Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Методика геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов

ВАК РФ 25.00.35, Геоинформатика

Автореферат диссертации по теме "Методика геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов"

На правах рукописи

Учаев Дмитрий Валентинович

Методика геопнформациоипого моделирования речных сетей на основе

фрактальных методов

Специальность 25 00 35 - Геоинформатика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

0031770Б8

Москва - 2007

003177068

Работа выполнена на кафедре прикладной экологии Московского государственного университета геодезии и картографии

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Малинников В А

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Троицкий В И доктор технических наук, профессор Захаров В Н

Ведущая организация

институт космических исследований РАН

Защита диссертации состоится «25» «декабря» 2007 г в 14 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 143 03 в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК) по адресу 105064, Москва, Гороховский переулок, 4 (Зал заседаний Ученого Совета)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного университета геодезии и картографии

Автореферат разослан <£5» «ноября» 2007 г Ученый секретарь

диссертационного совета

Ю М Климков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Важным объектом геоинформационного моделирования, как класса моделирования пространственно-временных данных, являются речные сети В настоящее время адекватная параметризация речной сети в значительной степени обусловлена потребностью в развитии базовых представлений о пространственной структуре речных сетей Применение степенных законов, связывающих основные геоморфологические характеристики речных систем, к описанию строения речных бассейнов за последние 50 лет было подробно изучено в рамках теории речных сетей Хортона-Страллера Однако в середине 80-х годов XX века сформировался новый подход к анализу структуры речных сетей, объединяющий степенные законы и самоподобие в контексте теории фракталов Этот подход обусловлен логикой развития современной естественнонаучной парадигмы Действительно, речные сети представляют собой открытые сильно неравновесные системы, строение и эволюция которых определяются приходящим из окружающей среды потоком энергетических ресурсов Потоки энергии и вещества, приходящие через открытые системы, обеспечивают возникновение в них эффектов самоорганизации - образование макроскопических диссипативных структур Эти структуры обладают имманентной структурной универсальностью и демонстрируют в широком диапазоне параметров пространственно-временной скеилинг - свойство самоподобия, или масштабной инвариантности — один из фундаментальных видов симметрий физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной

Совсем недавно бы по показано, что поведение речных сетей аналогично критическим явлениям в термодинамике В связи с этим возникает новое актуальное направление исследовании, связанное с геоинформационным моделированием универсальных классов речных сетей, характеризуемых своим набором критических показателей, отражающих особенности структуры, формирования и динамики развития речных сетей С другой стороны актуальность темы связана с поиском единого подхода к моделированию

речных сетей фрактальными методами, который позволил бы широко использовать самоподобную природу речных сетей при решении задач геоинформатики, гидрологии, геоморфологии, картографии и др наук Вместе с тем, следует отметить, что существующие на сегодняшний день фрактальные модели не отражают мультискейлинговую природу реальных речных сетей Тем не менее, мультифрактальность, проявляющаяся в пространственной структуре речных сетей, на сегодняшний день не заложена практически ни в одну из существующих геомоделей Особый интерес представляет применение мультифрактальных моделей к оценке качества генерализации речных сетей на топографических картах

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертационной работы актуальной и важной для современной геоинформатики в той ее части, которая связана с геоинформационным моделированием структуры и динамики развития речных сетей

Цель диссертационной работы. Разработка методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов и применение модельных параметров при картографической генерализации гидрографических сетей

Для достижения данной цели ставились и решались следующие задачи

• обоснована возможность использования фрактальных методов при геоинформационном моделировании речных сетей,

• выполнено теоретическое обобщение и систематизация фрактальных закономерностей, описывающих строение и динамику развития речных сетей,

• выполнен сравнительный анализ фрактальных моделей речных сетей

• сформулированы теоретические положения и разработан математический аппарат методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов,

• разработана мультифрактальная модель речной сети,

• разработано программное обеспечение для расчета мультифрактальных показателей речных сетей по их цифровым изображениям и морфометрическим характеристикам,

• проведена экспериментальная апробация разработанной методики геоинформационного моделирования речных сетей,

• обоснована возможность применения предложенной мультифрактальной модели при оценке качества картографической генерализации речных сетей

Научная новизна работы заключается в следующем

1 Разработан математический аппарат и теоретические основы методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов

2 Впервые построена мультифрактальная модель речной сети, позволяющая описывать строение речных сетей при помощи двух спектров характерного вида спектра обобщенных фрактальных размерностей и спектра сингулярностей Для различных моделей роста речной сети найдены границы скейлингового диапазона, при которых модельная динамика обладает скейлинговьгми свойствами

3 Предложена геоинформационная интерпретация параметров мультифрактального спектра Показано, что индексы сингулярности, полученные при мультифрактальном анализе топологической структуры речной сети, характеризуют скорость убывания числа притоков у каждого потока в сети Характерные значения фрактальной размерности А,, полученные из анализа топологической структуры речной сети, определяют скорость роста речной сети

4 Показано, что структурная перестройка речной сети сопровождается изменением ее мультифрактальной структуры

5 Разработан и реализован пакет мультифрактального анализа данных для использования, как в научно-исследовательских, так и в учебных целях Реализованный пакет включает в себя серию алгоритмов и методик

разработанных для

• получения канонических мультифрактальных спектров,

• статистического анализа наклонов регрессионных зависимостей при оценке мультифрактальных спектров;

• автоматизированного построения диаграмм и графиков для сравнения мультифрактальных спектров

6 Впервые показано, что мультифрактальные показатели для речной сети могут быть использованы для количественной оценки качества генерализации речных сетей

Практическая значимость результатов диссертационной работы связана с разработкой методики геоинформационного моделирования, обеспечивающей комплексный анализ пространственной структуры речных сетей В диссертации решается задача теоретического обоснования и экспериментальной верификации гипотезы о мультифрактальности речных сетей Предложена геоинформационная интерпретация мультифрактальных показателей Развиваемый в диссертации мультифрактальный подход дает принципиально новую основу для решения актуальных прикладных задач геоморфологии, гидрологии и картографии.

