Бесплатный автореферат и диссертация по наукам о земле на тему

Динамика вихрей в слоистой модели океана

ВАК РФ 25.00.28, Океанология

Автореферат диссертации по теме "Динамика вихрей в слоистой модели океана"

ВАГИНА ИРИНА МИХАЙЛОВНА

ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СЛОИСТОЙ МОДЕЛИ ОКЕАНА

Специальность 25.00.28 - океанология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 б дпр 2С72

ВЛАДИВОСТОК - 2012

005019511

Работа выполнена на Географическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, г. Москва

Научный руководитель: Соколовский Михаил Абрамович,

доктор физико-математических наук, вед.н.с. Учреждения Российской академии нарт Института водных проблем РАН

Официальные оппоненты: Кильматов Талгат Рустемович,

доктор физико-математических наук, профессор, зав. Кафедрой океанологии и гидрометеорологии Дальневосточного федерального университета

Пермяков Михаил Степанович, доктор физико-математических наук, зав.лаб. Учреждения Российской академии наук Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН

Защита состоится 18 мая 2012 г. в 11 часов на заседании диссертационного

Совета Д 005.017.02 при Тихоокеанском океанологическом институте им. В.И. Ильичева ДВО РАН по адресу: 690041, Владивосток, ул. Балтийская. 43.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТОЙ ДВО РАН

Автореферат разослан 10 апреля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 005.017.02, кандидат географических наук ' Ф.Ф. Храпченков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Известно, что простейшие двумерные гидродинамические модели дискретных вихрей дают некоторое представление о характере взаимодействий между элементарными вихрями и о структуре индуцируемого имя поля скоростей. Однако многие эффекты, присущие движениям (в частности, - вихревым) в атмосфере или океане, невозможно объяснить без учета следующих факторов: (а) вращения среды как целого, (б) неоднородности (стратификации) поля плотности, сформированной под действием силы тяжести, (в) конечности размеров вихрей. Решение проблем с учетом перечислепнх факторов достигаются методами геофизической гидродинамики - области классической гидромеханики, сложившейся за последние три десятилетии в качестве ее самостоятельного раздела. Одним из достижений геофизической гидродинамики является построение так называемого квазигеострофического приближения, обоснованного для быстро вращающихся устойчиво стратифицированных жидкостей. В рамках этого приближения выполнена и данная работа.

Диссертационная работа посвящена анализу динамики распределенных вихрей в двух- и трехслойных квазигеострофических моделях с постоянной потенциальной завихренностью (вихревых пятен) в слоях.

Основными объектами исследования являются:

(а) Хкпшпы [10] - двухслойные составные вихри с нулевой суммарной интенсивностью в среде с постоянными значениями плотности в слоях.

Хетоны генерируются в лабораторных экспериментах различными способами: с помощью введения источников и стоков массы, механическим локальным закручиванием жидкости верхнего слоя, тепловыми источниками. В частности, такие вихри естественно возникают при развитии неустойчивости бароклинных течений, связанных с феноменом глубокой конвекции в океане. Хетонная идеализация успешно применяется также при анализе движений тропических циклонов и ураганов в атмосфере, поверхностных температурных аномалий и неустойчивости пограничных течений в океане.

(б) Впутритсрмоклинпыс вихри или линзы [11], моделируемые как вихревые пятна среднего слоя в рамках трехслойной квазигсострофической модели. Антициклонические, и циклонические внутритермоклтшые вихри формируются

на континентальных склонах Пиренейского полуострова. Они возникают и результате динамической неустойчивости придонного потока средиземноморских вод. Струя этих вод движется вдоль южного и западного склонов. При пересечении каньонов и. возвышенностей дна происходит как слив вод по каньонам, так и отрыв струй, в сторону открытого моря. Такие вихри отличаются более, высокими значениями температуры и солености по отношению к окружающим водам и образуют особый класс средиземноморских вихрей (линз). Это дает возможность определять как их положение в океане, так и геометрические размеры, а также исследовать их эволюцию на всех стадиях жизни. Средиземноморские линзы, как правило, распространяются на значительных акваториях Северной Атлантики на горизонтах от 500 до 1500 м. Это делает возможным при моделировании рассматривать трехслойную структуру океана: верхний слой - 0 - 500 м, средний -500 - 1500 ы и придонный - от 1500 м до дна.

Указанные обстоятельства позволяют полагать, что тема диссертации актуальна как с теоретической, так и с практической точек зрения.

Целью работы является построение математической модели эволюции вихревых пятен в двух- и трехслойной вращающейся жидкости.

Основные этапы работы: (1) вывод уравнений движения границ вихревых пятен в рамках традиционных двух- и трехслойной квазигеострофических моделей; (2) адаптация метода контурной динамики (МКД) на случай слоистых моделей с учетом внешнего поля (зональное течение и рельефа дна); (3) исследование нелинейной эволюции вихревых пятен; (4) анализ полученных результатов и их интерпретация применительно к океанским условиям.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы современные методы математической физики, а также дг*ух- и трехслойная модификации МКД. Научную новизну составляют основные положения, выносимые на защиту:

1. Изучены особенности взаимодействия хетона с подводной возвышенностью. Полученные результаты дают представление о роли стратификации, внешнего течения, высоты и горизонтальных размеров горы в формировании вихревой структуры в окрестности возвышенности.

2. Построена математическая модель внутритермоклинных вихрей (линз) в рамках трехслойной квазигеострофической аппроксимации.

3. На основе численного моделирования с помощью МКД получены критерии слияния круговых линз и устойчивости эллиптических линз в зависимости от числа Фруда.

4. Получено теоретическое подтверждение вероятного проявления внутритермоклин-ных вихрей на поверхности океана и, как следствие, возможности детектирования их дистанционными методами.

5. Исследованы механизмы взаимодействия лига с изолированной подводной возвышенностью малой высоты. В частности, получен критерий захвата топографией части внутритермоклинного вихря.

Достоверность полученных результатов и выводов. Основные результаты работы получены аналитическими методами теории дифференциальных уравнений. Достоверность результатов определяется обоснованностью уравнений геофизической гидродинамики и эффективностью их применения в мировой практике. Часть результатов представлена в аналитической форме, что допускает непосредственную проверку. Результаты. полученные численно с помощью МКД, многократно тестировались на решениях, полученных другими вычислительными методами, а также, при возможности, сравнивались с лабораторными и натурными измерениями, что также убеждает в их достоверности.

Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Она выполнялась в рамках проектов РФФИ (01-05-64646-аи 10-05-00646-а). Практическая значимость работы определяется тем, что результаты создают основу для создания более общих гидродинамических моделей.

Публикации и вклад автора. По теме диссертации опубликовано 8 работ. Из них 4 - статьи в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК и 4 - тезисы в трудах конференций.

