Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Быстрый метод моделирования волновых полей на основе представления Штурма-Лиувилля для волн Рэлея

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Быстрый метод моделирования волновых полей на основе представления Штурма-Лиувилля для волн Рэлея"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Международный институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики

На правах рукописи

СТЕБЛОВ Григорий Михайлович

УД1{ 550.310: 515.984.54

БЫСТРЫЙ МЕГОД МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОЛ' ВЫХ ПОЛЕЙ НА ОСНОВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ШТУР'.л-ЛИУВЖЛЯ ДЛЯ ВОЛН РЭЛ.

Специальность 04.00.22 - геофизика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математичеких наук

МОСКВА 1992

Работа выполнена в Международном ичтституте теория прогниаа иег.У50трл^иий и матиматичоской геофизики Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор физико-математических' наук,

профессор В.М.Маркушевич

Официальные оппонетны: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Дмитриев

доктор физико-математических наук, профессор Б.В.Костров

Ведущая организация: Ленинградское отделение Математического ■ института РАН

Защита диссертации состоится "26 - ИозЩ>Л 1992 г. в /4°°часов на заседании Специализированного Совета К 002.08.04 при Институте физики Земли им. О.Ю.Шмидта по адресу: 123810, Москва, Д-242, Б.Грузинская, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФЗ РАН.

Автореферат разослан 11992 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математичеких наук

А.Д.Завьялов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАООГЫ

Актуальность работы. При интерпретации сейсмических наблюдений большую роль играет сравнение их с синтетическими сейсмограммами. Процесс построения синтетических сейсмограмм на компьютере достаточно трудоемкий и требует большого объема памяти и высокого бистродействия ЭВМ. Большие временные затраты являются одним из наиболее значительных затруднений для реализации имеющихся алгоритмов и служат основным препятствием для разработки и дальнейшего исследования методов численного моделирования волновых полей на ЭВМ. В связи с этим важной задачей вычислительной сейсмологии является разработка высоко эффективных алгоритмов компьютерного синтеза сейсмограмм.

При решении обратных задач, когда необходимо убедиться в правильности восстановления среды по записям колебаний на поверхности, приходится многократно вычислять синтетические сейсмограммы для сопоставления с реальными записями так, чтобы, вычисляя невязку, строить итеративную процедуру улучшения модели. Это практически невозможно без высоко эффективного метода построения сейсмограмм.

Научная новизна работы. Разработан новый высоко эффективный алгоритм моделирования волновых полей в произвольных вертикально неоднородных средах, при этом значительно ускоряются вычисления по сравнению с существующими стандартными методами. Высокая скорость вычислений позволяет практически использовать алгоритм для интерпретации реальных поверхностных измерений, сопоставляя их с синтетическими сейсмограммами, решая тем самым обратную задачу сейсмологии.

Важным достижением является возможность интерпретации с помо-

щью нового метода полного волнового поля, возбуждаемого в сред произвольным источником. При этом принимается во внимание наибол& информативная поверхностно-волновая часть всего спектра колебали! в отличив от прежних методов анализа, в которых подавляются пове{ хностные волны и исследуются только времена прихода объемных во.ш Новый подход позволяет получить гораздо более детальную информащ об изучаемой среде.

Практическая ценность работы состоит в возможности реализс вать с помощью нового быстрого метода компьютерный синтез сейсмс грамм, а также решение соответствующей обратной задачи.

Аппробация результатов. Основные результаты диссертационнс работы докладывались на Международной конференции по обратнь задачам ИСР 264 (Монпелье, Франция, ноябрь 1990), на Международно конференции по нефтегеофизике БЕЙ (Москва, июль 1992).

Публикации. По теме диссертации опубликовано две работы, ода статья находится в печати.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе ния, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы, из ложена на 87 страницах машинописного текста, содержит II рисунков

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследуемых проблем сформулирована цель работы и кратко изложено содержание дассерта ции.

