Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Моделирование роста и прогрессии опухоли с учетом ее пролиферативной и пространственной гетерогенности

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Колобов, Андрей Владимирович

Общая характеристика работы

Глава 1. Математическое моделирование в онкологии.

1.1 Моделирование в исследовании медико-биологических проблем.

1.2 Модели опухолевого роста.

1.3 Гетерогенность клеточных популяций и математические модели опухолевого роста.

1.4 Эмпирические модели роста.

1.5 Структурные модели роста.

1.6 Функциональные кинетические модели.

Глава 2. Кинетика роста многоклеточных опухолевых сфероидов

2.1 Математическая модель.

2.2 Кинетика роста ЕМТб/Ло сфероида.

Оценка параметров математической модели.

2.3 Влияние глюкозы на пролиферативную гетерогенность клеточного состава ЕМТб/Яо многоклеточных опухолевых сфероидов.

2.4 Обсуждение.

Глава 3. Роль клеточной подвижности в явлении клонального доминирования метастатически активных опухолевых клонов.

3.1 Процесс метастазирования опухолевых клеток.

3.2 Явление клонального доминирования.

3.3 Математическая модель.

3.4 Результаты.

3.5 Обсуждение.

Глава 4. Зависимость формы опухоли от клеточной подвижности и активности протеолитических ферментов вырабатываемых трансформированными клетками.

4.2 Математическая модель.

4.3 Результаты.

4.4 Влияние взаимодействия опухоль - нормальная ткань на скорость роста опухоли

4.5 Обсуждение

Выводы.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Моделирование роста и прогрессии опухоли с учетом ее пролиферативной и пространственной гетерогенности"

Актуальность темы. Без сомнения, проблема рака является одной из самых острых и актуальных проблем человечества. Несмотря на существенные усилия, прогресс в этой области выглядит незначительным в виду очевидной сложности самой проблемы. Опухоль проявляет в драматической форме и за короткое время те же закономерности, что и сама жизнь в целом: вариабельность, обусловленную как гетерогенностью клеточного состава неоплазмы, так и динамической природой самой опухоли, и селективность, обеспечивающую максимальную выживаемость опухолевых клеток. Для того чтобы понять, как растут опухоли, и каковы механизмы их прогрессии, более плодотворно рассматривать опухоль как интегрирующую ткань, в которой свойства целостности не есть простая сумма свойств отдельных ее частей (синергизм опухоли). При таком подходе важным является понимание механизмов, лежащих в основе этого синергизма. Их изучение нуждается не в детальном обсуждении конкретных примеров (каждый из которых естественно имеет массу своих особенностей и специфических механизмов интеграции), а в исследовании общих (или, скорее) обобщающих закономерностей. Именно в этом состоит основная цель диссертационной работы.

Несмотря на то, что не существует двух одинаковых опухолей, и течение онкологической болезни не может быть предсказано с какой-либо определенной вероятностью, точка зрения, что единая концепция сможет удовлетворительно объяснить возникновение и прогрессию злокачественных опухолей, является наиболее привлекательной и перспективной в современной онкологии. Такая концепция должна определить многообразие характеристик, которые обусловливают злокачественный фенотип опухолевых клеток. Ее создание связано с трудностями, обусловленными сложной динамической природой опухолей и их вариабельным взаимодействием с организмом. Между тем, большой объем информации, касающийся особенностей опухолевых клеток, полученный методами молекулярной и клеточной биологии, биологии развития, биофизики, а также большое количество переменных, характеризующих процессы возникновения, роста и прогрессии злокачественных опухолей, невозможно осмыслить и обобщить без разработки новых теоретических подходов их анализа, среди которых математическое моделирование является наиболее перспективным. Цель математического моделирования в онкологии -обобщение результатов научных исследований, проверка ключевых идей и концепций, а также, формулирование направлений дальнейших экспериментальных исследований для познания основных свойств злокачественных новообразований: гетерогенности клеточного состава, роста и прогрессии. Несмотря на то, что эти свойства имеют свои отличительные особенности, их обобщающей чертой является динамическая природа. Между тем, анализ научной литературы показал, что большинство математических моделей кинетики роста опухолей и популяций опухолевых клеток или направлены на макроскопическое описание самой картины роста, без учета биологических процессов, обусловливающих эту картину (так называемые, "эмпирические" модели), или рассматривают "статическую проекцию" динамической картины (структурные математические модели). При очевидной перспективности динамических подходов в исследовании механизмов роста и прогрессии злокачественных опухолей, динамических математических моделей кинетики роста опухолей, базирующихся на реальных биологических процессах (функциональные динамические модели), крайне мало. Разработка таких моделей является актуальной и важной для исследования динамической взаимосвязи между "элементами" организации живых систем и "элементарными" процессами в них. Без этого невозможно понять, чем патологическая эволюция клеток и тканей (злокачественные новообразования), отличаются от нормальной эволюции.

