Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Математическое моделирование генерации магнитного поля в шаре

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование генерации магнитного поля в шаре"

АКАДЕМИЯ НАУК ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ЗЕМЛИ им. О.П.ШМИДТА

На правах рукописи

ЯЕЛИГОВСКИИ Владислав Александрович

НАТЕОАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕНЕРАЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ШАРВ

Специальность 04.00.22.- геофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата ф!зико-математических паук

Москва - 1992

Работа выполнена в Международном Институте Теории Прогноза Землетрясений и Математической Геофизики Академии Наук, г.Москва.

Научный руководитель: академик В.И.Кейлис-Борок

ОХициальные оппоненты:

Трубицын В.П. - доктор фгаико-математических наук

Соколов Д.Д. - доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Институт механики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова

Защита состоится " 3 » 199 з г. в ±п час.

на заседании специализированного Совета К-002.С6.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук при Ордене Ленина Институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта.

Адрес: 123810, г.Москва, ул. Б.Грузинская, 10, Ордена Ленина Институт физики Земли им. О.Ю.Шмидта, актовый зал.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Ордена Ленина Института ССизики Земли им. О.Ю.Шмидта.

Ученый секретарь специализированного Соьета кандидат физико-математических наук

В.А.Дубровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Теория кинематического динамо является фундаментом теории магнитных полей планет и других астрофизических объектов. Однако многие успехи в этой области знания (в частности, построение примеров быстрого динамо) относятся к случаю, когда поле скорости проводящей жидкости и магнитное поле периодичны в пространстве, и они не могут быть непосредственно использованы для reo- и астрофизических приложений. Таким образом, актуально изучение генерации магнитного поля (кинематического динамо) в аксиально-симметричных объемах, и, в частности, в сфере.

Цель работы - исследование задач кинематического динамо в телах аксиально-симметричной формы при наличий диэлектрика вне объема проводящей жидкости. Цель работы определила постановку задач:

1) Численное изучение быстрого кинематического динамо в сфере для течения Бельтрами со стохастическим поведением траекторий.

2) Построение и обоснование асимптотического разложения в задаче о возбуждении магнитного поля течением проводящей жидкости в аксиально-симметричном объеме, имеющим внутренний масштаб вследствие зависимости поля скорости от азимутальной быстрой переменной при наличии а-эф$ект8.

3) Построение и обоснование асимптотического разложения в задаче о возбуждении магнитного поля течением проводящей жидкости в сфере, имеющим внутренний масштаб вследствие зависимости поля скорости , от трех быстрых переменных. пропорциональных сферическим координатам, при наличии а-эффекта.

Решение указашшх задач потребовало также рассмотреть следующие вспомогательные задачи:

4) Построение шкалы Соболевских пространств функций, удовлетворяющих краевым условиям, соответствующим наличию диэлектрика вне объема проводящей жидкости произвольной формы.

5) Аналитическое и численное изучение течений Бельтрами в с<Хере: инвариантные многообразия, глобальная интегрируемое""1!, хаос.

6) Разработка методов ускорения сводимости итерационных алгоритмов вычисления собственных векторов с доминирующими собственными значениями для численного решения задач линейной устойчивости.

7) Создание математического обеспечения для расчета магнитных мод с максимальным инкрементом нарастания для произвольного течения Бельтрами в сф^ю с помощью метода Галеркина и разработанных

методов оптимизации сходимости итерационных методов вычисления собственных векторов с доминирующими собственными значениями. На защиту выносятся:

1) Результаты численного исследования кинематического динамо в сфере для течения Бельтрами с хаотическими свойствами, и методы численного анализа процесса возбуждения магнитного поля произвольным течением Бельтрами в сфере, которым! эти результаты получены

2) Решение в виде асимптотического разложения задач о генерации ; магш^тного поля в аксиально-симметричном объеме (в сфере) течением проводящей жидкости, имегаим внутренний масштаб, при наличии ' а-эффекта вследствие зависимости поля скорости от азимутальной ' быстрой переменной (соответственно, от трех быстрых переменных, пропорциональных сферическим координатам).

Научная новизна. В настоящей работе впервые

1) Найдены коэффициенты течения Бельтрами в сфере, траектории которого проявляют в части фазового пространства стохастические свойства; численно изучено возбуждение магнитного поля таким течением для магнитных чисел Рейнольдса R <200, как возможшй

m

пример быстрого кинематического динамо в сфере.

2) Построена шкала Соболевских пространств функций, удовлетворяющих краевым условиям, соответствующим наличию диэлектрика■вне объема проводящей жидкости произвольной формы.

3) Построено и обосновано полное асимптотическое разложение в задаче о генерации магнитного поля в аксиально-симметричном объеме течением проводящей жидкости, имеющим внутренний масштаб, при наличии а-эффекта из-за зависимости поля скорости от азимутальной быстрой переменной и в сфере при зависимости поля скорости от трех быстрых переменных, пропорциональных сферическим координатам.

Практическая значимость работы. Результаты исследований дополняют теорию кинематического динамо, служат вкладом в понимание процессов возбуждения магнитного поля при наличии диэлектрика вне осесимметричного объема проводящей жидкости произвольной формы, что наиболее адекватно для reo- и астрофизических приложений.

Положительное решение задачи кинематического динамо для динамически возможного течения Бельтрами в сфере является необходимой предпосылкой и предоставляет начальные данные для численного исследования полной нелинейной нестационарной системы уравнений эволюции данной магнитогидродинамической системы.

Построенная шкала Соболевских пространств функций, удовлетворяющих краевым условиям, соответствующим наличию диэлектрика вне объема произвольной формы, является инструментом аналитического рассмотрения задач кинематического динамо с указанными краевыми условиями методами функционального анализа и теории эллиптических (псевдо)дифференцизлькых операторов.

Разработанные методы ускорения сходимости итерационных алгоритмов вычисления собственных векторов с доминирующими собственными значениями универсальны и применимы для численного решения произвольных задач линейной устойчивости.

Созданное математическое обеспечение может бить использовано для расчета доминирующих инкрементов-временного роста и соответствующих магнитных мод - собственных функций оператора магнитной индукции - для произвольных течений Бельтрами в сфере.

Публикации и апробация работы. Основные положения и результаты работы неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах Отдела вычислительной геофизики Ордена Ленина Института физики Земли им. О.Ю.Шмидта АН СССР, Международного Института теории прогноза землетрясений и математической геофизики АН СССР, Института механики Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова, Обсерватории Лазурного берега (Ницца, Франция), а также на VI Школе-семинаре по нелинейным задачам теории гидродинамической устойчивости (1988), Всесоюзном семинаре по геомагнетизму (Звенигород, апрель 19ЭО г.), на советско-французском семинаре по геофизике (Драпшьон, Франция, март 1990 г.). Семинаре по применению параллельных компьютеров для расчетов в астрономии и физике (Оссуа, Франция, март 1991 г.) и на IX Советско-итало-французском симпозиуме по вычислительной математике и ее приложениям (София-Антиполис, Франция, сентябрь 1991).

По теме диссертации опубликовано шесть научных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит и~ введения,' четырех глав, заключения и списка литературы (180 наименований) общим объемом в 171 страницу машинописного текста, включая 16 рисунков и 5 таблиц.

