Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Моделирование генератора главного магнитного поля Земли с помощью магнитных диполей и токовых контуров

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Ботвиновский, Всеволод Валерьевич

Введение

Глава 1. Методы моделирования генератора геомагнитного поля (обзор)

1.1. Методология моделирования генератора геомагнитного поля

1.2. Модели генератора геомагнитного поля

Глава 2. Описание рабочих методов и выведение важнейших формул

2.1. Общая схема постановки и решения обратных задач

2.2. Метод Ньютона-Гаусса

2.3. Расчет поля по сферическим гармоническим коэффициентам

2.4. Пространственно-энергетический спектр

2.5. Сферические гармонические коэффициенты поля произвольно расположенного магнитного диполя и произвольного токового контура

2.6. Алгоритмы картопостроения.

Истинщле.и(.лодшые магнитные полюса

Глава 3. Построение моделей на оснрве магнитных, диполей

3.1. Постановка задачи *

3.2. Метод решения

3.3. Моделирование

3.3.1. Построение однодипольной модели

3.3.2. Оценка параметров дополнительных диполей методом «пробного оптимального диполя»

3.3.3. Построение двухдипольных моделей

3.3.4. Построение трехдипольных моделей

3.3.5. Построение четырехдипольной модели

3.3.6. Построение пятидипольных моделей

3.4. Анализ результатов

Глава 4. Построение моделей на основе токовых контуров

4.1. Моделирование без ограничений

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Поле токового контура

4.1.3. Технология оптимизации

4.1.4. Восстановление параметров

4.1.5. Тестовые подгонки

4.1.6. Построение моделей на основе эллиптических контуров

4.1.7. Краткий анализ результатов моделирования без ограничений

4.2. Моделирование с ограничениями

4.2.1. Определение токов в паре колец, лежащих в экваториальной плоскости

4.2.2. Исследование морфологии поля одиночного и дифференциального токовых колец

4.2.3. Особенности методики построения моделей на основе дифференциальной токовой системы

4.2.4. Построение моделей на основе ДТС

4.2.5. Краткий анализ результатов моделирования на основе ДТС 177 Заключение 182 Литература

Введение Диссертация по геологии, на тему "Моделирование генератора главного магнитного поля Земли с помощью магнитных диполей и токовых контуров"

Актуальность темы и подходы к методам исследований

Несмотря на успехи, достигнутые в области теории геомагнетизма, приходится констатировать, что проблема происхождения магнитного поля Земли (и других космических объектов) далека от своего решения. Со времени становления геомагнетизма как науки было выдвинуто множество гипотез происхождения магнитного поля Земли, однако ни одна из них не была развита до стадии законченной теории. Альберт Эйнштейн даже включил эту проблему в число важнейших нерешенных вопросов физики, без адекватного ответа на которые задерживается прогресс науки в целом, и физики, в частности. С этой точки зре- -ния работа над созданием законченной теории происхождения геомагнитного поля, которая непротиворечивым образом сочеталась бы с данными других разделов геофизики (а также гелиофизики и планетофизики), имеет особую актуальность. Всякая такая теория должна удовлетворять, как минимум, следующим требованиям:

1) Должна обеспечивать принципиальную возможность генерации магнитного поля. Кроме предложения конкретного физического явления, связанного с генерацией магнитного поля, для удовлетворения данного критерия необходимо решить вопрос об источнике энергии, которую необходимо затрачивать на создание и поддержание поля.

2) Не должна находиться в противоречии с современными знаниями о строении Земли, полученными методами сейсмологии (travel time, splitting functions, сейсмотомография и пр.).

3) Должна увязывать механизм генерации планетарного магнитного поля с такими явлениями, как тепловой поток, геодинамические процессы и т.п.

4) Должна объяснять наличие либо отсутствие магнитного поля на других планетах и спутниках, поскольку трудно предполагать, что природа магнетизма Земли и других планет различна.

5) Должна быть испытана на предмет способности предлагаемого механизма генерировать поле наблюдаемой, а не какой-либо произвольной морфологии.