Цель и задачи исследования. Целью работы было построение математических моделей и использование методов математического моделирования для поиска и анализа обобщающих закономерностей в механизмах роста и прогрессии гетерогенных злокачественных опухолей. Для достижения этой цели были поставлены и решались следующие задачи:

1. С помощью математической модели, учитывающей пролиферативную гетерогенность клеточного состава многоклеточных опухолевых сфероидов, изучить влияние пространственной структуры на их кинетику роста в различных средах инкубации.

2. Построить пространственно распределенную математическую модель кинетики роста гетерогенной опухоли, состоящей из двух клеточных популяций, и проанализировать роль клеточной подвижности и неоднородности распределения питательных субстратов в явлении доминирования медленно делящихся клеточных популяций (явление клонального доминирования).

3. Исследовать различия в распространении фронта опухоли в случае преобладания диффузионных или конвекционных потоков; определить критерий устойчивости фронта (границы) растущей опухоли к различным типам возмущений.

4. Проанализировать влияние антагонистического взаимодействия "опухоль - нормальная ткань", обусловленного активностью протеолитических ферментов, вырабатываемых опухолью, на кинетику роста опухоли и на устойчивость ее границы.

Практическая ценность диссертационной работы.

Разработаны новые адекватные математические модели, описывающие рост и прогрессию опухоли, и ее динамическое взаимодействие с окружающими ее нормальными тканями. В этих моделях учитывается клональная и пролиферативная гетерогенность клеточного состава популяции трансформированных клеток, а так же пространственная неоднородность опухоли и ее микроокружения. Эти модели являются необходимым и важным инструментом анализа результатов экспериментальных исследований.

Анализ влияния уровня глюкозы на пролиферативную гетерогенность клеточного состава трехмерных сферически симметричных агрегатов опухолевых клеток показал, что увеличение этого уровня приводит к увеличению количества покоящихся клеток (малочувствительных к действию повреждающих агентов). Это является первым теоретически выявленным недостатком при введении глюкозы перед проведением противоопухолевой химио- и лучевой терапии.

Показано, что в гетерогенной опухоли высокая подвижность опухолевых клеток может обеспечить их доминирование над малоподвижными клетками, даже если скорость деления подвижных клеток минимальна в опухоли. Установлено, что процесс доминирования является пороговым относительно коэффициента диффузии, но не зависит от количества подвижных клеток в начале роста гетерогенной опухоли. Такой механизм доминирования является первым наиболее полным обоснованием известного в онкологии явления доминирования в опухоли метастатически активных клеток.

Исследование устойчивости формы границ растущей опухоли показало ее пороговый характер относительно типа клеточных потоков преобладающих в опухоли (конвекционный или диффузионный). Этот эффект возможно обуславливает особенности в пространственной структуре у различных типов злокачественных опухолей.

