Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики

Апонина, Елена Александровна

Бесплатный автореферат и диссертация по биологии на тему
Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики
ВАК РФ 03.00.02, Биофизика

Автореферат диссертации по теме "Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики"

На правах рукописи

Апонина Елена Александровна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ

(03.00.02 - Биофизика)

Автореферат

ДйССсрТаЦйИ На СОйСКаййс уЧсНОй СТсПсНй КаНДйдаТа

физико-математических наук

Пущино - 2008

3 о СЕН 2000

003447362

Работа выполнена в Институте математических проблем биологии РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук Базыкин Александр Дмитриевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Ризниченко Галина Юрьевна доктор биологических наук, профессор Фрисман Ефим Яковлевич

Ведущая организация - Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН. г. Москва

Защита состоится /¿Г октября 2008 г, в на заседании

диссертационного совета Д 501.001.96 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, биологический факультет, кафедра биофизики, аудитория "новая".

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке биологического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан

сентября 2008г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор биологических наук, профессор

Т.Е. Кренделева

Построение и исследование математических моделей является одним из наиболее распространённых методов научного познания. Сегодня математическое моделирование становится действенным инструментом исследования почти в каждой области биологической науки. С помощью этого метода получены интересные и важные результаты в биофизике, биохимии, микробиологии, в популяционной генетике, в экологии, нашедшие отражение в многочисленных статьях и монографиях (Романовский Ю.М., Степанова Н.М., Чернавский Д.С., 1971, 1975, 1984; Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я., 1972; Гимельфарб A.A., Гинзбург Л.Р., Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Ратнер В.А., 1974; Алексеев В.В., 1976; Рубин А.Б., 1976, 1984, 2004; Фрисман Е.Я., Шапиро А.П., 1977; Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е, 1978; Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., 1978; Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П., 1979; Свирежев Ю.М., Пасеков В.П., 1982; Пых Ю.А., 1983; Рубин А.Б., Шинкарёв В.П., 1984; Базыкин А.Д., 1985, 2003; Свирежев Ю.М., 1987; Заславский Б.Г., Полуэктов P.A., 1988; Молчанов А.М., 1992; Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Е.Г., 1992; Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б., 1993, 2004; Ризниченко Г.Ю., 2002,2003).

В последние годы в связи с возрастающей мощностью современных ЭВМ и суперкомпьютеров открываются новые возможности для построения имитационных моделей биологических систем. Однако довольно часто возникает ситуация, когда результаты численных экспериментов, проведённых на таких моделях, с трудом поддаются объяснению и зачастую совсем непонятны.

Опыт моделирования сложных биосистем показывает, что новое знание о моделируемом объекте, углублённое понимание его свойств возникает при построении и исследовании иерархии "вложенных" друг в друга моделей увеличивающейся сложности (Полетаев И.А., 1971; Гильманов Т.Г., 1978; Галицкий В.В., Тюрюканов А.Н., 1981; Базыкин А.Д., 1990). В связи с этим, наряду с разработкой имитационных моделей, становится актуальным выделение и исследование базовых моделей, т.е. аналитических моделей, относящихся к нижним этажам создаваемой сегодня иерархии математических моделей биологических систем.

Ризниченко Г.Ю., 1977; Печуркин Н.С., 1978; ПертСД, 1978; Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.А., 1980; Станишкис Ю., 1984; Гуревич Ю.Л., 1984; Бирюков В.В., Кантере В.М., 1985; Варфоломеев С.Д., Калюжный C.B., 1990; Печуркин Н.С., Брильков A.B., Марченкова Т.В., 1990; Вавшган В.А., Васильев В.Б., Рытов C.B., 1993; Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б., 1993,2004; Ризниченко Г.Ю., 2002; Минкевич И.Г., 2005).

Цель работы. Построить и исследовать математические модели динамики численности популяций, взаимодействующих по принципу «продуцент - консумент - хищник» и «две конкурирующие жертвы - один хищник», а также математическую модель динамики численности плазмид в бактериальных популяциях. Исследование моделей довести до построения параметрических и фазовых портретов. Дать содержательную биологическую интерпретацию параметрическим и фазовым портретам.

Методы исследования. При исследовании математических моделей использовались аналитические методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций. Использовались также вычислительные алгоритмы и компьютерные программы для исследования бифуркаций сепаратрис (Апонин Ю.М., Апонина Е.А., 1976; Кузнецов Ю.А., 1983; Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. and Sijnave В., 2000), отыскания предельных циклов и слежения за предельным циклом при изменении параметра (Хибник А.И., 1979; Khibnik A.I., Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V., Nikolaev E.V., 1993).

Основными задачами работы являются:

а) анализ роли нижнего порога численности продуцента в формировании типов динамического поведения трёхзвенных трофических цепей «продуцент - консумент - хищник»;

б) исследование вольтерровской модели системы трёх популяций, взаимодействующих по принципу «хищник - две конкурирующие жертвы»;

в) математическое моделирование популяционной динамики гибридных плазмид, исследование области устойчивости генно-инженерных плазмидных штаммов при длительном непрерывном культивировании.

Научная новизна.

1. Построена и впервые исследована базовая математическая модель экосистемы «продуцент - консумент - хищник» при наличии у продуцента нижней критической плотности популяции. Показано, что существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов при кратковременных воздействиях на экосистему, вызывающих резкие изменения численностей составляющих её видов. На математической модели продемонстрирована роль хищника в поддержании жизнеспособности экосистемы. Установлена возможность устойчивого сосуществования продуцента, консумента и

хищника при невозможности сосуществования продуцента и консумента в отсутствие хищника.

2. Впервые установлено существование бесконечного множества предельных циклов и сложного динамического поведения (незатухающих хаотических колебаний) в вольтерровской модели системы трёх взаимодействующих популяций.

3. Впервые описан механизм возникновения сложного динамического поведения в системе трёх популяций, взаимодействующих по принципу «хищник - две конкурирующие жертвы». Показано, что возникновение хаотических колебаний численностей популяций при увеличении промысловой нагрузки на экосистему является критерием приближения к опасной параметрической границе, за которой сосуществование не только трёх, но и двух популяций становится невозможным.

4. Построена и впервые исследована математическая модель непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих гибридные плазмиды, с учётом структурной и репликационной (сегрегационной) нестабильности плазмид. Модель позволяет рассчитывать область значений управляемых параметров процесса культивирования, при которых популяция плазмидосодержащих клеток устойчиво поддерживается на протоке. Впервые проанализирована зависимость этой области от значений кинетических параметров плазмидного штамма и его дериватов, возникающих вследствие структурной и репликационной нестабильности плазмид. Впервые выделена область стационарных значений управляемых параметров, при которых исходный плазмидный штамм поддерживается на протоке в режиме незатухающих колебаний его численности.

Эти основные результаты и выносятся на защиту.

Практическая значимость.

1. Рассмотренные в диссертации математические модели представляют собой нелинейные системы трёх - четырёх обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование каждой модели доведено до построения параметрического и соответствующих фазовых портретов. Поэтому все рассмотренные модели применимы как базовые модели для построения и исследования последующих уровней иерархии математических моделей экологии и биотехнологии.

2. Математическая модель популяционной динамики плазмид использовалась для объяснения колебательной динамики численности популяции клеток в непрерывной культуре генно-инженерного штамма Bacillus stearothermophilus, несущих рекомбинантную плазмиду pZAM26 (Koizumi J.-I., Aiba S., 1988). В последние годы эта модель используется при построении и исследовании более сложных моделей с учётом копийности и конъюгационного переноса плазмид (Апонин Ю.М., Апонина Е.А., 2008).

3. Математическая модель популяционной динамики плазмид применима при решении прикладных задач направленного генно-инженерного конструирования гибридных плазмид (методами генетической инженерии) и прогнозирования эффективности промышленного использования штаммов, их содержащих.

4. Результаты исследования базовых моделей указывают критерии приближения к опасным границам (в параметрическом и фазовом пространстве) функционирования экологических и биотехнологических систем.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались на Всесоюзной конференции «Теория и практика программирования на ЭВМ серии Мир» (Душанбе, 1974), Всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущённых уравнений (Алма-Ата, 1979), Годовой конференции НИВЦ (Пущино, 1981), I Всесоюзном биофизическом съезде (Москва, 1982), Шестой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 1999), Четырнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 2007).

По теме диссертации опубликовано 29 печатных работ, из них 4 статьи в российских журналах, 2 статьи в международных журналах.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных результатов и выводов, списка цитируемой литературы, списка публикаций по теме диссертации. Работа изложена на 132 страницах машинописного текста. Список цитируемой литературы содержит 199 наименований.

Глава 1. Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования

Эта глава носит обзорный характер. В ней рассматриваются некоторые общие понятия и концепции математической биологии: многомоделие, интермодельные отношения, иерархия моделей, минимальная модель, базовая модель, максимальная модель и др.

Характерной особенностью математической биологии является разнообразие математических моделей биосистем. Очень часто для описания функционирования заданного биологического объекта используется не одна модель, а целый ряд математических моделей различной степени сложности. В первой главе обсуждается проблема иерархии интермодельных отношений. Выделены основные механизмы генерации простых моделей из сложных: замена переменных и асимптотическая декомпозиция, введение агрегированных переменных, принцип сведения и др. Рассматривается и обратный процесс построения сложной модели путём поэтапного усложнения некоторого исходного набора простых моделей, а также развёртывание иерархии моделей

различной степени сложности.

Строительство иерархической сети математических моделей может начинаться, так сказать, высоко в воздухе с некоторой исходной модели и разветвляться как по направлению вверх, так и вниз. Вверх разветвления могут расходиться в разные стороны к различным более сложным моделям. Необходимость продвижения вниз возникает в связи с потребностью более глубокого исследования исходной модели, например, путём асимптотической декомпозиции её на более простые модели меньшей размерности.

В зависимости от цели моделирования можно построить и другую сеть моделей того же самого объекта реальности, выбрав в качестве исходной другую модель, другой исходный узел разветвлений. Однако каждая такая иерархическая сеть представляет собой лишь фрагмент создаваемой сегодня иерархии моделей математической биологии.

Иерархия моделей - это не застывшее, а постоянно развивающееся образование. На каждом этапе своего развития её можно рассматривать как частично упорядоченное множество, в котором существуют непустые подмножества как минимальных, так и максимальных элементов. Эти элементы называются соответственно минимальными и максимальными моделями.

В первой главе даётся также краткий обзор численно-аналитических методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и бифуркаций. Подчёркивается важная роль аналитических методов исследования математических моделей. Применение аналитических методов начинается с обезразмеривания уравнений математической модели, выявления малых безразмерных параметров. Во многих случаях удаётся получить явные аналитические формулы для координат состояний равновесия и вывести простые аналитические условия локальных бифуркаций. Критерии Бендиксона и Дкныка позволяют установить отсутствие предельных циклов на фазовой плоскости. Аналитическое исследование состояний равновесия в конечной части фазовой плоскости и на бесконечности помогает иногда положительно решить вопрос о существовании предельного цикла и установить расположение сепаратрис. При аналитическом исследовании двумерных математических моделей оказываются полезными понятия циклов и кривых без контакта, свойства поворота векторного поля (Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., 1966, 1967; Баутин H.H., Леонтович Е.А., 1990).

