В силу этого мы не имеем права вводить удельные (плотностные) характеристики среды, такие как плотность или электропроводность, так как их значения на конкретных реализациях случайно неоднородной среды являются плохо определяемыми параметрами, и должны работать с усредненными по большому количеству реализаций величинами. В данной ситуации, меняя характерный размер установки, можно наблюдать такое физическое явление, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от разноса установки. Изучение новых физических явлений, возникающих при измерениях на макронеоднородной среде, в том числе и их эксперр^П^щ^^щл^^^ие, также является весьма актуальной задачей. I БИБЛИОТЕКА

» О Э '

Цель исследования и основные задачи.

Цель работы: во-первых, изучение фрактальной структуры пространственных рядов геофизических данных и ее связи с фрактальными характеристиками геологической среды Во-вторых, исследование и экспериментальное подтверждение явления скейлинга электрических свойств, в частности, кажущегося сопротивления, фрактальных макроне-однородных сред.

В ходе осуществления поставленной цели решены следующие задачи:

Проанализированы различные методы оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно, спектральный метод, мультифрактальный анализ и вейв-лет-анализ, на основе модельных канторовских рядов различной длины Было установлено, что наилучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

Рассмотрены примеры фрактального анализа реальных рядов геофизических данных, полученных в результате микропрофилирования над фрактальными геологическими средами.

Изучено явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления, экспериментально подтвержденное при измерениях различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки Веннера, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, рассматривавшегося как модель фрактальной макронеоднородной среды.

На примере Мончегорского рудного района показана возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления в реальных геологических средах, таких как, например, Печенгско-Варзугская рифтогенная структура

Основные защищаемые положения.

1. Результаты моделирования фрактальных пространственных рядов данных позволили исследовать эффективность различных методов оценки фрактальной размерности и показать, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.

2 Ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем

3. При измерениях на макронеоднородной среде, то есть в случаях, когда характерный линейный размер геофизических установок сравним или меньше размеров фракталь-

ной области, наблюдается явление фрактального скейлинга, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки Фрактальный скейлинг кажущегося сопротивления экспериментально подтвержден при лабораторных измерениях разными электроразведочными установками на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

4 Скейлинг кажущегося сопротивления может проявляться и в более крупных фрактальных геологических системах, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, характеризующаяся широким распространением тектонических нарушений различного масштаба и направления, в том числе и контролирующих размещение рудоносных массивов. В этом случае явление скейлинга кажущегося сопротивления наблюдается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Научная новизна.

1. Впервые на основе ряда, полученного по результатам физического моделирования, проведен сравшггельный анализ различных методов оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно, спектрального метода, мультифрактально-го анализа, вей влет-анализа.

2. Впервые экспериментально исследовано явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления в диапазоне масштабов от 1 до 10 см при измерениях на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

3. Впервые показана возможность проявления фрактального скейлинга электрических свойств в реальных геологических системах на примере рифтогснной структуры Мончегорского рудного района.

Методы исследований и фактический материал.

Для анализа фрактальных характеристик пространственных рядов данных использовались спектральный метод, мультифрактальный формализм и вейвлет-анализ. Данными методами анализировались пространственные ряды данных, полученные в результате специальных работ по индуктивному микропрофилированию, проводившихся сотрудниками лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли СПбГУ в 1994-96 гг. на территории Бованенковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал, где исследовались фрактальные свойства распределения льдистости в мерзлых породах, и в 1999 г. на территории Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове, где изучалась фрактальная структура распределения тел железистых кварцитов.

Явление скейлинга электрических свойств фрактальных случайно неоднородных систем рассматривалось в рамках теории перколяции, основные моменты которой приведены в подробном обзоре Бунда и Хавлина [Bunde А., Havlin S , 1991]. Эксперименталь-

ный материал, продемонстрировавший явление скейлинга кажущегося сопротивления, был также получен при участии автора на кафедре физики Земли СПбГУ в результате серии измерений с различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлек-тродпая установки Веннера, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой Образец железистого кварцита был взят сотрудниками Геологического инстигута КНЦ РАН на одном из обнажений Пе-чегубского месторождения и передан кафедре физики Земли СПбГУ для исследования электрических свойств фрактальных структур.

Исследование фрактальных свойств Печенгско-Варзугской рифтогснной структуры и выявление возможности скейлинга кажущегося сопротивления в столь крупных геологических системах проводилось на основе материалов, полученных ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» при проведении поисковых геологоразведочных работ, а также региональных геофизических исследований методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе Результаты проведенных работ представлены в соответствующих геологических отчетах [Шолохнев ВВ, Поляков ИВ, 1998; Шолохнев В.В , Пустовойтов B.C., 2003: Любчич В.А., Ронин А Л., Поликарпов В.К., 2003]

Практическая ценность работы.

Как уже отмечалось выше, в последние годы всс большее распространение в геологии находят идеи нелинейной геодинамики, все большее количество геологических систем, их генезис и структура рассматриваются с этих новых позиций [Горяинов П.М., Ива-нюк Г.Ю., 2001] Вследствие недоступности большинства этих геологических систем непосредственному наблюдению исследование их фрактальных свойств производится с помощью геофизических методов Естественно, что выяснение вопроса, насколько адекватную информацию о свойствах геологических систем можно получить при исследовании фрактальных характеристик пространственных рядов геофизических данных, представляет большой практический интерес.

Практическую ценность имеют и результаты исследования электрических свойств макронеоднородных систем Современная геофизика все чаще выходит за рамки градици-онной горизонтально-слоистой однородной модели среды Поэтому при проведении геофизических работ на геологических разрезах, обладающих фрактальными свойствами, необходимо учитывать возможность таких явлений, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от хараетерного размера установки.

Личный вклад автора.

В процессе выполнения работы автор:

Разработал программы расчета спектров сингулярности АГа) для исследования муль-тифрактальных характеристик распределения льдистости в мерзлых породах

Провел сравнительный анализ спектрального метода, мультифрактального анализа и вейвлет-анализа на основе модельных канторовских рядов различной длины и установил, что наиболее достоверные результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

В составе группы сотрудников лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли принимал участие в работах по индуктивному микропрофилированию на территориях Бо-ваненковского газокопденсатного месторождения на полуострове Ямал и Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове Исследовал фрактальные характеристики полученных таким образом пространственных рядов геофизических данных

Провел серию измерений с потенциальной двухэлектродной установкой на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой, и экспериментально подтвердил явление скейлинга кажущегося сопротивления.

Во время работы в ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» принимал участие в проведении полевых работ методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Провел фрактальный анализ рядов магнитной съемки по опорным буровым профилям, пересчитал значения градиентов электрического потенциала АиЯ в величины кажущегося сопротивления рь и выявил возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления для рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.

Апробация.

Результаты исследований, представленные в работе, докладывались на международной конференции «Неклассическая геоэлектрика», Саратов, Россия, 28 августа - 1 сентября 1995 г.;

международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками», Санкт-Петербург, Россия, 1996 г;

годичном собрании Совета по криологии Земли РАН, Пущино, 1996 г.; всероссийской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-97», Санкт-Петербург, Россия, 3-6 июня 1997 г.;

IV конференции по геологической синергетике, Апатиты, Россия, 16-20 июня 1998г.; международной конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-99», Санкт-Петербург, Россия, 9-12 ноября 1999 г.;

международной конференции «Проблемы геокосмоса», Санкт-Петербург, Россия, май 2000 г.;

международной конференции «Неклассическая геофизика», Саратов, Россия, 28 августа - 1 сентября 2000 г.;

16 Workshop on electromagnetic induction, College of Santa Fe, Santa Fe, New Mexico, USA, June 16-22, 2002;

30-й сессии международного семинара им. Д.Г. Успенского, Москва, Россия, 2003 г.

Публикации.

Общее число публикаций по теме диссертации - 17, в их числе три статьи в научных периодических изданиях, две статьи в сборниках научных конференций, глава в научной монографии Горяинова П.М., Иванюка Г.Ю. «Самоорганизация минеральных систем. Си-нергетические принципы геологических исследований», одиннадцать тезисов научных конференций.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 124 страницы машинописного текста, включая 50 рисунков.