15 работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежит составление алгоритма задачи, его численная реализация и равноправное участие в анализе и интерпретации полученных результатов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Географического факультата МГУ (Москва), Института водных проблем РАН (Москва), Института океанологии им. П.П. Ширшова РАН (Москва), Тихоокеанского океанологического

института им. В.И. Ильичева ДВО РАН (Владивосток), на Генеральной Ассамблее Европейского Геофизического Союза (EGU) (Вена, Австрия, 2010), 42-м Международном Коллоквиуме по динамике океана (Льеж, Бельгия, 2010), Международной конференции "Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану' (Ижевск, 2010), 531 Коллоквиуме Евромех 'Vortex and waves: Identification and mutual influence" (Москва, 2011), Международной конференции 'Потоки и структуры в жидкостях: Физика, геосфер" (Владивосток, 2011), Девятой Всероссийской открытой конференции "Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса" (Москва, 2011), Региональной Географической Конференции UGI 2011 (Сантьяго, Чили, 2011).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы, содержит 66 страниц (включая 36 рисунков и список литературы из 102 наименований).

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава является вводной. В разделе 1.1 помещено предисловие, в котором приводится обоснование актуальности темы, формулируются цель работы, основные задачи, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту, дается краткая аннотация работы.

Раздел 1.2 играет роль математического введения. В параграфе 1.2.1 выводятся уравнения потенциальных вихрей в рамках квазигеострофической двухслойной модели вращающейся жидкости с постоянными значениями плотностей pi и р2 в верхнем и нижнем слоях соответственно, а в параграфе 1.2.2 выписывается формальное решение для аномалий гидродинамического давления в слоях pj {j = 1, 2):

+00 -foO

Pj(x, у, t) = hj II n,[G(r) + ^iG„(r)]diW + I J U34[G(r)-G0(r)]dx'dy'. (1)

—OO —OO

Здесь G(r) = (1/27г) Inr и Go(r) = -(1/2я)Ко(7г) - функции Грина операторов Лапласа V2 и Гельмгольца V2 - 72 соответственно; ПДх, у, t) потенциальная завихренность в слое с толщиной hj, г = у (х — г')2 + (у — у')2; К0(г) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка и 7 = R/Rd (R характерный горизонтальный масштаб, a Rd - радиус деформации Россби [9]). Важной характеристикой двухслойной модели

является число Фруда F = f2R2/g'(hi + h2), где / - параметр Кориолиса, д' = дАр/р0 -редуцированное ускорение свободного падения.

Предполагая, что потенциальные завихренности допускают представление

+ 4[x,y,t), j = l, 2,

где ITju - некоторые константы, функции II? - кусочно-постоянные функции с ненулевыми значениями в областях S" и Д,- - количество областей в слое с номером j, вместо уравнений (1) мы можем записать

Pi = Vi о + hj п °<f,N [м(г) + du+

a=l ¿,, 1

h34 £ f [M(r) - Mo(r)]dv, J = 1,2. (2)

Здесь С° контуры, ограничивающие области 5°, а также введены обозначения: {х'~х){дУЧду)-{у'-у){Вт!1ди) м =

г2 ' 4тг V 2) '

М0 = ^[7ГК1(7Г)-1]'' (3)

К](г) модифицированная функция Бесселя первого порядка, V линейный параметр, отсчитываемый в положительном направлении (против часовой стрелки) вдоль каждого из контуров С?, а значения рдолжны быть согласованы с распределениями П^о.

Уравнения (2) представляют собой теоретическую основу двухслойной версии метода контурной динамики, общая схема которого описывается в параграфе 1.2.3.

В параграфе 1.2.4 приводятся примеры иростейших типов внешних полей давления, которым должны удовлетворять в (2). В частности, если однородный (по вертикали) зональный поток 11(1:) набегает на осесимметричное подводное препятствие с безразмерным вертикальным масштабом а, то имеем решение

РЩ =-<7^(7,0-1/(0», ] = 1,2, (4)

с (г/°)2 - ^ [7^,(7^10(7^ - 1], г < а,

_ 4 \ 1 + 21п (г/а) + (7ц) К0 (7г), г > а,

отвечающее суммарному полю набегающего потока и захваченного топографического вихря над возвышенностью (при а > 0) либо впадиной (при а < 0) в виде вертикального прямого кругового цилиндра радиуса а. Здесь 10 и I! - функции Бесселя мнимого

аргумента нулевого и первого порядка соответственно. Отметим, что выражения (4) справедливы в предположении, что \а\ -С Л2.

В параграфе 1.2.5 дается постановка задачи об зволюции вихревых пятен в трехслойной среде с постоянными значениями плотностей ри Рг и p¡ в слоях. В этом случае мы имеем два числа Фруда Fn = pü{f Df j^Ap^hj. + ft2 + Ла)], Ар„ = р„+1 -рп,п= 1,2, и вместо (2) получаем

A¡ , з з д„

Pi = En¿ f NM{r)dv+ ][>т]Г>т„£щ; f NMm^(r)du., j = 1,2,3. (5)

а=1 X, m—2 n—1 a=l

C-i

В (5) обозначения qjn, sjn введены для элементов вспомогательных матриц Q и S размера 3x3, отражающих свойства трехслойной среды (они зависят от толщин слоев hi,h2, h¡ и величин скачков плотности на границах раздела между слоями Ap¡ = р2 - pi,Ap2 = рз - p2), Mi,2 = [71,2^1(71,2^ - lj, параметры стратификации 71,2 = •Чз связаны с собственными значениями (Ai = О, А23 < 0) вспомогательной спектральной задачи Tq + Aq = 0, имеющей собственные векторы q^, q(2', q(3' (они же - столбцы введенной вьппе матрицы <Э), и

/ hl ñ. hi 0 \

т = El fta F,+F, Ь t

V 0 El h3 h3/

остальные обозначения имеют тот же смысл, что в (2).

При учете внешнего зонального потока со скоростью и{Ь) в рамках такой модели по аналогии с (4) получаем решения

Р01 = -°фиЪ,г)-и(1.)у, 7 = 1,2,3, (6)

' Т-да[1-пК1(7Ю)1о(71г)]-

= да [1 - 72К1(72а)1о(72г)], г < а, ^ + ^11(71а)К0(71г)+ . ^11(72а)К0(72г), г > а,

имеющими место при \а\ <£ /13.

Алгоритмы и формулы, приведенные в этой главе, используются затем в последующих разделах.

Во второй главе исследуется динамика распределенного хетона над осесимыет-ричной подводной возвышенностью малой высоты (схема представлена рисунком 1). При этом используется фундаментальное свойство хетона, как специального типа ба-роклинных вихрей: если формирующие хетон вихревые пятна верхнего и нижнего слоев образуют строго вертикальную конструкцию (в этом случае говорят, что хетон имеет вертикальную ось), то он, при отсутствии внешнего воздействия, всегда неподвижен; если вихревые пятна смещены друг относительно друга (хетон имеет наклонную ось), то двухслойный вихрь, подобно вихревой паре, приобретает свойство равномерного прямолинейного самодвижения.