Предпринимаемая автором диссертации работа связана главным образом с последним требованием и направлена на облегчение его выполнения, в том и состоит ее актуальность. При построении теорий геомагнетизма крайне желательно было бы заранее знать, при каком строении источника планетарного поля он будет способен генерировать поле наблюдаемой морфологии. Целью работы является предоставить в руки ученых модели генератора, согласованные с данными о наблюдаемом поле, с тем чтобы далее они могли размышлять о возможных физических механизмах генерации поля.

По ходу изложения сделаем необходимое пояснение терминологии. Слово "источник" обычно одинаково применяется как к источнику (генератору) всего планетарного поля или отдельной его части (скажем, источнику главного поля), так и к объектам, которые в результате некоего физического процесса (сущность которого нам неизвестна) могут производить магнитное поле, таким как токовый контур, магнитный диполь (намагниченное тело) и т. п. Модели "источника" первого типа (планетарного поля или отдельной его составляющей) могут содержать множество элементарных "источников" поля второго типа (диполей, токовых колец). Данное совпадение терминов повсеместно в теории геомагнетизма и практике моделирования и трудностей не вызывает. Для удобства различения понятий, при обозначении первого понятия мы будем пользоваться преимущественно словом "генератор".

Попытки моделирования генератора геомагнитного поля предпринимались неоднократно, при этом подходы к моделированию существенно различались. Один из подходов, к примеру, состоит в том, чтобы сконструировать модели, дающие очень хорошее приближение модельного поля к наблюдаемому. Как правило, это приводит к существенному усложнению структуры моделей (увеличению количества элементарных источников) и затруднению их физического толкования. По мнению автора, если мы ставим перед собой цель приблизиться к сущности физического механизма, следует применять несколько другой подход. Он должен состоять в том, чтобы создавать как можно более простые модели генератора, включающие небольшое количество источников поля, и ограничиваться моделированием только самых крупных пространственных структур наблюдаемого поля (общий дипольный характер, глобальная асимметрия, поле мировых магнитных аномалий). Эти морфоструктуры поля, по всей видимости, генерируются источниками, расположенными на большой глубине, в центральных областях планеты, и традиционно классифицируются как главное поле.

Реализация данного подхода может производиться различно, в зависимости от характера ограничений, накладываемых на значения параметров источников в процессе их подгонки. Например, можно в процессе подгонки предоставить источникам поля возможность располагаться в произвольных местах внутри земного шара, иметь произвольную ориентацию и величину магнитного момента, произвольный размер и т.п., т.е. наложить минимум ограничений на параметры (скажем, потребовать только, чтобы источники располагались внутри Земли). Этим путем целесообразно идти, если мы не предъявляем конкретных требований к структуре генератора. Имея модели генераторов, построенные таким образом, можно далее размышлять об их физическом наполнении.

Требования к структуре генератора могут быть связаны, с одной стороны, с известными данными о внутреннем строении Земли. Скажем, известно, что строение Земли (расположение границ раздела внутренних геооболочек) весьма симметрично. В связи с этим можно потребовать, чтобы генератор главного поля также имел более или менее симметричное строение относительно центра или оси вращения планеты. Для этого на параметры модели (параметры источников) необходимо наложить ограничения в виде определенных связей между ними. Данный подход был реализован в диссертации, при этом для симметризации была использована дифференциальная токовая система (она будет описана в своем месте). При наложении ограничений на параметры моделей, как правило, достигается более низкая степень приближения модельного поля к наблюдаемому. Однако это не говорит о меньшей ценности таких моделей - они также пригодны для разработки механизмов генерации поля. Разработанные таким образом механизмы будут обладать заранее определенным свойством (симметрии), а значит, будут согласованы с определенными данными о внутреннем строении планеты.

В своей работе автор диссертации предполагает сначала строить модели с минимумом ограничений (свободные параметры), а .затем вводить те или иные ограничения, в зависимости от свойств, которые он рассчитывает получить от моделей.