Теоретические основы методов фрактального анализа и примеры практического приложения теории фракталов в различных областях естественных наук изложены в трудах Федера [Федер Е., 1991], Туркотта [Turcotte D.L, 1992], Мандельброта [Mandelbrot В.В., 1982, 1989], Фальконера [Falconer К., 2003] и др Исследованиям иерархической организации строения земной коры и фрактальных свойств различных геологических систем посвящены работы M А Садовского, В Ф Писаренко и других авторов [Дискретные свойства геофизической среды, 1989], Бака [Bak Р.,1997], П.М. Горяинова, Г.Ю. Иванюка и других авторов [Горяинов П.М., Иванкж Г.Ю., 2001]. Влияние фрактальной структуры гетерогенных сред на распространение электромагнитных полей рассмотрено в работе В.В. Филатова [Филатов В.В., 2002] и др. Множество работ как отечественных, так и зарубежных авторов посвящено изучению фрактальных свойств пространственных и временных рядов данных, в частности, это работы A.B. Дещеревского [Дещеревский A.B., 1997], С.С. Крылова и других авторов [Крылов С.С., Сорока И.В., Любчич В.А., 1996], Хитачи [Higuchi Т., 1988, 1990], Мауса и Димри [Maus S , Dimri V Р , 1995], Пилкингтона и других авторов [Pilkington M., Gregotski M E, Todoeschuk J P, 1994]. Одним из приложений теории фракталов в задачах геофизики является изучение физических свойств мак-ронеоднородных сред в рамках теории перколяции Результаты исследований зарубежных ученых в этой области подробно изложены в обзоре Бунда и Хавлина [Bunde A., Havlin S , 1991]. Изучению электрических свойств перколяционных систем посвящены также рабо-

ты Б И. Шкловского и Л Л. Эфроса [Шкловский Б И., Эфрос Л.Л , 1975], А Е Морозов-ского и С.С Снарского [Морозовский А Е., Снарский С.С., 1996] и других авторов.

Глава 1.

В первой главе изложены общие свойства фрактальных множеств, рассмотрены методы оценки фрактальной размерности.

Земная кора в целом и отдельные ее элементы относятся к классу открытых дисси-пативных динамических систем. Согласно современным представлениям физики, подробно изложенным в книге Бака [Вак Р., 1997], подобные системы эволюционируют к состоянию "самоорганизованной критичности", для которого характерна иерархическая организация неоднородностей и степенные законы во временных и пространственных распределениях меняющихся параметров Вследствие этого многие геологические структуры обладают фрактальными свойствами. Примерами могут служить распределение архейских железорудных комплексов, размещение интрузивных массивов и связанные с ними месторождения цветных металлов, системы тектонических разломов и т.п.

Для исследования подобных геологических систем, обладающих иерархическим строением, удобно использовать элементы теории фрактальных множеств. Основной количественной характеристикой фрактального множества является его размерность с^, величина, показывающая, насколько плотно заполняет фрактальное множество занимаемое им пространство с топологической размерностью А. Чем выше фрактальная размерность, тем больше плотность заполнения.

Однако, большинство геологических систем, обладающих фрактальными свойствами, недоступно непосредственному наблюдению, и для их изучения необходимо использовать геофизические методы Поэтому, как правило, приходится иметь дело не с локализованными в пространстве элементами геологических структур, а с измеряемыми характеристиками геофизических полей.

В случае, когда разрешающая способность геофизической установки сравнима с размером минимального элемента фрактального объекта, а характерная область ее действия Ь мала по сравнению с размерами исследуемых фрактальных геологических систем Ь0 (Ь « Ьс), мы имеем возможность получать статистику распределения неоднородностей, проводя профилирование или съемку по площади, не меняя параметров установки При анализе полученной геофизической информации мы можем рассматривать минимальный элемент фрактальной структуры как квазиоднородпый и вводить традиционные удельные характеристики среды, такие как электропроводность, магнитная восприимчивость или плотность, после чего исследовать фрактальные свойства распределения этих величин по профилю или площади съемки.

Другими словами, пабшодепные ряды геофизических данных рассматриваются как самоаффинные фрактальные кривые Следует, однако, помнить, что фрактальную размерность, оцененную по пространственным рядам геофизических данных, нельзя напрямую отождествлять с фрактальной размерностью самой геологической структуры Это связано с тем, что реальные пространственные ряды геофизических параметров всегда зашумлены случайными помехами, аппаратурными или от присутствия случайных, некоррелированных геологических неоднородностей в приповерхностном слое разреза Кроме того, вследствие ограниченности разрешающей способности геофизических установок при наблюдениях мы все равно получаем некоторые усредненные характеристики среды, то есть зачастую на величину измеренного геофизического параметра в данной точке профиля могут оказывать влияние и соседние элементы фрактальной геологической структуры.

Для исследования эффективности восстановления фрактальной размерности среды по пространственным рядам геофизических данных был проведен сравнительный анализ различных методов оценки фрактальной размерности, а именно, спектрального метода, мультифрактального формализма и вейвлет-анализа

Наиболее распространенным является спектральный метод, основанный на рассмотрении спектральной плотности мощности ряда. В книге Туркотга [Turcotte D.L., 1992] показано, что спектр плотности мощности самоаффинной кривой, представленный в двойном логарифмическом масштабе, имеет линейно спадающий участок, тангенс угла наклона которого р = - tg а связан с фрактальной размерностью кривой dr простой формулой:

df=(5-(?)/2

Для аппроксимации линейно спадающего участка спектра прямой линией используется обычно метод наименьших квадратов, при этом мерой обоснованности представления спектральной кривой в виде прямой линии может служить коэффициент линейной корреляции. Как показано в работе Дещеревского [Дещеревский А.В , 1997], достаточно уверенно кривую можно рассматривать как самоаффинный фрактал в случае, если этот коэффициент превышает значение 0,7.

Но более адекватно, как отмечал в своей статье Мандельброт [Mandelbrot В.В., 1989], для описания реальных фрактальных геологических сред и измеренных над ними геофизических полей использовать мультифрактальный анализ, изучающий сингулярное распределение мультифрактальной меры по геометрическому носителю. В случае пространственных радов геофизических данных в качестве мультифрактальной меры рассматривается измеряемая геофизическая величина Инструментом для описания распределений мультифрактальных мер является спектр сингулярности f(a), где параметр а, назы-

ваемый показателем Липпшца-Гельдера, однозначно связан с определенным значением меры |i(dt) в выбранной ячейке

a(t)= Um

dt-»0 1og(dt)

а соответствующее ему значепие функции f(a) определяет фрактальную размерность подмножества ячеек, имеющих одинаковое значение показателя а, то есть несущих одинаковую меру |¿(dt) (Как правило, при анализе реальных пространственных рядов данных минимальный размер ячейки определяется шагом съемки, поэтому вместо предельной величины для характеристики меры используется приближенное значение показателя a(t), именуемое крупнозернистым показателем сингулярности).

Иными словами, в мультифрактальном подходе предполагается, что характер изменения какого-либо геофизического параметра по профилю однозначно связан с картиной распределения неоднородностей в среде, к примеру, с изменением концентрации рудных минералов При этом горные породы с определенной концентрацией рудных минералов образуют некоторое фрактальное подмножество с определенной фрактальной размерностью. А распределение неоднородностей в целом представляет собой бесконечное объединение подобных подмножеств, каждое из которых характеризуется собственной фрактальной размерностью.

Если распределение неоднородностей по профилю носит мультифрактальный характер, то будет наблюдаться более-менее широкий спектр сингулярности f(ct) с ординатой максимума приблизительно равной единице В качестве оценки фрактальной размерности ряда можно использовать значение энтропийной размерности fs(cts) = «s, величины, определяющей фрактальную размерность такого подмножества, на котором сконцентрирована основная часть мультифракгальной меры. В том случае, если распределение меры носит унофрактальный характер, то спектр сингулярности f(a) будет вырождаться в точку а -fl[a) = df, тогда оценка фрактальной размерности ряда будет соответствовать ординате максимума спектра f™*-

Хорошие результаты в исследовании иерархической структуры наблюденных рядов данных показывает вейвлет-анализ. Вейвлет-преобразование одномерного сигнала представляет собой его разложение по базису солитоноподобных функций (вейвлетов) и обеспечивает своеобразную двумерную развертку исследуемого сигнала в физическом (координата) и частотном пространствах, при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные. Как отмечала в своей статье Н.М. Астафьева [Астафьева Н.М., 1996], вейвлет-анализ пространственных и временных радов данных обладает неоспори-

мыми преимуществами по сравнению с традиционным спектральным анализом, основанном на преобразовании Фурье исследуемого сигнала.

Во-первых, вейвлет-преобразование обладает подвижным частотно-временным окном, с узким временным интервалом на высоких частотах и с широким на низких, при этом площадь частотно-временного окна остается постоянной, что обеспечивает хорошую частотно-временную локализацию информации об особенностях сигнала. Благодаря этому, вейвлет-анализ более наглядно представляет полученные результаты и позволяет рассмотреть особенности сигнала на различных масштабных уровнях (частотах), динамику их изменений вдоль масштабной и координатной осей. Причем основная информация об особенностях сигнала сосредоточена в так называемом скелетоне вейвлет- преобразования - множестве точек на плоскости, в которых находятся локальные максимумы непрерывного вейвлет-преобразования.

Во-вторых, так как базис вейвлет-преобразования конструируется из одного вейвле-та \|/(1) посредством масштабных растяжений и сдвигов, то он обладает свойством автомо-дельности. Свойство автомодельности базисных функций позволяет успешно применять вейвлет-преобразование для анализа не только гармонических сигналов, но и фрактальных рядов, имеющих иерархическую структуру. Для таких рядов распределение локальных максимумов (скелетон) непрерывного вейвлет-преобразования также будет иметь иерархическое строение или, другими словами, древовидную структуру. По скорости ветвления хребтов скелетона можно оценить фрактальную размерность геофизического ряда

ф = 1л(К(а))/1л(а),

где а - масштабный параметр (аналог частоты), К(а) - число максимумов вейвлет-преобразования на данном масштабе а.