Результаты диссертации используются в курсах «Методы решения обратных задач дистанционного зондирования Земли» и «Автоматизированная обработка аэрокосмических изображений»

Достоверность результатов подтверждается:

1. Корректным применением математических методов и вычислительных средств теории вероятностей и математической статистики, вычислительной математики, цифровой обработки изображений, теории фракталов и дискретной математики

2 Научно-методическим обоснованием выбора характеристик фрактальных и мультифрактальных свойств пространственной структуры речных сетей

3 Тестированием программ, а также удовлетворительным совпадением

результатов с расчетами в аналитических и численных моделях, полученными другими авторами

На защиту выносятся следующие разработки и результаты:

1 Методика геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов

2 Мультифрактальная модель речной сети

3 Алгоритмы и программное обеспечение, реализующие предложенную методику геомоделирования

4 Практическое использование разработанной мультифрактальной модели при оценке качества картографической генерализации речных сетей.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных заседаниях кафедры Прикладной экологии МИИГАиК, на 60 (апрель, 2005), 61 (апрель, 2006), и 62 (апрель, 2007) научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых МИИГАиК, проводившихся в Московском государственном университете геодезии и картографии (МИИГАиК), на Международной конференции посвященной 225-летию МИИГАиК (Москва, май, 2004 г ), на X Межвузовском научно-практическом семинаре студентов, аспирантов и молодых ученых Московского региона по актуальным проблемам экологии и природопользования, на 7-ом Международном научно-промышленном форуме «Великие реки» (Нижний Новгород, май, 2005 г), на седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математики (Кисловодск, май, 2006 г), на XXIII Международной картографической конференции (Москва, август, 2007 г )

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 научных работ

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложений Материал работы изложен на 181 странице машинописного текста, содержит 11 таблиц, 54 рисунка, 6 приложений Список литературы состоит из 178 наименований, из них 98 на иностранных языках, 6 интернет-источников

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ РАБОТЫ Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цель и задачи, научная новизна, практическая значимость

В первой главе «Теория фракталов и ее место в геоинформационном моделировании речных сетей» вводятся основные понятия об объекте исследования В ней описываются основные элементы речных систем, дан краткий обзор классификаций долин (потоков) и их бассейнов, определяются основные характеристики речных сетей и бассейнов речных систем Приводится сравнительный обзор скейлинговых зависимостей и отношений, отражающих структурное самоподобие речных сетей и самоаффинность отдельных потоков Делается вывод, что все скейлинговые экспоненты могут быть получены при помощи двух независимых величин к (экспонента Хэка) и с1 (фрактальная размерность, характеризующая скейлинг длин главных потоков) В рамках гипотезы универсальности параметры к и с1 позволяют выделить универсальные классы, в пределах которых различные речные сети характеризуются одинаковыми критическими показателями На основе анализа работ отечественных и зарубежных ученых в области фрактальных методов исследования речных сетей показано, что результаты, достигнутые в этой области, легли в основу трех основных подходов к пониманию пространственной структуры речных сетей Согласно первому подходу, сформировавшемуся гораздо раньше двух других, речные сети самоподобны, т е демонстрируют скейлинговые свойства на достаточно широком (неограниченном, бесконечном) диапазоне масштабов В рамках второго подхода отдельные потоки речной сети представляют собой самоаффинные объекты, демонстрирующие самоподобное поведение только на ограниченном (конечном) диапазоне масштабов В последнее десятилетие начал формироваться третий подход к пониманию речных сетей, как сложных стохастических образований (стохастических фракталов) самоподобных только в среднем на определенном диапазоне масштабов Основным итогом проведенного анализа является утверждение о том, что современный подход к

исследованию пространственной структуры речных сетей недостаточен для описания их сложной мультимасштабной природы Поэтому для более адекватного описания речных сетей требуется внедрение и адаптация мультифрактального формализма

Во второй главе «Исследование фрактальных моделей речных сетей» дана общая характеристика проблемы фрактального моделирования речных сетей Показано, что существующая на сегодняшний день идеология моделирования речных сетей фрактальными методами не позволяет учесть различия в геологических и климатических условиях формирования речных сетей Отмечено, что на сегодняшний день созданы существенные предпосылки к активному внедрению фрактальных методов моделирования речных сетей в геоинформационные системы Однако многие актуальные проблемы остаются открытыми В частности, все еще существуют бассейны с неизвестным скейлинговым режимом Здесь изложены основные подходы к моделированию речных сетей на основе фрактальных методов Исследование начинается с подробного анализа основных типов моделей речных сетей.

• моделей неориентированных речных сетей (Леопольд и Лангбейн, 1962),

• моделей ориентированных речных сетей (Шейдеггер, 1968),

• моделей речных сетей случайной топологии (Ховард, 1971),

• моделей оптимальных речных сетей (Родригес-Итурбе и Риналдо, 90-е гг)

Затем проводится обобщение моделей трех наиболее известных семейств речных сетей на основе двух независимых величин 1г (экспонента Хэка) и с? (фрактальная размерность, характеризующая скейлинг длин главных потоков) Для демонстрации эффективности такого подхода в данном разделе осуществлено фрактальное моделирование р Псыш Расчет фрактальных показателей осуществлялся по топографической карте масштаба 1-100000 Значения скейлинговых показателей для р Псыш представлены в таблице 1

Здесь же приведены значения основных скейлинговых показателей для трех наиболее известных семейств речных сетей

Таблица 1

Скейлинговый Ориентированные Неориентированные Оптимальные Реальный

параметр случайные сети случайные сети водосборные бассейн

сети (р Псыш)

А 2/3 5/8 0,57-0,58 0,62

В 3/2 2 1,8-1,9 1,68

Н 1/2 1 _ 0,68

а 1 5/4 1,1 1,04

г 4/3 11/8 1,43±0,02 1,38

У 3/2 8/5 1,8±0,05 1,61

Как видно из таблицы 1, значения скейлинговых показателей Н и с/ р Псыш близки к значениям скейлинговых параметров, характерных для неориентированных речных сетей

Таким образом, внедрение фрактального подхода позволило значительно упростить процесс моделирования речных сетей Однако большинство из существующих на сегодняшний моделей имеют ярко выраженный детерминированный характер и объясняют случайные процессы возникновения и развития речных сетей достаточно грубо В связи с этим более реалистичным представляется использование мультифрактальных геомоделей, которые учитывали бы изменение скейлингового режима в процессе эволюции речных сетей.