В первой главе приводится краткий обзор проблем, связанных анализом сейсмических данных и характеризуется развитие методов этой области в настоящее время. Формулируется задача о распростра

нении волн в упругом вертикально неоднородном полупространстве и выписаны соответствующие дифференциальные уравнения:

Эги

да , —Е + £ - __Е<Р да + - +

дг 1 <Э(р 3?, Г

да „ < _Г£ + 1 + г<Р

с?г г Эф дг, Г

да , -яг + 1 да д0~ + -и + О Г2

дг г д(р <?2 Г

дХ. 0?и.

= Р

сНс Эги

дГ

где и-вектор смещений, о-тензор напряжений, полупространству соот-ветсвует положительная полуось г>0, г - горизонтальное расстояние, <Р - азимутальный угол.

В решении данной системы уравнений можно выделить две независимо распространяющиеся поверхностных волны, одна из которых -скалярная ЗН-волна Лява - поляризована в горизонтальной плоскости: ¡ЫО.О.и 1 (иг=и2=0). Вторая из них - двухкомпонентная волна Рэлея - поляризована в вертикальной плоскости: й=[иг,иг,0] (и =0).

К дашюй системе уравнений в частных производных применяется стандартный метод разделения переменных, так что глубинная зависимость амплитуд колебаний (я) для волны Рэлея описывается системой уравнений:

к [^ШГ- ^а ) - + рр - ^ =

Яя + ^ ) + + Кр - *

О

= о

(I)

с краевыми условиями на поверхности:

1

йг (Я.+2|1)

р. - = ф, (О

Й2

+ АС», = ф2(П

при г=0

(2)

В силу затухания поверхностных волн на бесконечной глубине полага-

ется:

«у^О, уу2-»0 при а-«». (

Одним из методов решения полученной системы обыкновенных да ференциальных уравнений является метод Томсона-Хаскелла, котор является специальной реализацией метода матричного пропагатора основан на замене исходного упругого вертикально неоднородно полупространства набором неперекрывающихся однородных слое

ъ г=1.....п, г0=а, подстилаемых однородным полупростра

ством г>г;п. Исходная система дифференциальных уравнений второ порядка приводится к нормальной системе первого порядка

й

Ш

=

Вектор-решение Г такой системы в произвольной точке г выражает через известный вектор-решение на некоторой начальной глубине й0

Г(г) = Р(2,г0) Г(г0) с помощью переходной матрицы T(z,z0), определяемой уравнением

^ Р(2,20) = Р(2,г0), Р(20,а0) = I

В каждом из однородных слоев коэффициенты системы уравнений пост янны, и переходная матрица находится аналитически: Р(г,ар =

Перемножая последовательно матрицы, связывающие решения на граи цах слоев, найдем

Таким образом, в первой главе поставлена краевая задача распространении поверхностной рэлеевской волны в вертикаль» неоднородном полупространстве и рассмотрен стандартный подход к <

а

з

решению.

Во второй главе описывается преобразование исходной рэлеевс-кой системы уравнений к матричной задаче Штурма-Лиувилля. Такой переход позволяет, с одной стороны, качественно исследовать задачу с помощью хорошо разработанного аппарата теории рассеяния для уравнения Штурма-Лиувилля, а, с другой стороны, дает возможность построить новую схему использования метода матричного пропагатора.

В стандартном методе Томсона-Хаскелла существенно используется возможность выразить в явном виде переходную матрицу в однородном слое. Такой способ аппроксимации достаточно эффективен в средах со слабой неоднородностью. Однако в быстро меняющихся средах сохранение точности приближения требует значительного увеличения количества однородных слоев. В противном случае соответственно уменьшается детальность и точность модели. Таким образом, очевидно, в градиентных средах имеет смысл использовать для моделирования неоднородные слои. При этом важно, чтобы не усложнилось решение самих уравнений, описывающих распространение волн в таких средах, так как численные метода в этом случае могут заметно усложнить вычисления по сравнению со стандартным методом.