Таким образом, разработанные математические модели позволяют проводить теоретическое исследование различных процессов и явлений, происходящих в опухоли. На их основе возможно создание математических моделей для исследования фармакокинетики противоопухолевых препаратов при разных схемах их введения. Эти модели в будущем станут необходимым инструментом для индивидуализации и оптимизации противоопухолевой химиотерапии.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на: 3-rd European conference on mathematics applied to biology and medicine, Heidelberg, Germany, 1996; международной конференции "Deterministic and stochastic modelling of biointeraction", Sophia, Bulgaria, 1997; Fifth international conference mathematical population dynamics, Zakopane, Poland, June, 1998; международной конференции "Нелинейные явления в биологии", Пущино, 1998; международной конференции "Theory and mathematics in biology and medicine." Amsterdam, Netherlands, 1999; II-ом Съезде биофизиков России, МГУ, Москва, 1999; международной конференции "Trends in Nonlinear Analysis", Heidelberg, Germany, 2000; 5th ESMTB conference, Milan, Italy, 2002; 10-той международной конференции "Математика, компьютер, образование", Пущино, 2003.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Колобов, Андрей Владимирович

Выводы.

1. Разработан новый подход для моделирования пространственного роста опухоли, учитывающий пролиферативную гетерогенность опухоли и подвижность опухолевых клеток. Впервые при моделировании учтены конвекционные потоки клеточной плотности, возникающие за счет клеточного деления внутри несжимаемой, плотно упакованной ткани.

2. Разработана математическая модель многоклеточных опухолевых сфероидов (МОС), способная описывать экспериментальные кинетические кривые их роста, а так же предсказывать и анализировать возникновение и развитие пролиферативных градиентов клеточного состава МОС, непосредственные экспериментальные исследования которых невозможны. Проведенный с помощью модели анализ влияния уровня глюкозы во внеопухолевой среде на пролиферативную гетерогенность МОС показал, что повышение этого уровня способствует увеличению количества функционально покоящихся, а значит, и резистентных (к действию фазоспецифических противоопухолевых агентов) клеток в сфероиде. Это позволяет сделать вывод о возможности отрицательных эффектов при проведении гипергликемии в процессе противоопухолевой химио- и лучевой терапии онкологических больных.

3. Показано, что в гетерогенной опухоли, состоящей из нескольких клеточных линий, популяция клеток, обладающих собственной подвижностью, может доминировать, даже если ее скорость деления наименьшая в опухоли. Таким образом, впервые дано объяснение явления клонального доминирования метастатически активной клеточной линии в гетерогенной опухоли, основанное только на экспериментально подтвержденных фактах. Возможность доминирования пороговым образом зависит от коэффициента подвижности клеточной популяции, при этом начальный композиционный состав опухоли не влияет на конечный результат конкурентной борьбы между популяциями.

4. Для исследования устойчивости фронта растущей популяции злокачественных клеток разработана математичёская модель роста солидной опухоли, учитывающая как клеточную гетерогенность, так и гетерогенность окружения. Показано, что устойчивость границы опухоли пороговым образом зависит от величины подвижности опухолевых клеток. В случае преобладания конвекционных потоков в опухоли (низкая клеточная подвижность) фронт опухоли неустойчив для всех типов возмущений, а когда преобладают диффузионные потоки (высокая клеточная подвижность), фронт опухоли устойчив как при единовременных, так и при длительных возмущающих воздействиях.

5. Показано, что антагонистическое взаимодействие между опухолью и нормальной тканью не влияет на устойчивость границы растущей опухоли, а замедляет рост опухоли и делает ее более компактной. Однако, при большой величине коэффициента взаимодействия "опухоль - нормальные клетки" замедление скорости роста опухоли прекращается, и скорость роста принимает стационарное значение, не зависящее от интенсивности антагонистического взаимодействия.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Колобов, Андрей Владимирович, Москва

1. Kummermehr J.C. Tumour stem cells—the evidence and the ambiguity. Acta Oncol. 2001; 40(8): 981-8.

2. Rabinovici J., Jaffe R.B. Development and regulation of growth and differentiated function in human and subhuman primate fetal gonads. Endocr. Rev. 1990 Nov; 11(4): 532-57.

3. Kato M., Shimada Y., Tanaka H., Hosotani R., Ohshio G., Ishizaki K., Imamura M. Characterization of six cell lines established from human pancreatic adenocarcinomas. Cancer 1999, Feb; 85(4):832-40

4. De Gunst M.C., Luebeck E.G. A method for parametric estimation of the number and size distribution of cell clusters from observations in a section plane. Biometrics 1998; 54(1): 100-12.