Численные эксперименты в этой главе выполняются при значениях безразмерных параметров 1ц = 0.1, /12 = 0.9 и Ар — 3 ■ 10~3, близкими к "оптимальным" в смысле Флерла, т. е. полученным по методике построения калибровочных функционалов [12].

Из (4), в частности, следует, что осесимметричная возвышенность генерирует ло-кализаванный над ней и сосредоточенный в нижнем слое антициклонический вихрь с завихренностью —а/Нг-

Рис. 1: Общая схема начального состояния задачи о набегании хетона на возвышенность. Здесь 1с - расстояние между центрами вихревых пятен верхнего слоя (жирная линия) и нижнего слоя (полужирная линия), Ь - расстояние между "осью" хетона и центром возвышенности. Затемненная область - это циклонический вихрь нижнего слоя, первоначально покрывающий цилидрическую круговую возвышенность радиуса а с центром в начале координат

Целью описываемых ниже численных экспериментов является определение роли

подводного препятствия в поведении набегающей на него бароклинной пары вихрей (хетона с наклонной осью), Выясняется степень влияния на результирующее вихревое движение следующих факторов:

• расстояния между центрами вихревых пятен, составляющих хетон;

• степени бароклигогости жидкости;

• горизонтальных размеров возвышенности.

В качестве начального условия принимается состояние покоя, для чего необходимо непосредственно над возвышенностью в нижнем слое поместить нейтрализующий воздействие рельефа дна свободный циклонический вихрь с завихренностью сг/Л.2 (см. рисунок 1). Таким образом, попутно решается задача об инициализации топографического вихря в окрестности возвышенности.

В разделе 2.1 рассматривается задача о набегании на возвышенность самодвижущегося хетона {II = 0) с наклонной осью, когда составляющие его вихревые пятна симметрично смещены относительно оси х.

Рисунок 2 представляет пример расчета эволюции вихревых пятен хетона при с = 1, 6 = 4, а — 1, I/ = 0, а = 0.05 и у = 1, т. е. когда внешний поток отсутствует, наклон оси хетона таков, что на вертикальной проекции вихри верхнего и нижнего слоев в начальный момент времени касаются друг друга, радиус возвышенности равен радиусу

каждого из вихревых пятен, высота ее в размерных единицах составляет 250 м (при глубине океана 5000 м), и стратификация жидкости умеренная.

Хетон, приближаясь к возвышенности, увеличивает наклон своей оси. При этом вихрь верхнего слоя, который, очевидно, наименее подвержен влиянию горы, отклоняется вправо и практически не. меняет своей формы. Вихрь нижнего слоя одновременно частично захватывается топографией и значительно деформируется. До своего разрушения оп успевает совершить вокруг возвышенности примерно 3/4 оборота. Сильному разрушению подвергается также циклонический вихрь нижнего слоя, первоначально локализованный над возвышенностью (он окрашен). За период численного эксперимента некоторая часть каждого из циклонов нижнего слоя оказалась захваченной горой, а вторая, испытав интенсивное выделение вихревых нитей (филаментацию), объединилась с антициклоном верхнего слоя, сформировав таким- образом самодвижущуюся двухполярную структуру, удаляющуюся от окрестности возвышенности.

Серия численных экспериментов, в которых варьированию подвергались параметры 7 и С, т. е. стратификация и величина "наклона" двухслойной вихревой пары, позволила получить следующие качественные выводы:

(1) Увеличение 7 при неизменном С (что равносильно либо ослаблению стратификации, либо увеличению характерного горизонтального масштаба) приводит к более эффективным сносу циклонического топографического вихря, с одной стороны, и захвату циклонического вихря нижнего слоя, первоначально принадлежащего хетону, с другой стропы.

(2) Уменьшение "наклона" оси хетона при выполнении условия неустойчивости (т. е. при слабой стратификации) хетона с "вертикальной" осью [13] может инициировать разрушение двухслойной структуры еще до ее подхода к подводному препятствию. Взаимодействие такого хетона с возвышенностью сопровождается образованием многос.вязных в1гхревых структур с меньшими горизонтальными масштабами.

В разделе 2.2 к числу изменяемых внешних параметров добавляется скорость зонального потока 1!. Здесь мы приведем лишь один пример, когда скорость набегающего потока направлена против движения самого хетона и (при гипотетическом отсутствии топографии) уравновешивает его положение. Как показывает' рисунок 3, двухслойный вихрь, действительно, довольно продолжительное время практически не меняет свои положение и форму. Однако при 4 > 10 развивается неустойчивость второй моды, и вихревая структура распадается на два разбегающихся хетона с наклонными осями.

Рис. 3: Набегание хетона на возвышенность при с = 0.1, Ъ — 4, и = —0.004, а = 0.05, 7 = 2.6

Хетон, движущийся преимущественно в направлении внешнего потока, очевидно, удаляется довольно быстро, но и пара, имеющая положительную зональную составляющую скорости, способна преодолеть тормозящее действие течения. В данном случае она взаимодействует с топографическим вихрем и с возвышенностью довольна слабо. Топографический вихрь испытывает небольшие деформации и большая его часть оста-

ется захваченной горой.

Основные выводы по результатам этой серии численных экспериментов следующие:

(1) При положительных значениях U начальная скорость движения хетона, очевидно, увеличивается, взаимодействие между циклоническими вихрями нижнего слоя интенсифицируется, а захварывающие свойства топографии уменьшаются. Характерная структура потока развивается по следующему сценарию: со временем свободный вихрь делится на три части, одна из которых полностью захватывается топографией, а две другие, соответственно, сливаются с двумя частями развалившегося циклона нижнего слоя. Далее, конфигурация из двухслойной пары и циклонического вихря нижнего слоя покидает окрестность возвышенности, чему, в частности, способствует внешний поток. Одна, из частей свободного вихря прочно захватывается возвышенностью.

(2) При изменении горизонтальных размеров возвышенности и неизменных размерах вихревых пятен наблюдаются следующие эффекты: (2а) Для крупных поднятий рельефа дна характерен существенный захват как свободного вихря, так и принадлежащего хетону циклонического вихря нижнего слоя. Двухслойный вихрь с наклонной осью, сформированный антициклоном верхнего слоя и частью свободного вихря, уносится вниз по течению. (26) Подводное препятствие небольших горизонтальных маштабов оказывает на движение хетона слабое отклоняющее действие. Свободный вихрь полностью сносится течением с возвышенности, затем он объединяется с циклоническим вихрем и, вместе с антициклоном верхнего слоя, формирует уносимый потоком новый двухслойный вихрь с наклонной осью.