Касаясь еще раз темы актуальности, можно отметить, что используемые в диссертации подходы к моделированию могут оказаться полезными и для различных теорий гидромагнитного динамо, которые в последние десятилетия активно развиваются. После решения принципиальных вопросов, связанных с самой возможностью генерации поля (энергетическое обеспечение, другие условия, необходимые для работы динамо), перед создателями данной группы теорий встает указанная выше проблема (соответствия поля, генерируемого гидромагнитным динамо, наблюдаемому полю). Эта проблема имеет ту особенность, что в группу источников, ответственных за создание главного геомагнитного поля, возможно, надо будет включить источники мировых магнитных аномалий - крупномасштабных неоднородностей в морфологии геомагнитного поля, искажающих его осесимметричную (относительно геомагнитной оси) структуру. Если в моделях эти источники окажутся лежащими существенно ниже границы мантия-ядро (т.е. в зоне действия динамо), то это, возможно, необходимо будет учитывать при дальнейшей разработке теорий (это соображение касается не только гидромагнитных теорий).

Моделирование источника (нахождение параметров) некоего наблюдаемого поля есть решение обратной задачи, в нашем случае обратной задачи геомагнетизма. Ядром обратной задачи служит решение прямой задачи - нахождение поля источника с заданными параметрами. Правдоподобно предположение, что генератор главного поля представляет собой систему токов, но этого недостаточно, чтобы определить, каким перечнем параметров следует его описывать. В этом случае обычно прибегают к представлению сложного источника (генератора) суммой более простых идеализированных источников (магнитных диполей, токовых колец и т.д.), каким-то образом распределенных и ориентированных в пространстве, для которых прямая задача решается более или менее легко. Моделирование сводится к подбору параметров источников, таким образом, чтобы модельное поле приближалось к реальному. В результате получается некоторая идеализированная модель генератора, по которой можно пытаться судить о его реальном строении.

Даже если предположить, что процедура подгонки параметров прошла успешно, т.е. достигнуто наименьшее отклонение модельного поля от наблюдаемого, возможное для какой-либо частной обратной задачи, интерпретация построенной модели будет коренным образом зависеть от выбора количества источников, которым представлялся реальный генератор. Модель, использующая, скажем, три диполя, может быть совсем не похожа на использующую четыре. Из изложенного ясно, что это связано прежде всего с тем, что реальный генератор представляется набором идеализированных источников. Естественно, решение обратной задачи будет зависеть и от типа выбранного источника. В диссертации автор предполагает использовать два типа - магнитный диполь и токовый контур.

Магнитный диполь - идеализированный источник поля, обладающий нулевыми размерами, его представляют либо как пару магнитных зарядов бесконечной большой величины, разведенных на бесконечно малое расстояние, либо как бесконечно малый контур, по которому протекает бесконечно большой ток (магнитный момент в обоих случаях является конечной величиной). И то, и другое не существует в природе, однако такое представление может быть полезным как первичное приближение к токовому контуру конечных размеров, поскольку на дальних расстояниях поле любого токового контура приближается к полю диполя. Процедуры подгонки (моделирования) с применением диполей существенно проще, во-первых, по причине меньшего количества параметров, а во-вторых (что более существенно) потому, что выводимы точные формулы расчета поля и его производных (в случае контуров поле приходится вычислять интегрированием, а производные брать численным дифференцированием).

По современным представлениям, температура в недрах Земли превышает точку Кюри железа, поэтому единственным кандидатом (из известных) на роль источника главного поля остается электрический ток, образующий какую-то электрически замкнутую систему. По этой причине физически более адекватным для моделирования источника является применение токовых контуров. Токовый контур также есть идеализированный источник поля - проводник бесконечно малого поперечного сечения, по которому протекает конечный ток; контур имеет форму окружности или более сложную. Токи в реальном источнике определенно имеют ненулевое поперечное сечение, тем не менее редукция их до токовых контуров имеет смысл, поскольку сам токовый контур, в отличие от диполя, имеет ненулевой размер. Это позволяет смоделировать ситуацию, которая, по- -видимому, имеет место в действительности, когда точки наблюдения поля (земная поверхность) находятся не в дальней зоне от источника.

В диссертации же вводится небольшое новшество в типы используемых источников поля - деформируемый токовый контур. Правда, число степеней свободы деформации контура небольшое - ему можно будет только придавать эллиптическую форму (при этом он остается плоским). Сама идея, как представляется автору, является важной, - она намечает путь моделирования генератора с подгонкой искажений его структуры.