Автор диссертации выражает благодарность академику В.И.Кейлису-Бороку за постоянную поддержку; вад.н.с. М.М.Вшшку (Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики) за помощь в постановке задачи и консультации в ходе выполнения

работы; У.Фришу (U.Frisch, Лаборатория им. Г.Д.Кассини, Обсерватория Лазурного берега, Ницца, Франция) - за приглашение работать в Обсерватории и обсуждение результатов; М.Энону (М.Непоп), А.Пуке (A.Pouquet; Лаборатория им. Г.Д.Кассини, Обсерватория Лазурного берега), Д.Гзллоуэю (D.Galloway, Сиднейский Университет, Австралия) - за обсуждение результатов; Министерству Исследования и Технологий Франции - за предоставление стипендии для работы во Франции; Лаборатории им. Г.Д.Кассини Обсерватории Лазурного берега - за предоставление возможности использовать для работы современные вычислительные средства и оказанное гостеприимство; коллегам по Международному институту теории прогноза землетрясений и математической геофизики - за внимание к работе и замечания, высказанные при осуждении диссертации.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении приведена физическая мотивировка и краткий исторический обзор исследований по проблеме динамо, обсуждаются актуальность- работы, ее цели и методы решения, практическая значимость и апробация полученных результатов.

Глава I. Шкала Соболевских пространств для краевых условий* соответствующих диэлектрику во внешней области. В этой главе построена шкала Соболевских функциональных пространств для краевых условий, соответствующих диэлектрику вне объема П проводящей жидкости произвольной формы с гладкой границей:

rot В =0, dlv В =0 в CJ'=R3\n; 1В)аП= О; &-0 при |х|— (1)

скачок функции на еЯ - границе 0). Для ГсС°°(П) определим продолжение f вне £5: f=v®, Ф - решение задачи Неймана дф=0, (v®,lv)|ö£3=(f.lv)|oc1. ф-0 при ixi-« ш -замыкание П, iv- внешняя единичная нормаль к границе аСЗ, (-,•)-стандартное скалярное произведение в R3). Если I удовлетворяет (I), то, очевидно, вне П i=f. Для f.gcC^CJ) определим скалярное

"1 А X о

произведение ((f,g))= ^(f,g)drJ+ ^ и введем множество

гладких соленоидальных функций

Н(П)= {f€C°°(n)nC0(R3) i dlv f=0; в 0' rot:f=0; i-0 при |x|-~). Лемма I. Если дсН(Ш. icCiCJ). то

((rot f,g))= ^(f.rot g)dx3. ' ' (2)

В силу Леммы I в НШ) -Д= rot rot является'симметрическим относительно скалярного произведения ((•,•)) положительным

операторои, и можно стандартным способом определить вещественные

степени (-Д)4. Определим НЧ(П), как замыкание множества

а | ЛкГсН(0) целого) по норме 1Г||=((Г,(-Д)ЧГ)).

Лемма 2. При (Нц*2т\/2, и - целол, и при 0щ*2т-и2 норда ||.||

эквивалентна норме \ - \ гильбертовых функциональных пространств

Соболева У*(О); при q=2ш^■W2>0 я*!,.-

Пусть (г.ср.г) - цилиндрическая система координат, объем

жидкости О получен вращением вокруг оси г=0 ограниченной области

и={(г,2)щО), О* связно. Равномерные оценки главы 3 опираются на

Лемму 4, при доказательстве которой применена

Лемма 3. Пусть Г = ^ I ^(г,а)о11(р<И£(П), q>0. Тогда

С 31 Л2чЛ*ч|гг<1г йг (константа С не зависши от Г).

Ч Ч 3 (,0 * ч

Обозначим через <•> операцию усреднения по быстрой азимутальной 1 г%

переменной: <в(х,Ф)>- ^ / в(х,Ф)<1Ф.

Лемма 4. Пусть жщхш т»(х,Ф)«С00(П. [0,2*1) удовлетворяет условиям <"»«0; если область П соОерхт точки с г=0, то при г=0 и все ее частые производные равны 0. ТогОа

|^СКх,пф)Ь,I)(1х3нСр^ п~Р(|1М0|Г|р+|Мрт0)

(константа Ср ^ не зависит от Ь и Г).

Следствие. 'Пусть а>,р^О, С"1- Оифреренциальний оператор порядка т>0 с глаОкахи коэффициентами в П. В предположениях Лелхы 4 Жх.гкрЛЛП.^р^ п-Р|Н|р+т.

Пусть теперь й - шар. Равномерные оценки главы 4 опираются на Лешу 6, при доказательстве которой применена

Лемма 5. Пусть р3з1п5/29 Г | ч ^„.„е1'2*^21'0*44".

0*3*2. Тогда ^ 0(|т|га+|р|2в+|Ч|2а) |Гт р (1|г

(константа Св не зависит от 1).

Обозначим через «■• усреднение по быстрым переменным Р,8,Ф, пропорциональным сферическим координатам (р,9,ср):

о .1*2*

«g(x,P.8,®)» -(2чс2)"1 / I I в(х.Р.е.Ф) <1Р<18<1Ф. ООО

Лемма 6, Пусть 0«р«2. матрица г»(х,Р,6.Ф)сС00(П- (0,11 ■ [О.тс]. [0,2*1) удовлетворяет условия* «"»»=0; при р=0 и 9=0,* 1» и С е ее частные производные равны 0. Тогда 1^(1»(х,пр,п9,Пф)11,Г)с1хэк Ср>(> п"Р(|П|0|Г|р+Щ|р|Г|0)

(константа Ср ^ не зависит от 11 и X).

Следствие. 'Пусть а?(Ь0, р«2, В"1- дифференциальный оператор

порядка гз>0 с гладтхи. коэффициентами 6 П. В условиях Лехш 6 тх.пр.пэ.пф):^!^ n"ßiHißtm.

Глава 2. Генерация магнитного поля течением Бельтрами в шаре. В этой главе численно исследованы доминирующие собственные значения о и структура соответствующих собственных векторов оператора магнитной индукции £, £B«R~1¿B+rottv.B] для течения Бельтрами со стохастическим поведением траекторий.

Поля Бельтрами характеризуются уравнением rot v =öv, о=const ~ v(x) = rot rot S(x)lp+ Orot S(x)lp, (3)

S(x)=jS_j UjSjix), sjtxJ^ajtOp)?1 j1 (cos 8)exp(lJ<p), где x - радиус-вектор точки со сферическими координатами (р,8,ф), an(X)=№/2),/2Jnt,/2U) Jm1/2(x) = (|^)'/2 -

. 2 т/2 .mtn _

функция Бесселя, Рт(с)=' '- =-(с -1)п, Осп-т - присоеди-

п , , т+п

2 n! dx

ненные многочлены Лежандра, u^consr, J>0 - целое, (Iр,iQ.i ) -базис координатных ортов в сферической системе координат. При JT , ._(0)=0 поле удовлетворяет условию непротекания жидкости через

О* I / с

границу аП: (у,1р)|а^=0. Без ограничения общности 0>0. у(х)сС°°(П) бездивергентно и является динамически возможным: оно удовлетворяет уравнению Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, и уравнению Навье-Стокса с силой F=v02v (v - коэффициент вязкости). В координатном виде уравнения траекторий (3) принимают вид

J(J+1) p"2aj(öp) Q(cos 9.ф).

. al= PJ2<3paJ(öp) Sä + 0aj<ör> g/sln е>- (4>

P'2(gpaj(0P) - eaj(Or) |§/slh 9),

СКс.ф)^!^ u.p'J'ic) expdfo). (5)

Свойства динамической системы (4).

