Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Определение строения горного массива по спектру интерференционных волн

ВАК РФ 04.00.22, Геофизика

Автореферат диссертации по теме "Определение строения горного массива по спектру интерференционных волн"

Академия наук Российской Федерации Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта

—«, -к .->

; о

П

ч;. л

На правах рукописи

Лев Сергеевич ЗАГОРСКИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРОЕНИЯ ГОРНОГО МАССИВА ПО СПЕКТРУ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ВОЛН

Специальность: 04.00.22 - Физика твердой Земли

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Институте горного дела ни. А.А.Скочинского

Официальные оппоненты: пл.корр. РАН С.С.Григорян, проф., докт.техн.наук. В.Л.Шкуратник, проф., докт.физ.-ыат.наук Т.Б.Яаовская

Головная организация - ВЦ СО РАН (г. Новосибирск)

Автореферат разослан «5 " 199fr. ■

Зашита диссертации состоится " " Зил&я.^ 199^_г. в йй ч на заседании специализированного совета Л 002.08.02 ОЙФЗ им. О.Ю. Шиидта.

С диссертацией можно познакомиться в библиотеке ОЙФЗ 1Ш. О.Ю. Шиидта.

Отзывы в двух экземплярах просим направлять по адресу: I23810, Москва, Б.Грузинская, 10, 0й®3 им. О.Ю.Шмвдта.

Ученый секретарь совета канд. физ.-мат. ваук

А.М. Артамонов

ОБЩАЯ ХАРЛКГЕРИСТОСА РАБОТЫ

Актуальность работа.

Определение строения пассива является важной проблемой горной науки в связи с тем, что информация о строении массива, получаемая по данным скв&жиншх намерений геологов и геофизиков, недостаточна для экстраполяции их результатов на всю область горного массива, где ведутся или проектирумся горные работа.

Исследования строения углепородного массива необходимы и для контроля за сдвижением боковых пород, который важен для решения задач экологии, охраны зданий и сооружений на поверхности.

Исследования керна и геофизические измерения позволяют-установить соответствие между строением и упругими свойствами массива, а именно, скоростями продольгаи и поперечных волн, а также плотностью горных пород.

Вертикальный сейсмический разрез массива позволяет исследовать его строение.

Необходимо повысить точность построения вертикального сейсмического разреза и снизить трудоемкость работ, что позволит оперативно следить за изменением строения горного массива, решать трехмерные задачи для массива с резким изменением упругих свойств с использованием волн типа Лява, обладающих, как известно, удобным волновым оператором.

Новое направление, развиваемое в работе, состоит в решении обратной задачи с абстракцией от источника возбуждения упругих волн, что сокращает время на построение вертикального сейсмического разреза (ВСР).

Построение ВСР ускоряется и за счет последовательного погружения в массив при расчетах, что дает возможность перейти к решению объемных обратных задач определения строения массива.

Вертикальный сейсмический разрез уточняется путем пошагового вычисления вместе с решением системы линейных алгебраических уравнений.

Разработан удобный и точный способ построения зависимостей фазовых скоростей от частоты по групповым скоростям интерференционных воли, используя лишь одну сейсмическую трассу вместо двух, что облегчает обработку реальных сейсмограмм.

Новое направление, развитое в работе, позволит оперативно получать ншформацию об изменении строения горного массива с использованием разработанной программы "ЗЦРШЗг!", что имеет болывое значение для анализа физических процессов, происходящих в массиве при ведении гор)гых работ.

Разработанный метод можно примвненятъ для контроля за строением массива и при решении задач экологии, поиска и дораз-ведки пластовых месторождений полезных ископаемых.

Идея работы заключается в решении обратной спектральной задачи с абстрагированием от источника возбуждения упругих волн для получения информации о строения горного массива в трех измерениях путем построения вертикального сейсмического разреза, который позволяет однозначно восстановить строение массива.

Целью работы является разработка метода решения обратной спектральной задачи для оператора Лива на всей оси с одновременным обращением всех частот в процессе погружения в неоднородной среде.

На защиту выносятся следущне новые научные положения.

1. Проведена предварительная регуляризация оператора Штурма- Лиувилля, т.к. проблема определения строения массива сводится к задачо Штурма-Лиувилля в сингулярной случае для интерференционных волн типа Лява.

2. Восстанавливается строение всего сложного волновода, состоящего из Н вложенных волноводов при погружении в массив в процессе решения обратной задачи.

3. Разработан метод решения обратной спектральной задачи для оператора Лява на всей оси.

4. Получены компактные расчетные формулы для вычисления разложения по собственным функциям нормальных волн Лява.

5. Метод переменных направлений н ооответстнунцан ему разработанная численная схема позволяют решать нелинейную задачу при сильных изменениях скоростной функции, при этом:

- погружение » массив происходит по волновому числу;

- предложена оптимизация шага дискретизации по вертикали с ориентацией на резкие изменения скорости волн;

- обоснован шбор параметра регуляризации а для разработанной численной схем« ;

- определен способ нахождения размеров лакун в спектре волн типа Лява;

- разработанная численная схеиа с указанными выше признаками реализована в программе "5Т1РЕЙ521" нэ языке ТОЮТШГ-ТТ" для компьютеров серки 1Ш РС АТ с оперативной памятью в 640 Кбайт и позволяет определять до 15 точек скоростного разреза среда;

-учтено отсутствие аналитичности потенциала в реальной среде;

- подавлено явление Гиббса, связанное с наличием скачков функций скоростей и плотностей в слоистой среде;

- обращен весь частотный спектр, а не фиксированная частота и набор мод, в силу отсутствия внсших мод в реальных сейсмограммах;

- решена нелинейная задача для линейного волнового уравнения и разработан корректный способ ее линеаризации;

- решение нелинейной обратной задачи при задании дисперсионной кривой в виде функции с положительной второй производной позволяет существенно расширить диапазон поиска решения по скорости поперечной волнн и плотности среда, что позволяет приблизительно, с точностью до экспериментальных ошибок, определения фазовой скорости волны типа Ляпа, находить положе(ше сейсмической границы порода- уголь;

- при углублении в массив ошибки вычислений не возрастают.

6. Разработан метод определения фазовой скорости по групповой для интерференционных волн по одной сейсмической трассе вместо двух.

7. Решена объемная задача определения строения массива по спектру интерференционных волн в приемлемое для практических

приложения время, ориентируясь на персональные компьютеры с процессором Intel-80486.

Научная новизна работы заключается в следуюцеи.

При погружении в ыяссив в процессе решения обратной задачи восстанавливается строение всего сложного волновода, состоящего пэ N вложенных волноводов.

Получены компактные расчетные формулы для вычисления разложения по собственным функциям нормальных волн Лява.

Метод перемешых направлений н соответствующая ему разработанная численная схема позволяют решать нелинейную задачу при сильных изменениях скоростной функции,при этом:

- погружение в массив происходит по волновому числу;

- предложена оптимизация шага дискретизации по вертикали с ориентацией на резкий изменения скорости волн;

- обоснован для рээработвшюй численной схема выбор параметра регуляризации а;

- определен способ нахождения размеров лакун в спектра волн типа Лява.

Разработан метод определения фазовой скорости по групповой для интервенционных волн.

Обоснованность а достоверность научных положений, выводов н рекомендаций работа обеспечиваются;

- применением совраиепных методов вычислительной математики и математической физики, теории дифференциальных и интегральных уравнений, о текло матричной алгебры при решении обратной задачи определения строения массива по спектру волн типа Ллва посредством построения в кандой точке вертикального сейсмического разреза с определениеи погрешностей расчетов;

-тестированном разработанных программ для персональных компьютеров j

-результатами расчетов для условий пластовых месторождений угля и слшща, покаэавпих, что максимальное отклонение рассчитанного сейсмического разреза от реального не превосходит !3,435, что свидетельствует о высокой надежности разработанного метода построе!ия вартикального сейсмического разреза по спектру воли типа Лява;

-результатами расчетов для реальной задачи поверхностной сейсморазведки определения строения массива: вблизи границ штатов Оклахома и Техас, а также Индийского полуострова;

-достаточной для практики погрешность» построения вертикального сейсмического разреза (при использовании аппаратуры типа бББИ погрешность не превысит 205? при доверительной вероятности 0.55).