В третьей главе «Разработка методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов» изложены основные положения, программная и техническая реализация разработанной методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов

Разработанная методика геоинформационного моделирования речных сетей состоит из двух взаимосвязанных частей

1) моделирование пространственной структуры речной сети,

2) моделирование топологической структуры речной сети,

обусловленной динамикой ее развития и построение картины последовательного формирования потоков с использованием мультифрактального подхода В основе разработанной мультифрактальной модели лежат следующие положения

1) проекция речной сети в плане является мультифракталом,

2) число притоков у потоков в сети растет степенным образом

1-ый этап На подготовительном этапе моделирования осуществляется отбор карт с изображением исследуемой речной сети Исходный картографический материал может быть представлен в цифровой, векторной (слои) или традиционной бумажной форме В последнем случае необходимо выполнить сканирование и цифрование рассматриваемой реки с привлечением средств ГИС

2-ой этап На следующем этапе моделирования проводится ранжирование потоков в сети (присвоение порядков потокам в сети) в соответствие с одной из схем упорядочивания потоков Страллера, Хортона или модифицированной схемы Хортона с обратным заданием порядков притокам Показано, что каждая из выше перечисленных схем обладает своими достоинствами и недостатками и наиболее удачной в плане отражения последовательности формирования потоков в сети является модифицированная схема Хортона с обратным заданием порядков притокам

3-ий этап На третьем этапе геоинформационного моделирования создается растровый образ векторный модели речной сети и производится расчет чисел и длин потоков различных порядков По полученным данным составляется таблица, в которой фиксируются порядки потоков, их порядковый номер и длина, а также порядок и номер родительского потока Каждая такая таблица отражает иерархическое строение речной сети и может использоваться в качестве исходного материала на этапе мультифрактального описания топологической структуры речной сети

4-ый этап Мультифрактальный анализ речных сетей Мулыпифракталъпый анализ изображения речной септ

Мультифрактальный анализ изображений включает в себя следующие три вычислительных этапа

1) разбиение изображения речной сети на квадратные ячейки заданного размера,

2) формирование фрактальной меры на основе значений коэффициента густоты, характеризующего каждую ячейку карты,

3) получение мультифрактальных характеристик, позволяющих описать неоднородные по густоте участки бассейна (па карге)

Фрактальная мера при описании геометрической структуры речной сети определяется как отношение суммарной длины потоков в пределах данной ячейки (элемента карты) к суммарной длине потоков во всей речной сети, т е

где /,(£■) - суммарная длина потоков (рек) (суммарное число значимых пикселей внутри г-ой ячейки) в пределах г-ой ячейки, L - суммарная длина поюков во всей речной сети Таким образом, мера каждой ячейки пропорциональна коэффициенту густоты, полученному для данной ячейки, характеристике наиболее полно отражающей различные с геомефической точки зрения участки речной сети

В случае мультифрактальносги сконструированной меры моменты распределения вероятностей ведут себя степенным образом, г е справедливо соотношение

те)

Zq{e)= t,PÏ(e)*c-'M (1)

ы

Преобразуя формулу (1) получим явное выражение для показателя массы t(ij)

ln Z (г-)

г (о) = lim-(2)

In ¿г v '

Последовательность показателей массы т(д), характеризует скорость

изменения соответствующих моментов Функция т(д) связана непосредственно с обобщенными фрактальными размерностями £>9, о =т(д)/(д-\) Наряду с функциями Оч и г(д) .используют и так называемый спектр сингулярностей f{a), представляющий собоп размерности неких однородных фрактальных подмножеств исходною множества, которые дают наибольший вклад в моменты распределения (1) при заданных д Спектр /(а) получают путем преобразования Лежандра функции г(<у), Да) = яд - т(д), где а(д) = Л /с/4 Мулыпнфрактальный сшачиз топологической структуры речной сети, обуечовленной динамикой ее развития

При исследовании тоиоло1 пческои структуры речных сетей выполняется мулыифрактальный анализ сфуктуры потоков речной сети Для этого каждому потоку в сети ставится в соответствие величина

N.

Р, - —> У' N

где И, - число притоков ;-го потока (/ = 1 N ), Ы— общее число потоков (здесь и далее сама главная река в расче! не принимается)

В соогвс1сгвии с формулируемым в диссертационной работе положением и случае мульгифрактальносш структуры потоков моменты распределения вероятностей ведут себя сшюнным образом с увеличением размера речной сетп, г е

^м^^/'оелг«", (3)

где 2„(Л0 - моменты порядка ц, N - общее число потоков, на каждой стадии формирования речной сети Как и при^ мультифрактальном анализе изображений речной сети функция т(д) в соотношении (3) характеризует скорость изменения соогветствз'ющих моментов Величина т(д) позволяет получить еще две полезные кривые спектр обобщенных фрактальных размерностей Д, и спектр сингулярностей /(а)

5-ый этап Геоинформационная интерпретация мультифрактальных параметров

Количественная характеристика скорости роста речной сети — £>о Фрактальная размерность £)0, полученная при анализе топологии речной сети, есть количественная характеристика скорости роста речной сети Чем ближе величина к 1, тем большее число потоков в сети на данной стадии формирования реки имеет хотя бы один приток И наоборот, близость величины Д) к 0, означает, что притоки формируются у потоков, сформировавшихся на ранних стадиях развития речной сети (те у главной реки и у ее основных притоков) Таким образом, размерности характеризуют два предельных режима развития речной сети, когда на каждой стадии формирования речной сети ветвится только главная река и ее основные притоки, или когда в формировании речной сети участвуют потоки малых (по Хортону)порядков

Количественные характеристики роста числа потоков 8 сети с минимальным и максимальным числом притоков — /_ и /„ Среди всех величин {(а), используемых в целях описания топологии речной сети наиболее важное место занимает величины /_„ и /в Величина представляет собой фрактальную размерность подмножества, характеризуемого максимальным значением индекса сингулярностей атт Величина атт характеризует потоки с наименьшим количеством притоков Число таких потоков при формировании речной сети растет как

(4)

Из соотношения (4) получим явное выражение для размерности /_„

"->« 1п N

Таким образом, размерность /_„ характеризует скорость роста числа потоков с наименьшим числом притоков На практике, как правило, на всех стадиях формирования речной сети присутствуют потоки с одним притоком Это

означает, что ртт = 1 / N, где N общее число потоков в сети Таким образом, а,„„ = 1 Аналогично величина представляет собой фрактальную

размерность подмножества, характеризуемого минимальным значением индекса сингулярностей атю Поскольку величина атт, напротив, характеризует потоки с наибольшим числом притоков, то

^„„х ~ к1' и /„ = Ьш

1п N

Таким образом, размерность /т характеризует скорость роста числа потоков с наибольшим числом притоков На практике максимальное число притоков наблюдается у главной реки, либо у одного из ее основных притоков В связи с этим фрактальная размерность в большинстве случаев принимает нулевое значение (размерность одноточечного подмножества)