Аналитические методы позволяют получить интересные и важные результаты и при исследовании многомерных математических моделей. Например, в работе [3] рассматривалась математическая модель функционирования антибиотика нигерицина в биологических мембранах. Соответствующая кинетическая модель включала в себя 32 элементарные

реакции, а список реагирующих веществ содержал 18 компонентов (18 переменных математической модели). На основании аналитического исследования установлены существование и единственность состояния равновесия модели и предложен эффективный алгоритм для вычисления координат этого равновесия. С учётом результатов аналитического исследования разработана компьютерная программа для проведения массовых расчётов на ЭВМ интенсивности осуществляемого нигерицином jCl It - обмена через бислойную липидную мембрану в зависимости от концентрации нигерицина и некоторых управляемых параметров. Проведённые расчёты показали, что модель описывает все наблюдаемые в эксперименте типы нелинейных и колеблющихся зависимостей трансмембранных потоков ионов калия и водорода от концентрации нигерицина в мембране и концентраций некоторых буферных соединений в окружающих её растворах [3].

Особую роль в математической биологии играет понятие базовой математической модели (Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С., 1984; Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков A.B., 2002; Ризниченко Г.Ю., 2003; Рубин А.Б., 2004; Чернавский Д.С., Чернавская Н.М., Малков С.Ю., Малков A.C., 2005; Малинецкий Г.П., 2005). Так называются математические модели, допускающие детальное исследование аналитическими методами и, возможно, с использованием доказательных вычислений на ЭВМ. Например, математические модели, представленные нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, исследование которых доведено до построения параметрического и фазовых портретов, являются базовыми. В этом смысле математические модели, рассмотренные в главах 2, 3 и 4 настоящей диссертации, являются базовыми. Исследование каждой из этих моделей доведено до построения детального параметрического портрета с указанием соответствующего набора трёхмерных фазовых портретов.

Глава 2. Модель экосистемы трёх трофических уровней с учётом существования нижней критической плотности популяции продуцента

В этой главе проводится исследование математической модели экосистемы, состоящей из трёх популяций, относящихся к различным трофическим уровням и взаимодействующих между собой по принципу «продуцент - консумент - хищник». Для популяции продуцента было принято допущение о существовании нижней критической её плотности. Известно, что многие биологические популяции не могут возрастать и даже сохранять свою численность, если их размер опускается ниже некоторого критического значения. При падении плотности популяции ниже этой пороговой величины из-за неблагоприятных условий или в результате хищнического промысла восстановление популяции становится невозможным и она обречена на вымирание (Тимофеев-Ресовский Н.В.,

Яблоков A.B., Глотов Н.В., 1973; ДрёФ., 1976; ЛемеЖ., 1976; Фрисман Е.Я., Худолей Ю.И., 1976, 1977; Базыкин А.Д., Березовская Ф.С., 1978, 1979; Базыкин А.Д., 1985,2003; Ризниченко Г.Ю., 2002, 2003).

Изложение в главе 2 начинается с обсуждения вопроса о причинах существования нижней критической плотности. Рассматривается общее уравнение динамики отдельной популяции с перекрывающимися поколениями:

^ = г(х)х, где r(x) = fix) - g(x). (2.1)

Здесь х - плотность популяции, г - удельная скорость изменения плотности, /ng- функции рождаемости и смертности.

Отмечается, что для ряда популяций, допускающих описание вида (2.1), выполняются следующие условия:

• графики функций/и g пересекаются в двух точках с абсциссами х = L и х = К, причём 0 <L <К;

• для любого х > 0 неравенство fix) > g(x) истинно только при хе (L, К).

Предположим, что эти условия выполнены. Тогда график функции г =/ - g устроен качественно как перевёрнутая парабола, пересекающая ось абсцисс в точках х = L и х = К. В таком случае при аппроксимации полиномом второй степени результатов лабораторных или полевых измерений функции г(х) получается следующая зависимость удельной скорости изменения плотности популяции г = х/х от самой этой плотности х:

г(х) - а{х - L)

где

(2-2)

K + L _a(K-Ln2

2 ' 'т~К{. 2 1 ' (2"3)

Здесь хт - плотность популяции, при которой удельная скорость г{х) достигает своего максимального значения гт, гт = г(хт). В экологической литературе величина гт называется биотическим потенциалом популяции. С учётом (2.2) уравнение (2.1) принимает следующий вид:

= ах(х - L)

(2-4)

В работах Базыкина АД. & Березовской Ф.С. (1978, 1979) уравнение (2.4) рассматривалось как эталонное (наиболее простое) уравнение динамики популяций с критическим порогом плотности. В настоящее время это уравнение и его модификации применяются в общей теории роста гомеостатических систем (Кряжимский Ф.В., 2007) и при математическом моделировании динамики роста лесных насаждений (Исаев А.С., Суховольский В.Г., Овчинникова Т.М., 2008).

При заданных значениях I и К параметр а связан с биотическим потенциалом гт линейной зависимостью, см. вторую формулу в (2.3). Поэтому для популяций, подчиняющихся уравнению (2.4), величину а естественно называть константой скорости роста популяции. Интерпретация параметров X и К очевидна: Ь - нижняя критическая плотность популяции, К - значение плотности в устойчивом состоянии равновесия, которое достигается при заданных условиях среды обитания. Как и в логистическом уравнении, величину К естественно называть «ёмкостью местообитания» по отношению к данной популяции (Одум Ю., 1975).

Во второй главе диссертации уравнение (2.4) используется как базовая модель динамики популяции продуцента при построении более сложной математической модели сообщества «продуцент -консумент - хищник»:

х = ах{х - 1)^1 Вхху,

у = \ху - - с,у, (2.5)

1 = ¡^уг - сг2.

Здесь х,у и г - соответственно плотность популяций продуцента, консумента и хищника; g\ и - соответственно константы скорости выедания продуцента консументом и консумента хищником; и к2 -константы скорости роста популяции консумента и хищника; с\ и с2 -эффективная смертность соответственно консумента и хищника, которая может иметь три аддитивные составляющие: естественную смертность, промысловую смертность (отлов, отстрел) и интенсивность эмиграции. Параметры а, К, Ь имеют тот же смысл, что и в уравнении (2.4).

Заменой переменных х = Ки, у - ^-о, г = ^-со, / = —^—

81 8г <>К

система уравнений (2.5) приводится к следующей безразмерной системе: м = и(и - /)(1 - и) - ии,

и = ух{и - со - щ)и, (2.6)

а = у2(и - т2)со, где и, и, а - безразмерные переменные (плотности популяций соответственно продуцента, консумента и хищника в выбранном масштабе их измерения). Здесь точка над переменной обозначает её дифференцирование по безразмерному времени г; /, ух, уг, т,, тг -безразмерные параметры:

.1 к ^ с,

I = —, У, = — , у, = — , т. = —, т, = 2а'-.

К а а 1 \К 2 а^К

Параметр т\ (тп2) представляет собой выраженную в безразмерном виде

эффективную смертность в популяции консумента (хищника). Значения тх и тг можно варьировать за счёт изменения интенсивности промысла. Поэтому величины т\ и т^ естественно рассматривать как управляемые параметры, характеризующие «сопротивление среды» (Одум Ю., 1975) по отношению к популяции соответственно консумента и хищника.

Основными результатами проведённого в главе 2 исследования системы (2.6) являются её параметрический и фазовые портреты. На параметрическом портрете, построенном в плоскости управляемых параметров (т\, т2), выделено 12 областей. Для каждой из этих областей предъявлен соответствующий трёхмерный фазовый портрет системы (2.6).

На основании анализа параметрического и фазовых портретов математической модели (2.6) сделаны следующие выводы.

1. Существует область значений управляемых параметров т\ и тг, при которых в системе сосуществуют вместе сразу три аттрактора. Два из них представляют собой устойчивые состояния равновесия: равновесие R, расположенное внутри первого октанта, и расположенное в начале координат равновесие О, соответствующее гибели всех составляющих экосистемы. Третий аттрактор лежит в плоскости (и, и) ив зависимости от параметров является либо состоянием равновесия Р, либо предельным циклом Ср, родившимся из равновесия Р в результате бифуркации Андронова - Хопфа. Каждый из этих аттракторов имеет свою область притяжения в пространстве состояний.

2. Множественность аттракторов и их бифуркации порождают гистерезисные эффекты, которые могут наблюдаться при плавных изменениях управляемых параметров. Например, зависимость установившейся плотности популяции хищника от интенсивности его промысла (от параметра тг) оказывается неоднозначной, содержит точки разрыва и петлю гистерезиса. Такого типа гистерезисные зависимости от параметра т2 реализуются при фиксированных значениях эффективной смертности консумента т\, принадлежащих некоторому интервалу. Верхняя граница этого интервала вычислена аналитически (mi = (! + /)/ 2), а его нижняя граница (mi = тс„) соответствует бифуркации слияния сепаратрис и легко вычисляется на ЭВМ с помощью разработанных компьютерных программ [19].

3. Существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов в динамических реакциях экосистемы в ответ на кратковременные внешние воздействия, вызывающие резкие изменения численности составляющих её видов. Эти эффекты объясняются чашеобразной формой области притяжения равновесия R и своеобразием строения сепаратрисных поверхностей, разделяющих области притяжения альтернативных аттракторов в пространстве состояний.

4. Математическая модель указывает на важную роль хищника в

поддержании жизнеспособности экосистемы. Например, при низких значениях эффективной смертности консумента т\ (точнее, при тх < тсп) его существование в отсутствие хищника оказывается невозможным: в отсутствие хищника в системе «продуцент - консумент» обречены на вымирание оба составляющих её вида. Однако интродукция хищника в этих условиях спасает систему от гибели: хищник закрепляется в экосистеме и оказывается возможным сосуществование продуцента, консумента и хищника в устойчивом состоянии равновесия R.

Глава 3. Исследование математической модели трёхвидового сообщества "хищник - две жертвы"

В этой главе рассматривается вольтерровская система трёх обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику трёхвидового биологического сообщества «хищник - две конкурирующие жертвы». Первые исследования такого рода модельных систем были предприняты в связи с работой Paine (1966), в которой сделан вывод о том, что хищники могут играть главную роль в поддержании видового разнообразия нижестоящего трофического уровня. Изучая сообщество беспозвоночных обитателей литоральной (приливной) зоны тихоокеанского побережья США в штате Вашингтон, Paine (1966) в результате ряда проведённых экспериментов обнаружил, что удаление из сообщества хищника (морской звезды Pisaster ochraceus) приводит к существенному снижению числа видов жертв (моллюсков и ракообразных), которыми питался этот хищник.

