Бесплатный автореферат и диссертация по геологии на тему

Устойчивые методы математического моделирования природных физико-химических систем

ВАК РФ 04.00.02, Геохимия

Текст научной работыДиссертация по геологии, доктора химических наук, Шапкин, Андрей Игоревич, Москва

// : ... ? / ; ' и с/ " / V Г "

российская академия наук институт геохимии и аналитической химии

им. в.и.вернадского

На правах рукописи

Шапкин Андрей Игоревич

устойчивые методы

математического моделирования

природных физико-химических систем

\

04.00.02 геохимия

Диссертация

на соискание ученой степени доктора химических наук

Москва - 1998

Содержание стр.

Глава \. Проблемы математического моделирования геохимических систем 6

Глава 2. Формализация в описании, хранении и согласовании

физико-химической экспериментальной информации 18

2.1. Обзор существующих систем термодинамической информации 18

2.1.1. Система ГЕОХИ СО РАН 19

2.1.2. Система НБС США 20

2.1.3. Система ИВТАНТЕРМО 22

2.1.4. Система Геологической службы США 23

2.1.5. Система Сассекского университета Великобритании 25

2.1.6. Система СМЭТ ИНХ СО РАН 25

2.2. Требования, традиционно предъявляемые к современным системам автоматизированной обработки термодинамической информации 27

2.3. Недостаточность методов согласования термодинамической информации, используемых в существующих автоматизированных системах. 28

2.3.1. Постановка обобщенной линейной задачи согласования 28

2.3.2. Пример неустойчивой задачи согласования 29

2.3.3. Проблема единственного измерения 32

2.4. Требования, предъявляемые к современной системе

автоматизированной обработки и согласования термодинамической информации 32

2.5. Архитектура информационно-вычислительного комплекса системы

ММЭВ 34

2.5.1. Подсистема базы данных 35

2.5.1. Подсистема математической обработки 36

Глава 3. Проблемы математической обработки экспериментальной

термодинамической информации 38 3.1. Задача согласования, как общая задача математической

обработки эксперимента 38

3.1.1. Постановка обобщенной задачи согласования 39

3.1.2. Метод сглаживающего функционала 40

3.1.3. Расчет коэффициента регуляризации 41

3.1.4. Получение априорной информации о решении задачи 42

-23.2. Применение метода наименьших квадратов в решении задачи

согласования 43

3.3. Критерий выбора математического метода в обобщенной задаче согласования 45

3.4. Метод наименьших квадратов как базовый метод обобщенной задачи согласования 47

3.5. Специальные методы решения задачи согласования 48

3.5.1. Замечание о "методе средних" 48

3.5.2. Метод блочной релаксации 49

3.5.3. Численные методы решения СЛАУ 51

3.6. Аппроксимация функциональных зависимостей в химической термодинамике 53

3.6.1. Соответствие аппроксимации матрице Гесса 54

3.6.2. Аппроксимация Ср(Т) функцией Майера-Келли 55

3.6.3. Аппроксимация Ср(Т) функцией Лоренца 69

Глава 4. Проблемы расчета равновесного состава сложной

химической системы 75

4.1. Общая постановка задачи равновесия 75

4.2. Вычислительные проблемы расчета равновесия 76

4.3. Минимизация изобарно-изотермического потенциала системы 79

4.4. Существование и единственность решения задачи равновесия 81

4.5. Метод нестационарных уравнений в задаче расчета равновесия 81

4.6. Метод статистических испытаний в оценке устойчивости

задачи равновесия 84

4.6.1. Сущность метода Монте-Карло 85

4.6.2. Преимущества метода статистических испытаний 85

4.6.3. Получение случайных чисел на ЭВМ 86

4.6.4. Способы проверки качества выборки случайных чисел 89

4.6.5. Моделирование дискретных случайных величин 91

4.6.6. Моделирование непрерывных случайных величин 92

4.6.7. Приближенный способ моделирования 93

4.6.8. Моделирование нормальной последовательности 95

4.6.9. Моделирование биномиальной и пуассоновской последовательностей 97

4.7. Применение метода Монте-Карло в решении задачи равновесия 98

4.8. Погрешности расчета 102

4.8.1. Виды и классы погрешностей 102

4.8.2. Теория интервального анализа оценки погрешностей 103

-34.9. Равновесная модель потока седиментирующей фазы

в магматической камере 105

Глава 5. Устойчивые методы решения частных задач согласования 119

5.1 Согласование энтальпий образования химических веществ

по экспериментально изученным химическим реакциям 119

5.2 Применение регуляризационного метода для оценки термодинамических свойств в абсолютной шкале 120