Научное значение работы состоит в разработке нового метода решения одномерной обратной спектральной задачи для оператора Лява, что является неотъемлемой частью решения трехмерных задач. Метод позволяет :

1. Работать с яеаналитическими потенциалами в реальных слоистых средах, т.е. получать удовлетворите лыше результаты в случае прерывистости скоростной функции на границах раздела сред с ошибкой, не превосходящей 15% для модельных примеров и 20% для реальных сред,

2. Использовать весь частотный спектр.

3. Решать линеаризованную обратную задачу при сильных изменениях скоростной функции,

4. Не накапливать ошибки вычислений с ростом координаты 2 вглубь массива .

Практическая ценность работы заключается в разработке:

- метода построения вертикального сейсмического разреза по спектру интерференционных волн в любой точке и определении строения трехмерного горного массива!

-программы "РАгТЕХРС" для персональных компьютеров, позволяющей определять с высокой точностью фазовую скорость по групповой скорости с использованием лииь одной сейсмической трассы с ошибкой не более 1.3% на 15 точек дискретизации при возрастании фазовой скорости в 2.9 раза по сравнению со скоростью упругих волн в асимптотике и при отношении шага дискретизации по частоте Дм к частоте <.о не более 0.1, программа устойчиво работает при различных шагах дискретизации по частоте;

- программы "БиРЕЛ321" для решения задач построения вертикальных сейсмических разрезов по спектру интерференционных волн поляризации Лява на персональном компьютере;

- програмуы "лиВЕТА" для определения границ зон спектра

0)й , а так*« скорости поперечной волны на расстоянии первого шага от поверхности.

Реализащлработы. Разработана "Методика определения строения горного массива по спектру интерференционных волн", которая может быть использована геофизическими отрядами и научно-исолндовитнльокими институтами для построения вертикального сейсмического разреза с цель« изучения строения массива.

Разработанная численная схема с указанным! выше признаками реялизоьтт в программе Т.ЦРЕР5?Л" на языке "Р0НТНЛН-77" для компьютеров серии ХШ РС АТ с оперативной памятью в 640 Кбайт и позволяет определять до 15 точек скоростного разреза среды.

Разработанная численная схема, реализованная в программе "КЛ7,УКТ.РО" на языке 'Т0Г<ТНАН-77" для персональных компьютеров, позволяет определять с высокой точностью фазовую скорость по группоьой скорости с использованием лишь одной сейсмической трассы.

"Методика определения строения горного массива по спектру интервенционных волн", програмыы "БОТЕК521ТАгШРС" и "А1.РВКТА" рекомендуются к использованию при сейсмических измерениях для условий пластовых месторождений полезных ископаемых, на стадии проектирования вахт и карьеров, при изучении верхней части разреза земной коры и верхней мантии при известных тенденциях изменения скоростей поперечных волн и плотности среды.

Апробация работы. Основные полокания диссертационной работы докладывались на Международной конференции по численным методам в геомеханике (Москва, 1992г.), X Международной конференции по механике горных пород (Носгаа, 1993г.), семинаре отделения горно- технических проблем ИГД им. А.А.Скочинского, семинарах в Объединенном институте 4«зккн Земли РАИ, семинаре отдела математических задач геофизики Вычислительного центра СО РАН, семинаре в Международном институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАИ.

Пу^ликящш^ По теме диссертации опубликовано 11 работ.

00% с и работы. Диссертационная работа состоит из введения, чотмрех глав и заключения, изложенных на 253 страницах машинописного текст», содержит 17 рисунков, 12 таблиц, список использованной литературы из 166 наименований и 7 приложений.

основное содктнуге pakotj

В первой главе проведен анализ геофизических методов определения строения массива горных пород.

Исследования строения массива с помощью упругих волн бурно прогрессируют с 60-х годов благодаря значительному вкладу в создание основ акустических методов исследований Л.М.Бреховс-ких, И.И.Гурвича, В.И.Кейлис-Борока, П.П.Ризниченко, Г.И.Петра-иеня, A.C. Алексеев*.

Развитие теории и практики акустических методов исследовать обусловлено фундамент а лъшми трудами М.С. Анциферова, О.Л.Кузнецова, Е.И.Шемякина, д. В. Николаева, Л.п.Витшкв, В,Ю.Бурмина, Б.Г.Михайленко, В.Г.Романова, В.М.Марнушевича, Е.М.Чесноковз, В.М.Бабича, В.С.Булднрева, А.Л.Левшина, Л.А.Мо-лоткова, Т.Б.Яновской, В.Б.Пийп, Е.С.Ватолина, Н.Я.Азарова, П.М.Тютюшшкэ, В.Л.Шкуратника, Д.В.Яковлева, В, С. Ямщикова, 0.П.Якобашвили, А.Д.Рубана и др. ученых. Среди зарубежных учетах значительней вклад внесли Т. Крей, В. Томе он, Ф. Брентруп, А. Дрезен и др.

Определение строения массива, что доказано в целом ряде фундаментальных трудов отечественных и зарубежных ученых, сводится к нахождению вертикального сейсмического разреза массива.

Вертикальный сейсмический разрез определяется путем решения:

- соответствующей задачи Штурма-Лиувилля для интерференционных волн в случае, когда длина волны имеет порядок мощности слоя, в котором она распространяется;

- уравнений годографа, когда длина волны много меньше мощности слоя.

Принципы построения сейсмических разрезов по годографам преломленных волн на основании аппроксимации скоростных полей однородными функциями сформулированы В.Б.Пийп, а в средах с открытыми и закрытыми трещинами и фрагментарными границами -О.П.Якобашвили.

Асимптотический метод определения скоростного разрезе Земли с использованием известных частот и данных о годографе предложен М.А.Бродским и а.л.Левгаиным.

С.И.Кябанихин сформулировал принципы получения единственных решений обратных задач, главным из которых является малость вариации скорости волны C^z.y) по отношению к квадрату априорно заданной скорости волны Cq (z). Общая схема решения обратной задачи нахождения скоростной функции среды с использованием волновой теории сводится либо к обращению синтетических сейсмограмм, либо к обращению дисперсионных кривых интерференционных волн типа Лява или Рэлея.

A.C. Алексеев впервые осуществил постановку и решил целый класс обратных динамических задач сейсморазведки. Значение решений прямых задач заключается в построении сейсмогеологических моделей массива и создании эталонных дисперсионных кривых н сейсмограмм ( для шахтной сейсморазведки решения прямых задач приведены в работах В.Н. Данилова, Д.В. Яковлева, Ю.С. Исаева).

Г.А. Рыжиков и В.Н. Гроян обратили трехкомпонентные сейсмические трассы с помощью рекуррентного алгоритма нахождения поля скорости на основе метода статистической регуляризации.

Обращение синтетических сейсмограмм эффективно в случае, когда известен спектр источника и вычисление.синтетических сейсмограмм не занимает много машинного времени.

Обращение только дисперсионной кривой связано с неоднозначностью реиенил и поэтому без использования информации об амплитудах в настоящее время не используется.

Стоит проблема определения фазовой скорости с использованием лишь одной сейсмической трассы вместо двух для повышения точности получения дисперсионных кривых.

Развитие математического аппарата решения задач Штурма-Лиувилля было осуществлено Б.М.Левитаном, И.М.Гельфэндом, В.А.Марченко. Ими разработан метод решения обратных задач теории потенциала для уравнения Штурма-Лиувилля с целью нахождения потенциала Q(Z)i

Q(Z)Y = (-«<Z<®). По известной спектральной матрица-функции обратная задача Штурма-Лиувилля на всей оси Z решается итерационным путем. Обратная задача Штурма-Ляувилля на всей оси состоит в восстановлении функции QU) по матрице-функции Ш(Х).

Для яосстанонлннчн строения сридн А.А.Алнксямиш с использованием волн типа Лява рассматривается применение только частотных характеристик вне зависимости от источника.

В.И.Кляцкикыы использован метод инвариантного погружения для сведения прямой краевой волновой задачи, в частности для уравнения Гельмгольца, к задаче с начальными данными типа Коим.

В.И.Кривега рассмотрел процесс волиоподного распространения каналових волн как совокупность элементарных каналовых волн, соответствующих одному внутреннему волноводу.

А.В.Чигарав применил метод статистического обращения для нахождения решения обратной задачи по схеме последовательных приближений.

