Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему

Математические модели электрических процессов в нервных клетках и системах клеток

ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Математические модели электрических процессов в нервных клетках и системах клеток"

пи ил

1 0 !|10йш853етербургский государственный университет

На правах рукописи УДК 612 + 519.95

ПОКРОВСКИЙ Андрей Николаевич

МИМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В НЕРВНЫХ КЛЕТКАХ й СИСТЕМАХ КЛЕТОК

03.00.02 - Биофизика

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1963

Работа выполнена в НИИ ЕМ и ПУ Санкт-Петербургского госуниверситета.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук В.Л.Дунин-Барковский доктор биологических наук, профессор А.А.Фролов доктор физико-математических наук В. В. Смолянинов

Ведущая организация - Институт биофизики клетки РАН, г.Путано

Защита состоится " 21" октября 1993г. в 14_часов

на заседании специализированного совета Д 200.22.01 при Инститз те теоретической и экспериментальной биофизики РАН (г.Пущино).

С авторефератом доклада можно ознакомиться в библиотеке ИТЭБ РАН.

Автореферат разослан " "_1993г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат биол.наук

П.А.Нелппошч

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Понимание механизмов нервной деятельности составляло и составляет одну из основных задач естествознания. Передача информации в нервной системе происходит при посредстве электрических процессов; электрические процессы участзуят в преобразовании информации в нервных клетках и системах клеток. После классической работы Ходашжа и Хаксли, предложивших математическую модель электрических процессов в клеточной мембране аксона кальмара, разработка и исследование математических моделей для нервны" меток и их систем стало неотъемлемой частью процесса исследования нервно:! системы. Исследования в этой области охватывают пирокий спектр проблем, от уровня молекулярной организации до уровня поведенческих реакций; путь к понимании механизмов работы нейронных систем лежит через репение больного числа конкретных проблем.

Работы, которые легли в основу данной диссертации, выполнена на п-»?яхеяки ■•".ногах лет и посвящен» решение проблем нескольких урозкз!: организация и механизмы функционирования олептто-■зззоуди-й::: •»•кИак н нервных клеток; исследование механизма свя-зо': :;э:::г,у лзззш'ли клетками; механизм!: лункииэнирования систем нервных клеток и механизмн возникновения вызванных потенциалов, '¿ти пло^г.г г остается актуальными на новом отапе исследования

Цель .: задачи исследования. Последовательное преодоление трудностей и противоречий в математических моделях разных уровне .:

I. Уточнение •птематичеокой модели электрического зоетолния •¿окиосб .'.зпного слоя возбудимой мембраны как одного из компонентов системы управления состоянием возбудимой мембраны.

с. Уточнение математической модели процессов постимпульснои

:.: .слрззспи и частотно:! депрессии пэстсикаптических

-о; ••>_:: з >цил понятия функционального состояния ¿ля- мате-зз...: : :о-..г-з ; илектрзлозбугимых мембран и нервнкх клеток, гз:г::: •э''-к:-!звзнчи:.1и Днузеренциальныш уравнения-.™.

-44. Разработка вероятностной модели нейрона и системы нейронов.

5. Разработка математической модели механизма возникновения вызванных потенциалов.

Научная новизна работы. Представление о "толстом" ионно-обыенном слое на поверхности мембраны ранее в исследованиях ранее в исследованиях возбудимых мембран не использовалось, наоборот, общепринятой была гипотеза и расчётные формулы "бесконечно тонкого" слоя. Новой является математическая модель молекулярной системы управления выделением медиатора в виде цикла из трёх ферментативных реакций.

Установлена двумерность управляющего синаптического сигнала, определяющего функциональное состояние в математических моделях нервных клеток, и изучены следствия этого факта. Впервые математическая модель импульсного элемента асимптотически выведена из модифицированной системы уравнений Ходакина-Хаксли. Новым направлением в моделировании нейронов и нейронных сетей было использование аппарата нестационарных процессов восстановления. Математическая модель возникновения вызванных потенциалов в однородном изотропном нейропиле была предложена впервые в то время, когда общепринятым было представление об исключительно "дипольноы" происхождении суммарных внеклеточных потенциалов. ■ . ■ * '

Теоретическое и практическое значение работы. Математическая модель электрохимических процессов в ионнообменных слоях возбудимой мембраны позволила удовлетворительно аппроксимировать наиболее полные экспериментальные данные. Показана заведомая неадекватность ранее общепринятой модели и тем самым прёодолён многолетний застой в этом научном направлении. Появилась возможность дальнейшего развития теории и учёта роли электрохимических процессов в моделях нейронных сетей.

Математическая'модель молекулярной системы управления выделением медиатора из пресинаптических окончаний позволила удовлетворительно аппроксимировать наиболее полные наборы опытных данных по постиыпульсной потенциации й депрессии и частотной

депрессии. Эта модель была использована в качестве элемента в математических моделях нейронных сетей, что привело к рассмотрению сетей с динамическим проторением синапсов как нового класса моделей нейронных сетей.

Работы по анализу дифференциальных уравнений возбудимых мембран привели к более ясному пониманию пороговых явлений и функционального состояния нейрона специалистами и стали частью научного багана биофизиков и нейрофизиологов. Например, осознание асимптотического характера величины порогового потенциала привело к прекращению потоке, публикаций, авторы которых пытались белее точно определить и измерить эту величину. Аппарат нестал,ионарных процессов восстановления сразу же стал использоваться в работах других специалистов по моделированию нейронных сетей. Математическая модель появления локальных внеклеточных потенциалов в нейропиле давно и необратимо повлияла на взгляды нейрофизиологов и биофизиков, работающих с вызванными потенциала™, и тем самым вошла в общенаучный фонд. В ходе работы автором были организованы и систематически проводились в Г„7о-1^0 г.г. заседания семинара "Процессы управления в нерв-^сс-с клетках", способствовавшие консолидации сил исследователей в области иоделирования нейронов и нейронных сетей; на сешка-ре выступали с докладами специалисты из Ленинграда, Москвы, Иу^.ино, Горького, Воронежа. Материалы Диссертации были использованы при чтении спецкурса "Процессы управления б нервных злетхах" з II75-Г;, ¿6 г.г. в Ленинградское университете п в /чебном пособии.

Основные результаты, выносише на защиту:

1. Найдена верная асимптотика уравнения Пуассона для ¡оннооб;;енного слоя возбудимой мембраны.