5.3 Согласованные значения ДНо диссоциации сульфатов 121

5.4 Согласование отношения в природных расплавах 128 5.5. Вычислительная проблема расчета сольвуса твердых растворов 134

Глава 6. Методы моделирования физико-химических процессов

в допланетном облаке 140 6.1. Физико-химическая эволюция вещества межзвездной пыли

в процессе нагрева 140

6.1.1. Выбор модели пылевой частицы 145

6.1.2. Выбор модели взаимодействия частиц 146

6.1.3. Выбор модели газовой среды 146

6.1.4. Результаты моделирования 147

6.2. Вероятностный характер расчетов химического равновесия

и конденсация вещества в допланетном облаке 150

6.2.1. Частные примеры расчета стохастического равновесия 151

6.2.2. Корреляция между равновесными трендами 154

6.2.3. Расчет конденсации минеральных фаз 155

6.3. Конденсационная дифференциация вещества ДПО 161

6.3.1. Модель неизотермической конденсации 161

6.3.2. Результаты модельных расчетов 165

6.3.3. Замечания о допущениях модели 172

6.4. Солнечный хондрит - продукт постконденсационного преобразования вещества допланетного облака 175

6.4.1. Модель конденсации с учетом твердых растворов 176

6.4.2. Модель постконденсационной эволюции частицы 181

6.4.3. Моделирование равновесного состава частицы 182

6.5. Конденсация газа солнечного состава

и формирование вещества хондритов 185

6.5.1. Общие положения модели 186

6.5.2. Модельный состав первичного газа 189

6.5.3. Режимы динамики конденсации 190

6.5.4. Представительность химической системы 191

-46.5.5. Физико-химические допущения 192

6.5.6. Результата моделирования 194

6.5.7. Формирование вещества обыкновенных хондритов 194

6.5.8. Формирование вещества углистых хондритов 196

6.5.9. Формирование вещества энстатитовых хондритов 198 6.6. Конденсационная модель вещества земной мантии 201

6.6.1. Подход к проблеме 202

6.6.2. Солнечный хондрит как модель планетного вещества 203

6.6.3. Петролого-геофизическая модель СХ 204

Глава 7. Устойчивые методы моделирования динамической

кристаллизации магматических интрузивов 210

7.1. Вариационный метод расчета термической и химической конвекции в магматической камере 210

7.2. Дрейф кристаллических частиц в магматической камере 215

7.3. Взаимодействие термической и концентрационно-седиментационной конвекции в магматической камере 229

7.4. Ритмическая седиментация кристаллической фазы 241 7.5 Автоколебательный режим общей конвекции в магматической камере и процесс ритмического расслоения магматического интрузива 252

Заключение 263

Литература 267

Диссертационная работа представляет собой описание системы устойчивых математических и физико-химических методов, лежащих в основе разработанного автором компьютерного комплекса СММЭВ (система математического моделирования эволюции вещества), позволяющего на основе равновесной термодинамики моделировать основные этапы гео- и космохимической эволюции вещества, начиная от ранних стадий существования Солнечной системы. На примерах решения большого круга геохимических задач показывается эффективность и универсальность предложенных подходов.

Исследования, представляемые этой работой, проводились автором с 1981 года до текущего времени в лаборатории математического моделирования и термодинамики природных процессов Института геохимии и аналитической химии им.В.И.Вернадского РАН.

Отдельные направления исследования, опубликованные в ряде статей и тезисов научных конференций за последние 5 лет, были осуществлены при финансовой поддержке Международного научного фонда и Российского фонда фундаментальных исследований, сотрудничество с которыми в значительной степени способствовало возможности этих исследований.

