Математическое моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с наклоном осей анизотропии электропроводности

Федоров, Александр Игоревич

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с наклоном осей анизотропии электропроводности"

На правах рукописи

1

ФЕДОРОВ Александр Игоревич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ С НАКЛОНОМ ОСЕЙ АНИЗОТРОПИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ

25.00.10 — геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК - 2005

Работа выполнена в Лаборатории электромагнитных полей Института геофизики СО РАН.

Научный руководитель: доктор технических наук, член-корреспондент РАН Эпов Михаил Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Мартышко Петр Сергеевич, доктор физико-математических наук Филатов Владимир Викторович

Ведущая организация: Институт физики Земли РАН (г.Троицк Московской обл.)

Защита состоится 22 июня 2005 г. в 15 час. на заседании диссертационного совета Д 003.050.05 в Объединенном институте геологии, геофизики и минералогии им. A.A. Трофимука СО РАН, в конференц-зале.

Адрес: 630090, Новосибирск, 90, пр-т Ак. Коптюга, 3 Факс: (3832) 33-27-92

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИГГиМ СО РАН

Автореферат разослан " ^ " 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ~ доктор физ.-мат. наук

Ю.А. Дашевский

кшн

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования - электромагнитные поля в анизотропных проводящих средах с наклоном главных осей анизотропии.

Известно, что существенная доля терригенных нефтегазовых коллекторов представляют собой почти периодические по глубине тонкослоистые структуры, состоящие из маломощных пропластков с различными сопротивлениями. Для расчета электромагнитных полей в такой среде ее можно заменить эффективной однородной анизотропной средой при условии, что толщина скин-слоя в каждом отдельном пропластке существенно превосходит его мощность Наряду с такими макроанизотропными объектами существуют сильно метаморфизованные породы (например гнейсы), характеризующиеся микроанизотропией электропроводности, которая обусловлена внутренней структурой. Существует значительное число публикаций, посвященных численному моделированию электромагнитных сигналов в трансверсально-изотропных слоистых средах, среди которых работы Кауфмана A.A., Эпова М И , Табаровского JI.A., Ньюмана Г.А., Светова B.C. и др. Геологически этому соответствуют ситуации, когда напластования или рассланцевание параллельны границам пластов. Если же маломощные прослои или плоскости преимущественной трещиноватости наклонены к границам пластов, то задача моделирования существенно усложняется. Решению соответствующей прямой задачи посвящено всего несколько публикаций. Ряд вопросов моделирования электромагнитных полей обсужден недостаточно полно, а некоторые вопросы не обсуждались и не анализировались вообще. К числу последних относится анализ влияния наклона осей анизотропии на данные индукционного каротажа, а также характер обусловленных анизотропией среды индуцированных объемных зарядов на величину и распределение электромагнитного поля. Это связано в основном с отсутствием разработанных алгоритмов и программ для моделирования электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии электропроводности.

Таким образом, представляется актуальным создание алгоритма для расчета электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии, а также построения аналитических приближений для качественного анализа пространственного распределения объемных зарядов и токов.

Цель исследований - разработка алгоритмов для расчета электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии, повышение информативности и достоверности интерпретации индукционного и электромагнитного каротажа в анизотропных средах на основе нового способа обработки, направленного на определение всех элементов тензора электропроводности среды.

Задача исследования - определить влияние наклона осей анизотропии электропроводности на величину и распределение электромагнитных полей в анизотропной среде, а также на сигналы в индукционном и электромагнитном каротаже.

Фактический материал и методы исследований. Теоретической основой решения поставленной задачи являются уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. Основным методом исследования является математическое моделирование. Для построения алгоритма имитации электромагнитных полей привлекались преобразования Фурье-Бесселя, методы решения систем линейных и трансцендентных уравнений. Для построения аналитических приближений полей применялись разложения функций комплексного переменного в ряд Лорана и Тейлора, теория возмущений, а также преобразования путей интегрирования в комплексной плоскости (теорема Коши). Фактическим материалом исследований являются синтетические данные. Оценка точности численных расчетов производилась путем их сравнения с точными аналитическими выражениями для поля произвольно-ориентированного магнитного диполя в однородной трансверсально-изотропной среде, а также с полученными ранее результатами Ньюма-на Г.А. и Вайсса С.Дж (конечно-разностный алгоритм).

Защищаемые положения и научные результаты:

В результате проведенного исследования было установлено, что наклон осей анизотропии существенно изменяет картину распределения электромагнитного поля, а следовательно, влияет на данные индукционного и электромагнитного каротажа в анизотропной среде. Это влияние проявляется в следующем:

- для поля вертикального магнитного диполя в среде с наклоном осей анизотропии возникает вертикальное электрическое поле и связанный с ним вертикальный электрический ток;

- поправка для электрического и магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя, обусловленная малостью угла наклона осей анизотропии, имеет только мнимую часть, следовательно, слабый наклон осей анизотропии оказывает большее влияние на измерения активной компоненты поля, чем на измерения его реактивной компоненты;

- поправка для вертикальной составляющей магнитного поля вертикального магнитного диполя, обусловленная малостью угла наклона осей анизотропии, имеет второй порядок, а следовательно, на показания подобных зондов малый наклон осей анизотропии оказывает наименьшее влияние;

- индуцированные в среде заряды и токи имеют дипольный характер;

- максимальная плотность индуцированных в среде объемных зарядов достигается в области с наибольшим наклоном осей анизотропии;

- в низкочастотном представлении магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя в слоистой среде с наклоном осей анизотропии есть слагаемые, пропорциональные логарифмам безразмерных волновых чисел;

- при применении традиционных методов интерпретации данных каротажа на переменном токе в средах с наклоном осей анизотропии из-за модельных несоответствий могут быть получены геоэлектрические модели, некорректно отражающие параметры реальных сред, причем при использовании центрированных зондов невозможно выявить эти дефекты

Новизна работы. Личный вклад.

1. Разработан алгоритм математического моделирования электромагнитных полей дипольных источников в слоисто-однородных средах с наклоном осей анизотропии, основанный на построении уравнений для определения Фурье-образов коллинеарных границам компонент поля.

2. С использованием метода возмущений получены аналитические решения прямой задачи электромагнитных зондирований для среды с одной и двумя границами при малом угле наклона, а также описано качественное поведение_электромагнитного поля и индуцированных объемных зарядов и токов в средах с наклоном осей анизотропии.