Достоинство построения акустических разрезов методом комбинирования спектров !А.К.Урупов , Ю.В.Кондратович) - необязательность информации о форме возбуждаемого сигнала и условие его постоянства на большом интервале по профилю.

A.Ф.Кушнир, А.Л.Левшин, Д.Е.Локштанов рассмотрели определение скоростного разреза по спектрам поверхностных волн методами нелинейной оптимизации. Были получены формулы производной фазовой скорости волны Рэлея по параметрам горизонтально- однородной среды, которые используются 8 предложенном алгоритме. Оценка параметров среды го вычисляется в результате минимизации функционала по всем частотам ...К).

Н.Н.Новикова для случая вертикально-неоднородной упругой среды и в предположении вещественно аналитического потенциала получила точную формулу, в которой искомый потенциал зависит от волновых чисел и отношения вертикальных и горизонтальных компонент волн типа Рэлея.

B.М.Маркушевич нашел преобразование классических уравнений стационарных волн Рэлея для неоднородного полупространства 7,>0 с параметрами р=р(2), ц=ц(2), А=Х(Я) к матричному уравнению Штурма-Лиувилля:

а2Р/бг2 - ?2Р=0(г;)Р, £ >0,

где Р=Р(а,£) - вектор-функция; 0(а)- матрица.

Таким образом, рассмотрен только монохроматический источник, при этом требуется энать его свойства, потенциал яе пред-

полагается вещественно аналитичным.

Д.А.Ильинским рассмотрено частотное зондирование морского дна, представленного как среда с горизонтальной неоднородностью. При таком способе определения толщины слоев 1г' и скорости поперечных волн у^ количество слоев ограничивается числом мод.

В.Н.Страховым предложен ряд новых подходов к построению устойчивых алгоритмов решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений при наличии априорной информации о помехе во входных денных, адекватной физической суврюсти явления. Им высказаны идеи о необходимости:

- введения правила отбора оптимального приближенного решения из множества допустимых из соображений устойчивости;

- введения конструкт«« генерирования приближенных решений;

- упрощения нелинейных алгоритмов путем поиска матрицы в специальным образом выделяемом более узком классе.

Фундаментальные исследования А.Н.Тихонова в области некорректных задач выявили потенциальные возможности решения задач, в том числе и акустических, с неточно заданной входной информацией.

Главные выводы из обзора:

- вертикальный сейсмический разрез определяется путем решения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля для интерференционных волн, когда длина волны имеет порядок мощности слоя;

- рациональным способом решения обратной задачи определения строения массива представляется абстракция от источника возбуждения упругих воля.

Основными проблемами при решении трехмерных обратных задач определения строения массива являются:

- неприменимость лучевой теории, когда длина волны имеет порядок мощности слоя;

- слоистость массива и сингулярность соответствующей задачи Штурма-Лиувилля;

- необходимость повысить скорость и точность ревенил обратных задач;

- определение с высокой точностью фазовой скорости, так как она находится по двум сейсмическим трассам.

Во второй главе разработан новый метод решения обратной задачи восстановлении строения среды по спектру волн типа Лява, Перед решением задачи Штурма- Лиувилля рассмотрим уравнение для волны типа Лява в цилиндрических координатах;

ц(2)| ^ + 1 т _ о , f (8)й£о + ои _ { ¡h + f

(3гс Г дт rd dzC 9z дг dxd

Для шахтной сейсморазведки: начальные условия:

"lt-О = U0(r'zb' UtU=0 = ui<r-z)' 1 = 7(з,г,t) + U0(r,a).o'(t) + U, (r,z).0(t)i Т - 0, t<0; граничные условия:

= uWsi - И<8)'^1я=0_е.

Нэ границе раздела уголь-порода (2=2^) в силу непрерывности oz компоненты тензоре напряжений и, следовательно, равенства первой производной \J(z) слева и справа от границы выполняется условие

<э2и, "—р =

б%с 1г=а,

Для поверхностной сейсморазведки: начальные условия:

UU=0 " ио(г,й)! uth=0 * ui(r>z)i

i = T(z,r,t) + 40(r,z)-e' {\) + tf, <r,?,>-Mt); T - 0, t<0; граничное условие: °zlz=0 ■ 0 ' - °< 0TK™8 * Решение прямой задачи имеет вид (разложение по дискретному спектру):

It со

„..Г.,,. , .у f ЯуУ"".'"->. t-- е*. , ,„

¿Л

где Ап- коэффициенты разложения по собственным функциям Фп (г) к- волновое число (Ы^ +■ ik( - принцип предельного поглощения); оь круговая частота; J^- функция Бесселя 1-го рода первого порядке; ц(0)- модуль сдвига.

Итак, необходимо решить нелинейную задачу: по спектру волн типа Лява, т.е. по известным ю и к , абстрагируясь от источника возбуждения упругих волн, восстановить нелиней!гую функцию распределения скоростей р(г). Уравнение оператора для волн типа Лява записывается для среды, где существуют первые и вторые производные ц, а также, в терминах обобщенных футами, и для приди с разрывом классических производных в следующем виде:

1.(1') = + (-Ч(г) + --К2)и = О, (2)

№ (г)

. <\1 ? . дгц где ч(е)в - !.(— /цГ + 1—^/(1 (3)

4 От. 2

- возмущение потенциала.

Необходимым условием является сопряжение и в точке .2=0. •Здесь г~ координате вглубь массива. Плотность р(г,в) и модуль сдвига ц(г,г) связаны со скоростью поперечных волн соотношением

Регуляризация оператора Штурма-Лиувилля необходима в связи с решением обратной задачи при относительно высоких значениях первой и второй производных потенциала.

Под регуляризацией оператора Штурма- Лиувилля понимается таков задание оператора, которое не приводит к полюсам его ко-»ФФициеитов (согласуется с понятием регулярной точки оператора-отсутствие кратных полюсов выше второго порядка), т.е. учитывается отсутствие аналитичности потенциала $5 в реальной среде путем предварительной регуляризации оператора Штурма- Лиувилля введением интервалов поиска решения.

Построение интервалов поиска решения сводится к аналитическому продолжению непрерывной функции р(й) с использованием Формулы следов:

И

ат= 2 ак + рк - (4)

при условии р(к)=сопш либо /~\1 2 '/-/ц = 0(1).

Можно дщл этого использовать программу "<32ЦР" либо данные геологоразведочных скваотн.

Из работ Б.М.Левитана и анализа качественны» амплитуд ноли Лява а^ прямо следует, что все точки С^Д) удовлетворяют дифференциальному уравнению:

2-аг/- ))

дХ

, 3,1>н. (5)

П (I))

м

II

и=

Н(С>= С-И (С-ак)-(5-рк)!

I ^ 9

где £.,(и)= 1-й--К? 1 - вертикальное волновое число, которое

* р-(а) к меняется в процессе углубления в массив и определяет поворот

сейсмических лучей в волноводе; I- сдвиг.

Если Н=1, то знаменатель дроби равен 1. Точка £^ всегда принадлежит лакуне, что обеспечипается сиеной знака перед корнем, иначе частота пропускается.

Если Х^« I, й также точно известно значение скорости поперечной волны (3(11) на глубине первого таги п от поверхности, то достаточно использования лииь одной мода, при этом ошибка представления функции ЩА^) составляет о(А^).

При использовании не более трех сдвигов на частоту и известной скорости поперечной волны р (Ь) также иояно использовать одну иоду, что следует из теории интерполяции. Метод решения задачи.

Из анализа представления для функций Вейля, полученных

Б.М. Левитаном;

--и -

1 г / па ) V" ^

т. {\г )= - -в\ +2 > —,--- ;

1 ь 1С J |5(Л)(

1 г / ) Г- /-К(Т)Ь) т^<Л.Ь>= - | - д\ +2 4 к

б (л.) i (л.-я^) / 18(1^)1(1^-здесь определяет потенциал на интервале (-<*>, О); на интервала (О, <»); собстветое значение оператора;

в»)- (Юц).^)! (б)

кя 1

ак и (3^- границы лакуны в спектре; Х~ собственное эначевде оператора Штурма-Лиувиллн, Х=о2= i.^/ß^-k2; и Zg- координаты по оси я; следует, что:

S(t) )=0 соответствует каналовым и поверхностным волнам

(дискретный спектр), а нули радикала

t /T{zvX)S(zrX)-n(X) ш Q(z,,\) (7)

соответствуют боковым волнам (непрерывный спектр).