Отдельно следует отметить особенности процесса сближения и последующего слияния вггхрей одного знака. Как правило, при этом значительно интенсифицируется горизонтальное перемешивание. Один из вихрей начинает разрушаться, излучая фи-ламенты, в то время как второй - "вихрь-победитель (victor vortex)" [14], - оставаясь компактным, "пытается" притянуть и намотать на свое ядро как можно большую его часть. Элементы такого асимметричного взаимодействия можно наблюдать практически во всех численных экспериментах.

Результаты второй главы отражены в статье [1] и докладывались на Коллоквиуме по динамике океана в Льеже (2010).

Третья глава посвящена различным аспектам динамики внутритермоклинных вихрей, моделируемых в виде вихревых пятен среднего слоя в трехслойной квазигеострофи-ческой модели. В силу геострофического баланса, антициклонические (циклонические)

вихри среднего слоя иегда приобретают вид двояковыпуклых (двоятсовогнутых) линз.

Конкретные значения геофизических параметров модели выбирались с учетом реального распределения средних многолетних профилей плотности в Атлантике [9| (оно представлено сплошной гладкой линией в левой части рисунка 4).

0.7 -

о.а -

0.9 -

1.0 -н

Рис. 4: Схематическое представление трехслойпой модели и двух антнциклонических линз

Как показывает рисунок 4, вертикальное распределение плотности аппроксимируется двухступенчатой кусочно-постоянной функцией со скачками плотности на границах раздела слоев, такими что Дрх/Дрг = 4, и безразмерные толщины слоев суть /11 = 0.1, Л2 = 0.2 и /13 = 0.7. Такой выбор параметров основан на следующих соображениях. Выше мы уже получили = 0.1; далее, значение /12 = 0.2 принималось для того, тюбы при глубине океана в 5000 м средний слой занимал горизонты от 500 до 1500 м (что характерно для средиземномоских линз Северной Атлантики). При этом с достаточно хорошей точностью выполняется принятое нами условие F2 = = 4.Г. В правой части рисунка 4 схематически изображены две антициклонические линзы. Очевидно, соотношение между масштабами здесь сильно искажены: в действительности, горизонтальные размеры вихревых пятен превышают вертикальные по крайней мере на два порядка.

В рамках данной модели рассмотриваются две задачи: (1) о взаимодействии двух

0.5

0.6

круговых вихревых пятен (этому посвящен раздел 3.1) и (2) об эволюции эллиптического вихревого пятна (раздел 3.2). В обоих случаях предполагается, что вихри расположены только в среднем слое, и, следовательно, являются прообразами атлантических линз.

В проблеме слияния круговых вихрей одного знака [15] ключевым является вопрос о критическом расстоянии между центрами вихрей, на котором процесс слияния начинает проявляться. С достаточно большой степенью достоверности установлено [15 и ряд других работ], что два цилиндрических круговых вихря единичного радиуса в баротропной жидкости с твердой верхней границей сливаются, если для величины 6, -половины расстояния между центрами вихрей (см. правую часть рисунка 4) - выполняется условие й < в.* ~ 1.6 -г 1.7.

Для баротропного вихревого пятна эллиптической формы имются два классических результата, восходящих к работам Кирхгофа [16] п Лава [17]. В первой из них доказано, что эллиптическое вихревое пятно представлявляет собой стационарное состояние, т. е. такой вихрь вращается относительно своего центра с постоянной угловой скоростью как твердое целое. Во второй показано, что это стационарное решение является устойчивым по отношению к малым возмущениям формы границы только при выполнении условия а/Ь < 3, где а и 6, соответственно, большая и малая полуоси эллипса.

В рассматриваемом нами случае вихревые пятна среднего слоя располагаются между двумя "свободными" поверхностями раздела слоев, что, как показывают наши расчеты, играет принципиальную роль.

На рисунке полученный с помощью МКД-расчетов интервал для еГ £ [1.69; 1.71] для баротропного случая ограничен двумя вертикальными штриховыми линиями. Левее левой линии (область М) вихревые пятна всегда сливаются, а правее правой (область ЫМ) не сливаются. Внутри узкого интервала между ними наблюдается либо однократное слияние с последующим разделением, либо это явление повторяется многократно.

Для антициклонических линз поведение соответствующих границ раздела режимов (сплошные линии) иное: при больших значениях р имеем по существу баротроппый предел, а на интервале изменений параметра Г от 0 до примерно 1.5 распределение имеет немонотонный характер по параметру Р с мииимумом при Р и 0.15. Принимая, например, / = 10""4сек_1, д = 103г ■ см3 ■ сек"2, Я = 5 - 105см, Др1 = 5/4Др = 2.4 • 10_3г • см-3 и Р = 0.15, получаем, что для вихрей, наименее подверженных слиянию,

м ;NM

//

/ //

h /

d о

S uaN U2S из

1

1

\ V i t

9 10 11

(а)

(Ь)

Рис. 5: Диаграмма различных состояний: (а) двух круговых вихревых пятен на плоскости параметров (в., F) в баротропной жидкости (штриховые линии) и в среднем слое трехслойной жидкости (сплошные линии); (Ь) то же самое для одного эллиптического вихря на плоскости параметров (х, -О- Положения круглых маркеров соответствуют координатам плоскости указанных параметров, при которых выполнены демонстрационные численные эксперименты, представленные в диссертации

характерный радиус составляет L = 4.24 • 106см = 42.4км.

Итог большого числа численных экспериментов по изучению эволюции эллиптических вихревых пятен суммирован на диаграмме рисунка Ь. Помимо установления критерия устойчивости вихревого пятна, здесь приведены результаты исследования и нелинейной стадии трансформации контуров вихрей.

Штриховые вертикальные линия представляют собой последовательно границы областей устойчивости (S), неустойчивости с несимметричным разделением вихревого пятна на две части (U2N), неустойчивости с разделением на две равные части (£/25) и неустойчивости с разделением на три части (t/З) в баротропном случае.

Жирные сплошные линии изображают соответствующие границы для эллиптических линз. Особенностью бароклинного случая, как и в задаче о слиянии вихрей, является немонотонное по параметру F поведение границ режимов. Важно отметить, что

экстремальные свойства наблюдаются при том же критическом значении р 0.15, что наблюдалось при слиянии круговых линз. С одной стороны, ему соответствуют условия максимальной устойчивости эллиптического вихревого пятна - с соотношением полуосей вплоть до х ~ 4.4 против х — 3 для баротропного случая. С другой стороны, при Р я 0.15 мы имеем минимальный интервал по х области несимметричного деления эллиптического вихря на две. части (4.5 < х < 5.3 против 3.3 < х < 6.5), а также наиболее благоприятные условия для формирования неустойчивых симметричных второй (5.3 < х < 9.7 против 6.5 < х < Ю.5) и третьей (х > 9.7 против х > 10.5) мод.