3. Путем разложения интегралов, описывающих электромагнитное поле в слоистой среде с наклоном осей анизотропии, в ряд по степеням волнового числа показано, что в низкочастотном приближении оно описывается суммой, в которую входят слагаемые, содержащие логарифмы безразмерных волновых чисел.

4. Исходя из сравнения низкочастотных описаний гармонического магнитного поля магнитного диполя в однородных изотропной и с наклоном осей анизотропии средах, получены оценки модельных ошибок, возникающих при определении кажущегося сопротивления, а также описаны возможные пути определения всех элементов тензора проводимости среды.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты диссертации являются развитием теоретических основ индукционного и электромагнитного каротажа, а также наземных частотных зондирований. Разработанный алгоритм решения прямой

задачи можно использовать:

- для прямого моделирования синтетических сигналов и диаграмм электромагнитного каротажа;

- для решения обратных геофизических задач и интерпретации практических диаграмм электромагнитных методов;

- тестирования программ расчета электромагнитных полей в двух-и трехмерных геоэлектрических моделях.

Предложенные пути обработки диаграмм индукционного каротажа целесобразно использовать:

- для извлечения более полной и достоверной информации о геологическом разрезе, исходя из данных, полученных традиционными индукционными зондами с компланарными и коаксиальными катушками;

- для разработки новых зондов индукционного и электромагнитного каротажа, включающих измерения перекрестных компонент магнитной матрицы,

Апробация работы и публикации.

Работа выполнена в Лаборатории электромагнитных полей Института геофизики СО РАН

Основные результаты работы докладывались на "IV Уральской Молодежной научной школе по геофизике"(Пермь, 2003), ХЫ Международной Научной Студенческой Конференции (Новосибирск, 2003) и Второй Сибирской международной конференции молодых ученых по наукам о Земле (Новосибирск, 2004)

Материалы диссертации отражены в пяти публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, содержит 72 страницы текста и 15 страниц иллюстраций. Библиография содержит 104 наименования

Расположение материала в диссертации обусловлено, главным образом, последовательностью при решении научных задач. Во введении сформулированы задача исследования, его актуальность, цель работы, представлены основные защищаемые положения, а также определена научная новизна работы. В первой главе описан алгоритм решения прямой задачи в горизонтально-слоистой среде с наклоном осей анизотропии электропроводности, его численная реализация, а также результаты сравнения численного моделирования с результатами других исследователей. Во второй главе получены приближенные аналитические решения прямой задачи в случае малого угла наклона осей тензора анизотропии электропроводности, а также низкой частоты источника. Выявлен характер поведения электромагнитного поля, индуцированных объемных зарядов и токов в среде с наклоном осей анизотропии электропроводности. Показано, что в разложении электромагнитного поля в ряд по степеням волнового числа присутствуют слагаемые, содержащие логарифм волнового числа. В третьей главе получены выражения для кажущейся проводимости в среде с наклоном осей анизотропии, рассмотрены модельные ошибки, возникающие при интерепретации данных индукционных зондирований с помощью традиционных подходов, а также предложены возможные подходы определения всех элементов тензора электропроводности по данным индукционного и электромагнитного каротажа, как традиционным, так и нетрадиционным, содержащим измерения перекрестных компонент магнитного поля.

По теме диссертации опубликовано 5 научных работ.

При выполнении работы автор сотрудничал с учеными и специалистами ИГФ СО РАН. Автор искренне благодарен д.т.н., проф. Ю Н. Антонову, д.т.н. И.Н. Ельцову, д.ф.-м.н. Ю.А. Дашевс-кому, а также к.ф.-м.н. В.Н. Глинских, к.ф.-м.н. Г.А. Борисову, к.т.н. М Н. Никитенко, А.Ю. Соболеву, Е.В Павлову, В.В Потапову, М.А Степановой и другим за ценные советы и поддержку при выполнении работы.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю доктору технических наук, член-корреспонденту РАН М И. Эпову за неоценимую помощь и советы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первом параграфе первой главы описан алгоритм решения прямой задачи. Математическая модель рассматриваемой среды состоит из набора анизотропных проводящих немагнитных пластов с плоскопараллельными границами. Для решения задачи используются декартовы системы координат: основная и дополнительные. Основная систма координат включает направленную вниз ось г, нормальную к граничным плоскостям, а также оси х и у, лежащие в плоскости, параллельной границам. Границы пластов определяются уравнениями г = = 1, ..,п), п — число границ, п + 1 — число пластов). Дополнительные системы координат связаны с главными осями тензоров электропроводности <?,, (г = 0,.., п). В каждом пласте главные оси этих тензоров ориентированы следующим образом: ось Х{ параллельна оси х основной системы координат, а ось % наклонена относительно оси г на угол <5, € (—7г/2, 7г/2). Проводимости по главным осям тензора — 7«. 7»«,7я, причем у„ = уу{.

В одном из слоев находится источник монохроматического переменного электромагнитного поля, сторонний ток в котором изменяется во времени по закону е-*"®.

Пусть электромагнитное поле в среде удовлетворяет уравнениям Максвелла в квазистационарном приближении, а также закону сохранения заряда:

го Ш = дЁ + ]е

ю\,Ё - ШЩ)Н - Зр , .

дхчН = 0 и

= 0,

гДе Зе, Зц - плотности сторонних электрических и магнитных токов, создаваемых источником электромагнитного поля, а ] = оЕ -плотность тока, связанная с напряженностью законом Ома. Систему замыкают граничные условия непрерывности горизонтальных компонент электрического и магнитного полей Ех, Еу, Нх> Ну на границах пластов.

Алгоритм определения квазистационарного электромагнитного поля во всей среде основан на двумерном преобразовании Фурье /(х, у) =Ф- /*(£, г}) уравнений Максвелла по координатам х и у. Путем алгебраических преобразований эта система сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно линейной комбинации Фурье-образов поперечных компонент электрического поля ££ и Е*:

(2)

№

-(г)-'(Й-'-(п)

Здесь матрицы ъ - постоянные матрицы, не зависящие от г, <5 -вектор, отвечающий за источники поля. Остальные компоненты поля можно выразить через и Е~ следующим образом:

и»{М>

Н~ = г1(Е+)' + <т„Лгг1Е+ -

Система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (2) имеет решение следующего вида:

^ (з)

где Ле(1/1,з > 0), < 0), Ж" - частное решение системы (2). В

решении присутствуют четыре неопределенные константы для каждого слоя, кроме верхнего полупространства и нижнего, в которых по две констаты необходимо положить нулю, исходя из требования ограниченности полей на бесконечности. Для нахождения неизвестных констант используются граничные условия. Поскольку в задаче всего п +1 слой, то решение системы 2 сводится к решению системы линейных уравнений порядка 4п:

ЯФ = X, (4)

где Ф — вектор неизвестных констант, X - вектор, содержащий частное решение ий - матрица порядка 4п.