Элементы , Т)(Л.) спектральной матрицы-функции

7ЦХ) шряяяются через вещественные многочлены Р(й^,Л.)> Б(е^Д) и функцию R(X), введенные Б.Ы. Левитаном.

Собственное значение оператора имеет вид:

\я _ к2, если -Ф- > К2;

р'-(0) p^tO) (8)

К' К2 —^— , если — < К2. РЧО) P^iO)

Это позволяет представить решение задачи Штурма-Лиувилля в

виде тригонометрических функций!

Н Н

г(й,д>= псм^)). ck(o)- ek, ste^Mx-T^Mm-r^o)). кщ10? 1 Р(в1(х) ас 1 s(zrM k=1

- в ---—-——- , - * -•-■ ■

ох , вх г%

/ R(\) дК ± /йЩ_

От) 1 О(е.Д) ± /- RUj-tz,)) _ » ----—- , СКг.Д)- РСв.Д).)-5—L,- .

211, /iм 1 1 fei (Mk(Bl))-P <w>

Пусть S(T))=0, тогда имеем:

Р(и

,в2) » J сое/1 в,- со а/я z2 5 [it^) ~ i*^ ] +

СО у— ^ «— СО /-

| в1пА V в1п/1 *г а[- ^ , | а1п/х ^^ а[ >].

о К о ^

Первый интеграл соответствует распространяющейся каналовой

волне, второй интеграл- затухающей (неоднородной волне при отрицательных *.), третий интеграл- осевой волне.

Во втором интеграле при 5(т))=0 точка Х=0 - точка ветвления, что приводит к неоднородным волнам, которые фактически соответствуют недиспергирупцей нулевой моде:

- 14 -

1 г aJn eln/я z2

« J

ал..

* J fx

—u>

Для осевой волны при (z-j+zg)^-: третий интеграл стремится к 1/(2и), т.е. получено разложение волнового поля 110 рас;|р<«;тря-няннимся и затухающим волноводным волнам.

Третий интеграл будет соответствовать боковым волнам:

ш 0 /—

г Bin/ X (2,+Zo) 1 Г Bin/ X (й.+Zo)

-——Ь- Oq(X), или-------—----- OX '

Jo A £1C1 ^

где точка A,=0 не есть точка ветвления, что следует из анализа рядов в окрестности этой точки .

При д>0 имеем раепространяыциеся волноводные волны, а при Х<0 - затухающие волноводные волны.

При комплексных оперируем со вторым интегралом,

для которого

J Bin/I 21. вшЯ «g ,3/2],

О

В этом случае возникают волноводные затухающие волны.

Заменив переменную интегрирования, можно прийти к интегральному уравнению с отклоняющимся аргументом, нменцим более компактный вид и удобным для вычислений на ЭВМ суммы, соответствующей интерференционным волнам типа Ляпа при решении обратной задачи с абстракцией от источника: Н Рк

^Г | С08(р1?-а)И21 • С08(р|1-0)и22,Зв, (9)

к=1 О

где рк= Р(г1 Дк)/(?2-1Г ¿1Щк)),

Сумма описывает нормальные или интерференционные вол1ш. Для затухающих волн будем иметь в силу четности подинтег-ральной функции (А^т]^) :

" Рк о * * *

-'Л-_Ц-Ш-(|0)

к=1 О К

„ 1 15(8,

где ----=-•

п /-И (Лк>

Это выражение удобно при расчете на ЭВМ вклада затухающих

волн типа Лява при реиении обратной задачи с абстракцией от источника возбуждения упругих воли.

Функция С(г1,е2) входит в интегральное уравнение Гельфанда-Левитана-Марченког

А(я1(г2) + Щя1,гг) + | С(г,г2)-А(г1Л )д\ = 0, (12,1 < |г2|).

Решив уравнение относительно ядра А(г1,г2)< можно найти р (я) и р(г), так как q(в)= .г,

л 5ц „ . <Э2ц - М-Уц^ +■ 1 —£ /Ц. 4 0г г

Исходя из формулы следов для обратной задачи Штурыа-Лиувилля, для каждой частота ш получена следующая зависимость изменения показателя усредненного изменения £ для частоты ы в процесса перехода от точки к точке г,:

тБ(й*)=((1)г/рг(к,,)-5БР(г*)-Н~12 кг(0))/(ыг/рг(0) - Н-12 1^(0)).

А само значение РР55(г*)»^(0),

где Ь- шаг дискретизации; я*» г,, е^Ь; Ы- число мод;

здесь ББГ-харяктеризует изменчивость к2 при переходе от точки й,=0 к точке г^ к'ЧгцЬ йе к2, к + Ьк^Ю, Ц- мнимая

ча&ть волнового числа к(Ь).

Б5Р(я*) - +Н-иг/р2(а$)-М.ы2/рг(Ио)+Ек2(г5))/1?12(0).

(5БР=1 при отсутствии поглощения). В случае полупространства будет справедлива следующая теорема (следствие из теоремы А.Б.Хасанова). Ядра операторов удовлетворяют следующему интегральному уравнению Гельфзпда-Левитана-Марченко:

21

С(г,,р,2) + + | С(1,г2).А(г1Л^ = 0,' (11)

1 0)1 ? 1 "3 >1

111 4 öz 2 a?/-

при z^z, G(t,й?)•A(z1,t)-0,

где ц=р -p, e I,, (R1). q принадлежит классу

обобщенных функций медленного роста, причем Ç1 € l<>t, ß, 1- условие ограниченности потенциала О, иначе иишшнзация методом наименьших квадратов- генератор гладких приближенных решений.

Доказательство

Из теоремы А.Б.Хасанова следует, что

—оэ

G~(z1fz2) + A~(z1,z2) - | G_(ttz2)-A~(z1(t)at = О

Z1

или

s

0"(г1(22) + А"(21 ,г2) + | С~(^,в2> •А~(й1 = 0. (12)

—оо

Поскольку С~(1,2г)=0 при 'КО, то справедливо утверяде!ше теоремы.

Отыскивается не а 0(2^, р(а1)- решения уравнения,

при каждом фиксированном на 1-ы шаге погружения:

2«9А(21,г1)/а21- 4(21^=0. (13)

Функция Грина выглядит так (А.Б.Хасанов):

N

0"= 1|г"(\)Ф_(21 Д)Ф_(аг,А.)р(\)9Х ♦ Ф_(г1,\к)Ф_(2гДк),

.'"к

Ец К=0

_ р где |i_(z1 Дк)|- нормировочные числа,

/■" w

R<4> _____

К zi /"Р(z, Д) J- Г Эи Л

B±(8l Д)= / ЮСР л/ш) J Р(иД)] ;

. Р(\) - 0 Р(Л.) г"(Х)=Ь(Х)/а(Л.), Ь(Л)=-ff(l_,i+), а(\)= -W{f+,i_>;

о о 2I/R<X) ~ , , 2i/pÜÄ) |а(М|2- |b<V)=1 , Wif.g) = î-g - f -g,

(14)

здесь f¡~ Вронокнан пары фундаментальных решений возмущенного уравнения Штурма- Лиувилля.

Теорема

Для решения обратной задачи на всей оси при условии!

IGQI < Т ABPS=11/3.h2, (15)

xk\ "Vi

где h- шаг дискретизации; т^ - нормировочные числа; достаточно решить систему интегральных уравнений методом переменных направлений:

г1

-A^.üg) - Gíz,^) - [ G(t,z2)-A(B1,t)3t = 0, (|z11 «: |z2|)

-в, (16)

-в,

A(e1(z2) + Gfz^zg) - | G(t,a2)-A(zt, 1 )<9t = 0. Z1

Доказательство.

Уравнение Гельфанда-Левнтана-Марченко для всей оси выглядит так:

Ico

А*(г,,2г) * Gt(81,B2) ± J Gt(t,z2).At(z1,1)at - О, (1Т)

2,

(|е,| í |zg|).