5. Sorensen F.B. Unbiased stereologic techniques for practical use in diagnostic histopathology. Pathologica 1995 Jun; 87(3): 263-78.

6. Mehes G., Lorch T., Ambros P.F. Quantitative analysis of disseminated tumor cells in the bone marrow by automated fluorescence image analysis. Cytometry 2000 Dec; 42(6): 357-62.

7. Van Diest P.J., Brugal G., Baak J.P. Proliferation markers in tumours: interpretation and clinical value. J.Clin.Pathol.1998 ; 51(10): 716-24.

8. Steel GG. Species-dependent growth patterns for mammalian neoplasms. Cell Tissue Kinet. 1980. Jul; 13(4): 451-3.

9. O.Hamilton G. Multicellular spheroids as an in vitro tumor model. Cancer Lett. 1998 ; 131(1): 29-34.

10. Hillman G.G., Droz J.P., Haas G.P. Experimental animal models for the study of therapeutic approaches in renal cell carcinoma. In Vivo 1994; 8(1): 77-80.

11. Retsky M.W., Swartzendruber D.E., Wardwell R.H., Bame P.D. Is Gompertzian or exponential kinetics a valid description of individual human cancer growth? : Med. Hypotheses 1990. Oct; 33(2): 95-106.

12. Marusic M., Bajzer Z., Freyer J.P., Vuk-Pavlovic S. Analysis of growth of multicellular tumour spheroids by mathematical models. Cell Prolif. 1994;27:73-94.

13. Marusic M., Bajzer Z. Generalized two-parameter equation of growth. J. Math. Anal. Appl. 1993; 179: 446.

14. Wheldon T.E. Mathematical Models in Cancer Research. 1988. Bristol: Adam Hilger.

15. Vaidya V.G., Alexandra F.J. Evalution of some mathematical models for tumor growth. Int. J. Biomed. Comput. 1982; 13: 19.

16. Von Bertalanffy L. Quantitative laws in metabolism and growth. Q. Rev. Biol. 1957; 32:217-22.

17. Turner M.E., Bradley E.I., Kirk K.A., Prutii K.M. A theory of growth. Math. Biosci. 1976; 29: 367-74.

18. Watson G.S. Age incidence curves for cancer. Proc. Natl. Acad. Sci. 1977; 74: 1341-1342.

19. Brunton GF, Wheldon TE. Characteristic species dependent growth patterns of mammalian neoplasms. Cell Tissue Kinet. 1978; 11(2): 161-75.

20. Gyllenberg M., Webb G.F. Quiescence as an explanation of Gompertzian tumor growth. Growth. Dev. Aging. 1989; 53: 25-7.

21. Rizwan-Uddin, Saeed I.M. Structure and growth of tumors: the effect of Cartesian, cylindrical, and spherical geometries. Ann. NY. Acad. Sci. 1998; 858: 127-136.

22. Freyer J.P., Sutherland R.M. Proliferative and clonogenic heterogeneity of cells from EMT6/R0 multicellular spheroids induced by the glucose and oxygen sypply. Cancer Res. 1986; 46: 3513 -3520.

23. Mueller-Klieser W. Three-dimensional cell cultures: from molecular mechanisms to clinical applications. Am. J. Physiol. 1997; 273(4): C1109-C1123.

24. Landry J., Freyer J.P., Sutherland R.M. A model for the growth of multicellular spheroid. Cell Tissue Kinet. 1982; 15: 585-591.

25. Casciari J.J., Sotirchos S.V., Sutherland R.M. Mathematical modelling of microenvironment and growth in EMT6/R0 multicellular tumour spheroid. Cell Prolif. 1992; 25:1 -22.

26. Byrne H.M. The effect of time delays on the dynamics of avascular tumor growth. Math. Biosci. 1997; 144(2): 83-117.

27. Groebe K., Mueller-Klieser W. On the relation between size of necrosis and diameter of tumor spheroids. Int. J. Radiat. Oncol. Biol. Phys. 1996; 34(2): 395-401.