Частное решение IVй находится методом вариации постоянных. В работе приведены частные решения для случая, когда источником являются разноориентированные электрический и магнитный диполи. Однако, это не единственные источники поля, для которых можно построить такое решение.

Во втором параграфе описана численная реализация алгоритма решения прямой задачи. Всю схему численной реализации можно разделить на несколько основных этапов:

1. Поиск частного решения.

2. Решение линейной системы уравнений (4).

3. Нахождение Фурье-образов электромагнитных полей.

4. Расчет электромагнитных полей при помощи численного обратного преобразования Фурье.

Численная схема была протестирована на известных аналитических решениях задачи в однородной изотропной, а также трансверсально-

изотропной среде В результате были установлены границы применимости алгоритма для расчетов электромагнитного поля Кроме того, проведено сравнение с полученными ранее результатами (С.Дж.Вайсс и Г.А.Ньюман, 2002) для сигналов зонда 2С-40 (одна приемная катушка, коаксиальная с генераторной, частота 20 кГц, разнос 1.016 м). Наблюдается хорошее совпадение.

Во второй главе получены аналитические приближения для расчета электромагнитного поля в среде с наклоном осей анизотропии в случае, когда имеет место малость какого-либо параметра. В первом параграфе получены низкочастотные решения в двух- и трехслойной среде в случае, когда угол наклона осей анизотропии мал. Аналитическое приближение в этих случаях строится, исходя из описанного в первой главе алгоритма, с применением теории возмущений. Показано, что поправка к электрическому и магнитному полю имеет только мнимую часть, следовательно слабый наклон осей анизотропии электропроводности не влияет на реактивную компоненту поля. На вертикальную компоненту вертикального магнитного диполя слабый наклон оказывает наименьшее влияние.

С использованием выражений для электрического поля получены аналитические приближения для поверхностных и объемных зарядов в среде, а также распределения плотности электрического тока. Покат зано, что

- в случае, когда источником является вертикальный магнитный диполь, в пространстве появляется объемный заряд, причем наибольшая плотность этого заряда лежит в области с наибольшим углом наклона осей анизотропии;

- индуцированные объемные заряды и токи носят дипольный электрический и дипольный магнитный характер соответственно;

В втором параграфе описан способ получения низкочастотных приближений в анизотропных слоистых средах, основанный на приведении комплексных интегралов, описывающих электромагнитное поле,

к интегралам по реальным переменным и их последующем разложении в ряд по степеням безразмерного волнового числа. С использованием описанного способа, построено приближение для магнитного поля вертикального магнитного диполя в двухслойной трансверсально-изотропной среде до четвертой степени волнового числа. Показано, что в низкочастотное представление электромагнитного поля в слоистой среде с наклоном осей анизотропии входят слагаемые, пропорциональные логарифму волнового числа. Кроме того, исследование ряда показало, что электромагнитное поле в низкочастотном приближении необходимо аппроксимировать парами слагаемых вида Апк," + В„кп 1п к при высоких значениях степени аппроксимации п.

В первом параграфе третьей главы на основании точных решений прямой задачи определения магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя в однородной анизотропной среде с наклоном осей анизотропии, а также низкочастотного представления этих полей получены формулы для определения кажущейся электропроводности в зависимости от элементов тензора электропроводности традиционным способом (без учета анизотропии). Выражения для кажущейся электропроводности можно записать следующим образом:

Ыо" , „а -1 2г **о%х М2 + 3\2/3

—2£ = х+2-с1б2<5, —г? = —— ,

Ох а ах V 4 /

^ „ ( 3. „ . „ \2/3

' *х

Ие^о / о \ V*

= 1 + 2(а - 1)с1§4 —Ш = П + |(а2 - 1)с182<П ,

" - (^Г-

(5)

где и % — продольная электропроводность среды, 8 — угол наклона осей анизотропии, Л = * — — коэффициент анизотропии, а =

V Ох

V + 0082 ^ ^евый веРхний индекс (1т, 11е) определяет компоненту магнитного поля, по которой определена величина кажущейся

электропроводности, первый индекс справа снизу определяет направление генераторной, а второй — приемной катушки.

На основании выражений (5) были построены оценки модельных ошибок, возникающих при обработке данных индукционного и электромагнитного каротажа традиционными способами. Эти ошибки могут достигать 40% и более. Кроме того, величины 1гпег"2 и различаются менее, чем на 1.5% в широком диапазоне значений коэффициента анизотропии и угла наклона осей тензора электропроводности. Из этого можно заключить, что зонды с соосными генераторной и приемной катушками наименее чувствительны к наклону осей анизотропии Обработка диаграмм, как активной, так и реактивной компонент поля, полученных такими зондами, даст практически одинаковое эффективное значение кажущейся электропроводности. Это подтверждается проведенным численным моделированием каротажных диаграмм в трехслойной среде.

Во втором параграфе показаны три подхода к определению всех элементов тензора электропроводности по данным индукционного зондирования трехкатушечным зондом с компенсацией поля. Для всех подходов были выбраны различные компоненты поля, и на основании выражений (5) в качестве ключевых построены уравнения для определения параметра а. Остальные параметры определяются, исходя из известных компонент поля, а также параметра а.

В первом подходе были выбраны компоненты ЬпЛ«, 11е/1„ и перекрестная компонента 1тк1у. Преимуществом данного подхода является наличие одного источника поля. Однако в некоторой области параметров становится неразрешимым уравнение, определяющее а, и, если вследствие ошибки измерения попадают в эту область, определение элементов тензора электропроводности становится принципиально невозможным. Кроме того, в данном подходе необходимо измерение перекрестной компоненты поля, что в данное время реализовано в единичных зондах.

Во втором подходе были выбраны компоненты 1т/гг1,1т/г№ и 1ткгг.