1!ри интегрировании уравнения (1Т) от -г. до °° получил

00

-A(?,t,z2) - G(z1,z2) - J G(t,z2).A(zvt)dt = О, (18)

-z,

а при интегрировании от е. до - °° :

-00

A(z1,z2) + Gtz^zg) - | G(t,z2).A(e1,t)ót = 0. (19)

81

Из принципа взаимности в акустике следует, что решать систему интегральных уравнений (18}~(19) можно методом переменных направлений и придем к системе уравнений (16). (Легко показать, что если потенциал О в нуле известен точно, то можно выбрать константу в нуле так, чтобы A(0,0)=-G(0,0) И интеграл в

пределах (-™, со) равен нулю.)

Ошибка аналитического продолжения поля из точки (-я. + Ь)

о *

в точку -г, не превзойдет А=0(Ь ), как следует из леммы.

Лемма

Ошибка аналитического продолжения функции I,я2) из точки в точку -и, не превзойдет А=0(Н3) при

| | < У ■ А?'5 , АБГБ=11/3'1>2 (следствие ошибки формулы

П=1 п Эйлера для 11 мод.)

Доказательство

Из леммы Б.М.Левитана и А.Б.Хасанова известна следующая

оценка для функции Кош Р(я.,4:

_________ й'

/—ТТЙГ7ХТРТГ7ХТ~~ Г /- Г ЛУ_]

Пг1Л'Д>= / -^^--В1П ' ' (20)

входящей в следующее интегральное уравнение:

4«

14(г1Д) = Ф±(г1Д) ± Р(г1 ("I)• (г, (21)

21

где |Р"Сг1,г;Я>|^ С^ |— *| + С2, С,, С2 - константы.

Очевидна следующая цепочка неравенств для участка

контура ):

1 1 Н

МС, 12,41 + С2) I вир|1+К

П=1 71

Но так как АЕРБИ^/З Ь2, то Д=0(Ь3), что и утверждалось. Регаена нелинейная задача путем лннеариээцин для волнового уравнешш. Суть численной схема решения задачи состоит в топ, что:

- обращается весь Частотный спектр волн типа Лява;

- фиксируем значения скоростей р и плотностей р в точке -г,, которые равны их соответствующим величинам в предыдущей точке

з

-2^+11, при этой ошибка аналитического продолжения Л= ОШ ); а при использовании трехточечшх формул для производных- сдвиг на полшага (-и^+Ь/г).

- задаем три значения р(а,) и р(я^) в точке г1, соответствующие середине и двум концам интервала из области существования и единственности решения задачи,- находим по формуле следов для каядой частоты ш и трех значений р и р величину ?п(г1) и, следовательно, ,ъ^) в точке

- решаем интегральное уравнение для каждой частота ю и трех значений р и р и находим ядро А^.йг,);

- определяем величину невязки 25А(й| ) для всех частот у и рассчитываем ее среднеквадратичную величину;

- методом золотого сечения уходим либо вправо либо влево от середины отрезков [рд.р^Т, в соответствии с методом наименьших квадратов, минимизируя среднеквадратичное отклонение между рассчитанным 2<ЭА(г^.а^/дг^ и предположенным значением

) с критерием останова процесса по точности квадратурных формул;

- фиксация найденных значений р и р, а также ) в точке , смена направления вычислений на обратное и определение истинных значений р, р, ^(-г^) в точке -г.,;

- погруже1ше в массив и повторение вычислений, описанных выше с запоминанием величин ), £п(±а1).

(Плотность может быть определена из решетя обратной задачи гравиметрии известными методами.)

Невозрастание ошибок вычислений с ростом координаты г вглубь массива при расчетах по предложенной схеме обусловлено тем, что на каждом шаге решается (Ж)2 линейных алгебраических уравнений, а повышение точности на каждом шаге расчета связано с применением метода погружения. Известно, что последовательное вычисление точнее вычислений во всей области при малом числе точек, поэтому при комбинирования метода погружения и решении системы линейных алгебраических уравнений ошибки не накаплива-

Квадратурные формулы, используемые при расчете В расчетах использованы конечно-разностные формулы для первой и второй производной, получешгые из разложений искомой функции в ряд Тейлора.

Квадратурные формулы приведете интегрального ура пне ¡гая к СЛАУ

Метод заключается в замене интеграла конечной суммой, например по формуле трапеций, при этом к диагональным элементам возникающей матрицы добавляем слагаемые

(1=к, 3=1), иначе В результате приходим к следукцей

СЛАУ:

п2

8И'7И Х2/КВ1К1КЛ » , где 1 =1, пг ;) =1, п2,

«1Г 6(й11' 223>- к1кД= г23-

уы= У(В1к,В21), = 1(8^, 2^),

Здесь А^ и В^- коэффициенты квадратурной формулы трапеций, сетки узлов по 81 и в2 совпадают с сетками по г1 и г2, ядро интегрального уравнения, известная правая часть, а

ук1- его Реше1ше»

Ш(1(1),р,и),

где 1 - номер частоты ш, р - номер подитерации (1-3) в итерационном цикле;

г^в^, К1к;д = в^+1 г1^)/((п1-1 )«Ь).

Если Бг>0, то в правой части уравнения в левой части • если 22<0, то в правой части в левой части

б13=+1.

Метод решения СЛАУ

В диссертации для решения СЛАУ использован . подход А.Н.Тихонова для минимизации функционала А.Н.Тихонова методом сопряженных градиентов . Преимущество методов типа сопряженных градиентов заключается в более высокой скорости сходимости по сравнению с методом условного градиента , что позволяет использовать их в более сложных итерационных методах решения обратных задач.

Строим приближенное решение нелинейной задачи, на каждой итерации сводящейся к уравнению

U, (22)

где Z и U определены в гильбертовом пространстве, т.е. с интегрируемым квадратом модуля; А-- линейный либо нелинейный оператор. В качестве начального приближения к решению СЛАУ выбираем вектор Z0(I+(J-1 )*Н1 )=(-1.) »Ijj.

При решишш уравнения (22) ь рассиотрение вводится сглаживающий функционал Ha[Z]=|A-Z-Uö!p+ a'jZ|p , здесь а >0 - параметр регуляризации. Отыскивается минимум функционала Inf I^IZ)

ZiD

методой сопряженных градиентов. Определяется а^ - величина максимально возможного шага вдоль найденного направления р^, не выходящего за грашцу множества D.

Если шаг ak< а^^ , то z^ + ak-p^.

Если шаг V то ак= а^.

Если шаг ak<h , то h-a^/2 и осуществляется повторное вычисление с новым шагом.

Останов итерационного процесса по невязке DL2 либо по норме градиента ANGRD (где DI2=h3, ANGRD=h3.) Если h3<EBA, то DI2=EBA и ANGRD=EBA (ЕВА- точность входных данных ).

После решения задачи выбираются диагональные элементы матрицы решения У5(р,1) при l=j:

Y5(p,l)=Z(i+(j-1)*n1).

Возможно, что для некоторых частот шаг минимизации окажется нулевым, это-говорит об отсутствии минимума функционала на этих частотах. Удельный вес таких частот не должен превышать 1/3 всех переборов р. При этом собственное значение А=0, а, следовательно, соответствующая собственная функция равна константе.

Способ нахождения размеров лакун в спектре волн типа

Лява

Определение размеров лакун в спектре волн типа Лява необходимо для ьычислбния вещественных многочленов Р(г,Д), R(A):

К N 1

Р(Й,Д)= П(Мк(г1)>, £к(0)= R(\)= \-П (X-ak).(k-ßk),

а следовательно, и функции С^.и^), представляющей собой разложение по собственным функциям оператора Штурма-Лиувиллл.

Где Х- собстве!шое значение оператора Штурма-Лнувилля:

о о ? ?

\=о = ы/р -к , я, и Ид- координаты по оси г; а^ и р^- границы лакуны в спектре.

Теорема

Если известны амплитуды нормальных волн Лява, собственные значения и скорость поперечной волны р(Ъ) на глубине Ь (одного нага от поверхности), то границы зон спектра а, и р, однозначно определены, а^ и р^ ( к>1 ) дополнительно локализованы условиями 0 <а, < р, < -.. < «п < Рп » \ е Рх3• 8 многочлен ГИт^) однозначно определен в точках т^. Условие К2(Ь)=0 позволяет найти скорость поперечной волны на глубине Л.

Доказательство.