Как и большинство исследователей, которые занимались моделированием источника геомагнитного поля, автор делает существенное упрощение задачи -считается, что источники поля находятся как бы в вакууме - в среде с относительной магнитной проницаемостью, равной единице, или что нет никаких факторов, могущих исказить структуру поля (движущегося проводящего вещества, намагничивающихся горных пород и т.п.). Учет подобных факторов сделал бы задачу моделирования слишком сложной, да и вряд ли оправдан, поскольку сами эти факторы остаются в качественном и в количественном отношении весьма гипотетичными. Вполне возможно, что в результате данного упрощения построенные модели будут обладать относительно малой ценностью для теорий, в которых указанные факторы играют существенную роль (например, для теорий гидромагнитного динамо). Тем не менее, этот подход используется в практике моделирования, вероятно, в предположении, что полученные модели все же позволят более или менее адекватно судить о структуре реального генератора.

Постановка задачи

Исходя из всего вышеизложенного, можно сформулировать основную задачу исследования: методами математического (компьютерного) моделирования построить модели генератора геомагнитного поля, которые могли бы воспроизводить наиболее крупные морфологические черты наблюдаемого поля (главное поле); модели могут содержать различное (но небольшое) количество источников типа магнитных диполей, кольцевых или эллиптических токовых контуров; обратная задача может решаться как без наложения ограничений на параметры, так и с ограничениями, обеспечивающими заданные свойства получаемых моделей.

В рамках основной задачи решается несколько важных подзадач. Первая из них - оценка характерного размера токовой системы, генерирующей главное поле, а также оценка глубины расположения источников мировых магнитных аномалий. Вторая - исследование возможности построения как можно более симметричной модели генератора, который был бы способен генерировать поле от-. носительно несимметричной морфологии. Это предполагается сделать, решая серию прямых задач для так называемой дифференциальной токовой системы, представляющей из себя в простейшем случае два токовых кольца с немного различающимися радиусами (одно из которых вложено в другое) и противоположным течением токов. Третья подзадача - вывод выражений для сферических гармонических коэффициентов (БНС) разложения поля магнитного диполя и токового контура. Эти коэффициенты имеют важные практические приложения. В частности, с их помощью можно вычислять пространственные энергетические спектры поля (вычислять энергию, которую несет в себе та или иная гармоника поля), чтобы понять, какую степень приближения к реальности обеспечивает та или иная модель в пространственно-частотном отношении. Кроме того, на основе 8НС в некоторых случаях удается построить эффективные алгоритмы решения обратной задачи. Выведенные формулы используются в диссертации для расчета пространственно-энергетических спектров построенных моделей.

Для реализации поставленной задачи автору пришлось выполнить следующие этапы работы:

- разработка алгоритмов расчета магнитного поля произвольных ансамблей магнитных диполей, токовых контуров (круглых и эллиптических) в трехмерном пространстве;

- разработка программных средств визуализации расчетного поля в виде линий равного склонения, наклонения, северной, восточной, вертикальной, горизонтальной компонент и модуля поля;

- разработка алгоритмов решения обратных задач с использованием демпфированного метода Ньютона-Гаусса, применительно к различным типам источников поля;

- построение рядов моделей источника главного геомагнитного поля, воспроизводящих наиболее существенные морфологические особенности поля (дипольный характер, наклон геомагнитной оси, глобальную асимметрию, наличие мировых магнитных аномалий);

- выведение формул для расчета сферических гармонических коэффициентов разложения поля произвольно расположенного магнитного диполя, поля токового кольца произвольной конфигурации, расчет с их помощью пространственных энергетических спектров полученных моделей;

- детальное исследование свойств дифференциальной токовой системы, состоящей из двух вложенных друг в друга токовых колец с немного различающимися радиусами и противоположным течением токов;

- построение квазисимметричной модели источника геомагнитного поля на основе дифференциальной токовой системы, воспроизводящей наблюдаемое поле не хуже, чем модели одиночного смещенного наклонного магнитного диполя -или токового кольца.