Результаты проведенных численных экспериментов показывают, что внутритермо-клинные линзы, моделируемые в виде вихревых пятен среднего слоя в трехслойной вращающейся жидкости, во многом ведут себя подобно баротропным вихрям, но в условиях умеренной и сильной стратификации критерии слияния круговых вихрей и поведения эллиптических вихрей существенно меняются. При этом к основным параметрам, характеризующим бифуркации динамических режимов, таким как относительная близость вихревых пятен для первого случая и величина эксцентриситета эллипса для второго, добавляется число Фруда, или, другими словами, отношение характерного размера вихревой структуры к радиусу деформации Россби.

Отметим, что результаты, полученные для антициклонических внутритермоклин-ных вихрей, остаются справедливыми и для циклонических линз.

В разделе 3.3 обсуждаются частные случаи проявления бароклинных эффектов в динамике линз. Так в параграфе 3.3.1 рассматривается важная для приложений проблема возможности идентификации внутритермоклинных вихрей с помощью дистанционных методов мониторинга поверхности океана. Как видно из формул (5), аномалии давления (а, следовательно, и скорости движения жидких частиц), первоначально заданные в любом из слоев трехслойной жидкости, имеют свои "отражения" в двух других слоях.

Это подтверждает рисунок 6, на котором изображены эпюры азимутальных скоростей, которые индуцируются изолированным круговым вихрем, расположеном в среднем слое. Несмотря на то, что потециалъныь завихренности в верхнем и нижнем слоях здесь тождественно равны нулю, ввиду выполнения закона сохранения потенциального вихря, локальные деформации поверхностей раздела, возбуждаемые вихревым пятном среднего слоя, генерируют относительную завихренность в соседних слоях (этот эффект отображают кривые 1 и 3 на рисунке б).

Рис. 6: Нормированные профили модулей азимутальных скоростей в верхнем (1). среднем (2) и нижнем (3) слоях, индуцированных круговым вихрем единичного радиуса с потенциальной завихренностью Пг = — 1

Расчеты функций тока горизонтального движения в каждом из слоев также показывают. что топологические свойства их изолиний в значительной мере повторяются в верхнем и нижнем слоях. Хотя наши расчеты проводились в предположении 'Твердой крышки", очевидно, что в натурных условиях антициклонические (циклопические) вихревые структуры верхнего слоя формируют над собой деформации поверхности океана в форме, впадин (горбов). Таким образом, становится ясно, что как расположение, так и, отчасти, конфигурации впутритермоклинных линз могу!' быть визуализированы с помощью дистанционных альтиметрических методов.

В параграфе 3.3.2 рассмотриваются некоторые аспекты влияния расположенной в нижнем слое изолированной круговой подводной возвышенности цилиндрической формы единичного радиуса на движение круговой липзы такого же размера, переносимой относительно слабым зональным течением с безразмерной скоростью и = 0.2. Оценки, полученные с помощью формул (6), показывают, что при такой скорости уже при сг > 0.4 над возвышенностью могут возникать застойные области, распространенные на все три слоя.

Очевидно, наличие таких областей отражается на поведении проходящих над возвышенностью впутритермоклинных вихрей. Расчеты показали, что возможны различные варианты взаимодействия линзы с возвышенностью: (а) внутритермоклинный вихрь проходит над горой, не теряя своей компатности и лишь изменив направление своего движения за счет антициклонической закрутки потока возвышенностью; (б) вихрь

Рис. 7: Влияние цилиндрического вознытения дна на движение антициклонической

линзы в зональном потоке при С/ = 0.2, Р = 0.2, а = 1.0

? о; > оЗ

-Л 2 4 <9 в Ю 13 ь=о -. -4 -*Ц -г ^ г 4 в в ю |г 4=2 -в -4 Ц -г ^ г 4 в в ю а Ь=4

« 2 Г. Э ^ 2

-« -* -г -г ) 2 4 < В |0 12 1=В -6 -4 -аЦ -г 4 « в Ю 12 -в -г ч; <=14

Л - г ц г

-в -4 -г V ' г в ю и (=( в С • г V 2 4 6 /-у 10 12 3 ^ и ¡=18 -.. -г Ц > г 4 6 Л 10 12 3 м 1=20

в

-в -4 -г 2 4 • Л Ю 12 -Й) Сэ «=22 Ц ' ' ' ' о " <=24 - - ■■■у г 4 6 в ю 12 I

Рис. 8: То же самое, что на рисунке 7, но при а = 1.2

над горой распадается две на части, но обе они также, сносятся поком вниз по течению; (и) вихрь распадается на две части, причем одна из них захватывается топографией, а вторая сносится потоком. Получена следующая оценка: на интервале а 6 [1.18911; 1.18512] происходит переброс между режимами (б) и (в); характерные примеры поведения вихрей представлены рисунками 7 и 8 соответственно.

Результаты третьей главы содержатся в статьях [2]-[4] и прошли апробацию на симпозиумах и конференциях в Вене (2010), Москве, Ижевске, Владивостоке, Сантьяго (2011).

В Заключении формулируются основные результаты, выносимые на защиту:

1. Изучены особенности взаимодействия хетона с подводной возвышенностью. Полученные результаты дают представление о роли стратификации, внешнего течения, высоты и горизонтальных размеров горы в формировании вихревой структуры в окрестности возвышенности.

2. Построена математическая модель внутритермоклинных вихрей (линз) в рамках трехслойной квазигеострофической аппроксимации.

3. На основе численного моделирования и помощью метода контурной динамики получены критерии слияния круговых линз и устойчивости эллиптических линз в зависимости от числа Фруда.

4. Получено теоретическое подтверждение вероятного проявления внутритермоклинных вихрей на поверхности океана и, как следствие, возможности детектирования их дистанционными методами.

5. Исследованы механизмы взаимодействия линз с изолированной подводной возвышенностью малой высоты. В частности, получен критерий захвата топографией части внутритермоклинного вихря.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В ЖУРНАЛАХ ИЗ ПЕРЕЧНЯ ВАК МИНОБРНАУКИ РФ:

1. Соколовский М.А., Веррон Ж., Вагина И.М. Влияние подводного препятствия малой высоты на динамику распределенного хетона // Изв. РАН. ФАО. 2001, т. 37, № 1, с. 131-143.

2. Филюпткин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. О динамике внутритермоклинных линз // Докл. РАН. 2010, т. 434, Л'« 5, с. 688 -691.

3. Филюшкин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Отображение внутритермоклинных вихрей на поверхности океана // Докл. РАН. 2011, т. 439, № 1, с. 118-121.

4. Филюшкин В.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Эволюция внутритермоклинных вихрей при прохождении над подводной возвышенностью // Докл. РАН. 2011, т. 441, № С, с. 825 828.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА В ТРУДАХ КОНФЕРЕНЦИЙ:

5. Sokolovskiy М.А., Filyushkin B.N., Kozhelupova N.G., Vagina I.M. On dynamics of Mediterranean eddies in the Atlantic Ocean // Geophysical Research Abstracts. Vol. 12, EGU-2010-2410, EGU General Assembly, 2010.