Преимуществом данного подхода измерения является использование только традиционных измерений диагональных компонент матрицы магнитного поля. Среди недостатков подхода можно выделить следующие. Вблизи границ диаграммы измерений компланарных компонент магнитной матрицы имеют значительные скачки, что может привести к неразрешимости уравнения относительно а. Кроме того, поскольку указанные компоненты поля зависят только от таким путем невозможно определить направление наклона напластований.

В третьем подходе для определения параметров тензора проводимости выбираем компоненты 1тЛгг, 1тИгу и 1тКщ. В данном случае уравнение относительно а имеет решение при всех значениях входящих в него параметров. Недостатком подхода является необходимость разноориентированных источников, а также измерений перекрестной компоненты поля.

Кроме того, можно отметить, что для успешного применения второго и третьего подходов к обработке данных необходима априорная информация о направлении оси х, что также можно причислить к недостатку этих двух подходов.

В работе проиллюстрировано применение третьего способа обработки данных на синтетических профилях трехкатушечного зонда. В приведенном примере наблюдается хорошее соответствие восстановленных значений продольного сопротивления, угла наклона и пара^ метра а истинным значениям.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом работы является выявление качественного различия в поведении электромагнитных полей, индуцированных объемных зарядов и вихревых токов в средах с наклоном осей анизотропии и в трансверсально-изотропных средах, а также разработка численных алгоритмов и приближенных аналитических методов их 'моделирования.

Научные результаты, полученные соискателем, состоят в следующем:

1. Получено решение прямой задачи электромагнитных зондирований в слоисто-однородной" проводящей среде с наклоном осей анизотропии электропроводности. Предложенный алгоритм реализован численно для модели среды с двумя границами, что дает возможность не только синтезировать, но и анализировать существенно более сложные реальные ситуации.

2. Получены приближенные аналитические представления для электромагнитных полей в анизотропных средах с одной и двумя плоскими границами при условии малости углов наклона микрослоистости и частоты. Построены пространственные распределения поверхностных и объемных зарядов, а также вихревых токов в среде. Описаны основные закономерности поведения полей, зарядов и токов.

3. На основании сравнения низкочастотных разложений гармонического магнитного поля магнитного диполя в однородной изотропной среде и однородной анизотропной среде с наклоном осей анизотропии получены оценки модельных ошибок при определении кажущегося сопротивления среды.

4. Описаны возможные пути определения всех элементов тензора электропроводности на основании данных индукционных зондов. Разработанный путь обработки данных проиллюстрирован на синтетическом примере. Показано, что наиболее качественно восстанавливаются значения поперечного сопротивления и угла наклона осей анизотропии. Кроме того, приведен критерий, позволяющий с высокой степенью достоверности определять изотропию среды.

Преимущества предложенного алгоритма решения прямой задачи:

- возможность моделирования электромагнитных полей в среде с произвольным углом наклона осей анизотропии;

- возможность с минимальными изменениями в алгоритме рассчитывать электромагнитные поля от различных возбудителей;

- возможность моделирования откликов различных индукционных зондов в вертикальных и наклонных скважинах.

Полученные аналитические приближения для электромагнитных полей в средах с малым углом наклона осей анизотропии и низкочастотные приближения для полей позволяют

- на качественном уровне описать поведение индуцированных объемных зарядов и вихревых токов;

- создавать быстрые численные алгоритмы моделирования электромагнитных полей.

Описанный подход к обработке диаграмм индукционного каротажа обеспечивает получение более полной и достоверной оценке тензора электропроводности среды и избавляет от ошибок, появляющихся при использовании традиционных методов.

Дальнейшее развитие разработанного алгоритма состоит в расширении его модельной базы (цилиндрически-слоистые среды с наклоном осей анизотропии). Также возможно обобщение для тензора электропроводности более сложного вида, к примеру, при несовпадении направлений напластования в каждом отдельном слое. Развитие программного наполнения заключается во включении средств моделирования электромагнитных полей различных точечных источников в средах с произвольным числом слоев, как для решения задач индукционного и электромагнитного каротажа, так и для наземной геоэлектрики.

Основные публикации:

1. Федоров А.И. Электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоисто-однородной среде//Материалы XLI МНСК, Новосибирск, 2003. С. 22.

2. Федоров А.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде// Мат-лы IV Уральской Молодежной научной школы по геофизике, Пермь, 2003. С. 223-229.

3. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде// Сиб. журнал индустр математики, 2003. Том VI, №4(16), С. 119-131.

4. Федоров А.И., Эпов М.И. Определение элементов тензора электропроводности пород по данным электромагнитного каротажа// Сиб. журнал индустр. математики, 2005. Т. VIII. №1(21) С. 97-109.

5. Федоров А.И., Эпов М.И. Разложение электромагнитного поля магнитного диполя в слоисто-однородных средах в области малых волновых чисел// Геология и геофизика, 2005. №4. С. 431-438.

I

Технический редактор О М. Вараксина

Подписано к печати 20.04.05 Формат 60 х 84/16. Бумага офсет №1. Гарнитура Тайме. Офсетная печать. Печ. л. 0,9. Тираж 120. Заказ 121

Издательство СО РАН, 630090, Новосибирск, Морской пр. 2. Филиал "Гео". 630090, Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 3

Иг 816

РНБ Русский фонд

2006-4 10621

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Федоров, Александр Игоревич

ВВЕДЕНИЕ 1 Алгоритм решения прямой задачи

1.1 Математическая модель и алгоритм решения в среде с наклоном осей анизотропии.

1.2 Численная реализация алгоритма решения прямой задачи

2 Приближенные аналитические решения.

2.1 Аналитическое решение прямой задачи в среде с малым углом наклона осей анизотропии.

2.2 Низкочастотное представление электромагнитного поля магнитного диполя на оси скважины в анизотропной проводящей среде.

3 Влияние анизотропии проводимости на данные индукционного и электромагнитного каротажа

3.1 Влияние анизотропии проводимости на кажущуюся проводимость.

3.2 Определение элементов тензора проводимости пород.

Введение Диссертация по наукам о земле, на тему "Математическое моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с наклоном осей анизотропии электропроводности"

Объект исследования - электромагнитные поля в анизотропных проводящих средах с наклоном главных осей анизотропии.