Потенциал й(11)=0 , что следует из уравнения Итурма-Лиувилля и краевого условия у (0) =0. Из одновременного условия раэрепта-иостн обратной задачи Штурма-Лиувиллл (23), если положить и краевого условия (25). для дискретного спектра имеем:

И + С52 = О, (23)

± /^В(£к(Ь»

где Ч(г1,1> )= Р(а1,т^).) -£-,- ; . (24)

К Рг0>) НК

у(0)= Ф_(0 ,17к)Ф_(0 ,1^). (25) _к=0 К

откуда шГ= 1- = Л. , -/К(IV) » ?(Т1к) • (26)

* Р(т]к) л^ к к Ак

Известны амплитуды нормальных волн Лява А^, поэтому а, я р, однозначно определены из первого члена ряда (25) и условия (23).

Значения а, и р, определяются следушим образом: (')|- £ 1 (Ь) о

а,= I—г,-3--ч]Г р1 )/(-■!), + Р1 >. (27)

А, -г),

где А1- амплитуда перкой моды нормальной волны Лява;

р2(-Е1+Л1) + № + -72—'--Ч " -Т2ТГ-+

„ А1,т11 р Агч

(т).- 5ЛЬ)Г р (Ъ- ^ (И) Г о

--Чг^.^-Д—!---«Х^-о; (28)

АГЧ А1 _,

-Ь ± / Ь^- 4ас

(29)

2а

а^ рг = 0, (30)

причем знак перед корнем выбирается так, чтобы значение р1 было неотрицательным.

Многочлен Н однозначно определен в точках 1-]^:

НСПк) " рЬ(т1к,/ Ак- (31)

Для определения всех значений а^ и из системы уравнений

(31) нуяно иметь данные и об амплитудах нормальных волн для соседних сейсмоприемников.

Строим приближенное решение нелинейной задачи, для каждой частоты сводящейся к уравнению

Д.г=и, (32)

где Ъ и и определены в гильбертовом пространстве , А- матрица с

определителем Вандермонда, так как он не равен пул», то задача

имеет единственное решение.

После нахождения вектора % методом сопряженных градиентов а^

и р^ определяются методом Штурма локализации корней многочлена

степени 2п и линейной интерполяции. Теорема доказана.

Следствие■• Так как полностью определено численное значение

многочлена входящего в расчетные формулы для собствен-

ных функций, то достаточно задать "коридор" поиска решетя по скорости поперечной волны и плотности среда для выделения единственного решения, который можно установить либо с учетом "вилки" решений 1-й мода, либо о использованием результатов скважинных измерений.

Определению параметра регуляризации а

Выбор параметра регуляризации а при решении нелинейной задачи представляет определенную сложность в связи с тем, что принцип обобщенной невязки при решении нелинейных задач неприменим. Вместе с тем, кз монографии А.Н.Тихонова, В.А.Арсенина

. MI'

известно . что1, а <

|U| - б

Для непрерывных функций норма (по В.С.Владимирову) записывается в виде:

[Л| = сир |Д|, Т- замкнутое множество;

г^Т

|U| = вир |ü) .

ZiT

Р ?

|.4[ = (h-|U|) , здесь С - вычислительная погрешность; 1 ?

6=j'h , это следует из суммирования ошибок при вычислении

Z1

GfZj.Zg) в правой части и в левой | G(t,)•А(z1,t)3t

"Z1

матричного уравнения ,Ьг=и . Ошибка не вычисления каждого из

о

интегралов составляет (1/6)-h и соответствует погрешности квадратурной формуда трапеций. Итак,

1 2 2 I"! 13 lUl

а < i-h -h --- = i-h -h -'- ,

J 1 - Ö/|U| J 1 - 6/|U|

так как 1>> 6/JU|, h-[U|= 0(1), а в асимптотике при => а>

1

= о(1), то а < g-h -0(1). Отсюда следует, что па-

1 "i

раметр регуляризации a<j>h ■

Таким образом, для разработанной численной схемы обоснован выбор параметра регуляризации а.

Правило останова итерационного процесса Правило останова итерационного процесса при решении нелинейной задачи вытекает из точности квадратурных формул при вычислении интегралов методом трапеций и точности расчета производных Функции |i(z), входящих в потенциал.

Погрешность вычисления 1-й производной функции ц(г) имеет порядок 0(hc), погрешность же определения 2-й производной этой функции - 0(hJ). Погрешность квадратурных формул при вычислении интегралов методом трапеций, как следует из предыдущего пункта, составляет (1X3)-h2, т.е. при среднеквадратичном отклонении SK < AKPS = 11/3h2 итерационный процесс следует прекратить.

Интегральное уравнение решается относительно ядра

и находятся \?с(2) и р(г) из условия:

Ь 5 1/2

2 <|25А(к1,в1)I2> /I ^ АЕРБ , (33)

где 1- результат расчета Ана частоте Ыр АЕР5=11/3 точность квадратурных формул при замене интеграла конечной суммой по формуле трапеций и погрешности вычисления производных, входящих в функцию q(г,)).

Оптимизация шага расчета по вертикали

Волны типа Лява наинизией частоты ( 1п 1 ш ) распространяются во всем объеме среды и поэтому именно по ним необходимо проводить оптимизацию шага расчета Н по вертикальной оси г. Для такой волны при интервале обращения, равном 2Н, должно выполняться условие существования решения системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей нелинейной задаче. В нашем случае эта система уравнений решается путем минимизации функционала А.Н.Тихонова методом сопряженных градиентов. В случае отсутствия шпвдмума функционала при заданном начальном шаге Н происходит возврат из соответствующей подпрограммы в головную с уменьшенным вдвое рассчитанным магом.

Итак, предложена оптимизация шага дискретизации по вертикали с ориентацией на резкие изменения скороста упругих волн. Установлено, что при погружении частота объемных воли обратно пропорциональна координате е вглубь массива.

В третьей главе разработан метод определения строения горного массива по спектру интерференционных волн.

Необходимое условие применимости метода - существование слоя или зоны с пониженной скоростью упругих волн. Волновод рассматривается как локально плоскопараллельный с различной мощностью.

Краткая характеристика методики

Исходными данными для расчета годятся дисперсионные кривые фазовых скоростей для волн типа Лява и их амплитуды.

В основе методики шахтных сейсмических измерений лежит принятая для томографических съемок схема: расстояние мекду пунктами возбуждения составляет около трех длин волн, а между

сейсмоприешшками - порядка длины преобладающей в спектре волны \ .

В основе методики поверхностных измерений лежит принятая схема продольного профилирования с расстоянием между сейсмопри-ешшками около половины длины преобладающей в спектре волны а от пункта возбуждения до первого сейсмоприешшка не менее 3-5 Л.

Погрешность определения скоростного разреза:

р = Рсч + Рап + Ргруп + рфаз'

Рсч в. 10- 15%;

Рап = ?t + рсин = *

здесь при использовании аппаратуры SS5-1:

О.ЗХ - ошибка определения времени;

Рсин = 0,5% - ошибка синхронизации;

Ргруп " 3oan = при шести накоплениях сигнала.

Рф83 (Д<М,>П)2= 1% при Лы/о)п= 0.1;

Рфазсоставляет не более 1%, т.к. фазовая скорость определяется по групповой из конечно-разностных формул для 15 точек дискретизации по частоте. Возможно последующее уточнение фазовой скорости путем решения интегрального уравнения.

Итак,

Р = 15+ 1 +3+1 = 20% при доверительной вероятности 0.95.

Обработка сейсмограмм и интерпретация результатов

Исходными данными для расчета являются дисперсионные кривые фазовых скоростей для волн типа Лява и их амплитуды. Имеющиеся пакеты приоаднях программ типа "КРОТ- МСП" позволяют строить карты спектрально- временного анализа, по которым определяют групповые скорости интерференционных волн для идентифицируемых мод. Разделение же волновых пакетов нужно проводить как с использованием программ SVAHTHG (для карт СВАН ), так и поляризационного анализа AGDPR0G либо POIARTMG, разработанных в УкрНИМИ.

При поверхностной сейсморазведке интервальные фазовые скорости находятся по методике СВАН для соседних сейсмоприемников.

При иахтной сейсморазведке определить интервальные групповые скорости модно лишь методом сейсмической томографии при

сейсмопросвечивании массива с учетом существования высокочастотной асимптоты дисперсионной кривой. Здесь для каждой частоты необходимо построить распределение групповых скоростей волн, а затем, используя весь диапазон частот, локальные дисперсионные кривые в каждом блоке массива. Этого можно добиться с использованием программы полосовой фильтрации КИНТМС, разработанной в УкрШМИ, и программы сейсмической томографии 801ГО, разработанной в МГУ им. М.В.Ломоносова, определение амплитуд нормальных волн возможно с использованием программ МИТП РАН.