2. Разработана эффективная математическая модель молеку-тярной системн управления выделением медиатора из пресинаптн-;ес:<1;:с окончаний.

5. Произведена модификация равнений' Ходаюша-Лаксли добавлением ситапткческих токов в выполнен достаточно полный. ьс:п.лтот:1чесги.! авишз '.¡одиницированных уравиениД, что позболи-ю получить адекватную модель импульсного элемента нейронной :етп I: объяснить ранее непонятные .Такты.

4. Впервые использован аппарат нестационарных процессов восстановления в моделях нейронов и нейронных сетей, что откр ло новое направленна исследования нейронных сетей.

5. Впервые разработана математическая модель появления локальных внеклеточных потенциалов в однородном изотропном не ропиле и вычислена оценка электрических потенциалов при актиь ции одного синапса и всех синапсов одного аксона.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на III, 1У, У, У1, УН, УШ, К, X Всесоюзных конференциях по нейрокибернетике в Ростове-на-Дону в 1967, 1970, 1973, 197 i960, 1963, IS89, IS92 г.г. ; на симпозиуме по вопросам нейро физиологии, Вильнюс, 1967; на симпозиуме по статистической электрофизиологии в Паланге, 1968; на симпозиуме "Электрические реакции коры головного мозга", Киев, 1969; на I, II, III Всесоюзных конференциях по проблемам теоретической кибернетик в Новосибирске в 1969, 1971, 1974 г.г. ; на У1 и УН Бсесоюзн конференциях по электрофизиологии центральной нервно;! системы Ленинград, 1971 и Каунас, 1976 ; на I и II летних школах по нейробионике в Каневе, 1971 и в Букине, 1974 ; на 7.-7.У Годич ных научных конференциях НИВЦ АН СССР, Пущино, 1963-1968 г.г. на I Всесоюзном биофизическом съезде, Москва, 1962; на I и I Всесоюзных семинарах "Математические и вычислительные метода биологии", Пущино, 1965, 1967; на Всесоюзной конференции "Ей оника и биоыедкибернетика", Ленинград, IS66; на I, II, III и 1У Всесоюзных рабочих совещаниях "Моделирование и методы анал за биоэлектрической активности головного мозга", Пущино, 1962 1965, 1968, 1991 ; на II и III Всесоюзных конференциях по нейронаукам, Киев, ISoS, 1990 ; на Всесоюзном семинаре "Нейрокомпьютеры и моделирование нейронных сетей", ст. Бепенская Ростовской обл., 1969 ; на региональном научно-техническом с минаре"Нейроподобные вычислительные структуры и нейрокомпью-торы", Таймази, 1990 ; на научной сессии Отделения шгормати вычислительной техники и автоматизации АН СССР по теме '"Лнс'-ор матика, физика и электроника нейронных и нейроподобнкх систем Ростов-на-Дону, 1990 ; на международном. симпозиуме "Нелгоин'.о матика и нейрокомпьютеры", Ростов-на-Дону, 1992.

1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИОННООЕМЕННОГО СЛОЯ ВОЗБУДИМОЙ

ШиБРАНЫ

Плотность зарядов ионно-обменных центров на внешней поверхности клеточной мембраны обычно вычисляется на основе измерений сдвига дУ средней точки кривой ^^(у) - максимальной проводимости для натриевого тока при потенциале V . Сдвиг А V' возникает при изменениях рН и ионного состава внеклеточного рлстЕора. Форели, которые использовались для вычисления плохиеотп зарядов в качестве общепринятых, были выведены в предположении "бесконечно тонкого" ионнообмениого слоя. Однако на электронно-микроскопических снимках видно, что толщина белкового слоя соизмерима с толщиной липидного слоя. Хилле и соавторы (1575) , опубликовавшие наиболее полный набор экспериментальных данных, встретили трудности при их аппроксимации указанными «юр!1уламк. Вследствие этого необходим более детальный анализ уравнения Пуассона для электрического потенциала в белковом слое.

Ниле будут использоваться безразмерные переменные и параметры. Концентрации измеряются в долях нормальной; заряд б долях заряда электрона е; плотность заряда в долях плотности заря, нормального раствора одновалентного иона = 10Р = =С,сС.1': е/ш!°. Потенциал и измеряется в долях = кТ/е =

С \ / ■/

= ~о мВ при 15 С, расстояния - в долях л = \/\£/4Г^л- -С,04£нм. Разность потенциалов на липпдном слое обозначается и. , ёмкость липидного слоя ~ I мкз/см^, диэлектрическая постоянная ларуммгого раствора £ =81; у = = 6,00067.

начало координат поместим на границе белкового и липндного слоев, ось X направим в сторону белкового слоя, безразмерная толщина которого у- . Уравнение Пуассона для безразмерного потенциала }*■) и граничные условия при Л =0 » при „х

и а, = -ак ; = ■ (2)

Объёмная плотность фиксированных на мембране зарядов складывается из зарядов щелочных и кислотных одновалентных ионнообменных центров с плотностями ^ и дО) , константами диссоциации Кон и Кн , и зарядов двухвалентных центров с плотностью , с которыми связываются либо двухвалентный ион металла ( концентрация с£ехV (-Лу) » константа |<г) , либо один или два иона Н*:

Объёмная плотность зарядов ионов в растворе ^¿(у) и функция задаются известным из курса электрохимии формулами

^(у.") - \ с! е" = О (4)

Концентрации С? и заряды Л; ионов в растроре, диэлектрическую постоянную раствора £ и толщину мембраны ¡л- считаем известными; константы |<н, Кси , кч ,К«. и плотности ус ионнообменных центров долшш определяться по результатам измерений

Задача (1) , (2) решается в квадратурах, однако удобнее рассмотреть асимптотические разложения при ^ 0 и. при (д.-»«^ .