Для оценки эффективности вышеописанных методов определения фрактальной размерности на кафедре физики Земли СПбГУ был сконструирован специальный модельный ряд. Была смоделирована структура, соответствующая предфракталу третьего поколения триадного канторовского множества, размерность которого <11 равняется 0,631. В крест простирания этой структуры было проведено индуктивное профилирование, разнос установки был меньше размера структуры, соответственно "хвосты" профильной кривой также были меньше этого размера Вследствие этого полученную профильную кривую можно было искусственно размножить до размеров, соответствующих любому более высокому порядку предфрактала канторовского множества. Размноженные ряды обрабатывались стандартными приемами фрактального анализа - спектральным методом, мультифрак-тальным анализом и вейвлет-анализом. В итоге было установлено, что наилучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по

достаточно небольшим пространственным рядам данных, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

Глава 2.

Во второй главе рассмотрены примеры использования фрактальных методов для анализа реально наблюденных рядов геофизических данных.

Выше уже отмечалось, что большинство геологических систем недоступны непосредственному наблюдению, вследствие чего изучение их фрактальных свойств возможно только с помощью измеренных на поверхности характеристик геофизических полей. Таким образом, ряды данных профилирования рассматриваются как самоаффинные кривые, изучение фрактальных свойств которых позволяет делать определенные выводы о фрак-талыюсти самих исследуемых геологических объектов. Однако, в большинстве случаев существенным затруднением для изучения фрактальных свойств пространственных рядов данных является их недостаточная длина. С целью обеспечения статистического подхода к изучению фрактальных сред группой сотрудников кафедры физики Земли СПбГУ проводились специальные эксперименты по микропрофилированию, на участках проведения работ выполнялось дипольное индуктивное профилирование с детальным шагом 1 метр.

Впервые такие исследования были проведены на территории Бованенковского газо-конденсатного месторождения, на полуострове Ямал, в 1994-96 гг. На 63 кусте Бованенковского ГКМ, где ранее отмечались искажения кривых электромагнитных зондирований (ЭМЗ), было выполнено дипольное индуктивное микропрофилирование на трех частотах: 40, 80 и 320 кГц, длина профилей составляла 1024 м Данный район характеризуется сплошным распространением многолетнемерзлых пород. Важной особенностью геологического разреза участка работ на 63 кусте является наличие различной криотекстуры мерзлых пород: сетчатой, шлировой, корковой, массивной. Поэтому справедливо предположить, что распределение неоднородностей (льда) в мерзлом слое носит не фрактальный, а мультифрактальный характер. Результаты мультифрактального анализа подтверждают это предположение. Полученные спектры сингулярности Яа) имели ординату максимума равную 1, наиболее яркими фрактальными свойствами, а именно, наибольшей шириной спектра и наименьшей энтропийной размерностью ^ = 0,975 ± 0,004, обладала профильная кривая, соответствующая частоте £ = 40 кГц. Полученный результат хорошо согласуется с геологическим строением участка, так как скин-слой проникновения электромагнитного поля на частоте 40 кГц наиболее полно захватывает слой сильнольдистых засоленных глин морского генезиса, залегающий на глубине 6-20 метров. По результатам проведенных исследований [Крылов С.С., Бобров Н.Ю., 1997; Крылов С.С., Бобров Н Ю ,

Любчич В Л , 1995] имеппо этот слой отвечает за аномальные эффекты, искажаюшие кривые ЭМЗ, и обладает фрактальными свойствами.

Эксперименты по микропрофилированию проводились также в 1999 году на территории Печегубского месторождения в Оленегорском железорудном районе, на Кольском полуострове, где иссчедовались фрактальные свойства распределения железистых кварцитов [Бобров Н Ю , Крылов С С., Любчич В.А., 2004, Любчич В.А., 2000] Профессор П.М. Горяинов в своих работах [Горяинов П.М., 1995; Горяинов П.М., Иванюк Г.Ю., 2001] отмечал масштабную инвариантность в организации архейских железорудных комплексов, представленных системой иерархически соподчиненных линзовидных структур. Печегубское месторождение представляет одну из структурных единиц этой общей иерархической системы. С целью изучения фрактальных характеристик распределения железистых кварцитов через Печегубское месторождение было проведено дипольное электромагнитное микропрофилирование по двум профилям, измерения проводились на частоте 640 кГц, длина профилей составляла 512 метров. В отличие от первого примера тела железистых кварцитов достаточно четко локализованы в пространстве, и концентрация рудных минералов магнетита в пределах тел изменяется незначительно, поэтому их распределение носит скорее фрактальный, а не мультифрактальный характер. Это подтверждают результаты вейвлет-анализа. Так величина фрактальной размерности <1{, оцененная по скорости ветвления скелетона (учитывались только интенсивные максимумы вейвлет-преобразования), составляет = 0,60 ± 0,02 для профиля № 1 и (1г = 0,59 ± 0,03 для профиля №2.

Подводя итоги, можно сделать следующий вывод, что ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах самих исследуемых геологических систем.

Глава 3.

В третьей главе рассматривается явление скейлинга электрических свойств случайно-неоднородной, фрактальной среды, даны основные теоретические представления о природе этого явления, рассмотрены результаты эксперимента по изучению фрактального скейлинга кажущегося сопротивления, полученные при измерениях на образце железистого кварцита.

В том случае, когда характерные размеры геофизических установок (разнос или длина волны) сравнимы с размерами фрактальной области (Ь ~ Ьс), при изменении характерного размера установки, мы можем наблюдать такое явление, как фрактальный скей-линг, или степенная зависимость геофизических характеристик среды от разноса установ-

ки При этом фрактальная среда рассматривается как макронеоднородная, то есть измеряемые характеристики среды будут сильно зависеть от конкретного положения установки в пространстве и ее геометрии Поэтому в этом случае нельзя вводить удельные (плот-ностные) характеристики среды, так как их значения являются плохо определяемыми параметрами, а необходимо работать с усредненными по большому количеству измерений величинами.

Удобной физической моделью макронеоднородной среды служит перколяционная система. Элементы проводящих кластеров (ветви, пустоты, граничные линии) выглядят одинаково во всех масштабах, иными словами, кластеры являются самоподобными структурами и, соответственно, их можно рассматривать как фрактальные системы на масштабах, меньших определенной величины % называемой корреляционной длиной (среднее расстояние между точками кластера, усредненное по всем кластерам системы) Теория перколяции - это целый комплекс задач, связанных с протеканием через случайно-неоднородную среду условной «жидкости», например, электрического тока, и изучением свойств среды вблизи порога протекания, фазового перехода между двумя состояниями системы: проводящим и непроводящим, в физике его часто называют переходом «металл-диэлектрик» Подробный обзор этих задач представлен в работе Бунда и Хавлина [Bunde А., Havlin S., 1991]

Проведенные численные эксперименты показывают, что основные характеристики перколяционной системы, такие как корреляционная длши электропроводность системы а и другие, вблизи порога протекания подчиняются степенным законам Если линейный размер L = а% (а < 1) рассматриваемой перколяционной системы сравним или меньше корреляционной длиной то зависимость электропроводности системы а от линейного размера L определяется следующей формулой:

Полное сопротивление перколяционной системы Я также зависит от величины Ь степенным образом:

где d - топологическая размерность пространства.

Такая зависимость электрических характеристик от масштаба Г, называется конечномерным скейлингом, а критические индексы р, С - скейлинговыми показателями Явление конечномерного скейлинга подробно рассматривалось в обзоре Бунда и Хавлина

стэфф Р

[Випс1е А , Иау1т 8 , 1991], в работе Морозовского и Снарского [Морозовекий А.Е , Снар-ский С.С., 1996] и др

В случае геофизических измерений линейный размер исследуемой системы Ь определяется характерным размером измерительной установки, например, разносом при измерениях методами постоянного тока или длиной волны при частотных зондированиях Обычно при измерениях, проводимых с помощью электроразведочных установок на постоянном токе, мы получаем не эффективную электропроводность аэфф, а кажущееся сопротивление рк, которое в общем случае зависит от методики измерений. Поэтому для изучения скейлинга кажущегося сопротивления необходимо выбрать конкретный вид установки и однозначно установить характерный размер Т. Так, например, для установки Веннера таким характерным размером будет расстояние между соседними электродами (Ь = АМ = МИ = Ш), для двухэлектродной установки - разнос Ь = АМ.