Parrish & Saila (1970), Cramer & May (1972) попытались воспроизвести данные наблюдений Paine (1966) на вольтерровской модели сообщества «две жерты - один хищник». Исследуя эту модель, Cramer & May (1972) установили, что присутствие хищника может стабилизировать сообщество двух конкурирующих видов жертв даже в том случае, когда в отсутствие хищника сосуществование этих видов невозможно. Несколько позже, Fujii

(1977), исследуя ту же модель, показал, что стабилизирующая роль хищника может проявляться не только в стационарном, но и в колебательном режиме: при определённых значениях параметров модели внутри первого октанта существует устойчивый предельный цикл. Vance

(1978) численно обнаружил сложный колебательный режим поведения системы, который он назвал «квазициклическим».

Заметим, что во всех упомянутых выше работах исследование вольтерровской модели сообщества «две жертвы - один хищник» не было доведено до построения бифуркационной диаграммы соответствующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (т.е. построения её параметрического и фазовых портретов).

В работе [8] показано, что в некоторой области значений параметров в вольтерровской системе «две жертвы - один хищник» существуют

устойчивые предельные циклы сложной формы, бесконечное множество седловых предельных циклов и более сложные траектории нерегулярных (хаотических) автоколебаний. В главе 3 диссертации излагаются, с некоторыми уточнениями, результаты работы [8]. Рассматривается вольтерровская модель системы из трёх популяций, взаимодействующих по принципу «две жертвы - один хищник»:

Nt = N,{a - Nt - alN1 - bxP),

N2 = N2{/3 -N2 - a2Ny - b2P), (3.1)

P = P(-1 + </Д + d2N2 - P). Здесь Ni и N2 - соответственно численности популяций первого и второго вида жертв, Р - численность популяции хищника. Параметры, характеризующие интенсивность внутривидовой конкуренции во всех трёх популяциях, и скорость вымирания хищника в отсутствие жертв посредством нормировки (т. е. выбора единиц измерения численностей популяций и времени) сделаны равными единице.

В отличие от модели, изучавшейся в работах Parrish & Saila (1970), Cramer & May (1972), Fujii (1977) и Vance (1978), в модели (3.1) учитывается и внутривидовая конкуренция в популяции хищника. Значения параметров межпопуляционных взаимодействий предполагаются фиксированными:

а, =6, а2 = 1, \ =4, Ь2 = 10, dx = 0.25, d2 = 4. (3.2) Эти значения подобраны таким образом, чтобы при некоторых значениях параметров а и /7 в системе (3.1) существовал сепаратрисный контур, проходящий через три состояния равновесия, одно из которых является седлофокусом, см. рис. 3.1.

Рис, 3.1. Схематическое изображение сепаратрисного контура системы (3.1) -(3.2), проходящего через седлоузлы А$, Аг и седлофокус Л4. Такой контур реализуется при значениях а и 0 на некоторой линии Ь в плоскости параметров (а, р). При этом на оси N1 существует устойчивое состояние равновесия А\. Внутри первого октанта существует также неустойчивое состояние равновесия А( седлового типа, которое не показано, чтобы не усложнять рисунок.

В плоскости параметров (а, Р) построен параметрический портрет системы (3.1) - (3.2). На параметрическом портрете выделено 19 областей, для каждой из которых приведён соответствующий трёхмерный фазовый портрет. Бифуркационное множество системы (3.1) - (3.2) включает в себя линию сепаратрисного контура I: при (а, р) е Ь в системе реализуется сепаратрисный контур, см. рис. 3.1.

Бифуркационные явления, происходящие в окрестности сепаратрисного контура могут быть весьма сложными. При исследовании этих бифуркаций использовались некоторые общие математические результаты, полученные в работах Шильникова Л.П. (1965, 1970) и Белякова Л. А. (1981,1984).

Показано, что с уменьшением параметра /? при подходе к линии сепаратрисного контура Ь могут происходить бесконечные серии бифуркаций предельных циклов. Например, существует бесконечная серия бифуркаций рождения однообходных предельных циклов из уплотнения траекторий. Предельные циклы рождаются парами. В каждой паре один цикл седловой, а другой - устойчивый, причём с уменьшением параметра ¡3 устойчивый цикл почти сразу после рождения становится седловым, отщепляя от себя устойчивый двухобходный цикл. В результате при подходе к линии сепаратрисного контура Ь происходит накопление (до бесконечного числа) седловых однообходных предельных циклов.

С уменьшением параметра ¡3 при переходе через линию I бифуркационный процесс развивается в обратном порядке: некоторые из однообходных седловых циклов превращаются в устойчивые, захватывая соответствующие устойчивые двухобходные циклы, после чего они исчезают «аннигилируя» с другими однообходными седловыми циклами. Процесс завершается слиянием и уничтожением последней пары однообходных циклов (устойчивого и седлового).

В численных экспериментах на модели (3.1) - (3.2) при фиксированном а = 2,4 с уменьшением параметра Р наблюдалась также серия бифуркаций потери устойчивости предельным циклом с отщеплением от него устойчивого предельного цикла удвоенного периода. Несколько предельных циклов различной обходности показано на рис. 3.2. В некотором диапазоне значений параметра Р из результов численных экспериментов создаётся впечатление, что траектория системы всюду плотно заполняет сложно устроенную ограниченную «поверхность» в пространстве состояний (см. рис. 3.2 г). При этих значениях параметра Р в системе реализуются незатухающие хаотические колебания, что соответствует известным математическим результатам о существовании в окрестности сепаратрисного контура нетривиального притягивающего множества (Шильников Л.П., 1965).

и */

Рис. 3.2. . Результаты численного эксперимента по анализу механизма возникновения сложного динамического поведения в системе (3.4); XI = N1, х2 = Р , *з = N2;

а) а = 2,4, >5 = 1,7537, х,(0) = 0, 40906, х2(0) = 0,10157, х3(0) = 0,32860;

б) а = 2,4, Р = 1,7533, *,(0) = 0, 35304, *2(0) = 0,10367, *3(0) = 0,36352;

в) а = 2,4, Р = 1,7532, л,(0) = 0,32070, х2(0) = 0,10451, л3(0) = 0,38733;

г) а = 2,4, р = 1.7531, Х((0) = 0,30155, х2(0) = 0,10480, *3(0) = 0,40307.

Перечислим кратко основные полученные в главе 3 результаты и выводы.

1. В плоскости параметров (а, /3) построен параметрический портрет вольтерровской модели сообщества трёх популяций, взаимодействующих по принципу «хищник - два конкурирующих вида жертвы». Параметр а (Р) характеризует разность между рождаемостью и эффективной смертностью в популяции первого (второго) вида жертвы. При этом эффективная смертность наряду с естественной может аддитивно включать в себя и промысловую смертность, а также параметры, характеризующие интенсивность эмиграции.

2. Выделено 19 областей параметрического портрета, для каждой из которых предъявлен соответствующий трёхмерный фазовый портрет математической модели.

3. На математической модели продемонстрирована роль хищника в под держании видового разнообразия биологических сообществ. Согласно модели (3.1) - (3.2) сосуществование двух конкурирующих видов жертв в отсутствие хищника невозможно ни при каких значениях параметров а и р. Однако в широкой области значений этих параметров оказывается возможным устойчивое сосуществование трёх видов (двух видов жертвы и одного вида хищника).

4. Все три вида могут сосуществовать в стационарном или

автоколебательном режиме в отсутствие каких-либо внешних дестабилизирующих возмущений. Вблизи границы области (в пространстве параметров « и Д) сосуществования трёх видов они могут сосуществовать также в режиме хаотических колебаний.

5. Одноразовые внешние воздействия, вызывающие резкие изменения численности видов, могут приводить к деградации сообщества (к исчезновению хищника и одного из видов жертвы). Например, существует область значений параметров а и Д при которых трёхвидовое сообщество оказывается неустойчивым к инвазии первого вида жертвы, вызывающей резкое увеличение её численности выше некоторого порога. При этом хищник и второй вид жертвы обречены на вымирание и в системе остаётся только первый вид жертвы. Аналогичное поведение возможно и в ответ на резкое увеличение численности хищника выше некоторого порога при однократной интродукции его в систему.

6. В плоскости (а, Д) вблизи границы области существования трёхвидового сообщества могут происходить бесконечные серии бифуркаций предельных циклов и реализовываться режимы хаотических колебаний. Эти бифуркации и хаотические режимы объясняются существованием, при определённых значениях параметров а и Д сепаратрисного контура, включающего в себя три особые точки, одна из которых является седлофокусом.

7. Установлено, что возникновение хаотических колебаний является критерием приближения в плоскости (а, Д) к опасной границе, за которой сосуществование не только трёх, но и двух видов становится невозможным ни в каком режиме. При переходе через эту границу популяция хищника и популяция одного из видов жертв обречены на вымирание.

Глава 4. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих нестабильные гибридные плазмиды

В этой главе построена и исследована математическая модель непрерывной культуры микроорганизмов, полезная биосинтетическая активность которой (то есть синтез полезного продукта, сокращённо ПБА) поддерживается за счёт генно-инженерного штамма с рекомбинантными плазмидами. В модели учитывается два механизма снижения и потери ПБА культуры: репликационная и структурная нестабильность рекомбинантных плазмид.

Рассматривается хемостатная культура микроорганизмов, проявляющая некоторую ПБА, причём уровень ПБА определяется концентрацией клеток с активными, то есть направляющими сверхсинтез полезного продукта, плазмидами. Вследствие структурной и репликационной нестабильности в культуральной жидкости присутствуют также неактивные, то есть утратившие способность к суперпродукции,

клетки двух типов: бесплазмидные клетки и клетки с мутантными (структурно изменёнными) плазмидами. Концентрации бесплазмидных, неактивных плазмидных и активных плазмидных клеток обозначим соответственно через N0, N\ и N2.

Предполагается, что превращение активных плазмидных клеток в неактивные клетки с изменёнными плазмидами аналогично реакции первого порядка

N2 -N1

с константой скорости к. Предполагается также, что процессы деления клеток и потери плазмид можно охарактеризовать следующими реакциями

N, (1"Г'Ь ) Nt + Nt

N, -Ni + No

где г = 1, 2, zi - вероятность появления бесплазмидной клетки в одном акте деления клетки, несущей плазмиду. Здесь и далее через щ обозначается удельная скорость роста популяции клеток г-ro типа (г = 0, 1,2).

Пусть S - концентрация лимитирующего субстрата в ферментёре. Тогда при сделанных выше предположениях изменение концентраций S, No, Ni и Nz во времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

'S = D(Sa - S) - Iqm0N0 - -l2fi2N2

/о = (Po ~ D)N0 + r^TV, + r2 fa N2 ' N, = " D)Nt - r.^iV, + kN2 N2 = (//2 - D)N2 - T2fi2N2 - kN2, где Sg - концентрация лимитирующего субстрата в свежей питательной среде, поступающей в ферментёр извне; D - скорость протока; /, -стехиометрический коэффициент популяции клеток г-го типа (i = 0, 1, 2); точкой сверху обозначено дифференцирование по времени t.