Расчет мультифрактальных характеристик при анализе топологии потоков и геометрической структуры речной сети осуществлялся в среде мультифрактальной обработки изображений и рядов данных, разработанной автором работы совместно с аспирантом кафедры ПЭ МИИГАиК Учаевым Денисом Валентиновичем под руководством научного руководителя проф д т н Малинникова В А Данный программный комплекс состоит из двух основных блоков

1 Блок формирования фрактальной меры по цифровому изображению речной сети и данным о числе притоков у каждого потока

2 Блок статистического анализа наклонов регрессионных прямых Блок формирования фрактальной меры

Как известно, оценки мультифрактальных характеристик цифровых изображений существенным образом зависят от способа формирования покрытий и формы покрывающих элементов При этом наилучший результат достигается при выборе такого покрытия, при котором число элементов, наиболее лучше отражающих особенности исследуемой структуры, минимально Ошибки, возникающие на этапе покрытия изображения исследуемой структуры, могут привести к существенным искажениям

формируемой впоследствии меры и, как следствие, к появлению всплесков на спектрах (вплоть до получения инвертированных спектров (ИМФ-спектры), для которых наблюдается возрастание значений фрактальных размерностей Реньи 1Хд) с увеличением q, а спектр сингулярностей Да) имеет не выпуклую, а вогнутую форму) С целью получения канонических мультифрактальных спектров автором предложена методика получения канонических мультифрактальных спектров, основанная на процедуре переформирования ячеек с недопустимыми значениями индекса сингулярности а Блок статистического анализа наклонов регрессионных прямых В разработанном блоке анализа наклонов для принятия окончательного решения о том, какой наклон соответствует регрессионной прямой, построенной по всему диапазону масштабов, строятся гистограммы степени повторяемости наклонов, вычисленных по поддиапазонам для каждого значения параметра q Наклон, наиболее часто получаемый при анализе отдельных поддиапазонов шкал (максимум гистограммы), с наибольшей вероятностью соответствует наклону регрессионной прямой, построенной по всему диапазону масштабов

Экспериментальная апробация разработанной методики была проведена на серии рек с различными геоморфологическими и географическими характеристиками В качестве примера рассмотрим бассейны рек Псыш и Сахрай с хорошо развитой речной сетью Исходным материалом при геоинформационном моделировании речных сетей рек Псыш и Сахрай служили листы топографических карт масштаба 1 100000 Каждая из карт относится к классу среднемасштабных карт и целиком содержит бассейны рек Псыш и Сахрай

На первом этапе моделирования на основе топографических листов масштаба 1.100000 были созданы векторные карты гидрографических сетей бассейнов рек Псыш и Сахрай

На втором этапе геомоделирования всем потокам рек Псыш и Сахрай были присвоены порядки в соответствие с модифицированной схемой

упорядочивания потоков (см. рис 1). При данной схеме упорядочивания водотоков порядок главной реки равен 1, а все элементарные потоки имеют максимальный порядок.

/V

Ф Л

^ у

\JOTiK

Рис.1. Векторные карты р. Псыш и р. Сахрай, построенные по топографическим картам масштаба 1:100000

Для того, чтобы отличать реки одного и того же порядка каждому водотоку данного порядка был присвоен свой идентификационный номер. Порядки потоков, их порядковый номера и длины, а также порядки и номер родительского потока в рассматриваемой схеме упорядочивания потоков были автоматизированным способом занесены в таблицы, используемые на этапе мультифрактального описания топологической структуры речных сетей.

Проанализируем результаты, полученные для р. Псыш и р. Сахрай по картам масштаба 1:100000. Поскольку размерность бассейнов рек Псыш и Сахрай меньше двух, то это доказывает, что обе речные сети не охватывают весь водосборный бассейн и тем самым остаются не дренируемые области. Этот результат полностью согласуется с исследованиями Клапса и Оливето, которые утверждали, что фрактальная размерность бассейна, как правило, меньше двух и лежит в диапазоне 1,6 - 1,8. Значение индекса упорядоченности больше для изображения реки Псыш, что в целом свидетельствует о большей степени нарушения симметрии. Остальные размерности несут дополнительную информацию о распределении ячеек с различными значениями коэффициента густоты. При этом наибольшую информацию о густоте каждой отдельной ячейки несет размерность, которая характеризует вероятность попадания д случайным образом выбранных точек сети в ячейку фиксированного размера

при некотором достаточно большом значении порядка момента с].

Экспериментально установлено (см. рис. 2 и 3), что правые ветви спектров ((а), соответствующие отрицательным д, систематически короче левых. Это объясняется тем, что областей с малыми значениями удельного коэффициента густоты гораздо больше на среднемасштабных топографических картах. Напротив ячейки с относительно высокими значениями коэффициента густоты практически не встречаются. Сходимость к нулю левой ветви спектра {(а) для р. Псыш на карте масштаба 1:100000 свидетельствует о том, что имеется всего одна ячейка, удельная плотность которой, характеризуется показателем сингулярности атп.

—

4 ч

\

V

. ....

■ /

—

: :.'.„.____

а). ........ . ,,б)

Рис. 2. а) Спектр обобщенных фрактальных размерностей Ц,; б) спектр сингулярностей Да) и его параболическая аппроксимация для изображения р. Псыш на карте масштаба 1:100000

к*. и \

\

......

\

\

-

¡1

}

)

/

. ' .г г ..

а)' " " - ' -б)

Рис. 3. а) Спектр обобщенных фрактальных размерностей Д,; б) спектр сингулярностей /(а) и его параболическая аппроксимация для изображения р. Сахрай на карте масштаба 1:100000

а)'

3 т - - } - - 4--

1

• ■*,

!

1 ....

Рис. 4. а) Спектр обобщенных фрактальных размерностей £>9; б) спектр сингулярностей /(а), полученные по распределению потоков по числу притоков у них для р. Псыш на карте масштаба 1:100000

/ -

!