Так как на размерах Ь < ^ (во фрактальной области) при разных положениях измерительной установки будут получаться существенно различные значения кажущегося сопротивления, то необходимо рассматривать пе конкретное значение рь полученное при одном измерении на перколяционной структуре, а усредненные значения <рь> по большому числу измерений при случайно выбранных положениях установки. Усредненное кажущееся сопротивление также должно подчиняться скейлинговому соотношению:

<Рк

где рк - новый индекс, в общем случае, зависящий от типа электроразведочной установки. Так на примере простых регулярных фракталов, кривой Коха или иерархической модели ДеАркангслиса, для четырехэлектродной установки Веннера показано, что:

Рк =р + 3-(1

Строго показать справедливость данной формулы можно, если получить оценку рк для конкретных установок, используя, например, метод случайных блужданий Скейлинг кажущегося сопротивления подробно рассмотрен в статье С.С Крылова и В.А. Любчича [Крылов С.С., Любчич В .А., 2002].

С целью экспериментального исследования фрактального скейлинга кажущегося сопротивления была проведена серия измерений на образце железистого кварцита, предоставленном кафедре физики Земли СПбГУ сотрудниками Геологического института КНЦ РАН. Подробно фрактальные свойства железистых кварцитов были описаны в работах Н.М.Горяинова, Г.Ю.Иванюка и соавторов [Горяинов ПМ., Иванюк Г.Ю., 2001; Егоров Д.Г., Иванюк Г.Ю., 1996; Иванюк Г.Ю., 1997]. На основе геометрических измерений, выполненных на обнажениях и образцах, этими авторами были изучены самоподобные

структуры микроскладчатости и полосчатости и получены оценки фрактальной размерности данных структур Проведенные исследования показали, что, по крайней мере, в диапазоне масштабов от единиц миллиметров до десятков сантиметров фрактальные модели хорошо описывают распределение кварца и магнетита в этих породах.

Таким образом, образец железистого кварцита размерами приблизительно 0,9 х 0,7 х 0,2 м рассматривался как модель фрактальной макронеоднородной системы и использовался для экспериментального изучения скейлинга кажущегося сопротивления. Образец имел квазиплоскую форму, одна из его поверхностей была выровнена, и на ней были проведены измерения электрических свойств с помощью трех- и четырехэлектродной установок Веннера, а также двухэлектродной потенциальной установки, что позволило выявить скейлинг кажущегося сопротивления и получить статистически состоятельные оценки степенного показателя Р^ .

Измерения проводились по специальной схеме во взаимно перпендикулярных направлениях от питающего электрода А, который после серии измерений передвигался по сетке с шагом 1 см При каждом положении электрода А выполнялись измерения на 11 разносах, максимальный разнос Ь равнялся 5 см, минимальный - 1 см. Число "стоянок" электрода А достигало 60, таким образом, на каждый разнос приходилось по 100-120 измерений. (При использовании двухэлектродной установки измерения выполнялись на 18 разносах в диапазоне от 1 до 10 см, на каждый разнос приходилось около 120 отсчетов.) Измеренные значения Д1) пересчитывались в значения кажущегося сопротивления р„, которые усреднялись для каждого разноса Т. Использовались два варианта усреднения - с учетом нулевых значений Ди и без учета, когда рк берется только по проводят им путям Затем в двойном логарифмическом масштабе строились графики зависимости /рк)от Ь,

по наклону которых и определялись значения показателя р^ .

Линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов для трехэлектродной установки дает значение скейлингового показателя р!к = 1.49 ± 0.04 (без нулей) и 1 58 ± 0.06 (с нулями) Для четырехэлектродной установки скейлинговый показатель равен соответственно 1.61 ± 0 06 и 1.73 ±0.08. Коэффициент линейной корреляции во всех случаях превышал значение 0 99. (Для потенциальной (двухэлектродной) установки скейлинговый показатель р^ = 0 78 ± 0.03 (без нулей) и 0.74 ± 0.03 (с нулями). Коэффициент линейной корреляции в этом случае также имеет высокое значение 0 98 ) Так как средние значения кажущегося сопротивления ложатся на прямую линию в двойном логарифмическом масштабе с очень высоким коэффициентом линейной корреляции, то можно сделать вывод,

что мы действительно наблюдаем явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления.

Полученные результаты позволили сделать еще один важный вывод. Если проанализировать зависимости 1п(рк)от 1п1_, получешше при измерениях по разным направлениям, можно убедиться, что показатель рк меняется. Если мы выберем взаимно перпендикулярные направления, соответствующие максимальному и минимальному р^ , мы можем получить зависимость от масштаба кажущегося коэффициента анизотропии А* . Для четы-рехэлектродной установки скейлинговый показатель коэффициента анизотропии равен 0.49 ±0.14 Таким образом, железистый кварцит следует рассматривать как анизотропную фрактальную систему.

Необходимо отметить, что выявленная степенная зависимость среднего кажущегося сопротивления от разноса установки относится к очень малому диапазону масштабов, от одного до десяти сантиметров. Фактически, проведенный эксперимент только демонстрирует возможность проявления скейлинга в реальных средах Геологические фрактальные системы могут иметь существенно большие размеры, от единиц до десятков и сотен километров И в этих случаях мы также можем столкнуться с таким явлением, как скейлинг кажущегося сопротивления.

Глава 4.

В четвертой главе рассматривается возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на примере Мончегорского рудного района. В геолого-структурном отношении район входит в состав раннепротерозойского Печенгско-Варзугского рифтогенного пояса, представленного мощным комплексом осадочно-вулканогенных и интрузивных образований. Длительный процесс формирования Печенг-ско-Варзугской рифтогенной структуры происходил в условиях сжатия и сопровождался блокировкой коры и формированием сложной системы региональных сдвигов, сбросо-сдвигов, зон милонигизации пород и т п Вследствие чего разрывные тектонические нарушения различного направления и масштаба имеют в данном районе исключительно широкое распространение Блоковое строение района определяется глубинными региональными разломами северо-западного и северо-восточного направлений, с крупными тектоническими разломами сопряжены разрывные нарушения более высоких порядков, в том числе и контролирующие размещение рудоносных массивов.

В 1994-2003 гг. в центральной части Мончегорского рудного района проводились детальные геологоразведочные работы, нацеленные на поиск медно-никелевых, хромовых и платинометальных руд [Шолохнев В.В., Поляков И.В., 1998; Шолохнев В.В., Пустовой-

tob B.C , 2003]. Исследования, в основном, были сосредоточены в районе Мончегорского плутопа, юго-восточной части Мончетундровского хребта и в сложной зоне сочленения этих массивов В результате проведенных геологоразведочных работ в этом районе были выделены четыре рудоперспективные зоны, характерной особенностью геологического строения которых являются элементы иерархической организации сингенетических рудных горизонтов. А если учесть, ч го сложноразветвленная система тектонических нарушений различных масштабов, контролирующих положение и локализацию богатых эпигенетических руд, также имеет самоподобную структуру, то Мончегорский рудный район в целом можно рассматривать в качестве некой фрактальной геологической системы

В пользу фрактальной организации Мончегорской рудной системы говорят и результаты вейвлет-анализа рядов данных магнитной съемки по отдельным опорным буровым профилям Геологический разрез на участке представлен переслаивающимися породами осповпого-ультраосновного состава, причем данные пачки пород характеризуются достаточно крутым падением (до 70-80°) в юго-западном направлении, к центру Монче-тундровской интрузии По данным бурения установлено, что расположение рудных тел в разрезе носит иерархический характер, области рудной минерализации сгруппированы в отдельных подзонах, внутри которых они, в свою очередь, подразделяются на отдельные рудные прослои. Как правило, рудные прослои характеризуются повышенной концентрацией магнитных минералов, будь то магнетит, характерный для серпентинизированных перидотитов в рудной зоне № 2, или магнитные сульфидные минералы, такие как пирротин, преобладающие в рудной зоне № 3, вследствие чего иерархическая структура распределения рудных тел находит свое отражение в магнитном поле и отчетливо отражается в скелетонах вейвлет-преобразований пространственных рядов данных. Фрактальная размерность, оцененная по скорости ветвления хребтов скелетона, равна dr - 0,90 ± 0,03.

Наряду с поисковыми геологоразведочными работами в Мончегорском рудном районе в 1999-2003 гг. проводились региональные геофизические исследования методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) с целью выявления и геомстризации в пространстве слож-нопостроенной рудно-магматической системы (РМС) [Любчич В.А., Ронин А.Л., Поликарпов В К , 2003] Как правило, выделяемые по данным ММЗ проводящие области ассоциируются с ослабленными тектоническими зонами, благоприятными для отложения богатых эпигенетических руд, или с известными в районе хорошо проводящими жильными полями медно-никелевых руд.

