Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии

Кацнельсон, Леонид Борисович

Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему
Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии
ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии"

На правах рукописи

КАЦНЕЛЬСОН Леонид Борисович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯЦИИ СОКРАЩЕНИЙ СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ В НОРМЕ И ПРИ ПАТОЛОГИИ

03.00.02 - Биофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

111®111И

Москва 2008

Работа выполнена в Институте иммунологии и физиологии УрО РАН, г Екатеринбург

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ член-корреспондент РАН,

доктор биологических наук, профессор Владимир Семенович Мархасин

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

Доктор физико-математических наук, профессор

Владимир Владимирович Смолянинов

Доктор физико-математических наук, профессор

Геннадий Алексеевич Бочаров Андрей Кимович Цатурян

Доктор физико-математических наук

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН г Пущино, Московской обл

Защита диссертации состоится 15 мая 2008 года в 14 часов на заседании Специализированного Ученого Совета Д 501 001 96 при Московском Государственном университете имени M В Ломоносова по адресу

119991, Москва, Ленинские горы, МГУ, Биологический факультет, кафедра биофизики, Новая аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Биологического факультета МГУ

Автореферат разослан "_"_2008 г

Ученый секретарь Специализированного Ученого Совета Д 501 001 96, доктор биологических наук / ТЕ Кренделева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность исследования

Сердечная мышца - сложная многоуровневая система, механическое поведение которой определяется двумя компонентами - пассивным, связанным с упругими и вязкими свойствами мышцы как композитного материала, и активным, позволяющим сердцу выполнять свою основную функцию - обеспечение сосудистого кровотока Механическая активность мышцы реализуется на уровне кардиомиоцитов и включает в себя процесс сокращения, как таковой, и его регуляцию Силогенерация/укорочение на молекулярном уровне осуществляется поперечными миозиновыми мостиками, которые циклически прикрепляются и отсоединяются от актина и гидролизуют АТФ Поперечные мостики в ходе гидролиза осуществляют поворот, генерирующий напряжение и/или сдвигающий актиновые и миозиновые нити саркомеров друг относительно друга Процесс регуляции сокращений включает в себя активацию ак-тиновой нити и определяется ходом изменения концентрации кальция в цито-золе, который, в свою очередь регулируется электрической активацией клетки, т е. развитием потенциала действия Потенциал действия возникает в клетках рабочего миокарда в ответ на внешний электрический импульс и формируется при участии целого ряда ионных токов через мембрану, включая кальциевые, натриевые и калиевые токи

Комплекс перечисленных процессов дополнительно усложняется наличием ряда обратных связей Например, механические условия сокращений, а также образование и распад поперечных мостиков могут существенно влиять на кальциевую и электрическую активацию клеток

К настоящему времени уже разработаны и продолжают разрабатываться

математические модели, описывающие с разной степенью детализации те или иные из перечисленных выше подсистем миокарда/кардиомиоцита В частности, имеются модели пассивных механических свойств мышцы, модели активного механического поведения и модели электрической активности кар-диомиоцитов Однако до сих пор ощущается нехватка интегративных моделей, описывающих все эти подсистемы совместно с учетом прямых и, тем более, обратных связей между ними Наше исследование призвано в какой-то мере восполнить этот пробел

Интегративная математическая модель позволяет не только исследовать общие законы активного поведения миокарда, но также выяснять механизмы нарушений электрической и сократительной функции кардиомиоцитов при различных сердечных патологиях и методы коррекции этих нарушений В нашей работе возможности этого важного для клинических приложений направления использования модели продемонстрировано на примере анализа механизмов и методов коррекции аритмии, возникающей в результате кальциевой перегрузки кардиомиоцитов, характерной для многих заболеваний сердца Модель предсказывает важную роль обратных механо-электрических связей в развитии этих нарушений ритма, о чем раньше не было известно.

Наконец, наличие развитой комплексной модели кардиомиоцита открывает возможность в будущем строить одно-, двух- и трехмерные модели миокарда, в которых проведение электрического возбуждения и механическое взаимодействие сегментов будут сопряжены с развитием потенциалов действия и напряжения в клетках с учетом прямых и обратных связей, существующих между всеми этими процессами как на внутриклеточном, так и на тканевом уровне.

Цели и задачи исследования

Целью работы являлось создание математической модели активного механического поведения сердечной мышцы для воспроизведения и объяснения широкого круга феноменов сократительной активности миокарда и ее нарушений Модель должна была включать описание процессов кальциевой и

электрической активации сократительной функции кардиомиоцитов (с учетом обратных механо-кальциевых и механо-электрических связей) и позволить адекватно воспроизводить и объяснить феномены, наблюдаемые в физиологических экспериментах на мышечных препаратах или в интактном сердце, такие как

- влияние механических условий на активацию сердечной мышцы в ходе цикла сокращение-расслабление (феномен грузозависимого расслабления, эффект циклических деформаций и др),

- влияние активности кальциевого насоса саркоплазматического ретику-люма на грузозависимое расслабление (исчезновение грузозависимости в гипертрофированном миокарде, уменьшение грузозависимости при повышении температуры);

- влияние мышечной вязкости на активное механическое поведение миокарда (эффект «несогласованности» хода развития изометрического напряжения и хода укорочения/растяжения саркомеров и др),

- нарушение электро-механической функции кардиомиоцитов при кальциевой перегрузке

Для достижения поставленной цели были сформулированы и решены следующие задачи

- разработка постулатов модели,

- построение механического блока модели;

- построение блока кальциевой регуляции тонких нитей саркомеров и блока кинетики внутриклеточного кальция в модели,

- включение в модель блока электрической активности кардиомиоцитов,

- реализация прямых и обратных связей между блоками модели,

- проведение численных экспериментов, воспроизводящих основные режимы сокращений миокарда, с целью имитации и анализа свойств сокращающегося миокарда

Основные положения, выносимые на защиту

1 Разработанная модель механического поведения сердечной мышцы, включающая описание электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах и их кальциевую активацию, адекватно воспроизводит широкий спектр экспериментальных данных из области биомеханики активного миокарда

2 Ключевым звеном механизма, реализующего обратную связь между механическими условиями и ходом активации кальцием тонких нитей сар-комеров, является кооперативность регуляторных и сократительных белков

3 Как ускорение, так и замедление кальциевого насоса саркоплазмати-ческого ретикулюма (если замедление вызвано ингибированием насоса) могут приводить к ослаблению феномена грузозависимого расслабления.

4 Механические свойства пассивной миокардиальной ткани, в частности, ее вязкость существенно модулируют активное механическое поведение сердечной мышцы

5 При развитии острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, кооперативность регуляторных и сократительных белков, а также механические условия сокращений сердечной мышцы (такие как уменьшение длины или нагрузки) способствуют возникновению сердечной аритмии

6 Обоснованные в модели методы воздействия на кардиомиоциты при острой сердечной недостаточности, связанной с их перегрузкой кальцием, дают теоретическую базу для разработки методов восстановления нормальной электромеханической функции миокарда при этой патологии

Методы исследования

Электромеханическое поведение сердечной мышцы описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений В связи с большим количеством уравнений в системе (а именно, 25 дифференциальных уравнений) возможности ее качественного анализа крайне ограничены Поэтому основным методом исследования является численное интегрирование С учетом жесткости системы, описывающей

электромеханическую активность сердечной мышцы, были выбраны методы ее численного интегрирования использовался либо явно-неявный метод, учитывающий специфическую структуру уравнений модели, либо метод Эйлера с шагом интегрирования, обеспечивающим достаточную точность расчетов. Для верификации модели результаты численного моделирования сопоставлялись с данными реальных экспериментов

Данные физиологических/биохимических экспериментов использованы и для оценки допустимых интервалов изменения большинства параметров модели, которые затем были верифицированы в численных экспериментах

Научная новизна

Все перечисленные ниже результаты были получены в работе впервые. В рамках математической модели установлено, что кооперативность сократительных и регуляторных белков - основной механизм, ответственный за вклад механических условий в развитие кальциевой активации

В модель включено описание зависимости присоединения мостиков от межфиламентарного расстояния, зависящее, в свою очередь, от длины мышцы, и установлено, что в сочетании с механизмами кооперативности сократительных и регуляторных белков этот эффект является важным звеном меха-но-кальциевой обратной связи в миокарде

Теоретически изучена роль ингибирования кальциевого насоса саркоплаз-матического ретикулюма в регуляции сокращений сердечной мышцы.

В модели активного механического поведения сердечной мышцы, включающей процессы активации кардиомиоцитов, учтена вязкость миокардиаль-ной ткани и исследован ее вклад в процессы сокращения и расслабления

В рамках модели электромеханической активности сердечной мышцы проанализирована роль механических условий сокращений миокарда как аритмогенного фактора при умеренной перегрузке кардиомиоцитов кальцием; показано, что механизм, инициирующий экстрасистолы при такой перегрузке связан с кооперативностью сократительных и регуляторных белков.

Построена математическая модель нарушений электромеханической

функции миокарда при острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, эта модель использована как инструмент для оценки эффективности различных терапевтических методов коррекции таких нарушений

Научная и практическая значимость

Нами разработана новая интегративная математическая модель механического поведения кардиомиоцитов с учетом их электрической и кальциевой активации Модель может использоваться и уже успешно использована для анализа проблем физиологии сердца

Важными для патофизиологии приложениями работы являются:

— исследование причин исчезновения эффекта грузозависимого расслабления миокарда при его гипертрофии,

- построение математической модели развития острой сердечной недостаточности при перегрузке кардиомиоцитов кальцием и анализ различных методов восстановления электромеханической функции сердечной мышцы в этих условиях

Апробация. Результаты работы были представлены в докладах на научных конференциях 19-м съезде Физиологического общества им Павлова (Екатеринбург, 2004), международном симпозиуме «Биологическая подвижность фундаментальные исследования и практика» (Пущино, 2006), международной конференции «Математическая биология и биоинформатика» (Пущино, 2006); 25-й Европейской мышечной конференции (Монпелье, Франция, 1996), 34-м конгрессе Международного союза физиологических обществ (Крайсчерч, Новая Зеландия, 2001) конференциях Физиологического общества Великобритании (Лидс, 2000, Оксфорд, 2004 и 2007, Англия); Европейской конференции по математической и теоретической биологии (Дрезден, Германия, 2005) и ряде других, а также в докладах на научных семинарах в Институте иммунологии и физиологии УрО РАН (Екатеринбург), Институте математики и механики РАН (Екатеринбург), Инсти-

туте физики металлов РАН (Екатеринбург), Институте механики сплошных сред РАН (Пермь); Институте механики МГУ (Москва), Кафедре биофизики биологического факультета МГУ (Москва), Высшей политехнической школе (Пализо, Франция)

Всего по теме диссертации опубликовано более 45 работ, среди которых 1 книга, 20 статей в отечественных и международных рецензируемых журналах (в том числе 8 публикаций в отечественных журналах из Перечня, рекомендуемого ВАК и 4 публикации в международных журналах из Перечня, рекомендуемого ВАК), 5 статей в сборниках научных трудов, а также тезисы докладов в материалах отечественных и международных конференций

Исследования, проведенные в рамках диссертационной работы, поддержаны рядом грантов РФФИ, грантами Целевой программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Фундаментальная наука-медицине"; фонда the Welcome Trust, Национального института здоровья США, The Fogarty International Center, NATO Collaborative Lmkage Grant.

Благодарности. Автор считает приятным долгом поблагодарить своего научного консультанта члена-корр РАН В С Мархасина; коллег: О Э Соловьеву, J1В Никитину, Ю JÏ Проценко, Т.Б Сульман, П В Коновалова, H А. Викулову, а также почтить память д б н В Я Изакова, под руководством которого в 1986 году автор начинал свои исследования в области математического моделирования мышечных сокращений.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, в котором сформулированы выводы, и приложений. Работа изложена на 268 страницах, включает 9 таблиц, 56 рисунков и список литературы из 186 источников

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Механическая активность миокарда и ее кальциевая регуляция

(краткая характеристика объекта исследования) Одной из важнейших особенностей механической активности сердечной

мышцы является цикличность (периодичность) ее сокращений, необходимая для осуществления насосной функции сердца

Основные этапы регуляции одного цикла сокращение-расслабление миокарда таковы

(1) В ответ на электрический импульс происходит деполяризация мембраны кардиомиоцита, что приводит, в частности, к активации кальциевых каналов в мембране Ионный ток через эти каналы поставляет в клетку относительно небольшое количество кальция. Однако эта малая порция кальция активирует каналы внутриклеточных кальциевых депо - так называемого саркоплазматического ретикулюма (СР) Вследствие этого из СР в цитозоль по градиенту концентрации устремляется основной поток кальция. В цитозоле происходит его связывание с различными внутриклеточными ли-гандами и распад этих комплексов

(2) Ключевую роль в активации сокращения мышцы играет связывание кальция с регуляторным белком тропонином С (ТпС), локализованным в миофибриллах. Связывание кальция с ТпС вызывает конформацию тропо-миозиновой нити, закрывающей активные центры на глобулах актиновой нити саркомера. Открывшийся активный центр становится доступным для прикрепления миозиновой головки, т е для образования поперечного мостика

(3) За счет аккумулированной ранее энергии гидролиза АТФ мостик совершает шаг, являющийся основой генерации мышечного напряжения и укорочения По окончании каждого очередного шага и сброса продуктов гидролиза миозин присоединяет молекулу АТФ и отсоединяется от актина Чем выше концентрация кальция в цитозоле, тем больше комплексов СаТпС формируется, тем, соответственно, больше образуется поперечных мостиков, а значит, тем больше генерируемое напряжение и способность к укорочению

(4) Постепенно кальций выводится из цитозоля частично во внеклеточное пространство (главным образом с помощью натрий-кальциевого обмена), но в основном - обратно в СР Поглощение кальция в СР - активный транспорт против градиента концентрации, осуществляемый кальциевым на-

сосом ретикулюма за счет энергии гидролиза АТФ. Временной ход концентрации цитозольного кальция за один цикл называется кальциевым переходом Вследствие поглощения кальция в СР и выведения из клетки быстро понижается его концентрация в цитозоле В результате постепенно уменьшается количество комплексов СаТпС и количество образуемых поперечных мостиков, что приводит к ослаблению механической активности мышцы, тек расслаблению.

(5) Основные экспериментальные режимы, в которых исследуется цикл сокращения-расслабления миокарда, отображают различные режимы сокращения интактного сердца Эти режимы таковы

Изометрический режим - концы препарата, растянутого на некоторую исходную длину крепятся к неподвижным рычагам установки После стимула в мышце сначала происходит рост напряжения (фаза сокращения), сменяемый затем его постепенным падением, т е расслаблением Длина препарата остается неизменной в течение всего цикла

Изотонический режим - на одном из концов препарата находится дополнительный груз. Когда в изометрическом режиме растущее напряжение достигает величины этого груза, то мышца поднимает его и наступает фаза изотонического сокращения, те укорочения под постоянной нагрузкой. В фазу расслабления груз растягивает мышцу в обратном направлении Вернувшись к исходной длине, мышца завершает расслабление в изометрическом режиме.

Основные проблемы физиологии миокарда, на решение которых направлена работа

В рамках математической модели в работе исследованы следующие ключевые проблемы физиологии миокарда

• Каковы факторы и механизмы обратной связи между механическими условиями сокращения сердечной мышцы и ее активацией/инактивацией'?

• Какие механизмы лежат в основе ослабления эффекта грузозависимо-

сти и какова роль кальциевых насосов СР в этом ослаблении?

• Влияет ли вязкость миокардиальной ткани на активное механическое поведение сердечной мышцы?

• Как проявляется механо-кальциевая обратная связь в нарушениях электрической и механической функции кардиомиоцитов при острой сердечной недостаточности, связанной с их кальциевой перегрузкой?

Многие из поставленных проблем связаны со следующим важным свойством сердечной мышцы: механические условия ее сокращения в каждый данный момент времени влияют на ее последующую активность, т е. на способность к развитию напряжения не только в этот момент, но и в течение всей последующей части цикла сокращение-расслабление Это влияние чаще всего проявляется как уменьшение активности в ответ на изменение механических условий, т е. как инактивация мышцы. Существует ряд экспериментально установленных эффектов, демонстрирующих это ключевое свойство Остановимся на двух наиболее ярких из них. Это реакция мышцы на быстрые циклические деформации и феномен грузозависимого расслабления

Эффект циклической деформации проявляется в том, что короткое воздействие, оказываемое на мышцу в ходе изометрического цикла, приводит к необратимому падению уровня развиваемого мышцей напряжения. Это воздействие состоит либо в быстром растяжении мышцы на 3-5 % длины и столь же быстром возврате на прежнюю длину, либо, наоборот, в быстром отпускании мышцы на 3-5% длины с возвратом Причем, чем позднее в ходе цикла наносится деформация, тем сильнее ее эффект

Суть феномена грузозависимого расслабления, прежде всего, состоит в том, что изотонические циклы завершаются быстрее изометрического. Причем, чем меньше груз, тем больше различие между длительностью изометрического и соответствующего изотонического цикла Более того, часто возникает ситуация, когда изотоническое расслабление под малым грузом завершается раньше, чем под большим (см , например, рис 4) Это явление связано с парадоксальным свойством изотонических циклов чем меньше груз, тем

с большей скоростью мышца растягивается под этим грузом в фазу расслабления

В экспериментах, в которых одновременно с механическими данными регистрировался кальциевый переход в кардиомиоцитах, было установлено, что как в случае сокращения-расслабления под нагрузкой, так и в ответ на быструю кратковременную деформацию в клетках сердечной мышцы возникает дополнительный свободный кальций по сравнению с изометрическим циклом Эти результаты навели ряд исследователей на мысль, что механические условия влияют на сродство ТпС к кальцию, приводя к дополнительному распаду кальций-тропониновых комплексов, что вызывает одновременно и наблюдаемые всплески концентрации свободного кальция, и механическую инактивацию (см, например, Lab еа, Circ Res, 1984) В литературе долгое время активно обсуждался вопрос о том, какой именно механический фактор - длина или груз — влияет на указанное сродство Однако ответ на этот вопрос не был получен, поскольку не был выяснен механизм такого возможного влияния. Т е. без ответа оставался главный вопрос, как именно такие макроскопические характеристики, как длина препарата или приложенный к нему груз могут влиять на ход молекулярных процессов связывания и распада кальций-тропониновых комплексов Таким образом, природа и механизмы обратной связи между механическими условиями сокращения сердечной мышцы и ее активацией/инактивацией - одна из центральных проблем биомеханики миокарда

Особо важную роль влияние механических условий на активность сердечной мышцы играет в целом сердце Это связано с неоднородностью свойств кардиомиоцитов в стенке камер сердца. Различаясь по длительности и амплитуде механического цикла и возбуждаясь с задержкой относительно друг друга, взаимодействующие клетки миокарда создают друг для друга динамически меняющиеся условия механического нагружения. В результате возникает сложная непрерывная сеть обратных связей между сокращением системы кардиомиоцитов и активацией каждого из них, влияющей на после-

дующий ход сокращения

Таким образом, механо-кальциевая обратная связь - важнейшее звено регуляции сокращений сердечной мышцы Наиболее ярко эта связь проявляется в феномене грузозависимого расслабления миокарда Поэтому очень важно понять причины ослабления или даже полного исчезновения этого феномена в ряде ситуаций Так в исследованиях, проведенных группой профессора Lecarpentier (Lecarpentier еа, Cire Res, 1987), было установлено, что гру-зозависимость полностью отсутствует при тяжелой гипертрофии сердечной мышцы Т е в этом случае завершение изотонических фаз расслабления попадает в точности на изометрическую кривую развития напряжения

Авторы этой работы связывали наблюдавшееся исчезновение грузозави-симости с замедлением насоса СР при гипертрофии, что вполне укладывалось в распространенное представление о характере влияния кальциевого насоса ретикулюма на выраженность эффекта грузозависимости Считалось, что замедление насоса всегда способствует ослаблению эффекта грузозависимости и, соответственно, ускорение насоса - усилению этого эффекта.

В 1994 году Dobrunz и Berman (Dobrunz & Berman, JMCC, 1994) показали, что повышение температуры приводит к ослаблению грузозависимости в сердечной мышце вплоть до почти полного ее исчезновения Этот результат диссонировал с указанным представлением о роли насоса СР, поскольку известно, что рост температуры ускоряет многие внутриклеточные процессы, в том числе, перенос кальция этим насосом Тем не менее, Dobrunz и Berman не подвергли это представление сомнению, а предположили, что в наблюдавшихся ими условиях грузозависимое расслабление стало слабее вследствие ускорения прикрепления-открепления поперечных мостиков, которое происходит при нагревании наряду с ускорением кальциевого насоса ретикулюма. Т е, с их точки зрения ускорение циюшрования поперечных мостиков способствует ослаблению грузозависимости, причем это влияние оказывается настолько сильным, что оно преобладает над противоположно направленным воздействием насоса Однако предложенная ими умозрительная концеп-

ция была плохо аргументирована и не давала четкого представления о механизмах, лежащих в основе обнаруженного эффекта

Иначе говоря, вопрос о механизмах ослабления эффекта грузозависимо-сти вообще и о роли кальциевого насоса СР в этом ослаблении, в частности, оставался открытым

Еще один важный вопрос биомеханики миокарда какова роль пассивных механических свойств миокардиальной ткани в активном механическом поведении сердечной мышцы"? Основными механическими свойствами ткани, т е пассивной мышцы, являются ее упругость и вязкость Вклад упругости как в развитие активного напряжения, так и во временной ход активного укорочения/удлинения мышцы хорошо понят. Однако этого нельзя сказать о мышечной вязкости, хотя ее наличие - экспериментально установленный факт (Мархасин и др Спб Наука, 1994, Изаков и др. Москва Наука, 2000) Проявляется она (при деформации пассивной мышцы) как сила трения, которая зависит от скорости деформации препарата Так в ответ на растяжение неактивированного мышечного препарата происходит скачок его пассивной силы, сопровождающийся постепенной релаксацией, продолжающейся вплоть до достижения стационарного уровня упругой силы, соответствующей новой длине Кроме того, установлено, что в ходе небольших по величине синусоидальных деформаций пассивной мышцы (~ на 1%) связь между текущей длиной и возникающей в ответ силой, имеет форму петли гистерезиса. Причем, что чем выше частота деформаций (т е чем больше скорость каждой циклической деформации), тем более выражен гистерезис

Несмотря на давно известное наличие вязкости миокарда, ее вклад в механическую активность остается под вопросом Достаточно распространено представление, что вязкостные свойства миокарда вообще не сказываются на его активном поведении В то же время имеются экспериментальные данные, которые довольно трудно объяснить без учета мышечной вязкости А именно, в изометрическом цикле одновременно с развитием напряжения мышечного препарата методом лазерной дифракции регистрировался ход изменения

длин его саркомеров Было обнаружено, что как сокращение, так и расслабление, оцениваемые по развитию напряжения, оказываются заметно короче, чем соответствующие фазы укорочения и удлинения саркомеров (Lecarpen-tier еа, нг INSERM/John Libbey Eurotext, 1990, [18]1)

Рис 1 Экспериментальная запись изометрической силы сердечной мышцы, полученной вместе с изменениями длин саркомеров, регистрируемых методом лазерной дифракции Данные получены на тонкой трабекуле га правого желудочка крысы породы Вистар В ходе изометрического сокращения саркомеры укорачивались на ~7% вследствие концевой податливости Рисунок заимствован из нашей статьи [18]

На рис 1 видно, что пик изометрической силы значительно опережает пик укорочения, а полное расслабление достигается существенно раньше возврата саркомера на исходную длину. Аналогичное рассогласование имеется на рисунках, представленных в работе Stuyvers с соавторами (Stuyvers в a, J Physiol, 2002) Однако авторы упомянутых экспериментальных исследований не попытались объяснить полученные данные. Мы предположили, что это рассогласование может объясняться вязкостью мышцы Эта гипотеза была затем проверена в нашей работе

Кроме того, отсутствовали какие бы то ни было сведения о влиянии вязкости на основные инотропные и лузитропные характеристики миокарда, т е на характеристики его сокращения и расслабления Итак, вопрос о вкладе вязкости в механическую активность - это еще одна важная проблема биомеханики миокарда

а, v S

2.15

а я

0 я

л a 3

3!Е

1.85

ев -5

100 мс

1 Здесь в квадратных скобках указаны ссылки на список работ автора, опубликованных по теме диссертации

Значительные изменения претерпевает сократительная функция миокарда при различных сердечных патологиях, в частности, при сердечной недостаточности Причем, такие патологические состояния как острая сердечная недостаточность могут быть связаны с комплексными нарушениями и кальциевой, и электрической регуляции сократительной активности Т е. страдает весь регуляторный контур электромеханического сопряжения. В таком состоянии может особым образом проявиться вклад механических условий в кальциевую активацию сокращений В свою очередь, кальциевая кинетика тесно связана с электрической активностью кардиомиоцитов как прямыми, так и обратными связями Поэтому, например, при острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, возможны аномальные проявления механо-электрических обратных связей Вопрос о роли механических факторов в нарушениях электрической и механической функции кардиомиоцитов при острой сердечной недостаточности этого типа завершает список проблем, на которых сфокусирована данная работа.