Автор приносит благодарность И.АХодаковскому и ныне покойному А.В.Гаранину, работа с которыми в начале 80-х годов положила начало работе автора в геохимии и термодинамике природных процессов.

Светлая память М.Я.Френкеля, общение с которым сделала возможным понимание автором подходов к проблеме глобальной эволюции вещества, сопровождает всю эту работу.

Автор благодарен всем своим соавторам, в особенности Ю.И.Сидорову, О.Л.Кускову, В.А.Кронроду и О.И.Яковлеву, за дискуссии, сопровождавшие постановки задач и поиски их решения.

Автор был рад пользоваться возможностью бесед с Л.Н.Когарко,

A.А.Арискиным, А.Т.Базилевским, А.А.Беляевым, А.В.Витязевым,

B.П.Волковым, Л.В.Дмитриевым, М.Ю.Золотовым, А.В.Ивановым,

A.А.Кадиком, А.Н.Корниловым, Р.О.Кузьминым, М.В.Мироненко,

B.П.Мясниковым, Б.Н.Рыженко, В.Б.Поляковым, В.А.Титовым, В.с.Урусовым, Е.В.Шарковым, Ю.А.Шуколюковым, Т.М.Энеевым и А.А.Ярошевским на темы, без обсуждения которых вряд ли бы появилось это исследование.

Автор глубоко признателен Э.М.Галимову за внимание к работе и ее поддержку.

Глава 1. Проблемы математического моделирования геохимических систем

Во второй половине нашего века получило широкое распространение применение физико-химических методов при решении проблем геохимии и геологии. Благодаря работам целого ряда научных школ (Н.А.Боуэна и Геофизической лаборатории Института Карнегн в США, Ф.Ю.Левинсон-Лессинга, А.Н.Заварицкого, Д.С.Коржинского, А.П.Виноградова в России, П.Ниггли, Эйтеля в Западной Европе и др.) создана современная теоретическая и экспериментальная база, позволившая в конкретной форме поставить проблему физико-химического моделирования в области геохимии и петрологии. Со времени пионерских работ прошло уже десятки лет, опубликовано бесчисленное количество работ, содержащих как конкретные результаты, демонстрирующие успехи этого направления, так и принципиальный анализ путей и методов применение физико-химического аппарата в reo- и космохими. В настоящее время ясно, что развитие методов физико-химического моделирование есть центральное направление, целью которого является создание теоретической базы геохимии.

Ныне происходит интенсивное применение физико-химических методов в проблеме эволюции вещества от стадии формирования газо-пылевой туманности, положившей начало существованию Солнечной системы, до современного распределения вещества в планетарных телах. Познавая законы фракционирования вещества, его пространственной дифференциации и химических превращений в нестационарных полях, наука приближается к прогнозированию современного объемного распределения вещества в недоступных для прямого изучения планетарных оболочках.

За последнюю четверть века, в связи с большим прогрессом в области прикладной математики и вычислительной техники, науки о Земле получили новый теоретический и мощный технический аппарат, открывающий возможности решения новых задач. К таким задачам, в частности, относятся задачи математического моделирования различных геохимических систем и процессов -процессов конденсации и испарения вещества допланетного облака, формирова-

ния вещества, послужившего строительным материалом для планетных тел, в частности для Земли, фракционирования этого вещества во внутренних оболочках планет, формирования мантийного и магматического вещества, фракционирование этого вещества в процессах динамической кристаллизации магм и гидротермальных процессах. Эти задачи моделирования базируются, в частности, на обработке и теоретическом обобщении огромного объема накопленных измерений и экспериментальных данных, относящихся не только к планетарным, но и галактическим масштабам при значительном повышения точности анализов и верифицируемое™ их интерпретации.

Следует, видимо, отметить ряд особенностей, отличающих задачи, возникающие в реальных геохимических системах, от чисто химических задач.

Во -первых, химическая задача обычно сопряжена с перечислением набора контролируемых (управляемых) Р(0-Т(1:) параметров, внешних по отношению к системе, а так же с заданием начального химического состава системы х(1д) и возможных потоков вещества через ее границы, теоретически определяющих эволюцию химической системы, то есть в химической системе явно или неявно присутствует физическое понятие объема реакционного пространства. Выбор же такого пространства, точнее, его границ, в задаче моделирования геохимической системы, как правило, оказывается искусственным. Следует отметить, что один из способов выбора таких границ ввел Д.С.Коржинский (1957) [1] через понятие локально мозаичного равновесия, заключающегося в том, что в системе, неравновесной в целом, могут быть выделены подсистемы, в которых можно пренебречь градиентами интенсивных параметров и тем самым неявно определить их границы.