В центральной части рудного района заряд осуществлялся в жильное поле эпигенетических медно-никелевых руд Ниттис-Кумужья-Травяная (скважина М-9) и в рудопрояв-ление массивных медно-никелевых руд Лойпишнюн (скважина 1710). Съемка ММЗ про-

изводилась по сети 500-1000 х 100 м, с обязательным перекрытием планшетов. Отличительной особенностью работ методом мелкомасштабного заряда являлась значительная площадь планшетов съемок от каждой точки заряда (свыше 200 км2), что обеспечивало большие массивы измеренных данных, достаточные для статистического изучения электрических свойств Мончегорской рудно-магматической системы С этой целью измеренные зпачепия градиентов электрического потенциала ди пересчитывались в кажущееся сопротивление рк по формуле для трехэлектродной установки, питающий электрод А которой погружен на глубину И от дневной поверхности Для того чтобы не учитывать влияния электрода «бесконечность» В, располагавшегося за границами планшетов, массивы пересчитанных значений кажущегося сопротивления ограничивались лишь теми точками, расстояние от которых до погруженного электрода А не превышало приблизительно седьмой части длины питающей линии АВ (АО < АВ / 7). Общий объем массива данных в сумме составил 1400 точек.

Для исследования фрактального скейлинга кажущегося сопротивления необходимо, во-первых, выбрать характерный размер установки Ь и, во-вторых, произвести каким-либо образом усреднение значений р, в зависимости от величины разноса установки. В данном случае электроразведочную установку можно рассматривать как предельную трех электродную (АО » МЬ() с погруженным на глубину Ь источником А, характерным размером Ь для такой установки служит расстояние от источника до середины приемного диполя (Ь = АО). Очевидно, что при проведении полевых работ по реальной топографической сети на каждый конкретный разнос установки приходится одна, в лучшем случае, две точки наблюдений, вследствие чего усреднение значений кажущегося сопротивления рк проводилось дискретно с шагом 100 метров. То есть, к примеру, характерному размеру Ь = 500 м соответствует среднее значение кажущегося сопротивления <рк>, усредненное по всем точкам, для которых реальный разнос установки АО находился в диапазоне от 500 до 600 метров, соответственно размеру Ь = 600 м отвечает диапазон изменения разноса АО от 600 до 700 м и т.п. При таком способе усреднения на каждое значение характерного размера установки Ь приходилось примерно по 15-20 значений кажущегося сопротивления рк, с учетом, что усреднение проводилось по двум планшетам съемки, то есть двум положениям питающего электрода А. Диапазон изменения характерного размера Ь находился в пределах от 100 до 4400 м.

На графике зависимости усредненного таким образом кажущегося сопротивления <Рк> от характерного размера установки Ь в двойном логарифмическом масштабе отчетливо просматривается тенденция к росту значений <рк> с увеличением разноса установки Линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов дает значение скейлингового

показателя (Х^ для данной установки 0,71 ± 0,09 с коэффициентом линейной корреляции 0,78. Достаточно высокое значение коэффициента линейной корреляции позволяет говорить о линейной зависимости в двойном логарифмическом масштабе среднего кажущегося сопротивления <рк> от характерного размера установки Ь.

Подводя итоги, можно сделать следующий вывод' явление скейлинга кажущегося сопротивления характерно и для более крупных фрактальных геологических систем, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, характеризующаяся широким распространением тектонических нарушений различного масштаба и направления, в том числе и контролирующих размещение рудоносных массивов. Явление скейлинга кажущегося сопротивления просматривается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Заключение.

В заключении сформулированы основные результаты проведенной работы.

1. Результаты моделирования фрактальных пространственных рядов данных позволили исследовать эффективность различных методов оценки фрактальной размерности (спектральный метод, мультифрактальный анализ и вейвлет-анализ). Установлено, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.

2. На конкретных примерах показано, что ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем.

3 Экспериментально исследовано явление фрактального скейлинга усредненного кажущегося сопротивления при лабораторных измерениях разными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки Веннера, потенциальная двухэлек-тродная установка) на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

4. На примере Мончегорского рудного района продемонстрировано, что скейлинг кажущегося сопротивления может проявляться и в более крупных фрактальных геологических системах, таких как, например, Печенгско-Варзугская рифтогенная структура, характеризующаяся широким распространением тектонических нарушений различного масштаба и направления, в том числе и контролирующих размещение рудоносных массивов В этом случае явление скейлинга кажущегося сопротивления наблюдается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Благодарности.

Автор выражает признательность научному руководителю С.С. Крылову и всем сотрудникам лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли СПбГУ за оказанную поддержку и совместную работу по внедрению в практику геофизических работ новых методов фрактального анализа получаемой геофизической информации. Автор благодарит сотрудников Геологического института КНЦ РАН П.М. Горяинова и Г.Ю. Иванюка за ценные замечания, позволившие по-новому осмыслить природу фрактальных свойств реальных геологических систем, особая благодарность за предоставленный образец железистого кварцита, позволивший экспериментально исследовать явление скейлинга электрических свойств фрактальных систем. Автор также выражает признательность сотрудникам ОАО «Центрально-Кольская экспедиция», в частности, геологу В.В. Шолохневу, за предоставленные материалы и оказанную помощь при исследовании фрактальных свойств интрузивных комплексов Мончегорского рудного района.

Список публикаций по теме диссертации.

1. Бобров Н.Ю., Крылов С.С., Любчич В.А. Фрактальный анализ рядов дипольного электромагнитного профилирования на Печегубском и Комсомольском месторождениях железистых кварцитов. // Ученые записки СПбГУ. Вопросы геофизики, № 36,2004 г.

2. Крылов С.С., Загребельный H.A., Любчич В.А. Электрические свойства и фрактальная размерность железистых кварцитов. // Вестник СПбГУ, сер. 4.2002, вып. 3, N° 20, с. 106-110.

3. Крылов С.С., Любчич В.А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов. // Известия РАН. Физика Земли, № 12, 2002, с. 14-21.

4 Крылов С.С., Бобров Н.Ю., Любчич В.А. Аномальная поляризуемость мерзлых пород. // Неклассическая геоэлектрика. Сборник материалов международной конференции, Саратов, издательство НВНИИГГ, 1995, с.47-52

5. Любчич В.А. Вейвлет-анализ геофизических данных. // Геофизические методы исследования Земли и недр. Материалы международной конференции, Москва, ОИФЗ РАН, 2000, с. 119-125.

6. Крылов С.С., Бобров Н.Ю., Любчич ВА. Геофизические методы изучения фрактальных сред. Мультифракгалы. // глава 1II.7 в книге Горяинова П.М., Иванюка Г.Ю. Самоорганизация минеральных систем. Синергетические принципы геологических исследований. Москва, издательство Геос, 2001, с. 115-130.

7. Крылов С.С., Бобров ILIO, Любчич В.А Аномальная поляризуемость мерзлых пород. // Неклассическая геоэлектрика Тезисы докладов международной конференции, Саратов, 1995 г., с. 12

8. Крылов С.С., Бобров Н.Ю., Любчич В.А., Сорока И.В Результаты электромагнитного микропрофилирования на участках Бованенковского ГКМ (Ямал). // Фундаментальные исследования криосферы Земли. Тезисы докладов годичного собрания Совета по криологии Земли РАН, Пущино, 1996 г., с. 222-223

9. Крылов С.С , Любчич В А., Сорока И.В. Фрактальный подход к анализу данных профилирования. // Тезисы докладов международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками», Санкт-Петербург, 1996 г., с. 63

10 Любчич В.А. Применение мультифрактального формализма в задачах геоэлектрики. // Тезисы докладов всероссийской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-97», Санкт-Петербург, 1997 г.

11. Крылов С.С., Бобров Н.Ю., Любчич В.А. Геоэлектрика фрактальных сред. //Теория диссипативных структур в геологическом анализе. Материалы IV конференции по геологической синергетике, КНЦ РАН, Апатиты, 1998 г., с. 73-75

12. Любчич В.А. Вейвлет-анализ геофизических данных. // Тезисы докладов международной конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-99», Санкт-Петербург, 1999 г.;

13 Krylov S S , Lubchich V.A., Bobrov N Yu Fractal structure of ferrous quartzites of the Kola peninsula // International conference on Problems of Geocosmos, St.Petersburg, 2000.

14. Крылов C.C., Бобров НЮ., Любчич В.А Электромагнитные исследования фрактальной структуры железистых кварцитов Кольского полуострова и конечный скейлинг электропроводности. // Тезисы докладов международной конференции «Неклассическая геофизика», 28 августа - 1 сентября 2000 г., Саратов, 2000 г., с. 58-59

15. Krylov S.S., Lubchich V.A., Zagrebelny N.A. Finite-size scaling of apparent resistivity and fractal structure of ferrous quartzites. // 27 General Assembly EGS, Nice, 21-26 April 2002.

16 Krylov S S , Bobrov N.Yu., Lubchich V.A. Scaling of apparent resistivity of ferrous quartzites. // The 16th Workshop on Electromagnetic Induction in the Earth, Santa Fe, NM, USA, June 16-22,2002, EM1-4

17 Крылов C.C., Любчич В.А., Загребельный H.A. Скейлинг кажущегося сопротивления и расчет скейлинговых показателей методом случайных блужданий. // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Часть 1. Материалы 30-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского, Москва, ОИФЗ РАН, 2003 г., с. 60-62

»17609

РНБ Русский фонд

2006-4 18110

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 23.09.0 с оригинал »макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз^ Заказ X« 2 3/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Любчич, Владимир Алексеевич

Введение.