Известно, что существенная доля терригенных нефтегазовых коллекторов представляют собой почти периодические по глубине тонкослоистые структуры, состоящие из маломощных пропластков с различными сопротивлениями. Для расчета электромагнитных полей в такой среде ее можно заменить эффективной однородной анизотропной средой при условии, что толщина скин-слоя в каждом отдельном пропластке существенно превосходит его мощность. Наряду с такими макроанизотропными объектами существуют сильно метаморфизован-ные породы (например гнейсы), характеризующиеся микроанизотропией электропроводности, которая обусловлена внутренней структурой. Существует значительное число публикаций, посвященных численному моделированию электромагнитных сигналов в трансверсально-изотропных слоистых средах, среди которых работы Кауфмана А.А., Эпова М.И., Табаровского J1.A., Ньюмана Г.А., Светова Б.С и др. Геологически этому соответствуют ситуации, когда напластования или рассланцевание параллельны границам пластов. Если же маломощные прослои или плоскости преимущественной трещиноватости наклонены к границам пластов, то задача моделирования существенно усложняется. Решению соответствующей прямой задачи посвящено всего несколько публикаций. Ряд вопросов моделирования электромагнитных полей обсужден недостаточно полно, а некоторые вопросы не обсуждались и не анализировались вообще. К числу последних относится анализ влияния наклона осей анизотропии на данные индукционного каротажа, а также характер обусловленных анизотропией среды индуцированных объемных зарядов на величину и распределение электромагнитного поля. Это связано в основном с отсутствием разработанных алгоритмов и программ для моделирования электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии электропроводности.

Таким образом, представляется актуальным создание алгоритма для расчета электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии, а также построения аналитических приближений для качественного анализа пространственного распределения объемных зарядов и токов.

Цель исследований - разработка алгоритмов для расчета электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии; повышение информативности и достоверности интерпретации индукционного и электромагнитного каротажа в анизотропных средах на основе нового способа обработки, направленного на определение всех элементов тензора электропроводности среды.

Задача исследования - определить влияние наклона осей анизотропии электропроводности на величину и распределение электромагнитных полей в анизотропной среде, а также на сигналы в индукционном и электромагнитном каротаже.

Фактический материал и методы исследований. Теоретической основой решения поставленной задачи являются уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. Основным методом исследования является математическое моделирование. Для построения алгоритма имитации электромагнитных полей привлекались преобразования Фурье-Бесселя, методы решения систем линейных и трансцендентных уравнений. Для построения аналитических приближений полей применялись разложения функций комплексного переменного в ряд

Лорана и Тейлора, теория возмущений, а также преобразования путей интегрирования в комплексной плоскости (теорема Коши). Оценка точности численных расчетов производилась путем их сравнения с точными аналитическими выражениями для поля произвольно-ориентированного магнитного диполя в однородной трансверсально-изотропной среде, а также с полученными ранее результатами Ньюмана Г.А. и Вайсса С.Дж (конечно-разностный алгоритм).

Защищаемые положения и научные результаты:

В результате проведенного исследования было установлено, что наклон осей анизотропии существенно изменяет картину распределения электромагнитного поля, а следовательно, влияет на данные индукционного и электромагнитного каротажа в анизотропной среде. Это влияние проявляется в следующем:

- для поля вертикального магнитного диполя в среде с наклоном осей анизотропии возникает вертикальное электрическое поле и связанный с ним вертикальный электрический ток;

- поправка для электрического и магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя, обусловленная малостью угла наклона осей анизотропии, имеет только мнимую часть, следовательно слабый наклон осей анизотропии оказывает большее влияние на измерения активной компоненты поля, чем на измерения его реактивной компоненты;

- поправка для вертикальной составляющей магнитного поля вертикального магнитного диполя, обусловленная малостью угла наклона осей анизотропии, имеет второй порядок, а следовательно, на показания подобных зондов малый наклон осей анизотропии оказывает наименьшее влияние;

- индуцированные в среде заряды и токи имеют дипольный характер;

- максимальная плотность индуцированных в среде объемных зарядов достигается в области с наибольшим наклоном осей анизотропии;

- в низкочастотном представлении магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя в слоистой среде с наклоном осей анизотропии есть слагаемые, пропорциональные логарифмам безразмерных волновых чисел;

- при применении традиционных методов интерпретации данных каротажа на переменном токе в средах с наклоном осей анизотропии из-за модельных несоответствий могут быть получены геоэлектрические модели, некорректно отражающие параметры реальных сред, причем при использовании центрированных зондов невозможно выявить эти дефекты.

Новизна работы. Личный вклад.

1. Разработан алгоритм математического моделирования электромагнитных полей дипольных источников в слоисто-однородных средах с наклоном осей анизотропии, основанный на построении уравнений для определения Фурье-образов кол линеарных границам компонент поля.

2. С использованием метода возмущений получены аналитические решения прямой задачи электромагнитных зондирований для среды с одной и двумя границами при малом угле наклона, а также описано качественное поведение электромагнитного поля и индуцированных объемных зарядов и токов в средах с наклоном осей анизотропии.

3. Путем разложения интегралов, описывающих электромагнитное поле в слоистой среде с наклоном осей анизотропии, в ряд по степеням волнового числа показано, что в низкочастотном приближении оно описывается суммой, в которую входят слагаемые, содержащие логарифмы безразмерных волновых чисел.

4. Исходя из сравнения низкочастотных описаний гармонического магнитного поля магнитного диполя в однородных изотропной и с наклоном осей анизотропии средах, получены оценки модельных ошибок, возникающих при определении кажущегося сопротивления, а также описаны возможные пути определения всех элементов тензора проводимости среды.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты диссертации являются развитием теоретических основ индукционного и электромагнитного каротажа, а также наземных частотных зондирований. Разработанный алгоритм решения прямой задачи можно использовать:

- для прямого моделирования синтетических сигналов и диаграмм электромагнитного каротажа;

- для решения обратных геофизических задач и интерпретации практических диаграмм электромагнитных методов;

- тестирования программ расчета электромагнитных полей в двух- и трехмерных геоэлектрических моделях.

Предложенные пути обработки диаграмм индукционного каротажа целесобразно использовать:

- для извлечения более полной и достоверной информации о геологическом разрезе, исходя из данных, полученных традиционными индукционными зондами с компланарными и коаксиальными катушками;

- для разработки новых зондов индукционного и электромагнитного каротажа, включающих измерения перекрестных компонент магнитной матрицы;

Апробация работы и публикации.

Работа выполнена в Лаборатории электромагнитных полей Института геофизики СО РАН.