Определение локальных фазовых скоростей по интервальным групповым скоростям представляет собой самостоятельную задачу. Ее актуальность связана с тем , что мы можем проще и точнее определить групповую скорость волны по максимуму огибающей пакета, нежели фазовую скорость , в связи с фазовыми искажениями при полосовой фильтрации.

Используя известное соотношение между фазовой и групповой скоростью волн,после преобразований получим:

лг 1 - с/и

Эй - с--б- ' <34>

где С - фазовая скорость, и/с-, и - групповая скорость,

м/с,- « - круговая частота, рад/с.

Это дифференциальное уравнение 1- го порядка относительно фазовой скорости С. Дополним уравнение естественным краевым условием:

С1ц=иа= Са К С|ш=^ь= СЬ'

здесь Са и Сь - соответственно низкочастотная и высокочастотная асимптоты фазовой скорости, Са« иа, С^ и^. Заменив производную конечно-разностным представлением при равенстве всех иагов по частоте Лм,получим:

Сгн1 = V1 - Сп/ип ))• (35)

Погрешность аппроксимации в имеет следующий порядок!

» АI -Я « * О

е(Л<,)) - СпИ - Сп - ЛиСп£ Щ • Сп = 0( (Ды/Шд) ), вследствие того, что Сп = 0(1 /о2).

Формулой (35) можно пользоваться для определения фазовой скорости по групповой. Однако дня повышения точности расчетов следует использовать:

- аналог формулы Адамса второго порядка, имеющей погреи-ность четвертого порядка, и особо устойчивую (программа ТА7,ТКТ,"),

если Эг>0 и 1>3, то С(1,М)=С(1-1 ,М)+(Н/12)*(23*А-16*В +5»1)>; если вгсО и 1>3, то С(1,М)=С(1-1 ,М)-(Н/12)*(23*А-16*В +5*0), здесь Бг>0 при вычислениях по возрастанию частоты, а Бг<0 при расчетах по убыванию частоты;

А= (С(1-1 ,М)/7(1-1 ) )* (1 -С(1-1 ,Н)/Щ1-1 ,М));

В=(С(1-2,М)/Р(1-2))*(1-С(1-2,М)/и(1-2,М));

Б=(С(1-3,М)/Р(1-3))*(1-С(1-3,М)/и(1-3,М)), где Г (I)- частота, И- номер мода волны;

-предиктор - аналог явной формулы Милна третьего порядка с погрешностью пятого порядка, точной для полиномов четвертой степени (программа "РАгУШГ),

если Бг>0 и 1>4, то С(I,М)=С(1—4,М)+(4»Н/3)*(2*А-В +2*0); если 5Й<0 и 1>4, то С(1,М)=С(1-4,М)-(4*Н/3)*(2*Л-В +2*0); -корректировать предиктор аналогом формулы Хемминга с погрешностью такяе пятого порядка, но более устойчивой (программа ТАгУЮТС"):

Б= (С(1,М)/Т(1) )*(1-С(1,М)/1Щ,М)), если 1>4, то С1=С(1-1,Н); если 1>4, то С2=С(Г-3,И); если 5г>0 и 1>4, то С(1 ,М) = (1 ./8)*(9*С1 -С2)+(3*Н/8)*(Е+2*А-В); если 5г>0 и 1>4, то С(1,М)=(1./0)*(9*С1-С2)-(3*И/8)*(Е+2*А-В). Анализ показал, что наибольшей точностью обладает программа "РАЙ'/ЕЪРС" с максимальная погрешностью вычислений фазовой скорости не более 1.3% на 15 точек дискретизации по частоте ю при отношении нага дискретизации Аю к частоте не более 0.1 и при изменении фазовой скорости в 2.9 раза по сравнению со скоростью упругих волн в асимптотике.

Для дальнейшего повышения точности вычислений можно вначале определить фазовую скорость С (и) по указанным формулам и

рассматривать ее как первое приближение к решению следующей системы интегральных уравнений:

г3 1 - С/и

|с- .—б-<зш = сЬ;)- са , & (36)

а

где обычно Сь< С., так как высокочастотная асимптотика п а

волн типа Лява соответствует скорости поперечных волн.

Метод реиения этой системы нелинейных уравнений состоит в комбинации метода Ньютона вычисления поправок и сопряженных градиентов для решения системы линейных алгебраических уравнений.

Итак, разработаны программы "РАгУЕЬ", "РАЙУШ'С", позволяющие по групповым скоростям интерференционных волн определять фазовые скорости.

Обычно используют две трассы для определения фазовой скорости (пакет программ "КРОТ- МСП"). В разработанной программе ТАгтРС" реализовано новое предложение определять фазовую скорость по одной сейсмической трассе вместо двух, что позволяет достигнуть точности определения фазовой скорости, равной 1.3% на 15 точек дискретизации.

Итак, для каждого блока массива определены фазовые скорости, которые являются входными данными для программы "БиРЕйБгГ'.

По программе "БЦРЕТ1Б21" в каждом блоке массива можно решить объемную задачу определения строения массива по- спектру интерференционных волн, ориентируясь на персональные компьютеры с процессором 1пЪе1-80486.

Для сейсыопросвечивания массива с целью определения вертикального сейсмического разреза следует использовать цифровую сейсмостанцию типа БЭЭ-! ("Дружба") с относительной погрешностью единичного измерения времени бt= \%, Цифровая сейсмостанция необходима для обработки получаемой информации на ЭВМ.

В четвертой главе приведены результаты опробования разработанного метода.

Результаты расчетов вертикального сейсмического разреза.

Метод обращения спектра волн типа Лява был опробован для условий АО "Эстонсланец", "Ленинградсланец" и "Гуковуголь", для

границ итатов Оклахома и Техас, верхней мантии в Индии,' а также для слоя неяду полупространствами и трехслойной модели среды по опубликованным литературным данным.

Исходными модельными данными для обращения спектра волн типа Лява будут служить дисперсионные кривые, а также амплитуды, полученные друпми исследователями в результате решения прямой задачи о распространении волн в слоистой среде с плоскопараллельными границами. При этом в результате обращения спектра по разработанному методу решения обратной задачи получим искомую сейсмическую модель среда. В качестве пары точности восстановления модели среды разработанным методом возьмем абсолютную величину отклонения реальной и рассчитанной скорости поперечных воля Уд.

Анализ результатов расчетов по разработанной прогрызла "БЦРБИЗгГ' показал, что максимальное отклонение рассчитанного сейсмического разреза от модельного не превосходило 13.4 %, при этом восстанавливается строение всего сложного волновода, состоящего из II вложенных волноводов. С помощью программы "ЧЗЛР" показано как меняется средний сейсмический разрез в зоне замещения угольного пласта.

Время вычислений 15 точечного разреза составило около 28 мин. для ЭВМ с микропроцессором Тп1е1-80486. Программа "ОБТГР" быстро, с использованием первой моды, вычисляет начальное прд-блияеиие распределения скорости поперечных волн по вертикали.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе разработаны теоретические положения определенна строения массива по спектру интерференционных волн , совокупность которых является развитием перспективного направления информационного обеспечения горных работ в части определения строения массива по вертикальному сейсмическому разрезу.

I. Актуальность работы заключается в следующем:

- Обращение полной реальной сейсмограммы связано со значительными затратами машинного времени ЭВМ, а обра^егше спектра сейсмических волн во всем массиве требует такяе больших затрат

времени, и не всегда точность вычислений является удовлетворительной в силу резких, изменений скоростей упругих волн на границах раздела пород с различными упругими свойствами. Кроме того, большие затраты маиинного времени препятствуют практическому решению трехмерных задач определения строения массива, поэтому был разработан метод, ускоряющий вычисления и повышаются их точность.