6. Филюшкин Б.Н., Соколовский M.A., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Модель эволюции внутритермоклинных линз // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану. Тезисы докл. Междупар. конф. Ижевск, 12-15 мая 2010, с. 32.

7. Filyushkin B.N., Sokolovskiy B.N., Kozhelupova N.G., Vagina I.M. Modeling of the meddies evolution in the North Atlantic: merging, stability, mixing, satellite detection // Euromech colloquium 531. Vortices and waves: Identifications and mutual influences, Moscow, June 21-24, 2011. Book of abstract, p. 38-40.

8. Filyushkin B.N., Sokolovskiy M.A., Kozhelupova N.G., Vagina I.M. Evolution of meddies moving over submerged obstacle // International conference Fluxes and structures: Physics of geospheres, Vladivostok, September 27-30, 2011. Abstracts, p. 63-66.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

9. Камепкович В.М., Кошляков М.Н., Монин А.С. Синоптические вихри в океане // Л. Гидрометеоиздат. 1987, 512 с.

10. Н(Щ N.G., Stnmmel Н.М. The het.on, an elementary interaction between discrete baroclinic geostrophic vortices, and its implications concerning eddy heat-flow /',/ Proc. R. Soc. Lond. 1985, v. A 397, p. 1-20.

11. Ami L., Zcnk W. Large lenses of highly saline Mediterranean water // J. Phys. Oceanogr. 1984, v. 14, p. 1560-1576.

12. Flierl G.R. Models of vertical structure and the calibration of two-layer models 11 Dyn. Atmos. Oceans. 1978, v. 2, № 4, p. 341-381.

13. Sokolovskiy M.A., Verron J. Finite-core hetons: Stability and interactions // J. Fluid Mech. 2000, v. 423, p. 127-154.

14. Mdande.r M.V., Zabusky N. J., McWUliams J.C. Asymmetric vortex merger in two dimensions: Which vortex is 'victorious'? // Phys. Fluids. 1987, v. 30, p. 2610 2612.

15. Hopfinger E.J., van Heijst G.J.F. Vortices in rotating fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. 1993, v. 25, p. 241-289.

16. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике // М. АН СССР, 1962.

17. Love А.Е.Н. On the motion of paired vortices with a common axis // Proc. Lond. Math. Soc., 1893, v. sl-25, p. 185-194.

Подписано в печать:

28.03.2012

Заказ № 6836 Тираж - 100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www. autoreferat. ru

Текст научной работыДиссертация по наукам о земле, кандидата физико-математических наук, Вагина, Ирина Михайловна, Владивосток

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ТИХООКЕАНСКИЙ ОКЕАНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.И. ИЛЬИЧЕВА ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

61 12-1/833

На^равах рукописи

Вагина Ирина Михайловна

ДИНАМИКА ВИХРЕЙ В СЛОИСТОЙ МОДЕЛИ ОКЕАНА

Специальность 25.00.28 - океанология

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель - д.ф.-м.н. Соколовский Михаил Абрамович

ВЛАДИВОСТОК - 2012

Содержание

1 Вводная глава 3

1.1 Предисловие........................................................................................................................................3

1.2 Математическое введение............................................................................................................8

1.2.1 Вывод уравнений сохранения потенциального вихря ................................8

1.2.2 Формальное решение. Интегральные инварианты........................................10

1.2.3 Метод контурной динамики........................................................................................12

1.2.4 Стационарное осесимметричное решение ..........................................................14

1.2.5 Уравнения трехслойной модели ..............................................................................16

2 Динамика хетона над подводной возвышенностью в двухслойной жидкости 21

2.1 Самодвижущийся хетон................................................................................................................22

2.1.1 Эффект стратификации ..............................................................................................23

2.1.2 Эффекты наклона оси хетона и вертикального распределения завихренности ..........................................................................................................................25

2.2 Хетон в зональном течении........................................................................................................28

2.2.1 Эффект скорости потока..............................................................................................28

2.2.2 Эффект высоты и горизонтальной протяженности возвышенности. 32

3 Трехслойная квазигеострофическая модель: динамика внутритермо-клинных линз 37

3.1 Слияние круговых вихрей..........................................................................................................38

3.2 Эволюция эллиптического вихря............................................................................................43

3.3 Бароклинные эффекты в динамике линз..........................................................................51

3.3.1 О детектировании линз на поверхности океана..............................................51

3.3.2 О влиянии рельефа дна на движение линз ......................................................52

4 Заключение 58 Список литературы........................................................59

1 Вводная глава

1.1 Предисловие

Понятие хетон было введено Хоггом и Стоммелом [55], чтобы подчеркнуть способность дискретной (точечной) бароклинной вихревой пары переносить тепло. "Хетон (кеЬоп)" - производное от "кеаГ, т. е. теплота, тепло. Действительно, при выполнении традиционных в геофизической гидродинамике геострофического и гидростатического приближений [6, 15] любой вихрь верхнего (нижнего) слоя, имеющий отрицательную (положительную) интенсивность, индуцирует локальное искривление поверхности раздела между слоями в виде впадины, и тогда говорят о "теплом хетоне". Смена знаков завихренности вихрей на противоположные влечет смену знака кривизны поверхности раздела, что соответствует "холодному хетону". Поскольку в условиях устойчивой стратификации нижний слой должен быть более плотным и более холодным, то интегральное количество тепла в области, содержащей вихри указанного вида, очевидно, будет аномальным по отношению к последнему в любой другой равновеликой области. Поэтому ясно, что именно движение хетонов, представляющих собой комбинации вихрей противоположных вращений, в большей степени, чем перемещение каких-либо других вихревых структур, приводит к перераспределению тепла (тепла и солей - в океане). Понятие "хетон" используется и для вихрей с конечными горизонтальными размерами (вихревых пятен - областей с постоянными значениями потенциальной завихренности Пх и П2 в верхнем и нижнем слоях соответственно). Если центры вихревых пятен разных слоев совпадают, говорят, что хетон имеет "вертикальную ось", если разнесены на некоторое расстояние - "наклонную ось". Возможные механизмы формирования теплого (холодного) хетона с вертикальной осью подо льдом в океане связаны с процессами таяния (намораживания) льда [32, 33, 34, 35]. Схема образования хетона с наклонной осью за счет механизма бароклинной неустойчивости фронта аномалии потенциального вихря преставлена в [68]. Вихревая структура, полученная на основе инструментальных наблюдений к югу от Австралии вдоль 132° восточной долготы в Антарктическом Циркумполярном Течении в январе-марте 1977 года на научно-исследовательском судне "Профессор Зубов" и представляющая собой хетон с наклонной осью, приведена на рисунке 1.