Научная новизна и практическая значимость

До настоящего времени было предпринято немало попыток моделировать источник геомагнитного поля с помощью магнитных диполей и токовых колец (Зидаров, Бочев, Пудовкин, Олдридж, Педци и др.). Подходы авторов к решению этой задачи различались в зависимости от типа входной информации (значения поля в точках или сферические гармонические коэффициенты), вида целевой функции, ограничений, накладываемых на изменения параметров в процессе подгонки и т.д. (все эти моменты обсуждаются в первой главе диссертации). На методы решения наложил свой отпечаток прогресс вычислительной техники и развитие методов оптимизации. В диссертации в основных чертах были повторены методы, использованные более ранними авторами, однако были предприняты и новые шаги. В частности, для оценки начальных приближений в диполь-ных задачах предложен и реализован метод «оптимального пробного диполя». Далее, исследованы свойства дифференциальной токовой системы, и такая система впервые применена в модели источника геомагнитного поля. Новым является также применение деформированных токовых колец (в виде эллипсов). По-видимому, впервые выведены формулы для расчета сферических гармонических коэффициентов разложения поля произвольного токового контура (а также предложен способ их выведения).

С точки зрения практической значимости, созданные автором модели генератора геомагнитного поля (а также выводы, полученные при решении подзадач) должны послужить более целенаправленному поиску физических механизмов генерации поля, в частности, усовершенствованию теорий гидромагнитного динамо.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты работы докладывались на XXIII Генеральной Ассамблее Ев8 (Ницца, Франция, 1998), на Международной конференции "Проблемы геокосмоса" (Санкт-Петербург, Россия, 1998), на XXIV Генеральной Ассамблее Ев8 (Гаага, Нидерланды, 1999), на XXII Генеральной Ассамблее ПЮв (Бирмингем, Англия, 1999), а также на Ученом Совете Института геофизики СО РАН. По теме диссертации сделано 9 публикаций.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4-х глав и заключения. Кроме традиционного литературного обзора (первой главы) и главы, посвященной методу моделирования и выводу необходимых формул (второй главы), в диссертацию введены еще две основные главы, посвященные построению моделей на основе магнитных диполей (третья) и токовых контуров (четвертая). Эти главы являются самостоятельными большими частями работы, в которых использованы несколько различные подходы к организации процесса подгонки, выбору начальных приближений, наложению ограничений на параметры. Диссертация содержит 189 страниц, в числе которых 51 отведена под рисунки. Список литературы включает 45 наименований.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика", Ботвиновский, Всеволод Валерьевич

Заключение

Как отмечалось во введении, проблема происхождения геомагнитного поля была и остается одной из важнейших проблем физики. Многочисленные усилия ученых всех стран, несмотря на успехи, достигнутые в решении частных аспектов этой проблемы, не привели еще к созданию законченной картины явления. Работа автора диссертации является вкладом в решение задачи соответствия поля вновь создаваемых моделей генерации наблюдаемому полю.

Результатом работы автора является прежде всего создание программного аппарата для исследования, включающего в себя средства оптимизации параметров дипольных и контурных моделей источника геомагнитного поля, средства отображения поля, средства расчета пространственно энергетических спектров модельных полей. Данный аппарат в дальнейшем может быть использован для моделирования различных явлений, наблюдаемых в геомагнитном поле (с помощью решения прямых задач): вековых вариаций, фокусов векового хода, джерков, движения магнитных полюсов, инверсий поля и т.д. Кроме того, его можно использовать для решения частных обратных задач с различного рода ограничениями, требуемыми теми или иными моделями генерации поля. Ядро аппарата (алгоритмы оптимизации) в дальнейшем могут быть использованы и для постановок и решений новых обратных задач, в частности, с применением в качестве источников поля кусочно-линейных деформируемых контуров.

Важным результатом является также выведение формул для расчета сферических гармонических коэффициентов разложения поля дипольного и контурного источника магнитного поля. Формулы для контурного источника выведены впервые, предложен оригинальный способ для их вывода. Формулы для дипольного источника выведены более простым путем, чем это делалось ранее (для выбранного способа задания положения диполя) и имеют более простой вид. Выведенные формулы (для контура) позволяют рассчитывать коэффициенты не только для плоских контуров (использованных в диссертации), но и для контуров произвольной конфигурации. Проверен также вывод общей формулы для расчета пространственно-энергетического спектра.