Основные результаты работы докладывались на "IV Уральской Молодежной научной школе по геофизике" (Пермь, 2003), XLI Международной Научной Студенческой Конференции (Новосибирск, 2003) и Второй Сибирской международной конференции молодых ученых по наукам о Земле (Новосибирск, 2004)

Материалы диссертации отражены в пяти публикациях.

Заключение Диссертация по теме "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых", Федоров, Александр Игоревич

Заключение

Основным результатом работы является выявление качественного различия в поведении электромагнитных полей, индуцированных объемных зарядов и вихревых токов в средах с наклоном осей анизотропии и в трансверсально-изотропных средах, а также создание численных алгоритмов и приближенных аналитических методов их моделирования.

Научные результаты полученные соискателем состоят в следующем:

1. Получено решение прямой задачи электромагнитных зондирований в слоисто-однородной проводящей среде с наклоном осей анизотропии электропроводности. Предложенный алгоритм реализован численно для модели среды с двумя границами. Такая модель позволяет синтезировать и проанализировать наиболее типичные случаи каротажных диаграмм.

2. Получены приближенные аналитические представления для электромагнитных полей в анизотропных средах с одной и двумя плоскими границами при условии малости углов наклона микрослоистости и частоты. Построены пространственные распределения поверхностных и объемных зарядов, а также вихревых токов в среде. Описаны основные закономерности поведения полей, зарядов и токов.

3. На основании сравнения низкочастотных разложений гармонического магнитного поля магнитного диполя в однородной изотропной среде и однородной анизотропной среде с наклоном осей анизотропии получены оценки модельных ошибок при определении кажущегося сопротивления среды.

4. Описаны возможные пути определения всех элементов тензора электропроводности на основании данных индукционных зондов. Разработанный путь обработки данных проиллюстрирован на синтетическом примере. Показано, что наиболее качественно восстанавливаются значения поперечного сопротивления и угла наклона осей анизотропии. Кроме того, приведен критерий, позволяющий с высокой степенью достоверности определять изотропию среды.

Преимущества предложенного алгоритма решения прямой задачи:

- возможность моделирования электромагнитных полей в среде с произвольным углом наклона осей анизотропии;

- возможность с минимальными изменениями в алгоритме рассчитывать электромагнитные поля от различных возбудителей;

- возможность моделирования откликов различных индукционных зондов в вертикальных и наклонных скважинах.

Полученные аналитические приближения для электромагнитных полей в средах с малым углом наклона осей анизотропии и низкочастотные приближения для полей позволяют

- на качественном уровне описать поведение индуцированных объемных зарядов и вихревых токов;

- создавать быстрые численные алгоритмы моделирования электромагнитных полей.

Описанный путь обработки данных индукционного каротажа позволяет получать более полную и достоверную информацию о тензоре электропроводности среды и избегать ошибок, которые появляются при использовании традиционных методов.

Дальнейшее развитие разработанного алгоритма видится в его расширении на случай цилиндрически-слоистых сред с наклоном осей анизотропии. Также возможно обобщение на случай, когда среда описывается тензором электропроводности более сложного вида, к примеру, на случай несовпадения направлений напластования в каждом отдельном слое. Развитие программной реализации алгоритма видится в разработке алгоритмов моделирования электромагнитных полей различных точечных источников в средах с произвольным числом слоев, как для решения задач индукционного и электромагнитного каротажа, так и для наземной геоэлектрики.

Библиография Диссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Федоров, Александр Игоревич, Новосибирск

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям./ Пер. с анг. М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Альпин JI.M. К моделированию задач электроразведки и электрического каротажа.// Тр. МГРИ: Разведочная геофизика, 1959. Т. XXXVI. С. 7-18.

3. Альпин JI.M. Теория поля. — М.: Недра, 1966. 384 с.

4. Антонов Ю.Н. Изопараметрическое каротажное зондирова-ние//Геология и геофизика, 1980. № 6. С. 81-91.

5. Антонов Ю.Н., Жмаев С.С. ВИКИЗ. — Новосибирк: Наука, 1979. — 104 с.

6. Антонов Ю.Н., Приворотский Б.И. Высокочастотный индукционный каротаж. — Новосибирк: Наука, 1983. 260 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований/ Пер. с англ. М.: Наука, 1969. Т. 1, С. 343. Т. 2. 327 с.

8. Бердичевский М.Н. Геоэлектрические исследования в России// Изв. РАН. Сер. физика Земли, 1994. № 6. С. 4-22.

9. Бердичевский М.Н., Баньян JI.J1. Электромагнитное поле в тонкослоистых средах// Тр. Ин-та геологии и геофизики СО АН СССР. Вопросы разведочной геофизики, 1961. № 11. С. 63-72.

10. Борисов Г.А., Могилатов B.C. Электромагнитное возбуждение цилиндрически-слоистой среды различными источниками// Сиб. журн. инд. мат., 2002. Т. V, № 3 (11). С. 53-66.

11. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. — JL: Недра, 1972. — 368 с.

12. Баньян Л.А Новый способ определения электромагнитного поля диполя, заземленного на поверхности многослойной изотропной среды// Геология и геофизика, 1962. № 12. С. 107-109.

13. Баньян JI.JI. Основы электромагнитных зондирований. — М.: Недра, 1965. 109 с.

14. Беликин А.Б., Франтов Г.С. Электромагнитные поля, применяемые в индуктивных методах электроразведки. Обзор зарубежной литературы. — Д.: Гостоптехиздат, 1962. — 352 с.

15. Бержбицкий В.В., Пантюхин В.А., Чаадаев Е.В. Поле вертикального магнитного диполя в пласте ограниченной мощности с проникновением// Разведочная геофизика: теория, методика, результаты. — Киев: Наук, думка, 1984. С. 82-89

16. Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе. Д.: Недра, 1980. 392 с.

17. Гасаненко Л.Б., Маркина Е.А. Электромагнитное поле низкочастотного диполя в горизонтально-слоистой среде// Уч. зап. ЛГУ. Сер. физ. и геол. наук, 1967. № 333, вып. 17. С. 201-226.

18. Гелъфанд И. С. Электромагнитное поле горизонтальной рамки в слоистой среде// Сб. статей по геофизическим методам разведки. — М.: Госгеолтехиздат, 1955. С. 3-17.

19. Градштейн И.С., Рыжик М.М. Таблица интегралов, сумм и рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. 1108 с.