Глава 1. Общие свойства фрактальных множеств, фрактальный анализ геофизических рядов данных.

1.1 Фрактальная размерность.

1.2 Спектральный метод оценки фрактальной размерности.

1.3 Мультифрактальный спектр.

1.4 Последовательность показателей массы x(q).

1.5 Вейвлет-анализ.

1.6 Сравнение эффективности методов оценки фрактальной размерности на основе модельного ряда.

Глава 2. Примеры использования фрактальных методов для анализа реально наблюденных рядов геофизических данных.

Глава 3. Фрактальный скейлинг.

3.1 Теория перко л яции.

3.2 Фрактальный скейлинг электрических свойств.

3.3 Транспортные свойства перколяционных систем.

3.4 Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на образце железистых кварцитов.

Глава 4. Исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления на примере Мончегорского рудного района.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Исследование фрактальных свойств геологических сред методами геоэлектрики"

Общая характеристика работы.

Актуальность темы диссертации.

В последние десятилетия широкое распространение в различных областях естествог знания получили идеи нелинейной динамики, исключением не стала и геология. G современных позиций земная кора в целом и отдельные ее элементы рассматриваются как открытые диссипативные динамические системы. Вследствие этого образование различных геологических структур, будь то рудные поля или текстурные особенности распределения льдистости в мерзлых породах, рассматривается не как результат последовательных линейных воздействий различной природы, а как следствие сложного кооперативного взаимодействия многих факторов. Отличительной особенностью таких систем является иерархическая структура их организации, или другими словами фрактальность. Однако, большинство фрактальных геологических систем недоступны непосредственному наблюдению, для изучения их свойств приходится использовать геофизические, данные. Вследствие этого очень актуальным является решение вопроса, насколько адекватную информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем можно получить, анализируя фрактальные характеристики пространственных рядов геофизических данных, полученных при профилировании над такими системами.

Существует и другой аспект проблемы исследования фрактальных структур. Одним из основных свойств фрактальных систем является их крайняя неоднородность, причем в силу свойства самоподобия неоднородности присутствуют в широком диапазоне масштабов. В том случае, если характерный линейный размер геофизической установки, к примеру, разнос или длина волны, сравним с линейными размерами фрактальной области, то такая среда будет являться макронеоднородной. В силу этого мы не имеем права вводить удельные (плотностные) характеристики среды, такие как, плотность или электропроводность, так как их значения на конкретных реализациях случайно неоднородной среды являются плохо определяемыми параметрами, и должны работать с усредненными по большому количеству реализаций величинами. В данной ситуации, меняя характерный размер установки^ можно наблюдать такое физическое явление, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от разноса установки. Изучение новых физических явлений, возникающих при измерениях на макронеоднородной среде, в том числе и их экспериментальное подтверждение, также является весьма актуальной задачей.

Цель исследования и основные задачи.

Цел ь, работы: во-первых, изучение фрактальной структуры пространственных рядов геофизических данных и ее связи с фрактальными характеристиками геологической среды. Во-вторых, исследование и экспериментальное подтверждение явления скейлинга электрических свойств, в частности, кажущегося сопротивления, фрактальных макроне-однородных сред.

В ходе осуществления поставленной цели решены следующие задачи:

Проанализированы различные методы оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно,, спектральный метод, мультифрактальный анализ и вейв-лет-анализ, на основе модельных канторовских рядов различной длины. Было установлено, что наилучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

Рассмотрены примеры фрактального анализа реальных рядов геофизических данных, полученных в результате микропрофилирования над фрактальными геологическими средами.

Изучено явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления, экспериментально подтвержденное при измерениях различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки Веннера, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, рассматривавшегося как модель фрактальной макронеоднородной среды.

На примере Мончегорского рудного района показана возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления в реальных геологических средах, таких как, например, Печенгско-Варзугская рифтогенная структура.

Основные защищаемые положения.

1. Результаты моделирования фрактальных пространственных рядов данных позволили исследовать эффективность различных методов оценки,фрактальной размерностии показать, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.

2. Ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем.

3. При измерениях на макронеоднородной среде, то есть в-случаях, когда характерный линейный, размер геофизических установок сравним или меньше размеров фрактальной области, наблюдается явление фрактального скейлинга, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки. Фрактальный скейлинг кажущегося сопротивления экспериментально подтвержден при; лабораторных измерениях разными электроразведочными; установками на; образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

4. Скейлинг кажущегося сопротивления может проявляться и в более крупных фрактальных геологических системах, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, характеризующаяся широким распространением тектонических нарушений различного масштаба и направления, в том числе и контролирующих размещение рудоносных массивов. В этом случае явление скейлинга кажущегося сопротивления наблюдается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Научная новизна.

1. Впервые на основе ряда, полученного по результатам физического моделирования, проведен Сравнительный анализ различных методов оценки фрактальной размерности пространственных рядов данных, а именно, спектрального метода, мультифрактально-го анализа, вейвлет-анализа.

2. Впервые экспериментально исследовано явление скейлинга кажущегося сопротивления в диапазоне масштабов от 1 до 10 см при измерениях на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой.

3- Впервые показана возможность проявления фрактального скейлинга электрических свойств в реальных геологических системах, на примере рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.

Методы исследований и фактический материал.

Для анализа фрактальных характеристик пространственных рядов, данных использовались спектральный метод, мультифрактальный: формализм и вейвлет-анализ. Данными методами анализировались пространственные ряды данных, полученные в результате специальных работ по индуктивному микропрофилированию, проводившихся сотрудниками лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли СПбГУ в 1994-96 гг. на территории Бованенковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал, где исследовались фрактальные свойства распределения льдистости в мерзлых породах, и в 1999 т. на территории Нечегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове, где изучалась фрактальная структура распределения тел железистых кварцитов.

Явление скейлинга. электрических свойств фрактальных случайно неоднородных систем рассматривалось в рамках теории перколяции, основные моменты которой приведены в подробном обзоре Бунда и Хавлина [24]. Экспериментальный материал, продемонстрировавший явление скейлинга кажущегося сопротивления, был? также получен при участии автора на кафедре физики Земли СПбГУ в результате серии измерений е различными электроразведочными установками (трех- и четырехэлектродная установки В енне-ра, потенциальная двухэлектродная установка) на образце железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой. Образец железистого кварцита был взят сотрудниками Геологического института КНЦ; РАН на одном из обнажений Печегубского месторождения и передан кафедре физики Земли СПбГУ для исследования электрических свойств фрактальных структур.

Исследование фрактальных свойств Печенгско-Варзугской рифтогенной структуры и выявление возможности скейлинга кажущегося сопротивления в столь крупных геологических системах проводилось на основе материалов, полученных ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» при проведении поисковых геологоразведочных работ, а также региональных геофизических исследований методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Результаты проведенных работ представлены в отчетах [40,41,42].

Практическая ценность работы.

Как уже отмечалось выше, в последние годы все большее распространение в геологии находят идеи нелинейной геодинамики, все большее количество геологических систем, их генезис и структура рассматриваются с этих новых позиций [4]. Вследствие недоступности большинства этих геологических систем непосредственному наблюдению исследование их фрактальных свойств производится с помощью геофизических методов. Естественно, что выяснение вопроса, насколько адекватную информацию о свойствах геологических систем можно получить при исследовании фрактальных характеристик пространственных рядов, геофизических данных, представляет большой практический интерес.

Практическую ценность имеют и результаты исследования электрических свойств макронеоднородных систем. Современная геофизика все чаще выходит за рамки традиционной горизонтально-слоистой однородной модели среды. Поэтому при проведении геофизических работ на геологических разрезах, обладающих фрактальными свойствами, необходимо учитывать возможность таких явлений, как фрактальный скейлинг, или степенная зависимость усредненных геофизических характеристик среды от характерного размера установки.

Личный вклад автора.

В процессе выполнения работы автор:

Разработал программы расчета спектров сингулярности f(a) для исследования муль-тифрактальных характеристик распределения льдистости в мерзлыхпородах.

Провел сравнительный анализ спектрального метода, мультифрактального анализа и вейвлет-анализа на основе модельных, канторовских рядов различной длины и установил, что наиболее достоверные результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды, к тому же по достаточно небольшим пространственным рядам данных,, достигаются при использовании вейвлет-анализа.

В; составе, группы сотрудников лаборатории геоэлектрики кафедры физики Земли принимал участие в работах по индуктивному микропрофилированию на территориях Бо-ваненковского газоконденсатного месторождения на полуострове Ямал и Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове. Исследовал фрактальные характеристики полученных таким образом пространственных рядов геофизических данных.

Провел серию измерений с потенциальной двухэлектродной установкой на образце, железистого кварцита, обладающего фрактальной структурой, и экспериментально подтвердил явление скейлинга кажущегося сопротивления.