Описание математической модели и ее применение для решения проблемы физиологии миокарда

Структура модели

Модель состоит из трех основных блоков механического блока, блока кальциевой кинетики и кальциевой регуляции сократительной активности и электрического блока Первые два блока - наша оригинальная разработка

Электрический блок представлен разработанной Денисом Ноблом моделью Noble'98, содержащей описание ионных токов и развития потенциала действия в кардиомиците в ответ на внешний электрический стимул (D Noble, A Varghese, Р Kohl, Р Noble, Can J Cardiol, 1998) Описание всех токов базируется на уравнении Ходжкина-Хаксли Блок кальциевой активации сопряжен с электрическим блоком по общему уравнению, задающему кинетику ионов кальция в цитозоле

Кроме нашей опубликовано еще несколько моделей механической ак-

тивности миокарда с учетом его кальциевой активации Наиболее известные из них - это модель Ландсберга-Зайдмана (Landesberg & Sideman, Am J Physiol, 1994), модель Питера Хантера (Hunter е а, РВМВ, 1998) и модель Райса-Винслоу (Rice е а, Am J. Physiol., 1999) Впрочем, в модели Райса-Винслоу механический блок очень упрощен он включает только процессы генерации напряжения в изометрическом режиме Изменение длины мыш-цы/саркомеров в этой модели не рассматривается Имеется также ряд моделей, описывающих электрическую активность кардиомиоцита Кроме моделей Д Нобла в этом ряду можно выделить семейство моделей Луо-Руди (Luo & Rudy, Сие Res., 1991, Luo & Rudy, Circ Res, 1994, Faber & Rudy, Biophys J., 2000, и др ), а также модель Джафри-Райса-Винслоу (Jafri е а, Biophys J, 1998). Однако, наша модель, по-видимому, первая, в которой подробное описание механического поведения сердечной мышцы и его кальциевой регуляции сопряжено с описанием электрической активности кардиомиоцитов.

Остановимся на основных особенностях разработанных нами механического и кальциевого блоков модели, сыгравших ключевую роль в исследовании поставленных проблем физиологии миокарда VS1

основе модели активного механического поведения миокарда Все детали подробно описаны в тексте

Механический блок модели (рис. 2) базируется на реологической схеме, включающей активный контрактильный элемент СЕ, ассоциируемый с саркомером, и нелинейные упругие элементы РЕ, БЕ и ХБЕ Кроме того, в реологической схеме имеются два вязких элемента. параллельный кон-трактильному элементу, и V$2, параллельный последовательному упругому элементу БЕ Элемент УБ2 отображает в модели концевую вязкость препаратов сердечной мышцы. Как УБ1, так и V£2 в ответ на изменение их длины развивают силу, пропорциональную скорости этого изменения и направленную в сторону, противоположную деформации соответствующего элемента Соотношение сил основных элементов реологической схемы таковы

Р тшс1е ~ Р ЛЖЕ (1)

^ ЖЯ =/ГР£ +/ГС£ + кр ш х (2)

^ ЛХЕ РЕ *Ряв + *5_иГ (3)

Г8Е = Р1 ■\ехр(а1 -(12-1^-1} (4)

РРЕ=Р2 1ехР(а2 12У1] (5)

РХЗЕ = Р3 [е*Р«*3 13)-П (6)

Здесь

а' ™ л'

Еттси - сила мышцы, Еяе - сила последовательного элемента БЕ; ре — сила параллельного элемента РЕ, Еже - сила внешнего последовательного элемента ХБЕ; I, — разность между мгновенной длиной контра-тильного элемента СЕ и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы, 12 - разность между мгновенной длиной элемента РЕ и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы, 13 - разность между мгновенной длиной элементаА52Г и его длиной, соответствующей длине покоя мышцы

В изометрическом режиме выполняется соотношение +/j = const, а в изотоническом режиме - соотношение Fxse- const

Сила контрактильного элемента FCe в модели пропорциональна доле прикрепившихся силогенерирущих поперечных мостиков N и средней силе p(v), развиваемой одним мостиком FCe = Á-p(v)-N Кинетика прикрепления/открепления мостиков описывается следующим дифференциальным уравнением.

^ = М(А) n¡(l,) ((l,+S0)/(lmex + S0)) (1 — N)-kJv)-N (7)

Здесь A- [Ca2+TnC]; n¡(l¡)~ вероятность того, что миозиновая головка "найдет" доступный центр связывания на нити актина n¡ зависит от межфи-ламентарного расстояния, а следовательно, от длины саркомера (контрактильного элемента) /,

M(-),p(j,nl(-),kJ-),k_(-)-явные функции, определенные в модели, a¡,

Pi, 0.2, (¡2> аз> Рз, Л - параметры модели

О зависимости n¡(l¡)следует сказать особо Известно, что в связи с постоянством объема вслетки расстояние между миофиламентами возрастает при уменьшении длины кардиомиоцита и уменьшается при ее увеличении. Поэтому мы предположили, что вероятность того, что миозиновая головка "найдет" доступный центр связывания на нити актина растет при уменьшении межфиламентарного расстояния, а, следовательно, при увеличении длины саркомера (контрактильного элемента) /,. Эта зависимость выражена в модели функцией n¡(lj) Сам по себе эффект изменения межфиламентарного расстояния с длиной клетки хорошо экспериментально обоснован В то же время его вклад в регуляцию сокращений и, в частности, в обратную связь между механическими условиями и активацией остается предметом дискуссий Нами впервые учтен этот эффект в модели и установлено, что в сочетании с механизмами кооперативное™ регуляторных и сократительных белков

он должен включаться в механо-химическую обратную связь в миокарде

Механизмы кооперативное™ относятся к кальциевому блоку модели.

Блок кальциевой регуляции модели. Кальциевый блок модели включает уравнения, описывающие поступление Са2+ в цитозоль из внеклеточного пространства (через Ь-каналы сарколеммы) и из терминальных цистерн СР (ТЦСР), его связывание в комплексы с внутриклеточными буферными ли-гандами, распад этих комплексов, поглощение Са2+ в СР и его выведение из клетки посредством Иа+-Са2+ обмена При описании поступления Са2+в цитозоль, в частности учтено, что его высвобождение из ТЦСР инициируется кальциевым током через Ь-каналы (механизм кальциевым вызванного высвобождения кальция) Кинетика Са2+ внутри СР также описана в модели

Главным элементом кальциевого блока модели является уравнение, описывающее кинетику образования и распада комплексов СаТпС вдоль актино-вой нити, которые открывают на ней места для прикрепления поперечных мостиков:

% = аоп-(Аш-А)Сас-аоГехр(-кА-А)ж(МА)-А (8)

Механизмы кооперативное™ - центральное звено этого уравнения и модели в целом Из экспериментальных работ известен целый ряд таких механизмов, связывающих функцию регуляторных и сократительных белков. Два из них, как показала модель, играют ключевую роль в обратных связях между механическими условиями сокращения миокарда и его активацией А именно

Кооперативность первого типа Распад комплекса СаТпС тем медленней, чем больше поперечных мостиков прикрепилось к нити актина вблизи данного комплекса

' 1 для N¿£0

Р(»С'Ма) Для 0<МЛ< ^ (9)

-1

р(*л) =

для

Здесь Na =N/(Loz-A),a Loz-(Ii+Sq)/(0.46+Sq) 0<р0<1, sc- параметры

Кооперативность второго типа (выражена функцией ехр(-кА -Л) в

уравнении для dA/dt) Распад комплекса СаТпС тем медленней, чем больше аналогичных комплексов образовалось вдоль нити актина вблизи данного.

Наличие обоих типов кооперативности - экспериментально установленный факт (см, например, Grabarek е а, J Biol Chem , 1983) Однако эти механизмы нами были впервые включены в модель активного механического поведения миокарда и использованы для анализа вклада механических условий в развитие кальциевой активации А именно, в рамках модели выстраивается следующая цепь событий, реализующих эту обратную связь Чем меньше текущая длина кардиомиоцита, тем больше расстояние между актиновыми и миозиновыми нитями саркомеров Это, согласно нашему предположению, уменьшает вероятность образования поперечных мостиков, а чем меньше мостиков, тем быстрей распад комплексов СаТпС (согласно первому типу кооперативности) Кооперативность второго типа усиливает этот эффект В рамках модели можно проверить, достаточно ли сильна полученная обратная связь, чтобы обеспечить наблюдаемые в экспериментах эффекты, в частности, эффект грузозависимого расслабления сердечной мышцы Далее это будет показано

Другая ключевая особенность блока кальциевой регуляции в модели относится к описанию кальциевого насоса CP

Как уже было сказано, этот насос играет значительную роль во внутриклеточном кальциевом метаболизме и в регуляции мышечной активности Он обеспечивает основной путь выведения кальция из цитозоля и поэтому является одним из главных детерминантов фазы расслабления миокарда Перенос Са2+ в CP (против градиента концентрации) осуществляется в ходе гидролиза АТФ молекулами кальциевой АТФ-азы, встроенной в мембрану ретикулюма У этой АТФ-азы имеется важная особенность будучи переносчиком ионов кальция, она в то же время может ингибироваться этими ионами А именно, как показал

Ikemoto в 1975 году в экспериментах на пузырьках саркоплазматического рети-кулюма, кальциевый насос частично ингибируется при накоплении ионов кальция внутри продольного СР Т е, чем больше кальция в СР, тем сильнее ингибируется насос Ikemoto выдвинул гипотезу о наличии аллостерических центров связывания кальция на молекулах АТФ-азы с внутренней стороны СР Он назвал их "/-сайтами Нелинейная кинетика связывания кальция с у-сайтами приводит к экспоненциальному замедлению гидролиза АТФ с ростом концентрации кальция в СР Соответственно замедляется поглощение Са2+

В литературе существуют и другие гипотетические объяснения процесса ингибирования кальциевого насоса Т е механизм этого явления не вполне ясен Однако его наличие - твердо установленный факт Поэтому мы ввели ингибирование в формулу, описывающую скорость переноса кальция насосом СР А именно,

Сас

l"p ~Г ир ТСа^ 0°)

pump с

где

г(Сащ) = av ■ ехр(- ктН •Ca(11)

Иными словами, насос, который в целом описывается формулой Михаели-са-Ментен, определяющей гиперболическую зависимость его скорости от концентрации кальция в цитозоле, имеет компонент г, который экспоненциально уменьшается с ростом концентрации кальция в продольном СР (Сащ) Кроме этой экспоненты компонент г включает линейный множитель а^, - параметр модели, отображающий количество молекул кальциевой АТФ-азы в мембране СР и скорость гидролиза АТФ в отсутствие ингибирования АТФ-азы.

Итак, модель соединяет в себе подробное описание механического поведения кардиомиоцита и кальциевой кинетики с учетом ингибирования насоса СР Такое соединение позволило нам впервые проанализировать в рамках модели ту роль, которую ингибирование может играть в регуляции сократительного цикла миокарда.

Моделирование активного механического поведения сердечной мышцы

Имитация и анализ феномена грузозависимого расслабления и эффектов быстрых деформаций сердечной мышцы в цикле сокращение-

расслабление На рис 3 показаны результаты быстрых циклических деформаций (сверху) и быстрых укорочений мышцы (снизу) в ходе изометрического цикла Слева - данные реальных экспериментов Справа - модель Падение напряжения после завершения механического воздействия и его зависимость от момента приложения деформации полностью воспроизводятся в модели

Рис 3 Влияние быстрых деформаций на временной ход развития изометрического напряжения Панели АиВ — данные реального эксперимента Панели Б и Г - результаты моделирования

Рис. 4 демонстрирует эффект грузозависимого расслабления в модели и

в эксперименте.

А К

Результаты моделирования также хорошо соответствуют экспериментальным данным

Модель хорошо воспроизводит и влияние механических условий на концентрацию свободного цитозольно-го кальция

На рис 5 показаны кальциевые переходы в изометри-

Рис 4 Сопоставление циклов сокращение-расслабление под разными грузами в модели (панель А) и в эксперименте (панель Б) Звездочкой на панели А для случая груза, равного О 7Ро , отмечен возврат моделируемой мышцы на исходную длину

ческих циклах в зависимости от длины, на которой происходит сокращение, на рис 6 - влияние быстрых укорочений мышцы на кальциевый переход, а на рис 7 - развитие кальциевого перехода при разных значениях изотонической нагрузки

1000

500

Время (мс)

1000

Все эти результаты также соответствуют экспериментальным данным (Allen & Kunhara, J Physiol, 1982, Lab ea, Cire Res, 1984)

Анализ модели показал, что главной причиной воздействия механических условий на механическую и кальциевую активацию

Рис 5 Имитация кальциевых переходов при изометрических сокращениях на разных длинах мыш- миокарда является коопера-ыы

тивность первого типа, те влияние поперечных мостиков на сродство ТпС к кальцию В то же время это влияние само по себе оказывается недостаточно сильным для воспроизведения эффектов инактивации в рамках физиологически оправданных значений параметров модели

Кооперативность второго типа (те влияние соседних кальций-

200 Время (мс)

Рис б Имитация влияния быстрых отпусканий сердечной мышцы в ходе изометрического сокращения на кальциевый переход

тропониновых комплексов на скорость распада каждого из них) усиливает инактивацию и позволяет корректно воспроизвести в модели показанные здесь эффекты.

Благодаря кооперативное™ первого типа также успешно воспроизводятся и все экспериментальные данные, свидетельствующие о влиянии механических условий на основные характеристики сокращения и расслабления миокарда связи 'длина-сила', 'сила - время расслабления' и др Благодаря кооперативности второго типа воспроизводится зависимость этих связей от уровня внутриклеточного кальция

Анализ роли кальциевого насоса СР в ослаблении феномена грузо-зависимого расслабления при гипертрофии миокарда и при росте температуры Как указывалось выше, Ьесагрепйег с соавторами показали, что гру-зозависимость исчезает при гипертрофии сердечной мышцы, и связывали это исчезновение с уменьшением скорости кальциевого насоса СР в гипертрофированном миокарде

В рамках модели замедление насоса можно реализовать двояко либо путем уменьшения коэффициента ащ, в формуле насоса (11), либо путем увеличения коэффициента ктН. В первом случае моделируется уменьшение скорости гидролиза АТФ и скорости переноса кальция молекулами кальциевой АТФ-азы без изменения ингибирующего эффекта кальция, находящегося в СР Во втором - скорость переноса замедляется вследствие усиления ингибирования

Первоначально в численных экспериментах был реализован первый, наиболее простой, вариант. Оказалось, что в этом случае замедлялись и изометри-

1000

О 500 1000

Рис 7 Имитация кальциевых переходов в серии сокращений под разными нагрузками

ческий, и изотонические циклы, однако грузозависимость не исчезала изотонические циклы, по-прежнему, завершались быстрее изометрических, хотя из-за замедленной кинетики Са2+ насоса, изотонический уровень свободного кальция в цитозоле превышал его изометрический уровень значительнее, чем в норме

100 200 300 МО ВЙ0 600 700 800 0001000

Время (мс)

1000 1200 1400

218 208

J_1_I_L

100 200 300 400 500 ООО 700 800 0003000 Время (мс)

100 ¿00 300 400 500 ЬОО 700 800 9001000 Время (мс)

й и 1

J_I_L

J_L...... I. „I.. .1

100 200 300 100 500 600 700 800 9001000 Время (мс)

1400

1000 1200 1400

Рис 8 Моделирование грузозависимого расслабления миокарда (слева) и его исчезновения (справа) Панели сверху вниз А — напряжение в изометрическом и изотонических циклах сокращения-расслабления Б - изменения длины мышцы в ходе этих сокращений, чем меньше постнагрузка, тем больше укорочение В — группа кривых, представляющих ход изменения концентрации СаТпС в течение этих сокращений (1), чем меньше постнагрузка, тем меньше активация([СаТпС]) На тех же панелях В представлена группа кривых, представляющих временной ход процесса связывания Са2+ с буферной системой в тех же сокращениях мышцы (II) Г — кальциевые переходы, соответствующие этим сокращениям чем меньше постнагрузка, тем длиннее кальциевый переход

Это наводило на мысль, что для исчезновения грузозависимости требуется не только наблюдаемое в численном эксперименте существенное увеличение

концентрации Са2+ в цитозоле в изотоническом режиме по сравнению с изометрическим Необходимо соблюдение еще одного требования если в каких-то условиях возникает дополнительный кальций в цитозоле, то он к тому же должен

значительно медленнее поглощаться в CP При сохранении параметра ктН, соответствующего норме, этого не происходило

Поэтому мы осуществили замедление насоса вторым путем - за счет усиления ингибирования На рис 8 справа показан результат 4-кратного увеличения параметра ктН по сравнению с «нормой», модель которой приведена на том же рисунке слева Видно, что изменение одного только параметра ктН привело к полному исчезновению грузозависимости в модели

Полученные результаты подтверждают гипотезу Lecarpentier о том, что замедление кальциевого насоса может быть причиной исчезновения грузоза-висимого расслабления при гипертрофии Однако модель позволяет внести существенное уточнение только такое замедление, которое связано с усилением ингибирования насоса может обеспечить этот эффект

Другой наблюдаемый экспериментально случай ослабления эффекта грузозависимости - вследствие повышения температуры - также исследовался в модели Dobrunz & Berman в упомянутой выше экспериментальной работе (1994), выделили три фактора, связанные с ростом температуры, которые a priori могут влиять на длительность изометрического и изотонических циклов и, следовательно, - на грузозависимость.