Асимптотика "бесконечно тонкого" коннообменного слоя. Полагаем ^(д) = у • <>¿=1,2,3, где ^ не зависят от р. , ^-»0. Известно, что решение задачи ¿1) , (2) следует искать в виде формального ряда:

= ^ + -I- ••• , (6^

где = соп%~Ъ. , ... находятся последовательно подста-

новкой (6) в (I) , (2) ;

уЛ*/?) = - уил/^. - ;

--^ог^*) + к"г^уг- (8,)

Пршер1. В статье Омори и Кшии (1977) по формула!.! (7) ,(3) гои = , и=0 найдено ¡^=-43 (1,2 е/гаГ ) ,

= -2,22 (-об мВ ) . По формулам (8) получаем =+0,23. При ¡л. =42 (2 нм) поправка первого приближения в (б) М^О) =+5,26 +226 мВ) больше > чем начальное приближение . даже при л= 15 /0,7 гад - толщина полярной части фосфолипидной мембрана/ поправка ЦЦ1(0)=+3,4 (63 мВ ) того же порядка, что и . [рименение (7) некорректно.

Пример 2. Хилле и соавторы (1975) , пользуясь (7) , приш-ш к выводу о невозможности удовлетворительной аппроксимации :зоих данных и использовали два набора констант в (3) для разное участков изменения ^ .

Асаштотика "толстого" ионнообменного слоя. При :е:зеные задачи (I) , (2) ищется в виде

... + гп^ + п1^-*,/*),^ .

'де - "медленно меняющаяся" часть решения, П",П1 -

гагранслоп около точек X =0 и > = . Для начального приблиле-шя 1|с = , получается уравнение

му.) + СЮ)

Пример. При _ ?и)=б,5 (3,3 е/тР) , ри)=8,6 (5,2 е/нм3) ,

=8,2 (5,0 е/ш-") ; ксН=С,4; Кн =1,04.Ю"5; Ц ± =0,020;

КГ - результаты Хилле и соавторов (1575) удовлетво-

рительно описываются уравнением (Ю) во всём диапазоне измене-сш потенциала у .

Возникает вопрос, поче(,!у различные авторы, используя заве-:о:.с кеко;.:?з::тную асимптотику (7) , смогли более или ¡.юнее удов-^тво^птелию аппроксимировать экспериментальные данные. 3 связи : запет:.::. что при и =0 величина в (7) заме-

--"•гте: на ¿¿(ц^Л г (10^ . Обе гуикшш гладкие; на шбольпом :ктзрг.але т;с:ц обе мо~ко аппроксимировать линеГгкт.г:ш

функциями, отличающимися лишь множителем. Поэтому аппроксимация формулой (7) на небольшом интервале изменения потенциала ц возможна, получаются лишь неверные значения с^ . С увеличением интервала изменения потенциала возникают затруднения при использовании (7) .

Сдвиг потенциала при изменении ионного состава и рН межклеточной жидкости монет быть учтён в моделях нейронных сетей как "сверхмедленный" управляющий параметр.

II. ИШИАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЬШЕКЮШЮЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

ЗЬЩЕЛЕШоЕД ВДоАТОРА

!<!ногке синапсы ведут себя как сложные управляемые системы: эффективность синапса, т.-е. количество выделяемого медиатора, зависит от времени появленш предьщущкх импульсов в пресинап-тическом окончании. Несомненно, что выделение медиатора регулируется какими-то биохимическими процессами, которые ещё не изучены. Ниле предлагается единообразное описание накопленного экспериментального материала в терминах ферментативных реакций в молекулярной системе управления выделением медиатора.

Предположим, что количество медиатора, выделяемого за один импульс, пропорционально концентрации некоторого вещества, накопленного к началу импульса; обозначим это вещество индексом "I". Во время импульса и в промежутке мепсду импульсами концентрация вещества I изменяется. Кинетика изменения концентрации определяется химическими превращениями ие:::ду веществом I и другими веществами системы управления вццелением медиатора. Обозначим другие вещества системы индексами ^ =2,...,к и ограничимся рассмотрением случая к=3. Будем рассматривать эту систему как замкнутую систему ферментативных реакций. Тем самым предполагаем, что компоненты системы управления не расходуются при выделении медиатора, и изменение их суъагарного количества происходит чрезвычайно медленно по сравнению с их взаимными превращениями. Полоним, что превращение вещества с в вещество j происходит в результате простой йермектатпвной реакгип,

скорость которой равна

^ = XI/а + Ч; + ,

где а у - максимальная скорость реакции , и

I- константы Михаэлиса прямой и обратной реакции.

Известно, что измеряемые изменения эффективности синапсов относятся к процессам, протекающим с существенно различными скоростями. Зто воэмонно только при условии существенного различия скоростей реакций в изучаемой системе управления. Введём малый параметр £>0 , степени которого соответствуют градациям скоростей реакций, и для медленной реакции, например 2->3, вместо О-дз будем писать ¿ ; тогда все величины си^ будут одного порядка. Иерархия скоростей превращения компонентов системы управления влечёт за собой иерархию самих компонентов или их индексов. Будем называть компонент С "быстрым", если хотя бы одна реакция его превращения "быстрая" /скорость I/ и "медленным" - в противоположном случае. Возможны два существенно различных варианта, когда имеются два "быстрых" компонента в системе или только один. В системе дифференциальных уравнений кинетики реакций

где , ,,

-То - £ -ад

пли ^ "

Уравнение (II) имеет в области ¿=1,2,3 единственное

устойчивое стационарное решение ?Г = ^ • Линейным пре-

образованием х=,1+Т|- , ^ = (5а.» , С с неособой матрицей Т уравнение (II) приводится к виду

ад = ТГ ; \(с) = ; 13 г 0 1 (с,о, о) = с , <4 <,1. После преобразований зависимость 5 (к) находится как

неявная функция из уравнений

где

ад*) - + сх .

Нормированная величина ц(-Ь) концентрации компонента I, которой соответствует экспериментально измеряемая относительная эспфективность синапса, определяется Формулой

= (¥>,¿) + ?аа4)

Кинетика во время импульса в настоящее время недоступна для непосредственного измерения. Можно предполагать, что вследствие входа кальция в клетку во время импульса увеличиваются константы скоростей некоторых реакций в системе управления выделением медиатора. В результате этого преобразования появляется другая система уравнений с другим состоянием равновесия У я с другими параметрами. Все, переменные, параметры и гункиии системы ео время импульса будем отмечать волной для отличия от системы уравнений негду импульсами. В первой приближении полагаем параметры во время импульса постоянными, скачком принима-свои значения в начале импульса и скачко:.; не возвращающимися к пре::снкн значениям в момент окончания импульса. Увеличение скоростей реакций могло формально учесть как изменение ¿¡ас-атаба времени. 3 результате подучим, что изменение безразмерных переменных ' "У за зреют иьщульса могло вычислять по йормулам вида (13) с заменой 'Ь на "С/г. ¡1 пдп

,1г) = (Я. Ю йи+Ъ I);

я= ^ +%.%. + и .