Основным результатом работы стало построение рядов моделей генератора геомагнитного поля с различным числом источников поля (магнитных диполей, токовых контуров). Модели на основе диполей строились без ограничений на параметры источников, что позволило построить модели, обеспечивающие хорошее приближение к наблюдаемому полю при малом количестве источников. Дипольные модели без ограничений строились и ранее (в ограниченном числе [Ляхов, 1966; Воскеу, 1969, 1975, 1978; Зидаров, Бочев, 1969]), однако использовались отличающиеся от наших начальные приближения, рабочие алгоритмы, количество источников и критерии окончания процесса оптимизации, поэтому модели, построенные в диссертации, существенно отличаются от ранее построенных. Предложена и реализована новая методика задания начальных приближений параметров диполей. В ходе построения моделей вновь подтверждена (выявленная по более ранним работам) тенденция диполей вставать в оппозицию (формируя систему с частичной компенсацией магнитных моментов). Для систем с частичной компенсацией моментов в диссертации предложено наименование «дифференциальные системы».

Построение моделей на основе круглых токовых контуров (без ограничений) обеспечило в основном верификацию моделей, построенных ранее Педди \Ped-1979], и явилось комплексной проверкой качества работы алгоритмов. В работе показана возможность построения квазисимметричных моделей на основе дифференциальных токовых систем (ДТС), обеспечивающих создание несимметричного геомагнитного поля (относительно центра и оси вращения Земли). Построены модели на основе ДТС, воспроизводящие реальное поле не хуже, чем модели на основе одиночного смещенного наклонного диполя или токового кольца. В диссертации впервые введена возможность деформации токовых контуров (придания им эллиптической формы), построены модели на основе деформированных токовых контуров.

Исходя из результатов, на защиту выносятся следующие положения:

1) Показана возможность создания квазисимметричной токовой системы, обеспечивающей генерацию несимметричного геомагнитного поля.

2) С помощью демпфированного метода Ньютона-Гаусса построены ряды моделей генератора главного магнитного поля Земли, содержащие различное число источников, на основе магнитных диполей, токовых контуров (в том числе деформированных), двухконтурных дифференциальных токовых систем.

3) Выведены интегральные формулы для расчета сферических гармонических коэффициентов разложения поля токового контура, предложен оригинальный способ для их вывода.

Кроме того, в ходе работы были получены следующие результаты, которые можно рассматривать как гипотезы:

1) Большая (доминирующая) часть магнитного момента Земли создается в области внешнего ядра Земли, непосредственно окружающей внутреннее ядро, или даже на самой границе внутреннего ядра.

2) Источники мировых магнитных аномалий лежат на большой глубине, вероятно, в той же области, в которой происходит генерация главного поля, или незначительно выше нее.

Также можно сформулировать предположения:

1) Главный магнитный момент Земли, возможно, создается дифференциальной токовой системой (системой с частичной компенсацией магнитных моментов).

2) На границе внутреннего ядра (в Б-слое?) или вблизи нее существуют физические условия для возникновения близкотекущих противонаправленных токов.

Автору также хотелось бы отметить впечатления от работы, которые можно было бы рассматривать как негативные. Так, при построении моделей без ограничений целевая функция меняется весьма мало в достаточно широком диапазоне величин параметров (т.е. минимумы не выражены). Вследствие этого фактически имеет место большая неопределенность параметров, не позволяющая отдать четкое предпочтение некоему сочетанию параметров, под которое в дальнейшем можно было бы строить конкретный механизм генерации. По всей видимости, это больной вопрос обратных задач геофизики вообще, достаточно проявившийся в наших задачах. Другим его выражением должна быть неустойчивость решения, при которой небольшому изменению входных данных (величин поля на поверхности) будут соответствовать значительные дрейфы минимумов в пространстве параметров. Данная неустойчивость, по нашему мнению, сильно проявляется уже в задаче с одним диполем в качестве источника геомагнитного поля, который совершает далекий «заплыв» при подстановке поля для различных эпох в качестве наблюдаемого [Пудовкин, Валуева, 1972а]. Таким образом, построенные модели следует использовать с большой осторожностью как основу для разработки физических механизмов генерации.

Негативным моментом работы является «недотянутость» большинства построенных моделей до минимумов (при построении моделей без ограничений). Это приводит к фактической невозможности отслеживания эволюции минимумов (исключение составляют модели, содержащие один источник, диполь или токовое кольцо).