Относительно удельных скоростей роста принимается обычное для теории непрерывного культивирования предположение (Monod J., 1942, 1950):

ft, = m,(S) = , i = 0, 1, 2, (4.2)

К, + о

где К, - константа полунасыщения, ju,m - максимальная удельная скорость роста для популяции клеток г-го типа.

С учётом (4.2) математическая модель (4.1) представляет собой замкнутую систему четырёх дифференциальных уравнений, зависящую от четырнадцати параметров. В четвёртой главе диссертации проводится численно-аналитическое исследование математической модели (4.1) - (4.2) в наиболее важном частном случае, когда популяция бесплазмидных

клеток по основным параметрам роста цт, К и / слабо отличается от популяции клеток с мутантными плазмидами. Точнее, предполагается, что Мош = Ко = Ки /„ = /,. (4.3)

В силу (4.3) утратившие способность к ПБА бесплазмидные клетки и клетки с мутантными плазмидами можно рассматривать как единую (неактивную) популяцию, которая характеризуется параметрами роста ц\т К\ и /(. Популяция клеток с интанктными плазмидами (активная популяция) характеризуется, вообще говоря, другими значениями этих параметров:^, К2, /2.

Введём суммарную плотность микробной популяции N = Ы0 + + И2 и положим V = . Тогда безразмерная переменная и характеризует уровень обеспечиваемой плазмидами ПБА культуры. Введём также безразмерные переменные а, х и безразмерное время г':

<т = —, х = -^Ы, К, К,

При условиях (4.3) из (4.1) - (4.2) следует, что переменные а, х, и удовлетворяют замкнутой системе дифференциальных уравнений:

= - и)

(1 -

1 ' 1 + а

+ уи

аа Р + а

х =

и =

(1 - „)

1 + а

+ и-

где г

а =

а,

> Р

аа

{Р + <т Р, У.

1 + а

аа Р + а

(1-й)

- V

(4.4)

8-х-

аа

Иъ

Я,

Приведём системы (4.4),

К,

5, У

Р +

а0, V - безразмерные параметры:

у,

_ '2

5 =

V =

а „ =

I ' ' ' У гг

'1 А^«. Ми А1

основные результаты аналитического исследования Установлено, что максимальное число состояний равновесия системы (4.4) равно четырём. При этом внутри первого октанта фазового пространства (х, а, и) существует не более одного состояния равновесия, обозначим его через В. Остальные состояния равновесия лежат на границе первого октанта. При изменении параметров могут происходить бифуркации слияния состояний равновесия, причём возможно только четыре типа бифуркаций слияния коразмерности один.

Плоскость управляемых параметров (оь, V) разбивается на области линиями бифуркаций слияния состояний равновесия. Эти области различаются по соответствующим им типам фазового портрета системы

(4.4). Установлено, что при изменении параметров а, Д б , т могут реализовываться только три невырожденных случая этого разбиения (см. рис. 4.1; подчеркнём, что это разбиение не зависит от параметра у).

■9

¿о

Рис. 4.1. Три возможных типа разбиения плоскости (его , у) на области линиями бифуркаций слияния положений равновесия системы (4.4). Отвечающие этим областям фазовые портреты системы (4.4) соответствующим образом пронумерованы на рис. 4.2. Заштрихована область значений управляемых параметров оь и V, при которых в системе (4.4) существует положение равновесия В, то есть область устойчивости исходного плззмндкого тнтам"»

Соответсвующие фазовые портреты системы (4.4) представлены на рис. 4.2.

На рис. 4.1 штриховкой выделена область значений управляемых параметров ег0 и у, при которых штамм с интактной плазмидой (активная популяция) не вымывается из ферментёра. Эта область называется областью устойчивости данного штамма. Она совпадает с областью значений параметров оь, у> при которых внутри первого октанта пространства состояний (х, а, и) сущесвует равновесие В.

Установлено, что при изменении параметров оь и у в области устойчивости исходного плазмидного штамма (показана штриховкой на рис. 4.1) может происходить бифуркация смены устойчивости равновесия В (бифуркация Андронова- Хопфа). Соответствующая бифуркационная линия в плоскости управляемых параметров (оь , V) называется линией

нейтральности. На линии нейтральности характеристическое уравнение в точке В имеет один отрицательный и пару чисто мнимых корней. При пересечении линии нейтральности, с вхождением внутрь ограниченной ею области, равновесие В теряет устойчивость и из него рождается устойчивый предельный цикл.

Рис. 4.2. Фазовые портреты системы (4.4) для семи областей параметрического портрета, соответствующим образом пронумерованных на рис. 4.1. На некоторых траекториях, примыкающих к точке В, направление движения не указано, так как характер устойчивости положения равновесия В не определяется однозначно по разбиению плоскости (сто, V), представленному на рис. 4.1.

На основании аналитического исследования системы (4.4) разработана программа, посредством которой для любых заданных значений параметров а, /?, у, 6, г на экран ЭВМ выводятся все линии, отвечающие бифуркациям состояний равновесия системы (4.4). Используя эту программу, можно проследить эволюцию параметрического портрета системы (4.4) в плоскости управляемых параметров (оь , V) при любых изменениях параметров роста а, ¡3, у и параметров нестабильности 8, т.

На рис. 4.3 представлены построенные численно параметрические портреты системы (4.4) при различных значениях параметра т. Некоторые из областей пронумерованы в соответствии с нумерацией, принятой на рис. 4.1. При выбранных значениях структурных параметров область(3) является настолько узкой, что оказывается практически неразличимой. На

рис.4.3 область устойчивости исходного, активного (т.е. обеспечивающего ПБА культуры) плазмидного штамма состоит из двух частей, отделённых

■ «та «о юоо ш

Г-« •»«»• Г. о.,

Рис. 4.3. Эволюция параметрического портрета системы (4.4) при изменении параметра т; а = 7, /3 = 16, у — 0,25, 5 - 4,5. Штриховкой отмечена область устойчивости положения равновесия В, двойной штриховкой - ограниченная линией нейтральности область автоколебаний (т.е. область значений параметров оо и v, при которых в системе (4.4) существует устойчивый предельный цикл).

друг от друга линией нейтральности. Штриховкой отмечена та часть области устойчивости, в которой положение равновесия В устойчиво, то есть штамм с интактной плазмидой поддерживается на протоке в устойчивом стационарном состоянии. Во второй части области устойчивости, отмеченной двойной штриховкой, равновесие В неустойчиво, то есть исходный плазмидный штамм хотя и поддерживается на протоке, но стационарный режим невозможен и в системе устанавливаются незатухающие колебания (при сг0 = const, v = const). При этом ПБА культуры периодически то падает, то вновь нарастает. Иллюстрирующий пример таких незатухающих колебаний представлен на рис. 4.4.

В заключительной части главы 4 обсуждаются некоторые работы, в которых немонотонная колебательная динамика микробных популяций наблюдалась в экспериментах при хемостатном культивировании плазмидосодержащих штаммов.

ОСЬ Т ось О

Рис. 4.4. Результаты численного интегрирования системы (4 4) при а = 60,4, /?= 27, г = 0,01, <?= 5, г= о, а о = 21,2, 2,5. Начальные условия: сг(0) = 4, *(0) = 80, и(0) = 0,3; Г-безразмерное время: 1=

Математическая модель (4.1) - (4.2) использовалась в работе Koizumi J.- I. & Aiba S. (1989) для объяснения колебаний плотности популяции клеток В. stearothermophiius CU21 с рекомбинантной плазмидой pZAM26, которые наблюдались в течение 80-ти часов хемостатного культивирования. В ходе эксперимента регистрировались суммарная плотность популяции бактерий N = No + N\ + N2 и доля плазмидных клеток в этой популяции р- (N\ + N2) / N. Наблюдались колебания переменной N с периодом 19 часов, при этом переменная р практически не изменялась. В эксперименте обнаружены следующие характерные особенности этих колебаний: а) фаза убывания переменной N, была приблизительно в два раза продолжительнее фазы её возрастания, б) переменная р практически не изменялась и принимала значения, близкие к единице. Эти две особенности популяционных колебаний хемостатной культуры рекомбинантного штамма и его дериватов наблюдались и в серии вычислительных экспериментов на математической модели (4.1) - (4.2) , см. [4].

Основные результаты и выводы

1. Установлено, что существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов при

кратковременных воздействиях на экосистему, вызывающих резкие изменения численностей составляющих её видов. Эти эффекты прослежены с помощью трёхмерных фазовых портретов модельной экосистемы «продуцент - консумент - хищник» и объясняются множественностью аттракторов в пространстве состояний и особым расположением сепаратрисных поверхностей, разделяющих области притяжения этих аттракторов.

2. На математической модели продемонстрирована роль хищника в поддержании жизнеспособности экосистемы «продуцент - консумент -хищник». Установлено существование нижнего порога численности хищника. Промысловое изъятие хищника, понижающее его численность ниже этого порога, приводит к катастрофическим последствиям для экосистемы в целом. После такого воздействия обречены на вымирание все составляющие экосистемы - и продуцент, и консумент, и хищник.

3. Проанализированы возможные типы сосуществования трёх видов в вольтерровской модели, описывающей динамику популяций двух конкурирующих видов жертвы и популяции хищника. В зависимости от значений параметров модели эти три вида могут сосуществовать в стационарном режиме, в режиме периодических колебаний или в режиме хаотических колебаний. Механизм возникновения хаотических колебаний при изменении значений параметров связан с бифуркациями, происходящими в окрестности сепаратрисного контура, включающего в себя три особые точки, одна из которых является седлофокусом.

Установлено, что возникновение хаотического поведения при увеличении промысловой нагрузки на экосистему может быть одним из критериев приближения к опасной параметрической границе, за которой сосуществование не только трёх, но и двух видов становится невозможным ни в каком режиме.

4. Исследована математическая модель непрерывного культивирования плазмидного штамма микроорганизмов с учётом двух основных факторов нестабильности штамма - потерь плазмид при делении клеток и структурных перестроек плазмид. Модель позволяет рассчитывать область устойчивости популяции плазмидосодержащих клеток, т.е. область значений управляемых параметров процесса культивирования, при которых эта популяция устойчиво поддерживается на протоке, обеспечивая полезную биосинтетическую активность непрерывной культуры микроорганизмов.

5. Показано, что по скорости протока область устойчивости ограничена не только сверху, но и снизу некоторым не равным нулю значением скорости протока. При значениях скорости протока ниже этой пороговой величины популяция клеток исходного плазмидного штамма с течением времени вымывается из ферментёра. Существование нижней критической скорости протока подтверждается экспериментальными

исследованиями хемостатного культивирования некоторых штаммов Е. coli Kl 2, содержащих рекомбинантные плазмиды.

6. На основании исследования математической модели установлено, что при постоянных условиях непрерывного культивирования популяция плазмидных клеток может поддерживаться на протоке не только в стационарном режиме, но и в режиме периодических колебаний её численности. Этот результат использовался Koizumi & Aiba (1988) для объяснения колебательной динамики численности популяции клеток в непрерывной культуре генно-инженерного штамма Bacillus stearothermophilus, несущих рекомбинантную плазмиду pZAM26.