20. Давыдов В.М. Теория низкочастотных электромагнитных полей в средах с тонкими анизотропными слоями и ее геофизическое применение. Новосибирск: Наука, 1971

21. Даев Д. С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин. — М.: Недра, 19?4. — 192 с.

22. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин. — М.: Недра, 1967. — 390 с.

23. Дашевский Ю.А. Переменное электрическое поле в присутствии тонких неоднородных тел// Геология и геофизика, 1991. № 8. С. 122— 128.

24. Девицин В.А., Каган Г.А., Пантюхин В.А. и др. Многозондовые комплексы индукционного каротажа// Каротажник, 1997. № 30. С. 2433.

25. Денисов С.Б. Высокочастотные электромагнитные методы исследования нефтяных и газовых скважин. — М.: Недра, 1986. — 142 с.

26. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электомагнитного поля в слоистой среде// Вычислительные методы и программирование, 1968. № 10. С. 55-56

27. Дмитриев В.И. Расчет электромагнитного поля в методе частотного зондирования// Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1965. Вып. III. С. 386-397.

28. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. — М.: Изд-во МГУ, 1987. 167 с.

29. Заборовский А.И. Переменные электромагнитные поля в электроразведке. — М.: Изд-во МГУ, 1960. 185 с.

30. Зингер Б.Ш., Файнберг Э.Б. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. — М.: ИЗМИРАН, 1985. 234 с.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Пер. с нем. М.: Наука, 1976. 576 с.

32. Каринский А .Д Решения прямых задач о поле тороидальной антенны в анизотропной среде// Физика Земли, 2003. № 1. С. 9-20.

33. Кауфман А А. Введение в теорию геофизических методов. Часть 2: Электромагнитные поля. М.: Недра, 2000. — 483 с.

34. Кауфман А А. Теория индукционного каротажа. — Новосибирск: Наука, 1965. 128 с.

35. Кауфман АА., Каганский A.M. Индукционный метод изучения поперечного сопротивления в скважинах. Новосибирск: Наука, 1972. 124 с.

36. Кауфман А.А., Каганский A.M. Электромагнитное поле горизонтального магнитного диполя на оси скважины// Электромагнитное поле на оси скважины. Новосибирск, 1971. С. 3-18.

37. Кауфман А.А., Каганский A.M., Кривопуцкий B.C. Радиальные характеристики индукционных зондов, смещенных относительно оси скважины// Геология и геофизика, 1974. № 7. С. 102-116.

38. Кашик А. С. Свойства многоэлектродных зондов с фокусировкой тока при очень высоких сопротивлениях, пласта// Прикладная геофизика, 1973. Вып. 57. С. 210-220.

39. Кормильцев В.В., Мезенцев А.Н. Электроразведка в поляризующихся средах. — Свердловск, 1989. — 127 с.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Наука, 1968. 720 с.

41. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. — М.:Наука, 1966. — 372 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика т.VIII: Электродинамика сплошных сред. — М.:Наука, 1987. 563 с.

43. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. — М.:Физматгиз, 1963. — 357 с.

44. Марков Г. Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн// М.: Радио и связь, 1983. — 295 с.

45. Мартышко П. С. Об определении границы трехмерного изолятора// Изв. РАН. Сер. физика Земли, 1995. № 4. С. 32-33.

46. Матвеев В.К. Интерпретация электромагнитных зондирований. — М.: Недра, 1974. 232 с.

47. Могилатов B.C., Борисов Г.А. Возбуждение слоистых геоэлектрических сред гармоническим магнитным током// Сиб. журн. инд. мат., 2003. Т. VI, № 1 (13). С. 77-87.

48. Московская Л. Ф. Расчет нестационарных электромагнитных полей при дипольном возбуждении модели слоистой среды, содержащей локальные неоднородности по проводимости// Российский геофизический журнал, 1994. № 3-4. С. 71-79.

49. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. — Изд-во С.-Петерб. Унив., 1998. 227 с.

50. Никитина В.Н. Общее решение осесимметричной задачи теории индукционного каротажа// Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1960. № 4. С. 607-616.

51. Потапов А.П., Кнеллер JI.E. Решение прямой и обратной задач индукционного каротажа для сред с произвольным и дискретным распределением проводимости по глубине// Геология и геофизика, 1993. № 7. С. 124-139.

52. Рокитянский И. И. Индукционные зондирования Земли. — Киев: Наук, думка, 1981. — 296 с.

53. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. — М.: Наука, 1991. 303 с.

54. Рытое С.М. Электромагнитные свойства мелкослоистой среды// Журнал Эксп. и Теор. Физики, 1955. т. 29. вып. 5. С. 605-616.

55. Светов B.C. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки. М.: Недра, 1973. — 153 с.

56. Светов B.C. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.: ИЗМИРАН, 1984. - 183 с.

57. Светов Б. С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. — М.: Наука, 1988. — 344 с.

58. Стреттон Дж. Теория электромагнетизма. — М.: Гостехиздат, 1948. 539 с.

59. Табаровский Л.А. Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики. — Новосибирск: Наука, 1975. — 144 с.

60. Табаровский Л.А. Электромагнитные поля поперечно-электрического и поперечно-магнитного типа в многослойных средах// Электромагнитные методы исследования скважин. — Новосибирск: Наука, 1979. С. 225-233

61. Табаровский Л.А., Эпов М.И. Электромагнитные поля гармонических источников в слоистых анизотропных средах//Геология и геофизика, 1977. № 1. С. 101-109

62. Табаровский Л.А., Эпов М.И., Антонов Е.Ю. Электромагнитное поле в средах со слабонегоризонтальными границами. / Деп. ВИНИТИ 18.07.88, № 6258-В88. Новосибирск, 1988. 22 с.

63. Табаровский Л.А., Эпов М.И., Каганский A.M. Фокусирующие системы индукционного каротажа в анизотропных средах// Геология и геофизика, 1977. № 9. С. 105-113.

64. Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1966. — 624 с.

65. Тихонов А.Н. О распространении электромагнитного поля в слоистой анизотропной среде// Доклады Академии Наук, 1959. Т. XXVI, № 5. С. 967-970

66. Тихонов А.Н. О становлении электрического тока в неоднородной слоистой среде// Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геоф., 1950. Т. XIV, № 3. С. 99-222.

67. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724 с.

68. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Метод расчета электромагнитных полей, возбуждаемых переменным током в слоистых средах// Изв. АН СССР. Сер. геофиз, 1956. № 3. С. 245-251.