Мы воспроизвели в численных экспериментах все эти три фактора- ускорение переноса Са2+ молекулами кальциевой АТФ-азы насоса CP, ускорение высвобождения кальция из CP, и увеличение скорости прикрепления/открепления поперечных мостиков. Причем, степень ускорения каждого из этих процессов соответствовала оценкам, полученным в экспериментах Dobrunz & Berman (1994). Мы вводили данные факторы один за другим в различной последовательности. Одна из таких последовательностей показана на рис 9. сначала ускорение насоса, связанное с ускорением гидролиза АТФ (т е увеличение параметра о^), затем ускорение высвобождения кальция и, наконец, ускорение циклирования поперечных мостиков

Рис 9 Имитация влияния нагревания сердечной мышцы на эффект грузозависимого расслабления Панели А-Г временной ход генерации активного механического напряжения в изометрическом и изотоническом режимах Факторы, связанные с нагреванием, вводились последовательно (а) ускорение кальциевого насоса СР, ф) укорочения восходящей ветви кальциевого перехода, (у) ускорение прикрепления/открепления поперечных мостиков

А исходное (до нагревания) состояние мышцы

Б результат введения только одного фактора (а)

В результат введения фактора ф) в дополнение к фактору (а) Г все три фактора (а), ф), (у) введены для имитации полного влияния нагревания на эффект грузозави-симости

J00

Время (мс)

Таким образом, нижняя панель на рис. 9 демонстрирует суммарный эффект роста температуры Видно, что он хорошо воспроизводит картину, полученную Dobrunz & Berman при нагревании мышцы с 24° С до 37° С Однако вклад перечисленных факторов в наблюдаемый эффект оказался в модели прямо противоположным тому, что предполагали эти исследователи Ускорение насоса не увеличило, а уменьшило грузозависимость. Причем именно этот фактор оказался главным Два других, в том числе ускорение процессов прикрепления/открепления поперечных мостиков влияют на результат незначительно, т к почти пропорционально укорачивают и изометрический, и изотонический циклы Чтобы объяснить влияние первого фактора (т е ускорения насоса СР) на полученный результат, следует напомнить, что основная причина феномена грузозависимости - укорочение мышцы и ее cap-

номеров в изотоническом режиме. Точнее говоря, саркомеры в изотонии укорачиваются больше, чем в изометрии, и это различие тем сильнее, чем меньше постнагрузка Данное различие и приводит к грузозависимости расслабления, благодаря механизмам кооперативное™ и уменьшению межфиламентарного расстояения При ускорении насоса СР падает сократительная активность мышцы вследствие уменьшения концентрации Са2+ в цитозоле Поэтому укорочение и мышцы, и ее саркомеров при уменьшении груза становится гораздо менее значительным, чем при нормальной скорости работы насоса СР В частности, уменьшается различие между укорочением саркомеров даже под самым малым грузом и их укорочением в изометрии (последнее невелико уже и в норме, поэтому мало меняется в результате ускорения кальциевого насоса) Это и приводит к ослаблению эффекта грузозависимости

Сравнивая два представленных варианта изменения скорости насоса (посредством константы <Хщ, или константы к,можно сделать вывод о том, что связь между этой скоростью и выраженностью эффекта грузозависимого расслабления немонотонна и существенно зависит от того, какой именно механизм лежит в основе изменения активности насоса В частности, ослабление грузозависимости может продуцироваться двумя противоположными отклонениями от нормальной скорости насоса

- замедлением насоса, вызванным усилением его ингибирования;

- ускорением насоса вследствие увеличения скорости переноса Са2+ не-ингибированными молекулами кальциевой АТФ-азы СР

Этот вывод сделан в рамках модели По отношению к реальной мышце он является предсказанием При экспериментальной проверке этого предсказания важно иметь критерий, который позволил бы определять точную причину изменения скорости насоса в том или ином эксперименте -те понять, что меняется в результате применяемого в эксперименте воздействия, ингибирование насоса или скорость работы кальциевой АТФ-азы

С целью выработки такого критерия мы имитировали в математической модели поглощение ионов Са2+ пузырьками СР, помещенными в раствор с

постоянной концентрацией кальция

Рис 10 иллюстрирует полученные результаты На верхней панели показаны

- С)(0 — кривая (1), имитирующая временной ход роста [Са2+] в везикулах для исходных значений параметров насоса (<хир= гСа и к,„л= q у),

- С¡(0 - кривая (2), имитирующая временной ход роста [Са2+] при ослабленном ингибировании и при исходном значении скорости Са2+ в СР (кшк=0.Ч ц',; гСа),

- €¡(1) — кривая (3), имитирующая временной ход роста [Са2+] при увеличенной скорости переноса кальция в везикулах неингибированными молекулами кальциевой АТФ-азы и при исходном значении константы ингибиро-вания (а«р2гСа и кшИ- д '¡)

На нижней панели изображены те же самые кривые, но нормированные на С,(г), т е отношения С,(1)^^0=1 (кривая 1), С2ф/С,(0 (кривая 2) и Сз(г)/С,($ (кривая 3)

Рис 10 Имитация временного хода [Са*+] в везикулах СР при различных скоростях кальциевого насоса Верхняя панель кривая (1) С](1) соответствует исходным значениям параметров насоса, кривая (2) СУУ — параметр га увеличен вдвое по сравнению с исходным значением при сохранении исходной величины параметра q', кривая (3) С}(1) — параметр ^' (степень ингибирова-ния насоса) уменьшен вдвое по сравнению с исходным значением при сохранении исходной величины параметра гСа Нижняя панель те же зависимости (I), (2), (3), что и на верней панели, но пред-—ставленные в нормализованном виде С,«)/С,®, Сг(()/С,(1), С}(0/С,М

400 600 Время («с)

3 х

400 600 Время (ч<_)

Хотя кривые С2(1) и С3(() очень похожи и друг на друга, и на исходную кривую С,(/), различие между и С}(1)/С¡(1) оказывается принципи-

альным отношение С2(()/С1(1) - монотонно возрастающая функция времени,

в то время как C3(t)/Ci(t) имеет выраженный пик в результате почти мгновенного роста в самом начале процесса, а затем это отношение монотонно убывает

Данное качественное различие не является случайным результатом удачного выбора значений параметров в конкретном численном эксперименте В диссертации строго доказано, что полученный результат справедлив при любых значениях параметров

Следовательно, в рамках заложенных в модель представлений о работе кальциевого насоса CP, полученное различие в характере функций C2(t)/Ci(t) и Cs(t)/Cj(t) может служить критерием, применимым для выяснения того, какая из двух a prion возможных причин ускорения насоса реализуется в той или иной конкретной экспериментальной ситуации (например в случае роста температуры), а описанный виртуальный эксперимент можно рассматривать в качестве принципиальной схемы соответствующего реального эксперимента на везикулах CP

Анализ вклада вязкости в активное механическое поведение сердечной мышцы. Прежде всего, в модели была оценена роль вязких элементов в обнаруженном Lecarpentier с соавторами (Lecarpentier еа, m INSERM/John Libbey Eurotext, 1990) рассогласовании фаз роста и спада изометрического напряжения с фазами укорочения и растяжения саркомера (см рис 1)

Когда в модели вязкость обоих элементов VS1 (параллельного контрак-тильному элементу СЕ) и VS2 (параллельного последовательному упругому элементу SE) была нулевой, то укорочение и растяжение элемента СЕ, т е. саркомера, совпадали по времени с фазами роста и спада напряжения

На рис. 11 показан результат моделирования изометрического цикла при наличии ненулевой вязкости Видно, что, когда учитывается вязкость обоих элементов VS1 и VS2 (на рисунке слева), то рассогласование обеих фаз изометрического цикла воспроизводится полностью Когда учитывается только параллельная вязкость VS1, то рассогласование пиков укорочения и напряжения исчезает, однако спад силы по-прежнему опережает растяжение cap-

Рис 11 Имитация влияния вязкости на рассогласование временного хода развития изометрической силы и хода укорочения/удлинения контр-актильного элемента (СЕ) СЕ в модели имитирует саркомеры в реальных кардиомиоцитах Панели А1—В1 демонстрируют изометрический цикл в случае, когда вязкость обоих элементов VS1 и VS2 учтена в модели Время нарастания сипы мышцы составляет ~150мс, в то время как укорочение СЕ продолжается в течение 200 мс На панелях А2-В2 показана имитация геометрии в случае, когда последовательная вязкость VS2 элиминирована при сохранении значений остальных параметров, включая параллельную вязкость

Таким образом, последовательная вязкость VS2 ответственна за рассогласование пиков, наблюдаемое в фазу сокращения, а параллельная вязкость VS1 - за рассогласование фазы расслабления

При воспроизведении изотонических циклов с разными нагрузками (рис 12) было установлено, что именно вязкость VS1 - причина того, что скорость растяжения мышцы тем раньше достигает пика, чем больше груз.

Анализ вклада вязкости в инотропные и лузитропные характеристики мышцы (т.е в характеристики сокращения и расслабления) проведен в модели с помощью широко используемых в мышечной биомеханике соотношений изотонических связей 'длина-сила' и 'сила-скорость' сокращения, а также связей 'сила-скорость расслабления'

комера (на рисунке справа)

время (мс)

215

ев а.

V 2

л - •

; /

215

время (мс)

Ч»3

В2,

время (мс)

700

время (мс)

Рис 12 Реальная и виртуальные серии циклов сокращение-расслабление Каждая из серий включает изометрический и 6 изотонических циклов Слева (А1 + В1) - данные реальных экспериментов Панели в середине (А2 +В2) - данные численной имитации, в случае когда вязкость элементов Р57 и У52 учтена в модели Справа (АЗ +ВЗ) - результаты имитации для случая, когда вязкость обоих демпферов элиминирована (т е принята равной 0) Верхние панели (А1 + АЗ) - развитие мышечной силы, панели Б1-гБЗ и В1+ВЗ показывают временной ход укорочения-растяжения мышцы и скорости этого укорочения-растяжения, соответственно

На рис. 13 показано, как влияет на эти связи двукратное уменьшение (по сравнению с контрольными значениями) каждого из двух типов вязкости Оказалось, что вязкость практически не влияет на сокращение, но вносит ощутимый вклад в расслабление Более точно

- параллельная вязкость не влияет на инотропные свойства, но существенно влияет на основные лузитропные характеристики,

- последовательная вязкость УБ2 не влияет ни на инотропные, ни на лузитропные свойства

Тем не менее, как уже указывалось, именно вязкость УЯ2 вызывает экспериментально наблюдаемое рассогласование между временем достижения пика изометрической силы и временем укорочения саркомеров

Рис 13 Данные, полученные на трех виртуальных мышцах первая - с контрольными значениями параметров, вторая - с уменьшенной вдвое вязкостью У31, и третья — с уменьшен-

шсшкяжшдаи^ту ,;0Й вдвое вЯЗКОСШЬЮ

Связи 'сила-скорость' (вверху слева), 'длина-сила' (вверху справа), 'сила-скорость удлинения ' (внизу слева), 'сила-скорость расслабления (уменьшения силы)' (внизу справа) зарегистрированы в сериях изотнических циклов сокращение -расслабление

ÛZ 0.4 0.6 08 постиагрузка (i7i't)

0.2 «.4 06 08 постаягрузка (F/FJ

- основной (контрольный) набор параметров

- вязкость ларял эл~та уменьшена вдвое относительно контроля -й- - вязкость поел эл-та уменьшена вдвое отиоенгельно контроля

Имитация и анализ нарушений электрической и механической активности миокарда в модели. В работе исследованы нарушения, связанные с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием Наиболее подробно рассмотрен вариант перегрузки, вызванной уменьшением скорости работы натрий-калиевого насоса Ток ip через Na+-K+ насос описан в модели следующим образом ((D Noble, A Varghese, Р Kohi, P. Noble, Сап J Cardiol, 1998)

' ' [K+h+KmK [Na+J. + K^

Здесь [Na*], - концентрация внутриклеточного натрия, а [К*]0 - внеклеточного калия КтК и Km Na- соответствующие константы Михаэлиса для этого насоса Снижение активности насоса моделировалось с помощью увеличения^ по сравнению со значением этого параметра в норме 2 мМ)

На рис. 14 показано развитие напряжения при моделировании замедления №+-К+ насоса в длительной серии сокращений в условиях регулярной стимуляции кардиомиоцита с частотой 75 стимулов/мин. Здесь Кт „а= 40 мМ.

время (с) 360

Рис. 14. Сокращения одиночного виртуального кардиомиоцита с умеренно сниженной активностью Иа*-!^ насоса (П-образца). Длина кардиомиоцита Ь=0.90Ьтах (Ьтах соответствует длине образца, при которой он развивает максимальное активное изометрическое напряжение); частота стимуляции: 75 стимулов/мин. На графике показаны пики активного напряжения (У* - условные единицы). Знак О. указывает временной интервал, подробно представленный на рис. ¡5. Полоса под графиком отмечает фазы , в в течение которых П-образец по-разному отвечает на восстановление нормальной активности насоса (подробности - далее в тексте).

Данный «виртуальный мышечный препарат» в дальнейшем будем называть П-образцом (т.е. патологическим образцом). Вертикальными отрезками на графике показаны амплитуды напряжения, возникающего в ответ на стимуляцию.

Видно, что краткий рост амплитуд силы постепенно сменяется ее медленным снижением. Этот плавный процесс внезапно обрывается: происходит резкое падение силы, и появляются экстрасистолы (подробнее см. на рис. 15). Затем возникает переходной процесс, в котором чередуются относительно сильные и слабые сокращения (альтернанс). В итоге устанавливаются ста-

ционарные сокращения с очень низкой амплитудой силы

Фрагмент, выделенный на рис 14 значком ^, более подробно раскрыт на рис 15, где снизу вверх показаны потенциалы действия, кальциевые переходы и развитие силы в П-образце

■V 4

ыш

[Са"].

О 5мкМ

Уу

ии

ТЕ

]50мВ

1Ш1Щ

ии

1111

136.8 время (с) 160

Рис 15 Временной ход развития напряжения (Р), кальциевые переходы ([Са2*]) и мембранный потенциал (Е) в П-образце на интервале времени 137 — 160 с, обозначенном увеличительным стеклом на Рис 1 Метки под осью времени обозначают моменты регулярных стимулов (каждые 08 с)

Вертикальными штрихами на оси времени на этом рисунке отмечены моменты регулярных стимулов, в промежутках между которыми возникают экстрасистолы (т е спонтанные потенциалы действия, вызывающие внеочередные сокращения) Затем экстрасистолия исчезает, сменяясь альтернирующими регулярными сокращениями При этом продолжаются внеочередные всплески мембранного потенциала, которые не достигают уровня потенциала действия, а дают картину задержанной постдеполяризации

Поведение, показанное на рисунках 14, 15, имеет характерные признаки, наблюдаемые во время развития острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием- внезапное падение силы сокращений, экстрасистолию и (в некоторых случаях) пульсус альтернанс. По-

добные нарушения при частоте > 75 стимулов/мин наблюдались в П-образце не только при длине, равной 0 90 Ьтах, представленной здесь, но и при любых длинах < 0 95 Ьтах При меньших длинах и/или больших частотах аритмия не возникала

Модель корректно воспроизводит хорошо известные механизмы постепенного (от цикла к циклу) накопления кальция в кардиомиоцитах в условиях уменьшенной скорости натрий-калиевого насоса, которое в конечном итоге приводит к аритмии Схема этих механизмов такова

Ослабленная Ыа+-к+ АТФаза

Медленный рост [№+], Накопление Са2* в цитозоле

обмен

Накопление

Са2+ в СР

Перегрузка Са* терминальных цистерн СР

Спонтанное высвобождение Ся3* ю СР между стимулами

обмен

Спонтанный ГЩ

Спонтанное сокращение

Однако в рамках этой схемы отсутствует ответ на принципиально важный вопрос каким образом без электрического стимула инициируется спонтанное высвобождение кальция из перегруженных терминальных цистерн СР7 Ответить на этот вопрос позволяет численный эксперимент, показываемый на рис 16 Здесь слева мы видим одно регулярное сокращение, выделенное из показанной на предыдущем рисунке серии Вслед за этим сокращением (до появления следующего стимула) развивается экстрасистола Этот же численный эксперимент был повторен с единственным исключением (рис 16, справа) с момента начала фазы расслабления в том же регулярном цикле отключается кооперативная зависимость распада комплексов СаТпС от поперечных мостиков (этот момент обозначен стрелками под осями времени на правых панелях рис 16) В результате каналы терминальных цистерн не открылись и экстрасистола не возникла

Итак, в основе механизма спонтанного высвобождения кальция из СР, инициирующего экстрасистолу, лежит кооперативность первого типа

Рис 16 Возникновение экстрасистолы в П-образце (левая колонка панелей) и ее исчезновение вследствие отключения кооперативности «ХЬ-СаТпС» (правая колонка панелей) Черными треугольниками (ь) под осями времени обозначены моменты стимуляции, а (*) указывает на спонтанный ПД, возникший до очередного стимула Знак Ф под осями времени в правой колонке панелей указывает момент, после которого влияние кооперативности «ХЬ-СаТпС» на распад СаТпС было элиминировано в модели - в результате экстрасистола не возникла

Нами подробно проанализирован этот механизм Коротко, он состоит в следующем Во-первых, в течение любого регулярного цикла сокращение-расслабление & фазу расслабления в силу кооперативности «ХЬ-СаТпС» происходит регенеративный распад СаТпС То есть распад актомиозиновых комплексов влечет ускоренный распад СаТпС В норме такой ускоренный распад компенсируется поглощением кальция в СР его и выведением через Ыа+-Са2+ обменный ток из клетки Поэтому в нормальных условиях, когда уровень диастолического кальция в цитозоле низок, порог кальций-вызванного высвобождения кальция (КВВК) из терминальных цистерн СР не достигается в диастолу При перегрузке кардиомиоцитов кальцием, когда уровень диастолического кальция в цитозоле существенно повышен,

Са2+ обмен оказывается не в состоянии в полной мере компенсировать ускоренный распад СаТпС в фазу расслабления, поэтому возникает спонтанное КВВК Кальций, поступивший в цитозоль из СР, в свою очередь, активирует направленный внутрь деполяризующий ток через Na+-Ca2+ обменный механизм, а это приводит к развитию экстрасистолического ПД

Описанная последовательность внутриклеточных процессов может быть названа механизмом генерации спонтанных ПД, вызванной кооперативно-стью «Xb-CaTnC». Наличие такого механизма - предсказание модели, которое может быть прямо проверено в реальном эксперименте (например, с помощью препарата BDM (2,3-butanedione 2-monoxime), блокирующего образование поперечных мостиков (Mulien & Alpert, Biophys J, 1984))

Кроме того, нами установлено в рамках модели, что механические условия (например, уменьшение длины кардиомиоцита или механической нагрузки на него), благодаря той же кооперативное™, увеличивают риск аритмии при исследуемой патологии

В модели мы выделили 3 диапазона снижения активности Na+-K+ насоса, соответствующие различному вкладу механических факторов в аритмогенез Эти диапазоны перечислены ниже

(1) Диапазон- KmyNa> 110 мМ (в норме Кт>1\а - 24 2 мМ) - экстрасистолы возникают в кардиомиоците независимо от механико-кальциевой обратной связи, поскольку диастолический уровень кальция в цитозоле при таких величинах Km>Na постепенно становится столь высок, что сам по себе инициирует спонтанные КВВК

(2) Диапазон 40 мМ < K„tNa < 110 мМ - экстрасистолы также возникают в кардиомиоците при любых механических условиях, но только за счет вышеописанного механизма генерации спонтанного ПД, вызванного коопера-тивностью «Xb-CaTnC»

(3) Диапазон. 37 мМ < Km>Na < 40 мМ - экстрасистолы возникают только в результате прямых механических воздействий (уменьшение длины или нагрузки). В этом случае они возникают благодаря механизму длинозависимого

усиления кальциевой перегрузки СР

Последний диапазон представляет собой «пограничную зону» Когда Ктл„ находится ниже этой зоны, экстрасистолы не возникают в модели ни при каких механических условиях.

Анализ подходов к восстановлению электро-механической функции кардиомиоцитов при подавленном натрий-калиевом насосе Восстановление нормальной активности насоса (Кт^а = 24 2 мМ) во время показанного выше приступа «острой сердечной недостаточности» в «виртуальном кар-диомиоците» не всегда обеспечивало положительный эффект

У М М

р 4

У ч

V Ч Ч V Ц

дддц/1

время (с) 11|155 £

время (с) 176

152

V V V V V V V

время (с) 176

Рис 17 Эффекты восстановления активности Ыа+-К* насоса в различные моменты Панель А увеличенный фрагмент рисунка 14, показывающий активную силу П-образца во время наступления «острой сердечной недостаточности» при длине 0 90 тах и частоте 75 стимулов/мин Горизонтальная скобка под панелью показывает фазу, в которой между регулярными сокращениями спонтанно возникают экстрасистолы Эта фаза сменяется переходным апътернансом Две вертикальные стрелки (одинарная и двойная) показывают моменты возврата к контрольному (нормальному) состоянию насоса в модели насос восстанавливался либо после нечетного, либо после четного сокращения в фазу альтерната На панелях Б и В показаны результаты каждого из этих вариантов восстановления нормальной активности насоса

Например, на рис 17 видно, что при попытке такого «лечения» П-

образца в фазу альтернанса результат чередовался если момент восстановления насоса оказывался после меньшего сокращения (этот момент отмечен одинарной стрелкой на верхней панели рис 17), то в результате этого воздействия возникала устойчивая экстрасистолия (средняя панель на рис 17) Если восстановление насоса происходило после большего сокращения (двойная стрелка на верхней панели рис. 17), то нормальная электромеханическая активность «кардиомиоцита» быстро и полностью восстанавливалась (нижняя панель на рис 17) Для получения устойчивого результата такого рода «лечения» оказалось необходимым ускорить насос (примерно на 5% уменьшить по отношению к изначальной норме

Поскольку в настоящее время отсутствуют фармакологические вещества, позволяющие специфически ускорять натрий-калиевую АТФ-азу, мы рассмотрели в модели альтернативные воздействия, ведущие к уменьшению концентрация кальция в кардиомиоцитах с замедленным №+-К+ насосом и, в результате, к восстановлению их электрической и механической функции Таблица 1 суммирует результаты этих «терапевтических» воздействий.

В таблице представлены установившиеся в результате воздействий уровень кальция в СР ([Са2+]8Н) и две механические характеристики сокращения-расслабления инотропная - пик активной силы стационарных сокращений, и лузитропная /30 - время расслабления до 30% Рт Все величины даны в процентах относительно нормы при длине 0 90 Ьтах Табличные данные соответствуют значениям соответствующих величин в стационарных сокращениях, установившихся после соответствующего воздействия

Целью «терапевтических» воздействий, перечисленных в таблице, было по возможности восстановить «нормальные» механические характеристики сокращения и при этом отодвинуть уровень кальция в СР как можно дальше от критического аритмогенного уровня Сравним в соответствии с этими критериями моделируемые результаты воздействий на различные зв¿нья электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах, перегруженных кальцием

Таблица 1 Результаты различных «терапевтических» воздействий на

П-образец

скорость насоса СР 18%1 медленный Со2* ток, 'cal 20% i ток через На'-Са2* обменник 20%\ чувствительность скорости высвобождения Са2* из СР к Са2+в цитозоле 20%1 скорость насоса СР и медленный Са2+ ток 11% 1 (одновременно)

Fm 88 5% 95 7% 99 2% 119 7% 94 4%

t3o 101 8% 104 1% 108 8 % 138 2% 105 3%

[Ca2V 122 9% 122 Т/о 135 1 % 134 2% 119 2%

Примечания 1 Верхняя строка таблицы обозначает изменения отдельных параметров по сравнению с П-образцом Стрелки и обозначают соответственно увеличение или уменьшение параметра 2 [Са2+Ьк = 142% от нормы в П-образце непосредственно перед «приступом острой сердечной недостаточности», это значение [Са2*]® является пороговой величиной для возникновения «приступа» в этом виртуальном образце 3 Сила в П-образце в стационарных условиях после «приступа» равна 30 8% от нормы

Из таблицы видно, что снижение скорости работы насоса СР и частичное ингибирование медленного кальциевого тока приводит к почти одинаковым результатам При уменьшении ¡ой. сила сокращений почти полностью восстанавливается, хотя расслабление оказывается несколько более длительным, чем при блокаде скорости насоса СР В обоих случаях, однако, уровень кальция в СР превышает нормальный приблизительно на 23% При увеличении тока через Ыа+-Са2+ обменник сила сокращений кардиомиоцита восстанавливается практически полностью, расслабление оказывается почти на 9%, более длительным, чем в норме, а уровень кальция в СР на 35% выше, чем в норме При снижении чувствительности скорости высвобождения Са2+ из СР к кальцию в цитозоле сила сокращения кардиомиоцита возрастает почти на 20% по сравнению с нормой Однако уровень кальция в СР остается высоким (превышает норму на ~34%), и почти на 40% возрастает /30 При одновременном

снижении скорости насоса СР и снижении амплитуды медленного кальциевого тока сила сокращений кардиомиоцита и время расслабления близки к нормальным величинам, а уровень кальция в СР остается выше нормы на 19% Заметим, что в последнем случае каждый из процессов, участвующих в регуляции кальция в кардиомиоцитах, был изменен в наименьшей степени по сравнению с индивидуальными воздействиями (11% против ~20%).

Сопоставляя результаты вышеперечисленных воздействий, можно заключить, что и по степени восстановления амплитуды сокращений, и характеристик расслабления, и степени снижения уровня кальция в СР наилучший результат дает сочетанное воздействие на /саь и кальциевый насос СР Этот вывод весьма важен, поскольку именно таким сочетанным действием обладают р-блокаторы.