До настоящего времени принято было считать, что более простых, с вычислительной точки зрения, сред, чем однородные, не существует. Однако, как выяснилось, требуемыми свойствами обладают исследованные в третьей главе Б-постоянные среда, которые, с одной стороны, содержат градиентные участки, а, с другой стороны, в них достаточно просто решается матричная задача Штурма-Лиувилля, к которой сводится исходная система уравнений для волн Рэлея.

Уничтожая члены с первыми производными в рэлеевской системе

(I), удается доказать, что последовательность подстановок:

«1 й 1 ш, 1

. *2. 0

0 &

1

0

<р

приводит эту систему уравнений с краевыми условиями (2),(3) к следующей задаче Штурма-Лиувилля:

Р - ^ = АР, ? = (Г,ф)т,

Ё - ТР = 0, 2-0

Р 0, г,->со

Матрица С в (4) удовлетворяет уравнению: О с

(51

с1 О

С, С(О) = Е =

Ч

1 О

О 1

£

"О ~ йй£

Молено также убедиться, что существует альтернативная последо вательность подстановок

0

, V 1 а

И"1 п

1 1 X

° £

которая приводит (1)-(3) к сопряженной задаче:

Й - С2Н = АТН, Н = (И,%)т, Н - ТтН = 0, г=0 Н - О, г-оо

Из сравнение двух подстановок вытекает специальная структура матр чного потенциала А:

А = СБ - йе1 Б Е (6

О 1

где С =

Г '!•

-1 О J

Б - произвольная симметричная матрица, которая

результате преобразования (4) коэффициентов Уравнений (I) выражается через упругие параметры А,р,,р следующим образом

Б = С^,

(7)

где

Б =

й • У: М-

+

С

2 Р

^О ,72 г

О

Найденная структура матричного потенциала (6) позволяет сформулировать соотношение ортогональности для рэллевских мод и построить гильбертово пространство полной системы решений рассматриваемой системы уравнений.

Существует ряд сред, для которых полученную во второй главе матричную задачу Штурма-Лиувилля (5) удается разделить на два независимых уравнения и найти решение в квадратурах. Такими свойствами обладают среды с постоянной матрицей Б (В-постоянные среды), для которых уравнение в (5), как видно из (6), значительно упрощается:

* - ГР =

И*

В третьей главе доказывается существование и подробно исследуются указанные Б-постоянные среды. Дифференцируя (7), можно найти зависимости упругих модулей в таких средах, так что в пуас-соновом случае имеем:

Л = |! = с(1-теК2 )2 е~Ех,

Г

р=ц-

а в непуассоновом - модуль сдвига ц описывается дифференциальным

уравнением

а! = 1 Ш / М1Ч13 + 18Ц1-2Ч)

где я(2)=3к

к.М.Ь - безразмерные константы интегрирования.

При

этом X = М, р - Л М а!^

Р - г ш

(1+ЯГ

Для обоих

случаев строятся скоростные разрезы (рис.1) и рассматриваются дисперсионные свойства таких сред.

1. 5

^ 1 тЧ

О. 5 О

Наиболее неожиданной особенностью рассмотренных сред оказывается существование полупространств, в которых волны Рэлея вообще не образуются. Однако следует заметить, что это справедливо лишь для частот, которые ниже некоторой характерной для данной среды.

Рис. I.

В четвертой главе доказывается существование слоисто-Б-посто-янных сред и возможность аппроксимации произвольных упругих вертикально неоднородных полупространств такими средами. В результате строится модифицированный метод матричного пропагатора, позволяющий значительно быстрее, по сравнению со стандартным методом Том-сона-Хаскелла, решать систему уравнений, описывающих распростране-

ние волн в упругом градиентном полупространстве. Ускорение достигается за счет более совершенной аппроксимации градиентных зависимостей упругих модулей и особенностей самой переходной матрицы, позволяющей при вычислениях по обширной сетке значений частот и и волновых чисел £ запоминать не зависящие от £ элементы и многократно использовать их при одних и тех же ш.