69. Уэйт Дж.Р. Геоэлектромагнетизм/ Пер. с анг. М.: Недра, 1987. — 235 с.

70. Федоров А.И. Электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоисто-однородной среде//Материалы XLI МНСК, Новосибирск, 2003. С. 22.

71. Федоров А.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде// Мат-лы IV Уральской Молодежной научной школы по геофизике, Пермь, 2003. С. 223-229.

72. Федоров А.И., Эпов М.И. Определение элементов тензора электропроводности пород по данным электромагнитного каротажа. // Сиб. журнал индустр. математики, 2005. Т. VIII. №1(21) С. 97-109.

73. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде// Сиб. журнал индустр. математики, 2003. Том VI, №4(16). С. 119-131.

74. Федоров А.И., Эпов М.И. Разложение электромагнитного поля магнитного диполя в слоисто-однородных средах в области малых волновых чисел // Геология и геофизика, 2005. №4. С. 431-438.

75. Фролов В.Х., Эпов М.И., Могилатов B.C., Борисов Г.А. Электрические фокусировочные каротажные зондирования. — Новосибирск, 2003. Деп. ВИНИТИ 20.11.03, № 2002-В2003. 17 с.

76. Четаев Д.Н. К расчету неустановившихся электромагнитных полей в неоднородных средах. // Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, 1956. Вып. 32 (159). С. 3-25.

77. Четаев Д.Н. Новый метод решения задач электродинамики анизотропных сред// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1966. № 4. С. 45 51.

78. Четаев Д.Н. Теория зондирования импульсами постоянного тока в незаземленную петлю// Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1956. № 5. С. 595-598.

79. Эпов М.И. Исследование возможностей индукционных фокусирующих систем каротажа при изучении анизотропных пластов: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1978. 155 с.

80. Эпов М.И. Численный анализ и программно-алгоритмические средства интерпретации электромагнитных зондирований и индукционной электроразведке: Дисс. . .д-ра техн. наук. Новосибирск, 1992. 486 с.

81. Эпов М.И., Ельцов И.Н. Прямые и обратные задачи индуктивной геоэлектрики в одномерных средах. — Новосибирск: Изд-во ОИГГиМ СО РАН, 1992. 31 с.

82. Эпов М.И., Ельцов И.Н. Релаксация электромагнитного поля дипо-льного источника в проводящем слоистом пласте, погруженном в изолятор// Геология и геофизика, 1991. № 10. С. 126-129.

83. Якубовский Ю.В. Индуктивные методы электроразведки. — М.: Гостоптехиздат, 1963. — 211 с.

84. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции/ Пер. с нем. М.: Наука, 1964. 344 с.

85. Alumbaugh D.L., Morrison H.F. Theoretical and practical considerations for crosswell electromagnetic tomography assuming a cylindrical geometry// Geophysics, 1995. Vol. 60. № 3. P. 846-870.

86. Anderson W.L. A hybrid fast Hankel transform algorithm for electromagnetic modelling// Geophysics, 1989. Vol. 54. № 2. P. 263-266.

87. Anderson W.L Computation of Green's tensor integrals for three-dimensional electromagnetic problems using fast Hankel transforms// Geophysics, 1984. Vol. 49. № 10. P. 1754-1759.

88. Anderson W.L. Computer program numerical integration of related Hankel transforms of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering// Geophysics, 1979. Vol. 44. № 7. P. 1287-1305.

89. Anderson W.L. Improved digital filters for evaluating Fourier and Hankel transform integrals// U.S. Dept. of Commerce, National Technical Inform. Serv. Report PB-242-156, 1975. 15 p.

90. Avdeev D.B., Kuvshinov A.V., Pankratov O.V., Newman G.A. Three-dimensional frequency-domain modelling of airborne electromagnetic responses// J. Explor. Geophys., 1998. Vol. 29, 1-9

91. Avdeev D.B., Kuvshinov A.V., Pankratov O.V., Newman G.A. Three-dimentional induction logging problems, Part I: An integral equation solution and model comparisons// Geophysics, 2002. Vol. 67. №2. P. 413426.

92. Doll H.G. Introduction to induction logging and application to logging of wells drilled with oil base mud// J. Petrol. Technol., 1946. Vol. 5. № 4. P. 148-162.

93. M. van der Horst, Druskin V., Knizhnerman L. Modeling the response of induction logging tools in 3D geometries with the spectral Lanczos decomposition method// 3D EM in Practice, 2001.

94. Kaufman A.A., Keller G.V. Methods in geochemistry and geophysics. Inductive mining prospecting. Part I: Theory. — Amsterdam Oxford -New York - Tokyo: Elsevier, 1985. - P. 620.

95. Kennedy W.D., Herrick D.C. Conductivity anisotropy in shale-free sandstone// Petrophysics, 2004. Vol. 45. № 1. P. 38-59.

96. Kunz K.S., Moran J.H. Some effects of formation anisotropy on resistivity measurements in boreholes// Geophysics, 1958. Vol. 23. №4. P. 770-794.

97. Moran J.H., Gianzero S. Effects of formation anisotropy on resistivity-logging measurements// Geophysics, 1979. Vol. 44. № 7. P. 1266 1286.

98. Tabarovsky L.A., Epov M.I., Rabinovich M.B. Measuring formation anisotropy using multifrequency processing of transverse induction measurements// SPE Ann. Tech. Conf. and Exh., 2001.

99. Liu Q.H. Electromagnetic field generated by an off-axis source in a cylindrically layered medium with an arbitrary number of horizontal discontinuities// Geophysics, 1993. Vol. 58. P. 616-625.

100. Wait J.R. Excitation of a conducting half-space by a toroidal coil// IEEE Ant. Prop. Mag., 1995. Vol. 37. no. 4. P. 72-74.

101. Weiss C.J., Newman G.A. Electromagnetic induction in a fully 3-D anisotropic earth// Geophysics, 2002. Vol. 67. №4. P. 1104-1114.

102. Yin C., Fraser D.C. The effect of the electrical anisotropy on the response of the helicopter-borne frequency-domain electromagnetic systems//Geophysical prospecting, 2004. Vol. 52. P. 399-416

103. Yin C., Weidelt P. Electromagnetic induction in a fully 3-D anisotropic earth//Geophysics, 1999. Vol. 64. №2. P. 426-434

104. Young D.M. A bound for the optimum relaxation factor for the successive over-relaxation method// Numer. Math., 1971.Vol. 16. № 5.P. 83-90.