Кратко суммируем результаты работы Построена интегративная модель электро-механической активности миокарда, основанная на описании ряда внутриклеточных процессов, связанных с активацией мышцы В модели учитываются также пассивные механические свойства миокардиальной ткани Модель была успешно применена для решения важных задач физиологии и патофизиологии миокарда

Мы полагаем, что построение подобных интегративных моделей является важным этапом на пути создания математической физиологии сердца.

ВЫВОДЫ

1. Разработанная математическая модель механической активности миокарда адекватно воспроизводит все основные особенности цикла сокращение-расслабление сердечной мышцы в изометрическом, изотоническом и физиологическом режимах

2. В модели найден единый механизм, обеспечивающий влияние механических условий сокращения на ход кальциевой активации кардио-миоцитов Установлено, что в основе этого влияния лежат. (1) кооператив-ность регуляторных и сократительных белков и (2) зависимость вероятно-

ста образования поперечных мостиков от текущей длины саркомера

3 В рамках модели показано, что наблюдаемое при выраженной гипертрофии миокарда ослабление грузозависимости вплоть до полного ее исчезновения вызывается замедлением поглощения кальция в саркоплаз-матический ретикулюм (СР) в связи с усилением ингибирования кальциевой АТФ-азы СР

4. В целом, влияние скорости кальциевого насоса СР на грузозави-симость немонотонно А именно, грузозависимость уменьшается как в результате замедления насоса, вызванного усилением его ингибирования, так и в результате его ускорения вследствие увеличения скорости переноса Са2+ молекулами кальциевой АТФ-азы СР.

5. Вязкость мышечной ткани влияет на активное механическое поведение миокарда В частности, вязкость концевых участков препаратов сердечной мышцы является причиной рассогласования между временным ходом роста изометрического напряжения и ходом укорочения саркомеров Вязкость внутренних участков препарата заметно модулирует фазу расслабления, оказывая влияние на скоростные характеристики этого процесса.

6 При объединении модели механической активности с моделью электрической активности '№)Ые-98', был получен контур механо-электрической обратной связи, возникающий в результате сопряжения натрий-кальциевого обменного тока в кардиомиоцитах и кооперативного воздействия поперечных мостиков на сродство тропонина С к кальцию

7 Модель предсказывает, что эта обратная связь может играть роль триггера при возникновении острой сердечной недостаточности в условиях кальциевой перегрузки кардиомиоцитов В рамках модели намечены пути коррекции этой патологии Наиболее удачный результат коррекции наблюдался при имитации действия /?-блокаторов в модели

Список публикаций по теме диссертации

Книги

[1] Мархасин В С , Кацнельсон Л Б , Никитина J1В , Проценко Ю J1, Руткевич С М, Соловьева О Э, Ясников Г П Биомеханика неоднородного миокарда -УрО РАН, Екатеринбург, 1999 - 254 с

Статьи в рецензируемых журналах

[2] Мархасин В С , Гласман А А, Честухин В В , Гольдберг С И, Кацнельсон JIБ, Маханек А О Вклад сегментарной кинетики левого желудочка в регуляцию насосной и сократительной функции сердца // Рос физиол журн , 1994 - Т 18, №4 -С 72—79

[3] Соловьева О Э, Мархасин В С , Кацнельсон Л Б Роль неспецифического тро-понина в кинетике внутриклеточного кальция в кардиомиоцитах // Биофизика, 1996 -Т 42, №2 - С. 431—438

[4] Соловьева О Э , Мархасин В С, Романченко Т Ю , Кацнельсон Л Б Математическая модель обобщенного кальциевого буфера в клетках сердечной мышцы //Биофизика, 1999 -Т 44,№1 -С 91—101

[5] Мархасин В С, Викулова Н А, Гурьев В Ю, Кацнельсон Л Б , Коновалов П В , Соловьева О Э , Сульман Т Б Математическое моделирование в физиологии и патофизиологии сердца // Вестник уральской медицинской академической науки, 2004 -Т 3 - С 31—37

[6] Копылова Г В , Кацнельсон Л Б, Овсянников Д А , Бершицкий С Ю, Никитина Л В Применение метода in vitro подвижных систем для исследования кальций-механической связи в скелетной и сердечной мышцах // Биофизика, 2006 -Т 51,вып 5,-С781-785

[7] Кацнельсон Л Б, Соловьева О Э, Сульман Т Б , Коновалов П В , Мархасин В С Моделирование механо-электрического сопряжения в кардиомиоцитах в норме и при патологии//Биофизика, 2006 -Т 51, вып 6,-С 1044-1054

[8] Соловьева О Э, Коновалов П В, Викулова Н А , Кацнельсон Л Б, Мархасин В С Исследование электромеханического и механо-электрического сопряжения в мио-карде при помощи математических моделей// Рос физиол журн им И М Сеченова,2007 -Т 93,вып 9,-С 945-968

[9] Кацнельсон Л Б, Сульман Т Б, Соловьева О Э, Мархасин В С Механизмы нарушений электромеханической функции кардиомиоцитов при перегрузке кальцием Теоретическое исследование // Рос физиол журн им ИМ Сеченова, 2007 - Т 93, вып 9, - С. 969-981

[10] Никитина Л В , Копылова Г В , Щепкин Д В , Кацнельсон Л Б Исследование взаимодействия сократительных и регуляторных белков миокарда кролика ме-

тодом искусственных подвижных систем // Биохимия/Biochemistiy (Moskow), 2008 -Т 73,вып 2,-С 219-227

[11] Katsnelson LB, Izakov VYa, Markhasin VS Heart muscle Mathematical modeling of the mechanical activity and modeling of mechanochemical uncoupling // Gen Physiol & Biophys, 1990-Vol 9-P 218-244

[12] Izakov VYa, Katsnelson LB, Blyakhman FA, Markhasin VS, Shklyar TF Cooperative effects due to calcium binding by troponin and their consequences for contraction and relaxation of cardiac muscle under various conditions of mechanical loading //Circ Res, 1991-Vol 69-P 1171-1184

[13] Katsnelson LB, Markhasin VS Mathematical modeling of relations between the kinetics of free intracellular calcium and mechanical function of myocardium // J Mol & Cell Cardiol, 1996 - Vol 28, №3 -P 475-486

[14] Markhasin VS, Katsnelson LB, Nikitina LV, Protsenko YuL Mathematical modelling of contribution of myocardium mechanical mhomogeneity m its contractile function//Gen Physiol & Biophys, 1997 -Vol 16,№2 -P 101-137

[15] Solovyova О , Katsnelson L , Gunev S , Nikitma L, Protsenko Y , Routkevitch S, Markhasin V Mechanical mhomogeneity of myocardium studied in parallel and serial cardiac muscle duplexes experiments and models // Chaos, Solitons & Fractals, 2002 -Vol 13,№8 -P 1685—1711

[16] Markhasin V S , Solovyova О , Katsnelson L В , Protsenko Y , Kohl P, Noble D Mechano-electric interactions m heterogeneous myocardium development of fundamental experimental and theoretical models // Prog Biophys & Mol Biol, 2003 -Vol 82, №1—3 -P 207—220

[17] Solovyova О, Vikulova N, Katsnelson L В , Markhasin V S , Noble P J, Gamy A F, Kohl P, Noble D Mechanical interaction of heterogeneous cardiac muscle segments m silico effects on Ca2+ handling and action potential II Int J of Bifurcation & Chaos, 2003 -Vol 13, №12 -P 3757— 3782

[18] Katsnelson L В, Nikitina L V , Chemla D, Solovyova О, Coirault С, Lecarpentier Y, Markhasin V S Influence of viscosity on myocardium mechanical activity a mathematical model//J Theor Biol, 2004 - Vol 230, №3 -P 385-405

[19] Protsenko Y L, Routkevitch S M, Gur'ev V Y, Katsnelson L В , Solovyova О, Lookm О N, Balakin A A, Kohl P , Markhasin V S Hybrid duplex - a novel method to study the contractile function of heterogeneous myocardium // Am J Physiol Heart Circ Physiol, 2005 - Vol 289 - P 2733-2746

[20] Solovyova О, Katsnelson L В, Kohl P, Konovalov P, Lookm О, Moskvrn A S , Vikulova N , Protsenko Yu L, Markhasin V S Activation sequence as a key factor m spatio-temporal optimization of myocardial function // Phil Transact of The Royal Society A, 2006 - Vol 364, № 1843. - 1367-1383

[21] Katsnelson LB, Sulman T, Solovyova O, and Markhasin VS Mathematical modeling of electromechanical function disturbances and recovery in calcium-overloaded cardiomyocytes // Lect Notes Comp Sci, 2007 - Vol 4466 - 383-392

Статьи в сборниках научных трудов

[22] Кацнельсон JI Б, Сульман Т Б, Соловьева О Э, Мархасин В С Математическое моделирование некоторых нарушений электромеханической функции кардиомиоцитов желудочка // Математика Компьютер Образование Сб научных трудов Т 2 / Под ред Г Ю Ризниченко - М -Ижевск НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" 2006, - С 345-369

[23] Соловьева О Э, Кацнельсон JI Б., Коновалов П В, Мархасин В С Математическое моделирование электрических и механических явлений в миокарде // Современные проблемы биомеханики - М Издательство Московского университета, 2006 -Вып 11 -С 131-151

[24] Izakov V Ya, Markhasin V S , Katsnelson L В , Blyakhman F A Dependence of myocardium relaxation on mechanical and inotropic factors, experimental data and mathematical model // In Muscle & Motility, Medical & Techn Publ / Eds G Marechal, U Carrare - Brussels, 1990 -P 211-218

Избранные тезисы докладов

[25] Викулова Н А , Кацнельсон JIБ, Соловьева О Э, Мархасин В С, Garny А, Noble Р. Математическая модель электромеханического сопряжения в кардио-миоцитах рабочего миокарда // Тез докл XVIII Съезда физиологического общества имени И П Павлова Казань, 2001 -С 318

[26] Соловьева О Э, Проценко Ю JI, Кацнельсон Л Б, Мархасин В С Экспериментальные и теоретические модели неоднородного миокарда // Матер сател-литного совещ XIX съезда Физиологического общества им И П Павлова "Инте-гративная физиология и международный проект Физиом" Екатеринбург, 2004 -С 20-21

[27] Izakov V, Markhasin V, Katsnelson L, BIyachman F Dependence of myocardium relaxation on mechanical and inotropic factors // XIX Europ Confer on Muscle Contraction and Cell Motility, Brussels, Belgium, 1990, p 66

[28] Katsnelson L В, BIyachman FA Mathematical modelling of myocardial non-homogeneity contribution into the contractile function of the myocardium // European Muscle Club, XX Annual Meeting, September, 1991, Oxford, UK, p 39

[29] Markhasin V S , Katsnelson L В , Fedotova Ye L A unified model describing electromechanical coupling, calcium activation of contractile proteins and mechanical function of the heart muscle // Ibidem, p.49

[30] Katsnelson L B , Markhasin V S, Protsenko Yu L Mathematical model of mechanical contraction-relaxation cycle in myocardium in normal condition and at hypertrophy (Abstracts) // Can J Cardiol - April, 1994, Vol 10, Suppl A, p 82

[31] Katsnelson L B , Markhasin V S , Solovyova O E Mathematical modeling of relatively small differences in various calcium transient and their essential influence on myocardium mechanical function (Poster) // XXIV European Muscle Conference Florence - Italy, 13-16 September, 1995, p. 104 (Abstr 133)

[32] Katsnelson L B , Markhasin V S , Nikitma L V, Ryvkin M V Analysis of forcevelocity relationship in cardiac muscle by means of mathematical modelling // XXV European Muscle Congress, Montpellier - France, 14-17 September, 1996, Journal of Muscle Research and Cell Motility, April 1997, V 18, P. 228

[33] Markhasin V S , Nikitina L V , Katsnelson L B , Marvm M A Experimental and theoretical study of the role of mechanical inhomogeneity in myocardium contraction // XXV European Muscle Congress, Montpelher - France, 14-17 September, 1996, Journal of Muscle Research and Cell Motility, April 1997, V 18, P 232

[34] Katsnelson L B, Markhasin V S , Solovyova O Mathematical modelmg of relatively small differences in various calcium transients and their essential influence on myocardium mechanical function // XXIV European Muscle Conference, Florence, Italy, 1995 -№ 133 -P 104

[35] Solovyova O , Katsnelson L, Romanchenko T, Tsyvian P, Routkevech S, Markhasin V, Keller B B Mathematical modeling of active embryonic myocardium mechanics//Biophysical Journal Abst 42nd Annual Meeting of the Amer Biophys Society, Kansas City, USA, 1998 - Abstr Th-Pos27 - P A-350

[36] Solovyova O, Katsnelson L, Romanchenko T, Tsyvian P, Markhasin V Mathematical modelmg of intracellular regulation of cardiac muscle contraction in both normality and hypertrophy // Biophysical Journal Abst 43rd Annual Meetmg of the Amer Biophys Society, Baltimore, Maryland, USA, 1999 - Vol 76, № 1 (2) - P A312

[37] Garny A F , Katsnelson L B , Markhasin V S, Noble P J, Solovyova O, Vikulova NA Mechano-electnc interactions in a ventricular myocyte model // XXXIV Int Congress of Physiological Sciences Christchurch, New Zealand, Abstr 83 - 2001

[38] Markhasin V, Katsnelson L, Lukin O, Protsenko Yu, Routkevich S Hybnd duplex as a new method of investigation of phenomenon of mechanical inhomogeneity of myocardium // XXXIV International Congress of Physiological Sciences Christ-church, New Zealand, Abstr 1276 -2001

[39] Katsnelson L B , Nikitma L V , Chemla D , Solovyova O E , Coirault C, Le-carpentier Y , Markhasin V S Does viscosity affect myocardium mechanical activity? // Journal of Physiology, University of Oxford, 2004 - 561P, PC12

[40] Solovyova O E, Kohl P, Katsnelson L B, Markhasm V S Modelling electromechanical function of heterogeneous myocardium // Journal of Physiology University of Oxford, 2004 - 56IP, SA7

[41] Sulman T, Katsnelson L B , Solovyova O, Markhasm V S Mathematical modeling of cardiomyocyte electromechanical function disturbances caused by the attenuation of sodium-potassium pump // Europ Conf on Math, and Theor Biol, Dresden, Germany, 2005 - Book 2 -P 17

[42] Sulman T B , Katsnelson L B, Solovyova O E , Markhasm V S Mathematical modeling of rhythm disturbances and their suppression m the cardiomyocyte with Na+-K+ pump attenuation // Proceedings of International Symposium "Biological Motility Basic Research and Practice", Pushchino, 2006 -P 16-17

[43] Solovyova O E, Katsnelson L B , Kohl P, Markhasm V S Role of mechano-electnc feedback m myocardium function theoretical study // Proceedings of International Symposium "Biological Motility Basic Research and Practice", Pushchino, 2006 - P 62-63

[44] Kopylova G V, Nikitina L V, Katsnelson L B , Bershitsky S Yu Companson of kinetic characteristics of skeletal and cardiac muscle myosins using the method of regulated contractile system // Proceedings of International Symposium "Biological Motility Basic Research and Practice", Pushchino, 2006 - P 25-27

[45] Katsnelson L B , Sulman T, Solovyova O , Markhasm V S Rhythm disturbances m cardiomyocytes with decreased Na+-K+ pump function Contribution of Mechanical Factors assessed in a Mathematical Model // International Conference "Mathematical biology and bioinformatics", Pushchino, 2006 - C 63-64

[46] Fedotova M, Katsnelson L B , Solovyova O , Markhasm V S Mechanical and Electrical Function of Myocardium in ID Mathematical Model // International Conference "Mathematical biology and bioinformatics", Pushchino, 2006 - C 61-62

[47] Sulman T, Katsnelson L B , Solovyova O & Markhasm V S Mechano-electric feedback in rhythm disturbances m cardiomyocytes with moderately reduced activity of Na+-K+ pump model predictions on the arrhythmia and its suppression // Proceedings of the 4th International Workshop on Cardiac Mechano-Electnc Feedback and Arrhythmias, Oxford, England, 1-4 Apnl 2007 -P 74

Подписано в печать 06 03 08 Формат 60x84 1/16 Уел печ л 3 Тираж 100 экз Заказ № 104

Типография «Уральский центр академического обслуживания» 620219, Екатеринбург, ул Первомайская, 91

Содержание диссертации, доктора физико-математических наук, Кацнельсон, Леонид Борисович

Введение.

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ АКТИВАЦИИ И ИНАКТИВАЦИИ СОКРАЩЕНИЙ СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ.

1.1 Постулаты математической модели.

1.2 Уравнения математической модели.

1.3 Краткое описание методики экспериментов, выполненных для верификации результатов моделирования.

1.4 Результаты моделирования основных механических эффектов инактивации сокращений сердечной мышцы.

1.5 Обсуждение результатов, вытекающих из основных постулатов модели.

2 МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ С УЧЕТОМ КИНЕТИКИ КАЛЬЦИЯ В КАРДИОМИОЦИТАХ. АНАЛИЗ ВКЛАДА КАЛЬЦИЕВОГО НАСОСА САРКОПЛАЗМАТИЧЕСКОГО РЕТИКУЛЮМА В АКТИВАЦИЮ МИОКАРДА.

2.1 Модуляция механической функции при замедлении поглощения кальция в СР. Роль ингибирования насоса.

2.1.1 Уравнения модели для описания кинетики Са в кардиомиоцитах.

2.1.2 Полная система дифференциальных уравнений модели, учитывающей кинетику внутриклеточного кальция.

2.1.3 Результаты имитации сократительного акта в модели, учитывающей кинетику внутриклеточного кальция.

2.1.4 Обсуждение результатов, связанных с кинетикой внутриклеточного кальция и функцией кальциевого насоса CP в модели.

2.2 Модуляция механической функции при ускорении поглощения кальция в СР. Вклад этого ускорения в грузозависимое расслабление.

2.2.1 Методы моделирования основных факторов, влияющих на грузозависимое расслабление при повышении температуры.

2.2.2 Результаты моделирования грузозависимого расслабления при повышении температуры.

2.2.3 Обсуждение результатов моделирования грузозависимого расслабления при повышении температуры.

2.3 Детальное обсуждение механизмов, лежащих в основе эффекта грузозависимого расслабления и вклада кальциевого насоса CP в регуляцию этого эффекта.

2.4 Дальнейшее развитие блока кинетики внутриклеточного кальция.

3 ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО БЛОКА

МОДЕЛИ.

3.1 Уточненное описание кинетики прикрепления-открепления поперечных мостиков.

3.2 Развитие реологической схемы модели. Учет вклада пассивной вязкости миокарда в его сократительную функцию.

3.2.1 Модификация уравнений модели, связанная с учетом вязкости миокардиальной ткани.

3.2.2 Выбор базовых параметров модели, соответствующих модифицированной реологической схеме.

3.2.3 Численные эксперименты в модели, учитывающей мышечную вязкость, в сопоставлении с данными реальных экспериментов.

3.2.4 Моделирование вклада вязкости в инотропные и лузитропные характеристики виртуальной сердечной мышцы.

3.2.5 Обсуждение вклада вязкости в сократительную активность миокарда (по результатам моделирования).

3.2.5.1 Роль вязкости в механической активности миокарда.

3.2.5.2 Специфика вязко-эластических элементов реологической схемы, проявляющаяся в механической активности виртуальной мышцы.

3.3 Проверка в модели варианта кооперативности первого типа, локализованной в пределах функциональной группы сократительных и регуляторных белков А7ТшТп.

4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В КАРДИОМИОЦИТАХ С УЧЕТОМ МЕХАНО-ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ.

4.1 Модель электромеханической активности кардиомиоцитов Екатеринбург-Оксфорд.

4.2 Моделирование нарушений ритма, связанных с механическими факторами, в кардиомиоцитах с пониженной активностью натрий-калиевого насоса.

4.2.1 Численные эксперименты: имитация нормальной и ослабленной функции Na+-K+-Hacoca. Анализ вклада механических факторов в нарушения ритма.

4.2.1.1 Имитация одиночного кардиомиоцита с устойчивым нормальным ритмом и нормальной механической активностью.

4.2.1.2 Имитация нарушений ритма и электромеханического разобщения в одиночных кардиомиоцитах желудочка при сниженной активностии Na+-K+-Hacoca без учета механических факторов.

4.2.1.3 Имитация нарушений ритма и электромеханического разобщения в одиночных кардиомиоцитах желудочка при умеренном ингибировании Na+-K+-Hacoca в модели с учетом механической активности. Роль кооперативности первого типа в аритмогенезе.

4.2.1.4 Имитация нарушений ритма в модели неоднородного миокарда (в виртуальном последовательном дуплете) с умеренно ослабленной функцией Na+-K+- насоса.

4.2.1.5 Влияние механических условий на проявления аритмии в СК-образце при его сокращениях в изоляции.

4.2.1.6 Определение диапазонов пониженной активности Na+-K+-насоса, в пределах которых аритмия в кардиомиоцитах индуцируются их механической активностью.

4.2.1.7 Влияние вязкости на нарушения сердечного ритма в модели ЕО-2006.

4.2.1.8 Восстановление нормального ритма в П-образце.

4.2.2 Обсуждение результатов моделирования механозависимых нарушений ритма при перегрузке кардиомиоцитов кальцием.

Введение Диссертация по биологии, на тему "Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии"

Актуальность исследования. Сердечная мышца - сложная многоуровневая система, механическое поведение которой определяется двумя компонентами - пассивным, связанным с упругими и вязкими свойствами мышцы как композитного материала, и активным, позволяющим сердцу выполнять свою основную функцию — обеспечение сосудистого кровотока. Механическая активность мышцы реализуется на уровне кардиомиоцитов и включает в себя процесс сокращения, как таковой, и его регуляцию. Силогенерация/укорочение на молекулярном уровне осуществляется в процессе прикрепления и открепления поперечных мостиков, сопровождаемого гидролизом АТФ. Мостики в ходе гидролиза осуществляют поворот, генерирующий напряжение и/или сдвигающий актиновые и миозиновые нити саркомеров друг относительно друга. Процесс регуляции сокращений включает в себя активацию актиновой нити и определяется ходом изменения концентрации цитозольного кальция во времени, который, в свою очередь регулируется электрической активацией клетки, т.е. развитием потенциала действия, деполяризующим клеточную мембрану. Потенциал действия возникает в клетках рабочего миокарда в ответ на внешний электрический импульс и формируется при участии целого ряда ионных токов через мембрану, включая кальциевые, натриевые и калиевые токи. Весь этот комплекс процессов, который и сам по себе далеко не прост, дополнительно усложняется наличием ряда обратных связей. Например, механические условия сокращений, а также процесс циклировапия поперечных мостиков могут существенно влиять на кальциевую и электрическую активацию клеток.