7. Математические модели популяционной динамики, рассмотренные в диссертации, представляют собой нелинейные системы трёх обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование каждой из этих моделей доведено до построения параметрического портрета с указанием соответствующего набора трёхмерных фазовых портретов, качественно объясняющих наблюдаемые в эксперименте особенности динамического поведения взаимодействующих популяций. Детальное исследование этих моделей позволяет рассматривать их как базовые в иерархии моделей популяционной динамики. Эти базовые модели можно использовать при построении более сложных моделей, количественно описывающих данные экспериментов.

В заключение считаю своим долгом отметить, что автору посчастливилось быть среди учеников Александра Дмитриевича Базыкина (1940 - 1994) и мне хотелось бы выразить здесь постоянное чувство благодарности за всё, чему он меня научил. Автор глубоко признателен А.М. Молчанову и Э.Э. Шнолю за интерес к работе, В.Д. Лахно и М.Н. Устинину за поддержку работы на её завершающей стадии, Ю.М. Апонину за многолетнее и плодотворное сотрудничество, а также коллегам из лаборатории математического моделирования Института математических проблем биологии Ф.С. Березовской, Ю.А. Кузнецову и А.И. Хибнику.

—

Список публикаций по теме диссертации

1. Bazykin A.D., Khibnik A.I., Aponina Е.А. A model of evolutionary appearance of dissipative structure in ecosystems // J. Math. Biology, 1983, v.18, № l,p. 13-23.

2. Kuznetsov Yu.A., Antonovsky M.Ya., Biktashev V.N., Aponina E.A. A cross-diffusion model of forest boundary dynamics // J. Math. Biology, 1994, v. 32, p. 219-232.

3. Апонин Ю.М., Антоненко Ю.Н., Апонина E.A., Ковбаснюк О.Н., Ягужинский Л.С. Неэлектрогенный К+/Н+ - обмен, включающий

стадию обмена протонами между переносчиком и кислотно-основными группировками фосфолипидов на поверхности мембраны. Сравнение теории и эксперимента // Биологические мембраны, 1996, т. 13, № 3, с. 258-270.

4. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование эволюции бактериальной популяции в непрерывной культуре с учётом немутационной изменчивости генома // Биофизика, 2008 (в печати).

5. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования // Математическая биология и биоинформатика, 2007, т. 2, №2, с. 347 -360. http://www.matbio.org/downloads/Aponin2007("2_347).pdf

6. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Кузнецов Ю.А. Математическое моделирование пространственно-временной динамики возрастной структуры популяции растений // Математическая биология и биоинформатика, т. 1, № 1, 2006, с. 1 - 16. http://www. matbio.org/downloads/Aponin 2006(l_l).pdf

7. Базыкин А.Д., Апонина Е.А. Модель экосистемы трёх трофических уровней с учётом существования нижней критической плотности популяции продуцента // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. JL: Гидрометеоиздат, 1981, т. 4, с. 186 — 203.

8. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Базыкин А.Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник-две жертвы // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. JI.: Гидрометеоиздат, 1982, т.5, с. 163 - 180.

9. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Бифуркации в обобщённой модели Вольтерра экосистемы двух трофических уровней // Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн. трудов. Том 2. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007, с. 131-138.

Ю.Апонин Ю.М., Апонина Е.А. и некоторых условиях устойчивого поддержания нестабильных плазмид в микробных популяциях при длительном непрерывном культивировании // Исследования по математической биологии. Пущино, 1996, с. 32 - 48.

11.Базыкин А.Д., Хибник А.И., Апонина Е.А. Нейфельд A.A. Модель эволюционного возникновения диссипативной структуры в экологической системе // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино, 1980, с. 33 - 47.

12.Антоновский М.Я., Апонина Е.А., Кузнецов Ю.А. Пространственно-временная структура границы разновозрастного леса: простейшая математическая модель // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л.: Гидрометеоиздат, 1991, т. 13, с. 189-199.

13.Кузнецов Ю.А., Бикташев В.Н., Антоновский М.Я., Апонина Е.А. Кросс-диффузионная модель динамики границы леса // Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Санкт-

Петербург: Гидрометеоиздат, 1996, т. 16, с. 213-227.

14.Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Бельков В.В. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих нестабильные гибридные плазмиды. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1984,21 с.

15. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Вельков В.В. Кинетические коэффициенты плазмид и методология конструирования рекомбинантных ДНК. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1984, 11 с.

16. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Ванякин E.H. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования с учётом гетерогенности микробных популяций. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1989, 31 с.

17.Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Кузнецов Ю.А. Математическое моделирование пространственно-временной динамики возрастной структуры популяции растений. Препринт. ОНТИ ПНЦ РАН. Пущино, 2003, 23 с.

18.Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Крейцер Г.П., Шноль Э.Э. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Предельные циклы системы двух дифференциальных уравнений. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Пущино, 1974,45 с.

19.Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сепаратрисы системы двух дифференциальных уравнений. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ. Пущино, 1976, 36 с.

20.Antonovsky M.Ya., Aponina Е.А., Kuznetsov Yu.A. Spatial-temporal structure of mixed-age forest boundary: the simplest mathematical model. WP-89-54. Laxenburg, Austria: IIASA, 1989.

21.Antonovsky M. Ya., Aponina E.A., Kuznetsov Yu.A. On the stabiliti analysys of the standing forest boundary. WP-91-010. Laxenburg, Austria: IIAS A, 1991.

22.Апонин Ю.М., Апонина E.A., Крейцер Г.П., Шноль Э.Э. Об использовании ЭВМ МИР-2 для качественного исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Теория и практика программирования на ЭВМ серии МИР. Душанбе, 1974, с.17 - 18.

23 .Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Вычисление асимптотики для периода предельного цикла при вырождении в петлю сепаратрисы. Всесоюзная конференция по асимптотическим методам в теории сингулярно-возмущённых уравнений, ч. 2. Алма-Ата, 1979, с. 139- 140.

24.Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Базыкин А.Д. Сложное поведение в вольтерровской модели сообщества "две жертвы - один хищник". Тезисы докладов стендовых сообщений I Всесоюзного биофизического съезда, т. 3. Москва, 1982, с. 19.

25.Апонина Е.А., Апонин Ю.М. Предельные циклы в вольтерровской модели чисто конкурентного сообщества трёх видов. Тезисы докладов стендовых сообщений I Всесоюзного биофизического съезда, т. 3. Москва, 1982, с. 19.

26.Апонина Е.А. Анализ математической модели непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих нестабильные гибридные плазмиды. Математика. Компьютер. Образование. Вып. 6. Тезисы докладов 6-ой международной конференции. Москва , 1999, с. 264.

27.Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование пространственно-временной динамики популяции растений. Математика. Компьютер. Образование. Тезисы докладов 11-ой международной конференции. Москва - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2004, с. 248.

28.Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Ограниченность полутраекторий и точка максимального вырождения обобщённой вольтерровской модели экосистемы двух трофических уровней. В кн.: Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Выпуск 14. Москва-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007, с. 28.

29.Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование эволюции бактериальной популяции с учётом немутационной изменчивости генома. В кн.: Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Выпуск 15. Москва-Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008, с. 153.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 28.07.2008 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ 414. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

Содержание диссертации, кандидата физико-математических наук, Апонина, Елена Александровна

Введение.

Глава 1. Иерархия моделей математической биологии и численноаналитические методы их исследования

Глава 3. Исследование математической модели трёхвидового сообщества «хищник две жертвы»

Введение Диссертация по биологии, на тему "Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики"

Построение и исследование математических моделей является одним из наиболее распространённых методов научного познания. Сегодня математическое моделирование становится действенным инструментом исследования почти в каждой области биологической науки. С помощью этого метода получены интересные и важные результаты в биофизике, биохимии, микробиологии, в популяционной генетике, в экологии, нашедшие отражение в многочисленных статьях и монографиях (отметим некоторые отечественные монографии: Романовский Ю.М., Степанова Н.М., Чернавский Д.С., 1971, 1975, 1984; Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я., 1972; Фомин С.В., Беркинблит М.Б., 1973; Гимельфарб А.А., Гинзбург JI.P., Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Ратнер В.А., 1974; Жаботинский A.M., 1974; Алексеев В.В., 1976; Рубин А.Б., 1976, 1984, 2004; Фрисман Е.Я., Шапиро А.П., 1977; Абросов Н.С., Ковров Б.Г., 1977; Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е, 1978; Свирежев Ю.М., Логофет Д.О., 1978; Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П., 1979; Свирежев Ю.М., Пасеков В.П., 1982; Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов О.А., 1982; Пых Ю.А., 1983; Рубин А.Б., Шинкарёв В.П., 1984; Базыкин А.Д., 1985, 2003; Петросян Л.А., Захаров В.В., 1986; Свирежев Ю.М., 1987; Заславский Б.Г., Полуэктов Р.А., 1988; Абросов Н.С., Боголюбов А.Г., 1988; Гольдштейн Б.Г., 1989; Молчанов A.M., 1992; Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Е.Г., 1992; Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б., 1993, 2004; Ризниченко Г.Ю., 2002, 2003).

В последние годы в связи с возрастающей мощностью современных

ЭВМ и суперкомпьютеров открываются новые возможности для построения имитационных моделей биологических систем. Однако довольно часто возникает ситуация, когда результаты численных экспериментов, проведённых на таких моделях, с трудом поддаются 3 объяснению и зачастую совсем непонятны.

Опыт моделирования сложных биосистем показывает, что новое знание о моделируемом объекте, углублённое понимание его свойств возникает при построении и исследовании иерархии "вложенных" друг в друга моделей увеличивающейся сложности (Полетаев И.А., 1971, см. стр. 16; Гильманов Т.Г., 1978; Галицкий В.В., Тюрюканов А.Н., 1981; Базыкин А.Д., 1990). В связи с этим, наряду с разработкой имитационных моделей, становится актуальным выделение и исследование базовых моделей, т.е. аналитических моделей, относящихся к нижним этажам создаваемой сегодня иерархии математических моделей биологических систем.

Следует также отметить, что исследование базовых моделей представляет интерес не только с теоретической точки зрения. Аналитические модели с небольшим числом переменных и параметров успешно применяются при решении прикладных задач, например, при математическом описании и оптимизации процессов лабораторного и промышленного культивирования микроорганизмов (Monod J., 1950; Novick A., Szilard L., 1950; Степанова H.B., Романовский Ю.М., Иерусалимский Н.Д., 1965; Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С., 1971, 1975, 1984; Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Е., 1972; Печуркин Н.С., Терсков И.А., 1973, 1975; Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю., 1977; Печуркин Н.С., 1978; Перт С.Д., 1978; Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А., 1980; Станишкис Ю., 1984; Гуревич Ю.Л., 1984; Бирюков В.В., Кантере В.М., 1985; Варфоломеев С.Д., Калюжный С.В., 1990; Печуркин Н.С., Брильков А.В., Марченкова Т.В., 1990; Вавилин В.А., Васильев В.Б., Рытов С.В., 1993; Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б., 1993,2004; Ризниченко Г.Ю., 2002; Минкевич И.Г., 2005).