Приходится также признать, что введение возможности деформации контуров дало мало пользы, построенные на их основе модели имеют явно нереальные конфигурации (одноколечная и на основе дифференциальной системы). Возможно, придание контурам эллиптической формы является не самым лучшим

185 видом деформации в смысле возможности подгонки формы, представляется, что введение кусочно-линейного контура будет более адекватным для данной задачи.

Моделирование с ограничениями обеспечивает гораздо лучшую сходимость к минимумам целевой функции. Это позволяет с несколько большим доверием относиться к полученным в ходе построения параметрам, если, конечно, принимать, что выбранный сорт моделей имеет перспективу с физической точки зрения.

Библиография Диссертация по геологии, кандидата физико-математических наук, Ботвиновский, Всеволод Валерьевич, Новосибирск

1. Ботвиновский В. В. Дифференциальное токовое кольцо на границе внутреннего ядра как модель источника главного магнитного поля Земли // Геология и геофизика, т.40, 1999, № 9, с.1376-1386.

2. Бронштейн КН., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986, 544 с.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация (Пер. с англ.). М.: Мир, 1985, 509 с.

4. Зверева Т.И. (1982) Аналитическое представление сферических гармонических коэффициентов через параметры диполя, расположенного в произвольной точке внутри Земли / В сб. Исследование по космической геофизике. М.: ИЗМИР АН, 1982, с.110-117.

5. Зидаров Д., Бочев А. (1965) Анализ магнитного поля Земли и его вековых изменений / Геомагн. и Аэрон., т.5, с.948-950,1965.

6. Зидаров Д., Бочев Ал. (1969) Представление вековых вариаций магнитного поля Земли как изменение поля оптимальных геомагнитных диполей / Геомагн. и Аэрон., т.9, N 2, с.315-320, 1969.

7. Калинин Ю.Д. (1963) Выражение в сферических координатах потенциала магнитного диполя, расположенного в любой точке пространства и имеющего магнитный момент любого направления / Геомагн. и Аэрон., т.З, N 6, с.1089-1093, 1963.

8. Калинин Ю.Д. (1969) Определение параметров произвольно ориентированного магнитного диполя, представляющего геомагнитное поле / Геомагн. и Аэрон., т.9, N 6, с.1058-1059, 1969.

9. Ляхов Б.М. (1960) Магнитное поле Земли как сумма полей двух диполей / Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1960, N 4, с.601-606.

10. Ляхов Б.М. (1963) Главное магнитное поле Земли / Геомагн. и Аэрон., 1963, т.З, N4, с.734-736.

11. Ляхов Б.М. (1966) Новое остаточное магнитное поле Земли / Геомагн. и Аэрон., т.6, с.1130-1135, 1966.

12. Максвелл Д.К. Трактат об электричестве и магнетизме, т.2. М.: Наука, 1989, 440 с.

13. ХЪ.Паркинсон У. Введение в геомагнетизм (Пер. с англ.). М.: Мир, 1986, 528 с.

14. Почтарев В.И. Нормальное магнитное поле Земли. М.: Наука, 1984, 232 с.

15. Пудовкин ИМ. (1964а) Пространственная структура геомагнитного поля и некоторые вопросы изучения внутреннего строения Земли. I / Геомагн. и Аэрон., т.4, N 2, с.376-389, 1964.

16. Пудовкин ИМ. (19646) Пространственная структура геомагнитного поля и некоторые вопросы изучения внутреннего строения Земли. III / Геомагн. и Аэрон., т.4, N 4, с.'762-772, 1964.

17. Пудовкин И.М., Колесова В.И. (1968) Дипольная модель главного магнитного поля Земли (на основе анализа Zao) / Геомагн. и Аэрон., т.8, с.372-373, 1968.

18. Пудовкин И.М., Колесова В.И., Валуева Г.Е. (1968а) Пространственная структура остаточного поля Za3 / Геомагн. и Аэрон., т.8, с.601-603,1968.

19. Пудовкин И.М., Валуева Т.Е., Колесова В.И. (19686) Дипольная модель геомагнитного поля Земли (на основе анализа поля Za3) / Геомагн. и Аэрон., т.8, N4, с.737-742, 1968.

20. Ю.Пудовкин И.М., Валуева Г.Е. (1972а) Об определении параметров эксцентрического диполя / Геомагн. и Аэрон., т.12, N 1, с.161-164, 1972.

21. Пудовкин ИМ., Валуева Г.Е. (19726) О дрейфе остаточных геомагнитных полей / Геомагн. и Аэрон., т.12, N 5, с.897-900, 1972.

22. И.Пянскер И.Ш., Цейтлин Б.М. Сб. Точность механизмов и автоматизированных средств. М.: Наука, 1966.

23. Рикитаки Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли (Пер. с англ.). Л., Недра, 1968, 332 с.

24. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование (Пер. с англ.). М.: Мир, 1975, 534 с.

25. Яворский Б.М., Детлаф A.A. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов, изд.4, М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1968.2в.Яновский Б.М. Земной магнетизм. М.: Гос.изд. тех.-теор. лит., 1953, 592 с.

26. Alldredge, L.R. and Hurwitz, L. (1964) Radial Dipoles as the Sources of the Earth's Main Magnetic Field / J. Geoph. Res., v.69, No. 12, p.2631-2640, 1964.

27. Alldredge, L.R. and Stearns, C.O. (1969) Dipole Model of the Sources of the Earth's Magnetic Field and Secular Change / J. Geoph. Res., v.74, No.27, p.6583-6593,1969.

28. Alldredge, L.R. (1980) Circular Current Loops, Magnetic Dipoles and Spherical Harmonic Analyses / J. Geomag. Geoelectr., v.32, p.357-364, 1980.

29. Bochev, A.Z. (1969) Two and Three Dipoles Approximating the Earth's Main Magnetic Field / Pure Appl. Geophys., v.74, p.29-34, 1969.

30. Bochev, A.Z. (1975) Presenting the Earth's magnetic field as a field of six optimal dipoles / C. R. Acad. Bulg. Sci., v.28, No.4, p.469-471, 1975.

31. Bochev, A.Z. (1978) Secular change of the Earth's magnetic field determined by the tridipole model of the main field for 1942-50 / C. R. Acad. Bulg. Sci., v.31, No.3, p.297-300, 1978.

32. Bradley, J. W. (1975) Application of Marquardt's nonlinear least squares algorithm to free-flight yaw data analysis / Memo. Rep. 2526, USA Ballistic Res. Lab., Aberdeen Proving Ground, Md., 1975.

33. Chapman, S. and Bartels, J. Geomagnetism, Clarendon Press, Oxford, 1940, 1049 p.

34. Geomagnetism, Vol.1 (Edited by J.AJacobs). Academic Press, 1987, 627 p.

35. Langel, R.A. (1992) International Geomagnetic Reference Field: The Sixth Generation / J. Geomag. Geoelectr., v.44, p.679-707, 1992.

36. Marquardt, D.W. (1963) An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters / J. Soc. Indust. Appl. Math., 11(2), 431-441, 1963.

37. AO.McNish, A.G. (1940) Physical representations of the geomagnetic field / Trans. Am. Geophys. Union, v.21, p.287-291, 1940.18941 .Peddie, N.V. (1979) Current Loop Models of the Earth's Magnetic Field / J. Geoph. Res., v.84, No.B9, p.4517-4523, 1979.

38. Zidarov, D.P. and Petrova, T.D. (1974) Representation of the Earth's magnetic field as a field of a circular loop / C. R. Acad. Bulg. Sci., v.27, No.2, p.203-206, 1974.

39. Zidarov, D.P. and Petrova, T.D. (1978) Representation of the Earth's magnetic field of circular, electric current loops / C. R. Acad. Bulg. Sci., v.31, No.6, p.663-666, 1978.

40. Zidarov, D.P. and Petrova, T.D. (1979) Representation the Earth's magnetic field of circular electric current loops / C. R. Acad. Bulg. Sci., v.32, No.l, p. 19-22, 1979.

41. Zidarov, D.P. (1985) Earth's magnetic field modelling and Earth's structure and evolution / Physics of the Earth and Planetary Interiors, v.37, p.74-86, 1985.