Таким образом, сердечная мышца представляет собой сложно организованную контрактильную «машину», понять принципы организации и предсказать поведение которой можно только с помощью комплексного математического моделирования. К настоящему времени уже разработаны и продолжают разрабатываться математические модели, описывающие с разной степенью детализации те или иные из перечисленных выше подсистем миокарда/кардиомиоцита. В частности, имеются модели пассивных механических свойств мышцы, модели активного механического поведения и модели электрической активности кардиомиоцитов. Однако до сих пор ощущается нехватка интегративпых моделей, описывающих все эти подсистемы совместно с учетом прямых и тем более обратных связей между ними. Наше исследование призвано в какой-то мере восполнить этот пробел.

Наличие интегративной математической модели позволяет не только исследовать общие законы активного поведения миокарда, но также выяснять механизмы нарушений электрической и сократительной функции кардиомиоцитов при различных сердечных патологиях и методы коррекции этих нарушений. В нашей работе возможности этого важного для клинических приложений направления использования модели продемонстрировано на примере анализа механизмов и методов коррекции аритмии, возникающей в результате кальциевой перегрузки кардиомиоцитов, характерной для многих заболеваний сердца. Модель предсказывает важную роль обратных механо-электрических связей в развитии этих нарушений ритма, о чем раньше не было известно.

Наконец, наличие развитой комплексной модели кардиомиоцита открывает возможность в будущем строить одно-, двух- и трехмерные модели миокарда, в которых проведение электрического возбуждения и механическое взаимодействие сегментов будут сопряжены с развитием потенциалов действия и напряжения в клетках с учетом прямых и обратных связей, существующих между всеми этими процессами, как на внутриклеточном, так и на тканевом уровне.

Цели и задачи. Цела работы:

1. Создание интегративной математической модели механической активности сердечной мышцы, включающей процессы кальциевой и электрической активации сократительной функции кардиомиоцитов, с учетом обратных механо-кальциевых и механо-электрических связей;

2. Использование построенной модели для имитации и объяснения сложных явлений, наблюдаемых в физиологических экспериментах на мышечных препаратах или в интактном сердце, таких как:

- влияние механических условий на активацию миокарда в цикле сокращение-расслабление (эффекты грузозависимого расслабления, циклических деформаций и др.);

- влияние активности кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма на грузозависимое расслабление (исчезновение грузозависимости в гипертрофированном миокарде, уменьшение грузозависимости при повышении температуры);

- нарушение электро-механической функции кардиомиоцитов при кальциевой перегрузке.

Для достижения поставленной цели в ходе исследования были решены следующие задачи:

- разработка постулатов модели;

- построение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, реализующих блок пассивной упругости миокарда, блок укорочения/удлинения контрактильного элемента и генерации напряжения поперечными мостиками, блок кальциевой регуляции, а таюке прямые и обратные связи между этими блоками;

- дальнейшее развитие механического блока модели, в т.ч. усовершенствование описания процессов прикрепления/открепления поперечных мостиков и расширение реологической схемы модели с учетом мышечной вязкости;

- объединение последней версии модели активного механического поведения с моделью электрической активности кардиомиоцитов 'Noble-98'.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Разработанная модель механического поведения сердечной мышцы, включающая описание электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах и их кальциевую активацию, адекватно воспроизводит широкий спектр экспериментальных данных из области биомеханики активного миокарда.

2. Ключевым звеном механизма, реализующего обратную связь между механическими условиями и ходом активации кальцием тонких нитей саркомеров, является кооперативность регуляторных и сократительных белков.

3. Как ускорение, так и замедление кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма (если замедление вызвано ингибированием насоса) могут приводить к ослаблению феномена грузозависимого расслабления.

4. Механические свойства пассивной миокардиальной ткани, в частности, ее вязкость существенно модулируют активное механическое поведение сердечной мышцы.

5. При развитии острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием, кооперативность регуляторных и сократительных белков, а также механические условия сокращений сердечной мышцы (такие как уменьшение длины или нагрузки) способствуют возникновению сердечной аритмии.

6. Обоснованные в модели методы воздействия на кардиомиоциты при острой сердечной недостаточности, связанной с их перегрузкой кальцием, дают теоретическую базу для разработки методов восстановления нормальной электромеханической функции миокарда при этой патологии.

Научная новизна

Все перечисленные ниже результаты были получены в работе впервые.

В рамках математической модели установлено, что кооперативность сократительных и регуляторных белков - основной механизм, ответственный за вклад механических условий в развитие кальциевой активации.

В модель включено описание зависимости присоединения мостиков от межфиламентарного расстояния, зависящее, в свою очередь, от длины мышцы, и установлено, что в сочетании с механизмами кооперативное™ сократительных и регуляторных белков этот эффект является важным звеном механо-кальциевой обратной связи в миокарде.

Теоретически изучена роль ингибирования кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма в регуляции сократительного цикла сердечной мышцы.

В модели активного механического поведения сердечной мышцы, включающей процессы активации кардиомиоцитов, учтена вязкость миокардиальной ткани и исследован ее вклад в процессы сокращения и расслабления.

В рамках модели электромеханической активности сердечной мышцы проанализирована роль механических условий сокращений миокарда как аритмогенного фактора при умеренной перегрузке кардиомиоцитов кальцием; показано, что механизм, инициирующий экстрасистолы при такой перегрузке связан с кооперативностыо сократительных и регуляторных белков.

Построена математическая модель нарушений электромеханической функции миокарда при острой сердечной недостаточности, связанной с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием; эта модель использована как инструмент для оценки эффективности различных терапевтических методов коррекции таких нарушений.

Научная и практическая значимость

Нами разработана новая интегративная математическая модель механического поведения кардиомиоцитов с учетом их электрической и кальциевой активации. Модель может использоваться и уже успешно использована для анализа проблем физиологии сердца.

Важными для патофизиологии приложениями работы являются:

- исследование причин исчезновения эффекта грузозависимого расслабления миокарда при его гипертрофии;

Предмет и методы исследования. В современной мышечной биомеханике накоплен условия сокращения существенно модулируют сократительную активность мышц. Например, сдвиг и наклон нормированной изометрической кривой «рСа-сила», снятой при сокращениях скелетной или сердечной мышцы на разных уровнях постоянной кальциевой активации, заметно изменялись в зависимости от степени начального растяжения препарата. Эти результаты были многократно получены рядом авторов на сердечной мышце животных различных видов [167, 174, 55]. Следует отметить, что для сердечной мышцы (в отличие от скелетной) сокращение при постоянной активации является искусственным экспериментальным режимом, требующим, в частности, ее скинирования (демембранизирования). Гораздо более естественными для препаратов миокарда являются эксперименты, в которых в ответ на электрический импульс в цитозоле кардиомиоцитов происходит процесс, называемый кальциевым переходом: довольно быстрое нарастание концентрации кальция, сменяемое затем ее спадом (см. рисунок 0.1).

Рис. 0.1. Примеры кальциевых переходов, зарегистрированных в кардиомиоците левого желудочка сердца собаки, стимулируемом с частотой (слева направо): 0.25Гц, 0.5Гг{, 1Гц и 2Гц. Рисунок заимствован из работы Sipido it др. [67]. огромный экспериментальный материал, свидетельствующий о том, что механические

900-1

0 -<

0.5 с

В самых общих чертах природа кальциевого перехода такова. Электрический импульс приводит к деполяризации клеточной мембраны, что вызывает медленный ток ионов Са2+ в кардиомиоциты извне. Небольшого количества Са2+, поступившего в клетку с медленным током, тем не менее, оказывается достаточно, чтобы инициировать процесс кальцием вызванного высвобождения кальция, который состоит в следующем. Поступивший извне кальций активирует кальциевые каналы внутриклеточных депо кальция (т.н. саркоплазматического ретикулюма), откуда ионы Са2+ перемещаются в цитозоль по градиенту концентрации. В цитозоле кальций частично находится в свободном состоянии, а частично вступает в кинетические реакции с различными внутриклеточными лигандами, образуя с ними легко распадающиеся комплексы. В том числе, образуются комплексы Са2+ с регуляторным белком тропонином С, отвечающим за активацию актиновой нити (см. ниже). Совокупность ионов Са2 , находящихся в свободном состоянии, соответствует кальциевому переходу, показанному на рисунке 0.1. Постепенно кальций выводится из цитозоля - главным образом обратно в саркоплазматический ретикулюм (и частично во внеклеточное пространство -посредством патрий-кальциевого обмена). Поглощение Са2+ в ретикулюм - активный транспорт, использующий энергию гидролиза АТФ.

В ответ на кальциевый переход в препарате развивается цикл сокращение/ расслабление, соответствующий одному биению сердца. Ключевую роль в активации сокращения мышцы играет связывание кальция с регуляторным белком тропонином С (ТпС), локализованным в миофибриллах. Связывание кальция с ТпС вызывает конформацию тропомиозиновой нити, закрывающей активные центры на глобулах актиновой нити саркомера. Открывшийся активный центр становится доступным для прикрепления миозиновой головки, т.е. для образования поперечного мостика.

За счет аккумулированной ранее энергии гидролиза АТФ мостик совершает шаг, являющийся основой генерации мышечного напряжения и укорочения. По окончании каждого очередного шага и сброса продуктов гидролиза миозин присоединяет молекулу

АТФ и отсоединяется от актина. Чем выше концентрация кальция в цитозоле, тем больше комплексов СаТпС формируется, тем, соответственно, больше образуется поперечных мостиков, а значит, тем больше генерируемое напряжение и способность к укорочению. Постепенно, по мере выведения кальция, из цитозоля падает [СаТпС], что приводит к уменьшению количества поперечных мостиков, т.е. к расслаблению.

Наиболее распространенными экспериментальными режимами сокращения являются изометрический и изотонический [10]. Первоначально (до стимуляции) в обоих этих режимах к мышечному препарату прикладывается некоторая нагрузка (называемая предпагрузкой), растягивающая его на исходную рабочую длину.

В изометрическом режиме эта длина поддерживается постоянной и на ней развивается активная сила мышцы - сначала происходит рост силы (фаза сокращения), а затем ее спад (фаза расслабления).

Изотонический режим состоит из нескольких фаз. Сначала мышца сокращается изометрически - вплоть до момента достижения величины активной силы, равной приложенному к ней добавочному грузу, называемому постнагрузкой. После этого мышца укорачивается, поддерживая силу, равную этому грузу. Затем наступает фаза изотонического расслабления, т.е. мышца растягивается под тем же грузом вплоть до момента возврата на исходную длину, где она завершает свое расслабление изометрически.

Пример развития активной силы мышцы в изометрическом и изотонических циклах сокращение-расслабления показан на рисунке 0.2.

В этих экспериментальных режимах также обнаружен целый ряд эффектов, указывающих на то, что текущие механические условия сокращения влияют на последующий его ход.

Одним из них является эффект короткой циклической деформации [10]. Этот эффект наблюдается, когда в ходе изометрического цикла мышца подвергается быстрому изменению длины (удлинению или укорочению) на несколько процентов, а затем через несколько миллисекунд ее возвращают на исходную длину. Оказывается, что после этого развитие изометрического напряжения на данной длине протекает иначе, чем в случае отсутствия деформации: происходит инактивация сокращения, т.е. после деформации уровень силы становится ниже, и цикл сокращение-расслабление завершается быстрее [21, 91]. Инактивация оказывается тем сильнее, чем позднее в ходе цикла наносится деформация. Особенно выражен этот эффект при нанесении деформаций в фазу расслабления. В главе 1 приводятся примеры циклических деформаций (рисунок 1.12).

К числу наиболее важных эффектов, демонстрирующих влияние механических условий на развитие цикла сокращение-расслабление, относится феномен грузозависимого расслабления f 10], пример которого показан на рисунке 0.2.

Время (мс)

Рис. 0.2. Развитие напряжения (F) в изометрическом (верхняя кривая) и четырех изотонических циклах сокращение-расслабление в женериментах на папиллярной мышце из правого желудочка крысы. Рисунок заимствован из работы Dobrunz & Вегтап [57].

Суть феномена грузозависимого расслабления, прежде всего, состоит в том, что изотонические циклы завершаются быстрее изометрического. Причем, чем меньше груз, тем больше различие между длительностью изометрического и соответствующего изотонического цикла. Более того, кривые, показанные на рисунке 0.2, иллюстрируют часто возникающую ситуацию, когда изотоническое расслабление под меньшим грузом завершается раньше, чем под большим.

Это связано с парадоксальным свойством изотонических циклов: чем меньше груз, тем с большей скоростью мышца растягивается под этим грузом в фазу расслабления.

Кроме кратковременных циклических деформаций и грузозависимости имеются и другие особенности сокращений сердечной мышцы, зависящие от механических условий: например, различные модификации эффекта циклических деформаций. Эти особенности будут продемонстрированы и обсуждены ниже (в частности, в главе 1).

Наиболее естественным объяснением перечисленных выше явлений является предположение о том, механические условия модулируют кальциевую активацию сократительных белков, влияя на сродство тропонинаС к кальцию, поскольку именно кальций-тропониновые комплексы (СаТпС) играют ключевую роль в регуляции механической активности сердечной и скелетной мышц [62, 140, 152]. Дело в том, что образование комплекса СаТпС приводит к конформации нити тропомиозина в пределах функциональной группы, состоящей из фрагментов актиновых нитей (по 7 мономеров в каждом), из тропомиозиновой нити, закрывающей центры прикрепления миозиновых головок на актине, и из тропонина, расположенного на тропомиозине (см. рисунок 0.3). А

Рис. 0.3 Схема взаимодействия регуляторных и сократительных белков поперечнополосатых мышц. Подробности - в тексте. Рисунок заимствован из работы Gordon и др. [81].

В результате конформации тропомиозина открываются центры связывания на актиновой нити, что создает условия для образования поперечных мостиков. Поперечный мостик проходит несколько стадий своего существования, связанных с утилизацией энергии гидролиза АТФ. Основными из них с точки зрения его механической функции являются [75, 95]:

- силогенерирующий поворот, являющийся источником активного мышечного напряжения и движения актиновых нитей отоносительно миозиновых (т.е. укорочения);

- последующее открепление мостика, т.е. отсоединение миозиновой головки от актина.

В ряде специальных экспериментов было выявлено, что сродство тропонина С к кальцию, в свою очередь, зависит от механических условий сокращения. Так, используя люминесцентные метки кальция, Allen & Kentish [29, 32] изучали кальциевые переходы в мышечном волокне, подвергаемом кратковременным циклическим деформациям. Было обнаружено, что деформации вызывают дополнительное свечение. Сопоставляя этот факт с инактивацией способности мышцы к развитию напряжения после деформации, естественно предположить, что деформация уменьшает сродство тропонина С к кальцию. В результате было предположено, что механические условия (текущее напряжение мышцы или ее текущая длина) могут влиять на константу связывания/распада комплексов СаТпС [31, 33, 116].

Однако возникает вопрос: как, в принципе, механические условия, в которых находится макроскопический объект (мышца), могут влиять на биохимические процессы, определяющие сродство тропонина к кальцию? Для ответа на этот вопрос следует обратиться к экспериментальным исследованиям [140, 41, 42, 53, 167], в которых изучались молекулярные механизмы регуляции функциональных групп A7TmTn (7 мономеров актина на тонкой нити + тропомиозин + тропонин). Например, изучались зависимости изометрического напряжения, развиваемого скинированным мышечным препаратом, от уровня постоянной концентрации кальция, с одной стороны, и от [ТпС] (при насыщающей концентрации кальция), с другой стороны [140]. Анализ полученных данных привел авторов к выводу о том, что одним из центральных механизмов регуляции функциональной группы является кооперативность. К такому же выводу приходят авторы и других работ [41, 42, 53, 167], хотя представление разных исследований о природе этой кооперативное™ не совпадают. Например, одни авторы предположили, что прикрепление поперечных мостиков к тонкой нити увеличивает сродство ТпС к Са2+ [167]. Другие считают, что прикрепление поперечных мостиков дополнительно сдвигает нить тропомиозина. Тем самым, дополнительное количество актиновых глобул становится доступным для головок миозина [41]. Выдвигалась также гипотеза о том, что одновременное связывание соседних молекул ТпС с кальцием увеличивает количество мономеров актина, дерепрессированных каждым из этих комплексов СаТпС [141]. В целом, механизмы кооперативности, предполагаемые разными авторами, делятся на две группы. Основная суть гипотетических механизмов из одной группы - это непосредственное усиление конформации тропомиозина и, следовательно, дерепрессии актина. Усиление является результатом либо прямого участия поперечных мостиков в дополнительном сдвиге тропомиозина, либо совместного действия соседних комплексов СаТпС, увеличивающего сдвиг тропомиозина по сравнению с суммарным эффектом локальных сдвигов, осуществляемых каждым из этих СаТпС по отдельности (т.е. без взаимодействия друг с другом).

Принципиально иные варианты механизмов кооперативности составляют вторую группу. Эти механизмы основываются на предположении о том, что кооперативность затрагивает кинетический процесс образования и распада самих комплексов СаТпС, влияя на сродство ТпС к Са2+.

Очень подробно концепцию кооперативности сформулировал Gordon в одной из своих работ [83]. Эта концепция изложена им на примере активации скелетной мышцы, в которой одна молекула ТпС может связываться с двумя ионами кальция. Сердечный ТпС имеет только один центр связывания кальция и поэтому может связываться только с одним ионом Са2+. Однако это отличие не изменяет самой сути предложенной концепции. В кратком изложении та часть этой концепции, которая касается «кинетической» кооперативности, такова. Имеются четыре механизма кооперативности, влияющие на кинетику связывания комплексов СаТпС и последующее образование поперечных мостиков. Во-первых, связывание Са2+ с одним центром на ТпС увеличивает либо сродство к кальцию либо второго центра на этой же молекуле ТпС (в случае сердечной мышцы этот вариант не реализуется), либо молекул ТпС из ближайшей окрестности вдоль тонкой нити (Gordon обозначает второй вариант аббревиатурой п-п, т.е. "nearest neighbour") Во-вторых, сильное связывание поперечных мостиков в одной группе А7ТшТп увеличивает сродство тропонина С к Са2+ в этой группе или в п-п группах. Gordon подчеркивает, что, хотя эта кооперативность невелика в скелетно-мышечных волокнах, она может быть очень важна в случае сердечной мышцы.

В главе 1 будут изложены результаты экспериментальной работы [53], авторы которой (Grabarek с соавторами) непосредственно в биохимических экспериментах установили реальное наличие кооперативной зависимости сродства ТпС к кальцию как от концентрации прикрепленных головок миозина, так и от самой [СаТпС]. Именно эти два типа кооперативности будут играть ключевую роль в наших исследованиях, изложенных в диссертации.

Итак, количество поперечных мостиков вблизи молекулы ТпС влияет на ее сродство к Са2+. С другой стороны известно, что вследствие постоянства объема кардиомиоцита при укорочении его поперечный диаметр растет, а нити актина и миозина несколько удаляются друг от друга. С учетом того, что позиции активных центров на глобулах актина в пределах функциональной группы соответствует расположению тропомиозиновой нити (см. рисунок 0.3), ясно, что конкретная свободная миозиновая головка имеет возможность связаться не более чем с двумя глобулами из функциональной группы. Понятно также, что по мере удаления нитей актина и миозина друга от друга падает вероятность того, что эти подходящим образом ориентированные глобулы окажутся в пределах досягаемости миозиновой головки. Следовательно, вероятность прикрепления поперечных мостиков, а значит и их количество вблизи любой конкретной молекулы ТпС должны зависеть от текущей длины мышцы.

Принимая во внимание этот эффект и кооперативную зависимость сродства ТпС к I

Са" от числа мостиков вблизи ТпС, можно сделать вывод о наличии некоторого влияния механических условий (в частности, длины) на кинетику связывания и распада комплексов СаТпС в кардиомиоцитах. Однако, каково именно это влияние? Может ли оно объяснить перечисленные выше феномены инактивации мышцы как в изотонических условиях по сравнению с изометрией, так и при циклических деформациях? Ответам на эти вопросы посвящены исследования на математической модели, излагаемые в первой главе данной работы.

Выше мы привели исключительно умозрительное обоснование того, что зависимость вероятности прикрепления поперечных мостиков от длины саркомера влияет на кальциевую активацию тонкой нити. Однако имеются и реальные экспериментальные подтверждения этого влияния. Был проведен ряд исследований, в которых уменьшение толщины мышечных волокон и сближение в них миофиламентов прямо индуцировалось с помощью осмотического сжатия [134, 142, 164]. При регистрации кривой «рСа-сила» до и после этого воздействия было обнаружено, что ее кальциевая чувствительность после сжатии существенно возрастала. Авторы этих исследований интерпретировали свои наблюдения следующим образом: в результате сжатия возросла вероятность прикрепления поперечных мостиков, а это и вызвало рост кальциевой чувствительности посредством механизмов кооперативности.

В литературе вплоть до настоящего времени активно обсуждается совместная роль кооперативности и длинозависимости прикрепления поперечных мостиков в регуляции сокращений сердечных и скелетных мышц. В том числе опубликованы результаты экспериментов, которые, по мнению их авторов, противоречат представлению о существенном вкладе этих феноменов в регуляцию [114, 115]. Однако их эксперименты допускают и совсем иные трактовки, отличающиеся от авторских. Поэтому представление о значительном совместном вкладе кооперативное™ и длинозависимости прикрепления поперечных мостиков в кальциевую активацию кардиомиоцитов по-прежнему преобладает [77, 139].

Как уже говорилось выше, одним из основных феноменов механо-химического разобщения, указывающих на существенный вклад механических условий сокращения в активацию миокарда, является грузозависимое расслабление. Однако грузозависимость расслабления наблюдается не у всех животных и не во всех состояниях сердечной мышцы. Например, этот феномен слабо выражен у холоднокровных. Кроме того, грузозависимость исчезает при гипертрофии миокарда [126]. В этом случае при любой постнагрузке кривая силы в завершающую изометрическую фазу расслабления, наступаю1цую после возврата мышцы на исходную длину, практически ложится на кривую развития силы во времени, соответствующую полному изометрическому циклу сокращение-расслабление. Как исследователи впервые обнаружившие исчезновение грузозависимости при гипертрофии [126], так и другие авторы [35, 43, 44, 45] высказали предположение, что это исчезновение связано с замедлением кальциевого насоса саркоплазматического ретикулюма в гипертрофированном миокарде. Эта гипотеза будет проанализирована во второй главе диссертации.

Все вышеизложенное свидетельствует о том, что в мышце существуют обратные связи между механическими условиями сокращения и его кальциевой активацией. Более того, установлено, что механические условия влияют также и на электрическую активность кардиомиоцитов. Так Gordon и Ridgeway еще в 1976 году обнаружили длино-зависимые изменеиия мембранного потенциала в скелетной мышце [82]. В 1978 году Allen and Blinks показали, что механо-электрические эффекты, наблюдаемые в сердечной мышце, наиболее сильно выражены во время нисходящей ветви кальциевого перехода - т.е. во временном интервале, близком к моменту пика мышечной силы [30]. Еще в целом ряде экспериментальных работ, проводимых в течение многих лет на препаратах миокарда и посвященных электромеханическому сопряжению в сердечной мышце, были представлены доказательства влияния механических условий сокращения на электрическую функцию. Так было показано, что увеличение начальной длины мышцы укорачивает длительность потенциала действия (ПД) в ходе изометрического сокращения, а в постнагрузочных сокращениях длительность ПД растет с уменьшением постнагрузки [74, 117, 118]. Аналогичные результаты были получены в экспериментах на изолированных кардиомиоцитах [113, 176].