Цель работы. Построить и исследовать математические модели динамики численности популяций, взаимодействующих по принципу 4 продуцент — консумент — хищник» и «две конкурирующие жертвы - один хищник», а также математическую модель динамики численности плазмид в бактериальных популяциях. Исследование моделей довести до построения параметрических и фазовых портретов. Дать содержательную биологическую интерпретацию параметрическим и фазовым портретам.

Основными задачами работы являются: а) анализ роли нижнего порога численности продуцента в формировании типов динамического поведения трёхзвенных трофических цепей «продуцент - консумент - хищник»; б) исследование вольтерровской модели системы трёх популяций, взаимодействующих по принципу «хищник — две конкурирующие жертвы»; в) математическое моделирование популяционной динамики гибридных плазмид, исследование области устойчивости генно-инженерных плазмидных штаммов при длительном непрерывном культивировании.

Научная новизна.

1. Построена и впервые исследована базовая математическая модель экосистемы «продуцент - консумент — хищник» при наличии у продуцента нижней критической плотности популяции. Показано, что 5 существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов при кратковременных воздействиях на экосистему, вызывающих резкие изменения численностей составляющих её видов. На математической модели продемонстрирована роль хищника в поддержании жизнеспособности экосистемы. Установлена возможность устойчивого сосуществования продуцента, консумента и хищника при невозможности сосуществования продуцента и консумента в отсутствие хищника.

4. Построена и впервые исследована математическая модель непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих гибридные плазмиды, с учётом структурной и репликационной (сегрегационной) нестабильности плазмид. Модель позволяет рассчитывать область значений управляемых параметров процесса культивирования, при которых популяция плазмидосодержащих клеток устойчиво поддерживается на протоке. Впервые проанализирована зависимость этой области от значений кинетических параметров плазмидного штамма и его дериватов, возникающих вследствие структурной и репликационной нестабильности плазмид. Впервые выделена область стационарных 6 значений управляемых параметров, при которых исходный плазмидный штамм поддерживается на протоке в режиме незатухающих колебаний его численности.

Эти основные результаты и выносятся на защиту.

Практическая значимость.

2. Математическая модель популяционной динамики плазмид использовалась для объяснения колебательной динамики численности популяции клеток в непрерывной культуре геноинженерного штамма Bacillus stearothermophilus, несущих рекомбинантную плазмиду pZAM26 (Koizumi J.-I., Aiba S., 1988). В последние годы эта модель применяется при построении и исследовании более сложных моделей с учётом копийности и конъюгационного переноса плазмид (Апонин Ю.М., Апонина Е.А., 2008).

По результатам диссертации опубликовано 29 работ.

Структура и объём диссертации. Основная часть диссертации состоит из четырёх глав. В первой главе обсуждается представление об иерархии математических моделей и используемое в современной литературе понятие базовой модели. Даётся краткий обзор аналитических и численных методов исследования базовых моделей, представленных в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй главе анализируется роль нижнего порога численности популяции продуцента в формировании типов динамического поведения трёхзвенных систем «продуцент - консумент — хищник». В третьей главе проводится численно-аналитическое исследование вольтерровской модели системы трёх взаимодействующих популяций, устроенной по принципу хищник -две конкурирующие жертвы. Описывается механизм возникновения сложного динамического поведения (динамического хаоса) в трёхкомпонентных вольтерровских моделях. Четвёртая глава посвящена математическому моделированию процессов лабораторного или промышленного культивирования микроорганизмов, полезная биосинтетическая активность которых обеспечивается генно-инженерными гибридными плазмидами.

Общий объём работы 132 страницы. Работа содержит 22 рисунка. Список литературы состоит из 199 наименований.

Заключение Диссертация по теме "Биофизика", Апонина, Елена Александровна

Основные результаты и выводы

1. Установлено, что существование нижней критической плотности популяции продуцента порождает разнообразие пороговых эффектов при кратковременных воздействиях на экосистему, вызывающих резкие изменения численностей составляющих её видов. Эти эффекты прослежены с помощью трёхмерных фазовых портретов модельной экосистемы «продуцент - консумент — хищник» и объясняются множественностью аттракторов в пространстве состояний и особым расположением сепаратрисных поверхностей, разделяющих области притяжения этих аттракторов.

2. На математической модели продемонстрирована роль хищника в поддержании жизнеспособности экосистемы «продуцент - консумент — хищник». Установлено существование нижнего порога численности хищника. Промысловое изъятие хищника, понижающее его численность ниже этого порога, приводит к катастрофическим последствиям для экосистемы в целом. После такого воздействия обречены на вымирание все составляющие экосистемы - и продуцент, и консумент, и хищник.

Установлено, что возникновение хаотического поведения при увеличении промысловой нагрузки на экосистему может быть одним из

109 критериев приближения к опасной параметрической границе, за которой сосуществование не только трёх, но и двух видов становится невозможным ни в каком режиме.

7. Математические модели популяционной динамики, рассмотренные

ПО в диссертации, представляют собой нелинейные системы трёх обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование каждой из этих моделей доведено до построения параметрического портрета с указанием соответствующего набора трёхмерных фазовых портретов, качественно объясняющих наблюдаемые в эксперименте особенности динамического поведения взаимодействующих популяций. Детальное исследование этих моделей позволяет рассматривать их как базовые в иерархии моделей популяционной динамики. Эти базовые модели можно использовать при построении более сложных моделей, количественно описывающих данные экспериментов.

В заключение считаю своим долгом отметить, что автору посчастливилось быть среди учеников Александра Дмитриевича Базыкина (1940 - 1994) и мне хотелось бы выразить здесь постоянное чувство благодарности за всё, чему он меня научил. Автор глубоко признателен A.M. Молчанову и Э.Э. Шнолю за интерес к работе, В.Д. Лахно и М.Н. Устинину за поддержку работы на её завершающей стадии, Ю.М. Апонину за многолетнее и плодотворное сотрудничество, а также коллегам из лаборатории математического моделирования Института математических проблем биологии Ф.С. Березовской, Ю.А. Кузнецову и А.И. Хибнику.

Библиография Диссертация по биологии, кандидата физико-математических наук, Апонина, Елена Александровна, Пущино

1. Абросов Н.С., Ковров Б.Г. Анализ видовой структуры трофического уровня одноклеточных. Новосибирск.: Наука. Сиб. отд.-ние, 1977, 191 с.

2. Абросов Н.С., Ковров Б.Г., Черепанов О.А. Экологические механизмы сосуществования и видовой регуляции. Новосибирск: Наука, 1982, 302 с.

3. Абросов Н.С., Боголюбов А.Г. Экологические и генетические закономерности сосуществования и коэволюции видов. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1988, 333 с.

4. Алексеев В.В. Человек и биосфера, выпуск 1. М.: изд-во Моск. ун-та, 1976, 197 с.

5. Алексеев В.В., Крышев И.И., Сазыкина Е.Г. Физическое и математическое моделирование экосистем. С.-П., 1992, 368 с.

6. Альбеверио С., Фенстад Й., Хеэг Крон Р., Линдстрём Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир, 1990, 616 с.

7. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966, 568 с.

8. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967, 488 с.

9. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Едиториал УРСС, 2004, 304 с.

10. П.Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Крейцер Г.П., Шноль Э.Э. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Предельные циклы системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1974, 46 с.

11. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сепаратрисы системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1976, 36 с.

12. Апонин Ю.М К исследованию математических моделей простейших искусственных экосистем на протоке // Тезисы докладов I конференции: Математическая теория биологических процессов. Калининград, 1976, с. 76 78.

13. Апонин Ю.М. Асимптотические формулы для предельного цикла при рождении из петли сепаратрисы. ВИНИТИ. Деп. № 3028 — 76. Пущино, 1976, 46 с.

14. Апонин Ю.М. Об аналитической характеристике изменения сепаратрисы и предельного цикла в зависимости от параметра. ВИНИТИ. Деп. № 894 78. Пущино, 1978, 25 с.

15. Апонин Ю.М. О некоторых асимптотических оценках и вычислительных алгоритмах для исследования предельных циклов и сепаратрис систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Автореферат канд. диссертации. Горький, 1979, 16 с.

16. Апонин Ю.М. Конфигурации особых точек вольтерровской системы трёх дифференциальных уравнений. ВИНИТИ. Деп. № 3917-82. Пущино, 1982, 42 с.

17. Апонин Ю.М. Популяционная динамика бактериальных плазмид в условиях хемостатного культивирования. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1982, 17 с.

18. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Базыкин А.Д. Анализ сложного динамического поведения в модели хищник — две жертвы // В кн.114

19. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем, т. 5. Ленинград, Гидрометеоиздат, 1982, с. 163 180.

20. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Бельков В.В. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования микроорганизмов, содержащих нестабильные гибридные плазмиды. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1984, 21 с.

21. Апонина Е.А., Апонин Ю.М., Вельков В.В. Кинетические коэффициенты плазмид и методология конструирования рекомбинантных ДНК. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1984, 11 с.

22. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Ванякин Е.Н. Математическое моделирование процессов непрерывного культивирования с учётом гетерогенности микробных популяций. Препринт. ОНТИ НЦБИ АН СССР, Пущино, 1989, 31 с.

23. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. О некоторых условиях устойчивого поддержания нестабильных плазмид в микробных популяциях при длительном непрерывном культивировании // Исследования по математической биологии. Пущино, 1996, с. 32 — 48.

24. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Нестандартный анализ как язык математического отображения и моделирования реальности // VII Международная конф. серии «Нелинейный мир». Языки науки языки искусства. Ижевск: НИЦ Регул, и хаот. динамика, 2002, с. 10.

25. Апонин Ю.М., Апонина Е.А., Кузнецов Ю.А. Математическое115моделирование пространственно-временной динамики возрастной структуры популяции растений. Препринт. ОНТИ ПНЦ РАН. Пущино, 2003, 23 с.

26. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования // Математическая биология и биоинформатика, 2007, том 2, №2, с. 347 -360, http://www.matbio.org/downloads/Aponin2007r2 347).pdf

27. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Бифуркации в обобщённой модели Вольтерра экосистемы двух трофических уровней // Математика. Компьютер. Образование. Сб. научн. трудов. Том 2. М. Ижевск, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007, с. 131 - 138.

28. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование эволюции бактериальной популяции с учётом немутационной изменчивости генома // В кн.: Математика. Компьютер. Образование. Тезисы. Выпуск116

29. Москва Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008, с. 153.

30. Апонин Ю.М., Апонина Е.А. Математическое моделирование эволюции бактериальной популяции в непрерывной культуре с учётом немутационной изменчивости генома // Биофизика (в печати).

31. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций // ИНТ, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985, с. 5-218.

32. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986, 744 с.

33. Базыкин А.Д. Модель динамики численности вида и проблема сосуществования близких видов // Журн. Общей биологии, 1969, т. 30, №3,с. 259-264.