Так как х =х +-'Т| , то

г^Т-^-СХ'-д); =

Обозначим перепенные до и после импульса верхними пндекселд: "О" и "I" соответственно, значение 1? после п;.лульса, вычисляемое по .¡.оргулам (1.3) , как ^^(Т*) • Тогда после импульса, поступившего в момент Ь =0, состояние системы в момент. Ь определяется вкра-текием

-^Гг^) ; ^^г + Я-ФГГ^Г-^), (15)

а относительное изменение постсинаптического потенциала во время второго импульса - Формулой (14) при подстановке в неё , I* из (15 ) .

Повторная стимуляция. В случае, когда есть к кондиционирующих импульсов с интервалами , лЬц,, ... , и тестирующий через время Ь после последнего кондиционирующего, измеряемая эффективность синапса вычисляется по формуле (14) при подстановке , ^ из выражений

«^(г^ у = ' -Г]

для всех с.'=2,... .а , а находится из (15) .

Периодическая стимуляция. Полагаем все &~Ь одинаковыми. Установившееся значение "§* и эффективности синапса вычисляются из уравнений

V = г+

У *и±) = 1+^Гх (т*,аЬ) +

Зависимость -¡£*(£гЬ) соответствует частотной потенциашк и депрессии, наблюдавшим е эксперименте.

Полученные формулы позволили удовлетворительно аппроксимировать всю совокупность результатов измерений для наиболее полного набора из опубликованных эксперт,гейтов (иризен, 1575) . Следовательно, мо:хно считать, что модель системы управления ви-делением :.:едиатора выдергала экспериментальную провер::у.

Применение данной модели не ограничивается описанием экспериментальных данккх. бта модель была включена автором б качестве составного элемента в ют,цел;* нейронных сетей. В результате появился новы;; класс моделей нейронные сетей - нейронные сет:: с устойчивыми динамичеекга.ш матрицаш с вязе:'}. Такие сети могут, например, запоминать интервал времени между стимулами. Другие р&нее рассмотренные классы нейронных сетей такой возиотностып не обладали. Следовательно, сети с устойчивыми динаничесюши матрица:.а1 связей - действительно новый класс моделей нейронных сете;'>.

Рассмотренная математическая модель могсет быть расширена дополнением компонентов с более медленными реакциями.

III. АШЙТОТИЧЕСКШ АНАЛИЗ ШДИЩИРОВАНШХ УРАВНЕНИИ

ХОДШКА-ХАКСЛИ

Первое из уравнений Ходжкина-Хаксли модифицируется добавлением синаптических токов Ist ~ <ftiti)(V-Vsf) , l-HJf^ Обозначал нормированный сдвиг потенциала и (t) и нормированную шунтирующую проводимость sft) • ^

и (Ь) =fl„ -¿fr: W ; ■

Используя стандартные обозначения для фазовых переменных и параметров в уравнениях Ходшшна-Хаксли, представим уравнение баланса токов в виде

cv = - +i tv-^-uj (I6)

Остальные уравнения Ходаккна-Хаксли имеют стандартный вид и стандартные параметры и поэтому здесь не приводятся.

При постоянных и. , s система уравнений Ход-кина-Хаксли с модификацией (16) шдеет стационарное решение V , 7» , к , п: , которое мо:кет быть устойчивым или неустойчива,!. На плоскости (и,£) область D неустойчивости стационарного решения ограничена гладкой кривой Г с монотонно изменяющейся касательной при s >0 и отрезком" AB оси и- . В области J) имеется глобально устойчивый цикл; колебания релаксационные, имеют вид коротких импульсов с "медленным" изменением потенциала меяду импульсами. Вне области D стационарное решение глобально устойчиво. Если в результате медленного изменения или дрейгга управлявший сигнал (и ,s) входит в область _D , возникает импульсная активность; если пркидает область J) , импульсная активность прекращается.

В окрестности точки А производная кривой Г : dz/da. положительна. При увеличении мембранный потенциал увеличивается, точка (u,s) входит в область Р и возникают импульсы. При увеличении 5 точка (и , s) • выходит из области „D , импульсацпя прекращается, потенциал мембраны не меняется При уменьшении потенциал мембраны уменьшается и импульсы исчезают.

В окрестности точки В при хорошей функциональном состоянии мембраны производная кривой Г : d¡/du. положительна. При увеличении о. мембранный потенциал увеличивается, точка и ,s выходит из области JD и импульсная активность прекращается; при уменьшении и, происходит сдвиг потенциала мембраны в сторону гиперполяризации и возникает импульсная активность. При увеличении s без изменения и. /"чистое торможение"/ точка и. входит в область J) и возникает импульсная активность; при уменьшении s импульсная активность исчезает. При ухудшении функционального состояния /уменьшение / производная кривой Г cls/du- в окрестности точки В становится положительной и увеличение s приводит к исчезновению импульсной активности. Факты "аномального" поведения возбудимых мембран были известны экспериментаторам, но не имели теоретического объяснения и вызывали недоумение.

Асимптотическая редукция уравнений Ходжкина-Хаксли. Известно (Фитцхыо, 1960) , что переменные У,иг - "быстрые", ív>A- - "'..едленные" по сравнению с У,Уп , что экЕпвалентно наличию малых параметров - множителей при производных "быстрых" пере;.:ешшх в "дифференциальных уравнениях Ходжкина-Хаксли. Кроме того, В.П.Кринским и Е.М.Кокозом (Г573 ) было подаечено, что су:.а.:а п- + (г я? Ке = селst". , где 0,со. Использование известно.! теоремы о дифференциальных равнениях с малыми параметрами при производных (А.Н.Тихонов, 1952) псзеолило получить в качестве первого приближения к системе уравнений Ходмкннэ.-Хакс-ли' систему первого порядка, состоящую из одного алгебраического :? о;\чого ди-'.'ерекгшгльного уравнения [253 :

О-*>YV-V) + s (V-Vh) - u] nHV-Y^ + qjV-Y,.) = 0;

Л -id (I7)

В (i?) использованы стандартные обозначения W¡(Y) = o<,JV)/.$„(\r), ífwíM =^(V)H-(3„fV) . W) =<x*(V)/lf»CV) , +

Репенпе (i7) - ;азрывнке колебания Y/i) в области J)/ неустойчивости стгпюнарного рзжэннл (17) при и=сс«it, , s = ccn¡,t. , и нбп'.есызкгл ктирпя вне стой области. Разрывные колебания состоят из коротких /~1 мсек/ импульсов потенциала Y и медленьъх

изменений потенциала Y(i) между импульсами.