На целом сердце также было показано, что увеличение конечно-систолического объема левого желудочка ведет к увеличению длительности ПД [38, 67, 76, 144, 145, 169].

A priori возможны различные объяснения обнаруженных механо-электрических обратных связей. Например, можно было бы предположить, что они являются следствием ионных токов через механо-чувствительные каналы. С другой стороны в экспериментах, в которых в ходе сокращений осуществлялась одновременная регистрация свободного внутриклеточного кальция и ПД, было установлено, что все изменения длительности ПД в ответ на изменяющиеся механические условия (активное укорочение, деформации, изменения нагрузок) всегда происходят одновременно с трансформацией формы и длительности кальциевого перехода [30, 118, 176,]. Эта согласованность дает основание полагать, что влияние механических условий на процессы возбуждения клеток и их электрической активности происходит опосредованно - через механические модуляции кинетики внутриклеточного кальция.

В столь сложных и многоуровневых системах, как миокард, трудно определить роль тех или иных конкретных механизмов, ответственных за наблюдаемые механо-кальциевые и механо-электрические обратные связи. Для этого необходимо использовать математическое моделирование. Например, на уровне модели кардиомиоцита предположение о вкладе кинетики внутриклеточного кальция в механо-электрические обратные связи проверялось в работе Nickerson с соавторами [146]. Однако список подобных работ весьма невелик. Возможно, это связано с нехваткой моделей, в которых одновременно учитывались бы реальные внутриклеточные механизмы формирования ПД, регуляции сократительных белков кальцием, циклирования поперечных мостиков и подробно описывалось бы механическое поведение кардиомицита/мышцы.

В то же время существует немало работ, посвященных моделированию отдельных подсистем, отвечающих за сократительную активность кардиомиоцита. Например, кроме нашей модели активной механики кардиомиоцитов, учитывающей кальциевую регуляцию сокращений, которая подробно излагается в диссертации, опубликован целый ряд статей на ту же тему. Например, следует упомянуть модели, которые разрабатывали Landesberg [63], Rice [162, 163] и Hunter [92] с соавторами. Во всех этих моделях, так или иначе, учтены механо-кальциевые обратные связи и/или механизмы кооперативности. Правда, на наш взгляд, конкретные подходы, к описанию этих процессов, осуществленные в упоминаемых моделях не всегда достаточно корректны и последовательны. Кроме того, эти модели опубликованы позднее нашей статьи в Circulation Research (1991 г.), определяющей основные постулаты нашей модели (в т.ч., механизмы кооперативности и механо-кальциевые обратные связи).

Первая глава диссертации посвящена описанию этой математической модели активного механического поведения миокарда, основанной на описании кальциевой активации кардиомиоцитов и учитывающей обратные механо-кальциевые связи. А во второй и третьей главах изложено дальнейшее развитие этой модели. В первых трех главах также показаны примеры решения конкретных проблем из области физиологии сердечной мышцы с помощью этой модели.

Модели ионных токов, отвечающих за формирование ПД в клетке, тоже активно разрабатываются многими исследователями. Наряду с моделями Denis Noble [58, 112] наиболее популярными являются модель Luo & Rudy [125] и ее модификации [71, 124, 180, 181, 185], а также модель, разработанная группой Winslow [103].

В последние годы появился еще целый ряд хорошо верифицированных моделей, очень хорошо описывающих специфику формирования ПД и кинетику кальция в кардиомиоцитах животных разных видов (например, модели мыши и крысы [23, 57], кролика [25], человека [26].

Известен ряд континуальных математических моделей макро-уровня, описывающих либо процессы механического взаимодействия [24, 93, 94], либо проведение электрического возбуждения [28, 109, 110, 154, 155] в больших сегментах сердечной ткани. Более того, опубликованы континуальные модели электромеханического сопряжения в многоклеточном сегменте [146]. Однако во всех этих макроскопических моделях описание механизмов активации кардиомиоцитов, составляющих мышечную ткань, предельно упрощены; а внутриклеточные механизмы, отвечающие за обратные связи между электрической и механической активностью не рассматриваются вообще.

В четвертой главе диссертации описана разработанная нами в сотрудничестве коллегами из Оксфордского Университета модель электромеханического сопряжения в кардиомиоцитах, основанная на модели механической активности, изложенной в первых трех главах, и на модели электрической активности 'Noble 98' [99], адаптированной нами. В той же четвертой главе эта объединенная модель используется для анализа одной из актуальных проблем патофизиологии сердца, связанной с нарушениями нормального сердечного ритма при кальциевой перегрузке кардиомиоцитов, и для поиска теоретически оправданных методов коррекции этой патологии.

На протяжении всей работы результаты моделировании сопоставляются либо с данными реальных физиологических экспериментов, выполненных коллегами автора специально для описываемых здесь исследований, либо с результатами экспериментов, доступными из литературных источников. Говоря о моделируемых мышцах/кардиомиоцитах, мы будем называть их виртуальными, чтобы в соответствующем контексте различать их с реальными.

Электромеханическое поведение сердечной мышцы в наиболее полной версии модели, выносимой на защиту, описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В связи с большим количеством уравнений в системе (а именно, 25 дифференциальных уравнений) возможности ее качественного анализа крайне ограничены. Поэтому основным методом исследования является численное интегрирование. С учетом жесткости системы, описывающей электромеханическую активность сердечной мышцы, были выбраны методы ее численного интегрирования: использовался либо явно-неявный метод, учитывающий специфическую структуру уравнений модели, либо метод Эйлера с шагом интегрирования, обеспечивающим достаточную точность расчетов.

Большая размерность системы не позволяет провести математически строгую идентификацию параметров. Однако основные зависимости, заложенные в эти уравнения, были установлены в экспериментальных работах на мышечных белках или на пассивной миакардиальной ткани. В этих исследованиях были определены диапазоны возможных значений соответствующих параметров. Корректность выбора параметров из этих диапазонов значений в рамках интегративной модели была проверена нами в многочисленных компьютерных экспериментах, имитирующих активное поведение миокарда.

Как уже отмечалось выше, влияние механических условий на активацию кардиомиоцитов - очень сложное явление, затрагивающее целую цепь прямых и обратных связей между различными внутриклеточными событиями. Особенно сложным образом это влияние проявляется в условиях механической неоднородности миокарда.

Термином «Механическая неоднородность» обозначается различие основных механических характеристик соседних и/или удаленных друг от друга механически взаимодействующих друг с другом сегментов сердечной мышцы. Этим сегменты могут быть малы по своим размерам (например, отдельные кардиомиоциты или даже саркомеры) или наоборот велики, включая большие зоны стенок камер сердца (например, ишемический очаг). Определенным образом организованная неоднородность - свойство нормального сердца [2, 27]. При большинстве сердечных патологий характерная для нормы структура неоднородности разрушается [27], а дисперсия механических свойств в стенке желудочка растет [8]. Механическая неоднородность существует также на молекулярном уровне, проявляясь в том, что соотношение разных изоформ миозина (V] и V3) в кардиомиоцитах изменяется в зависимости от расположения этих кардиомиоцитов в стенке желудочка: в норме соотношение V1/V3 постепенно растет в направлении от эндо- к эпикардиальным слоям [89]. Известно, что конкретное соотношение V1/V3 отражается на механических свойствах кардиомиоцитов: чем выше доля Vi, тем быстрее циклирование поперечных мостиков, образуемых этой изоформой, и быстрее укорочение кардиомиоцитов [48, 143, 151]. Влияние изоформ миозина (VI, V3) на наклон кривых «рСа-сила» и «рСа-скорость» (иными словами, на коэффициенты кооперативное™ Хилла связей «рСа-сила» и «рСа-скорость») исследовалось на молекулярном уровне - в том числе, в работах с нашим участием [11, 18] - с помощью метода искусственных подвижных систем с регулируемой тонкой нитью. Было показано, что этот наклон изменяется в зависимости и от концентрации миозина в системе, и от типа изомиозина. Эти результаты свидетельствуют о возможном различии кооперативного вклада, вносимого изоформами миозина VI и V3 в кальциевую регуляцию тонких нитей и, следовательно, в механическую активность. Все это вместе взятое - с учетом различия в послойном распределении V1/V3 - означает, что молекулярная неоднородность в свою очередь проявляется в механической неоднородности на макроуровне, т.е. в различном механическом поведении сегментов миокарда желудочка.

Итак, в неоднородной миокардиальной системе механические условия сокращения каждой клетки непосредственно зависят от механических свойств взаимодействующих с ним партнеров (других кардиомиоцитов). Через цепь обратных механо-кальциевых и механо-электрических связей эти условия влияют на ход развития напряжения и/или укорочение данной клетки. А это обстоятельство, в свою очередь, изменяет механические условия сокращения для клеток-партнеров. Теперь уже в них цепь обратных связей продуцирует изменение механического поведения, а это вновь изменяет механические условия (поля напряжений и деформаций), которые клетки создают друг для друга. В таком непрерывном процессе взаимодействия динамически изменяются механические условия сокращения каждого элемента системы в зависимости от динамически изменяющихся свойств всех остальных элементов. Этот процесс непрерывной подстройки элементов друг под друга крайне усложняет возможность предсказания поведения как любого из них, так и всей системы в целом. Поэтому для исследования феномена механической неоднородности необходимы упрощенные экспериментальные и теоретические модели, которые позволяют выявить и проанализировать наиболее существенные свойства механического взаимодействия элементов неоднородной системы.

С этой целью в нашей группе под руководством члена-корреспондента РАН B.C. Мархасина разработан и активно используется метод мышечных дуплетов [8, 9, 27, 65, 96, 127, 132, 135, 136, 137]. Дуплет представляет собой пару последовательно или параллельно соединенных и механически взаимодействующих друг с другом мышц или кардиомиоцитов. Реализовано 6 конфигураций дуплета: последовательный и параллельный натуральный дуплет (т.е. 2 живые мышцы, соединенные либо последовательно, либо параллельно); последовательный и параллельный виртуальный дуплет (т.е. пара виртуальных мышц или виртуальных кардиомиоцитов, соединенных последовательно либо параллельно); последовательный и параллельный гибридные дуплеты, в которых живая мышца в режиме реального времени взаимодействует с виртуальным партнером (в последнем случае живая мышца прикреплена к рычагам установки, а виртуальный объект, так же как и вариант соединения элементов последовательный или параллельный - имитируется управляющим компьютером [96]). В различных версиях виртуальных и гибридных дуплетов виртуальные элементы были реализованы с помощью разных версий математической модели, излагаемой в данной работе, а именно, с помощью моделей активного механического поведения миокарда, описанных в первой и второй главе диссертации, и с помощью двух версий модели электромеханического сопряжения Екатеринбург-Оксфорд (Е0-2003 и Е0-2006), описанных в четвертой главе.

Кроме того, в четвертой главе одна из конфигураций мышечного дуплета — виртуальный последовательный дуплет, построенный на основе модели Е0-2006 — используется для теоретического исследования вклада механических условий в аритмогенез при перегрузке кардиомиоцитов кальцием.

Завершая эту вводную главу, следует обратить внимание на один методологический принцип, которого мы стремились придерживаться при разработке математической модели механической активности (а позднее электро-мехапической) сердечной мышцы. Он состоит в том, что модель дорабатывается и усложняется только по мере необходимости, то есть тогда и только тогда, когда она используется для исследования нового круга явлений, которые не удавалось имитировать и объяснить в рамках уже имевшейся системы уравнений. Каждая следующая версия модели строится не путем отрицания отдельных элементов предыдущей версии, а путем расширения модели: в новую версию включается описание функционирования новых структур в дополнение к тем, что уже были описаны прежде. Причем, упомянутый выше принцип минимальной достаточности каждого следующего расширения позволяет не просто имитировать в модели новые явления, но и понять ключевую роль дополнительно включенных в модель процессов в реализации этих явлений.

В каждой новой версии модели сохранялись не только сами принципиальные блоки из предшествующих версий, но, как правило, и прежние математические описания этих блоков. В исключительных случаях, некоторые упрощенные формулы заменялись на более точные математические формулировки того же процесса (см., например, уточненное описание кинетики прикрепления-открепления поперечных мостиков в главе 3 и новые формулы, задающие стационарные связи «сила-скорость» и «жесткость-скорость» мышцы при постоянной активации в зоне плато перекрытия толстых и тонких нитей, в той же главе).

Таким образом, разработанное нами семейство моделей по мере своего развития постепенно разворачивается в математическую теорию сокращения сердечной мышцы. Разумеется, пока нельзя утверждать, что такая теория уже построена. Представленная работа - этап на этом пути.

Благодарности. Автор искренне благодарен своему научному консультанту члену-корреспонденту РАН B.C. Мархасину; коллегам: О.Э. Соловьевой, JI.B. Никитиной, Ю.Л. Проценко, П.В. Коновалову и аспирантке Т.Б. Сульман за совместную работу по теме диссертации, а также выражает признательность за плодотворное сотрудничество П. Колю (Peter Kohl) из Оксфордского Университета (Oxford University, UK) и группе исследователей из Политехнической школы (Universite' Paris Sud 11, Le Kremlin-Bice'tre, France): Иву Лекарпентье (Yves Lecarpentier), Дени Шемла (Denis Chemla) и Катрин Kopo (Katherine Coirault).

Необходимо отдать долг светлой памяти В.Я. Изакову, который принимал активное участие в этом исследовании на его ранних этапах.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Кацнельсон, Леонид Борисович

ВЫВОДЫ

2. В модели найден единый механизм, обеспечивающий влияние механических условий сокращения на ход кальциевой активации кардиомиоцитов. Установлено, что в основе этого влияния лежат: (1) кооперативность регуляторных и сократительных белков и (2) зависимость вероятности образования поперечных мостиков от текущей длины саркомера.

3. В рамках модели показано, что наблюдаемое при выраженной гипертрофии миокарда ослабление грузозависимости вплоть до полного ее исчезновения вызывается замедлением поглощения кальция в саркоплазматический ретикулюм (CP) в связи с усилением ингибирования кальциевой АТФ-азы СР.

4. В целом, влияние скорости кальциевого насоса CP на грузозависимость немонотонно. А именно, грузозависимость уменьшается как в результате замедления насоса, вызванного усилением его ингибирования, так и в результате его ускорения вследствие увеличения скорости переноса Са2+ молекулами кальциевой АТФ-азы СР.

5. Вязкость мышечной ткани влияет на активное механическое поведение миокарда. В частности, вязкость концевых участков препаратов сердечной мышцы является причиной рассогласования между временным ходом роста изометрического напряжения и ходом укорочения саркомеров. Вязкость внутренних участков препарата заметно модулирует фазу расслабления, оказывая влияние на скоростные характеристики этого процесса.

6. При объединении модели механической активности с моделью электрической активности 'Noble-98', был получен контур механо-электрической обратной связи, возникающий в результате сопряжения натрий-кальциевого обменного тока в кардиомиоцитах и кооперативного воздействия поперечных мостиков на сродство тропонина С к кальцию.

7. Модель предсказывает, что эта обратная связь может играть роль триггера при возникновении острой сердечной недостаточности в условиях кальциевой перегрузки кардиомиоцитов. В рамках модели намечены пути коррекции этой патологии. Наиболее удачный результат коррекции наблюдался при имитации действия /?-блокаторов в модели.

Заключение

В диссертации представлена математическая модель электромеханической активности миокарда. Модель состоит из трех основных блоков: механического блока, блока кальциевой кинетики и кальциевой регуляции сократительной активности и электрического блока. Все блоки модели представлены обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Связи между этими тремя блоками лежат в основе всего спектра явлений механической активности кардиомиоцитов. Как было показано в работе, главным звеном, позволяющим понять большинство явлений из области биомеханики активного миокарда, являются обратные связи между механическим блоком и блоками кальциевой и электрической активации - иными словами - связи между механическими характеристиками мышцы и ее активностью. Именно на этих связях было сфокусировано исследование.

В публикациях двух последних десятилетий представлены различные модели механической активности миокарда с учетом его кальциевой активации [63, 92, 162, 163]. Имеется также ряд моделей, описывающих электрическую активность кардиомиоцита [22, 26, 53, 61, 71, 90, 99, 124, 183, 185]. Однако, наша модель, по-видимому, первая, в которой подробное описание механического поведения сердечной мышцы и его кальциевой регуляции сопряжено с описанием электрической активности кардиомиоцитов.

Механический и кальциевый блоки модели являются нашей оригинальной разработкой.

Электрический блок, представлен разработанной Денисом Ноблом моделью ионных токов и развития потенциала действия в кардиомиците, а именно, версией этой модели, опубликованной в 1998 году (Noble'98) [99]. Описание всех токов базируется на уравнении Ходжкина-Хаксли. Блок кальциевой активации сопряжен с электрическим блоком по общему уравнению, задающему кинетику ионов кальция в цитозоле.

Механический блок базируется на реологической схеме, включающей активный контрактильный элемент, ассоциируемый с саркомером, и нелинейные эластические элементы, отражающие упругие свойства миокардиальной ткани. Кроме того, в реологическую схему были введены вязкие элементы, которые в ответ на изменение их длины развивают силу, пропорциональную скорости их удлинения/укорочения и направленную в сторону, противоположную деформации соответствующего элемента. Роль вязкости в активном поведении миокарда до сих пор не была исследована, хотя ее наличие - экспериментально установленный факт. При деформации пассивной мышцы вязкость проявляется как сила трения, которая зависит от скорости деформации препарата или его частей. Наличие вязкости нами было впервые учтено в подробной модели активного механического поведения сердечной мышцы.

Главным элементом блока кальциевой регуляции является уравнение, описывающее кинетику образования и распада комплексов СаТпС вдоль актиновой нити, которые открывают на ней места для прикрепления поперечных мостиков. Механизмы кооперативности - центральное звено этого уравнения и модели в целом. Из экспериментальных работ известен целый ряд таких механизмов, связывающих функцию регуляторных и сократительных белков. Два из них, как показала модель, играют ключевую роль в обратных связях между механическими условиями сокращения миокарда и его активацией.

Кооперативность первого типа: распад комплекса СаТпС тем медленней, чем больше поперечных мостиков прикрепилось к нити актина вблизи данного комплекса.

Кооперативность второго типа: распад комплекса СаТпС тем медленней, чем больше аналогичных комплексов образовалось вдоль нити актина вблизи данного.

Наличие этих двух типов кооперативности - экспериментально установленный факт. Однако эти механизмы нами были впервые включены в модель активного механического поведения миокарда и использованы для анализа вклада механических условий в развитие кальциевой активации.

Другая ключевая особенность блока кальциевой регуляции в модели относится к описанию кальциевого насоса СР. Этот насос играет значительную роль во внутриклеточном кальциевом метаболизме и в регуляции мышечной активности. Он обеспечивает основной путь выведения Са2+ из цитозоля и является одним из главных детерминантов фазы расслабления миокарда. Перенос ионов кальция в CP против градиента концентрации осуществляется в ходе гидролиза АТФ молекулами кальциевой АТФ-азы, встроенной в мембрану ретикулюма.

Насос в целом описывается в модели формулой Михаелиса-Ментен, определяющей гиперболическую зависимость его скорости от концентрации цитозольного кальция. Однако он имеет одну особенность: множитель, который задает ингибировапие кальциевой АТФ-азы ионами кальция изнутри CP (см. главу 2). Этот эффект ингибирования был обнаружен Ikemoto еще в 1975, тем не менее роль ингибирования в регуляции сокращений оставалась неизученной. Учет ингибирования насоса CP в модели позволил проанализировать его роль в регуляции сократительного цикла сердечной мышцы.

Построенная модель успешно имитирует и позволяет объяснить широкий круг явлений из области биомеханики активного миокарда.

Прежде всего, это относится к экспериментальным эффектам, демонстрирующим влияние механических условий сокращений сердечной мышцы на ее кальциевую активацию. Два наиболее ярких из них - это эффекты циклических деформаций и грузозависимого расслабления. В диссертации продемонстрирована ключевая роль механизмов кооперативности во всех этих эффектах.

Существует ряд важных особых ситуаций, в которых феномен грузозависимого расслабления миокарда становится менее выражен, чем в норме, или даже полностью исчезает. Так в исследованиях, проведенных группой профессора Lecarpentier в 1987 г., было установлено, что грузозависимость полностью отсутствует при сильной гипертрофии сердечной мышцы [126]. В 1994 году Dobrunz и Berman показали, что повышение температуры приводит к ослаблению грузозависимости вплоть до почти полного ее исчезновения [59].

В диссертации воспроизводятся эти эффекты и установлена ключевая роль кальциевого насоса CP в ослаблении и исчезновении грузозависимости. В частности, показано, что связь между скоростью поглощения кальция насосом и выраженностью эффекта грузозависимости немонотонна и существенно зависит от того, какой именно механизм лежит в основе изменения активности насоса. А именно, ослабление грузозависимости может продуцироваться двумя противоположными отклонениями от нормальной скорости насоса:

- замедлением насоса, вызванным усилением его ингибирования;

- ускорением насоса вследствие увеличения скорости транслокации Са2+ иеингибированными молекулами кальциевой АТФ-азы СР.

Первый вариант изменения скорости насоса вызывает исчезновение грузозависимости в гипертрофированном миокарде, а второй предопределяет влияние температуры на грузозависимость.

Еще один важный вопрос биомеханики миокарда: какова роль пассивных механических свойств миокардиальной ткани в активном механическом поведении сердечной мышцы? Основными механическими свойствами ткани, т.е. пассивной мышцы, являются ее упругость и вязкость. Вклад упругости как в развитие активного напряжения мышцы, так и во временной ход ее активного укорочения/удлинения хорошо понят. Однако этого нельзя сказать о мышечной вязкости. Ее вклад в механическую активность до сих пор оставался под вопросом. Более того, достаточно распространено представление, что вязкость миокарда не сказывается на его активном поведении. В то же время имеются экспериментальные данные, которые довольно трудно объяснить без учета мышечной вязкости. А именно, в изометрическом цикле одновременно с развитием напряжения мышечного препарата методом лазерной дифракции регистрировался ход изменения длин его саркомеров. Было обнаружено, что как сокращение, так и расслабление, оцениваемые по развитию напряжения, оказываются заметно короче, чем соответствующие фазы укорочения и удлинения саркомеров (см. главу 3).

В рамках модели мы показали, что именно вязкие элементы вызывают это рассогласование фаз роста и спада изометрического напряжения с фазами укорочения и растяжения контрактильного элемента, который отображает поведение саркомеров в кардирмиоцитах.