При решении краевой задачи (1)-(3) особое значение имеет краевое условие на поверхности. В зависимости от его однородности возможна постановка двух взаимосвязанных задач. Первая из них - об определении собственных колебаний - для свободной поверхности, вторая - построение синтетических сейсмограмм при наличии источника. В результате решения первой задачи строятся дисперсионные кривые, и находятся корни знаменателя Рэлея, которые затем используются для выделения особенностей при построении синтетических сейсмограмм.

Рис. 2

Таким образом, рассмотренный метод матричного пропагатора, как и стандартный метод Томсона-Хаскелла, позволяет решить две взаимосвязанные задачи о колебаниях в упругом вертикально неоднородном полупространстве. Во-первых, исследовать модовую структуру свободных колебаний и построить дисперсионные кривые. Во-вторых, найти полное поле колебаний как на поверхности, так и во всем полупространстве, то есть построить синтетические сейсмограммы (рис. 2). Следует отметить, что вычисление амплитуд мод Рэлея выполняется по аналитическим формулам, что позволяет точнее выделять связанные с ними особенности при интегрировании. Сопоставление дисперсионных кривых и синтетических сейсмограмм с реальными записями имеет большое практическое значение при интерпретации волновых полей.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Преобразование исходного волнового уравнения к матричной форме задачи Штурма-Лиувилля позволило выделить новый класс сред, в которых возможно аналитичекое решение задачи о распространении волн в упругом полупространстве. Среди таких сред наиболее простыми являются Б-постоянные, которые представляют собой новый более сложный тип сред, по сравнению с изученными до сих пор ооднородны-ми средами.

2. Исследована и доказана возможность аппроксимации произвольных вертикально неоднородных полупространств набором Б-посто-янными слоев с переменными по глубине упругими модулями, так что получающееся поле смещений и напряжений непрерывно во всем полупространстве .

3. Практическим применением исследованных кусочно-В-постоян-ных сред является разработка модифицированного метода матричного пропагатора, в основе которого лежит переходная матрица В-постоян-ного слоя. Указанный алгоритм обладает рядом значительных преимуществ по сравнению со стандартным методом Томсона-Хаскелла, использовавшимся до сих пор в вычислительной сейсмологии. Это достигается, с одной стороны, за счет более совершенной аппроксимации упругих модулей, а, с другой - благодаря структуре переходной матрицы, в которой можно выделить элементы, вычисляемые один раз и затем многократно используемые при определении спектрально-частотных характеристик колебаний.

4. На основе проведенных аналитических исследований и модифицированного метода матричного пропагатора разработан быстрый алгоритм расчета синтетических сейсмограмм и дисперсионных кривых рэлеевских мод для произвольных, в частности, градиентных упругих сред, который позволяет интерпретировать записи реальных колебаний земной поверхности по результатам сравнения их с синтетическими сейсмограммами и теоретическими дисперсионными кривыми.

Таким образом, проведенные математические исследования открывают новые возможности для аналитического решения геофизических задач, что, безусловно, должно найти применение в различных областях математической сейсмологии. Быстрые методы моделирования волновых полей в тонко слоистых структурах особенно актуальны в настоящее время в связи с разработкой новой высокочувствительной экспериментальной аппаратуры и с развитием современных методов анализа сейсмических данных.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Маркуше&ич В.Ш., Стеблов Г.М., Цемахжш, A.C. D-постоянные среды и рэлеевские волны в них на характерных частотах. II. Неупу-ассоновы среды. // Современные методы интерпретации сейсмологических данных. М.:Наука, 1991. С.158-171. (Вычислительная сейсмология; вып. 24).

2. Наркушевия В.П., Стеблов Г.М., Целахжш A.C. Быстрый алгоритм матричного пропагатора на основе представления Штурма-Лиувилля для волн Рэлея. // Доклады Академии Наук. Серия матем. М.:Наука, 1992. Т.325, Jfe 4.

3. Маркугиевия В.Ш., Стеблов Г.П., Цежисжш A.C. Метод быстрого матричного пропагатора в пуассоновом случае. // Вычислительная сейсмология; вып. 26. (в печати)

*v - ZL» ■•'

'Жl0tP u ■

/ с-с