Лемма 7.

i. Сферы p=7J1{/0 (7^, k=1,2,...- корни функции Бесселя Jj+1 /г <7<П{)=0) являются инвариантным лногообразияяи (4). П.. Диншшческая система (4) илеет заякнутые траектории на поверхности сфер p=EJlt/0 (ij^, k=1,2,...- корни функции

точка обозначает дифференцирование функции по ее аргументу), удовлетворяющие условия Q=0.

¡Голе скорости (4) илеет стационарные точки трех'шпов: &■,. центр сферы р=0 (если J?2);

bi. стационарные точки на инвариантных сферах p=£Jk/C,. где ■• ffi

ЗБ= §§/sin 0 =0; (6)

с. б случае совлестности уравнений Q=0 и (6) ~ все точки радиусов в направлениях, заданных жили условият.

Таким образом, при 0=7Jm весь объем П разбивается на in несообщающихся сферических слоев. Каждая траектория либо стремится к некоторой сфере, либо совершает вдоль радиуса колебательные движения. Точнее, имеет место

Лемма 8. Пусть траектория динамической систелы (4) такова, что существует ^lm p(t)=p~. Тогда выполнено не ленее одного из условий:

I. а^бр^оГ

II. ¿а(бр")=0 и существует ^lra Q(t)=0;

ill. при t-<» существуют пределы Q^O, fg-0, fjjj/sln 9 -0.

Для произвольного J построено трехпараметрическое семейство интегрируемых динамических систем (4), имеющих простую геометрию -осесимметричных относительно некоторой оси (нэ обязательно совпадающей с осью сферической системы координат): Леша 9.

Í. 'Хункиия х= cos ® С03 б +sln ® sln 0 sln((p-<p0)> >a=const.

ip0=const, í=const представит в виде линейной колбинации (5). II. Пусть Q(cos 9,ср)= £Р°(х). Тогда (4) ихеет первый интеграл I(p.%)= aj(0p) exp(-J<J+1) / Р°(%) ((1-%г)Р°(%))"1 d%] . При J=2 проводилось численное исследование решений системы (4). Для визуализации течения было построено отображение последования Пуанкаре больших кругов. (fMkx и <р=ктс+%/2.

Первый из исследованных случаев u0=1, =и, =1 /24. u^i^O, является малым возмущением интегрируемого случая u^u^u^u^. Вид отображения Пуанкаре дает определенные основания для выбодэ, что траектории этого течения лежат на гладких многообразиях и не обнаруживают стохастического поведения; хаос', если и есть, слаб. Однако, на некоторых сечениях видны структуры типа Канторового множества, что указывает на наличие у этих траекторий небольших по величине положительных показателей Ляпунова.

Второй исследованный случай отвечает коэффициентам J=2, uo=0, u_,=u,=u_a=u2=1. 0=72iз=12.322941... . (7)

Отображения Пуанкаре отражают ело ясную Лагранжеву структуру траекторий данной динамической системы. Присутствие хаоса очевидно; на сечениях Пуанкаре (рис.1) можно выделить систему КАМ-торов и область, где поведение траекторий носит стохастический характер.

СТЮМ > - О. л

Рис.1. Отображение Пуанкаре сечений сферы ф=пх для течения (3), (7). Вертикальная штриховая линия - ось сферической системы координат 6=0,*. Малыми латинскими буквами обозначены системы КАМ-торов.

Численно определены показатели Ляпунова пробных траекторий, отображения Пуанкаре которых построены; максимальный их них «0.9 .

Поле скорости (3),(7) имеет стационарные точки типов ( и it Леммы 7. Их показатели Ляпунова совпадают с собственными значениями тензора напряжений (матрицы Якоби). Его собственные векторы в центре в декартовой системе координат épicos %/8,0,sln х/8), е2=(0,1,0) и e3=(-sln ic/8,0,cos тс/8) имеют собственные значения 1.2(1+v2)03/|v|, —2.4<33/|V| и 1.2(1-v2)03/|v|, соответственно. Линии в направлении векторов ej^ обозначим через 1 .

Стационарные точки поля скорости (3),(7) типа it трех видов (см. рис. 3): (А) точки пересечения инвариантных сфер с прямой в направлении неустойчивого многообразия центральной стационарной точки, (В) с осью у (12), (С) с линией 13. Стационарные точки, лежащие на одной инвариантной сфере, соединены гетероклинными траекториями, являющимися дугами трех ортогональных больших кругов, лежащих в плоскостях, определяемых направлениями Стационарные точки,'принадлежащие разным инвариантным сферам, соединены гетероклинными траекториями - отрезками радиусов вдоль прямых 1,. Во всех трех случаях направление собственных векторов то же, что и в центре. В случае (А) собственные числа равны, соответственно, 3(HV2)nk, (~3-VZ)nu, -'/Hnk: в случае (В), (3+VZ)nk, -6nk. (3-v7)ry в случае (С), УВг)к, (v?-3)ok. 3(1-V2)r?k; Пк=ба1 (7г П,<0, при изменении индекса к знаки ок

чередуются; устойчивые и неустойчивые многообразия стационарных точек, принадлежащих соседним инвариантным сферам, меняются ролями. Показатели Ляпунова достигают максимума' в центре, и существенно больше в стационарных точках, чем хаотических траекторий.

Применение метода Галеркина. Д"я поиска доминирующего собственного значения о оператора магнитной индукции использован метод Галеркина, лежащий в основе формализма Булларда-Геллмана.

В качестве базисных использованы бездивергентнь^ собственные функции h (С°°(П) оператора Лапласа, -Ahg=C3hs. УД01 етворящие краевым условиям (I). Они образуют две серии: тороидальные "W1-ot VW)Pnml (cos 0)eip(top)lp в fi; 1^=0 вне a !ía=""W Jn,i/2(W 0: n-1.2....; -nsm<n; k= 1,2,...), и голои-■ далыше P^rot rot ^Ip. «nmk-ah(Pnkp)p',a| (cos e)exp(ün) в П;

WV'W^'n (cos 0)в*Р(1®Р) вне а (СаН&. Jn-,/2(P«kí"°)-

В соответствии с результатами главы I Z имеет дискретный спектр

и полную систему корневых векторов В1<С°0(П). В силу (2) задача сводится к поиску доминирующего собственного значения матрицы I,

(v^(x)=rot rot S^(x)lp+0rot S^(x)ip, 0®'- символ Кронекера) и собственного вектора в конечномерном подпространстве Ер, поровденном базисными функциями ha с CasR2.

Рассмотрены вопросы расчета коэффициентов матрицы L. Пусть he~exp(lmtp), hs,~exp(lm*cp). При m'*m+J, ^ (tvj.hj.rot JTJdx3^.

Для случая m'=n»-d обозначим

A(m,nJ,J,n')= |(jPl™,Plj,-mPl™,P1^1)P«™tdt(c)dc.

I(m,n,3,J,n' )= J P1*1'OP'^OP'^Uodc. Y(n, .y, .113 ,y2 ,n¡,y3 )=y2y3(r^ (Пз+1 )-Пз (n3+1) )ап(У1 )á^y2 Já^

y,y2n3<V1 >йп<У1 »^г^э^ WV1 )án,(y,

уг(n3(n3+1) (yf-yf-y^ H2IL, <V1 }an(y, p)á^y2p)a^y3p)<lfH

ZCJ.O.n.p^.n' ,7a.k. i^Tn-ic^J^i^^nk^n- <Vk-

/aJ(0p)an(Pnkp)an,<7n.k.p) p"2dp/2-

n' (п'+1НР^~7^.к.+0г)] ¿aJ(Op)an(Pnkp)an.(Tn.k.P) dp'2. Тогда ¿üv^T^l.rot T^^Jdr3.

xlOa.n.J.J.n' Шпл^.п' •

2xl0n' (n'+1 )A(m.n,3,J,n' í/ajíOPíantTnkPíajj. <7n.k.P> p"2dp.