-

[ } -

а)' '

Рис. 5. а) Спектр обобщенных фрактальных размерностей Д,; б) спектр сингулярностей /(а), полученные для распределения потоков по числу притоков у них для р. Сахрай на карте масштаба 1:100000

На рисунках 26-56 показан спектр {(а) и его параболическая аппроксимация для изображений и потоковой структуры для каждой из исследуемых речных сетей. Как видно из рисунков в каждом случае можно выделить участок спектра, который полностью накладывается на аппроксимирующую кривую. При этом гораздо лучше согласуются левые ветви спектров, соответствующие потокам с достаточно большим числом притоков. Это может быть связано с тем, что в процессе формирования наибольшей перестройки подвергаются бассейны малых по Хорто ну порядков. Мультифрактальный анализ структуры потоков речной сети позволяет выявить вклад потоков с малым числом притоков (см. рис. 4 и 5). Экспериментально установлено, что правые ветви спектров, соответствующие отрицательным д, систематически короче левых. При больших отрицательных величинах порядка

моментов их вклад становится определяющим, подавляя влияние других потоков, характеризуемых большим числом сторонних притоков В бассейне р Псыш имеется большее число потоков с одним притоком, поэтому правая ветвь спектра для р Псыш расположена выше соответствующей ветви ((ог)-спектра дляр Сахрай

В четвертой главе «Применение обобщенной фрактальной модели для оценки качества генерализации речной сети на среднемасштабных топографических картах» предлагается метод оценки качества генерализации речной сети на среднемасштабных топографических картах, базирующийся на использовании мультифрактальных характеристик речной сети

В первой части главы изложены основные положения теории картографической генерализации речных сетей Отмечается, что в современной практике отбор рек на картах чаще всего определяется общим правилом, по которому на карту наносятся реки, начиная с некоторой установленной длины Это правило является механическим и не отвечает полностью задаче правильного отбора элементов речной сети. В предыдущей главе диссертации был сделан вывод о том, что речные сети мультифрактальны В связи с этим ставится задача разработки количественных критериев оценки качества генерализации рек, сохраняющих мультифрактальность речных сетей Среди прочих важнейшим аспектом качества данных генерализованных цифровых карт является их логическая согласованность В частности, при генерализации речных сетей операции согласования должны подвергаются как отдельные элементы речной сети (сегменты, потоки), так и вся речная сеть в целом, как комплексный объект карты Несложно заметить, что эти требования естественным образом учитываются в рамках разработанной мультифрактальной модели речной сети Для оценки качества генерализации речных сетей на среднемасштабных топографических картах предлагается использовать следующие количественные характеристики

• количественная мера близости мультифрактальных спектров, описывающих геометрическую структуру речных сетей

р,.(МарА,МарВ)

/г{а)(Марл).

/г(а)(Марв)

• количественная мера близости мультифрактальных спектров, описывающих топологическую структуру речных сетей

/г(а\Марв)

Для визуальной оценки качества генерализации речных сетей предлагается сопоставить мультифрактальные показатели исходной и полученной в ходе генерализации карт.

Эффективность применения выработанных критериев была продемонстрирована на примере речных сетей р. Псыш и р. Сахрай.

Как видно из рис. 6 спектры Оч, полученные по картам масштаба 1:200000 лежат ниже спектров 09, рассчитанных для исходного изображения масштаба 1:100000.

1

— ... г* 1

- V

_

—

— й \ •г::

; ? -

Г I "* - -

1

_

а

Рис.6. Спектр обобщенных фрактальных размерностей Г>ц и спектр сингулярностей /(а), характеризующие геометрическую структуру р. Псыш (а, б) и р. Сахрай (в, г) на картах масштаба 1:100000 и 1:200000, построенные в одной системе координат

В обоих случаях фрактальная размерность генерализованного изображения несколько ниже фрактальной размерности исходного. Такое незначительное понижение размерности может быть связано с упрощением отдельных потоков на карте масштаба 1:200000 и в целом говорит о сохранении структурного самоподобия рек на картах масштаба 1:200000. Остальные размерности обнаруживают некоторое расхождение в значениях фрактальной размерности подмножеств. Эта разница проявляется в наибольшей степени при предельных значениях индекса сингулярности, характеризующего области изображения с наименьшим и наибольшим значениями коэффициента густоты. Уменьшение размерности для данного подмножества ячеек свидетельствует о том, что в

удельном выражении таких областей стало гораздо меньше.

На рис 7 приведены спектры сингулярностей и обобщенных фрактальных размерностей для карт масштаба 1:100000 и карт масштаба 1:200000, характеризующие топологию речной сети.

- - —

- - - V - -

ЧЧ

11:

7 * — "V

— —

а) •—— б) .....-.....- в) — г)

Рис.7. Спектры обобщенных фрактальных размерностей £>, и спектры сингулярностей /(а), характеризующие топологическую структуру р. Псыш (а, б) и р. Сахрай (в, г) на картах масштаба 1:100000 и 1:200000, построенные в одной системе координат

При сопоставлении спектров сингулярностей видно, что левые ветви спектров, соответствующие потокам с достаточно большим числом сторонних притоков (главная река и ее основные притоки), практически целиком накладываются друг на друга. Это свидетельствуют о том, что отбрасывание притоков у крупных потоков при генерализации выполнено корректно с соблюдением соответствующих норм и цензов. Отбрасывание же притоков у потоков с небольшой долей притоков выполнено корректно для изображения р. Сахрай, что наглядно обнаруживается наложением правой ветви спектра для исходной и генерализованной карт. Напротив спектры для р. Псыш расходятся при значениях индекса сингулярности близких к единице. Такое расхождение спектров для исходной и генерализованной карт может объясняться тем, что отбрасывание притоков у потоков с небольшим числом притоков приводит к резкой перестройке сети и изменению ее топологической структуры.

Заключение

Представленная диссертационная работа содержит исследования и разработки автора, которые можно рассматривать как решение актуальной научной задачи, посвященной разработке и исследованию методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных

методов Основными теоретическими и практическими результатами работы являются следующие.

1 Выполнено теоретическое обобщение и систематизация фрактальных закономерностей, описывающих строение и динамику развития речных сетей Составлена таблица основных скейлинговых закономерностей организации речных сетей

2 Проведен анализ и обобщение фрактальных моделей речных сетей Обоснована возможность использования фрактальных методов при геоинформационном моделировании речных сетей

3 Разработан математический аппарат и теоретические основы, выполнена практическая реализация методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов

4 Предложена и обоснована мультифрактагтьная модель речной сети Для различных моделей роста речной сети найдены условия (границы скейлингового диапазона), при которых модельная динамика обладает скейлинговыми свойствами

5 Разработано программное обеспечение для расчета мультифрактальных показателей речных сетей по их цифровым изображениям и морфометрическим характеристикам Разработана и реализована методика получения канонических мультифрактальных спектров

6 Обоснована возможность применения разработанной мультифрактальной модели при оценке качества картографической генерализации речных сетей Предложены количественные критерии оценки качества генерализованных речных сетей на среднемасштабных топографических картах

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Мультифрактальный математический анализ синергетических структур // Труды Международной научно-практической интернет-конференции «Перспектива и развитие» -М МФТИ, 2004 (соавторы Малинников В А, Никольский А Е , Учаев Д В )

2 Мультифрактальная параметризация геопространственных структур // Труды Международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК - M МИИГАиК, 2004 - С 163-167 (соавторы Малинников В А , Никольский А Е , Учаев Д В.)