34. Базыкин А.Д., Березовская Ф.С. Модель системы хищник жертва с нижней критической численностью жертвы // Тезисы докладов III Всесоюзной конференции по биологической и медицинской кибернетике. М. — Сухуми, 1978, т.З, с. 214 — 217.

35. Базыкин А.Д., Березовская Ф.С. Эффект Олли, нижняя критическая численность популяции и динамика системы хищник — жертва // В кн. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. JI. Гидрометеоиздат, 1979, т. 2, с. 161-175.

36. Базыкин А.Д., Хибник А.И., Апонина Е.А. Нейфельд А.А. Модель эволюционного возникновения диссипативной структуры в экологической системе // Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике. Пущино, 1980, с. 33 — 47.

37. Базыкин А. Д., Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985, 182 с.

38. Базыкин А.Д. Теоретическая и математическая экология: Проблема опасных границ и критериев приближения к ним // Математика и моделирование. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1990, с. 232 238.

39. Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. М. Иж.: ИКИ, 2003, 368 с.

40. Балабаев Н.К., Луневская Л.В. Движение по кривой в п — мерном пространстве. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 1. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1978, 52 с.

41. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости, 2-е изд., доп. М.: Наука, 1990, 488 с.

42. Беляков Л.А. О структуре бифуркационных множеств в системах с петлёй сепаратрисы седлофокуса // IX Международная конференция по нелинейным колебаниям. Киев, 1981.

43. Беляков Л.А. Бифуркации систем с гомоклинической кривой седло-фокуса с нулевой седловой величиной // Математические заметки, т. 36, №5, 1984, с. 681-689.

44. Березовская Ф.С., Крейцер Т.П. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Сложные особые точки системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1975, 56 с.

45. Бирюков В.В., Кантере В.М. Оптимизация периодических процессов микробиологического синтеза. М.: Наука, 1985, 296 с.

46. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974, 504 с.

47. Бом Д. Общая теория коллективных переменных. М.: Мир, 1964, 152 с.118

48. Борисюк P.M. Стационарные решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметра. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 6. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1981, 68 с.

49. Воронин A.M., Денисов Г.А., Лазарев П.И. Математические модели динамики численностей бактериальных плазмид. Препринт, Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1983, 43 с.

50. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976, 384 с.

51. Вавилин В.А., Васильев В.Б., Рытов С.В. Моделирование деструкции органического вещества сообществом микроорганизмов. М.: Наука, 1993, 208 с.

52. Варфоломеев С.Д., Калюжный С.В. Биотехнология: Кинетические основы микробиологических процессов: Учеб. Пособие для биол. и хим. спец. вузов. М.: Высш. шк.,1990, 296 с.

53. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

54. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. Школа, 1990, 208 с.

55. Вельков В.В. Нестабильность рекомбинантных молекул // Генетика, 1983, т. XIX, № 10, с. 1573 1581.

56. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976, 288 с.

57. Гаврилов Н.К. О некоторых бифуркациях состояний равновесия с одним нулевым и парой чисто мнимых корней // В сб. Методы качественной теории дифференциальных уравнений, Горький, 1978, с. 33-40.

58. Галицкий В.В. О моделировании продукционного процесса в растительном сообществе // Моделирование биогеоценотических119процессов. М.: Наука, 1981, с. 104 118.

59. Галицкий В.В., Тюрюканов А.Н. О методологических предпосылках моделирования в биогеоценологии // Моделирование биогеоценотических процессов. М.: Наука, 1981, с. 29 47.

60. Ганусов В.В., Брильков А.В., Печуркин Н.С. Структурный подход к моделированию популяционной динамики нестабильных рекомбинантных штаммов бактерий, содержащих многокопийные плазмиды // ДАН, 1999, т. 369, № 2, с. 267 270.

61. Ганусов В.В., Брильков А.В., Печуркин Н.С. Математическое моделирование динамики популяции нестабильных плазмидсодержащих штаммов бактерий при непрерывном культивировании в хемостате // Биофизика, 2000, т. 45, № 5, с. 908-914.

62. Ганусов В.В., Брильков А.В., Печуркин Н.С. Популяционная динамика бактериальных плазмид // Математическое моделирование, 2001, т. 13, № 1, с. 77-98.

63. Гильманов Т.Г. Математическое моделирование биогеохимических циклов в травяных экосистемах. М.: Изд-во МГУ, 1978, 168 с.

64. Гимельфарб А.А., Гинзбург Л.Р., Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Ратнер В.А. Динамическая теория биологических популяций, под ред. Р.А. Полуэктова, М.: Наука, 1974, 456 с.

65. Гольдштейн Б.Н. Кинетические графы в энзимологии. М.: Наука, 1989, 166 с.

66. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979, 432 с.

67. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М. — Иж.: ИКИ, 2002, 560 с.

68. Гуревич Ю.Л. Качественный анализ структуры гетерогенной популяции бактерий // В кн.: Анализ роста популяций биофизическими методами.120

69. Новосибирск: Наука, 1984, с. 22 — 31.

70. Гуревич Ю.Л. Устойчивость и регуляция размножения в микробных популяциях. Новосибирск: Наука, 1984, 161 с.

71. Давиденко Д.Ф. О новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР, 1953, т. 88, № 4, с. 601 602.

72. Дрё Ф. Экология. Пер. с франц. (Франция, 1974) М.: Атомиздат, 1976, 165 с.

73. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. М.: Наука, 1978, 308 с.

74. Иваницкий Г.Р. Борьба идей в биофизике. М.: Знание, 1982, 64 с.

75. Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу. Нелокальные бифуркации. М.: МЦ НМО, ЧеРо, 1999,416 с.

76. Исаев А.С., Недорезов Л.В. Хлебопрос Р.Г. Математическая модель эффекта ускользания во взаимодействии хищника и жертвы // Математическое моделирование компонентов лесных биогеоценозов. Новосибирск: Наука, 1979, с. 74 82.

77. Исаев А.С., Суховольский В.Г., Овчинникова Т.М. Феноменологические модели роста лесных насаждений // Журн. Общей биологии, 2008, т. 69, № 1, с. 3 9.

78. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971, 400 с.

79. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы121будущего. М: Едиториал УРСС, 2003, 288 с.

80. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. М. Наука, 1972, вып. 25, с. 100-106.

81. Корзухин М.Д. Возрастная динамика популяции деревьев, являющихся сильными эдификаторами // В кн. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Л. Гидрометеоиздат, 1980, т. 3, с. 162- 178.

82. Крейцер Г.П. Избранные алгоритмы и программы для ЭВМ МИР-2. Простые особые точки системы двух дифференциальных уравнений. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1976, 48 с.

83. Кряжимский Ф.В. Гомеостаз и самоподобие динамики биологических систем // ДАН, 2007, т. 413, № 5, с. 714 717.

84. Кузнецов Ю.А. Одномерные сепаратрисы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров. Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 8. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1983,48 с.

85. Леме Ж. Основы биогеографии. М.: изд-во Прогресс, 1976, 309 с.

86. Лобанов А.И., Петров И.Б., Старожилова Т.К. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Ч. II: Учебное пособие. Долгопрудный: ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ, 2002, 155 с.

87. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, 272 с.

88. Малинецкий Г.Г. Математические основы синергетики. Хаос, структуры, вычислительный эксперимент. М.: КомКнига, 2005, 312 с.

89. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Нелинейная динамика и хаос. Основные понятия. М.: КомКнига, 2006, 240 с.

90. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б., Подлазов А.В. Нелинейная динамика. Подходы, результаты, надежды. М.: КомКнига, 2006, 280 с.122

91. Меншуткин В.В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. JL: Наука, 1971.

92. Минкевич И.Г. Материально энергетический баланс и кинетика роста микроорганизмов. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2005, 352 с.

93. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975, 248 с.

94. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущённых системах. М.: Физматлит, 1995, 336 с.

95. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М.: Наука, 1979, 224 с.

96. Молчанов A.M. Нелинейности в биологии. Пущино: ОНТИ ПНЦ РАН, 1992, 222 с.

97. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972, 472 с.

98. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987, 424 с.

99. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Цикл лекций. Выпуск 1. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 1994, 84 с.

100. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М. — Иж.: НИЦ «Регул, и хаот. динамика», 2004, 456 с.

101. Одум Ю. Основы экологии / Пер. с анг. Под ред. Н.П. Наумова. М.: Мир, 1975, 742 с.

102. Перт С.Д. Основы культивирования микроорганизмов и клеток. М.: Мир, 1978, 331 с.

103. Петросян Л.А., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. Л.: Изд-во Ленингр. ун.-та, 1986, 224 с.123

104. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Автоселекционные процессы в непрерывной культуре микроорганизмов. Новосибирск.: Наука, 1973, 64 с.

105. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Анализ кинетики роста и эволюции микробных популяций (в управляемых условиях). Новосибирск, 1975, 240 с.

106. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1978, 278 с.

107. Печуркин Н.С., Брильков А.В., Марченкова Т.В. Популяционные аспекты биотехнологии. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1990, 173 с.

108. Полуэктов Р.А., Пых Ю.А., Швытов И.А. Динамические модели экологических систем. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980, 288 с.

109. Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983, 183 с.

110. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993, 302 с.

111. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002, 232 с.

112. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии. М. -Иж.: ИКИ, 2003, 184 с.

113. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Биофизическая динамика продукционных процессов. М. Ижевск, ИКИ, 2004. 464 с.

114. Романовский Ю.М., Степанова Н.В, Чернавский Д.С. Что такое математическая биофизика (Кинетические модели в биофизике). М.: Просвещение, 1971, 136 с.

115. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С.124

116. Математическое моделирование в биофизике. М.: Наука, 1975, 344 с.

117. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, Гл. ред. физ. мат. лит., 1984, 304 с.

118. Романов А.В. Эффективная конечная параметризация в фазовых пространствах параболических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем., 2006, т. 70, №5, с. 163 -178.

119. Рубин А.Б. Термодинамика биологических процессов. Учебное пособие. М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1976, 240 с.

120. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. М.: Изд.-во МГУ, 1977, 328 с.

121. РубинА.Б., Шинкарёв В.П. Транспорт электронов в биологических системах. М.: Наука, 1984, 320 с.

122. Рубин А.Б. Термодинамика биологических процессов. Учебное пособие — 2е изд. М.: Изд.-во Моск. ун-та, 1984, 290 с.

123. Рубин А.Б. Биофизика. Т. 1: Теоретическая биофизика. М.: Изд-во МГУ, Изд-во Наука, 2004, 462 с.

124. Свирежев Ю.М., Елизаров Е.Я. Проблемы космической биологии, т. XX. Математическое моделирование биологических систем. М.: Наука, 1972, 160 с.

125. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978, 352 с.

126. Свирежев Ю.М., Пасеков В.П. Основы математической генетики. М.: Наука, 1982, 512 с.

127. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987 368 с.

128. Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний // ПММ, 1963, т. 27, № 1, с. 160-166.