2xip2,k,J(J+1 )A(m,n,í.J.n')jaJ(qp)an(7nl(.p)an.(pn.k.p)p"2(lp,

icOKm.nJ.J.n' WJ.O.n.p^.n* ,7n.k,.)+ 2*U(m,nJ,J.n')Z(J.01n,pnk,n',7n,k.),

icp2.k.I(m,n J. J,n' )Y(n* .Pn.k.. J.0.n.Pnk)+ 12

¿Uv>.

2 • 1 ? 2*1С|£.к.п(гн1 )A(m,n.J,J,n' )/aJ(Cp)an(Pnkp)an, (Pn>k,p)p~2dp.

Четность P£(c) и cn+m совпадает, поэтому A(m,n,J,J,n')=0, если n+n'+J четно, и I(m,n,J,J.n')=0, если n+n'+J нечетно. Известно разложение, содержащее коэффициента Клебша-Гордона:

m1 mg п1+п2 т1+т2 (2n* 1 ) (п-т^-nig )! (n^-Hig-H) !q!

Pn/C' § Pn (C)(n+n1+n2+1 >!(q-n, )! (4-112 )! (q-n)i'

min(n-m,-m_,n,-m.) n.-m.+q-ma. , ... .,

1 <2 1 1 (n,+s)!(ntn_-m,-a)!

j l"1 /_' '_e 1_ /о \

a=maot(0,n-n2-m1 ) a! (n-m1-т^-а )! (n1-m^-a )! (ng-n+m^+a )! v '

(внешнее суммирование здесь ведется по п, имеющим ту не четность, что и i^+i^, и не меньшим, чем max(In,-^! .п^+п^), 2q=n1+n2+n). По свойствам ортогональности функций Лежандра если сумма каких-либо двух чисел из п, п' и J больше третьего, то I(m,n,3,J,n')=0. Лемма 10. Данный критерий отбора верен такте Оля A(m,n,J,J,n*). Соотношение (8) использовано для вычисления интегралов I и А специальными алгоритмами, нейтрализующими при больших значениях индексов n,.г^.п известный эффект потери точности при взаимном сокращении больших чисел в знакопеременных рядах. t Вычисление выражений Y и Z сведено к вычислению интегралов jan(y1p)an(yjp)an^ykp)p"radp при т=0 или 2, п^п^.гу- натуральные,

n1+nJ+nk нечетно, yp=const. Интегрируемое выражение - четная аналитическая функция, быстроосциллирующая при больших Рассмотрим ряд Фурье по (0,2*1 после подстановки р=соз

оо А •

ап(у соз {) соз~т£= ак(п,у,и)соз к? (суммирование проводится'по к той же четности, что и n+1-m),

п /п v т\ 2_ v rn»1+2J-m (-1 Г<у/4)_*

^ "ТТл^ J5m&s(0. J ♦ (n+1 -m-k )/2 .. п ,„1/

1+uO (m+k-n-1)/2) 31 0$psn+ J 2

Функция ап(у соз £)cos~m£, n^ra-1, бесконечно дифференцируема на всем интервале периодичности, включая границы, поэтому при к-« коэффициенты а^п.у.ш) быстро убывают. Для вычислений ^ программно реализована арифметика контролируемой точности, компенсирующая прогрессирупцую потерю точности лри больших п и у. Имеем

Р.5.а VW0)\{пУуГ0)5a(nk'Vni)[(1-(P+q+s)2)-1 +

(1-(p+q-3)2)-4(1-(p-q+3)2)-, + (1-(p-q-S)2)-,]/4. Разработаны специальные алгоритмы оптимизации итерационного вычисления доминирующих собственных значений матрицы Галеркина:

bi+rTVITbil. T=I+eL- О)

где I - единичная матрица, e=const>О удовлетворяет соотношению maz|1+svq|=|1+eoR| (максимум по множеству всех собственных значений матрицы L), выполненному для всех достаточно малых г>0.

Пусть Ь - аппроксимация собственного вектора матрицы Тс действительным собственным значением о. Естественно^определить а,

оценку о, как величину, минимизирующую невязку /ТЬ-оЬ(: ~ р

o-(Tb,b)/|b| , и меру погрешности, как нормализованную невязку при выбранном значении о: E(b)«|Tb-b(Tb,b)/|b|2|/|b|.

I. Предварительно вычислив несколько пар комплексных собственных значений vq матрицы Т с большими мнимыми частями итерациями (9) при относительно больших е, построим отвечающие им характеристические полиномы pq. Для устранения компонент итерации bt, принадлежащих собственным подпространствам, отвечающим вычисляем b±=g pq(T)b1.

При применении этого алгоритма скорость сходимости практически слабо зависит от величины е, равного доле 1/ngx|In v |. Так, вычисления проводились с e=|/m^x|Ini vq|. Этот алгоритм рекурсивно

используется для вычисления самих, v с большими мнимыми частями.

q

II. Пусть h и h' - нормированные собственные векторы матрицы Т с действительными собственными значениями о*0 и о'*а,

b±=(h+aeh'+<?(&) )/|h+aeh'+<?<ae) i=h+ae(h'-(h,h' )h)+<? (ae), ae - малый параметр. Доказано, что

bi+q=h +WT T?=5^el®1<ae(5 )Ч) *в{*)г b"=h'-(h,h' )h.

Соответственно, (ниже предполагается о'/оъ0, что обычно выполнено, т.к. е мало; в противном случае рассматриваются итерации одинаковой.четности) алгоритм 11 состоит в (I) вычислении Ь1+ , OiqiQ; (2) восстановлении линейной зависимости bltq(E(b1+q>) (например, согласно методу наименьших квадратов определяются векторы v и V, минимизирующие q?0lbi+q-E(bitq)v'-v|2); (3) определении е, минимизирующего E(v+ev'); (4) пробы v+ev' для дальнейших итераций. Последний шаг носит эвристический характер и отражает тот факт, что равенство выше имеет слагаемое <?(ае).

III. Пусть b^ih+aeh'+ff (ae, )/|h+aeh'+<?(ae) |, h и 1Г принадлежат некоторым d и d'-мерным собственным подпространствам V и V' матрицы Т, пересечение которых тривиально, отвечающим разным множествам собственных векторов, ае - малый параметр.

По векторам {Т^, O^qid} оценим коэффициенты рт учрактеристи-

ческого полинома ру подпространства V. Например, пусть по методу наименьших квадратов коэффициенты рт оценки характеристического полинома ру минимизируют |ТаЬ1+0<т5<1_1 ртТтЬ11^. Очевидно, |р -р 1=€>(зе), и корни р приближаются корнями р_ с точностью 0(ае /Л), где к - максимальная из кратностей корней ру. Положим

яч= р^+1(Т)Ь1 + ч/|р^1 (Т)Ь1+ч1-(^+1 (Т)Тч1Г+»(1 ))/|р^+1 (Т)ТЧЬ' По векторам и , построим оценку ру.(х) характеристического

полинома V' точности в(1) (опять можно применить метод наименьших квадратов). Берем ру. (Т)Ь±=(ру, (Т №+«■(*))/|11+айГ+»(ге) | для дальнейших итераций. Они точнее приближаются векторами из V, чем

с другой стороны, в них сохранены все компоненты Ь± разложения по базису собственных векторов Т, принадлежащие V.