Хетоны генерируются в лабораторных экспериментах источниками и стоками массы [46, 47], механическим локальным закручиванием жидкости верхнего слоя [89], а также тепловыми источниками [53]. Такие вихри естественно возникают при развитии неустойчивости бароклинных течений, связанных с феноменом глубокой конвекции в океане [27, 1, 48, 62]. Хетонная идеализация применяется также при анализе динами-

ки тропических циклонов и ураганов в атмосфере [41], поверхностных температурных аномалий [32, 33, 34, 35], средиземноморских внутритермоклинных линз (тес1с1у) [56] и неустойчивости пограничных течений в океане [81].

В данной работе анализу динамики распределенных хетонов уделяется существенное внимание. Характерным свойством распределенных вихрей является тенденция к слиянию достаточно близко расположенных друг к другу одноименных по знаку завихренности вихревых пятен. Различные аспекты проблемы слияния бароклинных вихрей детально обсуждаются в ряде теоретических [5, 10, 12, 26, 28, 30, 31, 37, 40, 43, 44, 45, 51, 63, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 74, 91, 92, 93, 94, 96, 97, 98, 99, 100, 101] и экспериментальных [46, 47] работ. В то же время, практически ничего неизвестно известно о поведении вихревых пар, находящихся в окрестности возмущений рельефа дна.

Рис. 1: Пространственная структура хетона с наклонной осью, полученная на основе прямых инструментальных наблюдений в Антарктическом Циркумполярном Течении

Указанные обстоятельства позволяют полагать, что тема диссертации актуальна как с теоретической, так и с практической точек зрения.

ЗООО-

2000-

1000-

0-

[79]

Целью работы является исследование геострофических вихревых движений в двух-и трехслойной жидкости.

Основные этапы работы:

(1) вывод уравнений движения границ вихревв1х пятен в рамках традиционной двух- и трехслойной квазигеострофических моделей;

(2) адаптация метода контурной динамики (МКД) на случай слоистых моделей с учетом внешнего поля (зональное течение и рельеф дна);

(3) исследование нелинейной эволюции вихревых пятен;

(4) анализ полученных результатов и их интерпретация применительно к океанским условиям.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы современные методы математической физики, а также численные двух- и трехслойная модификации МКД.

Научную новизну составляют основные положения, выносимые на защиту:

1. Изучены особенности взаимодействия хетона с подводной возвышенностью. Полученные результаты дают представление о роли стратификации, внешнего течения, высоты и горизонтальных размеров горы в формировании вихревой структуры в окрестности возвышенности.

2. Построена математическая модель внутритермоклинных вихрей (линз) в рамках трехслойной квазигеострофической аппроксимации.

3. На основе численного моделирования с помощью МКД получены критерии слияния круговых линз и устойчивости эллиптических линз в зависимости от числа Фруда.

4. Получено теоретическое подтверждение вероятного проявления внутритермоклинных вихрей на поверхности океана и, как следствие, возможности детектирования их дистанционными методами.

5. Исследованы механизмы взаимодействия линз с изолированной подводной возвышенностью малой высоты. В частности, получен критерий захвата топографией части внутритермоклинного вихря.

Достоверность полученных результатов и выводов. Основные результаты работы получены аналитическими методами теории дифференциальных уравнений. Достоверность результатов определяется обоснованностью уравнений геофизической гидродинамики и эффективностью их применения в мировой практике. Часть результатов

представлена в аналитической форме, что допускает непосредственную проверку. Результаты, полученные численно с помощью МКД, многократно тестировались на решениях, полученных другими вычислительными методами, а также, при возможности, сравнивались с лабораторными и натурными измерениями, что также убеждает в их достоверности.

Научная и практическая значимость работы. Диссертационная работа носит теоретический характер и относится к области фундаментальных исследований. Она выполнялась в рамках проектов РФФИ (01-05-64646-а и 10-05-00646-а). Практическая значимость работы определяется тем, что результаты формируют основу для создания более общих гидродинамических моделей.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из трех глав, заключения и списка литературы, содержит 66 страниц (включая 36 рисунков и список литературы из 102 наименований).

Глава 1 является вводной. В разделе 1.1 помещено предисловие, в котором приводится обоснование актуальности темы, формулируются цель работы, основные задачи, научная новизна, практическая значимость и положения, выносимые на защиту. Дается краткая аннотация работы. Далее, в разделе 1.2 следует математическое введение. Приводится общая постановка задачи, описывается общий алгоритм метода контурной динамики, а также содержатся основные формулы, которые затем используются в остальных разделах.

Глава 2 посвящена исследованию влияния изолированного осесимметричного подводного препятствия малой высоты на движение хетона. Выясняется степень влияния на результирующее вихревое движение следующих факторов:

• расстояния между центрами вихревых пятен, составляющих хетон;

• степени бароклинности жидкости;

• вертикальных и горизонтальных размеров возвышенности.

Глава 3 посвящена различным аспектам динамики внутритермоклинных вихрей, моделируемых в виде вихревых пятен среднего слоя в трехслойной квазигеострофиче-ской модели. Анализируется роль бароклинности в формировании кинематической и термохалинной структуры океана.

В Заключении суммируются основные результаты.

Публикации и вклад автора. В диссертацию вошли 8 публикаций. Из них 4 - статьи в рецензируемых журналах, входящих в список ВАК, 4 - тезисы в трудах конференций. Список публикаций, в которых изложены основные результаты:

1 Соколовский M.А., Веррон Ж., Вагина И.М. Влияние подводного препятствия малой высоты на динамику распределенного хетона // Изв. РАН. ФАО. 2001, т. 37, № 1, с. 131-143.

2 Филюшкин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. О динамике внутритермоклинных линз // Докл. РАН. 2010, т. 434, № 5, с. 688-691.

3 Филюшкин В.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Отображение внутритермоклинных вихрей на поверхности океана // Докл. РАН. 2011, т. 439, № 1, с. 118-121.

4 Филюшкин Б.Н., Соколовский М.А., Кожелупова Н.Г., Вагина И.М. Эволюция внутритермоклинных вихрей при прохождении над подводной возвышенностью // Докл. РАН. 2011, т. 441, № 6, с. 825-828.

5 Sokolovskiy M.A., Filyushkin B.N., Kozhelupova N.G., Vagina I.M. On dynamics of Mediterranean eddies in the Atlantic Ocean // Geophysical Research Abstracts. Vol. 12, EGU-2010-2410, EGU General Assembly, 2010.

6 Филюшкин Б.H., Соколовский M.А., Кожелупова H.Г., Вагина И.М. Модель эволюции внутритермоклинных линз // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану. Тезисы докл. Между нар. конф. Ижевск, 12-15 мая 2010, с. 32.

7 Filyushkin B.N., Sokolovskiy M.A., Kozhelupova N.G., Vagina I.M. Modeling of the meddies evolution in the North Atlantic: merging, stability, mixing, satellite detection // Euromech colloquium 531. Vortices and waves: Identifications and mutual influences, Moscow, June 21-24. Book of abstract, 2011, p. 38-40.