Кроме того, для анализа вклада вязкости в инотропные и лузитропные характеристики мышцы (т.е. в характеристики сокращения и расслабления), мы опирались на широко используемые в мышечной биомеханике соотношения: изотонические связи 'длина-сила' и 'сила-скорость' сокращения, а также 'сила-скорость расслабления'. Этот анализ показал, что вязкость практически не влияет на сокращение, но вносит ощутимый вклад в расслабление (см. главу 3).

Модель также предсказывает, что повышенная вязкость может заметно модулировать не только механическую, но и электрическую активность миокарда, выступая в определенных ситуациях в качестве аритмогенного фактора (см. главу 4).

Впрочем, как показывает наше исследование, влияние вязкости на аритмогенез - это лишь один из целого спектра возможных воздействий механических условий на нарушения ритма в процессе сокращений миокарда. В работе систематически исследованы подобные нарушения, связанные с перегрузкой кардиомиоцитов кальцием. В частности, рассмотрен распространенный при сердечных заболеваниях случай, когда такая перегрузка вызвана уменьшением скорости натрий-калиевого насоса. В численных экспериментах получена картина, очень напоминающая развитие острой сердечной недостаточности при кальциевой перегрузке. Возникает резкий спад силы, затем происходят ее резкие хаотические скачки. Постепенно сокращения стабилизируются, однако сила в этом стационарном состоянии имеет альтернирующий вид, причем даже амплитуды больших сокращений оказываются значительно ниже нормы (см. главу 4).

Модель корректно воспроизводит известные механизмы накопления кальция в кардиомиоцитах, которое вызывает аритмию в условиях уменьшенной скорости натрий-калиевого насоса. Схема этих механизмов в общих чертах такова:

Ослабленная Медленный Nn^-Ca1* Накопление спг+

Na+-K+ АТФаза рост обмен в цитозоле

Накопление

Саг+ в CP

Перегрузка Сз2+ терминальных цистерн CP

Спонтанное высвобождение Ся1+ из CP между стимулами

Na+-Ca3+ обмен

Спонтанный ПД

Спонтанное сокращение

Однако в рамках этой схемы отсутствует ответ на принципиально важный вопрос: каким образом без электрического стимула инициируется спонтанное высвобождение кальция из перегруженных терминальных цистерн CP? Модель позволила найти ответ на этот вопрос. Оказалось, что при умеренной перегрузке кардиомиоцитов кальцием в основе механизма спонтанного высвобождения Ca2h из CP, инициирующего экстрасистолу, лежит первый тип кооперативности. Кроме того, в работе установлено, что механические условия (уменьшение длины или нагрузки), благодаря той же кооперативности, увеличивают риск аритмии при исследуемой патологии.

В рамках модели удалось выделить 3 характерных диапазона снижения активности Na+-K+ насоса, оцениваемых по степени отклонения от нормы константы Михаелиса Km,Na этого насоса. Выделенные диапазоны соответствуют различному вкладу механических факторов в аритмогенез: при почти полном ингибировании насоса {Km,Na> 455% нормы) нарушения ритма возникают в виртуальном кардиомиоците независимо от механико-кальциевой обратной связи; при 165% < Km>Na < 455% нормы аритмия возникает безусловно, но только благодаря вкладу кооперативности первого типа в качестве триггера экстрасистол; при 153% < Кт^а < 165% экстрасистолы возникают только в случае изменения механических условий (уменьшения длины или нагрузки).

Наконец, в модели были изучены подходы к восстановлению электро-механической функции кардиомиоцитов при подавленном натрий-калиевом насосе (также см. главу 4). Во-первых, оказалось, что восстановление нормального насоса во время моделируемого приступа острой сердечной недостаточности не всегда обеспечивало положительный эффект. Например, при попытке такого «лечения» в фазу альтернанса результат чередовался: если момент восстановления насоса оказывался после меньшего сокращения, то в результате этого воздействия возникала устойчивая экстрасистолия. Если восстановление происходило после большего сокращения, то нормальная электромеханическая активность виртуального кардиомиоцита быстро и полностью восстанавливалась. Для получения устойчивого результата такого рода «лечения» оказалось необходимым несколько ускорить насос по отношению к изначальной норме.

Поскольку в настоящее время отсутствуют фармакологические вещества, позволяющие специфически ускорять натрий-калиевую АТФ-азу, в модели рассмотрены альтернативные воздействия, ведущие к восстановлению электрической и механической функции в кардиомиоцитах с замедленным натрий-калиевым насосом. Наилучший эффект был получен при одновременном замедлении медленного кальциевого тока в клетку и кальциевого насоса CP приблизительно на 10%. Важно, что именно такой эффект возникает при действии p-блокаторов на кардиомиоциты при их перегрузке кальцием.

В связи с этой частью работы следует подчеркнуть, что, благодаря интенсивному развитию математических моделей, описывающих, различные функции сердца, появилась возможность теоретического поиска и предварительного отбора методов лечения сердечных заболеваний. В последние годы опубликовано несколько статей [138, 149, 166], в которых намечены такие теоретические подходы при различных патологиях сердца. Полученные нами результаты находятся в русле этого важного направления исследований.

Итак, построена ннтегративная модель электро-механической активности миокарда, основанная на описании ряда внутриклеточных процессов, связанных с активацией мышцы. В модели учитываются также пассивные механические свойства миокардиальной ткани. Работа с этой моделью как с объектом исследования позволила успешно использовать ее для решения важных задач физиологии сердца, связанных с влиянием механических условий сокращения миокарда на его электрическую и кальциевую активацию. Кроме того, модель оказалась полезной для изучения патологии, присущей реальному миокарду, а также для поиска и оценки подходов к восстановлению нормальной электромеханической функции кардиомиоцитов при этой патологии.

Библиография Диссертация по биологии, доктора физико-математических наук, Кацнельсон, Леонид Борисович, Москва

1. Бендолл Дж. Мышцы, молекулы, и движение. Очерк по мышечному сокращению: пер. с англ. /

2. Дж. Бендолл. М.: Мир, 1970. - 256 с.

3. Биомеханика неоднородного миокарда / B.C. Мархасин, Л.Б. Кацнельсон, J1.B. Никитина, J1.IO.

4. Проценко, С.М. Руткевич, О.Э. Соловьева, Г.П. Ясников. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. -254 с.

5. Бляхман Ф.А. Метод задания физиологического режима механического нагружения наизолированных полосках миокарда (имитация сердечного цикла) / Ф.А. Бляхман, В.Я. Изаков, А.Д. Мих // Физиол. журн. СССР, 1984. -Т.70.-С. 1582-1584.

6. Бэгшоу К. Мышечное сокращение: пер. с англ. / К. Бэгшоу М.: Мир, 1985. - 128 с.

7. Введение в биомеханику пассивного миокарда / В.Я. Изаков, B.C. Мархасин, Г.П. Ясников, B.C.

8. Белоусов, IO.J1. Проценко Москва: Наука, 2000. -208 с.

9. Викулова Н.А. Деформация как аритмогенный фактор. Предсказания модели / Н.А.Викулова, B.C.

10. Мархасин, О.Э.Соловьева // Рос. физиол. журн., 2004. Т. 90, № 8(1). - С. 426-^127.

11. Викулова Н.А. Математическая модель сопряжения электрических и механических явлений вклетках сердечной мышцы: дисс. . канд. физ.-мат. наук / Викулова Наталья Алексеевна. -Москва, 2005.- 175 с.

12. Вклад сегментарной кинетики левого желудочка в регуляцию насосной и сократительнойфункции сердца / B.C. Мархасин, А.А. Гласман, В.В. Честухин, С.И. Гольдберг, Л.Б. Кацнельсон, А.О. Маханек // Рос. физиол. журн., 1994. Т. 18, №4. - С. 72—79.

13. Влияние неоднородности сердечной мышцы на ее механическую функцию / B.C. Мархасин, Х.М.

14. Нафиков, В.Я. Изаков, Ф.А. Бляхман//Физиол. жури. СССР, 1990. Т. 36, №3. - С. 76—80.

15. Изаков В.Я. Биомеханика сердечной мышцы / В.Я. Изаков, Г.П. Иткин, B.C. Мархасин. М.:1. Наука, 1981.-326 с.

16. Исследование взаимодействия сократительных и регуляторных белков миокарда кролика методом искусственных подвижных систем / Л.В. Никитина, Г.В. Копылова, Д.В. Щепкин, Л.Б. Кацнельсон // Биохимия, 2008. Т. 73, №2. - с. 219-227.

17. Кацнельсон Л.Б. Математическое моделирование активации и деактивации механического цикла сокращение-расслабление в однородном и неоднородном миокарде: дисс. . канд. физ.-мат. наук / Кацнельсон Леонид Борисович. Пущино, 1994. - 153 с.

18. Мархасин B.C. Физиологические основы нарушения сократительной функции миокарда / B.C.

19. Мархасин, В.Я. Изаков, В.И. Шумаков. Спб.: Наука, 1994. - 245 с.

20. Математическая модель обобщенного кальциевого буфера в клетках сердечной мышцы / О.Э.

21. Соловьева, B.C. Мархасин, Т. Романченко, Л.Б. Кацнельсон // Биофизика, 1999. Т. 44, №1. с. 91—101.

22. Математическое моделирование в физиологии и патофизиологии сердца / B.C. Мархасин, Н.А.

23. Викулова, В.Ю. Гурьев, Л.Б. Кацнельсон, П.В. Коновалов, О.Э. Соловьева, Т.Б. Сульман // Вестник уральской медицинской академической науки, 2004. Т. 3. - С. 31—37.

24. Моделирование механо-электрического сопряжения в кардиомиоцитах в норме и при патологии

25. Л.Б. Кацнельсон, О.Э. Соловьева, Т.Б. Сульман, П.В. Коновалов, B.C. Мархасин // Биофизика, 2006.-Т. 51, №6.-С. 1044-1054.

26. Применение метода in vitro подвижных систем для исследования кальций-механической связи вскелетной и сердечной мышцах / Г.В. Копылова, Л.Б. Кацнельсон, Д.А. Овсянников, С.Ю. Бершицкий, JI.B. Никитина // Биофизика, 2006. Т. 51, №5. - С. 781-785.

27. Соловьева О.Э. Исследование электромеханическихъ явлений в миокарде при помощиматематических моделей: дисс. . доктора, физ.-мат. наук / Соловьева Ольга Эдуардовна. -Пущино, 2006.-333 с.

28. Соловьева О.Э. Роль неспецифического тропонина в кинетике внутриклеточного кальция в кардиомиоцитах / О.Э. Соловьева, B.C. Мархасин, Л.Б. Кацнельсон // Биофизика, 1996. Т. 42, №2.-С. 431—438.

29. Цатурян А.К. Влияние деформации на активацию сердечной мышцы / А.К. Цатурян, С.В.

30. Желамский // Механика композитных материалов, 1980.-Т. 17.-С. 100-106.

31. A dynamic model of the cardiac ventricular action potential. II. Afterdepolarizations, triggered activity,and potentiation / C.H.Luo, Y. Rudy // Circ Res, 1994. Vol. 74, №6. - P. 1097-113.

32. A mathematical model of action potential heterogeneity in adult rat left ventricular myocytes / S.V. Pandit, R.B.

33. Clark, W.R.Giles, S.S. Demir // Biophys J, 2001. Vol. 81. - P. 3029-3051.

34. A mathematical model of the geometry and fibrous structure of the heart / P.M.F. Nielson, I.J. LeGrice,

35. B.H. Smail, P.J. Hunter//Am J Physiol Heart Circ Physiol, 1991.-Vol. 260.-P. H1365-1378.

36. A mathematical treatment of integrated Ca dynamics within the ventricular myocyte / T.R, Shannon, F. Wang, J.

37. Puglisi, C.R. Weber, D.M. Bers// Biophys J, 2004,-Vol. 87. -P. 3351-3371.

38. A model for human ventricular tissue / K.H. Ten Tusscher, D. Noble, P.J. Noble, A.V. Panfilov // Am J

39. Physiol Heart Circ Physiol, 2004. Vol. 286. - P. HI573—1589.

40. Activation sequence as a key factor in spatio-temporal optimization of myocardial function / O.

41. Solovyova, L.B. Katsnelson, P. Kohl, P. Konovalov, O. Lookin, A.S. Moskvin, N. Vikulova, Yu.L. Protsenko, V.S. Markhasin //Phil Transact R Soc Lond, Ser A (Math Phys Eng Sci.); 364(1843): 1367-83, 2006 Jun 15.

42. Aliev R.R. A simple two-variable model of cardiac excitation / Aliev R.R., A.V. Panfilov // Chaos Solitons

43. Fractals, 1996. Vol. 7. - P. 293-301.

44. Allen D.G. Calcium concentration in the myoplasm of skinned ferret ventricular muscle following changes in muscle length / D.G. Allen, J.C. Kentish // J Physiol, 1988. Vol. 407. - P. 489—503.

45. Allen D.G. Calcium transients in aequorin injected frog cardiac muscle / D.G. Allen, J.R. Blinks // Nature (Lond), 1978. Vol. 273. - P. 509-513.

46. Allen D.G. Length changes during contraction affect the intracellular Ca""". of heart muscle / D.G.

47. Allen, A. Kurihara // J Physiol (Lond), 1981. Vol. 310. - P. 75-76.

48. Allen D.G. The effects of length changes on the myoplasmic calcium concentration in skinned ferretventricular muscle (abstract) / D.G. Allen, J.C. Kentish // J Physiol (Lond), 1985. Vol. 366. - P.67.

49. Allen D.G. The effects of muscle length on intracellular calcium transients in mammalian cardiac muscle / D.G. Allen, S. Kurihara // J Physiol, 1982. Vol. 327. - P. 79—94.

50. Alteration of Na,K-ATPase subunit mRNA and protein levels in hypertrophied rat heart / D.

51. Charlemagne, J. Orlowski, P. Oliviero, F. Rannou, C. Sainte Beuve, B. Swynghedauw, L.K. Lane // J BiolChem, 1994.-Vol. 269, №2.-P. 1541-7.

52. Analysis of relaxation in the evaluation of ventricular function of the heart / D.L. Brutsaert, F.E.

53. Rademakers, S.U. Sys, T.C. Sillebert, P.R. Housmans // Prog Cardiovasc Dis, 1985. Vol. 28. - P. 143-163.

54. Antzelevitch C. Electrical heterogeneity within the ventricular wall / C. Antzelevitch, J. Fish // Basic

55. Res Cardiol, 2001. Vol. 96. - P. 517—527.

56. Babu A. Molecular basis for the influence of muscle length on myocardial performance / A. Babu, E.

57. Sonnenblick, J. Gulati // Science, 1988. Vol. 240, №4848. - P. 74—76.

58. Babuty D. Heterogeneous changes of monophasic action potential induced by sustained stretch in atrium/D. Babuty, M. Lab //J Cardiovasc Electrophysiol, 2001. Vol. 12, №3. - P. 323—329.

59. Bers D.M. Cardiac excitation-contraction coupling / D.M. Bers // Nature, 2002. Vol. 415(6868). - P.198.205.

60. Bogaert J. Regional nonuniformity of normal adult human left ventricle / J. Bogaert, F.E. Rademakers //

61. Am J Physiol Heart Circ Physiol, 2001. Vol. 280, №2. - P. H610—620.

62. Brandt P.W. The thin filament of vertebrate skeletal muscle cooperatively activates as a unit / P.W. Brandt,

63. M.S. Diamond, F.H. Schachat// J Mol Biol, 1984. Vol. 180. - P. 379-384.

64. Bremel R.D. Cooperation within filament in vertebrate skeletal muscle / R.D. Bremel, A. Weber // Nature,1972.-Vol. 238.-P. 97-101.

65. Brutsaert D.L. Dual control of relaxation: Its role in ventricular function in the mammalian heart / D.L.

66. Brutsaert, M.A. Goethals, P.R. Housmans // Circ Res, 1980. Vol. 47. - P. 637-652.

67. Brutsaert D.L. Relation of mammalian single cardiac cells after pretreatment with detergent Bris 58 / D.L.

68. Brutsaert, V.A. Claes, N.M. De Clerk// J Physiol (Lond), 1978. Vol. 283. - P. 481-491.

69. Brutsaert D.L. Relaxation and diastole of the heart / D.L. Brutsaert, S.U. Sys // Physiol Rev, 1988. -Vol. 69. P. 1228-1315.

70. Bryant S.M. Regional differences in electrical and mechanical properties of myocytes from guinea-pighearts with mild left ventricular hypertrophy / S.M. Bryant, S.J. Shipsey, G. Hart // Cardiovasc Res, 1997. Vol. 35, №2. - P. 315—323.

71. Ca2+- dependence of diastolic properties of cardiac sarcomeres: involvement of titin / B.D. Stuyvers, M.

72. Miura, J.P. Jin, H.E. ter Keurs // Prog Biophys Mol Biol, 1998. Vol. 69 (2-3). - P. 425-443.

73. Calcium-activated muscle from hypertrophied rabbit hearts: mechanical and correlated biochemical changes / D. Maughan, E. Low, R. Litten, J. Brayden, N. Alpert // Circ Res, 1979. Vol. 44. - P. 279-287.

74. Cannell M.B. Model of calcium movements during activation in the sarcomere of frog skeletal muscle

75. M.B. Cannell, D.G.Allen // Biophys J, 1984. Vol. 45. - P. 913-925.

76. Cazorla O. Length-tension relationships of sub-epicardial and sub-endocardial single ventricular myocytes from rat and ferret hearts / O. Cazorla, J.Y. Le Guennec, E. White // J Mol Cell Cardiol, 2000. -Vol. 32.-P. 735—744.

77. Chase P.B. Effect of viscosity on mechanics of single skinned Fibers from rabbit psoas muscle / P.B.

78. Chase, T.M. Denkinger, M.J. Kushmerick// Biophys J, 1998. Vol. 74. - P. 1428-1438.

79. Chiu Yu-L., Internal viscoelastic loading in cat papillary muscle / Yu-L Chiu, E. W. Ballou, L.E. Ford //

80. Biophys J, 1982.-Vol. 40.-P. 109-120.

81. Cooperative binding to the Ca 2+-specific sites of troponin С in regulated actin and actomyosin / Z.

82. Grabarek, J. Grabarek, P.C. Leavis, J. Gergely // J Biol Chem, 1983. Vol. 258, №23. - P. 14098—14102.

83. Cytoskeletal mechanics in pressure-overload cardiac hypertrophy / H. Tagawa, N. Wang, T. Narishige,

84. D.E. Ingber, M.R. Zile, G.V. Cooper// Circ Res, 1997. Vol. 80. - P. 281-289.

85. Demir S.S. Computational modeling of cardiac ventricular action potentials in rat and mouse: review /

86. S.S. Demir // Jpn J Physiol, 2004. Vol. 54. - P. 523-530.

87. DiFrancesco D. A model of cardiac electrical activity incorporating ionic pumps and concentration changes / D. DiFrancesco, D. Noble // Philos Trans R Soc Lond В Biol Sci, 1985. Vol. 307, №1133. -P. 353—398.

88. Dobrunz L.E. Effect of temperature on Ca2+-dependent and mechanical modulators of relaxation in mammalian myocardium / L.E. Dobrunz, M.R. Berman // J Mol Cell Cardiol, 1994. Vol. 26. - P. 243—250.

89. Does viscosity affect myocardium mechanical activity? / L.B. Katsnelson, L.V. Nikitina, D. Chemla, O.

90. Solovyova, C. Coirault, Y. Lecarpentier, V.S. Markhasin // Proceedings of the Oxford Biomathematical Modelling Workshop, J Physiol, 2004. PCI2.

91. Earm Y.E. A model of the single atrial cell: relation between calcium current and calcium release / Y.E.

92. Earm, D. Noble // Proc R Soc Lond В Biol Sci, 1990. Vol. 240(1297). - P. 83-96.

93. Ebashi S. Regulatory proteins of muscle with special reference to troponin / S. Ebashi, I. Ohtsuki, K. Mihoshi

94. Cold Spring Harb Symp Quant Biol, 1976. Vol. 37. - P. 215-232.

95. Effect of cellular inhomogeneity on cardiac tissue mechanics based on intracellular control mechanisms

96. A. Landesberg, V.S. Markhasin, R. Beyar, S. Sideman // Am J Physiol, 1996. Vol. 270, №3 Pt 2. -P. HI 101—1114.

97. Effect of damaged ends in papillary muscle preparations / T.C. Donald, D.N.S. Reeves, R.C. Reeves, A. A.

98. Walker, L.L. Hefner // Am J Physiol, 1980. Vol. 238. - P. 414-423.

99. Effects of mechanical interaction between two rabbit cardiac muscles connected in parallel / V.S. Markhasin, L.V. Nikitina, S.M. Routkevich, L.B. Katsnelson, E.A. Schroder, B.B. Keller // Gen Physiol Biophys, 2002. Vol. 21, №3. - P. 277—301.

100. Effect of stimulation rate, sarcomere length and Ca2+ on force generation by mouse cardiac muscle /

101. B.D. Stuyvers, A.D. McCulloch, J. Guo, H J. Duff, H.E. ter Keurs // J Physiol, 2002. Vol. 544 (Pt 3). -P. 817-830.

102. Electrophysiological effects of myocardial stretch and mechanical determinants of stretch-activated arrhythmias / M.R. Franz, R. Cima, D. Wang, D. Profitt, R. Kurz // Circulation, 1992. Vol. 86, №3. -P. 968—978.

103. Extracellular fluid filtration as the reason for the viscoelastic behavior of the passive myocardium / A.K.

104. Tsaturyan, V.Ya. Izakov, S.V. Zhelamsky, B.L. Bykov // J Biomechanic, 1984. Vol. 17. - P. 749-745.

105. Faber G.M. Action potential and contractility changes in Na+.i overloaded cardiac myocytes: a simulation study / Faber G.M. Y. Rudy // Biophys J, 2000. Vol. 78. - P. 2392-2404.

106. Fabiato A. Calcium-induced release of calcium from the cardiac sarcoplasmic reticulum / A. Fabiato // Am J Physiol, 1983. Vol. 245. - P. C1-C14.

107. Factors modulating the sensitivity of the relaxation to the loading conditions in rat cardiac muscle / C. Pogessi, C. Reggiani, L.Riccardi, R.Minelli // Pflugers Arch (Eur J Physiol), 1982. Vol. 394 338—346.

108. Feedback interaction of mechanical and electrical events in the isolated mammalian ventricular myocardium (cat papillary muscle) / R.L. Kaufmann, M.J. Lab, R. Ilennekes, H. Krause // Pflugers Arch, 1971.-Vol. 324, №2.-P. 100—123.

109. Ford L.E. Tension transients during steady shortening of frog muscle fibres / L.E. Ford, A.F. Huxley,

110. R.M. Simmons//J Physiol, 1985.-Vol. 361.-P. 131—150.

111. Franz M.R. Mechano-electrical feedback in ventricular myocardium / M.R. Franz // Cardiovasc Res,1996.-Vol. 32, №1.-P. 15—24.