Во время работы в ОАО «Центрально-Кольская экспедиция» принимал участие в проведении полевых работ методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) в Мончегорском рудном районе. Провел фрактальный анализ рядов магнитной съемки по опорным бурог вым профилям, пересчитал значения градиентов электрического потенциала AU/I в величины кажущегося сопротивления рк и выявил возможность проявления фрактального скейлинга кажущегося сопротивления для рифтогенной структуры Мончегорского рудного района.

Апробация.

Результаты исследований, представленные в работе, докладывались на международной конференции «Неклассическая: геоэлектрика», Саратов^ Россия, 28 августа - 1 сентября 1995 г.; международной конференции «Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками», Санкт-Петербург, Россия; 1996 г.; годичном собрании Совета ПО; криологии Земли РАН, Пущино, 1996 г.; всероссийской научно-практической; конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-97», Санкт-Петербург, Россия, 3-6 июня 1997 г.;

IV конференции по геологической синергетике, Апатиты, Россия, 16-20 июня 1998г.; международной конференции молодых ученых и специалистов «Геофизика-99», Санкт-Петербург, Россия, 9-12 ноября 1999 г.; международной конференции «Проблемы геокосмоса», Санкт-Петербург, Россия, май 2000 г.; международной конференции «Неклассическая геофизика»,. Саратов, Россия, 28 августа - 1 сентября 2000 г.;

16 Workshop on electromagnetic induction, College of Santa Fe, Santa Fe, New Mexico, USA, June 16-22, 2002;

30-й сессии международного семинара им. Д.Г. Успенского, Москва, Россия, 2003 г.

Публикации.

Общее число публикаций по теме диссертации - 17, в их числе три статьи в научных периодических изданиях, две статьи в сборниках научных конференций, глава в научной монографии Горяинова П.М., Иванюка Г.Ю. «Самоорганизация минеральных систем. Си-нергетические принципы геологических исследований», одиннадцать, тезисов научных конференций.

Структура и объем.

Диссертация состоит из введения, четырехглав и заключения, содержит 124 страницы машинописного текста, включая 50 рисунков.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Любчич, Владимир Алексеевич

Заключение.

В представленной работе рассмотрены две области применения элементов теории фракталов в геофизике. В первых двух главах рассматривался случай, когда разрешающая способность геофизической установки сравнима с размером минимального элемента фрактального объекта, а характерная область ее действия L мала по сравнению с размерами исследуемых фрактальных геологических систем Lc (L « Lc), тогда мы имеем возможность получать статистику распределения неоднородностей, проводя профилирование или съемку по площади, не меняя параметров установки. При анализе полученной геофизической информации мы можем рассматривать минимальный элемент фрактальной структуры как квазиоднородный и вводить традиционные удельные характеристики среды, такие как электропроводность, магнитная восприимчивость или плотность, после чего исследовать фрактальные свойства распределения этих величин по профилю или площади съемки.

Однако, фрактальную размерность, оцененную по пространственным рядам геофизических данных, нельзя напрямую отождествлять с фрактальной размерностью самой геологической структуры. Для оценки эффективности различных методов определения фрактальной размерности в лаборатории геоэлектрики на кафедре физики Земли СПбГУ был сконструирован специальный модельный ряд. Была смоделирована среда, состоящая из чередования хорошо проводящих вертикальных пластов, находящихся в плохо проводящих породах, при этом пласты расположены так, что образуют структуру, которую можно рассматривать как триадное канторовское множество, размерность которого df равняется 0,631. Вкрест простирания этой структуры было проведено индуктивное профилирование, разнос установки был меньше размера структуры, соответственно "хвосты" профильной кривой также были меньше этого размера. Полученная профильная кривая размножалась по алгоритму построения триадного канторовского множества до произвольных размеров. Размноженные ряды обрабатывались стандартными приемами фрактального анализа — спектральным методом, мультифрактальным анализом и вейвлет-анализом.

В итоге было установлено, что при ограниченной длине ряда лучшие результаты по восстановлению фрактальной размерности геологической среды достигаются при использовании вейвлет-анализа.

В дальнейшем были рассмотрены конкретные примеры фрактального анализа пространственных рядов геофизических данных, полученных в результате индуктивного микропрофилирования на фрактальных геологических разрезах. В частности, исследовалось мультифрактальное распределение неоднородностей (льда) в сильнольдистых засоленных глинах морского генезиса на территории Бованенковского газоконденсатного месторождения, на полуострове Ямал, а таюке фрактальная структура расположения тел железистых кварцитов на территории Печегубского железорудного месторождения на Кольском полуострове.

Было показано, что ряды геофизических данных, полученные в результате профилирования над фрактальными геологическими средами, обладают фрактальными характеристиками и несут информацию о фрактальных свойствах исследуемых геологических систем.

В последних двух главах рассматривался случай, когда характерные размеры установки (разнос) сравнимы или меньше размеров фрактальной области (L ~ Lc), тогда фрактальная среда является макронеоднородной, и получаемые характеристики среды будут сильно зависеть от конкретного положения установки в пространстве и ее геометрии. Поэтому в этом случае мы не имеем права вводить удельные (плотностные) характеристики среды, так как их значения являются плохо определяемыми параметрами, и должны работать с усредненными по большому количеству измерений величинами.

Долгое время изучением случайно неоднородных сред занималась, физика твердого с тела [20, 27], где впервые было введено понятие критического порога, при котором происходит фазовый переход «металл - диэлектрик». В различных теоретических работах [16, 24] было показано, что вблизи критической концентрации проводящей фазы электрические свойства случайно неоднородной среды степенным образом зависят от линейного размера системы Lc. Такая зависимость называется скейлингом, а степенные индексы — скейлинговыми показателями.

На кафедре физики Земли было проведено экспериментальное исследование фрактального скейлинга кажущегося сопротивления. В качестве модели макронеоднородной среды использовался образец железистого кварцита, обладавший фрактальной структурой и имевший квазиплоскую форму. Одна из его поверхностей была выровнена, и на ней были проведены измерения электрических свойств с помощью трех- и четырехэлектрод-ной установок Веннера, а таюке потенциальной двухэлектродной установки, что позволило выявить скейлинг кажущегося удельного сопротивления и получить статистически состоятельные оценки степенного показателя pCjc .

Оценка показателя pCj(, который в общем случае зависит от типа электроразведочной установки, составила: для двухэлектродной установки - 0.78 ± 0.03 (при усреднении без учета нулевых отсчетов) и 0.74 ± 0.03 (с учетом нулевых отсчетов), для трехэлектрод-ной установки Веннера - 1.49 ± 0.04 (без нулей) и 1.58 ± 0.06 (с нулями), для четырехэлектродной установки Веннера - 1.61 ± 0.06 (без нулей) и 1.73 ±0.08 (с нулями). Коэффициент линейной корреляции во всех случаях превышал значение 0.98.

Так как средние значения кажущегося сопротивления ложились на прямую линию в двойном логарифмическом масштабе с очень высоким коэффициентом линейной корреляции, то можно сделать вывод, что мы действительно наблюдали явление фрактального скейлинга кажущегося сопротивления.

То, что показатель рС^, полученный для четырехэлектродной установки, выше показателя, полученного для трехэлектродной установки, хорошо согласуется с теоретическими представлениями. В терминах теории протекания можно говорить о том, что при использовании трехэлектродной установки мы измеряли кажущееся сопротивление только на бесконечном кластере, а с четырехэлектродной могли попадать и на конечные. Так как электрические свойства макронеоднородных систем определяются транспортом заряженных частиц через случайно неоднородную среду, то скейлинговый показатель рк взаимосвязан с диффузионным показателем системы dw- Для установок Веннера эта связь определяется следующей формулой: k=dw-df+1> где df - фрактальная размерность среды. Так как диффузионный показатель d'w всей перколяционной системы больше показателя dw для одного бесконечного кластера, то скейлинговый показатель р}с для четырехэлектродной установки должен быть выше аналогичного показателя для трехэлектродной установки.

То, что показатель рС^ для потенциальной установки меньше единицы, объясняется спадом электрического потенциала с удалением от источника — питающего электрода А.

Полученные результаты позволяют сделать еще один важный вывод. Если проанализировать зависимости ln(pic)oT InL, полученные при измерениях по разным направлениям, можно убедиться, что показатель меняется. Таким образом, железистый кварцит следует рассматривать как анизотропный фрактал.

Необходимо отметить, что выявленная степенная зависимость среднего кажущегося сопротивления от разноса установки относится к очень малому диапазону масштабов, от одного до десяти сантиметров. Фактически, проведенный эксперимент только демонстрирует возможность проявления скейлинга в реальных средах. Геологические фрактальные системы могут иметь существенно большие размеры, от единиц до десятков и сотен километров. И в этих случаях также можно столкнуться с таким явлением, как скейлинг кажущегося сопротивления.

В качестве примера реальной геологической системы рассмотрена рифтогенная структура Мончегорского рудного района. Район характеризуется чрезвычайно широким распространением разрывных тектонических нарушений, различающихся по направлению и масштабам проявления, что определяет блоковое строение рифтогенной зоны. Проведенные в центральной части района поисковые геологоразведочные работы установили иерархическую организацию рудоперспективных зон [42]. А если учесть, что сложнораз-ветвленная система тектонических нарушений различных масштабов, контролирующих положение и локализацию рудоносных массивов, также имеет самоподобную структуру, то Мончегорский рудный район в целом можно рассматривать в качестве некой фрактальной геологической системы.