3. Современные математические методы параметризации изображений синергетических объектов Учебное пособие - M МГГИИ, 2005 — 98 с, ил 20 (соавтор Никольский А Е )

4. Мультифрактальные методы исследования речных систем // Труды 7-го международного научно-промышленного форума «Великие реки 2005» (соавторы Савиных В П , Малинников В А )

5 Методика получения канонических спектров при мультифрактальном анализе цифровых изображений - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, т 13, в 3, с 516-517 (соавторы Малинников В А , Учаев Д В).

6 Мультифрактальные методы исследования речных систем // Рациональное природопользование, промышленная экология и дистанционные методы Сб науч Трудов - M • ГУЗ, 2006 -С 98-104

7 Application of Multifractal Approach in Generalizing River Networks Cartographic Images In CD-Rom Proc of the 23th ICC, Moscow, Russia, Section 10,2007 (соавторМалинников В A)

8. Применение фрактального подхода в геоинформационном моделировании речных сетей // Изв вузов Геодезия и аэрофотосъемка 2007 № 4 С 76-86

9 Синергетический подход к изучению природных и социальных процессов / Труды Всероссийской конференции «Социальная интеграция, доступное качественное образование, проблемы семьи и молодежи», Москва, 24-25 мая, 2007, с. 17

Подписано в печать 22 11 2007 Гарнитура Тайме Формат 60*90/16 Бумага офсетная Печать офсетная Объем 1,5 уел печ л Тираж 80 экз Заказ №287 Цена договорная

Издательство МИИГАиК 105064, Москва, Гороховский пер , 4

Отпечатано в типографии МИИГАиК

Содержание диссертации, кандидата технических наук, Учаев, Дмитрий Валентинович

Введение.

Глава 1. Теория фракталов и ее место в геоинформационном моделировании речных сетей.

1.1. Речная сеть и ее строение.

1.2. Теория фракталов и ее применение для описания речных сетей.

1.3. Анализ работ отечественных и зарубежных ученых в области фрактальных методов исследования речных сетей.

1.4. Постановка целей и задач исследования.

Глава 2. Исследование фрактальных моделей речных сетей.

2.1. Общая характеристика проблемы фрактального моделирования речных сетей.

2.2. Основные подходы к моделированию речных сетей на основе фрактальных методов.

2.2.1. Стохастические модели неориентированных речных сетей.

2.2.2. Стохастические модели ориентированных речных сетей.

2.2.3. Модели речных сетей со случайной топологией.

2.2.4. Модели оптимальных речных сетей.

2.3. Анализ фрактальных моделей речных сетей.

Выводы по главе.

Глава 3. Разработка методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов.

3.1. Методика геоинформационного моделирования речных сетей фрактальными методами.

3.1.1. Мультифрактальное описание пространственной структуры речных сетей (строения речных сетей).

3.1.2. Мультифрактальное описание топологической структуры речных сетей, обусловленной динамикой их развития.

3.2. Программная и техническая реализация разработанной методики.

3.3. Экспериментальная апробация методики геоинформационного моделирования речных сетей.

Выводы по главе.

Глава 4. Применение мультифрактальной модели для оценки качества генерализации речных сетей на среднемасштабных топографических картах.

4.1. Основные положения теории картографической генерализации речных сетей.

4.2. Методы оценки качества генерализованных цифровых карт.

4.3. Практическое использование мультифрактальных показателей разработанной модели для оценки качества генерализации речных сетей на среднемасштабных топографических картах.

Выводы по главе.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Методика геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов"

Структура речных сетей традиционно является предметом оживленных дискуссий среди специалистов самого широкого профиля: от гидрологов и геоморфологов до математиков и физиков [99]. Столь пристальный интерес объясняется тем, что описание строения речной сети позволяет изучить особенности формирования и развития всей реки. Кроме того, ветвящиеся структуры подобные речным сетям встречаются в самых различных областях: в физике (разряды молний в атмосфере, перколяционные кластеры) [57], биологии (кровеносные сосуды) [20]. Не теряют своей актуальности вопросы формирования и развития эрозионного ландшафта, которые также непосредственно связаны с количественным описанием структуры речной сети и ее элементов (потоков, сегментов) [13,

712

Эти и многие другие вопросы длительное время оставались не решенными, поскольку характеристики речных систем, такие как извилистость потоков, разветвленность реки, форма бассейна и др. описывались слишком грубо на языке Евклидовой геометрии [49, 142]. Ситуация кардинальным образом изменилась в середине 80-х годов XX века, когда на смену Евклидовой геометрии пришла фрактальная геометрия, базирующаяся на принципе самоподобия, обнаруживаемом практически всеми объектами и явлениями в природе. Свойство самоподобия, или масштабной инвариантности - один из фундаментальных видов симметрий физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной [10].

Согласно определению основоположника теории фракталов Б. Мандельброта «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Мандельброт предположил, что, объект будет фрактальным, если его фрактальная размерность не превышает его топологической размерности, являясь, таким образом, нецелым числом. Фрактальная размерность является основной характеристикой фракталов. Применительно к геоморфологии более удобным представляется определение фрактальной размерности, данное Ю.Г.Пузаченко: ".величина фрактальной размерности является хорошей мерой сложности и содержит прямую информацию о форме рельефа и вообще пространственной структуре любого компонента" [46].

Интерес зарубежных и отечественных геоморфологов к изучению структуры речной сети фрактальными методами возник естественным образом в конце 80-х - начале 90-х годов прошлого века. Предпосылкой этому стала фундаментальная работа Б.Мандельброта "Фрактальная геометрия природы" [37], в которой впервые высказана идея о возможности исследования многих разветвленных (речные сети, береговые линии) и площадных (острова, озера, горные области) географических объектов методами фрактального анализа.

Внедрение фрактального подхода в геоморфологию и гидрологию I позволило с иных позиций взглянуть на степенные законы Хортона, Хэка и др, устанавливающих связь между основными характеристики речных сетей. Это в свою очередь послужило мощным толчком к описанию структуры речных сетей с помощью ряда скейлинговых (масштабно инвариантных, т.е. не меняющихся при изменении масштаба системы) показателей.