Во-вторых, сам факт существования контролируемых параметров и физико-химическая детерминированность начальных или конечных (в задачах синтеза) х-параметров в моделировании химических систем, вообще говоря, не свойственны геохимическим задачам, в которых сами Р(1)-Г(0 параметры обычно являются предметом решения задачи, а вещественный состав х(0 обычно относится в наблюдаемый момент не ко всей геохимической системе, а к ее отдельным частям.

В третьих, для химических систем хотя бы потенциально существует возможность проведения реального эксперимента с вариацией каких-либо контролируемых параметров за реально конечное время, что дает возможность оценить влияния вариации этих параметров на конечный состав химической системы. Невозможность лабораторных экспериментов в геохимических (кос-мохимических) системах в реально конечное время не позволяет говорить о воспроизводимости экспериментов, которые осуществляются природой и надежности оценок их результатов.

Хотя геохимическая система обычно может быть разделена на конечное множество химических систем, в каждой из которых может быть использовано все богатство аппарата теоретической химии, понимание того, что любая система определяется не столько множеством ее элементов, сколько множеством связей, существующих между этими элементами, делает возможным подразумевать под моделированием геохимических систем описание и интерпретацию этих связей, число которых, конечно, гораздо больше числа элементов.

В такой, казалось бы, реально безнадежный подход известный оптимизм вносит теорема (математический результат), установленная В.И.Арнольдом (1957г.) [2] и утверждающая, что любая непрерывная функция (в частности, описание геохимической системы) многих переменных (под которыми можно понимать отдельные химические системы), не приближенно, а точно может быть выражена в виде суперпозиции конечного числа функций не более чем

/ « о

двух переменных (в простейшем случае - парное взаимодеиствие отдельных химических систем). Разумеется, утверждение о существовании ("может быть выражена"), не означает декларирования явного пути, следуя которому можно построить эти функции двух переменных и механизм их суперпозиции, однако доказанное утверждение о существовании решения такой задачи делает рациональными поиски ее решения для моделирования геохимических систем.

Аппаратом решения многих из задач моделирования геохимических систем и процессов в современном приближении может быть аппарат химической термодинамики, позволяющий при гипотезе о хотя бы временной химической релаксированности изучаемых систем давать оценки вещественных соотношений

V «с Ь> I Г

и путей их дальнейшей эволюции при изменении внешних условии. 11ри этом под химической системой, являющейся одним из фрагментов изучаемой геохимической системы, подразумевается термодинамическая система, т.е. закрытая химическая система, взаимодействие которой с другими системами ограничивается передачей работы и теплоты [3]. Процесс, совершаемый такой системой, называется термодинамическим процессом. Развитие, т.е. эволюция, конкрет-

О О « / /•»

нои изолированной термодинамической системы заканчивается (вообще говоря, не обязательно за конечное время) наступлением в ней равновесия. Самостоятельно выйти кз равновесия конкретная система не может, для этого необходимо ее взаимодействие с другими системами, т.е. нарушение ее изолированности. Если вывести устойчивую термодинамическую систему на бесконечно маи «

лую величину из состояния равновесия и вновь изолировать, она самопроизвольно вернется в состояние устойчивого (стабильного) равновесия. Заметим, что взаимодействие даже двух равновесных систем, вообще говоря, может выводить каждую из них из состояние равновесия. Таким образом, интуитивное понимание устойчивого состояния заключается в том, что система обладает не-

которым свойством, позволяющим ей при "бесконечно малых" в течении конечного времени возмущениях ее состояния после прекращения возмущения за время, не обязательно конечное, вновь вернуться в него. Понятие "бесконечно малых" возмущений, хотя и физически интуитивно понятно, является перенесе-

и »» V V —

нием непрерывной классической математической терминологии в область представлений, в которой