Модель импульсного элемента с дельта-функциями. Короткие импульсы V(i) могут быть заменены дельта-функциями Дирака. В промежутке между импульсами эволюция системы описывается (lr7), причём во второе, дифференциальное уравнение (17) подставляется наименьший корень У =VW первого уравнения. Значение V в конце интервала непрерывности • (пороговый потенциал импульса) не совпадает с величиной "V в начале интервала (постимпульсная гиперполяризация или деполяризация) . Дельта-функция "привязывается" к моменту начала импульса. Функция n(i) в этой модели имеет разрыв первого рода в момент импульса; значение п. ft) после разрьша вычисляется экстраполяцией "назад" от конца к началу импульса ~V("b} как разрывного решения (17) . Эта упрощённая модель с дельта-функцией Дирака используется во многих моделях нейронных сетей; дифференциальное уравнение (17) подстановкой 1г-(У)/где ^(V) вычисляется из алгебраического уравнения '(17) / превращается в уравнение для "V , а последнее обычно заменяется линейным уравнением. Учёт теплового и синаптического* шума в (17) приводит к стохастическим моделям.

Порог возбуждения и пороговый потенциал. Термин "порог" означает такое значение параметра стимуляции или управляющего сигнала, при котором происходит качественное изменение поведения. системы /бифуркация/. Например, в окрестности точки А на плоскости (U-,s) при увеличении и, происходит появление импульсной активности. Порог может быть определён сколь угодно точно при достаточной точности измерений или вычислений.

Термин "пороговый потенциал" означает потенциал V(i*-0), при котором происходит разрыв V(t) при разрывных колебаниях, такой, что V(t*-C) <Y(t't+ 0) ; -£* означает ¡»омект разрыва V(t) . Для системы (17) пороговый потенциал V=V(t*■-£>) и соответствующее значение а" = aft-С) находятся как корки системы двух алгебраических уравнений: первого уравнения (17) и уравнения, которое получается, если приравнять нулю частную производную по "V от левой частя первого уравнения (17). При этом нужно выбирать тот корень, которому соответствует наименьшее V , если корень не единственный. Для систем: с зазрив-

ньзд решением; полученной в результате асимптотической редукции уравнений /т.-е. приближенной системы/ пороговый потенциал определяется строго и точно.

В течении интервала времени, когда происходит импульс У(Ц в системе (17), никаким изменением нельзя получить раз-

рыва решения (17) с увеличением У(-Ь) . Этот интервал называется интервалом абсолютной рефрактерности. После разрыва с -уменьшением У№) мо;.шо скачкообразным изменением получить следующий импульс; соответствующий пороговый потенциал больше, чем для первого импульса, и убывает 0 увеличением интервала между импульсами. Это явление называется относительной рефрактерность».

Понятие "пороговый потенциал" может быть определено вполне корректно только в асимптотически редуцированной системе уравнений с разрывными решениями. Решения уравнений Ходакина-Хаксли - непрерывные функции, поэтому пороговый потенциал спайка не может быть в этом случае определён и вычислен вполне корректно, также как и по экспериментальным записям внутриклеточного 'потенциала. Осознание специалистами асимптотического характера понятия порогового потенциала после публикаций [25], ¡^ЗО] ,[¿4) привело к прекращению потока публикаций, авторы которых пытались более точно вычислить и измерить эту величину.

ХУ. СТОКАСИЖСШЙ 1юдзз! НЕЯСНА :: нз^ошсл СЕТИ

Обозначим , К-= ...,-1,0,1,2,... моменты появления

ш,¡пульсов в модели нейрона как импульсного элемента; импульсы рассматриваем как дельта-функции Дирака, так что выходной сигнал имеет вид • •

= Гм-**) ■

Если в модели нейрона учитываются случайные процессы, например синаптические и тепловые пумы, то моменты появления импульсов является- случайными числами. Будем считать цуги высокочастотна! по ерагнеш» с длительностям; интервалов между гплульсамп; тогда елияппс ^умов на момент появления очередного щптульса не зависит в вероятностном смысле от действия щупов на предыду.иг/

межимпульсных интервалах. Коль скоро модель нейрона на интервалах между импульсами описывается дифференциальным уравнением первого порядка, момент появления очередного импульса зависит только от момента появления предыдущего импульса и не зависит от всех предыдущих, а влияние шумов заменяется на добавление независимых случайных величин в уравнение, определяющее

моменты появления очередных импульсов tn+i . Дополнительное упрощение получим, проинтегрировав дифференциальное уравнение импульсного элемента с начальным условием в конце предыдущего импульса; после соответствующей нормировки получим монотонно убывающую функцию , -fc , которую, допуская неко-

торую вольность в „терминологии, будем называть убывающим порогом. Управляющий сигнал считаем одномерным и линейно взаимодействующим с . В результате момент следующего импульса i =t«*í. вычисляется как наименьший корень уравнения (i^i) - = ^ . (18) Предполагаем, что все случайные величины J^, имеют одинаковую функцию распределения = В { у^ ^ г } . Тогда условное распределение Fiftlt^P {-¿„ч-i^-tlln.] определяется йормулой \ ftn, ъ) ^ 1 - f (4= i-u) - r , (19) где ¡{>*, i) - монотонно невозрастающая непрерывная слева функция -t >~Ьл, , во всех точках убывания равная f ) .

Нестационарные процессы восстановления. Последовательность случайных чисел {-L>¿\ , вычисляе;:ых по уравнена::-;) (iü) является нестационарным процессом восстановления , шаче называемым случайным потоком однородных событий с ограниченным последействием. Рассматриваемые здесь процессы являются ординарными, что означает невозможность одновременного появления-сразу двух импульсов в одном и том se импульсном элементе и малую вероятность очень близких импульсов.. Ординарность гарантируется сеойством абсолютно:"! рефрактерности. Вал-нейпей характеристикой процесса восстановления является интенсивность, определяемая как математическое олидание'числа событий, за время dt , и обозначаемая далее как ju. (di) = с/ М (~Ъ), ■ где И (-6) - монотонко неубывающая функция.