8 Filyushkin B.N., Sokolovskiy B.N., Kozhelupova N.G., Vagina I.M. Evolution of meddies moving over submerged obstacle // International conference Fluxes and structures: Physics of geospheres, Vladivostok, September 27-30, 2011. Abstracts, p. 63-66.

В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежит составление алгоритма задачи, его численная реализация и анализ результатов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института водных проблем РАН (Москва), Тихоокеанского океанологического института им. В.И. Ильичева ДВО РАН (Владивосток), Генеральной Ассамблее Европейского Геофизического Союза (Вена, 2010); Международной конференции "Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану" (Ижевск, 2010), 42-м Международном Коллоквиуме по динамике океана (Льеж, Бельгия, 2010), 531 Коллоквиуме Евромех

"Vortex and waves: Identification and mutual influence" (Москва, 2011), Международной конференции "Потоки и структуры в жидкостях: Физика геосфер" (Владивосток, 2011), Девятой Всероссийской открытой конференции "Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса" (Москва, 2011).

1.2 Математическое введение

Содержание этой главы построено на материалах из общеизвестных литературных источников [6, 15, 17, 18, 38, 50, 88, 3, 2, 75, 76, 84, 85].

1.2.1 Вывод уравнений сохранения потенциального вихря

В качестве исходной примем модель вращающейся с угловой скоростью Q двухслойной идеальной несжимаемой жидкости с постоянными значениями плотностей р1; р2 (рi < р2) и невозмущенных глубин hi и /г2 для верхнего и нижнего слоев соответственно. Примем также приближения Буссинеска и гидростатики. Тогда уравнения движения можно записать в виде

Ujt + UjUjx + VjUjy - f'Vj = - —, (1.1)

Po v ■

vjt + UjVjX + VjVjy + fuj = ——, (1.2)

Po

Pjz=Pj9, (1-3)

ujx + vjy+wJZ = 0, (1.4)

где u,v,w соответственно представляют собой компоненты вектора скорости на оси х, у, z декартовой левовинтовой системы координат с осью г, направленной от поверхности вниз; р - давление, / = 2Г2 — параметр Кориолиса; р0 - среднее значение плотности; д - ускорение свободного падения; индексы внизу t,x,y,z означают частные производные по времени и по соответствующим пространственным переменным, a j = 1, 2 задает номер слоя.

Сформулируем граничные условия по вертикали.

Условие "твердой крышки" на верхней границе верхнего слоя:

z = 0: = 0; (1.5)

кинематические условия и условие непрерывности давления на поверхности раздела между слоями:

7 Dtf D2V (л дч

z = hi-r}: wi = ——, W2=z~~Dt, (L6)

условие безотрывного обтекания дна:

А>С

г = к1 + Н2~(: и>2 = —(1-7)

Здесь г] = г](х,у,£) и ( = С{х,у) - возмущения границы раздела слоев и рельефа дна соответственно (причем, первая из этих функций неизвестна, а вторая считается заданной); Dj/Dt = д/дЬ -+- щд/дх + у^д/ду, j = 1,2 - плоский оператор полной производной по времени.

Начальные условия и граничные условия по горизонтальным переменным будут в дальнейшем формулироваться в зависимости от рассматриваемой задачи.

Вводя = — - обозначение для вертикальной компоненты относительного вихря в _7'-ом слое и исключая давление из (1.1)-(1.2), получим уравнение

_ + = ^ = 1,2. (1.8)

Интегрируя (1.8) по г последовательно в пределах верхнего и нижнего слоев и используя граничные условия (1.5)-(1.7), получим

(1.9)

т V /г! - п) к '

Р2( + / Л

DtKK,- Ç +

Предполагая, что \г)\ << h\ и |(| << h2, получим приближенно

hi-rj hi h\ V /гх / h2- Ç + rj h2 h2 L h2x Теперь (1.9)^(1.10) можно записать в виде

^ = 0, 7 = 1,2, (1.11)

где

+ А И П2 = а;2 + ^(С-г?), (1.12) П\ п2

представляют собой потенциальные вихри в слоях.

Интегрируя по z уравнение гидростатики (1.3) с учетом (1.5)—(1.7), получим

рг= pxgz + po, 0 < z < hi — г),

р2 = рхд(кг - 7]) + p2g(z - ht + rj) + р0, hx - rj < z < hx + h2 - 77,

где po(x, y, t) - поверхностное давление. Для аномалий давления в слоях относительно их значений в состоянии гидростатического равновесия получаем

Pi = Pi - Pi9* = Ро,

Р2=Р2- pig hi - p2g{z - h) = p0 + gAprj, где Ар = p2 — pi- Отсюда следует

P2~Pi= gAprj. (1.13)

Для дальнейшего полезно еще выписать используемые в геофизической гидродинамике геострофические соотношения, которые получаются из (1.1)—(1.2) в предположении о балансе между кориолисовыми силами и градиентами давления:

3 Pof Pof 3 Pof Pof 3 ' 1 j

Уравнения (1.1)—(1.14) записаны в размерном виде. Для перехода к безразмерным переменным проведем следующее масштабирование:

(*', у') = £>(*,</); = (v\C) = RoH(v,o,

(■и/, <) = и {щ, Vj); t = (D/U) i; П/ = (U/D) % р/ = p0fUDPl

где прописные буквы задают масштабы соответствующих величин, штрихи относятся к размерным переменным, Ro = U/Df - число Россби. При характерных для и океана значениях U, D и для умеренных широт Ro = О (Ю-2). В этом случае безразмерные потенциальные вихри

п x = V2Pl + f, n2 = V2p2 + ^ (1.15)

hi h2

по-прежнему удовлетворяют уравнениям типа (1.11), а вместо (1.13) и (1.14) получаем

V = F(p2-p1), (1.16)

из = ~Pjy> v3 = Рзх, 3 = 1, 2. (1.17)

Здесь V2 = д2/дх2+д2/ду2 - двумерный оператор Лапласа, F = f D2 j g'ihi+h^) - число Фруда, д' = дАр/р0 ~ редуцированное ускорение свободного падения. Уравнения (1.17) показывают, что в геострофическом приближении аномалия давления по-существу играет роль функции тока квазидвумерного движения.

Девять уравнений (1.11), (1-15), (1-16) и (1.17) представляют собой замкнутую систему для определения девяти неизвестных функций г) и pj, щ, Vj, П.,-, (j = 1,2).

1.2.2 Формальное решение. Интегральные инварианты

Для разделения части переменных в (1.15), (1.16) введем баротропную функцию тока

p = hlp1 + h2p2, (1.18) 10

что позволяет из (1.1) с учетом (1.16) получить для р и г] независимые уравнения

У2р = №+№-(, (1.19)

Здесь введено обозначение

где Rd = у/g'hihi/(h\ + h2)/f - внутренний радиус деформации Россби [6, 15]. �