Алгоритм 111 применялся с с!=сГ=2 при вычислении как искомого доминирующего, так и комплексных собственных значений для применения алгоритма 1, и с 6=1, й'=2 при вычислении доминирующего собственного значения. С с1=сГ=1 он является альтернативой алгоритму 11, но, как показали тесты, менее эффективен. При б=с1*=1 применим д2-алгоритм Эйткена, но по результатам тестов он еще менее эффективен.

В качестве теста была повторена часть расчетов стационарного динамо Пикериса и др., 1973.

Численно исследовано динамо, отвечающее течению (3),(7).

Назовем поле симметричным относительно линии 1, если оба потенциала полоидальной и тороидальной составляющих симметричны относительно 1, и антисимметричным, если они антисимметричны. Эти потенциалы не единственны, поэтому дадим эквивалентное определение. Пусть ось сферической системы координат 6=0,ж совпадает с 1. Поле симметрично относительно 1, если компоненты векторного поля в базисе ортов этой системы координат симметричны относительно 1, и антисимметрично, если компоненты антисимметричны. Если ось г декартовой системы координат совпадает с 1, то поле симметрично (антисимметрично) относительно 1, когда Ь (-х.-у.г^Ь^х.у.г), Ъу(-х.-у,г)=--ьу(х,у,г), Ь,(-х,-у,2)=;Ьг(х,у,2) (берутся верхние или нижние знаки, соответственно).

Если поле скорости симметрично относительно оси 1, то Н°(0) является прямой суммой собственных подпространств оператора магнитной индукции £: одно состоит из векторных полей, симметричных относительно 1, другое - антисимметричных. Поле скоростей (3), (7) симметрично относительно прямых 1 . В соответствии с этим

определим собственное подпространство X функций, симметричных относительно оси 12, и Y - инвариантное ортогональное дополнение к X функций, антисимметричных относительно 12.

Структуры магнитного поля. Расчеты проведены в обоих подпространствах при1 16.038iRms112.266, в е105 при зг.сяб^^ш.гбб (I6I258 Оазисных функций). Для Rm=I6.038 достаточное разрешение достигается в E5g (28081 базисных функций). Rm=16.038 близко к стационарному динамо в X. Около 3-5 тысяч вычислений произведения ТЬА требовались для достижения оценки Е(Ь1)<10"10. Для контроля сходимости проведены вычисления с меньшим числом базисных функций. Собственные значения сошлись с точностью 10"3-10"4.

Графики энергетического спектра магнитного поля В и плотности тока rot В показывают, что разрешение использованных множеств базисных функций достаточно для представления магнитных мод при I6.038sRm<II2.266 (затухание более, чем на 2 порядка в X при R =112.266 и в Y при R г96.228, и более 3 порядков при меньших

Ш ГО

Rm), электрического тока rot В - при Rmi48.I52. На интервале I28.304$Rm<I92.456 для представления магнитного шля требуется лучшее пространственное разрешение, превосходящее доступные вычислительные ресурсы. Однако, т.к. собственные значения сходятся быстрее собственных векторов, на этом интервале выполнены расчеты доминирующих.показателей временного роста магнитных мод также в Е105. При этих R точность собственных значений не менее 0.01.

Полученные результаты предполагают, что рассматриваемое пола скоростей является генератором быстрого динамо (рис. 2). Однако при рассмотренных числах Рейнольдса область асимптотического поведения, по-видимому, не достигнута. По М.М.Вишику, в пределе больших Rm коэффициент роста магнитного поля ограничен сверху величиной lnl sug где максимальный показатель Ляпунова

траектории t, а 3 - множество траекторий полной меры (объема). Она оценена в «0.9, что существенно меньше-собственных значений в Y, Обльщих 1.5 и продолжающих расти! (Этот рост, впрочем, сравним с

1 Используется определение магнитного числа Рейнольдса. в котором . поле скорости нормировано на квадратичное среднее т=(^ГШ7 ^lvl2dx3)1/2- Чтобы перейти к числам Рейнольдса,

определенным через максимальную скорость, для поля (3),(7) указанные значения Т^ надо умножить на 3.83.

Рис.2. Доминирующие показатели временного роста (вертикальная ось) магнитных мод как функция магнитного числа Рейнольдса (горизонтальная ось) в инвариантных подпространствах оператора магнитной индукции X (сплошная линия) и у (пунктир).

ошибкой определения собственных значений).

Доминирующая магнитная мдда'в X антисимметрична относительно 1, и 13: доминирующая магнитная мода в У симметрична относительно 1, и антисимметрична относительно 13.

Структуры магнитного поля аналогичны возникающим в случае периодического динамо 1:1:1 АБС-потоков. При увеличении числа Рейнольдса магнитное поле в У концентрируется в жгуты, вытянутые вдоль растягивающего направления 1 , соединяющего центр со стационарными точками типа А на внутренней сфере. В X геометрия сложнее: поле концентрируется в два сближающихся жгута вдоль 1, и два вторичных жгута меньшей энергии вдоль 12. С ростом Ет жгуты утончаются, а достигаемые в них максимумы поля растут.

Геометрия поля предполагает, что генерация магнитного поля обусловлена генерацией около центральной стационарной точки. Для модельного поля скорости, которое в декартовой системе координат имеет вид (Ч^х.Ч^у, (и, +и2)г), и±>0, Моффат дал стационарное решение ВдехрЦ-и^-и^Ж^ги , представляющее жгут магнитного поля, вытянутый вдоль оси г. Как и в этом решении, магнитное поле в жгуте, генерируемого у центра, параллельно Из модельного решения получаем оценку отношения осей жгута в направлениях 1 и 13 ((■/2-1)/2)1/2, что также совпадает с величиной, рассчитанной в У.

Несомненно влияние стационарных точек на инвариантной сфере р=7г ^б. Магнитный жгут не достигает стационарных точек А-типа нв сфере р=7,, ,/0. В X вторичные жгуты продолжаются за стационарные точки В-типа на сфере 72 ,/0, но не достигают центра и стационарных точек В-типа на сфере р=7£ 2/0. Это объясняется тем, что в недостигаемых стационарных точках'направления жгутов совпадают с направлениями локального сжатия.

Известен механизм возникновения листов магнитного поля в окрестности двумерного неустойчивого многообразия стационарных точек. В настоящей задаче таким многообразием для расположенных на инвариантной сфере р=72 ,/<3 стационарных точек А-типа является эта . сфера. Соответствующие листы магнитного поля в У в окрестности инвариантной сферы р-72 ,/0 распространяются почта по всей ее поверхности, в X - только в сравнительно малых областях вокруг точек А-типа. Стационарные точки С-тапа на инвариантной сфере р=72 ,/0 также имеют двумерные неустойчивые многообразия, одно из неустойчивых направлешШ направлено вдоль.радиуса. Это является

г

причиной возникновения структур типа листов магнитного поля, исходящих из стационарных точек С-типа в Y (аналогов в X нет). Магнитное поле, генерируемое в окрестности стационарных точек на инвариантной сфере существенно слабее поля, генерируемого в окрестности центра - в согласии с тем, что показатели Ляпунова в центре существенно больше, чем в этих стационарных точках.

Отмечены признаки влияния областей с хаотическим поведением траекторий. Так, магнитное поле "избегает" области, занятые системами КАМ-торов b и с. где показатели Ляпунова невелики. Это, однако, не выполняется для системы КАМ-торов а, находящейся в области максимума кинетической энергии потока.