112. Fuchs F. Length-dependent Ca2+ activation in cardiac muscle: some remaining questions / Fuchs F.,

113. D.A. Martyn //J Muscle Res Cell Motil, 2005. Vol. 26, №4-5. - P. 199-212.

114. Fung I.C. Mathematical representation of the mechanical properties of heart muscle / I.C. Fung // J

115. Biomech, 1970.-Vol. 3. P. 381-404.

116. Fung Y.C. Elasticity of soft tissue in simple elongation / Y.C. Fung//Am J Physiol, 1967. Vol. 213.1. P.1532-1544.

117. Fung Y.C. Stress-strain-history relation of soft tissue in simple elongation / Y.C. Fung // Biomechanics.1.s Foundations and Objectives / Y.C. Fung, N. Perone, M. Anlicker-New York: Prentice Hall, 1972. -P. 181-208.

118. Goldman Y.E. Control of sarcomere length in skinned muscle fibres of Rana temporaria during mechanical transients / Y.E. Goldman, R.M. Simmons // J Physiol, 1984. Vol. 350. - P. 497—518.

119. Gordon A.M. Length dependent electromechanical coupling in single muscle fibres / A.M. Gordon,

120. E.B. Ridgeway // J Gen Physiol, 1976. Vol. 68. - P. 653-669.

121. Gordon A.M. Skeletal and cardiac muscle contractile activation: tropomyosin "rocks and rolls" / A.M.

122. Gordon, M. Regnier, E. Homsher // News Physiol Sci, 2001. Vol. 16. - P. 49—55.

123. Gordon A. M. The variation in isometric tension with sarcomere length in vertebrate muscle fibres / A.

124. M. Gordon, A. F. Huxley, F. J Julian//J Physiol (Lond), 1966.-Vol. 184.-P. 170—192.

125. Gulati J. Effect of troponin С on the cooperativity in Ca2+ activation of cardiac muscle / J. Gulati, S.

126. Scordilis, A. Babu // FEBS Lett, 1988. Vol. 236, №2. - P. 441—444.

127. Haynes D.H. Computer modeling of Ca2f pump function of Ca2+-Mg2+ ATPase of sarcoplasmic reticulum / D.H. Haynes, A. Mandveno // Physiol Rev, 1987. Vol. 67. - P. 244-284.

128. Hennekes R. The dependence of cardiac membrane excitation and contractile ability on active muscleshortening (cat papillary muscle) / R. Hennekes, R. Kaufmann, M. Lab // Pflugers Arch, 1981. Vol. 392, №1,-P. 22—28.

129. Heterogeneity of myosin isozyme content of rabbit heart / R.Z. Litten, B.J. Martin, R.H. Buchthal, R.

130. Nagai, R.B. Low, N.R. Alpert // Circ Res, 1985. Vol. 57. - P. 406—414.

131. Hilgemann D.W. Excitation-contraction coupling and extracellular calcium transients in rabbit atrium:reconstruction of basic cellular mechanisms / D.W. Hilgemann, D. Noble // Proc R Soc Lond, 1987. -Vol. 230.-P. 163—205.

132. Hill A.V. First and Last Experiments in Muscle Mechanics / A.V. Hill // Cambridge University Press,

133. Cambridge, England, 1970.-P. 1-141.

134. Hunter P.J. Modelling the mechanical properties of cardiac muscle / P.J. Hunter, A.D. McCulloch, H.E.

135. Ter Keurs // Prog Biophys Mol Biol, 1998. Vol. 69, №2-3. - P. 289—331.

136. Hunter P.J. Modeling total heart function / P.J. Hunter, A.J. Pullan, B.H. Smaill // Annu Rev Biomed

137. Eng, 2003. Vol. 5. - P. 147—177.

138. Hunter P.J. Myocardial constitutive laws for continuum mechanics models of the heart / P.J.Hunter //

139. Molecular and subcellular cardiology: Effects of structure and function / S. Sideman and R. Beyar — Advances in Experimental Medicine and Biology, Plenum Press, 1995. P. 303-318.

140. Huxley A.F. Muscle structure and theories of contraction / A.F. Huxley // Progress in Biophysics and

141. Biophysical Chemistry, 1957. Vol. 7. - P. 255—318.

142. Hybrid duplex a novel method to study the contractile function of heterogeneous myocardium / Y.L.

143. Protsenko, S.M. Routkevitch, V.Y. Gur'ev, L.B. Katsnelson, O. Solovyova, O.N. Lookin, A.A. Balakin, P. Kohl, V.S. Markhasin // Am J Physiol Heart Circ Physiol, 2005. Vol. 289. - P. 2733—2746.

144. I-band titin in cardiac muscle is a three-element molecular spring and is critical for maintaining thinfilament structure / W.A. Linke, D.E. Rudy, T. Centner, M. Gautel, C. Witt, S. Labeit, C.C. Gregorio // J Cell Biol, 1999.-Vol. 146, №3.-P. 631-44.

145. Improved guinea-pig ventricular cell model incorporating a diadic space, IKr and IKs, and length- andtension-dependent processes / D. Noble, A. Varghese, P. Kohl, P. Noble // Can J Cardiol, 1998. Vol. 14,№1.-P. 123—134.

146. Influence of viscosity on myocardium mechanical activity: a mathematical model / L.B. Katsnelson, L.V. Nikitina, D. Chemla, O. Solovyova, C. Coirault, Y. Lecarpentier, V.S. Markhasin // J Theor Biol, 2004. Vol. 230, №3. - P. 385—405.

147. Intracellular calcium transients and arrhythmia in isolated heart cells / F.T. Thandroyen, A.C. Morris, H.K. Hagler, B. Ziman, L. Pai, J.T. Willerson, L.M. Buja// Circ Res, 1991. Vol. 69, №3. - P. 810-9.

148. Iyer V. A computational model of the human left-ventricular epicardial myocyte / V. Iyer, R. Mazhari, R.L. Winslow // Biophys J, 2004. Vol. 87. - P. 1507-1525.

149. Julian F.J. Variation of muscle stiffness with tension during tension transients and constant velocity shortening in the frog / F.J. Julian, D.L. Morgan // J Physiol (Lond), 1981. Vol. 319. - P. 193-203.

150. Katsnelson L.B. Heart muscle: mathematical modelling of the mechanical activity and modelling of mechanochemical uncoupling / L.B. Katsnelson, V. Izakov, V.S. Markhasin // Gen Physiol Biophys, 1990. Vol. 9, №3. - P. 219—243.

151. Katsnelson L.B. Mathematical modeling of relations between the kinetics of free intracellular calcium and mechanical function of myocardium / L.B. Katsnelson, V.S. Markhasin // J Mol Cell Cardiol, 1996. Vol. 28, №3. - P. 475—486.

152. Katsnelson L.B. Mathematical modeling of the effect of the sarcoplasmic reticulum calcium pump function on load dependent myocardial relaxation / L.B. Katsnelson, V.S. Markhasin, N.S. Khazieva // Gen Physiol Biophys, 2000. Vol. 19, №2. - P. 137—170.

153. Katz A.M. Physiology of the heart / A.M. Katz. Lippincott: Williams & Wilkins, 2001. - 718 p.

154. Keener J.P. A biophysical model for defibrillation of cardiac tissue / J.P. Keener, A.V. Panfilov // Biophys J, 1996.-Vol. 71.-P. 1335-1345.

155. Keener P.K. Re-entry in three-dimensional Fitzhugh-Nagumo medium with rotational anisotropy / P.K. Keener, A.V. Panfilov // Physica D, 1995. P. 545-552.

156. Kihara Y. Intracellular calcium and ventricular fibrillation. Studies in the aequorin-loaded isovolumic ferret heart / Y. Kihara J.P. Morgan // Circ Res, 1991. Vol. 68, №5. - P. 1378-89.

157. Kohl P. Cellular mechanisms of cardiac mechano-electric feedback in a mathematical model / P. Kohl, K. Day, D. Noble//Can J Cardiol, 1998.-Vol. 14, №1,-P. 111—119.

158. Kohl P. Mechano-electric feedback in cardiac cells / P. Kohl, F. Sachs // Phil Trans R Soc Lond A, 2001. Vol. 359. - P. 1173—1185.

159. Konhilas J.P. Length-dependent activation in three striatedmuscle types of the rat / J.P. Konhilas, T.C.Irving, P. P. De Tombe // J Physiol, 2002. Vol. 544, №1. - P. 225236.

160. Konhilas J.P. Myofilament calcium sensitivity in skinned rat cardiac trabeculae. Role of interfilament spacing / J.P. Konhilas, T.C. Irving, P. P. De Tombe // Circ Res, 2002. Vol. 90. - P. 59-65.

161. Lab M.J. Contraction-excitation feedback in myocardium. Physiological basis and clinical relevance/ M.J. Lab // Circ Res, 1982. Vol. 50. - P. 757-766.

162. Lab M.J. Mechanosensitivity as an integrative system in heart: an audit / M.J. Lab // Prog Biophys Mol

163. Biol, 1999. Vol. 71, №1. - P. 7—27.

164. Lab M.J. The effects of shortening on myoplasmic calcium concentration and on the action potential in mammalian ventricular muscle / M.J. Lab, D.G. Allen, C.H. Orchard // Circ Res, 1984. Vol. 55, №6. -P. 825—829.

165. Lakatta E.G. Spontaneous myocardial calcium oscillations: are they linked to ventricular Fibrillation? / E.G. Lakatta, T. Guarnieri // J Cardiovasc Electrophysiol, 1993 -Vol. 4, №4. P. 473-89.

166. Lew W.Y. Influence of ischemic zone size on nonischemic area function in the canine left ventricle / W.Y. Lew //Am J Physiol, 1987. Vol. 252, №5 Pt 2. - P. H990-7.

167. Lin D.C. Damping in reflexively active and areflexive lengthening muscle evaluated with inertial loads / D.C. Lin W.Z. Rymer // J Neurophysiol, 1998. Vol. 80. - P. 3369-3372.

168. Loeffler L. A one-dimensional viscoelastic model of cat heart muscle studied by small length perturbations during isometric contraction / L. Loeffler, K. Sagawa // Circ Res, 1975. Vol. 36. - P. 498-512.

169. Luo C.H. A dynamic model of the cardiac ventricular action potential. I. Simulations of ionic currents and concentration changes / C.H. Luo, Y. Rudy // Circ Res, 1994. Vol. 74, №6. - P. 1071—1096.

170. Luo С. H. A model of ventricular cardiac action potential depolarization, repolarization and their interaction / C.H. Luo, Y. Rudy // Circ Res, 1991. Vol. 68. - P. 1501 -1526.

171. Major alterations in relaxation during cardiac hypertrophy induced by aortic stenosis in guinea pig / Y. Lecarpentier, A. Waldenstrom, M. Clergue, D. Chemla, P. Oliviero, J.L. Martin, B. Swynghedauw // Circ Res, 1987.-Vol. 61, №1,-P. 107—116.

172. Martonosi A. Biochemical and clinical aspects of sarcoplasmic reticulum function / A. Martonosi // Current Topics in Membranes and Transport / F. Brenner, A. Kleinzeller-Academic Press: New York, 1979.-P. 83-197.

173. Mathematical modelling of mechano-electric feedback in cardiomyocytes / O. Solovyova, N. Vikulova, P. Konovalov, P. Kohl, V.S. Markhasin // Russ J Numer Anal Math Modelling, 2004. Vol. 19, №4.-P. 331—351.

174. Mathematical modelling of the contribution of mechanical inhomogeneity in the myocardium to contractile function / V.S. Markhasin, L.B. Katsnelson, L.V. Nikitina, Y.L. Protsenko // Gen Physiol Biophys, 1997.-Vol. 16, №2.-P. 101—137.

175. Mattiazzi A. Critical evaluation of isometric indices of relaxation in rat and cat papillary muscles and load ventricular strips / A. Mattiazzi, A. Garay, H.E. Cingolani // J Mol Cell Cardiol, 1986. Vol. 18. -P. 749-758.

176. Matsubara I. X-ray diffraction studies on skinned single fibres of frog skeletal muscle / I. Matsubara, G.F. Elliott // J Mol Biol, 1972. Vol. 72. - P. 657-669.

177. Modeling beta-adrenergic control of cardiac myocyte contractility in silico / J.J. Saucerman, L.L. Brunton, A.P. Michailova, A.D. McCulloch // J Biol Chem, 2003. Vol. 278, №48. - P. 47997-8003.

178. Moss R.L. Myosin crossbridge activation of cardiac thin filaments: implications for myocardial function in health and disease/R.L. Moss, M. Razumova, D.P. Fitzsimons// Circ Res, 2004.-Vol. 94, №10.-P. 1290—1300.

179. Moss R.L. The effects of partial extraction of TnC upon the tension-pCa relationship in rabbit skinned skeletal muscle fibres / R.L. Moss, G.G. Giulian, M.L. Greaser // J Gen Physiol, 1985. Vol. 86. - P. 585-600.

180. Murray J.M. Cooperativity of the calcium switch of regulated rabbit actomyosin system / J.M. Murray, A. Weber//Mol Cell Biochem, 1981.-Vol. 35, №1.-P. 11—15.

181. Myofilament lattice spacing as a function of sarcomere length in isolated rat myocardium / T.C. Irving, J.P. Konhilas, D. Perry, R. Fischetti, P.P. de Tombe // Am J Physiol Heart Circ Physiol, 2000. Vol. 279.-P. H2568—H2573.

182. Myosin isozymic distribution correlates with speed of myocardial contraction / K. Schwartz, Y. Lecarpentier, J.L. Martin, A.M. Lompre, J.J. Mercadier, B. Swynghedauw// J Mol Cell Cardiol, 1981. -Vol. 13.-P. 1071-1075.

183. Nazir S.A. Mechanoelectric feedback andat rial arrhythmias / S.A. Nazir, M.J. Lab // Cardiovasc Res, 1996a.-Vol. 32.-P. 52-61.

184. Nazir S.A. Mechanoelectric feedback in the atrium of the isolated guinea-pig heart / S.A. Nazir, M.J. Lab // Cardiovasc Res, 1996b. Vol. 32. - P. 112-119.

185. Nickerson D.P. A model of cardiac cellular electromechanics / D.P. Nickerson, N.P. Smith, P.J. Hunter// Phil Trans R Soc Lond A, 2001. Vol. 359. - P. 1159—1172.

186. Noble D. Modeling the heart from genes to cells to the whole organ / Noble D. // Science, 2002. - Vol. 295 (5560).-P. 1678-82.

187. Noble D. Modelling the heart: insights, failures and progress / Noble D. // Bioessays, 2002. Vol. 24, №12.-P. 1 155-63.

188. Noble D. Modelling of sodium-overload arrhythmias and their suppression / D. Noble, A. Varghese // Can J Cardiol, 1998. Vol. 14, №1. - P. 97-100.

189. Noble M.M. The diastolic viscous properties of cat papillary muscle / M.M. Noble // Circ Res, 1977. -Vol. 36.-P. 288-292.

190. Intro-31 Pagani E.D. Rabbit papillary muscle myosin isozymes and the velocity of muscle shortening / E.D. Pagani, F.J. Julian // Circ Res, 1984. Vol. 54. - P. 586-594.

191. Pan B. Calcium binding properties of troponin С in detergent-skinned heart muscle fibres / B. Pan, R.J. Solaro // J Biol Chem, 1987. Vol. 262. - P. 7839-6849.

192. Panerai R.B. A model of cardiac muscle mechanics and energetics/R.B. Panerai // JBiomech, 1980. -Vol. 13.-P. 929-940.

193. Panfilov A.V. Generation of re-entiy in anisotropic myocardium / A.V. Panfilov, P.K. Keener // J Cardiovasc Electrophysiol, 1993. Vol. 4. - P. 412-421.

194. Panfilov A.V. Re-entiy in an anatomical model of the heart / A.V. Panfilov, P.K. Keener // Chaos Solitons

195. Fractals, 1995.- Vol. 5, №3,4.-P. 681—689.

196. Parmley W.W. Relation between mechanics of contraction and relaxation in mammalian cardiac muscle / Parmley W. W., E.H. Sonnenblick // Am J Physiol, 1969. Vol. 216. - P. 1084-1091.

197. Parmley W. W. Series elasticity in heart muscle. Its relation to contractile element velocity and proposed muscle models/ W. W. Parmley, E. H. Sonnenblick//Circ Res, 1967.-Vol. 20.-P. 112—123.

198. Peterson J. N. (1989): A study of the mechanisms underlying relaxation in isolated mammalian cardiac muscle. Ph. D. Dissertation. Dept. of Biomedical Engineering. The John Hopkins University School of Medicine. Baltimore

199. Real time kinetics of sarcomere relaxation by laser diffraction / Y.C. Lecarpentier, J.L. Martin, V. Claes, J.P. Chambaret, A. Migus, A. Antonetti, P.Y. Hatt // Circ Res, 1985. Vol.56. - P. 331—339.

200. Relaxation of ventricular cardiac muscle / D.L. Brutsaert, N.M. De Clerk, M.A. Goethals, P.R. Housmans // J Physiol (Lond), 1978. Vol. 283. - P. 469-480.

201. Relationship between inotropy and relaxation in rat myocardium / D. Chemla, Y. Lecarpentier, J. L. Martin, M. Clergue, A. Antonetti, P. Y. Hatt // Am J Physiol Heart Circ Physiol, 1986. Vol. 250. - P. H1008—H1016.

202. Rice J.J. Approaches to modeling crossbridges and calcium-dependent activation in cardiac muscle / J.J. Rice, P.P. de Tombe // Prog Biophys Mol Biol, 2004. Vol. 85, №2-3. - P. 179—195.

203. Rice J.J. Comparison of putative cooperative mechanisms in cardiac muscle: length dependence and dynamic responses / J.J. Rice, R.L. Winslow, W.C. Hunter // Am J Physiol, 1999. Vol. 276, №5 Pt 2. -P. HI734—1754.

204. Rome E. X-ray diffraction studies of the filament lattice of striated muscle in various bathing media / E. Rome//J Mol Biol, 1968. Vol. 37. - P. 331-344.

205. Rudy Y. From genetics to cellular function using computational biology / Y. Rudy // Cardiac engineering. From genes and cells to structure and function / S. Sideman and R. Beyar The New York Academy of Sciences, 2004. - P. 261 -270.

206. Saucerman J.J. Mechanistic systems models of cell signaling networks: a case study of myocyte adrenergic regulation / J.J. Saucerman A.D. McCulloch // Prog Biophys Mol Biol, 2004. Vol. 85, №2-3.-P. 261-78.

207. Shiner J.S. Activation of the thin-filament-regulated muscle by calcium ion: Considerations based on nearest-neighbor lattice statistics / J.S. Shiner, R.J. Solaro // Proc Natl Acad Sci USA, 1982. Vol. 79. -P. 4637-4641.

208. Sipido K.R. Flux of Ca2+ across the sarcoplasmic reticulum of guinea-pig cardiac cells during excitation-contraction coupling / K.R. Sipido, W.G. Wier // J Physiol, 1991. Vol. 435. - P. 605—630.

209. Stretch-induced voltage changes in the isolated beating heart: importance of the timing of stretch and implications for stretch-activated ion channels / M. Zabel, B.S. Koller, F. Sachs, M.R. Franz // Cardiovasc Res, 1996. Vol. 32, №1. - P. 120—130.

210. Suga II. Ventricular energetics / H. Suga // Physiol Rev, 1990. Vol. 70. - P. 247-277.

211. Stare V. Viscoelastic behavior of the isolated guinea pig left ventricle in diastole/V. Stare, E.L.Yellin, S.D. Nikolic//Am J Physiol Heart Circ Physiol, 1996. Vol.271. - P. H1314-H1324.

212. Strobeck J.E. Isotonic relaxation in cardiac muscle / J.E. Strobeck, A.S. Bahler, E.H. Sonnenblick // Am J Physiol, 1975. Vol.229. - P. 646-651.

213. Tennant L.R. The effect of coronary occlusion on myocardial contraction / Tennant L.R. // Am J Physiol, 1935.-Vol. 112.-P. 351-361.

214. The cardiac troponin С isoform and the length dependence of Ca2+ sensitivity of tension in myocardium / A.B. Akella, H. Su, E.H. Sonnenblick, V.G. Rao, J. Gulati // J Mol Cell Cardiol, 1997. -Vol. 29.-P. 381—9.

215. The distribution of functional impairment across the lateral border of acutely ischemic myocardium /

216. K.P. Gallagher, R.A. Gerren, M.C. Stirling, M. Choy, R.C. Dysko, S.P. McManimon, W.R. Dunham // Circ Res, 1986. Vol. 58, №4. - P. 570-83.

217. Thyroidectomy of SHR: effect on ventricular relaxation and on SR calcium uptake activity / R.L. Rodgers, S. Black, S .Katz, J.H. McNeil // Am J Physiol Heart Circ Physiol, 1986. Vol. 250. - P. H861-H865.

218. Transmural heterogeneity of calcium handling in canine / K.R. Laurita, R. Katra, B. Wible, X. Wan, M.H. Koo // Circ Res, 2003. Vol. 92, №6. - P. 668—675.

219. Viswanathan P.C. Effects of IKr and IKs heterogeneity on action potential duration and its rate dependence : a simulation study / P.C. Viswanathan, R.M. Shaw, Y. Rudy // Circulation, 1999. Vol. 99.-P. 2466-2474.

220. Wang C.L.A. The binding of metal ions, drugs, and peptides to calcium-binding proteins / C.L.A. Wang, P.C. Leavis // Calcium-binding proteins / M. P. Thompson CRC Press, Roca Raton, Florida, 1988. -P. 97—126.

221. Winslow R.L. Modeling the cellular basis of altered excitation-contraction coupling in heart failure/ R.L. Winslow, J.J. Rice, M.S. Jafri // PBMB, 1998. Vol. 69. - P. 497 - 514.

222. Yue D.T. Intracellular Ca2+.i related to rate of force development in twitch contraction of heart / D.T. Yue // Am J Physiol Heart Circ Physiol, 1987. -Vol. 252. P. H760—H770.

223. Zeng J. Early afterdepolarizations in cardiac myocytes: mechanism and rate dependence / J. Zeng, Y. Rudy // Biophys J, 1995. Vol. 68. - P. 949-964.

224. Zile M.R. The effect of acute alteration in left ventricular afterload and /^-adrenergic tone on indices of early diastolic filling rate / M.R. Zile, A.S. Blaustein, W.H. Gaasch // Circ Res, 1989. Vol. 65. - P. 406-416.

Информация о работе

Кацнельсон, Леонид Борисович
доктора физико-математических наук
Москва, 2008
ВАК 03.00.02

Диссертация

Математическое моделирование регуляции сокращений сердечной мышцы в норме и при патологии - тема диссертации по биологии, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы