Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Алгоритмы разделения геофизических полей

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Алгоритмы разделения геофизических полей"

ЦГ-1 9-® •

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена-Ленина институт Физики Земли им. О.Ю. Шмидта

На правах рукописи Аксёнов Валентин Васильевич

АЛГОРИТМЫ РАЗДЕЛЕНИЯ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

04.00.22-геофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва-1991 г.

Работа выполнена в ВЦ СО АН СССР

Официальные оппоненты:

Чл.-корр. АН СССР С.С.Григорян

Д.ф-м.н..профессор Н.К.Осипов

Д.ф-м.н..профессор В.В.Сочельников

Ведущая организация:

Полярный Геофизический институт АН СССР

Защита состоится ^5 < О/, на заседании специализированного совета Д 002.08.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Ордена Ленина инстит: те Физики Земли ик. О.Ю.Шмидта (I238I0 Москва Д-РА?, Б.Грузинская, 10)

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИФЗ АН.

Автореферат разослан « Xh 199

Учений секретарь специализированного совета

к.ф-м.н. /Г А.М.Артамонов

1ЛКТ1ЕШ?] •

¡:; ЗТЕШ

: Актуальность разработки алгоритмов разделения и интер-''■^■дел^' геоФизических полей существенно возрасла в связи с сэртацайь цк экспериментальными фактами, полученными в геофизике за последнее время, например: открыта с помощью искуствен-ных спутников Земли более сложная морфология главного геомагнитного поля; измерено многими советскими и зарубежными специалистами вертикальное электрическое поле в геоэлектромагнитных вариациях; зафиксировано на записях одновременное присутствие продольных и поперечных волн при трехкомпо-нентной площадной их регистрации и возбуждении вибрационным источником и др.

Кроме того, в теоретических разработках ряда методов интерпретации геофизических полей присутствуют свои специфические надостатки, часто приводящие при интерпретации данных к противоречивым результатам. Среди них можно выделить: несовпадение коэффициентов в разложениях северной и восточной компонент главного геомагнитного поля при его сферическом анализе методом Гаусса-Шмидта; такое же несовпадение наблюдается при анализе геоэлектроыагнитных вариаций по методу Гаусса-Шустера; имеет место несовпадение импедансов по главным осям в МТЗ и др. Все это требует разработки новых алгоритмов аналитического описания, разделения и интерпретации геофизических полей с учетом всех известных из эксперимента новых фактов и новых теоретических идей, объясняющих названные выше противоречия.

Цель диссертации. В предлагаемой к защите монографии предпринята попытка по новому подойти к проблеме аналитического описания, разделения и интерпретации естественных геофизических полей, исходя из концепции - сокращения до предельного минимума ограничений на источники поля, с одной стороны^ и использования всех возможных типов полей - с другой.

Объектом исследования являются: главное геомагнитное поле, точнее его аналитическое описание; естественное электромагнитное поле Земли любых периодов, наблюдаемое на мировой сети станций (глобальная интерпретация) и на ограниченных участках земной поверхности по данным совокупности рас-

пределенных по площади сшхронно регистрирующих станций (региональная интерпретация); вибросейсмчческое поле - его аналитическое представление и разделение на монотипные составляющие в точках приема.

Научная новизна. Анализ публикаций, относящихся к разработке теории описания главного геомагнитного и электромагнитного поля, показывает, что, как правило, эта разработ-] ка осуществлялась в рамках заранее фиксированных моделей поля или его источников, например, в МТЗ и методах родствен-, них Ы'ГЗ таким предположением было допущение о том, что исходное поле есть поле магнитного типа и является плоско-однородным (Тихонов, Каньяр и др). 3 теории описания поля длин-нопериодных вариаций, а так же МВЗ, МВД и др. -таким предположением является допущение о потенциальности магнитного поля в воздухе и бездивергентности источников поля на бесконечно-тонкой поверхности (Шустер, Лэмб, Чепмен, Бенькова и др.). Интерпретация вибросейсмического поля осуществляется обычно по методике взрывной сейсморазведки, где исходят из выделения волн различных типов на основе физических пред-ч ставлений о среде и волновом процессе в ней.

В предложенной к защите монографии предпринята попытка осуществить разработку теории, алгоритмов и пакетов приклад-1 ньпс программ для ЭВМ, основываясь на принципиально новых идеях описания поля, его разделении и интерпретации.

Б результате исследования удалось поставить и решить следующие проблемы.

Впервые удалось решить проблему несовпадения коэффициентов в разложениях северной и восточной составляющих глав-, ного геомагнитного поля. Оказалось, что причиной этого несовпадения является несогласованность граничного условия с уравнением Лапласа, описывающим поле. Путем замены уравнения Лапласа на более общее и перехода к более общим негармоническим функциям удалось показать, что разложения северной и восточной составляющих потенциального главного геомагнитного поля содержат как совпадающие, так и не совпадающие между собой коэффициенты, и эту есть следствие значи-

тельно большей сложности источника главного геомагнитного поля по сравнению с заложенной в теории Гаусса-Шмидта.

При интерпретаций переменного поля геоэлектромагнитных вариаций впервые предложены алгоритмы описания и полного разделения полей с учетом двух возможных модификаций поля : поля магнитного и электрического типа. При этом решен принципиальный вопрос генерации этих полей. Показано, что высказанное Стреттоном в 1948 г. утверждение о том, что поля МТ (магнитного типа) и ЭТ (электрического типа) могут создаваться лшяь различными компонентами одного и того же тока, материализуется в уравнениях Максвелла введением в теорию описания полей дивергентных потенциалов и учетом влияния сферичности источников. Поэтому утвесждение многих авторов о том, что для существования поля ЭТ в атмосфере необходимы источники этого п<?ля в ней, отпадают, так как для существования МТ и ЭТ полей в атмосфере достаточно ионосферных источников.

При создании теории описания двумодального поля показано, что в потенциалах Дебая задача полного разделения поля не-доопределена в связи с отсутствием на мировой сети станций данных об электрических коипонентах поля. В векторном потенциале задача полного разделения поля переопределена при приближенном вычислении коэффициентов и наличии данных о трех маг-нитных компонентах поля. Для разделения достаточно двух магнитных коынонент поля.

Доказаны теоремы единственности полного разделения полей при описании поля в потенциалах Дебая и в векторном потенциале.

Доказано, что на поверхности Земли, всюду внутри и вне ее индукционная часть радиальной электрической компоненты скомпенсирована до нуля потенциальной частью.

Показано, что непрерывно зависящих от точки к точке данных о магнитных компонентах поля на поверхности Земли достаточно для точного вычисления всех коэффициентов разложения в обоих типах поля.

Исследована роль проводимости воздуха при описании по-

лей вариаций в воздухе и показано, что ее учет приводит к появлению уравнений связи коэффициентов разложения, которые позволяют решить полную проблему разделения полей.

Упрощенный вариант разложений только поля магнитного типа без учета проводимости воздуха аналитически совпадает с более общим вариантом, однако уравнений связи не возникает, поэтому решить проблему полного разделения поля без учета проводимости воздуха нельзя.

Исследование физического смысла коэффициентов разложений показало, что коэффициенты представляют собой моменты различных порядков произвольной токовой системы б отличие от коэффициентов К.Гаусса, которые представляют собой моменты муль-типолей различных порядков.

Применение разработанной теории и алгоритмов разделения к исследованию вариаций показало, что в поле S^- вари-

аций присутствуют обе модификации: поле магнитного и электри; ческого типа. Радиальная компонента электрического поля в воздухе имеет напряженность, достигающую на экваторе первых киловольт на метр.

В магнитных компонентах соотношение полей обеих мод таково. Поле магнитного типа превосходит поле электрического типа, последнее составляет по амплитуде почти 40% поля магнитного типа. По фазе поля этих модификаций сдвинуты на углы, достигающие иногда 180°.

Внешнее поле магнитного типа превосходит внутреннее, поэтому внутреннее индуцировано внешним. В поле электрического типа картина обратная, а именно внутреннее поле превос-. ходит внешнее. Не учитывать поле электрического типа при сферическом анализе ^-вариаций нельзя, так как будет пропущена шестая компонента полл.

Исследована проблема аналитического и миграционного npo-i должения внутреннего двумодального поля с поверхности Земли в сторону источников. Показано, что коэффициенты разложения двумодального поля выражаются через интегралы Стреттона-Чу от магнитного и электрического полей, поэтому методы разделения по Гауссу и с помощью интегралов Стреттона-Чу взаимо-

связаны в смысле возможности аналитического перехода от одного к другому при том преимуществе, что в методе Гаусса поле однозначно разделимо в ограниченном количестве точек измерения и нет необходимости вычислять интегралы от электрического и магнитного поля вдоль всей поверхности Земли.

Впервые построена теория и получены алгоритмы пространственного анализа и полного разделения полей двух модификаций: поля магнитного и электрического типа по наблюдениям на площади совокупностью синхронно регистрирующих станций.

Доказаны теоремы единственности разделения полей на площади при моделировании их с помощью потенциалов Дебая и векторного потенциала. Указаны формулы перехода от одних потел-, циалов к другим.

Показано, что на ограниченной площади для полного разделения полей необходимо измерять кроме магнитных компонент еще электрические компоненты. В противном случае задача разделения оказывается недоопределенной.

Показано, что вертикальную компоненту электрического поля можно не измерять, а восстановить в любой точке участка наблюдений, по измерениям горизонтальных магнитных компонент и их пространственного анализа.

Доказано, что электрическое поле электрического типа потенциально. Индукционная часть вертикальной компоненты элек-. трического поля скомпенсирована потенциальной частью всюду в источниках и на их границах.

Получены формулы для аналитического и миграционного проч должения внутренних полей, наблюдаемых на площади, в землю. С их помощью исследована проблема разрешимости задачи разделения полей, измеренных на локальном участке.

Предложен метод моделирования источников поля магнитно^ типа на заданной поверхности с помощью векторов плотности тока, совокупность которых представляет собой токовую систему.

Показано, что в ^-вариациях строение токовой системы достаточно простое. Она представляет собой две системы прямых с электроджетом на восток и обратных с электроджетом на

запад контуров тока, которые располагаются соответственно на дневной и ночной сторонах иногда на утренней и вечерней сторонах местных суток.

. Предложен метод моделирования источников поля электрического типа поверхностной плотностью электрических зарядов,, которая позволяет смоделировать области втекания вертикаль- . ного тока. Построена модель трехмерной токовой системы - вариаций по данным мировой сети станций.

Предложен метод моделирования источников поля магнитного и электрического типа над исследуемой площадью по данным площадной сети региональных станций.

Впервые предложено решение задачи о моделировании нормального поля Земли двух типов для вариаций, источники которых расположены во внешнем по отношению к Земле пространс-г тве.

Предложен алгоритм выделения аномального поля, который опробован при анализе ^-вариаций.

Предложен метод моделирования поля поверхностных аномалий и разделения поля поверхностных и глубинных аномалий по измерениям вариаций на мировой сети станций.

Разработана теория и алгоритмы моделирования нормального поля и поля поверхностных аномалий по наблюдениям на ограниченных участках земной поверхности.

Предложены алгоритмы разделения поля поверхностных и глубинных аномалий по наблюдениям вариаций на ограниченной площади. Рассмотрена задача аналитического описания и разделения на монотипные составляющие вибросейсмического поля по'синхронным измерениям его амплитуд и фаз в отдельных точках на шаре и плоскости. Предложены формулы аналитического продолжения вибросейсыического поля, измеренного на площади в область с источниками.

Практическая ценность. Производимые в настоящее время глобальные и региональные геофизические исследования методами К.Гаусса-Шустера, МТЗ, ЫВЗ и др. используют в качестве теории и методики интерпретации известные разработки, основанные на предположении о существовании в наблюдаемом

поле только поля магнитного типа. Неучет поля электрического тШ:а в интерпретации приводит к искажениям в результатах, в связи с существованием неучтенных магнитных составляющих поля ЭТ,уменьшить которые можно путем использования в интерпретации алгоритмов и приемов, предлагаемых в данной работе. По материалам реферируемой работы создан пакет прикладных программ, который позволяет сделать полный анализ наблюденного поля, выявить наличие в нем поля электрического типа, отделить поле электрического типа, разделить нормальное и аномальное поля и произвести интерпретацию внешнего и внутреннего поля как в калздой из мод, так и совместную интерпретацию обоих типов поля.

Разработка в целом была осуществлена в рамках теш "Теория и математическое обеспечение для решения задач поис-п ков и разведки полезных ископаемых, включая задачи подсчета запасов и оценки" номер Государственной Регистрации * 81041850.

Защищаемые положения сводятся к следующему:

1. Впервые решена проблема несовпадения коэффициентов разложений главного геомагнитного поля.

2. Впервые разработанная теория и предложенные алгоритмы описания и полного разделения полей геоэлектромагнитных вариаций с учетом двух модификаций: поля магнитного и электрического типа позволяют обнаруживать оба типа поля в наблюденных данных.

3. Доказано, лто вариации имеют как поле магнитного, так и электрического типа.

4. Предложены методы интерпретации вариаций, измеренных на сфере с учетом обеих модификаций поля.

5. Впервые разработана теория и предложены алгоритмы описания и полного разделения полей геоэлектромагнитных вариаций с учетом двух модификаций поля по наблюдениям на ограниченной площади. Предложены алгоритмы интерпретации наблюдаемых на площади полей, включая алгоритмы миграции полей.

6. Впервые предложен метод моделирования источников по-

ля магнитного и электрического типа, а также-трехмерных токовых систем по наблюдениям геоэлектромагнитных вариаций на сфере и площади. Воспроизведены источники поля магнитного и электрического типа Д^-вариаций, предложена модель трехмерной токовой системы З^-вариаций.

7. Разработан метод моделирования нормального поля и поля поверхностных аномалий по наблюдениям геоэлектромагнитных вариаций на сфере и площади. Предложен метод разделения нормальных и аномальных полей, а также полей поверхностных и глубинных аномалий.

8. Поставлена и решена задача разделения вибросейсмических колебаний на монотипные в точках приема.

Апробация работы. Основополагающие идеи работы были доложены на конференциях в ИГиГ СО АН СССР в 1968-1972 г.г., результаты работы доложены на семинарах ВЦ СО АН СССР 1976, 1982, 1933 гг., ИФЗ ЛН СССР 1976 г., ИЗМИРАН 1976 г., ИГ УНЦ, 1984 г. и др.

Публикации. По материалам работы опубликовано 28 статей в сборниках издательства "Наука" (Сибирское отделение), издания ИГиГ СО АН СССР, журналах: Известия СО АН СССР "Геология и Геофизика", известия ВУЗов "Геология и разведка". Издательством "Наука" г.Москва опубликована монография объемом 14 печатных листов. Монография, издания ВЦ СО АН в 1989 г. объемом 16,2 п.л., предложена к защите в качестве докторской диссертации.

Структура и объем диссертации. Предлагаемая к защите монография состоит из трех глав, 22 параграфов и 12 иллюстраций.

В первой главе, состоящей из восьми параграфов, подробно рассмотрены алгоритмы описания и разделения главного геомагнитного поля, получаемые путем введения в теорию описания скалярных и векторных потенциалов. Главный результат этой главы состоит в доказательстве того факта, что несовпадение коэффициентов в разложении северной и восточной компонент поля по Гауссу-Шмидту не является только вычислительной проблемой. Основная причина, как выяснилось, состоит в

рассогласовании уравнения Лапласа для скалярного потенциала с граничным условием на поверхности Земли. Поводом к рассогласованию служит несовпадение реального источника поля с его характеристиками (моментами мультиполей)вразложениях К.Гаусса.

Устранение этого недостатка заключается во введении в теорию векторных функций и замене в воздухе уравнения Лапласа на векторное уравнение вида ^taJc/iûfl-iotiot^O, Граничное условие заменяется на следующее: toi й ¡s =На В названной постановке исследовано два случая. Первый вытекает из условия îOi&/\=o, Az -о в сферических координатах.

Разложение для поля в этом случае точно совпадает с разложением Гаусса-Шмидта. Второй случай вытекает из условия

ciiû А =0 , Й1.Ф0 • В этом последнем случае разложения для северной и восточной компонент поля имеют как совпа- / дающие, так и не совпадающие коэффициенты. Этот факт свидетельствует о том, что совпадение коэффициентов в разложениях Гаусса-Шмидта есть следствие очень жестких ограничений на источники поля, накладываемые теорией Гаусса-Шмидта. В нашем случае это первое из условий. Однако природа источника главного геомагнитного поля, по-видимому, такова, что она отвечает второму условию. Поэтому разложения, содержащие совпадающие и не совпадающие коэффициенты, сходятся значительно лучше известных, апроксимация для поля с их помощью достигается с большей точностью и меньшими вычислительными затратами. Более того, с их помощью можно совершенно по новому исследовать имеющиеся проблемы геомагнетизма, так как коэффициенты этих разложений есть моменты систем электрических токов. В монографии автор ставил перед собой и решал главную из проблем геомегнетизма, а именно проблему аналитического представления главного геомагнитного поля, надеясь, что со временем появятся последователи начатого дела, которые углубленно исследуют геофизические последствия применения новых разложений в геомагнетизме.

В этой же главе представлен также алгоритм псевдообращения матриц систем линейных алгебраических уравнений с регуляризацией и минимальной нормой решения. К решению таких уравнений сводятся все задачи пространственного и сферичес-

кого анализа геофизических полей. Этот алгоритм многократно и успешно применялся нами на протяжении более двух десятков лет.

Вторая глава. Во второй главе, состоящей из одиннадцати параграфов, рассмотрены проблемы описания, разделения и интерпретации полей геоэлентроыагнитных вариаций по их измерениям на сфере и плоскости с учетом двух модификаций: поля магнитного и электрического типа.

В ¿ешггоы параграфе рассмотрена содержательная постанов-г ка проблем описания и разделения полей при их измерении на сфере и площади. Обращено внимание на тот факт, что несовпадение коэффициентов в разложении наблюденного поля вариаций по методу Гаусса-Щустера есть закономерное явление, связанное с существованием практически потенциального поля ЭТ в воздухе, неучет которого, как раз, и приводит к противоречивым результатам. В предлагаемой теории, разработанной с учетом поля ЭТ, приходится решать более сложные проблемы, среди которых: достижение высокой точности анализа и синтеза полей; полного разделения полей; вычисления всех компонент поля и тензора импеданса при наличии экспериментального материала только по трем магнитным компонентам; воспроизведения источников вариаций обоих типов полей, в том числе трехмерных токовых систем; исследования соотношения полей обеих мод; соотношения между индукционной и потенциальной составляющими вертикальной компоненты электрического поля; их поведения на поверхности Земли, и, в связи с этим поведением, проблему объяснения столь противоречивых результатов измере-. ния вертикальной составляющей электрического поля различными, авторами. Немаловажно было поставить и понять проблему различия между сферической и плоской интерпретацией, сферическими и плоскими возбудителями поля.

В десятом па£агр_афе рассмотрена, пожалуй, самая принципиальная проблема теории генерации полей ЫТ и ЭТ, а именно проблема создания одним и тем же ионосферным источником обоих типов полей. Удалось материализовать эту идею в уравнениях Максвелла. Показано, что введенные в электродинамику

Дебаем и Бромвичем МТ и ЭТ поля от скалярных источников имеют свои собственные упрощенные уравнения Максвелла. В однородной среде с комплексной проводимостью - б' - поле МТ с компонентами в сферической системе координат Hg,Hif,Hit,Eet^*p (координаты и время у полей опущены) удовлетворяет уравнениям : -* -»

RolU^C'E, tdtE = -fi0W/dt, cfioH=o,

где Pot - двумерный ротор, - двумерная дивергенция, xot - неполный ротор.

Поле электрического типа ЭТ с компонентами

удовлетворяет уравнениям: -»_ , _ -* -*

Сумма полей МТ и ЭТ есть наблюденное поле, суша их уравнений Максвелла есть полные уравнения Максвелла.

В том случае, когда описывающие поле потенциалы дивергент тны( например, согласно калибровке Лоренца ),

то в сферических координатах в первых уравнениях из названных выше систем уравнений Максвелла необходимо ввести дополнительный член вида ± Gzaci(2Ax/l) , где G^dd -двумерный градиент.

Введение этого дополнительного члена, с одной стороны, сохраняет принцип суперпозиции по полям, уравнениям Максвелла и уравнениям Гельмгольца для потенциалов - аналогам уравнений Максвелла, а с другой стороны, его наличие позволяет выявить и объяснить факт генерации источником на сфере двух типов полей: магнитного типа МТ и электрического типа ЭТ. Доказательство этого последнего факта открывает заленый свет тем исследованиям, которые исходили из экспериментального наблюдения £г- компоненты и последующей интерпретации данных эксперимента с учетом Ет, может быть, до конца не осознавая причины появления потенциального поля Ег- компот ненты в воздухе. Тем более, что и в советской и зарубежной литературе существуют работы, в которых доказывается невозможность появления в геоэлектромагнитных вариациях Ег- комг поненты в воздухе. В следующих параграфах, исходя из выше приведенной теории, доказывается второй замечательный факт, состоящий в том, что индукционная часть Ег- компоненты до

нуля скомпенсирована ее потенциальной частью на поверхности Земли и поэтому не может быть измерена. Вычислить же ее напряженность по результатам сферического анализа магнитных компонент не составляет труда. На станциях Мировой сети об- , серваторий ее напряженность нами сосчитана и приведена в монографии £ IVЛ . Величины напряженности индукционной части Е^. - компоненты, например, для вариаций чуть больше изме-

ренных на Земле горизонтальных индукционных компонент Ев, В одиннадцат£м_параг£а^е поставлена следующая задача разделения поля от сторонних источников, расположенных в областях VI ив , выделенных во всюду однородной среде с комплексной проводимостью воздуха о*'.

Дано V/ — шар с поверхностью 5 , б - объем, концентрический шару \л! и расположенный от него на расстоянии к . На поверхности <3 заданы сферические компоненты суммарного поля Н = (Н';*Не)м+ (Н£+Не)3

Определить компоненты Ш\Ие. Е^Ве)м и ('//•', Не, Е\ £е/ при условии ¡¡¿цг^о/ё'&в^О; Ее^О.

Поставленная задача решена в потенциалах Дебая путем их разложения в ряды по собственным функциям скалярных однородных уравнений Гельмгольца, возникающих в воздухе в связи с учетом его проводимости. Получены разложения пятикошонент-ных модификаций поля магнитного и электрического•типа внешни^ и внутренних источников, С помощью этих разложений образовано суммарное поле на поверхности Земли 5 :

т-о 1

=2 г С- ^^'«у

Иъ= кгСО^+^вСпту) п Р?(со$6);

т=0

Ег = ЁЕ ^«-M) PnCcose)

n~1 171-0

Здесь: П - радиус Земли, С'- проводимость воздуха, - проводимость верхнего слоя Земли.

При наложении полей зозникли уравнения связи в неиэвест-; них коэффициентах:

in-- - i?(n-112.) ifi k> =-к?(п-512) + k™ •

i^-t^-S/abCi ДГ= ОзкТ; С- зС. (2)

и разделяющие уравнения, с помощью которых производится разделение полей на внешние и внутренние:

(3) ,

Анализ детерминантов, разделяющих уравнений, которые при Я все отличны от нуля и равны R~z , позволяет сформулировать следующее утверждение:

{

I. Задача полного разделения полей разрешима в потенциалах Дебая единственным образом при любых ненулевых правых частях разделяющих уравнений.

Теорема о разделении не гарантирует существование на поверхности Земли электромагнитного поля, то есть правых чар-тей разделяющих уравнений. Правые части в (3) могут быть любьаги , но обязательно отличными от нуля.Физически это означает, что если внешний и внутренний источники имоют на посорхности Земли электромагнитные компоненты поля, то правые части разделяющих уравнений могут быть найдены, задача полного разделения, полей решена однозначно. Отыскание правые частей (3) есть самостоятельная задача. Она может быть решена точно при наличш: дшгкых в каждой точке сферы и приближенно, когда дашпгз о поле есть только в отдельных точках.;В этом последнс:; случае рсшастся задача апроксимации наблюденных значений поля с помощью разложений (I). Такая процедура апроксимации известна в геофизике под названием сферическогц анализа К.Гаусса, с помощью которого отыскиваются приближенные значения правых частей разделяющих уравнений (3). Проблемы собственно сферического анализа обсуждены в § V.

Показано, что в упомянутой выше постановке задача полно-» го разделения полей, решаемая в потенциалах Дебая, недоопре-делена в связи с отсутствием на Мировой сети станций данных об электрическом поло. Без этих данных задачу полного разделения полей в потенциалах Дебая решить нельзя, так как ыаг-нитшз компоненты не располагают всем необходимым для уравнений (3) набором коэффициентов.

В двенадцатом параграфе предложен метод полного разделения полей, полученный с помощью векторного потенциала, в рамках которого преодолена выше упомянутая трудность, связанная с отсутствием на мировой сети станций данных об электрическом поле. Математическая задача полного разделения полей в этом параграфе ставится точно также как в предыдущем.поэтому повторять постановку нет необходимости. Решение достигается путем разложения скалярных составляющих интегралов:

представляющих решение вне областей Ы и 6 , где поверхностные интегралы от поверхностных токов и зарядов отсутствуют. Наложение полей внешних и внутренних источников обеих модификаций приводит к разложению яомпонект суммарного поля в следующем виде:

22, Л, г- - -т

Нв~~¿.[¿я'сХтШп'Рffin¡WSinf ■■ XÍfcoWFCOS- C0S9-

,lT/ ¡¡f.g

- ¿™(¡:is¡n r.vpm ? +ф +Щ:1С05гг<<рС05'р-(р+ 1¡?)slnmf.s;»f)r

- .'Г^^Л'и.^'^.'ИЧ7-^ + í/2)f n'fíKf eos +

♦ (P?eosm9 - ofisitmy)n,c¿(j9] P?{Ш0);

[¿nmeosm?cosyeos9-i-j^sinnfmfcosSHnCosiw?s¡ní>cos9*

- ¿^i/z)cos$P^(cosd)^nQ^(coiej) toSm'?eosf~j"((n ></s)eos0' ■ «?Z(co$8)+s>rid.fá P,T(co:0¡¡)sinir>'fcDW - x"((» + -¡/¿)ü!>sQF;?(tos9)«

P"(cos(ifycosrw.n4- фяОРДтЭ) -+ í'm Q f§ Pn(cos 6>))j¡nnrfis;n >í> - p'n{eo$

со п.

Нг = SU! CÍcoswPJ'Wtt Р"ф<&ф -Siiv^m^-'Щ i) P;?(CÍ>S¿>)J +P*(eos9)+CosrnlPCW Р,Г(соа Э)) -

- C(Cosmf>cw^ P"(C0S9j+S!nmn№ тсЦв P?(cos&j) -

- »Vcosf^РХ(ше)-№пЧ>ЯпЧ>-;;;eífВ P?(zcs&)) -

- (tfaosrnf- ¡ffsimv) m Pnm(cos$);

+(п-ЩЬпд^ p?(cosâ))]ccsmnos?+ [j^ P„>n0> Р„>ю6!))т

\

- C((x2rn-3/¿ps9Pnm(coiB) +(п-з/г)Гя P"(w&j)]s¡n mysinf +

- (п-Щтв^ P™(cai0))]ecsmf+[p"(cosP¡£ CM -s!nâ P?№))+

* phm((*2- dp^ûspj-fn-s/zjcœ Pnm(ccsßj) ]s¡n*¥ ; (5)

- Oo Л

* jiny - (n-B/tymmW^-Kjfob'nmtPtiny-cDStnYtK ((*'+

* eorfj - С((хг+ n - ^Jsinn^cos ¥+(п-з/г)теМ mfsiny) -

(n -ЩрХ)еип>Ч>п>с{]0]Рпт(т0) ;

n^m-0

X Sin rnWûWînfl ^¿V (n2_6A) '

* í.Vm^vi^ne+($;»+ (t?-9/A)fâ)eos>>veûs04(p?-t (и2- 9Д) p^) *

X S.'nVw^OôSô] Pnm(cor0j.

Разложения шести компонент поля дополняются уравнениями связи коэффициентов, позволяющих вычислить коэффициенты поля магнитного типа (с волной):

Рпт=Р?-(*-г/г)Р,?; и разделяющими уравнениями:

1 Кн/г (*Уя) + а?{Гпн/г = # ' -¡С I Кпч1г[х^У Тп

Уп

Уп 4 КпМ^Ь СХЧТ^/г (* Щ = С . ' -К I + 1й-,/2 (**/*> йГ (?)

Нетрудно видеть, что детерминант разделяющих уравнений при всегда отличен от нуля и равен:

# [С*(*) +К„-,/2ШпЧг (*)] = й 2 (8)

Это позволяет сформулировать следующее утверждение:

2. Задача полного разделения полей в векторном потенциале разрешима единственным образом для любых ненулевых правых частей разделяющих уравнений.

Сформулированный в теореме результат позволяет для определения правых частей разделяющих уравнений применить формулу (5) и приближенный метод сферического анализе К.Гаусса к данным о магнитных компонентах различных геоэлектромагнитных вариаций, измеренных на мировой сети станций. Анализ разложений, уравнений связи и разделяющих уравнений показал, что поставленная выше задача полного разделения полей при ее решении в векторном потенциале переопределена, так как для нахождения приближенных значений всех необходимых для разделения правых частей уравнений (7) достаточно двух компонент поля Ну и Нь (в них содержится весь необходимый для, уравнений (7) набор коэффициентов). Наличие Нд компоненты и электрических компонент с тем же самым набором коэффициентов может быть использовано для подавления влияния ошибок измерения, например, методом наименьших квадратов. Этот результат весьма важен для практики, так как позволяет без ограничений пользоваться всеми имеющимися данными о магнитных компонентах, наблюдаемых вариаций, не только современными, но и измереннпми в прежние эпохи. Показано, что для вычислен ния всех компонент электрического и магнитного поля обеих ыодицикаций, внешнего и внутреннего поля достаточно на мировой сети, станций измерить две компоненты поля Ну и Иг. Правда количество точек измерения для определения наперед заданного количества коэффициентов должно быть значительно больше, чем в алгоритме К.Гаусса, а именно Ьп(п + 3) »где М- номер, до которого производится определение неизвестных коэффициентов в разложении (5).

В данном и предыдущем параграфе показано, что в радиальной компоненте электрического поля индуционное слагаемое, связанное с множителем ьийрк , полностью скомпенсировано потенциальным слагаемым. Так что электрические компоненты поля электрического типа потенциальны.

В тринадцатом параграфе отмечено, что учет поля электрического типа в пространственном анализе безусловно необходим и принципиально изменяет наряду с математической частью задачи ее физический аспект, так как при наличии поля электрического типа источники поля геоэлектромагнитных вариаций трехмерны. В связи с этим усложняется также физико-математическая трактовка взаимодействия поля вариаций с проводниками в Земле, проводимость которых в связи с существование^ поля электрического типа также трехмерна. В этом же параграфе определены в однородной среде поля магнитного и электрического типа, исходя из однородных, уравнений Максвелла, Поля создаются бездивергентными сторонними токами!.В 13.1 поставлена следующая задача разделения поля на площади:

Дзно: и/ - полупространство, 5-его граница, &- область, отстоящая от V/ на высоту, й. . На 5 заданы компоненты поля и £^(£ЧЕеГ+(ЕЧЕе)э Определить компоненты поля: (Н\Не, и (Н^Н?Ё',£е)3 При условии:

Решение достигается путем разложения потенциалов Дебая в цилиндрических координатах по собственным функциям однородных скалярных уравнений Гельмгольца, которым удовлетворяют потенциалы Дебая, а также перехода к компонентам вектор-потенциала и от них к пятикомпонентным модификациям поля магнитного и электрического типа. Наложением полей этих модификаций можно получить разложения суммарного поля в цилиндрических координатах, центр которых расположен в центре участка наблюдений:

оо со т

Нг = " ЕЕрсозпг*му) (рт (у: у9) . */£)>

Н9=(/С*/?) + П'° ^т т!е * и? Ут (К */$);

Нг=-Ё & : С05 » у ^пп>ч>) (9 (н?*/9) +

П-О

оо Во (9)

Е* = ЕЕ Уг* (н?*/р) н-

+(-К?б1тЧ>+ ,

2 оа оо и разделяющие уравнения:

-г.

^п.-^ е + "п 5 =■ Ья

Vе п ?

+ ^ —с^-е = с*

Нетрудно видеть, что детерминант любой пары уравнений всегда отличен от нуля. Это позволяет сформулировать следующее утверждение:

3. Проблема полного разделения полей на локальном участке в потенциалах Дебая разрешима единственным образом для любых ненулевых правых частей разделяющих уравнений. Для полного разделения полей при этом необходимо измерить касательную магнитную и электрическую компоненты поля на площади.

В 13.2 данного параграфа рассмотрена выше сформулированная задача полного разделения полей с использованием разложений векторного потенциала по собственным функциям векторного уравнения Гельмгольца. На этом пути достигается полная адекватность разложений наблюденному полю, так как коэффициенты разложений являются моментами различных порядков произвольной токовой системы в источниках вариаций:

£00 _

и о ^o(i™eosnysir)f+j„ymn<W--K™coMycosy- ("snmstovf)* * X,(КУр) + ctfeOSm*)^(м>/р);

ОО ОО _ _ _

Hf = (ОЮЮУсмУ+^А^^

оо оо

' (II)

- ceSMvfY^(н>/р)-^mMfju^ (н? УР))} -2 £2. 00

ЕчгигБЩ' ZZ (Омт<0со$«р+ ttnmyieiy+CeeiwyiViif+

J,J ° П-0 М-0 "

_2 оо оо

оо оо \ о

Формулы (9) и (II) отличаются от разложений на сфере тем, что поле магнитного типа и поле электрического типа в суммарном поле имеют отличные друг от друга пространственные гармоники, поэтому процедура вычисления неизвестных ко-

эффициентов одновременно выполняет и функции разделения наблюдаемого поля на поля магнитного и электрического типа. Коэффициенты этих полей не сливаются. Уравнений связи коэффициентов здесь нет. Разделяющие уравнения в разложениях (II) совпадают с (10) с той лишь разницей, что их в последнем случае на две пары больше. Теорема о разделении формулируется также, как и утверждение 3. Вертикальная компонента электрического поля Ег потенциальна, индукционная ее часть скомпенсирована потенциальной частью поля.

В 13.3 рассмотрено влияние сферичности Земли. Влияние сферичности, кроме того, что изучено нами в [1?], ощущается и в том, что в связи с ним на ограниченных площадях в каждой точке возникает существенное по напряженности дополнительное потенциальное поле электрического типа, которое поддерживает существование вертикального электрического поля £г в воздухе и вообще всей моды электрического типа. Избавиться от такого влияния сферичности можно только разделением мод.

В ч_зта£надцатом £а£аграфе рассмотрено применение предложенной теории поля вариаций к глобальным геофизическим исследованиям.

В 14.1 поставлены задачи, вытекающие из попытки осуществить сферический анализ солнечно-суточных вариаций. Сферический анализ проведен по опубликованным ИЗИРАН данным с применением для подавления влияния ошибок измерения и явленмя Гиббса регуляризирующих сигма-множителей Ланцсша. Систе.-ма линейных уравнений решена методом псевдообращения, минимизирующим квадрат невязки и норму решения с регуляризацией по Тихонову см. § 7.

Показано, что апроксимационные свойства предложенных ре*зложений значительно лучше апроксимационных свойств формул К.Гаусса-Шустера. Проведенные численные эксперименты, включая эксперимент настанциях,не участвующих в анализе, показал лучшее по сравнению со всеми известными совпадение экспериментальных данных и синтезированных полей.

В 14.2 проанализировано наличие поля электрического типа в Sq-вариациях. Показано, что поле -вариаций состоит

из двух модификаций: поля магнитного и электрического типа. На всех без исключения станциях наблюдения присутствуют обе пятикомпонентные модификации. Радиальное электрическое поле имеет напряженность достигающую первых киловат на метр. Доказательство присутствия поля электрического типа в вариациях является важнейшим результатом диссертации. При наличии поля электрического типа его источники являются бесспорно трехмерными. Очевидно, что вся теория должна исходить из трехмерности источников, а это принципиально новая постановка вопроса, так как трехмерность источников вариаций су____- ч щественно усложняет физико-математическое описание явления

в целом. Вся дальнейшая теория интерпретации поля геоэлектромагнитных вариаций строится в работе с учетом этого нового фактора.

В 14.3 изучено соотношение полей обеих модификаций, а также внешнего и внутреннего поля в каждой из них. Показано, что в магнитных компонентах поле электрического типа достигает по амплитуде 40% поля магнитного типа. Максимальный вклад магнитного поля электрического типа наблюдается на экваториальных станциях...К югу и северу эффект присутствия поля электрического типа снижается.

Радиальное электрическое поле присутствует на всех без исключения станциях наблюдения. Максимальная напряженность радиальной компоненты, достигающая первых киловольт на метр, наблюдается на экваториальных станциях и ослабевает к югу и северу. В авроральных зонах напряженность радиальной компоненты электрического поля ¿^-вариаций не превышает трехсот вольт на метр.

Горизонтальное электрическое поле ¿^-вариаций состоит из двух частей: индукционной, достигающей в средних широтах напряженности первых десятков милливольт на километр, и потенциальной, напряженность которой почти на три порядка меньше. Поэтому потенциальная часть горизонтального электрического поля в формировании горизонтальных токов в Земле практически не участвует. Потенциальная часть горизонтального электрического поля обнаруживает в разных районах Земли в векторе напряженности преимущественное направление,

что указывает на несимметричное растекание вертикального тока. Зто позволяет магнитному полю радиального тока проникать в атмосферу.

Внешние ч внутренние поля обеих модификаций ведут себя далеко не одинаково. В поле магнитного типа между внешним и внутренним полем S^-вариаций соотношение повторяет известное - внешнее поле превосходит внутреннее. В поле электрического типа картина обратная - внутреннее поле превосходит внешнее. Наличие поля электрического типа внешнего и внутреннего происхождения напрямую доказывает трехмерность как внешнего, так и внутреннего источников S^-вариаций. Преобладание внутреннего поля электрического типа говорит за существенную электрическую неоднородность Земли.

В 14.4 обсуждается содержательная постановка проблемы моделирования источников вариаций. Отмечено три основные проблемы, первая из них касается разработки физических основ построения адекватных полю источников, вторая состоит из получения пригодных для численного расчета формул, третья -в построении и анализа источников SЩ- вариаций. Основой для решения названных проблем является развитый в предыдущих двух главах метод сферического и пространственного анализа полей и их полного разделения. Предложен метод моделирования источников поля магнитного типа на сфере и рассмотрены источники ¿^-вариаций к эпохе ШТ-1958 г., построенные этим методом. Источник поля магнитного типа расположен на бесконечно тонкой поверхности, расстояние до которой от поверхности Земли задано. Поверхностная плотность тока получена с использованием известного граничного условия для касательных, компонент поля под и над слоем с током </(Р) = [¡С, Hf-ffi], Расчетная формула для компонент поверхностной плотности тока имеет вид: во

где

В результате сферического анализа поля ¿^вариаций были рассчитаны коэффициенты, входящие в разложение (12), поэтому удалось воспроизвести источник поля магнитного типа -вариаций. Этот источник оказался достаточно простым и состоящим иэ двух систем контуров: дневного, вращающегося в северном полушарии против, в южном по часовой стрелке и разделенного по экватору электроджетом восточного направления и ночного с обратным направлением вращения северного и южного контуров и электроджетом на запад. От часа к часу з разное время мировых суток эти системы конутров могут смещаться: дневной ближе к утренней, а ночной ближе к вечерней стороне местных суток. Рассмотрены модели источников поля электрического типа, которые строятся с использованием основного граничного условия для вертикальной компоненты электрической индукции на тонкой поверхности с электрическим зарядом плотности §и>- ХГХп-') . Расчетная формула для плотности электрического заряда, измеряемого в кулонах на километр квадратный (Кл/км ), имеет вид :

П-Аи£1— Г+

- (с сО''ипф,*ММ +(е™№тЧ+

(13)

По формуле (13) были расчиганы плотности электрического заряда на сфере по данным об .З^-вариациях земного электромагнитного поля. Анализ карт показал, что электрический заряд концентрируется в зонах с аномально повышенными положительными и отрицательными значениями плотности по обе стороны экватора. С течением времени знак плотности в этих зонах меняется на противоположный, тем не менее географические центры зон с течением мировых суток практически не изменяются.

Рассмотрена также проблема моделирования трехмерных токовых систем геоэлектромагнитных вариаций путем использования данных о поле магнитного и электрического типа. Сделано предположение о том, что в зоны с аномальными значениями плотности заряда втекает вертикальный ток. Если это так (а эти зоны получены по вертикальной компоненте электрического поля), то трехмерная токовая система моделируется путем наложения карт распределения векторов плотности тока источника поля магнитного типа -на карты плотности электрического заряда и восстановления в местах аномалий плотности заряда вертикальных линий плотности вертикального тока соответствующего знака. Таким способом построены модели трехмерных токовых систем ^с^вариаций и показано, что вертикальные токи втекаю,т в центры дневных и ночных вихрей, кроме того, втекания тока всегда имеются на утреннем и вечернем терминаторах. Перетекания тока из северного полушария в южное и наоборот доказывается наличием положительных и отрицательных зон плотности электрического заряда по обе стороны экватора. Линии, соединяющие зоны разных знаков через экватор, совпадают по направлению с направлением силовых линий.

В 14.5 исследованы задачи аналитического и миграционного продолжения электромагнитных полей из области и постоянной проводимостью в облестьс произвольным распределением плотности пока. Сформулированы и решены соответствующие задачи Коши. На основе этих решений исследована задача аналитического и миграционного продолжения внутреннего поля вариаций обоих типов в Землю, исследована разрешимость задачи

разделения полей на внешнее и внутреннее в методе Гаусса и с помощь» интегралов Стреттона-Чу. Показано, что полученные в этой главе разложения внутреннего поля вариаций, аналитически продолжкмы не только всюду вне источника, но и в сторону источника. Единственность продолжения, естественно, доказана только для полей, имеющих напряженности на поверхности Земли. Кроме них существуют еще финитные поля, обладающие напряженностью только внутри области. Они то, как раз, и не позволяют с помощью продолжения полей с поверхности Земли выявить все источники внутри области. Тем не менее миграционные продолжения поля в силу своей устойчивости позволяют увидеть внутреннюю структуру среды, не подвергая ее априорному моделированию. Это обстоятельство имеет принципиальное значение для геофизики.

3_пятнадцатоы_парагдас^е исследована задача аналитического и миграционного продолжения поля вариаций, наблюденных на площади, внутрь,полупространства. Доказана продолжимость разложений поля не только во внешнюю область, но и во внутреннюю, исследована проблема разрешимости задачи разделения по данным о поле вариаций на площади.

В ше£надцатоы па^агр^афе рассмотрена содержательная постановка проблемы разделения, в которой нормальным полем предлагается считать поле вариаций над электрически однородной моделью Земли или моделью о возрастающей в глубину проводимостью. Разность ыевду наблюденным полем и полем вариаций над электрически однородной Землей считается аномальным полем, в котором содержатся кроме того поля поверхностных и глубинных аномалий. Поле поверхностных аномалий затем моделируется по известному распределению приповерхностной проводимости Земли и полю внешних источников. Поле глубинных аномалий получается в результате вычитания поля поверхностных аномалий из суммарного аномального поля.

Рассмотрен метод расчета коэффициентов нормального поля Земли по известному распределению функции проводимости <э(ъ) и внешнему электрическому полю - вариаций. Сферический анализ поля и его разделение позволяют выделить внешнее поле,

аналитически продолжить его во внешнюю по отношению к его источнику область. Интегральные представления коэффициентов сферического анализа позволяют определить коэффициенты нормального поля, вычислив тройной интеграл по объему Земли. При этом влияние скин-эффекта учитывается параметром 8 , обозначающим глубину проникновения поля. До этого параметра производится интегрирование по радиусу шара. Коэффициенты нормального поля магнитного и электрического типа легко вычисляются. Поле того и другого типа можно расчитать затем в любой точке поверхности Земли. По данным об вариациях

на различных станциях мировой сети расчитаны нормальное и аномальное поля и произведено сравнение их с наблюденными. Аномальное поле практически во всей случаях совпадает по фазе с наблюденным, нормальное поле повторяет по фазе наблюденное, но с меньшей амплитудой.

В_с£мнадцат£м_п^р£графе рассмотрена задача выделения аномального поля, которая решается путем вычитания нормального поля из наблюденного, выделяется аномальное поле ^ -вариаций на суточной и полусуточной гармониках, показывается, что на земном шаре аномальное поле существенно трехмерно, выделяется ряд зон интенсивного поля, которые названы мировыми аномалиями £^-вариаций.

В этом ?ке параграфе рассмотрена задача разделения поверхностных и глубинных аномалий в случае отсутствия взаимодействия между их полями (учитывается только суперпозиция полей). Поле поверхностных аномалий моделируется также как нормальное поле по известному распределению поверхностной проводимости и внешнему полю источника вариаций, а поле глубинных аномалий получается вычитанием поля аномалий из суммарного аномального поля.

В восемнадцатом и девятнадцатом падаграфе исследованы аналогичные задачи'расчета нормального и аномального полей по данным о геоэлектромагнитных вариациях', измеренных на площади.

В третьей главе в трех параграфах с 20 по 22 исследованы задачи разделения вибросейсмических колебаний на монотип-

ные в точках наблюдения. Предполагается, что в точках приема трехкомпонентным сейсмоприемником измеряются амплитуды и фазы как продольных, так и поперечных колебаний. Найдены формулы для: пространственного анализа; разделения колебаний на монотипные в точках приема; аналитического продолжения вибросейсмических полей в область с источниками. Перечисленные задачи решены для сферической и плоской поверхностей. В работе [25] предложены формулы для миграционного продолжения вибросейсмического поля.

Публикации

1. Аксенов В.В, Об учете вертикальных токов при сферическом . анализе вариаций. - Геология и геофизика, 1969, Г 5,

с. 125-130.

2. Аксенов В.В. К проблеме разделения полей 5^-вариаций с учетом радиальных токов. - В кн.: Проблемы региональной геологии и петрографии и методы геохимических и геофизических исследований. - Новосибирск: Наука, 196£,

с. 110-114.

3. Аксенов В.В., Сапрыкина Г.А. К разделению полей ¿^-ва-риаций наблюденных на локальном участке земной поверхнос ти. Там же с.114-117.

4. Аксенов В.В. Система токов .б^-вариаций. - В кн.: Пробле мы региональной геологии и петрографии Сибири и методы геохимических и геофизических исследований. ИГиГ СО АН СССР. 1970, с. 108-112.

5. Аксенов В.В. Анализ поля геомагнитных вариаций с помощьк негармонических потенциалов. - В кн.: Вопросы геологии I геофизики Сибири. ИГиГ СО АН СССР, 1971, с. 154-156.

6. Аксенов В.В. Пространственный анализ периодических вариг ций. - В кн.: Проблемы геологии и методы геохимических 1 геофизических исследований. ИГиГ СО АН СССР, 1972,

с. 114-119.

7. Аксенов В.В. К расчету эквивалентных источников вариаци] при МВЗ. - Там же, с. 119-122.

8. Аксенов В.В. Сферический анализ вариаций.- Там же с. 122-126.

9. Аксенов В.В. Распределение кажущегося удельного сопротивления в Земле, построенное по материалам сферического анализа вариаций. - Там же, с. 157-159.

10. Аксенов В.В. Магнитотеллурическое зондирование в ограниченных участках земной поверхности. - Там же, с.159-161.

11. Аксенов В.В. Сферический и пространственный анализ периодических геомагнитных вариаций. - Там же, с.139-149.

12. Аксенов В.В. К теории построения токовых систем геомагнитных вариаций на сфеве и в локальных областях. - Там же с.149-156.

13. Аксенов В.В. Пространственный анализ площадных наблюдений за непотенциальным электромагнитным полем. - Геология и Геофизика, 1979, № 2, с. 130-139.

14. Аксенов В.В. Интерпретация площадных: наблюдений за естественным электромагнитным полем. - Известия ВУЗов Геология и разведка, 1980, }" I, с. 46-51.

15. Аксенов В.В. О существовании и единственности решения задачи разделения естественного электромагнитного поля на внешнее и внутреннее. - Геология и геофизика, 1981, К 12, с. 122-133.

16. Аксенов В.В. Электромагнитное поле Зц_-вариаций. -' Герлогия и Геофизика, 1982, № 3, с.90-96.

17. Аксенов В.В. Интерпретация электромагнитных вариаций.

- М.: Наука, 1982, 262 с.

18. Аксенов В.В. О разделении полей электрического и магнитного типа геоэлектромагнитных вариаций. - Геология и Геофизика, 1982, № 8, с. 86-92.

19. Аксенов В.В. Прямые задачи интерпретации естественного электромагнитного поля Земли. - Геология и Геофизика, 1983, № I, с. 133-140.

20. Аксенов В.В. Сферический анализ непотенциальных полей.

- Геология'и Геофизика, 1983, № 3, с. 102-110.

21. Аксенов В.В. О разделении нормального и аномального полей по измерениям на ограниченной площади. - Геология

и Геофизика, 1984, № I, с. 104-110.

22. Аксенов В.В. О выделении нормального и аномального полей магнитного и электрического типов в геоэлектромагнитных вариациях. - Геология и Геофизика, 1984, Г 7, с. 121-126.

23. Аксенов В.В. Мировые аномалии магнитного поля вариаций. - Геология и геофизика, 1985, Л1 II, с. 122-126.

24. Аксенов В.В. Пространственный анализ площадных вибросейсмических наблюдений. - Геология и геофизика, 1985,

12 с, П2-П9.

25. Аксенов В.В. Комплексная интерпретация геофизических данных на основе миграционных продолжений геофизических полей, сб. "Математическое и алгоритмическое обеспечение геологоразведочных вычислительных центров". Новосибирск. Из-е ВЦ СО АН 1990 г., с. 121-128.

26. Аксенов В.В. Аналитические модели главного геомагнитного поля и-их численная реализация. // Информационное обеспечение геофизических исследований. Выпуск 3.- М: Из-е МОД. 1990 г. с. 29-38.

27. Аксенов В.В. Алгоритмы разделения геофизических полей. Новосибирск Из-е ВЦ СО АН СССР. 1989 г., 259 с.

28. Аксенов В.В. О двуыодальном зондировании Земли полем электромагнитных вариаций. Ж. Геология и разведка,

К I, 1991 г. ' ■

29. Аксенов В.В. Сферический анализ главного геомагнитного поля в магнитных координатах.//Проблемы региональной геологии и петрографии и методы геохимических и геофизических исследований.-Новосибирск. Из-е ИГиГ СО АН.1970.с.104

30. Аксенов В.В. Об аналитическом представлении главного геомагнитного поля.// Проблемы региональной геологии и петрографии и методы геофизич. исследтНовосибирск.ИГиГ.1969 г.

Подписано в печать

Формат бумаги 60x84 1/16. Объем 2.0 п.л. 1.9 уч.изд.л.

Заказ № 255 Тираж 100 экз. Бесплатно.

Отпечатано на ротапринте Вычислительного Центра СО АН СССР.

630090, Новосибирск 90, проспект академика Лаврентьева,6.