Вторал важная характеристика ординарного процесса - функция Палы,:а (19) . 2ти функции связаны формулой Пальма, которая для полубесконечного интервала имеет вид

j%*\±)с(ма') = L . ¿20)

Уравнения (19) , (20) • позволяют вычислять интенсивность, которую мо:.;но сопоставлять с постстнмульной гистограммой им-: пульсов одного нейрона или с суммарной ш.шульсной активностью пвряллелыго работающих нейронов как источником внзганпого потенциала. Б статьях [17], [lo} вычислены примеры изменения интенсивности для различных функций распределения помех Rfe) при скачкообразном увеличении или уменьшении управляющего сигнала и (é) , а таюпе при малых отклонениях и ft) от стационарного значения.

Модель нейронной сети. Пусть имеется /V одинаковых импульсных элементов, одинаково связанных мегду собой, слементы помечены индексом L , I =1 ,,*/ , комеиты w,пульсов . л каждому олелтлггу соги поступает одит козий шиульсньгЛ сигнал

к Mí) = у-ií nfr) - «-¿2 1Ш -ti)

где к - "о.эгМ«цяент обратной связи в сеты. Стот гсжульснкП сигнал преобразуется в управляющий сзгн&л элементов одинаков:::'; г;ля е-сох элементов, по ссрмуле

и It) - к J -х (t -Т)] I fe) chr . ( 21)

Ура:-:е:-::;е Сл)соь::естао с (l¿) «ля каждого слепента ссстпвллпт залл-луг/л систему, подлеглуз изучению при бслызк // . Численное репение такой системы при различных начальных условиях является предметом математического эксперимента, число ¡V ограничено мо!чыюстьр вычислительной техники. При очень больаи» /V ¡по-стазлтется естестгенным заменить ишульсккП сигнал д/^ U (dt). 1огда III) пеоеходит в

С-32-)

и it} л- г. sbi-xft-rtJdMte) .

Уравнения (22), (20), {18), (19) представляют собой замкнутую систему, допускающую исследование качественными методами. Далее будем предполагать, что £ ('г) - равномерное распределение на интервале [0, с]. Система уравнений (16), (19), (20), (.22) при заданном г. и достаточно малых значеш-юх коэффициента обратной связи ос имеет стационарное решение: и а) — и„ ■=. соп ; М {¿) = +сен=. х ^^(и^у^-

и.е - КЦ„ М ; -у*-*-СУ(и.)1 ^ ц ; это решение устойчиво в малом. При увеличении к устойчивость в малом теряется, начиная с некоторого К, = к, ; границу устойчивости мозсно найти, линеаризуя систему уравнений относительно малых -отклонений от стационарного состояния и применяя к полученной линейной системе критерий Найквиста.

В области неустойчивости стационарного решения возможны колебания. Рассмотрим "чисто разрывные" колебания с кусочно-постоянной М ¿Л-) , соответствующие синхронизации га.шульсов многих нейронов. Предварительно отметим, что интервал интегрирования в (20) на самом деле конечен вследствие того, что Я (г) =0 при гйО. Число скачков М (¿) на этом ¡интервале назовём порядком разрывного решения. Условие возмогсности "чисто разрывного" решения порядка и. : к /с не зависит от конкретного вида -^(ъ-) при достаточно малых оС . При «/£ = ц, возможно только периодическое решение порядка н. . При к /1 > п. возможны, наряд' с периодическим, и непериодические решения. Возмо-ен переход решения порядка >г в решение любого порядка, .меньшего чем 1г ; обратный переход невозможен.

Переход от (21) к (22) строго не обоснован; характер математических трудностей здесь повидимому аналогичен трудностям обоснования статистической механики.

ч

у. шшшчасган .¿одель яскншен лох ильных ыг^ггочн^

ПОТКНЦПАлСй В ШлРОПШ

Дендриты рассматриваются как бесконечные инлиндричоские кабели, ¿-¡а декдрпте кмеется едлксг^ешп::: с::н£.пс, р".спо."о в начало координат. ¿се налрсзленгя о;:::е;:г.:':::1 мок ч г-ггно-

вероятны. При этих предположениях математическое ожидание внеклеточного потенциала на расстоянии I от синапса вычисляется

по формуле _

Л

и (¿Л)t/r) ^ ZAV frfé-4% , (23)

yie __

u.fjye) ~ 5 cW, { (v) -K<¡y(v)[i-u(Oyt^j

T~t/T ; ,T - характеристические длина и время кабеля; <^ъ),к - оезразмерные электропроводность и коэффициент эффективности синапса; G-(x,t) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности; А - безразмерная константа; "V - разность между потенциалом равновесия синапса и потенциалом покоя мембраны дендрита.

При стационарной синаптической бомбардировке средний по времени потенциал одного синапса вычисляется по формуле

МЧбг/л) = -AVf Fa/л); (Щ

С-О /

■Fff) - ¿¿ГУ/У + El(-Х) ; f =eJ -fr-c) cfc.

Численные значения потенциала (24), рассчитанные 2 ["23 j для дендритов средне;'; толцины на расстояниях порядка ICO г зад от синапса, лежат в диапазоне одного микровольта.

"Облако" синапсов одного аксона моделируется случайны;! равновероятней располотениеи JV синапсов б о'ере радиуса к. ¡атематичесг.ое ожидание внеклеточного потенциала вычисляется путём интегрирования потенциала (23) или I2í) внутри сферы. Численные оценки при A/=iOC,R= IC0*¿C0 пш для дендрптов средней толщины лкяат в диапазоне 10*100 ¡пев, что.соответствует оксперимеяталыя-с! измерениям (Груодпс, Гетман и тр., 1S73 ) , ¡шке прочно гогедшл в практику многих лаборатории.

Предположение о равномерном распределении активированных синапсов в слое толщиной- 20*200 ¡.¡км привело к оценкам знекле-точного потенциала 0,1 * 1 мв, что соответствует исмеряс:"-; вызгагаш:: погзнииалам [12] .