Инвариантная сфера является, в некотором смысле, естественным барьером для магнитного поля, генерируемого в центре. Физически это объясняется тем, что т.к. проводящая жидкость не проникает сквозь сферу, магнитное поле пересекает ее только посредством диффузии, неэффективной при больших магнитных числах Рейнольдса.

Наблюдается главный пик около 80° и вторичный пик у 45° в X распределения угла между вектором магнитного поля и rot В. более выраженные при ограничении |В|^0.5|В | и |rot B|>0.5|(rot В) |.

тпдх max

Глава 3. Генерация магнитного поля движением проводящей среды. имеющим внутренний масштаб, в осесимметричной области: случай одной быстрой переменной. В главе построено полное асимптотическое разложение при наличии а-эффекта, когда объем 0 проводящей жидкости осесимметричен, и поле скорости параметризуется быстрой переменной, пропорциональной азимутальной координате.

Пусть осесимметричный объем жидкости 0 имеет гладкую границу еП, n'=R3\0 связно. Обозначим x=(r,(?,z) - точка в Q - медленная переменная, Ф - быстрая переменная, пропорциональная азимутальному углу ф: Ф=Пф, п-оо положительное целое (для геометрической самосогласованности Ф), коэффициент магнитной диф$узии dm постоянен.

Пусть в П задано гладкое векторное поле ГС(х,Ф), 2х-периодичное по быстрой переменной Ф, <W>=0, и поле скорости

v"=U(x)+n-,/2rot(ff(x,®)|ф=Пф) • (10)

(в Леммах II-I5 не предполагается, что dlv v^div ü =0). Рассмотрена задача об определении спектра оператора магнитной индукции £nH-d дН+rot [vn,H)=AnHn (11)

ш _

в пространстве соленоидальных полей, удовлетворяющих (I). Асимптотическое разложение собственных значений А" и

собственных векторов Н" оператора £п при п-«° имеет вид Hn= HotxJ+^n-^tH^xJ+Gjtx.®)^^). <Gj>=0.

An=J|0n-J/2A.;J. (12)

Главные'члены этих рядов HQ и Х0 являются соответственно собственной функцией и собственным значением оператора

JTH- d ДН +rot(U,H) +rot ГН(ф,11Л. Г(х)- 2(d r)_1<W(z) >

m ф m ow

((g(rg<4>.' g(z)) - координаты вектора g в базисе ортов (1г, 1г) цилиндрической системы координат). Вновь появившийся член rot ГН((Р'1 отвечает а-эффекту.

Рассмотрим основные физические особенности данной магнитогидродинамической системы. Поле скорости (10) с точностью до членов меньшего порядка является меридиональным:

V-W'2 l^(W<*Vw<r\>|Ф=пФ+0(1)-

Так не., как тороидальное магнитное поле создается из полоидального вследствие растяжения при дифференциальном вращении, в настоящей магнитогидродинамической системе азимутальная компонента среднего магнитного поля из-за переноса среднего магнитного поля доминирующей компонентой скорости становится источником меридионального осциллирующего магнитного поля. Главная часть осциллирующей составляющей Gn=Hn-<Hn> мода Нп возникает при конкуренции эффективного диффузионного затухания и переноса среднего магнитного поля главной по порядку осциллирующей компонентой поля скорости. Это определяет порядок главной части Gn, равный 0(п"'/2<НП>). Она тоже оказывается меридиональной:

Gn= n-,/2<Hn><<P)(-WU,l +W(r,i )U _,я ft +©(n"1).

r z IФ=Пф m

Распределение плотности тока rot Нп в главном также меридионально и ортогонально всюду главной части поля скорости: J"=n1 /2<н"> ((Р' ' lr+W<2 »lz ) |ф=Пф/ (rdm)+0( 1 )

Можно провести параллель с теорией магнитогидродинамики средних полей. В уравнении для среднего моды Нп d Д<НП> +rotlU,<Hn>] +rot «П=ЛП<Н">

m

появляется новый генерационный член rot 8П. Как и в теории магнитогидродинамики средних полей, средняя электродвижущая сила

Sn =n_,/2<(rot W,Gn]> =Г<Нп>(Ч?)1(р+©(п~,/г) возникает при осреднении векторного произведения осциллирующих составлящих поля скорости и магнитного поля и линейно связана с величиной среднего магнитного поля <НП>.

Глобальное магнитное число Рейнольдса оценивается в задаче, как

Нт= IV111 |Ь|/|йт1=о(п,/2) (Ь~1). Поле скорости зависит от быстрой переменной Ф, поэтому поток жидкости имеет почти-периодическую структуру с угловыми размерами ячейки вдоль 1 Ь~27с/п, и определено также локальное (в расчете на ячейку) число Рейнольдса Н*=0(п~,/г). Они не характеризуют отношение характерных значений переносного и диффузионного членов ц-ои^.Н")\/\й ДНП|=©(1).

т

Построим формальное решение задачи в виде рядов (12) и

Нп=^0п-^(Н^(Х.Ф)|ф=Пф). . ' (13)

(Н^ удовлетворяют (I). <11у Н;)=0, <С;)>=0). Подстановка (10), рядов (12), (13) в (II) дает

1/? 4 ^

,.2. п~3/г(. 2 . (а Н, +Ь 0, )- П, (Н+С))=0, (14)

ЗЪ-4 т=-1 ш ^ + т т ;)+т ш=0 ,}-т ш т

где <2=ГоМУ, №,=-№(г)1г+^(г)1г, |5(8(г)1г-8(г)12)

а_,н-гогх[0,н), ь"1с=гогхга,с].

а Н=(1 ДН+гоШ.Н], Ь.С=с1 Л С+пП (и,С],

От О т х х

а^гог^ШУ.Ш+ШСЗ.Н], Ь^го^Ш, СЗ+ИСО.С],

а2Н=0. 2 ЬгС=2<Зтг-г §^+Н1и.С].

а3Н^-г"гН(ср) г, ь3с=1 |ф(тт й(<С>),

а4н=0. Ь4СЛ,Г~2 Й2

(дифференциальные операторы с нижним индексом х являются соответствующими операторами с частными производными по медленным переменным). При Л<0 в (14) Н^=0, С.,=0, а последняя сумма т20 отсутствует. Решение первых пяти уравнений, полученных последовательным приравниванием нулю коэффициентов степенного ряда (14), полностью определяет главные члены разложений (в частности, Со=0).

Леммы П-16 доказаны при следующих условиях: и€С°°(П); И(х,Ф)£С°°(П' £0,21с]); если О содержит точки оси г=0, то при г=0 № и все ее частные производные равны 0;

Лемма II. При К>С' ЦНЦ,/2«С| (^п-А.)Н|_3/2, ЦНЦ^ (Г,-\)Н|_3/2 (С,С'>0 - некоторые констант, не зависящие от НеН (П)).

Из аналитичности се"-*.)"1 и (Г*-*. Г1 по \ из Леммы 17 следует, что эти резольвенты определены при всех Л^С*.

Лемма 12. При \>С' (С '-из Лелиы 11 )

II )■-1 -<:Г-\)-' Ц0«Слп~1 /2, откуда следует

Лемма 13. К кахОолу собственном) значению Л" (кратности т) оператора сходятся ровно т собственных значений {включая кратные) Л"к операторов £п: |Л^к-Л™иС1п',/2го; соответствующие

m-лерные подпространства сходятся с оценкой проекторов

ВРп-Р00И0«С1п-1/г. . (15)

Дальнейшие результаты изложены для случая, когда собственное значение Л00 оператора имеет кратность I.