28. Groebe K., Erz S., Mueller-Klieser W. Glucose diffusion coefficients determined from concentration profiles in EMT6 tumor spheroids incubated in radioactively labeled L-glucose. Adv. Exp. Med. Biol. 1994; 361:619-625

29. Piantadosi S. Generalizing growth functions assuming parameter heterogeneity. Growth. 1987; 18: 50.

30. Palmari J., Lafon B., Martin P.M., Dussert C. Topographical analysis of spatial patterns generated by a cellular automaton model of the proliferation of a cancer cell line in vitro. Anal. Cell Pathol. 1997; 14(2): 75-86.

31. Jacobberger J.W., Sramkoski R.M., Wormsley S.B., Bolton W.E. Estimation of kinetic cell-cycle-related gene expression in G1 and G2 phases from immunofluorescence flow cytometry data. Cytometry. 1999; 35(3): 284-289.

32. Luebeck E.G., Moolgavkar S.H. Simulating the process of malignant transformation. Math. Biosci. 1994; 123(2): 127-146.

33. Conolly R.B., Kimbell J.S. Computer simulation of cell growth governed by stochastic processes: application to clonal growth cancer models. Toxicol. Appl. Pharmacol. 1994; 124(2): 284-295.

34. Chaplain M.A., Anderson A.R. Mathematical modelling, simulation and prediction of tumour-induced angiogenesis. Invasion Metastasis. 1996; 16(4-5): 222-234.

35. Anderson A.R., Chaplain M.A. Continuous and discrete mathematical models of tumor-induced angiogenesis. Bull. Math. Biol. 1998; 60(5): 857-899.

36. Owen M.R., Sherratt J.A. Pattern formation and spatiotemporal irregularity in a model for macrophage-tumour interactions. J. Theor. Biol. 1997; 189(1): 63-80.

37. Folkman J. Tumor angiogenesis. Adv Cancer Res. 1985; 43: 175-203.

38. Sherman C.D., Portier CJ. Stochastic simulation of a multistage model of carcinogenesis. Math. Biosci. 1996; 134(1): 35-50.

39. Clem C.J., Rigaut J.P. Computer simulation modelling and visualization of 3D architecture of biological tissues. Simulation of the evolution of normal, metaplastic and dysplastic states of the nasal epithelium. Acta Biotheor. 1995; 43(4): 425-442.

40. Tracqui P. From passive diffusion to active cellular migration in mathematical model of tumour invasion. Acta Biotheor. 1995; 43: 443-464.

41. Gatenby R.A., Gawlinski E.T. A reaction-diffusion model of cancer invasion. Cancer Res. 1996; 56: 5745-5753.

42. Greller L.D.,Tobin F.L., Poste G. Tumor heterogeneity and progression: conceptual foundations for modeling. Invasion Metastasis. 1996; 16: 177-208.

43. Teutsch H.F., Goellner A., Mueller-Klieser W. Glucose levels and succinate and lactate dehydrogenase activity in EMT6/R0 tumor spheroids. Eur. J. Cell Biol. 1995; 66(3): 302-307.

44. Gorlach A., Boiling В., Holtermann G., Schwachofer J., Carlsson J., Acker H. Changes in the growth p02 and pH after exposure to oxamate: studies of two human tumour cell lines growing as multicellular spheroids. Int.J.Oncol. 1995; 7: 831-834.

45. Freyer J.P., Sutherland R.M. A reduction in the in situ rates of oxygen and glucose consumption of cells in ЕМТб/Ro spheroids during growth. J.Cell Physiol. 1985; 154: 516-524.

46. Steeg P.S., Alley M.C., Grever M.R. An added dimension: will three-dimensional cultures improve our understanding of drug resistance? J. Natl. Cancer. Inst. 1994; 86: 953-956.

47. Freitas I., Baronzio G.F. Neglected factors in cancer treatment: cellular interactions and dynamic microenvironment in solid tumor. Anticancer Res. 1994; 14: 1097-1102.

48. Tong J.Z., Sarrazin S., Cassio D., Gauthier F., Alvarez F. Application of spheroid culture to human hepatocytes and maintenance of their differentiation. Biol.ofCell. 1994; 81: 77-82.

49. Соляник Г.И. Кинетика роста многоклеточных опухолевых сфероидов. Математическая модель. Вюник Харювського Ушверситету. 1998; 410: 96-105.

50. Соляник Г.И. Влияние глюкозы на пролиферативную гетерогенность клеточного состава ЕМТб/Ro многоклеточных опухолевых сфероидов. Вюник Харювського Ушверситету. -1999; 450(4): 80-84.

51. Walenta S., Dotsch J., Bourrat-Flock В., Mueller-Klieser W. Size-dependent oxygenation and energy status in multicellular tumorspheroids. Adv. Exp. Med. Biol. 1990; 277: 889-893.

52. Weibull W., Sweden S. A statistical distribution function of wide applicability. J. Appl. Mech. 1951; 18(3): 293-297.

53. Thews G., Hutten H. Biophysics of respiratory gas transport. In:Biophysics. W.Hoppe H., Lohmann H., Markl H., Ziegler eds / -Springer-Verlag. Berlin, 1983: 503-505.

54. Li C.K.N. The glucose distribution in 9L rat brain multicell tumor spheroids and its effect on cell necrosis. Cancer 1982; 50: 2066-2073.

55. Bredel-Geissler A., Karbach U., Walenta S., Vollrath L., Mueller-Klieser W. Proliferation-associated oxygen consumption and morphology of tumor cells in monolayer and spheroid culture. J. Cell. Physiol. 1992; 153(1): 44-52.

56. Kallinowski F., Tyler G., Mueller-Klieser W., Vaupel P. Growth-related changes of oxygen consumption rates of tumor cells grown in vitro and in vivo. J. Cell Physiol. 1989; 138(1): 183-191.

57. Himmelblau D.M. Applied nonlinear programming. Mc Graw-Hill Book Company. The University of Texas. Austin 1972: 381-410.

58. Schumacker P.T., Chandel N., Agusti A.G. Oxygen conformance of cellular respiration in hepatocytes. Am. J .Physiol. 1993; 265(4): 395402.

59. Bourrat-Floeck B,, Groebe K., Mueller-Klieser W. Biological response of multicellular EMT6 spheroids to exogenous lactate. Int. J. Cancer. 1991; 47(5): 792-799.

60. Mueller-Klieser W., Walenta S., Kelleher D.K., Dinh H., Marx E., Vaupel P. Tumour-growth inhibition by induced hyperglycaemia/ hyperlactacidaemia and localized hyperthermia. Int. J. Hyperthermia. 1996; 12(4): 501-511.

61. Hlatky L.,Sachs R.K., Ring C.S. Reducing the hypoxic fraction of a tumour model by growth low glucose. Br.J.Cancer. 1989; 59: 375-80.

62. Mueller-Kleiser W. Influence of glucose and oxygen sypply conditions on the oxygenation of multicellular spheroids. Int. J. Cancer. 1986; 53: 345-353.

63. Freyer J.P., Sutherland R.M. Regulation of growth saturation and development of necrosis in EMT6/R0 multicellulat spheroids by the glucose and oxygen sypply. Cancer Res. 1986; 46: 3504 -3512.

64. Noguchi S., Matomura K., Inaji H., Imaoka S., Koyama H. Clonal analysis of human breast cancer by means of the polymerase chain reaction. Cancer Res. 1992; 52: 6594-6597.

65. Fidler, I.J., and Cifone, M.A. Properties of metastatic and nonmetastatic cloned subpopulations of an ultraviolet-light-induced murine fibrosarcoma recent origin. Am.J. Pathol. 1997; 97(3), 633-48.

66. Hart, I.R., Goode, N.T., and Wilson, R.E. Molecular aspects of the metastatic cascade. Biochim Biophys Acta 1989; 989(1): 65-84.

67. Kerbel, R.S. Growth dominance of the metastatic cancer cell: cellular and molecular aspects. Adv. Cancer Res. 1990; 55, 87-132.