Ране« емедк специалистов считалось обцепринятнм, что и.з-мермемге :гаммме потенциалы обязаны своим про::с::о. :.";зн:;см пенл'"';;:1:е:м-:х ev;-:ar.Hn электрических дипольных моментов, поз-

никающих..из-за неоимметрии клеток и несимметричного расположе- . ния синапсов на них. Публикации ¡12] , [23| изменили общепринятое мнение.

вывода

1. Математическая модель электрического состояния ионно-обменного слоя возбудимой мембраны позволила удовлетворительно аппроксимировать наиболее полные экспериментальные данные. Показана заведомая неадекватность ранее общепринятой модели /"теория Гуи-Чепмена"/ и тем самым прёодолён многолетний застой в изучении зарядов белковых слоев мембран. Появилась возможность учёта ионнообменных процессов в моделях нейронных сетей.

2. Математическая модель молекулярной системы управления выделением медиатора позволила удовлетворительно аппроксимировать наиболее полные наборы экспериментальных данных по постимпульсной потенциации- и депрессии и частотной депрессии. Применение этой модели в теории нейронных сетей привело к рассмотрению нового класса моделей нейронных, сетей - нейронным сетям

с устойчивой динамической матрицей связей.

3. Модификация уравнений Ходжкина-Хаксли добавлением си-наптических токов привела к пониманию двумерности управляющего синаптического сигнала, что позволило объяснить ранее непонятные экспериментальные факты. Асимптотический анализ модифицированных уравнений дал возможность уточнить понятия порога и порогового потенциала и получить качественно верную модель нейрона как импульсного элемента, описываемого дифференциальным уравнением первого порядка и пригодную для использования в математических моделях нейронных сетей.

4. Впервые использован аппарат нестационарных процессов восстановления в стохастических моделях нейронов и нейронных сетей, что открыло новое направление исследования нейронных сетей.

5. Впервые разработана математическая кодолъ появления локальных внеклеточных потенциалов ь о;:норс;_:;.:>< изотропной нейропнле.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Покровский А.Н. Основные задачи теории измерений электрической активности нейронных структур ЦНС.- В кн.: Материалы У симпозиума по вопросам нейрофизиологии,- Вильнюс, 1967- С.43-44.

2. Покровский А.Н. К вопросу о потенциальных возможностях анализа электроэнцефалограмм.- В кн.: Проблемы нейрокибернетики. Рефераты докладов III Всесоюзной конференции по нейрокибернети-ке.- Ростов-на-Дону: изд. Ростовского ун-та, 1967. С.119.

3. Покровский А.Н, К вопросу об измерении латентного периода,- Автометрия, PI, 1968. C.IIB-I20.

4. Покровский А.Н. К вопросу о взаимной корреляции импульс-, ной активности двух близлежащих нейронов.- Биофизика, т.13, Ш, 1968. С. 747-749.

5. Покровский А.Н. О влиянии разброса порогов Нейронов на результаты корреляционного анализа импульсной активности.- В кн. : Статистическая электрофизиология, т.1,- Вильнюс, 1968. С.475-460.

6. Покровский А.Н. К вопросу о потенциальных возможностях анализа электроэнцефалограм в связи с пространственной фильтрацией поля потенциалов.- Биофизика, т.14, №2, 1969. С. 367-369.

7. Покровский А.Н. Об исключении влияния разброса пороговых уровней при определении взаимной корреляции импульсной активности нейронов.- Биофизика, т. 14. S33, 1969. С. 553-556.

8. Покровский А.Н. К вопросу о потенциальных возможностях анализа ЗйГ,- В кн.: Проблемы нейрокибернетики, т.З.- Ростов-на-Дону, 1969. С. 92-95.

9. Покровский А.Н. О возможности вычисления нестационарной электрической активности нейронных структур мозга.- В кн.: Тезисы докладов Всесоюзной конференции по проблемам теоретической кибернетики.- Новосибирск, 1969. С. 35.

10. Покровский А.Н. Статистический расчёт импульсной активности нейрона при нестационарных входных воздействиях.- В кн.: Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики. Тезисы докладов,- Новосибирск, 1969. С. 35.

11. Нарушевичус Э.В., Покровский А.Н. О нестабильности возбудимых мембран и её значении для функционирования популяции возбудимых клеток.- В кн.: Рефераты докладов 1У Всесоюзной конференции по нейрокибернетике.- Ростов-на-Дону: изд. Ростовского ун-та, 1970. CL 101.

12. Покровский А.Н. К вопросу о механизме возникновения электрических потенциалов в нервной ткани.- Биофизика, т. 15,

'В®, IS70. С. 881-887.

13. Покровский А.Н. Колебательные рекимы в математической модели популяции нервных клеток.- В кн.: Колебательные процессы в биологических и химических системах, т.2.- Пущино-на-Оке, 1971. С. 169-172.

14. Покровский А.Н., Прохоренко Ю.П. Факторный анализ послойного отведения вызванных потенциалов.- В кн.: Материалы У1 Всесоюзной конференции по электрофизиологии центральной нервной системы,- Л.:Наука, 1971. С. 213.

15. Покровский А.Н. Вычисление реакции модели нейрона и нейронной сети на периодическую последовательность импульсов.-В кн.; Первая республиканская летняя школа по нейробионике /тезисы. докладов/.- Киев, 1971. С. 13.

16. Покровский А.Н. Малые отклонения от стационарного состояния в нейронных сетях.- В кн.: Первая республиканская летняя школа по нейробионике /тезисы докладов/.- Киев, 1971. С. 14.

17. ïokroveky А.Н. lion-Homogeneous Renewal Point Process

as a Model of a Neuronal Spike Train.- Mathematical Biosciences, v. 14, 1972. P. 49-58.

18. Покровский А.Н. Математическая модель генерации импульсов нейроном тонического типа,- Биофизика, т.18, Р4, 1973. С.

■ 700-705. .'-.'■ *

19. Покровский А.Н, Задача идентификации структуры модели коры мозга.- В кн.: Тезисы докладов У Всесоюзной конференции по нейрокибернетике.- Ростов-на-Дону, 1973. С. 240-241.

20. Покровский А.Н., Торнуев Ю.В., Прохоренко Ю.П. К вопросу об устранении артефакта стимуляции при измерении биопотенциалов.- В кн.: Труды XXI конференции по радиоэлектронике, т.К Томск, 1974. С. 78.