2. На основании выполненных исследований установлено следующее:

- основными преимуществами разработанного метода определения вертикального сейсмического разреза по спектру интерференционных волн поляризации Лява являются:

- абстракция от источника;

- комплексирование идей методов переменных направлений и погружения позволило впервые решить задачу на всей оси;

- создан новый метод решения обратной спектральной задачи, повышамфий точность и скорость вычислений, которая пропорциональна квадрату числа восстанавливаемых точек N1 вертикального сейсмического разреза на каждом шаге погружения, а не квадрату общего числа точек во всем разрезе, когда итерации выполняются сразу для всех точек разреза, что с учетом нелинейности обратной задачи приводит к значительному росту времени вычислений и не гарантирует необходимой их точности;

- решение нелинейной обратной задачи при задании дисперсионной кривой в виде функции с положительной второй производной позволяет существенно расширить диапазон поиска решения по скорости и плотности среда, что позволяет приблизительно с точностью до экспериментальных ошибок определения фазовой скорости волны типа Лява находить положение сейсмической границы порода- уголь;

- разработан метод определения фазовой скорости по групповой для интерференционных волн с использованием лишь одной сейсмической трассы вместо двух.

3. Исходя из того, что строение горного массива определяется путем построения вертикального сейсмического разреза, который является решением задачи Штурма-Лиувилля в сингулярном случае для интерференционных волн типа Лява, было предложено:

-учесть отсутствие аналитичности потенциала в реальной среде путем проведения предварительной регуляризации оператора Штурма- Лиувилля;

- - подавить явление Гиббоа, связашгое с наличием скачков функций скоростей и плотностей в слоистой среде;

- обратить весь частотный спектр в реальных сейсмограммах в силу отсутствия в ких высших мод;

- репмть нелинейную задачу для волнового уравнения и разработать корректный способ ее линеаризации при фактически сильных изменениях скоростной функции;

- обеспечить невозрастание ояшбок вычислений с ростом координаты 2 вглубь массива.

4. Доказано,что при погрутеяш в массив, решая обратную задачу, восстанавливается строение всего сложного волновода, состоящего из II влояекных волноводов,

5. Получены компактные рэсчетше формулы для вычисления разложении по собственным функциям нормальных волн Ляпа.

К. При решении нелинейной задачи, для сильных изменений скоростной функции, методом переменных направлего?й и с применением соответствующей ему разработанной численной схема получено следующее:

- предложена оптимизация шага дискретизации по вертикали с ориентацией на резкие изменения скорости волн;

- обосновал для разработанной численной схемы выбор параметра регуляризации а;

- определен способ нахождения размеров лакун в спектре волн типа Лява,

7, Разработанная численная схема с указанннми вние признаками реализована в программе "оОТЕПЗг)" на языке "Р0НТМН-77" для компьютеров серии 1ЕМ РС АТ с оперативной памятью в 640 Кбайт и позволяет определять до 15 точек скоростного разреза среды.

0. Гээрэботанняя численная схема, реализованная в программе ,ТЛ7,ГШ'С" чя языке ТОШТШ-77" для персональных компьютеров, позволяет определять с высокой точностью фазовую скорость по групповой скорости интер^еретптионных волн с ошибкой не более 1.3% на 15 точек дискретизации при возрастании фазовой скорости в 2.9 ряза по сравнению со скоростью упругих волн в асимптотике

и при отношении шага дискретизации по частоте Ли к частоте ш не более 0.1.

9. Решена объемная задача определения строения массива по спектру интерференционных волн в приемлемое для применения на практике время, ориентируясь на персональные компьютеры с процессором 1п1е1-8048б, и разработана "Методика определения строения горного массива по спектру интерфереюдионных волн", которая может быть использована геофизическими отрядами и научно-исследовательскими институтами для построения вертикального сейсмического разреза с целью изучения строения массива на стадии проектирования и эксплуатации пластовых месторождений полезных ископаемых.

10. С помощью разработанной программы "5Ш>ЕК521" были обращены зависимости фазовых скоростей от частоты для волн типа Лява различных авторов и получены вертикальные сейсмические разрезы для условий пластовых месторождений угля и сланца. Максимальное отклонение рассчитанного вертикального сейсмического разреза от фактического не превзоошо 13.4%.

Получены хорошо согласующиеся с известными результаты расчетов для реальных задач поверхностной сейсморазведки определения строения массива вблизи границ штатов Оклахома и Техас, а также Индийского полуострова.

С учетом погрешностей измерений цифровой сейсмостанции типа 555-1 погрешность определения вертикального сейсмического разреза не превзойдет 20% при доверительной вероятности 0.95,

11. "Методика определения строения горного массива по спектру интерференционных волн", программы "БЩ>ЕК521", "РАгУЕЦРС" и "АиВЕГА" рекомендуются к использованию при сейсмических измерениях для условий пластовых месторождений полезных ископаемых на стадии проектирования шахт и карьеров, при изучении верхней части разреза земной коры и верхней мантии при известных тенденциях изменения скоростей поперечных волн и плотности среды.

- 34 -

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах.

1. Л.С.Загорский. Определение вертикального сейсмического разреза по спектру поверхностных и каналовых волн // Тезисы докладов X Международной конференции по механике горных пород. /Ин-т горного дела им. А.А.Скочинского.- М., 1993. -С.100.

2. Л.С.Загорский. Нахождение обобщенной временной функции точечного источника сейсмоимпульсов на фоне шумов в горном массиве //НГД им.Л.А.Скочинского. - М., 1992. - Деп. в ЦНИЭИуголь 24.02.92 N 5353. - 3 с.

3. Л.С.Загорский. Анализ поля волн типе Лява при решении обратной спектральной задачи определения строения среды //ИГД им.А.А.Скочинского. - П., 1994. - Деп. в ЦШШуголь 25.02.94

Н 5448,- 5 с.

4. Л.С.Загорский. Способ нахождения размеров лакун в спектре волн типа Лява при решении обратной задачи определения строения среды /ЛТД им. А.А.Скочинского. - М., 1994. - Деп. в ЩПШуголь 25.02.94 Н 54-49.- 2 с.

5. Л.С.Загорский. Определение волнового опервтора и пора-метра регуляризации а при решении нелинейной обратной задачи восстановления строения массива //ИГД им.А.А.Скочинского. - М., 1994. - Деп. в ЦНИЭИуголь 25.02.94 N 5450.- 4 с.

6. Л.С.Загорский. Результаты опробования разработанного метода определения строения массива по спектру интерферешрюн-ных волн //ИГД ии.А.А.Скочинского. - М., 1994. - Деп. в ЦГОШуголь 25.02.94 К 5451.-2 с.

7.Л.С.Загорский, А.Д.Рубан. Сейсмическая томография выбро-соопасного угольного пласта // Тезисы докладов VII Всесоюзной научи, школы "Деформировзтсв и paspyioeime материалов с дефектами и динамические явлетя в ropi шх породах и выработках" /Симферопольский гос. ун-т им. М.В. Фрунзе.- Симферополь, 1990.

8. Л.С.Загорский, А.Д.Рубан. Применение методов томографии для изучения состояния и строения горного массива // Горнотехнические проблемы: Науч. сообщ./ Ин-т горного дела им. А.А.Скочинского.- М., 1990. -С.47-54.

9. Л.С.Загорский, А.Н.Новиков, А.Д.Рубан, А.Б.Черняков. Томографические метода восстановления волновых полей в задачах геомеханического контроля //ФТПРПИ.- Новосибирск, "Наука" Сибирское отд., 1993.- ИЗ, - С.37-44.

10. Основные проблемы создания томографических технологий контроля строения и состояния горного массива / Л.С.Загорский, А.Н.Новиков, А.Д.Рубан, А.Б.Черняков // Тезисы докладов X Международной конференции по механике горных пород. /Ин-т горного дела им. А.А.Скочинского.- М., 1993. - С.98.

11. Загорский Л.С. Условия разрешимости обратной задачи определения строения массива по дисперсии основного тона волны БН //Сб. трудов V сессии РАО. Проблемы геоакустики: Методы и средства /под ред. проф. В.С.Ямщикова.- М.: МГТУ, 1996,- С.42-45.

Лее Сергеевич ЗАГОРСКИЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРОЕНИЯ ГОРНОГО МАССИВА ПО СПЕКТРУ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ВОЛН

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Редактор ЛП. Пвтрвмович.

Подписано к печати 19.11.96г. Печать офсетная, бум. множительных аппаратов. Уч. - мзд.л. 2,25. Тираж 100 экз. Изд. N100128. Тип.

Институт горного дела им. А.А.Скочинского 140004, г.Люберцы Моск. обл. Типография: 140004, г.Люберцы Моск. обл.