68. Talmadge, J.E., Wolman, S.R., and Fidler, I J. Evidence for the clonal origin of spontaneous metastases. Science 1982; 217:361-363.

69. Kerbel, R.S., Corail, I., and Korczak, B. New insights into the evolutionary growth of tumors revealed by Southern gel analysis of tumors genetically tagged with plasmid or proviral DNA insertions. J. Cell Sci. 1989; 94: 381-387.

70. Fidler, I.J., and Hart, I. Biological diversity in metastatic neoplasms: origins and implications. Science 1982; 217: 998-1003.

71. Hill, R.P. In 'Fundamentals of Oncology'. Pergamon, New York 1987: 160-175.

72. Schirrmacher, V. Cancer metastasis: experimental approaches, theoretical concepts, and impacts for treatment strategies. Adv. Cancer Res. 1985;43:1-73.

73. Nicolson, G.L. Organ specificity of tumor metastasis: role of preferential adhesion, invasion and growth of malignant cells at specific secondary sites. Cancer Metastasis Rev. 1988; 7: 143-188.

74. Greenberg, A.H., Egan, S.E., and Wright, J.A. Oncogenes and metastatic progression. Invasion Metastasis 1989; 9: 360-378.

75. Ling, V., Chambers, A.F., Harris, J.F., and Hill, R.P. Quantitative genetic analysis of tumour progression. Cancer Metastasis Rev. 1985; 4: 173-192.

76. Raz, A., and Lotan, R. Endogenous galactoside-binding lectins: a new class of functional tumor cell surface molecules related to metastasis. Cancer Metastasis Rev. 1987; 6: 433-452.

77. Sher, B.T., Bargatze, R., Holzmann, B., Gallatin, W.M., Matthews, D., Wu, N., Picker, L., Butcher, E.C., and Weissman, I.L. Homing receptors and metastasis. Adv. Cancer Res. 1988; 51: 361-390.

78. Liotta, L.A., Thorgeirsson, U.P., and Garbisa, S. Role of collagenases in tumor cell invasion. Cancer Metastasis Rev. 1982; 1: 277-288.

79. Herlyn, M., Kath, R., Williams, N., Valyi-Nagy, I., and Rodeck, U. Growth-regulatory factors for normal, premalignant, and malignant human cells in vitro. Adv. Cancer Res. 1990; 54: 213-234.

80. Nowell, P.C. The clonal evolution of tumor cell populations. Science 1976; 194: 23-28.

81. Kerbel, R.S., Waghorae, C., Korczak, B., Lagarde, A., and Breitman, M.L. Clonal dominance of primary tumours by metastatic cells: genetic analysis and biological implications. Cancer Surv. 1988; 7: 597-629.

82. Weiss, L. Random and nonrandom processes in metastasis, and metastatic inefficiency. Invasion Metastasis 1983; 3: 193-207.

83. Weiss, L. Metastatic inefficiency. Adv. Cancer Res. 1990; 54: 159211.

84. Staroselsky, A. Pathak, S. Fidler, I.J. Changes in clonal composition during in vivo growth of mixed subpopulations derived from the murine K-1735 melanoma. Anticancer Research 1990; 10: 291-296.

85. Waghorne, C. Thomas, M. Lagarde, A. Kerbel, R.S. Breitman, M.L. Genetic evidence for progressive selection and overgrowth of primary tumors by metastatic cell subpopulations. Cancer Research 1998; 48: 6109-6114.

86. Leith, J.T. Michelson, S. Faulkner, L.E. Bliven, S.F. Growth properties of artificial heterogeneous human colon tumors. Cancer Research 1987; 47: 1045-1051.

87. Theodorescu, D. Cornil, I. Sheehan, C. Man, S. Kerbel, R.S. Dominance of metastatically competent cells in primary murine breast neoplasms is necessary for distant metastatic spread. International Journal of Cancer 1991; 47: 118-123.

88. Miller, B. Miller, R. Hepnner, G. Analysis of tumor cell composition in tumors of paired mixtures of mammary cell lines. British Journal of Cancer 1987; 56: 561-9.