21. Покровский Л.Н. Альфа-ритм как индикатор состояния функциональной системы: "кора - релейное ядро таламуса - ретикулярная формация".- В кн.: III Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики, тезисы докладов.- Новосибирск,

1974. С. 32-33,

22. Покровский А.Н., Прохоренко Ю.П., Торнуев Ю.В. Об одном механизме инверсии знака вызванных потенциалов,- Биофизика, т. 19, !;'<3, IS74. С. 545-546.

23. Покровский А.Н., Прохоренко Ю.П. Вычисление элементар-тип: составляющих вызванных потенциалов.- Биофизика, т.¡¿О, И,

1975. С. 113-117.

24. Покровский А.Н. ¡.¡атематическая модель генерации импульсов нейроном фазового типа.- Б кн.: Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума "Проблема человек - машина на морских судах". - Ленинград: "Судостроение", 1975. С. 134.

25. Покровский А.Н. Простая нелинейная модель нейрона.- В кн.: Тезисы докладов I конференции ".Математическая теория биологических процессов".- Калининград, IS76. С. 413-414.

26. Покровский А.Н. О структуре постСинаптичесхих компонентов вызванных потенциалов,- В кн.: Материалы УП Всесоюзной конференции по электрофизиологии центральной нервной системы.-Каунас, 1976. С. 311.

27. Покровский А.Н., Долженков В.А. Об изменении вызванных потенциалов при воздействии веществ, изменяющих проводимость синапсов.- 3 кн.: Материалы УН Всесоюзной конференции по электрофизиологии центральной нервной системы.- Каунас, 1976.

312.

28. Покровский А.Н. Стационарные состояния двухкомпонент-ной модели гиппокампа как носители кратковременной памяти.- В кн.: Проблеш нейрокибернетики.- Ростов-на-Дону: изд. Ростовского ун-та, 1975. С.•132-133.

29. Покровский А.Н. Обострение колоколообразного сигнала

в сетях с латеральными связями,- В кн.: 1У Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики, тезисы докладов.-Новосибирск, 1977. С. 70-71.

30. Покровский А.Н. Влияние проводимости синапсов на условия возникновения спайков,- Биофизика, т.23, М, 1978. С.649-653. • . '

31. Покровский А.Н. К вопросу о возникновении областей локального возбувдения в системе нейронов.- В кн.: Проблемы нейрокибернетики.- Ростов-на-Дону, 1980. С. 37.

32. Покровский А.Н. Нейрон как управляемая система.- В кн. : I Всесоюзный биофизический съезд, тезисы докладов стендовых сообщений, Т.2.-11., 19Б2. С. 163-164.

33. Покровский А.Н. Внутреннее сопротивление нервной ткани как источника.постсинаптического компонента вызванных потенциалов.- В кн.: I Всесоюзный биофизический съезд, тезисы докладов стендовых сообщений, т.З.- ¡'.I., 1982. С. 34.

34. Покровский А.Н. О понятии порога возбудимых мембран.-В. кн.: Применение математических методов и оБы в медико-биологических исследованиях, тезисы и материалы Всесоюзного симпозиума, часть I.- Л., 1982. С. 86-89. ■

35. Покровский А.Н. Временная организация нервной клетки.-В кн.: Всесоюзный симпозиум "Механизмы временной организации

' клетки и их регуляция на различных уровнях", тезисы докладов.-Пущшо, 1983. С. 61.

36. Покровский А.Н. Генерация импульсов нейроном как механизм кодирования информации.- 3 кн.: Проблемы нейрокибернетики. -.Ростов-на-Дону: изд. Ростовского ун-та, 19ЕЗ. С. 45-46.

37. Покровский А.Н. Применение качественных методов теории дифференциальных уравнений в нейрофизиологии: обзор результатов и проблемы.- В кн.: Десятая меэдукародкая конференция по нелинейным колебаниям, тезисы докладов.- София, 1984. С. 173.

38. Покровский А.Н. Синаптическое управление состоянием возбудимой мембраны,- Биофизика, т.30, К со. С. £70-372.

39. Покровский А.Н. .'.¡атеиатическая модель динамического проторения в нейронной сети.- В кн.: Всесоюзный сеиинар "¡.¡атема тические и вычислительные методы в биологии", ■дрзисы докладов.-Пулино, 1985. С. ЮЗ-Юо'.

40. Покровский А.'Л. Оценка влияния толг,пнм белкового слоя мембраны на плотность поверхностных зарядов,- спо'"'.пзпка, т.31, Г.4, 1986. С. 659-661.

41. Покровский А.Н. Специальный алгоритм обработки результатов автоматизированного нейрофизиологического эксперимента.-В кн.: УШ Всесоюзная конференция "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях", тезисы докладов, секция I.- Ленинград, 1966. С. II.

42. Покровский А.Н. Процессы управления в нервных клетках. Учебное пособие, гл. 3,4.- Ленинград: изд. ЛГУ, 1987. С. 48-63.

43. Покровский А'Н. Математическая модель системы управле-!шя выделением медиатора из пресинаптических окончаний. - Биофизика, т.24, Ü3, 1969. С. 400-404.

44. Покровский А.Н. математическая модель динамического проторения синапса.- В кн.: Проблемы нейрокибернетики /материалы Ei Всесоюзной конференции/.- Ростов-на-Дону: изд. Ростовского ун-та, 1969. С. 364.

'15. Покровский -А.Н. Изменение концентрации ионных каналов в мембране как основа формирования возбудимости в онтогенезе.-3 кн.: III Всесоюзная конференция по нейронаунам, тезисы докладов.- Kr er-, 1190. С. IC-LI.

46. Покровский А.П. ¡Математическая модель нейрона как импульсного элемента.- 3 кн.: Проблемы нейрокибернетики.- Ростов-на-Дону, 1292. 6. 249.

47. Покровский А.Н. Подели нейронных сетей с устойчивыми динамическими матрицаи; связей.- В кн.: Проблемы нейрокибернетики.- Ростов-на-дсну, I';v2. С. ¿50.

46. Покровский А.Н. Усреднённая импульсная активность-в модели нейронной сети.- Ь'иогчизика, т.£8, \?-2, 1993. С. 327-332.

Подписано к печати 03.06.93. Заказ ЬОу.

Формат 60x84/16. Объем 1,5 п. л. Тираж 100.

Ломоносовская типография. 180510, г. Ломоносов, пр. Юного ленинца, 9.