Однако, несмотря на существенные успехи, которых достигла геоморфология при изучении форм ландшафта, при описании эрозионных форм все еще преобладает качественный подход. Речные бассейны до сих пор описываются как «молодые», «зрелые», «старые», «слабо дренированные» или «хорошо дренируемые». Все еще остается не решенной задача описания различия в густоте и частоте потоков отдельных участков бассейна. При количественном описании механизмов формирования речной сети практически никак не отражается различие в скорости роста отдельных потоков речной сети.

Таким образом, можно сделать вывод, что комплексное описание структуры речной сети может дать геоинформационная модель, основанная на фрактальных методах.

Необходимость в геоинформационном подходе возникает в связи с тем, что реки являются объектами геоинформационной среды. «Геоинформационная среда включает в себя все объекты природной среды (геоинформационные объекты), их окружение, явные и неявные связи между ними, факторы, определяющие возможности наблюдать, контролировать и моделировать явления и объекты этой среды» [61]. Первичными данными при геоинформационном моделировании, как правило, служат карты и снимки речных сетей. Геоинформационные исследования могут осуществляться в двух аспектах: оценка тех или иных геоинформационных параметров для данного момента времени и получение прогнозных оценок.

Тем самым геоинформационная модель речной сети позволяет определять и предсказывать поведение параметров, характеризующих структуру речной сети, выявлять связи между ними.

• fx

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертационной работы актуальной и важной для современной геоинформатики в той её части, которая связана с геоинформационным моделированием структуры и динамики развития речных сетей.

Целью диссертационной работы является разработка методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов и применение модельных параметров при картографической генерализации гидрографических сетей.

Для достижения данной цели были поставлены и решены следующие задачи:

• обоснована возможность использования фрактальных методов при геоинформационном моделировании речных сетей;

• выполнено теоретическое обобщение и систематизация фрактальных закономерностей, описывающих строение и динамику развития речных сетей;

• выполнен сравнительный анализ фрактальных моделей речных сетей;

• сформулированы теоретические положения и разработан математический аппарат методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов;

• разработана мультифрактальная модель речной сети;

• разработано программное обеспечение для расчета мультифрактальных показателей речных сетей по их цифровым изображениям и морфометрическим характеристикам;

• проведена экспериментальная апробация разработанной методики геоинформационного моделирования речных сетей;

• обоснована возможность применения предложенной мультифрактальной модели при оценке качества картографической генерализации речных сетей.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в том, что разработанная в ней методика геоинформационного моделирования может быть использована при комплексном анализе пространственной структуры речной сети. В диссертации решается задача теоретического обоснования и экспериментальной верификации мультифрактальной структуры речных сетей. На основе теории мультифракталов получены новые интегральные характеристики, характеризующие строение и рост речной сети. Развиваемый в диссертации мультифрактальный подход дает принципиально новую основу для решения актуальных прикладных задач геоморфологии, гидрологии и картографии.

Заключение Диссертация по теме "Геоинформатика", Учаев, Дмитрий Валентинович

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

В данной главе были получены следующие результаты:

• проведен анализ существующих методов оценки обобщенных показателей качества генерализации речных сетей, отмечены их достоинства и недостатки;

• сформулированы количественные критерии оценки качества генерализации речных сетей, основанные на использовании мультифрактальных характеристик речных сетей;

• разработан метод оценки качества генерализации речных сетей, состоящий в расчете введенных мер качества и последующем вычислении обобщенного показателя качества по одной из приведенных в данной главе схем.

Сформулированный подход по существу представляет собой первую попытку применения мультифрактального анализа к проблеме генерализации речных сетей. Введенные количественные критерии позволяют перейти к автоматизированной системе оценки качества генерализации речных сетей.

152

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленная диссертационная работа содержит исследования и разработки автора, которые можно рассматривать как решение актуальной научной задачи, посвященной разработке и исследованию методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов. Основными теоретическими и практическими результатами работы являются следующие:

1. Выполнено теоретическое обобщение и систематизация фрактальных закономерностей, описывающих строение и динамику развития речных сетей. Составлена таблица основных скейлинговых закономерностей организации речных сетей.

2. Проведен анализ и обобщение фрактальных моделей речных сетей. Обоснована возможность использования фрактальных методов при геоинформационном моделировании речных сетей.

3. Разработан математический аппарат и теоретические основы, выполнена практическая реализация методики геоинформационного моделирования речных сетей на основе фрактальных методов.

4. Предложена и обоснована мультифрактальная модель речной сети. Для различных моделей роста речной сети найдены условия (границы скейлингового диапазона), при которых модельная динамика обладает скейлинговыми свойствами.

5. Разработано программное обеспечение для расчета мультифрактальных показателей речных сетей по их цифровым изображениям и морфометрическим характеристикам. Разработана и реализована методика получения канонических мультифрактальных спектров.

6. Обоснована возможность применения разработанной мультифрактальной модели при оценке качества картографической генерализации речных сетей. Предложены количественные критерии оценки качества генерализованных речных сетей на среднемасштабных топографических картах.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата технических наук, Учаев, Дмитрий Валентинович, Москва

1. Аполлов Б. А. Учение о реках. М.: Изд-во Московского ун-та, 1963. -423 с.

2. Балханов В. К., Бакушев Ю. Б. Методы измерения фрактальной размерности разветвленных структур. ГИАБ, № 6, 2005. С. 342-345.

3. Баранов Ю. Б., Берлянт А. М., Капралов Е. Г., Кошкарев А. В., Серапинас Б. Б., Филиппов Ю. А. Геоинформатика. Толковый словарь основных терминов. М.: ГИС-Ассоциация, 1999. 204 с.

4. Берлянт А. М., Мусин О. Р., Собчук Т. В. Картографическая генерализация и теория фракталов. М.: Изд-во МГУ, 1998. - 136 с.

5. Билич Ю. С., Васмут А. С. Проектирование и составление карт: Учебник для вузов. М.: Недра, 1984. - 364 с.

6. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.-128 с.

7. Бугаевский Л. М., Цветков В. Я. Геоинформационные системы: Учебное пособие для вузов. М.: «Златоуст», 2000. - 222 с.

8. Васильев Л. Н. Фрактальность и самоподобие природных пространственных структур // Изв. РАН. Сер. геогр., 1992, № 5. С.25-35.

9. Вахрамеева Л. А. Картография: Учебник для вузов. М.: Недра, 1981, 224 с.

10. Вейль Г. Симметрия: Пер. с англ. М.: Наука, 1968. - 192 с.

11. Великанов М. А. Гидрология суши. Л.: Гидрометеоиздат, 1974. - 455 с.

12. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. 7-е изд. стер. -М.: Высш. шк., 2001. - 575 с.

13. Викторов А. С. Математическая морфология ландшафта. М.: Тратэк, 1998.- 180 с.

14. Встовский Г. В., Колмаков А. Г., Бунин И. Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. Москва

15. Ижевск: Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 116 с.

16. Давыдов Г. П. Изображение гидрографической сети на общегеографических картах // Тр. ЦНИИГАиК. Вып. 92. М.: Геодезиздат, 1953, С. 24-29.

17. Давыдов Л. К., Дмитриева А. А., Конкина Н. Г. Общая гидрология / Под ред. Добровольского А. Д., Львовича М. И. Гидрометеоиздат, 1973. -459 с.

18. Журкин И. Г., By Суан Кыонг. Количественный подход к оценке процесса генерализации гидрографических и дорожных сетей на цифровых топографических картах масштабов 1: 5 ООО и 1: 25 ООО // Геодезия и картография. 2003. № 11. С. 47-51.

19. Журкин И. Г., Цветков В. Я. Разработка характеристик оценки качества информации в ГИС // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъемка, 1999, №5, С. 113-121.

20. Иванов А. В., Короновский А. А., Минюхин И. М., Яшков И. А. Определение фрактальной размерности овражно-балочной сети города Саратова // Изв. вузов «ПНД», 2006, т. 14, № 2, С. 64-74.

21. Иудин Д. И. Методология принципа самоподобия в исследовании видовой структуры биотических сообществ: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. докт. биол. наук. Тольятти, 2006. 35 с.

22. Карери Дж. Порядок и беспорядок в структуре материи: Пер. с итал. М.: Мир, 1985.-232 с.

23. Картография. Термины и определения. ГОСТ 21667-76, Москва, 1976.

24. Картография цифровая. Термины и определения. ГОСТ 28441-99. Москва, 1999.

25. Карты цифровые. Методы оценки качества данных. Общие требования. М. ОСТ 68-3.4.2-03, 2003.

26. Карты цифровые. Оценка качества данных. Основные положения. М. ОСТ 68-3.4.1-03,2003.

27. Киндюк Б. В., Овчарук В. А. Строение гидрографической сети рек Украинских Карпат. Метеорология и гидрология, 2005, № 8. С. 59-66.

28. Корчинский Е. В., Малинников В. А. Закономерности организации речных систем // Труды Международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. Вып. Геоинформатика. -М.: МИИГАиК, 2004. С. 167-176.

29. Корчинский Е. В., Малинников В. А. Исследование фрактальных свойств бассейнов речных систем // Труды международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. Вып. Геоинформатика, М: МИИГАиК, 2004. - С. 176-180.

30. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М.: Постмаркет, 2000. 352 с.

31. Крылов С. С., Бобров Н. Ю. Фракталы в геофизике: Учеб. пособие. -СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2004. 138 с.

32. Маккавеев Н. И. Русло реки и эрозия в ее бассейне. М.: Изд-во АН СССР, 1955.-346 с.

33. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. Изд. 2-е, исправл. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2002. 360 с. (Синергетика от прошлого к будущему).

34. Малинников В. А., Никольский А. Е., Учаев Д. В., Учаев Дм. В. Мультифрактальный математический анализ синергетических структур // Труды международной научно-практической интернет-конференции «Перспектива и развитие». М.: МФТИ, 2004.

35. Малыхин С. Г. Архыз жемчужина Кавказа. - Черкесск.: Карачаево-Черкесское книжное издательство, 1959. - 95 с.

36. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

37. Матвеев Н. П. Структура речных систем и долин Подмосковья // Природа речных долин центра Русской равнины / Московский филиал географического общества СССР. М.: МФГО, 1978. - С. 14-29.

38. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 160 с.

39. Никольский А. Е., Учаев Дм. В. Современные математические методы параметризации изображений синергетических объектов. Учебное пособие. М.: МГГИИ, 2005. - 98 е., ил. 20.

40. Огиевский А. В. Гидрология суши (общая и инженерная). М.: Сельхозиздат, 1952. - 516 с.

41. Олемской А.И., Флат А.Я. Использование концепции фрактала в физике конденсированной среды. Успехи физических наук. 1993. т. 163. №12. -С.1-50.

42. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. -М.: Мир, 1993. -304 с.

43. Подольская Е. С. Разработка методики картографической генерализации населенных пунктов, гидрографической и дорожной сети на обзорно-топографических картах. Дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. Москва. 2006.-192 с.

44. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. М.: Логос, 2002. 664 с.

45. Пузаченко Ю. Г. Приложение теории фракталов к изучению структуры ландшафта // Изв. РАН. Сер. Геогр. 1997. №2. - С. 2.

46. Савиных В. П., Малинников В. А., Учаев Дм. В. Мультифрактальные методы исследования речных систем // Труды 7-го международного научно-промышленного форума «Великие реки 2005».

47. Середович В. А. Метод определения фрактальной размерности в качестве количественной характеристики степени генерализации изображений ландшафта. Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъемка, 2006, № 1. -С. 82-89.

48. Симонов Ю. Г. Морфометрический анализ рельефа. Москва-Смоленск: Изд-во СГУ, 1998.-272 с.

49. Троицкий В. А. Типы речной сети Европейской части СССР. В кн.: Вопросы географии. Сб. 7. Географиздат, 1948.

50. Туан Тай, Хонг К. Лэм. Платформа .NET. Основы. Пер. с англ. - СПб: Символ-Плюс, 2003. - 336 с.

51. Учаев Дм. В. Мультифрактальные методы исследования речных систем// Рациональное природопользование, промышленная экология и дистанционные методы: Сб. науч. Трудов / Отв. Ред. А. В. Садов. М.: ГУЗ, 2006.-С. 98-104.

52. Учаев Дм. В. Применение фрактального подхода в геоинформационном моделировании речных сетей // Изв. вузов. Сер. Геодезия и аэрофотосъемка. 2007. № 4. С. 76-87.

53. Учаев Дм. В. Синергетический подход к изучению природных и социальных процессов / Труды Всероссийской конференции «Социальная интеграция, доступное качественное образование, проблемы семьи и молодежи», Москва, 24-25 мая, 2007, с. 17.

54. Федер Й. Фракталы. М.: Мир, 1991. - 254 с.

55. Философов В. П. Основы морфометрического метода поисков тектонических структур. / Под ред. Вострякова А. В. Изд-во Сараторского университета, 1975. - 232 с.57