89. Nicolson, G.L. Tumour cell instability, diversification, and progression to the metastatic phenotype: from oncogene to oncofetal expression. Cancer Research 1987; 47: 1473-87.

90. Nicolson, G.L. and Moustafa, A.S. Metastasis-associated genes and metastatic tumor progression. In vivo 1998; 12(6): 579-88.

91. Solyanik, G.I. Bulkiewicz, R.I. Kulik, G.I. One of the mechanisms of the metastatic cell dominance in heterogeneous tumour. Experimental Oncology 1995; 17(2): 158.

92. Solyanik, G.I. Mechanism of the metastatic cells overgrowth in a heterogeneous tumour. Physics of the Alive 1998; 6(2): 59-64.

93. Volk, T. Geiger, В., and Raz, A. Motility and adhesive properties of high- and low-metastatic murine neoplastic cells. Cancer Research., 1984; 44(2): 811-824.

94. Колобов A.B., Полежаев A.A., Соляник Г.И. Роль клеточной подвижности в явлении доминирования метастатически активных клеток в опухоли. Биофизический вестник (Харьков) 1999; 466: 72-75.

95. Ginestra, A. La Placa, M.D. Saladino, F. Cassara, D. Nagase, H. Vittorelli, M.L. The amount and proteolytic content of vesicles shedby human cancer cell lines correlates with their in vitro invasiveness. Anticancer Research 1998; 18(5A): 3433-7.

96. Gusev, A. and Polezhaev A. Modelling of a cell population evolution for the case existence of maximal possible total cell density. Kratkie soobscheniya po fizike FIAN 1997; 11-12: 85-90.

97. Folkman J. Tumour angiogenesis: Therapeutic implications. N.Engl.J.Med. 1971; 285: 1182-86.

98. Liotta, L. A., Kleinerman, J., and Saidel, G. M. Quantitative relationships of intravascular tumor cells, tumor vessels, and pulmonary metastases following tumor implantation. Cancer Res. 1974;34:997-1004.

99. Adam J.A. A mathematical model of tumour growth: Effects of geometry and symmetry. Math.Biosci. 1987; 86: 183-211.

100. Holash J., Wiegand S.J. and Yancopoulos G.D. New model of tumour angiogenesis: dynamic balance between vessel regression and growth mediated by angiopoietins and VEGF. Oncogene 1999; 18: 5356-62.

101. Byrne H.M. and Matthews P. Asymmetric growth of models of avascular solid tumours: exploiting symmetries. IMA J.Math.Appl.Med.Biol. 2002; 19: 1-29.

102. Byrne H.M. and Chaplain M.A.J. Modelling of cell-cell adhesion in the growth and development of carcinomas. Math. Comput. Model. 1996;24:1-17.

103. Siegel, G., Malmsten, M. and Klussendorf, D. Tumor cell locomotion and metastatic spread. Microscopy Research and Technique 1998; 43: 276-282.

104. Powell W.C., Matrisian L.M. Complex roles of matrix metalloproteinases in tumor progression. Curr.Top.Microbiol. Immunol. 1996; 213(1): 1-21.

105. Woessner J.F. Matrix metalloproteinases and their inhibitors in connective tissue remodeling. FASEB J. 1991; 5: 1245-54.

106. Duffy M.J. The role of proteolytic enzymes in cancer invasion and metastasis. Clin.Exp.Metastasis. 1992; 10: 145-55.

107. Webb S.D., Sherratt J.A. and Fish R.G. Alterations in proteolytic activity at low pH and its association with invasion: A theoretical model. Clin.Exp.Metastasis. 1999; 17: 397-407.

108. Magnatti P. and Rifkin D.B. Membrane and matrix localization of proteinases in tumour invasion. Physiol. Rev. 1993; 73: 161-95.

109. Kato Y., Nakayama Y., Umeda M. and Miyazaki K. Induction of 103kDa gelatinase/type IV collagenase by acidic culture conditions in mouse metastatic melanoma cell lines. J Biol Chem 1992; 267: 11424-30.

110. Webb S.D., Sherratt J.A., Fish R.G. Modelling tumour acidity and invasion. Novartis Found Symp. 2001; 240: 169-85.