129. Скалецкая Е.И., Фрисман Е.Я., Шапиро А.П. Дискретные модели динамики численности популяций и оптимизация промысла. М.: Наука, 1979, 166 с.

130. Слепков В.А., Суховольский В.Г., Хлебопрос Р.Г. Популяционная динамика в моделировании роста раковых опухолей // Биофизика, 2007, т. 52, вып. 4, с. 733 740.

131. Смит Дж. М. Модели в экологии / Пер. с анг. Под ред. А.Д. Базыкина. М.: Мир, 1976. 184 с.

132. Станишкис Ю. Оптимальное управление биотехнологическими процессами. Вильнюс: Мокслас, 1984, 256 с.

133. Степанова Н.В., Романовский Ю.М., Иерусалимский Н.Д. Математическое моделирование роста микроорганизмов при непрерывном культивировании // ДАН СССР, 1965, т. 163, № 5, с. 1266 1269.

134. Стрыгин В.В., Соболев В.А. Разделение движений методом интегральных многообразий. М.: Наука, 1988, 256 с.

135. Теория систем. Математические методы и моделирование. Сборник статей. Пер. с англ. М.: Мир, 1989, 384 с.

136. Теоретическая и математическая биология. Сб. статей. Пер. с англ. М.: Мир, 1968, 448 с.

137. Тимофеев-Рессовский Н.В., Яблоков А.В., Глотов Н.В. Очерк учения о популяции. М., Наука, 1973, 278 с.

138. Уатт К. Экология и управление природными ресурсами. М.: Мир, 1971.464 с.

139. Успенский В.А. Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, 1987, 128 с.

140. Фёдоров В.Д., Гильманов Т.К. Основы экологии. Изд-во МГУ, 1980, 464 с.

141. Фомин С.В. Математика в биологии. М.: Знание, 1969, 48 с.126

142. Фомин С.В., Беркинблит М.Б. Математические проблемы в биологии. М.: Наука, 1973, 200 с.

143. Фрисман Е.Я., Худолей Ю.И. О возможности различия по плотности особей в системе миграционно связных популяций // В сб. Математическая теория биологических процессов. Тезисы докладов I конференции. Калининград, 1976, с. 188-191.

144. Фрисман Е.Я., Худолей Ю.И. Об устойчивости различия по плотности в системе двух связных популяций //В сб. Математическое моделирование биологических сообществ. ДВНЦ АН СССР, Владивосток, 1977, с. 58 64.

145. Фрисман Е.Я., Шапиро А. П. Избранные математические модели дивергентной эволюции популяций. М.: Наука, 1977, 151 с.

146. Фрисман Е.Я. Об одной модели динамики численностей // В сб. Модели биологических сообществ. Владивосток, ДВНЦ АН СССР, 1979, с. 23-27.

147. Фрисман Е.Я., Дмитриев А.А. Динамическая модель пространственного распределения особей // В сб. Математические модели популяций. Владивосток, ДВНЦ АН СССР, 1979, с. 75 83.

148. Хибник А.И. Периодические решения системы п дифференциальных уравнений. Алгоритмы и программы на ФОРТРАНЕ, вып. 5. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1979, 72 с.

149. Хибник А.И., Шноль Э.Э. Программы для качественного исследования дифференциальных уравнений. Информационный материал. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1982, 16 с.

150. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. М.: Наука, 1988, 288 с.

151. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. М.: Наука, 2001, 244 с.

152. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. Динамическая модель поведения общества. Синергетический подход к127макроэкономике // Новое в синергетике. Взгляд в третье тысячелетие. М.: Наука, 2002, с. 239 291.

153. Чернавский Д.С., Чернавская Н.М., Малков С.Ю., Малков А.С. Геополитические процессы как объект математического моделирования // История и синергетика: Математическое моделирование социальной динамики. М.: КомКнига, 2005, с. 103 116.

154. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983, 134 с.

155. Шильников Л. П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Математический сборник, 1963, т. 61(104), с. 443-446.

156. Шильников Л. П. Об одном случае существования счётного множества периодических движений // ДАН СССР, 1969, т. 160, № 3, с. 558-561.

157. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник , 1970, т. 81(123), № 1, с. 92 103.

158. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Дж. Марсден, М. Маккракен. Бифуркация рождения цикла и её приложения, М.: Мир. 1980, с. 317-336.

159. Шошитайшвили А.Н. Бифуркации топологического типа векторного поля вблизи особой точки // Тр. семинаров им. И.Г. Петровского, 1975, вып.1, с. 279-309.

160. Эренфелд Д. Природа и люди. М.: Мир, 1979.128

161. Alle W.C., Emerson A.E., Park 0.5 Park Т., Schmidt K.P. Principles of animal ecology, 1949, W.B. Saunders ed., 837 p.

162. Antonovsky M.Ya., Aponina E.A., Kuznetsov Yu.A. Spatial-temporal structure of mixed-age forest boundary: the simplest mathematical model. WP-89-54. Laxenburg, Austria: IIASA, 1989, 13 p.

163. Antonovsky M. Ya., Aponina E.A., Kuznetsov Yu.A. On the stability analysis of the standing forest boundary. WP-91-010. Laxenburg, Austria: IIASA, 1991, 10 p.

164. Arneodo A., Goulett P.,Tresser C. Occurrence of strange attractor in three dimensional Volterra equations // Physics letters, 1980, v. 79A, N 4, p. 259-263.

165. Bazykin A.D., Khibnik A.I., Aponina E.A. A model of evolutionary appearance of dissipative structure in ecosystems // J. Math. Biology, 1983, v. 18. N 1. p. 13-23.

166. Cramer N.F., May R.M. Interspecific competition predation and species diversity: a comment J. Theor. Biol., 1972, v. 34, N 2, p. 289 293.

167. Dwiwedi C.P., Imanaka Т., Aiba S. Instability of Plasmid-Harbouring Strain of E. coll in Continuous Colture // Biotechnology and Bioengineering, 1982, v. 24, N 6, p. 1465 1468.

168. Fujii K. Complexity stability relationship of two-prey-one-predator species system model: local and global stability // J. Theor. Biol., 1977, v. 69, N4,613-623.

169. Ganusov V.V., Brilkov A.V. Estimating the Instability Parameters of Plasmid Bearing Cells. I. Chemostat Culture // J. Theor. Biol, 2002, v. 219, p. 193-205.

170. Gilpin M. E. Spiral chaos in a predator — prey model // Amer. Natur., 1979, v. 113, N. 2, p. 306-308.

171. Govaerts W., Kuznetsov Yu.A. and Sijnave B. Continuation of codimension — 2 equilibrium bifurcations in CONTENT // In: Doedel E. and129

172. Tickerman L.S. (eds). Numerical methods for bifurcation problems and large -siale dynemical systems. Springer Verlag, New York, 2000, p. 163 - 184.

173. Helling R.B., Kinney T, Adams J. The Maintenance of Plasmid-Containing Organisms in Populations of E. coli // Gen. Microbiol., 1981, v. 123, N1, p. 129-141.

174. Hershberger C.L., Radue A.K., Rosteck P.R. Method for Stabilizing and Selection Host Cells Containing Recombinant DNA. Заявка Великобритании No 2084584, СЗН, C12 N15/ 00, 1982.

175. Imanaka Т., Tsunekawa H., Aiba S. Phenotypic stability of trp Operon Recombinant Plasmids in E. coli // J. Gen. Microbiol., 1980, v. 118, p. 253 -261.

176. Khibnik A.I., Kuznetsov Yu.A., Levitin V.V., Nikolaev E.V. Continuation techniques and interactive software for bifurcation analysis of ODEs and iterated maps // Physica, 1993, D62, p. 360 371.

177. Klyoshi M., Harao M., Microorganism, harbouring a Plasmid with Stabilized Characteristics and Method of Obtaining it. Заявка на европейский патент N 0019877, C12, N15/00, 1980.

178. Koizumi Jun-ichi, Aiba Shuichi. Oscillatory behavior of population density in continuous calture of genetic-ingineered Bacillus Stearothermophilus // Biotechnology and Bioengineering, 1989, v. 34, p. 750-754.

179. Kuznetsov Yu.A., Antonovsky M.Ya., Biktashev V.N., Aponina E.A. A cross-diffusion model of forest boundary dynamics // J. Math. Biology, 1994, v. 32, p. 219-232.

180. Levin B.R., Stewart F.M. The population biology of bacterial plasmids: a priori conditions for the existence of mobilizable nonconjugative factors // Genetics, 1980, v. 94, N 2, p. 425 443.

181. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flou // J. atm. Sci., 1963, v 20, p. 130-141.

182. Monod J. Recherches sur la croissance des cultures bacteriennes. Paris: Hermann, et Cie, 1942, 210 p.

183. Monod J. La technique de culture continue. Theorie et applications // Ann. Institute Pasteur, 1950, v. 79, p. 390 410.

184. Novick A., Szillard L. Discription of the chemostat // Science, 1950, v. 112, p. 715.

185. Paine R.T. Food web complexity and cpecies diversity // Amer. Natur., 1966, v. 100, N910, p. 65-75.

186. Parrish J.D., Saila S.B. Interspecific competition, predation and species diversity // J. Theor. Biol. (1970), v. 27, N 2, p. 207 220.

187. Road J.I., Sneddom M.K., Morrison J.F. Instability in tyr R Strains of Plasmids Carrying the Tyrosine Operon: Isolation and characterisation of Plasmid Derivatives with Insertions and Deletions // J. Bact., 1980, v. 144, No 2, p. 552-559.

188. Rossler O. Different types of chaos in two simple differential equations. // Z. Naturfosch, Teil B, Anorg. Chem., Biochem., Biophys., Biol., 1976, v. 31, p. 1664-1670.

189. Ruelle D. Takens F. On the nature of turbulence // Comm. Math. Phys., 1971, v. 20, p. 167-192.

190. Ruelle D. The Lorenz attractor and the problem of turbulence // Lecture Notes in Math. 1976, v. 565, p.146 155.

191. Stewart F.M., Levin B.R. The population biology of bacterial plasmids: a priori conditions for the existence of conjugationally transmitted factors // Genetics, 1977, v. 87, N 2, p. 209 228.

192. Takahashi F. Reproduction curve with two equilibrium points: a consideration on the fluctuation of insect population // Res. Pop. Ecol, 1964, v. 6, N 1, p. 28-36.

193. Vance R.R. Predation and resource partitioning in one predator — two prey model communities // Amer. Natur., 1978, v. 112, p. 797 813.131

194. Wouters J.T.M, Driehuis F.L., Polaczeck P.J., van Oppenraay M.-L.H.A., van Andel J.G. Persistence of the pBR322 Plasmid in E. coli K12 grown in chemostat Cultures // Antonie van Leeuwenhock, 1980, v. 46, p. 353 362.

Информация о работе

Апонина, Елена Александровна
кандидата физико-математических наук
Пущино, 2008
ВАК 03.00.02

Диссертация

Численно-аналитическое исследование математических моделей популяционной динамики - тема диссертации по биологии, скачайте бесплатно

Автореферат

Похожие работы