Для исследования электрических свойств этой геологической системы использовались материалы, полученные в результате региональных геофизических работ методом мелкомасштабного заряда (ММЗ) [40]. С этой целью измеренные значения градиентов электрического потенциала AU пересчитывались в кажущееся сопротивление рк по формуле для трехэлектродной установки, питающий электрод А которой погружен на глубину h от дневной поверхности. Такую электроразведочную установку можно рассматривать как предельную трехэлектродную (АО » MN), характерным размером L для которой служит расстояние от источника до середины приемного диполя (L = АО). Большая площадь планшетов съемок ММЗ обеспечила массив данных, достаточный для статистического изучения электрических свойств Мончегорской рудно-магматической системы.

На графике зависимости усредненного кажущегося сопротивления <Рк> от характерного размера установки L в двойном логарифмическом масштабе отчетливо просматривается тенденция к росту значений <рк> с увеличением разноса установки. Линейная аппроксимация по методу наименьших квадратов дает значение скейлингового показателя Рк для данной установки 0,71 ± 0,09 с коэффициентом линейной корреляции 0,78. Достаточно высокое значение коэффициента линейной корреляции позволяет говорить о линейной зависимости в двойном логарифмическом масштабе среднего кажущегося сопротивления <рк> от характерного размера установки L.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: явление скейлинга кажущегося сопротивления характерно и для более крупных фрактальных геологических систем, таких как, например, рифтогенная структура Мончегорского рудного района, где явление скейлинга кажущегося сопротивления просматривается в диапазоне масштабов от первых сотен метров до километров.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Любчич, Владимир Алексеевич, Санкт-Петербург

1. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения.7/ Успехи физических наук, 1996, том 166, № 11, с. 1145-1170.

2. Бобров Н.Ю., Крылов С.С., Любчич В.А. Фрактальный анализ рядов дипольного электромагнитного профилирования на Печегубском и Комсомольском месторождениях железистых кварцитов. // Ученые записки СПбГУ. Вопросы геофизики, № 36, 2004 г.

3. Горяинов П.М. Нелинейная тектоника. Содержание, объекты и принципиальные ограничения для интерпретации канонических случаев. // Апатиты, издательство КНЦ РАН, 1995.

4. Горяинов П.М., Иванюк Г.Ю. Самоорганизация минеральных систем. Синергетические принципы геологических исследований. // Москва, издательство Геос, 2001.

5. Дискретные свойства геофизической среды. // под редакцией академика М.А. Садовского, Москва, Наука, 1989.

6. Дещеревский А.В. Фрактальная размерность, показатель Херста и угол наклона спектра временного ряда. // Москва, ОИФЗ РАН, 1997.

7. Егоров Д.Г., Иванюк Г.Ю. Складкообразование в докембрийских железорудных системах как детерминированно-хаотический процесс. // Физика Земли, 1996, № 1, с. 16-29.

8. Загородный В.Г., Радченко А.Т. Тектоника раннего докембрия Кольского полуострова. //Ленинград, Наука, 1983.

9. Иванюк Г.Ю. Фрактальные геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия. // Физика Земли, 1997, № 3, с. 21-31.

10. Крылов С.С., Бобров Н.Ю. Частотная дисперсия электрических свойств мерзлых пород при электромагнитных зондированиях с вертикальным магнитным диполем. // Физика Земли, 1997, № 3, с. 64-70.

11. Крылов С.С., Бобров Н.Ю., Любчич В.А. Аномальная поляризуемость мерзлых пород. // Неклассическая геоэлектрика, сборник материалов международной конференции, Саратов, издательство НВНИИГГ, 1995, с. 47-52.

12. Крылов С.С., Загребельный Н.А., Любчич В.А. Электрические свойства и фрактальная размерность железистых кварцитов. // Вестник СПбГУ, сер. 4.2002, вып. 3, № 20, с. 106110.

13. Крылов С.С., Любчич В.А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов. // Известия РАН. Физика Земли, № 12, 2002, с. 14-21.

14. Крылов С.С., Сорока И.В., Лгобчич В.А. Фрактальный;подход к анализу данных профилирования. // сборник: "Тезисы докладов международной конференции. "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками"", Санкт-Петербург, 1996.

15. Лгобчич В.А. Вейвлет-анализ геофизических данных. // Геофизические методы исследования Земли и недр^ материалы международной конференции, Москва, ОИФЗ РАН, 2000, с. 119-125.

16. Морозовский А.Е., Снарский С.С. Конечный скейлинг эффективной проводимости в перколяционных системах с ненулевым отношением проводимостей фаз. // ЖЭТФ, 1996, т. 109, вып. 2.

17. Федер Е. Фракталы. // Москва, Мир, 1991.

18. Филатов В.В. Электродинамика гетерогенных сред в обратных задачах импульсной электроразведки (фрактальный подход и линеаризация). // Автореферат диссертации на, соискание ученой степени доктора физико-математических наук, Новосибирск, 2002.

19. Чуй К. Введение в вейвлеты. // Москва, Мир, 2001.

20. Шкловский Б.И., Эфрос АЛ. Теория протекания и проводимость сильнонеоднородных сред. // Успехи физических наук,.т. 117, 1975, с. 401-435.

21. Bale P. How Nature works; The science of self-organized criticality. // Oxford University Press, 1997.

22. Ben-Avraham D., Havlin S. Diffusion on percolation , clusters at criticality. // J. Phys. A: Math. Gen. 15,1982, L 691-L 697.

23. Broadbent S.R., Hammersley J.M. Percolation processes. Crystals and mazes. // Proc. Camb. Phil. Soc., 53, 1957, p. 629-641,

24. Bunde A., Havlin S. Percolation I, Percolation II. // Fractals and disordered systems. Berlin, New York: springer-verlag, 1991.

25. De Arcangelis L., Render Si, Coniglio A. Anomalous voltage distribution of random resistor networks and a new model for the backbone at the percolation threshold. // Phys. Rev. B, 1985, v. 31, № 7, P. 4725-4727.

26. Domb C., Lebowitz J.L. eds. Phase Transitions and Critical Phenomena. // Academic Press, New York, 1972.

27. Efros A.L., Shklovslcii B.I. Critical behavior of conductivity and dielectric constant near the metal-non-mctal transition threshold. // Phvsica Status Solidi (b), 1976, v. 76, P. 475-485.

28. Everett M.E., Weiss С J. Geological noise in near-surface electromagnetic induction data. // Geophysical Research Letters, 2002, v.29, № 1.

29. Falconer K. Fractal geometry. Mathematical Foundations and Applications. // John Wiley & Sons Ltd, UK, 2003.

30. Havlin S., Ben-Avraham D., Sompolinsky H. Scaling behavior of diffusion on percolation clusters. // Phys. Rev. A 27, 1983, p. 1730-1733.

31. Higuchi T. Approach to an irregular time series on the basis of the fractal theory. // Physica D, 1988, vol. 31, P. 277-283.

32. Higuchi T. Relationship between the fractal dimension and the power law index for a time series: a numerical investigation. // Physica D, 1990, vol. 46, P. 254-264.

33. Mandelbrot B.B. The fractal geometry of nature. // San.Francisco. Freeman, 1982.

34. Mandelbrot B.B. Multifractal measures, especially for geophysicists. // Pure and applied geophysics, vol. 131, № 1/2, 1989.

35. Maus S., Dimri V.P. Potential field power spectrum inversion for scaling geology. // J. Geo-phys. Res., 1995, vol. 100, P. 12605-12616.

36. Pilkington M., Gregotski M.E., Todoeschuk J.P. Using fractal magnetization-model in magnetic interpretation. // Geophys. Prospect, 1994, vol. 42, P. 677-692.

37. Turcotte D.L. Fractals and chaos in geology and geophysics. // Cambridge University Press, 1992.

38. Weiss G.H. Aspects and Applications of the Random Walk. // North Holland, Amsterdam, 1994.фондовая литература:

39. Любчич B.A., Ронин А.Л., Поликарпов В.К. и др. Отчет по глубинным геолого- геофизическим исследованиям методами ММЗ, АМТЗ, CSAMT и МВСК в Мончегорском рудном районе за 1999-2003 гг. // Мончегорск, 2003.

40. Шолохнев В.В., Поляков И.В. и др. Отчет о результатах поисковых работ на сульфидные медно-никелевые руды и другие полезные ископаемые в зоне контакта Мончеплутона и Мончетундровского массива в 1994-98 гг. (объект Лойпишнюн). // Мончегорск, 1998.

41. Шолохнев В.В., Пустовойтов B.C. и др. Отчет о результатах поисков хромовых руд и других полезных ископаемых в южной части Мончегорского рудного района за 2001-2003 гг. // Мончегорск, 2003.