Лемма 14. Все члены ряОов (12), (13) ложно определить из условия равенства пула членов ряда (14). i 'f'+dlv G =0 при всех J.

Г OW j ♦ с. X J

Обозначим i^=;JE0n"J/2(H +С;)(х,пф)), p£tC'(R3) - решение задачи Ap£=dlv b.Q, лр£=0 в Q\ р^О при f£-vp£<H0(Q). поэтому

определены h£«Pn(f£-?p£) (Рп- проекторы в Н°Ш) на одномерные собственные подпространства операторов отвечающие собственным значениям Лп-Л°°) и g£-(1-Pn)(iJJ-vpJJ) ^

Лемма 15. Лля любого k^O, (k+1

|h£i0=H©(n",/2). |Лn-J0n-;l/2\.)|=«><n-(kt,,/2).

|vp£ia=€.(n3-(k+1 ,/2). <lt+1 ,/г).

По теореме вложения Соболева отсюда следует асимптотическая сходимость (13) по норме максимума модуля с любым числом производных.

Лемма 16 показывает, что в рассматриваемой иагкитогидродинамической системе а-эффект естественно связать с интегралом спиральности векторного потенциала поля скорости I(V)-^(A,V)dx3

(V=rot а). а определяется с точностью до градиента, однако для полей V, удовлетворящих условию непротекания, интеграл спиральности векторного потенциала поля скорости, инвариантен относительно выбора векторного потенциала.

Лемма 16. Пусть (10) описывает стационарное поле скорости не-сжилаелой жидкости (dlv v"=dlv U=0), и выполнено условие непротекания через границу вП (v",iv)|afi=(U,iv)jГладкая и осциллирующая составляющие поля v" Ьахт асимптотически независимые вклады в интеграл спиральности векторного потенциала Vй, равные интегралу спиральности потенциала гладкой составляющей и -dm ^ rdx3.

Глава 4. Генерация магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб, в сфере; сдучай трех быстрых переменных. Аналогичным образом в датой главе построено и обосновано полное асимптотическое разложение собственных значений и собственных' функций оператора магнитной индукции при наличии а-эффекта в задаче о генерации магнитного поля движением проводящей жидкости в сфере П единичного радиуса с полем скорости v11, имеющим осциллирующую составляющую, зависящую от трех быстрых переменных.

Пусть в 0 задано гладкое векторное поле Я(х,Р,9,Ф), периодическое по быстрым переменным Р, 9 и Ф с периодами I, х и 2х соответственно (х=(р,е,ф) - точка в 0 в сферической системе координат), -И-=0. Рассмотрим задачу определения собственных значений Л" и собственных векторов Н" оператора для поля скорости

уп=и(х)+п'"1/гго1(ГГ(х.Р,е.Ф) |р=пре=п9ф=пф) (16)

(в Леммах 17-22 не предполагается, что (Ш у^сПу и =0) в пространстве соленоидальных полей, удовлетворяющих краевым условиям (I). Их асимптотическое разложение при п-«> имеет вид (12), н"=н0(х)+;,|,п-^2(н^х)+сл(х.р.е.Ф)|р=пр1е=пе1ф=Г1ф).

Главные члены этих рядов Н0 и \0 являются соответственно собственной функцией и собственным значением оператора Г'Н-с1 ДН+гог[и,Ш+гоШ.

ш

Член" го отвечает а-эффекту. Линейный оператор л! в базисе ортов сферической системы координат (1р.1е.1ф) задается симметрической матрицей

Л =

■аРР(х). аР9(х), арср(х)1 аор(х), а"(х), а6<р(х) а^Р(х). <^8(х), а^(х)

Для данной задачи также имеет место аналогия с теорией

магнитогидродинамики средних полей: средняя электродвижущая сила

«П=п~1 /г-(гог я,сп)» =^-нп.+г>(п",/г)

возникает при осреднении векторного произведения осциллирующих

составляющих поля скорости и магнитного поля.

Как и в главе 3, данная задача характеризуется величиной

глобального магнитного числа'Рейнольдса И =©(п,/г) и локального 11/? т числа Рейнольдса 1г=0(п ).

го

Рассмотрен случай аксиальной симметрии. Пусть И=И(г,г,Р,8,Ф), и=0р(г,г)+и(г.2)1 . Н°°=гог х(г,2)1ф+Н(г,2)1ф- разложение и и осе симметричной собственной функции Н°° оператора на полоидальнуп и тороидальную компоненты. Тогда

<1т(Д-г-г)х -г"1 (0 .-е-) (гэс) +<^ррг-11>,гх+Лх+а^Н =\0*. <уд-Гг)Н -г(ир,у)(Н/г) +[-7(и/г).7(гх)](ф1-

Ьг (а0Рг~1гх-к^^х+а®4^)

¡р-г У, Э2-(г2+а2Г1'2(1+г У (вне П Н=0, (Д-г" )х=0; 1Н1вП=1%1вП=0). Эта система является обобщением уравнений генерации Брагинского.

Генерация тороидальной компоненты магнитного поля из полоидалыгой происходит вследствие как дифференциального вращения, так и а-эф-фекта; в рассматриваемой системе сочетаются ои-эф!ект и о^-эффект. Построим формальное решение (II) в виде рядов (12) и нп=^0п-^(нл(х.р.е.ф)|р=пре=пе1ф=пф) (17)

(Н^ удовлетворяют (I), <11у Н.^0, «С -=0). Подстановка (16), рядов (12), (17) в (II) дает

(обозначено сг=гогхИ, ве=1 |д. Вф=^ГБ ^

пе=(Вев(ч"-0фв(в')1 ^(Бфв4Р'-ВрвКР'м^Орв'0»- ^'Р'и .

а_1Н=гогх[Ч,Н), ъ^го^КЗ.С),

а_н=<1 дн+гогги.н], Ь-С=с1 л с+гог [и,с].

От О т х х

а.н=гог нш.ш+то.ш, ь,с=пп (ни.о+шскс].

1л. IX

ЪгС=йт[2^ §+|(2ВрС Ч2з1п-1е Вф Щ +2Вд +сге9 В0О))+Ши.С].

а3Н=(Н(Р1Бр+Н( 1Бд+НСф1 Вф) М!, Ь3С=ЕIИИ,С].

а2Н=а4Н=0, Ь4С=с1ш(1)Р+ С8+ ВФ)С:

(в(р}'.6(ср>) - координаты вектора & в базисе ортов сферической

системы координат (1р,10,1ф), При 3<0 в (18) Н^=0. С^О, в

последняя суша | отсутствует). Реше1ше первых пяти уравнений, полученных последовательным приравниванием нулю коэффициентов ряда (18), полностью определяет главные члены разложений. В частности, Со=0, а компоненты тензора Л имеют вид аРр(х)=«(ВрИ,П£)»/й . аее(х)=«(В|\Т.Н£),/с1т1 аре(х)=аеР(х)=«(БрБе?У.пе)./(1т, а(«)(х)=«(В^,Н£)»/сз", ар^(х)=ач>Р(х) = « (БрВфА/,Е!0»/<1™. аеЧ)(х)=аф9(х)=«(ВеБ^,ке)»/(1т, где (0,1 Ы0,хЫ0,2к)) при

0<6<7С удовлетворяет уравнению (Бр+в|+Вф)Е=-И с периодическими граничными условиями по Р, в и Ф, «{»=0; при е=0,тс £=0.

Леммы 17-22 доказаны в предположениях И(х,Р,в,Ф)€С°°(П> (0,1 ]. [0,1]»[0,2*]); при 6=0,* и при х<аП И и все ее частные производные равны О.

Лемма 17. При \>С' ||НЦ,/2«С|(Хп-\)Н|_э/г. ННЦ)/2«С| (*"-А)Н|_3/г (С, С'>0 - некоторые констант, не зависящие от Н«Н,/г(П) ).

Вследствие аналитичности (^-М-1 и С£0°-\Г1 по \ из Леммы 17 следует, что эти резольвенты определены при всех . Леша 18. При \>С' (С'- из Лвлт 17)

Лемма __19._ К кахдо^ху собственном/ значению (кротости, т) оператора сходятся ровно т собственных значений (включая кратные) Л"к операторов X": |Л^1(-Л~иС1п"1/гт; соответствующие п-лерные подпространства сходятся с оценкой инвариантных проекторов (15).

Дальнейшее изложение проведено для случая, когда собственное значение Л" оператора £° имеет кратность I.

Лемма_2СЬ Все члены ряд об (12), (17) .югут быть найдены из условия равенства нулю членов ряда (18). При этол V ^ РС^2+с11ухС^=0 (обозначено О5(х,Р,е,О)-Вря(р)+Оеб(0,->-Сф5(ф1).

Пусть Гк=^|0п-;,/г(П^4С (х,пр,п8,пф)), р^сС1 (И3) - решение задачи др£=<Ш в П, др£=0 вне П, р£-0 при р-~>, 11£«РП () (Рп- ^"-инвариантные проекторы в Н°(П) на одномерные собственные подпространства операторов £п. отвечающие собственным значениям

Деша.2Ь Аля любого к>0, (к+1 )/2>б>0:

|уР^з=о(п3-<кИ )/г), |^1з=<0(п3-(к+1 ,/г).

По теореме вложения Соболева отсюда следует асимптотическая сходимость (17) в норме максимума модуля с любым числом производных.

Лемма.22. Пусть поле скорости (16) описывает стационарный несхи-юежьсй поток жидкости (с!1у уГ1=«11у и=0) и выполнено условия непротекания через границу (V",1р)|аП=(и,Iр)|еП=0. Тогда гладкая и осциллирующая составляющие поля Vй вахт асимптотически независи.ше вклады в интеграл спиралъносш векторного потенциала поля скорости Ку") равные, соответственно, интегралу спиралъности потенциала гладкой составляющей и -<1 г ^ 4х3.

ш ^

В Закжченш сформулированы основные выводы, перечисленные шске.

В диссертации рассмотрены две модели кинематического динамо в осесимметрической (сферической) геометрии.

I. В первой модели рассмотрено динамически возможное течение Бель-трами проводящей жидкости в шаре, траектории которого носят в части фазового пространства хаотический характер. Численно методом Галеркина исследованы доминирующие собственные значения и структура соответствующих собственных векторов оператора магнитной индукции при магнитных числах Рейнольдса Нт?200, характерных для Земли. Полученные результаты предполагают, что исследованное динамо является быстрым, хотя область асимптотической зависимости от по-

видимому, еще не достигнута. Так; основные структуры доминирующих магнитных мод определяются генерацией в окрестности гиперболических стационарных точек, а не хаотическими траекториями в части фазового пространства положительного объема. Даны рекомендации о выборе поля Бельтрами. в котором влияние стационарных точек на генерацию понижено, соответственно, с повышением роли хаотических траекторий, выделены направления продолжения численных экспериментов. 2. Вторая модель - пример медленного динамо. В этой модели поле скорости зависит от быстрых переменных. Взаимодействие осциллирующих компонент магнитного поля и поля скорости обуславливает наличие а-эффекта. Магнитные моды и их инкременты роста допускают асимптотическое разложение по степеням квадратного корня из параметра масштаба пространственной осцилляции поля скорости. Главные члены асимптотического разложения мод магнитного поля не зависят от быстрых переменных. Доказательства приведены для краевых условий, отвечающих наличию диэлектрика вне проводящей среды, однако аналогичное асимптотическое разложение можно построить и для других краевых условий, например, для сферического слоя, разделяющего непроводящее внешнее пространство и внутреннее идеально-электропроводное ядро, что характерно для Смзики планетарного магнетизма.

Рассмотрены две возможные модификации данной модели. В одной проводящая жидкость занимает произвольный осесимметричный объем, и поле скорости зависит от быстрой переменной, пропорциональной азимутальной координате. Если средняя скорость осесимметрична, то главная часть осесимметричных мод магнитного поля описывается уравнениями теории Брагинского; присутствует аы-эффект.

В другой модификации поле скорости проводящей жидкости в сфере зависит от трех быстрых переменных, пропорциональных сферическим координатам. Присущий системе анизотропный а-эффект описывается симметрическим тензором и имеет черты ой-эффекта и с^-эффекта. В этой модификации магнитные моды отвечают требованиям модели динамо Земли: омическая диссипация преобладает на высоких гармониках, и (при соответствующем выбора поля скорости, например, Жх.Р.б.Ф)«-У»(х,Р,8,Ф)1р) тороидальное поле в сфере сильнее полоидального.

В процессе исследований получены также .следующие результаты:

I. Для произвольного ограниченного объема О с гладкой грающей построена шкала НЧШ) Соболевских пространств функций, удовлетворяющих краевым условиям, соответствупцих диэлектрику вне П.

Доказано, что естественная норма в эти пространствах эквивалентна Соболевской норме (кроме исключительных значений q=2m+l/2>0, m целом, когда она является более сильной, чем Соболевская). На основе этого получены оценки для функций, зависящих от быстрых переменных, для обоснования построенных асимптотических разложений, и доказана сходимость метода Галеркина для задачи на собственные значения для оператора магнитной индукции.

2. Разработаны алгоритмы оптимизации сходимости итерационных процессов решения произвольных задач линейной устойчивости.

3. Создана программа, позволяющая вычислять по методу Галеркина собственные векторы с доминирующими собственными значениями оператора магнитной индукции для произвольных течений Бельтрами в шаре.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Желиговский В.А. О стохастическом поведении траекторий одного класса течений в сфере.- В кн.: Численное моделирование и анализ геофизических процессов. М.: Наука, 1987. (Вычисл. сейсмология, вып. 20) с. 60-65.

2. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля одним классом течений проводящей жидкости в шаре.- В кн.: Теория и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука, 1989. (Вычисл. сейсмология, вып. 22) с. 92-108.

3. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля некоторым классом течений проводящей жидкости.- В кн.: Материалы VI школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости". М.: Изд-во МГУ, 1989, с. 25.

4. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб.- В кн.: Компьютерный анализ геофизических полей. М.: Наука, 1990. (Вычисл. сейсмология, вып. 23) с. I6I-I8I.

5. Желиговский В.А. О генерации магнитного поля движением проводящей среды, имеющим внутренний масштаб. II.- В кн.: Современные методы анализа сейсмологических данных. М.: Наука, 1991 (Вычисл. сейсмология, вып. 24) с. 205-217.

6. Zhellgovsky V.A. a-eifect In generation of magnetic ileld by a flow of conducting riuld with Internal scale In an axlsynroetrlc volume.- Geophys. Astropiiys. Fluid Dynamics, 1991, vol. 59, p. 235-251.

Огпочатано во БЕи'мотмап, Зшсг.з jO? Тпра-к ЮСркп.